Solución ejercicios FM Universidad Distrital "Francisco José de Caldas”, Facultad Tecnológica Tecnología Electrónica “A continuación se presenta la solución a las preguntas y ejercicios propuestos en los capítulos seis y siete del libro de comunicaciones de Tomasi, correspondientes al tema de Modulación PM y FM. Para la solución de los ejercicios se utilizo el software Mathcad Profesional 2001. ”
Jairo Vargas Caleño, Comunicaciones Análogas, Diciembre de 2003, Bogotá D.C., Colombia
CAPITULO 6: TRANSMISIÓN DE MODULACIÓN ANGULAR PREGUNTAS 1.
Defina modulación angular. Es el proceso mediante el cual adecuamos una señal para poder ser radiada modificando su frecuencia o fase, en esta modulación se reduce el ruido, mejora la fidelidad y se usa más eficientemente la potencia, sin embargo necesita de un ancho de banda más amplio y circuitos más complejos.
2.
Defina FM directo y FM indirecto. • •
3.
Defina PM directo y PM indirecto. • •
4.
La definición de PM directo es equivalente a FM indirecto. La definición de PM indirecto es equivalente a FM directo.
Defina desviación de frecuencia y desviación de fase. • •
5.
Variando la frecuencia de la portadora de amplitud constante directamente proporcional, a la amplitud de la señal modulante, con una relación igual a la frecuencia de la señal modulante. Variando la fase de la portadora de amplitud constante directamente proporcional, a la amplitud de la señal modulante, con una relación igual a la frecuencia de la señal modulante.
Desviación en frecuencia es el desplazamiento relativo de la frecuencia de la portadora en Hertz. Desviación en fase es el desplazamiento angular relativo (en radianes), de la portadora, con respecto a una fase de referencia.
Defina fase instantánea, desviación de fase instantánea, frecuencia instantánea y desviación de frecuencia instantánea. •
Fase instantánea es la fase precisa de la portadora, en un instante de tiempo. ωc.t+θ(t)
•
Desviación de fase instantánea es el cambio instantáneo en la fase de la portadora, en un instante de tiempo, e indica cuanto esta cambiando la fase de la portadora con respecto a su fase de referencia. Desviación de fase instantánea = θ(t) radianes
1
•
Frecuencia instantánea es la frecuencia precisa de la portadora en un instante de tiempo y se define como la primera derivada con respecto al tiempo de la fase instantánea. Frecuencia instantánea = fc + θ'(t) [Hertz] 2.π
•
Desviación de frecuencia instantánea es el cambio instantáneo en la frecuencia de la portadora y se define como la primera derivada con respecto al tiempo de la desviación de fase instantánea. Desviación de Frecuencia instantánea = θ'(t) [Hertz] 2.π
6.
Defina sensitividad de desviación para un modulador de frecuencia y para un modulador de fase. Sensibilidad de desviación son las funciones de transmisión de salida contra entrada para los moduladores.
7.
•
Para PM →
•
Para FM →
K = radianes voltio K1 = radianes / seg voltio
Describa la relación entre la frecuencia de la portadora instantánea y la señal modulante para FM. Si la frecuencia instantánea es directamente proporcional a la amplitud de la señal modulante se tiene una modulación en frecuencia.
8.
Describa la relación entre la fase de la portadora instantánea y la señal modulante para PM. Se tiene modulación en fase si la fase instantánea es directamente proporcional a la amplitud de la frecuencia modulante.
9.
Describa la relación entre desviación de frecuencia y la amplitud y frecuencia de la señal modulante.
Para FM la máxima desviación de frecuencia ocurre en los picos positivos y negativos de la señal modulante. Para PM la máxima desviación de frecuencia ocurre durante los cruces por cero de la señal modulante. Para ambos casos los cambios de frecuencia que ocurren son iguales a la frecuencia de la señal modulante. 10. Defina oscilación de la portadora. Es la desviación de frecuencia pico a pico en la portadora (∆f). 11. Defina índice de modulación para de FM y para PM. • •
Para PM el índice de modulación es proporcional a la amplitud de la señal modulante independientemente de su frecuencia. Para FM el índice de modulación es directamente proporcional a la amplitud de la señal modulante e inversamente proporcional a su frecuencia.
