Apostila 1 - Pesquisa Operacional I

Capítulo 1

Programação Linear

1

CAPÍTULO 1

Programação Linear 1.1 Introdução Este capítulo visa estuar alguns problemas e otimi!ação que envolve ma"imi!ar ou minimi!ar uma #unção restrita a certas coniç$es% Estamos sempre interessaos em minimi!ar custos& ma"imi!ar lucros& renimentos etc% ' programação linear ( uma t(cnica que permite a resolução estes problemas no caso especí#ico em que as #unç$es a serem analisaas são lineares%

1.2 Conjuntos Convexos Deinição 1 ) *m subcon+unto , e  ( chamao conve"o se para quaisquer ois pontos ' e e , o segmento AB est. inteiramente contio em ,%

!xem"#o 1. Observe as seguintes regi$es e  %

Pesquisa Operacional I

Jhoab Negreiros

Capítulo 1


/

1.$ %egião Po#iedra# Convexa &e'(ada Deinição 2 ) *m con+unto que ivie um espaço vetorial em ois semi0espaços ( chamao e hiperplano%

!xem"#o 2. Consiere os seguintes espaços vetoriais 

No espaço triimensional o hiperplano ( um plano2



No espaço biimensional o hiperplano ( uma reta2



No espaço uniimensional o hiperplano ( um ponto%

Observe que o hiperplano ivie o espaço vetorial em / semi0espaços%

Para hiperplanos e#inios por uma equação e mais o que tr3s vari.veis não teremos uma visão geom(trica os semi0espaços vetoriais como nos e"emplos anteriores& mas estes conceitos são aboraos a mesma maneira

Deinição $ ) *ma região polieral conve"a #echaa em  ( uma interseção e uma quantiae #inita e semi0espaços #echaos o  %

1.) Desigua#dades Lineares Os semi0espaços são aos por esigualaes lineares& uma esigualae linear ( simplesmente uma equação linear& one o sinal e igual ( substituío por 4&

≤&

5 ou

≥%

!xem"#o $. ,e+a a esigualae linear 2 x + y ≤ 8 % Pesquisa Operacional I

Jhoab Negreiros

Capítulo 1


,olução Primeiramente substituímos o sinal

≤

6

por 7& assim tornamos a esigualae uma

equação linear& representamos essa equação no plano e em seguia& observamos qual semiplano satis#a! a esigualae 8pela simpliciae os c.lculos& geralmente utili!amos a origem o plano para veri#icar a região satis#eita pela esigualae9%

1.* Programação Linear +PL, ' programação linear trata o problema especí#ico e ma"imi!ar ou minimi!ar uma #unção o tipo f ( x1 ,K , xn ) = a1 x1 ,K , an xn + b,

restrita a um subcon+unto ' polieral conve"o e  % Na linguagem e programação linear 8PL9& f ( chamaa #unção ob+etivo 8#%o%9 e ' ( enominaa região #actível& ou se+a& região one ( obtia a solução o problema%

Deinição ) ) :aa uma região polieral conve"a #echaa o  & os v(rtices essa região são os pontos a região que satis#a!em um os possíveis sistemas e  equaç$es lineares inepenentes& obtias substituino0se as esigualaes por igualaes%

!xem"#o ). Observe a situação a seguir& one h. uma empresa que pretene otimi!ar a proução mensal e ois proutos ' e -


Jhoab Negreiros

Capítulo 1


;

Nesta situação ( necess.ria entener que 

O ob+etivo ( ma"imi!ar o lucro total a vena a proução2



' proução est. superiormente limitaa pelos 6<< metros e maeira e 11< horas e trabalho isponíveis2



,ão possíveis v.rios níveis e proução2



:os possíveis níveis e proução ( necess.rio conhecer qual ou quais poem classi#icar0se e =timos%

Como "rogramar matemati'amente esta situação +mode#o matem-ti'o #inear, "ara oter inormaç/es "ara a tomada de de'isão0 Primeira "ergunta >uantas uniaes e ' e - poemos prou!ir? :e#inir as uas vari.veis e ecisão "1 como o n@mero e uniaes o prouto '2 "/ como o n@mero e uniaes o prouto -%

egunda "ergunta >ue valores poemos amitir para as vari.veis e ecisão? Em "1 uniaes e ' consomem0se 6<" 1 metros e maeira2 Em "/ uniaes e - consomem0se /<" / metros e maeira% Não poemos ultrapassar os 6<< metros e maeira isponíveis então 30 x1 + 20 x2 Pesquisa Operacional I

