BAB 9 ESTIMASI PARAMETER
ESTIMASI PARAMETER
Pengantar Urai Uraian an dala dalam m bab bab ini ini memb membah ahas as tenta tentang ng peng pengert ertian ian estim estimas asii dan dan baga bagaim iman ana a
cara cara
mela melaku kuka kan n
esti estima masi si
para parame mete ter. r.
Untu Untuk k
lebi lebih h
muda mudah h
mema memaha hami mi urai uraian an tentan tentang g estim estimasi asi para parame meter ter ini, ini, disa disara ranka nkan n pemb pembac aca a mempelajari mempelajari
bab 10 tentang tentang distribusi distribusi sampling, sampling, karena dalam dalam melakukan melakukan
estimas estimasii paramete parameterr diperl diperlukan ukan distribu distribusi si statist statistik ik dan galat galat baku baku statist statistik ik sebagai kerangka estimasinya. Dalam kesempatan yang terbatas ini hanya akan diuraikan estimasi parameter dengan bilangan statistik yang sering ditemui, yaitu; rerata, dan proporsi. Setela Setelah h mempel mempelaja ajari ri pokok pokok bahasa bahasan n ini pembaca pembaca dihara diharapkan pkan dapat dapat memperoleh pemahaman tentang : 1. peng pengert ertian ian estim estimas asii 2. penggunaan penggunaan galat baku statistik statistik sebagai sebagai alat alat estimasi. estimasi. 3. cara melakukan estimasi parameter dengan statistik secara benar.
115
ESTIMASI PARAMETER A. Pengerti Pengertian an dan Prosedu Prosedurr Estimasi Estimasi Melakukan Melakukan estimasi estimasi berarti menaksir keadaan parameter dengan dengan menggu menggunaka nakan n statisti statistik. k. Dari Dari sebuah sebuah popula populasi si dapat dapat dipero diperoleh leh berbag berbagai ai macam parameter, demikian juga dari suatu sampel juga dapat dihitung berbagai statistiknya. Oleh karena itu dengan sebuah sampel kita dapat menaksi menaksirr berbag berbagai ai macam macam parame parameter. ter. Yang Yang perlu perlu diperh diperhatik atikan an adalah adalah bahwa statistik penaksir itu harus sejenis dengan parameternya. Pada umumnya estimasi parameter menempuh langkah-langkah : 1.
M en en et et ap ap ka ka n be bes ar ar an an p ar ar am am et et er er y an an g ak ak an an d ie ie st st im ima si si
2.
M e mi l i h
ke r a n gk a
es t i m a si ,
y a i t u d i s t r i bu s i
s am p l i n g
ya n g
sejenis dengan besaran parameter yang akan diestimasi. 3.
M e n e n t u k a n ta t a r a f ke k e pe r c a y a a n
4.
P r o s e s p er hi t u n g a n
5.
M em em bu bu at at k es es im im pu pul an an b er er da da sa sar ka ka n pr pr os os es es p er er hi hi tu tu ng nga n
Pada pokok bahasan ini hanya akan dibahas estimasi rerata dan proporsi.
