Algebra 5to Año

Quinto Año

CONTENIDO 

Binomio de Newton  Radicación  Radicales Dobles  Racionalización  Números Complejos  !eor"a #eneral de $c%aciones  'nec%aciones  )istema de 'nec%aciones Álgebra

02 14 24 29 3 &2 (2 3 1

Quinto Año

TEMA: BINOMIO DE NEWTON Introducción: Es un operador matemático que simboliza de la siguiente manera:

 ó ó *   3ó 3 ó 3* factor oria iall es un oper operad ador or excl exclus usiv ivo o de númer números os natu natura rale les. s. Fact Factor oria ial: l: El fact Matemáticamente se define: n = 1- 2 - 3-.....-n

,

∀ n ∈ N + n ≥ 2

2 = 2

= 1- 2- 3 = ( 4 = 1- 2 - 3- 4 =

3

Propiedad: − Ejem: ∗ 1=1 ∗ 0=1

24 n

(

=

=

n n

−1

 (− (= ( (

Observación: Existen 2 operadores mas ; los cuales son: 2n = 2- 4 - ( --.... - 02n /

2n = 0 2 -1/ - 0 2 - 2/ - 0 2 - 3/.....- 0 2 -n / 2n = 2 n -

•

n

Coactorial: 2n + 1 =

Álgebra

1- 3- & -  -.......-  2 n

+ 1/

2

Quinto Año

2n + 1

⇒

2n + 1

=

2n n

• Propiedad: n .

n +1 =

n +1

N!"ero Co"binatorio: Co"binatorio: n C 

=

n n − 

n



∧  ∈ N ∧  ≤  ≤ n

Propiedades B#sicas: n ! C 0 = 1

, C1n

=n

2! "omplemento:

5 C nn

C 

= C nn −

C  n

=

n

=1

#! $egradaci%n:

&! 'educci%n: C  n

n 

+ C  n +1 =

C  n −−11

+

C  n +11

BINOMIO DE NEWTON Deinición: Es una expresi%n matemática que tienen la forma de una funci%n polimonial. Es un binomio de la forma:

Álgebra

3

Quinto Año (a)b!n -abemos: (a + b ! (a + b ! (a + b !

para n + ,**2*#*.........

= =a + b 2 2 = a + 2ab + b # 2 # = a + #a b + #ab + b



(a + b !

*

2 #

. . .

n

n

=

n o

n−

n

n

n −2 2

n

o n

en forma polimonial:

∀n ∈ 8 - 7 a /

Ejm:

=

6+

- + a / n

- + a / - + a/

4

4

ara:

=

C on - n

+ C1n - n −1a + C n2 - n −2 a 2 + ..... + C nn - o a n

= C04 - 4 + C14 - 3a 1 + C 42 - 2 a 2 + C34 -a 3 + C 44 a 4 =

-4 1°

+

4- 3 a 2°

+

(- 2 a 2 3°

+

4-a 3 4°

+

a4 &°

)e bt%o   → & /0rminos n + &  

En general: 1n polinomio:  (x ) a!n /iene (n ) ! /0rminos 1n binomio: (x ) a! n  /iene (n ) ! /0rminos Ejem:

 (x ) a! + (,x ) #a! 3 /iene

3 )  + 4 /0rminos

T$r"ino %eneral:

Álgebra

4

Quinto Año •

Contenido de I&'uierda a derec(a:

= C n - n − a 

! +1

donde:

/ 5) es el t0rmino de lugar ( 6)!

Ejm: En el desarrollo de  (x*a! + ( x2)a#! 4* determine el tercer termino

)olución:

= !2+1 =

!3

•

C (2  - 2 / 4 a 3 / 2

= C (2 -  a (

Contando de derec(a a i&'uierda:

= C n -  a n − 

! +1

donde:

/ 5) es el t0rmino de lugar ( 6)!

Ejm: En el desarrollo de  (x*a! + ( x #)a2! 3* determine el t0rmino de lugar con respecto al final.

)olución: !4

= !3+1 =

C &3  - 3 / 3 a 2 / 2

= C &3 - 9 a 4

T$r"ino Central: El desarrollo del binomio tendrá un único t0rmino central en cambio si 7 n 8 es par* luego la posici%n que ocupa este /0rmino es:

 n + 1   1

n

!c = ! n 

2

+1/

=C

n n

n

-2 a2

; n es par

2

Ejem: En el siguiente problema; $eterminar el t0rmino "entral del desarrollo de: (x; a! + (x2 ) a! 4 "omo : n + 4

Álgebra

5

Quinto Año

∴ n es par ⇒

la posici%n será

 n + 1   2

,

n 2

=3

 n + 1 = C (  - 2 / 3 a / 3  3 2   /c + !c = C (3 - ( a 3 !

(

-abemos :

C3

= 

•

(-&- 4 3-2-1

=

20

= 20 - ( a 3

!c

Teore"a: -i : a + 

⇒

∧ x + 

8 171/ = 1 + 1/

n

=

n

C0

+ C1n + C n2 + C3n + .... + C nn = 2 n

* )ea : (a)b! n +  binomio: ropiedades: . (a)b! n → tiene (n)! /0rminos. 2. Exponente de a → van disminu9endo de n asta , Exponente de b → van aumentando de , asta n. #. En cada t0rmino * la suma de exponentes de a 9 b es igual a 7n8. &. "oeficientes del  9 último /0rmino son iguales a . "oeficientes del 2 9 penúltimo t0rmino son iguales a 7n8. En general: los coeficientes son --.

T$r"ino Independiente: Es el t0rmino que no tiene variable* quiere decir es constante. Ejm:

Álgebra

6

Quinto Año 2 2 -ea:  - + &/

=

-

4

+ 10- 2 + 2& /0rmino
 - a + 

>tro "aso:

-

n

  b

1

 a  (x! +  - +

-abemos:

= C n

! +1

-

- a / n

n

  b

1

− 

-

− b

/ 

n o !:rmino  !4+1 =C4 -   'ndependiente ⇒ > + a(n6! ) (b!6 > + an ? a 6 ? b 6

5(a)b! + an 5+

an a

+ b/

-i a + b

an 6 = (a + a!n ⇒

 =

=

an 2a

2

Eso quiere decir que es en el /0rmino central 9 además n /iene que ser par.

Álgebra

7

Quinto Año Ejm:

@allar el /.
 8 - / =  - 3 + → a+# b+2

6

-

&

  2

1

n+3

=

#(3 ! (# + 2 !

=

# x3 3

=

#

&- 4 - 3

=

6+# !4

=

C &3

-o

=

3- 2 -1

10

El /0rmino independiente es ,. •

Deiniciones Previas Co"binatorios: n

= 1- 2 -....- n

+

n

= n*

+

C 

+

+

n

=

n

C n − 

siendo o ≤  ≤ n

 n n   = C4 4 Ao se cumple:

a    *  b   a-b / *

Álgebra

 a + b / *  a − b / *

=

a* b*

→ a ≠ 1 ∧ b ≠ 1

= a* - b* = a*+ b* → a ≠ 1 ∧ b ≠ 1 = a*− b*

8

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E .

En el desarrollo del Binomio: &     x −   x   CDu0 lugar ocupa el t0rmino de 2do grado

4.

'pta. @allar (6)n! si:

'pta. 2.

-eFale el t0rmino independiente de x en el desarrollo de: 9

 0.& - 2    +  0 . &   'pta. #.

@allar (n)6*! si /#+ &,3 x6 al desarrollar :

− 3/ n

- 2

'pta. &.

"alcular (n )m! -i:

 n

m

= 14

'pta. 3.

Efectuar: 10  +  9

Álgebra

9

Quinto Año

2  21    = 1   2 2 −1      4n   2 n  3  =2  3   2 

'pta. G.

CDu0 valor asume 7n8 en : (xn ) x2! G de modo que el producto de los t0rminos centrales sea constante 'pta.

H.

Il efectuar: - 2

+ - / n  - 2 − 1/ n + 2 1 − - −1 / n

-e obtiene # t0rminos. @alle el segundo t0rmino. 'pta. J.

$etermine la suma de los coeficientes del desarrollo de: n- 4 − -; 2 / n +1 * sabiendo que uno de sus t0rminos admite como parte literal xJ9, 'pta.

,. CDu0 lugar ocupa el /0rmino que tiene como grado absoluto G ; en el desarrollo de: - 2

+ 2 ;/14

'pta.

Álgebra

10

Quinto Año

. "alcular el valor de 7n8 para que el d0cimo t0rmino del desarrollo de:

&. $ado el binomio: - 2

+ ;/19 !9

n

 - 3 + 1  7 conten
&0491m + . 1= 493  1 n

-

!12

1&

Calc%lar 5

==

'pta.

'pta.

3. -i los coeficientes de los /0rminos #ro 9 2do del 2. El equivalente de: desarrollo de (a)b!n -uman GH. n n  1   2   3   n  "alcular el número de 1 +  1 +  1 +  ...1 +  t0rminos del desarrollo. n*  n   n   n   n  'pta.

'pta.

#. "alcular (m)n! ; si : m* n*∈ K

'pta.

Álgebra

11

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A CA)A . 'educir: x x

2

+

x

2

+

x

2

−

2

+

a! x c!  e! x2

b! x d! - -

2. @allar el valor de 7n8 (2nL+!L (2n!L (2n + !L−(2n!L

a! 3 c! G e! # 10* #. -iendo : a* b*

= JJ

b! 4 d! &

( 2n − 2!

