CÁLCULO DIFERENCIAL

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

LIC. RAÚL S. ALEMÁN SALAZAR DIRECTOR GENERAL

ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZ DIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA

Edición, agosto de 2013

Diseñado por: Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila Ing. Mayra de la Peña Castro Ing. Luis Gutiérrez Álvarez Revisado por: Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila

La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California, prohibida la reproducción total o parcial de esta obra.

En la realización del presente material, participaron: JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno; EDICIÓN, Gerardo Enríquez Niebla / Diana Castillo Ceceña

ÍNDICE

PRESENTACIÓN

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS

BLOQUE I:

ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS MA TEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES………...... REALES……….............................…..2 .......................…..2

BLOQUE II:

RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES RESUELVES DE CARÁCTER ECONÓMIC ECONÓMICO, O, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL…………… SOCIAL………………………………… ………………………………………… ………………………………........................ ………….............................….16 .....….16

BLOQUE III: CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONÓMICOS, ECONÓMICO S, ADMINISTRATIVOS, EN LA AGRICULTURA, EN LA GANADERÍA Y EN LA INDUSTRIA……… INDUSTRIA………………………........ ……………….............................……...46 .....................……...46

BLOQUE IV: IV: CALCULAS E INTERPRETAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS SOBRE LOS FENÓMENOS QUE HAN CAMBIADO EN EL TIEMPO DE LA PRODUCCIÓN INDUSTRIAL O AGROPECUARIA…… AGROPECUARIA……………….................... ………….............................…….85 .........…….85

PRESENTACIÓN

¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico que pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento, destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las utilice para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma retos, etc.

En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la formación y consolidación

del perl de egreso en el bachiller de tal forma que pueda contar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un mundo cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y

escenarios reales, donde pongan en juego, movilice y transera las competencias desarrolladas.

Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los docentes en los cursos de instrumentación didáctica de los programas de estudio que se desarrollaron en el marco de la Reforma Integral de

la Educación Media Superior (RIEMS), donde pusieron de maniesto su experiencia, conocimiento y compromiso ante la formación de los jóvenes bachilleres. Así mismo, se podrá consultar en la página Web del Colegio: www.cobachbc.edu.mx, en la sección de PADRES / Material Didáctico.

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e inuir en él), contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perl del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se auto determina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos m ediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reexiva.

Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, grácos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, grácas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y cientícos.

ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES

I e u q o l B

BLOQUE I

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

Reconoce el campo de estudio del Cálculo Diferencial, destacando su importancia en la solución de modelos matemáticos aplicados a situaciones cotidianas. Relaciona los modelos matemáticos con su representación geométrica para determinar áreas y volúmenes en cualquier situación de su vida cotidiana.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos. Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del Cálculo y los contrasta con su aplicación en situaciones reales.

Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos matemáticos sencillos y su representación gráca. Enfrenta las dicultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos matemáticos.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

Evolución del Cálculo. Modelos matemáticos: Un acercamiento a máximos y mínimos.

2


Las matemáticas existen porque día a día nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podríamos hacer la mayoría de nuestra rutina, necesitamos las matemáticas constantemente, en la escuela, en la ocina, cuando vamos a preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemáticas han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo. Pero lo más misterioso de todo es que las matemáticas son el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea.

¿Cuáles son los benecios de la Matemáticas en tu vida? Antecedentes del Cálculo: El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones, entre otras la determinación de longitudes, áreas y v olúmenes.

ACTIVIDAD 1 En equipos de 5 integrantes, investiga lo que se te pide a continuación: 1. El origen del Cálculo en orden cronológico. 2. Las aportaciones hechas por Newton y Leibniz. 3. ¿Cuál es la importancia y aplicaciones del Cálculo?

4. Al nal se expone frente al grupo de clases. En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes formas, esto es: tablas, grácas, entre otras. En un problema importante es establecer la dependencia de las variables, es decir, determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, por ejemplo: El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, depende de la velocidad que lleva. El volumen que hay en un recipiente expuesto a la intensidad del calor y el tiempo que duraría expuesto.

3

BLOQUE I

Cuando se tiene el registro numérico de un problema, tal c omo la velocidad, fuerza, presión temperatura, se pueden analizar varios aspectos (factores), se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una gráca o bien, si no se tiene toda la información del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se llevó a cabo.

Situación didáctica 1: Los alumnos de la materia de cálculo desean elaborar una caja de cartón sin tapa para archivar sus trabajos, a partir de una pieza de cartón de dimensiones 60 por 40 cm, cortando cuadrados iguales de longitud x en cada una de las esquinas y doblando los lados (como se muestra en la gura). Es obvio que el tamaño de la caja va a variar y va a depender del tamaño de los cuadrados que recortemos.

Conicto cognitivo ¿Cuál será el tamaño más adecuado de los cortes para obtener la caja más grande?

¿Cuál será el modelo matemático para calcular el área de la base de la caja?

¿Cuál será el modelo matemático para calcular el volumen de la caja?

4


Para cada modelo matemático obtenido, ¿podrías hacer una tabla de valores y construir la gráca? ÁREA

X -3 -2 -1 0 1 2 3

VOLUMEN

Y

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Utilizando distintos colores, traza la gráca del área y volumen con los datos anteriores utilizando la escala que creas conveniente.

5

BLOQUE I

ACTIVIDAD 2 A continuación se muestran ejemplos de diferentes tipos de funciones algebraicas y funciones trascendentes con su respectiva gráca, solo como recordatorio; puede ser útil a lo largo del curso de Cálculo Diferencial. Después se te presenta una actividad donde tendrás que realizarla de manera individual y socializarla con el resto del grupo para obtener una conclusión.

Funciones algebraicas:

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Función lineal. y = 3x – 4

Función cuadrática. y = x 2 – 2

Función cúbica y = x 3 – 3x

Función cúbica y= -x3+ 3x - 1


Funciones trascendentes: Función seno y = sen x

Función coseno y = cos x

Función exponencial de la forma y = a x y = 2x

Función exponencial de la forma y = e x

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BLOQUE I

Instrucciones: En las siguientes grácas, identica las coordenadas donde la función adquiere el valor más alto (máximo) y el valor menor (mínimo) y escríbelo en el espacio correspondiente.

Resultado ______________________________

Resultado ______________________________

8

Resultado ______________________________

Resultado ______________________________


ACTIVIDAD 3 Trabajar en equipos de 4 integrantes, con una hoja de papel en la cual el largo sea el doble que el ancho (puedes recortar la hoja). Desarrolla el modelo matemático en función del ancho (x) para determinar el área y contesta lo que se te pide posteriormente.

Modelo matemático del área A = (

)(

)

X

Completa la tabla de variación del área.

Ancho(x) en cm

0

2

5

10

15

Área (y) en cm2

Posteriormente traza la gráca observando cómo cambia el área al variar el ancho. y Área en cm2 450 400 350 300 250 200 150 100 50 x 5

10

15 Ancho en cm 9

BLOQUE I

ACTIVIDAD 4

En parejas contesta lo siguiente: En un hotel hay una alberca en forma de prisma rectangular y un jacuzzi de forma cilíndrica.

a) La alberca tiene dimensiones en metros: ancho=x, largo=2x+10 y

alto= x-8

¿Cuál es el modelo matemático para el área del piso de la alberca? ¿Cuál es la fórmula para determinar el volumen de un prisma rectangular? ¿Cuál es el modelo matemático para el volumen? ¿Cómo varia el volumen al variar el ancho de la alberca?, ¿si el ancho aumenta, el volumen aumenta o disminuye? b) Las dimensiones del jacuzzi son: radio= x y la altura=x-1 ¿Cuál es el modelo matemático para determinar el área de la base del jacuzzi? ¿Cuál es el modelo matemático para el volumen? Si el radio aumenta, ¿el volumen aumenta o disminuye?

10


Utiliza colores distintos para lo que se te pide a continuación. Traza la gráca de radio del piso del jacuzzi contra área(a) del piso del mismo(r) para que observes cómo varía el área del piso si varia el radio. Traza la gráca de ancho del piso de la alberca contra área(a) del piso del mismo(r) para que observes cómo varía el volumen de la alberca si varía el ancho.

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BLOQUE I

Comenta tus observaciones en ambos casos.

Observaciones

ACTIVIDAD 5 Forma equipos de 4 integrantes y contesten la siguiente situación. Con un cartón de dimensiones de 20 por 30 cm respectivamente para la elaboración de una caja (como se propuso en la situación didáctica), un galón de leche vacio y otro lleno de arroz. Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas (tienes la libertad de elegir el tamaño(x)) después se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se muestra en la gura.

X X 12


Contesta lo siguiente: ¿Cuál es el modelo matemático (en función de x) para determinar el área de la gura? ¿Cuál es el modelo matemático del volumen?

Llena la caja con arroz y vacíala en los galones. Compara los volúmenes de las diferentes cajas c on tus compañeros. ¿Qué equipo obtuvo el máximo volumen? Si se utiliza la misma pieza de cartón (20 x 30 cm), ¿qué dimensión varia para obtener los diferentes volúmenes de las cajas? Nota: en esta última actividad tendrás que autoevaluarte y evaluar a un compañero de equipo, con los formatos que se te dan a continuación.

AUTOEVALUACIÓN: Marca con una x.

CRITERIOS Excelente ¿Cómo fue tu participación en la toma de decisiones para la organización de tu equipo? ¿Colaboraste activamente en las actividades? ¿Cómo consideras tu participación en el desarrollo algebraico de los ejercicios de la actividad? ¿Inuiste en la solución de los obstáculos presentados en la actividad?

