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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Aula 8 - Questões Comentadas e Resolvidas Variável Aleatória: definição, função discreta de probabilidade, função de distribuição de probabilidade, função densidade de probabilidade. Valor Esperado: média, variância e valor esperado de função de variável aleatória. Desigualdade de Chebyshev. Principais distribuições de probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.). 1. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) O número de televisores modelo M vendidos diariamente numa loja é uma variável aleatória discreta (X) com a seguinte distribuição de probabilidades:

O preço unitário de venda do televisor modelo M é de R$ 1.000,00. Se num determinado dia a receita de vendas referente a este modelo for inferior a R$ 3.000,00, a probabilidade dela ser positiva é A) B) C) D) E)

20% 30% 50% 60% 75%

Resolução PRELIMINARES A Noção de Variável Aleatória Uma variável aleatória é uma descrição numérica do resultado de um experimento. Por exemplo, considere o experimento "contactar cinco clientes". Seja X a variável aleatória que representa o número de clientes que colocam um pedido de compra. Então os valores possíveis de X são 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Uma Um a variável aleatória X é denominada discreta se assume valores num conjunto contável ou enumerável (como o conjunto dos números inteiros Z ou o conjunto dos números naturais N ) , com certa probabilidade. Formalmente, uma um a variável aleatória é uma função, e não uma "variável" propriamente Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior dita. A variável aleatória do exemplo anterior é discreta. Também são exemplos de variáveis aleatórias discretas: • Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas; • Número de itens defeituosos em uma u ma amostra am ostra retirada, aleatoriamente, de um lote; • Número de defeitos em um carro que sai de uma linha de produção. Vejamos um outro exemplo. Considere o lançamento de duas moedas mencionado acima. O espaço amostral (isto é, o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento) é {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, e os valores que a variável aleatória X (número de coroas) pode assumir são X = {0, 1, 2}. Observe que o valor x = 0 está associado ao resultado (cara, cara), o valor x = 1 está associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2 está associado ao resultado (coroa, coroa). Um a variável aleatória contínua é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto dos números reais (conjunto não enumerável). Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: • Tem Tempo po de resposta de um sistema computacional; computacio nal; • Volume Vol ume de água perdido por por dia, num sistema de abastecimen abast ecimento; to; • Resistência ao desgaste desga ste de um tipo de aço, num teste padrão. Voltemos à resolução da questão. Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribuímos a outro evento. Denotamos por P(A|B) a probabilidade do evento A, sabendo que B ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. Temos

A questão pede que o candidato calcule a probabilidade de a receita de vendas num dado dia ser positiva sabendo-se que ela é inferior a R$ 3.000,00 naquele mesmo dia, ou seja, deve ser calculada a probabilidade condicional P(receita de vendas > 0 | receita de vendas < R$ 3.000,00). Ora, a probabilidade acima é igual à probabilidade Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior dita. A variável aleatória do exemplo anterior é discreta. Também são exemplos de variáveis aleatórias discretas: • Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas; • Número de itens defeituosos em uma u ma amostra am ostra retirada, aleatoriamente, de um lote; • Número de defeitos em um carro que sai de uma linha de produção. Vejamos um outro exemplo. Considere o lançamento de duas moedas mencionado acima. O espaço amostral (isto é, o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento) é {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, e os valores que a variável aleatória X (número de coroas) pode assumir são X = {0, 1, 2}. Observe que o valor x = 0 está associado ao resultado (cara, cara), o valor x = 1 está associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2 está associado ao resultado (coroa, coroa). Um a variável aleatória contínua é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto dos números reais (conjunto não enumerável). Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: • Tem Tempo po de resposta de um sistema computacional; computacio nal; • Volume Vol ume de água perdido por por dia, num sistema de abastecimen abast ecimento; to; • Resistência ao desgaste desga ste de um tipo de aço, num teste padrão. Voltemos à resolução da questão. Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu faz com que se modifique a probabilidade que atribuímos a outro evento. Denotamos por P(A|B) a probabilidade do evento A, sabendo que B ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. Temos

A questão pede que o candidato calcule a probabilidade de a receita de vendas num dado dia ser positiva sabendo-se que ela é inferior a R$ 3.000,00 naquele mesmo dia, ou seja, deve ser calculada a probabilidade condicional P(receita de vendas > 0 | receita de vendas < R$ 3.000,00). Ora, a probabilidade acima é igual à probabilidade Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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em que X é a variável aleatória que denota o número de televisores modelo M vendidos diariamente. Precisamos encontrar o valor da incógnita p para resolver a questão. Para tal, usaremos a equação

Então, p + 1,5p + 1,5p + p = 1 Assim: X P(x)

0 0,20

1 0,30

2 0,30

3 0,20

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,20 + 0,60 = 0,80 Logo, 75% GABARITO: E 2. (BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO/Adaptada) A variável aleatória contínua x tem a seguinte função de densidade de probabilidade: para todos os outros valores de x. Sendo k uma k uma constante, seu valor é igual a A) 1 B) -3/4 C) 2/3 D) -5/24 E) 1/12 Resolução PRELIMINARES Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Função Densidade de Probabilidade Diz-se que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições: 2.

a área definida defi nida por f(x) é igual a 1.

A condição 2 é dada pela integral (memorize para a prova!)

A figura a seguir ilustra uma função densidade que satisfaz: que T é uma constante, constante , para = 0 para os demais valores, de maneira que a função tem a forma de um pulso retangular. Observe que f(x) deve ser igual a 1/T para pois a área sob a função densidade é unitária (como a base do pulso é T, então a altura do pulso deve ser 1/T, para que a área do pulso seja igual a 1).

Para calcular probabilidades, temos que, para

A figura abaixo mostra o significado geométrico da fórmula acima: a é igual a área sob f(x) no intervalo [a,b]. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Observe que a probabilidade de ocorrência de um dado valor isolado "k" é sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0. Voltemos à resolução. Para determinar o valor de k, basta lembrar que a área sob a função densidade de probabilidade f(x) é unitária:

Gostaríamos de apresentar para vocês um "bizu" de integração antes de prosseguir com a resolução da questão. De acordo com a fórmula de NewtonLeibniz, temos que

b. A função F(x) é denominada primitiva de g(x). x 3 . Assim,

Podemos generalizar a integração exemplificada acima para integrandos do tipo g(x) = x n, em que n é um valor inteiro:

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Vamos retornar para a resolução? Precisamos substituir a função f(x) na

GABARITO: D 3. (Analista/SUSEP/2006/ESAF) Se a variável X pode assumir um conjunto infinito (contínuo) de valores, o polígono de freqüência relativa de uma amostra torna-se uma curva contínua, cuja equação é Y = p(X). A área total limitada por essa curva e pelo eixo dos X é igual a 1 e a área compreendida entre as verticais X = a e X = b, sendo a < b e, ambos, contidos na área total da curva, a probabilidade de X cair neste intervalo a e b é dada por composta composta composta composta composta

pela pela pela pela pela

soma de P(X=a) + P(X=b). integral de P(X=a) até P(X=b). soma de P(X=a) - P(X=b). integral de P(X=a) até P(X=b). P(X=b), de forma cumulativa até o ponto b.

Resolução Deve-se descartar as opções A, C e E, pois a probabilidade de X cair no intervalo [a,b] é dada pela seguinte integral (observe que o enunciado afirma Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior que "(..) o polígono de freqüência relativa de uma amostra torna-se uma curva contínua"):

A opção D é incorreta porque o sinal da desigualdade está trocado ( P(a>X>b) no lugar de P(a
Obs.: c.c. denota "caso contrário". Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e denotada por E(x) é igual a:

Resolução PRELIMINARES A Noção de Média ou Expectância de Variável Aleatória A média (também conhecida como valor esperado, expectância ou esperança) é uma medida de posição de uma função de probabilidade, servindo para localizar a função sobre o eixo de variação da variável em questão. Em particular, a média caracteriza o centro de uma função de probabilidade. A média é uma característica numérica de uma função de probabilidade. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Se X for uma variável aleatória discreta que pode tomar os valores x 1 , x2 , ..., xn com probabilidades f(x 1), f(x2), ..., f(xn), então a média de X é definida por

em que E denota o operador esperança matemática. A média de X também é usualmente representada por (leia-se "X barra") ou pela letra grega (leia-se "mi"). Se a variável aleatória discreta X puder tomar um número infinito de valores, então a fórmula anterior pode ser generalizada na forma

O valor esperado de uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade fX(x) é dado pela integral

Voltemos à resolução. Primeiramente, devemos descartar as opções D e E, pois a média de uma variável aleatória é um número. Observe que as opções apontadas são funções de x e não números! Vimos que o cálculo da esperança E[X] da variável aleatória contínua X é feito pela integração

