Cap. 8 Fuerzas Internas (Ejercicios)

Cap. 8 Fuerzas Internas

Ejemplo 8.1:

Pág. 8-1

Trazar los diagramas de fuerzas internas (DFC y DMF) de la viga mostrada. 30 ton

q = 10 ton/m C

A

D B 40 ton-m 2m

Solución:

4m

2m

q = 10 ton/m

30 ton C A

D B

40 ton-m

Ay

Dy 2m

(Es fácil ver que Ax = 0 )

Cálculo de reacciones:

∑M = 0: ∑F = 0:

4m

2m

− 30(2) − 40 + (10)(4)(6) − D y (8) = 0

A

− Ay + 30 − 10 (4) + D y = 0

y

→

→

D y = 17,5 ton

Ay = 7,5 ton

x ∈ [0,2[

Tramo AB:

V = −7,5 ton (constante para todo el tramo)

M

A x

M = − 7,5 x

V

x=0 → M =0 x = 2 → M = −15 ton − m

Ay = 7,5 ton

x ∈ ] 2,4 [

Tramo BC:

V = −7,5 + 30 = 22,5 ton 30 ton

M = −7,5 x + 30 ( x − 2) x = 2 → M = −15 ton − m M = 22,5 x − 60 x = 4 → M = 30 ton − m

M

A

B 2m

Ay = 7,5 ton

(contante)

V x

x ∈ [0,4[

Tramo CD:

Tomando la coordenada x de derecha a izquierda (!!!) como se muestra: V = 10 x − 17,5

q = 10 ton/m M D V

x Dy = 17,5 ton

x2 M = −10 + 17,5 x 2 M = −5 x 2 + 17,5

Pontificia Universidad Católica del Perú

x = 0 → V = −17,5 ton x = 4 → V = 22,5 ton

x=0 → M =0 x = 4 → M = −10 ton − m

Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño


Pág. 8-2

Diagramas: 30 ton

q = 10 ton/m C

A

D B 40 ton-m

Ay = 7,5 ton 2m

22,5

22,5

V [ton]

Dy = 17,5 ton

4m

2m

0

0

- 7,5 -17,5 2,25 m

1,75 m

30 15,31

M [ton-m]

0

0 -10 -15




Ejemplo 8.2:

Pág. 8-3

Hallar las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga compuesta mostrada. w = 2 ton/m 5 ton-m E

A

B

D

C

2m

4m

2m

3m

Solución: Para hallar las reacciones haremos un corte a la izquierda de la articulación C.

∑M

w = 2 ton/m A

C

B By

2m

∑F

= 0:

= 0:

y

VC

4m

C

→ B y = 9 ton

B y (4) − w (6) (3) = 0

B y − VC − w (6) = 0

→

VC = −3 ton

Para todo el sistema:

∑M ∑F

y

= 0:

E

= 0:

→

B y + E y = w (6)

M E = 10 ton - m

E y = 2 (6) − 9

M A

M =−

V

Tramo BC:

x=0 → M =0 x = 2 → M = −4 ton − m

w x2 = −x2 2

x ∈ ] 2, 6 [ m x = 2 → V = 5 ton

V = By − w x = 9 − 2 x

w=2

x = 6 → V = −3 ton

M B 2m

By =9

V

M = B y ( x − 2) − w

x

M = 9 ( x − 2) − x 2 Tramo CD:

x ∈ ] 6, 8 [ m

B By

x = 2 → M = −4 ton − m x = 6 → M = 0 (ok!)

x = 6 → V = − 3 ton x = 8 → V = −3

M = B y ( x − 2) − w (6)( x − 3)

C 4m x

x 2

V = 9 − 12 = −3 M

2m

2

V = B y − w (6)

w = 2 ton/m A

E y = 3 ton

x=0 → V =0 x = 2 → V = −4 ton

V = −2 x

w=2

A

→

x ∈ [0, 2[ m

Tramo AB:

x

→

M E = w (6) (8) − 5 − B y (9)

V


M = 9( x − 2) − 12 ( x − 3) x=6 → M =0 M = −3 x − 18 x = 8 → M = −6 ton − m



Pág. 8-4

x ∈ [0, 3 [ m

Tramo DE:

V = −E y M

V

V = −3 ton (constante para este tramo)

