ESTIMASI PARAMETER MODEL TIME SERIES DENGAN METODE ARIMA(p

ESTIMASI PARAMETER MODEL TIME SERIES DENGAN METODE ARIMA(p,d,q)
Merlisa, Dwi, Nadya
Dosen Pembimbing: Jose Rizal, S.Si, M.Si.
[email protected]

Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Bengkulu

ABSTRAK
Penelitian ini menerapkan metode Autoregressive Integreted Moving average ARIMA untuk meramalkan debit air DAM PLTA MUSI. Dengan menggunakan sepuluh kemungkinan model ARIMA, sehingga akan didapatkan model terbaik. Model ARIMA yang dimaksud dalam penelitian ini adalah model ARIMA(0,1,1) yang merupakan model Moving Average/MA(1) yang melalui proses differencing sebanyak satu kali agar menjadi stasioner. Cara yang bisa digunakan untuk menganalisis model ARIMA(0,1,1) adalah dengan mempelajari autokorelasi dari model tersebut. Suatu model peramalan dalam penelitian ini adalah model ARIMA(0,1,1) dikatakan model terbaik atau model yang sesuai, jika memiliki sebaran galat yang bebas dari autokorelasi. Pada penelitian ini diperoleh langkah-langkah bagaimana cara mendeteksi adanya autokorelasi pada galat disertai dengan contoh data dengan model ARIMA(0,1,1).

PENDAHULUAN
Latar Belakang
PT. PLN (persero) Pembangkitan Sumbagsel Sektor Pembangkitan Bengkulu merupakan salah satu BUMN yang sahamnya saat ini dimiliki pemerintah Indonesia. Perusahaan ini berdiri sejak 12 April 2006 dan bergerak dibidang ketenaga kelistrikan (Pembangkit, jaringan dan gardu induk). Daya listrik yang dibangkitkan PLTA MUSI untuk memenuhi dan mensuplai kebutuhan listrik seluruh wilayah Sumatera melalui interkoneksi jaringan transmisi 150 KV/ 275 KV untuk bagian Selatan maupun Utara. PLTA sungai Musi yang berada didaerah Ujan Mas memiliki pusat kerja dikedalaman tanah ini menghasilkan daya listrik 210 mega watt.
Mengkaji kembali pelaksanaan proyek-proyek pemerintah dan swasta yang dibiayai kredit eksport akibat adanya krisis ekonomi di Indonesia, termasuk PLTA Musi. Pendanaan tersebut meliputi pekerjaan elektro mekanikal pekerjaan turbin, pekerjaan generator, dan pekerjaan Main Transformer dan Switchyard. Dalam pelaksanaan untuk memproduksi listrik diperlukan debit air yang bersumber dari sungai Musi. Debit pasti yang dihasilkan PLTA Musi sebesar 15,5 m3/detik atau sebesar 95% dari jumlah debit keseluruhan. Debit pembangkitan dari PLTA Musi sebesar 62,03 m3/detik untuk operasi tiga unit. Sedangkan debit rata-rata pembankit sebesar 35,7 m3/detik dan debit tetap yang dilepas ke hilir dam Musi sebesar 1,1 m3/detik.
Tujuan
Mengetahui model data Outflow PT. PLN (persero) Pembangkitan Sumbagsel Sektor Pembangkitan Bengkulu dari tanggal 1 desember 2011 sampai 18 Juni 2012.
Melakukan peramalan jumlah Outflow PT. PLN (persero) Pembangkitan Sumbagsel Sektor Pembangkitan Bengkulu untuk 10 tahun kedepan dengan bantuan software minitab, eviews dan bahasa pemprograman R.