Observe que a função densidade de probabilidade é nula para x < -1 e x > 0. Logo o limite inferior da integral é -1 e o superior é 0. Portanto,

Como a primitiva da integral

temos que

GABARITO: C Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 5. (AFRFB/2009/ESAF) A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f') de uma variável X: X - 2 1 2

f' 6a 1a 3a

Sabendo que "a" é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:

Resolução PRELIMINARES Valor Esperado de Função de Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade f X(xi) e g(X) uma função de X. Então o valor esperado de g(X) é

Caso X seja uma variável aleatória contínua com probabilidade f X(x), o valor esperado de g(X) é dado por

densidade

de

Se g(X) = g1(X) + g2(X), em que g1(X) e g2(X) também são funções de X, então vale



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Relacionamos abaixo algumas propriedades importantes da esperança matemática E(.). Sejam "a" e "c" valores constantes e X uma variável aleatória (tanto faz se contínua ou discreta), então valem: 1. "c";

a média de um número qualquer "c" é o próprio número

a média de uma variável multiplicada por um número é igual ao número multiplicado pela média de X; a média da soma de um número qualquer "a" com a variável X multiplicada por um número qualquer c é igual à soma do número "a" com a média de X multiplicada por "c". O Conceito de Variância Sejam X uma variável aleatória (discreta ou contínua) função de X. Define-se a variância de X (denotada por var(X) valor esperado

Desenvolvamos a expressão acima.

pois colocamos igualdade e

em evidência no segundo termo do lado direito da

A variância de X é igual a média do quadrado de X subtraída da média de X ao quadrado (memorize para a prova!). Sejam "a" e "c" constantes e Z = a + cX. Observe que Z é uma transformação linear de X, porque Z = a+cX define a equação de uma reta com declividade "c" e intercepto "a". Não é difícil demonstrar que vale a propriedade

A raiz quadrada positiva da variância é chamada de desvio-padrão ou erro-padrão, sendo denotada pelo símbolo (memorize para a prova!). Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Voltemos à questão. Em primeiro lugar, deve-se eliminar a opção B, pois não existe variância com valor negativo. Assim, esta opção é absurda. Soma das Freqüências Relativas = 6a + 1a + 3a = 10a = 1. Logo a = 0,1. X - 2 6a = 6 1 1a = 1 2 3a = 3 Total

f' x 0,1 = 0,6 x 0,1 = 0,1 x 0,1 = 0,3 1

X.f ' X2 .f ' 2,4 -1,2 0,1 0,1 0,6 1,2 -0,5 3,7

Vimos que a média de uma variável aleatória discreta é calculada pela fórmula

Para a questão temos podemos

eliminar

as

opções C e E (sobraram A e D). A variância é dada por

sendo que

(reparou que a opção D é uma

"pegadinha"?). Logo, GABARITO: A 6. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Um empresário, investindo em um determinado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em função dos cenários "Bom", "Médio" e "Ruim": Cenário

Lucro (R$)

Bom Médio Ruim

R$ 8 000,00 R$ 5 000,00 R$ 2 000,00

Distribuição de Probabilidades do Cenário 0,25 0,60 0,15

A expectância e a variância do lucro são, em R$ e (R$) 2, respectivamente, A) 5 500,00 e 3 160,00 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior B) 5 300,00 e 3 510,00 C) 5 300,00 e 3 160,00 D) 5 000,00 e 3 510,00 E) 5 000,00 e 3 160,00 Resolução Expectância: E(X) Variância: Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 E(X) = ZX.P(X) = 8 x 0,25 + 5 x 0,60 + 2 x 0,15 = 5,3 mil = 5.300,00 E(X 2) = 82 x 0,25 + 52 x 0,60 + 22 x 0,15 = 31,6 mil Var(X) = 31,6 - 5,32 = 3,51 mil = 3.510,00 GABARITO: B 7. (AFPS/2002/ESAF) Sejam X1,...,Xn observações de um atributo X. Sejam:

Assinale a opção correta. A) Pelo menos 95% menos que 2S. B) Pelo menos 99% menos que 2S. C) Pelo menos 75% menos que 2S. D) Pelo menos 80% menos que 2S. E) Pelo menos 90% menos que 2S.

das observações de X diferem de

em valor absoluto por









Resolução Note que todas as opções envolvem a seguinte frase padrão: " pelo menos Y% em valor absoluto por menos que 2S". das observações de X diferem de Vamos equacionar esta frase? Fica da seguinte forma:



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A expressão acima sugere que trata-se de uma questão que cobra a aplicação da desigualdade de Chebyshev. Vamos relembrar a definição da desigualdade? Seja X uma variável aleatória valem as seguintes relações

correspondem,

Observe que as expressões

respectivamente, à média aritmética e a variância de um conjunto de dados Suponha que você tenha à sua disposição um número n muito grande de observações da variável aleatória X. Neste caso, é razoável supor que (é assim que se faz na prática!). Substituindo na desigualdade, obtemos

Concluímos que pelo menos 75% das observações de X diferem de absoluto por menos que 2S.

em valor

GABARITO: C 8. (ICMS-RJ/2010/FGV). 40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham votado no candidato A é igual a:

Resolução PRELIMINARES A Distribuição Binomial Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Considere os seguintes experimentos aleatórios e variáveis aleatórias: 1. Jogue uma moeda 50 vezes. Seja X = número de caras obtidas. 2. Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade, seja X = número de nascimentos de meninos. Cada um desses experimentos aleatórios pode ser pensado como consistindo em uma série de tentativas aleatórias e repetidas: 50 arremessos de moedas no experimento (1) e 30 nascimentos de bebês no experimento (2). A variável aleatória em cada caso é uma contagem do número de tentativas que satisfazem um determinado critério. O resultado de cada tentativa satisfaz ou não o critério que X conta; por conseguinte, cada tentativa pode ser sumarizada como resultando em um sucesso ou um fracasso (falha ou insucesso), respectivamente. Por exemplo, sucesso, no experimento (1), é a obtenção de cara no lançamento da moeda. No experimento (2), o nascimento de uma menina é um fracasso. Uma tentativa com somente dois resultados possíveis é denominada tentativa de Bernoulli. Considera-se que as tentativas que constituem o experimento aleatório sejam independentes. Ou seja, o resultado de uma tentativa não tem efeito sobre o resultado da tentativa seguinte. Além disso, admitimos que a probabilidade de um sucesso em cada tentativa seja constante. Definição: Um experimento aleatório, consistindo em n repetidas tentativas, de modo que (1) (2) por (3)

as tentativas sejam independentes, cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados "sucesso" e "fracasso", a probabilidade de um sucesso em cada tentativa seja p

é chamado de experimento de Bernoulli (ou Binomial). A variável aleatória X, que conta o número de sucessos em n tentativas, tem distribuição binomial (ou de Bernoulli) com parâmetros p e n. A função de probabilidade de X (distribuição binomial) é

Se fizermos (1-p) = q (é a probabilidade de insucesso em uma tentativa) na função de probabilidade acima, obtemos



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Alguns autores optam por definir a distribuição binomial como a probabilidade de se ter k sucessos em n tentativas:

A figura abaixo mostra a distribuição da Binomial para n = 10 e p = 1/2.

A Tabela a seguir fornece a média, a variância e o desvio padrão da Distribuição Binomial. Tabela: Caracterização da Binomial

Voltemos à resolução. A probabilidade de que três eleitores tenham votado no candidato A (k=3 "sucessos") em n = 5 tentativas, sendo p=0,4 (probabilidade de sucesso), é dada pela distribuição binomial

Logo,

GABARITO: C Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 9. (Analista/SUSEP/2006/ESAF). Um grupo de 1.000 pessoas tem a seguinte composição etária (em anos): -

[0 - 20]: 200 pessoas; [21 - 30]: 200 pessoas; [31 - 40]: 200 pessoas; [41 - 50]: 200 pessoas; de 51 anos em diante: 200 pessoas;

Considerando que as probabilidades média de morte (q x), segundo uma determinada tábua, é de: -

[0 - 20] até 20 anos: 0,600% o (por mil); [21 - 30]: 0,800% o (por mil); [31 - 40]: 1,500% o (por mil); [41 - 50]: 5,000% o (por mil); de 51 anos em diante: 20,000% o (por mil).

Pode-se afirmar que a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10 pessoas com idade superior a 51 anos é um evento: (A) (B) (C) (D) (E)

Certo. Impossível. Provável. Muito Provável. Pouco Provável.

