L7.- ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR CU CAME; =MECANISMUL CU CAMĂ PLANĂ=
1.- Indicaţii generale. Consideraţii teoretice. Mecanismele cu came sunt mecanismele la care transmiterea mi şcării de la elementul conducător (cama) la elementul condus (tachetul) se face prin contact direct. Cama este elementul profilat a cărei curbă este bine determinată şi în strînsă legătur ă cu legea de mi şcare a tachetului. Tachetul are în special forme simple : punctiform ă (fig. 7.1.a.), plan ă (fig.7.1.b.), (disc plan), circular ă (fig.7.1.c.), (sau cu rol ă), dar poate avea şi forme curbe oarecare. In schimb, legea de mi şcare a camei este simpl ă, de obicei mi şcare uniformă, f ăr ă acceleraţie. Legile de mi şcare standard ale tachetului sînt: liniar ă, parabolic ă, cosinusoidală, sinusoidală, (fig. 7.5.), dar exist ă şi legi mai complicate sub forma polinoamelor de puteri, de exponen ţiale,etc. Relativ la felul mi şcărilor se disting: came de rota ţie, legate la baz ă prin cuple de rotaţie (fig.7.1a.), came de transla ţie (fig.7.2.), legate la baz ă prin cuple de transla ţie, came de rototransla ţie, solidare cu biela unui patrulater articulat. Acelea şi posibilit ăţi se intilnesc la tache ţi: de rotaţie (oscilanţi) fig.7.3., de transla ţie (fig.7.1a.) sau de rototranslaţie. Analiza cinematic ă a mecanismelor cu came cuprinde determinarea parametrilor cinematici ai tachetului, deci se cunoa şte mişcarea camei, tipul şi dimensiunile elementelor. Pentru un calcul cinematic grafo-analitic, prin ecuaţiile vectoriale ale vitezelor sau accelera ţiilor, sint necesare : raza de curbur ă r, direcţiile normalei şi tangentei, etc., adic ă parametrii geometrici ai mecanismului şi in special al profilului camei. Pentru mecanismul cu camă de rotaţie şi tachet de transla ţie funcţia de transmitere de ordinul zero sau funcţia de transmitere a pozi ţiilor reprezită dependenţa intre parametrul de transla ţie s al tachetului şi parametrul de rotaţie f al camei, adic ă derivare conduce la funcţia de transmitere de ordinul întîi sau funcţia de transmitere a vitezelor denumită viteză redusă, adică: ds ’ φ = ω = ωC v s ' . ω = s *ω; d φ
ds
s ' φ
o
v
v red ; d φ ω O nouă derivare determină funcţia de transmitere de ordinul doi sau funcţia de transmitere a acceleraţiilor denumită de asemenea acceleraţia redusă, adică: v
a
a
.,
,
v
s
d 2 s d ϕ 2
d 2 s
"
o
s φ
ds
ω 2
2
d φ
ε s " ω 2
d ϕ
a
a red ;
2
ω
ε
s ' ε
0
Viteza redusă vred = vo mai reprezintă viteza de ieşire la tachet , pentru o viteză de intrare la camă unitar ă ω = 1. Acceleraţia redusă ared = ao reprezintă, de asemenea, acceleraţia tachetului pentru o viteză a camei unitar ă constantă ω = 1 şi deci cu acceleraţia nulă ε = 0. La mecanismul centrat (fig.7.6.), raza vectoare a punctului de contact este pe direcţia de mişcare a tachetului. Considerând reprezentarea polar ă a curbei profilului r = r (θ), unghiul de transmitere (sau 180-χ ) şi raza de curbur ă a profilului ρ, sunt:
r
tg γ
r '
;
ρ
r '2
r 2 r 2
2r '2
3/ 2
(7.3.)
