1. Metode de calcul elastic În proiectarea structurilor la actiunea seismica se pot folosi mai multe metode de analiza structurala. În proiectarea curenta se foloseste un calcul liniar elastic, fiind posibile doua alternative: - metoda de calcul cu forte laterale (metoda fortelor statice echivalente) - metoda de calcul modal cu spectre de raspuns (calcul spectral)
1.1.
Metoda de calcul cu forte laterale
Aceasta metoda se poate aplica constructiilor care pot fi calculate prin considerarea a doua modele plane,câte unul pentru fiecare directie principala a cladirii, si al caror raspuns seismic total nu este influentat semnificativ de modurile proprii superioare de vibratie. În acest caz, modul propriu fundamental de vibratie are o contributie predominanta asupra raspunsului seismic total. Aceste cerinte pot fi considerate satisfacute de structurile care au perioada fundamentala de vibratie T1 ≤1.5 sec, o înaltime de pâna la 30 m si sunt regulate pe verticala. Metoda de calcul cu forte laterale reprezinta un calcul spectral simplificat, care ia în considerare doar aportul modului fundamental de vibratie la raspunsul structurii. Pe baza acestei simplificari, calculul spectral se reduce la un calcul static al structurii sub efectul unor forte laterale aplicate la nivelul maselor concentrate (la nivelul planseelor). Fortele laterale reprezinta fortele statice echivalente. Determinarea fortelor laterale se efectueaza în doua etape. În prima etapa se determina forta taietoare de baza, iar în cea de-a doua etapa aceasta se distribuie pe înaltimea structurii conform modului fundamental.Rezultatele unui calcul cu forte laterale reprezinta valorile de vârf ale eforturilor si deplasarilor structurii. Forta taietoare de baza se poate determina cu relatia:
unde Mn* este masa modala efectiva din modul propriu n, An este pseudo-acceleratia spectrala corespunzatoare perioadei proprii de vibratie din modul n. Formulând expresia lui Vbn pentru modul fundamental de vibratie (n=1) si folosind notatiile din P100-1/2006
aceasta devine:
unde: Fb - forta taietoare de baza corespunzatoare modului propriu fundamental, pentru fiecare directie orizontala principala considerata în calculul cladirii Sd( T1) - ordonata spectrului de raspuns de proiectare corespunzatoare perioadei fundamentale T1 T1 - perioada proprie fundamentala de vibratie a cladirii în planul ce contine directia orizontala considerata m - masa totala a cladirii λ -factor de corectie care tine seama de contributia modului propriu fundamental prin masa modala efectiva asociata acestuia, ale carui valori sunt: λ = 0.85 daca T1 ≤ TC si cladirea are mai mult de doua niveluri si
λ= 1.0 în celelalte situatii. Expresiile fortelor statice echivalente fin din modul propriu n, ale factorului de participare modala si ale masei modale efective sunt date de relatiile:
unde: fin - este forta statica echivalenta pe directia gradului de libertate i în modul propriu n. Se poate obtine urmatoare expresie pentru pseudo-acceleratia spectrala An:
Înlocuind expresia Γn, An si Mn* în relatia fortelor statice echivalente fin, obtinem:
Folosind notatiile din P100-1 (2006) si particularizând pentru modul fundamental de vibratie, relatia devine:
Unde: Fi - forta seismica orizontala static echivalenta de la nivelul i Fb- forta taietoare de baza corespunzatoare modului fundamental, si componenta formei fundamentale pe directia gradului de libertate dinamica de translatie la nivelul i N- numarul de niveluri al cladirii mi masa de la nivelul i Forma proprie fundamentala poate fi aproximata printr-o variatie liniara proportionala cu înaltimea. În acest caz fortele orizontale de nivel sunt date de relatia:
Unde: zi - reprezinta înaltimea nivelului i fata de baza constructiei considerata in model. Fortele seismice orizontale se aplica sistemelor structurale ca forte laterale la nivelul fiecarui planseu considerat indeformabil în planul sau. În figura de mai jos sunt prezentate schematic fortele orizontale de nivel din metoda fortelor laterale. De mentionat ca distributia "invers triunghiulara" a fortelor laterale (proportionale cu înaltimea) reprezinta în mod simplificat forma modului fundamental de vibratie. Fortele laterale fiind proportionale cu masa de la nivelul i, vor avea aceasta distributie doar în cazul în care masele de nivel sunt egale între ele.
