EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMÁTICA 2º GRAU
Exercícios de Matemática 2º Grau
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
Assunto:
Exercícios Resolvidos de Matemática
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMUNS EM CONCURSOS PÚBLICOS RESOLVIDOS E COMENTADOS
2
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
Assunto:
Exercícios Resolvidos de Matemática
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMUNS EM CONCURSOS PÚBLICOS RESOLVIDOS E COMENTADOS
2
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
3
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
EXERCÍCIOS 1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e uma segunda torneira pode fazê-lo em 15 horas. Qual será o tempo necessário para encher 2/3 do reservatório se as duas torneiras forem ligadas simultaneamente? SOLUÇÃO
Uma torneira leva três horas,
•
x 15
x
3
representa a potência dela. Outra torneira leva 15 horas,
representa a potência dela. Trabalho a realizar corresponde a
2 3
Cálculo; Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado x
3
x
15
=
2 3
multiplique tudo pelo MMC que é 15;
•
(
+
x
3
+
x 15
=
2 3
)*15
5x + x= 10 •
6x=10
x=
10
x=
6
5 3
observe que o tempo é dado em hora, logo já sabemos que x representa o tempo, então o tempo gasto será
5 3
de horas. Vamos descobrir o tempo em uma linguagem mais
comum, substituindo horas por minutos. 5 3
* 60 minutos =
300 3
minutos que é equivalente a 1 hora e 40 minutos.
======================================================================= 2. Recebi uma quantia e gastei 3/7 da mesma. Sabendo que me restam R$ 6000,00, qual foi a quantia que recebi? SOLUÇÃO
Vamos representar a mesada por W. W= Mesada
4
Exercícios:
Ele gastou
•
3 7
Matemática - Resolvidos
da mesada, ou seja
3 7
de W, que representamos da seguinte maneira:
3 7
W. 3 •
7
W para W, faltam
Sobraram 6000, logo,
•
4 7 4 7
W, que é o resto. W= 6000
Cálculo: 4
W= 6000 W=
7
6000 4
* 7
W= 1500 * 7
W= R$ 10.500,00
======================================================================= 3. Com 240 litros, preenchi 5/12 de um tanque. Quantos litros são necessários para encher o tanque? SOLUÇÃO
Vamos representar a capacidade do tanque pela letra Y Y= capacidade Ele colocou 240 litros e ocupou
•
5 12
•
Y= 240 Y=
240 *12 5
5 12
Y= 48*12
da capacidade do tanque, logo. Y= 576
A capacidade do tanque é para 576 litros d’água.
======================================================================= 4. Três irmãos receberam uma herança. Ao mais velho coube 1/3 dessa herança. Ao mais jovem couberam ¾ do resto, ficando R$ 1200,00 para o terceiro irmão. Qual foi o valor da herança deixada? SOLUÇÃO Herança = X Mais velho =
1 3
X
Mais jovem =
3 4
do resto
5
Resto = X -
1 3
X
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
Outro Irmão = 1200 Cálculo: 1
X-
3
(X -
X-
1 3
3
(X-
4
3
X-
4
(X-
1
X) = 1200
3 1
3
Obs. Multiplique tudo pelo MMC, que é 12
X) = 1200)* 12
8X – 9X + 3X = 1200*12
12X – 4X - 9( X 2X= 1200*12
X=
1 3
X)= 1200*12
1200 * 12
X=
2
7200 •
O valor total da Herança era R$ 7.200,00.
======================================================================= 5. Maria saiu de casa para fazer compras. Gastou 2/7 do que possuía no armazém e ¼ do que restou numa butique. Sabendo que Maria chegara em casa com R$ 3000,00, com que quantia Maria saiu de casa? SOLUÇÃO
O dinheiro que ela saiu de casa é K Dinheiro = K Supermercado = 2
Resto = K -
7
2 7
K
Loja de Tecidos =
K
1 4
do resto
Loja de Tecidos =
Chegou em casa com R$ 3000,00 1 4
(K -
2 7
K)
Cálculo: K(K -
2 7 2 7
KK-
1 4 1 4
(K (K -
2 7 2 7
K)= 3000
Obs. Multiplique tudo pelo MMC, para facilitar.
K)= 3000 )*28
28K – 8K – 7K + 2K = 28*3000
15K= 28*3000
K=
28 * 3000 15
K= 28 * 200 K= 5.600 Ela saiu de casa com R$ 5.600,00. ======================================================================= •
6
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
6. Carpinteiro fez num primeiro dia de trabalho, 2/9 de uma cerca; no segundo dia fez 5/8 desta mesma cerca. Sabendo que no terceiro dia ele fez 220 centímetros e completou a obra, qual é o comprimento desta cerca? SOLUÇÃO
Comprimento do muro = X 1º dia =
2
X
9
2º dia =
5 8
X
3º dia = 220 centímetros
Cálculo: 2
X+
9
5 8
X + 220= X
(220= X -
5 8
X-
2 9
72 * 220
X=
11
220= X -
5 8
X-
2 9
X
X)* 72
220 *72= 72X – 45X – 16X
X= 20 * 72
X= 1440
Obs. Multiplique pelo MMC. 11X= 72 * 220
O comprimento do muro é 1440 centímetroS ou 14,40 metros.
