����������� �� ��� ���� ����� �������
AULA 8: Estimadores pontuais e intervalos de confiança (Retificado) 1.
2.
ESTIMADORES PONTUAIS ....................................................................... .............................................................................................................. ....................................... 2 1.1.
Estimador para a média ................................................................. ....................................................... 4
1.2.
Estimador para a variância .......................................................... ........................................................ 5
1.3.
Estimador para uma proporção ............................................................... ........................................... 10
INTERVALO DE CONFIAN�A PARA A M�DIA................................................................................. 11 2.1.
3.
como uma variável aleatória ................................................................. .......................................... 11
2.2.
Esperança e variância de
................................................................................................................ 13
2.3.
Intervalo de confiança para a média ................................................................... ............................... 23
2.4.
Intervalo de confiança para a média quando a variância variância da população não é conhecida................. 34
INTERVALO DE CONFIAN�A PARA PROPOR��ES......................................................................... 40 3.1. 3.2.
como uma variável aleatória ................................................................ ........................................... 40
Intervalo de confiança para uma proporção proporção ............................................................................ .......... 43
4.
INTERVALO DE CONFIAN�A E TAMANHO DA AMOSTRA ............................................................. 47
5.
FATOR DE CORRE��O PARA POPULA��ES FINITAS ..................................................................... 61
6.
CARACTER�STICAS DOS ESTIMADORES ........................................................................................ 64 6.1.
Estimador não tendencioso ........................................................... ...................................................... 65
6.2.
Estimador de variância mínima. .............................................................. ........................................... 67
6.3.
Estimador de mínimos quadrados............................................................ ........................................... 68
6.4.
Estimador de máxima verossimilhança verossimilhança ............................................................... ................................ 69
7.
RESUM�O ............................................................................... ..................................................................................................................................... ...................................................... 74
8.
ASSUNTO DE DESTAQUE .......................................................................... .............................................................................................................. .................................... 74
9.
QUEST�ES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 75
GABARITO ............................................................................. ............................................................................................................................................. ................................................................ 87
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
1
����������� �� ��� ���� ����� �������
Pe��oal ��e j� �i�e� im��e��o e lido a a�la 3, dada an�e� da �e�ifica��o, n�o ��eci�a �eim��imi� e �ele� e��a a�la. � me�o �e�e�eco.
1.
E��IMADO�E� �ON��AI�
Con�ide�e �ma �e���i�a �ala�ial en�ol�endo alg�n� mo�ado�e� de �m bai��o. E��a �e���i�a �e��l�o� no �eg�in�e conj�n�o (dado� em R$ 1.000,00). ������� ��� ��������� �� ������ � ������� ��� ��� ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ��������� �$ ���������
O conj�n�o do� �al��io� de �odo� o� mo�ado�e� � a no��a ���������. ���������. Q�al��e� ��bconj�n�o n�o �a�io da �o��la��o � �ma �������. �������. Q�e�emo� de�cob�i� o �al��io m�dio do� mo�ado�e� do bai��o. A g�ande�a de in�e�e��e (m�dia �ala�ial) �e �efe�e � �o��la��o. O� �eja, e��amo� in�e�e��ado� no �al��io m�dio de �odo� o� mo�ado�e�. A m�dia �o��lacional � o no��o ���������. Pa��me��o � ��al��e� ca�ac�e����ica �o��lacional. Se, �o� alg�m mo�i�o, n�o ��de�mo� �eali�a� �m cen�o, n�� fa�emo� �ma amo���agem. Ao longo do c���o, ��abalha�emo� ba�icamen�e ba�icamen�e com a amo���agem alea���ia �im�le�. Podemo�, �o� e�em�lo, calc�la� a m�dia da amo���a. A m�dia amo���al �, como o �����io nome di�, �ma ca�ac�e����ica ca�ac�e����ica da amo���a. � chamada de �����������. �����������.
���������: � �ma ca�ac�e����ica ca�ac�e����ica da �o��la��o E����������: � �ma ca�ac�e����ica da amo���a M�i�o bem. Selecionamo� �ma amo���a de de� �e��oa�. Se �oc� calc�la� a m�dia �a�a a amo���a acima indicada, ob�e�� R$ 3.600,00. A m�dia amo���al � de R$ 3.600,00. A �a��i� de��a amo���a, �amo� e��ima� a m�dia da �o��la��o. U�amo� a m�dia amo���al (=R$ 3.600,00) como �m e��imado� da m�dia �o��lacional, de�conhecida.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
2
����������� �� ��� ���� ����� �������
Di�emo� ��e R$ 3.600,00 � a m�dia e��imada, a �a��i� da amo���a fei�a. � �ma e��ima�i�a �o� �on�o. E��amo� di�endo ��e �ma e��ima�i�a �a�a a m�dia �o��lacional � R$ 3.600,00. O� �eja, ��amo� a m�dia amo���al como e��imado� da m�dia �o��lacional. A m�dia amo���al, con�ide�ada como �ma f��m�la (�oma do� �alo�e� da amo���a, di�idida �o� �n�), o� �eja, con�ide�ada como �ma f�n��o do� �alo�e� amo���ai�, � chamada de �����������. O� �eja, e��a����ica � �ma f�n��o do� �alo�e� da amo���a. Um �alo� e��ec�fico ��e a e��a����ica a���me � chamado de e��ima�i�a. En��o:
= ∑
� a e��a����ica. I��o �o���e �e ��a�a de �ma f�n��o do� �alo�e� amo���ai�.
J� o �alo� 3.600,00, ��e �� e � �ma �eali�a��o n�m��ica de , � a ����������. ����������. A e��ima��o �o� �on�o �e con��a��e � e��ima��o �o� in�e��alo. Ne��a �l�ima, n�o definimo� �m �alo� �nico �a�a a e��ima�i�a; �im �m in�e��alo de �alo�e�. Um e�em�lo ��o a��ela� �e���i�a� elei�o�ai� de in�en��o de �o�o. Lemb�am ��ando �e di� ��e o� �candida�o� e���o �ecnicamen�e em�a�ado��? Se o candida�o A �em en��e 30% e 34% da� in�en��e� de �o�o, e o candida�o B �em en��e 28% e 32% da� d a� in�en��e� de �o�o, n�o d� �a�a afi�ma� ��em �ai ganha�. A� o William Bonne� di� ��e ele� e���o �ecnicamen�e em�a�ado�. Ne��e �eg�ndo ca�o, a �a��i� de �ma amo���a, ��oc��o���e e��abelece� �m in�e��alo de �alo�e� ��o���el �a�a a� in�en��e� de �o�o de cada candida�o. Pa�a o candida�o A, o in�e��alo � de 30% a 34%. Di�emo� ��e �e ��a�a de �ma e��ima�i�a �o� in�e��alo. Po� en��an�o, �amo� no� concen��a� na e��ima�i�a �o� �on�o. O mo�i�o de �e fa�e� �ma amo���agem � o fa�o de ha�e� alg�ma dific�ldade em anali�a� �oda a �o��la��o. Pode �e� m�i�o ca�o, m�i�o demo�ado. O� �ode �e� in�i��el. Se�ia o ca�o de �e� ��al a �en��o m��ima ��e �m ma�e�ial ���o��a. Se �i�e�mo� ��e ��bme���lo a �en��e� cada �e� maio�e�, a�� ��e ele a��eben�e, en��o n�o �odemo� anali�a� �odo� o� obje�o�, �ob �ena de de����i�mo� �odo� e n�o �ob�a� mai� nenh�m. Se fo��e �o����el anali�a� a �o��la��o in�ei�a, con�eg�i��amo� com e�a�id�o �abe� ��a m�dia e �e� de��io �ad��o (e��e� �alo�e� �eai� ��o no��o� �a��me��o�). Q�ando fa�emo� �ma amo���agem, con�eg�imo� a�ena� �abe� a m�dia e o de��io �ad��o da amo���a fei�a. No��o obje�i�o, �o��an�o, �, a �a��i� do� �alo�e� de m�dia e de��io �ad��o
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
3
����������� �� ��� ���� ����� �������
da amo���a, e��ima� ��ai� o� �alo�e� de m�dia e de��io �ad��o da �o��la��o. No��o obje�i�o � e��ima� o �alo� do �a��me��o de�conhecido. Cla�o ��e �ode��amo� e��a� in�e�e��ado� em o���o� �a��me��o� ��e n�o a m�dia e o de��io �ad��o. Ma�, em conc���o�, na g�ande maio�ia da� ��e���e�, ��o cob�ado� a�ena� e��e� doi� �a��me��o� (al�m da �a�i�ncia, in�imamen�e �elacionada com o de��io �ad��o, e da ��o�o���o, ��e �e�emo� ne��a a�la). Q�ando e�colhemo� �m e��imado�, �odemo� e��a� in�e�e��ado� em di�e��a� ca�ac�e����ica�. Alg�n� �i�o� de e��imado�e� ��o: •
N�o �endencio�o� (o� n�o �iciado�)
•
De m��ima �e�o��imilhan�a
•
De �a�i�ncia m�nima
•
De m�nimo� ��ad�ado�
Po� en��an�o, n�� n�o �e�emo� com de�alhe� cada �ma de��a� ca�ac�e����ica�. Falamo� mai� �ob�e i��o ao final da a�la.
1.1.
E�������� ���� � �����
U�amo� a m�dia amo���al ( ) �a�a e��ima� a m�dia �o��lacional ( ) Ne��e �on�o, � im�o��an�e �ad�oni�a�mo� no��a ling�agem. H� doi� ��mbolo� ���almen�e em��egado� �a�a a m�dia. A �a��i� de ago�a, � im�o��an�e �abe� dife�enci��lo�, �oi� ele� ��o a�a�ece� j�n�o� em �ma me�ma ��e���o.
Q�ando �emo� �ma �a�i��el alea���ia, a m�dia de��a �a�i��el � de�ignada �o� . �� �e�e� �odemo� modela� �ma �o��la��o como �ma �a�i��el alea���ia. En��o, �em��e ��e ��i�e�mo� no� �efe�i� � m�dia de �ma �a�i��el alea���ia, o� � m�dia de �ma �o��la��o, �amo� ��a� o ��mbolo .
Seja � a a �a�i��el alea���ia ��e de�igna o �e��l�ado do lan�amen�o de �m dado. J� �imo� ��e a m�dia de��a �a�i��el alea���ia (= e��e�an�a) � de 3,5.
= 3,5
Podemo� �en�a� ��e 3,5 � a m�dia da �a�i��el alea���ia � . O� en��o, �e �en�a�mo� em �ma �o��la��o fo�mada �o� �odo� o� �e��l�ado� ��e �ode�iam �e� ob�ido� ��ando �e lan�a o dado infini�a� �e�e�, di�emo� ��e a m�dia de��a �o��la��o � 3,5. Pegamo� o dado de �ei� face� e lan�amo� ���� �e�e�, ob�endo: 6, 2, 3. E��e� ���� lan�amen�o� ��o �ma amo���agem do� infini�o� infin i�o� �e��l�ado� ��e �ode�iam oco��e�. Se ��i�e�mo� no� �efe�i� � m�dia de �ma amo���a, �amo� ��ili�a� o ��mbolo X (� � ba��a�): ba��a�):
= 6 + 23 + 3 = 131
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
4
����������� �� ��� ���� ����� �������
Re��mindo: •
Falo� em m�dia �o��lacional: o ��mbolo � µ
•
Falo� em m�dia de �a�i��el alea���ia: o ��mbolo � µ (�oi� �a�i��ei� alea���ia� ��o ��ada� �a�a modela� �o��la��e�)
•
Falo� em m�dia amo���al: ��mbolo � X
No��o obje�i�o �, a �a��i� de �ma amo���a, e��ima� ��al o �a��me��o �o��lacional. Pa��indo da amo���a da� de� �e��oa� acima, e��imamo� a m�dia �o��lacional em R$ 3.600,00. O �alo� da m�dia da amo���a ( X ) � �m e��imado� da m�dia �o��lacional ( µ ). � �m e��imado� n�o �endencio�o, de �a�i�ncia m�nima, de m�nimo� ��ad�ado� e, �e a �a�i��el alea���ia fo� no�mal, � �amb�m �m e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a. Ao final da a�la fala�emo� �ob�e e��a� ca�ac�e����ica� do� e��imado�e�.
E������� E������ 1 De �ma �o��la��o foi e���a�da �ma amo���a com o� �eg�in�e� �alo�e�: 4, 6, 8, 8. Q�al a e��ima�i�a �a�a a m�dia da �o��la��o? ���������. N�o �abemo� a m�dia da �o��la��o ( µ ). Ne��e ca�o, �amo� ��ili�a� a m�dia da amo���a ( X ) �a�a e��ima� a m�dia da �o��la��o. A e��ima�i�a da m�dia da �o��la��o fica: X =
4+6+8+8 4
=
6,5
E��imamo� a m�dia �o��lacional em 6,5.
1.2.
E�������� ���� � ���������
U�amo� a �a�i�ncia da amo���a (� 2) �a�a e��ima� a �a�i�ncia da �o��la��o ( A �a�i�ncia amo���al �ode �e� calc�lada de d�a� manei�a�.
).
Se o e�e�c�cio �edi� o e��imado� n�o��iciado, ��amo� n�1 no denominado�:
= ∑ − −1
Se o e�e�c�cio �edi� o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a e a �a�i��el fo� n o�mal, ��amo� n no denominado�:
= ∑ −
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
5
����������� �� ��� ���� ����� �������
Vamo� �ad�oni�a� a �imbologia. Q�ando ��i�e�mo� no� �efe�i� � �a�i�ncia �o��lacional o� � �a�i�ncia de �ma �a�i��el alea���ia, �amo� ��a� o ��mbolo σ 2 . O� en��o, �odemo� ��a� o ��mbolo V( � ). O���o ��mbolo �o����el no� e�e�c�cio� � Va�( � ). Q�ando ��i�e�mo� no� �efe�i� � �a�i�ncia de �ma amo���a, ��amo� s 2 . •
Va�i�ncia da �o��la��o (o� da �a�i��el alea���ia): σ 2
•
Va�i�ncia da amo���a: s 2
= V ( X ) = Var ( X )
Pa�a �a�i�ncia, o e��imado� ��e �amo� ��a� ge�almen�e �:
∑ ( X − X ) =
2
s2
i
,
n −1
��e � a me�ma f��m�la �i��a na e��a����ica de�c�i�i�a. Na e��a����ica de�c�i�i�a, ��ando �e e���da a f��m�la da �a�i�ncia amo���al, a��ende��e ��e o denominado� � � n − 1 � em �e� de �n�. Q�ando ��e�emo� e��ima� a �a�i�ncia da �o��la��o, �m do� fa�o�e� ��e �em infl��ncia ne��e denominado� � j���amen�e a ca�ac�e����ica de�ejada �a�a o e��imado�. Pa�a ��e o e��imado� �enha ce��a ca�ac�e����ica de �al fo�ma ��e ele �o��a �e� en��ad�ado como n�o �endencio�o, � nece����io ��e o denominado� �eja � n − 1 �. E��e e��imado� acima � o mai� ��ili�ado. Ele � n�o �endencio�o. Con��do, no ca�o da �a�i��el no�mal, ele n�o � o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a. O e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a �:
∑ ( X − X ) =
2
s2
i
n
Se �o� aca�o o e�e�c�cio de� �ma amo���a de �ma �a�i��el no�mal e �edi� �a�a calc�la� o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da �a�i�ncia ��ili�amo� � no denominado� (em �e� de n − 1 ). Ma� acho ��e � im��o���el ��e i��o oco��a. O ��e de�e �ai cai� me�mo � com o denominado� n − 1 . � im��o���el, ma� n�o im�o����el, confo�me �e�emo� em alg�n� e�e�c�cio� de conc���o� d��an�e a a�la. E������ 2 Con�ide�e a �eg�in�e amo���a de �ma �a�i��el alea���ia no�mal: 1, 2, 3. Calc�le: a) o e��imado� n�o �endencio�o da �a�i�ncia �o��lacional b) o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da �a�i�ncia �o��lacional
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
6
����������� �� ��� ���� ����� �������
��������� a) O e��imado� n�o �endencio�o � a��ele em ��e �emo� � n − 1 � no denominado�. Fica a��im:
∑ ( X − X ) =
2
i
s2
s
2
=
n −1
(− 1)2 + 0 2 + 12
=1
3 −1
b) O e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a � a��ele com � �� no denominado�.
∑ ( X − X ) =
2
s2
s
������� 1
2
=
i
n
(− 1)2 + 0 2 + 12 3
=
2 / 3
�EFA� �J 2008 �FG��
Con�ide�e �ma Amo���a Alea���ia Sim�le� de � �nidade� e���a�da� de �ma �o��la��o na ��al a ca�ac�e����ica, X, e���dada �em di���ib�i��o No�mal com m�dia µ e �a�i�ncia σ 2 , amba� de�conhecida�, ma� fini�a�. Con�ide�e, ainda, a� e��a����ica� m�dia da amo���a, X = 1
n
n
∑
X i , e �a�i�ncia da amo���a s
i =1
2
=
1
n
n
∑ ( X − X )
2
i
. En��o, � co��e�o afi�ma� ��e:
i =1
(A) X e S 2 ��o, ambo�, n�o �endencio�o� �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (B) X � n�o��endencio�o, ma� � S 2 �endencio�o �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (C) X � �endencio�o, ma� S 2 � n�o��endencio�o �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (D) X e S 2 ��o, ambo�, �endencio�o� �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (E) X e S 2 ��o, ambo�, n�o��endencio�o� �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, ma� a�ena� X � con�i��en�e. ���������: Ne��a ��e���o, �emo�: � a m�dia a�i�m��ica da amo���a como �m e��imado� da m�dia �o��lacional: �imo� ��e a m�dia da amo���a � �m e��imado� n�o��endencio�o. � a �a�i�ncia da amo���a como �m e��imado� da �a�i�ncia �o��lacional: �imo� ��e, ��ando �e ��a n no denominado�, o e��imado� � �endencio�o. G�������: B ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
7
����������� �� ��� ���� ����� �������
Re��mindo: h� di�e��o� �i�o� de e��imado�e�. Po� ho�a, ainda n�o �abemo� e�a�amen�e o ��e ele� �ignificam. S� �abemo� ��e, no ca�o de e��ima�mo� a �a�i�ncia da �o��la��o a �a��i� de �ma amo���a, o denominado� �ode �e� � n − 1 � o� ���. Se o e�e�c�cio n�o fala� nada, ��ili�e � n − 1 �. E��e � o e��imado� mai� ��ili�ado. Ele � n�o �endencio�o. Se o e�e�c�cio �edi� o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a e a di���ib�i��o fo� no�mal, ��ili�e ���. ������� 2
CG� 2008 �E�AF�
Q�al o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da �a�i�ncia de �ma �a�i��el � no�malmen�e di���ib��da ob�ido a �a��i� de �ma amo���a alea���ia �im�le� X 1, X2, X3, ..., Xn, de��a �a�i��el, �endo m = ∑ X i / n o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da m�dia?
∑ ( X − m) a)
2
i
n −1
∑ ( X − m) b)
2
i
n−2
∑ ( X i − m) 2 c) n −1
∑ ( X − m) ∑ ( X − m) e) d)
0 ,5
2
i
2
i
n
���������. O en�nciado e��� ��ando a le��a �m� �a�a indica� a m�dia amo���al. Vimo� ��e o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da �a�i�ncia �a�a a di���ib�i��o no�mal � a��ele ��e a��e�en�a �n� no denominado�. G�������: E. ������� 3
�EFA� �� 2009 �E�AF�
(Dado� da ��e���o an�e�io�: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.) Con�ide�ando ��e a� ob�e��a��e� a��e�en�ada� na ��e���o an�e�io� con��i��em �ma amo���a alea���ia �im�le� X 1, X 2, ..., Xn de �ma �a�i��el alea���ia X, de�e�mine o �alo� mai� ����imo da �a�i�ncia amo���al, ��ando �m e��imado� n�o �endencio�o da �a�i�ncia de X. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
8
����������� �� ��� ���� ����� �������
Con�ide�e ��e: 23
∑ X
i
=
388
=
8676
i =1 23
∑ X
2
i
i =1
a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 ���������. A m�dia fica: 23
∑ X
i
X =
i =1
=
23
388 23
A m�dia do� ��ad�ado� da� ob�e��a��e� fica: 2
X
=
8676 23
A �a�i�ncia (com � no denominado�), � dada �o�: 2
X
2
− X
388 = − 23 23 8676
2
Pa�a o e��imado� n�o �endencio�o (o� n�o �iciado, o� n�o en�ie�ado), n�� ��amo� n − 1 no denominado�. Po��an�o, ��eci�amo� aj���a� o denominado�. O �e��l�ado acima con�ide�a �ma di�i��o �o� 23 (= �). P�eci�amo� m�l�i�lica� �o� 23, �a�a cancela� e��a di�i��o. Em �eg�ida, di�idimo� �o� 22, �a�a ��e o denominado� �eja ig�al a n − 1 . O e��imado� n�o �endencio�o da �a�i�ncia fica: s
2
=
s
23 22 2
=
×
8676 388 2 − 23 23
8676 22
−
388
2
23 × 22
= 394,36 � 297,52 = 96,84 G�������: A ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
9
����������� �� ��� ���� ����� �������
1.3.