2|Page
Fig : Reprezentarea schematica a fortelor orizontale de nivel folosite in metoda de calcul cu forte laterale. O alta simplificare permisa de normativul P100-1 (2006) o reprezinta determinarea perioadei fundamentale de vibratie. Astfel, pentru proiectarea preliminara a cladirilor cu înaltimi de pâna la 40 m, se poate utiliza urmatoarea formula simplificata pentru estimarea perioadei fundamentale de vibratie:
unde: T1 - este perioada fundamentala a cladirii, în secunde Ct- este un coeficient ale carui valori sunt functie de tipul structurii, dupa cum urmeaza: Ct = 0.085 pentru cadre metalice (necontravântuite), Ct = 0.075 pentru cadre din beton armat (necontravântuite) sau cadre metalice cu contravântuiri excentrice, Ct = 0.05 pentru celelalte tipuri de structuri. H- înaltimea cladirii, în metri, masurata de la nivelul fundatiei sau de la extremitatea superioara a infrastructurii rigide.
1.2.
Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns
Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns descrisa în P100-1 (2006) se aplica cladirilor care nu îndeplinesc conditiile specificate pentru utilizarea metodei simplificate cu forte laterale static echivalente. Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns se foloseste în cazul structurilor cu forme complexe, sau cu distributii neuniforme ale masei si rigiditatii, deoarece raspunsul unor astfel de sisteme este dat de aportul mai multor moduri proprii de vibratie. În calcul se considera modurile proprii cu o contributie semnificativa la raspunsul seismic total. Aceasta conditie este îndeplinita daca: suma maselor modale efective pentru modurile proprii considerate reprezinta cel putin 90% din masa totala a structurii, sau au fost considerate în calcul toate modurile proprii cu masa modala efectiva mai mare de 5% din masa totala. În cazul modelelor spatiale, conditiile de mai sus se verifica pentru fiecare directie de calcul.
3|Page
În cazul în care conditiile anterioare nu pot fi satisfacute pentru un numar suficient de mare de moduri proprii de vibratie (spre exemplu, la cladirile cu o contributie semnificativa a modurilor de torsiune),numarul minim r de moduri proprii ce trebuie incluse într-un calcul spatial trebuie sa satisfaca urmatoarele conditii:
unde: r - numarul minim de moduri proprii care trebuie considerate n- numarul de niveluri deasupra terenului Tr - perioada proprie de vibratie a ultimului mod de vibratie considerat r Raspunsurile modale pentru doua moduri proprii de vibratie consecutive, k si k + 1 sunt considerate independente daca perioadele proprii de vibratie Tk si Tk+1 (în care Tk+1≤Tk) satisfac urmatoarea conditie:
Pentru doua moduri proprii de vibratie independente se poate folosi metoda de combinare radical din suma patratelor (RSP). În caz contrar se va folosi fie metoda de combinare suma valorilor absolute (ABS), fie combinarea patratica completa (CPC).
2. Metode de calcul in domeniul elasto - plastic Studiul legilor de comportare ale secţiunilor şi ale elementelor în elasto-plastic permite înţelegerea şi modelarea comportării structurilor încărcate progresiv până la rupere. Considerăm o structură elasto-plastică simplă un cadru încărcat ca în figura 1 pentru care se cunosc legile de comportare a fiecărei secţiuni.
Fig. 1 Comportarea structurii în domeniul elasto-plastic depinde în mod esenţial de istoria încărcării (maniera în care în fiecare din încărcări cresc proporţional cu parametrul λ ( multiplicatorul încărcărilor)). Fie P0 şi H0 valorile iniţiale ale încărcării şi λ multiplicatorul încărcării cu λ=0…λu. Se poate scrie că:
H P
4|Page
H0 0P0 Când încărcarile exterioare cresc, eforturile interioare cresc de asemenea. Conform valorilor eforturilor secţiunile structurii sunt în stadia de comportare definite prin legile de comportare a secţiunii: elastic, post-elastică sau rupere.
