ENGENHARIA QUÍMICA 6º SEMESTRE
VÓRTICE FORÇADO
“
”
Grupo: Jeferson Marcelino Ribeiro
- 15290-0
João Guilherme Pereira Vicente
- 15291-8
Luis Guilherme Martelli Junior
- 16122-4
Tiago Rodrigo Ribeiro
- 15317-1
Prof. Dr.: Olimpio Gomes da Silva Neto
São João da Boa Vista, Novembro de 2010.
Sumário
RESUMO ............................................................................................. 2 INTRODUÇÃO ................................................................................... 3 OBJETIVO .......................................................................................... 5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................... 6 Formação da esteira de vórtices ........................................... ................................................................. ............................................ ............................ ...... 6 Regimes de desprendimento de vórtices ........................................................... ................................................................................ ..................... 7 Escoamento ao redor r edor de um cilindro com oscilação forçada ........................................ ............................................... ....... 10 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................... ................................................................. ............................................ ...................... 12
MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................ 15 MATERIAIS .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ................................. ........... 15 MÉTODOS ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................ ................................. ........... 15
RESULTADOS E DISCUSSÃO ...................................................... 17 RESULTADOS .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. .............................. ....... 17 DISCUSSÃO .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ................................. ........... 18
CONCLUSÕES ................................................................................. 22 BIBLIOGRAFIA ............................................................................... 23
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RESUMO O presente relatório apresenta um procedimento laboratorial de Vórtice Forçado em um cilindro circular, onde por meio do qual foi possível visualizar o aparecimento do vórtice desde sua altura mínima até atingir sua máxima e proporcionando também compreender o perfil da superfície da água em função da rotação. Para atingir tal objetivo foram utilizadas pesquisas bibliográficas visando obter o melhor método para a execução e assim concluir o experimento.
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INTRODUÇÃO O escoamento ao redor de corpos cilíndricos encontra larga aplicação em diversos campos da engenharia. Com efeito, edifícios, monumentos e construções civis em geral acham-se expostos à ação do vento natural, assim como cabos de sustentação, linhas e torres de transmissão de energia elétrica. Do mesmo modo, pilares de pontes e estruturas de plataformas de prospecção de petróleo estão submetidos aos efeitos de correntes fluviais ou marítimas. Devido esta larga aplicação, o escoamento ao redor de corpos rombudos tem despertado a atenção de filósofos, sábios, cientistas e engenheiros há vários séculos. Do ponto de vista da dinâmica dos fluidos, um escoamento deste tipo é caracterizado pela presença de uma região de recirculação e pela existência de uma esteira de vórtices ou turbilhões, que se formam a jusante do obstáculo. O movimento relativo entre o fluido e o sólido proporciona o aparecimento de perfis inflexionais de velocidade, gerando fenômenos altamente complicados, decorrentes da interação simultânea entre três regiões de forte cisalhamento: a camada limite, a zona de separação e a esteira turbilhonar. A Figura 01 ilustra o escoamento ao redor de um cilindro de seção transversal circular, onde podem ser identificadas cada uma destas três regiões. A extensão dessas regiões e a magnitude das perturbações verificadas no escoamento dependem de vários fatores, como a forma geométrica, a orientação e o tamanho do obstáculo, as propriedades do fluido e do regime de escoamento, além de uma variedade de outros pequenos distúrbios.
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No caso de cilindros de base quadrada e retangular a existência de arestas vivas traz uma complexidade ainda maior ao escoamento, que sofre descolamento logo no bordo de ataque, com possíveis regulamentos nas faces laterais do cilindro.
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OBJETIVO
Demonstrar o comportamento do perfil da superfície da água em função da rotação;
Determinar a rotação onde à altura no centro do vórtice é máxima.