12. Describa la relación entre índice de modulación y la señal modulante, para FM y para PM. Cuando la frecuencia de la señal modulante cambia, el índice de modulación PM permanece constante, mientras que el índice de modulación FM incrementa conforme la frecuencia de la señal modulante disminuye y viceversa. 13. Defina porcentaje de modulación para las señales de modulación angular. Es la relación de la desviación de frecuencia producida a la máxima desviación de frecuencia permitida por la ley expresada en forma porcentual.
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% modulación = ∆f (actual) * 100% ∆f (máximo) 14. Describa la diferencia entre un modulador en frecuencia directo y un modulador en fase directo. Un modulador de fase directo es un circuito en el cual la portadora varia de tal manera que su fase instantánea es proporcional a la señal modulante y un modulador de frecuencia directo es un circuito en el cual la portadora varia de tal manera que su fase instantánea es proporcional a la integral de la señal modulante. 15. Cómo puede convertirse un modulador en frecuencia a un modulador en fase; un modulador en fase a un modulador en frecuencia? • •
Integramos la señal antes de modularla de forma PM. Derivamos la señal antes de modularla de forma FM.
16. Cuántos conjuntos de bandas laterales se producen cuando una portadora se modula, en frecuencia, por una sola frecuencia de entrada? En un modulador angular una señal modulante de frecuencia sencilla produce un numero infinito de pares de frecuencias laterales y por lo tanto tiene un ancho de banda infinito. 17. Cuáles son los requerimientos para una frecuencia lateral que deben considerarse como significativas? Una frecuencia lateral no se considera importante, a menos que tenga una amplitud igual o mayor al 1% de la amplitud de la portadora no modulada. 18. Defina índice de modulación bajo, mediano y alto. Los índices de modulación bajo, mediano y alto son clasificaciones que se les dan a las formas de ondas de modulación angular. • El índice de modulación bajo es el que presenta una desviación de fase pico (índice de modulación), menos de 1 rad. • El índice de modulación mediano es que presenta una desviación de fase pico entre 1 y 10 rad. • El índice de modulación alto es el que presenta una desviación de fase mayor a 10 rad. 19. Describa el significado de la tabla de BESSEL Muestra las magnitudes de los coeficientes de las funciones Bessel de primera clase para varios valores de induce de modulación. Un índice de modulación de cero produce cero frecuencias laterales y entre más grande sea el índice de modulación, mayor es las cantidad de conjuntos de frecuencias laterales producidas. 20. Mencione la regla general de CARSON para determinar el ancho de banda, para una onda de modulación angular. La regla de Carson aproxima el ancho de banda de una onda de modulación angular como el doble de la suma de la desviación de frecuencia pico y la máxima frecuencia de la señal modulante. B=2*(∆f+fmod (max)). Donde:
∆f = Máxima desviación de frecuencia Fmod = Frecuencia más alta modulante de la señal.
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21. Defina relación de desviación Es el índice de modulación del peor caso y es igual a la máxima desviación de frecuencia dividida por la máxima frecuencia de la señal modulante. DR = ∆f(max) / fm(max) DR = Relación de desviación (sin unidad) ∆f(max) = Máxima de desviación de frecuencia (hertz) fm(max) =Máxima frecuencia de la señal modulante (hertz) 22. Describa la relación entre la potencia de la portadora no modulada y la potencia en la onda modulada para FM. La potencia total de una onda de modulación angular es igual a la potencia de la portadora no modulada (es decir, las bandas laterales no agregan potencia a la señal modulada compuesta). Por lo tanto, con la modulación angular, la potencia que esta originalmente en la portadora sin modular es redistribuida entre el conducto y sus bandas laterales 23. Escriba la importancia del triangulo de ruido de FM. Cuando el ruido térmico con una densidad espectral constante se agrega a una señal de FM, se produce una desviación de frecuencia no deseada de la portadora. La magnitud de esta desviación de frecuencia no deseada depende de la amplitud relativa del ruido con respecto a la portadora. El voltaje de ruido en la salida de un demodulador de FM se incrementa en forma lineal con la frecuencia. Esto es comúnmente llamado el triángulo de ruido de FM. 24. ¿Qué efecto tiene la limitación sobre la forma de onda de FM compuesta ?. Producen la eliminación de las variaciones de amplitud no deseadas. 25. Defina preénfasis y deénfasis. Preénfasis: Atenuación Deénfasis: Amplificación Deénfasis es el reciproco de preénfasis. 26. Describa una red de preénfasis; una red de deénfasis. Una red de preénfasis es simplemente un filtro de pasa-altas (es decir, un diferenciador). Una red de deénfasis es un filtro de pasa-bajas (es decir, un integrador). 27. Describa el funcionamiento básico de un generador de FM de un diodo varactor.