Fig. 2 Comportarea globală a structurii este rezultatul comportării tuturor secţiunilor. În consecinţă, prin creşterea progresivă a încărcărilor exterioare structura va parcurge următoarele stadii de comportare: 1. Stadiul elastic (fig. 2.a). Momentele încovoietoare în toate secţiunile structurii nu depăşesc valoarea momentului de plastificare Mc. Dacă se descarcă structura ( în acest stadiu de comportare) nu există deformaţii remanente, 2. Stadiul elasto-plastic (fig.2 b). Pentru o valoare concretă a încărcărilor ( caracterizată de multiplicatorul încărcării λ ) momentul unei secţiuni I atinge valoarea momentului de plastificare:
Mi Mc,i Această secţiune intră în stadiul post-elastic şi rigiditatea se diminuaează rapid. Dacă încărcarea exterioară continuă să crească deformaţiile plastice se extind pe lungimea plastică l p şi fenomenele postelastice se dezvoltă de o manieră identică cu cele descries în paragraful dedicat legilor de comportare a elementelor. Treptat şi pe măsură ce încărcările cresc alte secţiuni ale structurii vor suporta aceleşi fenomen. Rezultă diminuarea rigidităţii secţiunilor (date de deformaţiile plastice), rigiditatea globală a structurii diminuându-se progresiv dar structura este capabilă încă să suporte şi să transmită la reazeme încărcările exterioare. 3. Stadiul de colaps ( de rupere sau ultim ) Diminuând progresiv rigiditatea structurii, urmată de dezvoltarea articulaţiilor plastice pe secţiunile critice – pentru o valoare concretă a încărcărilor exterioare- au o rigiditate globală practic nulă, deci deformaţiile structurii cresc nelimitat pentru o creştere infinit mică a încărcărilor exterioare. O reprezentare sugestivă a evolutiei comportării structurii se obţine plecând de la stadiul elastic până la stadiul de colaps dacă se consideră că deformaţiile plastice sunt concentrate în articulaţiile plastice. O articulaţie plastică apare în secţiunea i dacă momentul încovoietor tinde în această secţiune spre valoarea Mp a momentului plastic. Fiecare articulaţie plastică apărută în structură diminuează cu o unitate gradul de nedeterminare statică al acesteia. Stadiul elastic corespunde momentului încovoietor care în toate secţiunile structurii are valori inferioare momentului plastic Mpl. Stadiul elasto-plastic începe din momentul când într-o secţiune „i” o articulaţie plastică se formează şi gradul de nedeterminare statică scade cu o unitate. Pe măsură ce încărcările exterioare cresc vor apare noi articulaţii plastice care vor diminua gradul de nedeterminare statică şi rigiditatea structurii. Când numărul de articulaţii plastice este n structura devine izostatică.
5|Page
Stadiul ultim (de colaps) este atins când a n+1 articulaţie plastică se formează şi încărcarea exterioară creşte în continuare. În acest moment structura se transformă în mecanism.
2.2 Teoreme fundamentale Starea ultima a unei structure este caracteristica de indeplinirea urmatoarelor trei grupe de conditii: a.) Conditia de echilibru static (static admisibil) – compatibilitatea intre distributiile de eforturi si actiuni. b.) Conditia de mecanism (cinematic admisibila) – eforturile trebuie sa aiba valori limita intrun numar de sectiuni sau elemente, in asa fel incat structura sa devina partial sau in intregime un mecanism. c.) Conditia de siguranta (curgere plastica) – in nici o sectiune sau element, eforturile efective nu trebuie sa depaseasca efortul limita (capabil): -Sp(t) ≤ S t ≤ +Sp(t) Indeplinirea simultana a celor trei conditii care definesc starea limita este sintetizata de teorema unicitatii:
Teorema Unicitatii „ Daca pentru o structura actiunata de sarcini proportionala este posibil sa se gaseasca pentru un factor de incarcare λ pozitiv o distributie de eforturi care satisface cele trei grupuri de conditii ale starii ultime, atunci λ respectiv este factorul de incarcare corespunzator cedarii structurii si este imposibil sa se obtina pentru un alt factor λ pozitiv o distributie de eforturi care sa indeplineasca cele trei grupuri de conditii.” Pe langa aceasta teorema, care exprim unictiatea starii ultime, mai exista doua teoreme particulare, care reunesc cate doua din cele trei grupuri de conditii ale starii ultime – corespunzatoare carora s-au dezvoltat doua grupe de metode de calcul in domeniul postelastic – si anume:
Teorema cinematica: „Daca pentru o structura actionata de un grup de sarcini proportionale λP exista o distributie de eforturi statice admisibila si care indeplinesc conditia de mecanism, valoarea corespunzatoare a lui λ ste mai mare sau cel putin egala cu factorul de proportionalitate ultim λu .” In metodele cinematice de calcul in domeniul postelastic , plecand de la distributiile de eforturi statice admisibile si care corespund unor mecanisme posibile de cedare, se determina factorii de incarcare corespunzatori acestor mecanisme, factorul de incarcare ultim fiind cel mai mic dintre valorile obtinute: λu=min(λk) Dintre metodele cinematice, cea mai utilizata este metoda combinarii mecanismelor elementare.