TINJAUAN PUSTAKA
ARIMA
Model ini merupakan Varian Box-Jenkins dari model ARMA yang digunakan untuk aplikasi time series yang tidak stationer, dimana time series yang tidak stationer diubah terlebih dahulu menjadi stationer setelah dilakukan proses differencing.
Secara umum model ARIMA(p,d,q) terdiri dari tiga bagian, yaitu : komponen proses differencing sehingga time series tidak stationer menjadi stationer setelah d proses differencing, komponen autoregressive AR(p), dan komponen moving average MA(q) (Sutrisno, 2009).

Runtun Waktu
Dasar pemikiran time series adalah pengamatan sekarang tergantung pada satu atau beberapa pengamatan sebelumnya.
Model-Model Runtun Waktu
Model Autoregresif (AR(p))
Bentuk umum suatu proses autoregresif tingkat (AR(p)) adalah
Zt=β1Zt-1+β2Zt-2+…+βpZt-p+et (1)
Model Moving Average (MA(q))
Bentuk umum suatu proses autoregresif tingkat (MA(q)) adalah
Zt=ao+et-a1et-1-…-aqet-q (2)
Model Autoregresive Moving Average (ARMA(p,q))
Suatu perluasan yang dapat diperoleh dari model AR dan MA adalah model campuran yang berbentuk
Zt=βo+β1Zt-1+…+βpZt-p+et-a1et-1+…+aqet-q (3)
Model Autoregresive Integrated Moving Average (ARIMA(p,d,q))
Bentuk umum suatu proses autoregresif tingkat (ARMA) adalah
Zt=β1Zt-1+…+βpZt-p+et+a1et-1+…+aqet-q (4)

METODE PENELITIAN
Jenis dan Sumber Data
Data yang diunakan untuk penelitian ini adalah data sekunder dari 1 Desember 2011 sampai dengan 18 Juni 2012 (data harian). Data berupa jumlah debit air Dam PLTA Musi dari PT. PLN (persero) Pembangkitan Sumbagsel Sektor Pembangkitan Bengkulu.
Teknik Analisis Data
Suatu model time series dikatakan baik apabila telah sesuai dengan kenyataan. Dengan kata lain, apabila kesalahan (error) model semakin kecil, maka model bisa dikatakan baik (Iriawan, 2006).
Analisis Data dilakukan menggunakan metode ARIMA dengan bantuan software statistika yaitu Minitab 15, Eviews 7 dan R.
Langkah–langkah penerapan metode ARIMA secara berturut-turut adalah:
1. Pemeriksaan Kestasioneran Data
2. Identifikasi model dalam ARIMA. Melalui plot ACF dan PACF kita dapat menentukan model ARIMA yang bisa digunakan dalam prediksi.
3. Penentuan Parameter p, d dan q dalam ARIMA.
4. Penentuan persamaan model ARIMA. Koefisien-koefisien yang digunakan dihasilkan dari hasil analisis parameter model ARIMA dengan MSE yang terkecil.
5. Validasi Prediksi.
6. Prediksi. Langkah selanjutnya adalah dengan menggunakan model terbaik untuk prediksi. Jika model terbaik telah ditetapkan, model itu siap digunakan untuk prediksi debit air.

Variabel Penelitian
Variabel dalam penelitian ini adalah data debit air Dam PLTA Musi dalam meter kubik per detik selama 201 hari terhitung 1 Desember 2011 sampai dengan 18 Juni 2012 .

Software yang digunakan
Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah Minitab 15, Eviews 7 dan R.

Algoritma Metode ARIMA
Langkah-langkah penerapan metode ARIMA secara berturut-turut akan diterangkan dalam bentuk flowchat sebagai berikut:
Data Univariat
Data Univariat

correlogram
correlogram


ACF dan PACF
ACF dan PACF
Differensi
Differensi
Stationer ?
Stationer ?
Cek Korrelasi Residual:PACF dan ACF
Cek Korrelasi Residual:
PACF dan ACF

identifikasi
identifikasi
Signifikan ?
Signifikan ?