Buena

Regular

Insuciente

Ahora anota en el espacio en blanco tus fortalezas y debilidades en el desarrollo de este bloque: _________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________

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BLOQUE I

COEVALUACIÓN: Evalúa a un compañero de tu equipo, y así sucesivamente hasta que todos evalúen a todos. Nombre del evaluador: _________________________________________________________________________ Nombre del evaluado:__________________________________________________________________________

CRITERIOS ¿En qué grado ayudó tu compañero en las actividades? ¿Respetó las opiniones de los demás? ¿Formó parte de las decisiones? ¿Cómo consideras la participación de tu compañero en la construcción de los resultados?

Observaciones:

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Excelente

Bien

Regular

Insuciente

RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

I I e u q o l B

BLOQUE II


Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana.

Calcula límites a partir de la elaboración de grácas en derive y su interpretación de las representaciones grácas de funciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

Interpreta grácas de funciones continuas y discontinuas analizando el dominio y contradominio; y argumenta el comportamiento gráco de la variable dependiente (y) en los punto (s) de discontinuidad. Explica e interpreta los valores de una tabla, calcula valores cercanos a un número y analiza el comportamiento en los valores de la variable dependiente en problemas de su entorno social, económico y natural.

Explica e interpreta diferentes representaciones grácas y determina límites que tienden a innito positivo o negativo, a cero, limites laterales por la izquierda y por la derecha, y límites nitos, de los objetos naturales que lo rodean. Argumenta la solución obtenida de un problema económico, administrativo, natural o social, mediante la teoría de los límites.

Valora el uso de las TIC en el modelado gráco y algebraico de los límites para facilitar su interpretación y simulación en la resolución de problemas presentes en su contexto. Formula y resuelve problemas, a partir del cálculo de dominio y contradominio de las funciones algebraicas para determinar sus límites, demostrando su habilidad en la resolución de problemas algebraicos. Determina límites para funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

Los límites: su interpretación en una tabla, en una graca y su aplicación en funciones algebraicas. El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes.

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¿Para qué sirven los límites? La denición de límite de una función es un tema fundamental en todos los campos del cálculo; de hecho la derivada, que es el tema principal principal de este curso de cálculo diferencial, es por denición, denición, un límite. Un primer acercamiento a los límites lo tienes cuando los términos términos de una sucesión se van acercando a un número cualquiera rápidamente, rápidamente, entonces decimos que tiende tiende a ese número, o bien, que que su límite es dicho número. número. Debemos decirte que no todas las sucesiones se aproximan a un número, pero las sucesiones que tienen este comportamiento se llaman convergentes. El concepto concepto de límite ha sido sido de de enorme enorme utilidad utilidad en el desarrollo de las matemáticas; matemáticas; en el que se fundamenta el cálculo innitesimal. Aunque muchos matemáticos utilizaron la idea intuitiva de límite, fue el barón de Cauchy (1789-1857), a principios del siglo XIX, quién dio una denición satisfactoria de límite y, en consecuencia, de derivada de una función.

Situación didáctica 1: Jorge es trabajador de una cierta empresa y recibe un sueldo x, x , el cual no le alcanza para cubrir sus gastos. Próximamente espera un aumento en su paga del del 4%, el cual recibirá semestralmente como parte de un incentivo, es decir, cada vez ganará más. También espera que ahora con el nuevo aumento le alcance para su subsistencia. Cuando llega su primer pago, se da cuenta que las cosas que compra habitualmente subieron de precio, obviamente su nuevo sueldo no es suciente. Al pasar otros seis meses recibe otro aumento y esta vez casi logra logra cubrir sus gastos pero la nueva alza alza de precios no le permite permite comprar todo lo que necesita. necesita. Como te habrás dado cuenta, los sueldos siempre están aumentando aumentando pero las cosas y servicios también. Si preguntas a la gente a tu alrededor alrededor sabrás de que esto pasa en la realidad.

Conicto cognitivo ¿Por qué será que los sueldos están siempre aumentando?

¿Crees que Jorge alguna alguna vez gane lo suciente para alcanzar el costo progresivo de las cosas? ¿Crees que en matemáticas esta situación tenga un nombre?

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BLOQUE II

SECUENCIA DIDÁCTICA 1:

ACTIVIDAD 1 Consulta la página http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n,, comenta en pares la paradoja de Zenón “Aquiles y la tortuga”, y explica mediante una recta numérica la distancia recorrida por la tortuga y por Aquiles. Después discutan en plenaria para llegar a una conclusión grupal.

ACTIVIDAD 2 Analiza la siguiente lectura (con ayuda de tu asesor), posteriormente resuelve lo que se te pide. LÍMITES

La noción de “límite”, como palabra ordinariamente usada, la tenemos asociada al signicado de frontera, de borde, de separación entre objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos bolas de billar muy cercanas, tanto que parecen tocarse (véase gura), el punto del espacio que falta para que las bolas, en realidad se unen, lo podríamos llamar límite.

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Similarmente, cuando nos desplazamos sobre una línea recta numerada, horizontalmente hasta llegar lo más cercano que podamos al número 2, sin tocarlo, tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos se convierte en el el punto límite.

X

X

0

X 1

2

Antes de empezar a denir límite, conviene recordar el concepto de “tender”. Cuando decimos, por ejemplo, a qué valor tiende la función nos referimos referimos a qué valor se acerca la función (cabe aclarar que hablamos hablamos de “acercarse”, pero no de “llegar” a ese valor). Denición intuitiva de límite: “E l límite de f(x), cuando x tiende a c, es una constante L”, si la diferencia |f(x) - L| puede hacer tan pequeña como se quiera quiera para todo valor de x sucientemente cercano a c sin que sea igual a c. Lo anterior se escribe con la notación: lím x → c f(x) = L

Investiguemos el comportamiento de la función f denida por f(x) = x 2 - x +2 para valores cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f(x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.

Por la derecha x 1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999 x→2

Por la izquierda

f(x) 2.000000 2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001

X 3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001

f(x) 8.000000 5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001

f(x)→4

x→2

f(x)→4

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BLOQUE II

A partir de la tabla y de la gráca de f (una parábola) que se muestra en la gura, vemos que cuando x esta cercano a 2 (por cualquiera de los dos lados), f(x) lo está de 4. Entonces podemos decir que “el límite de la función f(x)=x 2 -x+2 , cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para esta expresión es:

Denición de límite: Sea f una función denida sobre un intervalo abierto que contiene el número a, excepto cuando a se dene a sí misma. Entonces decimos que el límite de f(x) cuando tiende o se aproxima a a es L y luego escribimos: Ejercicios a) Llena los espacios vacíos de la tabla de acuerdo a los valores de x que se dan y a la función f(x)=x 2 -4, luego escribe tu conclusión en notación de límites.

Por la derecha

20

Por la izquierda

x 1 2 3 3.5 3.9 3.99 3.999

f(x)

X 6 5 4.5 4.2 4.1 4.01 4.001

f(x)

x→

f(x)→

x→

f(x)→


Tu conclusión:

b) De acuerdo con la gráca escribe el límite de la función f(x) = x 2 – x – 2, cuando x tiende a 3.

Tu conclusión:

Observa en la siguiente tabla, las reglas de los límites con sus respectivos ejemplos.

Límite de una constante

Propiedades de los límites El límite de una constante b cuando x tiende a c es la misma constante b, ejemplo:

El límite de x

El límite de x cuando x y tiende a c es c, ejemplo:

El límite de una potencia

El límite de una función elevada a una potencia cuando x tiende a c, es igual a la función elevada a su respectiva potencia, ejemplo:

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BLOQUE II

El límite de una constante por una función )=

El límite de una constante por una función c uando x tiende a c, es igual a la constante multiplicada por el límite de la función, ejemplo:

El límite de una suma

El límite de la suma de un número nito de funciones cuando x tiende a c, es igual a la suma de los límites de las funciones cuando x tiende a c, ejemplo:

)]

1.

2.

El límite del producto

El producto de un número nito de funciones cuando x tiende a c, es igual a producto de los límites de las funciones cuando x tiende a c, ejemplo:

)( El límite de un cociente

El límite de dos funciones cuando x tiende a c, es igual al cociente de los límites de las funciones cuando x tiende a c, siempre que el límite del denominador no sea igual a cero, ejemplo:

Estrategias para hallar límites Aprende a reconocer cuales límites pueden evaluarse por sustitución directa (Estos límites se listan en propiedades de los límites) Si el límite f(x) cuando x tiende a c, no puede evaluarse por sustitución directa, inténtese hallar una función g que coincida con f, para toda x diferente de x=c [Elige g en modo que el límite de g(x) pueda evaluarse por sustitución directa]. Aplica el teorema límx → c f(x) = límx → c g(x) = g(c) Use una gráca o una tabla para reforzar la conclusión a la que llegues. Se recomienda que se observe el video referente a límites en la dirección: http://www.youtube.com/watch?v=Os2bz1-eeEg&feature=fvwrel

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ACTIVIDAD 3

Reúnete en equipo de 3 integrantes y determinen el valor de los límites de las funciones que se les presentan.

)=

) (

)=

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BLOQUE II

Nota: esta actividad servirá para autoevaluarte y evaluar a un compañero de equipo con los formatos que se te dan al nal de este bloque.