E�������� ���� ��� ���������
̂
U�amo� a ��o�o���o amo���al ( ) �a�a e��ima� a ��o�o���o �o��lacional ( �) Con�ide�e ��e a ��o�o���o de mo�ado�e� de �ma cidade ��e ��e�endem �o�a� n�m candida�o A � de 40%. � �m �alo� ��e �e �efe�e � �o��la��o in�ei�a. � �m �a��me��o. Vamo� �ad�oni�a�. Sem��e ��e no� �efe�i�mo� � ��o�o���o da �o��la��o, ��amo� o ��mbolo p . p
=
40%
S��onha ��e n�� n�o conhecemo� e��a ��o�o���o �efe�en�e � �o��la��o (40%) e, �a�a e��im��la, en��e�i��amo� 10 �e��oa�. De��a�, 5 ��e�endem �o�a� no candida�o A. A ��o�o���o �e�ificada na amo���a � 50%. Chamamo� de pˆ . pˆ
=
50%
Vamo� ��a� pˆ como e��imado� de p . Re��mindo: •
P�o�o���o da �o��la��o: p
•
P�o�o���o amo���al: pˆ
E������ 3 Pa�a �ma �e���i�a de in�en��e� de �o�o �a�a a P�efei���a de �ma cidade, fo�am en��e�i��ada� 100 �e��oa�. Ve�ifico���e ��e, ne��a amo���a, 30 elei�o�e� ��e�endem �ol�a� no candida�o A. Q�al a e��ima�i�a da ��o�o���o �o��lacional de in�en��e� de �o�o do candida�o A? ���������. N�o �abemo� ��al a ��o�o���o �o��lacional (o� �eja, �efe�en�e a �odo� o� elei�o�e� da cidade). Vamo� ��a� a ��o�o���o �e�ificada na amo���a �a�a e��ima� a ��o�o���o �o��lacional. Na amo���a �emo�: pˆ
=
30%
=
0,3
Di�emo� ��e a e��ima�i�a da ��o�o���o �o��lacional � de 30%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
10
����������� �� ��� ���� ����� �������
E���������� �������� � U�amo� a m�dia amo���al �a�a e��ima� a m�dia �o��lacional ( X � �m e��imado� de µ ); � U�amo� a �a�i�ncia amo���al �a�a e��ima� a �a�i�ncia �o��lacional. Se o e��imado� fo� n�o��iciado (o� n�o��endencio�o) ��amo� n − 1 no denominado�. Se o e��imado� fo� de m��ima �e�o��imilhan�a e a �a�i��el fo� no�mal, ��amo� n no denominado�. � U�amo� a ��o�o���o amo���al �a�a e��ima� a ��o�o���o �o��lacional.
2.
IN�E��ALO DE CONFIAN�A �A�A A M�DIA
2.1.
���� ��� �������� ���������
M�i�a� �o��la��e� �odem �e� modelada� �eg�ndo �ma �a�i��el alea���ia. Como e�em�lo, con�ide�e a �em�e�a���a de �m local, medida com no��o �e�m�me��o m�gico de infini�a� ca�a� a��� a ���g�la. No��o obje�i�o � e��ima� a �em�e�a���a m�dia do local em �m dado dia. Pa�a �an�o, con�ide�amo� ��e a �em�e�a���a �e com�o��a como �ma �a�i��el alea���ia � . De��e modo, encon��a� a �em�e�a���a m�dia do local � o me�mo ��e encon��a� a e��e�an�a de � . E ( X ) = µ = ?
N�m dado dia, �amo� l� ne��e local e, em de� in��an�e� dife�en�e�, medimo� a �em�e�a���a. Ago�a �emo� �ma amo���agem de �amanho 10 �a�a a �em�e�a���a no local. S��onha ��e e��a m�dia �enha �ido X 1 = 2 �C. Ne��e �on�o, n�o c���a nada lemb�a� a �imbologia ��e �ad�oni�amo�. •
X � a m�dia de �ma amo���a
•
µ � a m�dia da �o��la��o (� o �alo� ��e ��e�endemo� e��ima�)
S� ��e o� in��an�e� em ��e �eali�amo� a amo���agem fo�am alea�o�iamen�e e�colhido�. Se, �o� aca�o, o���o� in��an�e� �i�e��em �ido e�colhido�, cada �ma da� medi��e� �ode�ia �e� ligei�amen�e dife�en�e. Se�ia �o����el �e� ob�ido �ma �eg�nda m�dia ig�al a X 2 = 2,1 �C. O� �amb�m �e�ia �o����el �e� ob�ido �ma �e�cei�a m�dia X 3
=
2 ,051�C.
Q�ando no� �efe�imo� a �ma �nica amo���a, X �e��e�en�a �m n�me�o, a m�dia a�i�m��ica da��ela amo���a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
11
����������� �� ��� ���� ����� �������
Ma� �amb�m �odemo� no� �efe�i� a X de fo�ma dife�en�e. Podemo� �en�a� em in�me�a� amo���a�, com X a���mindo �alo�e� dife�en�e� em cada �ma dela�. A��im, X �e�ia �ma �a�i��el.
�ode �e� �i��a como �ma �a�i��el alea���ia
Q�ando no� �efe�imo� a como �ma �a�i��el alea���ia, � �o���e e��amo� �en�ando em �oda� a� dife�en�e� amo���a� ��e �ode�iam �e� �ido e���a�da�. Ne��e ca�o, � �i��a a�ena� como �ma f��m�la, �m m��odo de c�lc�lo: �omamo� �odo� o� �alo�e� da amo���a e di�idimo� �o� �n�. Ne��e ca�o, di�emo� ��e � �ma �����������.
Po� o���o lado, ��ando no� �efe�imo� a �ma amo���a em �a��ic�la�, ��e fo�nece �m �nico �alo� �a�a a m�dia amo���al, ne��e ca�o, a���mi�� �m �alo� �nico, fi�o. Po� e�em�lo, . Ne��a �i��a��o, ��ando no� �efe�imo� a como algo fi�o, di�emo� ��e � �ma ���������� da m�dia �o��lacional.
= 2
= 2
Na �e�dade, e��e� nome� �e��a����ica�, �e��ima�i�a�, ��a��me��o�, ��do i��o n�o cai em ��o�a. A�� hoje n�o �i �ma ��e���o �� e��lo�ando a� dife�en�a� concei��ai� de �m nome �a�a o o���o, ok?
De �odo e��e bl� bl� bl� acima, �� o ��e im�o��a �: �ode �e� �i��a como algo ��e �a�ia (ca�o e��ejamo� �en�ando em �oda� a� �o����ei� amo���a�) o� �ode �e� �i��a como algo fi�o (��ando �en�amo� em �ma amo���a em �a��ic�la�). ������� 4
�J �I 2009 �FCC�
Seja �ma �o��la��o con��i���da �elo� �alo�e� 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Toda� a� amo���a� com �amanho 2, �em �e�o�i��o, ��o �elecionada�. A ��obabilidade de ��e a m�dia amo���al �eja ���e�io� a 5 � de (A) 1/4 (B) 1/6 (C) 2/3 (D) 1/3 (E) 1/15 ���������:
Vejam como o e�e�c�cio e��lo�a como �ma �a�i��el alea���ia. A cada �o����el amo���a de �amanho 2, a���me �m �alo� dife�en�e.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
12
����������� �� ��� ���� ����� �������
E�em�lo: �e a amo���a fo� (1, 3), a m�dia amo���al �e�� 2. Se a amo���a fo� (1, 5), a m�dia amo���al �e�� 3. O� �eja, �e �en�a�mo� em �oda� a� �o����ei� amo���a� de �amanho 2, �a�i��el alea���ia.
�a�ia,
� �ma
Abai�o �emo� �oda� a� amo���a� �o����ei�, de �amanho 2, �em �e�o�i��o: 1, 2 2,3 3,5
1, 3 2,4 3,6
1,4 2,5 4,5
1,5 2,6 4,6
1,6 3,4 5,6
S�o ��in�e amo���a� �o����ei�. Em �m �nico ca�o a m�dia � maio� ��e 5. T�a�a��e da amo���a (5,6). Temo� �m ca�o fa�o���el em ��in�e �o����ei�. A ��obabilidade de ��e a m�dia �eja maio� ��e 5 � de:
= 151
G�������: E
De��aco ��e n�o e�a nece����io e�c�e�e� �oda� a� amo���a� �a�a con�a� ��an�a� ��o. Pode��amo� ��a� an�li�e combina���ia �a�a �an�o. No ca�o da� amo���a� �o����ei�, ��e�emo� fo�ma� conj�n�o� de doi� elemen�o�, a �a��i� do� �ei� �alo�e� di��on��ei�. Temo� combina��o de 6, �omado� 2 a 2.
, = 4! 6!�2! = 15
No ca�o do� ca�o� fa�o���ei�, �emo� �m �nico ca�o fa�o���el (5, 6). Di�idindo o n�me�o de ca�o� fa�o���ei� �elo n�me�o de ca�o� �o����ei�, �emo�:
2.2.
E�������� � ��������� ��
= 151
� = =
�em e��e�an�a ig�al a e �a�i�ncia ig�al a
.
Al�m di��o, � a��o�imadamen�e no�mal. A a��o�ima��o �e�� �an�o melho� ��an�o maio� fo� o �amanho da amo���a. Como e�em�lo, con�ide�e �m �e��aed�o �eg�la�. Na� ��a� face� �emo� o� n�me�o� 1, 2, 3, 4. Lan�amo� o �e��aed�o �ob�e �ma me�a. � �e��e�en�a o �alo� da face ��e fica em con�a�o com a me�a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
13
����������� �� ��� ���� ����� �������
Vamo� �eali�a� �m e���do do� �o����ei� �e��l�ado� de��e lan�amen�o. Pa�a �an�o, lan�amo� d�a� �e�e� (amo���a de �amanho 2). Sa��am o� �e��l�ado� 1 e 3. Pa�a e��a amo���a em �a��ic�la� a m�dia amo���al foi: X =
1+ 3 2
=
2
Ok, fi�emo� �ma �nica amo���a. Ne��e ca�o, X � �m n�me�o. � �im�le�men�e a m�dia a�i�m��ica do� �alo�e� �e��encen�e� � amo���a. Acon�ece ��e n�o e��amo� in�e�e��ado� em �ma amo���a e��ec�fica, ��e fo�nece �m �alo� �nico �a�a X . E��amo� in�e�e��ado� na �a�i��el alea���ia X . O �e��l�ado do lan�amen�o do dado � alea���io. Se�ia �o����el ��e �i����emo� ob�ido o���a� amo���a�. Se o �e��aed�o fo� homog�neo, a� �o����ei� amo���a� �e�iam: 1e1 2e1 3e1 4e1
1e2 2e2 3e2 4e2
1e3 2e3 3e3 4e3
1e4 2e4 3e4 4e4
Se�iam 16 amo���a� �o����ei�, �oda� ela� com a me�ma ��obabilidade de oco��e�. O �alo� da m�dia amo���al em cada �ma de��a� amo���a� �e�ia: Valo�e� da amo���a 1e1 1e2 1e3 1e4 2e1 2e2 2e3 2e4 3e1 3e2 3e3 3e4 4e1 4e2 4e3 4e4
X
1 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 3 2 2,5 3 3,5 2,5 3 3,5 4
Re�a�e ��e X �ode �e� �i��o como �ma �a�i��el alea���ia ��e a���me di�e��o� �alo�e�. A m�dia de �odo� o� �o����ei� �alo�e� de X fica: E ( X ) =
1 16
× (1 + 1,5 +
����� ����� �������
2 + 2,5 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 + 2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4)
���.�������������������.���.��
14
����������� �� ��� ���� ����� ������� E ( X ) = 2,5
Vamo� ago�a calc�la� a m�dia da �a�i��el alea���ia � . A �a�i��el alea���ia � a���me o� �alo�e� 1, 2, 3, 4, cada �m com ��obabilidade 1/4. Po��an�o: E ( X ) = µ =
1 4
×1 +
1 4
×2+
1 4
×3+
1 4
×4
µ = 2,5
Concl�indo: a e��e�an�a da m�dia amo���al � ig�al � e��e�an�a da �o��la��o. I��o �ignifica ��e, �e fo��e �o����el fa�e� �m n�me�o m�i�o g�ande de amo���a�, a m�dia de �oda� a� m�dia� amo���ai� �e�ia ig�al � m�dia da �o��la��o.
X �ode �e� �i��a como �ma �a�i��el alea���ia com e��e�an�a µ . O� �eja, a m�dia da�
m�dia� amo���ai� � a m�dia da �o��la��o Ainda n�o e���damo� a� di�e��a� ca�ac�e����ica� do� e��imado�e�. Ma� �odemo� fala� �ob�e �ma dela�: o e��imado� n�o �endencio�o (o� n�o �iciado, o� n�o �ie�ado). O fa�o da m�dia de X �e� ig�al � m�dia da �o��la��o no� �e�mi�e cla��ifica� X como e��imado� n�o �endencio�o (o� n�o �iciado). U�ando e��e e��imado�, em m�dia (con�ide�ando a� in�me�a� amo���a� ��e �ode�iam �e� fei�a�), n�� e��amo� �ealmen�e ace��ando o �alo� do �a��me��o de�conhecido. Sem��e ��e a e��e�an�a de �m e��imado� fo� ig�al ao �a��me��o e��imado, e��amo� dian�e de �m e��imado� n�o �endencio�o. E ( X ) = µ :
A m�dia de X � ig�al ao �a��me��o e��imado; �e fi����emo� in�me�a� amo���agen�, em m�dia, ace��a��amo� a m�dia �o��lacional.
Sabendo ��e X �ode �e� �i��a como �ma �a�i��el alea���ia, � �o����el calc�la� a ��a �a�i�ncia. Seja σ 2 a �a�i�ncia da �o��la��o. � �o����el demon���a� ��e, �endo � �� o �amanho da� amo���a�, a �a�i�ncia de X fica: V ( X ) =
σ 2 n 2
Um o���o ��mbolo �o����el �a�a a �a�i�ncia de X �e�ia: σ X . Po��an�o:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
15
����������� �� ��� ���� ����� �������
σ X
2
=
σ 2 n
A �a�i�ncia da m�dia amo���al � ig�al � �a�i�ncia da �o��la��o di�idido �o� �. Po� con�e���ncia, o de��io �ad��o da m�dia amo���al �: σ X
=
σ n
O� �eja, o de��io �ad��o de X � ig�al ao de��io �ad��o da �o��la��o di�idido �o� �ai� de n. E��a� f��m�la� da �a�i�ncia e de��io �ad��o �� ��o ��lida� �e a �a�i��el alea���ia �i�e� �o��la��o infini�a (o� �eja, a���me infini�o� �alo�e�, como no ca�o de �ma �a�i��el alea���ia con��n�a). Ca�o a �o��la��o �eja fini�a (como foi o ca�o do lan�amen�o do �e��aed�o), o �e��l�ado con�in�a �alendo, de�de ��e a amo���agem �eja fei�a com �e�o�i��o. Ca�o a �o��la��o �eja fini�a e a amo���agem �eja fei�a �em �e�o�i��o, a� f��m�la� de�em �e� ada��ada� (a�licamo� o ����� �� �������� ���� ���������� �������, a���n�o ��e abo�dado �o��e�io�men�e).
2 X �ode �e� �i��a como �ma �a�i��el alea���ia com e��e�an�a µ e �a�i�ncia σ (e, n σ
con�e��en�emen�e, de��io �ad��o
).
n
O� �eja, a m�dia de X � ig�al � m�dia da �o��la��o. E a �a�i�ncia de X � ig�al � �a�i�ncia da �o��la��o di�idida �o� n. O de��io �ad��o de X � ig�al ao de��io �ad��o da �o��la��o di�idido �o� �ai� de n. Ago�a �em o g�ande de�alhe. Pelo �eo�ema do limi�e cen��al � �o����el demon���a� ��e a �a�i��el alea���ia X �em di���ib�i��o a��o�imadamen�e no�mal. A a��o�ima��o � melho� ��an�o maio� o �amanho da� amo���a� (��an�o maio� o �alo� de n). I��o �ale me�mo ��e a �a�i��el � n�o �eja no�mal. Ca�o a �a�i��el � �eja no�mal, a �a�i��el X �amb�m �e�� no�mal (a� j� n�o � a��o�ima��o). O� �eja, �a�a a �a�i��el X n�� �odemo� ��ili�a� a �abela de ��ea� �a�a a �a�i��el no�mal. I��o � de e���ema ��ilidade na de�e�mina��o do� chamado� in�e��alo� de confian�a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
16
����������� �� ��� ���� ����� �������
X �ode �e� �i��a como �ma �a�i��el alea���ia no�mal (o� a��o�imadamen�e no�mal), com
m�dia µ , �a�i�ncia
σ 2 n
e de��io �ad��o
σ n
.
A a��o�ima��o �ale me�mo ��e X n�o �eja no�mal. Q�an�o maio� o �amanho da� amo���a�, melho� a a��o�ima��o.
������� 5
��F 1� ������/2001 �FCC�
Pa�a �e��onde� � ��e���o �eg�in�e, con�ide�e a �abela abai�o, �efe�en�e � di���ib�i��o no�mal �ad��o. z
F ( z )
1,20 1,60 1,64
0,885 0,945 0,950
Uma m���ina de em�aco�a� lei�e em �� o fa� �eg�ndo �ma no�mal com m�dia µ e de��io �ad��o 10g. O �e�o m�dio µ de�e �e� �eg�lado �a�a ��e a�ena� 5,5% do� �aco�e� �enham meno� do ��e 1000 g. Com a m���ina a��im �eg�lada, a ��obabilidade de ��e o �e�o �o�al de 4 �aco�e� e�colhido� ao aca�o �eja infe�io� a 4.040 g �: a) 0,485 b) 0,385 c) 0,195 d) 0,157 e) 0,115 ���������. A ��e���o �ode�ia �e� �ido mai� cla�a, e��lici�ando o ��e �ignifica F(�). � m�i�o com�m ��ili�a�mo� o ��mbolo F(�) �a�a �e��e�en�a� a f�n��o di���ib�i��o de ��obabilidade (FDP). Relemb�ando o �ignificado da FDP, ela no� fo�nece ��obabilidade� �a�a a �a�i��el alea���ia Z, no�mal, de m�dia 0 e de��io �ad��o �ni���io. A��im, na ��imei�a linha da �abela �emo� ��e F(1,2) = 0,885. I��o �ignifica ��e a ��obabilidade de Z a���mi� �alo�e� meno�e� ��e 1,2 � de 88,5%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
17
����������� �� ��� ���� ����� �������
Analogamen�e, da �eg�nda linha �emo� ��e a ��obabilidade de Z a���mi� �alo�e� meno�e� ��e 1,6 � de 94,5%. Po� fim, da �e�cei�a linha �emo� ��e a ��obabilidade de Z a���mi� �alo�e� meno�e� ��e 1,64 � de 95%. Da �abela acima, concl��mo� ��e a ��ea �e�de da fig��a abai�o � ig�al a 94,5%.
Uma �e� ��e a ��ea �o�al � ig�al a 1, concl��mo� ��e a ��ea �e�melha � ig�al a 5,5%. Como o g��fico � �im���ico, �abemo� ��e a ��ea ama�ela abai�o �amb�m � ig�al a 5,5%.
Seja � a �a�i��el alea���ia ��e indica o �e�o do� �aco�e� de lei�e em ��. A ��an�fo�ma��o �a�a encon��a� a �a�i��el �ed��ida �: Z =
X − µ σ
Sabemo� ��e 5,5% do� �alo�e� de � ��o meno�e� o� ig�ai� a �1,6. Sabemo� ��e 5,5% do� �alo�e� de � ��o meno�e� o� ig�ai� a 1.000 g.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
18
����������� �� ��� ���� ����� �������
Logo, ��ando � �ale �1,6, � �ale 1.000. − 1,6 =
1000 − µ 10
⇒ −16 = 1000 − µ ⇒ µ = 1016
Encon��amo� o �e�o m�dio do� �aco�e�. O� �e�o� do� �aco�e� �e com�o��am como �ma �a�i��el no�mal de m�dia 1016 e de��io �ad��o de 10 g�ama�. A �e�g�n�a �: ��al a ��obabilidade de o �e�o �o�al de �ma amo���a de 4 �aco�e� �e� infe�io� a 4040g? Lemb�ando ��e
4040 4
= 1010 ,
�emo� ��e e��a �e�g�n�a e��i�ale a:
Q�al a ��obabilidade de o �e�o m�dio de �ma amo���a de 4 �aco�e� �e� infe�io� a 1010 g? Seja X a �a�i��el alea���ia ��e de�igna o �e�o m�dio em amo���a� de 4 �aco�e�. X �em di���ib�i��o no�mal. S�a m�dia � dada �o�: E [ X ] = µ = 1016
S�a m�dia � ig�al � m�dia da �o��la��o. Se� de��io �ad��o � dado �o�: V [ X ] = σ X
=
σ n
=
10 2
=
5
X � �ma �a�i��el alea���ia com m�dia 1016 e de��io �ad��o ig�al a 5.
Q�e�emo� �abe� a ��obabilidade de X �e� infe�io� a 1010g. P�eci�amo� con��l�a� a �abela de ��ea� fo�necida na ��o�a. Pa�a �an�o, ��eci�amo� acha� o �alo� da �a�i��el no�mal �ed��ida � ��e co��e��onde a 1010. E ago�a c�idado! A �a�i��el alea���ia em e���do � X . Na ho�a de ob�e� a �a�i��el �� �emo� ��e fa�e� �ma ��b��a��o e �ma di�i��o. S�b��a�mo� a m�dia da �a�i��el X (no ca�o, 1016). E di�idimo� �elo de��io �ad��o de X (no ca�o, 5). Z =
X − µ σ X
Q�ando X �ale 1010, � �ale: Z =
1010 − 1016 5
= −1,2
Vamo� acha� a ��obabilidade de � �e� meno� ��e �1,2. A �abela fo�necida no� di� ��e a ��ea �e�de da fig��a abai�o � de 0,885.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
19
����������� �� ��� ���� ����� �������
Como a ��ea �o�al � ig�al a 1, a ��ea �e�melha � ig�al a 0,115 (=1�0,885). Uma �e� ��e o g��fico � �im���ico, a ��ea ama�ela da fig��a abai�o �amb�m � de 0,115.
