apostila de 84 Exercicios Resolvidos de analise combinatória.pdf

Professor Tiago Machado Educação Matemática Formado pelas Faculdades Integradas Campo-grandense – FIC RJ. Especializado em Ensino da Matemática fundamental e Mdio– FIC RJ. Especializado em Ensino da Matemática – !ERJ. Blog =>professortiagomachado.blogspot.com =>professortiagomachado.blogspot.com Currículo =>http://lattes.cnpq.br/0317131329053631 =>http://lattes.cnpq.br/0317131329053631

Exercícios de Análise combinatória  !esol"idos# $% "e

#uantos modos podemos escol$er % cartas de um &aral$o de %' cartas( sem le)ar em conta a ordem das mesmas( de modo #ue sempre apareçam os * ases+ Informações: •

•

52-4 52-4=4 =48 8 => tira tiramo mos s os ases ases do aralho.

Baralho de 52 cartas; Sol!ç"o:

•

4 ases;

•

Sempre apareçam 4 ases.

#oleiro:

*-

linha: ⋅

*,-

*- 2 * − *1- /- 2*, − /1-

*-

=

⋅

*,-

*-0- /-*-

=

*,

&% E3istem /0 4ogadores de fute&ol de salão( entre eles João #ue por sinal  o 5nico #ue

4oga como goleiro. goleiro. 6esta condição condição #uantos times de de % pessoas podem ser escalados+ escalados+ Informações: •

•

$%-$ %-$=* => tira tiram mos o (o" (o"o da seleç"o da linha.

$% &o'adores de f!teol de sal"o; Sol!ç"o:

•

(o"o como o )nico 'oleiro do time;

•

5 pess pessoa oas s ser" ser"o o esca escala lad das: as: $ 'oleiro e 4 na linha.

#oleiro:

/-

⋅

linha:

8-

/-2/ − /1- *-28 − *1-

=

/-

⋅

8-

/-0- *-%-

=

/'7

'% !m

time de fute&ol de salão de)e ser escalado a partir de um con4unto de /0 4ogadores 2entre eles 9ri e 9rnaldo1. "e #uantas formas isto pode ser feito se 9ri e 9rnaldo de)em necessariamente ser escalados+ Informações:

•

$%-2=8 /= tiramos ,ri e ,rnaldo;

•

$% &o'adores;

•

+ntre eles eles ,ri e ,rnaldo ,rnaldo o! se&a se&a dois &o'adores;

Sol!ç"o:

!teol de sal"o tem 5 &o'adores;

,ri e ,rnaldo ,rnaldo (o'adores.

•

•

,ri e ,rnaldo tem ori'atoriamente &o'ar.

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0!e

'-

,-

⋅

'- 2 ' − '1- :- 2, − :1-

=

'-

⋅

,-

'-0- :-%-

=

%7

(% !m

#u;mico possui /0 2dez1 tipos de su&st
•

$% tipos de s!st1ncias;

Sol!ç"o:

,ssociar  dessas s!st1ncias entre elas !ma de cada das d!as 0!e n"o podem se mist!rar.

om as s!st1ncias:

87- 28 − 71-

3!as 0!e n"o podem se mist!rar mist!rar pois eplodem eplodem se forem. forem.

•

=

87-:-

=

/7, /= entre elas !ma

das s!st1ncias. ,'ora sem as as s!st1ncias:

$%-$=* /= retiramos !ma delas.

•

$%-2=8 6o'o temos:

,7- 2, − 71-

=

,7-'-

=

',

/=

sem

as

s!stancias. omo elas n"o podem se mist!rar. $8-28 = $4%

)% !m

grupo consta de '0 pessoas( das #uais % matemáticos. "e #uantas formas podemos formar formar comiss=es de /0 pessoas de modo #ue> Informações: •

2% pessoas;

•

5 matem7ticos.

•

omissões de $% pessoas.

a% 6en$um mem&ro se4a matemático+ Sol!ç"o: •

+trair os matem7ticos matem7ticos o! se&a 2%-5=5.

/%/0-2/% − /01-

=

/%/0-%-

=

:00:

b% ?odos os matemáticos participem das comiss=es+ Sol!ç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

Incl!ir todos os matem7ticos.

•

%-

⋅

/%-

=

%- 2% − %1- %- 2/% − %1-

%-

/%-

⋅

%-0- %-/0-

=

:00:

c% $a4a e3atamente um matemático na

comissão+

Solução: •

Incl!ir $ matem7tico de 5 dos 0!e eistem.

%-

/%-

⋅

/- 2% − /1- 8- 2/% − 81d% @elo menos um

=

%-

/%-

⋅

/-*- 8-7-

'%0'%

=

mem&ro da comissão se4a matemático+

Sol!ç"o: •

%-

elo menos $ se&a matem7tica.