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REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Formação da esteira de vórtices Para que a esteira de vórtices seja formada é preciso, primeiramente, que ocorra uma separação da camada limite formada sobre a superfície do cilindro. Segundo Schlichting (1979), quando o escoamento se inicia ao redor de um cilindro, para baixos números de Reynolds, as partículas do fluido são aceleradas entre as posições D e E (Fi gura 02. a), e, em seguida, desaceleradas entre as posições E e F, de forma que estas partículas alcançam F com velocidade aproximadamente igual a que tinham em D. Entre D e E, na região externa à camada limite, ocorre uma transformação da energia de pressão em energia cinética, e de E a F, a energia cinética é transformada novamente em energia de pressão. Estas transformações de energia cinética em energia de pressão, e vice-versa, são transmitidas para a partícula de fluido que se move próximo à parede do obstáculo, através da interação entre a camada limite e o escoamento externo. Quando o número de Reynolds aumenta (Re > 5, Figura 02.b), as tensões viscosas aumentam e a partícula que se desloca entre as posições D e E, tem parte de sua energia cinética consumida, fazendo com que ingresse na região E - F, com energia cinética insuficiente para cumprir a mesma trajetória realizada pelas partículas do início do escoamento (Re < 5). Este consumo de energia, causado pelo aumento das tensões viscosas, juntamente com a pressão imposta à partícula pelo escoamento externo, causa a separação da camada limite nos dois lados do cilindro. Com a separação ocorre a formação de duas camadas cisalhantes a jusante do cilindro, que irão dar origem a dois vórtices de sinais opostos. O padrão de desprendimento de tais vórtices é função do número de Reynolds do escoamento.
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Regimes de desprendimento de vórtices À medida que o número de Reynolds aumenta, o escoamento ao redor de um cilindro fixo pode apresentar diferentes regimes. Embora existam outras propostas de classificação destes regimes, com o objetivo de facilitar o entendimento, optou-se por adotar neste relatório a classificação apresentada por Blevins 1990. A figura 03 ilustra as etapas do processo de formação de vórtices e seu padrão de desprendimento para cada regime, em função do número de Reynolds.
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A descrição de cada regime é realizada da seguinte forma:
Re < 5: Não ocorre separação do escoamento e, portanto, não há formação de vórtices.
5 < Re < 40: Surge um par de vórtices que tende a aumentar de comprimento em função do acréscimo no valor do número de Reynolds.
40 < Re < 150: Início do desprendimento com vórtices se movendo alternadamente em sentido horário e anti-horário. Este padrão de esteira é conhecido como esteira de Von Kármán, a qual, nesta faixa de Reynolds, é laminar. 8
150 < Re < 300: Ocorre a transição à turbulência da esteira de vórtices de Kármán e o surgimento das primeiras instabilidades tridimensionais denominadas por "modo A” e “modo B".
300 < Re < 3x10 5 : Esteira completamente turbulenta, sendo que a camada limite sobre a superfície do cilindro permanece laminar.
3 x105 < Re < 3,5x10 6 : Início da transição à turbulência da camada limite e a esteira de vórtices torna-se mais estreita e desorganizada laminar.
3,5x106 ≤ Re: Restabelecimento de uma esteira de vórtices turbulenta.
A freqüência de desprendimento de vórtices pode ser adimensionalizada pela seguinte equação:
(1) Onde: f s: é a freqüência de desprendimento dos vórtices; D: é o diâmetro do cilindro. Esta equação é denominada número de Strouhal. Na relação entre o Re e o St mostrada na figura 04, é possível observar que existe um efeito da alteração do regime do escoamento na freqüência de desprendimento de vórtices. Para o regime laminar, o St tem um crescimento linear. No regime subcrítico, nota-se um patamar alterando-o para valores da ordem de 0,4.