B. Estima Estimasi si Rerata Rerata Distribusi Distribusi sampling sampling selalu selalu mendekati mendekati distribusi distribusi normal, normal, oleh karena itu dapat diberlakukan sifat-sifat kurve normal. Dengan asumsi tersebut dengan sebuah rerata yang diperoleh dari satu sampel random, kita dapat menyatakan menyatakan probabilitas letak rerata statistik itu dalam distribusi distribusi sampling sampling rerata, seandainya kita mengadakan mengadakan penyelidikan pada sampel-sampel sampel-sampel yang kita ambil berulangkali dari populasi yang sama. Hal ini juga sama dengan mengadakan mengadakan estimasi estimasi tentang probabilitas probabilitas letak rerata parametrik (M p) kalau kita mengadakan penyelidikan serupa dari sampel-sampel yang kita kita ambi ambill seca secara ra teru terus s mene menerus rus dari dari popu populas lasii terse tersebu but. t. Tetap Tetapii pada pada kenyata kenyataann annya ya kita tidak tidak pernah pernah mengam mengambil bil sampel sampel berulang berulang kali. kali. Oleh Oleh karena karena itu harus harus menyad menyadari ari bahwa bahwa rerata rerata statisti statistik k yang yang diperol diperoleh eh dari sampel sampel yang yang diselid diselidiki iki tidak tidak identik identik dengan dengan rerata rerata parame parametrikn triknya ya (M p ) 116
yang yang tidak tidak perna pernah h kita kita selid selidik iki. i. Artin Artinya ya rera rerata ta stat statist istik ik (M S ) yang yang kita kita peroleh peroleh mungkin terletak di atas atau di bawah rerata parametriknya (M p). namun demikian kita tidak perlu risau karena dengan dengan menggunakan menggunakan galat baku rerata (SD M ) kita dapat melakukan penaksiran terhadap letak rerata parametrik (M p ). Dalam Dalam penaks penaksiran iran ataupu ataupun n peneli penelitian tian biasan biasanya ya diguna digunakan kan taraf taraf kepe keperc rcay ayaa aan n
95% 95% atau atau 99%. 99%. Tara Taraff kepe keperc rcay ayaa aan n 95% 95% bera berart rtii tara taraf f
kesala kesalahan han (tolera (toleransi nsi kesalaha kesalahan) n) 5% dan taraf taraf keperc kepercayaa ayaan n 99% berarti berarti taraf kesalahannya kesalahannya 1%. Dalam distribusi normal persentase sebesar 95% terletak antara Z = -1,96 dan Z = 1,96, sedang persentase sebesar 99% terletak antara Z = -2,58 dan Z = 2,58.
95% 1,96
-1,96 99% -2,58
2 ,5 8 Gambar 9.1 Lebar Interval kepercayaan
Dengan demikian kita dapat melakukan estimasi dengan taraf keyakinan 95% mengenai rerata parametrik, dengan rumus :
Mp = MS + 1,96 SD M
…. Rumus 9.1
Dan jika digunakan taraf keyakinan 99%, maka rumusnya :
Mp = MS + 2,58 SD M
M P P M S SD M
…. Rumus 9.2
= Rerata parameter = Rerata statistik = Galat baku baku rerata; sebagai sebagai ukuran ukuran variasi rerata rerata sampel sampel rerata populasi.
sekitar
117
Contoh 1 : Dari Dari samp sampel el acak acak beru beruku kura ran n n = 50, 50, dipe dipero role leh h rera rerata ta (M) (M) = 70 dan dan simpangan baku (SD) = 7. Berdasarkan data statistik tersebut kita dapat melakukan estimasi rerata parameter (M p ) sebagai berikut : M s = 70
Maka,
n = 50
SD M =
SD n −1
=
SD = 7 7 50 − 1
=1
Dengan demikian jika digunakan interval kepercayaan 95% : Mp
= M s + 1,06 SD M = 70 + 1,96 (1) = 70 + 1,96
Jika digunakan interval kepercayaan 99% Mp = Ms + 2,58 SD M = 70 + 2,58 (1) = 70 + 2,58