-*+3-*+2-*+2  − =  321

= 42

"alcular: ab : a! 2 c! 2, e! &2

b! 3 d! #,

&. -i se cumple que:

"alcular : (x ) !L a! 4, c! 4 e! G2,

b! 2& d! 2,

3.
Álgebra

12

Quinto Año a 2 b + c/ n es 30

@allar el grado absoluto del t0rmino central. a! 2H b! 2G c! 24 d! 23 e! 2& G. $ado el binomio (x ) a!&. "alcular: !2 . !4 a! 1( - 4 a 4 b! 4 - 4 a 4 c! 1( - 3 a 3 d! 4 - 3 a 3 e! &xa H. En3 el# , desarrollo del binomio (x )x ! . "alcular el s0ptimo t0rmino. a! 210 - 32 b! 210- 34 c! 210 - 3( d! 210 - 3 e! 200 - 32 J. CDu0 lugar ocupa el t0rmino cu9a suma de exponentes de x e 9 sea &H con el desarrollo 2 # H del binomio. (x ) 9 ! . a! , c! 2 e! &

Álgebra

G 2.
a! 2 c! & e! 4

b! 4 d! 2,

b! # d! 3

#. -i en el desarrollo del binomio (#x# ) 2x92! n existe un t0rmino cu9as potencias de 7x8 e 798 son respectivamente 3 9 H encontrar el número de t0rminos del desarrollo. a! G c! J e! 4

b! H d! ,

&. "alcular el quinto t0rminos del desarrollo de:

 

b!  d! #

,. $ado el binomio  4 - + - −1 / n .@allar 7n8 para que el 3to t0rmino resulte del er grado. a! 2 c! H e! 2&

n

   x +  el . $ado el binomio  2  x  t0rmino de lugar G es de la n 2 forma !1 = C1( - . a! J b! 2, c! 2 d! 22 e! 2#

a! 3J c! G, e! J

4



4   + - 

b! 4J d! G

3. @alla el valor de 7n8 1 + 2 2 + 3 3 + .... + n a! G c! 4

n

= &039

b! 3 d! H

13

Quinto Año e! A.I. 4.
a! 3J c! 4G e! J#

b! 4 d! J

9

 07& - 2    + 07&  a! G2 c! J4 e! 2&

b! H& d! 2

G. $ar el número de t0rminos del desarrollo de:  - + ; + z/ ( .

a! 2H b! 34 c! G d! 2 e! #, H. C"uántos t0rminos racionales existen en el desarrollo de:

 & 

-

+

a! 3 c! 4 e! A.I.

1 -

&0

 

b! & d! G

J. En el desarrollo de:  # 2  x  3 +  9

G

9 x

n

   

existen dos t0rminos consecutivos ; el ro independiente de 7x8 ; el 2do independiente de 798.
Álgebra

14

Quinto Año 2,. "onsiderando la expansi%n n de (#x)! os t0rminos consecutivos sexta 9 s0ptima tienen el mismo coeficiente* calcular la suma de coeficientes de dica expansi%n. a! 2 23 c! 2 &3 e! 

Álgebra

b! 4 4( d! 4 23

15

Quinto Año

TEMA: ,ADICACI.N •

$efinimos la raNz n0sima principal de un número real 7a8 denotado por : n

a

-ea: n a = b ⇔ a = b n donde a ≥ 0 ; b ≥ 0 -i 7n8 es par 9 a * b son números reales arbitrarios si 7n8 es impar: a ∧ b son ma9ores iguales a ,. a ∧ b son reales.

7 n 8 par 7 n 8 impar

El sNmbolo n a para la raNz n ? 0sima principal de a se le llama ,ADICA- ; el entero 7 n 8 es el INDICE 9 7 a 8 es el ,ADICANDO. n

Ondice

a

'adicando

CA)O): > -i el Nndice de un radical es 2* 2 a es la raNz "1I$'I$I de a 9 el Nndice se omite* escribiendo s%lo a . > En general* si n ≥ 2 es un entero positivo 9 a ∧ b como real tenemos que:

Álgebra

n

an

=a

* -i

n

es

n

an

=a

* -i

n

es

a

→

a

+ →  −

im ar

-e llama Palor absoluto que lo veremos mas a e an e a

=

a

= −a

a

a es pos v -i a es neg

16

Quinto Año Propiedades b#sicas de los radicales: -ean n ≥ 2 9 m ≥ 2 enteros positivos 9 a * b son números reales* si todos los radicales están definidos. /enemos las siguientes propiedades: !

n

=

ab

a

2!

n

#!

n

&!

m n

=

b

n

a

n

a

n

b

= n

am

=

a

n

b

a /m

mn

a

Observación: -implificar un radical significa eliminar de 0stos cualquier raNz perfecta que aparezca como factor. E/e"plo : -implificar :

3

2 - & ;



2

=

⇒

3

2 - &

3

; 2

3 3. - 3 . - 2 3

2 ;

32

3

2

3

=

3

 3-     2 

-2 ;2

3

3-  = 3    = 3  2 

-2 ;2

-2 ;2

os radicales son valores para definir exponentes racionales de la siguiente manera.

Casos: . -i a  R 9 n Q 2 es un entero* entonces a n a exista.

Álgebra

 n

= n a * siempre 9 cuando

17

Quinto Año

2. -i a  R 9 m ∧ n son enteros primos* n Q 2 entonces a siempre 9 cuando n a exista.

m

n

= n a = (n a ) m

m

Observación: as e9es de los exponentes son válidas para exponentes racionales. •

Estos /0rminos * tambi0n se pueden definir en los conceptos de: > 'acionalizando* > 'adical doble. > Ecuaciones con radicales.

,acionali&ando: 'acionalizando un cociente es rescribir este cociente de modo que el denominador no contenga radicales. Ejm:

,acionali&ar: 3 3

=

4

3 3

4

33 4 2 3

3

4. 4

2

=

33 1( 3

del ejercicio notamos que

3

4

# #

=

33 1( 4

que multiplica ndo

&

#

&

2

tanto en el

numerador como el denominador:

0Por 'u$1 or que : Dueremos desaparecer el radical del denominador.

0Có"o1 a

Álgebra

3

4

m%ltiplicando

3

42 para que salga s%lo &.

18

Quinto Año N

En Reneral : -i

n

;

a a

@a9 que multiplicar por :

n

a

=

al racionalizar: n

a

n −

9a sea en el numerador como el

denominador.

,adical Doble: /iene la expresi%n :

? ±

B

es llamado radical doble:

Ejem : 2+

3

&−

,



Ecuaciones con ,adicales: • -i una expresi%n con radical de Nndice par* contiene una ecuaci%n* tal como: ? .

4

? 7...........7

ara que las soluciones sean Palidas : a ≥ o

E/e": 2- − 3 =

2- 2

− 3- + 4

Inecuaciones con ,adicales: a resoluci%n se basa en los siguientes /eoremas: a + b ≥ 0 ↔ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 • a + b ≤ 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0 •

)i:

Álgebra

19

Quinto Año

[ ] 2

•

a〈b ↔ a ≥ 0 ∧ b 〉 0 ∧ a〈b

•

a〉b ↔ a ≥ 0 ∧ b 0 b〉∨〈 0∧ a 〉b }

{[ ] 2

Operaciones: •

-ea:



   n

• •

•

−

- - -



-

 

Radicales. 1

1

n =1 →

⇒

-

-

1+ 2

2 .1

= - 2 -1 = - 21 2 2 −1

2 - 2. n

n =2

→

- -

=4

-3

⇒

-3 + 4 = -

2-2

=-

22

2 - 2 - 2 −1

n =3 →

=

- - -

⇒

-

- +  = -

2- 2- 2

2 3.1

= - 23

2 2 2 n

•

n=n

→



x x..... x  

 

=

x

2 − 2n

n 'adicales .

•

-i tenemos : 2

Álgebra

a3 a 4 a

=

=

20

Quinto Año +

X

a



#

a



&

a



(multiplica 9 se suma!

(x#)! &) + (&x&! ) + G en el denominador : 2 x # x & + 2& 1 a

Álgebra

3

4

a a a

=

a 24

21

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E .

"alcular x ? 29 si: 1&

2

(

3

2-−; -−;

@ - /

=



=

1

b

= =

4a 3a

32 3

G. a

a

b

a2

−9

- −1

H.

= 12

−-

=

2

2+

3

−

2−

3

4.

2-

-

1−

-

-

-

-

-

--

- +1

'educir:

3n

J.

−

-

−3 n

2

2 'esolver: x . 2
-

2

(x

+

2!

2

2

+ - + 1/- 2 − - + 1/

'pta.

"alcular 7 x 8 si:  -

(

'pta.

'pta. 3.

A −1

"alcular 7 x 8 si: 2 -2

3-

R = - 3 - 2 3 - 3 3 - 4 ......

'pta. &.

2n 3

'pta.

-i: 3a − 21( = 3a − 2 "alcular 7 x 8 en: a −1

4-

'educir: ?=

91− b

'pta. #.

n4

'pta.

"alcular ab si: b

&-

'esulte ser un monomio de 2 grado.

'pta. 2.

=&

= (3

,. Efectuar:

'pta. ara que sea el valor de 7 n 8 la expresi%n:

Álgebra

22

4n

Quinto Año &. -i: ax

5

−

x

=

2 x # a x x x x ....x x

x

a

x

a

-

R =

-

-

1 A−

2

"alcular: 2  −2/

. -i: a = A −A −

2

=

2

'pta.

-

-

@allar

3

⋅

4

2/  −2/ . -

'pta.

−a −1

3. 'acionalizar:

'pta.

10 2 − 3 12 + 3 1

2. -i al 'educir 

-

-



'pta.

-........

 



-

 

20 Radicales

El exponente final de 7 x 8 es de la forma ;

n 20

−1

n 20

; n ∈ A.

@alle : 7 n 8 'pta. #. -i se cumple que: #

23

3

3........ +

a+

4+

4....

= 

"alcular: a a −32 'pta.

Álgebra

23

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A CA)A . -i: m +

3

x+2



=3

;n S

=3

&. "alcular:

;

a +

M

@allar 7 x 8 en 32 m = a!  c! # e! 3

2 − x

8

-i: b

2n

3. 2.
2(# !

+

+ 4(2!

a! 3 c! , e! 2

2x 3

= # ( 4!

3n

n −1

a! 4 c! 1( n 1 e!  n

−2

-

−3n

= &11 −1

b!  −1 d! 2 n n

x 3

-i: I

+b

=3

−b

=

 2

b! 3, d! 42 =

H

H

H

a! 2 c! H e! T

;B

=(

2

2

!

2− 4

b! & d! 4

4. Evaluar:

  2 2 2   

2

−

2 

2

a!  c! 2 e! &

b! 2 d! 2

2

G. Efectuar: #

2 + #

&

2

( 2# 2 −!

(− # 2 !

2

a! 2 c! 3 2 e! 3 2 )

Álgebra

; a

"alcular: IB

 2   

b! , d! 3

#. "alcular 7 x 8-i: 2 -

a

b +

a

a! 3G c! 3H e! 4&

b! 2 d! &

2x 3

=a

b

b! d!

2 3

4

24

Quinto Año

H. -i:

a

b .

b

. 'esolver:

=

a

ab

 1     - 4 

ab

@alle el equivalente de: $

= b

.

1− b

−a

4a

4 a −1

-

a! &V# c! #V2 e! #

b! U d! 2

J. 'educir: a −1

-3

1  =   3- 

-iendo: x > 

a1

a!  c! V# e! &

 1   

 1     - 

b! 2 d! 3

2. @allar 7 x 8 en : - +1

+ 4a

(- ) -2

+ a −1 4

a!  c! & e! T

 1     - 

= (4 - )

a! U c! T e! V4

b! 2 d! U

2

b! U d! T

#. 'esolver: . . . − S

,. >btener #

J + # # −

a! 3 3 c! # e! # 3 3

S

#.

