I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
SISTEMA RADIAL Ó CIRCLAR !R" La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad.), el cual se define como el ángulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de su radio.
⇒ < 1vta = 2 π rad
#$SERVACI#%ES 1 rad < > 5! 1" ##$ 1 rad < 1! > g %&ro'imaciones %&ro'imaciones de π$ π = ,1#1* π = π =
22 )
2
RELACIÓ% E%TRE SISTEMAS E&IVALE%CIAS E&IVALE%CIAS '%DAME%TALES '%DAME%TALES m
1vta < > *+! < > #++g < > 2π rad ⇒
2π rad < > *+! →
π rad < > 1+!
⇒
2π rad < > #++ g →
π rad < > 2++ g
⇒
*+! < > #++ g →
-! < > 1+g
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 'ACT#RES DE C#%VERSIÓ% on fracci fraccione oness equiva equivale lente ntess a la unida unidad d / se obtien obtienen en divid dividien iendo do dos dos cantid cantidad ades es equiv equivale alente ntes, s, colocando en el numerador una medida en la unidad deseada / en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar. 0em&lo 3onvertir *! a radianes, como π rad < > 1+! 0ntonces
π rad
1
1,+
Luego )*
π rad
π
1,+
5
*! < >
π 5
rad
rad
'ÓRMLA DE C#%VERSIÓ% e utili4a slo cuando las medidas del ángulo est6n e'&resadas en las unidades &rinci&ales de medida, es decir grados / radianes. m<α =!⇒ 7 de grados se'agesimales del < α m<α =3!⇒3 7 de grados centesimales del < α m<α =8rad⇒8 7 de grados radianes del < α
Cuandose se Cuando eligeelelbuen buen elige camino,nunca nunca camino, estarde tardepara para es empezarde de empezar nuevo. nuevo.
0stos tres valores num6ricos verifican la siguiente relacin .
3
8
)*+
#++
2π
.
3
8
1,+
2++
π
im&lificando
de donde se reali4an los siguientes des&ees .
3
2+8
-
1+
π
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario %#TA( 9ara todo ángulo trigonom6trico se tiene que m < θ = !
! < > 3g < > 8rad medidas equivalentes
⇒
m < θ = 3g m < θ = 8rad ⇒ además si m si m
≠ 3 ≠ 8
Nadie llegó a Nadie llegó a la cumbre, la cumbre, acompañado acompañado del miedo. del miedo.
θ es &ositiva ⇒ 3 > > 8 θ es negativa ⇒ 3 < < 8
PARA PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL m α = " ⇒ 7 de grados = m α α = *+ " ⇒ 7 de minutos = *+ m α = *++ $ ⇒ 7 de segundos = *++ PARA PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA CENTESIMAL m ⇒ 7 de grados = 3 α = 3g m α α = 1++ 3m ⇒ 7 de minutos = 1++3 m α = 1+ +++ 38 ⇒ 7 de segundos = 1++++3 COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO m :alores α = ! m α α = 3g ⇒ num6ricos m de α$ α = 8 rad
3om&.
m m
= (-+ ; )! = (1++ ; 3)g
de α
m
=
α
m m m
= (1+ ; )! = (2++ ; 3)g = (π 8) rad
π 2
8
:alores num6ricos ⇒ nu
3 8
-+ 1++3 π
rad
2
⇒ :alores
Sub – Área: Trigonometría
num6ricos
8
1+ 2++3 π8
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD E% ALA
1. ada la siguiente equivalencia 11g < > a! b"
d) 12*
calcular b ; a$ a) #5 d) #
5. 3alcular b) #* e) #-
c) # )
a) 11? d) -?#
1+ g *
ag
g
5+
. iendo / 3 los n@meros de grados se'agesimales / centesimales de un mismo ángulo que cum&le con = '2 ; 2' ; 2 3 = 2'2 A #' 3alcular dicBo ángulo en radianes, si ' es un n@mero entero / &ositivo.
a) 12+
c) +,
c) 11π?2+
+
a 2a +
g
3alcular (aAb)! en radianes a) π?1+ d) π?1
b) π?12 e) π?2+
c) π?15
. etermine el valor de n$ en la igualdad 2 .
1 3
a) 2 d)
2n
1 .
1 3
b) # e) 1+
) 3
c) *
. iendo / 3 los n@meros convencionales, &ara los cuales se tiene que
#. i se tiene que (a ; b)2 = #ab, calcule el valor de 0
b) +,2 e) +,5
a+b
c) 1+?-
b) 1π?2+ e) π?2+
a) +,1 d) +,# *. i
m
b) 55?# e) 1?5
a) 1π?2+ d) -π?2+
5. 1'
2. alle el valor de a$ &ara que se verifique la igualdad a
e) 12
a b'
b a'
a'
b'
b) 122
Sub – Área: Trigonometría
2. a
)3
b
a
b
calcule el valor de 0
c) 12#
g
a) 1 d)
11
b) e) -
b a
1
π
c) 5
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD
1. 3alcular el valor de
'
/
'
/
a) 1 d)
#'!
2. i se verifica
b) 21?1 e) 25?1 π *#
c) 2-?1
rad < > '! /" 4$
calcular el u&lemento de (' A / A 4)! a) +! d) *2!
b) 1! e) 5!
c) 2!
. i se cum&le que (a A b)2 = #ab calcular el valor de C = a) 11 d) #1
c) 5
*. La suma de los n@meros que re&resentan el su&lemento de un ángulo en grados centesimales / el com&lemento del ángulo en grados se'agesimales es igual a 5. alle la medida radial del ángulo.
