BAB 8. DISTRIBUSI SAMPEL
Departemen Teknik Kimia Fakultas Teknik Universitas Indonesia
Populasi VS Sampel
Populasi
Keseluruhan pengamatan yang diteliti.
Ada 2 macam, macam, populasi terbatas dan dan tak terbatas.
Ukuran populasi : banyaknya banyaknya pengamatan (N)
Karakteristik : ciri atau sifat dari populasi
Parameter : hasil pengukuran karakteristik (µ dan σ)
Sensus : cara mengumpulkan data
Populasi VS Sampel
Populasi
Keseluruhan pengamatan yang diteliti.
Ada 2 macam, macam, populasi terbatas dan dan tak terbatas.
Ukuran populasi : banyaknya banyaknya pengamatan (N)
Karakteristik : ciri atau sifat dari populasi
Parameter : hasil pengukuran karakteristik (µ dan σ)
Sensus : cara mengumpulkan data
Populasi VS Sampel (lanjutan) Kelemahan Populasi : 1.
Memerlukan biaya yang sangat mahal
2.
Memerlukan waktu yang lama
3.
Memerlukan tenaga dalam jumlah yang besar
4.
Data yang diperoleh tidak akurat
Populasi VS Sampel (lanjutan) Sampel Mengambil sebagian anggota dari populasi. Sampel ada 2, sampel besar dan sampel kecil. Fungsinya untuk menyimpulkan atau mengetahui karakteristik atau parameter dari populasi (potret / gambaran dari populasi). Ukuran sampel : banyaknya pengamatan (n) Statistik : hasil pengukuran karakteristik (X dan S) Sampling : cara mengumpulkan data
Populasi VS Sampel (lanjutan) Sampling
Populasi
Sampel
Populasi
Sampel
N
n
Parameter
Statistik
µ
X
σ
S
Terbatas / Tak terbatas
Besar / Kecil
Populasi VS Sampel (lanjutan) Keuntungan Sampel : Biaya lebih murah 1. Waktu yang lebih singkat 2. 3. Tenaga yang diperlukan lebih sedikit 4. Data yang diperoleh lebih akurat Sampel harus representatif dengan ciri-ciri : 1. Mempunyai ukuran tertentu yang memakai syarat 2. Mempunyai kesalahan kecil Dipilih dengan prosedur yang benar berdasarkan 3. teknik atau cara sampling tertentu.
Teknik Sampling Ada 2 macam, sampel probabilitas dan non probabilitas. Sampel probabilitas ada empat teknik yang semuanya dapat dilakukan dengan pengembalian atau tanpa pengembalian, yaitu : 1.Teknik pengambilan dengan acak sederhana 2.Teknik pengambilan dengan acak sistematis 3.Teknik pengambilan dengan acak stratifikasi 4.Teknik pengambilan dengan acak kluster
Teknik Pengambilan dengan Acak Sederhana Pengambilan sampel sebanyak n dimana setiap anggota populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk terambil. Teknik ini dipilih jika populasinya homogen. Biasanya dilakukan dengan : 1.Menggunakan 2.Dengan
undian.
tabel bilangan acak.
Teknik Pengambilan dengan Acak Sistematis Dengan mengambil unsur ke-k dalam populasi dimana titik awalnya ditentukan secara acak diantara k unsur tersebut. Sering digunakan karena dapat menarik kesimpulan yang tepat mengenai parameter populasi sebab sampelnya menyebar secara merata di seluruh populasi.
Teknik Pengambilan dengan Acak Stratifikasi Dilakukan dengan membagi populasi menjadi beberapa strata (tingkatan) kemudian sampel diambil secara acak dari setiap tingkatan. Teknik ini dilakukan bila populasinya heterogen. Cara pengambilan sampel untuk setiap tingkatan tidak sama, harus sebanding dengan jumlah anggota setiap tingkatan (proporsional). Rumusnya :
ni =
N i N
n
Teknik Pengambilan dengan Acak Kluster Mengambil beberapa kluster (kelompok) secara acak kemudian semua atau sebagian dari anggota masing-masing kelompok diambil secara acak sebagai sampel.
Distribusi Sampel
Ada empat macam distribusi sampel : 1.
Distribusi sampel rata-rata
2.
Distribusi sampel proporsi
3.
Distribusi sampel beda dua rata-rata
4.
