Mempelajari Tensor (range dua)
Oleh :
Moh. Rosyid Mahmudi Syafwa Oktawandi Fabian Rinaldi
Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor 2009
Mempelajari Tensor KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT atas semua karunia-Nya. Solawat dan salam ditujukan kepada Rasul SAW yang memberikan warisan ilmu agama dan ilmu kehidupan sehingga dunia menjadi terang-benderang. Dengan penuh syukur Alhamdulillah, kami akhirnya mampu menyelesaikan tulisan ini. Sebagai sebuah tugas semester tujuh dari mata kuliah zat padat di departemen fisika. Terima kasih kami ucapkan kepada Dr. Ir. Irzaman, M.Si, selaku dosen mata kuliah fisika zat pada ini. Beliaulah yang memiliki ide agar tulisan ini dibuat. Agar menjadi bahan pembejaran yang lebih terstruktur dan dapat diwariskan untuk angkatan berikutnya. Akan tetapi banyak sekali kekurangan yang ada dalam tulisan. Kritik dan saran untuk perbaikan tulisan ini sangat diharapkan.
Penulis
2009
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
2
Mempelajari Tensor DAFTAR ISI
I.
Pengertian Tensor............................................................................................... 4
II.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen............................................................................. 5
III.
Jenis – jenis Tensor.............................................................................................10
IV.
Tensor Simetris dan Anti simetris.......................................................................13
V.
Penerapan Tensor................................................................................................15
VI.
Sumber............................................................................................................. 17
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
3
Mempelajari Tensor I.
PENGERTIAN TENSOR
Kata
tensor
diperkenalkan pada tahun 1846 oleh William Rowan Hamilton untuk
menggambarkan operasi norma dalam suatu sistem aljabar jenis (akhirnya dikenal sebagai aljabar Clifford). Kata tensor digunakan dalam arti seperti saat ini oleh Woldemar Voigt pada 1898 Tensor adalah entitas geometri yang diperkenalkan ke dalam matematika dan fisika
untuk memperluas pengertian skalar, (geometris) vektor, dan matriks. Dalam fisika semua besaran adalah tensor. Tensor mempunyai range. Range pada tensor akan menunjukkan jumlah komponennya. Jumlah komponen dari sebuah tensor adalah n
3 , dengan n menyatakan range tensor tersebut. 1. Skalar merupakan tensor range nol (n=0). Mempunyai 1 komponen. Contoh : Kelajuan (v), Jarak (s), dan Energi (E). 2. Vektor merupakan tensor range 1 (n=1). Mempunyai 3 komponen yaitu komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z pada koordinat kartesian. Dan tetap mempunyai 3 komponen untuk sistem koordinat yang lain. Contoh : Posisi ( r) , terdiri dari rx , ry , rz , kecepatan (v), dan gaya ( F). 3. Sedangkan Tensor itu sendiri merupakan tensor range lebih dari 1 (n>1). Range 2 (n=2) . Mempunyai 9 komponen. Contoh
G xx B G ( r , r ' ) G yx G zx
Tensor Green
G xy G yy G zy
G xz
G yz G zz
Tensor Stress
Tensor yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah tensor range dua.
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
4
Mempelajari Tensor II.
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Nilai eigen suatu nilai yang menyatakan diri sendiri dari suatu matrik tersebut. Nilai eigen merupakan nilai yang khusus (khas) yang hanya dimiliki oleh matrik tersebut. Nilai eigen dapat dinyatakan sebagai berikut : Ar=
r
dengan A dan r adalah matrik sembarang. Dan adalah nilai eigen yang dimaksudkan.
a b c d
A
x dan r y a b x x c d y y ax by x cx dy y sehingga ax by x (a ) x by 0 cx dy y cx ( d ) y 0 maka b x 0 a c d y 0
Nilai matrik x , y tidak mungkin bernilai nol karena itu penyebab nol adalah matrik pertama. Sehingga nilai determinannya adalah nol. a
b
c
d
0 a d bc 0
Cara ini berlaku sama untuk matrik yang berukuran lebih dari 2 x 2. Dengan memasukkan nilai eigen yang telah didapatkan maka akan didapatkan vektor
x eigennya. Vektor eigen ditunjukkan oleh Fx,y) atau F Selain itu ada vektor y
x y , eigen ternormalisasi F= x 2 y 2 x 2 y 2
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
5
Mempelajari Tensor Contoh soal: Tentukanlah nilai eigen dan vektor eigen dari matrik berikut: i.