A ��obabilidade de � �e� meno� ��e �1,2 � de 0,115. Con�e��en�emen�e, a ��obabilidade de X �e� meno� ��e 1010 �amb�m � de 0,115. G�������: E. ������� 6
M��/2007 �FCC�
Se �e�i�a�mo� �ma amo���a alea���ia de 1200 ob�e��a��e� de �ma �o��la��o com di���ib�i��o �nifo�me no in�e��alo [17; 29], a di���ib�i��o da m�dia amo���al X �e��, a��o�imadamen�e, a) �nifo�me com m�dia 23 e �a�i�ncia 12 b) no�mal com m�dia 23 e de��io �ad��o 0,1 c) �nifo�me com m�dia 23 e �a�i�ncia 1 d) no�mal com m�dia 23 e de��io �ad��o 12.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
20
����������� �� ��� ���� ����� �������
e) no�mal com m�dia 23 e de��io �ad��o 1. ���������. Q�ando a �o��la��o �em di���ib�i��o no�mal, X �amb�m � �ma �a�i��el alea���ia no�mal. Q�ando a �o��la��o n�o fo� no�mal, X �e�� a��o�imadamen�e no�mal. A a��o�ima��o �e�� �an�o melho� ��an�o maio� fo� a amo���a. Ne��e ca�o, em ��e � � �nifo�me, X � a��o�imadamen�e no�mal. No�e ��e a amo���a � bem g�ande (� = 1200). E���damo� na a�la �a��ada ��e, �a�a calc�la� a m�dia de �ma �a�i��el alea���ia �nifo�me, ba��a �ega� o �on�o m�dio do in�e��alo em ��e ela � dife�en�e de �e�o. Ne��e ca�o, a e��e�an�a de � fica: E [ X ] =
29 + 17 2
=
23
A m�dia de X coincide com a m�dia �o��lacional. E [ X ] = µ = 23
Pa�a �e�mina� a ��e���o, ainda fal�a acha� o de��io �ad��o da m�dia amo���al. Pa�a �an�o, ��eci�amo� da �a�i�ncia da �o��la��o (n�o info�mada). Vimo� na a�la �a��ada ��e, �e �ma �a�i��el alea���ia � �nifo�me no in�e��alo [a, b], ��a �a�i�ncia fica: V ( X ) =
(b − a )
2
12
Ne��e ca�o, a �a�i��el � �nifo�me no in�e��alo en��e 17 e 29.
29− 17 1 2 = 12 = 12 = 12
Sabendo ��e � �em �a�i�ncia 12, �emo�: 2
σ X
=
σ
2
n
=
σ X
12 1200 =
=
0,01
0,1
Po��an�o, X �em di���ib�i��o a��o�imadamen�e no�mal, com m�dia 23 e de��io �ad��o 0,1. G�������: B. ������� 7
�E��OB�A� 2010 �CE�G�AN�IO�
A di���ib�i��o de ��obabilidade� da �a�i��el alea���ia X � �al ��e X = �1 com 50% de ��obabilidade o� X = 1 com 50% de ��obabilidade. A m�dia, , de ��a��o �eali�a��e� de X, ��ce��i�a� e inde�enden�e�, � �ma �a�i��el alea���ia de m�dia e de��io �ad��o, �e��ec�i�amen�e, ig�ai� a
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
21
����������� �� ��� ���� ����� �������
(A) 0 e 2 (B) 0 e 1 (C) 1 e 0.5 (D) 1 e 0 (E) 0 e 0.5 ��������� P�imei�o calc�lamo� a m�dia de X:
= −1 = �−1� 0,=5−1+ 1 +�0,1�5 = 0 = 1
Ago�a calc�lamo� a �a�i�ncia de X:
= −1 � = −1 +1 � = 1 = 1 �0,5 + 1� 0,5 = 1 = − = 1 − 0 = 1 = = 1 √ = √ 14 = 0,5 Logo:
� �ma �a�i��el alea���ia com m�dia ig�al � m�dia de X. Logo, �em m�dia 0. � �ma �a�i��el alea���ia com de��io �ad��o dado �o�:
�em m�dia 0 e de��io �ad��o 0,5.
G�������: E ������� 8
M�OG 2012 �E�AF�
Uma �a�i��el alea���ia �o���i di���ib�i��o no�mal com m�dia ig�al a 10, μ = 10, e �a�i�ncia ig�al a 4, = 4. Re�i�ando��e de��a �o��la��o �ma amo���a de �amanho n = 100, �em��e ��e a di���ib�i��o amo���al da� m�dia�, o� di���ib�i��o amo���al de � �ma di���ib�i��o:
a) n�o no�mal com μ =10 e = 1/5
b)no�mal com μ =10 e = 1/5 c) no�mal com μ =100 e d)no�mal com μ =10 e
= 4
= 2
e)n�o no�mal com μ =100 e
= 4
���������: Q�ando X � no�mal, a di���ib�i��o da� m�dia� �amb�m � no�mal.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
22
����������� �� ��� ���� ����� �������
a) n�o no�mal com μ =10 e = 1/5
b)no�mal com μ =10 e = 1/5 c) no�mal com μ =100 e d)no�mal com μ =10 e
= 4
= 2
e)n�o no�mal com μ =100 e
A e��e�an�a de
= 4
coincide com a m�dia da �o��la��o. No ca�o, �ale 10.
b)no�mal com μ =10 e = 1/5 c) no�mal com μ =100 e d)no�mal com μ =10 e
= 4
= 2
G�������: A �a�i�ncia de da� amo���a�:
B
� ig�al � �a�i�ncia da �o��la��o, di�idida �o� "n". Onde "n" � o �amanho
= = 1004
O de��io �ad��o � a �ai� ��ad�ada da �a�i�ncia.
= 1004 = 102 = 15
O ��e confi�ma a co��e��o da le��a B.
2.3.
I�������� �� ��������� ���� � �����
O in�e��alo de confian�a �a�a a m�dia � dado �o�:
� �
Onde Z0 � o �alo� �a�a a di���ib�i��o no�mal �ed��ida ��e delimi�a a ��ea fi�ada �elo n��el de confian�a. Acima j� �imo� o �e��l�ado final, a��ilo ��e �oc� �em ��e �abe� �a�a �e�ol�e� a� ��e���e�. Se e��i�e� �a�i�fei�o em deco�a� i��o, bl�, j� d� �a�a i� di�e�amen�e �a�a o� e�e�c�cio�. A �eg�i�, o� a�ena� mo���a� �m e�em�lo, �a�a en�ende�mo� melho� do ��e �e ��a�a o a���n�o. Po� en��an�o, n�o �e ��eoc��em em fa�e� con�a�. N�o �e ��eoc��em em deco�a� o� g�a�a� ��al��e� coi�a. S� ��e�o ��e en�endam a ideia ge�al.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
23
����������� �� ��� ���� ����� �������
De�oi�, no� e�e�c�cio� de conc���o, a� �e�emo� o �a��o a �a��o da con������o do in�e��alo de confian�a. O� �eja, �o��e�io�men�e � ��e no� concen��a�emo� em como �e�ol�e� a� ��e���e�. Ne��e momen�o, n�o �e ��eoc��em com i��o. Seja � �ma �a�i��el alea���ia ��e �e��e�en�a �ma �o��la��o infini�a com �a�i�ncia conhecida ( σ 2 ). E��e �infini�a� � �� �a�a �e� �igo�o�o. Ca�o a �o��la��o �eja fini�a, o� �e��l�ado� ��e �e�emo� �� �e a�licam �e a amo���agem fo� fei�a com �e�o�i��o. Poi� bem, en��o � � no��a �a�i��el alea���ia com �a�i�ncia conhecida ( σ 2 ). � �e��e�en�a no��a �o��la��o. A�e�a� de conhece�mo� ��a �a�i�ncia, n�o conhecemo� ��a m�dia ( µ ). No��o obje�i�o �e�� ob�e� �ma amo���a e, a �a��i� dela, defini� o chamado in�e��alo de confian�a �a�a µ . Vamo� ���o� ��e a �a�i�ncia da �o��la��o �eja de 16. V ( X ) = σ 2
= 16
A m�dia da �o��la��o, e��a n�� n�o conhecemo�. Vamo� cham��la de µ . E ( X )
=
µ = ?
=
4
Vamo� ob�e� �ma amo���a de �amanho 4. n
A m�dia de �ma amo���a de �amanho 4 � X . An�e� de efe�i�amen�e fa�e� �ma amo���agem (o ��e no� fo�nece�� �m �alo� e��ec�fico �a�a X ), �amo� �en�a� em �oda� a� amo���a� ��e �ode�iam �e� ob�ida� (com �amanho 4). Em cada �ma dela�, X a���me �m �alo� dife�en�e. Confo�me �i��o no come�o da a�la, X �ode �e� �i��a como �ma �a�i��el alea���ia no�mal (o� a��o�imadamen�e no�mal) de m�dia µ . Sabemo� �amb�m ��e X �em �ma �a�i�ncia dada �o�: V ( X ) =
V ( X ) =
σ 2 n
16 4
=
4
Po��an�o, o de��io �ad��o da �a�i��el X � dado �o�: σ X
=
4 = 2
Vamo� c�ia� a �eg�in�e �a�i��el ��an�fo�mada: Z =
X − µ σ X
A �a�i��el Z, confo�me j� e���dado na a�la an�e�io�, �em m�dia �e�o e de��io �ad��o �ni���io. � a no��a �a�i��el no�mal �ed��ida.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
24
����������� �� ��� ���� ����� �������
Sabemo� ��e Z �em m�dia �e�o e de��io �ad��o �ni���io. E Z �amb�m � �ma �a�i��el no�mal. Pa�a a �a�i��el Z n�� �odemo� con��l�a� a �abela da �a�i��el no�mal �ed��ida. Vamo� de�e�mina� o in�e��alo, cen��ado na m�dia, ��e con��m 95% do� �alo�e� de Z. Fi��em en��o com a info�ma��o de ��e, �a�a a no�mal �ad��o, o in�e��alo de 0 a 1,96 con��m 47,5% do� �alo�e�. Po��an�o, o in�e��alo de �1,96 a 0 �amb�m con��m 47,5% do� �alo�e�. J�n�ando o� doi�, �emo� ��e 95% do� �alo�e� e���o en��e �1,96 e 1,96 (��ea �e�de abai�o).
I��o ��e� di�e� ��e 95% do� �alo�e� de Z e���o en��e �1,96 e 1,96. Ma� ��em � Z? Lemb�ando: Z =
X − µ σ X
O� �eja, �e fi����emo� ���ia� amo���a� e �a�a cada �ma dela� ob�i����emo� �m �alo� �a�a X , em 95% do� ca�o� o �alo�
Po��an�o, a ��obabilidade de
X − µ σ X
X − µ σ X
e��a�ia en��e �1,96 e 1,96.
a���mi� �alo�e� en��e �1,96 e 1,96 � de 95%.
Ok. Ago�a n�� �egamo� e �ealmen�e fa�emo� �ma amo���a com 4 �alo�e�. E��a amo���a �e��l�o� em: 1, 5, 3, 1. Pa�a e��a amo���a e��ec�fica, o �alo� de X foi 2,5. Com ba�e ne��a amo���a e��ec�fica, �emo� �m �alo� e��ec�fico �a�a X . Se con�ide�a�mo� a�ena� e��a amo���a, X n�o � mai� �a�i��el. � �m �alo� �nico (2,5).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
25
����������� �� ��� ���� ����� �������
E �a�a e��a amo���a e��ec�fica o �alo� de Z �: Z =
2,5 − µ 2
.
A ��obabilidade de e��e �alo� e��a� no in�e��alo de �1,96 a 1,96 n�o � mai� 95%. I��o �o���e a e���e���o acima n�o a���me mai� �alo�e� di�e��o�, alea���io�. � �m �alo� �nico. 2,5 � �m n�me�o, �ma con��an�e. O �alo� de µ � �amb�m �m n�me�o, con��an�e. � de�conhecido. Ma� � con��an�e. A m�dia da �o��la��o � �m n�me�o, �m �alo� �nico. E, �o� fim, o denominado� 2 �amb�m � con��an�e. Fa�endo a con�a
2,5 − µ 2
, ob�emo� �m �alo� ��e �ode o� n�o e��a� no in�e��alo �1,96 a
1,96. Q�ando ��b��i���mo� a �a�i��el X �o� �m �alo� ob�ido �a�a �ma dada amo���a e��ec�fica, n�o falamo� mai� em ��obabilidade. � e��ado afi�ma� ��e, com ��obabilidade de 95%, o �alo�
2,5 − µ 2
e��a�� en��e �1,96 e 1,96.
Ma�, ���ondo ��e e��e �alo� e��eja en��e �1,96 e 1,96, ficamo� com: − 1,96 ≤
− 3,92 ≤ −
2,5 − 3,92 −
6,42
2,5 − µ 2
≤ 1,96
2,5 − µ ≤ 3,92 ≤ − µ ≤
3,92 − 2,5
≤ − µ ≤ 1, 42
− 1, 42 ≤
µ ≤ 6,42
E��e in�e��alo en��e �1,42 e 6,42 � chamado de in�e��alo de 95% de confian�a �a�a a m�dia da �o��la��o. Re�a�e ��e n�o �emo� ce��e�a de ��e a m�dia da �o��la��o ( µ ) e��eja ne��e in�e��alo. Nem �odemo� di�e� ��e a ��obabilidade de ela e��a� ne��e in�e��alo �eja de 95%. Ten�ando e��lica� de o���a fo�ma o ��e foi fei�o.
Em 95% do� ca�o�, X e��� di��an�e meno� de 1,96 de��io� �ad��o da m�dia µ . Como o de��io �ad��o de X � 2, �emo� ��e em 95% do� ca�o� X di��a meno� ��e 3,92 da m�dia µ . O� �eja, em 95% do� ca�o� X e��� en��e µ − 3,92 e µ + 3,92 .
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
26
����������� �� ��� ���� ����� �������
Fa�emo� a amo���agem. Ob�emo� �m e��ec�fico �alo� �a�a X (=2,5). E��e �alo� �ode e��a� o� n�o no in�e��alo en��e µ − 3,92 e µ + 3,92 . Se fi����emo� in�me�a� amo���agen�, em 95% dela� o �alo� de X de fa�o e��a�ia con�ido no �efe�ido in�e��alo. Pa�a e��e �alo� em �a��ic�la� (2,5), n�o �emo� como �abe�. Vamo� ���o� ��e e��e �alo� e��eja ne��e in�e��alo. Se i��o fo� �e�dade, ��al o in�e��alo ��e con��m µ ? O �alo� encon��ado �a�a X � de 2,5. E��e �alo� �ode �an�o e��a� � e���e�da de µ ��an�o � di�ei�a. Vamo� fa�e� o� doi� ca�o� e���emo�. Se X e��i�e� � e���e�da de µ , o ca�o mai� e���emo �e�ia j���amen�e ��ando: X = µ − 3,92 2,5 = µ − 3,92
E��e ca�o e���emo oco��e�ia �e µ = 6,42
Se X e��i�e� � di�ei�a de µ , o ca�o mai� e���emo �e�ia j���amen�e ��ando: X = µ + 3,92 2,5 = µ + 3,92
E��e ca�o e���emo oco��e�ia �e: µ = −1,42
Re��mindo, ���ondo ��e o �alo� encon��ado �a�a X di��a meno� de 1,96 de��io �ad��o de µ , o� �alo�e� e���emo� ��e µ �ode a���mi� ��o �1,42 e 6,42. Po��an�o, com 95% de confian�a, µ e��� ne��e in�e��alo. E��a e��ima�i�a da m�dia da �o��la��o � �o� �e�e� chamada de e��ima�i�a �o� in�e��alo. N�o e��amo� lhe a��ib�indo �m �alo� �nico, ma� �ma fai�a de �alo�e�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
27
����������� �� ��� ���� ����� �������
No come�o de��a a�la �imo� como fa�e� a e��ima�i�a �o� �on�o. Na e��ima�i�a �o� �on�o n�o de�e�min��amo� �ma fai�a de �alo�e�. Sim �m �alo� �nico. E��im��amo� o �alo� de µ com o �alo� de X . Vamo� fa�e� mai� �m e�em�lo. De��a �e� �o� coloca� o ��a��o a �a��o�, �a�a gen�e come�a� a fi�a� como fa�e�. ������� 9
INF�AE�O 2009 �FCC�
Em �m de�e�minado �amo de a�i�idade, o� �al��io� do� em��egado� ��o con�ide�ado� no�malmen�e di���ib��do� com �ma m�dia μ e �ma �a�i�ncia �o��lacional ig�al a 1.600 (R$)2. Uma amo���a alea���ia com 100 de��e� em��egado� a��e�en�o� �ma m�dia de R$ 1.000,00 �a�a o� �al��io�. De�eja��e, com ba�e ne��a amo���a, ob�e� �m in�e��alo de confian�a �a�a a m�dia μ com �m n��el de confian�a de 95%, con�ide�ando a �o��la��o de �amanho infini�o e a info�ma��o da di���ib�i��o no�mal �ad��o (Z) ��e a ��obabilidade P (� > 2) = 0,025. O in�e��alo, com o� �alo�e� em R$, � ig�al a (A) [960,00; 1.040,00] (B) [992,00; 1.008,00] (C) [994,00; 1.006,00] (D) [996,00; 1.004,00] (E) [920,00; 1.080,00] ���������: Pa�a de�e�mina��o do in�e��alo de confian�a, �eg�imo� 4 �a��o�. �������� �����: ��eci�amo� de�e�mina� o in�e��alo, �a�a a �a�i��el no�mal �ed��ida (Z), ��e con��m 95% do� �alo�e� (�oi� e��e � o n��el de confian�a �olici�ado no en�nciado). Chamamo� e��e �alo� de Z 0 a��ociado a 95% de confian�a. O e�e�c�cio di��e ��e e��e �alo� � ig�al a 2. Vejam: Logo: Po��an�o:
> 2 = 2,5% < −2 = 2,5% −2 < < 2 = 100% − 2,5%− 2,5% = 95%
Logo, 95% do� �alo�e� de Z e���o no in�e��alo de �2 a�� 2. Po� i��o, o �alo� de Z0 ��oc��ado � 2.
����� ����� �������
= 2
���.�������������������.���.��
28
����������� �� ��� ���� ����� �������
= 1.000 ����ec�d� �e�� e���c�ad� .
������� �����: de�e�mina� o �alo� e��ec�fico de
�a�a a amo���agem fei�a.
�������� �����: de�e�mina� o de��io �ad��o de A amo���a �em �amanho 100. ( � = 100)
O de��io �ad��o de fica:
= = 1100.600 = 16 = √ 16 = 4
������ �����: de�e�mina� o in�e��alo de confian�a. Pa�a �an�o, �abemo� ��e em 95% do� ca�o� o �alo� de � e��a�� en��e �2, e 2. Vamo� ��b��i��i� ��
− ≤ ≤ − ≤ − ≤ − � ≤ ≤ + �
I�olando a m�dia �o��lacional:
O ��e i��o �ignifica? Significa ��e a ��obabilidade de a m�dia �o��lacional e��a� no in�e��alo acima definido � de 95%. Ado�ando a abo�dagem f�e��en�i��a da ��obabilidade, �emo� o �eg�in�e. Se fo��e �o����el �eali�a�, in�me�a� �e�e�, �ma amo���agem de �amanho �, em 95% da� �e�e� o in�e��alo acima definido con�e�ia a m�dia �o��lacional. M�i�o bem. A� a gen�e �ega e fa� �ma �nica amo���a, ob�endo �m �nico �alo� �a�a a m�dia amo���al. Com i��o, ob�emo�:
1.000 − 2� 4 ≤ ≤ 1.000 + 2 �4 992 ≤ ≤ 1.008
Ago�a n�o falamo� mai� em ��obabilidade. � e��ado di�e� ��e a ��obabilidade de a m�dia �o��lacional e��a� no in�e��alo acima � de 95%. I��o �o���e, acima, n�o �emo� mai� nenh�ma �a�i��el.
992 � �m n�me�o, 1.008 � o���o n�me�o, � �m n�me�o (de�conhecido, ma� � con��an�e, fi�o).
Q�ando ��b��i���mo� a �a�i��el �elo �e� �alo� e��ec�fico ob�ido �a�a a amo���a fei�a, falamo� em confian�a. Di�emo� ��e, com 95% de confian�a, a m�dia �o��lacional e��� con�ida no in�e��alo en��e 992 e 1.008 G�������: B ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
29
����������� �� ��� ���� ����� �������
Voc�� �odem g�a�da� ��e o in�e��alo de confian�a �e�� �em��e da fo�ma
− � ≤ ≤ + �
E, �a�a memo�i�a�, � �� �en�a� a��im. N�� ob�emo� a m�dia da amo���a (no ca�o 1.000). N�� ��e�emo� acha� �m in�e��alo ��e con�enha a m�dia da �o��la��o. � �a�o��el ���o� ��e a m�dia da �o��la��o �eja ����ima de 1.000. En��o, �a�a acha� e��e in�e��alo, n�� andamo� �m �o�co �a�a e���e�da e �m �o�co �a�a a di�ei�a, ao longo da �e�a �eal. O� �eja, a m�dia �o��lacional de�e e��a� no �eg�in�e in�e��alo:
1.000 �?
N�� �a��imo� de 1.000 (m�dia amo���al). A �a��i� de��e n�me�o, n�� �amo� anda� �m �o���inho �a�a e���e�da (�amo� ��b��ai� alg�ma coi�a) e �m �o���inho �a�a di�ei�a (�amo� �oma� alg�ma coi�a). E ��e coi�a � e��a? N�� �amo� anda� �m ce��o n�me�o de de��io���ad��o �a�a �m lado e �a�a o o���o.
1.1.000000��4�? �?
E ��an�o� de��io���ad��o n�� �amo� anda�?
O e�e�c�cio � ��e �ai di�e� o ��an�o �amo� anda� �a�a �m lado e �a�a o o���o. I��o �e�� di�o �elo n��el de confian�a. N�� �amo� anda� � 0 de��io���ad��o.
1.000 � 4� 2
O in�e��alo de confian�a no� �e�mi�e de�e�mina� �ma fai�a de �alo�e� em ��e �e �ode e��a� a m�dia �o��lacional. � �ma e��ima�i�a ��o� in�e��alo�, �oi� n�o a��ib�i � m�dia �o��lacional �m �alo� �nico, �im �m in�e��alo �eal.
