Formulas Capítulo 6
Jean Mason, quien fue contratada por la empresa Former Industries para tratar de anticipar la actitud de los empleados en la próxima votación del sindicato, se encontró con ciertas dificultades después de reportar sus hallazgos a la administración. El estudio de Mason estaba basado en un muestreo estadístico y desde los primeros datos quedaba claro (o al menos así lo pensó Jean) que los empleados estaban a favor del establecimiento de una tienda sindical. El informe de Jean fue minimizado con el comentario: “Esto no sirve. Nadie puede hacer aseveraciones sobre la opinión de los empleados cuando sólo ha hablado con un poco más del 15% de ellos. Todo el mundo sabe que tienes que verificar el 50% para tener alguna idea del resultado de la votación del sindicato. No te contratamos para hacer adivinanzas.” ¿Se puede defender la posición de Jean? ■
R/
En los siguientes ejemplos se muestran las distribuciones de probabilidad para tres subgrupos naturales de una población mayor. ¿Para qué situación recomendaría usted un muestreo estratificado? ■
■
¿Producirá este esquema una muestra aleatoria? No, si ambos padres trabajan, nadie estará en casa entre el mediodía y las 17:00 horas, y alguno de los usuarios más importantes de las guarderías será excluido de la encuesta.
■
¿Qué sería lo mejor? ¿Por qué? R/Es mejor cada siete, porque cada cinco examina la misma posición en cada lote.
■
CATEGORIA
TIPO DE COMUNIDAD
Urbana
Sección central (población 100,000+)
Suburbana
Áreas distantes de ciudades o comunidades mas pequeñas Comunidades pequeñas
Rural
¿Es adecuado en este caso el muestreo aleatorio estratificado? R/El muestreo estratificado funcionará en este caso, debido a que parecen dos grupos homogéneos. ■
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un condominio en este desarrollo cueste al menos $65,000? a) P(z ≥ 0.71) = 0.5000 - 0.2611 = 0.2389. b) ¿La probabilidad de que el costo promedio de una muestra de dos condominios sea al menos de $65,000 es
mayor o menor que la probabilidad de que un condominio cueste eso? ¿En qué cantidad? b) P(z ≥ 1.01) = 0.5000 - 0.3438 = 0.1562.
■
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un conjunto dado de monitores dure al menos 13,000 horas?
P(z ≥ 0.08) = 0.5000 - 0.0319 = 0.4681. b) ¿12,630 horas, como máximo?
P(z ≥ 0.21) = 0.5000 - 0.0832 = 0.4168. ■
¿Cuál es la probabilidad de que la exploración continúe una vez explorados los nueve primeros barcos?
P(z ≥ 0.71) = 0.5000 - 0.2611 = 0.2389.
■
¿cuál es la probabilidad de que la donación de la reunión esté entre $110,000 y $120,000? P(- 1.78 < z < 1.64) = 0.4625 - 0.4495 = 0.9120.
■
= = = Condición a cumplir () =
=
√
=
√
() = = = . √ ()
= .
√
■
R= Medir a una población completa puede no ser factible debido a consideraciones de tiempo y de costo.
R/Una muestra produce sólo una estimación y está sujeta a errores de muestreo. ■
R / Un estimador es un estadístico de la muestra que se utiliza para estimar un parámetro de población.
R/Una estimación es un valor numérico específico para un estimador, que resulta de la muestra particular que se está observando. ■
R/Nos asegura que el estimador se vuelve más confiable con muestras más grandes. ■
X = 296.583 personas, s = 40.751 personas. ■
R/0.46 ■
a) Encuentre el error estándar de la media.
R= 0.181. b) Construya una estimación de intervalo alrededor de la media de la muestra, utilizando un error estándar de la
media. c) R= (6.019, 6.381).
■
a) Encuentre el error estándar de la media.
R= 0.0390 libras. b) ¿Cuál es el intervalo alrededor de la media de la muestra que incluirá la población de la media el 95.5% de las
veces? R= (14.122, 14.278) libras. ■
El número promedio de violaciones por hora fue 7. Si se sabe que la desviación estándar de la población es 0.9, estime un intervalo que tenga el 95.5% de probabilidad de contener a la media verdadera. R= 7 ± 0.208 automóviles. ■
Encuentre un intervalo en el cual Dee Marks pueda tener el 95.5% de certeza de que contendrá a la media real.
a)
R= 29.8 ± 1.786 estudiantes. ¿Usted cree que la señora Dee ha conseguido su objetivo?
b)
R= No, no podemos estar un 95.5% seguros que el tamaño de clase promedio en el condado de Foresight es menor que en el condado de Hindsight.
R/El alcance de una estimación entre los límites de confianza inferior y superior, incluyéndolos.
a) un alto nivel de confianza? R= Los altos niveles de confianza producen intervalos amplios, de manera que
sacrificamos la precisión b) un estrecho nivel de confianza?