≤ 300

%

Jhoab Negreiros

Capítulo 1


A

Em "1 uniaes e ' consomem0se A" 1 horas e trabalho2 Em "/ uniaes e - consomem0se 1<" / horas e trabalho% Não poemos ultrapassar as 11< horas e trabalho isponíveis então 5 x1 + 10 x2 ≤ 110 % E a restrição e não negativiae o problema x1 ≥ 0 e x2

≥

0%

Ter'eira "ergunta >ual o ob+etivo a ser alcançao com a proução e ' e -? O lucro a vena e 1 uniae e ' ( e B 2 O lucro a vena e 1 uniae e - ( e B D% O lucro total a vena e " 1 uniaes e ' e e " / uniaes e - ( e 6 x1 + 8 x2 % O ob+etivo ( conhecer o maior valor que ( possível ao atingir o lucro total 6 x1 + 8 x2 & ou se+a& ( necess.rio calcular o m."imo a #unção linear f ( x1 , x2 ) = 6 x1 + 8 x2 & conicionao s restriç$es%

%esumindo 

Fa"imi!ar o lucro total as venas f ( x1 , x2 ) = 6 x1 + 8 x2 8#unção ob+etivo92



Gestriç$es o problema 5 x1 + 10 x2



Madeira : 30 x1 + 20 x2

≤ 300

e

Horas de trabalho :

≤ 110 2

Gestriç$es e não negativiaes x1 , x2

≥

0%

3eometria do mode#o de Programação Linear

Consiere um sistema e ei"os cartesianos com o ei"o as abscissas associao a " 1 8proução e '9 e o ei"o as orenaas associao a " / 8proução e -9% Gela"ano a conição e esigualae as restriç$es t(cnicas& estas passam a ser equaç$es que e#inem retas% Caa uma estas retas ivie o espaço  em ois semi0espaços%

' #igura a seguir apresenta o sistema e ei"os e as uas retas


Jhoab Negreiros

Capítulo 1




Pela conição e não negativiae temos que& somente os pontos o 1H quarante são soluç$es amissíveis% Pela outras restriç$es t(cnicas os problemas obtemos a região as possíveis soluç$es o problema% Pelas interseç$es e toos os semi0espaços e#inios pelas esigualaes temos a região polieral conve"a #echaa 8região #actível9% ' #igura a seguir apresenta o espaço e soluç$es possíveis 8região #actível9


Jhoab Negreiros

Capítulo 1




>ualquer ponto a região #actível ( uma possível solução& então agora resta saber qual este ponto torna o valor m."imo para a #unção ob+etivo%

Consiere 

' #unção tem valor <& a equação esta curva e nível ( 6 x1 + 8 x2



' #unção tem valor /;& a equação esta curva e nível ( 6 x1 + 8 x2

=

24 2



' #unção tem valor ;D& a equação esta curva e nível ( 6 x1 + 8 x2

=

48 %

=

02

:a an.lise a #igura acima& veri#icamos que o valor a #unção aumenta  meia que nos a#astamos a origem& então a @ltima curva e nível que poemos traçar conteno um ponto a região #actível ( a corresponente ao m."imo a #unção ob+etivo%

Obs ,e a @ltima curva e nível pertencer a mais o que um ponto a região #actível& haver. v.rias soluç$es =timas alternativas& i!emos que a solução =tima ( ineterminaa ou m@ltipla%


Jhoab Negreiros

Capítulo 1

' #igura a seguir mostra que o ponto e interseção as retas 5 x1 + 10 x2

D


= 110

30 x1 + 20 x2

= 300

e

( o ponto =timo com coorenaa 8;& 9 seno o m."imo a #unção ob+etivo

f (4, 9) = 6 × 4 + 8 × 9 = 24 + 72 = 96

' proução =tima (& portanto e ; uniaes e ' e  uniaes e - a que est. associaa o lucro m."imo e  =lares%