C������ �� ��������� �� ��������� ���� � ����� �� ��������� 1� Pa��o: Acha� o �alo� de Z0 a��ociado ao n��el de confian�a dado no e�e�c�cio. 2� Pa��o: Encon��a� o �alo� e��ec�fico de X �a�a a amo���a fei�a. 3� Pa��o: Encon��a� o de��io �ad��o de X . U�ili�a� a f��m�la: σ X
=
σ n
4� Pa��o: De�e�mina� o in�e��alo de confian�a: X − Z 0 × σ X
≤ µ ≤ X +
Z 0 × σ X
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
30
����������� �� ��� ���� ����� �������
������� 10
CG� 2008 �E�AF�
Con����a �m in�e��alo de 95% de confian�a �a�a a m�dia de �ma �o��la��o no�mal a �a��i� do� dado� de �ma amo���a alea���ia �im�le� de �amanho 64 de��a �o��la��o, ��e fo�nece� �ma m�dia de 48 e �m de��io��ad��o amo���al de 16, con�ide�ando ��e F(1,96) = 0,975, onde F(�) � a f�n��o de di���ib�i��o de �ma �a�i��el alea���ia no�mal �ad��o � . a) 44,08 a 51,92. b) 41,78 a 54,22. c) 38,2 a 57,8. d) 35,67 a 60,43. e) 32,15 a 63,85. ���������: Re�a�e ��e n�o conhecemo� a �a�i�ncia da �o��la��o. Sem��e ��e i��o acon�ece, n�� de�emo� ado�a� o� �eg�in�e� ��ocedimen�o�: � ��ili�amo� a �a�i�ncia da amo���a no l�ga� da �a�i�ncia da �o��la��o � con��l�amo� a �abela da di���ib�i��o T, em �e� da �abela da di���ib�i��o no�mal. N�� fala�emo� �m �o�co mai� �ob�e i��o no ����imo ���ico ��e �amo� e���da�. Di�o i��o, concl��mo� ��e o ce��o �e�ia ��ili�a� a di���ib�i��o T. Con��do, o e�e�c�cio n�o fo�nece� a �abela da di���ib�i��o T. Fo�nece� a�ena� alg�n� �alo�e� da f�n��o di���ib�i��o de ��obabilidade da �a�i��el no�mal �ed��ida (= �a�i��el no�mal �ad��o). N�o �emo� �a�da, �e�emo� ��e ��ili�a� o� �alo�e� da �a�i��el �ed��ida. O mai� e�a�o �e�ia �e�ol�e� o e�e�c�cio con�ide�ando a di���ib�i��o T. Ma� n�o �amo� �b�iga�� com o en�nciado. Se o en�nciado �� de� info�ma��e� �ob�e a �a�i��el no�mal, �amo� ��a� a �a�i��el no�mal. Vamo� con�ide�a� ��e e��a amo���a j� � �a�oa�elmen�e g�ande, de fo�ma ��e a dife�en�a en��e ��a� a di���ib�i��o no�mal no l�ga� da di���ib�i��o T n�o � ��o g�ande. P�imei�o �a��o: de�e�minando o �alo� de Z 0 a��ociado a 95% de confian�a. Se F(1,96) = 0,975, i��o �ignifica ��e a ��obabilidade de � a���mi� �alo�e� meno�e� o� ig�ai� a 1,96 � de 97,5%. O� �eja, a ��ea �e�de da fig��a abai�o � de 97,5%.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
31
����������� �� ��� ���� ����� �������
Sabemo� ��e a ��ea in�ei�a da fig��a acima � ig�al a 1 (a ��obabilidade de � a���mi� �m �alo� ��al��e� � de 100%). Po��an�o, a ��ea ama�ela � de 2,5%. Como o g��fico � �im���ico, a ��ea � e���e�da de �1,96 �amb�m � de 2,5%. De��e modo, a ��ea �e�de da fig��a abai�o � de 95%.
O� �alo�e� �1,96 e 1,96 delimi�am o in�e��alo de confian�a de 95% �a�a a �a�i��el �ed��ida � . O� �eja, o �alo� de Z 0 a��ociado a 95% � 1,96. Z 0
= 1,96
Seg�ndo �a��o: de�e�mina� o �alo� de X e��ec�fico �a�a a amo���a fei�a. X = 48
Te�cei�o �a��o: de�e�mina� o de��io �ad��o de X . A amo���a �em �amanho 64 ( � = 64). O de��io �ad��o de X � dado �ela f��m�la: σ X
����� ����� �������
=
σ n
���.�������������������.���.��
32
����������� �� ��� ���� ����� �������
N�o conhecemo� o de��io �ad��o da �o��la��o. E��amo� con�ide�ando ��e a amo���a � m�i�o g�ande a �al �on�o ��e a ��a �a�i�ncia �eja �m e�celen�e e��imado� da �o��la��o. Vamo� con�ide�a� ��e a �a�i�ncia amo���al � ig�al � �a�i�ncia da �o��la��o. Po��an�o, o de��io �ad��o da �o��la��o �amb�m � ig�al ao de��io �ad��o da amo���a (=16). σ = 16 σ X
=
16 64
=
2
Q�a��o: de�e�mina� o in�e��alo de confian�a. O in�e��alo de confian�a � da fo�ma: X − Z 0 × σ X ≤ µ ≤ X + Z 0 × σ X S�b��i��indo o� �alo�e�: X − Z 0 × σ X
≤ µ ≤ X +
Z 0 × σ X
48 − 1,96 × 2
≤
µ ≤ 48 + 1,96 × 2
48 − 3,92
≤
µ ≤ 48 + 3,92
44,08 ≤ µ ≤ 51,92
G�������: A. ������� 11
��� 2� ������ 2008 �FCC�
A �ida da� l�m�ada� fab�icada� �o� �ma em��e�a a��e�en�a �ma di���ib�i��o no�mal com �ma �a�i�ncia �o��lacional ig�al a 400 (ho�a�)2 . E���ai��e �ma amo���a de 64 l�m�ada� e �e�ifica��e ��e a �e��ec�i�a �ida m�dia � ig�al a 1.200 ho�a�. Con�ide�ando a �o��la��o de �amanho infini�o e a info�ma��o da di���ib�i��o no�mal �ad��o (Z) ��e a ��obabilidade P(Z > 2) = 2,5%, �em��e ��e o in�e��alo de confian�a de 95% �a�a a �ida m�dia da� l�m�ada� � (A) [1.160 , 1.240] (B) [1.164 , 1.236] (C) [1.180 , 1.220] (D) [1.184 , 1.216] (E) [1.195 , 1.205] ���������: P�imei�o �a��o: Seg�ndo �a��o: Te�cei�o �a��o:
����� ����� �������
= 2 = 1200 ���.�������������������.���.��
33
����������� �� ��� ���� ����� �������
Q�a��o �a��o:
G�������: E
2.4.
= √ = √ 2064 = 280 = 2,5 � � 1.21.00200� 2,�55� 2 1.195;1.205
I�������� �� ��������� ���� � ����� ������ � ��������� �� ���������
��� � ��������� G�ande �a��e do� e�e�c�cio� de conc���o �ob�e in�e��alo de confian�a n�o ��o �e�ol�ido� �o� meio da di���ib�i��o no�mal. Ele� en�ol�em o conhecimen�o da di���ib�i��o T de S��den�. A g�ande �an�agem � ��e a fo�ma de �e �e�ol�e�em o� e�e�c�cio� de in�e��alo de confian�a �o� meio da di���ib�i��o T � e�a�amen�e a me�ma da��ela �i��a acima, �a�a a di���ib�i��o no�mal. A �nica coi�a ��e m�da � a �abela em ��e fa�emo� a con��l�a. No final da a�la h� d�a� �abela�. A �nica coi�a ��e �ai m�da� � ��e �amo� con��l�a� a �abela II, em �e� da �abela I. Sabemo� ��e X �ode �e� �i��o como �ma �a�i��el alea���ia no�mal (o� a��o�imadamen�e no�mal). Po��an�o, �a�a X �odemo� ��ili�a� a �abela de ��ea� da �a�i��el no�mal. Pa�a ��ili�a� e��a �abela, ��eci�amo� encon��a� a �a�i��el no�mal �ed��ida Z: Z =
X − µ σ X
.
Onde σ X � o de��io �ad��o da �a�i��el X . S�a f��m�la �: σ X
=
σ
.
n
En��e�an�o, �e n�o �o�be�mo� a �a�i�ncia da �o��la��o ( σ 2 ), n�o �emo� como calc�la� σ X . Ne��e� ca�o�, ��ili�amo� a �a�i�ncia da amo���a no l�ga� da �a�i�ncia da �o��la��o. Em ��oblema� a��im, na �e�dade, n�� e��amo� e��imando d�a� g�ande�a� ao me�mo �em�o. E��amo� e��imando a m�dia e a �a�i�ncia da �o��la��o. Como n�o �emo� ce��e�a nem �ob�e o �alo� da m�dia nem �ob�e o �alo� da �a�i�ncia da �o��la��o, no��o in�e��alo de confian�a �em ��e �e� maio� ��e a��ele ��e �e�ia ob�ido ca�o conhec���emo� o �alo� de σ 2 , �a�a man�e�mo� o me�mo n��el de confian�a. � e�a�amen�e e��a a ideia da di���ib�i��o T. Pa�a il����a�, �eg�em alg�n� g��fico� ge�ado� com o e�cel.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
34
����������� �� ��� ���� ����� �������
A� c���a� em a��l e �e�melho indicam a� di���ib�i��e� T com 2 e 4 g�a�� de libe�dade. Po� ho�a, a�ena� fi��em com a info�ma��o de ��e o n�me�o de g�a�� de libe�dade �em �ela��o com o �amanho da amo���a. Q�an�o maio� o �amanho da amo���a, maio� o n�me�o de g�a�� de libe�dade. Q�ando a amo���a � �e��ena (como � o e�em�lo da c���a a��l, com 2 g�a�� de libe�dade), o g��fico � dife�en�e da c���a no�mal (em �e�de). � medida ��e o �amanho da amo���a a�men�a, a di���ib�i��o T �e a��o�ima da no�mal. No�em ��e a c���a em �e�melho j� e��� mai� ����ima da c���a �e�de. I��o � a�� in��i�i�o. Se a amo���a fo� m�i�o g�ande, en��o conhece� a �a�i�ncia da amo���a � ��a�icamen�e o me�mo ��e conhece� a �a�i�ncia da �o��la��o. � como �e e��i����emo� caindo no�amen�e n�m ��oblema em ��e a �a�i�ncia �o��lacional � conhecida. Po��an�o, �e no ��oblema n�o �o�be�mo� a �a�i�ncia da �o��la��o, a� �nica� coi�a� ��e m�dam ��o: U�ili�amo� a �a�i�ncia da amo���a no l�ga� da �a�i�ncia da �o��la��o. Em �e� de con��l�a� a �abela de ��ea� da �a�i��el �ed��ida no�mal, con��l�amo� a �abela da di���ib�i��o T, ��e � dada �ela ��o�a. No ca�o da di���ib�i��o T, o g��fico de fd� � m�i�o �a�ecido com o da di���ib�i��o no�mal. Ele con�in�a �endo �im���ico, em �m fo�ma�o ��e lemb�a o de �m �ino. Pa�a con��l�a� a �abela, �emo� ��e �abe� o n�me�o de g�a�� de libe�dade. O ������ �� ����� �� ��������� � ����� � ������� 12
−
, ���� ��� � � ������� �� �������.
�E��OB�A� 2010 �CE�G�AN�IO�
Um le�an�amen�o �eali�ado a �e��ei�o do� �al��io� �ecebido� �o� �ma de�e�minada cla��e ��ofi��ional ��ili�o� �ma amo���a de 100 de��e� ��ofi��ionai�, na ��al fo�am ob�e��ado� �ma m�dia de R$ 2.860,00 e �m de��io �ad��o de R$ 786,00. Q�al �e��, em �eai�, o de��io �ad��o da di���ib�i��o da� m�dia� amo���ai� do� �al��io� de��a cla��e de ��ofi��ionai�? (A) 3,64
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
35
����������� �� ��� ���� ����� �������
(B) 7,86 (C) 78,60 (D) 786,00 (E) 7.860,00 ���������. Q�ando o de��io �ad��o da �o��la��o � conhecido, de��io �ad��o .
√
� no�mal com m�dia ig�al a
e
Se o de��io �ad��o da �o��la��o � de�conhecido, ��b��i���mo� e��e �alo� �o� ��a e��ima�i�a.
O de��io �ad��o amo���al (= �) � �m e��imado� do de��io �ad��o da �o��la��o ( ).
O� �eja, como � de�conhecido, ��b��i���mo� e��e �alo� �o� �� ��e � �e� e��imado�.
Con�e��en�emen�e, �e�� di���ib�i��o T de S��den�, com m�dia ig�al a e de��io �ad��o .
√
G�������: C
√ = √ 786100 = 71086 = 78,6
Alg�n� al�no� conf�ndem e��a� �a�i�ncia� ��e ���gi�am. C�idado �a�a n�o conf�ndi�! Relemb�ando:
1 � � a �a�i�ncia da �o��la��o. Tomamo� cada �alo� da �o��la��o. S�b��a�mo� da m�dia �o��lacional, ob�endo o� de��io� em �ela��o � m�dia. Em �eg�ida, calc�lamo� a m�dia do� ��ad�ado� do� de��io�. I��o � a �a�i�ncia �o��lacional.
.
2 � �2 � a �a�i�ncia da amo���a. � �m e��imado� de Tomamo� cada �alo� da amo���a. S�b��a�mo� da m�dia amo���al, ob�endo o� de��io�. Em �eg�ida, calc�lamo� a m�dia do� ��ad�ado� do� de��io�. I��o � a �a�i�ncia amo���al.
=
.
3� � a �a�i�ncia de . Tomamo� �odo� o� �o����ei� �alo�e� de S�b��a�mo� da m�dia de��a �a�i��el alea���ia, ob�endo o� de��io�. Calc�lamo� a m�dia do� ��ad�ado� do� de��io�, ob�endo a �a�i�ncia de . J� e���damo� ��e
4�
� a e��ima�i�a da �a�i�ncia de .
� ob�ida ��b��i��indo, na f��m�la acima indicada, a �a�i�ncia �o��lacional �ela amo���al.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
36
����������� �� ��� ���� ����� �������
= ������� 13
I�EA 2004 �E�AF�
De�eja��e e��ima� o ga��o m�dio efe��ado �o� g���o� de 4 �e��oa�, n�m �e��a��an�e, �o� meio de �m in�e��alo de confian�a com coeficien�e de 95%. Uma amo���a de 16 g���o� ��od��i� o� �alo�e� R$ 150,00 e R$ 20,00 �a�a a m�dia e o de��io �ad��o amo���ai�, �e��ec�i�amen�e. A��inale a o���o ��e co��e��onde ao in�e��alo ��oc��ado. U�e a hi���e�e de no�malidade da di���ib�i��o do� ga��o� e a �abela abai�o da f�n��o de di���ib�i��o de S��den� (T�) �a�a a e�colha do ��an�il a��o��iado ao� c�lc�lo�. P (T r ≤ x) γ
=
γ
0,900
0,950
0,975
0,990
1,345 1,341 1,337 1,333
1,761 1,753 1,746 1,740
2,145 2,131 2,120 2,110
2,625 2,603 2,584 2,567
r
14 15 16 17 a) [139,34; 160,66] b) [139,40; 160,60] c) [141,23; 158,77] d) [141,19; 158,81] e) [140,00; 160,00] ���������.
O �ndice ���, na �imbologia ��ada no en�nciado, indica o n�me�o de g�a�� de libe�dade. C�eio ��e i��o �ode�ia �e� di�o e���e��amen�e �a�a e�i�a� ��ai���e� d��ida�. N�o conhecemo� a �a�i�ncia da �o��la��o. Vamo� ��a�, �o��an�o, o� �alo�e� da di���ib�i��o �. Como a amo���a �em �amanho 16, �emo� 15 g�a�� de libe�dade. De�emo� con��l�a�, �o��an�o, a linha em ��e � = 15. P�imei�o �a��o: ob�e� o �alo� de � 0 a��ociado a 95% de confian�a. Da �abela, �emo� ��e a ��obabilidade de � �e� meno� o� ig�al a 2,131 � de 0,975. A ��ea �e�de da fig��a abai�o � de 0,975.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
37
����������� �� ��� ���� ����� �������
Como a ��ea �o�al � ig�al a 1, en��o a ��ea �e�melha � de 0,025. Concl��mo� ��e a ��obabilidade de � �e� maio� ��e 2,131 � de 2,5%. 2 ,5%. Como o g��fico da fd� � �im���ico, a ��obabilidade de � �e� meno� ��e �2,131 �amb�m � de 2,5%. A��im, cada �ma da� d�a� ��ea� �e�melha� da fig��a abai�o � ig�al a 0,025.
Como a ��ea �o�al � ig�al a 1, a ��ea ama�ela � de 0,95. Po��an�o, a ��obabilidade de � a���mi� �alo�e� en��e �2,131 e 2,131 � de 95% (=100% � 2,5% � 2,5%) De��a fo�ma, o� �alo�e� ��e delimi�am o in�e��alo cen��ado em �e�o ��e con��m 95% do� �alo�e�, ��o �2,131 e 2,131. t 0
=
2,131
Seg�ndo �a��o: ob�e� o �alo� e��ec�fico de X . . X = 150 (fo�necido no en�nciado).
Te�cei�o �a��o: ob�e� o de��io �ad��o de X . .
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
38
����������� �� ��� ���� ����� �������
Como n�o �emo� a �a�i�ncia da �o��la��o, na �e�dade �amo� ob�e� a e��ima�i�a do de��io �ad��o de X : : s X
=
s n
=
20 16
=
5
Q�a��o �a��o: ob�e� o in�e��alo de confian�a. O in�e��alo de confian�a � da fo�ma: X − t 0 × s X
≤
µ ≤ X + t 0 × s X
150 − 2,131 × 5 ≤ µ ≤ 150 + 2,131 × 5 150 − 10,655 ≤ µ ≤ 150 + 10,655 139,345
≤
µ ≤ 160,655
O in�e��alo mai� ����imo � o fo�necido na le��a A. G�������: A. ������� 14
MIN 2012 �E�AF�
Uma amo���a alea���ia �im�le� de �amanho 9 de �ma �o��la��o com di���ib�i��o no�mal le�o� ao c�lc�lo de �ma m�dia amo���al ig�al a 32 e ao c�lc�lo de �ma �a�i�ncia amo���al ig�al a 225. Con����a �m in�e��alo de 95% de confian�a �a�a a m�dia da �o��la��o. a) 27,1 a 36,9 b) 22,2 a 41,8 c) 12,4 a 51,6 d) 2,6 a 61,4 e) �17 a 81 ���������: A ��e���o foi an�lada, �o��i�elmen�e �ela fal�a de info�ma��o do� �alo�e� �efe�en�e� � di���ib�i��o T de S��den�. O in�e��alo de confian�a �em o �eg�in�e fo�ma�o:
Onde: • •
� √ �
� a m�dia amo���al (=32)
��� � o de��io �ad��o amo���al (no ca�o, � ig�al � �ai� de 225, o� �eja, �ale 15)
•
�n� � o �amanho da amo���a (=9)
•
�0 � o �alo� da di���ib�i��o T a��ociado a 95% de confian�a e 8 g�a�� de libe�dade (o n�me�o de g�a�� de libe�dade � �em��e ig�al a �n � 1�)
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
39
����������� �� ��� ���� ����� �������
S�b��i��indo o� �alo�e�:
32 � √ 159 � 32 � 153 � 32 � 5 �
E �a�a �e�mina� o c�lc�lo, ��eci�a��amo� do �alo� de G�������: �������
, n�o fo�necido �ela ��e���o.
3.
IN�E��ALO DE CONFIAN�A �A�A ��O�O���E�
3.1.
���� ��� �������� ���������
̂
̂
Seja a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� em �ma �o��la��o e fa�o���ei� em �ma amo���a. Vimo� ��e � � �m e��imado� �a�a .
a ��o�o���o de ca�o�
Pa�a fica� mai� cla�o, �amo� anali�a� o e�em�lo do dado ��e � lan�ado ���� �e�e�. Con�ide�amo� ca�o fa�o���el ��ando �ai �m m�l�i�lo de 3. Na �o��la��o (fo�mada �o� �odo� o� �o����ei� �e��l�ado� do lan�amen�o do dado), a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� � ig�al a 1/3. Po� e��e mo�i�o, a ��obabilidade de ��ce��o em �m �nico lan�amen�o � ig�al a 1/3. A��im, a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� na �o��la��o � ig�al � ��obabilidade de ��ce��o em �m lan�amen�o. Ficamo� com: (��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� na �o��la��o = ��obabilidade de ��ce��o em �m lan�amen�o) p
= 1 / 3
q
=
2 / 3 (��o�o���o de ca�o� de�fa�o���ei� na �o��la��o = ��obabilidade de f�aca��o em
�m lan�amen�o). Lan�amo� o dado ���� �e�e�. Ob�emo� o� �eg�in�e� �e��l�ado�: 1, 3, 6. Na amo���a de �amanho 3, a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� foi de 2/3. pˆ
=
2 / 3
U�amo� a ��o�o���o amo���al �a�a e��ima� a ��o�o���o da �o��la��o. Ca�o n�o �o�b���emo� ��e o dado �em 1/3 de face� com m�l�i�lo� de 3, a �a��i� do �e��l�ado ob�ido na amo���agem acima, e��ima��amo� e��a ��o�o���o em 2/3. Q�ando �emo� �ma �nica amo���a, pˆ � �m �alo�, �alo�, �m n�me�o, fi�o, con��an�e. Ma� �odemo� �en�a� em pˆ de fo�ma dife�en�e. dife�en�e. Podemo� �en�a� �en�a� em in�me�a� in�me�a� amo���a� �o����ei�. Se lan����emo� o dado ���� �e�e� no�amen�e, ob�endo o���a amo���a, pˆ �ode�ia a���mi� o���o� �alo�e�. Q�ando con�ide�amo� a� in�me�a� amo���a� �o����ei�, pˆ � �ma �a�i��el alea���ia. ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
40
����������� �� ��� ���� ����� �������
Ne��e e�em�lo do dado, a� amo���a� de �amanho 3 �o����ei� �e�iam: 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 2 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3 1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 3 1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 4 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 1 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 5 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 1 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6 4 6 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2 1 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6 5 2 1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 3 1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4 1 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6 5 4 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5 1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 5 1 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6 1 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6 5 6 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 1 1 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 1 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6 6 2 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 1 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 3 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 4 1 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6 6 4 1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5 1 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 5 1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6 1 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6 6 6
Toda� e��a� amo���a� ��o e��i��o���ei�. Podemo� mon�a� o �eg�in�e ��ad�o: P�obabilidade 64/216 96/216 48/216 8/216
pˆ
0 1/3 2/2 3/3 A e��e�an�a de pˆ fica: E ( pˆ ) = µ pˆ
=
0×
64 216
+
1 3
×
96 216
+
2 3
×
48 216
+
3 3
×
8 216
= 1 / 3
A e��e�an�a da ��o�o���o amo���al � ig�al � e��e�an�a da ��o�o���o da �o��la��o. A �a�i�ncia de pˆ fica: σ pˆ
2
1 = 0 − 3
2
1 1 × + − 216 3 3 64
2
2 1 × + − 216 3 3 96
2
1 × + 1 − 216 3 48
2
×
8 216
=
2 27
Sabendo ��e a ��o�o���o amo���al �ode �e� �i��a como �ma �a�i��el, � im�o��an�e �e� �m meio mai� ���ido �a�a calc�la� ��a m�dia e ��a �a�i�ncia. Ne��e e�em�lo do lan�amen�o do dado, �eja � o n�me�o de ca�o� fa�o���ei� em � �� lan�amen�o�. Vimo� na a�la �a��ada ��e � � �ma �a�i��el binomial com m�dia e �a�i�ncia dada� �o�: µ X
=
np
2
=
npq
σ X
Onde ��� � o n�me�o de e��e�imen�o�, � � a ��obabilidade de ��ce��o e � � a ��obabilidade de f�aca��o. Ne��e e�em�lo, � = 3; � = 1/3; � = 2/3.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
41
����������� �� ��� ���� ����� �������
Ficamo� com: =1
µ X = np
σ X
2
= npq =
2 / 3
� �em m�dia 1 e �a�i�ncia 2/3. I��o �ignifica ��e, em ���� lan�amen�o�, e��e�amo� 1 ca�o
fa�o���el (e doi� de�fa�o���ei�). O� �eja, �e fo��e �o����el fa�e� infini�o� conj�n�o� de ���� lan�amen�o� do dado, o n�me�o m�dio de ca�o� fa�o���ei� �e�ia ig�al a 1. Seja � pˆ � a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� �e�ificada n�ma dada amo���a de �amanho �n�. A �a�i��el � pˆ � �ode �e� ob�ida a �a��i� de � . X
pˆ =
n
Pa�a fica� mai� cla�o, ���onhamo� �m conj�n�o de lan�amen�o� em �a��ic�la�. Lan�amo� o dado ���� �e�e�, ob�endo: 1, 3, 6. Ne��a �i��a��o, o n�me�o de ca�o� fa�o���ei� � ig�al a 2 ( � = 2). E a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� fica: X
pˆ =
n
pˆ =
2 3
Em doi� �e��o� do� ca�o�, �i�emo� ��ce��o. F�cil, n�? Pa�a acha� a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� na amo���a, ba��a �ega� a �a�i��el � e di�idi� �o� ���. Sabemo� como calc�la� a m�dia e a �a�i�ncia da �a�i��el binomial. Sabemo� ��e a �a�i��el � pˆ �, ��e indica a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� na amo���a, �ode �e� ob�ida �o�: pˆ =
X n
.
