1.
Pengertian Bilangan Asli dan Operasi Pada Bilangan Asli
A. Pengertian Bilangan Asli Bilangan asli adalah bilangan kardinal dari himpunan berhingga yang tidak kosong (Budiyono, 1993: 23). Apa yang dimaksud dengan bilangan kardinal? Bilangan kardinal adalah banyaknya anggota suatu himpunan (Ensiklopedi Matematika, 2002: 105). Banyaknya anggota himpunan menyatakan suatu jumlah. Oleh karena menyatakan suatu jumlah, hal ini tidak mungkin bernilai negatif tetapi mungkin saja bernilai nol. Sehingga disyaratkan bilangan kardinal yang tidak kosong (nol). Dari pengertian di atas, diperoleh bahwa yang dimaksud bilangan-bilangan asli adalah: 1, 2, 3, 4, 5, . Himpunan yang beranggotakan semua bilangan asli disebut dengan himpunan bilangan asli yang dilambangkan dengan N. Jadi Jadi N = atau N = . Andaikan suatu himpunan himpunan H mempunyai p anggota maka dikatakan bilangan kardinal dari himpunan H adalah p, ditulis n(p) = p. p disini merupakan bilangan asli, dengan syarat p tidak kosong
B. OPERASI PADA BILANGAN ASLI 1. Operasi Penjumlahan Definisi penjumlahan bilangan asli: Jika p dan q bilangan-bilangan asli, H dan G himpunan-himpunan dengan maka p + q =. (Budiyono, 1993: 25)
p = n(H), q = n(G) dan ,
Definisi di atas menyatakan bahwa p + q merupakan bilangan kardinal dari union atau gabungan himpunan H dan himpunan himpunan G. Sebagai contoh jika H = dan G = diperoleh p = n(H) = 4 dan q = n(G) = 3 serta . sehingga 3 + 4 = = 7. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan asli: a.
Tertutup
Bukti: Jika p = n(H) adalah bilangan asli q = n(G) adalah bilangan asli
maka p + q = juga merupakan bilangan asli. Jadi penjumlahan dua bilangan asli menghasilkan bilangan asli juga. Sifat tertutup dipenuhi pada penjumlahan bilangan asli. b.
Penjumlahan pada bilangan asli bersifat komutatif
Bukti: Jika p = n(H) adalah bilangan asli
q = n(G) adalah bilangan asli
maka p + q = = =q+p Sifat komutatif dipenuhi pada penjumlahan bilangan asli. c.
Penjumlahan pada bilangan asli bersifat asosiatif
Bukti: Jika p = n(H) adalah bilangan asli q = n(G) adalah bilangan asli r = n(R) adalah bilangan asli , maka (p + q) + r = + n(R) = = = n(H) + = p + (q + r) d.
Untuk setiap bilangan asli p, q dan r, apabila p = q maka p + r = q + r.
Jika p = n(H) adalah bilangan asli q = n(G) adalah bilangan asli r = n(R) adalah bilangan asli
maka
p=q
n(H) = n (G)
p+r=q+r
2.
Operasi Pengurangan
Definisi pengurangan bilangan asli: Jika p dan q bilangan-bilangan asli, H dan G himpunan-himpunan dengan , p = n(H) dan q = n(G) maka: p q = n(H - G). (Budiyono, 1993: 38) Definisi di atas menyatakan jika p bilangan asli dan q bilangan asli maka p q dapat dioperasikan jika p = n(H) dan q = n(G) dimana H dan G merupakan suatu himpunan dengan syarat G subset (himpunan bagian) dari H. Dalam hal G bukan subset dari H maka operasi penguarangan pada bilangan asli tidak dapat dilakukan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini: Contoh 1. Suatu himpunan H = dan G = , sehingga p = n(H) = 7 dan q = n(G) = 4. Perhatikan bahwa G merupakan subset dari H sehingga H G = . Jadi 7 4 = n(H G) = 3. Contoh 2. Suatu himpunan H = dan G = , sehingga p = n(H) = 6 dan q = n(G) = 4. Perhatikan bahwa G bukan subset dari H, karena ada anggota G yang tidak termasuk pada H. Jadi p q tidak dapat diopersikan. Pada operasi penjumlahan bilangan bulat memenuhi sifat tertutup, apakah hal itu j uga berlaku pada pengurangan bilangan bulat? Pada operasi pengurangan bilangan bulat tidak bersifat tertutup, karena hasil dari pengurangan bilangan asli belum tentu menghasilkan bilangan asli i tu sendiri. Sebagai contoh berapa hasil 7 9 ? Apakah hasilnya juga merupakan bilangan asli?
3.
Operasi Perkalian
Definisi I: Jika p dan q bilangan-bilangan asli sedemikian hingga p = n(H) dan q = n(G) maka: p x q = n(H x G). Definisi II: Jika p dan q bilangan-bilangan asli maka: p x q = q + q + q + . . . + q (sebanyak p suku). Sifat-sifat perkalian bilangan asli: a. Tertutup. b. Komutatif. c. Asosiatif. Coba buktikan sifat tertutup, komutatif dan asosiatif ! d. Perkalian bilangan asli bersifat distributif terhadap penjumlahan. Bukti: Jika p = n(H) adalah bilangan asli
q = n(G) adalah bilangan asli r = n(R) adalah bilangan asli
maka
e.