%-

/%-

⋅

/- 2% − /1- 8- 2/% − 81%-

⋅

=

/%-

'- 2% − '1- ,- 2/% − ,1-

=

%-

/%-

⋅

/-*- 8-7%-

⋅

/%-

'-:- ,--

/%-

:-2% − :1- - 2/% − 1-

%-

'%0'%

=

⋅

⋅

/%-

*- 2% − *1- 7-2/% − 71=

%-

7*:%0

⋅

/%-

%-2% − %1- %- 2/% − %1-

=

=

=

%-

⋅

/%-

:-'- -,-

%-

⋅

/%-

*-/- 7-8%-

⋅

=

7*:%0

=

'%0'%

/%-

%-0- %-/0-

=

:00:

25%25945%945%925%259%%=$825

*% "e

um grupo de /0 pessoas dese4a-se formar uma comissão de % mem&ros. "e #uantas formas isto pode ser feito se duas pessoas 29 e A1 ou fazem parte da comissão ou não+ Sol!ç"o: Informaç"o: •

$% pessoas;

•

5 memros;

•

, e B de
om:

sem:

,%- 2, − %1-

+

,:- 2, − :1-

=

,%-:-

+

,:-%-

=

//'

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+% !m

$omem possui , pares de meias 2todas distintas1. "e #uantas formas ele pode selecionar ' meias sem #ue elas se4am o mesmo par+ Informaç"o: Sol!ç"o: •

8 pares de meias;

,•

2 meias.

'- 2, − '1-

=

,'-7-

=

',

8 ÷ 2= 4 meias. 284=$$2 meias.

,% ?emos % $omens e

7 mul$eres. "e #uantas formas>

Informações: •

5 homens;

•

6mulheres.

a% @odemos formar uma comissão de

: pessoas+

Sol!ç"o: 59=$$

//:- 2// − :1-

=

//:-,-

=

/7%

b% @odemos formar uma comissão de : pessoas de modo #ue $a4a ' $omens e / mul$er

na mesma+ Sol!ç"o: •

%-

2 homens e $ m!lher.

⋅

7-

'- 2% − '1- /- 2 7 − /1-

=

%-

⋅

7-

'-:- /-%-

=

70

!m lote contm %0 peças &oas e /0 defeituosas. E3traindo-se , peças 2sem reposição1 não le)ando em conta a ordem das mesmas( de #uantas formas podemos o&ter * peças &oas e * defeituosas+ -%

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•

50 peças boas e 10 defeituosas; !olução:

•

•

Extrair 8 peças sem reposição;  peças boas e  defeituosas.

%0-

⋅

/0-

*- 2%0 − *1- *- 2/0 − * 1-

=

%0-

⋅

/0-

*-*7- *-7-

=

*,:7:00

$% Em

uma urna e3istem /' &olas das #uais  são pretas e % &rancas. "e #uantos modos podemos tirar 7 &olas da urna( das #uais ' são &rancas+ Informaç"o: •

•

irar  olas da !rna das 0!ais 2 s"o rancas.

$2 olas; Sol!ç"o:

•

 olas pretas;

%•

5 olas rancas;

⋅

-

'- 2% − ' 1- *- 2 − * 1-

%-

=

⋅

-

'-:- *-:-

=

:%0

$$% Buantos

su&con4untos de % cartas contendo e3atamente : ases podem ser formados de um &aral$o de %' cartas+ Informaç"o: 52-4=48 /= sem os ases. •

•

5 cartas contendo eatamente  ases; !m aralho de 52 cartas;

Sol!ç"o:

*-

⋅

*,-

:-2 * − :1- '- 2 *, − '1•

=

*-

⋅

*,-

:-/ *-*7-

=

*%/'

?m aralho tem sempre 4 ases.

$&% !ma

urna contm : &olas )ermel$as e % &rancas. "e #uantas formas podemos e3trair ' &olas( sem reposição e sem le)ar em conta a ordem na e3tração( de modo #ue> Informações: •

 olas
•

5 olas rancas;

•

etrair 2 olas sem reposiç"o e sem le
a% 9s duas se4am )ermel$as+ Sol!ç"o:

:'- 2 : − '1-

=

:'-/-

=

:


b% 9 duas se4am

&rancas+

olução> %'- 2% − '1-

=

%'-:-

=

/0

c% !ma se4a )ermel$a( outra

&ranca+

olução> :-

⋅

%-

/- 2: − /1- /-2% − /1-

=

:-

⋅

%-

/-'- /-*-

=

/%

$'% !ma

urna contm /0 &olas &rancas e 7 pretas. "e #uantos modos  poss;)el tirar  &olas das #uais pelo menos * se4am pretas+ Informaç"o: •

$% olas rancas;

•

 olas pretas;

Sol!ç"o

/0-

⋅

7-

:-2/0 − :1- *-2 * − ' 1•

tirar  olas das 0!ais pelo menos 4 se&am pretas.

