Calculo diferencial

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA

Módulo de aprendizaje

CÁLCULO DIFERENCIAL Hermosillo, Sonora. Enero de 2015.

Estimado Estudiante del Colegio:

Te invito a que consideres el estudio como una gran oportunidad para ingresar al maravilloso y bello mundo del saber, de tal forma que cuando explores éste libro que tienes en tus manos, aproveches cada párrafo que lees, enorgullécete de ello, disfruta su contenido, sueña, reflexiona y constrúyete a partir de lo que comprendes logrando la fuerza, el valor y el poder para encender la antorcha del pensamiento que te traslade al saber.

Educar Para Competir , es un gran compromiso que el Gobernador del Estado, Lic. Guillermo Padrés Elías ha asumido, con el propósito de elevar la calidad de la educación en Sonora, mediante la articulación de un sistema educativo enfocado en el desarrollo integral de los estudiantes que permita a través de la promoción del aprendizaje adquirir competencias básicas para la vida. Por su parte el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, te apoya con las herramientas necesarias y básicas enfocados en

módulos de aprendizaje,

convirtiéndose en un compromiso solidario que fructificará al realizarte como un estudiante íntegro, capaz de transformarse para sí mismo y para los demás. Por último, te invito a que adquieras habilidades comunicativas mediante el hábito de la lectura, que aprendas a reflexionar y tomar decisiones

que transformen tus

pensamientos y seas libre para elegir el camino que te dará seguridad, para así transitar como una persona de bien a lo largo de tu vida.

Con afecto

Mtro. Martín Alejandro López García Director General

COLEGIO COLEGIO DE ESTUDIOS ESTUDIOS CIENT FICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA Dirección Académica Subdirección de Desarrollo Académico Departamento de Desarrollo Curricular Cálculo Diferencial Módulo de aprendizaje Cuarto semestre Elaboradores Imelda Guadalupe Villegas Gocobachi Jorge Luis Figueroa Arce Ranulfo González Olivas Isidro Valenzuela Miranda Ma. Asunción Santana Rojas Supervisión académica María Asunción Santana Rojas  Ana Rocio Villa Quintal María Angélica González Castañón Edición y diseño Miguel Ángel Velasco González Coordinación técnica  Ana Lisette Valenzuela Molina Coordinación general José Francisco Bracamonte Fuentes Copyright ©, 2015 por Colegio de Estudios Científicos Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora Todos los derechos reservados

Directorio MTRO. Martín Alejandro López García

Director General

DR. José Francisco Bracamonte Fuentes

Director Académico

ING. José Francisco Arriaga Moreno

Director Administrativo

L.A.E. Martín Francisco Quintanar Luján

Director de Finanzas

M.C. José Carlos Aguirre Rosas

Director de Planeación

LIC. Jesús Andrés Miranda Cota

Director de Vinculación

C.P. Olga María González Castañón

Director del Órgano de Control

Ubicación Curricular

Componente:

Campo de Conocimiento:

Formación Básica

Matemáticas

 Asignatura Antecedente: Ninguna

 Asignatura Consecuente: Cálculo Integral

Créditos:

Horas:

8

4 HSM

Datos del alumno

Nombre _____________________________________________ Plantel _______________________________________________ Grupo ______ Turno _________ Teléfono __________________ Correo Electrónico _____________________________________ Domicilio _____________________________________________

ESTRUCTURA GENERAL DE LA ASIGNATURA DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Pre cálculo

Funciones



Números reales

 

Intervalos

 

Desigualdades



Dominio y contra dominio.

 

Clasificación.

 

Operaciones



Límite de una función.

 

Propiedades



Continuidad

Cálculo Diferencial

Límites

de

una

función.



Razón

de

cambio

promedio

de

interpretación geométrica. Derivada



Derivación de funciones



Derivadas sucesivas

 

Comportamiento

ÍNDICE Presentación……………………….………………………………………………………

Recomendaciones para el alumno ………………………………………………………

9 10

Competencias………………………………………………………………………………

11

Unidad I. PRECÁLCULO.

13

1.1. Interpreta a los números reales como la necesidad de representa la solución de un problema de su entorno.

15

1.1.1. Clasifica los subconjuntos de los números reales.

17

1.1.2. Aplica las propiedades de los números reales para resolver diversas situaciones del entorno

17

Argumenta la solución de problemas de su contexto por medios gráficos y analíticos que incluyen la solución de una desigualdad.

24

1.2.1. Argumenta la solución de un problema por medio de un conjunto de soluciones en el sistema unidimensional

24

1.2.2. Interpreta las propiedades de las desigualdades.

29

1.2.3. Contrasta matemáticamente las magnitudes del espacio en el sistema unidimensional

29

Argumenta la solución de problemas de su contexto que involucran la representación analítica y gráfica de funciones en el plano cartesiano

43

1.3.1. Interpreta los elementos de una función como la n ecesidad de relacionar dos variables que explican el comportamiento de un problema social o natural.

43

1.3.2. Formula y resuelve problemas que involucran los términos de dos o más funciones dadas.

58

1.3.3. Explica o resuelve problemas mediante la interpretación de tablas y gráficas de funciones que representan un problema social o natural.

66

1.2.

1.3.

Instrumentos de evaluación

87

Unidad II. DERIVADA

89

2.1.

93

Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje 7

verbal y matemático. 2.1.1. Interpreta los límites como la necesidad de explicar un problema donde se involucra la tendencia de un valor dado.

93

2.1.2. Interpreta la continuidad de una función como la existencia del límite de una función 103

2.2.

Interpreta la derivada en términos de los límites laterales y su interpretación gráfica y aplique las propiedades de los mismos en la determinación del límite de una función . 106

2.2.1. Interpreta la existencia d e la derivada como la aproximación de la pendiente de una recta secante 106 2.2.2. Resuelve problemas de la derivada aplicando modelos establecidos

110

2.2.3. Resuelve problemas relacionados con la derivada de orden superior

121

2.2.4. Explica problemas sociales o naturales mediante la interpretación gráfica o el comportamiento de una función desde el punto de vista de la derivada Instrumentos de evaluación…

150

Claves de respuestas de las autoevaluaciones.

152

Glosario

153

Referencias

155

8

PRESENTACIÓN El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Cálculo Diferencial, que cursarás durante este cuarto semestre. La asignatura de Cálculo Diferencial, tiene como propósito desarrollar la capacidad del razonamiento matemático a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana dentro y fuera del contexto matemático, representados por modelos matemáticos (funciones) mediante el análisis e interpretación de procesos finitos que involucren razón es de cambio. Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuación: UNIDAD I. Pre cálculo UNIDAD II. DERIVADA

En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para los alumnos que cursan esta asignatura. Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases necesarias, para tu éxito académico.

9

RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO

El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los contenidos que se abordarán en la asignatura de Cálculo Diferencial. Los contenidos de Cálculo Diferencial, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios, evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras, colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu profesor. Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:   Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser enriquecido consultando otras fuentes de información.   Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas conocimientos previos de lo que se estudiará.   Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje, propuestos.  Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes significativos.  Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.   Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de aprendizaje, mismas que tienen un significado particular: 

10

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Que el estudiante participe articulando conocimientos de diversas disciplinas, identifique sus relaciones, (sistemas y reglas o principios medulares) para estructurar ideas, argumentos, y dar solución a problemas surgidos de la actividad humana como: distribución inequitativa de los recursos económicos, propagación rápida de enfermedades, entre otros; y de los fenómenos naturales (cambio climático, contaminación por emisión de gases, etc.); aplicando el razonamiento, el análisis e interpretación de procesos finitos que involucren razones de cambio.          

Genéricas:

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades. Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante una situación que lo rebase. Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüistas, matemáticas o gráficas Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada  uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo  Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y  discrimina entre ella de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.  Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.  

   

  

Disciplinarias:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de de la información y la comunicación Analiza la relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos 11

12

Unidad I PRE-CÁLCULO

13

COMPETENCIA  Argumenta distintas problemáticas de su contexto; por medios gráficos que incluyan la representación de figuras en sistemas de coordenadas unidimensionales y bidimensionales.

TEMARIO 1.1

Interpreta a los números reales como la necesidad de representa la solución de un problema de su entorno.

1.1.1

Clasifica los subconjuntos de los números reales.

1.1.2

Aplica las propiedades de los números reales para resolver diversas situaciones del entorno

1.2  Argumenta la solución de problemas de su contexto por medios gráficos y analíticos que incluyen la solución de una desigualdad.

1.2.1

Argumenta la solución de un problema por medio de un conjunto de soluciones en el sistema unidimensional. Interpretar las propiedades de las desigualdades.

1.2.3

Contrasta matemáticamente las magnitudes del espacio en el sistema unidimensional

1.3  Argumenta la solución de problemas de su contexto que involucran la representación analítica y gráfica de funciones en el plano cartesiano

1.3.1

Interpreta los elementos de una función como la necesidad de relacionar dos variables que explican el comportamiento de un problema social o natural.

1.3.2

Formula y resuelve problemas que involucran los términos de dos o más funciones dadas.

1.3.3

Explica o resuelve problemas mediante la interpretación de tablas y gráficas de funciones que re resentan un roblema social o natural.

1.2.2

14

 A continuación se te presentan una serie de preguntas de Sesión opción múltiple relacionadas con operaciones básicas y 1 algunos temas de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. 1.- ¿Cuál de los siguientes números es el más pequeño? 0.005 0.5 0.05 5.55 -0.5 -0.6

-1

2.- Las letras P, Q, S y W representan puntos distintos en la recta numérica. Si P < Q, S  W y Q = 2W ¿Cuál de los puntos representa al número más pequeño? 3.- ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a un número natural? 0.25

1+ ½

-3

4.- ¿Cuál de los siguientes números tiene expansión decimal finita? 4/9

1/7

4/11

24/5

2/13

5.- ¿Cuál es el período de la expansión decimal de 1/7? 6.- Localiza los siguientes puntos en el plano coordenado que se te anexa.  A( -2, 3)

 y

B( 5 ,-1) C( 0, 4) D( -3 ,-3)  x

E( 5, 0) F( 4 ,-2)

15

UNIDAD 1: PRE- CÁLCULO  Argumenta distintas problemáticas de su contexto; por medios gráficos que incluyan la representación de figuras en sistemas de coordenadas unidimensionales y bidimensionales. Contenidos Relacionados Facticos Números reales y su clasificación, intervalo, función, clasificación de funciones, dominio, rango

Disciplinares

Actitudinales

Identifica los números reales de acuerdo a sus propiedades de cerradura operacional y expansión decimal, determina el conjunto de soluciones de una desigualdad, identifica a una función por su representación algebraicas, describe una función en forma gráfica, realiza operaciones con funciones

Trabaja de manera colaborativa. Se comunica de forma oral y escrita Se conduce con respeto y entrega trabajos responsablemente.

Competencias genéricas

Competencias Disciplinares

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de códigos y herramientas apropiadas

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.  Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

16

1.1.

Interpreta a los números reales como la necesidad de representa la solución de un problema de su entorno..

Identifica los subconjuntos de los números reales Comprende las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita  Procesa e interpreta datos  Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ella de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.  Representa e interpreta conceptos en forma numérica, geométrica, algebraica y verbal  

1.1.1 Clasifica los subconjuntos de los números reales. 1.1.2 Aplica las propiedades de los números reales para resolver diversas situaciones del entorno. El cálculo está basado en el sistem a de los número s reales y s u s p r o p i e d a d e s .  Pero, ¿cuáles son los números reales y cuáles son sus propiedades? Para dar respuesta a esta cuestión, comenzamos con los sistemas numéricos que más se utilizan. (J. PURCELL EDWIN, 2007) Un c o n j u n t o es una colección de objetos a los cuales se le llama e l e m e n t o s del conjunto. Si  A es un conjunto, la notación  x  A  expresa que  x es un elemento de  A y  x  A expresa que x  no es elemento de  A.

Si todo elemento de un conjunto  A también es un elemento de un conjunto B, entonces  A es un s u b c o n j u n t o  de B, lo cual se denota por  A  B. Conjunto de números naturales: El primer conjunto de números, consistió en un conjunto infinito de números íntimamente relacionados con la necesidad de contar o de enumerar objetos. Este conjunto recibe el nombre de números naturales y se denota por la letra Cuyos elementos son:

Debido a que la sustracción o resta no está completamente definida en este conjunto ya que no se aceptaban sustracciones como 2- 2 o 3  – 6 ya que sus resultados representaban números que no pertenecían al conjunto de los números naturales; el ser humano tuvo la necesidad de agregar nuevos números como el cero y números negativos; y de aquí nació el siguiente conjunto numérico. 17

Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir. Es por esto que se hace necesaria una extensión del conjunto de los números naturales a otro conjunto más grande y que incluya a éstos, esta completitud genera el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos formarán el conjunto de los números enteros. Conjunto de número enteros: El nuevo conjunto se llama números enteros; se denotan por la letra Z, letra que tiene sus orígenes en el vocablo alemán y proviene de la palabra zahl o zahlen que significa “número” o “cantidad”.

Este conjunto está compuesto por tres conjuntos; el primero corresponde a los números naturales, también conocidos como enteros positivos y se representan por:

El segundo es el conjunto formado por un solo elemento; el cero {0} Por último el conjunto de los enteros negativos

el símbolo   indica

que los números se extienden infinitamente hacia la izquierda también se nombra como “menos infinito”.

De

esta

manera,

el

conjunto

de

los

números

enteros,

se

representa

así:

 Aquí puedes darte cuenta que los naturales es un subconjunto de los enteros, esto es; En este nuevo conjunto de los enteros las operaciones de suma y resta están bien definidas, ya que se pueden sumar o restar cualquier par de números enteros y el resultado sigue siendo un número entero. Esta propiedad en las operaciones recibe el nombre de “cerradura “de las operaciones. Al igual que la suma y resta; la multiplicación también está bien definida dentro de este conjunto; por lo que se puede decir que la multiplicación es cerrada en los enteros. No obstante; la división entre números enteros n o siem pre resulta un n úmero en tero;   por ejemplo, al realizar la división

5 2

; su resultado no pertenece al conjunto de los números enteros.

En otras palabras la división no tiene la propiedad de cerradura ¿Por qué? Por tal motivo surgió la necesidad de construir un conjunto numérico mayor que incluyera tanto a los enteros como aquellos números cuya división no resultaba un número entero; agregando todos aquellos números que se podían expresar como cociente de cualquier par de números enteros; todos aquellos números de la forma:

a b

 siendo a y b dos números enteros; donde “b”

es distinto de cero ( b   0  ). 18

Este nuevo conjunto infinito que se representa con la letra , la cual se deriva de la palabra Quotient que significa cociente, recibe el nombre de conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales se representa de la siguiente manera:

 A continuación se dan algunos ejemplos de números racionales: 1946 1 3 5 23 12 18 1    4, 0, 19.46  , 0.3333...  0.3  , , , , , ,  0.142857  100 3 2 7 4 6 1 7  

La barra o testa indica que la sucesión de dígitos se repite sucesivamente. Los enteros son un subconjunto de los racionales, esto es;

.

El siguiente diagrama nos ilustra los conjuntos antes mencionados Una característica de los números racionales es que su parte decimal es cero (en el caso de los números enteros), o tienen expansión decimal finita, por ejemplo: periódica, por ejemplo:

1.18181818... 

13 11

23.5 

235 10

; o bien infinita

.

En este conjunto de los números racionales, las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación (potencias) son cerradas; porque siempre resulta un número racional. Sin embargo la radicación (raíces) de números racionales no siempre resulta un número 2, 3, 5   cuyos racional; por lo tanto esta operación no es cerrada como el caso de resultados nos dan una expans ión decim al infinita periódica  . Conjunto de números irracionales: Los números irracionales son aquellos números que no se pueden poner como el cociente de dos números enteros, siendo diferente de cero el denominador. Se denotan por la letra  . De lo anterior, se tiene que el conjunto de los números irracionales, se expresa así:

19

 A continuación se dan algunos ejemplos de números irracionales: 



2  1.414213562373095...,

3,



5,  3 7, π , e,  23.2784..., 12 8

Los números irracionales tienen la característica de que su expansión decim al es infinita no periódica.

Existen dos números irracionales que se utilizan mucho en las matemáticas y en la física; los cuales son: el número pi = π   3.1415926535897932384626433832795... ; y el número (e) cuyo valor es igual a 2.7182818284590452353602874713527…, llamado número de Euler. Conjunto de los números reales: Este conjunto está formado por la unión de los conjuntos de los números racionales con el de los irracionales . Se denotan por la letra

 Algunos ejemplos, de números reales de la infinidad que existen, se muestran a continuación:  1 2   12.35, 0.11111...,  3, , π , 2.153846, , 1456, 4 2  

5

100, e , e1 , 

29 3

 

, 23.651278...,  200

 

Se pueden colocar o poner en un diagrama 1 al conjunto de los números reales; así como la relación que guarda con los diferentes conjuntos numéricos, lo cual queda de la siguiente manera. Gráfico: números reales 2

Diagrama: números reales

¿Cuáles números del siguiente conjunto H   son: (a) naturales, (b) enteros, (c) racionales y (d) irracionales?  7

H   

 2

,

6, 

π 

2

,

3 8

, 0,

15 ,

10 3



, 8, 265



1

 Fuente: OEI, tema 5 números reales

20

En los ejercicios siguientes, determina si el número real dado es racional 1.