Pa�a ob�e�mo� � pˆ �, di�idimo� a �a�i��el � � � �o� �ma con��an�e �n�. Q�ando di�idimo� �ma �a�i��el �o� �ma con��an�e, a m�dia �amb�m fica di�idida �o� e��a con��an�e. A m�dia de pˆ �: µ pˆ
=
µ X n
=
np n
= p
Concl��mo� ��e a e��e�an�a de pˆ � j���amen�e a ��obabilidade de ��ce��o em �m e��e�imen�o. Q�ando lan�amo� o dado ���� �e�e� (ob�endo �ma �nica amo���a de �amanho 3), �e�emo� �m de�e�minado �alo� �a�a a ��o�o���o amo���al ( pˆ ). E��e �alo� �ode �e� ig�al a 1/3 o� n�o. No e�em�lo acima (com �e��l�ado� 1, 3 e 6), incl��i�e, foi dife�en�e. Ma�, �e fo��e �o����el �e�e�i� infini�a� �e�e� o conj�n�o de ���� lan�amen�o�, ob�endo �a�a cada amo���a �m �alo� de pˆ , �e��amo� ��e a m�dia de pˆ �e�ia ig�al a 1/3.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
42
����������� �� ��� ���� ����� �������
Vejamo� ago�a a �a�i�ncia de pˆ . Q�ando di�idimo� �ma �a�i��el �o� �ma con��an�e, a �a�i�ncia �of�e a �a�ia��o ao ��ad�ado. pˆ
=
X n
⇒ σ pˆ
2
=
σ X
2
=
n2
npq n2
=
pq n
E �e� de��io �ad��o fica: σ pˆ =
pq n
En��o o ��e im�o��a �a�a gen�e � �abe� i��o. Se pˆ fo� a �a�i��el ��e indica a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� na amo���a, en��o pˆ �em m�dia e de��io �ad��o dado� �o�: µ pˆ = p σ pˆ =
pq n
��������� �� ����� ���������� �� ������� Pode �e� �i��a como �ma �a�i��el com m�dia e de��io �ad��o dado� �o�: µ pˆ = p σ pˆ =
pq n
Onde ��� � a ��o�o���o de ca�o� fa�o���ei� na �o��la��o e ��� � a ��o�o���o de ca�o� de�fa�o���ei� na �o��la��o.
3.2.
I�������� �� ��������� ���� ��� ���������
Q�ando e���damo� in�e��alo de confian�a �a�a �ma m�dia, ��e��amo� j���amen�e e��ima� �m in�e��alo �a�a a m�dia de �ma �o��la��o ( µ ). Ago�a ��e�emo� e��ima� �ma ��o�o���o (�). O ��ocedimen�o �e�� an�logo. Vimo� ��e o in�e��alo de confian�a �a�a a m�dia da �a�i��el � � dado �o�: X − Z 0 × σ X
≤ µ ≤ X +
Z 0 × σ X
O in�e��alo de confian�a �a�a a ��o�o���o � m�i�o �emelhan�e. Onde �inha m�dia amo���al, colocamo� a ��o�o���o amo���al. Onde �inha m�dia �o��lacional, colocamo� a ��o�o���o �o��lacional.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
43
����������� �� ��� ���� ����� �������
E o in�e��alo de confian�a �a�a �ma ��o�o���o � da �eg�in�e fo�ma: pˆ − Z 0 × σ pˆ
ˆ+ ≤ p ≤ p
Z 0 × σ pˆ
En��o �a�a gen�e o ��e im�o��a � i��o. In�e�e��a �abe� ��al o in�e��alo de confian�a �a�a a ��o�o���o.
I�������� �� ��������� ���� � ��������� pˆ − Z 0 × σ pˆ
������� 15
ˆ+ ≤ p ≤ p
Z 0 × σ pˆ
�EFA� �� 2009 �FCC�
Em �ma �e���i�a de ��ib��o� de com�e��ncia e��ad�al, em 2008, �eali�ada com 400 �ecolhimen�o� e�colhido� alea�o�iamen�e de �ma �o��la��o con�ide�ada de �amanho infini�o, 80% �efe�iam��e a de�e�minado im�o��o. De�eja��e con����i� �m in�e��alo de confian�a de 95,5% �a�a a e��ima�i�a de��a ��o�o���o. Con�ide�ando no�mal a di���ib�i��o amo���al da f�e���ncia �ela�i�a do� �ecolhimen�o� de��e im�o��o e ��e na di���ib�i��o no�mal �ad��o a ��obabilidade P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 95,5%, o in�e��alo � (A) [0,70; 0,90] (B) [0,72; 0,88] (C) [0,74; 0,86] (D) [0,76; 0,84] (E) [0,78; 0,82] ���������: P�imei�o �a��o: de�e�mina� o �alo� de Z 0. O en�nciado di��e ��e: Seg�ndo �a��o: Te�cei�o �a��o:
����� ����� �������
= 2 ̂ = 0,8 → = 1 − 0,8 = 0,2 = ̂ �
���.�������������������.���.��
44
����������� �� ��� ���� ����� �������
= 0,8400� 0,2 = 0400,16 = 020,4 = 0,02 ̂ � � 0,8 � 2� 0,02 0,0,876;�00,,8044
Q�a��o �a��o: encon��ando o in�e��alo de confian�a.
G�������: D ������� 16
��� 4� �EGI�O 2009 �FCC�
Se Z �em di���ib�i��o no�mal �ad��o, en��o: P (Z > 1,64) = 0,05; P(Z > 2) = 0,02; P(0< Z < 1,75) = 0,46 De�eja��e e��ima� a ��o�o���o (�) de ��oce��o� j�lgado� �o� �m ��ib�nal �egional do ��abalho d��an�e o �e��odo de 2000 a�� 2008. Uma amo���a alea���ia de 10.000 ��oce��o�, �elecionada da �o��la��o (���o��a infini�a) de �odo� o� ��oce��o�, �e�elo� ��e 5.000 fo�am j�lgado� no �efe�ido �e��odo. Um in�e��alo de confian�a, com coeficien�e de confian�a de 90% �a�a �, ba�eado ne��a amo���a, � dado �o� (A) 0,5 ± 0,005 (B) 0,5 ± 0,0062 (C) 0,5 ± 0,0065 (D) 0,5 ± 0,0082 (E) 0,5 ± 0,01 ���������: P�imei�o �a��o: de�e�mina� o �alo� de Z 0. Temo�: Logo: Concl��mo� ��e: Seg�ndo �a��o:
> 1,64 = 5% → < −1,64 = 5% −1,64 < < 1,64 = 100% − 5% −5% = 90% = 1,64 ̂ = 5.10.000000 = 0,5 = 1− ̂ = 1 − 0,5 = 0,5
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
45
����������� �� ��� ���� ����� �������
Te�cei�o �a��o:
= ̂ � = 010.,5�0,0005 = 1000,5 = 0,005 ̂ � � 0,50,�51,�60,4�00820,005
Q�a��o �a��o: encon��ando o in�e��alo de confian�a.
G�������: D ������� 17
M�OG 2012 �E�AF�
Pa�a e��ima� a ��o�o���o de �e��oa� acome�ida� �o� �ma �i�o�e, foi �e�i�ada �ma amo���a alea���ia de 1600 �e��oa�. Na amo���a foi con��a�ado ��e 160 �e��oa� e��a�am acome�ida� �ela �i�o�e. Sabe��e ��e, �a�a con����i� �m in�e��alo com 95% de confian�a �a�a a ��o�o���o de �e��oa� acome�ida� �ela �i�o�e, o �alo� �abelado � 1,96. Com e��a� info�ma��e�, o in�e��alo de confian�a � dado �o�:
0,10� 1,960,403 = 95% 0,10� 1,960,403 = 95% 0,10 �1,960,403 = 5% 0,10� 1,960,403 = 5% 0,10� 1,960,4003 = 95%
���������: Rigo�o�amen�e falando, �oda� a� al�e�na�i�a� e���o inco��e�a�, �oi� a��ib�em ao in�e��alo de confian�a �ma ��obabilidade de 95%. Ma� � e��ado fala� em ��obabilidade, �oi� �odo� o� in�e��alo� n�o con�em�lam ��al��e� �a�i��el alea���ia. Se n�o h� �a�i��ei� alea���ia� en�ol�ida�, n�o h� como �e fala� em ��obabilidade. Fala��e a�ena� em confian�a. H� 95% de ��������� de ��e o in�e��alo e��ecificado na al�e�na�i�a co��e�a con�enha a ��o�o���o �o��lacional. Em �odo ca�o, n�o �amo� b�iga� com o en�nciado. Igone�emo� e��e ��oblema.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
46
����������� �� ��� ���� ����� �������
O in�e��alo de confian�a �em o �eg�in�e fo�ma�o:
Onde: • • • •
̂ � � ̂ �
̂ ̂ = 1 − = 0,9
� a ��o�o���o amo���al de ��ce��o� (160 em 1600 co��e��onde a 10%)
�n� � o �amanho da amo���a (no ca�o, �ale 1600) Z0 � o �alo� �abelado da no�mal �ed��ida (1,96 �a�a 95% de confian�a)
S�b��i��indo o� �alo�e�:
G�������: A
4.
̂ � � ̂ � 0,1 � 1,96� 0 ,11600�0,9 0,1 � 1,96 � 0,403
IN�E��ALO DE CONFIAN�A E �AMANHO DA AMO���A
S�o com�n� alg�n� �i�o� de e�e�c�cio� em ��e �e �ede o �amanho ��e de�e �e� a amo���a �a�a ��e �e con�iga �ma de�e�minada am�li��de do in�e��alo de confian�a. An�e� de �e�mo� e��e �i�o de e�e�c�cio, � bom �e�mo� �ma no��o da �ela��o en��e a am�li��de do in�e��alo de confian�a e o e��o da e��ima�i�a. E������ 4 Con�ide�e o in�e��alo de confian�a de 90,10% �a�a a m�dia de �ma �o��la��o no�mal com �a�i�ncia 16, con�����do a �a��i� da �eg�in�e amo���a: 2, 6, 6, 10. Q�al o e��o m��imo come�ido na e��ima�i�a da m�dia �o��lacional? (Dado: ).
= 1,65
���������. A m�dia amo���al �:
= 2 + 6+46 + 10 = 6
O de��io �ad��o da m�dia amo���al �:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
47
����������� �� ��� ���� ����� �������
= √√ 146 = 2 6 � 1,65 �2
O in�e��alo de confian�a fica: O� limi�e� do in�e��alo ��o:
[2,7 ; 9,3] Com 90,10% de confian�a, a m�dia �o��lacional e��� en��e 2,7 e 9,3. Q�al o maio� e��o ��e come�emo� ��ando ��amo� a m�dia amo���al �a�a e��ima� a m�dia �o��lacional? I��o, � cla�o, con�ide�ando �m coeficien�e de confian�a de 90,10%. A m�dia amo���al e��� bem no meio do in�e��alo de confian�a. Logo, o e��o �e�� maio� �e a m�dia �o��lacional e��i�e� em �ma da� e���emidade� do in�e��alo de confian�a. O e��o �e�� m��imo �e a m�dia �o��lacional fo� ig�al a 2,7 o� �e ela fo� ig�al a 9,3. No ��imei�o ca�o, o e��o come�ido fica: erro = X − µ erro
=
6 − 2,7
=
3,3
No �eg�ndo ca�o, o e��o come�ido �: erro
=
6 − 9,3 = −3,3
Em ��al��e� �m de��e� doi� ca�o�, o m�d�lo do e��o � de 3,3. � com�m ��e o� e�e�c�cio� igno�em a �ala��a m�d�lo e digam a�ena� �e��o�. De��e modo, di�emo� ��e, no� doi� ca�o� acima, o e��o come�ido foi de 3,3. En��o, ��ando o e�e�c�cio �e �efe�i� a e��o m��imo come�ido, ele ��e� ��e a gen�e ���onha ��e a m�dia �o��lacional e��� j���amen�e na e���emidade do in�e��alo de confian�a. No�e ��e o e��o m��imo � �em��e me�ade da am�li��de do in�e��alo de confian�a. Ne��e e�em�lo, o in�e��alo de confian�a e�a [2,7 ; 9,3] S�a am�li��de �: Amplitude
=
9,3 − 2,7
=
6,6
E a me�ade da am�li��de �: Amplitude 2
=
6,6 2
=
3,3
E��� ������ ��������, ���� ����������� ����� �� ���������: Co��e��onde � me�ade da am�li��de do in�e��alo de confian�a
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
48
����������� �� ��� ���� ����� �������
No ca�o do in�e��alo de confian�a �a�a a m�dia, ��ando a �a�i�ncia da �o��la��o � conhecida, �emo�: X − Z 0σ X
≤ µ ≤ X +
Z 0σ X
A am�li��de do in�e��alo de confian�a �:
(
Amplitude = X + Z 0σ X
) − ( X − Z σ ) = 2Z σ 0
X
0
X
Logo, o e��o, ��e � ig�al � me�ade da am�li��de, � e���e��o �o�: erro _ max = Z 0σ X
No ca�o do in�e��alo de confian�a �a�a a m�dia, ��ando a �a�i�ncia da �o��la��o � de�conhecida, o� c�lc�lo� ��o an�logo�. Ficamo� com: erro _ max = t 0 s X
Po� fim, no ca�o do in�e��alo de confian�a �a�a a ��o�o���o, o e��o m��imo �: erro _ max = Z 0 s pˆ
E��� ������ �������� E��ima��o da m�dia, com �a�i�ncia �o��lacional conhecida: erro _ max = Z 0σ X
E��ima��o da m�dia, com �a�i�ncia �o��lacional de�conhecida: erro _ max = t 0 s X
E��ima��o da ��o�o���o: erro _ max = Z 0 s pˆ
Sabendo di��o, �amo� ao� e�e�c�cio� de conc���o. ������� 18
DNOC� 2010 �FCC�
Seja X �ma �a�i��el alea���ia no�malmen�e di���ib��da �e��e�en�ando o �al��io do� em��egado� em �m de�e�minado �amo de a�i�idade. Uma amo���a alea���ia de 100 em��egado� foi �elecionada e a���o���e �m in�e��alo de confian�a de 95% �a�a a m�dia de X como �endo [760,80; 839,20], ���ondo a �o��la��o de �amanho infini�o e �abendo��e ��e o de��io �ad��o �o��lacional � ig�al a R$ 200,00. Ca�o o �amanho da amo���a �i�e��e �ido
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
49
����������� �� ��� ���� ����� �������
de 1.600 e ob�endo��e a me�ma m�dia an�e�io�, o in�e��alo de confian�a de 95% a��e�en�a�ia �ma am�li��de ig�al a (A) R$ 78,40. (B) R$ 39,20. (C) R$ 49,00. (D) R$ 58,80. (E) R$ 19,60. ���������: A am�li��de do in�e��alo de confian�a � dada �o�:
= 2 � = 2 � √ 839,20 − 760,80 = 78,4
Q�ando o �amanho da amo���a � 100, a am�li��de �:
Em �eg�ida, o �amanho da amo���a � a�men�ado �a�a 1600. Vo� chama� e��e no�o �amanho de amo���a de
.
O �amanho da amo���a � m�l�i�licado �o� 16.
′
A no�a am�li��de ( ) fica:
= 16 = 2 � √ = 2 � √ 16 = 2 � √ � √ 116 = 2 � √ � 14 = 78,4 � 14 = 19,60 √
En��e �a��n�e�i�, �emo� a am�li��de o�iginal:
G�������: E Re��mindo o ��e fi�emo�:
O �amanho da amo���a foi m�l�i�licado �o� 16. Logo, Como
√
foi m�l�i�licado �o� 4.
e��� no denominado�, en��o a am�li��de foi di�idida �o� 4.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
50
����������� �� ��� ���� ����� �������
������� 19
��E �I 2009 �FCC�
A d��a��o de �ida de �m de�e�minado e��i�amen�o a��e�en�a �ma di���ib�i��o no�mal com �ma �a�i�ncia �o��lacional ig�al a 100 (dia�) 2. Uma amo���a alea���ia de 64 de��e� e��i�amen�o� fo�nece� �ma m�dia de d��a��o de �ida de 1.000 dia�. Con�ide�ando a �o��la��o de �amanho infini�o, �m in�e��alo de confian�a de ( 1 − α ) com am�li��de de 4,75 dia� �a�a a m�dia foi con�����do. Ca�o o �amanho da amo���a �i�e��e �ido de 400, ob�endo� �e a me�ma m�dia de 1.000 dia�, a am�li��de do in�e��alo de confian�a de ( 1 − ) �e�ia de (A) 0,950 dia�. (B) 1,425 dia�. (C) 1,900 dia�. (D) 2,375 dia�. (E) 4,750 dia�. ���������: A��o�ei�ando o �acioc�nio da ��e���o an�e�io�. O �amanho da amo���a �al�o� de 64 �a�a 400. O� �eja, foi m�l�i�licado �o� 6,25. Logo,
√
foi m�l�i�licado �o� 2,5.
Con�e��en�emen�e, a am�li��de �e�� di�idida �o� 2,5
4,2,755 = 1,9
G�������: C ������� 20
AF�� 2002 �E�AF�
Tem��e �ma �o��la��o no�mal com m�dia µ e �a�i�ncia 225. De�eja��e con����i�, a �a��i� de �ma amo���a de �amanho n de��a �o��la��o, �m in�e��alo de confian�a �a�a µ com am�li��de 5 e coeficien�e de confian�a de 95%. A��inale a o���o ��e co��e��onde ao �alo� de n. U�e como a��o�imadamen�e 2 o ��an�il de o�dem 97,5% da di���ib�i��o no�mal �ad��o. a) 225 b) 450 c) 500 d) 144 e) 200 ���������: Como a �a�i�ncia � de 225, en��o o de��io �ad��o � 15 (= �ai� ��ad�ada de 225).
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
51
����������� �� ��� ���� ����� �������
A am�li��de do in�e��alo de confian�a � dada �o�:
= 2 � � √ 5 = 2� 2 � √ 15 � 5 = 12 √ = 2�= 122 �15 = 144
S�b��i��indo o� �alo�e� fo�necido� �elo en�nciado:
G�������: D ������� 21
MDIC 2002 �E�AF�
De�eja��e de�e�mina�, �a�a �ma �o��la��o com N elemen�o�, em �m e���ema de amo���agem alea���ia �im�le�, o �amanho de amo���a n nece����io �a�a e��ima� a m�dia �o��lacional do a��ib��o X. De�eja��e ��e o e��o em �alo� ab�ol��o do ��ocedimen�o n�o �eja ���e�io� a 10% da m�dia �o��lacional, com ��obabilidade de 95%. De �m e���do �ilo�o ob��m��e ��e a �a�i�ncia de X �em o �alo� 80 e ��e a m�dia �em o �alo� 20. Tomando como a��o�imadamen�e 2 o ��an�il de o�dem 0,975 da di���ib�i��o no�mal �ad��o, ���ondo ��e a m�dia da amo���a �em di���ib�i��o a��o�imadamen�e no�mal e de���e�ando a f�a��o de amo���agem n/N, a��inale a o���o ��e d� o �alo� de n . a) 1000 b) 100 c) 80 d) 200 e) 150 ���������: O e��o amo���al � ig�al a me�ade da am�li��de do in�e��alo de confian�a:
= � 10% � 20 = 2 2 = � 2 = 2� 2 = 2 � √
O e��o m��imo � 10% da m�dia amo���al (
).