/0-

⋅

7-

'- 2/0 − '1- %- 27 − %1/0-

⋅

7-

/-2/0 − 8 1- 7- 2 7 − 71-

=

=

=

/0-

⋅

7-

=

:-- *-'/0-

⋅

7-

'-,- %-//0-

⋅

7-

/-/- 7-0-

=

=

/,00

'0

/0

$8%%92%9$%=2%8%

$(% 9

diretoria de uma firma  constitu;da por  diretores &rasileiros e * 4aponeses. Buantas comiss=es de : &rasileiros e : 4aponeses podem ser formados+ Informaç"o: •

•

comissões de  rasileiros e  &aponeses.

 diretores rasileiros; Sol!ç"o:

•

4 diretores &aponeses;

-

⋅

*-

:-2 − :1- :- 2 * − :1-

=

-

⋅

*-

:-*- :-/-


=

/*0

$)% Em

um grupo de /% pessoas e3istem % mdicos(  engen$eiros e : ad)ogados. Buantas comiss=es de % pessoas podemos formar( cada #ual constitu;da de ' mdicos( ' engen$eiros e / ad)ogado+ Informaç"o: comissões de 2 m@dicos en'enheiros e $ ad
• •

5 m@dicos;

•

 en'enheiros;

•

 ad
Sol!ç"o:

%-

⋅

-

⋅

:-

'- 2% − '1- '- 2 − '1- '- 2: − '1•

2

=

%-

⋅

% pontos entre os #uais não e3istem : colineares. Buantas retas ele

determinam+ Informação: •

5 pontos;

•

" #olineares.

!olução:

%:- 2% − :1-

%-

=

:-'-

=

/0

$+% 6um

plano e3istem '0 pontos dos #uais : nunca são colineares( e3ceto 7 #ue estão so&re uma mesma reta. Encontre o n5mero de retas #ue esses pontos determinam. Informaç"o: •

2% pontos dos 0!ais  n!nca s"o colineares;

•

+ceto  0!e est"o sore !ma mesma reta;

•

2 pontos determinam !ma reta.

Sol!ç"o:

'0-

⋅

7-

'- 2 '0 − ' 1- '- 27 − '1-

+

::- 2: − :1-

=

'0-

⋅

7-

'-/,- '-*-

+

::-0-

=

',%/

$,% 6uma circunferDncia são tomados , pontos distintos. a% igando-se ' desses pontos( #uantas cordas podem ser traçadas+ Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

⋅

:-

'-:- '-%- '-/-

comissões de 5 pessoas podemos formar;

$*% E3istem

-

=

7:0

Sol!ç"o:

,'- 2, − ' 1-

=

,'-7-

=

',

b% igando-se : desses pontos( #uantos tri
,:- 2, − :1-

=

,-

=

:-%-

c% igando-se 7

%7

desses pontos( #uantos $e3ágonos podem ser formados+

Sol!ç"o:

,7- 2, − 7 1-

=

,7-'-

=

',

Buantos n5meros de 7 algarismos podemos formar permutando os algarismos '('(:(:(:(%+ $-%

Informação: •

$umero dois apare#e duas %e&es;

•

$umero tr's apare#e tr's %e&es;

$umero #in#o apare#e uma %e&.

•

!olução:

7'-:-/-

=

70.

&% Buantos anagramas e3istem da pala)ra 9M9RII+ Informação: •

(etra ) apare#e duas %e&es;

!olução:

,'-'-

•

=

/00,0

(etra I apare#e duas %e&es.

&$% e uma pessoa gasta e3atamente um minuto para escre)er cada anagrama da pala)ra

E?9?I?IC9( #uanto tempo le)ará para escre)er todos( se não de)e passar nen$um estante par descansar+ Informaç"o: •

6etra  aparece trAs
•

6etra S aparece d!as
•

6etra , aparece d!as
•

6etra I aparece d!as
Sol!ç"o:

//:-'-'-'-

=

,:/700 min .

?m dia tem 24h => 24%=$44% min!tos. 8$%% ÷ /**0

=

55 dias

&&% !ma moeda  lançada '0 )ezes. Buantas se#Dncias de GcarasH e GcoroasH e3istem(

com /0 caras e /0 coroas+ Informaç"o: •

6ançada 2%
•

$% caras e $% coroas.

Sol!ç"o:

'0-

= /,*%7 /0-/0&'% Buantos n5meros

de  algarismos e3istem nos #uais comparecem uma s )ez os algarismos :(*(% e #uatro )ezes o algarismo 8+ Informaç"o:

!atro
•

•

!antos n)meros de  al'arismos;

•

omparecem !ma al'arismos 45;

sC

os

Sol!ç"o:

/-/-/-*-

=

'/0

&(% !ma

urna contm : &olas )ermel$as e ' amarelas. Elas são e3tra;das uma a uma sem reposição. Buantas se#Dncias de cores podem o&ser)ar+ Informaç"o: 92=5 /= Bolas mist!radas na !rna. •

 olas
•

2 olas amarelas;

•

+las s"o etraDdas !ma a !ma sem reposiç"o.