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Escoamento ao redor de um cilindro com oscilação forçada Para que um movimento forçado seja imposto ao cilindro alguns parâmetros precisam ser determinados. No caso de uma oscilação forçada, por exemplo, são necessárias denir as direções do movimento, a amplitude de deslocamento e a freqüência com que o movimento oscilatório irá ocorrer. O deslocamento do cilindro pode ser expresso pela seguinte equação:
(2) Sendo, h o vetor deslocamento do cilindro, d o vetor amplitude de movimento, f o a freqüência de movimento e t o tempo. Para uma oscilação transversal, onde o cilindro é forçado a se mover na direção perpendicular em relação ao escoamento principal, quando a freqüência de oscilação f o se aproxima da freqüência de desprendimento de vórtices fs, ocorre 10
certo controle por parte da oscilação do cilindro no desprendimento de vórtices (Bishop e Hassan, 1964). Tal controle é observado somente para uma faixa de valores de freqüência de oscilação forçada f o, até um determinado valor de amplitude de oscilação (Meneghini, 2002). Este fenômeno é conhecido como sincronização. Williamson e Roshko (1988), por meio de experimentos em um tanque de reboque com cilindros oscilando transversalmente, classificaram os padrões de desprendimento de vórtices utilizando um código simbólico de letras e números, que descrevem a combinação do desprendimento em pares de vórtices e vórtices simples, durante cada ciclo de oscilação forçada do cilindro. Nesta classificação, por exemplo, o símbolo 2S indica o desprendimento de dois vórtices simples por ciclo, 2P indica desprendimento de dois pares por ciclo, P + S significa que ocorre o desprendimento de um par e um vórtice simples em cada ciclo. Os experimentos foram realizados para 300 < Re < 1000, amplitude de oscilação transversal do cilindro A/D variando entre 0,2 e 5, e freqüência de oscilação f o variando de f s/3 a 5 f s . A partir de tais parâmetros, estes pesquisadores conseguiram mapear os padrões de desprendimento de vórtices. O mapa resultante, por muitos denominado de mapa WR, é mostrado na figura 03. O parâmetro λ/D, no eixo das abscissas, corresponde ao comprimento de onda adimensional, dado por:
(3) Sendo que esta mesma expressão define também a velocidade reduzida U. De acordo com os experimentos feitos por Williamson e Rohsko (1988), o mapa WR (Figura 05) apresenta duas regiões com os modos de desprendimento P+S e 2P. Os autores notaram que os limites entre estas duas regiões são dependentes do número de Reynolds. Para valores de Re > 300, parte da região de modo P+S é tomada pela região 2P (Figura 05.a). Para Re < 300, a região 2P se contrai ou desaparece completamente (Figura 05.b).
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FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Um corpo de fluido contido num recipiente que gira em torno de seu eixo vertical, com velocidade angular ω, eventualmente, atinge um equilíbrio relativo e gira com a mesma velocidade angular do recipiente ( ω), formando um vórtice forçado. A aceleração de qualquer partícula do fluido num raio r , devido à rotação, será igual a –ω2r , perpendicular ao eixo de rotação, tendo o sentido de r como positivo para fora, a partir do eixo de rotação; assim, da segunda lei de Newton, temos: p r
2
r
(4)
E, na direção vertical, tem-se:
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p
z
g a z
Da figura 06, em qualquer ponto
P
(5)
sobre a superfície livre, a inclinação θ, desta
superfície, é dada por:
tan
a r g a z
2
r g
dz dr
(6)
A inclinação da superfície livre varia com r e z é a altura do ponto P acima de O . O perfil da superfície é dado por:
z
r
0
2 r 2 r 2 const . dr g g
(7)
Assim, o perfil da superfície do fluido é parabólico.
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MATERIAIS E MÉTODOS
MATERIAIS Os equipamentos e materiais utilizados no experimento são mostrados na figura 07 abaixo:
MÉTODOS O experimento foi iniciado realizando-se as seguintes etapas: 15
Verificar as ligações elétricas da montagem;
Colocar um volume de água até cerca de 50% da altura do cilindro girante. Medir este volume com o indicador de nível e nunca a altura inicial do tanque;
Iniciar a rotação do motor com baixa velocidade. Quando o sistema atingir estabilidade, iniciar a medição da posição da superfície livre, movimentando a vareta indicadora até alcançar a superfície e marcar as posições radial e axial de cada ponto;
Repetir este procedimento variando a velocidade para um valor maior. No total, podem-se utilizar seis velocidades de rotação;
Aumentar a velocidade de rotação do cilindro até que o nível de água no eixo do mesmo atinja o valor zero. Marcar esta velocidade;
Para cada velocidade de rotação, fazer o gráfico do perfil da superfície que passa pelo eixo de rotação;