E x

ME

Ey

M = Ey x − M E x = 0 → M = −10 ton − m x = 3 → M = −1 ton − m

M = 3 x − 10

Diagramas: w = 2 ton/m

5 ton-m E

A

B 2m

D

C By

4m

ME 3m

2m

Ey

5 V (+)

0

0

- 3 ton

-3 -4 2,5 m M (+)

1m 2,25

0

-1

0

-4

-6

- 10 ton-m




Ejemplo 8.3:

Pág. 8-5

Hallar las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga compuesta mostrada. 3 kN 5 kN/m 3 kN/m

2 kN-m A

E B

6 kN-m C 2m

2m

2m

Solución:

D 2m

Cálculo de reacciones:

3 kN 5 kN/m

3 kN/m A

E

B By

2m

∑M = 0: ∑F = 0:

6 kN-m C

2m

D

2m

By = 15,33 kN

→

By + E y = 3 (2) + 5 (4) + 3

y

E y = 13,67 kN

→

− 2 + 3 (2) (1) + 6 − 5 (4) (4) − 3 (4) + E y (6) = 0

B

Ey

2m

x ∈ [0, 2 [ m

Tramo AB:

x=0 → V =0 x = 2 → V = −6 ton

V = −3 x

3 kN/m 2 kN-m

M

A

M = 2−

V

x

x ∈ ] 2, 4 [ m

Tramo BC:

V = 15,33 − 3 (2) = 9,33

3 kN/m 2 kN-m B

2m

x = 2 → M = − 4 kN − m

M = 9,33 x − 22,66

V x

(constante)

M = 15,33 ( x − 2) − 2 (3) ( x − 1) + 2

M

A

Tramo CD:

x = 0 → M = 2 kN − m x = 2 → M = −4

3 x2 = 2 − 1,5 x 2 2

15,33 kN

x ∈ ] 4, 6 [ m

x = 4 → M = 14,66 5 kN/m

3 kN/m 2 kN-m M A B 2m

6 kN-m

15,33 kN

2m

C

V

x

V = − 3 (2) + 15,33 − 5 ( x − 4) = − 5 x + 29,33

x=4 → V

= 9,33 kN

x = 6 → V = − 0,67

M = 2 − 2 (3) ( x − 1) + 15,33 ( x − 2) − 6 − 5 ( x − 4) 2 / 2 M = − 2,5 x 2 + 29,33 x − 68,66


x = 4 → M = 8,66 kN − m x = 6 → M = 17,32



Pág. 8-6

Otra forma de analizar el tramo CD es analizando el tramo a la derecha del corte: V = 13,67 − 3 − 5 x

3 kN

x = 2 → V = 0,67 kN x = 4 → V = − 9,33

5 kN/m

V = 10,67 − 5 x M

E

D

M = 13,67 x − 3 ( x − 2) − 5 x 2 / 2

2m

V

x

13,67 kN

x = 2 → M = 17,34 kN − m x = 4 → M = 8,68

M = − 2,5 x 2 + 10,67 x + 6

x ∈ [0, 2 [ m

Tramo DE: 5 kN/m

M

M = 13,67 x − 5 x 2 / 2

E V

x = 0 → V = −13,67 kN x = 2 → V = − 3,67

V = −13,67 + 5 x

x 13,67 kN

x=0 → M =0 x = 2 → M = 17,34 kN − m

M = 13,67 x − 2,5 x 2

Diagramas:

3 kN 5 kN/m 3 kN/m 2 kN-m A

E

B 2m

By

6 kN-m 2m

C

D

2m

Ey

9,33

9,33

V [ton]

2m

0

-0,67

0

-3,67 1,87 m

-6

17,36

17,34

-13,67

14,66

8,66

M [ton-m] 2 0

0

-4




Ejemplo 8.4:

Pág. 8-7

En la figura se muestre un eje giratorio (el apoyo A soporta carga transversal mientras que el apoyo B soporta carga transversal y axial) sometido a un sistema de cargas. Se pide utilizar el método analítico para graficar los diagramas de fuerzas y momentos internos del eje. q = 1,5 kgf/cm 100 kgf

4500 kgf-cm C

O B

A 30 cm

Solución:

30 cm

120 cm

Cálculo de las reacciones. q = 1,5 kgf/cm 100 kgf

4500 kgf-cm Ax C

O

B

A

By

Ay 30 cm

∑F = 0: ∑M = 0: ∑F = 0:

