Professor Tiago Machado Educação Matemática Formado pelas Faculdades Integradas Campo-grandense – FIC RJ. Especializado em Ensino da Matemática fundamental e Mdio– FIC RJ. Especializado em Ensino da Matemática – !ERJ. Blog =>professortiagomachado.blogspot.com =>professortiagomachado.blogspot.com Currículo =>http://lattes.cnpq.br/0317131329053631 =>http://lattes.cnpq.br/0317131329053631
Exercícios de Análise combinatória !esol"idos# $% "e
#uantos modos podemos escol$er % cartas de um &aral$o de %' cartas( sem le)ar em conta a ordem das mesmas( de modo #ue sempre apareçam os * ases+ Informações: •
•
52-4 52-4=4 =48 8 => tira tiramo mos s os ases ases do aralho.
Baralho de 52 cartas; Sol!ç"o:
•
4 ases;
•
Sempre apareçam 4 ases.
#oleiro:
*-
linha: ⋅
*,-
*- 2 * − *1- /- 2*, − /1-
*-
=
⋅
*,-
*-0- /-*-
=
*,
&% E3istem /0 4ogadores de fute&ol de salão( entre eles João #ue por sinal o 5nico #ue
4oga como goleiro. goleiro. 6esta condição condição #uantos times de de % pessoas podem ser escalados+ escalados+ Informações: •
•
$%-$ %-$=* => tira tiram mos o (o" (o"o da seleç"o da linha.
$% &o'adores de f!teol de sal"o; Sol!ç"o:
•
(o"o como o )nico 'oleiro do time;
•
5 pess pessoa oas s ser" ser"o o esca escala lad das: as: $ 'oleiro e 4 na linha.
#oleiro:
/-
⋅
linha:
8-
/-2/ − /1- *-28 − *1-
=
/-
⋅
8-
/-0- *-%-
=
/'7
'% !m
time de fute&ol de salão de)e ser escalado a partir de um con4unto de /0 4ogadores 2entre eles 9ri e 9rnaldo1. "e #uantas formas isto pode ser feito se 9ri e 9rnaldo de)em necessariamente ser escalados+ Informações:
•
$%-2=8 /= tiramos ,ri e ,rnaldo;
•
$% &o'adores;
•
+ntre eles eles ,ri e ,rnaldo ,rnaldo o! se&a se&a dois &o'adores;
Sol!ç"o:
!teol de sal"o tem 5 &o'adores;
,ri e ,rnaldo ,rnaldo (o'adores.
•
•
,ri e ,rnaldo tem ori'atoriamente &o'ar.
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0!e
'-
,-
⋅
'- 2 ' − '1- :- 2, − :1-
=
'-
⋅
,-
'-0- :-%-
=
%7
(% !m
#u;mico possui /0 2dez1 tipos de su&st
•
$% tipos de s!st1ncias;
Sol!ç"o:
,ssociar dessas s!st1ncias entre elas !ma de cada das d!as 0!e n"o podem se mist!rar.
om as s!st1ncias:
87- 28 − 71-
3!as 0!e n"o podem se mist!rar mist!rar pois eplodem eplodem se forem. forem.
•
=
87-:-
=
/7, /= entre elas !ma
das s!st1ncias. ,'ora sem as as s!st1ncias:
$%-$=* /= retiramos !ma delas.
•
$%-2=8 6o'o temos:
,7- 2, − 71-
=
,7-'-
=
',
/=
sem
as
s!stancias. omo elas n"o podem se mist!rar. $8-28 = $4%
)% !m
grupo consta de '0 pessoas( das #uais % matemáticos. "e #uantas formas podemos formar formar comiss=es de /0 pessoas de modo #ue> Informações: •
2% pessoas;
•
5 matem7ticos.
•
omissões de $% pessoas.
a% 6en$um mem&ro se4a matemático+ Sol!ç"o: •
+trair os matem7ticos matem7ticos o! se&a 2%-5=5.
/%/0-2/% − /01-
=
/%/0-%-
=
:00:
b% ?odos os matemáticos participem das comiss=es+ Sol!ç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
Incl!ir todos os matem7ticos.
•
%-
⋅
/%-
=
%- 2% − %1- %- 2/% − %1-
%-
/%-
⋅
%-0- %-/0-
=
:00:
c% $a4a e3atamente um matemático na
comissão+
Solução: •
Incl!ir $ matem7tico de 5 dos 0!e eistem.
%-
/%-
⋅
/- 2% − /1- 8- 2/% − 81d% @elo menos um
=
%-
/%-
⋅
/-*- 8-7-
'%0'%
=
mem&ro da comissão se4a matemático+
Sol!ç"o: •
%-
elo menos $ se&a matem7tica.