2.

0.7 ____

22 7

3.

 ___

4.

-2769 ____

3

64  ____

6.

5. 3 2

0.3   ____ π 

3 π  2

 ____ 8.

7.

3 2 1

23.76908761… ____ 

3 2  1  ____

10.

9.

0 ____

4.3451   ____

4.3451

Sesión 2

Propiedades de los números reales

En el conjunto de los números reales existen propiedades algebraicas, también llamadas de campo y propiedades de orden; cuya clasificación se te muestra abajo, así como también su significado. En este sistema se definen dos operaciones, la suma (+) y el producto ( ) que cumplen con las propiedades algebraicas o de campo, existe además un subconjunto ( que cumple con las propiedades de orden. PROPIEDADES AL GEBRAICAS O DE CAMPO 1) Cerradura o clausu rativa.

Si

entonces

y

2) Conm utativa.

3) Asoc iativa.

21

4 ) D i s t r i b u t i v a d el p r o d u c t o c o n respecto a la sum a.

5) Existencia y unicidad neu tr o o id é nt ic o ad itiv o.

Cerradura

del

Conmutativa

Existe en un elemento único que denotaremos por (0) y que llamaremos cero, neutro aditivo o idéntico aditivo, tal que para toda

Asociativa

Distributiva

6)  E x i s t e n c i a y u n i c i d a d d e l neu tro o id é ntic o m ultip licati vo.

Existe en un elemento único que denotaremos por (1) y que lo llamaremos uno, neutro multiplicativo o idéntico multiplicativo, tal que para toda 7) Existencia y invers o aditivo.

unicidad

Algebraicas o de campo Neutro Aditivo

Neutro Multiplicativo Propiedades de los números reales Inverso Aditivo

de

, existe un único Para todo elemento que llamaremos su inverso aditivo, que denotaremos por (-a), tal que;

Inverso Multiplicativo

De orden

8) Existencia y unicidad i n v e r s o m u l t i p l i c at i v o .

Para todo

denotaremos por

Desigualdades

ab

de

existe un único elemento que llamaremos su inverso multiplicativo, que

a1 

1 a

, tal que;

 1   1. a  

a  a1  a  

 A partir de estas ocho propiedades se puede deducir toda el álgebra de los números reales, así como también: la resta, la división, leyes de los signos, exponentes, leyes de los exponentes, factorización, ecuaciones lineales, etcétera.

Investiga la propiedad de la tricotomía de los números reales, así como también la propiedad transitiva.

22

Contesta correctamente cada una de las siguientes proposiciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad. 1.- ¿A qué conjuntos numéricos pertenece el número cero? _______________ 2.- Este tipo de número se caracteriza por que tiene expansión decimal infinita no periódica.  _____________________ 3.- El conjunto de números como {2, 4, 6, 8…} recibe el nombre de números ______________ y es un subconjunto propio de los números________________ 4.- El conjunto de los números como {1, 3, 5, 7...} recibe el nombre de números__________________ 5.- 2+4 = 4+2 y (2)(5) = (5)(2) es un claro ejemplo de la propiedad _____________ de los números reales. 6.- 3(45) = 3(40+5)= 3(40)+3(5) es un ejemplo de la propiedad________________ de los números reales. 7.- Si comparamos dos números reales a y b puede resultar cualquiera de los siguientes casos: a < b, ab ó a = b esta propiedad se llama propiedad de__________________. 8.- Al expresar 4(59) = 4(60-1)=4(60)-4(1) estamos utilizando la propiedad ______________de los números reales. 9. Este diseño de una pieza 3 mecánica que se elabora en el laboratorio muestran varios orificios que se encuentran a la misma distancia entre sí, ¿Cuál será la distancia entre centros de los orificios?

5m

20 m

5m

3

 Fuente: SEP. Documento de matemáticas I

23

1.2.

Argumenta la solución de problemas de su contexto por medios gráficos y analíticos que incluyen la solución de una desigualdad.



Identifica las propiedades de orden para resolver problemas de desigualdades



Determina el conjunto solución de una desigualdad



Resuelve desigualdades

Sesión 3

1.2.1 Argumenta la solución de un problema por medio de un conjunto de soluciones en el sistema unidimensional. Las propiedades de orden nos ayudan a conocer que conjunto de datos es mayor o menor que otro. El orden de los números es la base de la recta numérica y de los sistemas de coordenadas con lo cual podemos establecer intervalos, gráficas. Definic ión. (Númer o real posi tivo ): A

+

se le llama conjunto de los números reales positivos, y sí + ; esto también se puede denotar por  x > 0. PROPIEDADES DE ORDEN

En los números reales, existe un subconjunto, al cual se le llama número s positiv os, los cuales satisfacen lo siguiente: a) Si existe un número Real x se cumple una y solo una, de estas tres afirmaciones:  x    0;

 x  es positivo ( x   0) ; - x es positivo (  x   0  ).

b) La suma de dos números positivos es positivo. Si  x  0 y y   0 , entonces ( x  y )  0 c) El producto de dos números positivos es positivo. Si  x  0 y y   0 , entonces  x  y   0 Definición. (< y >): Los símbolos < (es menor que) y > (es mayor que) se definen de la

siguiente manera: a, b  , a  b si y sólo si b  a es positivo (a  b  b  a  0) a, b  , a  b si y sólo si a  b es positivo (a>b  a-b>0)

24

Del mismo modo, se tiene la siguiente definición. Definición. (  y   ): Los símbolos < (es menor que) y > (es mayor que) se definen de la

siguiente manera: a, b  , a  b si y sólo si a
 A las expresiones

a  b, a  b, a  b y a  b  se

denominan desigualdades.

De lo anterior, se tiene que a las expresiones a  b y a  b   se le denomina d e s i g u a l d a d e s estrictas,  mientras tanto a a  b y a  b  se le denominan desigu aldades no estrictas  . Una desigualdad se puede considerar como dos “expresiones algebraicas” distintas; lo que significa que una es menor que (<) o mayor que ( ) la otra. A menudo también está que se leen “menor o igual que; mayor o igual que relacionada con los símbolos

respectivamente. Que a  b,  significa geométricamente que a está a la izquierda de b. También se puede decir que a  b,  si a está a la derecha de b, en una recta numérica. Definición: (Intervalo) Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos: Tipo de Notación como Notación como Forma de leerse. Intervalo. intervalo. conjuntos. Abierto

(a, b)

{x/a < x < b}.

Todos los números reales “x”, estrictamente mayores al número “a” y estrictamente menores al número “b”.

Cerrado

[a, b]

{x/a

Todos los núme ros reales “x”, mayores e

x

b}

iguales al número “a” y menores e iguales al número “b”.

Abierto cerrado

(a, b]

{x/a < x

Cerrado abierto

[a, b)

{x/a

b}

Todos los números reales “x”, estrictamente mayores al número “a” y menores e iguales al número “b”.

x
Todos los números reales “x”, mayores e iguales al número “a” y estrictamente menores al número “b”.

Notación: El conjunto solución indicado como un intervalo de una desigualdad, también se puede representar de forma gráfica, bajo los siguientes criterios: a) Los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto ( ), ver la figura 2.a. 25

b) Los puntos de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado b. Por ejemplo, observemos la figura 2.a y 2.b

( ), figura 2.

Intervalo [a, b]

Intervalo (a,b) Figura 2.a

Figura 2.b

Para indicar la solución de una desigualdad sobre la recta numérica mediante el uso de intervalos, los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados como se han indicado anteriormente. Veamos ahora cuando se utilizan ambas notaciones de intervalos a la misma vez.

Si tenemos (a, b], la gráfica sería el de la figura 3.a:

a

b

Figura 3.a Figura 3.b Si tenemos [a, b), la gráfica sería el de la figura 3.b. En la solución de desigualdades, cuando hablamos de  infinito  nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que un número “a”   y se representan con la notación de intervalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que el número “ a”   se representan con la notación de intervalo (- , a). SI consideramos que “a” y “b” son números reales y además de que si a < b, e l conjunto de todos los números reales entre a y b es un intervalo abierto  y se denota por (a, b), como sigue: (a, b) = {x: a < x < b}

Cuando se resuelvan desigualdades, para indicar que un externo de un intervalo se queda incluido en él, se utiliza un corchete en lugar de paréntesis. Si a < b, entonces é l se denota como sigue: [a, b] = {x: a ≤ intervalo cerrado x ≤ b}

26

Otros intervalos se pueden presentar como intervalos semi-abiertos [a, b) o bien (a, b], se define como sigue: [a, b) = {x: a ≤ x < b} (a, b] = {x: a < x ≤ b}

También existen los intervalos infinitos. Para los intervalos infinitos se usa la siguiente notación: Intervalos.

Representación gráfica.

(a, ∞) = {x: x > a}

[a, ∞) = {x: x ≥ a}

(-∞, a) = {x: x < a}

(-∞, a] = {x: x ≤ a}

27

Representar gráficamente las desigualdades, siguientes: a) 6 > 4 Representación gráfica:

b) x < -2 Representación gráfica:

c) y ≥ 4 Representación gráfica:

d) -1 ≤ y < 3 Representación gráfica:

1. Determina la desigualdad que indica cada representación gráfica mostrada a continuación: Representación geométrica.

Desigualdad representativa.

28

2. Convierte las expresiones en lenguaje común a intervalos Expresión en lenguaje común

En forma de intervalo

Un banco otorga una tarjeta de crédito a Paola que está entre $20,000 y $35,000 inclusive La velocidad máxima permitida de los automóviles por la carretera Federal 15 110Km/h La hemoglobina de un hombre está entre 13.8 a 17.2 g/dL

1.2.2 Interpreta las propiedades de las desigualdades. 1.2.3 Contrasta matemáticamente las magnitudes del espacio en el sistema unidimensional

Sesión 4-5

Para resolver una desigualdad; es importante tomar en cuenta las siguientes propiedades. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDA DES

1. (Transitiva) Si 2. (Suma) Si

a  b  y b  c ,  entonces a  c .

a  b y  c  ,  entonces a  c  b  c.  

3. (Aditiva) Si

a  b  y c  d ,  entonces a  c  b  d .  

4. (Multiplicación) Si

a  b y  c  0, entonces a  c  b  c  

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia. Esta propiedad también se cumple para la división.

29

5. (Multiplicación) Si

a  b y  c  0, entonces a  c  b  c  

Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Esta propiedad también se cumple para la división. 6. (Inverso) Si

0  a  b  o

bien

a  b  0,  entonces

1 a



1 b

.

Estas propiedades son válidas si en todas ellas se cambia el símbolo   por cualquiera de los símbolos: ,  y   .

En base a las propiedades de las desigualdades y los ejemplos; escribe un ejemplo de cada propiedad y anexa este ejercicio al portafolio de evidencias  A diferencia de las igualdades, las soluciones de la desigualdades generalmente están asociadas a un conjunto infinito de soluciones llamados intervalos.

 A continuación analizaremos algunos ejemplos de desigualdades que se resuelven utilizando las propiedades anteriores. Resuelve la desigualdad lineal Solución: 

3 x   4  8 .

3 x   4  8

Se aplica la propiedad 2, es decir se suma 4 a cada miembro de la desigualdad, y resulta: 3 x   4  (4)  8  (4)

Se reducen términos semejantes en cada lado de la desigualdad, esto es: 3 x   12.

 Al multiplicar por

1 3

 ambos lados dela desigualdad, nos queda:

 1  1   ( 3 x )     (12) 3 3 (1)(x)   x  

12 3

4

La solución de esta desigualdad es  x   4 , es decir; es el conjunto de todos los números reales estrictamente menores ue 4.

30

Resolver la desigualdad lineal

4 x  7  7x   2.

Solución: 4 x  7  7x   2   Desigualdad

original

4 x   7  (7)  7 x   2  (7)  Propiedad 4 x  7x   9  Reducir

términos semejantes en cada miembro de la desigualdad

4 x  (7x )  7x   (7 x )  9  Propiedad

3 x   9  Reducir

2, sumar (-7) a cada lado de la desigualdad

2, sumar ( 7 x   ) a cada lado de la desigualdad

términos semejantes en cada miembro de la desigualdad

 1  1    ( 3 x)     ( 9 )  Propiedad  3  3

1 5, multiplicar por    a cada lado de la desigualdad 3





 x   3  Cambio

en sentido de la desigualdad ya que se multiplicó ambos miembros por una cantidad negativa. El conjunto solución de esta desigualdad consiste en todos los números reales estrictamente menores que 3; lo cual se puede poner en forma de intervalo, de la siguiente manera: Cs  x 

| x  3  (,3)

31

….

Reúnete en parejas y resuelve cada una de las siguientes desigualdades y expresa su solución en intervalo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo al final de la unidad

1) 4x -2 < 10

2) x + 1  -2

3) 4)

5)

32

Resolver la desigualdad lineal: Sesión 6

Solución: Restando 1 en cada miembro de la desigualdad Reduciendo los términos semejantes: Se obtiene: Dividiendo ambos miembros por -3:

Por la propiedad (5) de las desigualdades, el signo La solución de la desigualdad es: Expresada en intervalo dicha solución, nos queda, así: Cs  x  

| x    3   ,  3

33

se invierte:

Con lo que has aprendido en clases, resuelve las siguientes desigualdades y expresa su conjunto solución en un intervalo esta actividad será evaluada como se indica al final de la unidad

1)

2)

3)

4)

5)

34

Resolver la desigualdad lineal:

Sesión 7

Solución: Sumando 5 unidades en todos los miembros de la desigualdad:

Reduciendo los términos semejantes se obtiene: Dividiendo ambos miembros por 2: La solución de la desigualdad es: La cual representa el conjunto de todos los números reales comprendidos entre 4 y 6, incluyéndolos, su conjunto solución, en forma de intervalo, nos queda: Cs  x 

| 4  x   6   4, 6

Reúnete en parejas y resuelve cada una de las siguientes desigualdades. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1)

2)

35

3)

4)

5)

5 x   7 2



1 3

Sesión 8

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Hay desigualdades que involucran dos posibles casos de soluciones, una negativa y otra positiva, como las desigualdades que involucran los valores absolutos. Definición: En matemática el valor absoluto o módulo  de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea éste positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 10 es el valor absoluto de 10 y también de -10. Éste se representa entre dos barras de la siguiente manera: 10  10

O bien

10  10

También se puede definir de la siguiente forma: El valor absoluto de un número “a”, representa la distancia del punto igual “a” al origen sobre la recta numérica y se representa como: a  a .

El valor absoluto de un número “-a”, representa la distancia del punto “a”  al origen sobre la recta numérica y se representa como: a  a .

36

Por ejemplo :

La distancia del punto a = 3 al origen en la recta numérica es 3 y se representa como: 3=3

La distancia del punto a = -8 al origen en la recta numérica es 8 y se representa como:

8  8

Reúnete en equipos de tres integrantes para comentar la información anterior y resolver las siguientes situaciones para comentar en clase. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad 1) ¿La distancia entre 6 y -2, es diferente a la distancia entre 2 y -6?

2) Determina la distancia entre 4 y -4, utilizando el valor absoluto: 3) Hallar la distancia entre 10 y -2. 4) Compara la distancia 4 y -5, entre la distancia -4 y 5. Explica tu observación. 5) Determina la distancia entre -1 y 7 y la distancia entre 1 y -7. ¿Cómo son entre sí estas distancias?

37

Sesión 9

Entonces para una desigualdad, por ejemplo  x  2  8  al resolverla, se tendría que encontrar la solución tomando en cuenta los dos casos, es decir se tendría como solución el valor o valores de x, para lo cual, la distancia entre x + 2 y el origen sobre la recta numérica es menor o igual a 8. Para resolver una igualdad utilizando sus propiedades, se procede como se muestra a continuación: Resolver  x  2  8

.

Solución: Primer caso cuando x + 2 es positivo: X+2  8

Transpones el 2 al segundo miembro.

X   8 – 2

Realizar operaciones restando.

X6

Solución:

Segundo caso cuando x + 2 es negativa: -(x+2)  8

Utilizar las propiedades de las desigualdades.

X+2  -8

Transponer el 2 al segundo miembro.

X + 2   - 8 – 2

Realizar operaciones.

X  -10

Solución

El conjunto solución, es: Cs  x 

| 10  x   6  10, 6

38

Resolver 2 x  2  8

.

Solución: Primer caso cuando 2x + 2 es positivo: 2x + 2  8 miembros.

Transponer el 2 al segundo miembro, restando en ambos

2x   8 – 2

Realizar operaciones restando los términos semejantes.

2x   6 x  6/2

Transponer el 2 al primer segundo miembro.

x   3 Segundo caso cuando 2x + 2 es negativa: -(2x+2)  8

Utilizar las propiedades de las desigualdades.

2X + 2  - 8

Transponer el 2 al segundo miembro.

2x + 2   - 8 – 2

Realizar operaciones.