/g
a) 1-?1 d) 22?1
b) e) -
a) π?5rad
b) π?5rad
d) π?1+rad
e) π?rad
c) π?rad
. e Ba ideado un nuevo sistema &ara medir ángulos en el cual el n@mero de unidades de un ángulo en este sistema es igual a la quinta &arte de la suma del n@mero en grados centesimales / el doble del n@mero en grados se'agesimales de dicBo ángulo. E% cuántos radianes equivales + unidades de este nuevo sistemaF
a 2b' a
b'
b) 21 e) 51
Sub – Área: Trigonometría
b) 2π?rad
d) π?rad
e) 5π?rad
c) #π?rad
c) 1
#. 3alcular la medida radial de ángulo de modo que sus medidas se'agesimal () / centesimal (3), verifiquen = '2 A ' A # 3 = '2 A ' A * 5. Los ángulos de un triángulo son '# = a! b" c$ D (' A 1)gD (' ; 1)g . allar a b
a) π?rad
. e tiene 2 ángulos, tales que el n@mero de grados centesimales de uno de ellos es igual al n@mero de grasos se'agesimales del otro, / la diferencia del n@mero de grados centesimales de este @ltimo / el n@mero de grados se'agesimales del &rimero es 1-. eterminar la suma de los n@meros de radianes de estos ángulos. a) 1-π?2+
b) 1π?2+
d) 11π?2+
e) -π?2+
c) 1π?2+
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
CIRC%'ERE%CIA ) C*RCL#
Longitud de la circunferencia
L Θ = 2πr
Grea del cHrculo
%Θ = πr 2
SECT#R CIRCLAR
&ara que el sector este definido se tendrá que + < m +rad
central < m
1 vuelta
θrad
2πrad
LONGITUD DEL ARCO (L) – ÁREA DEL SECTOR (A )
Longitud de arco
L = θr
Grea del sector A
Sub – Área: Trigonometría
=
θr 2 2
Lr
L2
2
2θ
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario PR#PIEDAD % 1
L1
α
% 2
L2
θ
(8adio constante)
TRAPECI# CIRCLAR
-
Iases del tra&ecio L %I / L3
-
e&aracin de bases % = I3 = 8 ; r
-
9ara que el tra&ecio e'ista, se debe cum&lir + < m +rad ⇒
central < m
1 vuelta
θrad
2πrad
+ < θ < 2π
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR (A )–ÁNGULO CENTRAL
Grea del tra&ecio circular
%
:alor num6rico del ángulo central
θ =
=
L1
L1 L2 2
.d
L2 d
(+ < θ < 2 π)
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD E% ALA 1.
e la figura calcular el &erHmetro del sector circular %JI.
5.
i a un sector circular se le du&lica el ángulo central / a su radio se le disminu/e en m, se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual a la mitad de la longitud del arco inicial. etermine el radio del nuevo sector. a) 5 m d) 2 m
a) 1* d) 22 2.
b) 1 e) 2#
*.
i a un sector circular se le tri&lica el radio / a su ángulo central se le disminu/e en *!D se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual al doble de la longitud del arco inicial. etermine la medida del nuevo ángulo central. a) (π?1+)rad d) (π?5)rad
.
.
b) πm e) 1+πm
c) -πm
b) (π?5)rad c) (2π?5)rad e) (π?1+)rad
i el área del sector circular 9JK es 2+m 2, Ballar θ
etermine el valor de L$ en el esquema mostrado
a) ?5 d) ?5 .
a) 5 d) 1+
#.
c) m
c) 2+
el esquema mostrado calcule el valor de L$
a) πm d) 5πm
b) # m e) 1 m
b) e) 12
c) -
b) #? e) 2?
c) 5?
el esquema mostrado determine el valor de θ$, si se tiene que la suma de las áreas de los sectores sombreados es π?2 m2
etermine la longitud de arco de un sector cu/o ángulo central mide ('?) rad / su radio mide (*') mD sabiendo además que el &erHmetro de este sector es de 11+m. a) 11+ m d) 5+ m
b) + m e) *+ m
c) #+ m a) (π?) rad d) (π?)rad
Sub – Área: Trigonometría
b) (π?#)rad c) (π?*)rad e) (π?12)rad
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD
1.
0n la figura mostrada determine el valor de L$ sabiendo que el tra&ecio circular %I3 tiene 2 m2 de área.
*.
a) 1m b) 2m c) m d) #m e) 5 m 2.
e la figura calcular el área del tra&ecio circular %I3, si I = B / J3 = α radianes.
0n el esquema mostrado determine el área de la regin sombreada. a) a) 22µ2 b) # µ2 c) 5#µ2 d) ##µ2 e) *#µ2
.
.
i a un sector circular le cuadru&licamos su ángulo central / aumentamos 5m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es #- veces el área del sector inicial. etermine el radio del sector resultante. a) 1 m d) m
#.
d)
b) m e) - m
1*
b) e)
αB 2 2 αB 2 )2
c)
αB 2 ,
0n la figura mostrada, siendo L 1, L2 / L, n@meros enteros / consecutivos, determine el valor de 0
'
1
/
1
c) 5 m
i 1 A 2 = π u2, calcular '$ a) π? b) π?# c) π?5 d) π?* e) π?
5.
αB 2 # αB 2
a) 2 d) .
b) # e) 1+
e la figura calcular
c) * .1
.)
.2
,J0=03=3%
etermine el área del sector sombreado, si el tra&ecio circular %I3 tiene un área de # πm2 a) 2πm2 b) #πm2 c) *πm2 d) πm2 e) 1+πm2
Sub – Área: Trigonometría
a) 1 d) #
b) 2 e) 2.5
c)
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
() 3uando una rueda (aro, disco, .........) va rodando sobre una su&erficie &lana. n M@mero de vueltas al ir desde % Basta I. θg M@mero de radiantes del ángulo de giro (% Basta I). L Longitud que recorre la rueda. n
θg 2π
θg
L
n
r
L 2πr
() 3uando una rueda (aro, disco) va rodando sobre una su&erficie curva.
n
n
Sub – Área: Trigonometría
α 8 r 2πr
α 8 r 2πr
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
() 8uedas unidas &or una faa tangencial o en contacto.
e cum&le θ1r 1 = θ2r 2
n1r 1 = n2r 2 L1 = L2
() 8uedas unidades &or su centros.