%-
/%-
⋅
/- 2% − /1- 8- 2/% − 81%-
⋅
=
/%-
'- 2% − '1- ,- 2/% − ,1-
=
%-
/%-
⋅
/-*- 8-7%-
⋅
/%-
'-:- ,--
/%-
:-2% − :1- - 2/% − 1-
%-
'%0'%
=
⋅
⋅
/%-
*- 2% − *1- 7-2/% − 71=
%-
7*:%0
⋅
/%-
%-2% − %1- %- 2/% − %1-
=
=
=
%-
⋅
/%-
:-'- -,-
%-
⋅
/%-
*-/- 7-8%-
⋅
=
7*:%0
=
'%0'%
/%-
%-0- %-/0-
=
:00:
25%25945%945%925%259%%=$825
*% "e
um grupo de /0 pessoas dese4a-se formar uma comissão de % mem&ros. "e #uantas formas isto pode ser feito se duas pessoas 29 e A1 ou fazem parte da comissão ou não+ Sol!ç"o: Informaç"o: •
$% pessoas;
•
5 memros;
•
, e B de
om:
sem:
,%- 2, − %1-
+
,:- 2, − :1-
=
,%-:-
+
,:-%-
=
//'
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+% !m
$omem possui , pares de meias 2todas distintas1. "e #uantas formas ele pode selecionar ' meias sem #ue elas se4am o mesmo par+ Informaç"o: Sol!ç"o: •
8 pares de meias;
,•
2 meias.
'- 2, − '1-
=
,'-7-
=
',
8 ÷ 2= 4 meias. 284=$$2 meias.
,% ?emos % $omens e
7 mul$eres. "e #uantas formas>
Informações: •
5 homens;
•
6mulheres.
a% @odemos formar uma comissão de
: pessoas+
Sol!ç"o: 59=$$
//:- 2// − :1-
=
//:-,-
=
/7%
b% @odemos formar uma comissão de : pessoas de modo #ue $a4a ' $omens e / mul$er
na mesma+ Sol!ç"o: •
%-
2 homens e $ m!lher.
⋅
7-
'- 2% − '1- /- 2 7 − /1-
=
%-
⋅
7-
'-:- /-%-
=
70
!m lote contm %0 peças &oas e /0 defeituosas. E3traindo-se , peças 2sem reposição1 não le)ando em conta a ordem das mesmas( de #uantas formas podemos o&ter * peças &oas e * defeituosas+ -%
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•
50 peças boas e 10 defeituosas; !olução:
•
•
Extrair 8 peças sem reposição; peças boas e defeituosas.
%0-
⋅
/0-
*- 2%0 − *1- *- 2/0 − * 1-
=
%0-
⋅
/0-
*-*7- *-7-
=
*,:7:00
$% Em
uma urna e3istem /' &olas das #uais são pretas e % &rancas. "e #uantos modos podemos tirar 7 &olas da urna( das #uais ' são &rancas+ Informaç"o: •
•
irar olas da !rna das 0!ais 2 s"o rancas.
$2 olas; Sol!ç"o:
•
olas pretas;
%•
5 olas rancas;
⋅
-
'- 2% − ' 1- *- 2 − * 1-
%-
=
⋅
-
'-:- *-:-
=
:%0
$$% Buantos
su&con4untos de % cartas contendo e3atamente : ases podem ser formados de um &aral$o de %' cartas+ Informaç"o: 52-4=48 /= sem os ases. •
•
5 cartas contendo eatamente ases; !m aralho de 52 cartas;
Sol!ç"o:
*-
⋅
*,-
:-2 * − :1- '- 2 *, − '1•
=
*-
⋅
*,-
:-/ *-*7-
=
*%/'
?m aralho tem sempre 4 ases.
$&% !ma
urna contm : &olas )ermel$as e % &rancas. "e #uantas formas podemos e3trair ' &olas( sem reposição e sem le)ar em conta a ordem na e3tração( de modo #ue> Informações: •
olas
•
5 olas rancas;
•
etrair 2 olas sem reposiç"o e sem le
a% 9s duas se4am )ermel$as+ Sol!ç"o:
:'- 2 : − '1-
=
:'-/-
=
:
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b% 9 duas se4am
&rancas+
olução> %'- 2% − '1-
=
%'-:-
=
/0
c% !ma se4a )ermel$a( outra
&ranca+
olução> :-
⋅
%-
/- 2: − /1- /-2% − /1-
=
:-
⋅
%-
/-'- /-*-
=
/%
$'% !ma
urna contm /0 &olas &rancas e 7 pretas. "e #uantos modos poss;)el tirar &olas das #uais pelo menos * se4am pretas+ Informaç"o: •
$% olas rancas;
•
olas pretas;
Sol!ç"o
/0-
⋅
7-
:-2/0 − :1- *-2 * − ' 1•
tirar olas das 0!ais pelo menos 4 se&am pretas.