Ax = 0

x

100 (30) − 1,5(120) (60) + B y (120) − 4500 = 0

A

− 100 + Ay − 1,5 (120) + B y = 0

y

Tramo OA: M

M = − 100 x

O

Tramo AB: q = 1,5 kgf/cm M

177,5 kgf

x=0 → M =0 x = 30 → M = − 3000 kgf − cm

V = −100 + 177,5 − 1,5 ( x − 30) x = 30 → V = 77,5 kgf V = −1,5 x + 122,5 x = 150 → V = −102,5

V

M = − 0,75 x 2 + 122,5 x − 6000

x

M = − 0,75 x 2 + 122,5 x − 6000 Tramo CB: V

4500 kgf-cm

M

Ay = 177,5 kgf

M = − 100 x + 177,5 ( x − 30) − 1,5 ( x − 30) 2 / 2

A 30 cm

B y = 102,5 kgf

V

x

O

→

→

V = −100 kgf (constante)

100 kgf

100 kgf

30 cm

120 cm

x = 30 → M = −3000 kgf − cm x = 150 → M = −4500

V =0

M = 4500 kgf − cm x




Pág. 8-8

Ahora podemos dibujar las funciones V(x) y M(x) deducidas para cada tramo: q = 1,5 kgf/cm 100 kgf

4500 kgf-cm Ax

O

C B

A

102,5 kgf

177,5 kgf 30 cm

V [kgf]

30 cm

120 cm

77,5 0

0

-100

68,33 cm

51,67 cm

M [kgf-cm]

-102,5

0

0 -997,79 -3000 -4500




Ejemplo 8.5:

Pág. 8-9

Dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga simple mostrada. 30 ton q = 10 ton/m C A

D B 40 ton-m 2m

4m

2m

Solución: Anteriormente ya hemos resuelto las reacciones en los apoyos, de tal manera que podemos ya utilizar las relaciones diferenciales entre cargas aplicadas, fuerzas cortantes y momentos flectores para dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. 30 ton q = 10 ton/m C A

D B 40 ton-m

Ay = 7,5 ton 2m

Dy = 17,5 ton

4m

2m 45

22,5

22,5

V [ton]

25,3125 15

15,3125

0

0

- 7,5 -17,5 2,25 m

1,75 m

30 15,3

M [ton-m]

0

0 -10 -15




Ejemplo 8.6:

Pág. 8-10

Calcular las reacciones y dibujar los diagramas acotados de fuerza cortante (DFC) y momento flector (DMF). 4 ton

w = 4 ton/m

2 ton 8 ton-m

C A

D

B 2m

4m

4m

Solución:

G

2m

4m

4 ton

2 ton 8 ton-m

C A

B

Tramo FH:

∑M

2 ton H

∑F

y

4m

F

C

Fy = −4 ton

= 0 : C y (4) − 4(4)(2) − 4(6) − 8 − Fy (10) = 0

Cy 2m

→

F

D 4m

Fy + G y = 2

C y (4) − 16(2) − 4(6) − 8 − (−4)(10) = 0

8 ton-m B

E 2m

Fy 2m

∑F

y

= 0:

∑M = 0: ∑F = 0:

w = 4 ton/m

A

MA A

y

B 4m

C y = 6 ton B y − 4(4) + C y − 4 − Fy = 0 B y − 4(4) + 6 − 4 − (−4) = 0

→ Tramo AB:

4m

G y = 6 ton

= 0:

B

2m

G y (2) − 2(6) = 0

4 ton

w = 4 ton/m

2m

2m

= 0:

∑M

Tramo BF:

By

H

F Gy

2m

4m

G Gy

E

Cy 4m

2m

G D

Ay

Ay

2m

DCL del sistema completo:

MA

Fy

H

F

2m

w = 4 ton/m

F

E

B y = 10 ton

M A + B y (4) + 4(4)(2) = 0 Ay − 4(4) − B y = 0

→

M A = −72 ton - m

→

Ay = 26 ton

By

Comprobamos para todo el sistema:

∑F = 0: ∑M = 0: y

H

Ay − 4(8) + C y − 4 + G y − 2 = 0

ok !

G y (4) + 8 − 4(10) + C y (12) − 8(4)16 + Ay (20) + M A = 0 6(4) + 8 − 4(10) + 6(12) − 8(4)16 + 26(20) − 72 = 0


ok!