%:-'-

=

/0

&)% !ma

cidade  formada por /' #uarteir=es dispostos segundo a figura a&ai3o. !ma pessoa sai do @ e dirigi-se para o ponto B pelo camin$o mais curto( isto  mo)endo-se da es#uerda para direita( ou de &ai3o para cima. 6esta condição #uantos camin$os diferentes ele poderá fazer( se e3istem ' ruas G$orizontaisH e : G)erticaisH+


Informaç"o: +istem 2 r!as EhoriontaisF e  E
•

29=5 /= G!as mist!radas. Sol!ç"o:

%'-:-

=

/0

&*% !m $omem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele s pode

dar um passo de cada )ez( para o norte 261 ou para o leste 21. @artindo da origem e passando pelo ponto 92:(/1 #uantas tra4etrias e3istem at o ponto A2%(*1+ Sol!ç"o:

,B=H2= 29=5 /= G!as mist!radas.

,H$ e BH54

%'-:-

,B=H5-4-$ = H2

=

/0

'1 "e Buantas formas /' estudantes podem ser di)ididos e colocados em : salas( sendo * na primeira( % na segunda e : na terceira+ Informaç"o: •

$2 est!dantes;

•

 salas sendo 4 na primeira 5 na se'!nda e  na terceira.

Sol!ç"o:

/'-

⋅

,-

⋅

:-

*- 2/' − *1- %- 2, − %1- :- 2: − :1-

=

/'-

⋅

,-

⋅

:-

*-,- %-:- :-0-

=

''0

&,% !m grupo de /0 )ia4antes para dormir num $otel.  $a)ia ' #uartos com % lugares

cada um. "e #uantas formas eles puderam se distri&uir para dormir na#uela noite+ Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

Informação: !* ha%ia + ,uartos #om 5 lu-ares #ada um.

•

!olução:

/0-

⋅

%-

=

%- 2/0 − %1- %-2% − %1-

/0-

⋅

%-

%-%- %-0-

=

'%'

&-% "e

#uantos modos , pessoas podem ocupar duas salas distintas( de)endo cada sala conter pelo menos : pessoas+ Sol!ç"o:

,-

⋅

%-

:- 2, − :1- %- 2% − %1,-

⋅

=

*-

*- 2, − *1- *- 2 * − *1,-

⋅

:-

%- 2, − %1- :- 2: − :1-

=

=

,-

%-

⋅

:-%- %-0,-

⋅

*-

*-*- *-0,-

⋅

:-

%-:- :-0-

%7

=

=

=

0

%7

59%95=$82

:01 !ma pessoa #uer )ia4ar de uma cidade 9 a uma cidade C( passando pela cidade A. 9s cidades 9 e A estão ligadas por : estradas>d/(d'(d: as cidade A e C estão ligadas por % cidades> e/(e'(e:(e*(e%. "e #uantos modos diferentes pode-se fazer o percurso 9AC+ Informaç"o: •

•

,s cidades , e B est"o li'adas por  estradas:d$d2d; B e  est"o li'adas por 5 cidades: e$e2ee4e5;

•

modos diferentes pode-se faer o perc!rso ,B.

Sol!ç"o:

:-

⋅

%-

/-2 : − /1- /- 2% − /1-

=

:-

⋅

%-

=

/-'- /-*-

:.% = /%

'$% Com

trDs tipos de macarrão e ' tipos de mol$os( #uantos pratos diferentes de macarronada podem ser preparados com / tipo de macarrão e / tipo de mol$o+ Informaç"o: Sol!ç"o: •

•

rAs tipos de macarr"o e 2 tipos de molhos; ratos diferentes de macarronada podem ser preparados com $ tipo de macarr"o e $ tipo de molho.

:-

⋅

'-

/-2 : − /1- /- 2 ' − /1-

=

:-

⋅

'-

/-'- /-/-

=


:.' = 7

'&% 6o

Arasil( as placas de autom)eis tDm : letras seguidas de * algarismos. Buantas são as possi&ilidades de placas diferentes. Informaç"o: tAm  letras se'!idas de 4 al'arismos.

•

Sol!ç"o: 2 6etra

.

2 6etra

.

2 6etra

.

$% nJ

''% Buantos n5meros pares de '

.

$% nJ

.

$% nJ

.

$% nJ

=2 : .$% *

algarismos podem ser formados no sistema decimal+

Informaç"o: •

Sistema decimal;

•

%$2458* => $% n!meros.

Sol!ç"o:

* nJ

.

5 pares

=45

'(% "e #uantos modos :

pessoas podem se sentar em % cadeiras+

Informaç"o: •

Kodos  pessoas podem se sentar;

•

5 cadeiras.