Estimasi Parameter AR dan MA
Estimasi Parameter
AR dan MA

Uji Korelasi
Uji Korelasi
Diagnosa Model
Diagnosa Model
Uji KenormalanModel Terbaik
Uji Kenormalan
Model Terbaik

Peramalan
Peramalan


Gambar 1 Flowchat langkah-langkah penerapan metode ARIMA


HASIL DAN PEMBAHASAN
Deskriptif
Data yang digunakan adalah data harian debit air Dam PLTA Musi pada hari pertama bulan Desember 2011 sampai dengan hari ke delapan belas Juni 2013. Data tersebut merupakan data time series.
Analisis Runtun Waktu
Dari data Outflow Dam PLTA Musi didapatkan grafik uji stasioneritas:
Gambar 2 Grafik Stasioneritas Data Debit Air

Dari Gambar 2 dapat dilihat data Debit Air belum stasioner sehingga perlu dilakukan differensi. Setelah differensi satu kali didapatkan grafik uji stasioneritas:

Gambar 3 Grafik Stasioneritas Data Debit Air dengan Differensi satu Kali
Dapat dilihat dari gambar 3 setelah proses differensi pertama data sudah stationer pada rata-rata dan diperoleh model awal ARIMA(1,1,1), ARIMA(0,1,1), ARIMA(0,1,2), ARIMA(0,1,3), ARIMA(1,1,2), ARIMA(1,1,3), ARIMA(4,1,2), ARIMA(4,1,3), ARIMA(1,1,0), ARIMA(4,1,0) .

4.3. Analisis Model dengan Program Minitab
Dengan menggunakan program minitab, diperoleh tabel berikut ini:
Tabel 2 Pemilihan Model Terbaik dengan minitab
Model
Koef
T-value
Ρ-value
MSE
ARIMA(1,1,1)
0.177
1.69
0.093
14.17

0.7536
10.77
0.000

ARIMA(0,1,1)
0.6651
12.54
0.000
14.29
ARIMA(0,1,2)
0.1362
1.93
0.055
14.12
ARIMA(0,1,3)
-0.024
-0.34
0.738
14.18
ARIMA(1,1,2)
-0.039
-0.07
0.941
14.19

0.1593
0.47
0.64

ARIMA(1,1,3)
-0.6096
-1.91
0.058
14.12

0.219
2.99
0.003

ARIMA(4,1,2)
-0.3833
-3.93
0.000
13.42

-0.4572
-3.05
0.003

ARIMA(4,1,3)
-0.2573
-2.44
0.016
13.05

0.4491
3.66
0.000

ARIMA(1,1,0)
-0.3447
-5.18
0.000
16.71
ARIMA(4,1,0)
-0.0191
-0.26
0.792
13.58

Dari beberapa model tersebut akan dipilih model terbaik yang memiliki parameter signifikan yan memenuhi beberapa kriteria diantaranya memiliki nilai ρ-value yang lebih kecil dari 0,05 sedangkan untuk T-valuenya lebih besar dari nilai Z0,05 = 1,96, serta memiliki mean square error (MSE) terkecil. Sehingga model ARIMA sementara yang memenuhi kriteria model terbaik adalah ARIMA (0,1,1).

4.4. Analisis Model dengan Program Eviews
Dengan menggunakan program eviews, diperoleh tabel berikut ini:
Tabel 3 Pemilihan Model Terbaik dengan EVIEWS
Model
Koefisien
p-value
"IRM"
ARIMA(1,1,1)
0.526121
0.0000
0.53

-0.989569
0.0000
0.99
ARIMA(0,1,1)
-0.665252
0.0000
0.67
ARIMA(0,1,2)
0.093800
0.1867
0.31
ARIMA(0,1,3)
-0.273262
0.0001
0.65
ARIMA(1,1,2)
-0.601404
0.0000
0.60