Contoh 2 : Jika dari sampel acak berukuran berukuran n = 30 diperoleh diperoleh data seperti tabel 8.3 di depan, depan, berapa berapakah kah rerata rerata parame parametern ternya, ya, jika kita estimas estimasii dengan dengan taraf taraf kepercayaan 95% dan 99%. Dari tabel 10.3, jika dihitung reratanya diperoleh :
M S =
∑ fX = 747 = 24,9 n
30
SD M = 0,768
Maka rerata parametriknya dengan t.k. 95% Mp
= M S + 1,96 SD M = 24,9 + 1,96 (0,768) = 24,9 + 1,505
118
Jika dengan tk. 99%, maka : Mp
= M S + 2,58 SD M = 24,9 + 2,58 (0,768) = 24,9 + 1,981
Jika Jika kita kita perb perban andin dingk gkan an rumus rumus 9.1 dan dan rumu rumus s 9.2, 9.2, serta serta hasi hasill perhitungan dari contoh di atas, tampak jelas bahwa estimasi dengan taraf keperca kepercayaan yaan 99% memilik memilikii interva intervall yang yang lebih lebih panjang panjang daripa daripada da taraf taraf keperca kepercayaan yaan 95%. 95%. Dengan Dengan demikia demikian, n, berarti berarti bahwa bahwa estimas estimasii dengan dengan tingkat kepercayaan semakin tinggi, maka intervalnya semakin luas. Selanjutnya perhatikan pula rumus SD M
SD
tampak bahwa n
=
n
−
1
atau atau ukur ukuran an samp sampel el sang sangat at mene menentu ntuka kan n besa besarny rnya a SD M. J i k a n a t a u besarnya besarnya sampel bertambah bertambah besar, maka SD M akan semakin kecil. Jika n bertamb bertambah ah terus, terus, maka maka SD M akan akan mendeka mendekati ti nol. nol. Bahkan Bahkan jika jika n sama sama besarny besarnya a dengan dengan populas populasii (Total (Total Sampel Sampel), ), maka maka SD M-nya = 0. Hal ini diseba disebabkan bkan karena karena besarny besarnya a sampel sampel sama sama dengan dengan popula populasi si sehing sehingga ga tidak ada lagi variabilitas yang disebabkan oleh kesalahan sampling.
Perlatihan 9.1.
1. Dari sebuah sampel berukuran n = 50 diperoleh M = 100 dan SD = 12. Jika
dila dilakuk kukan an estim estimasi asi deng dengan an taraf taraf kepe keperca rcayaa yaan n 99%, 99%, berap berapak akah ah rera rerata ta parametriknya (M P) ?
2. Dari suatu survey survey kepuasan kepuasan pelanggan pelanggan
oleh suatu suatu perusahaan perusahaan penyedia
layana layanan n jasa jasa terhada terhadap p sampel sampel berukuran berukuran n = 150 diperole diperoleh h M = 400 dan SD = 25. 25. Jika Jika dila dilaku kuka kan n esti estima masi si deng dengan an tara taraff kepe keperc rcay ayaa aan n 95%, 95%, berapakah rerata parametriknya (M P ) ? 3.
Di bawah ini adalah data dari sampel yang diambil secara random. 119
Tabel 9.1. Skor kecemasan 80 mahasiswa I nt er v a l f 35 – 39 5
Tentukan Tentukan
30 – 34
19
25 – 29
30
20 – 24
15
15 – 19
7
10 – 14
4
berapakah berapakah M p nya, nya, jika kamu lakukan lakukan estimas estimasii dengan dengan taraf taraf
kepercayaan 95% maupun 99% ?
4. Tentukanlah rerata parametrik (M P ) dari data dari sampel di bawah ini.
Tabel 9.2. Skor keuletan mahasiswa I nt er v a l 70 – 80
f 1
59 – 69
5
48 – 58
19
37 – 47
30
26 – 36
15
15 – 25
5
C. Estima Estimasi si Prop Propor orsi si Untuk melakuan estimasi tentang proporsi parameter, kita dapat menggunakan menggunakan cara yang sama seperti seperti mengestimasi mengestimasi rerata parameter. parameter. Perhatikan rumus 9.3.
Pp = P s + z SD p
……… rumus 9.3.