O �alo� de Z0 � ig�al a 2 (dado no en�nciado):
O de��io �ad��o da m�dia amo���al � ig�al ao de��io �ad��o amo���al di�idido �o� �ai� ��ad�ada de �n�:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
52
����������� �� ��� ���� ����� �������
2 = 2� √√ 80 √ == √80 80
G�������: C ������� 22
M�OG 2012 �E�AF�
Pa�a e��ima� �o� in�e��alo a m�dia μ de �ma �o��la��o no�mal com �a�i�ncia ig�al a 9, �e�i�o���e �ma amo���a de 16 elemen�o�, ob�endo��e = 5. Pa�a �m n��el de confian�a de 95%, o �alo� �abelado � ig�al a 1,96. De��e modo, a �emi�am�li��de do in�e��alo o� e��o de e��ima��o ─ como �amb�m � chamado ─ � ig�al a: a) 2,94 b) 1,47 c) 0,5625 d) 0,7350 e) 0,47 ���������: O e��o de e��ima��o � dado �o�:
Onde: • • •
= � √
� o �alo� �abelado da no�mal �ed��ida (1,96)
� o de��io �ad��o �o��lacional (a �a�i�ncia � 9, en��o o de��io �ad��o � ig�al a 3)
� o �amanho da amo���a: 16
S�b��i��indo o� �alo�e�:
G�������: B
����� ����� �������
= � √ = 1,96� √ 316 = 1,96� 34 = 1,47 ���.�������������������.���.��
53
����������� �� ��� ���� ����� �������
E������ 5 De�eja��e e��ima� a ��o�o���o de elei�o�e� de �m m�nic��io ��e �o�a�� no candida�o A. Pa�a �an�o, b��ca��e ��e, com �m coeficien�e de confian�a de 95%, o e��o m��imo come�ido �eja de 2% (�a�a mai�, o� �a�a meno�). a) � �o����el, com o� dado� fo�necido�, de�e�mina� o �amanho da amo���a �a�a ��e o e��o m��imo �eja de 2%? Po� ���? b) ���ondo �a�i�ncia m��ima, ��al o �amanho da amo���a �a�a ��e o e��o m��imo �eja de 2%? c) ma�imi�ando o �alo� de �� ��al o �amanho da amo���a �a�a ��e o e��o m��imo �eja de 2%? d) ���ondo ��e a �l�ima �e���i�a indico� 36% de �o�o� �a�a e��e candida�o, ��al o �amanho da amo���a �a�a ��e o e��o m��imo �eja de 2% ���������. Le��a A. A f��m�la do e��o m��imo �: erro _ max = Z 0 s pˆ
O e��o m��imo fi�ado � ig�al a 0,02. O n��el de confian�a � de 95%, o ��e im�lica em Z 0 ig�al a 1,96. E �abemo� ��e s pˆ
=
pˆ qˆ n
.
S�b��i��indo �oda� e��a� info�ma��e�: 0,02 = 1,96 ×
pˆ qˆ n
Lemb�ando ��e: qˆ = 1 − pˆ . 0,02
= 1,96 ×
pˆ × (1 − pˆ ) n
Temo� �ma �nica e��a��o e d�a� �a�i��ei�. Pa�a de�cob�i�mo� o �alo� de � ��, ��eci�amo� do �alo� de pˆ . P�eci�amo� do �alo� da ��o�o���o amo���al. A� fico� dif�cil. Ainda n�o fi�emo� a amo���agem. Q�e�emo� j���amen�e calc�la� ��e �amanho de�e �e� e��a amo���a �a�a ��e o e��o �eja de, no m��imo, 2% (�a�a �m coeficien�e de confian�a de 95%). De�oi� ��e �o�be�mo� o �amanho da amo���a, a� �im fa�emo� a amo���agem. S� en��o ob�e�emo� a ��o�o���o amo���al. Re��mindo: �a�a de�cob�i� o �amanho de � ��, ��eci�amo� da ��o�o���o amo���al. E �� fa�emo� a amo���agem (ob�endo a ��o�o���o amo���al), de�oi� ��e �o�be�mo� o �alo� de ���. Ficamo� �em �a�da. N�o d� �a�a �e�ol�e� o ��oblema com o en�nciado fo�necido. O ��e fa�e�?
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
54
����������� �� ��� ���� ����� �������
Bom, h� d�a� o���e�, li��ada� na� le��a� B, C e D. Le��a� B e C. Uma fo�ma de �e�ol�e� o ��oblema li��ado na le��a A � a ��e �eg�e. A e��ima�i�a da �a�i�ncia de pˆ � dada �o�: σ pˆ σ pˆ
2
=
2
=
pˆ × (1 − pˆ ) n
pˆ − pˆ 2 n
=
−1
n
pˆ 2
+
1
n
pˆ
Pa�a �m dado �alo� de � ��, ��e �alo� de � pˆ � ma�imi�a a �a�i�ncia acima? De o���a fo�ma: �a�a �m �alo� fi�ado de � ��, ��al o �alo� de � pˆ � ��e �o�na a �a�i�ncia a maio� �o����el? Podemo� in�e���e�a� a e��a��o acima como �ma f�n��o de �eg�ndo g�a� (o g��fico � �ma �a��bola). I��o � ma���ia l� do en�ino m�dio. L� a gen�e e���da como encon��a� o ����ice da �a��bola (��e co��e��onde ao� �alo�e� de m��imo o� m�nimo). Con�ide�e �ma f�n��o de �eg�ndo g�a� do �i�o: y
=
ax 2
+ bx +
c
O �alo� de � ��e ma�imi�a (o� minimi�a, de�endendo do �alo� de � ��) a f�n��o � �: x = −b / 2a
A�licando e��e �e��l�ado ao no��o ca�o, �emo� ��e o �alo� de � ��e ma�imi�a a �a�i�ncia �: pˆ
=
− 1 / n
2 × ( −1 / n)
=
0,5
O ca�o em ��e a �a�i�ncia � a maio� �o����el oco��e ��ando a ��o�o���o �o��lacional � ig�al a 50%. Vimo� ��e: fi�ado �� a �a�i�ncia �e�� m��ima �e pˆ = qˆ
=
0,5 .
Po� o���o lado, fi�ado o �alo� do e��o, � �e�� m��imo �e pˆ = qˆ
=
0,5 .
Vejam: erro _ max = Z 0 s pˆ
erro _ max = Z 0 ×
pˆ qˆ n
Logo:
����� ����� �������
n = Z 0
2
n = Z 0
2
pˆ qˆ (erro _ max) 2
pˆ × (1 − pˆ ) (erro _ max) 2
���.�������������������.���.��
55
����������� �� ��� ���� ����� �������
Pa�a �m dado �alo� de Z 0, fi�ado o e��o m��imo, �emo� ��e � �e�� m��imo ��ando ma�imi�a�mo� o n�me�ado� pˆ × (1 − pˆ ) . Temo� �ma �a��bola, em ��e o ����ice oco��e j���amen�e no �on�o 0,5. O� �eja, ��e pˆ = qˆ
=
0,5 �e a ��e���o di��e�:
� ��e � m��imo; � ��e �a�i�ncia m��ima
No c�lc�lo do �amanho da amo���a �a�a e��ima� �ma ��o�o���o, ���o� ��e p �em��e ��e o e�e�c�cio di��e�:
=
0,5
� Con�ide�e �a�i�ncia m��ima � Con�ide�e n m��imo. Q�ando fi�amo� a ��o�o���o em 0,5, �a�a efei�o� de de�e�mina��o do �amanho da amo���a, na �e�dade, e��amo� ��abalhando com a hi���e�e mai� con�e��ado�a. E��a � a al�e�na�i�a ��e ma�imi�a o �alo� de � ��. T�abalha� com �ma amo���a maio� �em��e � algo mai� con�e��ado�. A��im, �m modo de �f�gi�� do ��oblema li��ado na le��a �A� � ���o� ��e a ��o�o���o � ig�al a 50%. A��im, ��abalha�emo� com �m �alo� de � �� g�ande. Ago�a �odemo� acha� o �amanho da amo���a. erro _ max = Z 0 s pˆ 0,02
S��ondo ��e pˆ = qˆ
=
= 1,96 ×
pˆ × (1 − pˆ ) n
0,5 , �emo�:
0,02
= 1,96 ×
0,5
n
⇒ n = 49 2
=
2401
A amo���a ��eci�a �e� �amanho 2401 (�an�o na le��a B ��an�o na le��a C). Le��a D. O���a �a�da �a�a o ��oblema li��ado na le��a A � fa�e� �ma amo���agem ��elimina�. Pode��e fa�e� �ma amo���agem meno�, mai� ���ida, de modo a ob�e� �m �alo� de pˆ . O� en��o ��a�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
56
����������� �� ��� ���� ����� �������
alg�ma info�ma��o an�e�io� di��on��el. Ob�ido e��e �alo� ��elimina� de pˆ , �odemo� calc�la� o �alo� de �n� e, em �eg�ida, fa�e� a amo���agem ��a�a �ale��. Na le��a D, �abemo� ��e a �l�ima �e���i�a �e�elo� ��e o candida�o �em 36% da� in�en��e� de �o�o. Vamo� ��a� o� dado� de��a �e���i�a an�e�io� �a�a calc�la�mo� o �alo� de �n�. Vamo� ���o� ��e pˆ � 36%. De��e modo, �emo�: erro _ max = Z 0 s pˆ 0,02 = 1,96 ×
0,02
= 1,96 ×
0,6 × 0,8
n
0,36 × 0,64
n
⇒ n = 2.212,762
A��o�imando �a�a o n�me�o in�ei�o �eg�in�e: n
=
2.213
A amo���a ��eci�a �e� �amanho 2.213. No�e o �amanho encon��ado �a�a a amo���a na le��a D foi meno� ��e o encon��ado na� le��a� B e C. I��o �o���e, na� le��a� B e C, ��amo� a hi���e�e em ��e � � o maio� �o����el. � a hi���e�e mai� con�e��ado�a (���o� ��e � = 0,5). ������� 23
M��������� �� ����� 2007 �FCC�
Pa�a �e��onde� � ��e���o �eg�in�e con�ide�e, den��e o� dado� abai�o, a��ele� ��e j�lga� a��o��iado�. Se Z �em di���ib�i��o no�mal �ad��o, en��o: P ( Z > 2)
=
0,023 ; P (0 < Z < 1,6)
=
0, 445 ; P ( Z < 1)
=
0,84 ; P ( 0 < Z < 2,33)
=
0, 49
Pa�a e��ima� a ��o�o���o de c��a de �m medicamen�o an�i�a�a�i���io �eali�o���e �m e��e�imen�o cl�nico, a�licando��e o medicamen�o em �n� doen�e� e�colhido� ao aca�o. Ne��a amo���a foi con�ide�ado ��e 80% do� doen�e� fo�am c��ado�. Com ba�e ne��a� info�ma��e� e ��ili�ando o Teo�ema Cen��al do Limi�e, o �alo� de �, �a�a ��e o e��o come�ido na e��ima��o �eja no m��imo 0,08, com confian�a de 89%, � de: a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64 ���������. Podemo� in�e���e�a� ��e, na amo���a ��elimina�, a ��o�o���o de c��a �e�ificada foi de 80%. A �a��i� de��e �alo�, �odemo� calc�la� o �alo� de � �� �a�a �ma �eg�nda amo���agem, de �al fo�ma ��e o e��o m��imo �eja de 0,08. A f��m�la do e��o m��imo �: ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
57
����������� �� ��� ���� ����� ������� erro _ max = Z 0 s pˆ
P�imei�o, �amo� encon��a� Z 0. Sabemo� ��e P (0 < Z < 1,6) = 0,445 . Logo, a ��ea �e�de da fig��a abai�o � ig�al a 0,445:
Como o g��fico � �im���ico, en��o a ��ea �e�de da fig��a abai�o � ig�al a 0,89:
De��e modo, a ��obabilidade de Z e��a� en��e �1,6 e 1,6 � ig�al a 89%. Z 0
= 1,6
Ago�a �amo� acha� s pˆ s pˆ
pˆ qˆ
=
n
S�b��i��indo o� �alo�e� da amo���a ��elimina�: s pˆ
����� ����� �������
=
0,8 × 0,2
n
=
0,4
n
���.�������������������.���.��
58
����������� �� ��� ���� ����� �������
Vol�ando na f��m�la do e��o m��imo: erro _ max = Z 0 s pˆ 0,08 = 1,6 ×
0,4
n
I�olando �: n
=
64 8
⇒ n = 64
G�������: E. ������� 24
��� 2� ������ 2008 �FCC�
Em �ma cidade, con�ide�ada com �ma �o��la��o de �amanho infini�o, � fei�o �m e���do obje�i�ando de�ec�a� a ��o�o���o de habi�an�e� ��e ��efe�em a ma�ca do �abone�e X. Uma amo���a �ilo�o fo�nece� �m �alo� de 20% �a�a e��a ��o�o���o. De�eja��e ob�e� �m in�e��alo de confian�a de 95% �a�a a ��o�o���o, �endo o in�e��alo �ma am�li��de de 10%. Se a di���ib�i��o amo���al da f�e���ncia �ela�i�a do� habi�an�e� ��e ��efe�em a ma�ca do �abone�e X � no�mal e ��ili�ando a info�ma��o da di���ib�i��o no�mal �ad��o (Z) ��e a ��obabilidade P(�Z� ≤ 2) = 95%, �em��e ��e o �amanho da amo���a de�e �e� de (A) 400 (B) 361 (C) 324 (D) 289 (E) 256 ���������: O �alo� de Z0 dado na ��e���o � ig�al a 2. Ago�a ��amo� a f��m�la da am�li��de do in�e��alo de confian�a:
G�������: E
����� ����� �������
= 2 � � = 2� � ̂ � 0,1 = 2� 2 � 0,2 � 0,8 √ = 2 � 2� √ 0,20,�1 0,8 = 16 = 256
���.�������������������.���.��
59
����������� �� ��� ���� ����� �������
������� 25
�EFA� �J 2007 �FG��
Uma �e���i�a �ecen�e foi �eali�ada �a�a a�alia� o �e�cen��al da �o��la��o fa�o���el � elei��o de �m de�e�minado �on�o ������ico �a�a con��a� no �elo comemo�a�i�o de ani�e����io da cidade. Pa�a i��o, �eleciono���e �ma amo���a alea���ia �im�le� e���a�da de �ma �o��la��o infini�a. O �e��l�ado a���o� 50% de in�en��o de �o�o� �a�a e��e �on�o ������ico. Con�ide�ando ��e a ma�gem de e��o foi de 2 �on�o� �e�cen��ai�, �a�a mai� o� �a�a meno�, e ��e o n��el de confian�a ��ili�ado foi de 95%, fo�am o��ida�, a��o�imadamen�e: (A) 50 �e��oa�. (B) 100 �e��oa�. (C) 1.200 �e��oa�. (D) 2.400 �e��oa�. (E) 4.800 �e��oa�. ���������: O e��o m��imo � dado �o�: pˆ qˆ
erro _ max = Z 0 ×
n
Podemo� fa�e� a con��l�a de Z 0 na �abela da di���ib�i��o no�mal colocada ao final da a�la. Ma�, de �an�o a�a�ece� e��e �e�cen��al de 95%, j� �abemo� ��e Z 0 � ig�al a 1,96. S�b��i��indo o� �alo�e�: 0,02 = 1,96 ×
0,02
n
0,5 × 0,5
n
= 1,96 ×
= 1,96 ×
0,5
0,5 0,02
n =
49
n = 2401
Fo�am o��ida� 2401 �e��oa�. A��o�imando, �emo� 2.400. G�������: D ������� 26
MIN 2012 �E�AF�
̂
P�e�ende��e e��ima� �o� amo���agem a ��o�o���o de fam�lia� com �enda infe�io� a cinco �al��io� m�nimo� em �ma �o��lo�a cidade. U�ando a e��ima�i�a = 5/7, ob�ida em �m le�an�amen�o ��elimina�, de�e�mine o meno� �amanho de amo���a alea���ia �im�le�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
60
����������� �� ��� ���� ����� �������
nece����ia �a�a e��ima� com �m in�e��alo de 95% de confian�a e com �m e��o de amo���agem
̂1− ̂/ ≤ 4%
a) 420 b) 490 c) 560 d) 630 e) 684 Re�ol���o:
O e��o m��imo de�e �e� de 4%. A��im, o �amanho m�nimo da amo���a � �al ��e:
̂1− ̂ = 4%
Onde "�" � o �alo� da no�mal �ad��o a��ociado a 95% de confian�a. E��e �alo� de�e �e� de conhecimen�o do candida�o.
= 1,96 1,96 57 � 1 − 57 � = 4% 1,96 57 � 27 � 1 = 4% 1,796 � 10 = 4% 1,9604 � √ 10 √ = 7 �0, = 7 � √ 10 √ = 7 � 10 = 490
S�b��i��indo o� �alo�e� fo�necido� �elo en�nciado:
G�������: B
5.
FA�O� DE CO��E��O �A�A �O��LA��E� FINI�A�
Q�ando a amo���agem � fei�a �em �e�o�i��o, a �a��i� de �ma �o��la��o fini�a, cada e���a��o n�o � inde�enden�e da� demai�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
61
����������� �� ��� ���� ����� �������
A�e�a� di��o, �e ��de�mo� con�ide�a� a �o��la��o bem g�ande, � �a�o��el con�ide�a� ��e cada e���a��o � inde�enden�e da� demai�. Con��do, ��ando o �amanho da �o��la��o (em �ela��o ao �amanho da amo���a) n�o fo� ��o g�ande, a a��o�ima��o fica ��im. Seg�ndo o a��o� William J S�e�en�on, �e a amo���a fo� ���e�io� a 5% da �o��la��o, a a��o�ima��o fica ��im. Ne��e� ca�o�, ��ando e��i�e�mo� calc�lando o in�e��alo de confian�a, ��eci�a�emo� a�lica� �m fa�o� de co��e��o. � o chamado fa�o� de co��e��o �a�a �o��la��o fini�a. O fa�o� de co��e��o �: N − n N − 1
onde � � o �amanho da �o��la��o e � � o �amanho da amo���a. Ne��e ca�o, o� �alo�e� do� de��io���ad��o da m�dia amo���al e da ��o�o���o amo���al ficam: σ X s pˆ
=
=
σ n pˆ qˆ n
×
×
N − n N − 1 N − n N − 1
E��e fa�o� de co��e��o acima e���dado, com a �ai� ��ad�ada, �ale �a�a o� de��io� �ad��o. Pa�a co��igi�mo� a �a�i�ncia, o fa�o� � ele�ado ao ��ad�ado, �o�nando��e:
−− 1
������� 27
��� 4� �EGI�O 2009 �FCC�
Uma �o��la��o �o���i 15 elemen�o� e �em �a�i�ncia σ 2 . De��a �o��la��o �e�i�a��e �ma amo���a alea���ia �em �e�o�i��o de n elemen�o�. Sabendo��e ��e a m�dia amo���al de��e� n elemen�o� �em �a�i�ncia ig�al a
σ
2
28
, o �alo� de n � dado �o�
(A) 5 (B) 10 (C) 14 (D) 25 (E) 28 ���������:
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
62
����������� �� ��� ���� ����� �������
= � −− 1 = � 15 −
281 1 1155 −−1 281 = 1 �1514− 2 = =2� � 15−1 =330= −302 = 10
G�������: B ������� 28
��F�2 2007 �FCC�
Em �ma �o��la��o de 100 elemen�o�, com �a�i�ncia �o��lacional 50, fo�am �omada� amo���a� ca��ai� �im�le� de �amanho 10. Ne��a� condi��e�, a� �a�i�ncia� da m�dia amo���al na amo���agem, com e �em �e�o�i��o, ��o �e��ec�i�amen�e a) 1/5 e 90/99 b) 2 e 90/99 c) 4 e 450/99 d) 5 e 200/99 e) 5 e 450/99 ���������: Amo���agem com �e�o�i��o:
Amo���agem �em �e�o�i��o:
G�������: E
����� ����� �������
= = 5100 = 5 = � −− 1 = 5 � 100100−−101
= 49950
���.�������������������.���.��
63
����������� �� ��� ���� ����� �������
������� 29
MINI����IO DA IN�EG�A��O NACIONAL 2012 �E�AF�
Con�ide�e �ma amo���a alea���ia �im�le� de �amanho 50 e���a�da �em �e�o�i��o de �ma �o��la��o fini�a de �amanho 500. Sendo a �a�i�ncia da �o��la��o, de�e�mine o �alo� mai� ����imo da �a�i�ncia da m�dia amo���al.
= 100
a) 1,6 b) 1,8 c) 2,0 d) 2,2 e) 2,4 ���������: A �a�i�ncia da m�dia amo���al � dada �o�:
= � −− 1
Onde: • •
� o �amanho da �o��la��o
� o �amanho da amo���a
S�b��i��indo o� �alo�e�:
= 15000 � 500499− 50 = 2� 449950 ≈ 1,8
G�������: B
6.
CA�AC�E����ICA� DO� E��IMADO�E�
Como j� adian�amo�, alg�ma� ca�ac�e����ica� do� e��imado�e� ��o: •
N�o �endencio�o� (o� n�o �iciado�)
•
De m��ima �e�o��imilhan�a
•
De �a�i�ncia m�nima
•
De m�nimo� ��ad�ado�
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
64
����������� �� ��� ���� ����� �������
6.1.
E�������� ��� �����������
Seja � �m e��imado� �a�a o �a��me��o α . Di�emo� ��e � � �m e��imado� n�o �endencio�o �e: E (a ) = α
O� �eja, a e��e�an�a do e��imado� � ig�al ao �a��me��o e��imado. N�� �imo� ��e a m�dia amo���al ( X ) � �m e��imado� n�o��endencio�o �a�a a m�dia �o��lacional. Vamo� ago�a e���da� o e��imado� n�o �endencio�o da �a�i�ncia. O� �eja, �amo� calc�la� a �a�i�ncia da amo���a. Pa�a com�a�a��o, fa�emo� doi� c�lc�lo�: �m com o denominado� � e o���o com o denominado� n − 1 . Con�ide�e �m �e��aed�o homog�neo, com face� 1, 2, 3 e 4. Vamo� lan���lo 2 �e�e�, ob�endo �ma amo���a de �amanho 2. O ��ad�o abai�o ��a� �oda� a� �o����ei� amo���a�. 1e1 2e1 3e1 4e1
1e2 2e2 3e2 4e2
1e3 2e3 3e3 4e3
1e4 2e4 3e4 4e4
Se�iam 16 amo���a� �o����ei�, �oda� ela� com a me�ma ��obabilidade de oco��e�. Pa�a cada �o����el amo���a, �amo� calc�la� a �a�i�ncia amo���al. Pa�a dife�encia�, ��ando ��ili�a�mo� o denominado� �, �amo� ado�a� o ��mbolo s * .