e cum&le θ1 = θ2
Sub – Área: Trigonometría
n1 = n2
L1
L2
r 1
r 2
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD E% ALA 1. 3alcular el n@mero de vueltas que da la rueda de radio 8$, al trasladarse desde 9$ Basta cBocar con la &ared.
a) ?2π8 d) 8?π8
b) ?π8 c) 8?2π8 e) 28?2π8
2. E3uántas vueltas da la rueda, si el bloque desciende Basta llegar al &isoF, siendo B= 12+πcm a) 5 b) 1+ c) 12 d) 1 e) 2#
. e la figura mostrada determinar cuántas vueltas da la rueda de radio r$ sobre la &ista circular de centro J$, al recorrer el tramo %I (8 = -r). a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e)
d)
5. 3alcular el n@mero de vueltas que da la rueda de radio r$ al recorrer el circuito desde % Basta I.
a) 2r?8 d) 28?r
a) 1,5 d) #,5
c) 8?2r
b) 2,5 e) 5,5
c) ,5
. e tiene dos ruedas en contacto, cu/os radios se encuentran en la relacin de 5 a 2. etermine cuántas vueltas dará la rueda menor, cuando la ma/or de #?5 d6 vuelta. b) 2 e) 5
c)
. 0n el sistema adunto cuando el engranae de menor radio gira 1.25 vueltas, Ecuál será la distancia entre los &untos %$ / I$, si inicialmente están diametralmente o&uestos.
a) # d) 2 b) *
b) r?28 e) 8?r
*. E3uántas vueltas da la rueda en ir desde %$ Basta 3$F, sabiendo que %I= 1 πm.
a) 1 d) #
#. Nna rueda de radio r$ gira sin resbalar &or un camino circular de radio 8$, como se muestra en la figura. 3alcular cuántas dará Basta que llegue a su &osicin inicial. (8=5r)
a) 5
e) -
1)
b) * e) 2
c) 2
11
15
c)
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario ACTIVIDAD
1. 0n la figura, se muestran dos ruedas fias % / ID cuando % gira (2n ; #), I gira (n A #) vueltas. 3alcular n$.
a) 5 d) 12
b) e) 1
c) 1+
2. e tiene dos ruedas en contacto cu/os radios están en la relacin de 2 a 5. eterminar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda ma/or de # vueltas. a) #π d) 2+π
b) 5π e) #+π
*. 3alcular la longitud de arco recorrido &or %$, si la longitud de arco recorrido &or 3$ es 12 π. (8 % = 1D 8I = #D 83 = )
c) 1+π
a) 12π d) 15π
b) 25 e) #5
c) +
#. Los radios de la rueda de una bicicleta son (' A1) m / ('1). i la rueda ma/or da ('2) vueltas / la menor ('1) vueltas, Ecuántas vueltas en total darán las dos ruedasF a) 1 d) #
b) 2 e) 5
c) 1#π
. el esquema mostrado si el bloque %$ desciende Basta el suelo / el bloque I$ sube el tri&le de lo que recorre %$, calcule
. el sistema determinar cuántas vueltas gira la rueda 3, cuando la rueda % da 12 vueltas.
a) 15 d) #2
b) 1π e) 1*π
2 8I
2 83
8I8 3
58I8 3 2 28 3
a) 5 b) # c) d) 2 e) 1 . 0n el sistema de &oleas calcular el ángulo que gira la rueda , si la rueda % le damos una vuelta com&leta. (8I = 8 %D / 8 = 583)
c)
5. Nna bicicleta recorre #+π cm. i los radios de sus ruedas miden 2cm / 5cm res&ectivamente. 3alcular la suma del n@mero de vueltas que dan dicBas ruedas. a) 1# d) 1
b) 15 e) 2+
c) 1*
Sub – Área: Trigonometría
a) -! d) 2+!
b) 1+! e) -+!
c) 1!
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
TRI+%,L#S RECT+%,L# e denomina asH a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es rectoD los lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado ma/or es la Bi&otenusa / se o&one al ángulo recto.
3atetos
3% / 3I
i&otenusa
%I
⇒ 3% = b ∧ 3I = a
⇒ %I = c
Gngulos agudos 3%I / 3I% ˆ % = θ ˆ I = α ∧ m3 I ⇒ m3 %
TE#REMA DE PIT+,#RAS %I2 = 3%2 A 3I2
c2 = a2 A b2
⇒
+%,L#S A,D#S C#MPLEME%TARI#S ˆ I = A m3 I ˆ % = -+! m3 %
Sub – Área: Trigonometría
⇒
α A θ = -+!
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario C+LCL# DE LAS RA-#%ES TRI,#%#METRICAS 0l valor de las ra4ones trigonom6tricas de ángulos agudos, se determinan en un triángulo rectángulo, estableciendo la divisin entre las longitudes de sus lados tomados de dos en dos / con res&ecto a uno de sus ángulos agudos.
.enθ 3osθ Ogθ 3tgθ .ecθ 3scθ
3ateto J&uesto a θ
a
>i&otenusa
c
3ateto %d/acente a θ
b
>i&otenusa
c
3ateto J&uesto
a
3ateto %d/acente a θ
b
3ateto %d/acente a θ
b
3ateto J&uesto a θ
c
>i&otenusa
c
3ateto %d/acente a θ
b
>i&otenusa
c
3ateto J&uesto a θ
a
#servaci/n 9ara todo ángulo agudo θ$ se cum&lirá + < enθ < 1
Ogθ > +
ecθ > 1
+ < 3osθ < 1
3tgθ > +
3scθ > 1
RA-#%ES TRI,#%#METRICAS REC*PR#CAS e denomina asH a las siguientes ra4ones trigonom6tricas eno ; 3osecante 3oseno ; ecante Oangente ; 3otangente
PR#PIEDADES DE LAS REC*PR#CAS 0l &roducto de dos ra4ones recH&rocas referidas al mismo ángulo, es igual a la unidad.
