Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales en La Ing

Aplicación de las Los estudios de suelos se utilizan de diversas formas en obras hidráulicas entre Ecuaciones las cuales podemos mencionar las siguientes: Pozos de punta captación, Diferenciales en la Centrales hidroeléctricas subterráneas, Cimentación de presas, Obras de control Ing. Civilfluvial. ecánica de !uelos !alazar "spinoza #onzalo $i%uelme Castro Luis Pumalla &lviz 'id( Lizarraga )lores &lonso *avaleta Carpio +illar(

Contenido APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIE!ENCIALES EN LA IN". CI#IL................................... ................ ...................................... ............................... ................ .... $ IN%!ODUCCI IN%!ODUCCIÓN..... ÓN.............. .................. ................. ................................................& ........................................& !"LO...........................................................................................'#"'"$/& #"O01C'C&:.....................................................2 C&$&C0"$/!0C&! 3" LO! !"LO!....................................4 LU'O DEL A"UA EN EL SUELO..........................................( '0$O3CC '0$O3CC5'..... 5'.............. .................. .................. .................. .........................................4 ................................4 "C&CO'"! +3$O3'&C&! 6" $#"' "L )L7O 3"L &#& & 0$& 0$&8 8"! 3" LO! !"LO!..................................9 !"LO!....................... ...........9 !OLC5' 3" L& "C&C5' 3" L&PL&C"........................ '0"$P$"0&C5' )/!C&........................................................; 0"O$/& 3" L& !"CC5' !"CC5' 0$&'!)O$&3&.......................<= 0$&'!)O$&3&..................... ..<= $"3"! 3" )L7O......................................................................<= C&LCLO 3"L C&3&L.........................................................<< )"$*&! 3" ')L0$&C5'.................................................<"7"PLO! 3" $"3"! 3" )L7O...........................................<2 DEDUCCIÓN DE LA %EO!)A %EO!)A DE DENSIICACIÓN DE %E!*A"+I................................................................................,( CO'3CO'"! 3" CO'0O$'O P&$& L& !OLC5' 3" L& "C&C5' 3)"$"'C&L 3" 3"'!)C&C5' '3"'!O'&L...................................................................<> "L )&C0O$ 0"PO ?0@...........................................................
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IN%!ODUCCIÓN 0erzaghi dice: La mecánica de suelos es la aplicación de las le(es de la mecánica ( la hidráulica a los problemas de ingenierBa %ue tratan con sedimentos ( otras acumulaciones no consolidadas de partBculas sólidas, producidas por la desintegración mecánica o la descomposición %uBmica de las rocas, independientemente de %ue tengan o no materia orgánica. La mecánica de suelos inclu(e: a@ 0eorBas sobre el comportamiento del suelo sueto a cargas, basadas en simplificaciones necesarias dado el estado actual de la teorBa.  b@ nvestigación de las propiedades fBsicas de los suelos. c@ &plicación del conocimiento teórico ( empBrico de los problemas prácticos.  "n el sentido general de la ingenierBa, suelo se define como el agregado no cementado de granos minerales ( materia orgánica descompuesta unto con lB%uido ( gas ?%ue ocupan espacios vacBos@. "l suelo se usa como material de construcción en diversos pro(ectos de ingenierBa civil ( sirve para soportar las cimentaciones estructurales. Por esto, los ingenieros civiles deben estudiar las propiedades del suelo, tales como origen, distribución granulométrica, capacidad  para drenar agua, compresibilidad, resistencia cortante capacidad de carga, consolidación ( otras mas estudiadas con mas detalle posteriormente.