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R1 y R2 desarrollan un voltaje de cd que invierte el diodo varactor polarizado VD1 y determinan la frecuencia de reposo del oscilador. El voltaje de la señal modulante externa agrega y resta del cd polarizado, lo cual cambia la capacitancia del diodo y por lo tanto la frecuencia de oscilación. Los cambios positivos de la señal modulante incrementan la polarización inversa sobre VD1, la cual disminuye su capacitancia e incrementa la frecuencia de oscilación. Al contrario los cambios de la señal modulante disminuyen la frecuencia de la oscilación 28. Describa el funcionamiento básico de un modulador de FM de reactancia. El FET que posee el circuito observa en su compuesta un circuito (previo de reactancia variable), la cual causa un cambio correspondiente en la frecuencia resonante del circuito tanque del oscilador. 29. Describa el funcionamiento básico de un modulador de FM de circuito integrado lineal.
La frecuencia central del VCO se determina por un resistor externo y por un capacitor (R y C). La señal modulante de entrada desvía la frecuencia del VCO, la cual produce una forma de onda de FM de salida de información. El multiplicador analógico y el formador seno convierten la señal de salida del VCO de onda cuadrada a una onda senoidal, y el amplificador de ganancia unitaria proporciona una salida con búfer. La frecuencia de salida del modulador es: fsalida = (fc + ∆f)N en donde la desviación de frecuencia pico (∆f) es igual a la amplitud pico de la señal modulante multiplicada por la sensitividad de desviación del VCO. 30. Dibuje el diagrama a bloques para un transmisor de FM directo de Crosby, y describa su funcionamiento. El modulador de frecuencia puede ser un modulador de reactancia o un oscilador de voltaje controlado. La frecuencia de descanso de la portadora es la frecuencia de salida no modulada del oscilador principal (fc). Cuando la frecuencia de una portadora de frecuencia modulada se multiplica, y sus desviaciones de frecuencia y de fase se multiplican también La proporción en la cual la potadora se desvía (es decir, la frecuencia de la señal modulante, fm) no se afecta por el proceso de multiplicación.
5
31. ¿Cuál es el propósito de un circuito de AFC? ¿Por qué se requiere uno para el transmisor de Crosby?. El propósito del circuito AFC es lograr una estabilidad casi de cristal de la frecuencia de la portadora de transmisión sin utilizar un cristal en el oscilador de la portadora. El transmisor de Crosby requiere uno de estos puesto que el voltaje de corrección de cd se agrega a la señal modulante para ajustar automáticamente la frecuencia central del oscilador principal, para compensar el arrastre de baja frecuencia. 32. Dibuje el diagrama a bloques, para un transmisor de FM de circuito de fase cerrada, y describa su funcionamiento.
Este transmisor utiliza un circuito de fase cerrada para lograr una estabilidad de cristal de un oscilador maestro VCO y, al mismo tiempo, generar una señal de salida de FM. La frecuencia de salida de VCO se divide en N y se retroalimenta al comparador de fase PLL, en donde se compara a una frecuencia de cristal de referencia estable. El comparador de fase genera un voltaje de coerción que es proporcional a la diferencia de las dos frecuencias. El voltaje de corrección se agrega a la señal modulante y se aplica a la entrada del VCO. El voltaje de corrección ajusta la señal del VCO a su valor correcto. Nuevamente el filtro pasa-bajas previene los cambios en la frecuencia de salida del VCO debido a que la señal modulante no se convierte a voltaje, y se retroalimenta al VCO y borra la modulación. 33. Dibuje el diagrama a bloques para un transmisor de FM indirecto de Armstrong, y describa su funcionamiento. Una portadora de frecuencia relativamente baja (fc) se cambia de fase 90° (fc´) y se alimenta a un modulador balanceado, en donde se mezcla con la señal modulante de entrada (fm). La salida del modulador balanceado es una onda portadora de doble banda lateral con portadora suprimida que se combina, con la portadora original en una red de combinación, para producir una forma de onda modulada en fase con índice bajo.