/0-
⋅
7-
'- 2/0 − '1- %- 27 − %1/0-
⋅
7-
/-2/0 − 8 1- 7- 2 7 − 71-
=
=
=
/0-
⋅
7-
=
:-- *-'/0-
⋅
7-
'-,- %-//0-
⋅
7-
/-/- 7-0-
=
=
/,00
'0
/0
$8%%92%9$%=2%8%
$(% 9
diretoria de uma firma constitu;da por diretores &rasileiros e * 4aponeses. Buantas comiss=es de : &rasileiros e : 4aponeses podem ser formados+ Informaç"o: •
•
comissões de rasileiros e &aponeses.
diretores rasileiros; Sol!ç"o:
•
4 diretores &aponeses;
-
⋅
*-
:-2 − :1- :- 2 * − :1-
=
-
⋅
*-
:-*- :-/-
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=
/*0
$)% Em
um grupo de /% pessoas e3istem % mdicos( engen$eiros e : ad)ogados. Buantas comiss=es de % pessoas podemos formar( cada #ual constitu;da de ' mdicos( ' engen$eiros e / ad)ogado+ Informaç"o: comissões de 2 m@dicos en'enheiros e $ ad
• •
5 m@dicos;
•
en'enheiros;
•
ad
Sol!ç"o:
%-
⋅
-
⋅
:-
'- 2% − '1- '- 2 − '1- '- 2: − '1•
2
=
%-
⋅
% pontos entre os #uais não e3istem : colineares. Buantas retas ele
determinam+ Informação: •
5 pontos;
•
" #olineares.
!olução:
%:- 2% − :1-
%-
=
:-'-
=
/0
$+% 6um
plano e3istem '0 pontos dos #uais : nunca são colineares( e3ceto 7 #ue estão so&re uma mesma reta. Encontre o n5mero de retas #ue esses pontos determinam. Informaç"o: •
2% pontos dos 0!ais n!nca s"o colineares;
•
+ceto 0!e est"o sore !ma mesma reta;
•
2 pontos determinam !ma reta.
Sol!ç"o:
'0-
⋅
7-
'- 2 '0 − ' 1- '- 27 − '1-
+
::- 2: − :1-
=
'0-
⋅
7-
'-/,- '-*-
+
::-0-
=
',%/
$,% 6uma circunferDncia são tomados , pontos distintos. a% igando-se ' desses pontos( #uantas cordas podem ser traçadas+ Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
⋅
:-
'-:- '-%- '-/-
comissões de 5 pessoas podemos formar;
$*% E3istem
-
=
7:0
Sol!ç"o:
,'- 2, − ' 1-
=
,'-7-
=
',
b% igando-se : desses pontos( #uantos tri
,:- 2, − :1-
=
,-
=
:-%-
c% igando-se 7
%7
desses pontos( #uantos $e3ágonos podem ser formados+
Sol!ç"o:
,7- 2, − 7 1-
=
,7-'-
=
',
Buantos n5meros de 7 algarismos podemos formar permutando os algarismos '('(:(:(:(%+ $-%
Informação: •
$umero dois apare#e duas %e&es;
•
$umero tr's apare#e tr's %e&es;
$umero #in#o apare#e uma %e&.
•
!olução:
7'-:-/-
=
70.
&% Buantos anagramas e3istem da pala)ra 9M9RII+ Informação: •
(etra ) apare#e duas %e&es;
!olução:
,'-'-
•
=
/00,0
(etra I apare#e duas %e&es.
&$% e uma pessoa gasta e3atamente um minuto para escre)er cada anagrama da pala)ra
E?9?I?IC9( #uanto tempo le)ará para escre)er todos( se não de)e passar nen$um estante par descansar+ Informaç"o: •
6etra aparece trAs
•
6etra S aparece d!as
•
6etra , aparece d!as
•
6etra I aparece d!as
Sol!ç"o:
//:-'-'-'-
=
,:/700 min .
?m dia tem 24h => 24%=$44% min!tos. 8$%% ÷ /**0
=
55 dias
&&% !ma moeda lançada '0 )ezes. Buantas se#Dncias de GcarasH e GcoroasH e3istem(
com /0 caras e /0 coroas+ Informaç"o: •
6ançada 2%
•
$% caras e $% coroas.
Sol!ç"o:
'0-
= /,*%7 /0-/0&'% Buantos n5meros
de algarismos e3istem nos #uais comparecem uma s )ez os algarismos :(*(% e #uatro )ezes o algarismo 8+ Informaç"o:
!atro
•
•
!antos n)meros de al'arismos;
•
omparecem !ma al'arismos 45;
sC
os
Sol!ç"o:
/-/-/-*-
=
'/0
&(% !ma
urna contm : &olas )ermel$as e ' amarelas. Elas são e3tra;das uma a uma sem reposição. Buantas se#Dncias de cores podem o&ser)ar+ Informaç"o: 92=5 /= Bolas mist!radas na !rna. •
olas
•
2 olas amarelas;
•
+las s"o etraDdas !ma a !ma sem reposiç"o.