•
======================================================================= 7. Fui fazer compras com uma certa quantia de dinheiro. 1/8 desta quantia foi gasto com açougue, ¼ no armazém, a farmácia consumiu a metade do dinheiro e sobraram-me R$ 1000,00. Qual era a quantia inicial? SOLUÇÃO
O dinheiro que ela levou = B Açougue =
1 8
B
Armazém =
1 4
B
Farmácia =
1 2
B
Sobrou =
1000 B(B •
1 8
B-
1 8
B-
1 4 1 4
BB-
1 2 1 2
B= 1000
Obs. Multiplique pelo MMC.
B= 1000)* 8
8B - B - 2B – 4B= 8000
B= 8000
A quantia inicial era R$ 8.000,00
=======================================================================
7
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
8. Qual é o número de alunos de uma escola sabendo-se que os homens somam 600 alunos e as mulheres representam 2/3 de todos os alunos da escola? SOLUÇÃO
O total de alunos = Q
Mulheres =
Se as mulheres são
•
2 3
Q+
1 3
2 3
3
Q= 600
•
3
Q
Q, os homens só podem ser
Homens = 600 1 3
Q, pois, Q são todos os alunos e :
Q= Q 1
Homens = 600 1
2
3
Q= Homens,
1Q= 600*3
substituindo teremos,
Q= 1800
Na escola estudam 1800 alunos.
======================================================================= 9. Qual é o tempo gasto por duas torneiras trabalhando juntas para encher uma caixa d’água; sabendo que individualmente uma leva 5 horas e a outra 7 horas? SOLUÇÃO •
Similar ao exercício 1.
1ª torneira leva 5 horas para encher sozinha o reservatório, logo a potência dela será
P 5
.A
2ª torneira leva 7 horas para encher o mesmo reservatório sozinha, logo sua potência será P 7
. Devemos colocar as duas juntas para encher o reservatório todo, ou seja, 1 reservatório,
logo o trabalho a ser realizado é 1. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado P P 5 •
P=
+
7
=1 (
P P 5
+
7
= 1 )*35
7P + 5P= 35 12P= 35
P=
35 12
horas
Multiplicando por 60 para sabermos a quantidade de minutos: 35 12
*60 P= 5*35 minutos
P= 175 minutos
P= 2 horas e 55 minutos
=======================================================================
8
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
10. Uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra em 6 horas. As duas torneiras ligadas simultaneamente, encherão o tanque em quanto tempo? SOLUÇÃO
Similar ao anterior, mesmo raciocínio; 1 4
G+
G=
12 5
1 6
G= 1
horas
(
1 4
G=
1
G+ 12 5
6
G= 1 )*12
3G + 2G= 12
* 60 minutos
5G= 12
G= 144 minutos
G= 2 horas e 24 minutos.
======================================================================= 11.
Se uma torneira encher um reservatório em 2 horas e outra o esvaziar em 3 horas. Estando as duas simultaneamente abertas, qual será o tempo necessário para encher o reservatório?
SOLUÇÃO
1ª torneira enche o tanque em duas horas, logo sua potência será 2ª Torneira esvazia o tanque em 3 horas, logo sua potência será -
K 2
K 3
.
, observe que esta faz
justamente o contrário da primeira, ou seja, a primeira enche e ela esvazia, logo, ela é uma potência negativa. O trabalho a ser realizado é 1, pois precisamos encher 1 tanque.
Cálculo. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado K 2
+ (-
K 3
)= 1
K 2
-
K 3
=1
(
K 2
-
K 3
= 1)*6
3K - 2K= 6
K= 6 horas •
O tempo necessário será de 6 horas.
======================================================================= 12. Subtraindo-se 3/8 de um número, obtermos 60. Qual é o número?
9
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
SOLUÇÃO
O número é X 3
X-
8
60 * 8
X= •
X= 60 5
(X -
3 8
X= 60)*8
8X – 3X= 60*8
X= 12*8
5X= 60*8
X= 96
O número é 96
======================================================================= 13.
Comprei uma moto por R$ 6000,00, dando de entrada uma quantia equivalente a um número cuja soma entre ele e seus 5/6 é R$ 2.200,00. Se o restante for pago em prestações mensais de R$ 200,00, quanto tempo será necessário para quitar o resto da dívida?
SOLUÇÃO
Preço da moto = 6000 Na entrada tem uma charadinha simples. X= entrada 5
X+ (X + X=
6 5
X= 2200
Obs. Multiplique tudo pelo MMC.
X= 2200)* 6
6 2200 * 6
11
6X + 5X= 2200*6 X= 200*6
11X= 2200*6
X= 1200
Agora que achamos o valor da entrada, podemos calcular o restante e dividir por 200 para ver em quantas parcelas vamos pagar. Restante = 6000- entrada
Restante = 6000- X
Restante = 4800
Quantidade de Parcelas =
Quantidade de parcelas =
4800 200
Restante = 6000 - 1200 Re s tan te 200
Quantidade de parcelas = 24
=======================================================================
10
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
14. Somando minha idade a ¾ da idade de gêmeo, obtermos 35 anos. Há quantos anos eu nasci? SOLUÇÃO
Se for meu irmão gêmeo, logo temos a mesma idade.
