Calculo Diferencial

Cálculo Diferencial Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS)

GUÍA DIDÁCTICA. CÁLCULO DIFERENCIAL 1ª Edición. © 2014 COBAO ® En trámite.

DIRECTORIO Lic. Gabino Cué Monteagudo Gobernador Constitucional del Estado de Oaxaca Act. José Germán Espinosa Santibáñez Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Oaxaca (Cobao) Lic. Elizabeth Ramos Aragón Directora Académica CP Rogelio Cadena Espinosa Director de Administración y Finanzas Ing. Manuel Estrada Montaño Director de Planeación

COLABORADORES Ing. Sixto González Reyes Ing. Edua Eduardo rdo Arango Cruz Ing. Abel Luis Avend Avendaño año

Plantel 21 Ojitlán Direcc ión Acadé Dirección Académica mica Dirección Direcc ión Acadé Académica mica

Av. Universidad Nº 145 Santa Cruz Xoxocotlán CP 71230, Oaxaca, México. Tel/Fax: (01 951) 5015160 Ilustración de portada Vladimir Kush Edición: Alejandra Martínez Guzmán Azael Rodríguez Teodoro Eugenio Santibáñez Gruhl Benjamín Méndez Martínez Eric Ricardo Osorio Casas Lourdes Rodríguez Gómez Diseño y cuidado editorial Axel Alarzón Salmorán

Queda prohibida la reproducción por cualquier medio, impreso y/o digital, parcial o total, de la presente guía, sin previa autorización del COBAO. Los derechos de autor de todas las marcas, nombres comerciales, marcas registradas, logos, imágenes que aparecen en esta Guía Didáctica y reproducciones de obras artísticas, pertenecen a sus respectivos propietarios. N. de Ed. Las citas que aparecen en la presente guía -transcritas de fuentes impresas o de páginas digitales-, no fueron intervenidas ni modificadas, ya que son textuales. Impreso y hecho en Oaxaca, Méx.

→ÍNDICE PENDIENTE PRESENTACIÓN

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INTRODUCCIÓN

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BLOQUE I ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES. ANEXOS FUENTES DOCUMENTALES

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BLOQUE I III RESUELVES PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL. ANEXOS FUENTES DOCUMENTALES

63 127 127 134

BLOQUE I III II CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS ANEXOS FUENTES DOCUMENTALES

135 135 185 18 5 189 18 9

BLOQUE I IV V CALCULAS E INTERPRETAS MAXIMOS Y MINIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACION.ANEXOS ANEXOS FUENTES DOCUMENTALES

191 191 233 241 24 1

→PRESENTACIÓN

V

ivimos tiempos que avanzan a una velocidad vertiginosa y que exigen a las sociedades trabajar en la misma medida para situarse a la vanguardia en todos los rubros de su vida cotidiana, en especial en lo que se refiere a su educación, porque este avance exige una política educativa sintetizada en una “Educación de calidad” para todos, lo que implica fortalecer el proceso transformador que allane al estudiantado el camino más idóneo para transitar hacia una formación integral que les permita emanciparse dignamente y enfrentar con valor los retos presentes y futuros que se le presenten. Viéndolo de este modo, nos preocupa y nos ocupa el hecho de que el estudiantado desarrolle no sólo sus conocimientos, sino que además potencie sus capacidades, habilidades o aptitudes, en otras palabras, sus competencias, mismas que constituirán su perfil de egreso y que serán apreciadas como los atributos que reflejarán los logros obtenidos en su tránsito por el bachillerato y que les permitirán insertarse sólidamente en sus estudios de nivel superior y por ende incrustarse en el concierto del progreso y desarrollo que demanda, exige y merece la juventud en nuestros días. Estas Guías Didácticas son el resultado de un arduo y escrupuloso esfuerzo de un equipo interdisciplinario de docentes, especialistas todos ellos en el ramo y las asignaturas que se te impartirán a lo largo de tu estancia en nuestra noble Institución, para que, a través de este material y con el apoyo de tu docente, quien te guiará en el análisis, discusión y reflexión de los saberes adquiridos, te encuentres en condiciones de construir tu propio conocimiento y acrecentar las aptitudes y capacidades que te caracterizan como joven bachiller. Nuestro propósito es ayudarte a construir una educación que te permita vivir en un marco de justicia, equidad e inclusión social, que contemple la democracia y la producción con desarrollo sostenible y sustentable; una educación que te ayude a generar conocimiento científico y tecnológico, que te permita desarrollar habilidades y actitudes que estén orientadas a la sociedad redescubriéndote como ser humano con valores y virtudes, una educación que cumpla con los atributos de relevancia, pertinencia, eficacia y eficiencia y que promueva los valores del conocimiento que te permitan aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a convivir y aprender a ser, una educación que esté a la altura de tu dignidad. Nuestro quehacer está enfocado a educarte para que sirvas a la sociedad, para que te incorpores a un mercado laboral que exige competitividad y para que contribuyas de manera positiva en el continuo cambio de nuestra realidad local y

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mundial; queremos que domines los conocimientos pertinentes, las habilidades del pensamiento, las competencias para el trabajo y que fortalezcas tu formación valoral y ciudadana, desarrollando tu capacidad por el gusto de aprender. Queremos que tu educación se sustente en valores de convivencia democrática y en principios éticos. Te ofertamos una educación para la vida, despertando tu capacidad para asumir responsabilidades, donde tu aprendizaje sea significativo e implique cambios en actitudes, logrando tu crecimiento armónico para que construyas una sociedad con criterios sólidos. Una educación donde además de recibir formación científica, práctica y humanística, descubras tu capacidad para analizar y resolver problemas; donde entiendas que el verdadero aprendizaje significativo, la metacognición, se dará en la medida en que los modelos a imitar por ti sean los mejores, los que prediquen con el ejemplo. Queremos que descubras tus posibilidades para alcanzar la felicidad, a través de la práctica de valores, capacitándote para las habilidades, sí, pero formándote como una verdadera conciencia humana. En hora buena, bienvenido a tu familia bachiller. Muchas gracias.