6
34. Compare FM y PM. Desde un punto de vista puramente teórico, la diferencia entre FM y PM es muy sencilla: El índice de modulación para FM se define de forma diferente que para PM. Con PM el índice de modulación es directamente proporcional a la amplitud de la señal modulante independiente de su frecuencia. Con FM, el índice de modulación es directamente proporcional a la amplitud de la señal modulante e inversamente proporcional a su frecuencia.
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CAPITULO 6: TRANSMISIÓN DE MODULACIÓN ANGULAR PROBLEMAS 6.1. Si un modulador de frecuencia produce 5kHz de desviación de frecuencia, para una señal modulante de 10 V, determine la sencitividad de desviación (K). ¿Cuante desviación de frecuencia se produce para una señal modulante de 2 V? 3
Vm := 10 [V]
[Hz]
Af := 5 ⋅ 10
Sabiendo que Af=K*Vm, se tiene:
Ahora con Vm= 2 V y K= 500
Af
K :=
K = 500
Vm
3
Af := K⋅ Vm
Af = 5 × 10
[Hz]
6.3. Determine: a) la desviación de frecuencia pico, b) la oscilación de la portadora y c) el índice de modulación para un modulador de FM con sencitividad de desviación K1=4 kHz/V y una señal modulante Vm(t)=10.Sen(2.ii.2000.t). ¿Cúal es la desviación de frecuencia pico producida si la señal modulante se dupli cara en amplitud? 3
K := 4 ⋅ 10
[Hz/V]
4
Af := K⋅ Vm
3
Vm := 10 [V]
[Hz]
fm := 2 ⋅ 10
[Hz] Desviación de frecuencia pico
Af = 4 × 10
El índice de modulación es:
m :=
Af
Relación sin unidad
m = 20
fm
Vpp := 20 4
Afc := K⋅ Vpp
Afc = 8 × 10
Si se duplica Vm
[V]
[Hz] Oscilación de la portadora
V2m := 2 ⋅ Vm
[V]
V2m = 20 4
Af := K⋅ V2m
Af = 8 × 10
[Hz] Desviación de frecuencia pico
6.5. Determine el porcentaje de modulación para una estación de radiodifusión de televisión, con una desviación de frecuencia máxima Af = 50kHz, cuando la señal modulante produce 40 kHz de desviación de frecuencia en la antena. ¿Cuanta desviación se requiere para alcanzar 100% modulación de la portadora? 3
Afactual := 40⋅ 10
3
[Hz]
Se tiene entonces:
Afmax := 50⋅ 10 %P :=
Afactual Afmax
⋅ 100
%P = 80
Para obtener el 100% de la modulación: Afactual := %P⋅
Afmax 100
[Hz]
[%] Porcentaje de modulación
%P := 100 4
Afactual = 5 × 10
[Hz]
Afactual = Afmax . 8
6.7. Para un modulador de FM con un índice de modulación m=2, la señal modulante Vm(t)=Vm.Sen(2.ii.2000.t) y una portadora no modulada Vc(t)=8.Sen(2.ii.800k.t), determine: a) El número de conjuntos de bandas laterales significativas, b) Sus amplitudes, c) Dibuje el espectro de frecuencia mostrando las amplitudes relativas de las frecuencias laterales, d) El ancho de banda y e) El ancho de banda si la amplitud de la señal modulante se incrementa por un factor de 2.5 m := 2
Vc := 8
De la tabla un m=2 rinde una componente de portadora reducida y cuatro conjuntos de frecuencias laterales significativas J0 := 0.22⋅ Vc
J0 = 1.76
[V]
J1 := 0.58⋅ Vc
J1 = 4.64
[V]
J2 := 0.35⋅ Vc
J2 = 2.8
[V]
J3 := 0.13⋅ Vc
J3 = 1.04
[V]
J4 = 0.24
[V]
J4 := 0.03⋅ Vc
4,64V
2,68V
2,68V 1,76V
1,04V
1,04V
0,24V
3
Sabiendo:
4,64V
el ancho de banda es