Al querer calcular

se observa que no se puede aplicar los teoremas de límites porque para x = 0 se

anula el denominador. Es decir, la función no está denida para x = 0. El comportamiento

al otorgar

valores sucesivos a x que tiendan a cero es el siguiente:

f(x) = 1 x 1 10 100 1000 10000 f(x)→∞

X 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 x→0

Cuando se aproxima a cero, f(x) tiende a un valor positivo muy grande. De hecho, los valores de f(x) pueden aumentar arbitrariamente, si se escoge un valor para x lo bastante cerca de cero. De esta forma los valores de f(x) no tienden a un número, de modo que el límite de f(x) no existe. En general se puede escribir que:

∞

Para indicar que cada vez los valores de f(x) se vuelven cada vez mas grandes cuando X → 0. A menudo, la expresión se lee como “el límite de f(x) cuando x tiende a cero, es innito”.

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En este caso, al hacer que x se vuelva arbitrariamente grande el comportamiento de

X 1 10 100 1000 10000 100000 x→∞

1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 f(x)=0

Si x tiende a valores arbitrariamente grandes, f(x) tiende a c ero. En general, se puede escribir que:

Formas indeterminadas del límite de una función. Al calcular el límite de una función se tiene con frecuencia que no se pude establecer el valor numérico L que corresponde al límite de una función. Se dice entonces que en el límite de f existe una indeterminación la cual puede evitarse mediante transformaciones algebraicas como la factorización, el teorema de divisibilidad de un polinomio y la racionalización de una expresión radical.

Límite indeterminado de la forma Cuando se sustituye x por c para calcular el límite de una función, f toma algunas veces la forma indeterminada . Sin embargo, f tiene un límite a medida que x tiende a c. este límite pude calcularse al factorizar y simplicar la función equivalente. Por ejemplo: Calcular: Forma indeterminada

Para evitar la indeterminación

, se factoriza el numerador y se obtiene para f una función equivalente. Esto es:

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BLOQUE II

Calculando nuevamente el límite, se tiene:

(límite real de la función) Entonces, para poder darle solución al límite indeterminado de la forma de factorización:

es necesario recordar algunos métodos

FACTORIZACIÓN

Signica descomponer la expresión algebraica en dos o más factores, tales que al multiplicarse dan como resultado dicha expresión. Por ejemplo:

)( Lee con atención los siguientes casos y resuelve en equipos de dos los ejercicios planteados

Factorización de un polinomio por factor común. Al factorizar, buscamos el factor común en cada término de la expresión con el coeciente común más grande posible y la variable común con el menor exponente. Por ejemplo:

Coecientes mayores 4 x 3 = 12 4x2=8 Variable común con el menor exponente

Entonces, el factor común es: 4x Así que el resultado es:

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Ejemplos: a) Factorizar b2+3yb

b) Factorizar 8a2 b2-20a3

c) Factorizar 12x4 y+27x3 y-3x2 y3

Factorización de una diferencia de cuadrados. Al multiplicar dos binomios conjugados se obtiene una diferencia de cuadrados. Por ejemplo: (2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2 Para factorizar una diferencia de cuadrados se procede de la s iguiente manera: 1. Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos cuadráticos. 2. Se escriben las raíces encontradas como una multiplicación de binomios conjugados Ejemplos: a) Factorizar 9m2-4

b) Factorizar 25y2-16x4

c)Factorizar 4x6-81

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. El resultado del cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: (2m+3n)2 = 4m2+12mn+9n2 ═ trinomio cuadrado perfecto (TCP).

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BLOQUE II

Para factorizar un TCP se procede de la siguiente manera: 1. Se extrae raíz cuadrada a los términos cuadráticos. 2. Se comprueba que el doble producto de las raíces encontradas es igual al segundo término del TCP. 3. Con las raíces encontradas se forma el binomio al cuadrado con el signo del segundo término del TCP. Ejemplos: a) Factorizar 16a2-56ab+49b2

b) Factorizar 9m2+24mn+16n2

c) Factorizar 4x2-8x+4

Factorización de un trinomio de segundo grado. El producto de dos binomios con término común se nombra trinomio de segundo grado (TSG). Por ejemplo: (x-5)(x-2)=x2+3x-10 ═════════ TSG Ejemplos: a) Factorizar x2-12x+27

b) Factorizar m2+4m-32

c) Factorizar b2-8b+15

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ACTIVIDAD 4

Lee con atención los siguientes casos especiales, utilizando el método de factorización que consideres c onveniente y resuelve en equipos de dos los ejercicios planteados.

I.Estima el valor de los siguientes límites, aplicando el teorema correspondiente.

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BLOQUE II

Límite indeterminado de la forma Al calcular el límite del cociente de dos polinomios cuando x tiende a crecer innitamente se tiene la forma indeterminada

para evitar la indeterminación se divide el numerador y el denominador por la máxima potencia que

aparece en la función. Por ejemplo:

Al aplicar

cada término que contenga a x en el denominador se sustituirá por el innito (∞) el

cual nalmente será igual a cero (0). Por lo tanto el límite real de la función es:

(límite de la función) Ejemplos:

30


Ejercicios: Utilizando el límite indeterminado resuelve los siguientes ejercicios. a) Límites de funciones algebraicas. Mediante una tabla estima el valor de:

x

10

100

1000

10000

∞

f(x)

31

BLOQUE II

ACTIVIDAD 5 Lee y analiza lo siguiente, después resuelve el ejercicio.

Condiciones de continuidad Denición: una función es continua en un número a si

Si f no es continua en a, decimos que f es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a. La denición anterior requiere tres cosas si f es continua en a: 1. f(a) está denido (es decir, a está en el dominio de f )

2.

existe (de modo que f debe estar denida en un intervalo abierto que contiene al número “a”)

3.

Ejemplo: ¿En dónde es discontinua la siguiente función?

Solución:

Conclusión

Como podemos apreciar no se cumple la tercera condición de continuidad, por lo tanto la función no es continua en x=2, sin embargo, el limite existe y es igual a 3. Observa la siguiente gráca:

32


Nota: La razón ocial de que f es discontinua cuando x =2 es que f (2) no está denida. Como se observa en la graca no se pude dibujar esta, sin levantar el lápiz del papel, por que se presenta un agujero, una ruptura o un salto en esta gráca. Ejercicio: Para la función

encuentra:

a) El valor del límite cuando x→-2 (si es que existe) b) A partir de la gráca identica el valor de x donde función es discontinua. Solución:

a)

b)

La función es discontinua en x =__________________________

33

BLOQUE II

Límites de funciones trascendentes. Las funciones trascendentes son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Límites de funciones trigonométricas Los límites de las funciones trigonométricas elementales son aquellos que se obtienen de la sustitución directa, es decir, al evaluar el valor al cual tiende “x” muestra a c ontinuación:

Nota: para resolver los límites de las funciones trigonométricas será necesario que la calculadora este en modo de radianes (R). 1.

2.

34


3.

4.

5.

35

BLOQUE II

6.

ACTIVIDAD 6 Estima el límite de la función trascendente de acuerdo con la tabla y graque, después utiliza el Geogebra (software) para vericar la gráca.

x

0

1

2

3

4

f(x) y 7 6 5 4 3 2 1

x 1

36

2

3

4


ACTIVIDAD 7 Encuentra los límites de las siguientes funciones trascendentes. a) Estima mediante una tabla de valores la función:

x

0

10

100

1000

∞

f(x)

ACTIVIDAD 8 Resuelve los límites de las siguientes funciones trascendentes.

Nota: para resolver los límites de las funciones trigonométricas será necesario que la calculadora la uses en modo de radianes (R).

Nota: En la actividad #5 tendrás que autoevaluarte y evaluar a tu compañero de equipo, con los formatos que se te

dan a continuación.

37

BLOQUE II

ACTIVIDAD 9

Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando límites.

1. El costo promedio(en pesos) por disco cubierto por una compañía grabadora al imprimir x discos compactos de audio esta dado por la función:

a) ¿Cuánto es el costo de 50 discos?

b) ¿Cómo interpretas el costo cuando x tiende al innito?

2. Cuando se arroja materia orgánica de desecho a un estanque de tratamiento, este se va oxidando(O) y la cantidad de oxígeno varía con respecto al tiempo(t, en semanas) de acuerdo a la siguiente función:

a) ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxigeno existe en el estanque tras una semana?

b) ¿Tras quince semanas?

c) ¿Cuál es el porcentaje de oxigeno para “t” sea excesivamente grande?

3. Las feromonas, son sustancias químicas que libera un organismo cuando empiezan a enamorarse produciendo una doble sensación de aletargamiento y de hiperactividad.

38


Si la función

, representa el porcentaje de esta sustancia en una persona, durante una etapa de

su enamoramiento, donde “t” representa el número de meses, que c antidad de estas sustancias se generaran cuando:

Tiempo (meses) 1 5 8 10 15 20 25 30

%F

a) Graca los datos obtenidos:

4. La producción de cierta hortaliza en los v alles, se puede predecir mediante la función

Donde “t” es el tiempo medido en semanas. ¿Cuál es el límite cuando “t” es excesivamente grande?

39

BLOQUE II

5.El costo en millones de pesos que gasta una dependencia del gobierno en programas sociales, se representa por la función:

Si “x” representa el porcentaje (%) del gasto, determina el costo que gasta dicha dependencia si:

Porcentaje (%) 10 25 50 100

Gasto (millones de pesos)

AUTOEVALUACIÓN

Marca con una x.

Excelente CRITERIOS ¿Cómo fue tu participación en la toma de decisiones para la organización de tu equipo? ¿Colaboraste activamente en las actividades? ¿Cómo consideras tu participación en el desarrollo algebraico de los ejercicios de la actividad? ¿Inuiste en la solución de los obstácu los presentados en la actividad?