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
65
����������� �� ��� ���� ����� �������
Valo�e� da amo���a
2
∑ ( x s2
=
i
x)
−
2
∑ ( x
2
i =1
s *2
2 −1
1e1 1e2 1e3 1e4 2e1 2e2 2e3 2e4 3e1 3e2 3e3 3e4 4e1 4e2 4e3 4e4 �o�al
0 0,5 2 4,5 0,5 0 0,5 2 2 0,5 0 0,5 4,5 2 0,5 0 20
=
i
−
x) 2
i =1
2
0 0,25 1 2,25 0,25 0 0,25 1 1 0,25 0 0,25 2,25 1 0,25 0 10
No�e ��e: E ( s 2 ) = 2
E ( s * ) =
20 16 10 16
= 1, 25
=
0,625
Vamo� ago�a calc�la� a �a�i�ncia da �a�i��el alea���ia � . E ( X ) = E ( X 2 ) =
1+ 2 + 3+ 4 4
=
1 + 4 + 9 + 16 4
2,5
=
7,5
2 2 V ( X ) = E ( X ) − E ( X )
V ( X ) = 7,5 − 2,5 2
= 1,25
O �a��me��o � ig�al a 1,25. O� e��imado�e� fo�am 1,25 ( �2 , com o denominado� n − 1 ) e 0,625 ( s* 2 , com o denominado� �). Po� i��o di�emo� ��e o e��imado� �a�i�ncia amo���al de�e �e� n − 1 no denominado�. I��o ga�an�e �m e��imado� n�o��iciado.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
66
����������� �� ��� ���� ����� �������
6.2.
E�������� �� ��������� ������.
Vamo� con�in�a� com o e�em�lo do �e��aed�o com face� 1, 2, 3, 4 e a� �o����ei� amo���a� de �amanho 2. Q�e�emo� e��ima� a �a�i�ncia da �o��la��o. Q�em �em ace��o a �oda� a� face� do �e��aed�o, �abe ��e: µ =
1+ 2 + 3 + 4 4
=
2,5
J� ��em de�conhece a� face� do �e��aed�o, �ode�� a�ena� e��ima� a m�dia da �o��la��o, com ba�e no �e��l�ado de �ma amo���a de �amanho 2. D��an�e �oda a a�la, n�� ��abalhamo� com o e��imado� X (m�dia a�i�m��ica da amo���a). Poi� bem, �amo� c�ia� o���o e��imado� �a�a a m�dia �o��lacional. Vo� cham��lo de X * , �a�a dife�encia� do ��mbolo an�e�io�. E��e no��o no�o e��imado� �e�� �ma m�dia �onde�ada do� �alo�e� da amo���a, em ��e o ��imei�o �alo� da amo���a �em �e�o 2 e o �eg�ndo �alo� da amo���a �em �e�o 1. E�em�lificando: �e a amo���a fo�: (2, 3), no��o e��imado� �e��: X * =
2 × 2 + 3 ×1 3
=
2,333
A �abela abai�o ��a� �oda� a� amo���a� �o����ei�, bem como o� �alo�e� do� e��imado�e�. Valo�e� da amo���a 1e1 1e2 1e3 1e4 2e1 2e2 2e3 2e4 3e1 3e2 3e3 3e4 4e1 4e2 4e3 4e4 �o�al
X
X *
1 1,5 2 2,5 1,5 2 2,5 3 2 2,5 3 3,5 2,5 3 3,5 4 40
1 1,333333 1,666667 2 1,666667 2 2,333333 2,666667 2,333333 2,666667 3 3,333333 3 3,333333 3,666667 4 40
In�e�e��an�e ob�e��a� ��e: E ( X ) = E ( X *) =
����� ����� �������
40 16
=
2,5
���.�������������������.���.��
67
����������� �� ��� ���� ����� �������
O� �eja, o e��imado� X * �amb�m � n�o��endencio�o. Q�al��e� m�dia �onde�ada do� �alo�e� da amo���a �e�� �m e��imado� n�o��endencio�o da m�dia �o��lacional. A� �em a �e�g�n�a: ��� ����� �������� ����� ��������� ���� �� ��� ��������� ? N�o nece��a�iamen�e. De�ende da� ca�ac�e����ica� ��e �oc� ��e� �a�a o �e� e��imado�. Uma ca�ac�e����ica in�e�e��an�e � ��e o e��imado� �enha �a�i�ncia m�nima. Se �oc� calc�la� a �a�i�ncia do� e��imado�e� X * e X , �e�� ��e ele� ��m �a�i�ncia� dife�en�e�. N�o �o� �e��od��i� o� c�lc�lo� a��i, �o� a�ena� da� o �e��l�ado: V ( X ) = 0,625 V ( X *) = 0,6944
No�e ��e X �em �ma �a�i�ncia meno� ��e X * . I��o �ode �e� in�e�e��an�e. Se fi����emo� in�me�a� amo���a�, em m�dia, ace��a��amo� o �alo� do �a��me��o no� doi� ca�o� (com ��al��e� �m de��e� doi� e��imado�e�). S� ��e o e��imado� X * �em maio� di��e���o. Ele a��e�en�a, com maio� f�e���ncia, �alo�e� afa��ado� da m�dia �o��lacional. Po� i��o, o e��imado� X � melho�. A��im, �ma ca�ac�e����ica ��e �e co���ma b��ca� � ��e o e��imado� �enha �a�i�ncia m�nima. O� �eja, ��e a �a�i�ncia do e��imado� e�colhido �eja meno� ��e a �a�i�ncia de ��al��e� o���o e��imado�. Den��e o� e��imado�e� linea�e� (o� �eja, a��ele� ��e ��o ob�ido� a �a��i� de �ma m�dia �onde�ada com o� �alo�e� da amo���a), � �o����el demon���a� ��e a m�dia a�i�m��ica �im�le� ( X ) a��e�en�a �a�i�ncia m�nima. � �o����el com�a�a� a efici�ncia en��e doi� e��imado�e� dife�en�e�. Ba��a di�idi� ��a� �a�i�ncia�. A��im, a efici�ncia �ela�i�a de X * , em com�a�a��o com X , � dada �o�: 0,625 0,6944
6.3.
=
90%
E�������� �� ������� ���������
O���o �i�o de e��imado� � a��ele ��e minimi�a a �oma do� ��ad�ado� do� de��io�. Po� en��an�o, n�o �e�emo� e��e �i�o de e��imado� com mai� de�alhe�. Fala�emo� mai� a �e��ei�o na a�la de �eg�e���o linea�, em ��e �e�� m�i�o f�e��en�e �eali�a�mo� a o�e�a��o ��e minimi�a a �oma do� ��ad�ado� do� de��io�. In�e�e��an�e ob�e��a� ��e X e pˆ ��o e��imado�e� de m�nimo� ��ad�ado�. O� �eja, a m�dia amo���al e a ��o�o���o amo���al e��imam a m�dia e a ��o�o���o �o��lacionai�, obedecendo ao c�i���io de m�nimo� ��ad�ado�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
68
����������� �� ��� ���� ����� �������
6.4.
E�������� �� ������ ���������������
Um e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a � a��ele ��e ma�imi�a a ��obabilidade (�e a �a�i��el alea���ia fo� di�c�e�a) o� a den�idade de ��obabilidade (�e a �a�i��el alea���ia fo� con��n�a) de a amo���a ob�e��ada �e� �ido ob�ida. Pa�a e��lica�, �o� ada��a� �m e�em�lo e���a�do do li��o E��a����ica �a�a Economi��a�, do Rodolfo Hoffmann. Con�ide�e �m �e��aed�o ��e �o���i face� a��i� e b�anca�. Lan�amo� o �e��aed�o. O �e��l�ado ob�ido co��e��onde � face ��e fica em con�a�o com o �olo. Ca�o �aia �ma face a��l, �emo� �m ca�o fa�o���el. Ca�o �aia �ma face b�anca, �emo� �m ca�o de�fa�o���el. O �e��aed�o � lan�ado 3 �e�e�, �e��l�ado em 1 ca�o fa�o���el (1 �e��l�ado a��l e 2 b�anco�). N�� �� �emo� ace��o ao �e��l�ado de��a amo���a e �emo� ��e e��ima� a ��o�o���o �o��lacional, o� �eja, a ��o�o���o de face� a��i� no �e��aed�o. Pa�a acha� o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a, n�� �emo� ��e �e� ��al a ��o�o���o ��e ma�imi�a a ��obabilidade de e��a amo���a �e� �ido ob�ida. O ��ad�o abai�o �e��me o� c�lc�lo�. N�me�o de face� a��i� 0 1 2 3 4
��obabilidade de ��ce��o em 1 P�obabilidade de, em 3 lan�amen�o�, e��e�imen�o �e�mo� e�a�amen�e 1 ca�o fa�o���el 0 0 0,25 0,421875 0,5 0,375 0,75 0,140625 1 0
A maio� ��obabilidade (0,421875) oco��e ��ando �emo� 1 face a��l. Logo, o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a � 0,25. Ne��e e�em�lo, a ��o�o���o �o��lacional �� �ode�ia a���mi� alg�n� �alo�e� (0; 0,25; 0,5; 0,75; 1,0). � �ma �a�i��el di�c�e�a. Aca�o a ��o�o���o �o��lacional � �o��a a���mi� ��al��e� �alo� no in�e��alo en��e 0 e 1, en��o � �o����el demon���a� ��e a ��o�o���o amo���al ( pˆ =
X n
, onde � � a �a�i��el
binomial) � �m e��imado� de m�nimo� ��ad�ado� e de m��ima �e�o��imilhan�a. Se a �a�i��el alea���ia fo� no�mal, o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a �a�a a �a�i�ncia � dado �o�: n
∑ ( x s *2
=
i
− x )
2
i =1
n
Se a �a�i��el alea���ia fo� no�mal, a m�dia a�i�m��ica da amo���a ( X ) � �m e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a �a�a a m�dia �o��lacional.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
69
����������� �� ��� ���� ����� �������
Te��o �a�a Q�e���o 30 e Q�e���o 31. Pa�a �e��onde� �� ��e���e� �eg�in�e�, con�ide�e a� di���ib�i��e� amo���ai� de cinco e��imado�e� ��o�o��o� �a�a e��ima� o �a��me��o T de �ma �o��la��o, il����ada� na fig��a a��e�en�ada a �eg�i�.
������� 30
INE� 2008 �CE�G�AN�IO�
Se o in�e�e��e fo� �m e��imado� n�o �ie�ado, de�e��e ��ili�a� a�ena� (A) T1 (B) T4 (C) T1 o� T4 (D) T2 o� T5 (E) T1 o� T2 o� T3 ���������. E��imado� n�o �ie�ado � �in�nimo de e��imado� n�o �endencio�o. Q�e�emo� ��e a m�dia do e��imado� �eja ig�al a T. O� �nico� e��imado�e� ��e a��e�en�am e��a ca�ac�e����ica ��o T1, T2 e T3. G�������: E
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
70
����������� �� ��� ���� ����� �������
������� 31
INE� 2008 �CE�G�AN�IO�
Le�ando��e em con�a a� ��o��iedade� de �m bom e��imado�, o melho� den��e o� e��imado�e� ��o�o��o� � (A) T1 (B) T2 (C) T3 (D) T4 (E) T5 ���������. En��e o� e��imado�e� T1, T2 e T3, o ��e a��e�en�a �a�i�ncia m�nima � T2, �oi� a��e�en�a �ma c���a mai� afilada, o ��e indica ��e a ��o�o���o de �alo�e� ����imo� � m�dia � maio�. G�������: B ������� 32
�E��OB�A� 2010 �CE�G�AN�IO�
Q�ando �e lan�a �ma ce��a moeda, a ��obabilidade de o �e��l�ado �e� ca�a � �. A moeda foi lan�ada de� �e�e�, ��ce��i�a� e inde�enden�e�, e o �e��l�ado foi de 2 ca�a� e 8 co�oa�. Tendo em �i��a e��e e��e�imen�o, a e��ima�i�a de m��ima �e�o��imilhan�a de � � (A) 0.2 (B) 0.25 (C) 0.3 (D) 0.35 (E) 0.4 ���������. A ��o�o���o amo���al � �m e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da ��o�o���o �o��lacional. Na amo���a, fo�am 2 ca�a� em 10 lan�amen�o�.
̂ = 102 = 0,2
G�������: A ������� 33
CG� 2008. �E�AF�
Seja T �m e��imado� de �m �a��me��o θ de �ma �o��la��o. Se E (T ) = θ , di���e ��e T � �m e��imado� de θ : a) eficien�e ����� ����� �������
���.�������������������.���.��
71
����������� �� ��� ���� ����� �������
b) n�o en�ie�ado c) con�i��en�e d) de m�nimo� ��ad�ado� e) de m��ima �e�o��imilhan�a ���������. Vimo� ��e o fa�o da e��e�an�a do e��imado� �e� ig�al ao �a��me��o �e�mi�e cla��ifica� o e��imado� como n�o �iciado (o� n�o �endencio�o, o� n�o en�ie�ado). Toda� e��a� e���e���e� ��o �in�nima�. G�������: B. ������� 34
��E �I 2009 �FCC�
Seja ( � 1, � 2, � 3) �ma amo���a alea���ia �im�le� de �ma di���ib�i��o no�mal com m�dia µ . Fo�am ob�ido� 3 e��imado�e� �a�a µ : Y 1
=
Y 2
=
X 1 + X 2
+ X 3
3
2 X 1 + X 2
Y 3 = X 1 + 2 X 2
− 3 X 3 −
2 X 3
En��o, APENAS (A) Y1 � n�o �ie�ado. (B) Y1 e Y3 ��o n�o �ie�ado�. (C) Y1 e Y3 ��o �ie�ado�. (D) Y1 e Y3 ��o �ie�ado�. (E) Y2 e Y3 ��o �ie�ado�. ���������. Um e��imado� � �ie�ado ��ando ��a e��e�an�a � dife�en�e do �a��me��o e��imado. Um e��imado� � n�o �ie�ado ��ando ��a e��e�an�a � ig�al ao �a��me��o e��imado.
= + 3 + = + 3 + = + 3+ = 33 = == 2 + +2 −− 32 == 2 ++2 −− 23 == 2 ++2 −−23 == 0
Ob�e��em ��e Y1 e Y3 a��e�en�am e��e�an�a ig�al a . Logo, ��o n�o �ie�ado�.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
72
����������� �� ��� ���� ����� �������
J� Y 2 a��e�en�a e��e�an�a ig�al a 0. Po��an�o, n�o �emo� ga�an�ia� de ��e �eja n�o �ie�ado, �oi� n�o �abemo� �e .
=0
G�������: B ������� 35
MIN 2012 �E�AF�
Con�ide�e �m e��imado� T de �m �a��me��o θ de �ma �o��la��o. Se E(T) = θ, en��o T � �m e��imado� a) n�o �ie�ado. b) �ie�ado. c) con�i��en�e. d) �endencio�o. e) eficien�e. Re�ol���o: Q�ando a e��e�an�a do e��imado� � ig�al ao �a��me��o e��imado, �emo� �m e��imado� n�o �endencio�o, n�o �ie�ado, o� n�o �iciado. Ele no� indica ��e, �e fi����emo� ���ia� e ���ia� amo���agen�, em m�dia, ace��a��amo� o �alo� do �a��me��o. G�������: A O e��imado� � �ie�ado o� �endencio�o (le��a� "b" e "d") ��ando ��a e��e�an�a di�e�ge do �alo� do �a��me��o. O e��imado� � eficien�e (le��a "e") ��ando a��e�en�a �a�i�ncia �e��ena. O e��imado� � con�i��en�e (le��a "c") ��ando ��a di��e���o �ende �a�a �e�o, � medida ��e a�men�amo� o �amanho da amo���a.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
73
����������� �� ��� ���� ����� �������
7.
�E��M�O
̂ ̂
������ E��imado�e� �on��ai�
L������� � �m e��imado� de
S2 � �m e��imado� de
� �m e��imado� de ��
Di���ib�i��e� amo���ai�
�em m�dia e de��io �ad��o
�em m�dia � e de��io �ad��o
/√
In�e��alo de confian�a �a�a m�dia com X − Z 0 × σ ≤ µ ≤ X + Z 0 × σ X X �a�i�ncia �o��lacional conhecida In�e��alo de confian�a �a�a m�dia com X − t 0 × s ≤ µ ≤ X + t 0 × s X X �a�i�ncia �o��lacional de�conhecida In�e��alo de confian�a �a�a ��o�o���o pˆ − Z 0 × σ pˆ ≤ p ≤ pˆ + Z 0 × σ pˆ E��o m��imo come�ido e �amanho da amo���a
erro _ max = Z 0σ X erro _ max = t 0 s X erro _ max = Z 0 s pˆ
Ca�ac�e����ica� do� e��imado�e�
8.
� N�o �endencio�o�: e��e�an�a do e��imado� = �a��me��o. � De �a�i�ncia m�nima; � De m�nimo� ��ad�ado�: minimi�a a �oma do� ��ad�ado� do� de��io� � De m��ima �e�o��imilhan�a: ma�imi�a a ��obabilidade de a amo���a �e� �ido ob�e��ada.
A���N�O DE DE��A��E
̂
A coi�a mai� im�o��an�e da a�la de hoje � a �eg�in�e. Temo� ��e �e� cla�o em no��a cabe�a ��e a m�dia amo���al e a ��o�o���o amo���al �odem �e� �i��o� como �a�i��ei� alea���ia�. A��im �endo, ele� ��m �ma e��e�an�a e �ma �a�i�ncia. Sabe� a� f��m�la� de��a� e��e�an�a� e de��a� �a�i�ncia� � f�ndamen�al:
= =̂ = �
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
74
����������� �� ��� ���� ����� �������
̂ = ̂ �
̂
Com��eende� ��e e �odem �e� �i��a� como �a�i��ei� alea���ia� � m�i�o im�o��an�e. I��o � a ba�e �a�a o� in�e��alo� de confian�a e �a�a o� �e��e� de hi���e�e�, ��e e���da�emo� na ����ima a�la.
9.
��E���E� A��E�EN�ADA� EM A�LA
������� 1
�EFA� �J 2008 �FG��
Con�ide�e �ma Amo���a Alea���ia Sim�le� de � �nidade� e���a�da� de �ma �o��la��o na ��al a ca�ac�e����ica, X, e���dada �em di���ib�i��o No�mal com m�dia µ e �a�i�ncia σ 2 , amba� de�conhecida�, ma� fini�a�. Con�ide�e, ainda, a� e��a����ica� m�dia da amo���a, X = 1
n
∑ n
X i , e �a�i�ncia da amo���a s 2
i =1
=
1
n
∑ ( X − X ) n
2
i
. En��o, � co��e�o afi�ma� ��e:
i =1
(A) X e S 2 ��o, ambo�, n�o �endencio�o� �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (B) X � n�o��endencio�o, ma� � S 2 �endencio�o �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (C) X � �endencio�o, ma� S 2 � n�o��endencio�o �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (D) X e S 2 ��o, ambo�, �endencio�o� �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, �e��ec�i�amen�e. (E) X e S 2 ��o, ambo�, n�o��endencio�o� �a�a a e��ima��o da m�dia e da �a�i�ncia da �o��la��o, ma� a�ena� X � con�i��en�e. ������� 2
CG� 2008 �E�AF�
Q�al o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da �a�i�ncia de �ma �a�i��el � no�malmen�e di���ib��da ob�ido a �a��i� de �ma amo���a alea���ia �im�le� X 1, X2, X3, ..., Xn, de��a �a�i��el, �endo m = ∑ X i / n o e��imado� de m��ima �e�o��imilhan�a da m�dia?
∑ ( X − m) a)
2
i
n −1
∑ ( X − m) b)
2
i
n−2
∑ ( X i − m) 2 c) n −1 d)
∑ ( X − m)
0 ,5
2
i
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
75
����������� �� ��� ���� ����� �������
∑ ( X − m) e)
2
i
n
������� 3
�EFA� �� 2009 �E�AF�
(Dado� da ��e���o an�e�io�: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.) Con�ide�ando ��e a� ob�e��a��e� a��e�en�ada� na ��e���o an�e�io� con��i��em �ma amo���a alea���ia �im�le� X 1, X 2, ..., Xn de �ma �a�i��el alea���ia X, de�e�mine o �alo� mai� ����imo da �a�i�ncia amo���al, ��ando �m e��imado� n�o �endencio�o da �a�i�ncia de X. Con�ide�e ��e: 23
∑ X
i
=
388
=
8676
i =1 23
∑ X
2
i
i =1
a) 96,85 b) 92,64 c) 94,45 d) 90,57 e) 98,73 ������� 4
�J �I 2009 �FCC�
Seja �ma �o��la��o con��i���da �elo� �alo�e� 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Toda� a� amo���a� com �amanho 2, �em �e�o�i��o, ��o �elecionada�. A ��obabilidade de ��e a m�dia amo���al �eja ���e�io� a 5 � de (A) 1/4 (B) 1/6 (C) 2/3 (D) 1/3 (E) 1/15 ������� 5
��F 1� ������/2001 �FCC�
Pa�a �e��onde� � ��e���o �eg�in�e, con�ide�e a �abela abai�o, �efe�en�e � di���ib�i��o no�mal �ad��o.