ACT. JOSÉ GERMÁN ESPINOSA SANTIBÁÑEZ DIRECTOR GENERAL

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→INTRODUCCIÓN Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. ALBERT EINSTEIN

Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo. BENJAMÍN FRANKLIN

EL COLEGIO

de Bachilleres del Estado de Oaxaca, (COBAO) como organismo público descentralizado dependiente de la Dirección General de Bachillerato (DGB) con base a los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), tiene como propósito fortalecer y consolidar una educación de calidad. El Colegio de Bachilleres promueve el enfoque educativo basado en el desarrollo de competencias, en las y los estudiantes dentro del aula para que las aplique en su contexto en la resolución de problemas. La asignatura Cálculo Diferencial, se ubica en el quinto semestre, pertenece al Componente de Formación Propedéutica, forma parte del campo de conocimientos de las matemáticas, y tiene como propósito que el estudiante sea capaz de tener un pensamiento crítico, reflexivo y con valores, siendo una persona práctica en el manejo de modelos matemáticos y su relación con hechos reales, así como la optimización que le permita desarrollarse en su vida personal, académica o laboral. El Colegio de Bachilleres te ofrece esta Guía didáctica de la asignatura de matemáticas financieras para que estudiante y docente interactúen en el aula, teniendo como meta el logro de desempeños que deben alcanzar al término de cada bloque e implementando estrategias didácticas de enseñanzaaprendizaje. Está diseñada por cuatro bloques: •

• •

Bloque I. Argumentas el estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales. Bloque II. Resuelves problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo, natural y social. Bloque III. Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos

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•

Bloque IV. Calculas e interpretas maximos y minimos aplicados a problemas de optimizacion.

Para hacer más ágil y útil la presente GUÍA, cada uno de los bloques está conformado por una sesión debido a que los desempeños de cada uno están estrechamente vinculados alcanzándose las competencias en la resolución de ejercicios; a su vez cada sesión está estructurada con una apertura, un desarrollo y un cierre, considerando los tiempos aproximados para poder cumplir con los desempeños al concluir el bloque. También, contiene un apartado que se llama trabajo independiente, para que realices diversas actividades de investigación que podrás llevar a cabo en tu casa, en la biblioteca, con tus compañeras o compañeros de grupo, y que son necesarias para reforzar los aprendizajes adquiridos. Cada una de las actividades académicas que tendrás que realizar serán evaluadas, para ello existe un anexo donde aparecen como instrumentos de evaluación: las listas de cotejo y guías de observación. Esta GUÍA que te presentamos, no es más que el resultado del esfuerzo solidario, profesional, consciente y decidido que el personal docente de diversos planteles del área de formación propedéutica han elaborado, pensando solamente en tu superación personal, profesional y académica. Por todo lo anterior, te invitamos a que, con tu creatividad, entusiasmo y jovialidad, sigamos trabajando juntos en esta emocionante tarea de formar en el Colegio de Bachilleres del Estado de Oaxaca jóvenes con una verdadera y auténtica educación de calidad.

Equipo disciplinar

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→BLOQUE I ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES. TIEMPO DEL BLOQUE: 6 horas SESIONES: 2 DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE

Reconoce el campo de estudio del Cálculo Diferencial, destacando su importancia en la solución de modelos matemáticos aplicados a situaciones cotidianas. »

Relaciona los modelos matemáticos con su representación geométrica para determinar áreas y volúmenes en cualquier situación de su vida cotidiana. »

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos. »

Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del cálculo y los contrasta con su aplicación en situaciones reales. »

Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos matemáticos sencillos y su representación gráfica. »

NIVELES DE CONOCIMIENTO

OBJETOS DE APRENDIZAJE

»

Comprensión

»

Evolución del Cálculo

»

Análisis

»

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Lista de cotejo / Rúbrica »

Modelos Lista de cotejo matemáticos: un / Rúbrica acercamiento a máximos y mínimos »

Lista de cotejo / Rúbrica »

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos matemáticos. »

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BLOQUE I

SESIÓN 1 CLASE 1 Apertura ¿SE PUEDE CUADRAR EL CÍRCULO?

Desarrollo Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático consistente en hallar -con solo regla y compas- un cuadrado que posea un área igual a la de un círculo dado. La cuadratura del círculo, junto con la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, constituye uno de los grandes problemas clásicos de la ciencia de la geometría planteados en la Grecia clásica. Los geómetras helenos se servían únicamente de la regla de graduar y del compás para realizar construcciones geométricas. La siguiente figura tiene de radio 10 cm.

Actividad 1

GUÍA DIDÁCTICA > CÁLCULO DIFERENCIAL

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Si se recorta, se separan y se reacomodan las figuras recortadas, como se muestra en las imágenes sucesivas.

En parejas

En binas, contesta lo que se pide: ¿Aproximadamente que figura se formó?

¿Cuál es la medida de la base de la figura resultante?

¿Cuál es la altura de la figura resultante?

¿Cuál es el área de la figura resultante?

¿Es la misma que la de la figura original?

¿Qué tendrías que hacer para que la figura se aproxime aún más a un paralelogramo?

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BLOQUE I

¿Qué estudia el cálculo?

El cálculo es la matemática de los cambios (velocidad y aceleración). También son objetos de estudio del cálculo rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran variedad de conceptos que han servido para elaborar modelos de la vida real, como lo muestra el grafico Matemáticas previas al cálculo

Proceso de límite

Cálculo

La siguiente tabla muestra algunas diferencias entre las matemáticas previas al cálculo y problemas que se modelan y resuelven con el cálculo. Investiga que Actividad 2 otras situaciones solo se pueden solucionar con el cálculo, anótalas en los espacios de la siguiente tabla. Comenta en plenaria Sin cálculo

Con cálculo

Pendiente de una recta

Pendiente de una curva en un punto o tangente a una curva

t=a

t=b

t=tiempo; a=posicion inical, b=posicion final Ritmo o velocidad de cambio promedio entre t=a y t=b

t=c Ritmo o velocidad de cambio instantáneo en t=c

Dirección del movimiento a lo largo de una recta

Volumen de un cilindro


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Sin cálculo

Con cálculo

Volumen de un sólido rectangular

Suma de numero finito de términos

Equipo

Trabajo independiente 1

Organizados en equipo de 4 o 5 integrantes: • Realiza una investigación bibliográfica acerca del origen y evolución del cálculo. Resuelve el siguiente crucigrama, de acuerdo a la información proporcionada. HORIZONTALES 1.- Publicó su “Geometria Indivisibilis Continuorum Nova” (“Nueva Geometría Indivisible y Continua”) en 1635 donde expone el principio que lleva ese nombre. Su método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen. Se puede referir este procedimiento en forma general como un método de “Suma de potencias de líneas”, que aunque alejado del rigor, lo condujo a un resultado correcto para con =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. 2.- En 1687 fue publicada su obra magistral Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios Matemáticos de la Filosofía Natural) en el cual se exponen, en diferentes pasajes, claras exposiciones del concepto de límite, idea básica del cálculo. Ofrece tres modos de interpretación para el nuevo análisis: Aquél en términos de infinitesimales usado en su De analysi, su primer trabajo (1669, publicado en1711); Aquél en términos de fluxiones, dado en su MethodusFluxionum et SerierumInfinitorum (“Método de las Fluxiones y Series Infinitas” en 1671, publicado en 1736), en la que parece apelar con mayor fuerza a su imaginación; Aquél en términos de razones primeras y últimas o límites, dado particularmente en la obra De Quadratura Curvarum (Cuadratura de las curvas) que escribió al final y publicó primero (1704), visión que él parece considerar más rigurosa. »