Resolução O problema é uma mera aplicação da Lei Binomial. Seja X a variável aleatória que denota o número de mortes de pessoas com idade de 51 anos em diante. Neste caso, temos um "sucesso" quando alguém desta faixa etária morre. A probabilidade de sucesso é Lembre que a distribuição binomial é dada pela fórmula (probabilidade de X = k sucessos)

Logo, a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10 pessoas com idade superior a 51 anos é dada por P(X = 10) =


(200^ 10 190 X 0,02 X 0,98 \íyj10 J


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Como é proibido usar calculadora na prova, deve-se partir para uma análise qualitativa dos fatores da probabilidade P(X = 10): epresenta um número muito grande;

r

representa um número "absurdamente" próximo de zero, ou seja, é um infinitesimal; representa um número próximo de zero, pois elevar um número menor que 1, ainda que bastante próximo da unidade, à centésima potência, resulta em um valor próximo de zero. Note que, se é um infinitesimal, então o produto um infinitesimal (ainda mais próximo de zero que 0,02 10 ). Assim, o número

também é

deve estar próximo de zero, pois

corresponde ao produto de um valor muito grande por um infinitesimal. Ou seja,

é um valor "pouco provável" (opção E).

Nota: obtivemos

com uma calculadora científica.

GABARITO: E 10. (AFRFB/2009/ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a:

Resolução PRELIMINARES Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson com parâmetro a (a > 0) é dada por

A Tabela a seguir fornece a média, a variância e o desvio padrão da Distribuição de Poisson Tabela: Caracterização da Poisson

Observe que a média é igual a variância, e que ambas são iguais ao parâmetro a. médio de eventos por unidade da grandeza

A fórmula acima caracteriza o processo de contagem de Poisson, o qual é apropriado para aplicações que envolvam a contagem do número de vezes que um evento aleatório ocorre em um dado intervalo de tempo, distância, área, etc. Algumas aplicações que envolvem a distribuição de Poisson incluem o número de pessoas que entram em uma loja em uma hora e o número de falhas por 1.000 metros de fita de vídeo. Neste ponto, estamos prontos para apresentar a definição formal da Lei ou Distribuição de Poisson, o que será feito a seguir. Seja a contagem do número de ocorrências de eventos no intervalo (t, t+T). Se o intervalo puder ser dividido em subintervalos suficientemente pequenos tal que (1) a probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo seja zero, (2) a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo e (3) a contagem em cada subintervalo seja independente de outros subintervalos, Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior então esse experimento aleatório será designado por processo de Poisson. Se o número médio de contagens no intervalo for a > 0, a variável aleatória X, que representa o número de contagens no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro a, dada por

volume, distância, etc. Ou seja, o processo de Poisson não é necessariamente um processo de contagem no tempo. Nota: na literatura (e também nas provas!), é bastante comum encontrarmos a seguinte definição para a Lei (distribuição) de Poisson:

Observe que a fórmula acima pode ser obtida fazendo-se Neste caso, subentende-se que o intervalo de contagem é unitário, ou seja, T = 1. A figura a seguir representa a distribuição de Poisson com definição

Voltemos ao exercício. Vimos que a distribuição de Poisson pode ser dada por

a taxa média de ocorrência dos eventos por unidade de Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Dados da questão:

Portanto, Ár = 2 x 2 = 4 petroleiros. A probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias, denotada por

GABARITO: C 11. (ICMS-SP/2009/FCC) O número de pessoas que chega ao guichê de uma repartição pública para autuação de processos apresenta uma distribuição de Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de que nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guichê é Observação: e = 2,71828...

Resolução A distribuição de Poisson com parâmetro a (a > 0) é dada por



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A probabilidade de que nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa é dada por:

GABARITO: A 12. (ICMS-RJ/2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, os serviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com média de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes são perdidos para outros para outros cirurgiões. Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião.

A) R$ B) R$ C) R$ D) R$ E) R$

5.600,00 8.400,00 10.000,00 14.400,00 20.000,00

Resolução Seja R a variável aleatória que representa a receita diária do cirurgião. Essa variável aleatória só pode assumir três valores possíveis, quais sejam: r 1 = R$ 0,00 (zero cirurgia), r 2 = R$ 10.000,00 (uma cirurgia) e r3 = R$ 20.000,00 (duas cirurgias). Sabe-se que o valor esperado da receita diária do cirurgião, denotado por E(R), é dado pela fórmula

distribuição de Poisson? A resposta é NÃO e a justificativa é simples: a distribuição de R é discreta e possui apenas três probabilidades. A probabilidade do cirurgião não faturar num determinado dia (denotada por P(R=0)) é igual à probabilidade da variável aleatória X (que representa o Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior número de clientes que buscam, em cada dia, o cirurgião) ser igual a zero. De acordo com o enunciado, X tem distribuição de Poisson. Logo, P(R=0) = P(X=0) é dada por:

A probabilidade de o cirurgião faturar R$ 10.000,00 num determinado dia (P(R=10.000)) é igual à probabilidade da variável aleatória X ser igual a um:

O cirurgião consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Sendo assim, o cirurgião faturará R$ 20.000,00 num determinado dia caso seja procurado por 2 ou mais clientes. Portanto, P(R=20.000) = P(X > 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 0,14 - 0,28 = 0,58. O valor esperado da receita diária do cirurgião é então E(R) = 0x0,14 + 10.000,00x0,28 + 20.000,00x0,58 = R$ 14.400,00 GABARITO: D 13. (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF).

Resolução Esta questão aborda o comportamento assintótico da Lei Binomial (lei de Poisson). Suponha n >> 1 (isto é, que n seja grande), p << 1 (probabilidade de sucesso próxima de zero), mas de tal forma que np permaneça constante, digamos np na distribuição binomial



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Portanto

(admitindo-se k << n), obtemos

O resultado acima mostra que a distribuição Binomial pode aproximada pela Distribuição de Poisson quando n >> 1, p << 1,

ser

GABARITO: B 14. (AFPS/2002/ESAF). A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor A) 3/4 B) 1/4 C) 1 D) 5/7 E) 1/2 Resolução PRELIMINARES Função de Distribuição de Probabilidade A função de distribuição (ou acumulada) de probabilidade F(x) de uma variável aleatória X é definida por

A função de distribuição F(x) de uma variável aleatória contínua X pode ser posta na forma



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior em que f(x) denota a função densidade de probabilidade. Distribuição Uniforme Uma variável aleatória contínua X com uma função densidade de probabilidade

tem distribuição uniforme (veja a figura a seguir).

A média de uma variável aleatória uniforme é

|

. A

E a variância

Voltemos à resolução de exercício. O enunciado define a distribuição uniforme ilustrada pela figura abaixo.



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Sabemos que F(0,5) =

área sob a curva uniforme entre x = 0 e x = 0,5.

Então,

GABARITO: D (APOFP-SP/2010/FCC/Adaptada) Instruções: para resolver às próximas duas questões utilize as informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z: z P(0
1,00 0,34

1,25 0,39

1,50 0,43

1,75 0,46

2,00 0,48

2,25 0,49

15. Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é (A) 98% (B) 96% (C) 92% Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (D) 89% (E) 87% Resolução PRELIMINARES A Distribuição Normal Uma variável aleatória X tem distribuição normal (também denominada aussiana pelos engenheiros) com parâmetros se sua função densidade § dada por

Não fique assustado(a) com a fórmula acima. Você não precisará decorá-la para a prova, pois os exercícios que envolvam a distribuição normal serão resolvidos com o auxílio de uma tabela de probabilidades, como será visto mais adiante.

Neste curso, usaremos a notação para indicar que X tem distribuição normal com parâmetros A figura acima mostra a curva normal padrão. Repare que o seu formato é parecido com o de um sino. A distribuição normal possui as seguintes propriedades:



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior denotam a média e a variância da Demonstra-se que os parâmetros distribuição normal, respectivamente (memorize para a prova!). Z terá média zero e variância 1. Não é fácil mostrar que Z também tem distribuição normal, ou seja, Z - N(0, 1). Isso não será feito nesta aula. Diz-se que Z tem distribuição normal padrão ou normal reduzida. Esta distribuição é muito importante para a prova.

prova!). A figura acima mostra que: - o intervalo

dos valores da distribuição normal;

- o intervalo

contém 95,45% dos valores da distribuição normal.

- o intervalo

contém 99,73% dos valores da distribuição normal.

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória normal padrão é usualmente denotada por Ressaltamos que (memorize para a prova!)



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior O apêndice contém tabelas auxiliares que fornecem os valores das seguintes probabilidades:

Dê uma olhada nas tabelas auxiliares da normal padrão; é importante que você esteja familiarizado com o uso das tabelas! Exemplo. Seja a variável aleatória normal padrão Z e as tabelas auxiliares da normal.

