INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA”
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llaman expresiones algebraicas, a aquellas donde aparecen números y letras en un cierto conjunto numérico.
7x
Signo Coeficiente
5
Exponente Variable
TEORIA DE EXPONENTES
La teoría de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. Las principales leyes de exponentes son: 1.
an
a1
a . a. a..... a
a
n veces
2. a
0
a
1 p 3. a .a .a m
4.
n
am a
am
n
n
1
n
5. a
a
0
m n p
an n a n .b n 6. (a.b) n
a
7.
an
b
b n
a
8.
n
b
b
n
a
m n
9. (a )
a
m.n
a n.m
(a n ) m
p n
a
11.
m
ap
(m a )p
12.
n
a.b
n
10.
13. n
a .n a
n
a
b
n
b
n
n
an
a
14. a. 15.
p
b
am
16.
n m
17.
n
a
a.m b
.n an .b nk
amk
n.m n
a a .n.m b
EXPRESIONES AL INFINTO
1. 2.
n
a.n a.n a....
n
a : n a : n a :...
n 1
a n 1
a o
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” a
3.
n 1
a n
n
n
a
a
4.
a
a
a ...
5.
a
a
a ...
6. 7.
E X
XX
X X
XX
XX
E
4a
1 1 2
4a
1 1 2
E
X
X 1 1
8.
1
X X X...
n
n
1
X
n
n 1
PARA “n” RADICALES a
an
a
x. x.a x..." n" radicales
☟
an 1 a 1
x
Para “n” impar
☟
a
a
an 1
an
a
x : x : x : .." n" radicales
a 1
x
Para “n” par
☟
a
a
an
a
x. x : x..." n" radicales
an 1
x
a 1
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes, pudiendo también encontrarse como base de la potencia. LEY DE BASES IGUALES:
☟
Si: b
x
bn
x
n
con:
b 1
I G UALDA D EN EL EXPONENTE
☟
Si a
x
bx
a
b
con
x
0
Importante: No se tomaran aquellas soluciones (raíces) que se obtengan fuera del conjunto de los números reales. LEYES DE LOS SIGNOS
MULTIPLICACION:
( ).( )
( ).( )
( ).( )
( ).( )
DIVISION: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
POTENCIACION:
( )PAR
( )PAR
( )IMPAR
( )IMPAR
RADICACION: CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” ( )
PAR
IMPAR
PAR
( )
( )
IMAGINARIO
( )
IMPAR
ADICION Si los signos son iguales se suman y se coloca el mismo signo.
☟
Si los signos son diferentes se restan y se coloca el signo del mayor número.
☟
EJERCICIOS PROPUESTOS I
12527
9 4
2 1
1. Simplificar: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N. A. 2. Resolver: a) 2
3.
2
E
6
2. 2
2. 2. 2
2. 2. 2
b) 2 8
d) 210
c) 2
1 2 Simplificar: E 64
1
e) 2 2
( 27 ) 3
1
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/4 E) N. A.
9
4. Resolver:
8 9
x 1
1 3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2
5. Resolver:
8 x
2 1
2
2
A) 3 B) 9 C) ½ D) 8 E) 4
2 x
18
6. Calcular S=
2
3
64
2
x
b) x c)
1 x
a x a1 x a
a)
7. Si a
2
x
8
· x
16
4
4
d) x
e) x
el valor de “x” es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 1/3 1
n 1/ n 1 / n 1/ n Efectuar: R n .n ....n n n .... . n n factores
2n
n fac tores
8.