Sol!ç"o: 5 . 4 adeira$ cadeira2

.

 cadeira

= %

35) implifi#ue>

a%

2 n + '1-

=

n

Sol!ç"o:


2 n + ' − 01.2 n + ' − /1.2 n + ' − '1-

2 n + ' 1.2 n + /1.n-

=

-

n

-

=

2 n + '1.2 n + /1 =

n

'

+

' n − /n + ' =

n

n

b%

2 n − '1-

=

Sol!ç"o:

2 n − 01.2 n − /1.2 n − ' 12 n − '1-

.2 n − /1 =

= n

n

'*% Calcule o )alor de n na e#uação

'

− n

2 n − /1-

=

/0 .

n

Sol!ç"o:

2 n − /12 n − 0 1.2n − /1/

=

=

/0

/0

n

n =

/ /0

'+% Considere a pala)ra "IEM9 e a% K n5mero

determine>

total de anagramas.

Informaç"o: •

Seis letras.

Sol!ç"o: L=2%.

&1 K n5mero de anagramas #ue começam com a letra  e terminam com a letra M. Sol!ç"o: 6 . $M letra

4

.



.

2

.

$

.

K = 24 !ltima letra

N! podemos: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

n

'

+

/n + '

$ . $M letra

4

.



.

2

.

$

.

$ = 24 !ltima letra

',%Em

uma estante temos , li)ros( dos #uais : são de matemática. "e #uantas formas podemos organizá-los( de modo #ue fi#uem sempre 4untos+ Informaç"o: •

+stante temos 8 li
•

 s"o de matem7tica.

 K$

.

 K2

.

 K

.

5 6$

.

4

.

62

 6

.

2 64

.

$

=2%

65

N! podemos: 8- = 5 /= separamos os li
'-% "a pala)ra ILRK( #uantos são

os anagramas #ue começam com consoantes+

Informaç"o: •

5 letras;

•

omeçam com consoantes temos  letras.

Sol!ç"o: 6

.

4

.



.

2

.

$

=24

O

.

4

.



.

2

.

$

=24

G

.

4

.



.

2

.

$

=24

24P=2 N! podemos: $ con&!nto de  consoantes temos ent"o: 5-$=4. L4L=2

(% Buantos anagramas da pala)ra LI"RK possuem as )ogais 4untas e

no começo+

Informaç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

•

5 letras;

•

omeçam com consoantes temos  letras.

Sol!ç"o: IN

.

IN

.



.

2

.

$

=$2

($% Calcule

o numero de anagramas da pala)ra @I( lem&rando #ue um anagrama  uma pala)ra formada com as mesmas letras da pala)ra dada( podendo ter ou não sentido na linguagem usual. Informaç"o: •

emos 5 letras.

Sol!ç"o: 5L=542$=$2%

(&% 6um

carro com % lugares )ia4arão * passageiros e o motorista. "e #uantos modos distintos os * passageiros podem ocupar os assentos do )eiculo+ Informaç"o: •

4 passa'eiros podem oc!par os assentos do
Sol!ç"o:

4L = 42$=24

('% endo

NO0(/('(:(*(7(,(8P( a #uantidade de n5meros pares de trDs algarismos( sem repetição( #ue se pode formar com os elementos de  > Informaç"o: •

•

•

Sendo S=Q%$248*R temos $% n)meros. , 0!antidade de n)meros pares de trAs al'arismos. N ero n"o pode oc!par a primeira casa.

Sol!ç"o: 

.



.

% fio

=42



.



.

2 fio

=




.



.



.



.

4 fio 

=

=



.



.

fio 8 fixo

=

*'Q:7Q:7Q:7Q:7N/,7 ((% "a

olimp;ada de matemática( na escola de Fernando( participaram /0 alunos. K n5mero #ue corresponde s diferentes maneiras de se arrumarem os trDs primeiros colocados > Informaç"o: •

a escola de ernando participaram $% al!nos;

•

Ns trAs primeiros colocados.

Sol!ç"o:

%$.

*

.

8

=2%

()% 9 escola S( por uma #uestão administrati)a( identifica cada professor por uma letra(

um algarismo e um s;m&olo grego. 9s letras são 9(A(C( os algarismos /('(:(*(% e os s;m&olos gregos são T(U(V. !tilizando essas identificaç=es( o numero má3imo de professores dessa escola > Informaç"o: •

,s letras s"o ,B. rAs elementos;

•

Ns al'arismos $245. inco elementos;

•

Ns sDmolos 're'os s"o TUV. rAs elementos.

Sol!ç"o:  ,B

. 5 .  $245 TUV

=45

*71 9 #uantidade de n5meros naturais de trDs algarismos #ue podem ser formados com os algarismos /(:(%((8 > Informaç"o: •

rAs al'arismos;

•

ormados com os al'arismos $5*.

Sol!ç"o: 5

.

5

.

5

=$25


Buantos n5meros naturais ;mpares( de trDs algarismos distintos( podem ser formados com os algarismos do con4unto O'(:(*(%P+ (+%

Informaç"o: Sol!ç"o: •

)meros nat!rais Dmpares; 

•

.

2

.

2

=$2

: ou %

rAs al'arismos distintos formados com os al'arismos do con&!nto Q245R.