Buena

Regular

Insuciente

Ahora anota en el espacio en blanco tus fortalezas y debilidades en el desarrollo de este boque:_______________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________

40


COEVALUACIÓN:

Evalúa a un compañero de tu equipo, y así sucesivamente hasta que todos evalúen a todos. Nombre del evaluador:__________________________________________________________________________ Nombre del evaluado:___________________________________________________________________________

Excelente Bien Regular Insuciente CRITERIOS ¿En qué grado ayudó tu compañero en las actividades? ¿Respetó las opiniones de los demás? ¿Formó parte de las decisiones? ¿Cómo consideras la participación de tu compañero en la construcción de los resultados? Observaciones: En tú opinión ¿qué le faltó a tu equipo para lograr un mejor aprendizaje del tema?

41

BLOQUE II

Instrumentos de evaluación Corte 1

BLOQUE I

Lista de cotejo Actividades 2 y 4

Grupo: Fecha: Evaluación:

Alumno(a): Evaluador:

Ponderación 20%

Indicadores Sí Identica correctamente el valor máximo en la gráca de una función. Identica correctamente el valor mínimo en la gráca de una función. Desarrolla correctamente el modelo matemático para determinar área de una gura. Desarrolla correctamente el modelo matemático para determinar del volumen de una gura. Traza la gráca de área. Traza la gráca del volumen. Los procedimientos algebraicos y las grácas de las actividades están elabora das de manera apropiada (limpios, explícitos, trazos con regla, escalas adecuadas, etc.) El comportamiento de los integrantes del equipo fue respetuoso entre ellos y con los demás equipos.

Observaciones (cómo puede mejorar el alumno):

42

No


BLOQUE II

Lista de cotejo Actividades 2,3 y 4. Alumno(a): Evaluador:


Ponderación 20%

Indicadores Obtiene los valores correctos que se piden en la tabla de acuerdo a la función f(x) = x2 – 4. Obtiene el límite de la función de acuerdo a la tabla de valores. Obtiene el límite de la función de acuerdo a una gráca. Utiliza el procedimiento adecuado en la indeterminación y obtiene el límite de la función. Aplica el procedimiento adecuado en la indeterminación del tipo y obtiene el límite de la función. Llena la tabla de valores con los valores correctos. Traza la curva de acuerdo a la función trascendente. Obtiene el límite de la función trascendente de acuerdo a la tabla y gráca. Los procedimientos algebraicos que utiliza son los adecuados y lo hace de manera limpia y clara. Respetan la opinión de los demás y trabajan de manera colaborativa.

Sí

No

Observaciones (cómo puede mejorar):

43

BLOQUE II

BLOQUE II

Rúbrica Actividades 7 Y 8 Grupo: Fecha: Evaluación:


Ponderación 20% Criterios

Condiciones de continuidad

Excelente ( 5 )

Bien ( 4 )

Regular ( 3 o 2)

Deciente ( 1 )

Identica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma gráca y llega al resultado de manera algebraica.

Identica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma gráca, pero no llega el resultado de manera algebraica.

Llega el resultado correcto de manera algebraica pero no identica de manera correcta condiciones de continuidad en su forma gráca.

No identica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma gráca ni algebraica.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden pero no claridad .

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden y claridad.

Determina los valores del límite de funciones trascendentes utilizando el procedimiento adecuado.

Determina los valores del límite de funciones trascendentes pero no utiliza el procedimiento adecuado.

No determina los valores del límite de funciones trascendentes utilizando el procedimiento adecuado.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden, claridad y además se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden pero no claridad ni se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden, claridad ni se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios no contienen los datos pertinentes, tampoco muestran limpieza, orden y claridad. No determina los valores del límite de funciones trascendentes utilizando y tampoco utiliza el procedimiento adecuado. Los ejercicios no contienen los datos pertinentes, tampoco muestran limpieza, orden, claridad ni se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad.

Límites de funciones trascendentes

Puntuación total:


44

Puntuación por criterio

CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONÓMICOS, ADMINISTRATIVOS, EN LA AGRICULTURA, EN LA GANADERÍA Y EN LA INDUSTRIA

I I I e u q o l B

BLOQUE III


Calcula e interpreta el valor representativo de un proceso o fenómeno económico, social o natural en función del tiempo, mediante la resolución de problemas del contexto real. Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razón de cambio, mediante el análisis de casos relacionados con la producción agrícola, velocidad instantánea y la producción industrial existentes en el entorno cotidiano.

Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio para cuanticar el cambio físico, químico, biológico, económico, entre otros, después de transcurrido un tiempo. COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

Analiza la producción de una empresa en un determinado tiempo e interpreta la producción promedio, su máxima y mínima, para obtener la razón de cambio promedio. Valora el uso de las TIC en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de razón de cambio, en la interpretación de su valor a través del tiempo en problemas de producción industrial, de física y en química.

Interpreta y cuantica a través de modelos matemáticos, grácas y tablas de fenómenos físicos relativos a la variación de la velocidad, la velocidad promedio, la velocidad de un móvil en cualquier instante y como ésta varía a través del tiempo. Interpreta la razón de cambio como la pendiente de una pareja de puntos localizados en el plano o como la pendiente de la recta secante en la resolución de problemas de física en situaciones del entorno. Argumenta e interpreta la razón de cambio como un límite, obtiene su representación algebraica y como consecuencia reconoce a este límite como la derivada de la función en resolución de problemas de su entorno.

Resuelve gráca y algebraicamente derivadas para resolver problemas de física, química, naturales, sociales, económicos, administrativos y nancieros dentro de su ámbito inmediato. Interpreta, analiza y argumenta que la segunda derivada de una función grácamente representa la concavidad de la curva y permite determinarlos puntos de inexión. OBJETOS DE APRENDIZAJE:

La variación de un fenómeno a través del tiempo. La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un periodo de tiempo.

46


La razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. En general, en una relación funcional y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente y respecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de límite de la razón [f(x+t)-f(x)]/t , denominada cociente diferencial. En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando t tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.

Situación didáctica 1: El papá de Luis viaja a la ciudad de Mexicali por negocios y decide llevar a su familia para pasar tiempo con ella. Luis decide investigar la temperatura de los días que estarán en la ciudad, ya que el hermano más pequeño le pregunta cuáles son las horas más propicias para nadar en la alberca del hotel, para esto Luis consulta la página Web del tiempo y encuentra una gráca que muestra cómo varía la temperatura conforme avanzan las horas.

Nota: El eje x muestra el tiempo en horas, el eje y la temperatura en grados Fahrenheit.

47

BLOQUE III

Conicto cognitivo a) Si el hermano de Luis desea nadar por la mañana, ¿cuáles serán las horas en las que la temperatura sea la ideal? b) ¿Cómo obtendrá el promedio de la temperatura entre las 9 y 12 hrs?, para saber si éstas son las horas más adecuadas. c) Si deciden ir a la piscina por la tarde, ¿cuál será la temperatura promedio entre las 15 y las 18 horas? d) La mamá de Luis quiere ir al centro comercial de compras y pregunta, ¿cuál será la temperatura exacta a las 19 horas?

e) En la gráca parece ser que a las 13 y 14 horas tienen las mismas temperaturas. ¿Cómo podría Luis determinar las temperaturas en esos precisos momentos? f) ¿Cuál será la máxima temperatura del día que muestra la gráca? Razón de cambio promedio: En Matemáticas IV estudiaste lo referente a la pendiente de una recta que pasa por 2 puntos p 1(x1,y1) y p 2(x2,y2) la cual se denota por la letra m y la puedes calcular mediante la fórmula:

La cual se puede transcribir como:

Pues ∆y= y2-y1 es la diferencia que hay en el eje y, también ∆x=x 2- x1 es la diferencia en el eje x. Como se muestra en la siguiente gráca:

Por lo tanto

∆y se lee como razón de cambio de “y” con respecto a “x” , lo cual nos permite denir: ∆x

Razón de cambio promedio. Sea f una función tal que y = f(x) y P 1(X 1,Y 1 ) y P 2 (X 2 ,Y 2 ) un par de puntos de f . Denimos la razón de cambio promedio de “y” con respecto a “x” como: ∆y ∆y

48

=

y2 - y1 x2 - x1

=

f(x2) - f(x 1) x2 - x1


Por ejemplo: Determinar la razón de cambio promedio de la función en el intervalo [2,5]

x

y = f(x)

∆x

∆y

2

f(2) = 5

3 - 2= 1

f(3) - f(2) = 7-5 = 2

3

f(3) = 7

4 - 3= 1

f(4) - f(3) = 9 - 7 =2

∆y ∆x 2 =2 1 2 =2 1

4 5

Al observar la tabla nos damos cuenta, que la razón de cambio promedio de la función en el intervalo dado de [2,5], permanece constante, la cual es:

∆y 2 ∆x 1

En la vida diaria se determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo natural, Económico, Social. Situaciones en las que nos interesa conocer cuál es el más pequeño (mínimo) o más grande (máximo) valor, como aumenta (crece) o disminuye (decrece) ese valor, en un intervalo de tiempo especíco, en general problemas donde se estudian fenómenos relativos a la variación de una cantidad que depende de otra, por lo que se hace necesario describir y cuanticar estos cambios a través de modelos matemáticos, grácas y tablas. http://www.youtube.com/watch?v=tBwtLlQ3iIk&feature=related

49

BLOQUE III

ACTIVIDAD 1 1.- En una investigación que se realizó, para observar la cantidad de desechos que se vierten al mar en toneladas diarias en Ensenada durante un periodo vacacional de una semana, se obtuvieron los siguientes datos: Días(x) Toneladas de desperdicio (y)

0 0

1 0.3

2 1.2

Desarrolla los puntos que se te piden:

a) Graca los datos de la tabla.

b) Encuentra la razón de cambio del día 1 al día 2.