»

»

3.- (450 a. de C. aprox.), formuló un buen número de problemas (paradojas) basados en el infinito. 4.- (1596-1650) Hizo numerosas contribuciones a la filosofía, la ciencia y las matemáticas. En su libro La Géométrie (Geometria) describió la idea de representar los puntos el plano por medio de pares de números reales y las curvas en el plano mediante ecuaciones

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BLOQUE I


Equipo

5.- (1616-1703). Escribió su Arithmetica Infinitorum (Aritmética del infinito) en 1655. Abordó sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de las curvas de la forma y = x k donde k no es necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la determinación de los límites implicados fue empírico. Tuvo una influencia decisiva en los primeros des arrollos del trabajo matemático de Newton. 6.- Trata de encontrar pruebas más o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri . En su trabajo sobre curvas polinomiales , compara el valor de f ( x ) en un punto x , con el valor , con f ( x + e ) con e como un intervalo cada vez más pequeño alrededor de x, de tal manera que encuentra el valor de antes de que e=0 VERTICALES 1.- Fue quien inicialmente introdujo los métodos deductivos - no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad-a través de procesos sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos. 2.- En su trabajo sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el área de sectores de una elipse; para ello su método consistió en determinar las áreas como sumas de líneas. En cambio, en su trabajo Nueva Geometría Sólida de los Barriles de Vino calculó en forma exacta o aproximada el volumen de más de 90 sólidos de revolución, considerando el sólido compuesto de infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes conocidos. 3.- (408 a. de C. - 355 a. de C.) de Cnido, Asia Menor (Turquía). Utilizó el Método de exhaución. El método se llama así porque se puede pensar en expandir sucesivamente áreas conocidas de tal manera que éstas den cuenta (“dejen exhausta”) el área requerida. 4.- (225 a.de C.) de Siracusa. Mostro que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y vértice, y 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Éste es el primer ejemplo conocido de la adición de una serie infinita. Utilizó el método de exhaución para encontrar una aproximación al área del círculo. Por supuesto, es un ejemplo temprano de integración, el cual condujo a aproximar v alores de π. Entre otras “integrales” calculadas, están el volumen y área de una esfera, volumen y área de un cono, área de una elipse, volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y de un segmento de un hiperboloide de revolución. 5.- (1630-1677). Maestro de Newton. Competente en árabe y griego, mejoró traducciones de textos griegos. Punto de vista conservador en matemáticas. Sus “Lectiones Geométriae” (Lecciones de Geometría), publicadas en 1670, incluyen los procedimientos infinitesimales conocidos por él. La mayoría de los problemas presentados tratan tangentes y cuadraturas desde un punto de vista clásico (geométrico en lugar de analítico). Incluye su método del “triángulo característico” en el que implícitamente se toma a la recta tangente como la posición límite de la secante. En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del Cálculo en el sentido de presentar el carácter inverso entre problemas de tangentes y áreas, en un sentido estrictamente geométrico, no como un algoritmo de cómputo.


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Equipo


6.- (1646-1716). Sus resultados en el cálculo integral fueron publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo el nombre de “ Calculus Summatorius” (actualmente “Calculo integral”). Introduce los elementos diferenciales dy ó dx para expresar la “diferencia entre dos valores sucesivos” de una variable continua y ó x . Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene l a variable misma, lo cual se denota por dx . Sus obras dan cuenta de un método generalizado para abordar esas sumas y diferencias, además del tratamiento inverso de ambas operaciones, mediante el uso de un sistema de notación y terminología perfectamente acoplado a la materia que trata en sus bases lógicas y operativas.

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BLOQUE I


Equipo

Organizados en equipo de 4 o 5 integrantes, planea las siguientes actividades y recopila la información necesaria para que, al término del presente bloque, puedas realizar lo que se pide. Toda la información que obtengas, intégrala a tu portafolio de evidencias, porque se le dará continuidad en los bloques II y IV. Proyecto: Germinación de una planta. Material: Un vaso transparente de base ancha, de aproximadamente 10 cm Algunas bolitas de algodón. Unos cuantos frijoles. Un poco de agua. Una liga. Un trozo de tela de algodón. Elaboración: 1. Humedece el algodón, sin saturarlo (mojarlo completamente). 2. Coloca el algodón en el fondo del recipiente. 3. Coloca máximo 3 semillas de frijol sobre el algodón húmedo, asegúrate de que tengan el espacio entre ellas para germinar. 4. Coloca el recipiente en un lugar en donde esté expuesta al sol para que germinen las semillas.

Actividad • •

Monitorea diariamente hasta que empiece a germinar la plantita. En el momento en el que la plantita comienza a germinar, mide cada 12 horas el crecimiento del tallo durante 20 días, hasta que observes que ya no crece, regístralo en una tabla(Una tabla para cada planta).No olvides anotar también la fecha y hora. Trataremos esta información en la 2ª sesión trabajo independiente 4.


Equipo

Organizados en equipo de 4 o 5 integrantes, planea las siguientes actividades y recopila la información necesaria para que al termino del presente bloque puedas realizar lo que se pide. Toda la información que obtengas, intégrala a tu portafolio de evidencias, porque se le dará continuidad en los bloques II y IV. Proyecto: Gravitación: Su búsqueda experimental

Galileo Galilei fue uno de los primeros en avanzar hacia la comprensión del movimiento de los objetos bajo la influencia de la gravedad. Uno de sus experi-


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Equipo


mentos más conocidos fue la de dejar caer objetos en la torre de pisa. Ahora vamos a reproducir su experimento para determinar el valor de la gravedad terrestre. Ya se sabía que un objeto se mueve cada vez más rápido en su caída, pero no se conocía la ley que gobernaba dicho movimiento. Los objetos que caen aceleraban demasiado rápido, y el tiempo era demasiado corto para hacer observaciones exactas. ¿Había alguna manera de retrasar el efecto de la gravedad y observar el índice de la aceleración en cámara lenta? Resolvió este problema argumentando que la gravedad quedaba “diluida” si, en lugar de dejar caer libremente la bola, se hacía rodar por un plano inclinado. Utilizo un reloj de agua, mismo que media el tiempo por medio de la cantidad de agua que salía por un orificio pequeño (Clepsidra)

¿En cuál de los planos mostrados crees que se deslice más lento la bola?