SUELO D"s un medio esencialmente discontinuo, multifase, particulado ( de calidad no controlada.E !on depósitos desagregados o no cementados de fragmentos o partBculas minerales u orgánicas %ue se encuentran en la superficie terrestre. "l enlace entre partBculas es un poco débil. !on materiales %ue se pueden eFcavar con picas, palas o un eFcarificador. La diferencia fundamental entre suelo ( roca radica en %ue los suelos poseen cohesión ( densidad netamente inferiores, ( la roca es un material mineral natural sólido, duro ( sus  partBculas tienen enlaces mu( fuertes, además se presenta en grandes masas o en fragmentos de tamaGo considerable. !on sedimentos no consolidados de partBculas sólidas, fruto de la alteración de las rocas, o suelos transportados por agentes como el agua, hielo o viento con contribución de la gravedad como fuerza direccional selectiva, ( %ue pueden tener materia orgánica. "l suelo es un cuerpo natural heterogéneo. !on estructuras dinámicas %ue van cambiando desde sus inicios hasta ad%uirir un e%uilibrio con el entorno. 0anto el suelo como la roca son materiales térreos. "l suelo como material estructural es una masa suelta ( deformable por lo tanto la ecánica de !uelos nos suministra las herramientas necesarias para evaluar propiedades tales como permeabilidad, compresibilidad, las deformaciones producidas por fuerzas impuestas al suelo ( también para conocer su resistencia ( deformabilidad.

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IN"ENIE!)A "EO%0CNICA1  &rte de analizar, diseGar ( construir obras civiles con materiales térreos. 0iene dos ramas  principales: '#"'"$/& 3" )'3&CO'"!: "studia la interacción %ue eFiste entre todas las construcciones civiles ( el suelo donde se apo(a. '#"'"$/& 3" 0$&H&7O! 3" O8"'0O 3" 0"$$&!: nclu(e la construcción de  presas, carreteras ?geotecnia vial@, utilización de los materiales para construcciones, estabilidad al realizar eFcavaciones. #"'"$&L3&3"! La ngenierBa #eotécnica estudia: Las propiedades fBsicas ( mecánicas de probetas homogéneas de suelos inalterados, amasados o  pruebas Ein situE.  E"!0$& '&L0"$&3&E: Consiste en llevar al laboratorio una probeta de suelo sin alterar  sus propiedades o estado natural, o estado de esfuerzos. Las meores muestras inalteradas son a%uellas en %ue la humedad ( la composición no sufren cambios ( la relación de vacBos ( la estructura sufren el menor cambio posible. La mecánica teórica de los suelos, especialmente la teorBa de la elasticidad, debe solucionar  problemas de estabilidad o capacidad portante. La &plicación de los conocimientos a la solución de los problemas del pro(ecto ( de la construcción: La ecánica de !uelos nos sirve de herramienta para el diseGo de obras de ngenierBa, como cimentaciones de edificaciones, puentes, obras viales, estructuras hidráulicas.

La ecánica de !uelos nos sirve de herramienta para el diseGo de obras de ngenierBa, como cimentaciones de edificaciones, puentes, obras viales, estructuras hidráulicas. 3ebido a %ue la ecánica de !uelos no es una ciencia netamente analBtica (a %ue cuenta mucho el criterio del ingeniero para dar solución a los problemas, se debe fundamentar en conocimientos empBricos modernos, %ue unto con la eFperiencia personal dan solución a los  problemas. Por lo anterior debemos tener en cuenta %ue a medida %ue avancen las investigaciones aparecerán nuevas técnicas de la ecánica de !uelos.  "n general la mecánica de suelos encuentra la deformación %ue produce una carga sobre el suelo.

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CA!AC%E!)S%ICAS DE LOS SUELOS "l volumen del suelo cambia debido a la presión impuesta ( por intercambio de vapor con la atmósfera ?lluvia@ ( por ese intercambio se genera una eFpansión. "vaporación I disminución Lluvia I eFpansión Los suelos permiten esfuerzos de corte ( en algunas circunstancias pueden comportarse como lB%uidos ?"sfuerzo cortante J =@ "l suelo no es elástico ni plástico, sino elastoIplástico. Los suelos gruesos son más elásticos %ue plásticos ( los finos más plásticos %ue elásticos.