50

3 2.7

4 4.8

5 7.5

6 10.8

7 14.7


c) Encuentra la razón de cambio del día 2 al día 5.

2.- Un chico entusiasta dice que probablemente puede lanzar una bola hacia arriba a 100 pies/seg, sus amigos nos indicaron que la altura “h” en pies alcanzada por está dada por la ecuación S(t) = 100t - 16t 2 en donde t es el tiempo transcurrido a partir de su lanzamiento en segundos.

a) Completa la siguiente tabla de valores y traza la gráca que describe la trayectoria de la bola. Tiempo (s) Altura (h)

0

1

2

3

4

5

6

51

BLOQUE III

b) Calcula su velocidad promedio en el intervalo (2, 3).

c) Calcula la velocidad instantánea en 2 exactamente en segundos.

Razón de cambio como límite y su interpretación geométrica: Un concepto fundamental del Cálculo es el de la derivada, el cual permite calcular la pendiente de una curva en un punto dado. Para comprender esto, consideremos que P y Q son 2 puntos diferentes en una curva, la recta trazada a través de P y Q es una recta secante con una pendiente determinada.

Representando la diferencia de las abscisas de P y Q con la letra h se tiene que: h = x 2 -x 1 Despejando x 2 x 2 = x 1 + h El valor de h puede ser negativo o positivo. Luego la pendiente de la recta secante PQ está dada por: mPQ =

52

f(x 2 ) - f(x 1 ) Sustituyendo x 2 = x 1 + h h


Dada una curva y=f(x) y sea P un punto sobre la curva. La pendiente de la curva en P es el límite de la pendiente de la recta secante PQ sobre la curva cuando Q se aproxima a P:

http://www.youtube.com/watch?v=KHuO1CK5fhs&feature=related.

La idea de denir la pendiente de una curva en un punto determinado fué descubierta en el siglo XVII por Newton y Leibniz, la cual es una herramienta útil para tal situación. Por Ejemplo: 1.- Calcula la pendiente de la curva y=x 2, cuando x=2

Calculando el límite cuando h→0, éste es = 4

53

BLOQUE III

2.- Calcular la pendiente de la curva y=x 3 , cuando x=-2

Calculando el límite cuando h→0, este es: =12

Se ha visto que la pendiente de la tangente a una curva y=f(x) en un punto determinado, está denida por:

Si este límite existe, se le nombra derivada de f en x y se representa con la notación f’ (x), entonces:

( ) =

= í t

( + )

( )

dy Otras notaciones de uso común para la derivada son y’ y que signican lo mismo. El proceso de encontrar f’(x) dx a partir de f se llama derivación:

54


(

]

55

BLOQUE III

56


Por ejemplo: f(x)=7x-1

Visita la página de Internet: http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm

ACTIVIDAD 3 Determina la derivada de la función aplicando su denición de derivada (Regla de los 4 pasos) en los ejercicios:

57

BLOQUE III

Situación didáctica 2: Cuando Luis va rumbo a la escuela con sus amigos, observa a un automovilista que va a gran velocidad en un cruce muy concurrido, en este existe un alto de disco por lo que empieza a suponer que pasará. El automovilista al percatarse del alto frena de manera brusca para detener el automóvil, uno de los amigos de Luis le dice que la distancia de la señal del alto en metros después de cierto tiempo puede determinarse mediante la ecuación d=2012t+3t3, por lo que se preguntan: a) ¿Cuánto es el tiempo necesario para detenerse? b) ¿Qué distancia a recorrido después de iniciar el frenado? c) ¿Se alcanzará a detener a tiempo?

Lectura:

¿Para qué sirve la derivada? Hasta ahora has aplicado los conceptos de álgebra y trigonometría para estudiar el comportamiento de los cuerpos que desplazan a velocidad constante, pero ¿qué hacer si la velocidad es variable y la trayectoria es irregular? Claro está que necesitamos una herramienta más poderosa, en este caso esa ayuda nos la brinda el Cálculo. La descripción exacta del movimiento requiere cálculos precisos en la velocidad y en la aceleración, para ello emplearemos a la derivada. La versatilidad del cálculo lo hace útil en muchos campos de estudio, por ejemplo, la Física nos permite expresar el movimiento de los cuerpos cuando las velocidades cambian rápidamente y deseamos calcular dichas manifestaciones. Otra aplicación importante se da en la Ingeniería Electrónica, donde podemos mencionar: los cambios instantáneos de una corriente eléctrica, las variaciones en el ujo magnético, las variaciones en la carga eléctrica, las variaciones en la tensión eléctrica, en el torque, en la potencia, etc.

58


La derivada se representa cómo una función que cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráca de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto.

Para encontrar la derivada de una función, se pueden usar reglas que facilitan los procedimientos anteriores. A continuación se presentan algunas reglas de derivación, ejemplos y varios ejercicios para que practiques y aprendas a aplicarlas correctamente.

I. La derivada de una constante es igual a cero: si y = c y’ = 0

Por ejemplo: 1.- Calcular la derivada de y= 5 y’=0

2.- Calcular la derivada de y= -12

II. La derivada de la variable independiente es igual a uno:

si y=x y’=1

59

BLOQUE III

III. La derivada del producto de una constante por la variable independiente es igual a la misma constante: si y=cx y’=c

Por ejemplo:

1.- Calcular la derivada de y= 5x y’=5 2.- Calcular la derivada de y= 2x y’= 2 3.- Calcular la derivada de y=

y’=

3 x 2

3 2

IV. La derivada de x n es igual al producto del exponente n por x con exponente disminuido en una unidad. si y=x n y’=nx n-1

Por ejemplo:

1.- Calcular la derivada de y=x 2 Al aplicar la regla y’=2x 2-1 y’=2x

2.- Calcular la derivada de y=3x^4 Al aplicar la regla y’=4(3x) 4-1 y=12x3

Ejercicios: a) y=2x3

b) y=4x5 c) y=x8

d) y=12x

60


V. La regla de la cadena es igual al producto del exponente n por u con exponente disminuido en una unidad, por el producto de la derivada del término u. si y=u n du y’=nu n-1 dx

Por ejemplo: 1.- Calcular la derivada de y=(2x-1) 5 du Si u=(2x-1) dx =2

Al aplicar la regla y’=5(2x-1) 5-1 (2) y’=10(2x-1)4 2.- Calcular la derivada de y=(x 3+4x)8 du 2 Si u=x3+ 4x dx =3x +4 Al aplicar la regla y’=(x 3+4x)7 (3x2+4)

Ejercicios: a) y=(2x-4)3

b) y=(x2+x)2

c) y=(4-x)5

d) y=5√4x2-8

61

BLOQUE III

VI. La derivada de √u es un cociente cuyo numerador es la derivada de u y el denominador es dos veces la misma raíz. si y=

y’=

Por ejemplo:

1.- Calcula la derivada de y’=√3x du Si u=3x dx =3 3 Al aplicar la regla y’= 2 √3x 2.- Calcula la derivada de y=√ 8x-1 du Si u=8x-1 dx =8 8 Al aplicar la regla y’= 2 (8x-1)) 4 y’= (8x-1) Ejercicios: a) y= 2x

b) y= 2x+3

c) y= x3-3

d) y= 4-x

62

u du dx 2 u


VII. La derivada de la suma de un número nito de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones:

0

63

BLOQUE III

VIII. La derivada del producto de las dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más el producto de la segunda por la derivada de la primera.

)(

)(

64


IX. La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominado, todo dividido por el cuadrado del denominador.

65

BLOQUE III

Nota: para ver más información visita la página de Internet: http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm Ejemplo 1. A Omar le recetaron un medicamento que requiere administrarse de forma intramuscular, debido a una infección muy fuerte; al investigar dicho medicamento en internet, se asombro porque encontró que la concentración (miligramos) está en función del tiempo transcurrido (horas) después de ser aplicado y se describe mediante la función:

Aplicando la regla de cociente obtenemos:

66


La función que se acaba de encontrar es la derivada de la concentración del medicamento, es decir, es la rapidez con que se diluye en la sangre.

x 0 1 2 3 4 5 10

y 0 0.11 0.17 0.16 0.13 0.098 0.029

ACTIVIDAD 4 (integradora) Obtén la derivada de las siguientes funciones algebraicas:

67

BLOQUE III

)(

68


En matemáticas, las funciones trigonométricas son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en Física, Astronomía, Cartografía, Náutica, Telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

69

BLOQUE III

Las razones trigonométricas se denen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Deniciones más modernas las describen como series innitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. También se aplican reglas para derivar funciones trigonométricas, tales c omo:

70

BLOQUE III

Ejercicios: a)

=

b)

=

c)

=

d)

.