%:-'-
=
/0
&)% !ma
cidade formada por /' #uarteir=es dispostos segundo a figura a&ai3o. !ma pessoa sai do @ e dirigi-se para o ponto B pelo camin$o mais curto( isto mo)endo-se da es#uerda para direita( ou de &ai3o para cima. 6esta condição #uantos camin$os diferentes ele poderá fazer( se e3istem ' ruas G$orizontaisH e : G)erticaisH+
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Informaç"o: +istem 2 r!as EhoriontaisF e E
•
29=5 /= G!as mist!radas. Sol!ç"o:
%'-:-
=
/0
&*% !m $omem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele s pode
dar um passo de cada )ez( para o norte 261 ou para o leste 21. @artindo da origem e passando pelo ponto 92:(/1 #uantas tra4etrias e3istem at o ponto A2%(*1+ Sol!ç"o:
,B=H2= 29=5 /= G!as mist!radas.
,H$ e BH54
%'-:-
,B=H5-4-$ = H2
=
/0
'1 "e Buantas formas /' estudantes podem ser di)ididos e colocados em : salas( sendo * na primeira( % na segunda e : na terceira+ Informaç"o: •
$2 est!dantes;
•
salas sendo 4 na primeira 5 na se'!nda e na terceira.
Sol!ç"o:
/'-
⋅
,-
⋅
:-
*- 2/' − *1- %- 2, − %1- :- 2: − :1-
=
/'-
⋅
,-
⋅
:-
*-,- %-:- :-0-
=
''0
&,% !m grupo de /0 )ia4antes para dormir num $otel. $a)ia ' #uartos com % lugares
cada um. "e #uantas formas eles puderam se distri&uir para dormir na#uela noite+ Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
Informação: !* ha%ia + ,uartos #om 5 lu-ares #ada um.
•
!olução:
/0-
⋅
%-
=
%- 2/0 − %1- %-2% − %1-
/0-
⋅
%-
%-%- %-0-
=
'%'
&-% "e
#uantos modos , pessoas podem ocupar duas salas distintas( de)endo cada sala conter pelo menos : pessoas+ Sol!ç"o:
,-
⋅
%-
:- 2, − :1- %- 2% − %1,-
⋅
=
*-
*- 2, − *1- *- 2 * − *1,-
⋅
:-
%- 2, − %1- :- 2: − :1-
=
=
,-
%-
⋅
:-%- %-0,-
⋅
*-
*-*- *-0,-
⋅
:-
%-:- :-0-
%7
=
=
=
0
%7
59%95=$82
:01 !ma pessoa #uer )ia4ar de uma cidade 9 a uma cidade C( passando pela cidade A. 9s cidades 9 e A estão ligadas por : estradas>d/(d'(d: as cidade A e C estão ligadas por % cidades> e/(e'(e:(e*(e%. "e #uantos modos diferentes pode-se fazer o percurso 9AC+ Informaç"o: •
•
,s cidades , e B est"o li'adas por estradas:d$d2d; B e est"o li'adas por 5 cidades: e$e2ee4e5;
•
modos diferentes pode-se faer o perc!rso ,B.
Sol!ç"o:
:-
⋅
%-
/-2 : − /1- /- 2% − /1-
=
:-
⋅
%-
=
/-'- /-*-
:.% = /%
'$% Com
trDs tipos de macarrão e ' tipos de mol$os( #uantos pratos diferentes de macarronada podem ser preparados com / tipo de macarrão e / tipo de mol$o+ Informaç"o: Sol!ç"o: •
•
rAs tipos de macarr"o e 2 tipos de molhos; ratos diferentes de macarronada podem ser preparados com $ tipo de macarr"o e $ tipo de molho.
:-
⋅
'-
/-2 : − /1- /- 2 ' − /1-
=
:-
⋅
'-
/-'- /-/-
=
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:.' = 7
'&% 6o
Arasil( as placas de autom)eis tDm : letras seguidas de * algarismos. Buantas são as possi&ilidades de placas diferentes. Informaç"o: tAm letras se'!idas de 4 al'arismos.
•
Sol!ç"o: 2 6etra
.
2 6etra
.
2 6etra
.
$% nJ
''% Buantos n5meros pares de '
.
$% nJ
.
$% nJ
.
$% nJ
=2 : .$% *
algarismos podem ser formados no sistema decimal+
Informaç"o: •
Sistema decimal;
•
%$2458* => $% n!meros.
Sol!ç"o:
* nJ
.
5 pares
=45
'(% "e #uantos modos :
pessoas podem se sentar em % cadeiras+
Informaç"o: •
Kodos pessoas podem se sentar;
•
5 cadeiras.
Sol!ç"o: 5 . 4 adeira$ cadeira2
.
cadeira
= %
35) implifi#ue>
a%
2 n + '1-
=
n
Sol!ç"o:
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2 n + ' − 01.2 n + ' − /1.2 n + ' − '1-
2 n + ' 1.2 n + /1.n-
=
-
n
-
=
2 n + '1.2 n + /1 =
n
'
+
' n − /n + ' =
n
n
b%
2 n − '1-
=
Sol!ç"o:
2 n − 01.2 n − /1.2 n − ' 12 n − '1-
.2 n − /1 =
= n
n
'*% Calcule o )alor de n na e#uação
'
− n
2 n − /1-
=
/0 .
n
Sol!ç"o:
2 n − /12 n − 0 1.2n − /1/
=
=
/0
/0
n
n =
/ /0
'+% Considere a pala)ra "IEM9 e a% K n5mero
determine>
total de anagramas.