•
Idade = K 3
K+ K=
4
K= 35
140
(K +
3 4
K= 35)* 4
4K + 3K= 140
7K= 140
K= 20
7
======================================================================= 15. A soma da idade do tio e do sobrinho é 52. Descubra a idade de cada um, sabendo que o sobrinho tem a idade correspondente a 1/3 da idade do tio? SOLUÇÃO
Idade do pai = W
idade do filho =
1 3
W
(idade do pai)+(idade do filho)=
52 anos W+
1 3
W= 52
4W=52 * 3 1 3
•
W=
1 3
*39
(W + W= 1 3
1 3
W= 52)* 3
52 * 3 4
3W + W= 52*3 W= 13 * 3
W= 39
W= 13
A idade do pai é 39 anos e a idade do filho corresponde a 13 anos.
======================================================================= 16. Meu salário diminuído de 20%, corresponderá a R$ 720,00. Qual é o meu salário? SOLUÇÃO •
•
Meu salário = X 720 80%X= 720
X – 20%X= 720
X= 100%X
11
100%X – 20%X=
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
Se eu retirar 20% de alguma coisa, é óbvio que o que sobrar será correspondente a 80% desta mesma coisa.
•
Cálculo. Regra de Três Valor
% 80
= 720
100
X
80X= 720 * 100
720 *100
X=
X = 9*
80
100 X= 900 Meu salário é R$ 900,00, mixaria não é? •
======================================================================= 17.Gastei 1/3 do meu dinheiro para pagamento de dívidas atrasadas, do que restou, coloquei 2/3 na poupança e ainda fiquei com R$ 400,00. Qual era o valor correspondente a meu dinheiro? SOLUÇÃO
Similar ao anterior. •
Salário = Z
Aluguel =
1 3
Z
Poupança =
2 3
(Z -
1 3
Z ) Resto = 400
Cálculo 1
Aluguel + poupança + resto = salário 1 3
Z+
2 3
Z-
2 9
3
Z + 400= Z
(
3Z + 6Z – 2Z + 9 * 400= 9Z
1 3
2 3
Z+
(Z -
2 3
Z-
1 3
Z ) + 400= Z 2 9
Z + 400= Z)* 9
400*9 = 9Z – 3Z - 6Z + 2Z 400 * 9
2Z= 400 * 9
Z=
Z= 200 * 9
Z= 1800
•
Z+
2
A resposta é R$ 1.800,00
=======================================================================
12
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
18. A soma da idade da idade do pai com a do filho é igual a 55 anos. Determine a idade de cada um sabendo que a idade do filho é 3/8 da idade do pai? SOLUÇÃO •
A soma da idade dos dois é 55
•
A idade do mais velho é X
A de um corresponde a
3 8
da idade do outro
Cálculo; X+ X= •
3 8
X= 55
55 * 8
(X +
3 8
X= 55)* 8
8X + 3X= 55 * 8
X= 5*8
11
11X= 55*8
X= 40
O mais velho tem 40 anos e o mais novo tem 15 anos.
======================================================================= 19.
José recebeu o pagamento de um acerto feito com a firma onde trabalha. Gastou o dinheiro da seguinte maneira: 1/3 pagou dívidas, ¼ comprou presentes para sua esposa e sobrou-lhe R$ 500,00. Qual era o valor do acerto?
SOLUÇÃO • •
Similar aos anteriores, por isto vou fazer o cálculo X= o que ele recebeu Sobra = 500
Cálculo. 1
1
3
4
X - X − X = 500 5X= 500*12 •
(X X=
1 3
500 * 12 5
1
X − X = 500)* 12 4
X= 100*12
12X-4X-3X= 500*12 X= 1200
A resposta é R$ 1.200,00.
======================================================================= 20. Maria percorreu numa primeira parte, um quinto da maratona, na segunda parte percorreu 2000 m e ainda ficaram faltando 2/3 da maratona a serem percorridos até o final da corrida. Quantos metros compreendia todo o percurso?
13
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
SOLUÇÃO •
X= comprimento da maratona
1ª parte =
•
Ficaram faltando = 2000 metros
1 5
X
2ª parte =
2 3
(X -
1 5
X)
Cálculo; 1
X-
5
(X -
X
1 5
-
X-
2 3
3
X+
4X= 2000*15 •
2
(X 2 15
1 5
X )= 2000
(X-
X = 2000 )* 15
X=
1 5
X-
2 3
(X -
1 5
X )= 2000 )* 15
15X - 3X -10X + 2X= 2000*15
2000 * 15
X= 500 * 15
4
X= 7.500
A resposta é 7.500 metros;
======================================================================= 21. Dois datilógrafos estão trabalhando simultaneamente para cumprir uma determinada tarefa. Quanto tempo será necessário, se um deles sozinho a realizaria em 20 horas e o outro, trabalhando sozinho a realizaria em 12 horas? SOLUÇÃO
Este é similar aos exercícios 1,9, 10, 11... •
Temos duas potências: 1º datilógrafo, potência
•
Trabalho = 1, pois, trata-se de uma 1 tarefa.
x 20
; 2º datilógrafo, potência
x
12
.
Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado x 20
X=
+
x
12
60 8
X= 15*30
=1
(
x 20
X=
+
15 2
x
12
= 1)* 60 Horas
X= 450
3x + 5x= 60 X=
15 2
8x= 60 * 60 minutos
X= 7 horas e 30 minutos
=======================================================================
14
Exercícios:
22.
Matemática - Resolvidos
Um fruticultor, para encher uma camioneta de melões, demora 45 minutos. Sua mulher, para vender todos os melões, estando a camioneta cheia, demora 60 minutos. Se os dois iniciarem as atividades juntos, em quanto tempo o veículo estará cheio?