-0.452836
0.0000
0.67
ARIMA(1,1,3)
-0.334058
0.0000
0.33

-0.260318
0.0004
0.64
ARIMA(4,1,2)
0.177959
0.0136
0.65

-0.675166
0.0000
0.68
ARIMA(4,1,3)
0.205911
0.0065
0.67

-0.216420
0.0047
0.60
ARIMA(1,1,0)
-0.334601
0.0000
0.33
ARIMA(4,1,0)
0.243199
0.0006
0.70

Dari tabel 3 dengan α=0.01 dapat terlihat bahwa model yang memililiki nilai probabilitas yang signifikan dan nilai "IRM"<1 adalah ARIMA(1,1,1), ARIMA(0,1,1), ARIMA(0,1,3), ARIMA(1,1,2), ARIMA(1,1,3),), ARIMA(4,1,3), ARIMA(1,1,0), dan ARIMA(4,1,0). Langkah selanjutnya akan dilakukan dengan uji asumsi residual. Denan menunakan software eviews di peroleh hasil penujian non-autokorelasi, homoskedasitas, dan normalitas residual ditampilkan pada tabel dibawah ini:
Tabel 4 Perbandingan model berdasarkan asumsi
Model
Uji Asumsi Residual

non – autokorelasi
homoskedasitas
normalitas residual
ARIMA (1,1,1)



ARIMA (0,1,1)



ARIMA (0,1,3)
X
X

ARIMA (1,1,2)


X
ARIMA (1,1,3)
X
X

ARIMA (4,1,3)
X
X

ARIMA (1,1,0)
X
X

ARIMA (4,1,0)
X
X


Dari tabel diatas model yang dapat dibandingkan adalah model ARIMA (1,1,1) dan ARIMA (0,1,1) . Untuk memilih model terbaik digunakan kriteria BIC dan AIC . Diperoleh nilai BIC dan AIC model ARIMA(1,1,1) berturut turut adalah 5.555587 dan 5.505939, sedangkan untuk ARIMA(0,1,1) berturut turut adalah 5.514044 dan 5.497553. sehingga model ARIMA (0,1,1) mempunyai nilai BIC dan AIC minimum dibandingkan model ARIMA (1,1,1). Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa model ARIMA (0,1,1) adalah model yang terbaik.

4.4. Analisis Model dengan Program R
Denan menggunakan proram R diperoleh tabel dibawah ini:

Tabel 5 Pemilihan Model Terbaik dengan proram R
Model
koefisien
S.E
Like Lihood
AIC
ARIMA(1,1,1)
0.1787
0.1017
-547.96
1101.91

-0.7507
0.0658


ARIMA(0,1,1)
-0.6608
0.0564
-549.54
1103.09
ARIMA(0,1,2)
-0.137
0.0676
-547.63
1101.25
ARIMA(0,1,3)
0.0237
0.0789
-547.58
1103.16
ARIMA(1,1,2)
-0.0394
0.769
-547.62
1103.23

-0.1603
0.1729


ARIMA(1,1,3)
-0.607
0.1907
-546.57
1103.14

-0.2137
0.0968


ARIMA(4,1,2)
0.3162
0.0731
-539.69
1093.38

-0.0667
0.193


ARIMA(4,1,3)
-0.2501
0.1109
-538.75
1093.35

-0.4431
0.1325


ARIMA(1,1,0)
-0.3411
0.0674
-564.7
1133.39
ARIMA(4,1,0)
-0.019
0.0723
-543.09
1096.18

Dari tabel 5 diperoleh model ARIMA(0,1,1) merupakan model terbaik, hal ini dikarenakan model ARIMA(0,1,1) memiliki nilai standar error minimum.

4.5. Peramalan Data Debit Air Harian di PT. PLN (persero) Pembangkitan Sumbagsel Sektor Pembangkitan Bengkulu
Langkah terakhir dalam analisis runtun waktu adalah menentukan peramalan atau prediksi periode selanjutnya. Dalam pembahasan ini akan diramalkan jumlah debit air PLTA Musi dengan menggunakan software minitab 15, eviews 7 dan R.