2x   -10 x   -10/2 x   - 5 Entonces la solución de 2 x  2  8 es:

-5   x   3, donde gráficamente se

obtiene:

Cs  x 

| 5  x   3  5, 3

39

Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve cada una de las siguientes desigualdades con valor absoluto y expresa su conjunto solución en intervalo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad 1)  x  12  4

2)  x  1  2

3) 2 x  2  4

4)  x  1  2

40

De manera individual, representa gráficamente las desigualdades siguientes y expresa la solución como intervalos. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo de la página 100

a) |5x - 6| < 11

 b)

|2 – 7x| ≤ 16

c) |2x + 2| > 8

d) |x - 10|

e)

2 x 5 3

<

2

4

41

Sesión 10

Resuelve cada una de las siguientes desigualdades, realiza todos los cálculos numéricos que necesites para llegar a dicha solución. Debes de anexar esta actividad a tu portafolio de evidencias del primer parcial.

Sesión 11

Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades con valor absoluto, expresa el resultado en intervalo. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

10)

42

1.3.

Argumenta la solución de problemas de su contexto que involucran la representación analítica y gráfica de funciones en el plano cartesiano

Sesión 12

 Exprese

ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas o gráficas.  Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos.  Analiza las relaciones entre dos o más variables.  Interpreta diagramas con símbolos matemáticos. 1.3.1 Interpreta los elementos de una función como la necesidad de relacionar dos variables que explican el comportamiento de un problema social o natural. Introducción al concepto de función. Existen muchas situaciones cotidianas que involucran la relación o correspondencia de dos variables como el salario de un trabajador que depende de las horas que trabaje, si por cada hora le pagan $350. El salario será igual a 350 por el número de horas trabajadas. r de la variable S depende del valor del variable h ya que entre más horas trabaje mayor es su salario. La relación entre dos variables, tal que el cambio en una afecte a la otra, se puede llamar dependencia. Una correspondencia puede estar dada por una situación como la anterior, pero también puede relacionar conjunto de números por medio de una operación.

Conjunto

1. Imaginemos que existe un conjunto  A={1,2,3,4,5} y el conjunto B={3, 6, 9, 12} y su correspondencia es el triple de un número, entonces se relacionan así: a 1 le corresponde 3, a 2 le corresponde 6, a 3 le corresponde 9, a 4 le corresponde 12. Como en el conjunto B no está el triple de 5, a ese número no le corresponde ninguno del B. (ver figura # 1)

Conjunto

1

3

2

6 3

9

4 5

12

Figura 1 43

Esta correspondencia se puede representar de la siguiente manera: El conjunto A recibe el nombre de dominio y al conjunto B se le llama contra-dominio. La relación de correspondencia es: B=3a. Conjunto

tiene al conjunto A = y al conjunto B = , la correspondencia que se da es que el conjunto B es el cuadrado del conjunto A.

Conjunto

2. Si se

2

4

3

9 4 5 6

La correspondencia la podemos observar en el siguiente diagrama

16 36

Definición 1: Una correspondencia es una relación que se establece entre dos conjuntos por medio de la cual a uno o varios elementos del primer conjunto se le asigna o asocia uno o varios elementos del se undo con unto.

Reunidos en equipos de tres integrantes, contesta correctamente cada una de las siguientes proposiciones con la ayuda de tu profesor. El desarrollo de estos problemas debes anexarlo a tu portafolio de evidencias del primer parcial. Esta actividad se evaluará con lista de cotejo de la página ¿? 1. Establezca la relación de correspondencia entre el conjunto A= {1,2,3} y el conjunto B={2,4,6,8} 2. ¿Cuál es la relación entre el conjunto A={1,3,5} y el conjunto B={1,9,25,}? 3. El conjunto X está compuesto de los siguientes elementos: X= {-1, 0, 1, 2, 3} los elementos de un conjunto Y están relacionados de tal manera que cada elemento “y” es equivalente a x -2, es decir; y = x – 2 ; donde x es un elemento del conjunto X. ¿Cuáles son los elementos del Conjunto Y? Y={

}

44

Definición 2: Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A, existe un solo elemento y solo uno, que pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.

En el diagrama, la función explícita es: y = 3x

Sesión 13

Conjunto

Conjunto

1

3

2

6 3

9

4 x

y 12

La función explícita es: y = Conjunt

Conjunt

1

1

2 3

4 4

x

9

y 16

45

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios determinando la función explícita en cada uno de los casos y anexa tus respuestas al portafolio de evidencias. 1.- Para elaborar empanadas una señora gasta ¢30 por cada empanada que hace además de ¢750 por día en gastos fijos. a) ¿Cuánto le costará elaborar 25 empanadas? b) ¿Cuánto gastará elaborando 50 empanadas?

2.- En una fábrica gastan $1275 por cada par de zapatos elaborado y tiene un gasto de $13500 por día. ¿Cuál es el costo de la elaboración de 350 pares de zapatos? En este caso el criterio de la función de costo es Z(x)=

3.- Un Viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del Río, gasta $25 por persona que transporte y un litro de aceite por día. El aceite cuesta $138 el litro. ¿Cuánto gastó el dueño del ferry hoy, si transportó 500 personas?

46

Relaciona el tipo de función con el dominio y contra dominio de la misma (notación funcional).

Sesión 14

En el diagrama se muestran los elementos de dos conjuntos X y Y. Si se puede establecer una relación de correspondencia entre los elementos del conjunto X con los elementos del conjunto Y como en nuestro caso; y =x 2 , entonces decimos que tenemos los elementos “y” en función de los elementos “x” o que dependen del valor de “x”

Conjunto X

1

Conjunto Y

1

2

4 3 4

llamada también variable independiente. El conjunto de valores de X es llamado dominio de la función la cual se denota f(x) y se lee “ f de x” o equivalentemente y = f(x) = x 2 .

9

x

y 16

El conjunto de valores del conjunto  Y, es llamado contra-dominio de la función f .

Reunidos en parejas contesten los siguientes ejercicios encontrando el contra-dominio de la función dada en cada uno de los casos.

Dominio X

Contra-dominio Y y= f(x) = x+3

1 2 3

47

Dominio X

Contra-dominio Y y= f(x) =

1 2 3

Realiza lo que se pide en cada ejercicio, una vez resueltos anexarlo a tu portafolio de evidencias Encuentra el contra dominio para cada una de las funciones 1.- El dominio de la función es X= {0, 2, 4, 6}. La función es f(x) = 3x. El contra-dominio es el conjunto Y = { } 2.- El dominio de la función es X= {- 2,-1, 0, 1,2}. La función es f(x) = 2x 2. El contra-dominio es el conjunto Y = { }. 3. Si la función está dada por f(x) = x 3 – x donde su dominio es el conjunto X = {- 2 ,- 1, 0, 1, 2, 3 }, el contra dominio es el conjunto Y = {

}

4. Dada la función f(x) = x3 + 3x2 – 4x  –  1 con un dominio X= {- 3,-2,-1,0,1,2 }, determina el contra dominio de dicha función Y = { }. 5. El dominio de la función es el conjunto X= {- 1, 0, 1, 2, a, a + h} y la función corresponde a f(x) = 2x2 + 3x, entonces el contra dominio es Y = { }.

48

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Sesión 15

Todo en la vida se clasifica o se divide para identificarlos fácilmente, por ejemplo: Los animales se clasifican en perros, gatos, aves, etc. A su vez los perros se clasifican en razas y también dentro de cada raza se clasifica en perros chicos, medianos y grandes, etc. Existen muchas funciones matemáticas y al igual que los animales éstas tienen su clasificación, así que para conocerlas y estudiarlas miraremos que se clasifican en funciones ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTALES. Definición. Las funciones algebraicas son las expresiones que están formadas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación). A su vez las funciones algebraicas se dividen en funciones polinomiales, racionales o cocientes, radicales y valor absoluto. Y las funciones polinomiales se dividen en funciones constantes lineales cuadráticas cúbicas. Las funciones trascendentales son las funciones que no se pueden expresar como una función algebraica. Entre este tipo de funciones se encuentran las exponenciales, las logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas. Para hacer un reforzamiento de cómo se dividen las funciones, te daremos a conocer una breve definición y ejemplos de cada una de las funciones algebraicas y trascendentales. Primero conoceremos a las funciones ALGEBRAICAS.

1.- Polinomiales.- Son funciones con la forma de un polinomio

an x n  an 1 x n 1  ...  a2 x 2  a1x1  a 0 . Entre ellas están:

Función constante.- Es una función igual a una constante de la } forma  f ( x)  c

1. f(x) = 5 , como podemos observar tiene la forma f(x) = c, donde c= 5, entonces es una función constante. 2. F(x) = - 8, aquí notemos que f(x) = c ya que c = - 8 por lo que es una función constante 49

Función Lineal.- Es una función polinomial de primer grado de la forma  f ( x)  ax  b .

1.- f(x) = 3x+1 si nos damos cuenta tiene la forma lineal y el grado de la variable es uno, a = 3 y b = 1. 2.- f(x) = x es una función lineal con coeficiente a= 1 y b =0. Es conocida como la función identidad.

Función cuadrática.- Es una función polinomial de segundo grado de la forma  f ( x)  a( x  b) 2  c .

1.-  f ( x)  2( x  1)  4 2

como vemos tiene la forma de una función cuadrática en donde

a  2  , b  1 y c  4 .

2.-  f ( x)  x también es cuadrática ya que a  1 , b  0 y c  0 . Se le llama función cuadrática básica. 2

Función cúbica.- Es una función polinomial de tercer grado de la forma  f ( x)  a( x  b)3  c .

3 1.-  f ( x)  ( x  1)  5 como vemos tiene la forma de una función cúbica en donde

a  1  , b  1 y c  5 .

2.-  f ( x)  x también es cúbica ya que a  1 , b  0 y c  0 .  A esta función se le llama función cúbica básica. 3

50

Función cociente o racional.- También se le conoce como función división ya que está formada por una división de dos funciones polinomiales de la forma

1.-  f ( x ) 

 f ( x) 

 p( x) Q( x)

 con Q( x)  0 .

 x  1

como vemos tiene la forma de una función cociente en donde  x 2  1 2  P( x)  x  1  y Q( x)  x  1  son funciones polinomiales.

2.  f ( x) 

2 x  3  x  1 en donde se observa que P(x) = 2x + 3 y Q(x) = x - 1 son funciones

polinomiales

Función radical.- Son funciones que se pueden expresar en forma de radical de la forma  f ( x)  a ( x  b)  c en donde a, b, c son números reales.

1.-  f ( x)  ( x  2)  3 como vemos tiene la forma de una función radical en donde

a  1  y b  2 y c  3 .

Función absoluta.- También conocida como función valor absoluto ya que la función valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tomar en cuenta su signo. Es de la forma  f ( x) 

1.-  f ( x)  x 1

como vemos lleva los símbolos del valor absoluto.

2.-  f ( x)  x  2 como vemos lleva los símbolos del valor absoluto. 51

Ahora continuaremos como lo hicimos anteriormente conociendo mediante ejemplos a las funciones TRASCENDENTALES. Función exponencial.- Es una función real que tiene la variable como exponente, es de la forma  f ( x )  e en donde la base es x

e  2.71828...

1.-

 f ( x)  e x 1 como vemos tiene la variable x en el exponente y la base es

e.

Funciones logarítmicas.- Son funciones que contienen expresiones logaritmos, de la forma  f ( x)  ln x  o también de la forma

 f ( x)  log a x 1.-  f ( x)  ln( x  2) como vemos tiene la expresión ln. Que se le llama logaritmo natural.

2.-  f ( x)  log3 ( x  1) como podemos observar tiene la función logaritmo base 3. Funciones trigonométricas.- Son las funciones que dependen de un ángulo en su expresión y son de la forma:  f ( x)  sen  ,  f ( x)  cos  ,  f ( x)  tan   ,  f ( x)  cot   ,  f ( x)  sec  y  f ( x)  csc   . 1.-  f ( x)  cos( x )  4  como vemos tiene la expresión cos x en donde el ángulo es x.

2.-  f ( x)  sec( x  1) como observamos aparece la función secante. Funciones trigonométricas inversas.- Como su palabra lo dice son las funciones 1 inversas a las funciones trigonométricas y son de la forma  f ( x)  sen   ,

 f ( x)  cos 1   ,  f ( x)  tan 1   ,  f ( x)  cot 1   ,  f ( x)  csc 1   . 1

1.-  f ( x)  sen ( x  4)  como vemos tiene la expresión seno inversa

52

y

Reunidos en equipos de tres integrantes, contesta correctamente completando la clasificación de funciones en el siguiente esquema, con la apoyo de tu profesor. El desarrollo de estos problemas debes anexarlo a tu portafolio de evidencias del primer parcial

CÚBICAS RACIONALES

FUNCIONES

LOGARÍTMICAS

Para reforzar la clasificación de funciones. Realiza de manera individual una investigación para encontrar cinco ejemplos de cada una de las funciones vistas. Elaborar una lista de los ejemplos encontrados junto con tus compañeros en la clase. Escribe en el cuadro si la función es ALGEBRAICA O TRASCENDENTAL y además de que tipo se trata. FUNCIÓN a)

 g ( x)  x  10

b)

 f ( x)  sen2 x

c)

 f ( x)  x  5

ALGEBRAICA O TRASCENDENTAL

53

El TIPO O COMO SE LLAMA LA FUNCIÓN

d)

 g ( x)  x 3  3

e) f)

 g ( x)  e3 x

g)

l ( x)  ( x  10) 2

h)

h ( x) 

i)

 f ( x )  tan 1 x

 j)

 f ( x) 

k) l)

 f ( x)  23 x h( x)  2 ln( x  4)

m)

 g ( y )  ( y  4)3  1

n)

 g ( x) 

o)

h( y )  y  1

p)

 f ( x)  tan x  1

q)

 f ( x)  log x

x  10

 x  x 2  9

x

 g ( x)  12

Indicaciones:  A continuación se te presentan una serie de reactivos de opción múltiple en base a los temas desarrollados en esta unidad. Realiza los cálculos necesarios para dar con la respuesta correcta. 1. Es un conjunto infinito de números, que surgen a través de la historia de la humanidad en base a la necesidad de resolver problemas diversos. a) Los números enteros negativos. b) Los números reales. c) Los números racionales. d) Los números primos. e) Los números irracionales. 2. Se le llama así a la propiedad en que se cumple en los números enteros, donde las operaciones de suma y resta estaban bien definidas, ya que se podían sumar o restar cualquier par de números enteros y el resultado seguía siendo un número entero. a) Conmutativa. b) Asociativa. c) Cerradura. d) Distributiva. e) Inverso aditivo.

54

3. Este nuevo conjunto infinito que se representa con la letra Q, la cual se deriva de la palabra Quotient que significa cociente. a) Los números enteros negativos. b) Los números reales. c) Los números racionales. d) Los números primos. e) Los números irracionales. 4.

Indica el conjunto de números al que pertenecen los del subconjunto formados por 1.3238298…, 5 ,   . a) Los números enteros negativos. b) Los números reales. c) Los números racionales. d) Los números primos. e) Los números irracionales. 5. Consiste en una línea recta donde se elige un punto de referencia y le asociamos el número cero; posteriormente se elige una unidad de medida arbitraria asociando a cada una un número entero específico. a) Sistema coordenado bidimensional. b) Sistema coordenado unidimensional. c) Sistema coordenado irracional. d) Sistema coordenado tridimensional. e) Sistema coordenado real. 6. a) b) c) d) e)

Resolver la desigualdad lineal 2x + 4 < 12. x >8 x >4 x <4 x >-8 x <-8

7. a) b) c) d) e)

Resolver la desigualdad

8.

.

Resolver la desigualdad

a) b) c) d) e)

55

9.

Resolver la desigualdad

.

a) b) c) d) e) 10. a) b) c) d) e)

Determina la distancia entre -3 y 7, utilizando el valor absoluto. -10 4 -4 10 11

11. a) b) c) d) e)

Determina el valor de la incógnita de la expresión  x  4  10 .  6  x  14  14  x  6 4  x  14 0x6  4  x  10

12. a) b) c) d) e)

Determina el conjunto solución de 3x < 18, expresándolo como intervalo.  ,6 6,  (-∞,6)  ,6  ,6

13.

Expresa como intervalo de solución de la desigualdad 5 < x - 2 ≤ 7.

a) b) c) d) e)

7,9  7,9 7,5 7,9 3,9

14. a) b) c) d) e)

Expresa el intervalo 1,6 , como una desigualdad. 1≤x<6

1< x < 6 1
56

15.- Es un conjunto de parejas ordenadas ( x, y ) tales que no puede haber dos parejas distintas que tengan igual el primer valor (x). a) Relación b) Función c) límite d) Clasificación e) Dominio 16.- ¿Cuál es la variable que toma los valores directamente, que no depende de otra variable? a) Rango b) Contra dominio c) Recorrido d) Independiente e) Dependiente 17.- En la siguiente función  y  2 x   , encuentra el contra dominio para el siguiente domino explícito x={ 0, 1 } . a) y={ 0, 3 } y={ 0, 1 } b) y={ 0, 2 } c) d) y={ 0, 0 } y={ 2, 1 } e) 18.- A este conjunto se le conoce como imagen o recorrido. a) Dominio b) Contra dominio c) Nulo d) Independiente e) Dependiente 19.- Son las funciones que se clasifican clasifica n como trigonométricas, trigonométri cas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas trigonométricas inversas. a) Funciones algebraicas b) Funciones trascendentales c) Funciones Binomiales d) Funciones radicales e) Funciones racionales 20.- Es un ejemplo de una función  g ( x)  x  3  2 a) b) c) d) e)

exponencial.

 f ( x)  53 x  f ( x)  x 15  f ( x)  cot x  f ( x)  ln 3x

57

1.3.2. Formula y resuelve problemas que involucran involucran los términos de dos o más funciones dadas.

Sesión 16

 Sume,

reste, multiplique y divida funciones de manera efectiva atendiendo las reglas del álgebra.  Interpretar información contenida en un texto.  Trabajar de manera colaborativa.  Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas

 Al hacer las operaciones operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.