SOLUÇÃO
Este exercício é similar ao anterior X •
Fruticultor = 1X
Mulher = -
3
=-
4 x
4 •
(negativo devido ela está trabalhando em
3
sentido contrário ao de seu marido) Trabalho = 1, pois, só se refere a encher uma camioneta.
Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado X + (-
4 x 3
)= 1
(X + (-
4 x 3
)= 1)*3
3x – 4x= 3
-x= 3 horas
Obs. Como não existe tempo negativo, então podemos dizer que a resposta será: x= 3 horas
======================================================================= 23.
Uma torneira enche um tanque em 9 horas e outra em 12 horas. Essas duas funcionando juntas, mais uma terceira, o tanque ficará cheio em 4 horas. Quanto tempo a terceira torneira necessita para encher o mesmo tanque funcionando sozinha?
SOLUÇÃO •
•
Observe que neste exercício, não o tempo que estamos procurando e sim, uma das potências, portanto, a variável K, deve representar este valor. 1ª potência =
1
2ª potência =
9
1
3ª potência =
12
1
K
Tempo
= 4 horas •
Potência Total =
Trabalho tempo
=
1 4
Potência 1 + Potência 2 + potência 3= potência total 1 9
+
1 12
+
1
K
36= 9K-4K-3K •
=
1 4
(
1 9
+
1 12
+
1
K
2K=36
=
1 4
)* 36K
K=
36 2
4K+3K+36=9K K= 18
Como os denominadores representam o tempo que cada torneira leva para fazer o trabalho sozinha, logo, o tempo gasto pela terceira torneira será 18 horas.
15
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
======================================================================= 24.
João recebeu seu 13º salário e resolveu gastá-lo da maneira seguinte: metade guardou na caderneta de poupança; 3/5 do que sobrou, comprou presentes para a família e o restante, R$ 50,00, usou para a ceia de natal. Quanto ele recebeu de 13º salário?
SOLUÇÃO
Este exercício é similar ao exercício 17, portanto farei somente o cálculo. Salário =X 1
3
1
2
5
2
1
X - X − ( X − X ) = 50
(X -
10X – 5X – 6X + 3X= 500
2X= 500
2
3
1
5
2
X − ( X −
X ) = 50 )*10
X=
500
X= 250
2
======================================================================= 25. Ivete usou 2/5 de seu salário em alimentação, 1/3 em aluguel e outras contas, gastando também R$ 200,00 com roupas. Quando percebeu, só tinha R$ 300,00, portanto, qual era o salário recebido por Ivete? SOLUÇÃO
Este é similar ao 20. Salário = S 2
1
5
3
S − S − S − 200 ( S −
2 5
=
300
1
S − S = 300 + 200 ) * 15 3
2
1
5
3
( S − S − S − 200 ( S −
2 5
=
300
)*15
1
S − S = 500 ) * 15 3
15S − 6S − 5S = 500 *15
4 S = 15 * 500
S= 125*15
S= 1875
S=
15 * 500 4
======================================================================= 26.
Numa corrida de 5000 m, sob um calor de 38 graus, um quarto dos competidores abandonou a prova nos primeiros 2000 m, e, em seguida, aos 3500 m, um sétimo dos
16
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
competidores abandonaram também a prova. Sabendo que somente 17 competidores terminaram a prova, quantos competidores iniciaram a prova? SOLUÇÃO
Similar ao anterior veja o cálculo. C= número de competidores que iniciaram a corrida 1
1
4
7
C − C − C = 17
28C-7C- 4C=17*28 C=
1
1
4
7
( C − C − C = 17 )*28
17 * 28
17C=17*28
C=28
17
======================================================================= 27. Numa indústria o número de mulheres é igual a 3/5 do número de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o número de mulheres seria igual a metade dos funcionários. Quantos homens e quantas mulheres trabalham na indústria? SOLUÇÃO
H= homens
M= mulheres
3 5
H
No problema fala que contratando mais 20 mulheres, o número de mulheres se equipara ao número de homens, logo: M+20=H
•
M+20=H
Substituindo M=
3 5
M=
H + 20 = H
100 •
=
(
5 H − 3 H
3 5
H , termos
3 5
100
H + 20 = H ) * 5 =
2 H
3 H + 100 = 5 H
H =
100 2
H = 50
Agora que sabemos que a quantidade de homens é 50, fica fácil descobrir a quantidade de mulher.
M=
3 5
H
M=
3 5
*50
M= 3*10
M=30
50 homens e 30 mulheres. ======================================================================= 28.
Num terreno de 490m 2, a área construída é de 2/7 da metade do terreno acrescida de 68m2. Quanto mede a área livre do terreno?
17
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
SOLUÇÃO •
•
2
490 m2 é a área total Área livre =
490 m2 – ( 2 7 *245 + 68 m2)
Área livre = 490 – ( 2 7 *245 +68) Área livre = 352
245 m2 é a metade da área
é da metade da área 7
Área livre = 490 – 138
m2
======================================================================= 29. O triplo da quantia que Rui tem, menos R$ 100,00 é igual a R$ 500,00. Qual é a quantia que Rui possui? SOLUÇÃO
Muito elementar X= valor •
3 X − 100 600
X =
=
3 X = 500 + 100
500
3 X = 600
X = 200
3
O valor é R$ 200,00.