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
76
����������� �� ��� ���� ����� ������� z
F ( z )
1,20 1,60 1,64
0,885 0,945 0,950
Uma m���ina de em�aco�a� lei�e em �� o fa� �eg�ndo �ma no�mal com m�dia µ e de��io �ad��o 10g. O �e�o m�dio µ de�e �e� �eg�lado �a�a ��e a�ena� 5,5% do� �aco�e� �enham meno� do ��e 1000 g. Com a m���ina a��im �eg�lada, a ��obabilidade de ��e o �e�o �o�al de 4 �aco�e� e�colhido� ao aca�o �eja infe�io� a 4.040 g �: a) 0,485 b) 0,385 c) 0,195 d) 0,157 e) 0,115 ������� 6
M��/2007 �FCC�
Se �e�i�a�mo� �ma amo���a alea���ia de 1200 ob�e��a��e� de �ma �o��la��o com di���ib�i��o �nifo�me no in�e��alo [17; 29], a di���ib�i��o da m�dia amo���al X �e��, a��o�imadamen�e, a) �nifo�me com m�dia 23 e �a�i�ncia 12 b) no�mal com m�dia 23 e de��io �ad��o 0,1 c) �nifo�me com m�dia 23 e �a�i�ncia 1 d) no�mal com m�dia 23 e de��io �ad��o 12. e) no�mal com m�dia 23 e de��io �ad��o 1. ������� 7
�E��OB�A� 2010 �CE�G�AN�IO�
A di���ib�i��o de ��obabilidade� da �a�i��el alea���ia X � �al ��e X = �1 com 50% de ��obabilidade o� X = 1 com 50% de ��obabilidade. A m�dia, , de ��a��o �eali�a��e� de X, ��ce��i�a� e inde�enden�e�, � �ma �a�i��el alea���ia de m�dia e de��io �ad��o, �e��ec�i�amen�e, ig�ai� a (A) 0 e 2 (B) 0 e 1 (C) 1 e 0.5 (D) 1 e 0 (E) 0 e 0.5 ������� 8
M�OG 2012 �E�AF�
Uma �a�i��el alea���ia �o���i di���ib�i��o no�mal com m�dia ig�al a 10, μ = 10, e �a�i�ncia ig�al a 4, = 4. Re�i�ando��e de��a �o��la��o �ma amo���a de �amanho n = 100, �em��e ��e a di���ib�i��o amo���al da� m�dia�, o� di���ib�i��o amo���al de � �ma di���ib�i��o:
a) n�o no�mal com μ =10 e = 1/5
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
77
����������� �� ��� ���� ����� �������
b)no�mal com μ =10 e = 1/5 c) no�mal com μ =100 e d)no�mal com μ =10 e
= 4
= 2
e)n�o no�mal com μ =100 e ������� 9
= 4
INF�AE�O 2009 �FCC�
Em �m de�e�minado �amo de a�i�idade, o� �al��io� do� em��egado� ��o con�ide�ado� no�malmen�e di���ib��do� com �ma m�dia μ e �ma �a�i�ncia �o��lacional ig�al a 1.600 (R$)2. Uma amo���a alea���ia com 100 de��e� em��egado� a��e�en�o� �ma m�dia de R$ 1.000,00 �a�a o� �al��io�. De�eja��e, com ba�e ne��a amo���a, ob�e� �m in�e��alo de confian�a �a�a a m�dia μ com �m n��el de confian�a de 95%, con�ide�ando a �o��la��o de �amanho infini�o e a info�ma��o da di���ib�i��o no�mal �ad��o (Z) ��e a ��obabilidade P (� > 2) = 0,025. O in�e��alo, com o� �alo�e� em R$, � ig�al a (A) [960,00; 1.040,00] (B) [992,00; 1.008,00] (C) [994,00; 1.006,00] (D) [996,00; 1.004,00] (E) [920,00; 1.080,00] ������� 10
CG� 2008 �E�AF�
Con����a �m in�e��alo de 95% de confian�a �a�a a m�dia de �ma �o��la��o no�mal a �a��i� do� dado� de �ma amo���a alea���ia �im�le� de �amanho 64 de��a �o��la��o, ��e fo�nece� �ma m�dia de 48 e �m de��io��ad��o amo���al de 16, con�ide�ando ��e F(1,96) = 0,975, onde F(�) � a f�n��o de di���ib�i��o de �ma �a�i��el alea���ia no�mal �ad��o � . a) 44,08 a 51,92. b) 41,78 a 54,22. c) 38,2 a 57,8. d) 35,67 a 60,43. e) 32,15 a 63,85. ������� 11
��� 2� ������ 2008 �FCC�
A �ida da� l�m�ada� fab�icada� �o� �ma em��e�a a��e�en�a �ma di���ib�i��o no�mal com �ma �a�i�ncia �o��lacional ig�al a 400 (ho�a�)2 . E���ai��e �ma amo���a de 64 l�m�ada� e �e�ifica��e ��e a �e��ec�i�a �ida m�dia � ig�al a 1.200 ho�a�. Con�ide�ando a �o��la��o de �amanho infini�o e a info�ma��o da di���ib�i��o no�mal �ad��o (Z) ��e a ��obabilidade P(Z > 2) = 2,5%, �em��e ��e o in�e��alo de confian�a de 95% �a�a a �ida m�dia da� l�m�ada� � (A) [1.160 , 1.240] (B) [1.164 , 1.236] (C) [1.180 , 1.220]
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
78
����������� �� ��� ���� ����� �������
(D) [1.184 , 1.216] (E) [1.195 , 1.205] ������� 12
�E��OB�A� 2010 �CE�G�AN�IO�
Um le�an�amen�o �eali�ado a �e��ei�o do� �al��io� �ecebido� �o� �ma de�e�minada cla��e ��ofi��ional ��ili�o� �ma amo���a de 100 de��e� ��ofi��ionai�, na ��al fo�am ob�e��ado� �ma m�dia de R$ 2.860,00 e �m de��io �ad��o de R$ 786,00. Q�al �e��, em �eai�, o de��io �ad��o da di���ib�i��o da� m�dia� amo���ai� do� �al��io� de��a cla��e de ��ofi��ionai�? (A) 3,64 (B) 7,86 (C) 78,60 (D) 786,00 (E) 7.860,00 ������� 13
I�EA 2004 �E�AF�
De�eja��e e��ima� o ga��o m�dio efe��ado �o� g���o� de 4 �e��oa�, n�m �e��a��an�e, �o� meio de �m in�e��alo de confian�a com coeficien�e de 95%. Uma amo���a de 16 g���o� ��od��i� o� �alo�e� R$ 150,00 e R$ 20,00 �a�a a m�dia e o de��io �ad��o amo���ai�, �e��ec�i�amen�e. A��inale a o���o ��e co��e��onde ao in�e��alo ��oc��ado. U�e a hi���e�e de no�malidade da di���ib�i��o do� ga��o� e a �abela abai�o da f�n��o de di���ib�i��o de S��den� (T�) �a�a a e�colha do ��an�il a��o��iado ao� c�lc�lo�. P(T r ≤ x) = γ γ
0,900
0,950
0,975
0,990
1,345 1,341 1,337 1,333
1,761 1,753 1,746 1,740
2,145 2,131 2,120 2,110
2,625 2,603 2,584 2,567
r
14 15 16 17 a) [139,34; 160,66] b) [139,40; 160,60] c) [141,23; 158,77] d) [141,19; 158,81] e) [140,00; 160,00] ������� 14
MIN 2012 �E�AF�
Uma amo���a alea���ia �im�le� de �amanho 9 de �ma �o��la��o com di���ib�i��o no�mal le�o� ao c�lc�lo de �ma m�dia amo���al ig�al a 32 e ao c�lc�lo de �ma �a�i�ncia amo���al ig�al a 225. Con����a �m in�e��alo de 95% de confian�a �a�a a m�dia da �o��la��o. a) 27,1 a 36,9 b) 22,2 a 41,8 c) 12,4 a 51,6
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
79
����������� �� ��� ���� ����� �������
d) 2,6 a 61,4 e) �17 a 81 ������� 15
�EFA� �� 2009 �FCC�
Em �ma �e���i�a de ��ib��o� de com�e��ncia e��ad�al, em 2008, �eali�ada com 400 �ecolhimen�o� e�colhido� alea�o�iamen�e de �ma �o��la��o con�ide�ada de �amanho infini�o, 80% �efe�iam��e a de�e�minado im�o��o. De�eja��e con����i� �m in�e��alo de confian�a de 95,5% �a�a a e��ima�i�a de��a ��o�o���o. Con�ide�ando no�mal a di���ib�i��o amo���al da f�e���ncia �ela�i�a do� �ecolhimen�o� de��e im�o��o e ��e na di���ib�i��o no�mal �ad��o a ��obabilidade P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 95,5%, o in�e��alo � (A) [0,70; 0,90] (B) [0,72; 0,88] (C) [0,74; 0,86] (D) [0,76; 0,84] (E) [0,78; 0,82] ������� 16
��� 4� �EGI�O 2009 �FCC�
Se Z �em di���ib�i��o no�mal �ad��o, en��o: P (Z > 1,64) = 0,05; P(Z > 2) = 0,02; P(0< Z < 1,75) = 0,46 De�eja��e e��ima� a ��o�o���o (�) de ��oce��o� j�lgado� �o� �m ��ib�nal �egional do ��abalho d��an�e o �e��odo de 2000 a�� 2008. Uma amo���a alea���ia de 10.000 ��oce��o�, �elecionada da �o��la��o (���o��a infini�a) de �odo� o� ��oce��o�, �e�elo� ��e 5.000 fo�am j�lgado� no �efe�ido �e��odo. Um in�e��alo de confian�a, com coeficien�e de confian�a de 90% �a�a �, ba�eado ne��a amo���a, � dado �o� (A) 0,5 ± 0,005 (B) 0,5 ± 0,0062 (C) 0,5 ± 0,0065 (D) 0,5 ± 0,0082 (E) 0,5 ± 0,01 ������� 17
M�OG 2012 �E�AF�
Pa�a e��ima� a ��o�o���o de �e��oa� acome�ida� �o� �ma �i�o�e, foi �e�i�ada �ma amo���a alea���ia de 1600 �e��oa�. Na amo���a foi con��a�ado ��e 160 �e��oa� e��a�am acome�ida� �ela �i�o�e. Sabe��e ��e, �a�a con����i� �m in�e��alo com 95% de confian�a �a�a a ��o�o���o de �e��oa� acome�ida� �ela �i�o�e, o �alo� �abelado � 1,96. Com e��a� info�ma��e�, o in�e��alo de confian�a � dado �o�:
0,10� 1,960,403 = 95% 0,10� 1,960,403 = 95%
����� ����� �������
���.�������������������.���.��
80
����������� �� ��� ���� ����� �������
0,10 �1,960,403 = 5% 0,10� 1,960,403 = 5% 0,10� 1,960,4003 = 95% ������� 18
DNOC� 2010 �FCC�
Seja X �ma �a�i��el alea���ia no�malmen�e di���ib��da �e��e�en�ando o �al��io do� em��egado� em �m de�e�minado �amo de a�i�idade. Uma amo���a alea���ia de 100 em��egado� foi �elecionada e a���o���e �m in�e��alo de confian�a de 95% �a�a a m�dia de X como �endo [760,80; 839,20], ���ondo a �o��la��o de �amanho infini�o e �abendo��e ��e o de��io �ad��o �o��lacional � ig�al a R$ 200,00. Ca�o o �amanho da amo���a �i�e��e �ido de 1.600 e ob�endo��e a me�ma m�dia an�e�io�, o in�e��alo de confian�a de 95% a��e�en�a�ia �ma am�li��de ig�al a (A) R$ 78,40. (B) R$ 39,20. (C) R$ 49,00. (D) R$ 58,80. (E) R$ 19,60. ������� 19
��E �I 2009 �FCC�
A d��a��o de �ida de �m de�e�minado e��i�amen�o a��e�en�a �ma di���ib�i��o no�mal com �ma �a�i�ncia �o��lacional ig�al a 100 (dia�) 2. Uma amo���a alea���ia de 64 de��e� e��i�amen�o� fo�nece� �ma m�dia de d��a��o de �ida de 1.000 dia�. Con�ide�ando a �o��la��o de �amanho infini�o, �m in�e��alo de confian�a de ( 1 − α ) com am�li��de de 4,75 dia� �a�a a m�dia foi con�����do. Ca�o o �amanho da amo���a �i�e��e �ido de 400, ob�endo� �e a me�ma m�dia de 1.000 dia�, a am�li��de do in�e��alo de confian�a de ( 1 − ) �e�ia de (A) 0,950 dia�. (B) 1,425 dia�. (C) 1,900 dia�. (D) 2,375 dia�. (E) 4,750 dia�. ������� 20
AF�� 2002 �E�AF�
Tem��e �ma �o��la��o no�mal com m�dia µ e �a�i�ncia 225. De�eja��e con����i�, a �a��i� de �ma amo���a de �amanho n de��a �o��la��o, �m in�e��alo de confian�a �a�a µ com am�li��de 5 e coeficien�e de confian�a de 95%. A��inale a o���o ��e co��e��onde ao �alo� de n. U�e como a��o�imadamen�e 2 o ��an�il de o�dem 97,5% da di���ib�i��o no�mal �ad��o. a) 225
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81
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b) 450 c) 500 d) 144 e) 200 ������� 21
MDIC 2002 �E�AF�
De�eja��e de�e�mina�, �a�a �ma �o��la��o com N elemen�o�, em �m e���ema de amo���agem alea���ia �im�le�, o �amanho de amo���a n nece����io �a�a e��ima� a m�dia �o��lacional do a��ib��o X. De�eja��e ��e o e��o em �alo� ab�ol��o do ��ocedimen�o n�o �eja ���e�io� a 10% da m�dia �o��lacional, com ��obabilidade de 95%. De �m e���do �ilo�o ob��m��e ��e a �a�i�ncia de X �em o �alo� 80 e ��e a m�dia �em o �alo� 20. Tomando como a��o�imadamen�e 2 o ��an�il de o�dem 0,975 da di���ib�i��o no�mal �ad��o, ���ondo ��e a m�dia da amo���a �em di���ib�i��o a��o�imadamen�e no�mal e de���e�ando a f�a��o de amo���agem n/N, a��inale a o���o ��e d� o �alo� de n . a) 1000 b) 100 c) 80 d) 200 e) 150 ������� 22
M�OG 2012 �E�AF�
Pa�a e��ima� �o� in�e��alo a m�dia μ de �ma �o��la��o no�mal com �a�i�ncia ig�al a 9, �e�i�o���e �ma amo���a de 16 elemen�o�, ob�endo��e = 5. Pa�a �m n��el de confian�a de 95%, o �alo� �abelado � ig�al a 1,96. De��e modo, a �emi�am�li��de do in�e��alo o� e��o de e��ima��o ─ como �amb�m � chamado ─ � ig�al a: a) 2,94 b) 1,47 c) 0,5625 d) 0,7350 e) 0,47
������� 23
M��������� �� ����� 2007 �FCC�
Pa�a �e��onde� � ��e���o �eg�in�e con�ide�e, den��e o� dado� abai�o, a��ele� ��e j�lga� a��o��iado�. Se Z �em di���ib�i��o no�mal �ad��o, en��o: P ( Z > 2)
=
0,023 ; P (0 < Z < 1,6)
=
0, 445 ; P ( Z < 1)
=
0,84 ; P ( 0 < Z < 2,33)
=
0, 49
Pa�a e��ima� a ��o�o���o de c��a de �m medicamen�o an�i�a�a�i���io �eali�o���e �m e��e�imen�o cl�nico, a�licando��e o medicamen�o em �n� doen�e� e�colhido� ao aca�o. Ne��a amo���a foi con�ide�ado ��e 80% do� doen�e� fo�am c��ado�. Com ba�e ne��a�
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info�ma��e� e ��ili�ando o Teo�ema Cen��al do Limi�e, o �alo� de �, �a�a ��e o e��o come�ido na e��ima��o �eja no m��imo 0,08, com confian�a de 89%, � de: a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64 ������� 24
��� 2� ������ 2008 �FCC�
Em �ma cidade, con�ide�ada com �ma �o��la��o de �amanho infini�o, � fei�o �m e���do obje�i�ando de�ec�a� a ��o�o���o de habi�an�e� ��e ��efe�em a ma�ca do �abone�e X. Uma amo���a �ilo�o fo�nece� �m �alo� de 20% �a�a e��a ��o�o���o. De�eja��e ob�e� �m in�e��alo de confian�a de 95% �a�a a ��o�o���o, �endo o in�e��alo �ma am�li��de de 10%. Se a di���ib�i��o amo���al da f�e���ncia �ela�i�a do� habi�an�e� ��e ��efe�em a ma�ca do �abone�e X � no�mal e ��ili�ando a info�ma��o da di���ib�i��o no�mal �ad��o (Z) ��e a ��obabilidade P(�Z� ≤ 2) = 95%, �em��e ��e o �amanho da amo���a de�e �e� de (A) 400 (B) 361 (C) 324 (D) 289 (E) 256 ������� 25
�EFA� �J 2007 �FG��
Uma �e���i�a �ecen�e foi �eali�ada �a�a a�alia� o �e�cen��al da �o��la��o fa�o���el � elei��o de �m de�e�minado �on�o ������ico �a�a con��a� no �elo comemo�a�i�o de ani�e����io da cidade. Pa�a i��o, �eleciono���e �ma amo���a alea���ia �im�le� e���a�da de �ma �o��la��o infini�a. O �e��l�ado a���o� 50% de in�en��o de �o�o� �a�a e��e �on�o ������ico. Con�ide�ando ��e a ma�gem de e��o foi de 2 �on�o� �e�cen��ai�, �a�a mai� o� �a�a meno�, e ��e o n��el de confian�a ��ili�ado foi de 95%, fo�am o��ida�, a��o�imadamen�e: (A) 50 �e��oa�. (B) 100 �e��oa�. (C) 1.200 �e��oa�. (D) 2.400 �e��oa�. (E) 4.800 �e��oa�. ������� 26
MIN 2012 �E�AF�
̂
P�e�ende��e e��ima� �o� amo���agem a ��o�o���o de fam�lia� com �enda infe�io� a cinco �al��io� m�nimo� em �ma �o��lo�a cidade. U�ando a e��ima�i�a = 5/7, ob�ida em �m le�an�amen�o ��elimina�, de�e�mine o meno� �amanho de amo���a alea���ia �im�le�
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nece����ia �a�a e��ima� com �m in�e��alo de 95% de confian�a e com �m e��o de amo���agem
̂1− ̂/ ≤ 4%
a) 420 b) 490 c) 560 d) 630 e) 684 ������� 27
��� 4� �EGI�O 2009 �FCC�
Uma �o��la��o �o���i 15 elemen�o� e �em �a�i�ncia σ 2 . De��a �o��la��o �e�i�a��e �ma amo���a alea���ia �em �e�o�i��o de n elemen�o�. Sabendo��e ��e a m�dia amo���al de��e� n elemen�o� �em �a�i�ncia ig�al a
σ 2 28
, o �alo� de n � dado �o�
(A) 5 (B) 10 (C) 14 (D) 25 (E) 28 ������� 28
��F�2 2007 �FCC�
Em �ma �o��la��o de 100 elemen�o�, com �a�i�ncia �o��lacional 50, fo�am �omada� amo���a� ca��ai� �im�le� de �amanho 10. Ne��a� condi��e�, a� �a�i�ncia� da m�dia amo���al na amo���agem, com e �em �e�o�i��o, ��o �e��ec�i�amen�e a) 1/5 e 90/99 b) 2 e 90/99 c) 4 e 450/99 d) 5 e 200/99 e) 5 e 450/99 ������� 29
MINI����IO DA IN�EG�A��O NACIONAL 2012 �E�AF�
Con�ide�e �ma amo���a alea���ia �im�le� de �amanho 50 e���a�da �em �e�o�i��o de �ma �o��la��o fini�a de �amanho 500. Sendo a �a�i�ncia da �o��la��o, de�e�mine o �alo� mai� ����imo da �a�i�ncia da m�dia amo���al.
= 100
a) 1,6 b) 1,8 c) 2,0 d) 2,2 e) 2,4
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Te��o �a�a ��e���e� 30 e 31 Pa�a �e��onde� �� ��e���e� �eg�in�e�, con�ide�e a� di���ib�i��e� amo���ai� de cinco e��imado�e� ��o�o��o� �a�a e��ima� o �a��me��o T de �ma �o��la��o, il����ada� na fig��a a��e�en�ada a �eg�i�.
������� 30
INE� 2008 �CE�G�AN�IO�
Se o in�e�e��e fo� �m e��imado� n�o �ie�ado, de�e��e ��ili�a� a�ena� (A) T1 (B) T4 (C) T1 o� T4 (D) T2 o� T5 (E) T1 o� T2 o� T3 ������� 31
INE� 2008 �CE�G�AN�IO�
Le�ando��e em con�a a� ��o��iedade� de �m bom e��imado�, o melho� den��e o� e��imado�e� ��o�o��o� � (A) T1 (B) T2 (C) T3 (D) T4 (E) T5
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������� 32
�E��OB�A� 2010 �CE�G�AN�IO�
Q�ando �e lan�a �ma ce��a moeda, a ��obabilidade de o �e��l�ado �e� ca�a � �. A moeda foi lan�ada de� �e�e�, ��ce��i�a� e inde�enden�e�, e o �e��l�ado foi de 2 ca�a� e 8 co�oa�. Tendo em �i��a e��e e��e�imen�o, a e��ima�i�a de m��ima �e�o��imilhan�a de � � (A) 0.2 (B) 0.25 (C) 0.3 (D) 0.35 (E) 0.4 ������� 33
CG� 2008. �E�AF�
Seja T �m e��imado� de �m �a��me��o θ de �ma �o��la��o. Se E (T ) = θ , di���e ��e T � �m e��imado� de θ : a) eficien�e b) n�o en�ie�ado c) con�i��en�e d) de m�nimo� ��ad�ado� e) de m��ima �e�o��imilhan�a ������� 34
��E �I 2009 �FCC�
Seja ( � 1, � 2, � 3) �ma amo���a alea���ia �im�le� de �ma di���ib�i��o no�mal com m�dia µ . Fo�am ob�ido� 3 e��imado�e� �a�a µ : Y 1
=
Y 2
=
X 1 + X 2
+ X 3
3
2 X 1 + X 2
− 3 X 3
Y 3 = X 1 + 2 X 2
−
2 X 3
En��o, APENAS (A) Y1 � n�o �ie�ado. (B) Y1 e Y3 ��o n�o �ie�ado�. (C) Y1 e Y3 ��o �ie�ado�. (D) Y1 e Y3 ��o �ie�ado�. (E) Y2 e Y3 ��o �ie�ado�. ������� 35
MIN 2012 �E�AF�
Con�ide�e �m e��imado� T de �m �a��me��o θ de �ma �o��la��o. Se E(T) = θ, en��o T � �m e��imado� a) n�o �ie�ado. ����� ����� �������
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b) �ie�ado. c) con�i��en�e. d) �endencio�o. e) eficien�e.
GABA�I�O 1
b
2
e
3
a
4
e
5
e
6
b
7
e
8
b
9
b
10
a
11
e
12
c
13
a
14
an�lado
15
d
16
d
17
a
18
e
19
c
20
d
21
c
22
b
23
e
24
e
25
d
26
b
27
b
28
e
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87