Pág. 8-11

Ahora podemos elaborar las gráficas de fuerzas internas utilizando el método de las áreas de momentos: 4 ton

w = 4 ton/m

2 ton 8 ton-m

C

72 ton-m A

G D

B

E

H

F

6 ton

26 ton

2m

4m

4m

6 ton 2m

2m

-8

-8

4m

2m

26 84,5

V [ton] 8 - 4,5

-8 2

2 0

0 -6

M [ton-m]

-4

12,5 8

0

-4

0

8

8 0

0

0 -8

- 72




Ejemplo 8.7:

Pág. 8-12

Calcular las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas de la viga compuesta mostrada. 50 kgf

w = 30 kgf/m

w = 20 kgf/m D

C

A

F E

B 2m

3m

3m

2,5 m

5m

Reacciones: w = 30 kgf/m

50 kgf

w = 20 kgf/m C

A

D

F E

B Ay

3m

Tramo AC:

∑M

w = 30 kgf/m

Dy

2m

3m

C

= 0:

B Ay

3m

3m

Cy

Ay = 67,5 kgf

∑F

y

Ay − C y − 30 (3) = 0 →

D

F Dy

2m

2,5 m

5m

= 0:

→

E Cy

F

C y = −22,5 kgf

20(5)(5) =0 2 D y = 125,17 kgf

C y (9,5) − 50(9,5) + D y (7,5) −

w = 20 kgf/m

C

= 0:

∑M

Tramo CF: 50 kgf

Fy

5m

Ay (6) − 30(3)(4,5) = 0

C

A

2,5 m

Fy

∑F

y

= 0: →

C y − 50 + D y − 20 (5) + Fy = 0

Fy = 47,33 kgf

Comprobamos para todo el sistema:

∑F

y

∑M

= 0:

Ay − 30(3) − 50 + D y − 20(5) + Fy = 0 67,5 − 30(3) − 50 + 125,17 − 20(5) + 47,33 = 0

A

= 0:

ok !

30(3)(1,5) + 50(6) − D y (8) + 20(5)(13) − Fy (15,5) = 0 30(3)(1,5) + 50(6) − (125,17)(8) + 20(5)(13) − (47,33)(15,5) = 0


ok!



Pág. 8-13

Ahora graficaremos los diagramas de fuerzas y momentos internos utilizando el método de las áreas de momentos: w = 30 kgf/m

50 kgf

w = 20 kgf/m C

A

D

B Ay=67,5 kgf

3m

3m

2m

F E Dy =125,17 kgf 2,5 m

Fy = 47,33 kgf 4m

131,67

67,5 52,67

92,81

69,26

V (kgf)

56,08

8,4375 67,5

0

0

- 22,5 2,25 m

0,75 m

- 47,33 2,63 m

2,37 m

- 72,5 -145

75,43 67,5

55,94

M (kgf-m)

0

0

- 145




Pág. 8-14

Ejemplo 8.8: En la figura se muestre un eje giratorio (el apoyo A soporta carga transversal mientras que el apoyo B soporta carga transversal y axial) sometido a un sistema de cargas. Se pide utilizar el método de las área de momentos para graficar los diagramas de fuerzas y momentos internos del eje. q = 1,5 kgf/cm 100 kgf

4500 kgf-cm C

O B

A 30 cm

Solución:

30 cm

120 cm

Cálculo de las reacciones. q = 1,5 kgf/cm 100 kgf

4500 kgf-cm Ax C

O

B

A

By

Ay 30 cm

∑F = 0: ∑M = 0: ∑F = 0:

30 cm

120 cm

Ax = 0

x

100 (30) − 1,5(120) (60) + B y (120) − 4500 = 0

A

− 100 + Ay − 1,5 (120) + B y = 0

y

B y = 102,5 kgf

→

Ay = 177,5 kgf

→

Por el método de las áreas de momentos: q = 1,5 kgf/cm 100 kgf

4500 kgf-cm Ax

O

C B

A 177,5 kgf 30 cm

102,5 kgf 120 cm

30 cm

2002,2

V [kgf]

77,5

-3501,91 0

0

-100

M [kgf-cm]

-3000

51,67 cm

68,33 cm

-102,5

0

0 -997,79 -3000 -4500




Pág. 8-15

Ejemplo 8.9: Dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga compuesta mostrada. q = 2 ton/m 5 ton-m E A

B 2m

C 4m

D 3m

2m

Solución: Anteriormente (ejemplo 8.2) ya hemos resuelto las reacciones en los apoyos, de tal manera que podemos proceder a utilizar las relaciones diferenciales entre cargas aplicadas, fuerzas cortantes y momentos flectores para dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. q = 2 ton/m 5 ton-m E