¿En cuál se desliza más rápido?

¿En cuál de los planos las mediciones nos arrojan el valor real de (Valor de la gravedad terrestre)?

¿Afecta el valor de la gravedad la inclinación del plano? Argumenta y encuentra la relación matemática

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BLOQUE I


Equipo

Actividad: Organizados en equipo, realicen el siguiente experimento Materiales •

• • •

Cronómetro con precisión de centésimas de segundo (Puedes usar de los que usan los entrenadores deportivos o los maestros de educación física, o un celular) Instrumento de medición lineal(de preferencia un Metro de los que usan los albañiles) Objeto que se deje caer, esféricos y que no pese demasiado, que no se rompa con facilidad (Canicas de acero o balines, por ejemplo) Un plano inclinado de superficie lisa(Puedes improvisar con un tubo de pvc, los puedes conseguir en una ferretería o de materiales de construcción, cortándolo para que quede en forma de una canaleta), la longitud que se consigue en las ferreterías es de 6 metros; y de diámetro, sirve perfectamente uno de 4 pulgadas de diámetro.

Procedimiento: • • •

•

• •

Hazle graduaciones a la canaleta en la parte visible exterior, como mínimo cada 10 centímetros Coloca uno de los extremos de la canaleta en un soporte, de tal forma que la canaleta quede a un ángulo de 60° Uno de los integrantes se coloca en el extremo más alto de la canaleta con el objeto en posición de ser soltado sobre la misma, mientras que otro de los integrantes toma el tiempo con el cronómetro. En el instante en el que el que tiene el objeto lo suelta(No se debe de impulsar) para que se deslice sobre la canaleta, se inicia el cronómetro, deteniéndose al llegar el objeto al extremo terminal de la canaleta Repite el experimento varias veces para minimizar los errores en la medición. Anota en una tabla la longitud recorrida y el promedio de las mediciones así obtenidas Repite el experimento para 0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5 y 6 metros, anotándolos en la tabla

Una variante para este experimento, es utilizar una videocámara o celular que pueda grabar video (La mayoría de las videocámaras tienen un cronometro integrado y sincronizado con las imágenes), y soltar la bola en forma vertical para diferentes alturas(Tienes que medir la altura desde donde las sueltas, y con graduaciones a lo largo de la caída), reproducir el video en una computadora y medir los tiempos desde que se suelta hasta que llega al suelo. •

En caso de que el cronometro de la grabación no tenga aproximaciones a centésimas de segundo, opcionalmente graba simultáneamente la caída del cuerpo y el cronometro en el mismo plano, al reproducirlo puedes determinar el tiempo con mayor precisión.

Trataremos esta información en la 2ª sesión, actividad extraclase 5


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Equipo

Trabajo independiente 4 Organizados en equipo de 4 o 5 integrantes, planea las siguientes actividades y recopila la información necesaria para que al término del presente bloque puedas realizar lo que se pide. Toda la información que obtengas, intégrala a tu portafolio de evidencias, porque se le dará continuidad en los bloques II y IV. Proyecto: Ejercicio y salud El corazón está bombeando constantemente sangre hacia el interior de la aorta, la presión en el interior de la aorta es extremadamente alta; alcanzando en promedio 100mm de Hg. Además, como el bombeo del corazón es pulsátil, la presión arterial fluctúa entre la presión sistólica, de 120mm de Hg. y la presión diastólica, de 80mm de Hg. Material: Cronómetro con precisión de milésimas de segundo Metro o cinta métrica Esfigmomanómetro o baumanómetro (en la imagen se muestran dos tipos comunes y la manera de colocarlos) Procedimiento: • • •

• • • • • •

•

Organizados en equipos acudan a la pista plana de tu plantel o comunidad. Haz marcas de 10 metros en la pista hasta que completes la pista deportiva. Reposa cuando menos 15 minutos para que tu ritmo cardiaco se estabilice. A continuación mídete el pulso (Se coloca el dedo índice y medio en la parte frontal derecha del cuello, buscando las pulsaciones de la aorta). Puedes también preguntarle a tu entrenador deportivo o al médico o enfermera del plantel. Mide también la presión arterial y anótalas en una tabla. Una vez que encuentras el pulso, con la otra mano inicia el cronómetro y cuenta las pulsaciones durante un lapso de 1 minuto(Anótalas en una tabla). Escoge una de las marcas como punto de inicio. Pide a uno de tus compañeros que mida el tiempo que tardas en recorrer los primeros 10 metros(Intenta correr a un ritmo constante). Vuelve a medir tus pulsaciones y la presión y anótalas en la tabla. Mide tu ritmo cardiaco frecuentemente hasta que tu ritmo vuelva a la normalidad. Al día siguiente, haz la misma actividad (Medir pulso y presión inicial en reposo y correr una distancia), solo que ahora recorre 20 metros; intenta correr al mismo ritmo constante que en la actividad anterior, mide también el tiempo que tardas en volver a la normalidad, no olvides anotar todo en la tabla. Repite el procedimiento para todas las marcas hasta completar la longitud de la pista deportiva.

Trataremos esta información en la 2ª sesión actividad extraclase 6

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BLOQUE I

CLASE 2 Organizados en equipo de 4 a 5 integrantes exponer ante el grupo la evolución del cálculo. Puedes Utilizar las imágenes que se encuentran al final de la guía para elaborar una tira del tiempo. Observa el organizador grafico siguiente, y contesta lo que se te pide

Equipo

Actividad 3

¿Quién prohibió usar el infinito y porqué?

Si otros matemáticos ya habían utilizado problemas que se resuelven con cálculo. ¿Porqué se le atribuye la autoría a Newton y a Leibniz?


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¿Qué diferencias diferencias existieron en el descubrimiento del cálculo por cada c ada uno de ellos?

¿Qué tipo de problemas tenían tenían cada uno de ellos que resolver-Newton y Leibniz- de tal forma que inventaron esta herramienta?

¿Qué son las “Fluxiones”?

¿Cuál ¿C uál es el teorema fundamental del cálculo?

Explica el triangulo característico de Barrow

¿Da un ejemplo y explica el método de exhaución?