#

# +

− S

=

x

x

÷

x

x

÷

J

b! d!

3

3 3

a! U c! HV2G e! 2V#

b! W d! &VJ

&. @allar 7 x 8 en:  4     3   3  

   4 

-

3

(

a! 3 + 3 c! 3 e! 3 3 3. "alcular:

Álgebra

= 9 3 3- 7 - 〉 0 b!  d! #

25

x

x.....

Quinto Año



-

-



-......







-





1& Radicales

14

a!

2

-

c!

-

e!

−1

-

b!

21& 21& −1

d!

21& 21& +1

21( −1

-

+ 1( 1 = 2 (4 + --

21( 21& −1 1&

-2

−1

a! 2 c! H e! #2

b! & d! 4

21&

-

J. Evaluar: 4. "alcular:

=

$

 

11 + ( 2

a! 3 − 2 b! 3 + 2 2 c! 3 + 3 d! 3 + 2 e! 3 − 2 2 G. "alcular: #

E

= G

a! c!

S S

2 #

1&

- 24 19

- 24

e!

13

2

2

2

22

 

2

2 −1

a!  c! 2 e! &

b! 2 d! 2

2

2,. @allar 7 a 8 -i: S S

2 #

S S

b! d!

2

3

a

+

12 +

12......

=

n

#

-iendo : #n +

2

(+

(.....

11

- 12 13

- 12

a! & c! H e! 4

b! # d! 3

- 24 H. @allar 7x 8

Álgebra

26

Quinto Año

TEMA: ,ADICA-E) DOB-E) /iene la expresi%n : a ±

B

(I ∧ B ∈ Ζ )! es llamado radical doble.

Ejm: 2 + # ; 3 − G -on ejemplos de radicales dobles. En algunas ocasiones es necesario expresar un radical doble como la suma de dos radicales simples (es decir I ± B ! el proceso mediante la cual esto es llevado a cabo se llama transformaci%n de radicales dobles a simples. Aos preguntamos cuando es posible descomponer un radical doble en la suma de dos radicales simples* el siguiente teorema establece para que esto sea posible. /eorema: -i

"

=

I

a± B

2

=

− B es un cuadrado perfecto entonces I

+"

I − "

±

2

2

Transor"ación de un ,adical doble de la or"a si"ples a±2

B =

x ±

9

a ± 2 B

en radicales

; x > 9

$onde: ∧

x.9+B

x)9+I

Ejm: • • •

J + 2 & 4−2

M=

=

3 =

2−

+

2

3 −



G

#

2M = 2 2 − # 2M = & − 2 # #−  = M = 2

( Irtificio !

=

# # 2

−

−

  2

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E Álgebra

27

Quinto Año

. @allar: 7x8

3− 

1( − 2

4

= 2 - − 1/

'pta.:

+

& − 24

@

=

3 +1

'pta.:

4. $ada un funci%n que depende de x:

2. -i:   - / & 2

−4

3

=

(

=

-−

-2

−1

,-

= 2n / + 1

@allar la suma de # primero t0rminos* siendo n ∈ A.

−-

@allar 7x8 'pta.: 'pta.:

G. -i: 2

#. 'ealizar: $

3− 2 2

=

−

30

+ @/ + @

&−2 (

+

&

H. -i:



&. "alcular 7M8 si la expresi%n: 2A

= - +

-

− 1/

-iendo x ≥  'pta.: 3. $eterminar el valor de 7M8

Álgebra

@

'pta.:

4 + 14 &

+2

=

Hallar 7M8

2

'pta.:

@

&

= 1+

@ 2@ 2

−1

'pta.: J. -i " es un cuadrado perfecto C=

?

2

−B

-e cumple:

28

Quinto Año ? B

=

2. -i;

 2

9+n &

X su radical doble tiene la expresi%n ? + B * donde I ≤ 3. @allar 7B8. 'pta.:

=

n

+1 +

n

@allar 7n8 'pta.: #. Evaluar:

,. -i I +  9 B + G2 de un radical doble* se tiene en la expresi%n final a simples:

4

(9 + 2

)(

14 ( − 2 &

)

'pta.: -+4

=

- − 3/

&. 'educir:

@allar 7x8:

(

4−2 3 4+2 3

'pta.:

4 2

=3

'pta.:

2

3

2

(

'pta.:

. -implificar: $

+2

)

3

+ 1 3 1( − 2

4

3. Efectuar la descomposici%n en radicales simple de:

= 1 + 2 + 3 + ... + 2n + 2n 'pta.: $

Álgebra

2n

29

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A CA)A . -i:

4. @allar las soluciones de 7x8:

G + 2 2

−

4+& 2

=E

-iendo: E un radical simple* donde su radical el doble tiene la expresi%n: A + (A − !

2

a!  d! &

b! 2 e! 3

c! #

J − n n

2

− =

3

−

@allar 7n8: b! & e! 2

n 2

GJ + #,

4 −#

a! & d! 3

c! 2* &

b! V2 e! 2

2

b! # e! 4

b! 3 2 &

#

+2

2

b! d! 2 +

2−2 #

2

2+& #

2H + ,

4

2−

c! &

# +

2H − 4

#

b!

−2

#

d!

# −

−

e!

2 − &

e!

2

= E −E

c! 2

3. $eterminar: 7x8 3

− 2

a!

a! & d! 3

c! V&

H. @allar:

E =

2

3

J. 'educir:

c! G

2J − ,

−2

2 + H 3

a!  d! 

a! c! e!

&. @allar 7E8:

Álgebra

 

#

4

b! 4 e! #

a! 2 2 c! 2 3 d! (

4 + 2& 3

=

c! ,

#. "alcular:

x−2 =

2 ! = 4

2 −

b! 2*# e! 2*#

2H + 4 #

a! 4 d! H

+

a! 2*& d! *#

M

2. -e cumple que:

2

2J + ,

 

G. @allar 7M8:

@allar 7A8:

3 + &

x x + (

# #

+

,. @allar 7n8: (2n

a! # d! 4

+ ! + &

3

b! & e! H

=

3

+

n

c! 2

30

Quinto Año . -i: 2H − 4 # − n n −  @allar: & + 2 n − # a! 2 b! # c!  d! 2 2 e! # 2

− (n + !

a! 4 d! 2 #. -i:

+

I "

=

doble: a! c! e!

3

# 2

#−

#3

J−

43

&. 'esolver:

4 + 2& 3

=

#

+

b!  e! V2

a!  d! 3

el

radical

#+

#3

J+

43

3

Álgebra

a! 2 d! U

b!  e! T

c! #

b! 3 e! H

c! V#

J. 'educir:

⋅ (4 + 2 2+2 (

4−2 3

a! 

b! V&

d! V2

e!

(

2

2

c! 2

2

−2

& n

− n2

3

2

@allar 7n8 a!  d! 2

4. $eterminar:

a! 4 d! G

9+4 2

2,. -i:

b! 2 e! &

+

−

c! V#

 − 4

#J − 2 #

c! V#

10

+

H

b! T e! 

2 11 + ( 2

3. $eterminar 7M8: M

2

4

−#

2

H. 'esolver:

#

b! d!

#+2 2

−

n

c! #

@allar

&

−

= 

"

a! 2 d! 2

=

#

b!  e! 2

I

3+ 2 2

a! V2 d! 2

2. -i: 2H

G. @allar:

b! # e! &

c! 3

&+2 #

c! &

31

Quinto Año

TEMA: ,ACIONA-I3ACION $efinici%n: 'acionalizar un cociente es rescribir este cociente de modo que el denominador no contenga radicales. IquN la idea principal para lograr lo que la definici%n se pide determinar una expresi%n adecuada de modo que* al ser multiplicada por el radical en el denominador* el nuevo denominador no tenga radicales.

Factor ,acionali&ante 4F2,25: Es el menor número irracional que multiplicado por otro irracional da como resultado un número 'acional. [Aúmero
Ejemplo: ( 2

2

!( 2!+H Y'* es el menor número irracional.

"asos:

I5

PA,A MONOMIO: m

?n

×

= ? ∼ I es primo.

N

Ejemplo:

→3

R 3

22

×3 2 = 2 ↓ ↓ primo Y.'. 22

IsN concluimos: R =

Álgebra

n

?

m −n

; I un número primo

32

Quinto Año II5 PA,A BINOMIO: IquN consideramos como productos notables:

( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 ( a − b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 − b3 >B-: ara denominadores: Z Z Z

2 n +1

± 2 n +1 b → sale: a ± b

a

+ 2 n b no acepta " ? A 2n a − 2 n b → sale a ? b (or " ? A! 2n

a

CDu0 es " ? A

C 6 N 4Cociente Notable5: -ea:

− ;n ; n ∈ AZ -−;

-n

Deinición: (" ? A! es el cociente de la divisi%n anterior siempre 9 cuando la divisi%n sea exacta. CA)O <:

+ ;n -i: -+; -n

⇒ x ? 9 + , → x + 9 → '(x! + xn ? (x!n

'(x! + ,

−; + xn ?  ) xn ? 29 ) xn ? #92 ) [ ) 9n -−;

-

CA)O II:

Álgebra

n

n

n:
33

Quinto Año

-i:

x

n

n

+9 + xn ?  ? xn ? 29 ) xn ? #92  [  9n   x+9

n: ar

CA)O III:

-i:

x

-i:

x

n

n

− 9 + xn ?  ? xn ? 2 9 ) xn ? # 92  [  9n   x+9

Observación: m

x

a

p

±9 ; Renera " ? A b ±9

-e cumple: ! n + número de t0rminos del " ? A. n

=

m a

=

p b

2! Es el " ? A los exponentes de la primera base (xa! disminu9en de a en a* mientras que las exponentes de la segunda base (9b! aumentan de b en b. Ejemplo: •

•

Álgebra

− ; = - 3 + - 2 ;2 + -;4 + ;( 2 -−;

-

4

+ ; 2& = -12 − - 9 ;& + - ( ;10 − - 3 ;1& + ; 20 3 & - +;

-

1&

34

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E . -implificar: 3 2

3. @allar 7x8: si x < ,

+(

x2 ) mx ) m + ,

12

10

'pta.: 2. 'esolver: 9 2 2

−1

−

9



-&;2

'pta.: G. 'acionalizar:

10

−1

−

20

1

2

4

'pta.:

1 + 12 2

−

2

'pta.:

&. $eterminar: E2 ? 2. -i:

'pta.:

3 +1

3

1 2

#. @allar:

$=

3



−

4. 'acionalizar:

'pta.:

2

12

Idemás: m =

9 3− 2

−

2 3+ 2

H. -i: 1 12 + 140

=

a+2

−

a

2

@allar 7a8 'pta.: J. @allar: 7E2 ) 8

Álgebra

35

Quinto Año #. 'esolver:  3 G −2 

E=

2

   − 4 

2

1

4

3+

n

2

⋅ 2n & − 2

(

'pta.: 'pta.: ,. @allar: &. 'acionalizar: 4

1

 + 2 12

10 − 2 1(

−

3 2

'pta.: 'pta.: . 'esolver 7m8 3. @allar: (m! 11 11 − 2 30

+(

m−

m +1

)=0

1 1( + 2 &&

'pta.:

=

2m + 1 −

m

'pta.: 2. Efectuar: 1 12

3+ 2

⋅4

3+ 2

⋅

3− 2

'pta.:

Álgebra

36

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A CA)A . El

valor 2

2−

'acionalizado

de:

− 3+

es:

2

a!

a! 2 − c! 2 +

b!