Comparar o perfil com a previsão teórica e comentar os resultados;
Repetir este procedimento para as diferentes velocidades de rotação;
Fazer um gráfico da variação da posição mínima em função da rotação. Comentar o gráfico;
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RESULTADOS E DISCUSSÃO RESULTADOS
Após a realização do experimento foram obtidos os seguintes resultados contidos na tabela 01 abaixo:
E após a utilização dos cálculos obtidos com as pesquisas bibliográficas, segue abaixo tabelas contendo os dados:
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DISCUSSÃO
Após a realização do experimento, foram obtidos os dados expressos na seção resultados acima. Para determinação dos pontos de leitura horizontal, ou seja, pontos que seria utilizado para leitura vertical com determinada distância no eixo X foi medido o comprimento total da área que é permitida para leitura e divida por 5 (número de leitura que seria realizada para diferentes valores de velocidade). Com isso, devido ao ponto inicial da leitura estar posicionado em 0,5cm, e com ponto final em 18,5cm, foi divido o valor do comprimento de trabalho de 18,0cm (18,5cm-0,5cm= 18,0cm) pelo valor mencionado acima. Com isso, foi obtido um intervalo de 3,6cm para cada ponto de leitura a ser realizada. Para os valores de velocidade utilizado no experimento, primeiramente foi realizado teste para obtenção do ponto de máximo e mínimo na formação do vórtice, e assim, divido em 6 valores diferentes de velocidades para adquirir as faixas de leitura. Observando a tabela 01 nos resultados nota-se que o valor de velocidade final foi de 412,8Hz, saindo assim do padrão de faixa utilizada. Esse valor foi utilizado devido ser o valor de máxima formação de vórtice, ou seja, onde o vórtice atinge a base do cilindro. Após a obtenção de todos os dados no experimento, foi possível criar uma curva hiperbólica para cada velocidade utilizada (Gráfico 01). Observa-se que à medida que a velocidade aumenta, o vórtice aumenta proporcionalmente. Esse fator é causado devido à velocidade angular no recipiente, ou seja, com a rotação sobre seu eixo vertical, após a formação do vórtice forçado, como a aceleração as partículas tendem em uma direção 18
tangencial ao sentido de rotação, as partículas posicionadas no centro do recipiente se deslocam para as extremidades do mesmo. Observa-se que com o aumento do valor da velocidade, o aumento do vórtice é causado proporcionalmente, pois seguindo o mesmo pensamento citado acima, a aceleração tangencial das partículas é menor que para valores de menor velocidade, com isso, fazendo com que as mesmo se aglomerem nas extremidades do recipiente.
A partir dos dados experimentais, através da equação 07 foi possível manipular a equação para obtenção do valor da constante da integral e após a manipulação para todos os pontos, foi possível verificar que para qualquer ponto utilizado, o valor da constante é o mesmo (Tabela 04).
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Conseqüentemente a obtenção do valor da constante, foi possível o cálculo do valor teórico para cada ponto do vórtice a partir da equação 07 como é apresentado na tabela 03. Respectivamente aos dados experimentais, nota-se que juntamente como valor da velocidade o valor do vórtice forçado também aumenta (Gráfico 02).
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Observa-se que os valores dos gráficos acima apresentam valores no eixo Y com sinais negativos devido à consideração do eixo X como tendo valor igual a “0”. É possível observar também que os valores para o gráfico 02 com os resultados teóricos calculados oferece valores maiores que o dobro dos valores apresentados no gráfico 01 contendo os dados experimentais. Esse fator é encontrado devido a equação 7 oferecer a adição de uma constante como 0,5 e com o valor de h sendo o dobro do valor experimental, sendo assim, multiplicando o valor de “h” por 2 e adicionado 0,5 da constante é obtido o valor teórico para qualquer ponto desejado.
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CONCLUSÕES Conclui-se que os objetivos foram obtidos possibilitando realizar o experimento de vórtice forçado em um cilindro circular, onde por meio do qual foi possível determinar qual a rotação necessária em que o vórtice atingiu sua altura mínima e máxima, proporcionando também compreender o comportamento do perfil da superfície da água em função da rotação aplicada, estabelecendo assim uma correlação entre a literatura apresentada e o procedimento experimental realizado.
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BIBLIOGRAFIA Conceição
L.P.
“ANÁLISE
POR
SIMULAÇÃO
NUMÉRICA
DO
DESPRENDIMENTO DE VÓRTICES DE UM CILINDRO CIRCULAR EM MOVIMENTO FORÇADO” (UFRS, 2008).
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