APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL EN INGENIERIA INDUSTRIAL
RESUMEN
La ingeniería, cómo el pilar principal del mundo actual, sustenta sus avances en el modelamiento matemático de la realidad. Este modelamiento por ejemplo se logra con ayuda del cálculo diferencial en diferentes aspectos industriales, sobre todo en la búsqueda de la optimización, que es en esta ocasión el motivo del presente artículo.
INTRODUCCIÓN
La ingeniería y la matemática están estrechamente vinculadas debido a que los conocimientos matemáticos son algunas de las herramientas fundamentales con que los ingenieros analizan, evalúan y resuelven muchos de sus problemas o proyectos. Para los estudiantes de ingeniería industrial la derivada constituye uno de los conceptos fundamentales a aprender y a aplicar, por sus aplicaciones para la evaluación del comportamiento de modelos matemáticos representativos de situaciones reales, como es el caso de análisis de rapidez de variación, tasa de cambio, sensibilidad, optimización, análisis de curvas, etc.
Es determinar el grado de conocimiento sobre el manejo de las derivadas y sus aplicaciones que tienen los estudiantes de Ingeniería, específicamente los estudiantes de Ingeniería Industrial y en todas las especialidades de Ingenierías.
Siguiendo el modelo semiótico-antropológico para la investigación en didáctica de las matemáticas, se toman en consideración las tres dimensiones básicas involucradas en un problema de investigación sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática: epistemológica, cognitiva e instruccional.
Fermat fue el primero en utilizar la derivada; mediante un ingenioso método puramente algebraico determinó máximos y mínimos de funciones polinomiales. Newton utilizó un lenguaje que dificultó el entendimiento de su descubrimiento; cantidades fluentes, fluxión y momentos eran equivalentes a funciones, derivadas y diferenciales. Leibnitz introdujo la notación para la derivada y utilizó el triángulo diferencial. La fase de desarrollo de la derivada corresponde a Euler y Lagrange; Cauchy formula la definición actual de la derivada como un límite.
Aspectos cognitivos:
"La complejidad del paso de la derivada en un punto a la función derivada"
....y presentan un detalle del entramado de funciones semióticas que debe activar el alumno para comprender la definición de derivada.
Esta es la regla fundamental para una derivación, es una función matemática que se aplica en todas las aplicaciones, espectroscopia, resistencia de materiales, etc.
Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc.; esto es algo fundamental para el estudio de poblaciones, de fluidos, de dinámica, de termodinámica, y de química.
RESULTADOS
En una ingeniería industrial se ocupa en la inversión que genera una rentabilidad en precios o costos realizados en la industria como se muestra en el siguiente ejemplo:
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula:
R(x)=-0.002x2+0.8x-5
Donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500Q:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La primera derivada nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función: R'(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve, la ecuación que resulta:
-0.004x+0.8=0
0.8=0.004x
x=200
Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:
Se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos:
R´ (100)=0,4>0
Y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300)
R´(300)=-0,4<0
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local (relativo)
b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200Q.
c) La máxima rentabilidad es:
R(200)= -0.0022002+0.8200-5=75Q
CONCLUSIÓN
Se concluye que el cálculo diferencial es de suma importancia así como también el conocimiento preciso y exacto de la derivada en situaciones reales que están relacionadas en la carrera de ingeniería industrial ya que por medio de una derivación se pueden determinar en este caso fondos de inversión entre otras situaciones de la vida cotidiana, siempre hay que tomar en cuenta que es un trabajo que lleva tiempo y dedicación para tener resultados óptimos que ayuden a una mejor comprensión y desarrollo de lo que se quiere saber.
Además, que el cálculo diferencial es la herramienta básica de aplicación de modelamiento matemático a la ingeniería industrial, y en general a toda rama de ingeniería.
BIBLIOGRAFÍA
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Cálculo, Purcell, Edwin J.; Varberg, Dale; Ringon, Steven E., Pearson Educación, México, 2007