======================================================================= 30. Cristina e Karina possuem juntas R$ 280,00. Cristina têm R$ 60,00 a mais que Karina. Qual é a quantia que cada uma possui? SOLUÇÃO
Cristina = C
Karina = K
C + K = 280 K + K + 60 = 280
C = K + 60
K =
220 2
agora vamos substituir C por (K+60) 2 K = 280 − 60
K = 110
18
2 K = 220
Exercícios: Karina = R$ 110,00 Cristina = R$ 170,00
Matemática - Resolvidos
Cristina = Karina +60
Cristina = 110 + 60
======================================================================= 31.Uma TV e uma geladeira custam, juntas, R$ 1800,00. A geladeira custa R$ 400,00 a mais que a TV. Qual é o preço de cada objeto? SOLUÇÃO
Objeto = X K + K + 400
Objeto = K =
2 K = 1.800
1.800
K = 700 •
X + K = 1.800 −
X = K + 400 K =
2 K = 1400
400
1.400 2
X = 1100
X = 700 + 400
Um custa R$ 700,00 e o outro R$ 1100,00.
======================================================================= 32.
Num torneio internacional, Luiz Fabiano e Ronaldo marcaram juntos 12 gols. Como Ronaldo marcou dois gols a mais que o companheiro Luiz Fabiano, quantos gols marcaram cada um?
SOLUÇÃO L + R = 12 L = 5
R
=
L+2
R = 7
2 L
L + L + 2 = 12
=
10
======================================================================= Pedro tem um terreno de 540m2. Pedro realizou uma construção nesse terreno. Sabe-se que a área construída é de 2/9 da propriedade. Sabendo-se que 20% da área construída consumiu 38 sacos de cimento e que, o saco de cimento custa R$ 15,00. Quanto foi gasto com cimento na obra? SOLUÇÃO 33.
•
• •
Área do terreno = 540 m2
Área construída =
2 9
* 540
20% da área construída consumiram 38 sacos de cimentos Um saco de cimento = R$ 15,00 19
=
120
m2
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
•
20% da área construída = 38*15= R$ 570,00
•
20% da área construída =
•
•
•
Área construída total =
5*
1 5
da área construída
1 5 5 * 38 *15
Custo total em cimentos = Custo total em cimentos = R$ 2850,00
======================================================================= 34. A soma de dois números consecutivos é 41. Quais são estes números? SOLUÇÃO •
Lembre-se: o sucessor de X e ( X + 1)
•
X + ( X +1) = 41
• •
A+B=41 B= 21
40
2 X = 40
X =
A=X
B= X+1
2
X = 20
A=20
======================================================================= 35. A soma de dois números pares consecutivos, é equivalente a 86. Calcule estes dois números. SOLUÇÃO •
Lembre-se: o sucessor X, qdo. ele é par; é (X+2) e, (X+2) também será par.
A= X
B= X+2
2 X = 84 84
X =
2
A=42
X + ( X + 2) = 86
A+B=86
X = 42
B=44
======================================================================= 36. 51 bolinhas devem ser repartidas entre 3 crianças, de modo que, a segunda tenha 3 bolinhas a mais que a primeira e a terceira tenha o dobro de bolinhas da primeira. Quantas bolinhas devem ser entregues a cada criança? SOLUÇÃO
20
Exercícios:
•
Matemática - Resolvidos
AS caixas são respectivamente A, B e C.
•
C = 2 A
B = A + 3
A + B + C = 51
A + ( A + 3) + 2 A = 51
4 A
A =
=
48
B
A = 12
A + A + 2 A = 51 − 3
48
A = 12
4 = 15
C = 24
======================================================================= 37. Roberto, Cíntia e Raquel têm, juntos, 38 anos. Roberto tem o dobro da idade de Raquel e Cíntia tem 6 anos a mais que Raquel. Qual a idade de Raquel? SOLUÇÃO •
• •
•
•
ROBERTO +CÍNTIA + RAQUEL = 38 CÍNTIA = RAQUEL +6 2 RAQUEL + RAQUEL + RAQUEL + 6
4 RAQUEL
RAQUEL
=
=
ROBERTO =
=
2 RAQUEL 4 RAQUEL
38
RAQUEL
32
=
=
38
−
6
32 4
8 ANOS
======================================================================= 38. Quantos anos têm Rogério, sabendo-se que o dobro da idade somado a sexta parte desta mesma idade, é igual a 26? SOLUÇÃO •
2 ROGÉRIO
•
12 ROGÉRIO
•
ROGÉRIO
=
•
ROGÉRIO
=
+
1 6
ROGÉRIO
ROGÉRIO
+
26 * 6 13
= =
26
26 * 6
(2 ROGÉRIO 13 ROGÉRIO
ROGÉRIO
=
+
1 6
=
ROGÉRIO
=
26) * 6
26 * 6
2*6
12 ANOS
======================================================================= 39. Subtraindo 18 do triplo de um número, obtém-se ¾ desse número. Descubra o número? SOLUÇÃO
21
Exercícios:
3
•
3 X − 18
•
12 X − 3 X = 18 * 4
9 X = 18 * 4
•
X = 2 * 4
X = 8
=
4
X
(3 X − 18
Matemática - Resolvidos
=
3 4
X ) * 4
12 X − 4 * 18 = 3 X
X =
18 * 4 9
======================================================================= 40. A medida da altura de um retângulo é equivalente a 2/3 da medida da base. Determine as dimensões sabendo que o perímetro é 60 m. SOLUÇÃO
Lado A
Base B
•
A figura acima é um retângulo; 2
•
•
•
Segundo dados do problema, A = B 3
O perímetro é a soma de todos o lados = 2 A + 2 B Perímetro = 60 m
•
2 A + 2B =
•
4 B + 6B