=2

e) =co =coss (3 +5 )

f)

=

+

Las derivadas de funciones exponenciales, se les llama así porque la variable x es el exponente. En general una función exponencial tiene la forma f(x)=a x, donde a>0 y x es cualquier número real, real, tal como: 1. L a deri derivada vada de

:

= =

( )

Por ejemplo: a).a) .- Ca Calc lcul ula a la de deri riva vada da de =2 Si = Aplicando la regla

=2

2

(

)

=2 2( 2 ) = (2 )2 2 72


2. La derivada de Euler:

= =

( )

Por ejemplo: a).a) .- Cal alcu cula larr la de deri riva vad da de Si =3

=

Aplicando la regla regla

(3 )

=

= =3

(3 )

Si a>0 y a≠1, la función exponencial f(x)=a x tiene una función inversa que se llama función logarítmica de base a y se escribe: f(x)=loga x. En general, su u es una función derivable de x, la función logarítmica se base a se puede escribir como: f(x)= loga u Si la base a=10, el logaritmo se conoce como logaritmo decimal y se representa con la notación log. En cambio, se a=e, el logaritmo se conoce como logaritmo natural y se representa con la notación ln, tal como:

1. La derivada de logaritmo natural:

= = Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de Si = Aplicando la regla =

= (

= (

( )

)

)

=2 =2 2. La derivada de logaritmo base a:

= =

( )

73

BLOQUE III

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de Si

=

=

Aplicando la regla

( )

=

( )( ) ( ) ( )

= = = = Ejercicios: a) = 2

b)

=

c) =l n ( +1 )

=log g (1 + d) =lo

e) =

74

3

)


ACTIVIDAD 5 Encuentra la derivada de la función trascendente dada. 1.

=sen 5

2.

=cos 4

3.

=ln (

+1 )

4.

=t an

5.

=

(

6.

=3

7.

=5

8.

=log ( +1 )(

9.

=cot 3

10.

2

1)

=ln (

2)

+4 )

75

BLOQUE III

76

11.

=log (2

13.

=ln

15.

=4 cos (3

17.

=s en

19.

=

2

3 )

+1

12.

=2

5

14.

=2

16.

=log (

2

+

1 cot 2

)

+5 )

2 sec4 3

18.

=

20.

=2 cot


3.- Encuentra la segunda derivada de:

=2

+

4.- Encuentra la cuarta derivada de: y=x 4+2x3-3x+5

ACTIVIDAD 8 Resuelve los siguientes problemas por derivadas: 1.Durante un ensayo de beisbol, Juan le dice a Luis que observe lo alto que se levanta la pelota cuando sale disparada verticalmente. Si se sabe que la posición de la pelota respecto al piso está dada por:

y=-5x2+20x+15. Pedro, alumno de sexto semestre, al ver tal situación se preguntó: a) ¿Cuál será la altura máxima y en cuánto tiempo la alcanza?

b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota?

c) ¿Cuál es la velocidad a los 3 segundos?

79

BLOQUE III

2. Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con qué rapidez asciende el nivel del agua? Si V= 2 h

3.Una persona posee 2400 metros de malla y desea cercar un terreno rectangular que está sobre un río. Si no necesita cercar al río, ¿cuáles son las dimensiones del terreno que posee el área más grande para así optimizar su malla?

4. Se desea construir un invernadero un en terreno rectangular de 3,600 m2 en tres porciones iguales, con cerca adicional paralela a dos de los lados como se muestra en la gura. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de manera que el cerco utilizado tenga longitud mínima?

80


5. Se desea construir una caja rectangular de cartón sin tapa. Si a un cartón de 10 x 16 cm se le hace una corte cuadrado en cada esquina y se doblan los bordes por las líneas punteadas. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadrados recortados para maximizar el volumen?

81

BLOQUE III


Rúbrica

BLOQUE III

Actividad 1 Grupo: Fecha: Evaluación:


Ponderación 10% Criterios Razón de cambio promedio e instantánea

Excelente ( 5 ) Aplica de manera correcta las fórmulas para determinar la razón de cambio promedio e instantánea y obtiene el resultado correcto. Las gráfcas trazadas corresponden a las funciones dadas. Los ejercicios y gráfca contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La gráfca está trazada con las escalas adecuadas.

Bien ( 4 )

Regular ( 3 o 2)

Aplica de manera correcta las fórmulas para determinar la razón de cambio promedio e instantánea pero no obtiene los resultados correctos. Las gráfcas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Aplica de manera incorrecta las fórmulas para determinar la razón de cambio promedio e instantánea, el resultado es incorrecto. Las gráfcas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Los ejercicios y gráfca contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La gráfca no está trazada con las escalas adecuadas.

Los ejercicios y gráfca contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden y claridad.

Defciente ( 1 )

No realiza los ejercicios de razón de cambio. Las gráfcas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Los ejercicios no muestran limpieza, orden y claridad. No traza gráfcas.

Puntuación total:


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Lista de cotejo BLOQUE III

Actividades 4, 5 y 7 Grupo: Fecha: Evaluación:


Ponderación 50%

Indicadores Aplica correctamente la derivada de una constante. Aplica correctamente la derivada de una variable con respecto a ella misma. Aplica correctamente la derivada de una suma. Aplica correctamente la derivada de la multiplicación de una constante por una función. Aplica correctamente la derivada de la potencia de una función de exponente constante. Aplica correctamente la derivada de la multiplicación de dos funciones. Aplica correctamente la derivada de la raíz cuadrada de una función. Aplica correctamente la derivada de la raíz cuadrada de una función. Aplica correctamente la derivada de la función seno Aplica correctamente la derivada de la función coseno. Aplica correctamente la derivada de la función tangente. Aplica correctamente la derivada de la función cotangente. Aplica correctamente la derivada de la función secante Aplica correctamente la derivada de la función cosecante. Aplica correctamente la derivada de la función exponencial (e u).

Sí

No

Aplica correctamente la derivada de la función exponencial (au). Aplica correctamente la derivada de la función logarítmica (ln). Aplica correctamente la derivada de la función logarítmica (logau). Encuentra la segunda derivada de una función de manera correcta. Obtiene al menos 70% de los valores correctos de las derivadas de funciones algebraicas. Obtiene al menos 70% de los valores correctos de las derivadas de funciones trascendentes. Obtiene al menos 70% de los valores correctos de las derivadas de orden superior. Observaciones (cómo puede mejorar el alumno):

83

V I e u q o l B

CALCULAS E INTERPRETAS MÁXIMOS Y MÍNIMOS SOBRE LOS FENÓMENOS QUE HAN CAMBIADO EN EL TIEMPO DE LA PRODUCCIÓN INDUSTRIAL O AGROPECUARIA


Comprende el volumen máximo y lo aplica a través del diseño de envases como cilindros, cubos, prismas, esferas, entre otros.

Interpreta grácas que representan diversos fenómenos naturales, producciones agrícolas e industriales, identica máximos y mínimos absolutos y relativos. Establece modelos matemáticos y representaciones grácas de producción de diversas empresas (m anufactura, fabricación y elaboración de artesanías) para calcular sus máximos y mínimos de utilidad y emitir juicios sobre su situación económica. Calcula máximos y mínimos en funciones algebraicas y trascendentes aplicando métodos algebraicos. COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

Interpreta y analiza grácas de fenómenos meteorológicos (temperatura, humedad atmosférica, calentamiento atmosférico y cantidad de bióxido de carbono en la atmosfera) de su región e identica los máximos y mínimos absolutos. Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos sobre el comportamiento de un móvil en un tiempo determinado y calcula máximos y mínimos absolutos y relativos. Valora el uso de las TIC en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de fenómenos físicos, químicos, ecológicos, de producciones agrícolas, industriales, artesanales y de manufactura, emitiendo juicios de opinión.

Calcula máximos y mínimos de funciones algebraicas e interpreta los máximos relativos y puntos de inexión en grácas que modelan la resolución de problemas de su entorno. OBJETOS DE APRENDIZAJE:

Producciones, máximos y mínimos. Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos.

85

BLOQUE IV

¿Para qué sirven los valores máximos y mínimos? Los máximos y mínimos de una función de dos variables nos permiten medir las altitudes máximas y mínimas sobre la supercie que integra la graca de la función (estas altitudes son similares a las cotas del punto más elevado de una colina o del punto más profundo de una hondonada). Iniciaremos con el cálculo del máximo y del mínimo (valores críticos de la función) aplicando el criterio de la primera derivada, después enunciaremos (sin demostrarlo) el teorema que se conoce como el criterio de la segunda derivada, el cual permite determinar (en ciertos casos) si un punto crítico determinado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. La aplicación de estos procedimientos se observa en todas las áreas; las ciencias naturales, las ciencias sociales y las ciencias exactas.

Situación didáctica 1: El comportamiento de la producción de uva para elaborar vino de mesa en la región del Valle de Guadalupe de cierta compañía, se estima con la función f(x )=-x 2+70x-1189 donde x representa el tiempo en semanas y f(x) la producción de uva en toneladas por semana. La meta de producción para el 2011 es de 125 toneladas, lo demás es de excedente, que se utilizara para hacer jalea.

Conicto cognitivo. a) ¿En qué semana comienza la cosecha de uva? b) ¿En qué semana termina? c) ¿En qué semana se obtendrá la máxima producción? d) ¿Cuántas toneladas se cosechan en esa semana? e) ¿Se alcanza la meta de las 125 toneladas? f) ¿En qué momento? g) ¿Cómo será la gráca que representa la producción de uva?

86


Ejercicio: Una compañía empacadora de uva de mesa necesita cajas abiertas para almacenar su producto de volumen máximo y se van a construir a partir de un trozo cuadrado de material que tiene 24 pulgadas por lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados hacia arriba.

Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas (tienes la libertad de elegir el tamaño(x)) después se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se muestra en la gura.

87

BLOQUE IV

a) Escribe el volumen V como función de x. b) Completa analíticamente seis renglones de una tabla como la que sigue. (se muestran los dos primeros renglones) Use la tabla para hacer una conjetura acerca del volumen máximo. c) Aplica el cálculo para hallar el número crítico de la función del inciso a y encuentre el valor máximo .Use un medio para el efecto con el n de construir la gráca del inciso a y verique el volumen máximo a partir de esa gráca.