Función Suma Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma está dada por f+ x =f x + x Recordatorio: Cuando tenemos un signo más (+) precedido por un paréntesis significa que todo lo que está dentro del paréntesis no cambia de signo.

Si F(x) = 3x3 + x2 – 4 y

h(x)= 5x + 1, encuentra la suma.

Solución: (f + h)(x) = f(x) + h(x)

Sustituyendo los valores de las funciones f(x) y h(x), se tiene:

(f + h)(x) = (3x3 + x2 – 4 ) + ( 5x + 1), Eliminando paréntesis (f + h)(x) = 3x3 + x2 – 4 + 5x + 1

Reduciendo términos semejantes:

(f + h)(x) = 3x3 + x2 + 5x – 3

58

Función Diferencia Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia está dada por ( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x) Recordatorio: Cuando tenemos un signo menos (-) precedido por un paréntesis significa que todo lo que está dentro del paréntesis cambia de signo.

Hallar la resta de f y h . Si f(x) = 3x + x  – 4

y

h(x)= 5x + 1

Solución: 

(f - h)(x) =

f(x)  –  h(x) 

Sustituyendo f(x) y h(x)

(f - h)(x) = ( 3x 3 + x 2  – 4 )  – ( 5x + 1 ),

Eliminando paréntesis

(f - h)(x) = 3x 3 + x 2  – 4 – 5x  – 1,

Reduciendo términos semejantes

(f - h)(x) = 3x 3 + x 2  – 5x – 5

Si f(x) = 3x + x  – 4, g(x) = 2x – 3 y

h(x)= 5x + 1. Hallar

(f + h – g)(x). Solución:

(f + h - g)(x) =

f(x) + h(x)  – g(x)

Sustituyendo f(x), h(x) y g(x)

(f + h - g)(x) = (3x 3 + x 2  – 4) + (5x + 1)  –  (2x – 3),

Eliminando paréntesis

(f - h)(x) = 3x 3 + x 2  – 4 + 5x + 1 – 2x + 3, (f - h)(x) = 3x 3 + x 2  + 3x

59

Reduciendo términos semejantes

Con la ayuda de tu maestro reúnete en equipo para resolver los siguientes ejercicios y los resultados comentarlos en el grupo esta actividad será evaluada como se indica en la rúbrica de la página 100

Suma de funciones 1.- Dadas las funciones f (x) = 2 x - 7 y g ( x ) = x 2 +1

calcula f +g 

2.- Sea f(x) = 3x3 + 7 y g(x) = x2 – 1. Halla la suma. 3.- Dadas las funciones f ( x )= 2 x 2  - 3 x

y

4.- Dadas las funciones  f(x)= 2 x 3 - 4x 2 +8x-10

g(x )= 2x - 3. Halla la suma.

y

g ( x )= 3 x 2  - 6 x +7. Halla

la suma. 5.- Sea f(x)= 2x y g(x)= x 2 . Determina f + g. Diferencia de funciones 1.- Dadas las funciones f (x ) = 2 x 3 - 4x 2 + 8 x - 10

y g(x ) = 3 x 2  - 6 x +7.

Halla la diferencia. R.2.- Determine f-g de las siguientes funciones: f ( x ) = x 2  - x - 6 + 2

R.3.- Si f ( x ) = x 2 

y

g ( x ) = 2 x +1, determina f – g

R.4.- Si f ( x ) = x 2 +1

y

g ( x ) = x , determina f – g

R.-

60

y

g ( x ) = x

Reúnete en equipo y realiza las operaciones en cada caso; para evaluar este trabajo se utilizará la rúbrica localizada al final de la unidad.

I.- Sea f(x)= 1- x ,

g(x)= (x + 1)2 ,

j(x)= x2 +1

h(x)= x – 1 ,

Halla las funciones indicadas: 1. ( f + g )

2. ( g – f )

3. ( h + j )

II.- Dada f(x) = 2x 2  + 7x – 2 , g(x)= 4x 2 - x + 1

y

h(x)= x 3 + x 2  - 2

Efectúa las siguientes operaciones: a) f + g

b) g + f

c) (f + g) + h

d) f + ( g + h )

e) f – g

f) g - f 

61

Sesión 17

Función Producto Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto está dada por: ( f g ) ( x ) = f (x) g (x) Pasos a seguir para la multiplicación de funciones:

Sesión 18

Se multiplican todos y cada uno de los términos de la primera función por cada uno de los términos de la segunda función. Se aplican las reglas de potenciación, la ley de los signos y las propiedades asociativa y distributiva de la multiplicación.

Encontrar el producto de las funciones h(x)= 5x + 1

f y h. Si f(x) = 3x3 + x2 – 4 y

Solución: (f •h)(x) = f(x) •  h(x) = (3x3 + x2 – 4 ) ( 5x + 1) Sustituir las funciones = 15 x4 + 3 x3 + 5 x3 + x2 – 20 x  – 4

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación

= 15 x4 + 8 x3 + x2 – 20 x  – 4

Si g(x) = x2 g y h.

y

Reducción de términos semejantes

h(x)= x  – 2. Determinar el producto de las funciones

Solución: ( h • g )(x) = h (x) • g (x)

Sustituir h(x) y g(x)

( h • g )(x) = ( x - 2 ) x 2.

 Aplicando la propiedad distributiva

( h • g )(x) = (x) • (x 2  ) – (2) • (x 2  ).

 Aplicando la ley de los exponentes

( h • g )(x) = x 3 – 2x 2

62

Hallar: (f•g)(x) . Si f(x) = x + 1

y

h(x)= 2x + 3

Solución: (f •h)(x) =

f(x) • g(x)

(f •g)(x)= ( x+1 ) ( 2x + 3 ), = ( 2x2 + 3x + 2x + 3 )

Sustituir las funciones  Aplicando propiedad distributiva de la Multiplicación Reducción de términos semejantes

= 2x2 + 5x + 3

Función Cociente Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente está dada por:

Para dividir dos funciones se sigue el siguiente procedimiento: Se ordenan tanto el dividendo como el divisor, en forma decreciente con relación a las potencias de una letra común a ambos. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, para obtener el primer término del cociente. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma literal. Se multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del divisor, se colocan los productos debajo de sus términos semejantes en el dividendo, pero con signo cambiado, puesto que se restan. El residuo obtenido pasa a ser el nuevo dividendo y se repiten los pasos 2 y 3. El proceso se repite hasta que su residuo sea cero o hasta que en relación con la letra escogida, el grado del dividendo sea menor que el del divisor. El cociente puede comprobarse, mediante la relación: Dividendo= (divisor)(cociente) + residuo.

63

Si f(x) = a2 + 2a -3 entre h(x) = a + 3. Hallar

( ) (x)

=

( ) (x)

=

) (x)=

Realizando la división a 1 a+3

a2  +

2a -

-a2

3a

+

3

cambio de signo

a a +

3 3 cambio de signo

0 +

0

Sean las funciones f(x)= x3 - 1 y g(x)= x - 1; hallar: Solución:

=

Factorizando x 3 – 1

= = x 2 + x + 1

64

Reúnete en equipo y realiza las operaciones en cada caso; para evaluar este trabajo se utilizará la rúbrica localizada a final de la unidad

División de funciones 1). Sean las funciones f(x)= 2x4 – x3 – 3 + 7x

y

h(x)= 2x + 3.

Halla Multiplicación de funciones 2 4 3 2  x  x - 6y  y  g  x   x 1.- Determine (f).(g) de las siguientes funciones: 2). Sean las funciones f(x) = x 4 + xy  + x3y + f2x y2 + y x h(x) = +x2y + x2 + y2,

2.- Determine (f).(g) de las siguientes funciones:  f  x   x  y  g  x   x2 

Halla 3.- Determine (f).(g) de las siguientes funciones:  f  x  x 3 y  g  x  4x (f).(g) de las siguientes funciones:  f  x  x 2 y  g  x  1 3). Dividir las siguientes funciones: f(x)= m 2 – 11m + 30 y  g(x)= m – 6

4.- Determine

4) Dividir las siguientes funciones: f(x)= 6 + a 2 + 5a. y g(x)= a + 2. 5) Dividir las siguientes funciones: f(x)= 14x 2 – 12 + 22x

65

y

g(x)= 7x - 3

1.3.3. Resuelve problemas mediante la interpretación de tablas y gráficas de funciones que representan un problema social o natural.

Sesión 19

Para seguir con el estudio de las funciones algebraicas y trascendentes, vamos a trabajar con problemas sencillos que generen un modelo matemático; en el cual, partiendo de un dominio explícito en cada caso, obtendremos el rango correspondiente y empezaremos a organizar y registrar los resultados de nuestras actividades en una tabla, con la cual analizaremos el comportamiento de la función.

De manera individual, realiza las operaciones necesarias, para resolver el siguiente problema. EL CUMPLEAÑOS DE ALEJANDRA.  Alejandra, alumna de cuarto semestre del CECYTES, cumplió sus 16 años de vida y su grupo le organizó un festejo sorpresa. Un día antes, sus compañeros de grupo cooperaron para comprar pastel de las tres leches, platos, servilletas, cucharas, vasos y refrescos. A Flor le tocó comprar los refrescos, para lo cual le dieron 70 pesos. En la tienda solo encontró refrescos de un litro que costaban 7 pesos cada uno. 1.- Si Flor decidió no comprar refrescos, está claro que gastó nada de los 70 pesos. ¿Si compró un refresco, cuanto pago por ello? 2.- ¿Si compró 2 refrescos, cuánto pagó Flor? 3.- ¿Si compró 3 refrescos, cuánto pagó Flor? 4.- ¿Cuál es la cantidad máxima de refrescos que pudo haber comprado Flor? 5.- Elabora una ecuación, con la cual, puedes obtener los mismos resultados. 6.- Recordando el tema de la clasificación de los tipos de funciones. ¿La ecuación anterior que nombre recibe? 7.- Organiza tus resultados y regístralos en la siguiente tabla. x y

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8.- ¿Qué nombre recibe el procedimiento que seguiste, hasta registrar tus resultados en la tabla anterior?

66

Estas dos actividades las anexas al portafolio de evidencias. 1. Analiza la siguiente situación y completa la tabla al final del problema; Doña Mónica ha criado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas. Esto le está ocasionando una serie de problemas, por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa. Sus ahorros solo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de tela ciclónica para cercarlo. Si el terreno donde desea construir el gallinero es de 20 por 40 metros, ¿qué dimensiones deberá tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compró), para que éste abarque la mayor área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas?. El modelo matemático del problema es: A(x) = 25x  – x2 Obtén la tabulación correspondiente al modelo matemático, llenando la siguiente tabla: LARGO EXPRESADO EN ANCHO EXPRESADO ÁREA EXPRESADA EN METROS EN METROS METROS CUADRADOS x  Y A(x) = 25x – x2 25 0 0 24 1 24 23 2 46 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 a. ¿La tabla anterior, me puede ayudar a encontrar por aproximación la solución del problema? b. Según la tabla, ¿Cuáles son las dimensiones del gallinero que maximizan el área? c. ¿Define, qué es tabulación? 2. Rocio tiene teléfono celular por plan, el costo de una llamada es de $1.25 los primeros 60 minutos, después del minuto 60 el precio cambia a $2.65 por minuto y cada mensaje de texto le cuesta $1.00. a) Elabora una ecuación que exprese el costo de una llamada del teléfono celular de Rocio. b) ¿Cuántos minutos Rocio habló y cuantos mensajes envío si la cuenta total fue de $480.00?

67

Integrados en equipos de tres, los alumnos realizan las operaciones necesarias, para hacer la tabulación de acuerdo al dominio indicado en cada caso.

Sesión 20-21

1. Obtén la tabulación de las siguientes funciones lineales, empleando el dominio explícito que se te indica en cada caso. a) y = x, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 } x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

b) f(x) = - x, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 } x f(x)

-3

-2

-1

0

c) f(x) = 2x, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 } x f(x)

-3

-2

-1

0

d) y = 2x + 2, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 } x y

-3

-2

-1

0

e) y = 2x - 2, para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 } x y

-3

-2

-1

0

f) y = 3x +1 , para el dominio x = { -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3 } x y

-3

-2

-1

0

68

2. Obtén la tabulación de las siguientes funciones cuadráticas y cúbicas, empleando el dominio explícito que se te indica en cada caso. x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)= x2 9 4 1 0 1 4 9

g(x) = - x2 -9

f(x)= x3 -27 -8 -1 0 1 8 27

g(x) = - x3 27

h(x) =2x2 +1

i(x)= - (x + 2)2 - 1

j(x)= (x – 3)2 +2

0 3 2 h(x) =2x3+1

i(x)= - (x + 2)3 - 1

j(x)= (x – 3)3 +2

-9

3. Realiza las operaciones en cada caso, para obtener la tabulación de las siguientes funciones algebraicas, empleando el dominio explícito que se te indica en cada caso. x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=lxl 3 2 1 0 1 2 3 f(x)= x4

f(x)= - lxl

h(x)= lx + 1l

i(x)= lxl – 3

j(x)= lxl + 2

-1 -1 2 4

g(x) = - lxl - 3

h(x) =3x+4

69

i(x)= - (x + 2)2 – 1

j(x)= (x – 1)3 +1

Representación Gráfica de las Funciones

Sesión 22

En esta parte, vamos a retomar el trabajo realizado en el subtema anterior, Los datos que obtuvimos en las tablas anteriores, las vamos a representar en un sistema de ejes coordenados (x = eje horizontal, y = eje vertical), así mismo, vamos a analizar el comportamiento de dicha gráfica, cuando cambian los valores de sus parámetros.

Realiza las actividades indicadas para graficar en un sistema de ejes coordenados, una función determinada. EL CUMPLEAÑOS DE ALEJANDRA.  Alejandra, alumna de cuarto semestre del CECYTES, cumplió sus 16 años de vida y su grupo le organizó un festejo sorpresa. Un día antes, sus compañeros de grupo cooperaron para comprar un pastel, platos, servilletas, cucharas, vasos y refrescos. A Flor le tocó comprar los refrescos, para lo cual le dieron 70 pesos. En su localidad sólo encontró refrescos de un litro que costaban a 7 pesos cada uno. Recordando que la función que empleaste para hacer la tabulación correspondiente fue y = 7x La tabla de valores que obtuviste es la siguiente: x y

0 0

1 7

2 14

3 21

4 28

5 35

6 42

7 49

8 64

9 63

10 70

Con estos valores, localiza los 11 puntos en el siguiente sistema de ejes coordenados, después los unes para obtener la recta.

70

Con la ayuda del profesor, se integran en equipos y analizan la siguiente información, referente a funciones lineales, después, contestan el cuestionario del ejemplo.

Sesión 23

FUNCIÓN LINEAL. Es una función polinomial de grado uno cuya principal característica es que su gráfica es una recta.  Además, cuando se presenta una tabla de función lineal, ésta tiene la característica de que cuando la variable va creciendo de uno en uno, la función aumenta o disminuye de manera constante. Esta razón de cambio es a lo que le llamamos pendiente. De forma general la expresión analítica de la función lineal será: f(x) = mx + b, donde m y b son los parámetros, m es la pendiente o la constante de crecimiento o decrecimiento b es la intersección con el e e Y. El signo de m nos determina el tipo de inclinación de la recta, Cuando m > 0, es decir, positiva, la inclinación es aguda; mientras que si m < 0, es decir, negativa, la inclinación es obtusa. Cuando la m =1 y b =0, se trata de una función identidad que pasa por el origen y la inclinación de su recta es aguda. Si m = - 1 y b = 0, la recta tiene inclinación obtusa. Para graficar una línea recta, basta con marcar dos puntos en el plano y unirlos. Puesto que de entrada se tiene el punto (0,b), basta con calcular las coordenadas de otro punto. En particular, si hacemos F(X) = 0, estaremos calculando la intersección con el eje X, es decir: 0 = mx + b. De donde, despejamos x, obtenemos: x =- b /m Esto nos lleva a definir un nuevo término: el de raíz de una función. La función lineal tiene una raíz o solución.