2

&+2 2

d!

2

c!

&−2 2

e!

e!

2+ 2 2

+ #−

2 2

−&

#

#. @allar: 7a8

#, +

G,&

a! # c! #V2 e! & &. 'acionalizar:

Álgebra

#

3

# +

#

−

2

#

& − 3

d!

2

3

& +

b!

&

2

4

#

 − 2 x

2

Es un número entre # 9 &.
=

#

−

G



a! b! c! d!

2

2

3. "alcular 7x8:

2. a sgte. Expresi%n: #

+ 2+

3

G + 2a

−a

G − 2 ,

a! #, c! 2, e! ,

&

+

H+& #

b! 3 d! # #

4. 'acionalizar:

a!

3

−

2

c!

3 − #

2

e!

3 − 2 ,

G

b!  d! 2

#

=

b! d!

#

G. 'acionalizar:

−

3

2

#

2 3

−

2

2 2 +

#

3

#

37

Quinto Año

a! c! e!

#

J

b!

# #

#

H #

e!

2G 2

#

d!

+ 2− #

2 # # 2 G2

+

3,

−

H

se obtiene: a! V# c! 2VJ e! HVJJ

#

#

+# &

#

c! d!

+# &

4

a

b

Álgebra

+

2

b

−

ab

a

2

2

+a

−

b! d!

#

−

2

2

2

4

+

2−

2 #

−

  − 2 #,

#

+

b!  d! 2

G

−2

#

2 2

+b +a

es:

a! J c!  e! G

#

3 3

b! G d! #

&. 'acionalizar:

b

+b

#

+ 2+ # −

a a

G+& #

# −

−##

&

÷

2+

,. a expresi%n: a! b! c! d!

2+

G #

−a

#. $espu0s de racionalizar el denominador es:

+ 2# 2 − # 2

J

2

a! , c! 3 e! 4

G #

#

H + 2 2



a! − ( # + & ) b!

a! c! e!

2



#

#

+b

2. Efectuar:

b! VJ d! &VJ

J. 'acionalizar:

#

2

. Efectuar:

4 #

#

H. -implificar:

a

+b

−b

2

− 2b!( (3a − 2b

(a 3

− #!( &3 + &! 3! ( 2 − 3 ! 3

38

,

Quinto Año

a!

&

( 3+ 3

c! 3

+

(

# 3

, ,

)

b!

3

G. -implificar:

+J



− 3)

d!

x + 2+ 2 x +

,

#

a! b! c!

+

2

x + 2 − 2 x +

a! 2 c! V& e! &

e! A.I. 3. 'acionalizar:

−

−

#

b! V2 d! V#

H. 'acionalizar: &

(

# +

2

+

#

4

J

− # # +

3 #

( &

#

( 2+ J +

2

d!

a! # # +  b! # 4 + 2 c! # # + # d! 2# # +  e! # J + # # + 

#)

4+

2+ 4

)

+2

4 &

e! A.I.

J. -implificar:

4. 'acionalizar:

− − x − +

x

a! b! c! d! e!

Álgebra

x

x

2

2+

+2 x +

x

− +

2

++ x

2

− + x

x

x x

+− 2

x

2

+

# 2+

a!  c! e!

2−

+ #

2

−

2−

b! d!

# #

# # 2 2+

#

+

2,. Efectuar 9 reducir: −

− − x

39

Quinto Año 24 +

− 24 − # 24 + 4G3 + # 24 − 4G3

4G3

c!

4G3

e! a!

3 2 &

Álgebra

b!

3,

3, 24

d!

&,

3 2

2

40

Quinto Año

TEMA: N7ME,O) COMP-E8O) Deinición: -e denomina asN a la reuni%n de todos los conjuntos num0ricos existentes siendo el conjunto universo: el conjunto de los números complejos 7"8. $ado por:

" + ](x * 9! V x * 9 ∈ '^

Con/unto Nu"$ricos: $e acuerdo a la jerarquNa se clasifican en: . "onjunto de los números "omplejos. 2. conjuntos de los números
E9presión I"ainaria: /radicionalmente se denomina asN al resultado de extraer signo radical de Nndice por a números negativos. Ejm: Z −4 Z 2000 − 1 Z 4 − 2001 ;nidad I"ainaria: -e denomina asN al resultado de extraer 'aNz "uadrada al número 78 9 se simboliza como la letra 7i8. Potencia de la ;nidad I"ainaria: "onsiderando: i, +  • • • • • •

∧

i + i

i + i i2 +  i# + i i& +  i3 + i i4 + 

Propiedades: . in ) in )  ) in ) 2 ) in ) # + 2. i& + &6 ) n #.  + in

Álgebra

∀ n ∈ K ∀ & ∈ K ∀ n ∈ D

41

Quinto Año N!"ero co"ple/o: (K!* se define como un par ordenado (x ; 9! donde: K + (x ; 9! + x ) 9i V ]x * 9^ ∈ ' ∧ i +

−1

→ x: arte 'eal del "omplejo K + 'e (K! → 9: arte
ara: K + & ) #i ;

Re 6/ = 4  tenemos  'm 6/ = 3

Clasiicación de los n!"eros co"ple/os: -ea: K + x ) 9i V ]x ; 9^ ⊂ '
-i 9 + , → K + x ; -i x + , → K + 9i ; -i x + , ∧ 9 + , → K + ,;

número 'eal.

∧

K2 + a ) bi

-i se cumple: K + K2 > sea: x ) 9i + a ) bi /enemos;

x + J ∧ 9 + b

N!"eros Co"ple/os Especiales: $ado el complejo:

Álgebra

42

Quinto Año

K + x ) 9i V ]x ; 9^ ⊂ ' se definen 2 nuevos complejos:

<5 Co"ple/o Con/uado de 3:

K + x ) 9i

6 + x ? 9i

=5 Co"ple/o opuesto de 3: Kop + K + x ? 9i Kop + complejo opuesto de K Ejm: ara: 2 ? 3i • •

6 + 2 ) 3i

Kop + 2 ) 3i

para los 2 casos

Plano Co"ple/o: << Eje
, olo

>

eje real

lano Rauss

Álgebra

43

Quinto Año > >

$iagrama de Irgan_d $iagrama de `enssel

Álgebra

44

Quinto Año >

;bicación de 3 en el plano: <<

-ea: K + x ) 9i + (x ; 9!

9

(x ; 9! K

S

'

*Modulo de un n!"ero Co"ple/o: 435 $ef: es la distancia del polo al punto fijo de K. Matemáticamente: 6

Ejm: ara:

=

-2

+ ;2

K + # ) &i 6

=

32

+ 42

→ K + 3

ropiedades: ! 2! #! &!

K ≥ , ; ∀ K ∈ " K ) K2 ≤ K ) K2 K +  6  + Kop K . K2 + K .  6 2

3!

61 62

=

61 62

; K2 ≠ ,

4! Kn + Kn ∀ n ∈ ' G! K . 6 +  6 2 + K2 Ejm: -ea:

Álgebra

K + 2 ) #i

45

Quinto Año ∴ K . 6 + > (2 ) #i! (2 ? #i! + 2 2 ? (#i!2 + & ) J + # 2 K2 + ( 22 + 32 ) = 13

,epresentación de N!"eros Co"ple/os: 1) Yorma polar o trigonom0trica: '

X K 

I fijo K -en θ

θ

' olo

K "os θ

En la figura se muestra al componente: K + (x ; 9! + x ) 9i ; luego: K + K "osθ ) i K -enθ K + K ("osθ ) i -enθ! → lamemos

"osθ ) i -enθ + "osθ .

∴ K + K  "os θ θ: Irgumento rincipal. ⇒ menor ángulo principal positivo; la cual verifica:

/gθ + $e (
Álgebra

; -

[ (
θ +Irc /g (9Vx! 46

Quinto Año

Ejm: K +

3

)i < 

K

θ 3

 /g



K =

( )

θ=

# #

2

→ θ = #,° =

'

π 4

+ 2 = 2

(

K = K "osθ ⇒ K = 2"os π 4

)

Operadores: "onsideramos a las siguientes complejos: K + K "osθ ; K + K "osθ K2 + K2 "os θ2

I5

Multiplicación: K ⋅ K 2

=

K K 2 "os

( θ +θ2 )

II5 División: K K2

Álgebra

=

K2 K2

"os

( θ −θ 2 )

; K2

≠,

47

Quinto Año <<
I>5 I>5 ,a ,adi dica caci ción ón:: n

K

=n

K "osθ

=n

 26π + θ    n  

K "os

5 + ],* * 2* #* &* 3* [* n ^ ^ Ejm: >btener # raNces cúbicas: H -ea: K + H K + H "os (π! K

#

= # H "osπ   26π + π  i # K = 2 "os    + #    5 5

=

5

=

K

, → K =  → K2 2

→

K#

+ = −2

#i

−

#i

=

=

-en

 26π + π       #   

For"a E9ponencial: $ado un complejo K + x ) 9i V ]x ; 9^ ∈ ' su forma exponencial se define asN:

Álgebra

48

Quinto Año K + K eθi

Álgebra

49

Quinto Año $onde: θ : Irgumento* en 'adianes ∈ : Aúmero de Aaipier + 2*GH2

Ejm: Expresar en forma exponencial: a! K + i → K + i +  θ + π V 2 π

6=i

=e

2

i

For"ula de Euler: -ea el complejo K* tal que: K + K ("osθ ) i-enθ! K + K eθi
,a?ces n+esi"as de la unidad: -ea: K +  ; obs que K +  uego:

K + "os (,!