¿Qué entiendes por cálculo infinitesimal infinitesimal??

¿Qué entiendes por cambio promedio?

¿Qué entiendes por cambio instantáneo?

Cierre

Equipo


Comenta en tus propias palabras la evolución del cálculo, cuales son los sucesos históricos que contribuyeron al mismo, y los actores principales. Comentar en plenaria

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BLOQUE I

NOTA Para la siguiente clase se requiere una cartulina o papel grueso, de las dimensiones de una hoja tamaño carta


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BLOQUE I

SESIÓN 2 CLASE 1 Apertura Según la tradición era Dido una princesa fenicia que hubo de huir cuando su hermano Pigmalión asesinó a su esposo Siqueo, para quedarse con el reino. Dido, inmigrante sin papeles, arribó a las costas norteafricanas, y pidió a los nativos que le dejasen acampar en el espacio de una piel de buey. Al tratarse de una parcela tan pequeña se la concedieron y la taimada Dido los engañó; abarcó un espacio suficiente para fundar la nueva ciudad de Cartago

Desarrollo ¿Crees que Dido los engañó?

Actividad ¿Por qué?

¿Qué hubieras hecho tú para aprovechar al máximo la piel del buey?

Una vez obtenida la piel de buey; ¿Qué figura geométrica hubieras formado con la pielpara obtener el terreno?


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Organizados en equipos de 5; toma una hoja de papel grueso tamaño carta (carActividad 1 tón o similar). Recorta cuadrados iguales en cada esquina con la medida que desees; ahora dobla hacia arriba las pestañas del cartón, formando un hexaedro. Una vez que formes el hexaedro, pégalo. Ahora rellénalo con material que tengas a la mano (Arena por ejemplo), El material que usaste vacíalo en el hexaedro de Equipo uno de los estudiantes,compáralos; completa la tabla y responde de manera correcta las preguntas: ¿En cuál de los hexaedros cupo más material?

¿Qué medidas tiene dicho hexaedro?

Llena la siguiente tabla con los datos de los hexaedros, el tuyo y el de tus compañeros de equipo, calcula el volumen y con el mismo tamaño de la hoja, propón otras medidasy anótalo en la tabla Ancho(en cm)

Largo(en cm)

Alto(en cm)

Volumen

Hexaedro 1 Hexaedro 2 Hexaedro 3 Hexaedro 4 Hexaedro 5

El volumen del hexaedro formado es: V = (Largo) (Ancho) (Alto)

Si tomamos diferentes valores para la altura del cuerpo geométrico, entonces

Alto = X. Por lo que el volumen quedaría expresado como: V =(

Modelo matemático Desarrollando la expresión: V (X) =

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)(

) X

BLOQUE I

Tabulando: X en cm

V ( X ) en cm3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Graficando

Observa la grafica y contesta lo que se pide ¿Por qué comenzamos con X=0?

¿Cómo interpretas el punto A?


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¿Cómo interpretas las intersecciones con el eje X?

¿A qué se debe la forma que toma la grafica?

Según la grafica, ¿Cuál es el máximo valor para X que se puede recortar?

¿Qué dimensiones son las ideales para construir el hexaedro?

Explica

Actividad 2 A don Pedro le sobraron 60 m de malla, que quiere ocupar para hacer un gallinero, sin embargo no sabe qué forma debe tener su gallinero, para así aprovechar al máximo la malla. Ayúdale a decidir calculando el área para varias figuras. Figura

No de lados

Dimensión de uno de los lados

Perímetro

Área

3 4

15

5 6

28

225 cm2 60 cm

10 cm

BLOQUE I

¿Cuál de las figuras que aparecen en la tabla nos proporciona la mayor cantidad de área posible?

Construye el modelo matemático que nos permita calcula el área. Haz una tabla con la información y contesta: ¿Qué forma geométrica le recomendarías a don Pedro para que construyera su gallinero?

¿Por qué?


Responde

Analiza los problemas y contesta lo que se te pide 1. Se dispone de una lámina cuadrada de 12 cm de lado. Cortando cuadrados iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando las laterales. Hallar las dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo. •

Has un bosquejo de la lámina

•

Expresa el área de la base

•

Expresa el volumen


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Responde


•

Grafica la función y encuentra el valor máximo para el volumen

•

¿Cuáles son las medidas ideales del cuerpo geométrico?

2. Se quiere cercar un terreno, uno de los lados colinda con una calle. El material que con el que se va a cercar el lado que colinda con la calle cuesta $150.00 el metro, el material con el que se van a cercar los otros tres lados cuesta $80.00 el metro, solo se dispone de $10,200.00.Halla las dimensiones para la mayor área de terreno rectangular que se pueda cercar.

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•

Bosqueja el problema

•

La fórmula para calcular el área del terreno es:

BLOQUE I


Responde

•

La ecuación para calcular el costo es:

•

El área en función del costo es.

•

Grafica la función y encuentra la máxima área que se puede cercar.

•

Las dimensiones del terreno son:


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CLASE 2 Arquímedes y Eudoxo emplearon el método de exhaución (también llamado método de Agotamiento o método exhaustivo) para encontrar el área de figuras curvas.

Actividad 3

Completa la tabla siguiente (radio de la circunferencia=1) y contesta las preguntas. Figura

Lado de la figura inscrita

Área de la figura inscrita

Triangulo

Atriángulo=1.299

Cuadrado

Acuadrado=2

l=

32

Pentágono l=____

Apentágono=2.37

Hexágono l =___ _

Ahexágono = ________

BLOQUE I

Figura

Lado de la figura inscrita

Área de la figura inscrita

Decágono l =_________

¿En qué consiste el método de exhaución?

¿Qué sucede con el área de los polígonos con respecto a la del círculo?

¿De cuantos lados crees que sea el polígono inscrito para que sea igual al área de la circunferencia?

La gráfica que se muestra es la trayectoria de un vendedor desde su casa como una función del tiempo en cierto día, obsérvala y contesta:

Actividad 4


33

¿Cuántos clientes visitó en el transcurso del día?

¿Cómo calcularías la rapidez entre cada actividad que realiza el vendedor?

¿En qué intervalo de tiempo, el vendedor se desplazó con mayor rapidez?

Identifica las pendientes en cada uno de los intervalos según la grafica

Intervalo

Signo de la pendiente

8:00-9:00 9:00-13:00 9:00-10:00 10:00-12:00 12:00-1:00 1:00-3:00 3:00-5:00 5:00-6:00 6:00-7:00

¿Existe alguna relación entre la rapidez con la que se desplazó el vendedor y la pendiente respectiva?

