Tensor de Esfuerzos
Ayudante: Diego Acevedo C. Profesor: Cristian Orrego B.
2015
M
á i
d R
I
2015
M
Teoría
i.
Esfuerzos principale principales s
ii.
Matriz de cosenos directores
iii.
Tensor de esfuer esfuerzo zo
iv.
Rotación de esfuer esfuerzos zos Tridimensiona ridimensionall
Ejercicio N°1
Ejercicio N°2
á i
d R
I
2
2015
Conceptos Básicos
3
M
á i
d R
I
3
“Independientemente del estado tensional en un punto, siempre es posible hacer pasar un
plano a través de él en que el plano se denomina
. El esfuerzo normal actuante en este ”. ( Fundamentos de geomecánica, DIMIN, USACH)
En un problema tridimensional , existen 3 planos con estas características, que son ortogonales entre sí y sobre los cuales actúan los siguientes esfuerzos:
II
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M
á i
d R
I
4
Las orientaciones que actúan los esfuerzos principales mayor y menor , son los siguientes:
σ₁
σ₃
II
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M
á i
d R
I
5
II
2015
M
á i
d R
I
6
El calculo del tensor de esfuerzo se realiza finalmente a través de la matriz original y transpuesta de cosenos directores junto a la matriz de esfuerzos principales
II
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M
á i
d R
I
7
Para obtener los esfuerzos correspondiente en un plano inclinado, se debe rotar el tensor de esfuerzo obteniendo los esfuerzos cortantes y normales a ese plano. Para ello se realiza un nuevo sistema de coordenadas, utilizando una nueva matriz de cosenos directores para la posterior rotación del tensor.
II
2015
M
á i
d R
I
8
Por lo tanto, a partir del tensor de esfuerzo, se obteniene el tensor de esfuerzo en cualquier otra orientación a través de la siguiente expresión:
II
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M
á i
d R
I
9
2015
Tensor de Esfuerzo
10
M
á i
d R
I
En una mina subterránea, se explota un macizo rocoso con una densidad del orden de 2.7 (Ton/ m3). Se ha decidido realizar 2 mediciones de esfuerzo, todas a una profundidad de 800 (m), los resultados se muestran en la Tabla a continuación. Se solicita a usted como Ingeniero(a) Geomecánico, determinar en función de los resultados obtenidos, la conveniencia de realizar un túnel con un rumbo N-S.
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Test N°
σ₁ ( Mpa)
AZ(°)
I₁(°)
σ₂(Mpa)
AZ(°)2
I₂(°)
σ₃(Mpa)
AZ(°)3
I₃(°)
1
55
80
-3
29
170
-1
21
260
-87
2
62
86
-1
30
176
-2.5
19
266
-89
M
á i
d R
I
11
Test N°
σ₁
AZ(°)
I₁
σ₂
1
55
80
-3
2
62
86
-1
AZ(°)
ᵦ
80
10
-3
170
-80
-1
260
-170
-87
AZ(°)
I₂
σ₃
29
170
-1
30
176
-2.5
ᵟ
55
0
0
0
29
0
0
0
21
M
AZ(°)
I₃
21
260
-87
19
266
-89
Si no es conocido el Tensor, entonces primero se debe identificar la matriz de esfuerzos principales, el cual tiene todos sus esfuerzos de corte nulos. Luego, obtenemos los valores de ᵦ , los cuales se representan como se evidencia en la siguiente diapositiva.
₁₂₃ =
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á i
d R
I
12
Y AZ=80°
AZ=260°
x
AZ=170°
II
2015
M
á i
d R
I
13
Con los valores de la proyección ᵦ y la inclinación , se genera la matriz de Cosenos Directores. Su formulismo se presenta a continuación junto a los resultados de la matriz para este ejercicio.
II
2015
Cos
(-3)
* Cos (-10)
Cos
(-3)
*
Sen (-10)
Sen
(-3)
Cos
(-1)
* Cos (-80)
Cos
(-1)
*
Sen (-80)
Sen
(-1)
Cos
(-87) * Cos (-170)
Cos
(-87)
*
Sen (-170)
Sen
(-87)
0.98
0.17
-0.05
0.17
-0.98
-0.02
-0.05
-0.01
-1.00
M
á i
d R
I
14
0.98 0.17 -0.05
0.17 -0.98 -0.02
-0.05 -0.01 -1.00
Finalmente, para obtener el tensor, se debe multiplicar las siguientes matrices: Matriz Transpuesta de Cosenos directores, Matriz de esfuerzos Principales y Matriz de Cosenos directores.