Yinalmente las raNces nesimas se obtienen asN: n

K

 26π  = n "os   n  

Caso Particular: 'aNces "úbicas de la unidad: K+→

Álgebra

#

 26π 

G + "os   #    

50

Quinto Año

 26π   26π   ) i -en   # #    

⇒ "os 

-i 6 + , →

3

6 + "osθ ) i-enθ + 

-i 6 +  →

3

6 + "os 

-i 6 + 2 →

3

 2π   2π   ) i-en   + −  + 2  #   # 

6+ −

 2

−

# 2

i=`

2 # i=` 2

"onclusi%n: * `* `2 son las # raNces cúbicas de la unidad 9 verifican: !  ) ` ) `2 + , 2! `#5 +  Idemás:

6: múltiplos

`#5 ) m + `m

Rraficando: '

•4,  4,

•

rea:

•

D2 3 4

' X+

#

∴ Irea :

# # &

Yormula de $EM>
Álgebra

51

Quinto Año Irg (Kn! + nIrg (K! + nθ $e esto: si K + x ) i9 + r("os θ ) i-enθ! + r("osθ * i-enθ! + reiθ Kn + (reiθ!n + r neinθ + r n ("osnθ ) i-ennθ! En particular si: -+ (eiθ!n + ("osθ * i-enθ!n + "osnθ ) i-enθ Ejercicio: Perificar que la formula de $emoivre se cumple para n ∈ K.

• "alcular:

( & + i& # )

⇒ & + i&

#

∴ ( & + i&

#

3

iπ   i #   π π   = H  "os + i-en  = He # = H  +  #   2 2   #

) 3 = H 3   "os 3#π + i-en 3#π   

=H

3

   −i 2 



# 2  

 

Polino"ios sobre los co"ple/os: 1n polinomio sobre el conjunto de los números complejos tiene la forma: (K! + anKn ) an ? Kn ?  ) [ ) aK ) a,K, $onde los a; ∈ ⊂ 9 K toma valores complejos* n es segundo.

Teore"a: /odo polinomio: (K! + anKn ) an ? Kn ?  ) [ ) aK ) a , sobre el campo de los complejos con n > ,* tiene exactamente 7n8 raNces* algunas de los cuales pueden repetir 9 (z! puede ser expresado de la forma:

Álgebra

52

Quinto Año

(K! + an(K ? r ! (K ? r 2! [ (K  r n! .

Álgebra

53

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E . -implificar:

+ i321 + i 49 + i&0 + i1 i1921 + i1932 − i19(0 + i193 − i193 i 2

$

= − 2& i + i

'pta.: 4. @allar el valor de 7a8 para que sea real el complejo:

'pta.:

6=

2. "alcular: $

=

4i + 3

+

3 − 4i

2 − ai 1 + 2i

'pta.: G. 'educir:

'pta.:

(1 + i ) 19 8= (1 − i ) 1

#.
'pta.: R =

&0 4 + 3i

+

1 1− i

+

'pta.:

1 1+ i

H. -i: K + & ) #i; allar el valor de: E+  ) K2   ? K2 donde K ∈ " 'pta.:

&. 'educir: D

= (1 + i ) 4 + ( 1 − i ) 4

'pta.:

J. -ea K + x ) 9i* tal que: K#J +  ; K ≠ . @allar: 'e (K ) K2 ) K# ) [ ) K#G! 'pta.:

3. 'educir:

Álgebra

54

Quinto Año 1 + 4- 2i

,. -i:

6

=

i+

3

. "alcular: 6 −

-

2

−i

*; x ∈ A 3 4

i

&. @allar el área del triángulo formado por los afijos de 6 ; 6 con el polo* sabiendo que: 6⋅6

= 1( ; 6+6 = 4

'pta.: . $ados los complejos: K + & ("os23  i-en23! 9 K2 + 2("osG, ) i-enG,!. "alcular:

61

62

'pta.: 3. "alcular: M=

"os23° ⋅ "os#° ⋅ "os2° "os( −24°! ⋅ "os( −22°! ⋅ "os( &#° !

'pta.: 'pta.: 2. "alcular el m%dulo argumento principal de: i

9

3π

i 1 − i   2 6 = −2  • e  2 

'pta.: #. @allar el complejo de K a partir de: Irg (K ) a! + π V 2 Irg (K  a! + Gπ V 2

a ∈ '

'pta.:

Álgebra

55

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A CA)A . "alcular: i

−1

− i −3 + i −2& − i −10 + i −200 + 2i −( −2 −( − −1& − 323 i −i −i +i −i a! # c! i e! 

b! # d! #i

2. Efectuar: 1+ i

)=

+

1− i

1− i 1+ i

+

1 + i/4

b! 3 d! #

( i + 11)( i + 1)

−&

−

i − 1/ 

11 − 1&i

a! V& c! 2 e! 

(4i

b! V2 d! 

$=i

+i

a! , c! # e! #i

Álgebra

b! i d! ,

@

=

(1 + i ) 2 (1 + 3i ) i −3

a!  c! , e! ,

b! 2 d! 2

G. @allar: E + i2 ) 2i& ) #i4 ) [ ) (2n  !i&n ? 2 ) 2ni&n n∈ K) a! n c! , e! &i

&. "alcular: 1( 1& 1314

a!  c! ?i e! ,



#. -implificar:

12 11 910

− 29 i @= 1+ i

4. 'educir:

a! # c! 2 e! &

)=

3. 'educir:

20 19 11

b! &n d! 2ni

H. -ea:

+i

6

b!  d! #i

=

3 + &i & + 3i

+

4 + 3 2i 3 2

+ 4i

@allar: 'e (K!

56

Quinto Año

a! −

c! 3i e! &i

3 + 2 2 G

b! − 91

2.
c! J

G d! 30 + 24 2 e!

d! &i

E

2 + 2i/1 + 3i/

=

1 − i/ 

3 + 2 2 G

J. "alcular: K + ( ) i!G ) (  i!G a! 2#4 c! 2#4i e! 2Hi

b! 2H d! 2#4i

,. -abiendo que: m* n* x* 9 ∈ '. además: m + ni

=

- + ;i

m;2

n

n( n + )

b!

2

n( 2n + 3

d!

# n( n + )

+ ;4

a! 4 c! H e! ,

b! 2 3 d! 2 2

K + ( ) i!2 ) ( ) 2i!2 ) ( ) #i!2 ) [ ) ()ni!2 ; n ∈ K)

c!

n2

3i/

#.
a!

@allar el equivalente de:  =

a!  c! 2 e! 2

+

b! & d! 2i

4

e!

n 4

( 2n + 3)( − n)

. -ean:

= −& + 4i E2 = 3i + Ei

&. @allar:

E1

 #K   'e  K + 2K 2 

@allar:

( ) ⋅ Re E /

'm E 2

a! 2i

Álgebra

2

b! 3i

a! # c! 

   + 'e 4K 2   K + 2K 2   

    

b! # d! , 57

Quinto Año e! 2 3. 'esolver: En " : K2 ) 2K + , ; K ≠ (, * ,!

I* b ∈ ' ; a ≠ , "alcular la parte imaginaria del conjugado de: Y()2i! . f(2)#i! ..... f(JJ),,i!

'e (#K! ?
b! & d! 2

J. @allar el m%dulo de: K +  ) "osG& ) i-enG&

4. "alcular 7n8:

(1 + i )

(1− i )

nn

-abiendo:

= −072&

a! 4 c!  e! &i

 ) "osα + 2"os2α a! *G c!  e! *H

b! V& d! 2

G. $ado: 6

=

21 + 20i

a! #3 c! #& e! #&

+ 3i − 2

b! 2J d! 3

<.

Kn + Kn ; ∀ K ∈ " ∧ ∈ K)

<<. K ) K22 ) K ? K22 + 2]K2 ) K22^ ∀ K* K2 ∈ " 2

<<<.  3  + K + K; ∀ K ∈ ".

H. -abiendo que:

+ bi/ =

b! *3 d! *4

2,.

 a

b! 199 d! − 100

b − ai a 1 − i/ + i

a! PYY c! PPY e! PPP

b! YPP d! PYP

$onde:

Álgebra

58

Quinto Año

TEMA: TEO,@A %ENE,A- DE EC;ACIONE) Ecuaciones: (
3x ? # + #x )  2x + → x + 2

Xa que: 3(2! ? # + # (2! )  G+G

Clasiicación de las ecuaciones: • as ecuaciones pueden ser: . Ecuación posible o co"patible2+ Idmite soluci%n. ueden ser: > >

$eterminada. \ limitado de soluciones.
2. Ecuación I"posible inco"patible o absurda2+ Iquella que no admite soluci%n #. Ecuación Alebraica2+ ueden ser: > >

'acional. ueden ser racional entera o fraccionaria.
Álgebra

&x ) J + x2 ? 2 → racional entera. S + (#! 9 x +G 3- − 1 -−4

=

& - −1

→ racional fraccionaria.

59

Quinto Año

(#!

- +1 &

+

1 - +1

= 3 →
&. Ecuaci%n /rascendente. -on no algebraicas. Ejm: (! log - + 1 + 1 − 2 = 0 (2! ax )  + 3 (#! -en #x )  + ,

(

)

Ecuaciones Equivalentes: -on ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ejm: 3x ? # + 2x ) J &x ?  + x )  #x + 2 #x + 2 x+& x+& Imbas soluciones es x + &* son iguales.

Ecuaciones de pri"er rado con una incónita: $efinici%n: 1na ecuaci%n de primer grado o lineal con una inc%gnita es aquella que puede reducirse a la forma: ax ) b + , -iendo: a 9 b coeficientes 'esolviendo ax + b → asando b al segundo miembro con signo cambiado. . $e acuerdo a los valores que tomen a 9 b pueden suceder: ! -i a ≠ , * b ≠ , tendremos: -

=−

b a

2! -i a ≠ , 9 b ≠ , tendremos: x+, #! -i a + , 9 b + , tendremos: ,x + , >bservamos que x puede tomar cualquier valor.

Álgebra

60

Quinto Año &! -i a + , 9 b ≠ , tendremos: ,x + b >bservamos que esta soluci%n es absurda. Ejm: . 'esolver 9 discutir: m2 (x ? ! + 3 (3x ? m! -oluci%n: Efectuando:

m2x ? m2 + 23x ? 3m (m2 ? 23! x + m 2 ? 3m (m ) 3! (m ? 3! x + m (m ? 3!