5 2 2 2
ii.
2 3 0 3 2 0 0 0 1 Jawab :
i.
5 2 2 2 Untuk matrik 2 x 2 kita sudah mendapatkan perumusannya di atas {(a )(d ) bc} 0 {(5 )(2 ) 4} 0
2 7 10 4 0 2 7 6 0 sehingga ( 6)( 1) 0 maka
1 1 2 6 Merupakan nilai eigen dari matrik di atas. Menghitung vektor eigen Untuk 1 1 (5 ) x 2 y 0
2 x (2 ) y 0
(5 1) x 2 y 0
2 x (2 1) y 0
4 x 2 y 0
2 x y 0
y 2 x
Sehingga vektor eigen adalah F 1 ( x, y) misal
x s y 2 s
F 1 ( s,2s ) s (1,2) maka
1 F 1 (1,2) 2 Adalah vektor eigen
1 2 , ) F 1 (T ) ( 5 5
1
5 2
Vektor eigen ternormalisasi
5
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
6
Mempelajari Tensor Untuk 2 6 (5 ) x 2 y 0
2 x (2 ) y 0
(5 6) x 2 y 0
2 x (2 6) y 0
x 2 y 0 x 2 y 2 x 4 y 0
Sehingga vektor eigen adalah F 2 ( x, y ) misal
y s x 2 s
F 2 ( 2 s, s ) s ( 2,1) maka
2 1
F 2 ( 2,1)
Adalah vektor eigen
2 2 1 5 Vektor eigen ternormalisasi , ) F 2 (T ) ( 1 5 5 5
ii.
2 3 0 A= 3 2 0 0 0 1
x r = y y z
2 3 0 x x maka 3 2 0 y y 0 0 1 z z
A r = r
2 x 3 y x ( 2 ) x 3 y 0 2 x 3 y x 3 x 2 y y 3 x 2 y y 3 x (2 ) y 0 z z (1 ) z 0 z z 3 0 x 2 3 0 2 2 0 y 0 sehingga 3 2 0 0 3 0 0 1 z 0 0 1 {( 2 )(2 )(1 )} {(1 )9} 0 (1 ){(2 )(2 ) 9} 0 (1 ){ 4 4 9} 0 2
(1 ){ 4 5} 0 (1 )( 5)( 1) 0 2
1 1 maka 2 1 eigen
3 5
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
7
Mempelajari Tensor Menghitung vektor eigen Untuk 1 1 (2 ) x 3 y 0
(2 1) x 3 y 0
3 x 3 y 0
3 x (2 ) y 0 3 x (2 1) y 0 3 x 3 y 0 (1 ) z 0
(1 1) z 0
2 z 0
x y z 0
Sehingga vektor eigen adalah x s F 1 ( x, y, z ) misal y s z 0 F 1 ( s, s,0) s (1,1,0) maka
1 F 1 (1,1,0) 1 0 Adalah vektor eigen
1 2 1 1 1 F 1 (T ) ( , ,0 ) 2 2 2 0
Vektor eigen ternormalisasi
Untuk 2 1 (2 ) x 3 y 0
(2 1) x 3 y 0
x 3 y 0
3 x (2 ) y 0 3 x (2 1) y 0 3 x y 0 (1 ) z 0
(1 1) z 0
(0) z 0
x y 0 z {0,1,2,3,....}
Untuk kasus secara umum dalam hal ini z=1, karena z bernilai bebas. Sehingga vektor eigen adalah F 2 ( x, y , z ) F 2 (0,0,1) maka
0 F 2 (0,0,1) 0 1 Adalah Vektor eigen
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
8
Mempelajari Tensor 0 F 2 (T ) (0,0,1) 0 1
Vektor eigen ternormalisasi
Untuk 3 5 (2 ) x 3 y 0
(2 5) x 3 y 0
3 x 3 y 0 x y 3 x (2 ) y 0 3 x (2 5) y 0 3 x 3 y 0 z 0 (1 ) z 0 (1 5) z 0 4 z 0 Sehingga vektor eigen adalah x s F 3 ( x, y, z ) misal y s z 0 F 3 ( s, s,0) s (1,1,0) maka
1 F 3 (1,1,0) 1 0 Adalah Vektor eigen
1 1 F 3 (T ) ( , ,0) 2 2
1
2 1 2 0
Vektor eigen ternormalisasi
Latihan – latihan :
Tentukanlah nilai eigen dan vektor eigen dari matrik berikut:
1 3 2 2
1.