2
a) n 2
b)
9. Simplificar
n
n
2
M
2
c)
b)
10. Calcular
E
3
2 2
2
b)
3
d)
2
n
1
e) n
2
1
3
d) 2
. 3 2
6
a)
n
c) 0
2 2
n
2 2
2
a) 1
2
c)
4
3
e) 2
12
2
2
2
2
2
d)
5
e)
6
11. Simplificar A)0
a+b+c
B)1 C)x D)x
abc
E)x
1 .3 3 12. Calcular el valor de “n” en la ecuación:
2
n 1
4
2
3
n
4
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” A) 2 B) 4 C) –1/2 D) 6 E) 3 13. Indicar el valor no entero que toma “x”, de manera que se cumpla la igualdad: x
x 2
x
4
8
(2 )
x 1
3
8
A) 1/3 B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3 14. Hallar la suma de los elementos del conjunto: A)2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 9
√ √
1
x x y y z ( x y ) 15. Encontrar el valor de la siguiente expresión: P x z y z x y y
a) 144
b) 125
c) 121
1
1 ( y z )
1
d) 1 e) 3
√ √
16. Si se verifica , ¿Qué podemos afirmar del equivalente de A) Es par B) es impar C) es irracional D) es una fracción E)es negativo 17. Si: ( x 1) a)
2 1 b)
18. Resolver: A)
( x 1) ( x
2
x
1)
x 1
B) 2
2
2 4 d)
2 -1 D)
C)
√ √ √ * √ +√ √ √ D)7/8
20. Resolver: 1/2 1/3 1/9 A)3 B)3 C)3
D)3
A) 0.5 B) 0.125
x
3 2 e) N.A.
2 +1 E)
2 /2
E) 17/8
1/6
1/9
E)9
256 60 4
x
b) 8
c) 7
, el valor de x es:
d) 6
23. Resolver: A)-1 B)-2 C)-3 D)-4
e) 5 y dar como respuesta la suma de las soluciones.
E)-5
24. Determine la suma de los elementos del conjunto: A)8 B)2 C)16 D) 4 E)32 n
25. Resolver: a) 6
E
C) 0.25 D) 16 E)4
22. En la ecuación: 16 a) 9
( z x ) 1
( x 1) ( x 2 )
19. Resolver: A) 1/8 B)8 C)9/8
21. Resolver:
1
2 , ¿Cuál es el valor de x+2?
2 2 c) 2
813
b) 9
3
n
2163
3
33
1
n
c) 3
d) 4
(√ )√
e) N.A.
√ √ √ EJERCICIOSPROPUESTOS II
26. Dada la sucesión:
. Calcular:
A)1 B) 2 C) 9 D) 8 E) 16
3 2 33 4 x. x . x . x 27. Si: x = 16, hallar E 1/ 2 x x.3 x.3 x
1 9
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” 28. Simplificar
M 3 A)
6
x 2
y
y
x
y x 4
3
x
3
y
19 y 36
x
2
2 x y B) 6 x3 y 2 C) xy D) 3 xy E) x3y2
29. Al reducir “S”, nN indique el exponente final si: A) n
3
B) 3n-1
30. Simplificar
M
a) 1 b) 3
3n
C) 3n D) n
c) 9.
31. Simplificar: M 2
A) x B) x C)
2
x
10
81310
d)
x
E) n
3 3 729 311
1
9
x x
3
D) x
x
2
x x 2
E) x
x
. Entonces M es igual a:
1
e)
3
33
x
6 2
2
32. Simplificar:
M
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
A) 1 B) 4 C) 2 D) 8 E) 16
33. Resolver: x
4 x
.. 4 x .
x
3
x
3
.. 3 x .
A) x =2 B) x =3 C) x =4 D) x =1/2 E) x =1/4
34. Si 110 A)
121
121
110
.
. .
n
n
n
B)
.
.
.
. Hallar “n”
n
100
100
C)
81
81
D)
144
3 . Hallar M n 35. Si: n A) 243 B) 27 C) 81 D) 9 E) 729 n
M x
x 1
4 . Hallar 36. Si: x 16 6 8 16 18 A) 2 B) 4 C) 4 D) 4 E) 2 x
E)
101
101
n n n 1 1
2 n
n
144
x
2 x x1 x1
( )
37. Hallar el valor de: , sabiendo que A)16 B) 33 C) 27 D)81 E)64
x
38. Encontrar el valor de M
x ... x x x x... x . n radicales nradicales
x 1 x 1
x
, si x = 2
√ √
A) 1/12 B) 1/16 C) 1/9 D) 1/27 E) 1/8 39. Reducir la expresión: b
A)b B)b
C)1/b
2b
D)b C)1
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA”
4 9 1 4 9 40. Reducir S= a) 4
b) 5
41. Reducir
a) 9
b)
9
32
d)8
3
3
{
42. Simplificar:
9
3
B) 2
1/3
C) 8
2 1
e) N.A.