34

BLOQUE I

CLASE 3 TRAYECTORIA DE UN PROYECTIL

Si un objeto es arrojado o lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de v 0 pies/seg alcanzará una altura de h pies después de t segundos, donde h y t están relacionados mediante la formula: h = -16t2 + v 0t

Suponga que se dispara un proyectil directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 800 pies/s. Como se muestra en la figura.

Completa la tabla que muestra la altura recorrida ( h ) en función del tiempo ( t ) Actividad 5 y contesta lo que se pide t (En seg.)

h ( t ) en pies

0

0

5

3600

10 15 20 25 30 35 40 45 50

¿Qué tiempo tarda el proyectil en caer al piso?

¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?


35

¿Qué velocidad tiene el proyectil cuando cae?

¿Qué velocidad tiene el proyectil cuando alcanza la altura máxima?

¿Qué velocidad lleva el proyectil de los 5 s y a los 10 s?

¿Qué velocidad tiene el proyectil de los 10 s y a los 15 s?

¿La velocidad es la misma en toda la trayectoria del proyectil?

Explica

Para calcular la velocidad aproximada a los 5 segundos del proyectil, tomamos valores cercanos, por ejemplo de los a 4 los 6 segundos:

Datos

36

Fórmula

Sustitución / resultado

BLOQUE I

Para calcular el valor exacto tomamos valores aun más aproximados a los 5 segundos (de 4.5 a 5.5 segundos) Datos

Fórmula

Sustitución / resultado

Calcula la velocidad exactamente a los 5 seg

En tus propias palabras define velocidad promedio y velocidad instantánea

¿Es la velocidad una razón? Explica


37

Trabajo independiente 2 1. Una pelota es arrojada desde un puente. La altura h a la que se encuentra la pelota encima del piso t segundos después de que es arrojada, está dada por: h (t) = -16t2 + 50t + 36

38

•

Grafica la función y determina la altura máxima que la pelota alcanzará. ¿Cual deberá ser la velocidad de la pelota cuando está en el punto donde alcanza su altura máxima?

•

¿Cuál es la altura del puente?

•

¿Cuál es la velocidad promedio de la pelota para el primer segundo?

•

¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 1 segundos?

BLOQUE I

CLASE 3 GRAVITACIÓN: GALILEO Y LA GRAVEDAD: SU BÚSQUEDA EXPERIMENTAL

Antes de galileo, ya se sabía que un objeto se movía cada vez más rápido en caída, pero se ignoraba la ley que gobernaba ese movimiento. Son movimientos demasiado rápido para poder ser medido con los instrumentos de la época. Galileo resolvió este problema de manera ingeniosa, argumentando que la gravedad quedaba ”diluida”, si en lugar de dejar caer libremente una bola, se hacía rodar por un plano inclinado, además utilizo un reloj de agua, que media el tiempo por medio de la cantidad de agua que salía por un pequeño orificio. Hoy en día se puede reproducir el experimento obteniendo datos precisos de la posición de un objeto en caída libre.

En un experimento de laboratorio se han obtenidos los datos de una bola en caída que se muestran en la tabla, en intervalos de 0.02 segundos Tiempo (segundos)

Altura (metros)

0.00

0.290864

0.02

0.284279

0.04

0.274400

0.06

0.260131

0.08

0.241472

0.10

0.219520

0.12

0.189885

0.14

0.160250

0.16

0.126224

0.18

0.086711

0.20

0.045002

0.22

0.000000


39

Actividad 6

Coloca los puntos faltantes de la tabla en la gráfica. ¿Qué tipo de función se ajustaría con mayor aproximación a la serie de puntos?

¿Cómo encontrarías el modelo?

Para encontrar el modelo hay varias opciones, si tomamos la h ( x ) = ax 2 + bx + c tomando tres puntos; A (0.00, 0.290864); B (0.10, 0.219520) y C (0.22, 0.000000). Si tomamos A y sustituimos, entonces 0.290864 = a (0.00)2 + b (0.00) + c; de donde c=0.290864 Sustituyendo de igual forma con los puntos A y B, obtenemos un sistema de ecuación cuadrática; (Puedes resolverlos por determinantes, reducción o el que se te facilite), de donde resalta: a =_______ __; b =___________ y c =_______________

La función que modela de manera aproximada la serie de puntos es: h( x )= ____ x 2 + ___ _x + __ __ Cuya gráfica con los tres puntos seria:

40

BLOQUE I

Para calcular la velocidad promedio de la bola, tomamos las distancias recorridas en cada uno de los intervalos de tiempo segundos:

Intervalos

Tiempo (segundos)

Altura (metros)

t1

0.00

0.290864

t2

0.02

0.284279

t2

0.02

0.284279

t3

0.04

0.274400

Velocidad promedio

m/s

t3 t4

t4 t5

t5 t6

t6 t7

t7 t8


41

Tiempo (segundos)

Altura (metros)

t11

0.20

0.045002

t12

0.22

0.000000

Intervalos t8 t9

t9 t10

t10 t11

Colocando los puntos en el plano cartesiano

42

Velocidad promedio

BLOQUE I

¿Cuál es el grado de la función que mejor se ajusta?

Cierre

Obtén la función que mejor se ajuste a la gráfica:

¿Por qué los resultados son negativos?

¿Qué representa el eje de las x?

¿Y el eje de las y?

¿Cómo calculas la pendiente de esta recta?

¿Qué nos representa la pendiente obtenida?

En plenaria con tus compañeros, comenta tus conclusiones


43

Trabajo independiente 3 Un rectángulo se encuentra inscrito en un triangulo equilátero que tiene por lado 10 cm. como se muestra en la figura, encuentre las dimensiones del rectángulo tal que su área se la máxima posible.

Examinamos la mitad del triangulo, quedando así

El área del rectángulo es A = rh Que es función de dos variables ( r, h), así que establecemos una relación entre las dos variables. Lo podemos hacer por semejanza de triángulos procedemos a despejar una de las variables. Observando que R=5 y usando el teorema de Pitágoras H=5√3 en este caso nos queda r = 5√3 - h. Sustituyendo en la función del área: A (h)=

44

BLOQUE I

Trabajo independiente 3 Tabulando y graficando

La tabla se empezó a construir a partir de cero. ¿Cuánto centímetros se incrementan para calcular las áreas correspondientes que siguen?

Para poder calcular con mayor exactitud, ¿De cuánto hubieras hecho los incrementos?