Informaç"o: •
Seis letras.
Sol!ç"o: L=2%.
&1 K n5mero de anagramas #ue começam com a letra e terminam com a letra M. Sol!ç"o: 6 . $M letra
4
.
.
2
.
$
.
K = 24 !ltima letra
N! podemos: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
n
'
+
/n + '
$ . $M letra
4
.
.
2
.
$
.
$ = 24 !ltima letra
',%Em
uma estante temos , li)ros( dos #uais : são de matemática. "e #uantas formas podemos organizá-los( de modo #ue fi#uem sempre 4untos+ Informaç"o: •
+stante temos 8 li
•
s"o de matem7tica.
K$
.
K2
.
K
.
5 6$
.
4
.
62
6
.
2 64
.
$
=2%
65
N! podemos: 8- = 5 /= separamos os li
'-% "a pala)ra ILRK( #uantos são
os anagramas #ue começam com consoantes+
Informaç"o: •
5 letras;
•
omeçam com consoantes temos letras.
Sol!ç"o: 6
.
4
.
.
2
.
$
=24
O
.
4
.
.
2
.
$
=24
G
.
4
.
.
2
.
$
=24
24P=2 N! podemos: $ con&!nto de consoantes temos ent"o: 5-$=4. L4L=2
(% Buantos anagramas da pala)ra LI"RK possuem as )ogais 4untas e
no começo+
Informaç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
•
5 letras;
•
omeçam com consoantes temos letras.
Sol!ç"o: IN
.
IN
.
.
2
.
$
=$2
($% Calcule
o numero de anagramas da pala)ra @I( lem&rando #ue um anagrama uma pala)ra formada com as mesmas letras da pala)ra dada( podendo ter ou não sentido na linguagem usual. Informaç"o: •
emos 5 letras.
Sol!ç"o: 5L=542$=$2%
(&% 6um
carro com % lugares )ia4arão * passageiros e o motorista. "e #uantos modos distintos os * passageiros podem ocupar os assentos do )eiculo+ Informaç"o: •
4 passa'eiros podem oc!par os assentos do
Sol!ç"o:
4L = 42$=24
('% endo
NO0(/('(:(*(7(,(8P( a #uantidade de n5meros pares de trDs algarismos( sem repetição( #ue se pode formar com os elementos de > Informaç"o: •
•
•
Sendo S=Q%$248*R temos $% n)meros. , 0!antidade de n)meros pares de trAs al'arismos. N ero n"o pode oc!par a primeira casa.
Sol!ç"o:
.
.
% fio
=42
.
.
2 fio
=
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.
.
.
.
4 fio
=
=
.
.
fio 8 fixo
=
*'Q:7Q:7Q:7Q:7N/,7 ((% "a
olimp;ada de matemática( na escola de Fernando( participaram /0 alunos. K n5mero #ue corresponde s diferentes maneiras de se arrumarem os trDs primeiros colocados > Informaç"o: •
a escola de ernando participaram $% al!nos;
•
Ns trAs primeiros colocados.
Sol!ç"o:
%$.
*
.
8
=2%
()% 9 escola S( por uma #uestão administrati)a( identifica cada professor por uma letra(
um algarismo e um s;m&olo grego. 9s letras são 9(A(C( os algarismos /('(:(*(% e os s;m&olos gregos são T(U(V. !tilizando essas identificaç=es( o numero má3imo de professores dessa escola > Informaç"o: •
,s letras s"o ,B. rAs elementos;
•
Ns al'arismos $245. inco elementos;
•
Ns sDmolos 're'os s"o TUV. rAs elementos.
Sol!ç"o: ,B
. 5 . $245 TUV
=45
*71 9 #uantidade de n5meros naturais de trDs algarismos #ue podem ser formados com os algarismos /(:(%((8 > Informaç"o: •
rAs al'arismos;
•
ormados com os al'arismos $5*.
Sol!ç"o: 5
.
5
.
5
=$25
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Buantos n5meros naturais ;mpares( de trDs algarismos distintos( podem ser formados com os algarismos do con4unto O'(:(*(%P+ (+%
Informaç"o: Sol!ç"o: •
)meros nat!rais Dmpares;
•
.
2
.
2
=$2
: ou %
rAs al'arismos distintos formados com os al'arismos do con&!nto Q245R.
(,% Buantos
n5meros pares de trDs algarismos distintos e maiores #ue *00( podem ser formados com os algarismos do con4unto O'(:(*(7((,(8P+ Informaç"o: Sol!ç"o: •
•
)meros pares de trAs al'arismos distintos e maiores 0!e 4%%; ormados com os al'arismos do con&!nto Q248*R=> elementos.