A Tabela II do apêndice da normal reduzida indica que = 0,1038 (veja a figura a seguir). A Tabela I nos dá esse resultado de forma direta, pois P(Z>1,26) = 0,1038.

Atenção: podemos generalizar o resultado (4) para qualquer variável aleatória Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Memorize o resultado acima para a prova, pois o mesmo será muito utilizado para resolver questões de Estatística que envolvam a distribuição normal (vide figura a seguir).

Voltemos à questão. De acordo com o enunciado, a distribuição dos salários dos empregados (variável X) é normal com parâmetros = 160 (desvio padrão). Pede-se a proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00, ou seja, a probabilidade P[1.000
em que Z é a normal padrão. Aprendemos

A tabela da normal padrão fornece as seguintes probabilidades: padrão é simétrica em relação à origem z =0.

GABARITO: E



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 16. A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas destes cabos é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

9,4 8,4 8,2 8,0 7,8

metros. metros. metros. metros. metros.

Resolução Foram dadas as seguintes probabilidades: P(X<2,4) = 0,07 e P(X>16,4) = 0,02. É razoável supor que a banca tenha fornecido dois valores extremos da normal (x1 = 2,4 e x 2 =16,4) e que a média esteja situada em algum valor entre os dois extremos (uma rápida olhada nas opções confirma essa suspeita!). De acordo com a tabela, P(02,0) = 0,5 - P(0
COMENTÁRIOS ADICIONAIS O fato dos erros associados às medições serem bem modelados pela distribuição normal é um dos motivos de sua grande popularidade. Além disso, a distribuição da soma de um grande número de observações independentes e identicamente distribuídas tende para a distribuição normal. Este teorema, denominado "Teorema Central do Limite", será apresentado de forma mais detalhada em outra aula. Propriedade reprodutiva da Distribuição Normal variáveis aleatórias normais e independentes, com



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior são constantes, será uma variável aleatória normal com

e variância

Então a média da soma de n variáveis normais e independentes é igual à soma das n médias individuais

e a variância da soma de n variáveis normais e independentes é igual à soma das variâncias individuais GABARITO: B O enunciado a seguir refere-se às próximas duas questões. Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade para os demais valores. 17. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1 Resolução O gráfico da função densidade de probabilidade representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é, por definição, igual à área sob f(x), a qual é unitária, pois representa a probabilidade do evento certo. Conferindo:



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GABARITO: E 18. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1 Resolução A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é igual à área sob f(x) no

GABARITO: C 19. (AFPS/2002/ESAF) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção de 100 peças mecânicas são, respectivamente, 16kg e 40g. Uma peça particular do lote pesa 18kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do peso da bola. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) -50 B) 0,05 C) 50 D) -0,05 E) 0,02 Resolução Dados fornecidos:

- peso de uma peça = 18kg = 18 x 1.000g = 18.000g Valor padronizado: (18.000 - 16.000)/40 = 2.000/40 = 50 GABARITO: C 20. (AFPS/2002/ESAF) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendose que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745. A) 3,3490 B) 0,6745 C) 2,6745 D) 2,3373 E) 2,7500 Resolução Dados fornecidos:

Sabemos que o valor padronizado é dado pela fórmula

Aplicando a fórmula acima para o terceiro quartil da normal padrão, obtemos 0,6745 = (x - 2)/2 ^ x = 1,3490 + 2 = 3,3490 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior GABARITO: A 21. (ICMS-RJ/2008/FGV) Dentre as distribuições de probabilidades a seguir, aquela em que E(X) = E(X-E(X)) 2 é: A) de densidade B) de densidade

Resolução A relação E(X) = E(X-E(X)) 2 pode ser reescrita como (média igual a variância da distribuição). Vimos que a média é igual a variância da distribuição de Poisson. Logo a resposta é a letra D. Não obstante, analisemos as alternativas restantes com atenção. Análise das demais alternativas (A) a distribuição

é a normal padrão, que INCORRETA.

(B) a distribuição

é a uniforme, em que

e

INCORRETA.



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (C) a distribuição

é a binomial, que possui INCORRETA.

(E) a distribuição

é a hipergeométrica

associada a um conjunto com (N+M) elementos, em que há N sucessos e M fracassos; n representa o número de elementos selecionados de forma aleatória e sem reposição a partir dos (N+M) elementos. Neste caso, temos que

em que p denota a probabilidade de sucesso e

INCORRETA. GABARITO: D 22. (ICMS-RJ/2007/FGV) Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: A) 0,200. B) 0,040. C) 0,096. D) 0,008. E) 0,104. Resolução Trata-se de aplicação da distribuição Binomial. O "chute" a ser dado em cada questão da prova é uma tentativa de Bernoulli (n = 3 tentativas), em que p = 1/5 e (1-p)=4/5. Seja X a variável aleatória que denota o número de questões certas. Então a probabilidade de acertar pelo menos 2 questões (numa prova de 3 questões de múltipla escolha) é dada por



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GABARITO: E 23. (Assistente Técnico-Administrativo do MF/2009/ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? A) B) C) D) E)

35% 17% 7% 42% 58%

Resolução I - Utilizando a Distribuição Binomial:

P(n,x) = probabilidade de ocorrer exatamente x vezes o evento "A", após n repetições.

Evento "A" = sair um número igual a Complementar de "A" = A'= não sair um número igual a 1

n= 3 vezes x = 1 (1 sair exatamente uma vez)

GABARITO: A Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 24. (APOFP-SP/2009/ESAF) Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão. Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais próximo de P(-2,58 < Z < 1,96). z P(Z < z )

1,96 0,975

2,17 0,985

2,33 0,99

2,41 0,992

2,58 0,995

A) 0,99 B) 0,97 C) 0,98 D) 0,985 E) 0,95 Resolução Z => variável aleatória normal padrão

Sabemos que:

GABARITO: B 25. (AFTM-RN/2008/ESAF) Numa distribuição Binomial, temos que: I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q probabilidade contrária (q = 1 - p). II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros n e p. III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o quadrado da média. Apontando os três itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a opção correta é: A) F, V, F B) V, V, F C) F, F, F D) V, F, F E) V, V, V



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução Esperança da distribuição binomial: E(X) = np Variância da distribuição binomial: Var(X) = np(1-p) Vamos analisar as alternativas: I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q probabilidade contrária (q = 1 - p). Esperança da distribuição binomial: E(X) = np. O item é FALSO. II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros n e p. Variância da distribuição binomial: Var(X) = np(1-p) Desvio-Padrão = [np(1-p)] 1/2 => é dado pela raiz quadrada do produto entre n, p e (1-p). O item é FALSO. III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o quadrado da média. A fórmula geral da variância é: Var(X) = E(X 2) - [E(X)]2 => ou seja, é a média dos quadrados do valores menos o quadrado da média. O item é FALSO. Lembre que a variância da distribuição binomial é np(1-p). GABARITO: C 26. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Em uma casa de jogos (Bingo S/A, por exemplo) a premiação será de R$ 10,00, para quem obtiver uma face de número primo ao jogar um dado honesto e de R$ 20,00, para quem obtiver outra alternativa (face de número não primo). Para N jogadas (sendo N um número suficientemente grande de jogadas), o valor médio da aposta, ou seja, o valor esperado, será de: A) R$ 10,00 B) R$ 10,33 C) R$ 13,33 D) R$ 15,00 E) R$ 17,33 Resolução S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => n(S) = 6 E = número primo = {2, 3, 5} => um número é primo quando somente é divisível por 1 e por ele mesmo => n(E) = 3 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior P(número primo) = 3/6 = 1/2 => Premiação (primo) = R$ 10,00 E'= número não primo = {1, 4, 6} => n(E') = 3 P(número não primo) = 3/6 = 1/2 => Premiação (não primo) = R$ 20,00 Valor esperado da variável aleatória X para um número N, suficientemente grande, de jogadas: E(X) = P(número primo) x premiação(primo) + P(número não primo) x premiação(não primo) E(X) = (1/2) x 10 + (1/2) x 20 = 30/2 = R$ 15,00 GABARITO: D 27. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Sendo X uma v. a. d. variável aleatória discreta e sendo Y = aX + b, pode concluir-se que var (aX + b) é igual a: A) = var X. B) = E(X2) - (EX)2. C) = E(X - E(X))2. D) = a2 var X. E) = a 2 var X - b. Resolução Var(cX) = c2 Var(X), sendo c = constante Var(X + a) = Var (X), sendo a = constante. Var(aX + b) = a2 Var(X) GABARITO: D O enunciado abaixo refere-se às próximas quatro questões. Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Estatística constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextasfeiras, é a seguinte X

f(x)