•
=
60
2*
2 3
10 B
60 * 3
Base = 18 meros
B + 2 B = 60 =
(2 *
B =
180
2
B + 2B
3 180
=
60) * 3
10
Altura = 12 metros
======================================================================= 41. Sabendo que o comprimento da base retângulo é equivalente ao triplo do comprimento da altura e que o perímetro é 80 metros. Qual é o valor correspondente a base e a altura deste retângulo? SOLUÇÃO • •
•
Similar ao anterior, então veja só o cálculo; B = 3 A B= base A= altura 2 B + 2 A 2 B + 2 A =80
2 * 3 A + 2 A = 80
8 A
22
perímetro=80 =
80
A =
perímetro = 80 8
Exercícios:
•
A = 10
Matemática - Resolvidos
B = 30
======================================================================= 42. As idades de dois irmãos são correspondentes a dois números pares consecutivos cuja soma resulta 38. Quais são as idades dos dois? SOLUÇÃO • •
•
•
Similar ao 35, então veja somente o cálculo; A + B = 38 B = X + 2 A = X 2 X + 2 = 38
2 X = 38 − 2
2 X = 36
X = 18
A = 18
B = 20
X + ( X + 2) = 38
X =
36 2
======================================================================= 43. Determine dois números ímpares consecutivos sabendo que a soma deles corresponde a 44. SOLUÇÃO •
•
•
•
Sempre que o problema falar em número pares ou ímpares consecutivos, você vai usa X e ( X+2), caso sejam apenas números consecutivos, x e ( x+1). X + ( X + 2) = 44 B = X + 2 A + B = 44 A = X 2 X = 44 − 2
X =
A = 21
B
42
2 23 =
X = 21
======================================================================= 44. A medida da base e da altura de retângulo são correspondente a dois números ímpares e consecutivos. Sabendo que o perímetro deste retângulo é 64 metros, determine a medida da base e da altura. SOLUÇÃO • • •
•
•
Já fizemos um exercício envolvendo perímetro Perímetro = 2A+2B=64 Somados da base com a altura = A+B=32 A= X B= X+2 X + X + 2 = 32
A= 15m
2 X = 30
X =
B= 17m
23
30 2
X = 30
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
======================================================================= 45.
A soma da idade do pai e do filho é 55 anos, e que a idade do filho corresponde a
3 8
da
idade do pai. Qual a idade de cada um? SOLUÇÃO •
Este exercício já foi resolvido anteriormente;
•
Pai =X
•
X + X = 55
•
X =
•
Pai = 40 anos
filho =
3
8 55 * 8
3 8
X
( X +
11
3
X = 55) * 8
8 X + 3 X = 55 * 8
X = 5 * 8
X = 40
8
Filho =
3 8
Filho =
X
3 8
11 X = 55 * 8
Filho = 15
* 40
anos
======================================================================= 46. A idade do filho é igual a quinta parte da idade de seu pai acrescida de 2. Qual a idade de cada um se a idade dos dois juntas somariam 50? SOLUÇÃO •
Similar ao anterior
•
Pai = X
•
X + X + 2 = 50
( X + X + 2 = 50 )* 5
•
6 X = 250 − 10
6 X = 240
•
Pai = 40 anos
1
5
Filho =
1 5
X + 2
Pai + Filho
1
X = 1 5
* 40
+
50 5 X +
5
Filho =
=
2
240 6
X + 10 = 250
X = 40
Filho = 10 anos
=======================================================================
24
Exercícios:
47.
Matemática - Resolvidos
Um aluno perguntou ao professor de matemática qual era sua idade. O professor respondeu:_
2 5
de minha idade adicionado a 3 é igual à metade de minha idade. Qual era
a idade do professor? SOLUÇÃO •
Similar ao 39.
•
Idade = X
•
•
(3 =
1 2
X −
2 5 2 5
X + 3 =
1 2
X ) *10
X
3=
30 = 5 X − 4 X
1 2
2
X − X 5
X = 30
A idade do professor é 30 anos.
======================================================================= 48. Numa escola os alunos da 5ª série estão agrupados em turmas de 40 alunos, distribuídas em 2 andares com 3 turmas cada um. Quantos alunos da 5ª série existem nessa escola? SOLUÇÃO
• •
Este é uma simples multiplicação; andares * turmas * alunos = quantidade de alunos da 5ª série
2 * 3 * 40
=
240 alunos
=======================================================================
49.
A família A, de 5 pessoas e a família B, de 4 pessoas, combinaram de passar as férias em uma casa de campo, com as despesas comum, distribuída conforme o número de pessoas de cada família. Terminadas as férias, verificou-se que a família A gastara R$ 842,40 e família B gastara R$ 934,20; razão pela qual tiveram que fazer uns ajustes nas contas. Que quantia a família A teve que dar à família B, já que as despesas eram comuns?
SOLUÇÃO • •
Família A = 5 pessoas Família B gastou R$ 934,20
Família B = 4 pessoas Família A gastou R$ 842,40 Gasto total = R$ 1776,60
25
Exercícios:
•
Lembre-se, as despesas são comuns, divididas conformes o número de integrantes de cada família. O gasto total será dividido em 9 cotas iguais, sendo que 4 destas cotas serão pagas pela família B e as outras 5 cotas serão pagas pela família A.