Los intervalos estrechos tienen como resultado niveles de confianza bajos, de modo que sacrificamos confianza para ganar precisión. ■
R/No, está basado en los resultados esperados si el proceso de muestreo se repite muchas veces. ■
a) El cliente es el segundo en la fila y la estimación de Steve es 25 minutos. 25 ± 4.9 minutos. b) El cliente es el tercero y la estimación de Steve es 15 minutos. 15 ± 3.267 minutos. c) El cliente es el quinto de la fila, y la estimación de Steve es 38 minutos. 38 ± 1.96 minutos. d) El cliente es el primero de la fila, y la estimación de Steve es 20 minutos. ¿Qué diferencia existe entre estos intervalos y los intervalos de confianza? 20 ± 9.8 minutos. ■
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media.
R= 112.4 ± 1.697. b) Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la media.
R= 112.4 ± 2.234.
■
a) Calcule el error estándar estimado de la media.
R= 0.184 tipos por página. b) Calcule un intervalo de confianza del 90% para el número promedio verdadero de errores por página en su
trabajo. R= (4.00, 4.60) tipos por página. ■
R= 24.3 ± 0.935 minutos. ■
R=$250,000 ± $2,380. ■
a) Estime el error estándar de la proporción de asistentes al cine que verán la película por segunda vez. R=
0.0520. b) Construya un intervalo de confianza del 90% para esta proporción. R= 0.1818 ± 0.0855. ■
a) Estime el error estándar de la proporción de todos los tiros que Michael falla. R= 0.0238. b) Construya un intervalo de confianza del 98% para la proporción de todos los tiros de castigo que Michael falla.
R= 0.87 ± 0.0555. ■
Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporción de cuentas que están en posición excelente. R= 0.6 ± 0.076.
a)
Con base en el inciso anterior, ¿qué tipo de estimación de intervalo podría dar para el número absoluto de cuentas que cumplen con el requisito de excelencia, manteniendo el mismo nivel de confianza del 95%? R= 1,800 ± 228 cuentas.
b)
■
R= 0.6 ± 0.1497. ■
a) n = 15; 90%. R=1.761. b) n = 6; 95%. R= 2.571. c) n = 19; 99%. R= 2.878. d) n = 25; 98%. R= 2.492. e) n = 10; 99%. R= 3.250. f) n = 41; 90%. R= 1.684. ■
R= (68.58, 75.42).
■
R= 31 ± 5.58 accidentes. ■
R= n ≥ 1413. ■
¿Cuál sería el cambio en el tamaño de la muestra si pensara que cerca del 75% de las personas favorece la propuesta? ¿Cuál sería el cambio si sólo alrededor del 25% favorece la propuesta? R= n ≥ 385; n ≥ 289; n ≥ 289. ■
R= n ≥ 23 bolsas. ■
R= n ≥ 60 días ■
R= Una estimación de intervalo da una indicación de posible error a través de la extensión de su alcance y de su nivel de confianza asociado. Una estimación puntual es sólo un número y, en consecuencia, se necesita información adicional para determinar su confiabilidad. ■
R= n ≥ 9,604 calificaciones. ■
a) Estime la desviación estándar de la población.
0.3 mph. b) Estime el error estándar de la media para esta población.
0.0397 mph.
c) ¿Cuáles son los límites superior e inferior del intervalo de confianza para la velocidad media dado un nivel de
confianza deseado de 0.95? R/23.2 ± 0.0778 mph. ■
R/Es imparcial, consistente, eficiente y suficiente. ■
a) - 1.25
+ 1.25
78.88%. b) - 2.4
+ 2.4
98.36%. c) - 1.68
+ 1.68
90.70%. ■
R/n ≥ 543 acciones (utilizando p = 0.5; p = 0.85 da n ≥ 277). ■
Sí. El intervalo completo (0.5314, 0.8760) está arriba de 0.50, por lo que pueden tener más del 95% de confianza de salir a mano, al menos la mitad del tiempo. ■
R= 3.56% b) Suponiendo que la desviación estándar que estimó en el inciso a) es cercana a la desviación estándar real de la población, ¿qué tan grande deberá ser una muestra para estimar el cambio porcentual promedio actualizado en valor, dentro de 0.5% con el 99% de confianza? R= n ≥ 338.
■
2.88% ± 1.59%; como n < 30, debe suponerse la normalidad. ■
a) Calcule el error estándar de la media.
0.0195 manzanas. b) Establezca una estimación de intervalo alrededor de la media, utilizando una
3.2 ± 0.0195 manzanas.
■
a) Estime el reembolso medio de impuestos y la desviación estándar de la población. x = $425.39, s = $107.10. b) Utilizando las estimaciones hechas en el inciso anterior, construya un intervalo con el 95% de certeza de que la media de la población estará en él. $425.39 ± $14.84. ■
a) Encuentre el error estándar de la media.
0.0990 mg/l. b) Establezca el intervalo alrededor de 5.2, la media de la población, que incluirá a la media de la muestra con
una probabilidad del 68.3%. 5.2 ± 0.0990 mg/l. ■
0.3333 ± 0.0843 ■
a) Encuentre el error estándar de la media.
R= 0.0440 mph. b) ¿Cuál es el intervalo alrededor de la media de la muestra que contendría a la media de la población el 95.5%
de las veces? R= 66.3 ± 0.0880 mph c) ¿Puede el departamento de transporte de Carolina del Norte informar con veracidad que la velocidad
promedio real de sus carreteras es 67 millas por hora o menos con el 95.5% de confianza? R/Sí, puesto que el intervalo completo está abajo de 67 mph. ■
R/n ≥ 11 acres.