Discusión: (! -i m2 ? 23 ≠ , m(m − 3! m x = = ⇒ (m + 3!(m − 3! m + 3 (2! -i m + 3 ; ,x + , a ecuaci%n es compatible indeterminada. (#! -i: m + 3 ; ,x + 3, a ecuaci%n es incompatible.

• )olución e9traa de una ecuación: 1na soluci%n extraFa (jamás! verifica la ecuaci%n inicial. Ejm:

x# + 2 : tiene # soluciones. (x#!& + 2& x2 + 4 → tiene 2 soluciones.

∴ Entonces a9 J soluciones extraFas.

Álgebra

61

Quinto Año

• )olución despreciable de una ecuación: -on soluciones o valores que se pierden durante el procedimiento de 'esoluci%n. x2 + H → 2 soluciones S& + 2 → & soluciones

Ejm:

@a9 H soluciones despreciables

or lo general: -on ecuaciones parciales equivalentes

• I + B In + Bn

-on ecuaciones parciales equivalentes

• I + B n

? =

n

B

Iparecen soluciones extraFas

Iparecen soluciones despreciables

Ecuación de )eundo %rado: ax2 ) bx ) c + , x → inc%gnita

Yorma Reneral: @a9 dos soluciones:

-1 =

− b +

b 2 − 4ac 

 2a  2 − b − b − 4ac  -2 =  2a

$os formas de resolver una ecuaci%n de 2do grado

Discusión de las ,a?ces2+ -e define como discriminante de la ecuaci%n: ax2 ) bx ) c + , ; a ≠ ,

Álgebra

62

Quinto Año

$ + b2 ? &ac $ → $iscriminante ! -i $ > , 2! -i $ + , #! -i $ < ,

; las soluciones son números reales diferentes. ; las soluciones son números reales iguales. ; las soluciones son números complejos conjugados.

ropiedades de las 'aNces: -ea: x * x2 raNces de ax2 ) bx ) c + , ; a ≠ ,

• -uma: x ) x2 + bVa • producto: x ) x2 + cVa • $iferencia: x ) x2 +

D ; x > x2 a

'econstrucci%n: x2 ? (suma de raNces! x ) (producto de raNces! + ,

Álgebra

63

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E 1.

ara que valor de m: las raNces de la ecuaci%n: 2 x + #x m − * serán = 3 x + 2 m + iguales en magnitud pero de signo contrario.

'pta.: 3. 'esolver la ecuaci%n. -−

-

2

− 21 = 

'pta.:

'pta.: 4. $ar los valores de x: -−2

2. 'esolver: &- − 2 2

−

3- + 4 3

=

- − & 4

- −3

−1

+

- −3 -−2

=

& 2

'pta.:

'pta.: G. $ar los valores de S: #. 'esolver: &- − 2 3

=

2- 2

- −1 2

+

- + 1

+ 3- − 3 + 'pta.:

H. 'esolver:

+ 3 14 − =2 3 3 14 + - − 14 − 3

&. 'esolver:

− 4- + &  - + 3  −2 = 2 - + ( - + 10  - − 2  2

+ 3- + 9 = 0

(

'pta.:

-

2- 2

14 + -

'pta.: J. @allar el valor de x:

Álgebra

64

Quinto Año 13. @allar α tal que la ecuaci%n 4- 2

+-+

9- 2

+ &- +

-2

tenga raNces iguales:

+

= 1 + 2-

(α ) &! x2 ?  + (2α ) 2! x  α

'pta.:

'pta.: ,. 'esolver: 1 2+ -

−

+

&. 'esolver: 2+ -

+

-

=

3



-

'pta.:

&− -+3

+

-+3 &− -

=2

'pta.: . 'esolver: x

2

− 2x + 2G +

3. @allar el conjunto soluci%n de: x

2

− 2x + #3 = 2

'pta.:

2

x

2

+#−

2x

2

− #x + 2 =

# 2

( x + 2)

'pta.: 2. @allar m* n tal que tengan igual soluci%n: (3m ? 32! x2 ? (m ? &! x ) & + , (2n ) ! x2 ? 3nx ) 2, + , 'pta.:

Álgebra

65

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A CA)A a#;

. 'esolver la ecuaci%n:

b +

2 (−

+

-

(−

-

2 -

=

x −a

& 2

&+ -

& 2 -

+&

a! ]3V&^ c! ]J3^ e! ]3V& * J3^

=

+ +

x

#

&

b! ]&3V& * J3^ d! ]3V& . &3V&^

x+#

x

+

a! ]2^ c! ]#V2 * 2^ e! ]3V2 * 2^

x

−

−

# x

−

=

x

b +

b! #V2 d! #V3

a! # c! & e! 3

b! ]#V2^ d! ∅

b! 2 d! ,

4. -i r* s son las raNces de la ecuaci%n x2 ) bx ) &c + , ; (2r ) b!* (23 ) b! de x2 ) mx ) n; allar: E

=

m b

#

&. $ar: a2 ) ab ) b2* para que las raNces de la ecuaci%n sea igual

Álgebra

x −b

(

#. 'esolver: x

a +

+

3. @allar los valores de 6 de modo de que las raNces de la ecuaci%n &x2 ? 4x ) 6 2 + ,* est0n en el intervalo 〈 * #〉 * si 6 ∈ [a * b〉 ∪ 〈c * d]. @allar 7a ) b ) c ) d8

2. 'esolver:

+

x −b

x−a

=

a! # c! #V& e! V#

a! ]J * 4V3^ b! ]#4V23 * ,^ c! ]J * #4V23^ d! ]J^ e! ]4V3^

-

a +

+

a!  c! & e! V2

2

2

− &n

− 4c

b! 2 d! H

G. 'esolver: (x ? 3*3!& ) (x ? &*3!& +  a! 3*3

b! &*3

66

Quinto Año c! &*3 d! #*3 e! 4*3 H. $ada la ecuaci%n ?x2 ) mx ? m + #. @allar si existe el menor entero m para que una de sus raNces sea menor que ,. $ar la suma de las cifras 7m8. a! # c! & e! 4

b! 2 d! 3

? + 2

B

. @allar 7I ) B8

a! 3 c! H e! 4 ,. 'esolver

b! # d! G

ecuaci%n: 3 2 − - = 1 − - − 1 . $ar la suma de todas las raNces. a! 2 c! , e! #

la

b!  d! 2

. -i a ≥ * obtener la suma de las soluciones reales de la ecuaci%n: a − a + - = - .

Álgebra

b! c! d! e!

J. 'esolver la ecuaci%n: 4 3 & # x ? Jx ) #,x + &3x ? #,x2 ) Jx ? . -i una raNz es de la forma

a! V2

−1+

4a + 3 2

1+

1 + 4a

1−

2 1 + 4a

2

−1+

4a

+&

2

2. $ar (m ) n! para las cuales las ecuaciones: (m ? 2!x2 ? (m ) 2!x ? (n # ) 4! + , (m ? !x2 ? (m2 ) !x ? (&n# ? &! + , /endrán las mismas relaciones. a! # c! 3 e! 

b! 2 d! &

#. @alar 7m8 a fin de que la suma de las raNces positivas de la ecuaci%n bicuadrada: & 2 x ? (#m ) &! x ) (m ) !2 + , sea 4. a! # c! #& e! 3

b! 2# d! 4

&. 'esolver la ecuaci%n:

67

Quinto Año ε) ∅ + x

−

2x

+x

2

+ x

+

2x

+x

2

# = a  

2+x 2

+x

+ −

  x  x

G. 'esolver: F - F

a! (a ? !2

b! 2a

2 ( a − ) c!

c!

2a

a (a − !

e!

2

  - /

3. -i el conjunto soluci%n de la ecuaci%n: mx2 ) nx ) 2 + ,* es

 α 7 α  * calcular 7n8.    α + 1 2α − 1 a! , c! , e! 3

b! 4 d! 2

4. -i ∆ es el discriminante positiva de la ecuaci%n: -

2

19  − ∆ − 1/- +  ∆ +   = 0 4  

determinar soluci%n: a! b! c! d!

]3V2 * JV2^ ]3V2 * V2^ ]#V2 * JV2^ ]#V2 * V2^

Álgebra

- −1

=

-+(

b! A d! ],^

H. -i x es un número real* que valor num0rico no puede tomar la expresi%n:

2

( a − ! a

− F - −1 F + a! [ * ∝〉 c! [, * ∝〉 e! ], * ,^

el

conjunto

=

+ 2- − 11 2 - − 3/

-2

a! 3 c! , e! ,

b! #3 d! 

J. -i una de las raNces es el cuadrado de la otra de la ecuaci%n. x 2 ? ax ) b + ,*

+ b 2 calcular 3a − 1 a3

a! a c! Va e! 

b! b d! V4

2,. El perNmetro de un rectángulo es J,m 9 su área es superior a 3,&m2* si sus lados son números enteros CEn cuanto excede el largo al anco a!  c! # e! 3

b! 2 d! &

68

Quinto Año

TEMA: INEC;ACIONE) Deinición: Es una desigualdad. Desiualdad: Es una relaci%n que nos indica que una cantidad o expresi%n es ma9or o menor que otra. Estos se establecen solo en el campo de los números reales. )inos: (-irven para designar a las desigualdades!

• ≠ → diferente a • > → ma9or que • < → menor que /ambi0n: • •

≥ → ma9or o igual que ≤ → menor o igual que

∝

)∝          & # 2  ,  2 # & Menores de cero (!

→ -i → -i

Ma9ores de cero ()!

a es ()! ↔ a > , a es (! ↔ a < ,

Deiniciones: . -e dice que una cantidad 7a8 es ma9or que otra cantidad 7 b 8* si la diferencia (a ? b! es una cantidad positiva* es decir: a > b si a ? b > , Ejm: 2 > G → porque 2 ? (G! + 3 * es ()! 2. En caso contrario:

Álgebra

69

Quinto Año a < b a?b< , Ejm: # <  → # ? (! + 2* es (! -i

#. -i: a >b ∧ c < d son desigualdades de sentido contrario.