La gráfica siguiente corresponde al cálculo del área entre los valores de h=2 cm. a 6.6 cm.


45

Trabajo independiente 3 ¿Qué incrementos se tomaron para graficar en dichos intervalos?

¿Entre cuáles valores de h se encuentra el valor máximo para el área? (Intervalo)

Para lograr con exactitud calcular el valor de h, ¿Cuál magnitud de los incrementos de h debo tomar?

Actividad 7 En la siguiente tabla se calculan los valores promedios de r (recuerda que r y h

son los lados del rectángulo) entre los intervalos de 4.2 < h < 4.4. Completa la tabla y contesta lo que se te pide.

Ya que A (h) = hr ; entonces

46

Tomando h1 = 4.2 y h2 = 4.22 tenemos

BLOQUE I

En la imagen aparece el intervalo en el cual se encuentra el máximo valor para el área. Como es también la pendiente en ese punto, se trazó la secante que pasa por A (4.0) y A (3.32). Traza las secantes entre A (3.32) y A (3.34) ; A (3.34) y A (3.36); A (3.36) y A (3.38) Para calcular r promedio; pudimos sumar ambos valores de A (4.2) y A (4.22) y dividirlo entre dos. Explica porqué se hizo de otra forma

¿Cuál es la tendencia de los valores de r promedio?

¿Entre cuáles valores de se encuentra el máximo valor?

¿Cómo se comportan las secantes que dibujaste?

Si tomamos intervalos cada vez más pequeños, ¿Qué sucede con la secante?

¿Puede la secante convertirse en tangente?

¿En qué punto de la grafica la pendiente es cero?

Considerando el comportamiento de la secante, ¿Cómo calcularías el valor máximo exacto?


47

Trabajo independiente 4 Con la información de la 1ª clase, actividad extraclase3: • • •

Realiza una gráfica tiempo-altura con los datos obtenidos Modela los datos con la función que mejor se ajuste Utiliza un software para comprobar la función e interpolar los datos (Excel, Geogebra, Graph, Derive, ,Mathlab, etc.)

Contesta lo que se pide ¿Qué día crees que el tallo de la planta creció más rápido? Explica

¿Qué día crees que el tallo de la planta creció más lento?

¿Cuál es la altura máxima que alcanzó la planta, antes de marchitarse?

Trabajo independiente 5 Con la información de la 1ª clase, actividad extraclase4: • • •

Vierte en un plano cartesiano los puntos obtenidos (tiempo-distancia) Encuentra la función que modele este comportamiento Comprueba con un software la curva que se ajusta mejor a los datos (Excel, Geogebra, Graph, Derive, ,Mathlab, etc.)

Contesta lo que se te pida ¿En qué momento crees que la bola alcanzó la máxima velocidad?

¿En qué momento crees que la bola alcanzó la mínima velocidad?

48

BLOQUE I

Trabajo independiente 6 Con la información de la 1ª clase, actividad extraclase 5: Utilizando los datos de la tabla que registraste •

•

Grafícalos (tiempo-distancia, latidos-distancia, tiempo-latidos, presión arterial sistólica-distancia, presión arterial diastólica-distancia, tiempo-presión arterial sistólica, tiempo-presión arterial diastólica, latidos-presión arterial sistólica, latidos-presión arterial diastólica) Modela los datos con la función que mejor se ajuste para cada una de las tablas

Contesta lo que se te pide: ¿Qué es el ritmo cardiaco?

¿Es el mismo para todas las personas?

¿Qué es la presión arterial?

¿Qué es la tensión arterial?

¿Que es la presión sistólica?

¿Qué es presión diastólica?

La presión arterial ¿Es la misma para todas las personas?

¿Existe relación entre el ritmo cardiaco y la presión arterial?

¿En qué momento crees que se obtuvo la máxima cantidad de latidos por minuto?


49

Trabajo independiente 4 ¿En qué momento crees que se alcanzo la mínima cantidad de latidos por minuto?

Elabora un reporte de las actividades realizadas, anexa la información obtenida, así como los resultados obtenidos y toda la información que consideres pertinente para este proyecto, ya que lo vamos a seguir utilizando según avance el curso.

Autoevaluación Instrucciones: Contesta lo que se te pide en cada uno de los problemas, no olvides anexar los procedimientos; pide ayuda a tu profesor de considerarlo necesario. 1. Se quiere cercar un campo rectangular que colinda con un camino. Si la valla del lado que está junto al camino cuesta 8 el metro y para los otros lados 4 el metro, halla el área del mayor campo que puede cercarse con $ 1,440.00

2. Encuentra dos números cuya suma es 84, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado del otro es máximo.

3. Con 1,875 metros de alambre debe cercarse un terreno rectangular por tres de sus lados, ya que el cuarto lado estará limitado por el cauce de un río. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada?

50

BLOQUE I

4. Con 1,875 metros de alambre debe cercarse un terreno rectangular por sus cuatro lados. ¿De qué medidas deberá hacerse para que su superficie sea la máxima abarcada

5. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadrangular,a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadradosde sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura. Calcula lasdimensiones de la caja de mayor volumen.

6. Con270 metros de alambre se debe construir dos corrales adyacentes idénticos, como se muestra en la figura. Calcula las dimensiones que debe tener el cercado para que el área abarcada sea máxima.

7. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos. Si el perímetro del terreno es de 50 m, encuentra las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima.


51

8. Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 12,000 pies3 de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por pie 2 y el material para construir la tapa cuesta $200 por pie2.¿Cuáles son las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción?

9. Se deben construir envases cilíndricos de bebida con capacidadde 300 cm 3. Calcula las dimensiones que deben tenerpara que su costo sea el mínimo.

10. De todos los paralelepípedos de base cuadrada inscritos en un cono circularrecto de 72 unidades de longitud de altura por 24 de radio, obtén las dimensionesdel de mayor volumen

11. Encuentra el de área máxima de todos los rectángulos inscritos en una semicircunferencia de radio r=144. Dos vértices del rectángulodeben estar sobre el diámetro.

12. Una lámina de 420 cm de ancho debe doblarse por sus extremosen ángulos rectos para transportar agua. Calcula las dimensiones que deben darse a los doblecespara que la capacidad sea máxima.

52

BLOQUE I

13. Se desea construir una ventana que tenga 15 unidades de perímetro,cuya forma sea un rectángulo y un semicírculo sobre su parte superior. Calcula las dimensiones que debe tener para quepermita el máximo paso de luz.

14. Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto ysemiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de losextremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si lacapacidad deseada es de 10 π pies?