2 8 0 2. 2 2 0 0 0 4 1 1 3 3. 1 2 0 3 0 2
3 2 2 4. 2 1 3 2 8 1 1 2 1 5. 2 3 0 1 0 3
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
9
Mempelajari Tensor III.
JENIS – JENIS TENSOR
Ada tiga jenis Tensor : 1. Tensor kovarian A'ij
Memenuhi sifat
xk xl Akl x i j
x kl
2. Tensor kontravarian Memenuhi sifat
Aij '
xi x j kl A kl x k xl
3. Tensor campuran Memenuhi sifat
A ji '
xi xk k Al x l j
x kl
Dengan adanya defenisi tensor dalam tiga buah jenis tensor diatas maka jika pada suatu matrik persegi tidak memiliki salah satu dari sifat tiga jenis tensor diatas, matrik tersebut bukanlah tensor. Untuk memperlihatkan sifat tiga tensor diatas, kita harus mendefenisikan matrik baru yang merupakan transformasi koordinat dari tensor tersebut. Kemudian menggunakan sifat tensor untuk membuktikan apakah matrik tersebut tensor atau tidak sekaligus menentukan jenis tensornya. Contoh : Buktikanlah apakah matrik di bawah termasuk tensor dan tentukan jenisnya.
xy y 2 Sebuah tensor T 2 x xy x' y' y'2 matrik koordinat dari tensor tersebut adalah T ' 2 ' ' ' x x y Jawab :
T 11 T 12 xy y 2 2 T T T x xy 21 22
dan
T '11 T '12 x' y' y '2 2 T ' ' ' T T x x y ' ' ' 22 21
secara umum transformasi koordinat dibentuk oleh sebuah matrik sebagai berikut :
a11
a
a21
x' x cos y sin cos sin sehingga y ' x sin y cos a22 sin cos a12
Kemudian kita gunakan sifat pada jenis tensor. jika sifatnya sesuai maka matrik tersebut termasuk tensor jenis tersebut. Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
10
Mempelajari Tensor Kita coba untuk tensor kontravarian yang memenuhi sifat T ij '
xi x j kl T T ij ' aik a jl T kl kl xk xl kl
Maka kita uraikan : 11 T '
a
a T a11a11T a11a12T a12 a11T a12 a12T 11
kl
12
21
22
1k 1l
kl
Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada
x' y ' cos cos ( xy) cos sin ( y 2 ) sin cos ( x 2 ) sin sin ( xy) ( x cos y sin )( x sin y cos ) cos2 ( xy) sin cos ( y 2 ) sin cos ( x 2 ) sin 2 ( xy) ruas kiri kita selesaikan dulu x 2 cos sin xy cos2 xy sin 2 y 2 cos sin cos ( xy) sin cos ( y ) sin cos ( x ) sin ( xy) 2
2
2
2
Memenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. 12 T '
a
a2l T a11a21T a11a22T a12 a21T a12 a22T kl
1k
11
12
21
22
kl
Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada
y'2 cos ( sin )( xy) cos cos ( y 2 ) sin ( sin )( x 2 ) sin cos ( xy) ( x sin y cos )( x sin y cos ) sin 2 ( x 2 ) cos2 ( y 2 ) 2 sin cos ( xy) Selesaikan ruas kiri
( x 2 sin 2 y 2 cos2 2 xy sin cos ) sin ( x ) cos ( y ) 2 sin cos ( xy) 2
2
2
2
Memenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. T ' 21
a
kl a T a21a11T a21a12T a22 a11T a22 a12T 11
12
21
22
2 k 1l
kl
Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada x' 2 ( sin ) cos ( xy ) ( sin ) sin ( y 2 ) cos cos ( x 2 ) cos sin ( xy) ( x cos y sin )( x cos y sin ) x cos y sin 2 xy sin cos 2