0 0,010

1 0,020

2 0,310

3 0,320

4 0,240

5 0,080

6 0,019

7 0,001

28. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estarão ausentes é Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (A) 0,63 (B) 0,13 (C) 0,87 (D) 0,56 (E) 1 Resolução A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estarão ausentes é dada por

GABARITO: C 29. O valor esperado da variável aleatória X é (A) 3,08 (B) (C) (D) (E)

3,26 2,12 0,32 0,96

Resolução

Logo, E[X]

GABARITO: A 30. O valor esperado de Y = 5X + 4 é (A) 4 (B) 3,1 (C) 15,4 (D) 19,4 (E) 81 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

GABARITO: D 31. A variância de X é (A) 9,49 (B) (C) (D) (E)

1,22 10,71 20,305 85,525

Resolução

Então,

GABARITO: B 32. (AFPS/2002/ESAF) Tem-se uma variável aleatória normal X com média Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X

Resolução Esta questão é trivial. Aprendemos que 95% (resultado que deve ser memorizada para a prova!) Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior GABARITO: E 33. (Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4, respectivamente. a média de X. Então o limite superior de obtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por A) 0,40 B) 0,25 C) 0,20 D) 0,12 E) 0,10 Resolução A Desigualdade de Tchebysheff pode ser dada pela expressão

Dados: calcular a média

distribuição de probabilidades de X (logo é possível

Então

GABARITO: B (AFTM-SP/2007/FCC/Adaptada) Instruções: para responder à próxima questão, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então: Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior P(0< Z < 1) = 0,341, P(0< Z < 1,6) = 0,445, P(0< Z < 2) = 0,477 34. Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de A) 97,7% B) 94,5% C) 68,2% D) 47,7% E) 34,1% Resolução Dados: X é uma variável aleatória normal com Normal padrão:

97,7% GABARITO: A 35. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja normalmente distribuída com média P(Z <- 1 ) = 0,1587 e P(Z > 2) = 0,0228. Seja normalmente distribuída com média P(180
Z uma zero e X uma 200 e

variável aleatória contínua desvio padrão um. Seja variável aleatória contínua desvio padrão 20, então

A) 0,9772 B) 0,8413 C) 0,3413 D) 0,8185 E) 0,4772 Resolução Dados: X1 = 180, X2 = 240,

P(Z < - 1 ) = 0,1587

e

P(Z > 2) = 0,0228

.

Z1 = (180 - 200)/20 = -1 Z2 = (240 - 200)/20 = 2 Pede-se P(180

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior P(-12). Logo, P(-12) = 0,5 - 0,1587 + 0,5 - 0,0228 = 0,8185 (opção D). GABARITO: D 36. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja X uma variável aleatória contínua, com

A) 0,5 B) 0 C) 2/3 D) 1 E) 1/3 Resolução

O gráfico da figura acima ilustra a forma da função densidade de probabilidade de X, denotada por f(x). Como f(x) é simétrica em relação a zero, temos que a média de X é zero (opção B). Repare que resolvi a questão sem fazer nenhuma conta! Bastou saber esboçar o gráfico de f(x). Por completeza, calcularei o valor da constante "c". Sabemos que a área sob f(x) é unitária. Então, 2 x (área do triângulo retângulo delimitado por 0

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior base x altura = 1 A figura a seguir mostra o gráfico de f(x).

GABARITO: B 37. (ICMS-RJ/2011/FGV/Adaptada) Assuma que uma distribuição de Bernoulli tenha dois possíveis resultados n=0 e n = 1, no qual n = 1 (sucesso) ocorre com probabilidade p, e n=0 (falha) ocorre com probabilidade Sendo 0
Resolução A distribuição Binomial (ou de Bernouilli) nos dá a probabilidade de k sucessos em n tentativas:

De acordo com o enunciado, a distribuição possui somente dois possíveis resultados: X=0 (zero sucesso) e X=1 (um sucesso). Logo, está implícito que há somente uma tentativa (n=1 na fórmula acima). Então, a probabilidade de 0 sucesso em uma tentativa é Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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e a probabilidade de um sucesso em uma tentativa é

Agora é preciso compatibilizar a nossa notação com aquela que foi usada pela banca no enunciado. Substitua a variável aleatória X por n nas probabilidades acima: P(n = 0) = p 0 (l- p) 1 e P(n = 1) = p ' ( l - p) 0 . Observe que as fórmulas das probabilidades generalizadas pela expressão

podem ser

Questãozinha "boa", não é mesmo? A banca "brincou" com a notação e cobrou o significado da distribuição binomial. GABARITO: A



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Exercícios de Revisão

38. (Profissional Básico - Engenharia/BNDES/2008/Cesgranrio) Para um estudo sobre a distribuição de salário mensal dos empregados de uma empresa foram coletados os salários de uma amostra aleatória de 50 empregados. Os resultados amostrais levaram à construção da distribuição de freqüência abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe (em salários mínimos) 1 - 3 3 - 5 5 - 7 7 - 11

Frequência relativa acumulada 40 70 90 100

A média aritmética e a variância amostral valem, aproximadamente, Média amostra l (em salários mínimos)

Variânc ia amostra l (em salários mínimos 2 )

2,6 2,6 4,1 4,1 7,2

2,2 2,9 2,9 5,0 12,1

(A) (B) (C) (D) (E) Resolução

O enunciado menciona que o conjunto de dados é proveniente de uma amostra aleatória. Por enquanto, considere que uma amostra aleatória é um conjunto de dados. Lembre-se de que estudaremos o assunto Amostragem em uma aula posterior. Quando os dados são agrupados, todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados coincidentes com o ponto médio do intervalo. Fórmulas para resolver a questão:

em que os fi's denotam as frequências e os x/s são os pontos médios de cada classe.



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(*) Lembre que caso os dados estejam associados a uma amostra, o fator n que aparece no denominador do lado direito da fórmula (15) deve ser substituído por n-1. A tabela abaixo será usada no cálculo da média aritmética e da variância.

Variância amostral:

A opção que contém os valores mais próximos aos que foram calculados é a alternativa D. GABARITO: D 39. (IBGE - Estatística/2010/Cesgranrio) Um comitê é formado por três pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de não haver nenhum estatístico é A) 1/35 B) 4/35 C) 27/243 D) 64/243 E) 3/7 Resolução Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A probabilidade P de não haver nenhum estatístico em um comitê formado por três pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas P = (no de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis). no de resultados possíveis = C 7 , 3 = 7!/(4! x 3!) = 35 no de resultados favoráveis = 1 (só existe uma maneira de formar um comitê de 3 pesquisadores ) Então P = 1/35 GABARITO: A 40. (Administrador(a) Júnior Petrobrás /2010/Cesgranrio) Em um posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus? (A) (B) (C) (D) (E)

0,10 0,20 0,25 0,40 0,45

Resolução Dados: - de um total de 300 clientes (= espaço amostral), 210 colocam combustível, 130 completam o óleo e 120 calibram os pneus; - 70 clientes colocam combustível e completam o óleo, 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. Resolveremos a questão usando a técnica do Diagrama de Venn. Note que 50 clientes colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. O diagrama abaixo mostra que a interseção entre os três conjuntos (combustível, óleo e pneus) é composta por 50 clientes. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Setenta (70) clientes colocam combustível e completam o óleo (adicionei 20 clientes à interseção entre os conjuntos combustível e óleo):

Oitenta (80) clientes colocam combustível e calibram os pneus (adicionei 30 clientes à interseção entre os conjuntos combustível e pneus):



50


Duzentos e dez clientes (210) colocam combustível. Logo, temos que adicionar 210 - (30 + 50 + 20) = 110 clientes que entram no posto somente para colocar combustível ao conjunto combustível:

Finalmente, completarei o diagrama com as variáveis X, Y e Z, que denotam, respectivamente, o número restante de clientes que completam o óleo e calibram os pneus, que somente calibram os pneus e que somente completam o óleo:



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A probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus é dada pela fração P = (no de resultados favoráveis)/(n o de resultados possíveis) = Okay! Resolveremos o problema, se soubermos determinar o valor de X. Mas como faremos isso? A resposta é simples: basta montar um "sisteminha linear"! Sabemos o que alguns pensarão: mas professores, esqueci como se faz isso! Calma minha gente! Não entrem em desespero (risos). Ensinaremos como montar o sistema de equações na sequência. Cento e vinte (120) clientes calibram os pneus. Portanto (veja o diagrama de Venn acima), 30 + 50 + X + Y = 120 ^ 80 + X + Y = 120 ^ X + Y = 120 - 80 = 40 Cento e trinta clientes completam o óleo. Então,

O total de clientes é 300:

Chegamos deste modo ao seguinte sistema de equações:



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Multiplicando a segunda equação por -1, e somando o resultado obtido com a terceira tem-se que Y = 30. Substituindo-se o valor de Y na primeira equação, obtemos

Assim, Probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus é dada pela fração = (50 + X)/300 = (50 + 10)/300 = 60/300 = 0,2 = 20%. GABARITO: B 41. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em um amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? A) 18 B) 15 C) 8 D) 0 E) 20 Resolução Temos um espaço amostal Q com n = 100 empresas. Seja o conjunto das empresas situados no Rio de Janeiro denotado por "RJ", o das exportadoras por "EXP" e o das sociedades anônimas por "SA". Do total de empresas, temos que: • 52 estão situadas no Rio de Janeiro: n(RJ) = 52; • 38 são exportadoras: n(EXP) = 38; Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior • 35 são sociedades anônimas: n(SA) = 35; • das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras: • das empresas situadas no Rio de Janeiro, 15 são sociedades anônimas • das empresas exportadoras, 18 são sociedades anônimas: 18; e • 12 não estão no Rio nem são sociedades anônimas e nem exportadoras:

Pede-se o número de empresas que estão no Rio de Janeiro, são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo, ou seja, qual é o valor de O número de empresas que estão situadas no Rio ou são exportadoras ou são sociedades anônimas é dado por

O diagrama de Venn a seguir ilustra os dados da questão.