71

En la siguiente función f(x) = 2x + 4, tiene la estructura general f(x) = mx + b, donde m = 2, b = 4. La gráfica es una línea recta que corta al eje y en b, es decir en y = 4. Asimismo, la función tiene una raíz x = - ( b / m), es decir, x = - (4/2) = -2, por lo que la recta, también corta al eje X en  – 2. Sabemos que m > 2, por lo que la recta tiene una inclinación aguda (ver su gráfica)

Y









 X

























Una fábrica de ropa examina sus utilidades. El costo (en dólares) de hacer x camisas diariamente es $ 510.00 en costos fijos (servicios, impuestos, maquinaria, etc.) más $8.00 por camisa. Por tanto la función de costo es C(x) = 510 + 8x. Obtener un tabulador del costo de producción de las siguientes cantidades de producción de camisas: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30. Elabora la gráfica de este tabulador SOLUCIÓN: Primero elaboramos la tabla de valores C(x) = 510 + 8x

x

C(x)

C(0) = 510 + 8(0) = 510

0

510

C(5) = 510 + 8(5) = 550

5

550

C(10) = 510 + 8(10) = 590

10

590

C(15) = 510 + 8(15) = 630

15

630

C(20) = 510 + 8(20) = 670

20

670

C(30) = 510 + 8(25) = 710

25

710

C(40) =) = 510 + 8(30)=750

30

750

72

Enseguida realizamos la gráfica utilizando la tabla de valores

Y

750

710

670

630

590

550

510 0

5

10

15

20

30

25

X

Reúnete en equipo y contesten las preguntas relacionadas con ejemplo anterior posteriormente completen las tablas realizando las operaciones correspondientes y representen gráficamente cada función con su tabulación correspondiente 1.- ¿Qué nombre recibe la gráfica obtenida?_________________________________ 2.- ¿Cuál es el valor de la pendiente de la gráfica obtenida, es decir, de m?__________ 3.- ¿La pendiente de la gráfica obtenida es positiva o negativa?___________________ 4.- ¿En la gráfica obtenida, cuál es el valor del parámetro b?_____________________ Completen los valores de la tabla x

f(x) = x

-3

-3

-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

3

3

f(x) = - x

f(x) = x + 1

f(x) = x - 3

f(X) = 2x

f(x) = 1/2x

-6 -1 0 0

3 6

73

3/2



y



















y

x

x



 

 

 

 

















 

 

 





















y





























y

x 



 



 











x







 



 



















74













y

















y



x 



 



 











x





 

 



 





























Contesta las siguientes preguntas con base a lo observado en las gráficas 1.

¿Cuál es el punto que corta al eje y en la función f(x) = x  – 3? _________________ y en f(x) = x + 1? _______________________________

2.

¿Qué función tiene el parámetro b en las funciones lineales?  _____________  ___________________ _____________ ______________ ______________ _____________ _____________ ______________ __________ ___

3.

¿Cómo es la inclinación de la recta si la pendiente es positiva? _____________ ¿y si es negativa? _________________________________

Los alumnos organizados en parejas completar la tabla adjunta. Terminadas las tablas deberán graficar cada una de las funciones dadas y contestar las preguntas que vienen al finalizar las gráficas. X

f(x) = x

-3

9

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

f(x) = - x

2

2

2

f(x) = x + 1

f(x) = x - 3

10

f(x) = (x + 2)

2

Sesión 24

f(x) = (x- 3)

1 25

2 4

75

2

2

4

3

9

17

1 25

y

y

x

x

y

y

x

x

76

y

y

x

x

Observa detenidamente las gráficas que construiste y responde: 1. ¿Cuántas raíces puede tener una función cuadrática? ______________________________ 2. ¿Cómo afecta él término independiente a la forma de la gráfica? _____________________ 3. Si él coeficiente cuadrático “a” es negativo, ¿cómo es la gráfica? _____________________  ¿Y si a > 0? ____________________ ¿Si 0
Los alumnos organizados en parejas completar la tabla adjunta. Terminadas las tablas deberán graficar cada una de las funciones dadas y contestar las preguntas que vienen al finalizar las gráficas.

x

3 2 1 0

f(x) = x3

-27

f(x) = - x3

F(x) = x3 + 1

f(x) = x 3 - 3

-26

f(x) = (x + 2) 3

-1

f(x) = (x- 3) 3

-1

-8

-125 0

0

8

77

Sesión 25

1

1

2

8

3

27

2 -1 28

125

y

y

x

x

y

y

x

x

78

y y

x

x

Contesta las siguientes preguntas con base a lo observado en las gráficas ¿cuál es el punto que corta al eje y en la función f(x) = x 3 – 3? _________________ y en f(x) = x + 1? _______________________________ 2. ¿Qué función tiene el parámetro b en las funciones cúbicas?  _______________________________________________________________ 3. ¿Cuál es el vértice de la función f(x) = (x + 2)3? _______________ 1.

Los alumnos organizados en parejas completar la tabla adjunta. Terminadas las tablas deberán graficar cada una de las funciones dadas y contestar las preguntas que vienen al finalizar las gráficas. x

f(x) =

-3

3

-2

2

-1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

2x

f(x) = (0.5)

x

f(x) = (-0.5)

79

x

x

f(x) = e

Sesión 26

y

y

x

x

y

y

x

x

Ya que trazaste las gráficas de las funciones exponenciales, responde: 1. ¿Cómo es el comportamiento de la función exponencial si la base es positiva?  __________________________________________________________________________ 2. ¿Si la base es un número dentro del intervalo (0,1)?________________________________  ______________________________________________________________ 3. ¿Y si es negativa? ___________________________________________________________ 4. ¿Qué graficas pasan por el punto (0,1)?

80

Los alumnos organizados en parejas completar la tabla adjunta. Terminadas las tablas deberán graficar cada una de las funciones dadas y contestar las preguntas que vienen al finalizar las gráficas.

x

f(x) = ІxІ

-3

3

-2

2

-1

1

0

0

1

1

2

2

3

3

f(x) = ІxІ + 3

f(x) = ІxІ - 2

y

f(x) = Іx-5І

f(x) = Іx+3І

Sesión 27

f(x) = - Іx-1І

y

x

x

81

y

y

x

x

y

y

x

x

82

Con base a las actividades que realizaron al graficar las distintas funciones, asígnale a cada una de las gráficas su función correspondiente, anexa este ejercicio a tu portafolio de evidencias. 

y



 







f(x) =

y

 



f(x) =



  x

 x































y





















f(x) =















y











f(x) =

 



x 









































83

x 











84

y

y 

 

f(x) =





f(x) =















x





















x 









































 



y



















f(x) =



f(x) =







x













y













x

 































85



86

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Evaluación del desempeño (ejercicios).

En equipo No. 1

Indicador

Cumplió Ejecución Observaciones Ponderación Calif. Sí No

Se integró al equipo.

0.41

2

Mostró interés por el tema. 3 Mostró conocer los conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación

0.51 0.51 0.41 0.5 2.34

Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación del desempeño (ejercicios): Individual No. 1

Indicador

Cumplió Sí No

Ejecución Ponderación

Mostró interés por el tema.

Observaciones Calif.

0.6

2

Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación

0.54 0.6 0.6 2.34

Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

87

Evaluación de productos (actividad extra clase): No.

1 2

Indicador

Cumplió Sí No

Ejecución Ponderación

Resolvió el total de los ejercicios

0.5

Resolvió correctamente los ejercicios

1.5

Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. Calificación de esta evaluación

Observaciones Calif.

3

0.5 2.5

Tabla de ponderación

1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación de Productos (investigaciones): No.

Indicador

Cumplió Sí No

Ejecución Ponderación

1

Entregó en tiempo y forma

0.8

2

La información fue clara y acorde al tema

0.8

3

Presentación trabajo

0.9

Observaciones Calif  .

del

Calificación de esta evaluación

2.5 Tabla de ponderación

1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

88

Unidad II DERIVADA

89

Competencias de la unidad: Al término de esta unidad, el estudiante:  Argumenta la solución de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el concepto de la derivada, sus reglas y su interpretación gráfica

2.1 Límites 2.1.1. Conceptos y propiedades  Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, 2.1 mediante lenguaje verbal y matemático.

Interpreta la derivada en términos de los límites laterales y su interpretación gráfica y aplique las 2.2 propiedades de los mismos en la determinación del límite de una función.

Temario: 2.1.1

Interpreta los límites como la necesidad de explicar un problema donde se involucra la tendencia de un valor dado.

2.1.2

Interpreta la continuidad de una función como la existencia del límite de una función.

2.2.1

Interpreta la existencia de la derivada como la aproximación de la pendiente de una recta secante.

2.2.2

Resuelve problemas de la derivada aplicando modelos establecidos

2.2.3

Resuelve problemas relacionados con la derivada de orden superior

2.2.4

Explica problemas sociales o naturales mediante la interpretación gráfica o el comportamiento de una función desde el punto de vista de la derivada.

90

 A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con temas de geometría analítica y algunos temas de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. 1.- Obtenga la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, 5) y B (7, 10).  A) 4/5 B) 5/4 C) 15/10 D) 2/7 E) 7/2 2.- ¿Cuál de las siguientes funciones, es una función constante?  A) f(x) = x B) f(x) = 3x C) f(x) = 2 D) f(x) = x2 E) f(x) = -2x 3.- Si la derivada es positiva, la función es:  A) Decreciente B) Creciente C) Constante D) Estacionaria E) Variable 4.- La segunda derivada de la función f(x) = x 2 es:  A) 2x B) x C) 2 D) x2 E) 0 5.- La solución de la ecuación 2x – 8 = 0 es:  A) - 4 B) 10 C) 6 D) 5 E) 4 6.- Las raíces de la ecuación 3x 2 – 6x = 0 son:  A) x1 = 1 y x2 = -1 B) x1 = 0 y x2 = 6 C) x1 = 0 y x2 = 1 D) x1 = 2 y x2 = -1 E) x1 = 2 y x 2 = 0

91

Sesión 28

UNIDAD 2 DERIVADA Contenidos Relacionados Facticos Límites de una función, recta secante, tangente, pendiente, razón de cambio, valores y puntos críticos.

Disciplinares

Actitudinales

Determina el límite de una función Trabaja de manera mediante propiedades de los números colaborativa. reales y reglas algebraicas, determina los valores y puntos críticos de una función Se comunica de mediante los criterios de la derivada. forma oral y escrita Resuelve problemas de optimización mediante la interpretación de valores y puntos críticos.

Competencias genéricas

Competencias Disciplinares

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de códigos y herramientas apropiadas

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.  Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

92

2.1 Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal y matemático

 

Interpreta el límite como la existencia de una aproximación sucesiva de números Determina el límite de una función aplicando las propiedades de los números reales y de reglas algebraicas.

2.1.1 Interpreta los límites como la necesidad de explicar un problema donde se involucra la tendencia de un valor dado.

Determine el comportamiento de la función f(x) =

para valores de x muy cercanos a 2 e

investiguemos si ésta tiende a un límite. x tiende a 2 por la izquierda

f(x)

x tiende a 2 por la derecha

f(x)

1

-4

3

6

1.5

-9

2.5

11

1.9

-49

2.1

51

1.99

-499

2.01

501

1.99

-4999

2.001

5001

1.9999

-49999

2.0001

50001

1.99999

-499999

2.00001

500001

 A partir de la tabla se puede dar cuenta que, cuando x se acerca a 2 por la izquierda f(x) tiende a - ∞ y cuando x se acerca a 2 por la derecha f(x) tiende a + ∞. Con esto se concluye que el límite de la función f(x) = no existe.

93

Definición de límite de una función: Para que una función f(x) tenga límite en x = a, es necesario y suficiente que existan ambos limites laterales y coincidan es decir:

O bien si f es una función, entonces se dice que

. Si el valor de f(x) se

aproxima arbitrariamente a “L” cuando x se aproximan a “a” aunque sin tocarlo.

Utilizando la notación de límites, los ejemplos anteriores se expresan de la siguiente manera respectivamente:

lim( x 2  x  1)  3

 x 2

y

  x  3     No  x 2  x  2   lim 

existe

Determine el comportamiento de la función para valores de x muy cercanos. Esta actividad se evaluará con lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad. x tiende a 3 por la izquierda

f(x)

X tiende a 3 por la derecha

2

4

2.5

3.5

2.9

3.1

2.99

3.01

2.999

3.001

2.9999

3.0001

2.99999

3.00001

94

f(x)

Determina el comportamiento de la función

para valores de x muy cercanos a -1,

llenando la siguiente tabla y utilizando la calculadora. X tiende a -1 por la izquierda

f(x)

X tiende a -1 por la derecha

-2

0

-1.5

-0.5

-1.1

-0.9

-1.01

-0.99

-1.001

-0.999

-1.0001

-0.9999

-1.00001

-0.99999

f(x)

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Generales Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos . 1)

Límite de una suma.

2)

Límite de una resta.

3)

Límite por un escalar. Donde k  es un multiplicador 

4)

Límite de una multiplicación.

95

Sesión 28

5)

6) 7)

Límite de una división.

lim f   x 

n

 x a

=

lim  f   x 

 x a

n

n es entero positivo

lim c  c

 x a

lim  x  a

8)

9)  x

 x a

n

 an

Donde n es entero positivo y a es constante

INDETERMINACIONES Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

 A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, se puede resolver la indeterminación y calcular el límite.

Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto:

96

Los siguientes casos el límite existe y es un valor real.

lim (2 x 2  4 x  5)  x3

Solución:

lim (2 x 2  4 x  5) = lim 2 x 2  x 3

 x 3

- lim 4x +  x 3

 x 2  4 lim  x  lim 5 = 2 lim  x 3  x 3  x 3

= 23  43  5 2

lim 5  x 3

Leyes 1 y 2 Ley 3 Leyes 7,8 y 9

= 11

Determina el valor de los siguientes límites, aplicando las propiedades respectivas. Esta actividad se evaluará con lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1.2.-

3.-

4.-

5.-

lim  x  2 lim  x  8

lim  x  2

(3 x  7)

(7 x  4)

( x 2  3x  8)

lim  x  0 lim  x  5

(5 x 8  9 x 7  3 x 4  8 x 3  6 x 2  12)

(3 x 2  3) 4

97

1. Calcular el lim   x

 x 3  3 x  8

Sesión 30

4  2 x

2

Solución:

lim ( x 3  3 x  8)

 x  3 x  8 3

lim

=

4  2 x

 x 2

 x 2

 x 2

= =

 23  3 2  8

Calcular

Ley 1,2,3,7,8 y 9

4  2(2)

8 6 8 44

=

2.

Ley 5

lim (4  2 x)

6 8

 x 2  6 x  8 lim  x  4 x4

En este ejercicio si solo se sustituye “x” por el valor al cual tiende o se aproxima, se presentaría

una indeterminación factorización.

 x  2 x  4   x  4

 x  2 =

=

(en este caso división por cero). Por lo que es necesario efectuar

Eliminando Sustituyendo ahora x por el valor al cual tiende:

4  2  = 2

98

Determina el valor de los siguientes límites, aplicando las propiedades respectivas. Esta actividad se evaluará con lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad 6.-

7.-

8.-

9.-

t 2  5

lim

( ) t   2 2t 3  6 lim

(

2t   1

t   1 t 2  3t   4

lim

(

 x  2

 x  2 x 2  4

lim

(

)

)

3 x  1

1 9x 2  1  x  3

)

 x 2  5 x  6 ( ) 10. x  3  x 2  x  12 lim

99

En una fábrica cartonera se planea construir una caja sin tapa para empacar cerillos, para esto utilizará láminas de cartón de 8 por 6 centímetros, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando para darle forma a la caja. Encuentra las dimensiones de la caja de mayor volumen. El modelo matemático del problema es: V(X) = 4X3 – 20X2 + 24X Obtén la tabulación correspondiente al modelo matemático, llenando la siguiente tabla. LARGO EXPRESADO EN CENTÍMETROS 6 – 2X

ANCHO EXPRESADO EN CENTÍMETROS 4 – 2X

ALTURA DE LA CAJA EXPRESADA EN CENTÍMETROS X

VOLUMEN EXPRESADO EN CENTÍMETROS CÚBICOS V(X) = 4X3 – 20X2 + 24X

6 5.6 5.2 4.8

4 3.6 3.2 2.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 4.03 6.65 8.06

100

Indicaciones:  Indicaciones:  A continuación se te presentan una serie de reactivos de opción múltiple En base a los temas desarrollados en esta unidad. Realiza los cálculos necesarios para dar con la respuesta correcta. 1.- Dada las funciones  f ( x)  x  5 a) b) c) d) e)

y

g(x)=2  x2  entonces la función  f  g   es igual a:

 x 2  x  7  x 2  x  3  x 2  x  3  x 2  x  7  x 2  x  7

2.- Dada las funciones  f ( x)  3x  2 igual a:  x 2  3x  6 a)  x 2  2 x  2 b)  x 2  5 x  6 c)  x 2  5x  2 d)  x 2  5 x  2 e) 3.- Dada las funciones  f ( x)  2 x igual a: 2 x3  2 x 2  2 a) 2 x 3  2 x 2  2 x b) 2 x 2  2 x 2  2 x c) 2 x3  2 x2  2 x d) 2 x 2  2 x  2 x e)

y

y

g(x)=x2  2x  4   entonces la función  f  g  es

g( g(x)=x2  x  1  entonces la función producto  f .g  es

4.- ¿A qué función corresponde la siguiente tabla x -2 0 1 2  x 3  1 a) y 5 1 2 5  x 2  1 b) 2 x  1 c)  x 2  1 d) e)

 x 4  1

101

5.- Identifica las coordenadas del vértice de la parábola en la siguiente gráfica (0,3) a) ( 3,0) b) (0, (0, 3) c) (0,0) d)

y 







x 

 

















e)

(3,0)





6.- ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la gráfica mostrada? a) f(x) = 3x-2 b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) = -2x +3 e) f(x) = y





7.- ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la de la gráfica mostrada? a) f(x) = (x-3) 2 +1 b) f(x) = x2 c) f(x) = (x-3)2 d) f(x) – x2 -3 e) f(x) = x2 - 3





x



 

 

 











8.- Calcula el siguiente límite l xim1 ( x  3 x  1)  3



a)

0

b) -2

c) 2



d)

e)

9.- En la función  f ( x)  2 x  3 . ¿Cuál es el parámetro b? a) 2 b) 3 c) x d) 5 e) 1 10.- El parámetro c en la función  f ( x)  a( x  b)2  c , hace que: a) La función se desplace a la derecha b) La función se desplace a la izquierda c) La función se desplace hacia arriba o hacia abajo d) La función se abra e) La función se cierre

102

-1







2.1.2 Interpreta la continuidad de una función como la existencia del límite de una función.

Sesión 31

Continuidad: Decir que una función es continua en x o debe entenderse como que su gráfica no sufre interrupciones en x o que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Relacionando él valor numérico y él límite de una función permitirá decidir si una función es continua en un punto xo.