Memiliki elemen identitas yaitu 1
Bukti: Jika p = n(H) adalah bilangan asli q = n(G) = 1, dalam hal ini diambil q = 1 maka: p x 1 = n(H x G) = n(H) sebab H x G H bila n(G) = 1 =p 1 x p = n(G x H) = n(H) sebab G x H H bila n(G) = 1 sehingga p x 1 = 1 x p = p Jadi 1 adalah elemen identitas untuk perkalian bilangan asli. f.
Untuk setiap bilangan asli p, q dan r apabila p = q maka p x r = q x r.
Coba anda buktikan !
4.
Operasi Pembagian
Definisi pembagian bilangan asli: Jika p dan q bilangan-bilangan asli, maka p : q adalah r (bila ada) sedemikian hingga q x r = p. (Budiyono, 1993: 42) Pada pembagian bilangan asli hasil bagi p : q belum tentu menghasilkan bilangan asli, sehingga disyaratkan r itu jika ada. r bisa merupakan bilangan asli juga bisa bukan bilangan asli, sehingga pembagian bilangan asli tidak memenuhi sifat tertutup. Kita ketahui bahwa 4 x 2 = 8 sehingga 8 : 2 = 4 atau 8 : 4 = 2. Oleh sebab itu, operasi pembagian sering disebut operasi invers dari perkalian.
5.
Operasi Perpangkatan
Definisi: Jika p dan q bilangan asli maka pq = p x p x p x x p (sebanyak q faktor). p disebut bilangan pokok dan q disebut pangkat (eksponen) Sifat-sifat perpangkatan pada bilangan asli: a.
Tertutup
Bukti: Karena perpangkatan adalah perkalian dengan faktor yang sama, sedangkan perkalian tertutup pada pada himpunan bilangan asli, maka perpangkatan juga tertutup pada bilang an asli. b.
Perpangkatan bersifat distributif terhadap perkalian
Bukti:
c.
Perpangkatan bersifat distributif terhadap perpangkatan
Bukti:
d.
bilangan asli p, q dan r berlaku . Buktikan!
e.
bilangan asli p, q dan r berlaku . Buktikan!
f.
bilangan asli p, q dan r berlaku . Buktikan!
g.
bilangan asli p, q dan r, jika p = q maka pr = qr. Buktikan!
h.
bilangan asli p, q dan r berlaku jika pq = pr maka q = r. Buktikan!
Latihan 1 Untuk memperdalam pengetahuan anda mengenai materi di atas, coba anda selesaikan latihan berikut ini! 1. Apakah yang dimaksud dengan bilangan asli? Jelaskan! 2. Jika p q = r bila dan hanya bila p = r + q. Buktikan?
3. bilangan asli p, q dan r buktikan bahwa ! 4. bilangan asli p, q dan r berlaku . Buktikan !
Petunjuk Jawaban Latihan Untuk soal no.1 coba anda uraikan pengertian bilangan asli. Untuk soal no.2 gunakan sifat penjumlahan pada kesamaan untuk mendapatkan hasil akhirnya. Untuk soal no.3 dan no.4 gunakan definisi perpangkatan untuk menjabarkan soal tersebut, kemudian gunakan manipulasi aljabar untuk membuktikan soal tersebut.
Rangkuman Bilangan asli adalah bilangan kardinal dari himpunan berhingga yang tidak kosong. Penjumlahan, perkalian dan perpangkatan pada bilangan asli bersifat tertutup, akan tetapi sifat tertutup tidak berlaku pada pengurangan dan pembagian bilangan asli.
Tes Formatif 1 Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dari soal-soal di bawah ini dengan tanda silang (X) ! 1. Diketahui H = dan G = , p = n(H), q = n(G) dimana p dan q adalah bilangan asli. Tentukan nilai dari p +q: a.
48
b.
49
c.
50
d.
51
2. Berikut ini salah satu syarat dari definisi penjumlahan bilangan asli, jika G dan R merupakan dua himpunan bilangan asli yaitu: a. b. c. d. 3.
Operasi-operasi pada bilangan asli memenuhi sifat tertutup, kecuali:
a.
operasi perkalian
b.
operasi pembagian
c.
operasi perpangkatan
d.
operasi penjumlahan
4.
Berikut ini
5. KESAMAAN BILANGAN ASLI Jika p dan q adalah bilangan asli, p dan q menunjukkan bilangan asli yang sama maka dikatakan bahwa p sama dengan q ditulis p = q. Hubungan ini memiliki sifat-sifat: 6.
refleksif, yaitu p = p
7.
simetrik, yaitu jika p = q maka q = p,
8.
transitif, yaitu jika p = q dan q = r maka p = r.
Bukti: p q = r pq+q=r+q p=r+q
KETIDAKSAMAAN BILANGAN ASLI Definisi: bilangan asli m dan n, jika m < n maka terdapat bilangan asli p sedemikian hingga m + p = n. bilangan asli m dan n, jika m > n maka n < m.