4etor gradiente O graiente a #unção ( perpenicular s curvas e nível a #unção e inica a ireção e o sentio em que a #unção aumenta mais rapiamente& portanto poemos utili!.0lo para ienti#icar o ponto =timo na região #actível% O vetor graiente ( o con+unto as erivaas parciais e uma #unção e representaremos por  ,  , … ,     ,  , … ,  

Getornano ao e"emplo& calculemos o graiente a #unção ob+etivo%  ,      6,   8 Pesquisa Operacional I

Jhoab Negreiros

Capítulo 1




' @ltima reta que se poe traçar inica o ponto ou pontos em que a #unção atinge o seu m."imo% Na #igura a seguir poemos ver o espaço as soluç$es amissíveis& o graiente a #unção e as curvas e nível na origem os ei"os 8#unção com valor nulo9 e no ponto =timo 8#unção com valor 9%

Obs ,e o ob+etivo #or minimi!ar a #unção ob+etivo& o sentio em que a #unção ecresce ( o oposto ao inicao pelo vetor graiente%

!xem"#o *. Consiere que um agricultor queira aubar a sua plantação e isponha e ois tipos e aubo% O primeiro cont(m 6 g e #=s#oro& 1 g e nitrog3nio e D g e pot.ssio& e custa B 1< por quilograma% O seguno tipo cont(m / g e #=s#oro& 6 g e nitrog3nio e / g e pot.ssio& e custa B D por quilograma% ,abemos que um quilograma e aubo . para 1< mK e terra& e que o solo em que estão suas plantaç$es necessita e pelo menos 6 g e #=s#oro& 1&A g e nitrog3nio e ; g e pot.ssio a caa 1uanto o agricultor eve comprar e caa aubo& para caa 1

Jhoab Negreiros

Programação Linear 1<

Capítulo 1

" primeiro aubo

 seguno aubo

Necessiaes mínimas e aubo

M=s#oro

6

/

6

Nitrog3nio

1

6

1&A

Pot.ssio

D

/

;

Custo B 1<

Custo B D



Chamemos e " a quantiae em g o primeiro tipo e aubo e  a o seguno tipo2



Primeira restrição x ≥ 0 e y ≥ 0 2



,eguna restrição 3 x + 2 y ≥ 3 2



erceira restrição x + 3 y ≥ 1, 5 2



>uarta restrição 8 x + 2 y ≥ 4 %

Colocano num gr.#ico as quantiaes " 8como abscissa9 e  8como orenaa9 temos


Jhoab Negreiros

Capítulo 1

Programação Linear 11

1.5 Atividades !xer'6'io 1. Maça o gr.#ico os seguintes sistemas e esigualaes simultneas  2 x − y ≤ 4  8a9  x + y ≥ −1  y ≤ 4   x ≥ 0  y ≥ 0  8b9   x + y ≤ 2  2 x + y ≤ 3  x ≥ 0  8c9  y ≥ 0 3 x + y ≥ 2   4 x + 3 y ≤ 12  89  x − 2 y ≤ 2  y − 3 x ≤ 3 

!xer'6'io 2. :etermine o valor m."imo e o valor mínimo a #unção lucro L = 15 x + 25 y & su+eita s seguintes coniç$es

 x ≥ 0  8a9  y ≥ 0 3 x + 4 y ≤ 15   x ≥ 0  y ≥ 0  8b9   x ≤ 5  y ≤ 3  x ≥ 0  y ≥ 0  8c9   x + y ≤ 25  2 x + 2 y ≥ 10

!xer'6'io $. :etermine o m."imo a #unção e"pressa por 2 x + y, su+eita s restriç$es x ≥ 0 & y ≥ 0 & x + y ≤ 3 e 4 x + y ≤ 0  Pesquisa Operacional I

Jhoab Negreiros

Programação Linear 1/

Capítulo 1

!xer'6'io ). 8Problema e economia9 *m comerciante vene ois tipos e artigos& ' e -% Na vena o artigo ' tem um lucro e /< por uniae e na vena o artigo -& um lucro e 6<% Em seu ep=sito s= cabem 1<< artigos e sabe0se que por compromissos +. assumios& ele vener. pelo menos 1A artigos o tipo ' e /A o tipo -% O istribuior poe entregar ao comerciante& no m."imo& < artigos ' e A< artigos -% >uantos artigos e caa tipo everão o comerciante encomenar ao istribuior para que& supono que os vena toos& obtenha o lucro m."imo?