0.98 0.17 -0.05
II
2015
0.17 -0.98 -0.02
-0.05 -0.01 -1.00
55
0
0
0
29
0
0
0
21
X
54.13
4.43
-1.84
4.43
29.77
0.19
-1.84
0.19
21.10
M
á i
d R
I
X
0.98 0.17 -0.05
0.17 -0.98 -0.01
-0.05 -0.02 -1.00
15
Se realiza el mismo procedimiento que el Test N°1. Los resultados son los siguientes: ₁₂₃ =
62 0 0
0 30 0
1.00 0.07 -0.02
0.07 -1.00 0.00
1.00 0.07 -0.02
2015
0.07 -1.00 -0.04
0 0 19
-0.02 -0.04 -1.00
-0.02 0.00 -1.00
57.98
3.33
-1.34
3.33
29.94
0.72
-1.34
0.72
20.09
M
á i
d R
AZ(°)
ᵦ
86
4
-1
176
-86
-2.5
266
-176
-89
ᵟ
61.83
2.23
-0.84
2.23
30.10
1.25
-0.84
1.25
19.07
, El calculo del promedio se hace cuando ya se han obtenido los demás tensores.
I
16
57.98
3.33
-1.34
3.33
29.94
0.72
-1.34
0.72
20.09
, Sección Transversal E-W P =σ₁
58.03
20.04
57.98
-1.34
Q=σ₃
-1.34
20.09
Razón
, Sección Transversal N-S 29.94
0.72
P=σ₁
29.99
0.72
20.09
Q=σ₃
20.03
Razón
La razón es conocida como anisotropía de esfuerzos, a menor anisotropía se espera una mejor redistribución de esfuerzos entorno al túnel y en consecuencia que se minimice la sobre-excavación . Por lo anteriormente expuesto, se recomienda orientar el túnel con un 2015
M
á i
d R
I
17
Como resultado de una campaña de mediciones de esfuerzo realizada en una subterránea, mediante la técnica de Hollow Inclusion , se ha obtenido esfuerzos principales promedio el que se detalla a continuación. La direcciones se han especificado como azimut e inclinación, considerando que la inclinación sobre la horizontal se considera positiva. a) Determinar el tensor de esfuerzos referenciado a los ejes cartesianos. b) En el sector de interés existe una falla de mala calidad geotécnica caracterizada por un dip 60° y dipdir de 150°, la cual podría condicionar futuros diseños mineros en el sector. Por lo cual, se requiere estimar el estado de esfuerzos sobre la falla, determinando el esfuerzo normal actuante y su respectiva componente de corte total. 2015
M
á i
d R
I
18
σ₁ (Mpa)
AZ(°)
I₁
σ₂ (Mpa)
AZ(°)
I₂
σ₃ (Mpa)
AZ(°)
I₃
36.52
191.08
-3.91
31.78
281.39
-4.61
21.33
60.9
-83.95
a)
₁₂₃ =
36.52 0 0
0 31.78 0
-0.19 -0.98 -0.98 0.20 0.09 0.05
31.87 0.84 1.02
II
2015
0.84 36.30 0.85
0 0 21.33
AZ(°)
ᵦ
191.08
-101.08
-3.91
281.39
-191.39
-4.61
60.9
29.1
-83.95
ᵟ
-0.07 -0.08 -0.99
1.02 0.85 21.47
M
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d R
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19
b)
Dip= 60°
DipDir= 150° Rumbo N 60 E
Se realiza un sistema auxiliar de coordenadas, para poder obtener el nuevo tensor. Para ello, se hacen los siguientes pasos:
0.87 0.25 0.43
2015
0.87
0.50
0.00
0.25 0.43
-0.43 -0.75
-0.87 0.50
0.50 -0.43 -0.75
0.00 -0.87 0.50
31.87 0.84 1.02
X
33.70
-2.30
-1.37
-2.30
24.91
5.74
-1.37
5.74
31.02
M
á i
d R
0.84 36.30 0.85
I
Variables
ᵦ
ᵟ
x´ y´ Z´
30 -60 -60
0 -60 30
1.02 0.85 21.47
X
0.87
0.25
0.43
0.50 0.00
-0.43 -0.87
-0.75 0.50
20
AZ=60°
X´
Z´
AZ= 150° II
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Y´ 21
Z´
X´
Y´
II
2015
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d R
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22
La componente de corte total y normal del plano de falla se obtienen de la siguiente manera:
En este caso, los cortante a evaluar son y , los cuales son -1.37 y 5.74 Mpa , respectivamente. Utilizando la fórmula presentada anteriormente, entonces la componente de corte total es igual a 5.9 Mpa.
II
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d R
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23