LU'O DEL A"UA EN EL SUELO IN%!ODUCCIÓN Hace solo 60 años los proyectos de presas y de estructuras de retención de agua hechas con suelos se basaban casi exclusivamente en reglas empíricas ue los constructores se transmitían por tradición oral! "e adoptaban las obras ue habían resistido satis#actoriamente los estragos a causa del tiempo y de las aguas$ independientemente de la naturale%a de los materiales y de las características del terreno de cimentación! &on el nacimiento de la mec'nica de suelos y el conocimiento de los materiales$ ue con esta se aduirió$ ha sido posible anali%ar ba(o un nuevo #ulgor el comportamiento de las presas y de las estructuras de retención! )ue el #ranc*s Henry +arcy uien estableció las bases para un estudio racional de los problemas pr'cticos acerca de la in,ltración del agua a trav*s de los suelos! +arcy en el siglo -.- estudió en #orma experimental el /u(o del agua a trav*s de un medio poroso y estableció la ley ue se conoce con el nombre de ley de +arcy! +icha ley se basa en las siguientes hipótesis$ ue condicionan su valide%

K

edio continuo, es decir %ue los poros vacBos estén intercomunicados.

K

edio isótropo.

K

edio homogéneo.

K

)luo del agua en régimen laminar.

3arc( demostró %ue el caudal 6 es proporcional a la pérdida de carga e inversamente  proporcional a la longitud del lecho de arena ( proporcional al área de la sección ( a un coeficiente %ue depende de las caracterBsticas del material. 3e esta manera estableció %ue:

4

2 3 4A56, 7 6&89L "n donde  es un coeficiente %ue se ha denominado coeficiente de permeabilidad con unidades LM0. "sta le( es solo aplicable en la resolución de problemas en %ue el fluo del agua sea laminar. "s decir %ue el fluo presente un nNmero de $e(nolds inferior a -===. "l nNmero de $e(nolds es una relación adimensional entre fuerzas de inercia ( fuerzas viscosas, esta relación establece %ue:

! 3 # D r9 : Posteriormente a 3arc(, el siguiente paso fundamental en el conocimiento fue dado por Ph. )orchheimer, %uien demostró %ue la función carga hidráulica %ue gobierna un fluo en un medio  poroso es una función armónica, es decir, %ue satisface la ecuación de Laplace. )orchheimer  desarrolló a principios del siglo , las bases para el método gráfico %ue ho( se conoce con el nombre de método de las redes de fluo, %ue sigue siendo el arma más sencilla ( poderosa de %ue el ingeniero dispone para la resolución práctica de los problemas %ue involucren el fluo de agua en suelos. "l método de las redes de fluo, %ue es una solución gráfica de la ecuación de Laplace, fue popularizado a partir de <;2A ( desde entonces se ha transformado en el  procedimiento normal de trabao para todos los ingenieros.

ECUACIONES +ID!ODINA;ICAS 2UE !I"EN EL LU'O DEL A"UA A %!A#ES DE LOS SUELOS  & continuación se presenta un tratamiento matemático %ue permitirá llegar en forma sencilla a las ecuaciones básicas %ue se utilizan para plantear teóricamente el problema del fluo de agua a través de los suelos. Considérese un pe%ueGo paralelepBpedo de una región de suelo a través de la %ue flu(e el agua, de dimensiones dF, d( ( dz, tal como se muestra en la figura:

!upóngase %ue la velocidad V  con la %ue el agua pasa por el elemento posee tres componentes Vx, Vy ( Vz   ( %ue estas son solo función de  x, y ( z respectivamente pero no del tiempo ?suponiendo %ue se trata de un fluido permanente@ ni de ninguna otra variable. !uponiendo también %ue estas componentes son funciones continuas %ue admiten cual%uier orden de derivación necesario al razonamiento eFpuesto. 