4 fio
.
5
.
fio
.
5
.
=$5
fio
.
5
.
4
=2%
8 fio
.
5
.
=$5
* fio
.
5
.
4
=$5
=2%
$59$592%9$592%=85
*81 @ara organizar os ar#ui)os com todos os funcionários de uma escola( a direção utilizou fic$as identificadas( cada uma( por ' )ogais distintas( seguidas de : algarismos distintos. K n5mero má3imo de fic$as confeccionadas foi igual a> Informaç"o: •
' )ogais distintas
•
"e : algarismos distintos.
Sol!ç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
5 . 4 Oo'ais
.
$% ,l'.
.
* ,l'.
.
8 ,l'.
=$44%%
)% Com
os algarismos '(:(%(7( e ,( )ocD poderá formar 3 n5meros de * algarismos distintos. K )alor de 3 > Informação: •
ormar x n/meros de al-arismos distintos.
•
om os al-arismos +"562 e 8 34 total de seis al-arismos.
!olução: 6 )l-.1
.
5 )l-.+
.
)l-."
.
" )l-.
4"60
)$% @ara
fa&ricar placas de autom)eis( constitu;das de duas letras iniciais seguidas de #uatro algarismos( um determinado munic;pio está autorizado a utilizar somente as letras 9(A(C(" e E e os algarismos 0(/ e '. 6essas condiç=es( o numero má3imo de autom)eis #ue o munic;pio poderá emplacar > Informação: •
tili&ar somente as letras )7 e E 34 #in#o letras.
•
E os al-arismos 01 e + 34 tr's al-arismos.
!olução: 5 . 5 (etras (etras
.
" al-.
.
" )l-.
.
" )l-.
4+0+5
)&% !ma
sala de)e ser iluminada com % l
% l
•
Interruptores independentes para acendD-las
•
/ poderá apagada.
!olução: + n9off
.
+ n9off
.
+ n9off
.
+ n9off
.
+ 4 "+ n9off
"+1 4"1.
)'% Calcular o numero
de anagramas da pala)ra 9R9R9.
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•
inco letras;
•
rAs letras , d!as G.
Sol!ç"o:
%'-:-
=
/0
)(% !ma
escola possui /% professores. Entre eles( serão escol$idos> !m diretor( um )ice-diretor e um coordenador pedaggico. Buantas são as possi&ilidades de escol$a+ Informaç"o: •
•
, escola poss!i $5 professores; ser"o escolhidos: ?m diretor !m
Sol!ç"o:
/%2/% − :1-
/%-
=
/'-
=
':0
!ma escola tem 8 professores de Matemática. Buatro deles de)erão representar a escola em um congresso. Buantos grupos de * são poss;)eis+ ))%
Informação: •
) tem professores de
•
7eles de%erão representar a es#ola em um #on-resso.
•
>rupos de poss?%eis.
!olução:
8*- 2 8 − * 1-
=
8*-%-
=
/'7
)*% Calcule o n5mero de
anagramas da pala)ra CK6?I?!I.
Informaç"o: •
, pala
•
, letra aparece 2
•
, letra aparece 2
Sol!ç"o:
8'-'-
=
80'0
)+% Calcule o numero de
anagramas da pala)ra !R!W!9I.
Informaç"o: •
, letra ? aparece
, pala
!R!W!9I
poss!i
:-
=
,*0
),% "ispomos de oito cores( e #ueremos pintar uma &andeira de cinco listras(
cada listra
com uma cor. "e #uantas formas isso pode ser feito+ Informação: •
7ispomos de oito #ores;
•
@intar uma bandeira de #in#o listras;
•
ada listra #om uma #or.
!olução:
,2, − %1-
,-
=
:-
=
7'0
)-% !ma
sala possui seis portas. "e #uantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente+ Informaç"o: •
•
, sala poss!i seis portas. essoa pode entrar por !ma porta e sair por o!tra diferente.
Sol!ç"o:
72 7 − '1-
=
7*-
=
:0
*% Cinco ca)alos disputam um páreo. Bual o numero de poss;)eis resultados para trDs
primeiras( colocaç=es+ Informaç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
•
inco ca
•
N n!mero de possD
Sol!ç"o:
%2% − :1-
%-
=
'-
=
70
*$% @ara
a seleção Arasileira de fute&ol( foram con)ocados % laterais. "e #uantas maneiras a seleção pode escalar esses 4ogadores para atuar na es#uerda( ou na direita+ Informaç"o: Sol!ç"o: •
oram #on%o#ados 5 laterais.
%•
@ara atuar na es,uerda ou na direita.