2
2
2
x 2 cos 2 y 2 sin 2 2 xy sin cos x 2 cos 2 y 2 sin 2 2 xy sin cos
Memenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. 22 T '
a
a2l T a21a21T a21a22T a22 a21T a22 a22T kl
2 k
11
12
21
22
kl
Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada x' y ' ( sin )( sin )( xy) ( sin ) cos ( y 2 ) cos ( sin )( x 2 ) cos cos ( xy) ( x cos y sin )( x sin y cos ) x sin cos xy cos xy sin y sin cos 2
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
2
2
2
11
Mempelajari Tensor Selesaikan ruas kiri
x 2 sin cos xy cos 2 xy sin 2 y 2 sin cos Memenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari keempat – empatnya memenuhi syarat maka matrik tersebut adalah tensor kontravarian. Latihan – latihan :
Dengan menggunakan sifat tensor tentukanlah apakah matrik berikut adalah tensor dan apakah jenisnya.
y 2 1. A 2 y
xy xy
xy x 2 2. B 2 y xy
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
12
Mempelajari Tensor IV.
TENSOR SIMETRIS DAN ANTISIMETRIS
Operasi pada tensor :
skalar + skalar = skalar
skalar x skalar = skalar
skalar + vektor = (tidak ada)
skalar x vektor = vektor
vektor + vektor = vektor
vektor (perkalian) vektor =
1. vektor vektor skalar
(dot product)
2. vektor vektor vektor
(cross product)
tensor (range >1) 1.
(divergensi)
2.
(curl)
x y z
Semua tensor mulai dari range 2 merupakan tensor yang dapat dipecah menjadi tensor simetris dan antisimetris. Tensor simetris adalah tensor yang komponen (i,j) = komponen (j,i).
Contoh
a d e : d b f e f c
Tensor antisimetris adalah tensor yang komponen (i,j) = ( - ) negatif komponen (j,i). d e a f Contoh : d b e f c
Cara menentukan tensor simetris dan antisimetris dari sebuah tensor. Aij
1 2
( Aij Aij )
1 2
1 ( A ji A ji ) 2
( Aij A ji )
simetris
1
2
( Aij A ji )
antisimetr is
Contoh soal : Tentukanlah tensor simetris dan antisimetris dari tensor berikut.
2 4 4 4 4 0 6 8 2
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
13
Mempelajari Tensor Jawab :
2 4 4 Aij 4 4 0 6 8 2 Aij
1 2
dan
( Aij A ji )
2
1 2
6 2 4 A ji 4 4 8 4 0 2
( Aij A ji )
2 6 2 4 1 Aij 4 4 0 4 4 8 4 2 4 0 2 6 6 8 2 2 4 8 10 0 0 2 2 1 1 Aij 8 8 8 0 0 8 4 2 2 2 8 0 5 10 8 4 1
4
4
6 2 4 4 0 4 4 8 8 2 4 0 2 4 5 0 0 1 4 4 0 0 4 4 2 1 4 0
Tensor simetrisnya adalah
5 2 4 4 4 4 5 4 2
Tensor antisimetrisnya adalah
0 0 1 4 0 0 1 4 0
4
4
Latihan – latihan :
Tentukanlah tensor simetris dan antisimetris dari tensor berikut ini :
6 2 11 2 1 12 3 4 2 10 10 8 1. 3 3 3 9 4 8 3 8 0 7 0 1
1
0
8
2
2
3
0 8 3 12 12 9
9 2 8 10 5 1 17 0 4 1 4 8 2 4 9 9 6 8 0 2 11 2 1 13 5 1 8 9 7 2 6 12 2. 2 2 5 0 10 4 1 8 11 4 3 4 7 6 3 0 3 3 9 7 2 3 5 0 0 5 0 2 22 3 0 6
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
14
Mempelajari Tensor V.