3adas las condiciones, si en las caras  las componentes de la velocidad son Vx, Vy ( Vz, en las caras  las componentes de la velocidad serán, respectivamente:

#< = 5>#<9><8 d< #? = 5>#?9>?8 d? #@ = 5>#@9>@8 d@ "upóngase ahora ue la porción de suelo a trav*s de la ue /uye el agua tiene sus vacíos saturados y ue adem's las partículas ue la con#orman son incompresibles! sí$ durante el /u(o$ la cantidad ue entra al elemento tiene ue ser igual a la ue sale! or lo tanto$ teniendo en cuenta ue el caudal ue pasa por una sección puede expresarse como el producto del 'rea de la sección por la velocidad del /u(o$ podr' escribirse

##<9>< d<8d?d@ = 5#? = >#?9>? d?8d#@9>@ d@8d
>#<9>< d#?9>? d#@9>@ d
>#<9>< = >#?9>? = >#@9>@ 3 o "sta ecuación es de gran importancia en la teorBa de fluo de agua ( se conoce con el nombre de ecuación de la continuidad.   "s importante recordar %ue esta ecuación es solo aplicable cuando se cumplen los supuestos anteriormente mencionados, los cuales son: K

)luo permanente

K

!uelo saturado

K

"l agua ( las partBculas son incompresibles

K

"l fluo no modifica la estructura del suelo

&hora teniendo en cuenta la le( de 3arc( ?8 J IhMl@, tenemos %ue la velocidad de fluo de agua a través del elemento es:

6

#< 3 4<>69>< #? 3 4?>69>? #@ 3 4@>69>@ "n estas ecuaciones el elemento de suelo se considera anisótropo en lo referente a su  permeabilidad 4  en la dirección de cada ee ntroduciendo estas ecuaciones en la ecuación de continuidad, obtenemos:

4< >&69><& = 4? >&69>?& = 4@ >&69>@& 3 $ "n algunos casos en los cuales la sección transversal ?FI(@ es mucho ma(or %ue la altura, el  problema de fluo podrá estudiarse bidimensionalmente, escribiéndose en una forma más simplificada la ecuación:

4< >&69><& = 4? >&69>?& 3 $ "s esta la ecuación fundamental para el análisis de un fluo bidimensional en una región de fluo dada. 3e encontrarse en un suelo isótropo en lo referente a la permeabilidad, es decir F J ( J , podrá ser simplificada para obtener la ecuación de Laplace:

>&69><& = >&69>?& 3 B&6 3 $ na función %ue satisface la ecuación de Laplace se le conoce como armónica. "cuación %ue para ser aplicada re%uiere: K

!uelo isótropo, en lo relativo a su permeabilidad

K

)luo bidimensional

5stos dos limitantes no son un gran obst'culo ya ue un /u(o bidimensional se a(usta a la mayoría de los casos pr'cticos$ en cuanto a la isotropía habr' ue considerar ue muchas de las estructuras de tierra a trav*s de las ue interesa estudiar el /u(o se construyen compactando por capas$ procedimiento ue conduce a permeabilidades hori%ontales bastante mayores ue las ue se obtienen para el /u(o en la dirección vertical! a ecuación general de aplace est' constituida por dos grupos de #unciones ue pueden ser representados dentro de la %ona de /u(o en estudio como dos #amilias de curvas ortogonales entre sí! a solución general ue satis#aga las condiciones de #rontera de una región de /u(o especí,ca constituir' la solución particular de la ecuación de aplace para esta región especí,ca!