Distribusi sampel beda dua proporsi
Distribusi Sampel Rata-rata Bila populasi terbatas berukuran N dengan rata-rata µx dan simpangan baku σx diambil sampel berukuran n secara berulang tanpa pengembalian, maka diperoleh : 1. Distribusi sampel rata-rata µ X = µ X 2. Simpangan baku σX =
σX
N - n
n
N - 1
dimana
N - n N - 1
disebut faktor koreksi
Distribusi Sampel Rata-rata (lanjutan) Bila n>=30, maka distribusi sampelnya akan mendekati distribusi normal sehingga variabel random Z dapat dihitung dengan rumus :
Z=
X - µX σX
=
X - µX σX
Distribusi Sampel Rata-rata (lanjutan) Contoh : Kecepatan maksimum 2000 mobil mempunyai rata-rata 135,5 km/jam dengan simpangan baku 5,2 km/jam. Jika sampel sebesar 150 mobil dipilih secara acak tanpa pengembalian, hitung probabilitas kecepatan maksimum rata-rata dari 150 mobil tersebut yang lebih besar dari 136,1 km/jam! Jawab :
σX =
Z=
σX
N - n
n
N - 1
X - µX σX
=
=
5,2 150
.
136,1 - 135,5 0,41
2000 − 150 2000 − 1
= 0,41
= 1,46
Jadi probabilitas kecepatan maksimum rata-rata mobil yang lebih besar dari 136,1 km/jam adalah P(X>136,1) = P(Z>1,46) = 1- P(Z<1,46)=1-0,9279=0.0721
Distribusi Sampel Proporsi Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai : 1. Rata-rata
µ pˆ = µ p =
X N
2. Simpangan baku
σ pˆ = 3. Variabel random
Z=
p(1 - p ) N - n . n N - 1
pˆ - p σ pˆ
Distribusi Sampel Proporsi (lanjutan) Contoh : Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Yogyakarta memakai detergen A untuk mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 : a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang memakai detergen A! b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakai detergen A, tentukan probabilitasnya! Jawab : a. Rata-rata = 0,1
σ pˆ =
p(1 - p ) n
=
0,1.0,9 100
= 0,03
b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15
Z=
pˆ - p σ pˆ
=
0,15 - 0,1 0,03
= 1,67
P(Z>1,67) = 0,5 - 0,4525 = 0,0475
Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata Terdapat 2 populasi. Populasi 1 sebanyak N 1 dan mempunyai rata-rata µ1 serta simpangan baku σ1. Populasi 2 sebanyak N 2 mempunyai rata-rata µ2 serta simpangan baku σ2. Dari populasi 1 diambil sampel acak sebanyak n 1 dengan rata-rata X1 dan dari populasi 2 sampel acak sebanyak n 2 dengan rata-rata X2 dimana kedua sampel tersebut dianggap saling bebas. Dari sampel X1 dan X2 dapat dibuat sampel baru yang juga bersifat acak, yaitu sampel beda dua rata-rata. Rata-rata dan simpangan baku dari distribusi sampel beda dua rata-rata adalah : Rata - rata : µ X1 − X 2 = µ1 - µ 2
( N1 + N 2 ) − (n1 + n 2 ) ( N1 − N 2 ) − 1 n1 n2 (X1 − X2)− (µ1 - µ 2 )
Simpangan baku : σ X1 − X 2 = Variabel random : Z =
σ1
2
+
σ2
σ X1 − X 2
2
.
Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata (lanjutan) Contoh : Di suatu universitas diketahui rata-rata tinggi badan mahasiswa laki-laki adalah 164 cm dengan simpangan baku 5,3 cm. Sedangkan mahasiswa perempuan tinggi badannya rata-rata 153 cm dengan simpangan baku 5,1 cm. Dari dua populasi tersebut diambil sampel acak yang saling bebas masing-masing 150 orang, berapa probabilitas rata-rata tinggi mahasiswa laki-laki paling sedikit 12 cm lebihnya daripada ratarata tinggi mahasiswa perempuan?
Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata (lanjutan) Jawab : Diketahui populasi 1 : µ1 = 164 cm , σ1 = 5,3 cm dan sampel 1 : n1 = 150 orang populasi 2 : µ 2 = 153 cm , σ 2 = 5,1 cm dan sampel 2 : n 2 = 150 orang Misal X1 = rata - rata tinggi badan mahasiswa laki - laki X 2 = rata - rata tinggi badan mahasiswa perempuan Rata - rata : µ X1 − X 2 = µ1 − µ 2 = 164 - 153 = 11 cm σ1
Simpangan baku : σ X1 -X 2 = Z=
(X
1
)
- X 2 - (µ1 - µ 2 ) σ X1 -X 2
=
2
n1
(X
1
+
σ2
2
n2
=
5,32 150
+
5,12 150
= 0,6
)
- X 2 - 11 0,6
Karena rata - rata tinggi badan mahasiswa laki - laki paling sedikit 12 cm lebihnya daripada rata - rata tinggi
(
)
badan mahasiswa perempuan, maka X1 - X 2 ≥ 12 sehingga Z=
12 - 11 0,6
= 1,67 sehingga probabilitasnya P(Z ≥ 1,67) = 0,5 - 0,4525 = 0,0475
Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi Ada 2 populasi. Populasi 1 berukuran N1 terdapat jenis X1 dengan proporsi X1/N1. Populasi 2 berukuran N2 terdapat jenis X2 dengan proporsi X2/N2. Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran n 1 maka sampel ini akan mengandung jenis x1 dengan proporsi x1/n1. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak berukuran n 2 maka sampel ini akan mengandung jenis x 2 dengan proporsi x2/n2. Sampel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi. Distribusinya mempunyai :
Rata - rata : µ pˆ1 - pˆ 2 = p1 - p 2 Simpangan baku : σ pˆ1 - pˆ 2 = Variabel random : Z =
p1 (1 - p1 ) p 2 (1 - p 2 ) ( N1 + N 2 ) − (n1 + n 2 ) . + ( N1 − N 2 ) − 1 n1 n2
( pˆ1 - pˆ 2 ) - ( p1 - p 2 ) σ pˆ1 - pˆ 2
Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi (lanjutan) Contoh : 5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak 10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2% lebih banyak dibanding gudang timur!
Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi (lanjutan) Jawab : Gudang barat : n1 = 300, p1 = 0,1 Gudang timur : n 2 = 200, p 2 = 0,05 pˆ1 = proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel pˆ 2 = proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel σ pˆ1 - pˆ 2 =
Z=
p1 (1 - p1 ) p 2 (1 - p 2 ) + = n1 n2
0,1(0,9 ) 300
+
0,05(0,95) 200
= 0,023
( pˆ1 - pˆ 2 ) - ( p1 - p 2 ) ( pˆ1 - pˆ 2 ) - (0,1 - 0,05) =
σ pˆ1 - pˆ 2
0,023
Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka ( pˆ1 - pˆ 2 ) > 0,02 sehingga diperoleh : Z=
0,02 - 0,05 0,023
= - 1,3
Jadi probabilitasnya adalah P( pˆ1 - pˆ 2 > 0,02 ) = P(Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 = 90,32%
LATIHAN 1.
Pada suatu pengiriman barang yang terdiri dari 2000 tube elektronika telah diketahui terdapat 600 unit tube yang tidak memenuhi standar mutu. Jika sampel acak sebanyak 500 unit dipilih dari populasi tersebut tanpa pengembalian, berapakah probabilitas sampel populasi yang tidak memenuhi standar mutu : a. akan kurang dari 150/500 b. antara 144/500 sampai dengan 145/500 c. lebih besar dari 164/500
LATIHAN (lanjutan) 2. Besi baja yang diproduksi perusahaan A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs, sedangkan yang diproduksi perusahaan B mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi sebesar 90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak 50 diambil dari perusahaan A dan sampel random sebanyak 100 diambil dari perusahaan B, berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs?
SAMPEL RANDOM & DISTRIBUSI SAMPLING Sampel Random adalah sampel yang diambil dari suatu populasi dan tiap elemennya mempunyai peluang yang sama untuk terambil.
Distribusi Sampling :
Sifat Distribusi Sampling : 1. Jika sampel random dengan n elemen diambil dari suatu populasi dengan mean µ dan variansi , maka distribusi sampling harga mean mempunyai mean = dan variansi = 2. Jika populasinya berdistribusi normal, maka distribusi sampling harga mean berdistribusi normal juga Jika sampel-sampel random diambil dari suatu populasi 3. yang berdistribusi sembarang dengan mean µ dan variansi , maka untuk n > 30 :
Teorema Limit Pusat
Sampel Random : 1.