2% − '1-
=
%:-
=
'0
!ma empresa possui /7 funcionários administrati)os( entre os #uais serão escol$idos : #ue disputarão para os cargos de diretor( )ice-diretor e tesoureiro. "e #uantas maneiras pode ser feita a escol$a+ *&%
Informaç"o: •
•
, empresa poss!i $ f!ncion7rios administrati
Sol!ç"o:
/72/7 − :1-
/7-
=
/:-
=
::70
*'% e&astião dese4a pintar a pala)ra ILRE( em
um cartaz de pu&licidade( usando uma cor em cada letra. "e #uantos modos isso pode ser feito( se ele disp=e de seis cores de tinta+ Informação: •
•
) pala%ra (IABE possui 5 letras; Ele dispõe de seis #ores de tinta.
!olução:
72 7 − %1-
=
7/-
=
'0
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*(% "e
#uantos modos pode-se arrumar * li)ros de Matemática( : geografia e ' &iologia( numa estante( de modo #ue os li)ros de mesmo assunto fi#uem 4untos+ Informaç"o: •
ode-se arr!mar 4 li
•
ode-se arr!mar 'eo'rafia;
•
ode-se 2 iolo'ia.
•
S"o tipos de li
Sol!ç"o: 4LL2L=242=$28
*)% !ma
pro)a consta de #uinze #uest=es( das #uais o aluno de)e resol)er dez. "e #uantas formas ele poderá escol$er as dez #uest=es+ Informaç"o: •
onsta de 0!ine 0!estõesdas 0!ais o al!no de
•
3e 0!antas formas ele poder7 escolher as de 0!estões.
Sol!ç"o:
/%%- 2/% − %1-
=
/%%-/0-
=
:00:
**% o&re
uma circunferDncia são marcados no)e pontos distintos. Buantos tri
?ma circ!nferAncia @ marcado no
•
ri1n'!los podem ser constr!Ddos com <@rtices nos no
Sol!ç"o:
87- 28 − 7 1-
=
87-:-
=
,*
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*+% Buantas
comiss=es de trDs pessoas podem ser formadas com um grupo de sete
pessoas+ Informação: •
omissões de tr's pessoas;
•
m -rupo de sete pessoas.
!olução:
:- 2 − :1-
-
=
:-*-
=
:%
*,% 9o
sair de uma festa( dez amigos se despediram com um aperto de mão. Buantos apertos de mão foram trocados+ Informação: 3e ami'os se despediram com !m aperto de m"o.
•
•
,pertos de m"o foram trocados saemos 0!e !ma pessoa pode dar dois apertos ao mesmo tempo.
!olução:
/0'- 2/0 − '1-
=
/0'-,-
=
*%
*-% !m
fa&ricante de doces disp=e de em&alagens com capacidades para seis doces cada uma. a&endo-se #ue ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes( #uantos tipos de em&alagem( com seis doces diferentes( e ele poderá organizar+ Informação: •
Com capacidades para seis doces cada uma.
•
Ele fa&rica #uinze tipos de doces diferentes.
•
?ipos de em&alagem( com seis doces diferentes.
!olução:
/%7-2/% − 71-
=
/%7-8-
=
%00%
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+% Em
um congresso de Educação( $á seis professores de F;sica e seis de Matemática. Buantas comiss=es de % professores podem ser formadas( $a)endo em cada uma dois professores de Matemática e trDs de F;sica+ Informaç"o: W7 seis professores de Dsica e seis de Katem7tica; omissões de 5 professores podem ser formadas; Wa
7-
7-
⋅
:- 27 − :1- '- 27 − '1-
=
7-
⋅
7-
:-:- '-*-
=
'0 ⋅ /% = :00
+$% Buantos
grupos diferentes de * l
4 l1mpadas podem ficar acesos;
•
N 'alp"o tem $% l1mpadas.
Sol!ç"o:
/0*- 2/0 − *1-
=
/0*-7-
'/0
=
+&% Xá
/' inscritos em um campeonato de &o3e. Calcule o n5mero total de lutas #ue podem ser realizadas entre os inscritos. Informaç"o: W7 $2 inscritos em !m campeonato de oe.
• •
,S l!tas s"o dadas de dois a dois.
Sol!ç"o:
/''- 2/' − '1-
=
/''-/0-
=
77
:1 eis pessoas decidem formar ' comiss=es com : pessoas cada. "e #uantas formas diferentes isso pode ser feito+ Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
Informação: •
!olução:
7-
!eis pessoas;
:-27 − :1•
ormar + #omissões pessoas #ada.
#om
=
7:-:-
=
'0
"
+(% o&re uma reta marcam-se : pontos e so&re outra
reta( paralela a primeira( marcamse % pontos. Calcule o n5mero de tri
Marcam-se : pontos e so&re outra reta( paralela a primeira.