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
enθ. 3scθ = 1
⇒
3osθ. ecθ = 1
⇒ ecθ =
Ogθ. 3tgθ = 1 ⇒ 3tgθ =
3scθ =
1 .enθ
1 3osθ
1 Ogθ
%ota enθ . 3scφ = 1 3osθ. ecφ = 1 Ogθ . 3tgφ = 1
i
⇒
θ = φ
RA-#%ES TRI,#%#METRICAS DE +%,L#S C#MPLEME%TARI#S Llamadas tambi6n 3o8a4ones Origonom6tricas, son las siguientes eno ; 3oseno Oangente ; 3otangente ecante ; 3osecante
PR#PIEDAD DE LAS C#0RA-#%ES Las ra4ones trigonom6tricas de todo ángulo agudo, son res&ectivamente iguales a las cora4ones trigonom6tricas de su com&lemento.
8O(θ) = 3o8O(-+! θ)
enθ = 3os(-+!θ) Ogθ = 3tg(-+!θ) ecθ = 3sc(-+! θ)
%ota i 8O(θ) = 3o8O(φ)
⇒
θ A φ = -+!
3om&lemento
TRI+%,L#S RECT+%,L#S %#TA$LES
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
RA-#%ES TRI,#%#METRICAS DE +%,L#S %#TA$LES +! 1?2 ) ?2 ) ?
en 3os Og 3tg ec 3sc
*+! ) ?2 1?2 )
)
2
)
)
2
?
2
2
)
?
#5! 2 ?2 2 ?2 1 1
en 3os Og 3tg ec 3sc
2 2
! ?5 #?5 ?# #? 5?# 5?
en 3os Og 3tg ec 3sc
?
5! #?5 ?5 #? ?# 5? 5?#
ACTIVIDAD E% ALA
1. ean a, b / c los lados de un triángulo rectángulo %I3 (I = -+!), sim&lificar 0 = a23tg2 % A c23tg23
Sub – Área: Trigonometría
a) 2a2 d) b2 ; a2
b) 2b2 e) a2 A b2
c) 2c2
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario d) 2. el gráfico obtener 3os α
e) #
*. 3alcular el área de un tra&ecio rectángulo, sabiendo que su altura mide * m, su &erHmetro es # m / el coseno de su ángulo agudo es +. a) 2# m2 d) 5# m2
a) 2? d) ?
b) ?# e) 1?2
b) * m2 e) *+2
c) #+ m2
c) 1?# . e la figura calcular Og2 α
. abiendo que φ es un ángulo agudo / que 3tgφ = 2+?21. 3alcular 0 = #3osφ A a) 1 d) #
1 )
b) 2 e) 5
#. i Ogβ =
2 )
enφ
c)
/ 3osφ =
2 )
a) 5 ? d) ?2
(β A φ agudos),
3alcular M=2 a) 1# d) 2#
1)
3osβ A
b) 1 e) 2*
1+
c)
5
?2
. 3alcular el &erHmetro de un triángulo %I3, sabiendo que 5OgI = 5Og% = 12 / %I = + m
enφ
a) 1+ m d) 2++ m
c) 2+
b) 2? e) 5
b) 1*+ m e) 2#+ m
c) 1#+ m
5. 0n un triángulo %I3(%I = I3) se sabe que enI = +.*. 3alcular Og%. a) 1?
b) 1?2
c) 2
ACTIVIDAD 1. 0n la figura %I3 es un cuadrado. 3alcular Ogθ, sabiendo que ec α = 2.*
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) #? d) ?#
b) * e) 5?1
c)
a) + d) 1?2
2. e la figura calcular C = 1+3scα A 1 3osα
a) 2d) *
b) 1 e)
*. i %I = I3, 3alcular 9 = 3tgα 3scφ
agudos
/
9 = en α A en2β A OgαOgβ b) 1 e) 2.5
c) 1
c) 2*
. i α A β son ángulos com&lementarios, calcular
a) + d) 1.5
b) ;1 e) ;1?2
a) 2 / 2 d) 2
b) 2 e) 2 2
2 /2
. i se cum&le en(2a A b) = 3os(a A 2b), 3alcular
c) 2
9
#. %I3 es un cuadrado / 20 = %. 3alcular Ogα
c)
a) 1 d) 2.5
.en)a 3os)b
b) 2 e)
.en)b 3os)a
c) 1.5
. 3alcular ' A /, sabiendo que 3os (' A 1+!) 3sc(/ ;#+P) = 1 3tg(2/ *5!) = Og(55!') a) *+! d) +! a) 1?# d) ?# 5. im&lificar 9
Og )+
b) 1?2 e) ?2 ' Og *+ 3os5+ 1
b) **! e) *!
c) #!
c) 2?
'
.en#+
3sc #+
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario RELACIÓ% DE ELEME%T#S E% EL TRI+%,L# RECT+%,L# i en un triángulo rectángulo, se conoce un lado / uno de los ángulos agudos, se &odrá calcular los lados restantes del modo siguiente e divide el lado que se quiere calcular (incgnita) entre el lado que se conoce (dato), determinando asH una ra4n trigonom6trica del ángulo dado, des&eando de esta igualdad el lado que se quiere calcular. 1er Cas! (3onocido un ángulo agudo / la Bi&otenusa) ' B / B
.en θ
3osθ
'
B.enθ
B3osθ
/
"# Cas! (3onocido un ángulo agudo / su cateto ad/acente) ' a
/ a
Og θ
.ecθ
'
aOag θ
/
a.ecθ
'
a3tg θ
/
a3scθ
$er CASO! (3onocido un ángulo agudo / su cateto o&uesto) ' a
/ a
3tg θ
3scθ
+REA DE RE,I#%ES TRIA%,LARES • PARA TRI+%,L#S RECT+%,L#S ab
% ∆
Sub – Área: Trigonometría
%∆
2
c2 2
.enθ3osθ
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
• PARA T#D# TRI+%,L#
% ∆
ab .enθ 2
%ota .enα
2 % ∆ ab
• TRI+%,L#S RECT+%,L#S ADICI#%ALES
(A%r&'a#s)
• +%,L# VERTICAL e llama asH a aquellos ángulos que están contenidos en &lanos verticales. Los ángulos verticales determinados en el instante en el cual se reali4a una observacin será materia de nuestro estudio, estos ángulos se determinan en el &unto desde el cual se reali4a la observacin / sus lados son dos lHneas imaginarias tra4adas desde dicBo &unto, las cuales &ermitirán la observacin. eg@n su ubicacin estos ángulos serán ángulos de elevacin, ángulos de de&resin o ángulos de observacin.