Dengan Pengembalian : dan
2.
atau
Tanpa Pengembalian : dan Jika N sangat besar relative terhadap n, (N tidak disebutkan), maka : atau
Dalam Distribusi Sampling :
Contoh : 1)
Suatu sampel random dengan 60 mahasiswa diambil dari suatu populasi dengan N orang mahasiswa yang mempunyai IQ rata-rata (mean = 120) dan variansi = 280. (sampel diambil tanpa pengembalian) c) Jika N = 400, hitung :
(i) (P(110 ≤ (ii) P(
≤ 125 )
≥130)
d) Jika N sangat besar , hitung : P(110≤
≤125)
Jawab : Diketahui : µ = 120 a)
Jika N = 400 : = µ = 120
P(110
≤
≤ 125 )
= 280
P(
≥130)
P(120≤
≤130)
= P(0 ≤ Z ≤
)
= P(0 ≤ Z ≤ 5,00) A = 0,5 P(
≥130) = 0,5 – 0,5 = 0
b)
Jika N sangat besar (relatif terhadap n=60)
= P(-4,63≤ Z ≤ 2,31 ) = 0,5 + 0,4896 = 0,9896
2)
Suatu sampel dengan 40 elemen diambil dari suatu populasi dengan mean = 4,14 dan variansi = 84,64. Hitung probabilitas bahwa mean sampel terletak antara 40 dan 45. Jawab : Diketahui : µ = 41,4,
= 86,64, n = 40
N tidak disebutkan (anggap bahwa N besar sekali) Distribusi sampling harga mean : = µ = 41,4
DISTRIBUSI NORMAL : µ : nilai rata-rata populasi
xi : nilai variabel random τ : standard deviasi populasi SOAL : Seorang siswa memperoleh nilai ujian matakuliah A=60, sedangkan nilai rata-rata kelas=65 dan standard deviasi=10. Pada matakuliah B ia memperoleh nilai ujian=62, sedangkan nilai rata-rata kelas=66 dan standard deviasi=5 Pertanyaan : Pada matakuliah manakah siswa tersebut berada pada posisi yang lebih baik ?
SOAL : Sebuah pabrik bola lampu setiap bulannya rata-rata memproduksi sebanyak 25.000 unit bola lampu dengan standard deviasi=4000 unit. Bila produksi lampu selama satu periode tertentu dianggap berdistribusi normal, maka hitunglah probabilitas akan diperoleh : a) Tingkat produksi perbulan antara 26.000 – 27.500 b) Tingkat produksi kurang dari 27.000 unit c) Tingkat produksi lebih dari 30.000 unit
SOAL : Ujian negara statistik pada akhir tahun 1990 diikuti sebanyak 2.000 peserta dengan rata-rata nilai ujian=58 dari variansi=100. Bila distribusi nilai ujian dianggap berdistribusi normal, maka hitunglah probabilitas : a) Peserta yang memperoleh nilai (Xi ≥ 70) b) Bila nilai ujian untuk lulus=53,5 maka berapa persen yang tidak lulus c) Bila terdapat 5% peserta yang memperoleh nilai A, maka berapa nilai minimal (terendah) untuk memperoleh nilai A
PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL MENJADI DISTRIBUSI BINOMIAL SOAL : Bila diketahui bahwa 64% anggota MPR yang dipilih memiliki umur 50 tahun. Jika dari anggota MPR tersebut dipilih 100 orang anggota secara random maka berapakah probabilitasnya : a) Bahwa proporsi dari anggota MPR tersebut ≤ 60% nya berumur 50 tahun b) Bahwa proporsi dari anggota MPR tersebut berkisar antara 70% - 75% nya berumur 50 tahun
SOAL : Pengawas produksi ban Bridgestone menemukan bahwa rata-rata produksi ban yang cacat mencapai 2% dari total produksi yang ada. Bila dari seluruh produksi tersebut diambil sebanyak 400 ban secara random (acak), maka berapakah probabilitasnya : a) Ban yang cacat ≤ 3% (Xi ≤ 3%) b) Ban yang cacat antara 1,5% - 2,5 %
DISTRIBUSI SAMPLING MEAN : SOAL : Pabrik alat elektronik SONY memproduksi sejenis adaptor yang memiliki rata-rata umur pemakaian = 800 jam(µ) dengan standar deviasi = 40 jam (S). Hitunglah probabilitasnya bila dipilih 16 sampel secara random akan memiliki umur rata-rata : a) Kurang dari 775 jam b) Antara 780 jam – 820 jam c) Lebih dari 810 jam