A

B

C By = 9 ton 4m

2m

D

ME = 10 ton-m Ey = 3 ton 3m

2m

5 6,25

V [ton]

2,25

4

6

9

0

0

-3

-3 -4

2,5 m

1,5 m

M [ton-m] 2,25 0

0 -1

-4 -6

- 10




Ejemplo 8.10:

Pág. 8-16

Dibujar los diagramas de fuerzas internas para la viga compuesta mostrada. 8 ton 10 ton

5 ton

q = 2 ton/m 4

B

Solución:

D

C 2m

3m

1m

4

6 ton-m

3

A

E 2m

2m

2m

2m

4m

I

H

G

F

3

primeramente calcularemos las reacciones en los apoyos y en los vínculos internos (en este caso las articulaciones C y F).

EL DCL de la viga es: 8 ton 10 ton MA

6 ton-m

3

A

Ax

5 ton

q = 2 ton/m 4

B

D

C

E

Dy

Ay 2m

1m

3m

Para el conjunto:

∑F

x

2m

5 ton

q = 2 ton/m

NF

∑F ∑F

I

Gy

VF

2m

2m

2m

=0:

Tramo CFI:

Ax = 2 ton

− 4 (1) + G y (2) − 6 − 3 (6) = 0

→ 3

H

G

F

F

4

6 ton-m

→

G y = 14 ton

x

= 0:

N F = 4 ton

y

= 0:

VF = 4 − 14 + 3

→ VF = −7 ton

8 ton 5 ton

q = 2 ton/m

4

6 ton-m NC

D

C 2m

∑M = 0: ∑F = 0: ∑F = 0:

E 4m

x

N C = 4 ton

y

VC = 8 − 4 + 12 − 14 + 3 →

Tramo AC: 10 ton MA

4 3

A B

NC

C

Ay

∑F = 0: ∑F = 0: ∑M = 0:

2m

2m

3m


2m

→

D y = 4 ton

VC = 5 ton

x

Ax − 6 + N C = 0

→

N C = 4 ton

y

Ay − 8 − VC = 0

→

Ay = 13 ton

A

VC 1m

I

Gy 2m

− 8 (2) + D y (2) − 12(7) + 14 (10) − 6 − 3(14) = 0

C

3

H

G

F

Dy

VC

Ax

2m

2m

2m

4m

∑M

Tramo FI:

I

Gy

Ax − 6 + 4 = 0

= 0:

3

H

G

F

4

− M A − 8 (1) − VC (4) = 0

→

M A = −28 ton - m



Pág. 8-17

Comprobamos el equilibrio de la viga completa:

∑F

y

Ay − 8 − 8 + D y − 12 + G y − 3 = 0 ok!

= 0:

Los diagramas son: 8 ton

8 ton

3 ton

q = 2 ton/m 6 ton-m A

2 ton

B 28 ton-m

13 ton 1m

N [ton]

4 ton

6 ton D

C

G

F

4 ton 2m

2m

3m

E

I

14 ton 2m

2m

4m

H 2m

4

4

0

0

-2

13 V [ton]

5

5 3

3

1

1

0

0

0,5 m -11

12

12,25

10

M [ton-m] 0

0

0

0 -6 -12 -15 -18

-28




Pág. 8-18

Ejemplo 8.11: La viga compuesta mostrada empotrada en H tiene tres tramos articulados en C y F. Se pide dibujar los diagramas acotados de fuerzas internas normales y cortantes y de momentos flectores. Justificar adecuadamente los valores obtenidos para los diagramas. Sólo para el tramo FG se pide utilizar necesariamente expresiones analíticas N(x), V(x) y M(x). 4 ton/m

10 ton 2 ton/m

4

4 ton-m

3

A

B

C

D

E

1m 1m

2m

G

F

3m

2m

H

1m

3m

Solución: DCLs correspondientes a tramos de la viga compuesta: •

Tramo AC:

∑M

8 ton 2 ton/m 6 ton

A

B

C

Ay

=0

+

=0:

C y = Ay − 8 − 2

→

C y = − 7 ton

x

= 0:

Cx + 6 = 0

→

C x = − 6 ton

4 ton/m

8 ton 2 ton/m 6 ton

Fx

A B

C

D

E

3 ton

+

F

Ey 2m

F

Ay = 3 ton

1m

Tramo ACF:

∑M = 0 ∑F = 0: ∑F = 0:

→

Ay (3) − 8 (1) − 2 (0,5) = 0

:

y

∑F

Cy 2m

•

∑F

Cx

C

1m

1m

Fy

3m

2m

3 (9) − 8 (7) − 4 (6) − 20 (2,5) + E y (2) = 0

:

→

→

E y = 51,5 ton

Fx = − 6 ton

x

6 + Fx = 0

y

3 − 8 − 4 − 20 + E y − Fy = 0

→

Fy = 22,5 ton

Nota: en lugar de analizar todo el tramo ACF también podría haberse analizado solamente el tramo CF, como se muestra a continuación.