Aprendemos no item 15.6 da aula passada a regra probabilidades, dada pela fórmula (memorize para a prova!)



de

adição

das

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Essa regra será aplicada na resolução da questão, mas antes é preciso manipulá-la, pois o problema cobra a contagem probabilidade Como o número de elementos do espaço amostral é finito, temos que P(RJ) = n(RJ)/n' e assim por diante. Então a regra de adição pode ser reescrita na forma de contagem

desde que multipliquemos os lados esquerdo e direito da equação da regra de adição das probabilidades por n', o que fará com que todos os denominadores n' sejam eliminados da relação

= 88 - 52 - 38 - 35 + 12 + 15 + 18 = 8. A próxima figura mostra que, das 52 empresas situadas no Rio, 33 (= 52 - 4 8 - 7) não são SA e nem exportadoras. O mesmo raciocínio vale para as 16 empresas que somente são exportadoras e para as 10 empresas que somente são sociedades anônimas.



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GABARITO: C 42. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas de ouro? A) 0,15 B) 0,20 C) 0,5 D) 0,25 E) 0,7 Resolução Sejam os eventos: conter 1 moeda de ouro na 1 a etapa; conter 1 moeda de ouro na 2 a etapa; e :onter 1 moeda de ouro na 3 a etapa. A probabilidade P de um cofre escolhido ao acaso conter três moedas de ouro é dada por Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior pois os eventos são independentes. O enunciado especificou que P{E1> = 1, pois foi dito que " Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas u m a m o e d a d e o u r o , uma de prata e uma de bronze", P{E2> = 0,5, porque " Em uma segunda etapa, em cada um de

m e t ad e d o s c o f r e s , e s co l h i d o s a o a c a s o , éc o l o ca d a u m a m o e d a d e o u r o , e em cada

um dos cofres restantes, uma moeda de prata", ou seja, a probabilidade de um cofre receber uma moeda de ouro nesta etapa é 50% e P{E3> = 0,5, haja vista que " Por fim, em cada um de

m e t a d e d o s co f r e s ,

e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze", isto é, a probabilidade de um cofre receber uma moeda de ouro nesta etapa é 50%. e s co l h i d o s a o a c a s o , co l o c a - s e u m a m o e d a d e o u r o ,

GABARITO: D 43. (APO/2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita? A) 1. B) 2/3. C) 1/2. D) 1/3. E) 1/4. Resolução Vamos analisar as seguintes hipóteses: Hipótese 1: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre fala a verdade (respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher este menino é 1/3. Há duas possibilidades para a escolha do segundo menino (escolher um menino entre dois): • menino que sempre mente: responderá que a cidade é para a esquerda; Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior • menino que fala verdade em 50% das vezes: há 50% de chance de dizer que a cidade é para direita. Então a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é para direita é dada por: P(escolher o menino que fala a verdade em 50% das vezes) x 50% (chance de dizer que a cidade é para direita) = 50% x 50% = 25% A probabilidade associada à hipótese 1 é Hipótese 2: O primeiro menino escolhido pelo viajante sempre mente (respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher este menino é 1/3. Há duas possibilidades para a escolha do segundo menino: • menino que sempre fala a verdade: responderá que a cidade é para a esquerda; • menino que fala verdade em 50% das vezes: há 50% de chance de dizer que a cidade é para direita. Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é para direita é igual a: P(escolher menino que fala a verdade 50% das vezes) x 50% (chance de dizer que a cidade é para direita) = 50% x 50% = 25% A probabilidade associada à hipótese Hipótese 3: O primeiro menino escolhido pelo viajante diz a verdade em 50% das vezes (respondeu que a cidade era para direita). A probabilidade de escolher este menino é 1/3. Escolha do segundo menino: • menino que sempre fala a verdade: responderá que a cidade é para a direita (se o primeiro menino disse a verdade) ou responderá que a cidade é para a esquerda (se o primeiro menino mentiu); • menino que sempre mente: responderá que a cidade é para a direita (se o primeiro menino mentiu) ou responderá que a cidade é para a esquerda (se o primeiro menino disse a verdade). Portanto, a probabilidade de que o segundo menino responda que a cidade é para direita é: P(primeiro menino ter dito a verdade) x P(escolher o menino que sempre fala a verdade) = 50% x 50% = 25% ou P(primeiro menino ter mentido) x P(escolher o menino que sempre mente) = 50% x 50% = 25%. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A probabilidade associada à hipótese 3 é P3 = 1/3 x (25% + 25%) = 1/3 x 50%. Probabilidade Final = 1/3 x 25% + 1/3 x 25% + 1/3 x 50% = 1/3 x (25% + 25% + 50%) = 1/3 x 100% = 1/3 x 1 = 1/3. GABARITO: D 44. (APO/2010/ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos números pares? A) B) C) D) E)

10/512. 3/512. 4/128. 3/64. 1/64.

Resolução Total de Bolas = 200 Bolas Azuis = 50 (numeradas de 1 a 50) Bolas Amarelas = 100 (numeradas de 51 a 150) Bolas Vermelhas = 50 (numeradas de 151 a 200) Probabilidade de se retirar da urna três bolas escolhidas, com reposição, de modo que sejam da mesma cor e com os respectivos números pares. Bolas Azuis e Pares = 25 Bolas Amarelas e Pares = 50 Bolas Vermelhas e Pares = 25 Hipótese I: três bolas azuis e pares P (Azul e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512 Hipótese II: três bolas amarelas e pares P (Amarela e Par) = 50/200 x 50/200 x 50/200 = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64 Hipótese III: três bolas vermelhas e pares P (Vermelha e Par) = 25/200 x 25/200 x 25/200 = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512 Probabilidade Total = (1/512) + (1/64) + (1/512) = 10/512 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior GABARITO: A 45. (Técnico do DECEA - Ciências Econômicas/2009/CESGRANRIO) A probabilidade de que, no lançamento de três dados comuns, honestos, a soma dos resultados seja igual a 18 é A) B) C) D) E)

1/12 1/36 1/216 3/18 3/216

Resolução Os resultados são independentes, logo P = (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/216 GABARITO: C 46. (IBGE - Estatística/2009/CESGRANRIO) Lança-se uma moeda honesta três vezes. Sejam os eventos: A = {sair duas caras ou três caras} e B = {os dois primeiros resultados são iguais}. Nessas condições, tem-se que A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos. B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos. C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos. D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos. E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos. Resolução A = {sair duas caras ou três caras} P(A) = P{(CCK) ou (KCC) ou (CKC) ou (CCC)}, em que C denota cara e K representa coroas. P(A) = P(CCK) + P(KCC) + P(CKC) + P(CCC) Mas Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior P(CCK) = P(KCC) = P(CKC) = P(CCC) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8 Então P(A) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5. B = {os dois primeiros resultados são iguais} P(B) = P{(CCK) ou (KKC) ou (CCC) ou (KKK)>. P(B) = P(CCK) + P(KKC) + P(CCC) + P(KKK) Mas P(CCK) = P(KKC) = P(CCC) = P(KKK) = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8 Então P(B) = 4 x 1/8 = 1/2 = 0,5. Os eventos A e B estão definidos sobre o mesmo espaço amostral. Eles não são mutuamente exclusivos, haja vista os resultados elementares (CCK) e (CCC), presentes nos dois eventos. Contudo, a probabilidade de ocorrência de B não é afetada pela ocorrência anterior de A, e vice-versa, ou seja, P(B|A) = P(B) e P(A|B) = P(A). Logo, os eventos são independentes. GABARITO: D 47. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Um estudo sobre a fidelidade do consumidor à operadora de telefonia móvel, em uma determinada localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre o hábito de mudança: Probabilidade de um consumidor mudar de (ou manter a) operadora