Tabel 6 peramalan data debit air dengan software minitab 15 dari 19 Juni 2012 sampai denan 15 November 2012
No.
Tanggal/Bulan/Tahun
Forecast
1.
19/Juni/2012
23,3427
2.
20/Juni/2012
23,3389
3.
21/Juni/2012
23,3351
4.
22/Juni/2012
23,3312
5.
23/Juni/2012
23,3274
6.
24/Juni/2012
23,3236
7.
25/Juni/2012
23,3198
8.
26/Juni/2012
23,3160
9.
27/Juni/2012
23,3122
10.
28/Juni/2012
23,3083
11.
29/Juni/2012
23,3045
12.
30/Juni/2012
23,3007
13.
01/Juli/2012
23,2969
14.
02/Juli/2012
23,2931
15.
03/Juli/2012
23,2893
16.
04/Juli/2012
23,2854
17.
05/Juli/2012
23,2816
18.
06/Juli/2012
23,2778
19.
07/Juli/2012
23,2740
20.
08/Juli/2012
23,2702
21.
09/Juli/2012
23,2664
22.
10/Juli/2012
23,2625
23.
11/Juli/2012
23,2587
24.
12/Juli/2012
23,2549
25.
13/Juli/2012
23,2511
26.
14/Juli/2012
23,2473
27.
15/Juli/2012
23,2435
28.
16/Juli/2012
23,2396
29.
17/Juli/2012
23,2358
30.
18/Juli/2012
23,2320
31.
19/Juli/2012
23,2282
32.
20/Juli/2012
23,2244
33.
21/Juli/2012
23,2206
34.
22/Juli/2012
23,2167
35.
23/Juli/2012
23,2129
36.
24/Juli/2012
23,2091
37.
25/Juli/2012
23,2053
38.
26/Juli/2012
23,2015
39
27/Juli/2012
23,1977
40.
28/Juli/2012
23,1938
41.
29/Juli/2012
23,1900
42.
30/Juli/2012
23,1862
43.
31/Juli/2012
23,1824
44.
01/Agustus/2012
23,1786
45.
02/Agustus/2012
23,1748
46.
03/Agustus/2012
23,1709
47.
04/Agustus/2012
23,1671
48.
05/Agustus/2012
23,1633
49.
06/Agustus/2012
23,1595
50.
07/Agustus/2012
23,1557
51.
08/Agustus/2012
23,1519
52.
09/Agustus/2012
23,1480
53.
10/Agustus/2012
23,1442
54.
11/Agustus/2012
23,1404
55.
12/Agustus/2012
23,1366
56.
13/Agustus/2012
23,1328
57.
14/Agustus/2012
23,1290
58.
15/Agustus/2012
23,1252
59.
16/Agustus/2012
23,1213
60.
17/Agustus/2012
23,1175
61.
18/Agustus/2012
23,1137
62.
19/Agustus/2012
23,1099
63.
20/Agustus/2012
23,1061
64.
21/Agustus/2012
23,1023
65.
22/Agustus/2012
23,0984
66.
23/Agustus/2012
23,0946
67.
24/Agustus/2012
23,0908
68.
25/Agustus/2012
23,0870
69.
26/Agustus/2012
23,0832
70.
27/Agustus/2012
23,0794
71.
28/Agustus/2012
23,0755
72.
29/Agustus/2012
23,0717
73.
30/Agustus/2012
23,0679
74.
31/Agustus/2012
23,0641
75.
01/September/2012
23,0603
76.
02/September/2012
23,0565
77.
03/September/2012
23,0526
78.
04/September/2012
23,0488
79.
05/September/2012
23,0450
80.
06/September/2012
23,0412
81.
07/September/2012
23,0374
82.
08/September/2012
23,0336
83.
09/September/2012
23,0297
84.
10/September/2012
23,0259
85.
11/September/2012
23,0221
86.
12/September/2012
23,0183
87.
13/September/2012
23,0145
88.
14/September/2012
23,0107
89.
15/September/2012
23,0068
90.
16/September/2012
23,0030
91