∑M

4 ton/m 2 ton/m

Cx

Fx

C

E

D

Cy

F

Ey 1m

3m

Fy 2m


F

=0

+

:

C y (6) − 2 (5,5) − 20 (2,5) + E y (2) = 0 (−7) (6) − 2 (5,5) − 20 (2,5) + E y (2) = 0

→

E y = 51,5 ton



∑F ∑F

Pág. 8-19

→

x

= 0:

− C x + Fx = 0

y

= 0:

C y − 2 − 20 + E y − Fy = 0

→

Fx = C x

→

− 7 − 2 − 20 + 51,5 − Fy = 0

Fx = − 6 ton

Fy = 22,5 ton

resultados que coinciden, como era de esperar, con los anteriormente hallados. •

∑F

Tramo FH:

y

1 (3) (4) + H y = 0 2 H y = 16,5 ton

= 0:

22,5 −

→ 4 ton/m

4 ton-m

MH

Fx

Hx

G

F

∑F = 0: ∑M = 0 + H

Fy

Hy

Comprobación de los resultados:

H x = 6 ton

: − M H + 4 + 22,5 (4) − 6 (3) = 0

→

1m

3m

→

6− Hx = 0

x

H

M H = 76 ton - m

realizaremos el equilibrio del sistema completo.

8 ton

4 ton/m 2 ton/m

4 ton-m

6 ton A

B

D

C

1m

1m

3m

3m

2m

x

6−6 = 0

y

3 − 8 − 4 + 51,5 − 20 − 6 − 16,5 = 0

A

16,5 ton

51,5 ton 2m

∑F = 0: ∑F = 0: ∑M = 0 +

G

F

E

3 ton

76 ton-m H 6 ton

1m

ok! ok!

8 (2) + 4 (3) + 20 (6,5) − 51,5 (7) + 6 (10) + 4 − 76 + 16,5 (13) = 0

:

ok!

Análisis mediante ecuaciones para el tramo FG: 1era. posibilidad: Realizamos sección según coordenada x medida desde H hacia la izquierda: q(x) 4 ton-m MH=76 ton-m

M

Hx=6 ton

N G

P

H

V 1m

Hy=-16,5 ton

( x − 1) 3 = q 4

∑F ∑F

V=

2 ( x − 1) 2 + 16,5 3


q=

4 ( x − 1) 3

x

= 0:

N = − 6 ton

y

= 0:

V =

x

→

→

→

q ( x − 1) + 16,5 2 4 ( x − 1) 2 + 16,5 = 3 (2)

 x = 1 → V = 16,5 ton   x = 4 → V = 22,5



∑M

P

=0

M = −16,5 ( x) + 76 − 4 −

:

+

Pág. 8-20

( x − 1) ( x − 1) q 2 3

2 M = −16,5 x + 72 − ( x − 1) 3 9

→

2da. posibilidad:

 x = 1 → M = 55,5 ton - m   x=4 → M =0

→

Realizamos sección según coordenada x medida desde A hacia la derecha: 4 ton/m

8 ton

q(x)

2 ton/m

M

6 ton

A

B

D

C

F

E

3 ton

V

51,5 ton 1m 1m

2m

3m

N

P

2m

x

∑F ∑F

→

x

= 0:

N +6=0

y

= 0:

V = 3 − 8 − 4 − 4 (5) + 51,5 −

V = 22,5 − q=−

entonces:

V ( x) =

∑M

P

=0

+

:

(4 + q) ( x − 9) 2

4 ( x − 12) 3

donde:

N = −6 ton (4 + q) ( x − 9) 2

→

2 x2 − 16 x + 112,5 3

4 q ( x) = − x + 16 3

→

(1)

 x = 9 → V = 22,5 ton   x = 12 → V = 16,5

M = 3 ( x) − 8 ( x − 2) − (2) (2) ( x − 3) + 51,5 ( x − 7) − 4 (5) ( x − 6,5) − −

q 1 2 ( x − 9) 2 − (4 − q ) ( x − 9) ( x − 9) 2 2 3

teniendo en cuenta (1) y ordenando: M ( x) =

2 x3 − 8 x 2 + 112,5 x − 526,5 9

→

 x=9 → M =0   x = 12 → M = 55,5 ton − m

Se debe notar que en ambas posibilidades trabajadas hemos llegado a los mismos resultados, aún cuando en la primera de ellas el despliegue matemático fue menor.