Se a operadora atual é

A B C

A 0,50 0,20 0,40

A nova operadora é B 0,35 0,70 0,30

C 0,15 0,10 0,30

A probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora A é 0,60; a probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora B é 0,30; e a de ser da operadora C é 0,10. Dado que o 2° telefone de um cliente é da operadora A, a probabilidade de o 1° também ter sido é de (A) 0,75 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (B) 0,70 (C) 0,50 (D) 0,45 (E) 0,40 Resolução A questão cobra a aplicação da Regra de Bayes. Pergunta-se: "Dado que o 2° telefone de um cliente é da operadora A" OBSERVADO "a probabilidade de o 1° também ter sido é de" Ou seja, deve-se determinar P(1° Tel. A|2° Tel. A). A Regra de Bayes nos dá probabilidade da causa dado o efeito observado:

em que os eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos (isto B é um evento qualquer definido sobre é, cobrem, todo o espaço amostral o mesmo espaço amostral é a probabilidade total de B. Aplicando a Regra de Bayes à questão, obtemos

Cálculo da probabilidade total P(2° Tel. A): P(2° Tel. A) = P(2° Tel. A|1° Tel. A). P(1° Tel. A) + P(2° Tel. A|1° Tel. B). P(1° Tel. B) + P(2° Tel. A|1° Tel. C). P(1° Tel. C) Dados fornecidos: - probabilidades a priori: P(1° Tel. A)=0,60, P(1° Tel. B)=0,30 e P(1° Tel. C) = 0,60. Note que P(1° Tel. A) + P(1° Tel. B) + P(1° Tel. C) = 1; - probabilidades condicionais: P(2° Tel. A|1° Tel. A) = 0,50, P(2° Tel. A|1° Tel. B) = 0,20 e P(2° Tel. A|1° Tel. C) = 0,40; Então: Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior P(2° Tel. A) = (0,50 x 0,60) + (0,20 x 0,30) + (0,40 x 0,10) = 0,30 + 0,06 + 0,04 = 0,40 P(1° Tel. A|2° Tel. A) = 0,50 x 0,60/0,40 = 0,30/0,40 = 3/4 = 0,75. GABARITO: A 48. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Analise as afirmativas a seguir sobre o coeficiente de variação. I - O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa. II - Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de variação é zero. III - O coeficiente de variação tem a mesma unidade que o desvio padrão. É(São) corretas APENAS a(s) afirmativas (A) I (B) II (C) III (D) I e II (E) II e III Resolução O Coeficiente de Variação (CV) é dado pela razão entre o desvio padrão e a média: CV = desvio padrão/média Ele caracteriza a dispersão dos dados em termos relativos à média. Portanto, é uma medida de dispersão relativa e a afirmativa I é correta. O coeficiente de variação é um adimensional, podendo ser expresso como uma porcentagem. Logo, é incorreto afirmar que possui a mesma unidade do desvio padrão (afirmativa III é incorreta). A afirmativa II é absurda. Sem maiores comentários. GABARITO: A 49. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2>. A média geométrica simples dessa amostra é (A) 2,25 (B) 1,75 Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (C) 2 (D) 2,4 (E) 2,5 Resolução Média Geométrica de um conjunto de 4 elementos:

GABARITO: C 50. (ICMS-RJ/2011/FGV) Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa). (A) (B) (C) (D) (E)

18.000 90 19 680 18.000

Resolução A fórmula do Arranjo Simples nos dá o número de agrupamentos ordenados possíveis de n elementos de um conjunto, tomados r a r, considerando r elementos distintos:

Assim, o número de combinações que existem para determinar o primeiro e o segundo lugares (r=2) de um concurso com 10 pessoas (n=10) é

GABARITO: B Abraços e até a próxima aula. Bons estudos! Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula 1. (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC) O número de televisores modelo M vendidos diariamente numa loja é uma variável aleatória discreta (X) com a seguinte distribuição de probabilidades: X P(x)

0 p

1 1,5p

2 1,5p

3 P

O preço unitário de venda do televisor modelo M é de R$ 1.000,00. Se num determinado dia a receita de vendas referente a este modelo for inferior a R$ 3.000,00, a probabilidade dela ser positiva é A) B) C) D) E)

20% 30% 50% 60% 75%

2. (BACEN/Área 2/2010/CESGRANRI0/Adaptada) A variável aleatória contínua x tem a seguinte função de densidade de probabilidade: para todos os outros valores de x. Sendo k uma constante, seu valor é igual a A) 1 B) -3/4 C) 2/3 D) -5/24 E) 1/12 3. (Analista/SUSEP/2006/ESAF) Se a variável X pode assumir um conjunto infinito (contínuo) de valores, o polígono de freqüência relativa de uma amostra torna-se uma curva contínua, cuja equação é Y = p(X). A área total limitada por essa curva e pelo eixo dos X é igual a 1 e a área compreendida entre as verticais X = a e X = b, sendo a < b e, ambos, contidos na área total da curva, a probabilidade de X cair neste intervalo a e b é dada por A) P(aX>b), composta pela soma de P(X=a) - P(X=b). Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior D) P(a>X>b), composta pela integral de P(X=a) até P(X=b). E) P(a
Obs.: c.c. denota "caso contrário". Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e denotada por E(x) é igual a:

5. (AFRFB/2009/ESAF) A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f') de uma variável X: X - 2 1 2

f' 6a 1a 3a

Sabendo que "a" é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 6. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Um empresário, investindo em um determinado empreendimento, espera ter os seguintes lucros em função dos cenários "Bom", "Médio" e "Ruim": Cenário

Lucro (R$)

Bom Médio Ruim

R$ 8 000,00 R$ 5 000,00 R$ 2 000,00

Distribuição de Probabilidades do Cenário 0,25 0,60 0,15

A expectância e a variância do lucro são, em R$ e (R$) 2, respectivamente, A) 5 500,00 B) 5 300,00 C) 5 300,00 D) 5 000,00 E) 5 000,00

e e e e e

3 3 3 3 3

160,00 510,00 160,00 510,00 160,00

7. (AFPS/2002/ESAF) Sejam X1,...,Xn observações de um atributo X. Sejam:

Assinale a opção correta. A) Pelo menos 95% menos que 2S. B) Pelo menos 99% menos que 2S. C) Pelo menos 75% menos que 2S. D) Pelo menos 80% menos que 2S. E) Pelo menos 90% menos que 2S.











8. (ICMS-RJ/2010/FGV). 40% dos eleitores de uma certa população votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham votado no candidato A é igual a: A) 12,48%. B) 17,58%. C) 23,04%. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior D) 25,78%. E) 28,64%. 9. (Analista/SUSEP/2006/ESAF). Um grupo de 1.000 pessoas tem a seguinte composição etária (em anos): -

[0 - 20]: 200 pessoas; [21 - 30]: 200 pessoas; [31 - 40]: 200 pessoas; [41 - 50]: 200 pessoas; de 51 anos em diante: 200 pessoas;

Considerando que as probabilidades média de morte (q x), segundo uma determinada tábua, é de: -

[0 - 20] até 20 anos: 0,600% o (por mil); [21 - 30]: 0,800% o (por mil); [31 - 40]: 1,500% o (por mil); [41 - 50]: 5,000% o (por mil); de 51 anos em diante: 20,000% o (por mil).

Pode-se afirmar que a possibilidade de ocorrer a morte de exatamente 10 pessoas com idade superior a 51 anos é um evento: (A) (B) (C) (D) (E)

Certo. Impossível. Provável. Muito Provável. Pouco Provável.

10. (AFRFB/2009/ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a:



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11. (ICMS-SP/2009/FCC) O número de pessoas que chega ao guichê de uma repartição pública para autuação de processos apresenta uma distribuição de Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de que nos próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guichê é Observação: e = 2,71828...

12. (ICMS-RJ/2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, os serviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com média de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o máximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes são perdidos para outros para outros cirurgiões. Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião. (considere e -2 = 0,14) A) R$ B) R$ C) R$ D) R$ E) R$

5.600,00 8.400,00 10.000,00 14.400,00 20.000,00

14. (AFPS/2002/ESAF). A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (0, a ) , onde a é uma constante maior do que 0,5. Determine o valor de a tal que F(0,5) = 0,7, sendo F(x)a função de distribuição de X. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) 3/4 B) 1/4 C) 1 D) 5/7 E) 1/2 (APOFP-SP/2010/FCC/Adaptada) Instruções: para resolver às próximas duas questões utilize as informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z: z P(0
1,00 0,34

1,25 0,39

1,50 0,43

1,75 0,46

2,00 0,48

2,25 0,49

15. Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é (A) (B) (C) (D) (E)

98% 96% 92% 89% 87%

16. A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas destes cabos é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

9,4 8,4 8,2 8,0 7,8

metros. metros. metros. metros. metros.