Comprueba si la función f(x) =

es continua en el punto x 0 = 1.

Primero se obtiene el valor numérico de la función en él punto indicado, es decir, si x 0 = 1 Entonces: f (1) =

.

Después determine el límite de la función cuando x se acerca a 1, es decir,

 



Como f (1) = lim 4 x  18x  20x  6   entonces se dice que la función es continua en  x

3

1

2

X0 = 1.

Comprueba si la función f(x) =

es continua en el punto

x 0 = 0.

Primero se obtiene el valor numérico de la función en el punto indicado, es decir, si x 0 = 0 Entonces: f (0) =

no existe.

Como f (0) no existe no hay necesidad de obtener el límite de la función. Se puede concluir que la función no es continua (o es discontinua) en x 0 = 0. Con estos dos ejemplos llegamos a que: Una función se dice continua en x 0 si se verifican las siguientes condiciones: 1) f(xo) está definido 2) Lim f(x) existe (por la derecha e izquierda) 3) Lim f(x) = f(a)

103

Utilizando la definición de función continua, compruebe si las siguientes funciones son continuas en él punto indicado. Esta actividad se evaluará con lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

en x0 = 1

en x0 = -1

en x0 = 0

104

Diga si la siguiente función es continua o discontinua utilizando las propiedades del límite; el procedimientos con sus respuestas deberás anexarla al portafolio de evidencias.

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) = x

en x0 = 2

en x0 = 1

en x0 = 3

105

2.2 Interpreta la derivada en términos de los límites laterales y su interpretación gráfica y aplique las propiedades de los mismos en la

Sesión 32

determinación del límite de una función.

      

Interpreta la existencia de la derivada como la aproximación de pendientes de rectas secantes a una recta tangente Determina la derivada de una función aplicando diferentes reglas Determina el valor de la derivada de una función en un punto dado Determina derivadas de orden superior  Determina valores y puntos críticos Determina el comportamiento de una función, mediante la interpretación de los valores y puntos críticos Resuelve problemas de optimización mediante la interpretación de los criterios de la derivada.

2.2.1 Razón de cambio por medio de la interpretación geométrica Rectas Secante: Es el nombre que recibe toda recta que corta a una curva en un punto ó corta y toca a la curva en dos o más puntos Recta secante

Recta Tangente: Es el nombre que se le da a una recta que toca a una curva en un solo punto. Recta tangente

106

Interpretación derivada

geométrica

de

la

En el siguiente plano cartesiano se muestra la gráfica de una determinada función  f  ( x) . En ella trazamos una recta secante S   que pase por los puntos  P  y Q   los cuales tienen por coordenadas:  P (a,  f  (a) )  y Q(a  h ,  f  (a  h)) La pendiente m de la recta secante S es  f  (a  h)   f  (a) ms = h

¿Cómo obtendrías la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto P(a, f(a))?

Para contestar esta pregunta se retoma la gráfica de la figura 1, fijamos el punto P(a, f(a)) y hacemos que el valor de h se acerque a cero observamos que el punto Q se acercara paulatinamente al punto P teniendo a confundirse con éste, entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, es decir, Con esto concluimos que: La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto es la derivada de la función en ese punto, es decir, f´(x) = = .

107

Dada la siguiente función de la parábola f(x) = x 2; calcula la derivada en el punto P(2,4).

Por lo tanto la derivada de la función f (x) =

en el punto P (2,4) es 4, es decir, f´(x) = 4.

En base a la lectura anterior, contesta en forma correcta las siguientes preguntas. 1.- Es el nombre que recibe una recta que corta a una curva en dos o más puntos  ______________________________________________________________________ 2.- Es el nombre que recibe una recta cuando toca a una curva dada en un solo punto:  ______________________________________________________________________ 3.-En la figura siguiente, ¿Cuál es la curva tangente A, B o C? A

B

C

4.- ¿Geométricamente qué relación tiene la derivada con la pendiente de la recta tangente?

108

5.- En base a la figura, ¿hacia dónde se acerca el valor de f(a+h) si h se acerca al valor cero? R.- ___________

Calcular la derivada de la función utilizando el criterio del límite. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad a)  f  ( x)  8 x  7 en el punto  P (3, 31)

b)  f  ( x)  3 x 2  12 x

en el punto  P (1, 15)

109

2.2.2 Resuelve problemas de la derivada de funciones algebraicas y trascendentes, aplicando modelos establecidos

Sesión 33

La derivada de una función en una variable es el límite del cociente del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Si el límite de este cociente existe, se establece que la función es diferenciable. La simbología para representar la derivada:  f  ' ( x) ,

,

Calcular la derivada de una función a partir de su definición es un proceso tedioso y que demanda mucho tiempo. Esta es la razón por la que se han desarrollado instrumentos (teóricos y tecnológicos) que permiten acortar el largo camino que hemos visto hasta aquí. Recuerda que la derivada de una función podemos esquematizar de la siguiente manera.

nos produce otra función. Este proceso lo

Operación de derivar FORMULAS FUNDAMENTALES DE DERIVACION 1. “La derivada de una constante es cero”

0 ; c es una constante 2. “La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad” 1 3. “Si

n

entonces su derivada es

4. “Si c es una constante y

=

”

es una función, entonces ”

5.

n-1

son funciones de x entonces -

110

 Aplicando las formulas anteriores, obtenga la derivada de las siguientes funciones: a) Si

entonces

; aplicando la fórmula 1

b) Si

entonces

; de acuerdo a la fórmula 2

2 c) Dada la función se aplica la fórmula 3, se tiene que de esta manera quedaría .

d) Sí

; aplicando la fórmula 4 y 1, se obtiene

e) Dada la función f) Dada la función

2

+  – 1

por lo tanto

.

aplicando las 5 fórmulas.

 y   3  x 4 esta función se puede simplificar de la siguiente manera

4

 y    x 3 entonces aplicando la fórmula 3 tenemos que n 

manera nos quedaría  y ' 

4 3

4 3

 de aquí

4 3

1

x3

Reunidos en equipo, encontrar la derivada de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad a)

3

4

+

2

-

111

1

 1   de esta 3

d)

6

+

2

-

3

g)

4

3

-

-

h)  y  3  x

i)

2

+ x3

112

Calcular la derivada de la función utilizando las fórmulas de derivación correspondiente. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad a)

b)

-7

c)

4

d)

8

2

+

2

+

-

-

3

e)

f)

g)

4

-

3

-

4

113

Derivación exponencial y logarítmica  Al considerar la derivada de las funciones logarítmicas y exponenciales, se debe tener presente que la derivada de una función algebraica es siempre algebraica, mientras que la derivada de una trascendente no siempre es trascendente.

Sesión 34

Entre las funciones transcendentales, la función exponencial ocupa un papel importante . Esta función está definida mediante una correspondencia donde la variable aparece como exponente de una base constante. Regla 1. La derivada de una constante elevada a un exponente variable es igual al producto de la constante elevada a un exponente variable por el logaritmo natural de la constante por la derivada de la constante. Si

entonces

.

1. Derivar la siguiente función por lo tanto

=

. Aplicando la regla 1 tenemos que

y

Regla 2. La derivada de la constante e (numero inconmensurable) elevada a un exponente variable, es igual al producto de la constante e elevada al exponente variable por la derivada del exponente. Si entonces Deriva la función ; aplicando la regla 2 tenemos que , . Por lo tanto Regla 3. La derivada del logaritmo natural de una función es igual al recíproco de la función multiplicada por la derivada de la función con respecto a x Si entonces Determina la derivada de la función

, aplicando la regla 3 tendríamos que

, por lo tanto

Regla 4. La derivada del logaritmo decimal de una función es igual al logaritmo decimal de e multiplicado por el reciproco de la función y multiplicada a su vez por la derivada de la función respecto a x. Si entonces

Encontrar la derivada de la función , aplicando la regla 4 tenemos que el valor de por lo tanto la derivada de la función es igual 114

Reunidos en equipo, encontrar la derivada de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad 1.- y = 5 x 2.- y= 4ex 3.- y = 2log(x) 4.- y = Ln(3x) 5.- y = 6.-y =Ln(3x2 -2x) Derivación de funciones trigonométricas directas

Sesión 35

Las funciones trigonométricas directas ya mencionadas en la sección de clasificación de funciones son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas funciones se discuten en los cursos de trigonometría en relación con problemas diversos que relacionan los lados y ángulos de los triángulos Las funciones trigonométricas son importantes en el cálculo por las propiedades que poseen. Las seis funciones tienen en común una propiedad importante llamada periodicidad. Muchos problemas en Física e ingeniería tratan fenómenos periódicos (tales como vibraciones, movimiento planetario y de ondas) y las funciones seno y coseno constituyen la base para el análisis matemático de tales problemas. Fórmulas para derivar funciones trigonométricas”

115

1) Determina la derivada de la función , aplicando la fórmula correspondiente tenemos que por lo tanto su derivada es igual a o también podría quedar de la manera siguiente 2 2) Encontrar la derivada de la función , aplicando la fórmula correspondiente 2 , 2 tenemos que por lo tanto su derivada quedaría . 2 también podría quedar de la siguiente manera 3 3) Determina la derivada de la función 3 2 , por lo tanto su derivada es igual 2 3 quedar de la siguiente manera

2

2x3 .

2

también podría

3 3 2 4) Encontrar la derivada de la función , , por lo tanto su 3 2 derivada es igual a .18x también podría quedar de la siguiente 2 3 manera

5) Determina la derivada de la función , , por lo tanto su derivada es igual a también la podríamos poner de la siguiente manera 6) Determina la derivada de la función

que

;

por lo tanto

Reunidos en equipo, encontrar la derivada de las siguientes funciones. Esta actividad la deberás agregar al portafolio de evidencias.

y = 3senx + 4Tanx

2

y= 2cosx -3secx

y = 2cosx -3secx

3

4

116

REGLA PARA DERIVAR UN PRODUCTO

Sesión 36

La derivada del producto de dos funciones derivables es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera función.”

)

Dada la función Primero hacemos 2

, entonces

, luego,

+5y

 Aplicamos la regla del producto obtenemos:

Dada la función Primero hacemos 2

, entonces

, luego,

+5y

 Aplicamos la regla del producto obtenemos:

REGLA DE LA POTENCIA DE UNA FUNCION

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función”

=

117

n-1

(3 - x2 )3 encuentre la derivada.

Dada la función Solución:

2

Utilizando la regla 6, tenemos que

= -2x

Por lo tanto al sustituir en la formula nos queda que su derivada es: 2 2

)

Reunidos en equipo, encontrar la derivada de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad a) h( x)  (4x  5 x ) (6 x  8 x) 3

2

b) m( x)  (3x  x)(7 x + 2 x ) 3

3

c)  p( x)  (5x  8 x)(12x +  x ) 4

d)  y 

3

3 3

)

)

4

118

REGL A DEL COCIENTE ENTRE DOS FUNCIONES

Sesión 37

0 entonces,” La derivada del cociente de Sean dos funciones derivables y dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador”.

=

Encuentra la derivada de la función Primero hagamos

=

, entonces

; luego:

y  Aplicando fórmula del cociente tendríamos:

Determina la derivada de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad a)

=

9 x 3  7 x 8 x  3 x 5

119

b) h( x) 

d)  y 

f) h( x) 

2 x   x 3 1   x   x 2

)

3

13 x 3  6 x 5 x 2   x  4

e)  j ( x)  ( senx  6x)(tan x  3x)

120

2.2.3 Resuelve problemas relacionados con la derivada de orden superior Unas de las notaciones utilizadas para derivadas de orden superior son: Derivada de segundo orden Derivada de tercer orden Derivada de quinto orden . . . . Derivada de n - ésimo orden

1. Dada la fun ción f(x) =

determin a la quin ta derivada

Solución: f(x) = Obtener la primera derivada de f(x):

Para la segunda derivada se obtiene:

La tercera derivada seria:

121

Sesión 38

La cuarta derivada es:

Por último la quinta derivada quedaría:

2. Dad a la f u n c ión

Determina la cuarta derivada Solución: Obtener la primera derivada de

Para la segunda derivada se obtiene:

La tercera derivada seria:

La cuarta derivada es:

122

De manera individual, resuelve los siguientes ejercicios aplicando la regla de derivación adecuada. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad a) Halla las primeras cuatro derivadas de f(x) =

b) Obtenga la tercera derivada de la función f(x) =

c) Determine la sexta derivada de f(x) =

d) Calcule la segunda derivada de la función f(x) =

123

Define cada una de las derivadas de orden superior en cada caso y anexa tus respuestas al portafolio de evidencias 1.- Obtenga la segunda derivada de f(x) = x 2 -2x

2.- Obtén la tercera derivada de f(x) =

3.- Calcule la quinta derivada de

4.- Obtenga la tercera derivada de la función f(x) = cosx

124

2.2.4 Explica problemas sociales o naturales mediante la interpretación gráfica o el comportamiento de una función desde el punto de vista de la derivada.

Sesión 39

Recordando que la pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación. m  tan  y también recordaremos de acuerdo a la definición de la primera derivada de una función es igual a la pendiente de cualquier recta tangente a la curva y se denota como f´(x)=m. Si el ángulo  es agudo, la pendiente de la recta y f’(x) será positiva. (f´(x) > 0) Si el ángulo  es obtuso, la pendiente de la recta y f’(x) será negativa. (f´(x) <0) Función creciente: Es cuando al aumentar “x” aumenta “y”. Su pendiente o derivada siempre es positiva. Función decreciente: Es cuando al aumentar “x” disminuye “y”. Su pendiente o derivada siempre es negativa. La definición de funciones crecientes y decrecientes de acuerdo a lo anterior nos queda. Si f´(x) > 0 para cualquier valor de x entonces la función f(x) es creciente Si f´(x) < 0 para cualquier valor de x entonces la función f(x) es decreciente.

f´(x) < 0

f´(x)>o

x

x

125

Demuestra que las funciones siguientes son crecientes o decrecientes en los valores dados. f(x) = x2+1 cuando x =1 f´(x)=2x

la derivada es

f´(1)=2(1)

sustituyendo x=1

f´(1)=2

el valor de la pendiente es positiva

Entonces la función f(x) es creciente en x=1 g(x)=x3-3x2-5x+9 cuando x=2 g´(x)=3x2-6x-5

la derivada es

g´(2)=3(2)2-6(2)-5

sustituyendo x=2

g´(2)=3(4)-12-5 g´(2)=3(4)-12-5

simplificando las operaciones operaciones

g´(2)=12-12-5 g´(2)=-5 g´(2)=- 5

el valor de la pendiente es negativa

Entonces la función y  

f(x) es decreciente en x=2

x2  4 Cuando x=0 1

y´= 1 (x2 + 4) 2 (2x) 2 x

y´=

La derivada es Simplificando Simplific ando la derivada

2

x +4

(0)

y´(0 y´(0)) =

2

Sustituyendo x=0

(0) +4 y´(0) y´(0) =

0 2

, y´(0 y´(0)) = 0

Entonces la función

la pendiente es 0 No es creciente ni decreciente

126

f (x) = Secx

cuando x= 45°

la derivada es f´(x) =SecxTanx al sustituir x=45°

f´ (1) =Sec (45°) Tan (45°)

Utilizando la calculadora científica: La Tan45°=1 y Sec45°= Cos1 45 = 2 f´ (1) = ( 2 ) (1)

Sustituyendo Sustituyendo lo anterior

f´ (1)=

el valor de la pendiente es positiva

2

f´ (1)= 1.4142 Entonces la función f(x) es decreciente en x=45°

Organizados en parejas demuestra que las siguientes funciones son crecientes o decrecientes utilizando la derivada de la función valuando en el valor dado. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo de la página 178

1) f(x)= f(x)= x en x=-1 x=-1

3

2) y = x  en x=

127

 1 2

3) f(x)=x- en x= 1

4) g(x)=x2 + x - 6 en x=1

5) y = 2x2 - x 4  en x =

1 2

6) f(x)=  C osx en x =90°

 Aplica el criterio de la primera o segunda derivada y señala si cada una de las siguientes funciones es creciente, decreciente o constante en el punto señalado anexa tus resultados al portafolio de evidencias. 1) f(x) = 5x3 en x= -2 2) y =

 x en x=1

3) g(x)= x3+2x2-5x-6 en x=0 4) h(x) = 5x+ Senx; x=0 5) z(x) = (x-3)2 +4; x= 4

6) f(x)= x2+ 4x; x=

1 2

128

Valores críticos

Sesión

Recordando el comportamiento de la gráfica de una función si el evaluar la 40 derivada de una función el resultado es igual a cero; entonces significa que existe un valor crítico en la gráfica. Regla para obtener los valores críticos: Punto crítico 1) Se deriva la función 2) La derivada de la función se iguala a cero f´(c)=o 3) Resolver la ecuación que se obtiene en el paso 2 4) Las soluciones obtenidas son los valores críticos de la función.