Altura 1

Longitud y ancho Volumen 24-2(1) 1(24-2(1))2=484

2

24-2(2)

2(24-2(2))2=800

3 4 5 6

Visita la dirección de Internet: La siguiente dirección sirve de apoyo para ampliar o basar tus conocimientos en los conceptos de: Máximos y mínimos absolutos y relativos, punto de infexión además puedes consultar ejercicios resueltos o resolver ejercicios por tu propia cuenta, incluso algunas aplicaciones de máximos y mínimos.

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm

Máximos y mínimos, criterio de la primera derivada. Estas deniciones están basadas en la siguiente gráca que nos muestra cómo cambia la recta tangente en un punto mínimo y máximo de la curva:

88


Como podrás observar, en el punto A la recta tangente forma un ángulo agudo con el eje x, en consecuencia su pendiente es positiva. Ahora analizaremos el punto C, la recta tangente en ese punto forma un ángulo obtuso con el eje x, por tanto su pendiente es negativa. En consecuencia podemos decir que el punto B es un máximo, es decir, su pendiente varía de positiva a negativa.

Por otro lado, para el caso del punto C, ya comentamos que su recta tangente tiene una pendiente negativa. Si ahora analizamos el punto E veremos que la recta tangente forma un ángulo agudo con el eje x, en consecuencia su pendiente es positiva. Por consiguiente el punto D es un mínimo, es decir, su pendiente cambia de negativa a positiva.

Cabe indicar que tanto el máximo como el mínimo tienen rectas tangentes paralelas al eje x, en este caso la pendiente vale cero. Con lo anterior podemos concluir que:

Nota: Se explica el hecho de que el máximo-mínimo de una función se alcanza cuando la pendiente de la tangente es nula, sin embargo estos punto pueden ser llamados extremos locales.

Con estos conceptos podemos deducir un método para c alcular máximos y mínimos para cualquier función:

1er. paso: Se calcula la derivada de la función.

2do. paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuación que la forma, a las soluciones obtenidas las llamaremos valores críticos y probables máximos y mínimos.

3er. paso: Se verican cada uno de los valores críticos y se calculan los signos de la derivada, empezando con la sustitución de un valor menor y después, se hace lo mismo para otro valor mayor que él.

89

BLOQUE IV

Los resultados numéricos obtenidos NO nos interesan, sólo nos importa calcular el signo resultante. Por ejemplo si primero obtenemos un signo (+) y después un signo (–) entonces tenemos un máximo para la función. En caso contrario será un mínimo. Si el signo no cambia entonces la función no tiene ni máximo ni mínimo.

Ejemplo: I. Calcular los máximos y mínimos de la función y=x 3- 6x2+9x 1er. paso. Derivamos: y=x3- 6x2+9x y’=3x2-12x+9

2do. paso. Igualamos a cero:

3x2-12x+9=0 x2-4x+3=0

Determinamos las raíces:

Estos son los valores críticos:

(x-1)(x-3)=0 (x-1)=0, (x-3)=0 x1=1, x2=3

3er. paso. Vericamos los valores críticos: ANÁLISIS DEL PRIMER VALOR CRÍTICO

x1=1

Un valor menor:

Un valor mayor:

x=0

x=2

f’ (x)=3(x 2 -4x+3) f’ (0)=3(0 2 -4(0)+3) f^’ (0)=+9

f’ (2)=3(2^2-4(2)+3) f’ (2)=-3

Se observa que el cambio fue de signo (+) a (–), en consecuencia x 1=1 es la abscisa (valor de “ x”) de un máximo. 90


ANÁLISIS DEL SEGUNDO VALOR CRÍTICO Un valor menor: x=2

x1=3 Un valor mayor: x=4 f’ (x)=3(x2-4x+3)

f’ (2)=3(2 2-4(2)+3) f’ (2)=-3

f’ (4)=3(42-4(4)+3) f’ (4)=+9

Se observa que el cambio fue de signo (–) a (+), en consecuencia x 2=3 es la abscisa (valor de “ x”) de un mínimo.

Conclusión: Para encontrar los valores correspondientes del máximo y mínimo se tendrá que sustituir en la función original:

f(x)=x3- 6x2+9x f(1)=13-6(1)2+9(1)

f(1)=4 f(3)=33-6(3)2+9(3) f(3)=0

Por lo que el máximo es el punto (1,4) El mínimo es el punto (3, 0)

91

BLOQUE IV

ACTIVIDAD 1 Calcula los máximos y mínimos de las siguientes funciones con el criterio de la primera derivada y traza la gráca. f(x)=2x- x2 f(x)= x2+4x+1 f(x)=x3+2x2-15x-20 f(x)=x3- 6x2+9x-3 f(x)=3x2-x3 f(x)=2+12x+3x2-2x3

Ejemplo de aplicación de maximización. Se va a fabricar una lata para que contenga 1 L de salsa de tomate. Halla las dimensiones que minimizará el costo del metal para fabricar la lata.

Solución Para minimizar el costo del metal, minimizamos el área supercial total del cilindro (tapa, fondo, lados). A partir de la gura, observamos que los lados se fabrican de una lámina rectangular con dimensiones 2πr, de manera que el área supercial es: A=( área de las tapas) + (área de los lados) A=2

+2

2

Para eliminar h, aplicamos el hecho de que se da el volumen como 1 litro, el cual tomamos como 1000 cm 3, por lo tanto V=1000 cm3 92


Volumen de un cilindro = Área de la base por altura V=

2

1000=

h h

2

Si despejamos h, tenemos que:

Sustituimos el valor de h encontrado en el área supercial de toda la lata. A=2

+2

2

Por lo tanto la función de área de la lámina que deseamos minimizar es:

Aplicando el criterio de la primera derivada para encontrar el mínimo, primero derivamos la expresión:

93

BLOQUE IV

De modo que el único valor crítico es:

Dando valores un poco menores y un poco mayores a

, observamos que A es decreciente para todo r a

la izquierda del valor crítico y creciente para todo r a la derecha. De este modo,

debe dar lugar a un mínimo absoluto.

Para encontrar la altura adecuada donde emplearemos la menor área de lámina posible y que tenga un volumen de 1 litro, sustituimos el valor crítico en la altura.

Sustituyendo

Aplicando ley de los exponentes:

Por propiedad de los exponentes:

94


Aplica la división de fracciones:

Sustituyendo valor de

=

3

500

=2

3

500

=2

Máximos y mínimos, criterio de la segunda derivada. Hasta el momento hemos visto cuales son los puntos mínimo y máximo con relaciona la primera derivada, ahora analizaremos otro criterio que tiene la misma importancia, mismo que permitirá ahorrar tiempo y esfuerzo. Este criterio es el de la segunda derivada. Observa las siguientes grácas: 2 El punto H de la siguiente gura es un mínimo, en este caso la primera derivada es =0y la segunda derivada 2 positiva.

95

BLOQUE IV

El punto J que se muestra en la siguiente gura es un máximo, en este caso la primera derivada derivada 2 es negativa.

y la segunda

2

En consecuencia las únicas condiciones para calcular máximos y mínimos son: f(x) Tiene un máximo si la primera derivada es cero

y la segunda derivada

f(x) Tiene un mínimo si la primera derivada es cero

y la segunda derivada

2 2 2 2

es negativa.

es positiva.

Con estos métodos podemos deducir y calcular máximos y mínimos en cualquier función, esto se realiza mediante el criterio de la segunda derivada. A continuación indicamos el procedimiento a seguir:

1er. paso. Se calcula la primera derivada de la función. 2do. paso. Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación que se forma. Las condiciones que se obtienen designan valores críticos y probables máximos y mínimos. 3er. paso. Se calcula la segunda derivada. 4to. paso. Se sustituye en la segunda derivada cada uno de los valores críticos. Nuevamente lo único que nos interesa es el signo resultante y no el valor numérico. Si el resultado es negativo, acabamos de obtener un máximo para este valor crítico; si el resultado es positivo, tenemos un mínimo. Cuando la segunda derivada vale cero, o bien no existe, este procedimiento no se puede aplicar, aunque puede existir un máximo o un mínimo; si esto llegase a suceder se usa el método que se analizó en el tema anterior. Veamos algunos ejemplos para aclarar esto, calculando los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

96


Solución: y=x 3+3x2-2

Analítica 1er. paso. Calculamos la primera derivada.

2do. paso. Igualamos a cero 3x2+6x=0 Resolvemos x1=0 y x2=-2 se tienen dos valores críticos.

3er. paso. Hallamos la segunda derivada:

4to. paso. Sustituimos los valores críticos en f”(x) = 6x+6 f” (0) = 6(0)+6 f”(0) = +6 Sólo nos interesa el signo, no nos interesa el valor numérico. Por lo que el punto x 1=0 es la abscisa de un mínimo. f”(0) = 6(-2)+6 f”(0) = -6 Sólo nos interesa el signo, no nos interesa el valor numérico. Por lo que el punto x 2=-2 es la abscisa de un máximo. Conclusión: Para encontrar los valores que corresponden al máximo y al mínimo se deben realizar varias sustituciones en la función original: f(x)=x3+3x2-2 f(0)=(0)3+3(0)2-2 f(0)= -2 f(-2)= (-2)3+3(-2)2-2 f(-2)=2

97

BLOQUE IV

Por lo que el máximo del punto (-2,2) y el mínimo es el punto (0,-2).