27
2
E) x
e)
1/x
43. Calcular el mayor valor de “n”, si: 1/3
9
3
3
3
√ -1
d) 9
A)x B) 1 C)2x D)x
A)4
3
3
9
c) 9
3
1
c) 7
E 3
4
2
27
1/3
1/3
D) 16
3
3
} (√ )
E)32
, x R
+
1/3
EJERCICIOS PROPUESTOS III
44. Si: A)
√ √ B) n C)
, hallar x D)
E) N.
45. Calcular el valor de:
A)8 B)16 C)2 D) 4 E) 32 46. Si:
; indicar el valor de:
A)4 B)8 C)6 D)2 E)10
GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1. GRADO: Es una característica de la expresión algebraica, que viene dado por el exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero positivo, y permite determinar el número de soluciones de una ecuación. Puede ser de dos tipos: Relativos: se refiere a una sola letra. Absolutos: Se refiere a todas las letr as. 2. GRADO DE UN MONOMIO: MONOMIO: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término algebraico. Como toda expresión algebraica tendrá dos grados que son:
☟
GRADO ABSOLUTO (G.A.): El grado absoluto de un monomio esta dado por la suma de los exponentes de todas sus letras.
☟
GRADO RELATIVO (G.R.):
☟
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” Esta dada por el exponente de la letra referida ha dicho monomio. El grado relativo siempre se da respecto a una variable del monomio Ej.: Sea el Monomio: GA(M) M( x, y, z )
2x 5 y 3 z 6
14
GR x (M)
5
GR y (M)
3
GR z (M)
6
3. GRADO DE UN POLINOMIO POLINOMIO: Es una expresión algebraica que tiene dos o más términos algebraicos; recibe el nombre de binomios cuando tiene 2 términos, trinomio cuando tiene tres términos.
☟
GRADO ABSOLUTO: (G.A.): Está dado por el término que tiene el mayor grado absoluto.
☟
3x 2 y 2 z 3
Ej.: Sea el Polinomio: P(x; y; z) GA (3x 2 y 2 z 3 )
x y5 z 4
7
Se tiene: GA ( 4x 3 y 4 z 2 ) GA (x y 5 z 4 )
4x 3 y 4 z 2
Luego: GA(P)
9
Max{7;9;10}
10
10
GRADO RELATIVO (G.R.): Esta dado por el termino de mayor exponente de la letra referida en dicho polinomio. Ej.: Del polinomio anterior: GR x (P) 3
☟
GR y (P)
5
GR z (P)
4
VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO
Consiste en asignar a la variable o variables un número definido tal que al reemplazarlo en la expresión original se obtenga una expresión definida. CAMBIO DE VARIABLE Las variables de un polinomio pueden ser sustituidas por cualquier otra variable o polinomio, quedando el polinomio en términos de la nueva variable.
x2
Ej.: Sea el polinomio P(x)
4x
5 que es un trinomio mónico de segundo grado y cuyo
termino independiente es -5. Hagámosle el cambio de variable, donde la notación:
x
y , nos indicara que estamos
cambiando la variable x por y, luego:
x x
y: 2x :
P( y)
y2
4y 5
P(2x)
(2x)2
P(2x)
4x 2
4(2x) 5 8x
5 POLINOMIOS ESPECIALES
Es el conjunto de polinomios que tienen características especiales, llámese la ubicación de sus términos o por el comportamiento de los exponentes que afectan a sus variables.
POLINOMIO MONICO: Es aquel polinomio de una variable cuyo coeficiente principal es 1. Se entiende como coeficiente principal al coeficiente de la variable de mayor grado. POLINOMIO CONSTANTE: Es aquel polinomio (de una o mas variables) de la forma: P(x) real. Si K
K , donde “K” es un número
0 entonces el grado del polinomio es cero
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” Si
K
0 entonces el grado del polinomio llamado idénticamente nulo, no esta definido.
POLINOMIO ORDENADO: Son los que presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de una de las variables que se toma como base.
4x 3 y 12
Ej: Sea el polinomio: P(x; y)
5x 7 y 8
4x 12 y 2
El polinomio es ordenado con respecto a “x” en forma ascendente y con respecto a “y” en forma descendente.
POLINOMIO COMPLETO: Son los que tienen todos los exponentes (desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) de la variable que se toma como base. Ej: P(x)
x4
x
10
x3
POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO: Son aquellos polinomios que cumplen con los dos primeros tipos de polinomios, es decir estén en primer lugar completos y luego ordenados ya sea de forma ascendente o descendente POLINOMIOS HOMOGENEOS: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales.