Observa la gráfica y relaciónala con lo anterior c Valor crítico

a). Calcula los valores críticos de la función. f(x)= x2-2x

derivamos y obtenemos

la derivada se iguala a cero 2x-2=0 al resolver la ecuación anterior  x  

f´(x)=2x-2

despejamos a x

2x=2

2 2

x=1

este es el valor crítico de la función.

b). Calcula los valores críticos de la siguiente función. f(x) = 50x-x2 f´(x)=50-2x

1) la derivada es

50-2x=0

2) la derivada se iguala a cero

-2x=-50

3) se resuelve la ecuación anterior

 x 

50 2

x= 25

4) este es el valor crítico de la función. 129

c). Calcula los valores críticos de la función. f(x) = 4x3-16x2+16x f´(x)=12x2 -32x +16

1) la derivada es

12x2 -32x +16=0

2) la derivada se iguala a cero

x=

x=

32± (32)2 - 4(12)(16)

3) Utilizar la formula general

2(12) 32  16

Simplificando las operaciones

24

Donde x1=

32  16 24

x1=2 y x2=

, y x2=

32  16 24

2

, x2=

16 24

,

4) estos son los valores críticos de la función.

3

Organizados en parejas resuelve lo que se te pide en cada una de las siguientes preguntas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad. 1) ¿Cuál es el valor critico de los incisos de respuesta de la función  A)0

B)-1

C)1

D)2

C) 3

D)4



2x



4?

E)-2

2) ¿Cuál es un valor critico de los incisos de respuesta de la función  A) -3 B) 1

  f ( x)  x 2

  f ( x)  x 3



3x 2



9x  1?

E)0

3) ¿Cuál es el valor de “x” que al sustituir en la prim era derivada de la función   f ( x)  x

 A)3

3



3x

2



3  sea

B)-1

igual a cero? C)1

4) Observando la gráfica de la función señala los valores críticos.

D)2   f ( x)  x3

 A y B ByC CyD DyB EyC 130

E)-2 

2 3x



2,

Calcula los valores críticos de las siguientes funciones. Esta actividad deberá anexarla al portafolio de evidencias 1) ¿Cuál es el valor critico de los incisos de respuesta de la función   f ( x)  A)0

B)-1

C)1

D)2



2x

2



8x ?

E)-2

2) ¿Cuál es un valor critico de los incisos de respuesta de la función y =2x 2 - x 4 ?  A) -3

B) -1

C)2

D-2

E)3

3) ¿Cuál es el valor de “x” que al sustituir en la primera derivada de la función

y  

x2  4 sea

igual a cero?  A)0

B)-1

C)1

D)2

E)-2

4) Observando la gráfica de la función y escribe sobre la raya los valores críticos.  ______________

3

f ( x)  x  3x 2

Y  

1 -3 -2 -1 -1

2

X  

1

2

3

4

5

-2 -3 -4 -5 -6

1 . D e te r m i n a l o s i n t e r v al o s crecientes y decrecientes

donde

la s

siguientes

funciones

son

Sesión 41

f(x) = 2x3 +3x2-12x f´(x)=6x2+6x-12

1) la derivada de función es

6x2+6x-12=0

2) la derivada se iguala a cero

x=

-6± (6)2 - 4(6)(-12) 2(6)

3) se resuelve la ecuación anterior con la formula general

131

x= Donde x1=

6  18

Simplificando las operaciones

12

6  18 12

, y x2=

6  18 12

x1=1 y x2=-2

, 4) estos son los valores críticos de la función.

Divide el dominio de la función con los valores críticos: (-  ,-2), (-2,1) y (1,  ) son los intervalos. Tomando valores de los intervalos y evaluando en la derivada de la función para saber el signo de la pendiente de la recta tangente. f´(-3)=6(-3)2+6(-3)-12 , f´(-3)= 24 entonces (-  ,-2) es creciente la función. f´(0)=6(0)2+6(0)-12,

f´(0)= -12 entonces (-2,1)

es decreciente la función.

f´(2)=6(2)2+6(2)-12

f´(2)= 24 entonces (1,  )

es creciente la función

2 . D e te r m i n a l o s decrecientes

i n t e r v al o s d o n d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n c r e c i e n t es y

f(x)=x2+3

1) Derivada de la función

f´(x)=2x

2) La derivada se iguala a cero

2x =0

3) Se resuelve la ecuación anterior  x  

0 2

4) El valor crítico de la función. x=0 Para formar los intervalos se divide el dominio de la función del menos el infinito al valor crítico y del valor crítico al infinito es decir (, 0)  y (0, )  ahora tomaremos valores de los dos intervalos y lo evaluaremos en la derivada de la función para saber el signo de la pendiente de la recta tangente. f´(-1)=2(-1) f´(-1)=-2 El valor de la pendiente es negativa para todo los valores en el intervalo (-  ,0) f´(1)=2(1) f´(1)=2 El valor de la pendiente es positivo para todo los valores en el intervalo (0,  ) Entonces (-  ,0) la función es decreciente (0,  ) la función es creciente 132

Determina los intervalos donde las siguientes funciones son crecientes y decrecientes usando la derivada de la función. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad. 1) cual es el intervalo en el que la función  f ( x)  x 3  x 2  x  1 es decreciente: 1   A)  ,   3 

 1   

B)   ,1 3

C) 1,  

1  E)  ,1 3 

D ,1

2) En los incisos de respuesta, ¿cuál es un intervalo donde la función  f ( x)  4x 2  x 4 es decreciente?  A)  , 2 

B)  0,2 

C )  -, 0 

E)  0,  

D)  2,  

3) En los incisos de respuesta, ¿cuál es un intervalo donde la función  f ( x)  x 4  4x 3  4x 2  1 es creciente?  A)  ,  

B) 1,2

C )  -, 0 

D)  2,  

4) Escribe sobre la línea de cada uno de los intervalos del dominio de la función f(x)= x 3-3x2  si es creciente o decreciente de acuerdo a la gráfica. a) ( , 0) __________________

E)  ,1 3

f (x)  x  3x 2

Y  

1

X  

b) (0,2)   ________________ -3 -2 -1 -1

c) (2, )   ________________

-2 -3 -4 -5 -6

133

1

2

3

4

5

2

Puntos críticos y de inflexión Extremo s relativos  .

Sesión 42

Un número  f  (c)  es un máximo relativo (o local) de una función  f  ( x)  si  f  (c)   f  ( x) para todo  x  en algún intervalo abierto que contenga a c . Un número  f  (c)  es un mínimo relativo (o local) de una función  f  ( x )  si  f  (c)   f  ( x)  para todo  x  en algún intervalo abierto que contenga a c . Cabe mencionar que los valores de  x  donde hay un máximo o mínimo relativo son llamados valores críticos, recuerde que en el tema y  f  ( x ) anterior se mencionó que estos valores se obtienen cuando   f  ' ( x)  0.   A los puntos que máximo relativo les corresponden en la gráfica se les llama mínimo relativo puntos críticos. Además si  f  (c)  es un extremo  f  (c )  f  (c ) relativo, entonces c   es un valor crítico. En la x siguiente figura se muestran donde hay máximos o mínimos relativos. c c 1

2

1

2

 A partir de este momento usaremos algunos resultados establecidos en el cálculo diferencial, más no se pretende realizar una demostración formal de los mismos, sino más bien aplicarlos.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Teorema:  sea  f  ( x )   una función continua sobre un intervalo abierto ( a , b)   que contenga al valor crítico c a) Si  f  ' ( x)  0  para toda  x  en ( a , c )  y  f  ' ( x)  0  para toda  x  en (c , b ) ,  entonces  f  (c) es un valor máximo relativo (o local) de  f  ( x ) . Luego el punto c ,  f  (c)    es un punto

máximo relativo (o local). b) Si  f  ' ( x )  0  para toda  x  en ( a , c )  y  f  ' ( x)  0  para toda  x  en (c , b ) ,  entonces  f  (c) es un valor mínimo relativo (o local) de  f  ( x ) . Luego el punto c ,  f  (c)    es un punto

mínimo relativo (o local). Dicho de otra manera, en un punto máximo relativo, la función pasa de creciente a decreciente en una vecindad del valor crítico c ; es decir, el valor de la derivada pasa de positiva a negativa. En un punto mínimo relativo, la función pasa de decreciente a creciente en una vecindad del valor crítico c ; es decir, el valor de la derivada pasa de negativa a positiva.

134

Para aplicar este criterio se deben llevar a cabo los siguientes pasos: 1. Calcular la derivada de la función 2. El resultado de la derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores críticos 3. Se sustituye el valor o valores críticos en la función f(x) para obtener los puntos críticos. 4. Se analiza f´(x) sustituyendo primero un valor a la izquierda y luego un valor a la derecha lo suficiente cercano al valor o valores críticos para determinar el tipo de punto crítico.

Utilizando el criterio de la primera derivada, determina los puntos críticos de 1  f  ( x)   x 3  2 x 2  12 x , si los tiene y establezca de qué tipo son. 3 2 Solución: La derivada de la función es  f  ' ( x)   x  4 x  12 . Al igualar este resultado a cero se obtiene la ecuación  x 2  4 x  12  0 , la cual se puede resolver por factorización:

 x 2  4 x  12  0 ( x  2) ( x  6)  0  x  2  0 ,

x6  0

 x  2 ,

x6

Con esto se concluye que los valores críticos son  2  y 6 . Para obtener los puntos críticos se sustituyen estos valores en la función original:  f  (2)   f  (6) 

1 3

1 3

(2)3  2(2)2  12(2) 

40 3

3 2 (6)  2(6)  12(6)  72

40    Lo anterior permite concluir que los puntos críticos son: P   2 ,   y Q 6 ,  72 . 3    

Sustituyendo valores a la izquierda y la derecha lo suficientemente cercanos al valor crítico de cada punto se tiene:  f  ' (2.1)  (2.1) 2  4(2.1)  12  0.81  0 ,  f  ' (1.9)  (1.9) 2  4(1.9)  12  0.79  0 , 135

 f  ' (5.9)  (5.9) 2  4(5.9)  12  0.79  0 ,  f  ' (6.1)  (6.1) 2  4(6.1)  12  0.81  0 . 40    Con ello se concluye que el punto P   2 ,   es punto máximo y que el punto Q 6 ,  72  es 3     punto mínimo.

La gráfica de la función  f  ( x)   x 4  2 x 2  3   se muestra en la siguiente figura. Sus valores críticos son c1  1 , c2  0 y c3  1 . Determine en donde hay un máximo o mínimo relativo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad y

 f  ( x)

x

c1

c2 c3

 f  (c1 )  f  (1)  _____ , es __________   _________ 

 f  (c2 )  f  (0)  ______ , es __________   _________ 

 f  (c3 )  f  (1)   ______, es __________   __________ 

136

Reunidos en parejas y utilizando el criterio de la primera derivada determine: los puntos críticos y el tipo que son.

Sesión 43

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1.  f  ( x)   x 3  3x 2  2 2.  f  ( x)   x3  3 x 2  9 x  2 3.  f  ( x)  4  x 2

De manera individual determine: los puntos críticos y el tipo que son, para cada una de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1.  f  ( x)  2 x3  3 x 2  12x  7

2.  f  ( x)   x 2  x  6

3.  f  ( x)   x3  3x  4

137

Criterio d e la segunda d erivada para extremos relativos

Para determinar los puntos críticos de una función, además del criterio de la primera derivada, también se cuenta con el criterio de la segunda derivada. Dicho criterio se establece en el siguiente teorema.

Sesión 44

Teorema: Sean  f  ' ( x ) y  f  ' ' ( x)   dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo abierto ( a , b)  que contenga al valor crítico c : a) Si  f  ' ' ( x)  0 , entonces el punto c ,  f  (c)    es un punto máximo relativo (o local) de  f  ( x ) . b) Si   f  ' ' ( x)  0 , entonces el punto c ,  f  (c)    es un punto mínimo relativo (o local) de  f  ( x ) . Para aplicar este criterio se llevan a cabo los siguientes pasos: 5. Calcular la primera y segunda derivada de la función 6. El resultado de la primera derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores críticos 7. Se sustituye el valor o valores críticos en la función f(x) para obtener los puntos críticos. 8. Se sustituyen los valores críticos en f´´(x) para concluir si el o los puntos críticos son máximos o mínimos

1

1

3

2

 Aplicando el criterio de la segunda derivada, para la función  f  ( x)   x3   x 2  2 x  1, determine los puntos críticos y establezca de qué tipo son. Solución: Al derivar dos veces se obtiene que la primera y segunda derivada respectivamente son.  f  ' ( x)   x 2  x  2

 f  ' ' ( x )  2 x  1

y

Igualando a cero  f  ' ( x)  y resolviendo por factorización la ecuación obtenida se tiene que:  x 2   x  2  0 ( x  2) ( x  1)  0

 x  2  0

,

x 1  0

 x  2

,

x  1

Los valores críticos son  1 y 2 . 138

Sustituyendo estos valores en  f  ( x )  obtenemos que:  f  (1)   f  (2) 

1 3

1 3

(1) 3 

(2) 3 

1 2

1 2

(1) 2  2(1)  1 

(2) 2  2(2)  1  

13 6

7 3

7    13    Los puntos críticos son P   1,   y Q  2 ,   . 6   3     

Evaluando  f  ' ' ( x)  en los valores críticos se concluye que:  f  ' ' ( 1)  2( 1)  1  3  0  f  ' ' (2)  2(2)  1  3  0

7    13    El punto P   1,   es máximo relativo y el punto Q  2 ,    es mínimo relativo. 6   3     

Reunidos en parejas y utilizando el criterio de la segunda derivada determine: los puntos críticos y el tipo que son, para cada una de las siguientes funciones . Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1.  f  ( x)  2 x 3  6 x  3

3

2.  f  ( x)   x 3   x 2  6 x  8 2

3.  f  ( x)   x 4  4 x

4. Utilice el criterio de la segunda derivada para determinar los máximos y mínimos relativos de la función  f  ( x)   x 3  6 x 2  20

139

De manera individual determine: los puntos críticos y el tipo que son, para cada una de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

1.  f  ( x)   x 3  6 x 2  8 2.  f  ( x)   x 3  x 2  5 x 3.  f  ( x) 

 x 2  3  x  1

 Aplicando lo aprendido en las sesiones desarrolladas en este subtema determine si la función f(x) = x3 tiene puntos máximos o mínimos relativos.

Sesión 45

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad

¿Cuál es  f  ' ( x) ? ¿Cuál es o cuáles son sus valores críticos? ¿Cuál es o cuáles son sus puntos críticos? ¿Cómo son los signos de  f  ' ( x )  antes y después de los valores críticos? Como te habrás dado cuenta los signos de la derivada antes y después del valor crítico encontrado es el mismo, cuando esto sucede se dice que el punto es de inflexión, el cual se define de la siguiente manera.

140

Punto de Inflexión: Un punto c ,  f  (c)   de la función  f  ( x ) es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto ( a , b)  que contiene a c  de tal manera que la gráfica de  f  ( x )  es ya sea: a) Cóncava hacia arriba en (a , c)  y cóncava hacia abajo en (c , b) , o bien b) Cóncava hacia abajo en (a , c)  y cóncava hacia arriba en (c , b) . La concavidad se refiere a la curvatura que tiene la gráfica, ya sea que tiene la forma de una taza boca arriba o boca abajo . y y

x

x

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

En términos de la derivada un punto c ,  f  (c)   es de inflexión si  f  ' ( x)  tiene el mismo signo en ambos lados de c , o sea que  f  (c)  no es un valor extremo relativo o local de  f  ( x ) ; es decir, que es un punto de inflexión. Para determinar la concavidad de una curva se pueden utilizar tanto la primera y segunda derivada de una función. Algunos resultados que se pueden emplear al respecto son los siguientes: Sean  f  ( x )  una función para la cual  f  ' ( x)  y  f  ' ' ( x)  existen y c  un valor en ( a , b) . 1) Si  f  ' ' (c)  0  en c , entonces la gráfica de  f  ( x )  es cóncava hacia arriba en c . 2) Si  f  ' ' (c)  0  en c , entonces la gráfica de  f  ( x )  es cóncava hacia abajo en c . En general se puede decir que cóncava hacia o hacia abajo en todo el intervalo si se cumple lo anterior para todo valor de  x  en ( a , b) . Se puede suponer que los puntos en los cuales  f  ' ' ( x)  0   o bien  f  ' ' ( x)   no existe son candidatos naturales para ser puntos de inflexión. Esto no siempre es así, para ilustrar esto 4 considere la función  f  ( x)  x , se tiene que  f  ' ' (0)  0   pero el origen no es un punto de inflexión sino más bien es un punto mínimo. Esto se puede constatar utilizando el criterio de la primera derivada. En conclusión si c  es un valor crítico y  f  ' ' ( x)  0 , no se puede establecer con certeza una conclusión sobre el punto c ,  f  (c)  .