(,% Buantos

n5meros pares de trDs algarismos distintos e maiores #ue *00( podem ser formados com os algarismos do con4unto O'(:(*(7((,(8P+ Informaç"o: Sol!ç"o: •

•

)meros pares de trAs al'arismos distintos e maiores 0!e 4%%; ormados com os al'arismos do con&!nto Q248*R=>  elementos.

4 fio

.

5

.



 fio

.

5

.



=$5

 fio

.

5

.

4

=2%

8 fio

.

5

.



=$5

* fio

.

5

.

4

=$5

=2%

$59$592%9$592%=85

*81 @ara organizar os ar#ui)os com todos os funcionários de uma escola( a direção utilizou fic$as identificadas( cada uma( por ' )ogais distintas( seguidas de : algarismos distintos. K n5mero má3imo de fic$as confeccionadas foi igual a> Informaç"o: •

' )ogais distintas

•

"e : algarismos distintos.

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5 . 4 Oo'ais
.

$% ,l'.

.

* ,l'.

.

8 ,l'.

=$44%%

)% Com

os algarismos '(:(%(7( e ,( )ocD poderá formar 3 n5meros de * algarismos distintos. K )alor de 3 > Informação: •

ormar x n/meros de  al-arismos distintos.

•

om os al-arismos +"562 e 8 34 total de seis al-arismos.

!olução: 6 )l-.1

.

5 )l-.+

.

 )l-."

.

" )l-.

4"60

)$% @ara

fa&ricar placas de autom)eis( constitu;das de duas letras iniciais seguidas de #uatro algarismos( um determinado munic;pio está autorizado a utilizar somente as letras 9(A(C(" e E e os algarismos 0(/ e '. 6essas condiç=es( o numero má3imo de autom)eis #ue o munic;pio poderá emplacar > Informação: •

tili&ar somente as letras )7 e E 34 #in#o letras.

•

E os al-arismos 01 e + 34 tr's al-arismos.

!olução: 5 . 5 (etras (etras

.

" al-.

.

" )l-.

.

" )l-.

4+0+5

)&% !ma

sala de)e ser iluminada com % l
% l
•

Interruptores independentes para acendD-las

•

/ poderá apagada.

!olução: + n9off

.

+ n9off

.

+ n9off

.

+ n9off

.

+ 4 "+ n9off

"+1 4"1.

)'% Calcular o numero

de anagramas da pala)ra 9R9R9.

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•

inco letras;

•

rAs letras , d!as G.

Sol!ç"o:

%'-:-

=

/0

)(% !ma

escola possui /% professores. Entre eles( serão escol$idos> !m diretor( um )ice-diretor e um coordenador pedaggico. Buantas são as possi&ilidades de escol$a+ Informaç"o: •

•

, escola poss!i $5 professores; ser"o escolhidos: ?m diretor !m
Sol!ç"o:

/%2/% − :1-

/%-

=

/'-

=

':0

!ma escola tem 8 professores de Matemática. Buatro deles de)erão representar a escola em um congresso. Buantos grupos de * são poss;)eis+ ))%

Informação: •

) tem  professores de
•

7eles de%erão representar a es#ola em um #on-resso.

•

>rupos de  poss?%eis.

!olução:

8*- 2 8 − * 1-

=

8*-%-

=

/'7

)*% Calcule o n5mero de

anagramas da pala)ra CK6?I?!I.

Informaç"o: •

, pala
•

, letra  aparece 2
•

, letra  aparece 2
Sol!ç"o:

8'-'-

=

80'0

)+% Calcule o numero de

anagramas da pala)ra !R!W!9I.

Informaç"o: •

, letra ? aparece 
, pala
!R!W!9I

poss!i 

:-

=

,*0

),% "ispomos de oito cores( e #ueremos pintar uma &andeira de cinco listras(

cada listra

com uma cor. "e #uantas formas isso pode ser feito+ Informação: •

7ispomos de oito #ores;

•

@intar uma bandeira de #in#o listras;

•

ada listra #om uma #or.

!olução:

,2, − %1-

,-

=

:-

=

7'0

)-% !ma

sala possui seis portas. "e #uantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente+ Informaç"o: •

•

, sala poss!i seis portas. essoa pode entrar por !ma porta e sair por o!tra diferente.

Sol!ç"o:

72 7 − '1-

=

7*-

=

:0

*% Cinco ca)alos disputam um páreo. Bual  o numero de poss;)eis resultados para trDs

primeiras( colocaç=es+ Informaç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

•

inco ca
•

N n!mero de possD
Sol!ç"o:

%2% − :1-

%-

=

'-

=

70

*$% @ara

a seleção Arasileira de fute&ol( foram con)ocados % laterais. "e #uantas maneiras a seleção pode escalar esses 4ogadores para atuar na es#uerda( ou na direita+ Informaç"o: Sol!ç"o: •

oram #on%o#ados 5 laterais.

%•

@ara atuar na es,uerda ou na direita.