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
C#%SIDERACI#%ES PARA RES#LVER PR#$LEMAS
La estatura de las &ersonas se deberá considerar Basta sus oos. Ooda &ersona u obeto que &osea una altura, será considerada &er&endicular al nivel del suelo, a no ser que se indique otra situacin. e no indicarse desde qu6 altura se reali4a la observacin / no siendo esta altura la incgnita del &roblema, se deberá considerar que se está observando desde un &unto del suelo.
ACTIVIDAD E% ALA 1. el gráfico mostrado calcule Ogθ a) d)
Sub – Área: Trigonometría
1 2 A1 2
b) e)
1 ) A1 )
b)
2
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 2. el gráfico calcular el valor de = 3tgα 2 3tgθ a) b?(1Aenθ) c) benθ?(1Aecθ) e) b3osθ?(1A3osθ) a) 1 d)
b) 2 e) +
2
*. e la figura calcular
c) 1?2
b) b3osθ?(1Aenθ) d) benθ?(1A3osθ)
)#
enθ
a) 1.2 b) 1.# c) 1.* d) 1. e) 2
. allar 3 en t6rmino de m / θ
. 0n la figura %I = I. 3alcular C = Ogα A Ogβ en t6rminos de α a) menθ d) m3tgθ
b) m3osθ c) mOgθ e) mecθ3scθ
#. e la figura calcular 0
3osθ
.enβ
3osβ
.enθ
a) enα d) ecα
a) 1 b) 2 c) 1?2 d) 2?5 e) ?2
b) 3osα e) 3scα
c) Ogα
. 0'&resar Og' en funcin de θ$
5. i %I3 es un tra&ecio issceles, Ballar 8$ en t6rminos de b$ / θ$ a) 2OgθA3tgθ c) OgθA3tgθ e) Ogθ3tgθ
b) 23tgθOgθ d) 2Ogθ3tgθ
ACTIVIDAD 1. el gráfico calcular 9 = 3tgα Ogα
a) d) #
2
b) 2 e) 5
c) 2
2
2. e la figura 3alcular 3os θ
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario d) 3osθecθ e) 3osθecθ *. 3alcule el valor de en θ, si %I3 es un cuadrado. a) 1? 2 d) #?5
b) 2? e) 5?*
c) ?#
. 3alcular el lado de un cuadrado inscrito en un triángulo issceles de lado desigual a$ / uno de los ángulos iguales mide θ a) a(23tgθ A 1) c)
2a 3tgθ
b) d)
1
a 23tgθ
1
2a Og θ
1
e) a(3tgθ 1) #. e la figura calcular la su&erficie del cuadrilátero.
a) b) c) d) e)
?*5 1 ?5 1 ?5 1 ?55 1 ?-5 1
. 0n un &aralelogramo las distancias del &unto de insercin de las diagonales a los lados no &aralelos son a / b. abiendo que uno de los ángulos del &aralelogramo es θ$, determine el &erHmetro del &aralelogramo. a) #(aAb)3sc θ c) #(aAb)Ogθ e) #(aAb)3os θ
b) #(aAb)ecθ d) #(aAb)enθ
. e la figura mostrada determine el valor de d$, en t6rminos de a / b
a) 2+ enα d) + enα
b) 2# enα c) 25 enα e) 2 enα
5. e la figura, calcular
%I
a) b) c) d) e)
I3
a) 3osθec2θ b) 3os2θecθ c) 3osθecθ f)
(ab)(enθA3osθ) (ab)(enθA3tgθ) (ab)(3scθAOgθ) (ab)(ecθOgθ) (ab)(3scθ3tgθ)
A C T I V I D A D E % A LA 1. e la figura 3alcular el valor de 0 = 5 cscθ cot θ
Sub – Área: Trigonometría
a) 1
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario b) c) d) e)
5 -
5. iendo θ$ un ángulo en &osicin estándar del 9=A a) 1 d) #
2. e la figura calcular el valor de 9 = 1) (sen α cos α) a) b) c) d) e)
1)
2
, calcular
(senθ A cosθ)
b) 2 e) 5
c)
*. i el &unto (1D ) &ertenece al lado final de un ángulo en &osicin estándar θ$.3alcular 8 = sen θ . cot θ
;5 ; ;2 1 2
a) ;1? d) ;#?
. e la figura, allar 0 = (senθ A cosθ) cscθ a) b) c) d) e)
)
QQ cuadrante, donde tan θ =
1+ 1+
b) ;2? 1+ c) ;? e) 1+ ?1+
. 3alcular
1?2# 2#?1 ?2# ;1?2# ;?2#
a b
2
2ab *a+ 2π #ab se) π
)s +
a 2 sen
#. i cotα = 2.# siendo α$ un ángulo estándar del tercer cuadrante, calcular el valor de 0 = 2senα A a) ;2 d) 1
b) ;1 e) 2
1 #
1+
cosα
a) ;2
b)
d) 2
e)
1 a
b
c) 1?2
1 a
b
. el gráfico, Ballar K =
a) b) c) d) e)
c) 1?2
)π π b 2 )s) 2 2
2 )s α
*a+ β
)s β
*a+ α
1 2 # 5
ACTIVIDAD
1. iendo θ / α ángulos del QQ / QQQ cuadrante res&ectivamente, Ballar el signo de 0
a) A d) 3ero
b) c) (A) e) Raltan datos
senθ . )s α . *a+ θ )* θ . se) α . )s) θ
Sub – Área: Trigonometría
2. Qndicar el signo de
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 0
sen22+
a) A d) 3ero
sen#5
)s )+ *a+ 25 )s 12+ se) 2#+
b) e) R..