rr "
De asemenea, tangenta polar ă CT, normala polar ă CN, subtangenta polar ă OT şi subnormala polar ă ON sint: r
CT
r 2
'
r
r 2
CT
'
r
;
r '2 ;
r 2
CN
ON
r '2 ;
r '
Pentru punctul de contact C valoarea unghiului polar la o rotaţie a camei este θ = 360 − ϕ . Iar dacă originea spaţiilor pentru tachet coincide cu originea razelor polare ale camei atunci: o
r θ
s ϕ ;
θ ϕ
360
o
(7.5.) r ' θ
s ' ϕ ;
r " θ
s " ϕ
2.- Mecanismul de experimentare. Se foloseşte macheta unui mecanism (fig.7.7.) cu baza 0, cama de rotaţie (1) şi tachetul de 1translaţie centric şi punctiform (2). Discul camei este divizat din 10 in 10 grade. Tachetul, menţinut aplicat pe discul camei de resortul (3), (cupl ă deschisă), antrenează vernierul (4) in lungul riglei gradate (5). 3.- Obiectivele lucrării. Lucrarea are drept scop determinarea, pe cale experimental ă, funcţia de transmitere de la cam ă la tachet (intrare -ie şire) şi apoi prin derivare , grafică şi numerică, obţinerea vitezei şi acceleraţiei reduse. Se vor ridica prin puncte, diagramele s ( φ ), v ( φ ), a ( φ ) şi se vor face comparaţii cu referire la erori, între cele dou ă moduri de calcul. Se vor determina apoi parametrii geometrici, (unghiul de transmitere γ, tangenta, normala, etc. 4.- Modul de experimentare. Rotind cama (1) din 10 in 10 grade se măsoar ă pe rigla gradată (5), cu ajutorul vernierului (4),deplas ările corespunzătoare ale tachetului. Se aşează mai intii, tachetul in dreptul diviziunii zero a camei şi se citşte distanţa respecvtivă Pentru această poziţie se măsoar ă raza minimă a camei La o altă poziţie k (10 k grade) deplasarea tachetului va fi ∆s = s k - so iar raza polar ă a curbei profilului va fi r = s. Se recomand ă ca citirile deplasărilor tachetului să se facă pentru trei rotaţii complete ale camei, pentru ca prin mediere: s I s II s III s k (7.6.) 2 să se elimine erorile accidentale de experimentare. 5.- Formule de calcul. Erori. Verific ări. A).- Pentru calculul numeric se intrebuin ţează formele de derivare obţinute prin dezvoltarea in serie Taylor şi reţinerea primilor trei termeni.
sφ '
s φ ∆φ
s k
s φ ∆φ
s k
1
2∆φ
s k '
1
2h
(7.7.) sφ "2
s φ ∆φ
s φ ∆φ ∆φ
2 s φ
s k
2
1
s k h2
1
2 s k
s k "
Pentru micşorarea erorilor , se recomandă h = ∆φ = 10o , sau chiar 5o. De asemenea, prin derivare numeric ă sau grafică, erorile curbei deplasării se amplifica. In acest caz, mai ales la derivata secund ă, valorile funcţiei trebuie luate cu mai multe cifre exacte. Pentru uniformizarea valorilor m ăsurate se recomandă, experimental sau grafic, ca in loc de valoarea s k să se considere media aritmetică a trei valori consecutive, adic ă: s k 1 s k s k 1 s k corectat (7.8.) 3 B).- Cu valorile măsurate experimental sau pe construcţiile grafice ale poziţiilor, se realizează intr-un sistem de ccrdonate cartezian ortogonal, diagrama deplasării tachetului s( φ ) faţă de unghiul manivelei φ. Este posibil ca acelaşi grafic să coincidă cu diagrama deplasării tachetului s( t ) faţă de timpul t, numai dacă mişcarea camei este uniformă φ = ωt şi dacă pe abscisă, intre scara unghiului şi scara timpului t exist ă relaţia: φ real k φ ω k t ; k φ [rad/mm] φ desen (7.9.) ω
const 1 ;
k t
t real
[sec/mm]
t desen
Prin derivarea deplasării , faţă de unghiul φ, se obţine viteza redusă , iar mai departe accelera ţia redusă, fig.7.8. Construcţia grafică a vitezei reduse vred=v(φ) in raport cu accea şi abscisă , are in vedere relaţiile: sreal v H tg τ ; k s [m/mm] (7.10.) s desen k v
k s H k φ
;
k v
v real v
desen
ms
1
/ mm
unde: τ = unghiul format de tangenta la diagrama s = s(φ) cu axa abscisei,intr-un punct A ( , s), fig.7.8. H = distanţă arbitrar ă măsurată in mm (desen). Distanţa H = OP pozi ţionează polul P faţă de originea O şi prin aceasta se duc dreptele paralele la tangentele diagramei s(φ), sub unghiul τ, care apoi inscriu pe ordonat ă segmentele reprezentative ale derivatei (v) = OA . Aducind aceste segmente pe liniile de ordine ale absciselor se obţine ’ prin puncte A (φ , v), diagrama v(φ). Valorile reale ale vitezei sint redate cu ajutorul scării impuse k v. In funcţie insă de alegerea arbitrar ă a distanţei polare H se obţine mărimea convenabilă a diagramei v(φ), pentru ca erorile s ă fie mai reduse, precum şi scara încât valorile reale sunt acelea şi: v
k v v
k s Hk φ
Httg τ
k s k φ
tg τ ;
(7.11.)