Teorema statica:
6|Page
„Daca pentru o structura si o incarcare data exista o distributie de eforturi care pe intreaga structura indeplinesc conditiile de siguranta si este static admisibila cu grupul de sarcini proportionale λP, valoarea corespunzatoare a lui λ este cea mai mica sau cel mult egala cu factorul de proportionalitate ultim λu” In metodele statice de calcul in domeniul postelastic se pleaca de la distributii de eforturi care indeplinesc conditiile de echilibru static si de curgere plastica (siguranta) si se ajusteaza succesiv aceste distributii, pana cand se determina solutia care satisface si conditia de mecanism, factorul de incarcare ultim stabilindu-se pe baza criteriului: λu=max(λk) λk reprezinta factorii de incarcare corespunzatori distributiilor intermediare de eforturi. Dintre metodele statice, cele mai utilizate sunt metoda inegalitatilor si metoda distribuirii momentelor in domeniul postelastic, tot in aceasta grupa putandu-se de asemenea incadra o parte dintre metodele de analiza a comportarii elasto-plastice ale structurilor. In paralel au fost dezvoltate si o serie de metode mixte in care se folosesc alternativ etape ‚statice” si etape „cinematice” , determinandu-se astfel limite inferioare si respectiv limite superioare pentru factorul de incarcare, astfel ca: λc(j) ≤ λu ≤ λs(j+1) Referitor la structurile multietajate, pentru calculul acestora se folosesc fie metodele generale amintite mai sus – adaptate corespunzator – fie metode specifice bazate pe descompunerea in subansambluri sau, mai nou, metoda de tip „PUSHOVER”.
2.3 Metode de calcul static a structurilor în domeniul elasto-plastic Metodele de calcul static al structurilor în domeniul elasto-plastic se clasifică ţinând seama de următoarele criterii: legile de comportare acceptate pentru secţiuni sunt identice cu cele acceptate pentru elementele structurale. Modelul cel mai utilizat este cel în care secţiunile se comportă ideal elasto-plastic care admite ipoteza articulaţiilor plastice. Cu toate acestea programele de calcul actuale acceptă de asemenea legi de comportare foarte generale care conduc la zonele plastice studiate pentru unele lungimi plastice ale elementelor. stadiul de comportare de referinţă al structurii. Din acest punct de vedere, principalele tipuri de metode de calcul static ale structurilor elasto-plastice sunt: 1. Metodele de calcul pas cu pas ( metode biografice sau în engleză push-over). Stadiul de referinţă considerat în aceste metode este stadiul elasto-plastic. 2. Metode de calcul bazate pe echilibru limită, cunoscute ca metode de analiză limită. Acestea sunt metode care consideră direct stadiul ultim al unei structure fără trecerea prin etapele intermediare, elasto-plastice. Prin aceste metode se determină direct valoarea încărcării exterioare care transforma structura în mecanism. Baza teoretică a acestor metode este teoria plastic simplă care a fost prezentată în capitolele anterioare.