Keterangan : Pp = Proporsi parameter Ps = Proporsi statistik Z = Koefi Koefisie sien n kep keperc ercaya ayaan an SDp= Simpangan baku proporsi
120
Contoh 1 : Observasi terhadap 400 random sampel mahasiswa fakultas psikologi di Jaka Jakart rta, a, menu menunj njuk ukka kan n perb perban andi ding ngan an pria pria dan dan wani wanita ta adal adalah ah 2 : 8. Berapak Berapakah ah propors proporsii pria pria dari dari mahasis mahasiswa wa psikolo psikologi gi di Jakarta Jakarta secara secara keseluruhan ? Jawab : N = 400 P = 0,2 (dari p : w = 2 : 8)
SD P
p(1 p ) −
=
n
( 0.2) ( 0,8)
=
=
400 0,02
Jika Jika diguna digunakan kan taraf taraf keperca kepercayaa yaan n 95% proporsi proporsi mahasis mahasiswa wa laki-la laki-laki ki adalah : Pp = Ps + 1,96 SDp SDp = 0,2 + 1,96 (0,02) = 0,2 + 0,0392 Jadi proporsi mahasiswa laki-laki terletak antara 0,1608 sampai 0,2392 atau antara 16,08% sampai 23,92% Jika digunakan taraf kepercayaan 99% diperoleh : Pp = Ps + 2,58 (SDp) = 0,2 + 2,58 (0,02) = 0,2 + 0,0516
Jadi proporsi mahasiswa laki-laki terletak antara 0,1484 sampai 0,2516 atau antara 14,84% sampai 25,16%.
Contoh 2 : 121
Sebuah iklan yang ditayangkan di TV, menyatakan bahwa 9 dari 10 artis Indonesia menggunakan sabun mandi merk X. Dapatkah kita menerima kebenaran pernyataan iklan tersebut, jika dari observasi observasi terhadap 60 artis, ternyata hanya 40 orang yang menggunakan menggunakan sabun mandi merk X tersebut.
Jawab : n = 60
p=
SD P =
40 60
= 0,667
( 0,667 ) ( 0,333) 60
= 0,0608
PP
= Ps + 1,96 SDp
= 0,667 + 1,96 (0,0608) = 0,667 + 0,1192
dengan dengan keperca kepercayaan yaan 95% propor proporsi si parame parameter ter terleta terletak k antara antara 0,5478 0,5478 sampai 0,7862. Jadi dengan kepercayaan 95% kita menolak kebenaran pernyataan iklan tersebut, karena proporsi 0,9 berada jauh di atas batas proporsi yang dapat kita terima.
Perlatihan 9.2 : 1.
Dari Dari sampel sampel beruku berukuran ran n = 200 yang diamb diambil il secara secara random random,, dipe diperol roleh eh data data bahw bahwa a perb perban andin dinga gan n laki laki dan dan pere peremp mpua uan n maha mahasi sisw swa a faku fakulta ltas s psikolo psikologi gi di Jakarta Jakarta adalah 3 : 8 sedang sedangkan kan pada pada mahasis mahasiswa wa fakulta fakultas s teknik dengan sampul berukuran n = 150 diperoleh perbandingan 8 : 2 untuk laki-laki dan perempuan. Berapakah proporsi mahasiswa laki-laki pada kedua fakultas tersebut?
122
2.
Sebu Sebuah ah lapo lapora ran n menya menyatak takan an bahwa bahwa 95% 95% anak anak usia sekola sekolah h dise diselu luruh ruh pelos pelosok ok tnah tnah air air telah telah terta tertamp mpun ung g di bang bangku ku seko sekolah lah.. Dapa Dapatka tkah h kita kita menerima menerima kebenaran laporan tersebut, jika ternyata ternyata dari berbagai LSM mene menemu muka kan n bahw bahwa a dari dari 10.0 10.000 00 anak anak di Jawa Jawa ada ada 4,5% 4,5% yang yang belum belum tertampung di SD, sedangkan di luar pulau Jawa dari 12.000 anak ada 14% yang tidak tertampung di SD. Berdasarkan temuan-temuan LSM tersebut dapatkah kita membenarkan laporan tersebut di atas ?
123