Pág. 8-21

Ahora podemos construir los diagramas de fuerzas internas usando las relaciones diferenciales que hay entre q(x), V(x) y M(x):

8 ton 2

12

2

4 ton/m

8 6

2 ton/m

4 ton-m

6 ton A

B

D

C

3 ton

G

F

E

76 ton-m H 6 ton

16,5 ton

51,5 ton 2m

1m

1m

3m

1m

3m

2m

N

0 - 6 ton

30,5

+53

22,5

+16,5

16,5

V

16,5 ton

+6 -8

-6

3 0

-45

-5 -7

-9 76 ton-m

- 21

59,5 55,5

M 6 0

0

0

0

-8

- 53




Pág. 8-22

Ejemplo 8.12: La viga Gerber mostrada consta de dos tramos articulados en B. Además está apoyada en el apoyo A (el cual solamente permite movimiento en sentido vertical) y en los apoyos simples C y F. Se pide dibujar los diagramas acotados de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector, indicando los cálculos parciales que justifican el trazado de dichos diagramas. 100 kN 75 kN

E

D

C

A

75 kN 2m

4m

Solución:

2m

3m

DCL de la viga compuesta:

F

G

1,5 m

B

60 kN/m

1,5 m

80 kN/m

2,5 m

3m

100 kN

80 kN/m

60 kN/m

225 kN-m

MA

F

Ax A

C

B Cy

∑F = 0: ∑F = 0: ∑M = 0 +

Fy

2m

4m

G

E

D 2m

3m

3m

2,5 m

x

Ax = 0

(1)

y

C y + Fy = 970

(2)

A

M A + 80 (9)(4,5) − C y (6) + 1000 (9) + 225 − Fy (14) + 60(2,5)(15,25) = 0

:

→

M A − 6 C y − 14 Fy + 14752,5 = 0

(3) 100 kN

80 kN/m

80 kN/m

60 kN/m

225 kN-m

MA A

Bx

B

Bx

4m

F

By

By

∑F = 0: ∑F = 0: ∑M = 0

Tramo AB:

G E

D

C 2m

x

Bx = 0

y

B y = −320 kN

B

+

Cy

→

M A − 80 (4)(2) = 0

:

2m

3m

3m

Fy

2,5 m

M A = 640 kN - m

3 C y + 7 Fy = 3646,94

en (3):

Resolviendo (2) y (4):

C y = 785,94 kN

(4)

y

Fy = 184,06 kN

Comprobación para la viga derecha:

∑M

B

=0

+

:

80 (5)(5 / 2) − C y (2) + 100(5) + 225 − Fy (10) + 60(2,5)(11,25) = 0


ok!



Pág. 8-23

Ahora construiremos los diagramas de fuerzas y momentos internos usando las relaciones diferenciales que hay entre q(x), V(x) y M(x): 100 kN 80 kN/m

60 kN/m

225 kN-m F A

C

B

G

E

D

640 kN-m 184,06 kN

785,94 kN

4m

V [kN] 640

2m

2m

3m

305,94

557,82

2,5 m

3m

150

800

187,5

65,94

0

0 -34,06

-34,06 68,12

102,18

-320 -480 640

M [kN-m] 0

0

0

-85,3 -242,18

-187,48 -310,3

-800




Pág. 8-24

Ejemplo 8.13: Para el elemento compuesto ABCDEF articulado en B se pide: a) Calcular las reacciones en el empotramiento A y en el apoyo simple C. b) Dibujar los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector en cada uno de los tramos rectos ABC, CDE y EF. 2 ton/m 8 ton 4 ton-m

F

2m

E

3 ton/m D A

C

B

4m

2m

1m 1m

2m

Solución: Primero disgregaremos el sistema en sus dos partes (AB y BCEF) para determinar las reacciones externas y las fuerzas en la articulación B. Luego aislaremos cada tramo recto para dibujar los diagramas solicitados.