Erorile de calcul grafic provin din grosimea liniilor trasate, din intersecţia liniilor sub unghiuri reduse, din abaterile de la paralelism sau perpendicularitate, etc. Aceasta impune o atenţie deosebită pentru execuţie , cit mai clar ă şi ingrijită 6.- Prelucrarea datelor experimentale. A).- Datele experimentale se inscriu in tabelul 7.1.(parametri cinematici) şi 7.2. (parametri geometrici). De asemenea in aceleaşi tabele se inscriu valorile rezultate din prelucrarea datelor experimentale. B).- Se intocmeşte un tabel identic cu tabelul 7.3. şi se trasează grafic, prin puncte, diagrama s(φ), v(φ), a(φ). Se incepe cu diagrama s(φ) ale cărei execută la scările convenabil alese k φ = rad/ mm şi k s = m/mm . Pentru diagrama v(φ) tehnica derivării grafice (fig.7.8.) se bazeaz ă pe impăr ţirea intervalului de variaţie pe abscisă (sau pe ordonată), intr-o serie o de subintervale egale ∆φ = 10 (sau ∆s), liniile de ordine desp ăr ţitoare inscriind pe curba s(φ) punctele A0, A1, A2, … A k (φk , sk ). Urmărind formula derivării numerice (7.7.), la derivarea grafic ă se aproximează că tangenta k in punctul secanta care trece prin punctele A k-1 şi Ak+1 . Se alege convenabil distanţa polar ă H=OP= … mm şi din polul P se duc razele paralele cu tangentele τk care determină la intersecţia cu axa ordonatelor segmentele
OAk ' = (v) şi care se trec pe liniile de ordine ale punctelor Ak . Curba
punctelor Ak ' este diagrama v(φ) la scara impusă k v (formulele 7.10.). Pentru acceleraţii se derivează , in acelaşi mod , curba vitezei numai că se recomandă să fie uniformizată printr-o nouă mediere a trei valori consecutive. In tabelul 7.1. se mai trec valorile m ăsurate ale derivatei s (din diagrama IVa tabelului 7.3.), iar in ultima coloan ă se face medierea a trei valori consecutive (formula 7.8.). Aceste valori se retrec in tabelul 7.3. unde se obţine diagrama corectată a vitezelor. Cu această diagramă se procedează in acelaşi fel pentru derivare. Cu altă distanţă polar ă H (sau chiar cu aceeaşi) se determină punctele Ak " ale curbei s(φ) pe liniile de ordine ale punctelor Ak ' (sau Ak ). Diagrama se obţine la scara impusă k s = k v / Hk φ . Pe liniile de ordine ale punctelor o
o
o
o
A0 ; A9 90 ; A18 180 ; A27 270 ; A36 360 se vor trece valorile şi abatertile vitezelor şi respectiv acceleraţiilor in cele două determinări : A).- numeric; B).- grafică, adică: ∆ = A-B. 7.- Sfaturi practice. Pentru a se prelua jocurile din cuplele cinematice, la obţinerea măsuratorilor consecutive, manivela trebuie s ă se rotească totdeauna in acelaşi sens. Dacă, din greşeală s-a depăşit poziţia de citire k, cama trebuie reintoarsă pe o distanţă mai mare de 20 şi apoi rotită in sensul normal la poziţia k. Se va observa precizia de experimentare mai ales in pozitiile de intoarcere ale tachetului. De asemenea, se va acorda atentie deosebită la executarea corectă şi ingrijită a diagramelor .