Gráca

ACTIVIDAD 2 Calcula los máximos y mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada en las siguientes funciones traza la graca de cada una de ellas:

98


Ejemplo de aplicación. Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea crear un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río, ¿cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Para tener idea de lo que ocurre en este problema, experimentemos con algunos casos especiales. En la gura 1 se muestran (no a escala) tres maneras posibles de emplear los 2400 pies de cerca. Veamos que cuando intentamos cercar campos pocos profundos y anchos, o profundos y anchos obtenemos áreas m ás o menos pequeñas

Figura

Parece factible que existe alguna conguración intermedia que produce al área más grande. En la siguiente gura se ilustra el caso general. Deseamos minimizar el área A del rectángulo. Sea “x” y “y” la profundidad y el ancho del campo (en pies). Enseguida expresamos A en términos de “x”y “y”: A=xy

Y

Queremos expresar A como expresión sólo de una variable, de modo que eliminamos “y” al expresarla en términos de “x” , para llevar acabo esto usamos la información dada de que la longitud total de la cerca es de 2400 pies. Por tanto: 2x+y=2400

99

BLOQUE IV

A partir de esta ecuación despejamos la variable “y” para dejarlo en función de “x”. Lo cual da como resultado:

y=2400-2x

Se sustituye el resultado del despeje en la fórmula del área de un rectángulo A=x(2400-2x) A=2400x-2x2

Observa que x≥0 y x≤ 1200 (de lo contrario A<0) de manera que la función que debemos minimizar es: Se aplica la primera derivada:

A´=2400-4x

Se iguala a cero:

2400-4x=0

Se resuelve la ecuación obtenida y se encuentra el valor (x) Lo cual da como resultado

x=600.

El valor máximo de A debe ocurrir en este número o en uno de los puntos extremos del intervalo. Como: A(0)=0 A(600)=720,000 A(1200)=0 El método del intervalo cerrado da el valor máximo A(600)= 720,000.

De modo alternativo por el criterio de la segunda derivada A”(x) = -4 <0 para todo “x”, de modo que “A” siempre es cóncava hacia abajo y el máximo local en x = 600 debe ser un máximo absoluto. Por lo tanto, el campo rectangular debe tener 600 pies de profundidad y 1200 pies de ancho. Resolución de problemas de optimización. Los problemas de optimización son aquellos en donde se solicita encontrar la mejor opción, por ejemplo: donde se solicita encontrar el menor tiempo de producción de un artículo, la máxima altura que alcanza un proyectil, la ganancia máxima o el costo mínimo de producción de un aparato eléctrico, el volumen máximo de un recipiente o el área mínima, entre otros tantos problemas que se pueden mencionar.

100


A lo largo de tu caminar por esta asignatura y las que le precedieron, planteaste múltiples problemas que requirieron dar una respuesta optima y llegaste a una aproximación de ella. Ahora ya tienes el conocimiento necesario para dar respuesta a ellos.

ACTIVIDAD 3

Resuelve por el criterio de la primera derivada. 1. Víctor dispone de 40m de alambrada para crear un jardín rectangular sabiendo que sólo debe colocar la cerca en tres lados porque el cuarto limita con su casa. a) Determina el área máxima que debe proteger.

b) Traza la gráca. Resuelve por el criterio de la segunda derivada. 2. El precio de venta de un artículo es de f(x)=100-0.2x unidades de dinero, donde x es el número de artículos que se producen en un día. Si el costo de producir y vender x artículos por día es C(x)=40x+15000 unidades de dinero, ¿cuántos artículos se deben producir y vender en un día para que la utilidad sea máxima? Traza la gráca.

Resuelve por el criterio de la segunda derivada. 3. Desde el suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 29.4 m/s. Calcular la altura máxima alcanzada. La función que expresa la altura en función del tiempo es:

Cálculo e interpretación de puntos de inexión en grácas. Un estudio de los puntos de la gráca de una función donde cambia el signo de la pendiente nos llevó a los puntos críticos. Ahora estudiaremos los puntos sobre la gráca donde cambia la concavidad, ya sea de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba

101

BLOQUE IV

Las palabras “punto de inexión de ƒ” pueden referirse ya sea a un punto del dominio de ƒ o a un punto sobre la gráca de ƒ. El contexto de la gráca de ƒ. El contexto del problema dirá a cuál se reere. ¿Cómo se localiza un punto de inexión? Como la concavidad de la gráca de ƒ cambia en un punto de inexión, el signo de ƒ” cambia ahí: Es positivo en un lado del punto de inexión y negativo en el otro. Por lo tanto, en el punto de inexión, ƒ” es cero o no está denido. El método para determinar el punto de inexión y concavidad de una función es el siguiente: 1) Se calcula la segunda derivada de la función. 2) Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación que se forma, luego se consideran las soluciones obtenidas.

3) Se calcula ƒ” (x), primero para valores de “x” que son ligeramente inferiores y después para valores que son ligeramente superiores, respecto a cada una de las soluciones que se obtuvieron en el paso anterior. Interpretación:

a) Si hay variación de signo, existe punto de inexión. b) Cuando ƒ”(x) es positiva, la curva es cóncava hacia arriba. c) Cuando ƒ”(x) es negativa, la curva es cóncava hacia abajo.

102


Ejemplo: Encuentra los puntos de inexión de f(x)=x 3-9x2-48x+52 Solución: En la gura que se muestra, parte de la gráca de ƒ es cóncava hacia arriba y parte es cóncava hacia abajo, de modo que la función debe tener un punto de inexión que aunque es difícil localizar con precisión este punto con sólo examinar la gráca. Para hallar exactamente el punto de inexión, calculamos en dónde es cero la segunda derivada. Como f’(x)=3x2-18x -48 y f”(x)=6x-18 ; entonces ƒ”(x) = 0 cuando x=3

La gráca de ƒ(x) cambia la concavidad en x=3, de modo que x=3 es un punto de inexión.

ACTIVIDAD 4

(Formativa). Determina el punto de inexión y el sentido de concavidad de las siguientes funciones. 1. f(x)=12x3-12x2-24x 2. f(x)=4x3-9x2-12x+3 3. f(x)=x3+6x2+3x-1 4. f(x)=1-3x+5x2-x3 5. f(x)=x4-6x2

103

BLOQUE IV

Anteriormente denimos en forma intuitiva el concepto de una función creciente y decreciente. Por ejemplo, en una montaña rusa. Observa la siguiente gura e identica dónde es creciente, decreciente y el sentido de la concavidad.

Ejemplo de aplicación.

Supongamos que la montaña rusa tiene una sección denida por la curva: f(x)=2x3-9x2+12x-3

Calcula el punto de inexión y sentido de la concavidad en esa sección de la montaña rusa. Solución: Paso 1 f’(x)=6x^2-18x+12 f”(x)=12x-18 Paso 2 12x-18 =0 12x=18

104


Paso 3

ƒ”(1) = 12(1) – 18 = –6 ; cóncava hacia abajo ƒ”(2) = 12(2) – 18 = +6 ; cóncava hacia arriba Como existe variación de signo, la función tiene punto de inexión en 3 2

P. I.

=2

3 2

3

9

3 2

2

+1 2

3 2

3=

3 2

3 2

3 3 ,

2 2

ACTIVIDAD 5

Determina el punto de inexión y sentido de la concavidad, traza la gráca. 1. La peligrosidad de la bacteria que provoca una enfermedad llamada ovela se mide en una escala de 0 a 50 y se representa con la función: (t)=40+15t-9t2+t3 2. Una motocicleta a control remoto describe un m ovimiento que se representa con la ecuación: f(t)=0.2t2+0.03t3, t Є [0,20]; (f(t) en metros y t en segundos). 3. El costo total, de producir y vender 100 unidades de “x” producto a la s emana se representa con la siguiente ecuación: C(x)=1000+33x-9x2+x3

105

BLOQUE IV


BLOQUE IV

Lista de cotejo Actividades 1 y 2



Ponderación 25%

Indicadores Comprende el concepto de valor máximo de una función. Comprende el concepto de valor mínimo de una función. Aplica correctamente el criterio de la primera derivada para obtener el valor máximo o mínimo de una función algebraica. Aplica correctamente el criterio de la primera derivada para obtener el valor máximo o mínimo de una función trascendente. Representa grácamente los puntos críticos de una función.


106

Sí

No


Rúbrica BLOQUE IV

Actividades 3 y 5 Grupo: Fecha: Evaluación:


Ponderación 25% Criterios

Aplicaciones

Defciente (5 o menos)

Excelente ( 10 )

Muy Bien ( 9 )

Bien ( 8)

Regular ( 6)

Identifca los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene máximos o mínimos e interpreta correctamente el resultado.

Identifca los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene máximos o mínimos pero No interpreta correctamente el resultado.

Identifca los datos relevantes del problema, formula el modela matemático en aplicaciones reales pero No obtiene máximo o mínimos.

Identifca los datos relevantes pero No formula el modelo matemático en aplicaciones reales.

No identifca los datos relevantes.

Identifca los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene puntos de inexión e interpreta correctamente el resultado.

Identifca los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene puntos de inexión pero No interpreta correctamente el resultado.

Identifca los datos relevantes del problema, formula el modela matemático en aplicaciones reales pero No obtiene puntos de inexión.

Identifca los datos relevantes pero No formula el modelo matemático en aplicaciones reales.

No identifca los datos relevantes.

Los ejercicios y gráfca contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La gráfca está trazada con las escalas adecuadas.

Los ejercicios y gráfca contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La gráfca no está trazada con las escalas adecuadas.



Los ejercicios no muestran limpieza, orden y claridad. No traza gráfcas.


Puntuación total: Observaciones (cómo puede mejorar el alumno):

107

CÁLCULO DIFERENCIAL

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