∑M

Tramo BCEF: 2 ton/m 8 ton E

3 ton/m D

Bx

→

∑F

C

B

4m

= 0 : − Bx − 8 = 0 →

x

∑F ∑F

Ay Bx

Ax A

B

MA

By

2m

x

= 0:

Ax + Bx = 0

→

Ax = 8 ton

y

= 0:

Ay − B y = 0

→

Ay = 6 ton

∑M

A

=0

3 ton/m

∑F = 0: ∑F = 0: ∑M = 0

MC

8 ton

NC B

A

C

12 ton-m

VC

4m

2m

→

M A − B y (2) = 0

:

Análisis de tramo ABC: 6 ton

B y = 6 ton

2m

∑F Tramo AB:

C y = 10 ton

→

1m 1m

:

= 0 : B y − 12 + C y − 4 = 0

y

Cy

By

=0

− 12 (2) + 4 C y − 4 (7) + 8 (2) = 0

F

2m

4 ton-m

B

ME

2 ton/m 8 ton

NE F

E

VE

2m

∑F = 0: ∑F = 0: ∑M = 0

y

6 − 12 − VC = 0 → VC = −6 ton

C


− NE − 8 = 0

y

VE − 4 = 0 :

→

8 + NC = 0

x

E

M A = 12 ton − m

x

N C = −8 ton

12 − 6 (6) + 12 (2) + M C = 0

:

MC = 0

→ Análisis de tramo EF:

Bx = −8 ton

→ →

− M E − 4(1) = 0

N E = −8 ton VE = 4 ton →

M E = −4 ton − m



Pág. 8-25

Análisis de la sección E: ′

E

N E′ = − 8 ( 2 / 2) − 4 ( 2 / 2)

NE = -8

∑F

VE = 4

E

N

= 0 : N E′ = N E ( 2 / 2) − VE ( 2 / 2)

45°

′E

′

M

∑F

ME = -4

E

V

= 0 : VE′ = N E ( 2 / 2) + VE ( 2 / 2) VE′ = − 8 ( 2 / 2) + 4 ( 2 / 2)

∑M Análisis del tramo CE: E

′

= 0 : M E′ = M E

→

N C′ = −8,48 ton

y

VC′ − VE′ = 0

→

VC′ = −2,83 ton

m 4 41 1,

′

M E′ = − 4 ton − m

→

− N C′ + N E′ = 0

: M C′ + 4 − M E′ + VE′ (2,828) = 0 M C′ + 4 − (−4) + (−2,83) (2,828) = 0 → M C′ = 0

C

N′

C

V′

1,

41

4

C

m

C

M

→ VE′ = − 8,48 ton

x

E

4

to

E

V

E

∑F = 0: ∑F = 0: ∑M = 0

′ N

E

n-

m

M

′E

→ N E′ = − 8,48 ton

Comprobamos “alrededor” de la sección C: 8

VC =-6

0 ′C = ′ = M NC

MC =0 NC =-8

′= VC

Cy

,4 −8

3 ,8 −2

∑F

x

= 0 : − N C′ + N C′ ( 2 / 2) + VC′ ( 2 / 2) − (−8) + (−8,48) ( 2 / 2) + (−2,83) ( 2 / 2) = 0 ok!

∑F

y

= 0:

VC + C y − VC′ ( 2 / 2) + N C′ ( 2 / 2) = 0 − 6 + 10 − (−2,83)( 2 / 2) + (−8,48) ( 2 / 2)

∑M


C

= 0 : M C′ − M C = 0

ok!

ok!



Pág. 8-26

Diagramas: 3 ton/m

Ay=6

2 ton/m

MC = 0

Ax=8

8 ton

8 A

B

C

6

2m

4 ton

N (ton)

N (ton)

0

0

-8

-8

V (ton)

V (ton)

6

4

0

0

2m

0

6

N (ton-m) 0

N (ton-m)

-6

2m

F

E

4 ton-m

4m

2m

MA=12

8 ton

-4

0

0

8, 48 2, 4 t to 83 on n to -m n

-12

m

n-

4

E

to

14

m

4 1, m

83

to

n

14

4 1,

2,

8,

48

to

n

C

n)

N

(to

0 8

,4

-8

n)

V

(to

0 3

,8

-2

)

-m

N


n (to

0 -4


Cap. 8 Fuerzas Internas (Ejercicios)

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