d) ;# e) ;5 (a ; 1D #a ; 1)
c) A /
. % qu6 cuadrante &ertenece el ángulo θ$, si se cum&le
*. i θ < ' < 2 π / sen ' = tan 2 π, calcular el valor de 9 = sen
cos θ < cos (π?2) tan θ > tan π a) Q3 d) Q:3
b) QQ3 e) Minguno
c) QQQ3
#. el gráfico, Ballar tan α$D si J%I3 es un cuadrado a) b) c) d) e)
;2 ;1?2 ;1? ; 1?2
a) 5 d) #
' 2
)*
' #
b) 2 e) +
)s)
' *
c)
. a / b son com&lementarios, además se cum&le (tanα)2tanθA = (cotβ)tanθA1D θ ∈ Q:3 3alcular C = sen θ A cos θ a) d)
?5 5 ?1+
5
b) e)
?5 5 ?15 5
c)
5
?1+
5. allar a$ si tan θ = a) ;1 b) ;2 c) ;
ACTIVIDAD E% ALA
1. E3uál de los siguientes valores es el ma/orF a) sen #+! d) sen 22+!
b) sen 1++! c) sen 1*+! e) sen 2+!
Sub – Área: Trigonometría
2. E3uál de los siguientes valores es el menorF
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario QQQ. sen ' < cos / a) cos2+! d) cos2*+!
b) cos1++!
c) cos1*+! e) cos2+!
. 0n la 3O Ballar el área de la regin sombreada a) b) c) d) e)
)
a) T1D 2U d) T1D U
/ JC = CI. 3alcular el área de la
regin triangular JC9. a) b) c) d) e)
b) lo QQ e) Q / QQQ
cos θ =
#. 0n la circunferencia trigonom6trica mostrada cosθ =
a) lo Q d) Q / QQ
c) lo QQQ
*. allar los valores de S$ si
senα cosα 1?2senα 1?2senα 1
2
#on verdaderas
2a
)
5
1
)
b) T2D 1U e) T1D 1U
. i sen' =
c) TD 2U
D Ballar la suma de todos los
valores enteros que &uede tomar a$. a) * d) -
1?* 1? 1?# 1?2 2?
2S
b) e) 1+
c
. 3alcular %.I donde %$ / I$ re&resentan los valores mHnimo / má'imo de la e'&resin 9 = % A I cos ' a) ;15 d) 15
5. i
π
2
b) ;* e) 1*
c)
< / < π, entonces
Q. sen ' > sen / QQ. cos ' < cos /
ACTIVIDAD
1. i θ ∈ QQQ3 / cos θ = intervalo de S$ es a) U5D T d) U2?D +T
b) U+D 2?T e) UD 2?T
)S
2
D entonces el
2. i α / θ$ son arcos diferentes, calcular la diferencia entre los valores má'imo / mHnimo de la e'&resin
c) UD 2?T
Sub – Área: Trigonometría
K 2 se)
π )
2
sen α
2
2 )s θ
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) 2 d) 5
b) e) *
c) #
b) c)
. %firmar si es (:) o (R)
d)
Q. sen 2 < sen QQ. cos 5 < cos * QQQ. sec # tan * > +
e)
a) ::: d) :RR
b) RR: e) RRR
c) R:R
)s θ
senθ
1
senθ )s θ
1
)s θ
1
senθ senθ
1
)s θ
*. 3alcular el valor de sen'
0
#. el gráfico calcular el área de la regin sombreada, si I9 = 9K = KIV a) b) c) d) e)
1? sen θ 1? cos α ;1? sen θ ;1? cos θ ; 1?* senθ
1
)s '
sen'
a) 1?2 d) 1?5
. i
π
*
b) 1? e) 1?*
< ' <
5π *
1
,
c)1?#
indicar la variacin de 2sen ' A
a) T#D 5U d) U#D 5U
b) U#D 5T e) U#D 5U
c) T#D 5T
. 0n la 3O Ballar el área de la regin sombreada a) b) c) d) e)
5. e la figura calcular d$ a)
senα cosα 1?2senα 1?2cosα 1
senθ 1
)s θ
ACTIVIDAD E% ALA 1. 8educir
Sub – Área: Trigonometría
%= (1;cos2') (1Acot2') A (1 ; sen2')(1Atan2')
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario 5. 8educir la siguiente e'&resin trigonom6trica a) + d) ;1
b) ;2 e) 1
c) 2
W = (1Asen2')A2(1Asen 2')(1Acos 2') A(1Acos2')
2. 8educir la siguiente e'&resin trigonom6trica 8
se) 2 '
*a+ 2 '
se) 2 '
*a+ '. se) 2
b) 1 e) 2
c)
1
+! < ' < -+! a) sec' d) +
a) + d) -
*. im&lificar b) tan' e) M.%.
c) 1 :
sen'
)s '
2
sen'
)s '
2
*a+ '
)* '
2
*a+ '
)* '
2
a) # d) 1?#
. im&lificar
b) 2 e) 1?2
c) 1
= 1*(sen* ' A cos* ') ; 2#(sen# ' A cos #') A 1+ (sen2 ' A cos2') a) + d) 1
b) 1 e) 2
. im&lificar
c) ;1
W
a) 1 d) cot'
#. im&lificar
)s) '
sen'
se) '
)s '
b) tan' e) cot'
c) tan'
0 = tan2' A cot2 ' A 2 ; sec 2' . csc2' a) + d)
b) 1 e) #
. 8educir
c) 2
X
a) sec' d) csc'
)s '
1
sen'
b) sen' e) 1
*a+ '
c) cosB
ACTIVIDAD
1. 0ncontrar n$ de tal manera que se cum&la (sen' A cos') . (tan' A cot') = n A csc' a) sen ' d) csc'
b) sec ' e) tan '
2. 3alcular 4 = (tan 5+! A csc#+!) . (cot #+!. sec5+!)