2% − '1-

=

%:-

=

'0

!ma empresa possui /7 funcionários administrati)os( entre os #uais serão escol$idos : #ue disputarão para os cargos de diretor( )ice-diretor e tesoureiro. "e #uantas maneiras pode ser feita a escol$a+ *&%

Informaç"o: •

•

, empresa poss!i $ f!ncion7rios administrati
Sol!ç"o:

/72/7 − :1-

/7-

=

/:-

=

::70

*'% e&astião dese4a pintar a pala)ra ILRE( em

um cartaz de pu&licidade( usando uma cor em cada letra. "e #uantos modos isso pode ser feito( se ele disp=e de seis cores de tinta+ Informação: •

•

) pala%ra (IABE possui 5 letras; Ele dispõe de seis #ores de tinta.

!olução:

72 7 − %1-

=

7/-

=

'0


*(% "e

#uantos modos pode-se arrumar * li)ros de Matemática( : geografia e ' &iologia( numa estante( de modo #ue os li)ros de mesmo assunto fi#uem 4untos+ Informaç"o: •

ode-se arr!mar 4 li
•

ode-se arr!mar  'eo'rafia;

•

ode-se 2 iolo'ia.

•

S"o  tipos de li
Sol!ç"o: 4LL2L=242=$28

*)% !ma

pro)a consta de #uinze #uest=es( das #uais o aluno de)e resol)er dez. "e #uantas formas ele poderá escol$er as dez #uest=es+ Informaç"o: •

onsta de 0!ine 0!estõesdas 0!ais o al!no de
•

3e 0!antas formas ele poder7 escolher as de 0!estões.

Sol!ç"o:

/%%- 2/% − %1-

=

/%%-/0-

=

:00:

**% o&re

uma circunferDncia são marcados no)e pontos distintos. Buantos tri
?ma circ!nferAncia @ marcado no
•

ri1n'!los podem ser constr!Ddos com <@rtices nos no
Sol!ç"o:

87- 28 − 7 1-

=

87-:-

=

,*


*+% Buantas

comiss=es de trDs pessoas podem ser formadas com um grupo de sete

pessoas+ Informação: •

omissões de tr's pessoas;

•

m -rupo de sete pessoas.

!olução:

:- 2 − :1-

-

=

:-*-

=

:%

*,% 9o

sair de uma festa( dez amigos se despediram com um aperto de mão. Buantos apertos de mão foram trocados+ Informação: 3e ami'os se despediram com !m aperto de m"o.

•

•

,pertos de m"o foram trocados saemos 0!e !ma pessoa pode dar dois apertos ao mesmo tempo.

!olução:

/0'- 2/0 − '1-

=

/0'-,-

=

*%

*-% !m

fa&ricante de doces disp=e de em&alagens com capacidades para seis doces cada uma. a&endo-se #ue ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes( #uantos tipos de em&alagem( com seis doces diferentes( e ele poderá organizar+ Informação: •

Com capacidades para seis doces cada uma.

•

Ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes.

•

?ipos de em&alagem( com seis doces diferentes.

!olução:

/%7-2/% − 71-

=

/%7-8-

=

%00%


+% Em

um congresso de Educação( $á seis professores de F;sica e seis de Matemática. Buantas comiss=es de % professores podem ser formadas( $a)endo em cada uma dois professores de Matemática e trDs de F;sica+ Informaç"o: W7 seis professores de Dsica e seis de Katem7tica; omissões de 5 professores podem ser formadas; Wa
7-

7-

⋅

:- 27 − :1- '- 27 − '1-

=

7-

⋅

7-

:-:- '-*-

=

'0 ⋅ /% = :00

+$% Buantos

grupos diferentes de * l
4 l1mpadas podem ficar acesos;

•

N 'alp"o tem $% l1mpadas.

Sol!ç"o:

/0*- 2/0 − *1-

=

/0*-7-

'/0

=

+&% Xá

/' inscritos em um campeonato de &o3e. Calcule o n5mero total de lutas #ue podem ser realizadas entre os inscritos. Informaç"o: W7 $2 inscritos em !m campeonato de oe.

• •

,S l!tas s"o dadas de dois a dois.

Sol!ç"o:

/''- 2/' − '1-

=

/''-/0-

=

77

:1 eis pessoas decidem formar ' comiss=es com : pessoas cada. "e #uantas formas diferentes isso pode ser feito+ Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

Informação: •

!olução:

7-

!eis pessoas;

:-27 − :1•

ormar + #omissões pessoas #ada.

#om

=

7:-:-

=

'0

"

+(% o&re uma reta marcam-se : pontos e so&re outra

reta( paralela a primeira( marcamse % pontos. Calcule o n5mero de tri
Marcam-se : pontos e so&re outra reta( paralela a primeira.