kHz 796k
[Hz]
fm := 2 ⋅ 10
0,24V 797k
798k
799k
800k
801k
802k
803k
804k
n := 4 4
B = 1.6 × 10
B := 2 ⋅ ( n ⋅ fm)
Incrementado Vm una factor de 2.5 se tiene
[Hz] V1m = 20 [V]
V1m := 2.5⋅ Vc
6.9. Para una señal de entrada dada, un transmisor de banda de radiodifusión de FM tiene una desviación de frecuencia Af= 20 kHz. Determine la desviación de frecuencia si la amplitud de la señal modulante se incrementa por un factor de 2.5 3
Af := 20⋅ 10
[Hz]
Sabiendo que Af=K*Vm, si se incrementa en un factor de 2.5 Vm se tiene un incremento de igual proporción en Af. 4 A1f := 2.5⋅ Af A1f = 5 × 10 [Hz]
6.11. Determine la relación de desviación (DR) y ancho de banda (B), en el peor de los casos, para una señal de FM con una desviación de frecuencia máxima Af=25kHz y una máxima señal modulante fm(max)=12.5 kHz 3
Af := 25⋅ 10
3
[Hz]
Se sabe que
Afmmax := 12.5⋅ 10 DR :=
Af Afmmax
[Hz] m :=
DR = 2
Af Afmmax
m=2
Relación sin unidad
De la tabla un m=2 rinde una componente de portadora reducida y cuatro conjuntos de frecuencias laterales significativas Sabiendo:
3
fm := 12.5⋅ 10 [Hz]
el ancho de banda es
B := 2 ⋅ ( n ⋅ fm)
n := 4 5
B = 1 × 10
[Hz]
9
6.13. Para un modulador de FM con una amplitud de portadora no modulada Vc=20 V, un índice de modulación m=1 y un resistor de carga RL= 10 ohm's, determine la potencia en la portadora modulada y cada
De la tabla un m=1 rinde una componente de portadora reducida y tres conjuntos de frecuencias laterales significativas Sabiendo:
n := 3
[V]
Vc := 20
RL := 10
Ohm's
2
Pc :=
Vc
[W]
Pc = 20
2 ⋅ RL
En la portadora
J0 := 0.77⋅ Vc
J0 = 15.4
[V]
P0 := 2
J1 := 0.44⋅ Vc
J1 = 8.8
[V]
P1 := 2
J2 := 0.11⋅ Vc
J2 = 2.2
[V]
J3 := 0.02⋅ Vc
J3 = 0.4
[V]
Se tiene finalmente
P2 := 2
P3 := 2
( J0 )
2
P0 = 23.716 [W]
2 ⋅ RL ( J1 )
2
2 ⋅ RL ( J2 )
P1 = 7.744
[W]
Primer conjunto bandas later
P2 = 0.484
[W]
Primer conjunto bandas later
P3 = 0.016
[W]
Primer conjunto bandas later
2
2 ⋅ RL ( J3 )
En la portadora
2
2 ⋅ RL
Pt := P0 + P1 + P2 + P3
Pt = 31.96
[W]
23,76V
7,74V 0,484V
0,484V 0,016V
0,016V Frecuencia
6.15. Determine la desviación de fase pico producida por una banda de 5 kHz de ruido aleatorio con un voltaje pico Vn= 0.08 V y una portadora Vc(t)=1,5.Sen(2.ii.40MHz.t) Vn := 0.08
3
[V]
fn := 5 ⋅ 10
[Hz]
La frecuencia de interferencia es: Desviación de fase
AO :=
Vn Vc
fi := fc − fn AO = 0.053
La frecuencia pico debida a la señal de interferencia SN :=
Vc Vn
6
Vc := 1.5 [V]
fc := 40⋅ 10 7
fi = 3.999 × 10
[Hz]
[Hz]
[rad] Afpico :=
Vn Vc
⋅ fi
6
Afpico = 2.133 × 10
[Hz]
SN = 18.75
10
6.17. Para un transmisor de FM indirecto de Armstrong, con los siguientes parámetros determine: a) Índice de modulación a la salida de la red de combinada y del amplificador de potencia b) Desviación de frecuencia en los dos mismos puntos c) Frecuencia de la portadora de transmisión Oscilador de la portadora : 210 kHz Oscilador de referencia de cristal : 10.2 Mhz Voltaje de la banda lateral Vm=0.018 V Voltaje de la portadora a la entrada del combinador Vc=5 V Primer multiplicador : X40 Segundo multiplicador: X50 Frecuencia de la señal modulante fm= 2kHz Vm Vc := 5 [V] Vm := 0.018 [V] Vusf := −3 Vusf = 9 × 10 2