•
cot a
•
cot
a
=
FamíliaA
•
FamíliaA
=
•
=
842 ,4 + 934 ,2 9
cot a
=
1776 ,6 9
197 ,4 =
•
cot a
=
FamíliaA
•
famíliaB
+
9
•
•
Matemática - Resolvidos
FamíliaB FamíliaB
5 * 197 ,6
R$987 ,00
4 * 197 , 4 = R $790 , 40
=
Observe que a Família A gastou bem menos do que teve que pagar, visto que as despesas eram comuns; observe também, que a Família B, gastou bem mais que o que deveria pagar, este excesso, fora pago pela família A. Calculemos esta diferença: (Família A teve de pagar) – (Família A gastou) = (Gasto da Família B, pago pela Família A) 987 ,00
−
842 , 40
=
excesso
excesso
=
144 ,60
A Família A, pagou R$ 144,60 dos gastos feito pela família B.
======================================================================= 50. A quantidade de selos que tenho, mais a sua metade, mais a quinta parte, mais sua terça parte menos 200 somam um total de 410 selos. Quanto representa 30% de selos que possuo? SOLUÇÃO • •
•
Vários exercícios similares a este já foram solucionados, então veja somente o cálculo; X= quantidade de selos 1
1
1
2 1
3 1
5 1
X + X + X + X − 200
410
•
X + X + X = 610 ) * 30 2 3 5 30 X + 15 X + 10 X + 6 X = 610 * 30
•
61 X = 61 * 300
•
• •
•
( X +
=
X =
61 * 300 61
X = 300
A quantidade de selos do camarada é 300, mas ele está solicitando somente uma informação referente à 30% destes selos; Re sposta
=
30% * 300
=
30 100
* 300
=
3 10
* 300
=
3 * 300 10
=
3 * 30 = 90
=======================================================================
26
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
51. A idade do filho é igual a ¼ da idade do pai. Qual a idade do filho, sabendo que a soma das duas é 50? SOLUÇÃO •
Já foram resolvidos vários exercícios similares a este, então veja o cálculo
•
Pai = B
•
B + B
•
B
•
= 40 anos
1
4 = 40
Filho = =
5 B
50
4
=
1 4
Pai + Filho = 50
B
B
50
=
50 *
4 5
Pai Filho = 10 anos
======================================================================= 52.
Pedro, funcionário de uma empresa, recebeu o salário do mês e o gastou da seguinte maneira:
1 5
comprou roupas; 20% do que sobrou, comprou alimentação. Sobraram R$
160,00. Quanto Pedro gastou com alimentação? SOLUÇÃO •
A lim entação
=
•
A lim entação
=
•
A lim entação
20% * ( S − 1
* ( 250
−
5 = R$40 ,00
1 5
S )
50)
a lim entação A lim entação
=
=
20% * (250 1 5
−
1 5
* 250 )
* 200
======================================================================= 53.
Carlos recebeu o salário e o gastou da seguinte maneira: 40% do salário comprou roupas;
2
comprou sapatos; metade do que sobrou comprou presentes para a
5
namorada. Sobraram R$ 50,00. Qual o salário de Carlos? SOLUÇÃO •
Este é similar ao anterior, inclusive, mais fácil, pois, pede apenas o salário.
•
Salário = X 40 %
=
40 100
=
Roupas = 40% de X 2 5
Re sto
=
2
X − (40% * X + X ) 5
27
Sapatos =
2 5
X
Exercícios:
40
2
1
40
5
2
100
X −
•
X − X − X − ( X − X − X ) = 50
•
X − X − X − ( X − X ) = 50
5 2
X −
2
•
100 2
X − X − ( X −
Matemática - Resolvidos
2
1
2
2
5 2
2 1
5 4
5
5
X ) = 50
•
5 2 5 1 1 X − X − ( X ) = 50 5 2 5 10 X − 8 X − X = 500
•
O salário corresponde a R$ 500,00
•
5 4
4 1 ( X − X − X 5 10 X = 500
=
50 ) * 10
======================================================================= 54. Uma senhora comprou 10 dúzias de ovos e 3 galinhas por R$ 1.500,00 ( que diabo de galinha cara é esta). Quanto custou cada ovo e cada galinha sabendo que uma galinha custa o mesmo que 10 ovos? SOLUÇÃO •
Para resolver este problema, temos de desenvolver um sistema de equações do primeiro grau, onde uma das equações será referente ao preço e outra à igualdade entre ovos e galinhas.
•
120 OVOS 120 OVOS
•
150 OVOS
=
1500
•
GALINHA
=
10 *10 = 100
•
3GALINHAS = 1500 + 3 * 10OVOS = 1500 +
1GALINHA = 10OVOS 120 OVOS + 30OVOS 1500
OVOS
=
150
=
1500
OVOS
=
10
======================================================================= 55. Um operário ganha R$ 120,00 por dia trabalhado e paga multa de R$ 50,00 por falta injustificada. Depois de 60 dias, este operário recebeu proventos na ordem de R$ 6.350,00. Quantos dias ele efetivamente trabalhou? SOLUÇÃO • • • •
• •
Dia trabalhado =R$ 120,00 Falta não justificada = R$ 50,00 T é dia trabalhado F é falta não justificada Somando os dias trabalhados e as faltas, resultará em 60 dias, O dinheiro que ele recebeu pelos dias trabalhados, é equivalente a 120T, onde T representa o número de dias trabalhados; O dinheiro pago pelas faltas não justificadas, é 50F, onde F representa o número de faltas. A quantidade que ele recebeu é equivalente ao dinheiro recebido pelos dias trabalhados, subtraindo o valor pago palas faltas, 28
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
•
Observando as informações acima, procedamos ao cálculo;
•
T + F = 60
•
Somando as duas equações acima, teremos uma solução.