c) cos '
Sub – Área: Trigonometría
a) 1 d) 2
b) ;1 e) ;2
c) +
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
. i tan' A cot' =
*. i csc' A cot' = 1+D encontrar N = csc' A cot'
2
3alcular Y
a) * d) 1
se)
'
)s '
b) e) *
)s)
'
b) 1 e) 1?5
c) 12
c)
5. i cos' A cos' = 1D Ballar X = sen2' A sen#' a) 2 d) ;1
b) ;2 e) 1
b) 1+ e) +.+1
c) 1
sen'
#. i sen' ; cos' = 5 / 5 D Ballar O = 5. sen ' . cos ' 1 a) + d) 5
a) 1++ d) +.1
. i sen' A csc2' = D 2+! < ' < *+! encontrar 8 = 2. sen' A cos' . cot' a) d) ;1?
b) 1? e) 1
c) ;
. im&lificar la e'&resin 1 sen'
*a+ '
se) '
1
)* '
)s) '
a) 1 d) sec'
)s '
b) tan' e) csc'
c) cot'
c) +
ACTIVIDAD E% ALA
1. 8educir
Sub – Área: Trigonometría
C=
sen α
β
sen α
β
α
β
)s
α
β
)s
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
a) tanα d) cotβ
b) cotα e) 1
9=
c) tanβ
b) 1?2 e) 1?1*
b) 22+?221 e) 22+?21
/
sen'. )s /
, será igual a b) cot' A tan/ d) 1tan/. Oan'
*. 3alcular
c) 1?#
sen5
M
. i Z$ e Y$ son las medidas de dos ángulos agudos tales que cosZ = 12?1, tan Y = 15?D calcular el equivalente de sen (ZAY)$ a) 221?22+ d) 21?22+
'
a) tan' ; cot/ c) tan' A cot/ e) cot' ; tan/
2. allar el valor de % = sen(5π?12) . cos(5π?12) a) 1 d) 1?
)s
c) 22?221
a) 1 d)
2
. )s )+
)s *+ . )s 15
?2
b) ;1 e) 2
)s 5 .sen)+
sen*+ .sen15
c)
2
. im&lificar X = sen(*+!').cos (+! A ') A cos (*+! ') sen (+! A ') a) + d) 1
b) ;1 c) sen(+! 2') e) sen (2' ; +!)
#. Qndicar el equivalente de 0 = 2 . en (#5! ') a) cos'. sen' c) sen' cos' e) 2(cos' ; sen')
b) cos' A sen' d) cos' ; sen'
. i tan (α A β) = / tan α = allar el valor de tan β$. a) + d) +.
b) +.+ e) 1+?
c) 1++?
5. La e'&resin
ACTIVIDAD
1. allar el valor de tan φ$ del gráfico adunto, si 3C = 1, C = 2 / I3 = a) b) c) d) e)
1 1?5 5 1?* *
Sub – Área: Trigonometría
2. allar el valor equivalente a&ro'imado de W = tan ! ? cot1*! a) 1?2# d) 2#?
b) 2# e) 1?
c) ?2#
. allar [ = (tan15! tan5!)?(1Atan15!. Oan5!)
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) 1 d)
)
b) e)
?
c)
)
)
?
)
#. 3alcular el valor de tan φ$ del gráfico. a) b) c) d) e)
1 1?2 2 1?
*. allar % = tan 5! A cot +! A cot 55! . tan 1+! a) d) -
b) 2 c) 1 e) Mecesito tablas
. iendo %$ / I$ / 3$ las medidas de los ángulos internos de un triángulo %I3, sim&lificar L = (tan% A tanI A tan3). 3ot%. 3otI. 3ot3 a) + d)
5. 0ncontrar el valor de. 9
a) 1 d) +
b) 1 e) *
c) 2
. 8educir
*a+ 5+ *a+ +
*a+ 2+
b) 2 c) 1?2 e) Mecesito tablas
a) 1 d)
sen a b
sen b c
sen c a
)s a. )s b
)s b. )s c
)s c . )s a
b) ;1 e) 5
c) +
ACTIVIDAD E% ALA
1. 8educir *a+
% )*
π
)π 2
'
)s
)π 2
' sen )*+
Sub – Área: Trigonometría
a) 1 d) 2
' '
b) + e) 1?2
c) ;1
2. 3alcular 0 = csc15+! A tg225! sec++!
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) 1 d) #
b) 2 e) 5
c) *. 8educir la e'&resin
. im&lificar % = sen1+!.csc1-+!A*sen15+!2cos1+!
