UNIVERSIDAD NACIONAL SEDE MANIZALES FACULTAD CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES GRUPOS 4 Y 8 TEMA: APLICACIONES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES DE PRIMER PRIMER ORDEN DOCENTE: Cristian Felipe Jiménez Varón-Agosto 2017 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Crecimiento y decaimiento
1. El método de carbono 14 se usa a menudo para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una cueva de Sudáfrica se encontró un cráneo humanoide junto con los restos de una fogata. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo es igual a la de la fogata. Se ha establecido que solamente un 2 % de la cantidad original de carbono 14 queda en la madera quemada de la fogata. Calcule la edad del cráneo si la semivida del carbono 14 es aproximadamente aproximadamente de 5600 años 2. Muchos creen que el Santo Sudario de Turín, que muestra un negativo de la imagen de un cuerpo de un hombre crucificado, es la mortaja de Jesús de Nazareth. En 1988 , el Vaticano otorgó autorización para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorios científicos independientes, que analizaron la tela, llegaron a la conclusión que tiene unos 660 años, edad que coincide con su aparición histórica. Con esta edad, determine que porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en la tela en 1988 Mezclas
3. Un tanque de salmuera contiene inicialmente 100 gal de agua pura. Comenzando en t=0, una salmuera que contiene 4 lb de sal por galón entra al tanque a razón de 5 gal/min. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación y estando bien agitada sale con una rapidez de 3 gal/min a. ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 20 minutos? b. ¿Cuándo habrá en el tanque 50 lb. de sal ? 4. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia en interior de un órgano a razón de 3 cm3/seg y sale de el a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen liquido de 125 cm3. Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0.2 g/cm3. ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento?. ¿Cuándo la concentración del medicamento en el órgano será de 0.1 g/cm 3? 5 Una cierta sustancia química se convierte se convierte en otra mediante reacción química. La rapidez con la que la primera sustancia se convierte es proporcional a la cantidad de esta sustancia presente en cualquier instante, 10 de la cantidad original de la primera sustancia se ha transformado en 5 min. min. a. ¿Qué porcentaje de la primera sustancia química se habrá convertido en 20 min? b. ¿En cuantos minutos se habrá convertido convertido el 60% de la primera sustancia?
Modelos lineales
6. Una piedra que pesa 4 libras cae desde el reposo hacia la Tierra desde una gran altura. A medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a 12 v (en libras), donde v es la velocidad instantánea (en pies por segundo). a. Determine la velocidad y distancia recorrida después de t segundos b. Determine la velocidad y distancia recorrida al final de 5 segundos 7. Una pelota que pesa 6 libras se lanza verticalmente hacia la superficie terrestre desde una altura de 1000 pies con una velocidad inicial de 6 pie/seg. A medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a 23 v (en libras), donde v es la velocidad instantánea ( en pies por segundo) a ¿Cuál es la velocidad y distancia recorrida al final de un minuto? b ¿Con que velocidad choca la pelota contra la Tierra? 8. Una pelota que pesa 34 libra se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 6 pies arriba de la superficie terrestre y con una velocidad inicial de 20 pies/seg. A medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a 1 6 4 v (en libras) ¿ A que altura llegará la pelota? 9. Un barco que pesa 32000 toneladas parte desde el reposo bajo la fuerza constante de arrastre de 100000 libras. La resistencia en libras es numéricamente igual a 8000 v , donde v está en pies por segundo. a. Determine la velocidad del barco como una función del tiempo b. Determine la velocidad límite ( es decir, el límite de v cuando t ) c. Determine la distancia que debe recorrer el barco para alcanzar una velocidad de 80% de la velocidad límite 10. Un cuerpo de masa 100 gramos se deja caer desde el reposo hacia la Tierra desde una altura de 1000 metros. A medida que cae, actúa sobre este una resistencia (en newtons) que es proporcional a la velocidad v (en metros por segundo). Suponga que la velocidad límite es 245 m/s a. Calcule la velocidad y distancia recorrida después de t segundos b. Calcule el instante en que la velocidad es un quinto de la velocidad límite 11. Dos personas viajan en un bote y el peso combinado de los dos, el motor, el bote y el equipo es 640 libras. El motor ejerce una fuerza constante de 20 libras sobre el bote en la dirección del movimiento. Mientras que la resistencia (en libras) es numéricamente igual a una y media veces la velocidad (en pies por segundo). Si el bote parte desde el reposo, calcule la velocidad del bote después de (a) 20 segundos, (b) un minuto 12. Un objeto con masa 3 kg se sujeta a partir del reposo, a 500 m. de altura se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza gravitacional es constante (esto es g = 9.81 m/seg 2 ) y que la fuerza debida a la resistencia del aires es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad k = 3 kg/seg, determine en que momento el objeto golpeara contra el suelo
13. Un paracaidista cuyo peso (masa, en realidad) es de 75 kg se deja caer desde un helicóptero que se mantiene suspendido a 4000 m de altura y cae bajo la influencia de la gravedad. Supóngase que la fuerza gravitacional es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a al velocidad del paracaidista, con constante de proporcionalidad k 1 15 kg/seg cuando el paracaídas esta cerrado y con constante k 2 105 kg/seg cuando el paracaídas esta abierto. Si el paracaídas no se abre sino un minuto después de que el paracaídas abandona el helicóptero, ¿al cabo de cuantos segundos llegara a la superficie? 14. Bajo ciertas circunstancias naturales, la población de ratones de una cierta isla podría aumentar con una rapidez proporcional al número de ratones presentes en cualquier tiempo, considerando que en la isla no habían gatos. En la isla no hubo gatos desde principios de 1960 hasta principios de 1970, y durante este tiempo la población ratonil se duplicó, alcanzando el número de 100.000 a principios de 1970. En este tiempo la gente de la isla se alarmó por el número cada vez mayor de ratones. Importó un cierto numero de gatos para acabar con ellos; si la rapidez de crecimiento natural indicado fue de ahí en adelante contrarrestado por la actividad de los gatos, que mataron 1.000 ratones cada mes, ¿cuántos ratones quedaron a principios de 1971? Circuitos en serie
15. Un acumulador de 12 voltios se conecta a un circuito en serie, con una inductancia de 12 henrios y una resistencia de 10 ohmios. Determinar la corriente i si la corriente inicial es cero 16. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 voltios a un circuito en serie LR con 0.1 henrios de inductancia y 50 ohmios de resistencia. Determine la corriente i(t ) , si i(0) =0. Halle la corriente cuando t 17. Se aplica una fuerza electromotriz E (t )
120,0 t 20
0, t 20
A un circulito en serie LR , en donde la inductancia es de 20 henrios y la resistencia de 2 ohmios. Determine la corriente i(t ) , si i(0) =0
Tomado de
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. S. L. Ross FUNDAMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. R. Kent NagleEduard B Salf. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MODELADO. Dennis Zill.