5s conveniente$ a partir de la gr',ca$ una expresión ue proporcione el caudal ue pasa a trav*s del elemento en el tiempo dt! dq = Kx ¶h/¶x dydz + Ky ¶h/¶y dxdz + Kz ¶h/¶z dxdy

"i el suelo es isótropo en lo re#erente a la permeabilidad dq = K(¶h/¶x dydz + ¶h/¶y dxdz + ¶h/¶z dxdy)

5n /u(o bidimensional dq = K(¶h/¶x dy + ¶h/¶y dx)

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE &entr'ndose en el caso de /u(o bidimensional$ se observa la ecuación de aplace

>&69><& = >&69>?& 3 B&6 3 $ y se de,ne una #unción f = -Kh + c

)unción$ conocida como #unción de potencial$ ue satis#ace la ecuación de aplace$ cumpliendo ue

>&f9><& = >&f9>?& 3 $ sí la #unción f 8x$ y9: constante es una solución de la ecuación de aplace$ solución ue representa una in,nidad de #unciones$ seg;n el valor de la constante c ue intervenga! 5sta expresión puede representar una #amilia de curvas ue se desarrollan en la región plana en la ue ocurre el /u(o$ obteni*ndose una curva especí,ca de la #amilia para cada valor de la constante ue se tome! &onsid*rese ahora una #unción y8x$ y9: constante llamada #unción de corriente y de,nida de modo ue Vx = ¶y/¶y

Vy =- ¶y/¶x

a #unción y así de,nida satis#ace la ecuación de aplace$ de manera ue se cumple

>&?9><& = >&?9>?& 3 $ "i el con(unto de #unciones y8x$ y9: constante$ se representaran tambi*n por una #amilia de curvas 8 y: constante9 en la región de /u(o! a #amilia y : constante es ortogonal a la #amilia f : constante! 5n un problema especí,co en el ue haya unas condiciones de #rontera ,(as$ la solución de la ecuación de aplace constituida por las dos #amilias de curvas$ m's la exigencia de 7

ue estas #amilias satis#agan las condiciones de #rontera existentes$ produce en de,nitiva una solución ;nica del problema considerado!

IN%E!P!E%ACIÓN )SICA "e tendr' entonces ue en la curva f : constante$ todos los puntos presentaran la misma carga hidr'ulica$ h! or esta ra%ón es ue estas curvas reciben el nombre de líneas euipotenciales! 5n cuanto a las curvas y: constante$ se considerara la trayectoria del agua ue pasa por P(x, y)$ en este punto el agua presenta una velocidad =!

& lo largo de la curva se tendrá:

%an 3 #?9#< 3 d?9d< 3e donde:

#?d< 7 #
La anterior eFpresión es precisamente la diferencia total de la función ? de manera %ue se cumple a lo largo de la tra(ectoria del agua %ue:

d? 3 $  > por lo tanto

? 3 constante

<

La familia de curvas ?J constante esta constituida por las tra(ectorias fBsicas ( reales del agua a través de la región de fluo.

%EO!)A DE LA SECCIÓN %!ANSO!;ADA La teorBa de la sección transformada permite reducir la situación de un suelo anisótropo al caso de un suelo isótropo. Con esta reducción se logra %ue la ecuación de Laplace ( sus soluciones sean aplicables para describir el fluo a través de un medio anisótropo. "n esencia la teorBa de la sección transformada es un simple artificio de cálculo %ue se logra por medio de una simple transformación de coordenadas ( del cual se obtiene %ue la permeabilidad e%uivalente en la sección transformada a la combinación de permeabilidades de la sección real es:

4 3 54<4?8,9&

!EDES DE LU'O La red de fluo es una representación gráfica de la solución de la ecuación de Laplace  para f ( ? con las condiciones de frontera eFistentes en el fluo. "stá constituida por lBneas e%uipotenciales separadas igualmente en f ( por lBneas de corriente igualmente separadas en ?. "sta separación se conoce como canal de fluo o canal de corriente. 0odas las intersecciones de la red son ortogonales. Propiedades de las redes de fluo: K K

"l caudal %ue flu(e entre dos lBneas consecutivas es el mismo por unidad de ancho. 'i las lBneas e%uipotenciales pueden cortarse entre sB, dentro del medio fluido, ni las lBneas de corriente pueden cortarse entre sB dentro del medio fluido.