120 T − 50 F = 6350
T + F = 60 •
120T − 50 F = 6350 , para somarmos este sistema com maior facilidade, vamos multiplicar
a primeira parcela por (50), isto não é necessário, só estou fazendo para facilitar o cálculo, podes somar da maneira em que o sistema está posto acima, mas o cálculo ficará bem mais complexo. Veja que ao multiplicar a primeira parcela por (50), a variável F, desaparecerá. •
(T + F = 60) * 50
50T + 50 F = 3000
120T − 50 F = 6350
120T − 50 F = 6350
50T = 3000 •
170 T = 9350
120T = 6350
T =
170T = 9350
• •
9350 170
T = 55
Agora sabemos que ele trabalhou somente 55 dias, e faltou 5 dias.
======================================================================= 56. Cláudia comprou 25 metros de cambraia e 12 metros de seda por R$ 4.800,00. Perguntase, quanto custou o metro de cada fazenda, já que o metro de cambraia custa R$ 30,00 menos que o metro de seda? SOLUÇÃO • • • • • •
•
•
Este exercício se resolve com sistemas de equações, igual aos 2 anteriores. C = cambraia S = seda C = 25 metros S = 12 metros Como esta mercadoria é vendida por metros, então procedamos; C = S – 30 25C +12S= 4.800 substituindo, teremos; 25 ( S − 30 ) +12 S = 4.800
37S = 4800 5550
S =
37
+
750
S = 150
25S − 750 + 12 S = 4.800 37 S = 5550
C = 120
A seda custa R$ 150,00 o metro, e a cambraia custa R$ 120,00.
29
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
======================================================================= 57. Numa festa filantrópica, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00 ( a graça de uma festa são as mulheres, não tem nem lógica se os convites custassem o mesmo preço para homens e mulheres, as mulheres deveriam entrar de graça). Sabendo que o número de mulheres excede o número de homens em 5 e que o valor arrecadado com os convites corresponde a R$ 550,00. Quantas mulheres foram a festa? SOLUÇÃO •
Mulheres Homens
R$10 ,00 = R$15 ,00 =
Mulheres
=
Homens
+
Arrecadaçã
5
o
=
R$550 ,00
•
Sabemos que a arrecadação é a soma do dinheiro dos ingressos de homens e mulheres. Vamos armar as relações demos: 10mulheres + 15 hom ens = 550
•
Mulheres
•
10 (hom ens •
hom ens
−
10 Homens
+
+
=
5
5) +15 hom ens
50
500
15 Homnes
+
=
=
550
550
•
Homens
•
Na festa havia 20 homens e 25 mulheres.
=
25
Homens
=
25 Homens
=
550
25 Homens
=
500
−
50
20
======================================================================= 58. Numa granja ha 870 aves, entre galinhas e frangos. Cada galinha abatida vale R$ 3,00 e o frango abatido vale R$ 5,00. Considerando que o total apurado com o abate foi de R$ 3.150,00, quantos frangos foram abatidos? SOLUÇÃO •
galinhas 3 galinhas
frangos = 870 +5 frangos = 3.150 ,00
+
galinhas frangos
R$3,00 = R$5,00 =
( galinhas+ frangos = 870) * (−3) •
3 galinhas + 5 frangos = 3.150 −
•
Multiplicando por (-3), facilita.
3 galinhas − 3 frangos = −2610
3 galinhas + 5 frangos = 3.150 2 frangos = 540 30
Exercícios:
Matemática - Resolvidos
2 frangos 540 =
•
frangos
=
540
frangos
2
=
270
======================================================================= 59. Num edifício ha apartamentos de 2 e 4 quartos para alugar. Ao todo são 58 apartamentos. O aluguel de um apartamento de 2 quartos custa R$ 400,00. Se todos os apartamentos fossem alugados, a receita seria de R$ 30.600,00. Acontece que somente apartamentos de 2 quartos foram alugados, resultando assim, num prejuízo de R$ 22.200,00. Pergunta-se quantos apartamentos não foram alugados e qual o valor do aluguel de cada um deles? SOLUÇÃO •
•
•
•
•
X = 2q Y = 4q
X representa os apartamentos de 2 quantos e Y os de 4 quartos
receita = R$30 .600 ,00 X +Y = 58 X = R$400 ,00 Pr ejuízo = R$22 .200 ,00 AlugueisX = receita − prejuízo Y = ?
Todos os apartamento de 2 quartos foram alugados, o prejuízo corresponde ao aluguel dos apartamentos de 4 quartos. Basta-nos, descobrir agora quantos são os apartamentos de 2 quantos? AluguéisX = R$8.400 ,00 R$8.400 ,00 X = R$400 ,00
X = 21
Y = 37 apartament os
Y =
22200 37
Y = R$600 ,00
======================================================================= 60.
Num estacionamento há 76 veículos entre carros e motos. Sabendo que o total de rodas no estacionamento é de 212, pergunta-se, quantos carros e quantas motos há neste estacionamento?
31