Propiedades de las Desiualdades . -ea: a > b -i se le suma o resta: c a ± c > b ± c

(A> PI'
2. -i los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad* el sentido de la desigualdad A> PI' b →

-i: 9

c > ,

ac > bc a c

>

b c

#. -i a > b ∧ c < , "umple:

<   se invierte a b  <  c c 

ac bc

&. -i a > b ∧ b > c → a > b > c → a > c

3. -i a > b ∧ c Q d → -e cumple: a ) c > b ) d

4. -i a > b ∧ c < d

Álgebra

70

Quinto Año

-e cumple: a ? c > c  d G. -i a > b ∧ c > d ⇒

b > , ∧ d > ,

-e cumple: ac > bd "onsecuencias: -i a > b siendo b > , n

→a >b

n

+ n a > +n b H. -i: a > b ∧ c < d siendo b > , ∧ c > , -e cumple:

a c

>

b d

C-A)E) DE DE)I%;A-DADE): . Desiualdad condicional o inecuaciones: -on aquellos que verifican solo para determinados valores o sistemas de valores atribuido a sus inc%gnitas 9 para los cuales están definidos def inidos sus miembros. Ejm:

#x ? 2 > # x > 3

2. Desiualdad man cual cualqu quie ierr valor valor o sist sistem emas as de Desiualdad Incondicio Incondicional: nal: /oman valores. Ejm:

a2 ) 3 > , 7a8 toma cualquier valor real. -oluci%n;

a2 > 3 ero como

a2 ≥ , ∧ , > 3 a2 ≥ 3 es >BP<>

Clasiicación de las Inecuaciones de acuerdo a sus soluciones: <2 Ine Inecuac cuació ión n Po Posi sib ble: le:

Álgebra

71

Quinto Año a. Inecuación deter"inada: -ea: (x ? 2! (x ? &! < , 0

2

4 +

+

orque 2 < x < & (9a esta determinada! b. Inecuación Indeter"inada: -ea (x ? #! 2 )  > ,* cuando satisface para cualquier valor de x. 2. Inecuación I"posible o absurda: "uando carece de soluciones: E/": S2 < 2 (es imposible! a.

Inecua Inecuació ción n e'uiv e'uivalen alente: te: soluciones.^ Ejm: #x ? 3 >2x )  3x ) 2 > & (x ) 2!

"uando

tiene

las

mismas

Inecuaciones de Pri"er %rado con una incónita 1na inecuaci%n de primer grado con una inc%gnita es aquella que puede reducirse a la forma: -i:

ax ) b > , % ax ) b < , ax ) b > , -

-i:

>−

b a

ax ) b < , -

<−

b a

-i a + ,* la inecuaci%n se reduce a:

Álgebra

72

Quinto Año

b > , ⇒ ara todo valor de x; es positivo* lo cual se denomina ecuaci%n indeterminada. Ejm:

'esolver la inecuaci%n:

2x −  3

+

#x − 2 4

>

2x +  2

+

2 #

-oluci%n: 3 ? 4 ? 2 ? #  #, Multiplicando por #,:

 2x −   + #, #x − 2  > #, 2x +   + #, 2          3   4   2   # 

#,

2x ? 4 ) 3x ? , > #,x ) 3 ) 2, #x > 3 x < G

%raicando:  ∝

 G

 ,

 )∝

∴ ∝ < x < G

%

x ∈ < ∝* G >

do

Inecuaci Inec uaciones ones de = rado: /oda /oda inecuaci%n de 2do grado puede reducirse siempre a: ax2 ) bx ) c ≥ ≤ ,

;

a ≠ ,

El conjunto soluci%n: ]x ∈ ' V ax2 ) bx ) c ≥ ≤ ,^ 9 dependerá de la naturaleza del discriminante. ∆ + b2 ? &ac

Álgebra

73

Quinto Año uego:

Caso <: -i ∆ + b2 ? &ac > , + > ax2 ) bx ) c* tiene dos raNces reales diferentes* por ejemplo x* x2* con x < x2 entonces. .!

.2!

ax2 ) bx ) c + (x ? x ! (x ? x2! ax2 ) bx ) c > , ⇔ a (x  S! (x ? x2! > , a! -i a > , ⇔ x ∈ 〈∝ * x〉 1 〈x2 * ∝〉 b! -i a < , ⇒ x ∈ 〈x * x2〉 Ix2 ) bx ) c < , ⇔ a (x ? x! (x ? x2! < , a! -i a > , ⇒ x ∈ 〈x * x2〉 b! -i a < , ⇒ a (x ? x! (x ? x2! > ,

Caso =: -i ∆ + b2 ? &ac + , ⇒ ax2 ) bx ) c* tiene dos raNces iguales* es decir: x + x2* luego: -ea: ax2 ) bx ) c + a(x ? x !2 2.

ax2 ) bx ) c > , ⇔ a (x ? x!2 > , a! -i a > , ⇒ x ∈ ' ? ]x^ b! -i a < , ⇒ x ∈ ∅

2.2

Ix2 ) bx ) c < ,.⇔ a (x ? x!2 < , a! -i a > , ⇒ x ∈ ∅ b! -i a < , ⇒ x ∈ ' ? ]x^

Caso : -i ∆ + b2 &ac < , ⇒ ax2 ) bx )c* no tiene raNces reales: #.. #.2.

-i a > , ⇒ ax2 )bx ) c > ,

*

∀ x ∈ '

-i a < , ⇒ ax2 ) bx ) c < ,

*

∀ x ∈ '

Ejm: -ea:

Álgebra

x2 ? Gx ) 4 > ,

74

Quinto Año ↓ (x  4! (x  ! > , ∴x ∈ 〈∝ * 〉 1 〈4 * ∝〉

Álgebra

75

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E . -i:  < b < a < ,; donde a 9 b ∈ ' de las siguientes proposiciones:

3. 'esolver: 2≤

<. a2 > b2 <<. a2 > b# <<<. a# > b# C-on ciertas

- +3 -−2

'pta.:

'pta.: 2. 'esolver a b

2 2

x+

b a

en

2 2

>

b a

2 2

x+

a b

7x8

4. 'esolver:

2 2

-+4

*

-−2

si: a < b ∧ a * b ∈ ') 'pta.:   #. -i: a ∈  H ; 3 CI  intervalo pertenece: #

≥

-+2 -−4

'pta.: que

 − 2a



'pta.: &. 'esolver en x:

( x − a) 2 + ( x − b) 2 ( x − b)( x − c ) ( x − a)(x − c! 2 ( x − c) + ( x − a)( x − b) = #

G. 'esolver:

( 2- + - + 2)2- + 3- + 4/ < , 2

2

&- 2 − - + 1

'pta.:

H. 'esolver: x2 ? x ? 4 ≥ , 'pta.:

'pta.:

Álgebra

76

Quinto Año

J. 'esolver: x& ? 3x2 ? #4 ≤ , -u intervalo es: 'pta.: ,. 'esolver: xH ? 2x& )  ≤ , indicando la suma de los valores que la verifiquen. 'pta.: . 'esolver: 3

-

3

− 3- 2 + &- − ( > - − 2

'pta.:

2.

-−

1 -

+ 4−- ≥ 0

'pta.: #. 'esolver: -2

−   - 2 − - − 2/ ≥ 0

'pta.:

Álgebra

77

Quinto Año &. @allar: x -

2

+4

>

- −3 -

2

+-+4

-i el ".-. es -: indicar: -" 'pta.: 3. @allar el intervalo:

− 2- − 3 <0 2 2- −  - − 4 -

2

'pta.:

Álgebra

78

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A CA)A . $ar el equivalente al conjunto: ?

= { - ∈ R +

- −&

a! 〈∝ ; &〉 c! 〈3 ; &〉 e! [, ; &〉 2. $ado:

< 3}

b! [3 ; )∝〉 d! [3 ; &〉

{

B = - ∈ 6+

- −&

> 3}

b! & d! 2

= {- ∈ 6 +

-+2

a!  c! # e! 3

−3<

+ a- − 2 <2 2 - − - +1

-

2

> -}

b! 2 d! &

G. 'esolver:

b! 〈 * 2〉 d! [ * 2〉

(x  G!2 ? Jx ? G ) H < , 3

- −1

a! x ∈ [ 43 ; )∝〉 b! x ∈ ∅ c! x ∈ [ 4# ; )∝〉 d! x ∈ [  ; )∝〉 e! x ∈ '

Álgebra

4. @allar los valores de 7a8 para que la desigualdad:

a! 〈 * &〉 c! 〈 * ,〉 e! A.I.

&. 'esolver:

a! x ∈ [ ; 4] b! x ∈ [ ; H! c! x ∈ 〈 ; 2] d! x ∈ [ ; )∝] e! x ∈ [ ; H]

-e verifique para todo valor real de x.

#. $ado: @

3. 'esolver: 2x ? G ≤ J

≥ −4

a! 〈 ; &〉 1 〈2 ; &〉 b! 〈 ; 3〉 1 〈4 ; G〉 c! 〈 ; &〉 1 〈, ; #〉 d! 〈2 ; 3〉 1 〈, ; 4〉 e! 〈∝ ; 3〉 1 〈, ; ∝〉

79

Quinto Año

H. "alcular: $

=

. 'esolver: x2 ? &x ) 3, < ,

F &- − 20 F − F 3- − 20 F

a! x ∈ ' b! x ∈ ' ?]#^ c! x ∈ 〈2 ; &〉 d! x ∈ 〈G ; ∝〉 e! x ∈ ∅

-

-i: x ∈<# * 2> a! 2 c! # e! 3

b!  d! 2

2. 'esolver: x2  & ≤ (x ) 2!2 @allar su intervalo.

J. 'esolver: 2x2 ? ,x ? 2 < , a! x ∈ 〈 ; 4〉 b! x ∈ 〈 ; 4〉 c! x ∈ 〈2 ; &〉 d! x ∈ 〈2 ; H〉 e! A.I.

a! x ∈ [, ; ∝〉 ]2^ b! x ∈ [, ; ∝〉 1 ]2^ c! x ∈ [, ; G〉 1 ]2^ d! x ∈ ∅ e! x ∈ '

,. 'esolver: 1 9-

2

− 49

indicar el soluci%n: a!