!e trata entonces de definir en cada caso las condiciones de frontera especBficas del problema ( trazar, cumpliendo con estas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo asB una verdadera imagen gráfica del problema, %ue si a sido realizada con cuidado podrá ser lo suficientemente buena para los fines ingenieriles. Para el trazo de una red de fluo se tienen los siguientes pasos: K

3ibuar los lBmites del dominio

K

)iar tentativamente 2 ó 4 lBneas de corriente. 10

K

0razar tentativamente e%uipotenciales, ortogonales a las lBneas de corriente

K

&ustar 

K

Comprobar la bondad del auste si al trazar las lBneas diagonales de los cuadros se obtienen también curvas suaves, formando una nueva red

CALCULO DEL CAUDAL &l trazar cual%uier red de fluo se dibuan las e%uipotenciales de tal manera %ue la 3h sea la misma ( %ue el 3% entre dos lBneas de corriente sea el mismo.

!e tendrá entonces %ue:

D 3 4aD69 "i n#  es el n;mero total de canales de la red y n c el n;mero de caídas de potencial ue hay en toda la %ona de /u(o$ entonces podr' escribirse

D 3 9nf  ? D6 3 69nc 3onde % ( h son el caudal unitario total ( la carga total. & partir de lo anterior se puede llegar a %ue:

9nf  3 4a 69nc  3 5nf 9nc8 5a98 6 Puesto %ue %, Q, h, nf  ( n c son constantes para una red de fluo dada, la relación aMb debe serlo también. "sta condición implica %ue se estén cumpliendo las dos condiciones iniciales ?%ue la 3h sea la misma ( %ue el 3% entre dos lBneas de corriente sea el mismo@. "l término nf Mnc depende Nnicamente de la forma de la región de fluo, se le conoce como factor  de forma ( se representa:

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f  3 nf9nc "l cálculo de las presiones hidrodinámicas en el agua %ue se infiltra a través de la región de fluo, es una de las aplicaciones más Ntiles de una red de fluo.

UE!*AS DE INIL%!ACIÓN "l agua circulando en un medio poroso, imparte energBa a los granos sólidos por fricción. Considérese un volumen de arena confinado, en el cual se tiene un nivel de agua h< antes ( un nivel h- después de la arena.

La fuerza resultante en el volumen de arena es:

 3 P, 7 P& +onde

P, 3 g6,A

P& 3 g6&A

 es el 'rea transversal de la muestra!

!ustitu(endo:

 3 56, 7 6&8 gA a dirección de ) es paralela al /u(o y puede locali%arse dependiendo de la posición del centro de gravedad del elemento anali%ado!

Para suelos aniso trópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada.

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E'E;PLOS DE !EDES DE LU'O

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DEDUCCIÓN DE LA %EO!)A DE DENSIICACIÓN DE %E!*A"+I "l obetivo es determinar, para cual%uier instante de tiempo ( en cual%uier posición de la capa %ue se esté densificando, el grado de densificación, o sea las deformaciones, los Bndices de vacBos ( las tensiones efectivas ( las presiones neutras correspondientes.

Consideremos el elemento del suelo sometido al proceso de densificación indicado en la figura a continuación: "l fluo tridimensional en un suelo saturado, sin variación volumétrica está dado por:

"n la densificación eFiste variación de volumen ( se admite %ue el fluo solo ocurre en una dirección, la vertical, desde %ue el agua ( las partBculas sólidas son consideradas incompresibles. La ecuación del fluo en este caso será:

La variación del volumen del suelo está eFpresada en términos de variación de su Bndice de vacBos, conforme vemos a continuación:

1

"ntonces la variación del volumen con el tiempo está dada por:

3onde

"s igual al volumen de sólidos %ue no varBa con el tiempo gualándose ?<-@ ( ?<<@ obtenemos:

!olo la carga %ue eFcede la hidroestática provoca fluo. Por tanto, la carga h puede ser  substituida por u dividida por el peso especBfico del agua ?Ra@. 8imos también en la ecuación ?;@ %ue de J av.du. "ntonces tenemos: La parcela

$eflea caracterBsticas del suelo tales como permeabilidad, porosidad ( compresibilidad. Por  ello, a ella se le da el nombre de coeficiente de densificación, cv.