!olução:

:•

Calcule o n5mero de tri
%-

⋅

/-2 : − /1- '-2% − '1:-

⋅

%-

'- 2: − ' 1- /-2% − /1-

=

=

:-

⋅

%-

/-'- '-::-

⋅

%-

'-/- /-*-

=

:./0 = :0

=

:.% = /%

:0Q/%N*% +)% 9nagrama de uma pala)ra  toda e #ual#uer ordenação de suas letras. 9ssim A9CK( CKA9( ACK9(...( são anagramas da pala)ra C9AK. K numero de anagramas da pala)ra 9@!C9I9 > Informaç"o: •

, pala
Sol!ç"o: 4L=42$=24

71 9M9( 9M9( M99( 9M9(..( são anagramas da pala)ra M99. K n5mero de anagramas da pala)ra M9C9C! > Informaç"o: • •

) letra  apare#e duas %e&es.

) pala%ra <)) possui 6 letras; Sol!ç"o:

•

) letra ) apare#e duas %e&es.

7'-'-

=

/,0

++% 6uma maratona escolar( , alunos disputam os : primeiros lugares. 6ão acontecendo

empates( o numero de resultados poss;)eis para as : primeiras colocaç=es > Informação: •

$uma maratona es#olar 8 alunos disputam os " primeiros lu-ares. Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

•

 numero de resultados poss?%eis para as " primeiras #olo#ações.

!olução:

,2, − :1-

,-

=

%-

=

::7

+,% 6o campeonato de )Ylei de praia $a)ia /: duplas. Cada dupla 4ogou com as demais

duas partidas( uma em cada fim de semana. 6o final( duas duplas ficaram empatadas tendo sido realizadas então a partida de desempate. K n5mero de partidas disputadas nesse campeonato foi> Sol!ç"o:

/:'- 2/: − '1-

=

/:'-//-

=

,

82partidas9$ desempates = $5

+-% !ma &anca e3aminadora de um concurso será formada

por % professores( escol$idos entre , de matemática e * l;ngua @ortuguesa. K numero de composiç=es #ue  poss;)el formar com esta &anca e3aminadora de modo #ue ela ten$a( no m;nimo( ' professores de l;ngua @ortuguesa > Informaç"o: •

Ser7 formada por 5 professores.

•

+scolhidos entre 8 de matem7tica e 4 lDn'!a ort!'!esa.

•

+la tenha no mDnimo 2 professores de lDn'!a ort!'!esa.

Sol!ç"o:

,-

*-

⋅

:- 2, − :1- '- 2 * − '1,-

*-

⋅

'- 2, − '1- :-2 * − :1,-

⋅

*-

/- 2, − /1- *-0-

=

=

=

,-

⋅

*-

:-%- '-',-

⋅

*-

'-7- :-/-

=

=

::7

//'

,

9$$298=45

,% "isp=e-se de /% 4ogadores de )olei&ol sendo( um

deles( 9ndr. K numero de duplas diferentes #ue podem ser formadas( nas #uais não apareça o 4ogador 9ndr( > Informaç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

•

,ndr@ n"o ir7 aparecer ent"o temos $4 &o'adores. 3!as pessoas por d!plas.

•

Sol!ç"o:

/*'- 2/* − ' 1-

=

/*'-/'-

=

8/

,$% 6um campeonato de ping-pong( estão inscritos /7 alunos.

6umero total de partidas

#ue podem ser realizadas entre esses inscritos > Sol!ç"o:

/7'- 2/7 − '1-

=

/7'-/*-

=

/'0

,&% Imagine #ue todos os ',% candidatos classificados neste concurso( reunidos em um

salão( resol)am cumprimentar-se uma 5nica )ez. K numero de cumprimentos #ue serão trocados será dado pelo resultado de> Sol!ç"o:

',%'- 2 ',' − '1-

=

',%'-',:-

=

*0*0

,:1 "e um grupo de 7 $omens e * mul$eres( dese4a-se escol$er % pessoas( incluindo( pelo menos( ' mul$eres. K numero de escol$as distintas #ue se pode fazer > Informaç"o: •

?m 'r!po de  homens e 4 m!lheres;

•

3ese&a-se escolher 5 pessoas;

•

er pelo menos 2 m!lheres.

7-

*-

⋅

:-27 − :1- '-2 * − ' 17-

*-

⋅

'- 27 − '1- :-2 * − :17-

⋅

*-

/-2 7 − /1- *-2 * − *1-

Sol!ç"o:

=

=

=

7-

⋅

*-

=

/'0

=

70

:-:- '-'7-

⋅

*-

'-*- :-/7-

⋅

*-

/-%- *-0-

=

7

$2%9%9=$8.

,*1 e4a n o numero total de anagramas da pala)ra AK?9FKWK( #ue contm as * consoantes em ordem alfa&tica. Lalor de n  igual a> Informaç"o: •

•

, pala
•

ont@m as 4 consoantes B# em ordem alfa@tica.

Sol!ç"o:


,:-

=

7.'0

,s 0!atro consoantes B#: 42$=24 6o'o temos:

7'0 '*

=

',0

Cist*ria

apostila de 84 Exercicios Resolvidos de analise combinatória.pdf

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