O enunciado a seguir refere-se às próximas duas questões.

17. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1 18. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é (A) 0 (B) 0,75 (C) 0,25 (D) 0,5 (E) 1 19. (AFPS/2002/ESAF) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção de 100 peças mecânicas são, respectivamente, 16kg e 40g. Uma peça particular do lote pesa 18kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do peso da bola. A) B) C) D) E)

-50 0,05 50 -0,05 0,02

20. (AFPS/2002/ESAF) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendose que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745. A) B) C) D) E)

3,3490 0,6745 2,6745 2,3373 2,7500

21. (ICMS-RJ/2008/FGV) Dentre as distribuições de probabilidades a seguir, aquela em que E(X) = E(X-E(X)) 2 é: A) de densidade B) de densidade Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

www.pontodosconcursos.com.br 72

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22. (ICMS-RJ/2007/FGV) Um candidato se submete a uma prova contendo três questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. Se o candidato não se preparou e decide responder a cada questão ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: A) 0,200. B) 0,040. C) 0,096. D) 0,008. E) 0,104. 23. (Assistente Técnico-Administrativo do MF/2009/ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? A) B) C) D) E)

35% 17% 7% 42% 58%

24. (APOFP-SP/2009/ESAF) Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão. Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais próximo de P(-2,58 < Z < 1,96). z P(Z < z ) A) B) C) D)

1,96 0,975

2,17 0,985

2,33 0,99

2,41 0,992

2,58 0,995

0,99 0,97 0,98 0,985



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior E) 0,95 25. (AFTM-RN/2008/ESAF) Numa distribuição Binomial, temos que: I. A E[x] = n p q, ou seja, é o produto dos parâmetros n - número de elementos da avaliação, p - probabilidade de ocorrência do evento e q probabilidade contrária (q = 1 - p). II. O desvio-padrão é dado pela raiz quadrada do produto entre os parâmetros n e p. III. A variância é dada pelo somatório dos quadrados dos valores (Xi) menos o quadrado da média. Apontando os três itens acima como V - Verdadeiro e F - Falso, a opção correta é: A) F, V, F B) V, V, F C) F, F, F D) V, F, F E) V, V, V 26. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Em uma casa de jogos (Bingo S/A, por exemplo) a premiação será de R$ 10,00, para quem obtiver uma face de número primo ao jogar um dado honesto e de R$ 20,00, para quem obtiver outra alternativa (face de número não primo). Para N jogadas (sendo N um número suficientemente grande de jogadas), o valor médio da aposta, ou seja, o valor esperado, será de: A) B) C) D) E)

R$ R$ R$ R$ R$

10,00 10,33 13,33 15,00 17,33

27. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Sendo X uma v. a. d. variável aleatória discreta e sendo Y = aX + b, pode concluir-se que var (aX + b) é igual a: A) = var X. B) = E(X2) - (EX)2. C) = E(X - E(X))2. D) = a2 var X. E) = a 2 var X - b. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior O enunciado abaixo refere-se às próximas quatro questões. Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Estatística constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextasfeiras, é a seguinte X

f(x)

0 0,010

1 0,020

2 0,310

3 0,320

4 0,240

5 0,080

6 0,019

7 0,001

28. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estarão ausentes é (A) 0,63 (B) 0,13 (C) 0,87 (D) 0,56 (E) 1 29. O valor esperado da variável aleatória X é (A) (B) (C) (D) (E)

3,08 3,26 2,12 0,32 0,96

30. O valor esperado de Y = 5X + 4 é (A) 4 (B) 3,1 (C) 15,4 (D) 19,4 (E) 81 31. A variância de X é (A) (B) (C) (D) (E)

9,49 1,22 10,71 20,305 85,525



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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 32. (AFPS/2002/ESAF) Tem-se uma variável aleatória normal X com média Assinale a opção que dá o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X

33. (Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4, respectivamente. Seja u a média de X. Então o limite superior de obtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por A) 0,40 B) 0,25 C) 0,20 D) 0,12 E) 0,10 (AFTM-SP/2007/FCC/Adaptada) Instruções: para responder à próxima questão, utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

34. Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. A probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00 é de A) B) C) D) E)

97,7% 94,5% 68,2% 47,7% 34,1%

35. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja normalmente distribuída com média Seja normalmente distribuída com média P(180
Z uma zero e X uma 200 e

variável aleatória contínua desvio padrão um. Seja variável aleatória contínua desvio padrão 20, então


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) B) C) D) E)

0,9772 0,8413 0,3413 0,8185 0,4772

36. (AFTE-RS/2009/Fundatec) Seja X uma variável aleatória contínua, com função densidade de probabilidade dada por f(x) = 1 + cx, se A) 0,5 B) 0 C) 2/3 D) 1 E) 1/3



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Exercícios de Revisão

38. (Profissional Básico - Engenharia/BNDES/2008/Cesgranrio) Para um estudo sobre a distribuição de salário mensal dos empregados de uma empresa foram coletados os salários de uma amostra aleatória de 50 empregados. Os resultados amostrais levaram à construção da distribuição de freqüência abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe (em salários mínimos) 1 - 3 3 - 5 5 - 7 7 - 11

Frequência relativa acumulada 40 70 90 100

A média aritmética e a variância amostral valem, aproximadamente, Média amostra l (em salários mínimos)

Variânc ia amostra l (em salários mínimos 2 )

2,6 2,6 4,1 4,1 7,2

2,2 2,9 2,9 5,0 12,1

(A) (B) (C) (D) (E)

39. (IBGE - Estatística/2010/Cesgranrio) Um comitê é formado por três pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de não haver nenhum estatístico é A) 1/35 B) 4/35 C) 27/243 D) 64/243 E) 3/7 40. (Administrador(a) Júnior Petrobrás /2010/Cesgranrio) Em um posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus? Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (A) (B) (C) (D) (E)

0,10 0,20 0,25 0,40 0,45

41. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em um amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? A) 18 B) 15 C) 8 D) 0 E) 20 42. (Fiscal de Rendas do Município do RJ/2010/ESAF) Em um amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? A) 18 B) 15 C) 8 D) 0 E) 20 43. (APO/2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita? A) 1. B) 2/3. C) 1/2. D) 1/3. E) 1/4. 44. (AP0/2010/ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos números pares? A) B) C) D) E)

10/512. 3/512. 4/128. 3/64. 1/64.

45. (Técnico do DECEA - Ciências Econômicas/2009/CESGRANRI0) A probabilidade de que, no lançamento de três dados comuns, honestos, a soma dos resultados seja igual a 18 é A) B) C) D) E)

1/12 1/36 1/216 3/18 3/216

46. (IBGE - Estatística/2009/CESGRANRI0) Lança-se uma moeda honesta três vezes. Sejam os eventos: A = {sair duas caras ou três caras} e E = {os dois primeiros resultados são iguais}. Nessas condições, tem-se que A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos. B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos. C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos. E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos. 47. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Um estudo sobre a fidelidade do consumidor à operadora de telefonia móvel, em uma determinada localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre o hábito de mudança: Probabilidade de um consumidor mudar de (ou manter a) operadora

Se a operadora atual é

A B C

A 0,50 0,20 0,40

A nova operadora é B 0,35 0,70 0,30

C 0,15 0,10 0,30

A probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora A é 0,60; a probabilidade de o 1° telefone de um indivíduo ser da operadora B é 0,30; e a de ser da operadora C é 0,10. Dado que o 2° telefone de um cliente é da operadora A, a probabilidade de o 1° também ter sido é de (A) (B) (C) (D) (E)

0,75 0,70 0,50 0,45 0,40

48. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) Analise as afirmativas a seguir sobre o coeficiente de variação. I - O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa. II - Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de variação é zero. III - O coeficiente de variação tem a mesma unidade que o desvio padrão. É(São) corretas APENAS a(s) afirmativas (A) I (B) II (C) III (D) I e II Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior


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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (E) II e III 49. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média geométrica simples dessa amostra é (A) (B) (C) (D) (E)

2,25 1,75 2 2,4 2,5

50. (ICMS-RJ/2011/FGV) Quantas combinações existem para determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa). (A) (B) (C) (D) (E)

18.000 90 19 680 18.000

Bibliografia Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.



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APÊNDICE



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Aula 08 (1).pdf

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