[V]
La desviación de fase pico es el índice de modulación y es: O := atan
Vm
Vc
−3
[rad]
O = 3.6 × 10
La desviación de frecuencia para fm es Afm := m⋅ fm
m := O 3
fm := 2 ⋅ 10
[Hz]
3
fc := 210⋅ 10
[Hz]
[Hz]
Afm = 7.2
Con el primer multplicador se tiene 6
f1 := 40⋅ fc
f1 = 8.4 × 10
m1 := 40⋅ m
m1 = 0.144
Af1 := 40⋅ Afm
[Hz]
[Hz]
Af1 = 287.999
Con el segundo multplicador se tiene en la salida 6
f2 := flo2 − f1
f2 = 1.8 × 10
m2 := m1
m2 = 0.144
Af2 := Af1
Af2 = 287.999
6
flo2 := 10.2⋅ 10
[Hz]
[Hz]
[Hz]
CAPITULO 7: RECEPTORES Y SISTEMA DE MODULACIÓN DE ÁNGULO PROBLEMAS
7.2. Para un receptor de FM con un ancho de banda de 100 kHz, una figura de ruido NF= 6 dB y una temperatura de ruido de entrada T = 200°C, determine la mínima potencia de la portadora de recepción para lograr una postdetección de S/N= 40 dB. Utilice el diagrama a bloques del receptor y la curva del umbral de FM mostrada.
11
Como minimo se debe tener 40dB - 17dB = 23dB para una figura de ruido de 6dB la relación S / N a la entrada debe ser por lo menos 23dB + 6dB = 29dB La potencia de ruido de entrada del receptor es − 23
3
T := 200
K := 1.38⋅ 10
B := 100⋅ 10
NdBm := 10⋅ log
K⋅ T⋅ B 0.001
NdBm = −125.591
La mínima potencia de la señal del receptor para S / N = 29 dB es S = -125. 591 + 29dB = -96.59 dB 7.3. Para un receptor de FM sintonizado a 92.75 MHz utilizando una inyección lateral alta y una primera IF de 10.7 MHz, determine la frecuencia imágen y la frecuencia del oscilador local. 6
Frf := 92.75 ⋅ 10
Fima := Frf + 2 ⋅ Fif
Flo := Fima − Fif
6
[Hz]
[Hz]
Fif := 10.7⋅ 10 8
Fima = 1.141 × 10
8
Flo = 1.034 × 10
[Hz]
Como Fima = Flo + Fif
[Hz]
7.4. Para un receptor de FM con una desviación de frecuencia de entrada Af= 40 kHz y relación de transferencia K= 0.01 V / kHz, determine Vsalida. 3
[Hz]
Af := 40⋅ 10
Vsal := Af ⋅
k 1000
[V / kHz]
k := 0.01
[V]
Vsal = 0.4
7.5. Para el detector de pendiente balanceado mostrado, una frecuencia central fc= 20.4 MHz y una máxima desviación de frecuencia de entrada Af= 50kHz, determine las frecuencias superiores en inferiores de punto de corte para el circuito sintonizado 6
Fc := 20.4⋅ 10
Fa := 1.33⋅ Af Fus := Fc + Fa Fls := Fc − Fa
[Hz]
3
[Hz]
Af := 50⋅ 10 4
Fa = 6.65 × 10
[Hz] pico 7
[Hz]
Fus = 2.047 × 10 7
Fls = 2.033 × 10
[Hz]
Frecuencia superior Frecuencia inferior
12
7.7. Para el detector de relación mostrado, Vc1= 1.2 V y Vc2= 0.8 V, determine Vsalida. Vc1 := 1.2
[V]
Vsal := Vc1 − Vc2
Vc2 := 0.8
[V]
Vsal = 0.4
[V]
7.9. De la figura 7.11 determine el factor de mejora de FM aproximado para un S/N de entrada = 10.5 dB y m=1. De la gráfica se tiene que para S/N=10.5 dB de entrada hay 12 dB de salida. Esto resulta 1.5 dB de mejora FM
BIBLIOGRAFIA Tomasi, Wayne, SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES, 4ª Edición, Editorial Pearson, México , 1998, Pág. 229 - 317.
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