7|Page
Un aspect important care poate fi luat în considerare pentru definirea diferitelor metode de calcul static elasto-plastic este obligatoriu luarea în considerare a datelor experimentale şi a rezultatelor diferitelor procedee de calcul. Din acest punct de vedere trebuie să distingem între: a) problemele de dimensionare, specifice structurilor noi, calculate pentru a rezista la un sistem de încărcări date. În problemele de acest tip: - datele iniţiale sunt ăncărcările exterioare considerate cu valorile lor maxime, care pot provoca colapsul structurii; - necunoscutele problemei sunt valorile eforturilor ultime în secţiunile critice ale structurii sau eforturile capabile necesare. b) Problemele de verificare, specifice structurilor existente déjà dimensionate. Calculul are ca obiectiv să stabilească capacitatea de rezistenţă a structurii în totalitatea acesteia. - Datele problemei sunt eforturile capabile efective în toate secţiunile critice ale structurii fie momentele plastice ale anumitor secţiuni; - Necunoscutele problemei sunt valorile maximale ale încărcărilor exterioare care pot fi suportate de structură. Metodele de calcul static post-elastic sunt adaptate conform problemelor de dimensionare sau verificare care trebuie să fi rezolvate.
3. Calculul static post elastic, pas cu pas (calculul biographic). Calculul static post-elastic al structurilor, care descrie comportarea structurilor în toate stadiile, se realizeză prin metoda pas cu pas ( metoda biografică ). Acest calcul pune în evidenţă apariţia succesivă a articulaţiilor plastice, schimbarea continuă a matricii de rigiditate a structurii în fiecare etapă de încărcare. Principiul de calcul este determinarea eforturilor şi deformaţiilor structurii care este încărcată pas cu pas si care conduc la schimbarea rigidităţii secţiunilor ce depăşesc succesiv limita elastică în comportarea lor. Încărcarea monotonă poate fi un sistem de forţe care creşte sau un sistem de deplasări impuse. Acestea pot fi adaptate pentru încărcări variabile sau încărcări constante. Se acceptă că încărcările {S} cresc proporţional cu parametrul λ care este multiplicatorul încărcării:
S S 0
unde {S0} reprezintă valoarea iniţială a încărcărilor exterioare. Se acceptă de asemenea ca model de comportare secţiunile modelului ideal elasto-plastic. Deci dacă într-o secţiune i, Mi=Mpl în secţiune apare o articulaţie plastică. Distribuţia eforturilor în structură depinde de stadiul de solicitare al fiecărei secţiuni. Pentru secţiunile fiecărui element se verifică dacă M≤Mc pentru determinarea domeniului de calcul. Secţiunile critice sunt secţiunile unde articulaţiile plastice pot apare. Notaţii. m – numărul secţiunilor critice ( depinde de alura diagramei M ), n – gradul de nedeterminare statică. Diagrama elastică este valabilă când valorile momentelor de încovoiere nu depăşesc Mpl pentru fiecare secţiune critică. Comportarea elastică a structurii este caracterizată prin:
Mi Mpl
pentru i=1,…..m. Dacă încărcările exterioare cresc până ce Mi=Mpl, acest moment corespunde apariţiei unei articulaţii plastice în secţiunea i. După, analiza continuă ca analiza elastică când structura are o articulaţie plastică în secţiunea i. Cu fiecare apariţie a unei articulaţii plastice gradul de hiperstaticitate se diminuează până ce numărul articulaţiilor plastice devine n. După acest stadiu structura devine izostatică. Dacă se
8|Page
încearcă să exprimăm o lege de comportare pentru o structură întreagă, similar în cazul elementelor se poate scrie relaţia între încărcările exterioare (care cresc progresiv până la colapsul complet al structurii) şi deplasările corespunzătoare:
S K
Matricea de rigiditate [K] este calculată la fiecare pas, pentru structură, cu articulaţii în secţiunile în care M=Mpl. Date pentru calcul: - structura (geometria şi topologia); - secţiunile ( caracteristicile geometrice şi mecanice ); - valorile iniţiale ale încărcărilor permanente ( în general gravitaţionale ) şi variabile, prin încărcările orizontale. Etape de calcul: 1. calculul static la încărcări gravitaţionale; 2. calculul static sub acţiunea încărcărilor variabile (cu valorile iniţiale ale încărcărilor); 3. calculul momentelor plastic în secţiunile critice ( în funcţie de secţiuni ţinând seama de valoarea forţei axiale); 4. calculul rapoartelor: M H ,i i M cap M G ,i pentru i=1……..m unde s-a notat: MH,i- momentul încovoietor calibrat prin încărcările orizontale; MGi- momentele date de încărcările gravitaţionale. Aceste raporturi reprezintă raporturile între încărcările variabile şi rezerva de rezistenţă a secţiunii. 5. secţiunea care are: k max i va fi prima în care apare plastificarea. 6. H=H0/γk, λ1=1/γk reprezintă valoarea parametrului încărcării care produce apariţia primei articulaţii plastice. 7. luarea unei articulaţii plastice în secţiunea k şi calcularea noii matrici de rigiditate; 8. repetarea etapelor 2-7 până la colapsul structurii;Înainte de etapa 8 trebuie să verificăm: - Dacă valoarile rotirilor secţiunilor critice nu depinde de capacitatea de rotire a secţiunilor; - Dacă efortul secţional nu depăşeşte Tcap. Dacă verificările sunt satisfăcute trebuie să decidem dacă putem continua calculul eliminând din structură elementul degradat sau să oprim calculul considerând că stadiul ultim al structurii a fost atins. Oricum, la apariţia a n+1 articulaţie plastică structura ajunge în stadiul de colaps.