17/September/2012
22,9992
92.
18/September/2012
22,9954
93.
19/September/2012
22,9916
94
20/September/2012
2,9878
95.
21/September/2012
22,9839
96.
22/September/2012
22,9801
97.
23/September/2012
22,9763
98.
24/September/2012
22,9725
99.
25/September/2012
22,9687
100.
26/September/2012
22,9649
101.
27/September/2012
22,9610
102.
28/September/2012
22,9572
103.
29/September/2012
22,9534
104.
30/September/2012
22,9496
105.
01/Oktober/2012
22,9458
106.
02/Oktoberber/2012
22,9420
107.
03/Oktoberber/2012
22,9381
108.
04/Oktoberber/2012
22,9343
109.
05/Oktoberber/2012
22,9305
110.
06/Oktoberber/2012
22,9267
111.
07/Oktoberber/2012
22,9229
112.
08/Oktoberber/2012
22,9191
113.
09/Oktoberber/2012
22,9152
114.
10/Oktoberber/2012
22,9114
115.
11/Oktoberber/2012
22,9076
116.
12/Oktoberber/2012
22,9038
117.
13/Oktoberber/2012
22,9000
118.
14/Oktoberber/2012
22,8962
119.
15/Oktoberber/2012
22,8923
120.
16/Oktoberber/2012
22,8885
121.
17/Oktoberber/2012
22,8847
122.
18/Oktoberber/2012
22,8809
123.
19/Oktoberber/2012
22,8771
124.
20/Oktoberber/2012
22,8733
125.
21/Oktoberber/2012
22,8694
126.
22/Oktoberber/2012
22,8656
127.
23/Oktoberber/2012
22,8618
128.
24/Oktoberber/2012
22,8580
129.
25/Oktoberber/2012
22,8542
130.
26/Oktoberber/2012
22,8504
131.
27/Oktoberber/2012
22,8466
132.
28/Oktoberber/2012
22,8427
133.
29/Oktoberber/2012
22,8389
134.
30/Oktoberber/2012
22,8351
135.
31/Oktoberber/2012
22,8313
136.
01/November/2012
22,8275
137.
02/November/2012
22,8237
138.
03/November/2012
22,8198
139.
04/November/2012
22,8160
140.
05/November/2012
22,8122
141.
06/November/2012
22,8084
142.
07/November/2012
22,8046
143.
08/November/2012
22,8008
144.
09/November/2012
22,7969
145.
10/November/2012
22,7931
146.
11/November/2012
22,7893
147.
12/November/2012
22,7855
148.
13/November/2012
22,7817
149.
14/November/2012
22,7779
150.
15/November/2012
22,7740


Gambar 4 Grafik Peramalan Data Debit Air dengan Minitab
Pada gambar 4 terlihat jumlah debit air diawali dengan 23,3427 pada tanggal 19 Juni 2012 dan untuk peramalan kedepannya data mengalami penurunan, sampai dengan hari ke 351 jumlah debit air sebesar 22,7740. Dari gambar 4 juga terlihat bahwa data sudah stasioner hal ini karena data mengalami penurunan yang tidak terlalu signifikan.


Gambar 4 Grafik Peramalan Data Debit Air dengan Eviews
Kesimpulan
Model untuk jumlah debit air adalah ARIMA (0,1,1) menggunakan software minitab 15, Eviews 7, dan R berturut-turut diberikan pada persamaan sebagai berikut :
Zt = -0,00382 – 0,6651 et-1 + et
Zt = 0,000844 + 0,665252 et-1 + et
Zt = C+0,6608 et-1 + et