2sen *π 0
a) 1 d) #
b) 2 e) 5
a) + d) 2
#. i ' A / = 1+!, calcular
b) 1 e) ;2
'
2sen'
2
sen/
/
b) e) +
'
c) ;1
)*
)π ' 2 sen '
)s
%
2
a) 2 d) ;2
'
2
. im&lificar *a+
%
sen #π
c)
)π
) )s
'
a) 1 d) ;2
c) ;1
b) 2 e) +
*a+
2π
' '
*a+
c) 1
. 8educir %
)s
2+ π
' '
)s
5. 3alcular %
a) ;1# d) 12
5 *a+ #,5
)*
#1π ' )π ' 2
# )s 21++
a) ;1 d) 1
)s12+
b) 1# e) ;1+
*a+
b) ;2 e) 2
c) +
c) ;12
ACTIVIDAD
1. 3alcular % = #cos(12+!) ;cot(15!) A #sec(++!) a) 1 d) ;
b) 2 e) ;2
c)
% = sen' A tan
2. ado un triángulo %I3, calcular %
a) 1 d) ;1
sen % sen3
b) 2 e) ;2
I
2 *a+ I *a+ %
. i ' A / = 2π, calcular
3
a) sen' d) ; 2tan
' 2
A sen/Atan
b) 2sen' ' 2
/ 2
c) tan
' 2
e) +
c)
Sub – Área: Trigonometría
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) 1 d) #
#. 3alcular #1π
%=2tan
Asen
#
a) 1 d) #
π 2
b) 2 e) 5
'
sec(π')Asen
a) 1 d) #
' '
b) 2 e) 5
π
#
. α A β son su&lementarios, reducir sen α
) *a+ 2#+ *a+ 12+
'
2β
*a+
α
sen 2α β
)*
β
a) 1 d) tanβ
c) tanα
. %firmar si es (:) o (R)
c)
( ( (
2cos1#π A *sen*1
b) ;1 e) cosα
β 2 α 2
'
*. 3alcular % = 2tan#
2
%
2sen 1++ sen ,+
c)
π
c)
5. im&lificar %
b) 2 e) 5
π
*
) sec (-+! A ') = csc' ) cot (2+! ') = tan' ) csc (2+! A ') = sec'
a) RRR d) R:R
b) RR: e) R::
c) ::R
ACTIVIDAD E% ALA 1. im&lificar
W C
a) sen' d) sec'
sen2'
)s 2'
)s '
sen'
b) csc' e) tan'
c) cos'
a) 1 d) 1?2
. i ' = 2. 3alcular
Sub – Área: Trigonometría
)s )5
sen )5 )s )5 # )s 1+ sen1+
b) 2 e) 1? π
,
sen )5
c)
, 3alcular
0 = #sen'. 3os ' ; #sen' . cos'
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario a) 1 d) 2
b) 1 e)
c) 1?2 2
*. 8educir
?2 0= a) cotθ d) 2tanθ
#. 8educir %
2 )s 2 '
1
2sen' )s '
a) + d) 2cot2'
b) 1 e) cot#'
1
)s 2θ
senθ )s θ
c) tanθ
*a+ 2'
c) 2
. 3alcular C = (2Acos5!) . (1 ; cos5!) A sen2+!
5. 8educir la e'&resin
b) 1 e) ;2
c) ;1
. i 2a A b = -+!, calcular
se) 2α
1
se) 2α
1
a) tan α d) tan2α
1
b) 2cotθ e) 1
a) + d) 2
9
sen2θ
D +! < α < -+! c) tan2α
b) tan 2α e) cotα
%
a) + d) ;1
2 )s a
1
se) a
)s) b
b) 1 e) ;2
c) 2
ACTIVIDAD
1. iendo tan' = +.5, allar 8 = tan2'.cot' a) 1 d) ?
b) 2 e) 2?
c) #?
a) b) c) d) e)
1 12 *
2. allar #. 3onociendo que 2 *a+ * )+'
% 1
a) 1 d)
2 ?2
b) e)
*a+
2
?2
2
* )+'
tan
' 2
= m. allar cos'$
c) ;1
2
. allar a$
Sub – Área: Trigonometría
a)
2m 1 m
2
b)
m2
1
m2
1
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario c) e)
m2
1
m2
1
1
m2
1
2
d)
1
m2
1
m2
a) 1 d) 1?2
b) 2 e) 1?
c)
. im&lificar
m
5. Qndicar el equivalente a) cot
'
b) tan
2 '
d) 2cot
% = cot
sen' 1
'
c) cot'
2
a) tan A #α d) ;2tanα
8 *a+ +
#
*a+
π
α
#
b) 2tanα e) 2cot2α
c) ;tan#α
. 8educir
*. 3alcular C
α
)s '
e) ;tan'
2
π
*a+ 2+
se) 5+
a) 1 d) cos'
sen) '
)
)s
'
sen2'
)s '
sen'
b) sen' e) 1?2
2
c) 2
ACTIVIDAD E% ALA 2
1. i cosα =
)
allar sen a) d)
)+
D +! < α < -+!
2
a)
e)
*
* *
c)
* 12
* 5
2. i cosθ =
1 )
,
θ 2
$
α
b)
*
calcular sen
)π 2
d)
)
b)
2
)
e)
)
2
c)
) )
) *
. i 25cos2' ; #= +D 1+! < ' < 2+! calcular tan
< θ < 2π a)
Sub – Área: Trigonometría
)
' 2
b)
)
c)
)
5º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario )
d)
e)
1+
'
)*
2
)s) '
)*
'
)s)
2
'
2 )* ' m )*
' n
#. 3alcular )s) #+
8
a) d)
)* +
b) 1
)
a) 1 d) #
c) ;1 )
'
)*
2 '
0
*a+
2
d) 2sen
' 2 2 ' 2
c)
. i csc+! A tan1+! = a 3alcular cot5+$
5. 8educir
a) 2sen
b) 2 e) 5
)
e)
)
Ballar m A n$
)* #+
b) 2cos e) 2cos
a) a d) 2a1
2 )* ' )* '
'
c) 2tan
2 2 '
c) a1
b) 2a e) a
. 8educir '
C
)s) *
sen#+
*a+ )
2
a) 1 d) cos+!
2
)* *
)s) #+
b) sen#+! e) sen+!
)* #+
c)sen 5+!
*. i la siguiente igualdad es una identidad
ACTIVIDAD
1. e la siguiente igualdad cot1#! n sec#! = tan 1#! 2tan 2!
#. iendo
Ballar n$ a) 1 d) # 2. 8educir
sen b) 2 e) 5
c) a) 1
C = #sen5+! sen5+!
a) 1?2
b) ;1?2
d) ;1
e)
d)
1 -
'
1
)
)
b) e)
D calcular sen'$
2) 2 1
c)
2) 2
-
c) 1
) 2
. 8educir M
a) cos2' d) 2cos'
)s )'
)s '
)s '
b) 2cos2' e) 1
c) cos'
Sub – Área: Trigonometría
5. i sen' ; cos' =
1 )
, calcular sen*'
5º Secundaria