9|Page
Fig. 9.3 Deci un calcul static post-elastic este în principiu o succesiune de calcule elastice pentru o structură având articulaţii plastice în secţiunile critice unde momentul plastic a fost atins ( aceste aproximaţii sunt uşoare din punct de vedere algebric). Pentru fiecare etapă de încărcare de încărcare există o altă matrice de rigiditate. Rigiditatea se diminuază pe măsură ce apar articulaţiile plastice. Relaţia forţă exterioară (variabilă) – deplasare poate fi considerată ca o lege de comportare neliniară a structurii compusă din segmente liniare. Când mecanismul de cedare este format, matricea de rigiditate devine degenerată. Echilibrul între încărcările exterioare şi eforturile interioare rămâne în toate etapele chiar pentru n+1 articulaţii plastice (echilibrul limită). APLICAŢIE Se consideră cadrul cu încărcarea orizontală şi încărcarea vertical prezentat în figură.
Fig. 9.4 Pentru determinarea momentelor încovoietoare se va utilize metoda forţelor cu necunoscutele X2,X4 şi X5. Sistemul de bază ales este prezentat în figura 9.5.
10 | P a g e
Fig. 9.5 Diagramele Mp şi diagramele unitare m2, m3 şi m5 sunt prezentate în figura 9.6.
Plecând de la diagramele Mp şi mi pentru i=2,4,5, se vor calcula δij şi Δip cu relaţiile:
ij
mim j EI
dx
şi
ip
miMp EI
dx
Se obţin expresiile:
2,2
54
4l 1 1 1 24 42 2 , 5 52 44 EI , EI , 2EI , EI
55
2l 3EI
5Pl2 25Pl2 Pl2 1 2p 4p 5p 45 16EI , 48EI 3EI 6EI ,
Sistemul de ecuaţii cu necunoscutele X2, X4 şi X5 se obţine cu relaţiile:
ij X j ip 0 j
pentru i=2,4,5, se obţine:
11 | P a g e
64 X 2 16X 4 24 X 5 15p 0 X 2 0,035Pl 16X 2 48X 4 8X 5 25Pl 0 X 4 0,461Pl 3X X 4X 2Pl 0 X 0,411Pl 2 4 5 5 Diagrama de moment încovoietor în această primă etapă de încărcare va fi determinată prin suprapunerea efectelor:
12 | P a g e
4. Calculul static post –elastic, metoda combinarii mecanismelor elementare Aceasta metoda, elaborata de catre B.G. Neak si P.S. Symonds, consta in determinarea valorii factorului de incarcare corespunzator fiecarui mechanism de cedare posibil, factorul de incarcare ultim fiind – conform teoremei cinematice – cea mai mica dintre valorile astfel obtinute. La sistemele de solicitare preponderente la incovoiere, mecanismul se formeaza prin aparitia unor articulatii plastic intr-un numar suficient de “sectiuni critice” (varfuri ale diagramei de moment), iar valoarea factorului de incarcare pentru fiecare mechanism se determina din relatia de echilibru:
LF=La Unde LF este lucrul mecanis efectuat de incarcari si La lucrul mecanis efectuat de momentele plastic cu rotirile din articulatii, numit si lucru mechanic absolute. Mecanismele posibile de cedare sunt de doua tipuri: mecanisme elementare si mecanisme combinate. a.) Mecanismele elementare la randul lor pot fi: - mecanisme de bara – cazul barelor incarcare in noduri pe care se formeaza cel putin trei articulatii plastic; - mecanisme de deplasare – cate unul pentru fiecare grad de libertate cinematic al structurii; - mecanisme de nod (articulatii in toate capetele barelor concurente in nod ), posibile in nodurile in care concura mai mult de doua bare). Numarul de mecanisme elementare se determina folosind recatia generala:
N= X-n in care X este numarul de sectiuni critice si n – gradul de nedeterminare static al structurii. b.) Mecanismele combinate rezulta din combinarea mecanismelor elementare, tinandu-se cont de criteriul conform caruia se fac combinari numai intre mecanisme care conduc la un nou mechanism in care lucrul mechanic absorbit este mai mic decat suma lucrurilor mecanice
13 | P a g e
-
absorbite ale mecanismelor intrate in combinative. Practic, pentru realizarea acestui deziderat se proceseaza astfel: nu se fac, in general, combinari intre mecanismele elementare de pe bare diferite; se fac combinari intre mecanismele care au, in articulatiile plastic din aceleasi secituni, rotiri de sensuri inverse, ceea ce poate conduce la inchiderea articulatiilor plastic respective si deci la redcerea lucrului mechanic absorbit. se utilizeaza mecanismele elementare de nod, ceea ce inseamnca de fapt rotirea nodurilor respective in senc orar sau antiorar, in asa el incat lucrul mechanic absorbit calculate in urma rotii unui nor (tinand cont de inchiderea unor articulatii plastic si eventual deschiderea altora) sa fie mai mic decat cel determinat inainte de aceasta rotire. Mai trebuie notat ca, dupa stabilirea mecanismului de cedare, este necesara determinarea distributiei fotale de moment, pentru verificare indeplinirii conditiilor de siguranta.
5. Aplicatie 5.1 Metoda biografica : Pentru cadrul considerat sa se calculeze valoarea lui Ppl. Date de tema: Sectiune : IPE 200 ; A = 2850 mm2; Wply=194300 mm3;
Wely=221000mm3; Material : S235 σc=235 N/mm2;
14 | P a g e
1. Iteratia 1: Mmax=M5=1.07P=Mpl; Mpl=Wy*σc; Pel_lim=Mpl/1.07=0.93Mpl;
2. Iteratia 2: M4=0.98*Pel_lim+1.05*ΔP14=Mpl; Δ M1=0.7*Pel_lim+1.35*ΔP1=Mpl; Δ ΔP1=min(ΔP1’,ΔP14)=0.084Mpl; Pel_pl2=Pel-lim+ΔP1=1.01Mpl
3. Iteratia 3: M1=M11+M12+2.19ΔP2=Mpl; M1=0.7Pel-lim+1.35*0.084Mpl+2.19ΔP2;
ΔPel_lim3=Pel_pl2+ΔP2=1.17Mpl
4. Iteratia 4: M3=M31+M32+M33+2.5ΔP1=Mpl; =0.075Mpl; Ppl=Pel_pl3+ΔP3=1.117Mpl+0.075Mpl=1.2Mpl;
15 | P a g e
Ppl=1.2Mpl; 5.2
Principiul lucrului mechanic virtual
Pentru cadrul considerat sa se calculeze valoarea lui Ppl. Date de tema: Sectiune : IPE 200 ; A = 2850 mm2; Wply=194300 mm3;
Wely=221000mm3; Material : S235 σc=235 N/mm2;
16 | P a g e
Din teorema lucrului mechanic virtual avem:
Fi=Fext Fi*θi=Fext*Δext Ppl*3θ+Ppl*2θ=8Mpl*θ Ppl=8/5Mpl=1.6Mpl;
Mecanismul Elementar 1: LMV: Ppl*2θ=Mpl*4θ Ppl1=2Mpl;
Mecanismul Elementar 2: LMV: Ppl*3θ=4Mpl Ppl2=1.33Mpl;
17 | P a g e
Mecanismul Combinat : LMV: 8Mpl*θpl=5Ppl*θpl Ppl3=1.6Mpl
Rezultate din metoda lucrului mechanic Ppl=min(Ppl1,Ppl2,Ppl3)=1.33Mpl; Rezultat din metoda biografica: Ppl=1.2Mpl;
18 | P a g e