!olução:
:•
Calcule o n5mero de tri
%-
⋅
/-2 : − /1- '-2% − '1:-
⋅
%-
'- 2: − ' 1- /-2% − /1-
=
=
:-
⋅
%-
/-'- '-::-
⋅
%-
'-/- /-*-
=
:./0 = :0
=
:.% = /%
:0Q/%N*% +)% 9nagrama de uma pala)ra toda e #ual#uer ordenação de suas letras. 9ssim A9CK( CKA9( ACK9(...( são anagramas da pala)ra C9AK. K numero de anagramas da pala)ra 9@!C9I9 > Informaç"o: •
, pala
Sol!ç"o: 4L=42$=24
71 9M9( 9M9( M99( 9M9(..( são anagramas da pala)ra M99. K n5mero de anagramas da pala)ra M9C9C! > Informaç"o: • •
) letra apare#e duas %e&es.
) pala%ra <)) possui 6 letras; Sol!ç"o:
•
) letra ) apare#e duas %e&es.
7'-'-
=
/,0
++% 6uma maratona escolar( , alunos disputam os : primeiros lugares. 6ão acontecendo
empates( o numero de resultados poss;)eis para as : primeiras colocaç=es > Informação: •
$uma maratona es#olar 8 alunos disputam os " primeiros lu-ares. Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
•
numero de resultados poss?%eis para as " primeiras #olo#ações.
!olução:
,2, − :1-
,-
=
%-
=
::7
+,% 6o campeonato de )Ylei de praia $a)ia /: duplas. Cada dupla 4ogou com as demais
duas partidas( uma em cada fim de semana. 6o final( duas duplas ficaram empatadas tendo sido realizadas então a partida de desempate. K n5mero de partidas disputadas nesse campeonato foi> Sol!ç"o:
/:'- 2/: − '1-
=
/:'-//-
=
,
82partidas9$ desempates = $5
+-% !ma &anca e3aminadora de um concurso será formada
por % professores( escol$idos entre , de matemática e * l;ngua @ortuguesa. K numero de composiç=es #ue poss;)el formar com esta &anca e3aminadora de modo #ue ela ten$a( no m;nimo( ' professores de l;ngua @ortuguesa > Informaç"o: •
Ser7 formada por 5 professores.
•
+scolhidos entre 8 de matem7tica e 4 lDn'!a ort!'!esa.
•
+la tenha no mDnimo 2 professores de lDn'!a ort!'!esa.
Sol!ç"o:
,-
*-
⋅
:- 2, − :1- '- 2 * − '1,-
*-
⋅
'- 2, − '1- :-2 * − :1,-
⋅
*-
/- 2, − /1- *-0-
=
=
=
,-
⋅
*-
:-%- '-',-
⋅
*-
'-7- :-/-
=
=
::7
//'
,
9$$298=45
,% "isp=e-se de /% 4ogadores de )olei&ol sendo( um
deles( 9ndr. K numero de duplas diferentes #ue podem ser formadas( nas #uais não apareça o 4ogador 9ndr( > Informaç"o: Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut: Blog: professortiagomachado.blogspot.com Comunidade: http://www.orkut.com.br/MainCommunit!"cmm#$%&'()%)) Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.
•
,ndr@ n"o ir7 aparecer ent"o temos $4 &o'adores. 3!as pessoas por d!plas.
•
Sol!ç"o:
/*'- 2/* − ' 1-
=
/*'-/'-
=
8/
,$% 6um campeonato de ping-pong( estão inscritos /7 alunos.
6umero total de partidas
#ue podem ser realizadas entre esses inscritos > Sol!ç"o:
/7'- 2/7 − '1-
=
/7'-/*-
=
/'0
,&% Imagine #ue todos os ',% candidatos classificados neste concurso( reunidos em um
salão( resol)am cumprimentar-se uma 5nica )ez. K numero de cumprimentos #ue serão trocados será dado pelo resultado de> Sol!ç"o:
',%'- 2 ',' − '1-
=
',%'-',:-
=
*0*0
,:1 "e um grupo de 7 $omens e * mul$eres( dese4a-se escol$er % pessoas( incluindo( pelo menos( ' mul$eres. K numero de escol$as distintas #ue se pode fazer > Informaç"o: •
?m 'r!po de homens e 4 m!lheres;
•
3ese&a-se escolher 5 pessoas;
•
er pelo menos 2 m!lheres.
7-
*-
⋅
:-27 − :1- '-2 * − ' 17-
*-
⋅
'- 27 − '1- :-2 * − :17-
⋅
*-
/-2 7 − /1- *-2 * − *1-
Sol!ç"o:
=
=
=
7-
⋅
*-
=
/'0
=
70
:-:- '-'7-
⋅
*-
'-*- :-/7-
⋅
*-
/-%- *-0-
=
7
$2%9%9=$8.
,*1 e4a n o numero total de anagramas da pala)ra AK?9FKWK( #ue contm as * consoantes em ordem alfa&tica. Lalor de n igual a> Informaç"o: •
•
, pala
•
ont@m as 4 consoantes B# em ordem alfa@tica.
Sol!ç"o:
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,:-
=
7.'0
,s 0!atro consoantes B#: 42$=24 6o'o temos:
7'0 '*
=
',0
Cist*ria
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