!xer'6'io *. 8Problema e transporte9 *ma #irma comercial tem ;< uniaes e mercaoria no ep=sito :1 e A< uniaes no ep=sito :/% :eve enviar 6< uniaes ao cliente ' e ;< ao cliente -% Os gastos e transporte por uniae e mercaoria estão inicaos no esquema abai"o% :e que maneira eve enviar essas mercaorias para que o gasto com transporte se+a mínimo?

!xer'6'io 5. 8Problema e ieta9 :ois proutos P e > cont3m as vitaminas '& - e C nas quantiaes inicaas na tabela a seguir% ' @ltima coluna inica a quantiae mínima necess.ria e caa vitamina para uma alimentação saia& e a @ltima linha inica o preço e caa prouto por uniae% >ue quantiae e caa prouto uma ieta eve conter para que proporcione uma alimentação saia com o mínimo custo?

P

7

A

6

1

1/

8

6

;

6<

C

/



/D

6

/

!xer'6'io 9. *ma empresa #abrica ois proutos& ' e -% O volume e venas e ' ( e no mínimo D
Jhoab Negreiros

Programação Linear 16

Capítulo 1

lb% 's ta"as e utili!ação a mat(ria0prima são / lb por uniae e ' e ; lb por uniae e -% Os lucros unit.rios para ' e - são B /< e B A<& respectivamente% :etermine a quantiae e caa prouto para que o lucro se+a m."imo%

!xer'6'io :. *ma empresa #abrica chapas e barras e alumínio% ' capaciae m."ima e proução estimaa são D<< chapas ou << barras por ia% ' emana m."ima i.ria são AA< chapas e AD< barras% O lucro por tonelaa ( B ;< por chapa e B 6A por barra% :etermine a quantiae =tima e proução i.ria%

!xer'6'io ;. *m inivíuo quer investir B A%<<< no pr="imo ano em ois tipos e investimento o investimento ' rene AQ e o investimento - rene DQ% Pesquisas e mercao recomenam uma alocação e no mínimo /AQ em ' e no m."imo A
!xer'6'io 1<.

*ma m.quina prou! ois tipos ' e - e #rascos e viro& mas não

simultaneamente% 'o prou!ir um #rasco o tipo '& ela gasta <&/ horas& e ao prou!ir um tipo -& gasta <&; horas% ,abeno que a m.quina poe trabalhar no m."imo 1 horas por ia e que o #abricante tem um lucro e B / com um #rasco tipo ' e B 6 com um #rasco tipo -& quantos #rascos e caa tipo evem ser prou!ios para que o lucro se+a m."imo?

!xer'6'io 11. *ma companhia e transporte isp$e e ; caminh$es com capaciae para transportar A%<<< g& ; caminh$es e 1<%<<< g e capaciae e / caminh$es e /<%<<< g e capaciae% O custo por hora os caminh$es o primeiro tipo ( B /<<& o seguno B 6<< e o terceiro B ;<<% Como evem ser usaos os caminh$es para transportar uma carga e D<%<<< g& para que o custo se+a mínimo?

!xer'6'io 12. *ma in@stria prou! porcas& para#usos e pregos& poeno usar ois m(toos istintos 8mas não simultaneamente9 para prou!i0los% O primeiro m(too prou! 6%<<< porcas& /%<<< para#usos e /%A<< pregos por hora& enquanto o seguno prou! ;%<<< para#usos e ;%<<< pregos por hora& mas nenhuma porca% ' in@stria trabalha 1D horas por ia e tem uma encomena e A%<<< porcas& A%<<< para#usos e A%<<< pregos% :urante quantas horas ela eve empregar caa m(too para #a!er a entrega o mais rapiamente possível? Pesquisa Operacional I

Jhoab Negreiros

Capítulo 1

Programação Linear 1;

!xer'6'io 1$. Numa in@stria química h. uma caleira cu+a margem e segurança ( tal que a pressão P meia em atmos#eras& e a temperatura & meia em graus Celsius& evem ser regulaas e maneira que 10P + T ≤ 400 % >uer0se usar a caleira para que se+a processaa uma eterminaa reação% Para que isto ocorra a #orma ese+aa& a temperatura eve estar entre D

Jhoab Negreiros

Apostila 1 - Pesquisa Operacional I

Recommend Documents