PENERAPAN TENSOR
Dalam fisika tensor sangatlah penting. Khusus untuk tensor range mulai dari dua banyak sekali ditemui. Akan dalam penyelesaiannya tensor tidaklah mudah. Berikut akan dibahas sebuah penerapan tensor dalam kelistrikan. Salah satu tensor dalam kelistrikan adalah momen quadrupol potensial listrik. Secara umum potensial listrik dinyatakan sebagai : N
qi
4 R
( r )
i 1
0
i
Dengan ilustrasi gambar. 2 2 2 Ri r r i 2rr i cos i
Ri
r 2 r i 2 2rr i cos i r 2 r i 2 2rr i cos i
1 / 2
Kita gantikan R untuk persamaan umum diatas
(r )
N
4 r
2
i 1
0
qi
r i 2 2rr i cos i
1 / 2
Untuk memudahkan perhitungan kita gunakan deret berikut : 1
1 t
1 / 2
1
3
5
2
8
16
1 t t 2
t .......... ....... 3
Kita bentuk R kedalam (1+t)
Ri r 2 r i 2 2rr i cos i
1/2
1 / 2
2
Ri r 1 t
1 / 2
r r dengan t i 2 i cos i r r
Maka deret diatas menjadi 1
1 t
1 / 2
1
3
5
2
8
16
1 t t 2
3 t .................
1 1 / 2
r 2 r 1 i 2 i cos i r r
1 r i
2
3 r i 2 r i r i 1 2 cos i 2 cos i ...... 2 r r r 8 r 2
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
15
Mempelajari Tensor Kita perhatikan ruas kanan. 1 r i
2
4
2
3
1 r 3 r 3 r 3 r 1 2 i cos i i 4 i cos2 i 4 i cos i ............. 2 r 2 r 8 r 8 r 8 r 2
2
3
4
1 r 1 r 3 r 3 r 3 r 1 2 i cos i i i cos2 i i cos i i ........................ 2 r 2 r 2 r 2 r 8 r 2 3 r i 3 3 r i 4 r i 1 r i 2 1 cos i 3 cos i 1 cos i ............ . 2 r 8 r r 2 r
Suku – suku dibentuk atas urutan pangkatnya yang menunjukkan range tensornya. Kita kembalikan pada persamaan umum potensial
(r ) (r )
N
qi
i 1
0
4 R r
qi 4 0 r 1 t
1 / 2
i 1
i
N
1
N
1
qi
1 t 4 r
1 / 2
i 1
0
1 / 2
r i 2 r i 1 2 cos i r r
i 1
N
1
qi
4 r 0
( r )
N
N
1
N
1
q 4 r q r cos 8 r q r (3 cos 4 r i
0
2
i 1
0
i i
2
i
3
i 1
0
2
i i
i 1) .......... ..........
i 1
Pada kasus Quadrupol tensor yang dipakai adalah range 2. Sehingga kita cukup memperhitungkan yang memiliki pangkat 2. Jadi potensial listrik untuk Quadrupol adalah Q ( r ) Q jk
N
1
q r (3 cos 1) Tensor 2
3
8 0 r
2
i i
i
i 1
j , k x, y, z
N
q 3 j k r dengan 2
i
i
i
i
jk
i 1
Q xx Q jk Q yx Q zx
jk krone ker
1, j k 0, j k
Q xz
Q xy
Q yz Q zz
Q yy Q zy
Menentukan 9 komponen tensor Q xx Q yy Q zz
N
q 3 x i
2 i
i 1 N
q 3 y i
i
i 1
Q xy Q yx
N
q 3 x y i
i
i
i 1 N
2 i
i 1 N
q 3 z
r i
2
r i 2 Q yz Q zy qi 3 yi zi i 1 N
2 i
r i 2 Q xz Q zx qi 3 xi zi i 1
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
16
Mempelajari Tensor
VI.
SUMBER
Catatan Pribadi Dr. Ir. Irzaman, M.Si
Tesis Hendradi Hardhienata, M.Si
http://www.wikipedia.org
http://www.elearning.gunadarma.ac.id
Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi
17