-∈ 0,

intervalo  

−  ,  = b!  3   c! x ∈ ∅ d! x ∈〈∝ * ∝〉 e! x ∈ [# ; #]

Álgebra

#. -i: ∀ x ∈ ' se verifica x2 ) (m ? ! x ) & ≥ ,. El ma9or valor natural de 7m8 es:

≥0 de

la

a! 2 c! & e! H

b! # d! 3

&. @allar los valores de 7m8 de modo que las raNces de la ecuaci%n: &x2 ? 4x ) m2 + , Est0n en el intervalo 〈 ; #〉. -i: m ∈ [a * b〉 1 〈c * d] Entonces: ad ? bc es: a! #

b! 2

80

Quinto Año c! & e! 3 3. 'esolver: -2 -+2

d! ,

>

4 -+2

a!  c! # e! 3

•2

b! 2 d! &

J. a soluci%n es: a! [# ; ] c! [ ; ] e! [# ; 〉

a! x ∈ 〈, ; )∝〉 b! x ∈ 〈, ; )∝〉 c! x ∈ 〈2 * )∝〉 d! x ∈ 〈 * )∝〉 e! x ∈ 〈& * )∝〉

2,. os

4. a soluci%n de la desigualdad es: - + ( + - − 3 ≥ 3 − a! b! c! d! e!

a! # ≤ x ≤ # b! 4 ≤ x ≤ ∝ c! ∝ < x ≤ 4 * # ≤ x < ∝ d! x + # e! x + 4 3- − 1 - −&

-

-

+3

b! [# ; ] d! [# ; 〉

valores

24 − 2 - − -

G. -i: 3 <

- +1 ≤

de

7x7

son:

2

<1

, < x < & 2 < x ≤ & 4 ≤ x < , 4 ≤ x < , ; # < x ≤ & 4 ≤ x < # ; # < x ≤ &

< & ; su intervalo

de 7x8 es:

a! 〈3 ; ∝〉 c! 〈∝ ; 3〉 e! 〈3 ; ∝〉

H. @allar - +1

Álgebra

<

b! 〈# ; 3〉 d! 〈2 ; ∝〉

7x8 12 19

<

si

- +1 -+2

se

cumple:

* es:

81

Quinto Año

Álgebra

82

Quinto Año

TEMA: )I)TEMA) DE INEC;ACIONE) -e llama sistema de inecuaciones* al conjunto de inecuaciones que se verifican* para los mismos valores num0ricos de las inc%gnitas. IsN las inecuaciones: ax ) b > , cx ) d < , ex ) f > , Yorman un sistema de tres inecuaciones de primer grado con una inc%gnita. Ejemplos: x > 3 [ ( # [ (<
∴ -oluci%n común a partir de x > 3. 3 < x < ∝ % x ∈ 〈3 ; ∝〉

→ •

3

x > 2 [ (
-i:

-oluci%n "omún

2

2 < x < # •

#

x ∈ 〈2 * #〉

%

x ) 9 ≥ [ (
x ) 9 ≥ 2

X (2*2!

2

2

Álgebra

S

83

Quinto Año

o

2x ? 9 ≤ &

X

S

2

&

Iora interceptando las gráficas: - o lu c i% n " o m ú n

X

2 2

S

&

. -ea: x >  [ (


"omo el sistema no tiene -oluci%n "omún* se llama: -istema
Nota: "uando todas las inecuaciones dan lNmite superiores* es decir cuando x es menor que una serie de valores* la soluci%n común a todas ellas es x menor que la menor. IsN* si: x < , x < # x < G

2G

Álgebra

2#

,

84

Quinto Año

a soluci%n común: x < G orque: G < # < , ↓ menor

Inecuaciones con dos variables siste"a de inecuación 1na inecuaci%n con dos variables* es una desigualdad de la forma: Y(x * 9! ≥ ≤ , "u9o conjunto de soluci%n* es una regi%n del plano x9* cu9os puntos satisfacen la desigualdad. 1n sistema de inecuaciones cuadráticas* son desigualdades de la forma: ax2 ) bx ) c ≥ ≤ , a2x2 ) bx ) c2 ≥ ≤ ,

anx2 ) bnx ) cn ≥ ≤ , → "u9o conjunto soluci%n* es el conjunto de números reales que esta dado por el intervalo ">MA* que satisface todas las desigualdades.

Ejm:

x# ) 4x2 ? 4Jx ? 3& < , [ ( , [ (<
Álgebra

85

Quinto Año x#  #x2 ? #4x ? ,H > , [ (<<
Álgebra

86

Quinto Año

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E . $eterminar el sistema: x > 2 [ ( 3 [ (<< J [ (P! x > 3 [ (P
3. @allar los valores enteros de x e 9 en: 3x ? #9 > 2 2x ) 9 <  9 > # 'pta.: 4. @allar las soluciones enteras 9 positivas de - e ; en:

'pta.: 2. @allar los valores de x:

2x ? 39 > x ) & [ ( 29 ) &x [ (<
2x ? 3 < x ) # < #x ? G 'pta.:

'pta.:

#. 'esolver el inecuaciones: -+2 - +9

- −1 -+4

[ (! [ (2! [ (#!

>

<

- −3 - +3

- −& - −1

sistema

de

[ (
G. @allar las soluciones enteras de x* 9* z que satisfacen al siguiente sistema: 2x ) #9 ) 3z > 2# 2x ? 9 ) 3z < # 9 ? z >  9 < &

[ (
'pta.: &. Due valores de 7x8 verifican simultáneamente las siguientes inecuaciones: S&  &x#  #x2 ) J&x )2, > , [ ( , [ (<
Álgebra

'pta.: H. -ea x allarlo:

un número entero

#x ? J3 < HG 2x ? &, > GJ

[ (
'pta.: J. -i: & x ? 3 ≤ # 87

Quinto Año 3x ) H ≥ 32

2x ) 39 < x ? & [ (! #x ? 2 > &x ? H ? 29[ (2!

-iendo x entero: @allar 7x8 'pta.: ,. @allar las soluciones enteras de x* 9* z de la siguiente inecuaci%n: x)9<4 9 < z x )  > z

El número de valores enteros positivos 9 diferentes de 7x8 que dan valores enteros para 798 es: 'pta.:

[ (! [ (2! [ (#!

&. El valor entero de 7x8 que satisface al siguiente sistema de inecuaciones:

'pta.:

x ) 9 > G4 x ? 9 < , x ) 29 < 2

. -ea: , > x ) 9 # ) x > 9 9 ) x > 3 9 > x

[ (! [ (2! [ (#! [ (&!

'pta.:

-iendo x e 9 enteros: @allarlos. 'pta.:

3. -iendo 7x8* 798* 7z8 los valores enteros que satisfacen al siguiente sistema de inecuaciones:

2. a suma de los valores enteros de 7S8 para que satisfacen la siguiente inecuaci%n:

x ) 9 ) z > & x ? 9 ) z < 4 9 < z z < G

13- − &

El

2

3- − 1 &

+

3- − 

−1 <

>

& - +1

2

2- + 

−

3



[ (! [ (2! [ (#!

+ 1 (
-

valor

de la ; − z −  es: 3

expresi%n:

2

'pta.:

'pta.: #. En el sistema de inecuaciones:

P,OB-EMA) PA,A -A C-A)E

Álgebra

88

Quinto Año

. El valor entero 9 positivo 7x8 que satisface al siguiente sistema: #

x

−# 9 = 2G < x ? 9 < 2#

[ (
a! G2J c! #&# e! 4&

b! 32 d! 23

2. a soluci%n siguientes sistema de inecuaciones: &x2 ) #x ) 2 > , x2 ) 4x ? G2 < , x2 ? 2x ? &3 > , a! b! c! d! e!

2 < x < # # < x < 4 4 < x < 3 ∝ < x < 2 3 < x < ∝

#. a soluciones enteras 9 positivas de 7x8 e 798 que satisfacen al siguiente de sistema inecuaciones: 9 ? x2 ? #x ) H >, [ (! 29 ? x < & [ (2! a! x +  * 9 +  b! x + 2 * 9 +  c! x  +  * 9 +  ; x2 + 2 ; 92 + 2 d! x +  * 9 +  ; x2 +  ; 92 + 2 e! x +  * 9 +  ; x2 + 2 ; 92 +  &. a soluci%n del sistema:

Álgebra

x+G x+2

<

x+&

>

x −3

x−H

x −#

#

b!

2
−

c! 

2

<

[ (2!

x+2

a! −

&

[ (!

x −

 2

< −#

&

x <

d!  < x < 3 e! 2 < x < V2 ;  < x < 3 3. a soluci%n del sistema de inecuaci%n es: x −3 −  > , [  x +3 x − x −# > , & −2 x +2

(! [

(2! a! b! c! d! e!

3 < x < G # < x < 3 2 < x <  ∝ < x < 2 ; 3 < x < G # < x < 3 ; G < x < ∝

4. a soluci%n de la inecuaci%n: x# ) 4x2 ? 4Jx ? 3& < , [ (! x# ? #x2 ? #x ) 3 > , [ (2! x# ? #x2 ? #4x ) ,H > , [ (#!

89

Quinto Año a! b! c! d! e!

4 < x < # 4 < x < 2  < x < # ∝ < x <  G < x < ∝

,. -ea:   + Gx + m ≤ , ⇒ x ∈ − 2;−  2  2 x − x − n ≤ n ⇒ x ∈ 〈−&*3〉

#x

G. 'esolver:

2

$e

las

x2 ) H < Jx x2 > 2x

[ (! [ (2!

anteriores; allar:

a) 〈H * 4〉

b! 〈2 * &〉 d! 〈 * &〉

a! #, c! 2, e! ,

c! 〈# * 4〉 e! x ∈ '

H. C"uál es el valor apropiado para 7n8 de tal manera que el sistema

a! ,*# c! *2 e! 2

b! ,*2 d! *#

J. @allar el intervalo en que se encuentra 7m8* si , < a < b9: m2 ? (a)b)4!m ) #(a)b! )ab ) J< , a! b! c! d! e!

〈b ) # ; a )# 〉 〈a ; b〉 〈b ; a〉 〈a ) # * b 〉 〈a ) # ; b ) # 〉

Álgebra

n m

b! 3 d! 23

.
-2 − 4- + 2 < 0 2 - + - + 07& > 0

2x2 ) #x ? J < , 2x2 ? #x ? 3 < , x > n Idmita una soluci%n única en K

proposiciones

a! 3 c! # e! 

b! & d! 2

2. -i el sistema: x2 ) # < &x x2 ) & ≤ 4 ) x x2 ≥ ∝ ; ∝ ∈ K -e verifica para un único valor de 7x8* según ellos calcule 7∝8 a!  c! 2 e! 2

b!  d! #

90

Quinto Año

#. @allar: a ) b* de modo que el conjunto soluci%n de: ax2 ) 2ax ≤ 3bx ) sea el mismo de: # S− ≤ 2*3

a! 4 b! G e! J

b! H d! 3

2

a! V# c! V3 e! V4

b! V& d! V2

&. -i 1* A* < son variables que ∈ K* tal que: 1 ) A ) < > H 1 ? A ) < < & < ? A > , << 3 @allar 1 ) A ) <: a! G c! , e! &

b! J d! 2

3. @allar las soluciones enteras negativas del sistema: x ? #9 < , x ? 9 ? &z > , 9?z?2< , $ar: x9 ) z a! , c! # e! 

b! 2 d! &

4. a suma de todas las soluciones enteras 9 positivas del sistema: 9 ) # < 2x #x < 2 ? 9

Álgebra

91

Algebra 5to Año

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