141

 Aplicando el criterio de la segunda derivada determine si la función 1 1  f  ( x)   x 3   x 2  2 x  1 es cóncava hacia arriba o hacia abajo en los valores de 3 2 x  0 , 0.4 , 0.6 y 1. También determine sus puntos de inflexión igualando  f  ' ' (0)  0 .

Solución: La segunda derivada de la función es:  f  ' ' ( x)  2 x  1 , evaluando en los valores indicados se concluye que:  f  ' ' (0)  2(0)  1  1  0 , la función es cóncava hacia abajo.

 f  ' ' (0.4)  2(0.4)  1  0.2  0 , la función es cóncava hacia abajo.  f  ' ' (0.6)  2(0.6)  1  0.2  0 , la función es cóncava hacia arriba.  f  ' ' (1)  2(1)  1  1  0 , la función es cóncava hacia arriba.

 Ahora igualando la segunda derivada a cero se tiene la ecuación 2 x  1  0 , la cual tiene como 1  0.5 . Como  f  ' ' (0.4)  0 ,  f  ' ' (0.6)  0 y  f  ' ' (0.5)  0   se concluye que en 2 1 1    1  x   hay un punto de inflexión, siendo este P  ,   . 2  2 12 

solución  x 

Reunidos en parejas, utilice el criterio de la segunda derivada (si es posible) o bien el de la primera derivada para que determine los puntos máximos, mínimos o deinflexión de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad 1.

f (x) 

1 3

x 3  2x 2  12x

2.

f (x)  x 4  4x 3

3.

f (x)  x3  6x 2  9x  8

142

Detemirna los puntos máximos, mínimos o de inflexión de las siguientes funciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad 1. f (x)  x3  3x 2  3x  1

2.

3.

f (x) 

1 4

x 4  2x 2

f (x)  6x5  10x3

Con las herramientas que ya se tiene se pueden resolver una diversidad de Sesión problemas donde se requiera utilizar una cantidad mínima de material o bien 46 situaciones en las cuales se requiera obtener una mayor ganancia, una máxima área, entre otras. En el presente curso finalizaremos resolviendo problemas de aplicación donde ya se nos proporcione una regla o función que modele una situación determinada.

Un cohete es lanzado y después de cierto tiempo le falla el motor principal y comienza a caer. Tras unos segundos el motor de emergencia logra que vuelva a ganar altura. La 3 2 función que describe la altura medida en km en cada tiempo  x  es h ( x)   x  14 x  57 x . Determine: a) ¿Qué altura tenía el cohete cuando comenzó a caer a causa de la falla? b) ¿A qué distancia estaba el cohete del suelo cuando volvió a ganar altura? c) Al cabo de 8 segundos, ¿cuál es la mayor altura alcanzada durante el vuelo? Solución: Se derivada la función y se obtienen los valores críticos h ' ( x)  3 x 2  28x  57

143

3 x 2  28 x  57  0 , al resolver esta ecuación mediante la fórmula general para una ecuación de 19 segundo grado con una incógnita se obtienen los valores críticos y 3 . Ahora se obtiene la 3

segunda derivada y se analiza que tipo de extremo relativo se tiene en estos valores críticos. h ' ' ( x)  6 x  28 . Luego se tiene que

 19   19    6   28  10  0   3     3  

h ''

h ' ' 3  63  28  10  0 .

y

Lo cual permite concluir que en  x 

19 3

 hay un mínimo relativo y que en  x  3  hay un máximo

relativo. Por lo tanto las respuestas de las preguntas planteadas son: a) Cuando el cohete empieza a caer se obtiene un máximo relativo, por lo cual al sustituir  x  3   en la función original se obtiene que la altura alcanzada por el cohete en ese instante es 72 km. b) Cuando el cohete empieza a subir de nuevo alcanza un mínimo relativo, por lo cual al sustituir  x 

19 3

 en la función original se obtiene que el cohete estaba a una distancia de

53.48 km del suelo. c) Para obtener la altura alcanzada a los 8 segundos, solamente se evalúa la función en tal valor, obteniéndose una altura de 72 km.

En pareja resuelve el problema aplicando los criterios de la primera y segunda derivada. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad De una pieza cuadrada de cartón se construye una caja sin tapa. La función que permite 3 2 obtener el volumen de la caja es V  ( x)  4 x   160 x  1600 x , donde  x  representa la altura de la caja en centímetros. Determine: a)

¿Cuál es la altura de la caja que da el volumen máximo? ¿Cuál es el volumen máximo?

b)

¿Cuánto miden las dimensiones de la caja?

144

Resuelve el problema aplicando los criterios de la primera y segunda derivada. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra al final de la unidad Un cohete es lanzado y después de cierto tiempo le falla el motor principal y comienza a caer. Tras unos segundos el motor de emergencia logra que vuelva a ganar altura. La función que 3 2 describe la altura medida en km en cada tiempo  x  es h ( x)   x  14 x  57 x Determina: a)

¿Qué altura tenía el cohete cuando comenzó a caer a causa de la falla?

b)

¿A qué distancia estaba el cohete del suelo cuando volvió a ganar altura?

c)

cabo de 8 segundos, ¿cuál es la mayor altura alcanzada durante el vuelo?

Un cohete es lanzado y después de cierto tiempo le falla el motor principal y comienza a caer. Tras unos segundos el motor de emergencia logra que vuelva a ganar altura. La función que describe la altura medida en km en cada tiempo  x es h ( x)   x 3  14 x 2  57 x . Determine:

Sesión 47

d) ¿Qué altura tenía el cohete cuando comenzó a caer a causa de la falla? e) ¿A qué distancia estaba el cohete del suelo cuando volvió a ganar altura? f) cabo de 8 segundos, ¿cuál es la mayor altura alcanzada durante el vuelo? 1. Se lanza una piedra hacia arriba desde la parte superior de un edificio. Su altura en 2 (pies) sobre el suelo después de t  segundos está dada por h (t )  16t   48t   32 . ¿En qué instante alcanza su altura máxima y cuál es dicha altura? 2. La ganancia P (en dólares) que se genera al vender  x  unidades de cierto artículo está 2 dada por  P ( x)  1500  12 x  0.0004 x . ¿Cuál es la ganancia máxima, y cuántas unidades se deben vender para generarla?

145

 A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas con los temas de la Unidad. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo. Indicaciones: A continuación se te presentan una serie de reactivos de opción múltiple en base a los temas desarrollados en esta unidad. Realiza los cálculos necesarios para dar con la respuesta correcta. 1. Si

entonces

:

entonces

:

a) b) c) d) 2 e) 3 x  3

2. Si a) b) c) d)

2 3 e)  y '  3(5 x  x) (10x  1)

3. Si a) b) c) d) e) 2 x  8 4. Si

entonces

a) b) c) d) e)

2 ( x  3) 2

146

5. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la función cuando x=1? a) 0 b) -1 c) 1 d) 4 e) -4

  f ( x)  x 2



2x



4

6. Si la primera derivada de una función siempre es negativa para cualquier valor x de su dominio entonces se dice que la función es: a) Decreciente b) Creciente c) Cóncava d) Convexa e) Flexible 7. Si la primera derivada de una función siempre es positiva para cualquier valor x de su dominio entonces se dice que la función es: a) Decreciente b) Creciente c) Cóncava d) Convexa e) Flexible 8. ¿Cuál es el valor de “x” que al sustituir en la primera derivada de la función   f ( x) x 3x  sea igual a cero? a) 3 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2 

3



2

9. Es el intervalo en el que la función  f ( x)  x3  3 x2 es decreciente: a) (, 0) b) (0 , 2) c) [ 0 , 2 ] d) [ 2 , ] e) ( 2 , ] 10. ¿cuál es un intervalo donde la función  f ( x)  x 4  4 x 3  es decreciente? a) b) c) d) e)

 ,    3,0   , 3  0,    ,1 147

11. ¿Cuál es el valor crítico de la función a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2

  f ( x)  x 2



2 x  15 ?

3 2 12. La función  f  ( x)   x  3 x  9 x  9   tiene un valor crítico en  x  3 , ¿cuál es el punto crítico correspondiente? a) P 3 , 9 b) P (3 ,  2) c) P (3 ,  18) d) P (3 ,14) e) P (3 , 2) 3 2 13. ¿Cuál es el punto máximo relativo de la función  f  ( x)  2 x  9 x  2 ? a) P (3 ,  25) b) P (0 , 2) c) P (3 ,  133) d) P (5 , 27)

e)

 9   , 2 2    

P

5 3 14. La función  f  ( x)  3 x  5x  tiene como punto mínimo relativo a: a) P (1,  2) b) P (  1, 2) c) P ( 0 , 0) d) P ( 2 , 56) e) P (  2 ,  56)

1

15. La función  f  ( x)   x 4   x 3  x 2  es cóncava hacia arriba en: a) b) c) d) e)

 x  2  x  1.5  x  1  x  1.8  x  0.5

4

1

16. La función  f  ( x)   x 4   x 3  x 2  es cóncava hacia abajo en: a) b) c) d) e)

 x  2  x  1  x  2.5  x  1.8  x  1.5

4

148

3 2 17. La función  f  ( x)   x  x  x  tiene un punto de inflexión en: a)  x  1 / 3 b)  x  1 c)  x  1 / 3 d)  x  1 e)  x  3 3 2 18. El punto de inflexión de la función anterior (  f  ( x)   x  x  x ) es: a) P (  1,  1) b) P (1 / 3 , 5 / 27) c) P (1,  1) d) P (1 / 3 ,  11 / 27) e) P ( 2 , 2)

19. Un fabricante encuentra que el ingreso generado por vender  x   unidades de cierto 2 artículo está dado por la función  I ( x)  80 x  0.4 x , donde  I ( x )   se mide en dólares. ¿Cuántas unidades se tienen que fabricar para obtener el ingreso máximo y cuál es dicho ingreso máximo? a) 50 unidades, el ingreso es 5000. b) 100 unidades, el ingreso es 4000. c) 70 unidades, el ingreso es 5640. d) 80 unidades, el ingreso es 3840. e) 95 unidades, el ingreso es 3990. 20. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la función cuando x=1? a) 0 b) -1 c) 1 d) 4 e) -4

149

  f ( x)  x 2



2x



4

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Evaluación del desempeño (ejercicios).

En equipo No. 1

Indicador

Cumplió Ejecución Observaciones Ponderación Calif. Sí No 0.42

Se integró al equipo.

2

Mostró interés por el tema. 3 Mostró conocer los conceptos que utilizó 4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 5 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación

0.4 0.38 0.43 0.43 2.06

Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación del desempeño (ejercicios): Individual No. 1

Indicador

Cumplió Sí No

Mostró interés por el tema.

2

Mostró conocer los conceptos que utilizó 3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios 4 Aplicó correctamente el procedimiento Calificación de esta evaluación

Ejecución Ponderación 0.5

Observaciones Calif.

0.5 0.53 0.53 2.06

Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

150

Evaluación de productos (material extra clase): No.

Indicador

Cumplió Sí No

Ejecución Ponderación

1

Resolvió el total de los ejercicios 2 Resolvió correctamente los ejercicios 3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios. Calificación de esta evaluación

Observaciones Calif.

0.72 0.71 0.72 2.15

Tabla de ponderación

1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación de Productos (investigaciones): No.

Indicador

Cumplió Sí No

Entregó en tiempo y forma 2 La información fue clara y acorde al tema 3 Presentación del trabajo Calificación de esta evaluación

Ejecución Ponderación

1

Observaciones Calif  .

0 0 0 0

Tabla de ponderación

1 = sí cumplió 0 = no cumplió Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

CRITERIOS DE EVALUACIÓN CRITERIO: PORCENTAJE: Producto 15% Desempeño 35% Conocimiento 50% Total: 100%

151

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN Primer parcial(pag64)

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN Segundo parcial(pag

REACTIVO:

OPCI N CORRECTA:

REACTIVO:

OPCI N CORRECTA:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B C C E B C E A D D A A D A B D C B B B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B E B B C B E E B C

152

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN Tercer parcial(pag 172) REACTIVO:

OPCI N CORRECTA:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A C B D A B D B C C C B B A B D D B D

GLOSARIO Abscisa: Nombre que se le da a la coordenada en x de un punto en el plano coordenado. Ángulo de inclinación: ángulo formado por una recta y el eje X y que se mide a partir del eje X en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Asíntota: Son las rectas a las cuales se aproxima la gráfica, sin llegar a alcanzarlas por más grandes que sean los valores de x o de y, según el caso. Cálculo diferencial: Estudia el incremento en las variables; puede ser la distancia recorrida por un objeto en movimiento en un tiempo determinado. Centro: Nombre que se le da al punto de intersección de los ejes coordenados. Ceros reales de una función: Son todos los valores de x, tanto racionales como irracionales, para los cuales la función se hace cero. Codominio o rango de una función: Es el conjunto de valores que se obtienen cuando los elementos del dominio son sustituidos en la regla de correspondencia de la función. Coeficiente principal: Es el término que contiene la potencia con el mayor exponente de una función polinomial. Concavidad: Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba) cuando su segunda derivada es positiva. Convexidad: Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa) cuando su segunda derivada es negativa. Constantes: Son los valores conocidos y cuyo valor no cambia en el desarrollo de un problema. Se representas por las primeras letras del alfabeto ( a,b,c,d,e,f,g,h) Coordenadas: Valores específicos para localizar un punto determinado. Derivada: La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero. Diferenciación: Es el proceso de calcular derivadas. Distancia: Espacio o separación entre dos puntos. Discontinuidad: Cuando una función no cumple con las tres condiciones de continuidad. División sintética: Es una técnica abreviada para dividir cualquier función f(x) entreun binomio de la forma (x-r). Dominio de una función: Conjunto de valores que se le pueden asignar a la variable independiente y para los cuales queda definida la función. Ecuación: Expresión algebraica que representa analíticamente a una figura geométrica y que es válida para determinados valores de las variables. Función: Es una relación en la que el primer componente del par ordenado solamente le corresponde solo uno, y solamente un valor como segundo componente del par. Función creciente: Función que al evaluarla en dos valores a y b de su dominio, tales que af(b). Función explícita: Es aquella en la es posible expresar una variable en términos de la otra. 153

Función implícita: Es aquella en la que no se le puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Es decir, no es posible expresar una variable en términos de la otra. Función racional: Es el cociente de dos polinomios, cuando éste no puede simplificarse porque los polinomios no poseen factores comunes, y el denominador no es el polinomio cero. Gráfica de una función: Representación en un sistema rectangular de coordenadas de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera) de una función particular. Límite de una función: Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo. Límites laterales: Son una herramienta desarrollada para dar lugar a precisiones. Ordenada: Nombre que se le da a la coordenada en “y” de un punto en el plano coordenado. Par ordenado: Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del punto. Al valor de X se llama abscisa y el valor de Y se llama ordenada. Pendiente: Es la razón de variación de los valores de y con respecto a los de x, que se calcula como un cociente de incrementos. Pendiente: Se define como la tangente del ángulo de una recta, mide el grado de inclinación de la misma con respecto a su ángulo de inclinación. Punto de inflexión: Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un cambio en la concavidad de la gráfica. Razón: Es la comparación entre dos cantidades mediante una división o una diferencia. Recta: Conjunto de puntos que pertenecen al mismo lugar geométrico y que tiene la misma pendiente. Recta normal: Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto a la curva en dicho punto. Rectas paralelas:  Nombre que reciben dos rectas que no se intersecan por más que se prolongan y que tienen la misma pendiente. Rectas perpendiculares: Nombre que reciben las rectas que al intersecarse forman ángulos de 90° y cuyo producto de sus pendientes es igual a -1. Segmento de recta: parte proporcional de una recta. Variación directa: Cuando el cociente formado entre dos cantidades es siempre constante . Variación inversa: Cuando dos cantidades varían de tal forma que al aumentar una de ellas el valor de la otra disminuye o al disminuir una de ellas la otra aumenta. Variable independiente: es a la que se le asignan valores y que puede tomar cualquier valor dentro de su dominio. Su valor no depende de ningún otro. Generalmente se representa por x. Variable dependiente: Es la que recibe los valores de la variable independiente y que de acuerdo a la función obtiene sus valores. Su valor depende de la variable independiente. Generalmente se representa por y. Como y=f(x) también a la variable dependiente se le llama función. Velocidad: Es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Velocidad promedio: Es la distancia entre la primera posición y la segunda, dividida entre el tiempo consumido. 154