"ntonces la ecuación diferencial de la densificación asume la siguiente eFpresión:

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La ecuación ?<>@ eFpresa la variación de la presión neutra, a lo largo de la profundidad, en el correr del tiempo. La variación de presión neutra está asociada a la variación de las deformaciones.

CONDICIONES DE CON%O!NO PA!A LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIE!ENCIAL DE DENSIICACIÓN UNIDI;ENSIONAL a@

"Fiste completo drenae en los dos eFtremos de al muestra <. Para z J = ( z J -+d JJS u= J = ?drenae en la cima ( en la base@ La sobrepresión neutra inicial, constante a lo largo de toda la altura, es igual al aumento de presión aplicada inicialmente ?tJ=@ toda carga se transfiere hacia el agua ?uo J uinicial @.

"n al integración de la ecuación diferencial ?<>@ la variable tiempo DtT aparece

siempre asociada al cv ( a ma(or distancia de fluo, o sea: "l sBmbolo D0T se denomina factor tiempo. 0 es adimensional, t es eFpresado en segundos, +d en cm ( cv en cm-Ms. "l resultado de la integración de la ecuación ?<>@ para las condiciones de contorno encima definidas está dado por al siguiente eFpresión:

3onde "Fpresa el grado de densificación a lo largo de la profundidad DzT. La eFpresión ?<@ revela %ue cuanto más próFimo un elemento se encuentra de las facetas drenantes, más rápidamente las presiones neutras se disipan. 1

EL AC%O! %IE;PO 5%8 Para el problema de densificación unidimensional, las condiciones lBmite son las siguientes: a@ "Fiste completo drenae en las dos eFtremidades de la muestra  b@ La presión neutra inicial en tJ= es constante a lo largo de toda la altura, siendo U J V. W  para tJ X se tiene %ue V Y J V, constante a lo largo de la altura. c@ "n una eFtremidad z J = ( en la otra zJ -?+d, siendo +d la mitad del espesor de la muestra +. +d indica la ma(or distancia de fluo de la muestra.

La figura a continuación muestra la solución de la ecuación ?<@ para diversos tiempos luego de la aplicación de la carga. "lla indica como la presión neutra se encuentra a lo largo del espesor   para diversos instantes luego de la carga, a partir de curvas correspondientes a diversos valores del )actor tiempo ?0@. "sas curvas son llamadas isócronas ?igual tiempo@. Las curvas también muestran como las deformaciones ocurren mucho más rápidamente en las proFimidades de las facetas de drenae %ue al interior de la capa.

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PO!CEN%A'E DE DENSIICACIÓN U* "l asentamiento %ue se forma en la superficie del terreno es el resultado de la sumatoria de las deformaciones de los diversos elementos a lo largo de la profundidad. Por tanto si calculamos la media de los grados de densificación a lo largo de la profundidad z, obtendremos el grado de densificación medio, %ue está dado por la ecuación ?<;@

!EE!ENCIAS -I-LIO"!ICAS K

81L"* Otálvaro, arBa 8ictoria. +idráulica de aguas subterráneas. )acultad de minas, niversidad 'acional de Colombia. !egunda edición, edellBn <;;;.

K

7Z$"* Hadillo, "ulalio. $CO $odrBguez, &lfonso. ecánica de suelos, tomo  fluo de agua en suelos. "ditorial Limusa. éFico <;=.

1<