15. Se dispone de una chapa metálica de forma rectangular de 1.20 m x 3 m. Se deseaconstruir con ella un bebedero para animales procediendo a doblar la chapa como indica lafigura, para formar la superficie lateral y el fondo. Las bases se confeccionan de maderadura. a). Determina el ángulo θ para que el volumen del bebedero sea máximo. b). Calcula dicho volumen en litros.

16. Determina las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede serinscrito en una esfera de radio R.


53

Soluciones del Trabajo independiente 4 1. Amáxima= 5,400 m2. 2. Sean x y y , entonces x = 28 y y = 56 3. El lado del río mide 468.75 m. El otro lado mide 937.5 m. 4. Largo = 468.75 m. y el ancho = 468.75 m. 5. Lado de la base = 40 unidades y el alto 10 unidades. 6. x = 45 y = 67.5 7. r = 7.95 m. 8. Longitud de la base = 20 pies y altura = 30 pies. 9. r = 3.627 cm. h = 7.258 cm. 10. h = 24 y base = 32 11. Amáxima= 20,735.9 unidades2 12. Altura = 105 cm. 13. r = 3.75 unidades 14. r =

; l=

15. a) θ =

b) v = 0.623 m3 = 623 litros. 16. h =

54

r=

•R

ANEXOS

ANEXO 1 LISTA DE COTEJO DE LA ACTIVIDAD EXTRACLASE1 DE LA SESIÓN 1 Instrumento de Evaluación : Lista de cotejo

Plantel:

Alumno:

Bloque:

Profesor:

Fecha:

Registro de cumplimiento

Aspectos a evaluar

SÍ Entrega el producto a tiempo Entrega en el formto requerido el producto Las biografías corresponden al personaje histórico Exhibe limpieza en el producto Es entendible el producto

Evaluó: Nombre y firma

56

No

Observaciones

ANEXO 2 LISTA DE COTEJO DE LA ACTIVIDAD EXTRACLASE 2 DE LA SESIÓN 1 Instrumento de Evaluación : Lista de cotejo

Plantel:

Alumno:

Bloque:

Profesor:

Fecha:

SÍ

Indicadores

No

Cuenta con introducción, desarrollo y cierre Relaciona la información con hechos relevantes y pertinentes Expone y argumenta ideas propias Realiza un análisis comparativo sobre la información de distintas fuentes Presenta las ideas o argumentos de maner coherente Utiliza adecuadamente los tecnisismos Utiliza una redacción clara y sencillam así como sus propias palabras Menciona autores relacionados con el tópico, así como las fuentes de consulta El producto presenta limpieza, coherencia y congruencia

Evaluó: Nombre y firma GUÍA DIDÁCTICA > CÁLCULO DIFERENCIAL

57

ANEXO 3 RÚBRICA PARA EVALUAR EL PROCESO DE APRENDIZAJE COOPERATIVO 1 Asignatura que apoya

Título:

Equipo integrado por: Plantel de adscripción:

Grupo:

Evaluado por:

Fecha:

Puntaje obtenido: DIMENSIONES Y CRITERIOS Participación grupal

Excelente Todos los estudiantes participan con entusiasmo

Cuatro puntos

Responsabilidad compartida

Calidad de la interacción

Dentro del grupo

Todos comparten por igual la responsabilidad sobre la tarea

Bueno

Al menos el 75% de los Al menos el 50% de los Solo una o dos estudiantes participan estudiantes presentan personas participan activamente ideas propias activamente

Tres puntos La mayor parte de los miembros del grupo comparten la responsabilidad en la tarea

Dos puntos

Un punto

La responsabilidad es La responsabilidad compartida por el 50% recae en una sola de los integrantes del persona grupo

Tres puntos

Dos puntos

Un punto

Habilidades de liderazgo y saber escuchar, conciencia de los puntos de vista y opiniones de los demás

Los estudiantes muestran estar versados en la interacción ; se conducen animadas discusiones centradas en la tarea

Alguna habilidad para interactuar; se escucha con atención; alguna evidencia de discusión o planteamiento de alternativas

Muy poca interacción; conversación muy breve, algunos estudiantes están distraídos o desinteresados

Cuatro puntos

Tres puntos

Dos puntos

Un punto

C/Estudiante tiene un rol asignado, pero no está claramente definido

Hay roles asignados a los estudiantes; pero no se adhieren consistentemente a ellos

Tres puntos

Dos puntos

C/ estudiante tiene un rol definido; desempeño efectivo de roles

1. Tomado de Barriga F. Aprendizaje cooperativo. México:UNAM.

Evaluó: Nombre y firma

58

Insuficiente

Cuatro puntos

Cuatro puntos

Suficiente

No hay ningún esfuerzo de asignar roles a los miembros de grupo

Un punto

ANEXO 4 LISTA DE COTEJO DE TRABAJO INDIVIDUAL Instrumento de Evaluación : Lista de cotejo

Plantel:

Alumno:

Bloque:

Profesor:

Fecha:

SÍ

Indicadores

No

Identifica correctamente las variables Interpreta correctamente el problema Utiliza correctamente la metodología Muestra la solución paso a paso Entrega en tiempo y forma Muestra dominio del tema Comparte ideas y soluciones

Evaluó: Nombre y firma GUÍA DIDÁCTICA > CÁLCULO DIFERENCIAL

59

FUENTES DOCUMENTALES BIBLIOGRÁFICAS

Larson, Hoestetler y Edwards. Cálculo. Volumen 1. Editorial Mc Graw Hill. Leithold,I. Cálculo con geometría analítica. Editorial Oxford University. Purcell-Verberg. Cálculo diferencial e integral. Editorial Prentice Hall. Swokowski. Cálculo con geometría analítica. Editorial Iberoamérica. Stewart. Cálculo de una variable. Editorial Thomson. Pita Ruiz, Claudio. Cálculo de una variable. Editorial Prentice Hall. Goldstein, L.; Lay, D. y Schneider, D. 1990. Cálculo y sus aplicaciones. Cuarta Edición. Prentice Hall. México.

DIGITOGRÁFICAS http://www.biografiasyvidas.com/ http://www.euler.us.es/~libros/calculo.html http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html http://www.bdigital.unal.edu.co/8725/1/oscareduardovidalro jas.2012.pdf

60

Weirsman

Rieman

Pascal

Newton

Leibnitz

Lebesgue

Lagrange

L´hopital

Kovalesky

Kepler

Gibbs

Gauss

Euler

Descartes

Cauchy

Bernoulli

Arquímides

Agnesi

Calculo Diferencial

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