4x 7 y 12
Ej: P(x; y)
2x 2
8x 4 y15
6x 2 y17
POLINOMIOS IDENTICOS: Son aquellos que se caracterizan porque sus términos semejantes tienen, iguales coeficientes. Ej: Sea. ax
2
bx
c
mx 2
nx
p
Como son idénticos de be cumplirse que: a=m b=n c=p
POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULO: Son aquellos que se caracterizan por que todos sus coeficientes son idénticos a cero. Ej. Sea el polinomio: P(x )
ax 3
bx 2
cx
a=0
b=0
d al decir que es idénticamente nulo se debe
cumplir que: c=0
d=0
IMPORTANTE:
Para hallar la suma de coeficientes de un polinomio, la variable debe tomar el valor de 1, es decir:
coef [ P ( x)] P (1)
Para hallar el termino independiente la variable toma el valor de cero Term. Indepe. P(x)=P(0).
EJERCICIOS PROPUESTOS I 1.
Dado el polinomio: Q( x; y; z )
5 x a2 y b5 z 6 x a3 y b z 4 7 x a1 y b6 z 3 de grado absoluto 17 y
grado relativo a “x” es 6. Halar el valor de “a -b”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) N. A. n
2.
Hallar el coeficiente de
1 m 3m2 n 5mn M .9 . x . y 2
cuyo grado absoluto es 20 y el grado
relativo a “x” es 14. a) 12/7 3.
b) 5/27 c) 1/25 d) 12/48 e) 81/16
Hallar el valor de “a” en el siguiente monomio si GA(M)=8 y el grado relativo con respecto a “y” a b
1 a b 3a 2b 3a b es 1. M 9 z x y 3 a) 11/45 b) 10/13 c) 11/13 d) 25/22 e) 1/13 CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” 4.
Calcular el valor de : (a+b); si el polinomio:
Q( x; y) x 3ab3 y a2b4 x 3ab2 y a2b2 x 3ab1 y a2b . Es de grado absoluto 29 y la diferencia de sus grados a “x” e “y” vale –5. A) 4 B) 6 C) 10 D) 28 E) N. A. 5.
x
Determinar el valor de “m”, de modo que el monomio: E
m 2 3
. x
3
x
2m
; sea de tercer grado.
m
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N. A. 6.
Calcular el valor de “m” para que el monomio:
3
a
m3 4
. a
4
a
3m
; sea de sexto grado.
m
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) N. A. 4
7.
Hallar “n” para que el polinomio sea de segundo grado: P a) 2.5
b) 4.5
. x x . x
x x
n 2 3 n 2
8.
Calcular el valor de “m”, sabiendo que la expresión es de grado 32 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N. A.
9.
El grado absoluto de la expresión
M
c 1
x b y c x a y b
a) 3b) 6
es 3. Determinar el grado absoluto de N=
c) 9
2
4
c) 6.5 d) 8 e) 10 mm
a 1
2n 3
d) 12
( 2b )1
x
m m3 m m
x m
4m
x a y
c
e) 18
10. Hallar “n”, si R n x .n x 2 .n x 3 .....n x n es de sexto grado a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15 11. Si el polinomio es completo y ordenado en forma decreciente:
1 P ( x) 4 x m2 y 4n x n1 y m3 2 x m4 y n 8 . Hallar el valor de: mn+1 2 A) 2 B) 8 C) 12 D) 25 E) N. A. 12. ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio?
P ( x) x 2n1 x 2 n2 x 2 n3 ... x 3 x 2 x 1 A) 2n B) 2n
1 C) 3n D) 2n
1 E) N.
(√ )
13. Calcular el polinomio P(x), sabiendo que: A) B) C) 14. Sea P ( x a) 2 x
2
D)
E)
2) 2 x 17 . Hallar P ( x 1) .
6x 1
b) 2 x
2
12x 1 .
c) x
2
12x 1
d) x
2
12x 1
√
e) 2 x
2
12x 1
EJERCICIOS PROPUESTOS II
15. Calcular
si el polinomio:
a
es completo y ordenado en forma ascendente y tiene 4a términos. A)2 B)3 C) 4 D)1 E)5 16. Si al polinomio:
le restamos ¿Cuánto vale el menor de los grados relativos? A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
su grado absoluto disminuye.
17. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo: posee 2c términos, calcular: a+b+c A)12 B)13 C)14 D)15 E)16 CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” 5 3 18. Hallar el termino independiente del polinomio P ( x) ( x 2) ( x 3) ( x 2)( x 3) a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 19. El término independiente del producto valor de “n” a) 1 b) 2
c) 3
d) 4
n
( x 2 2)( x 4 4)( x8 8)...( x 2 2n ) es
15
2
. Hallar el
e) 5
20. Hallar la suma del termino independiente con la suma de los coeficientes del polinomio:
P ( x 1) (2 x 3) 2 n 4 x 4 a) 70
b) 5
c) 12
d) 13
e) 40
21. Si la suma de coeficientes del polinomio: P ( x) (n 2) x
n
5 x (2n 5) es el doble de su
término independiente, calcule el coeficiente principal de P(x). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
22. Si el termino independiente del polinomio: 2 Es 1600 entonces. Entonces el valor de a +3 es: A)4 B) 7 C)12 D)15 E)19 23. Sea el polinomio:
¿Qué valor “m” si se cumple en el polinomio
que la suma de coeficientes y su termino independiente suman A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
24. Sea el polinomio: La suma del termino independiente y la suma de los coeficientes es 32. Determinar el termino principal de P(x). 2 2 2 2 2 A)16x B)14x C)12x D)10x E)8x 25. Si el polinomio de grado par:
+
; nZ , se verifica que la suma de coeficientes excede en 14 a 50 veces el termino independiente. Indicar su coeficiente principal. A)256 B) 621 C)512 D)725 E)729 26. Sea: un polinomio. Si la suma de coeficientes excede en 23 al termino independiente, entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I)el polinomio P(x) es de grado 2. II)la suma de coeficientes es 25. 2 III)el termino cuadrático de P(x) es 12x . A)VVV B)VFV C)VVF D)FVV E)FFV
√ √ √ √
27. Sean los polinomios idénticos:
Calcular:
A)1/9 B)1 C)1/6 D)1/3 E)1/2
28. Si se cumple la identidad
Mx3 Px2 4 x C
1
( M 3) x 3 ( P 5) x 2 Cx 2C L
, calcúlese el valor de
M P C L . a) 17
b) 16
c) 15
d) 19
29. Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo. Q( x)
e) 18.
b( x 2 x) 2ax 2 3cx c a 1 ;
calcular el valor de: “ac-b” A) 0 B) –1 C) –2 D) 1 E) N. A. 30. Si el polinomio es idénticamente nulo: P ( x) Calcular el valor de:
ax3 2bx 2 x 1 3 x 3 2 x 2 cx 2d .
abc d
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) N. A. CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” 31. El polinomio P ( x) a(5 x Calcular a a) 305
2
x 3) b(3 x 1) c( x 2 x) 45 x ,
es idénticamente nulo.
b2 c2 .
2
b) 285
c) 325
d) 295
e) 315.
32. Si: idénticamente nulo, entonces el valor de:
es un polinomio
es:
A)332 B)436 C)1022 D)102 E)48
x 3m2n y 7 2 x8 y10 x 2 m y mn1 ; es homogéneo, calcular
33. Sabiendo que el polinomio: P ( x; y)
el valor de: “m” y “n”. A) 2 y 5 B) 5 y 2 C) 7 y 5 D) 7 E) N. A. 34. Calcular la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo en: b
a
P ( x; y; z ) axa byc cz (
c)
c
w( ab)
a
A) 2 B) 8 C) 12 D) 25 E) N. A. 35. Dado el polinomio homogéneo P ( x; y ) x
x bc x b y c x c y b x d y e x e y d ; si la suma de
a
todos los exponentes del polinomio es 54. Calcular el valor de: “a+b+c+d+e” A) 54 B) 9 C) 27 D) 18 E) N. A. y
36. Si el polinomio P a b c x
G x
2 x x
a) 2
z
c a b
5 z
y
z
c
x y z
x
4a b
2b
c
3a 3
es homogéneo, calcular el valor de
xy
b) 4
c) 16
d) 18
e) 10
37. Al sumar M(x) y P(y;z) se obtiene un polinomio homogéneo donde:
P ( y; z ) y (a1) a) 18
a
b2b
b) 16
6 z b c) 8
a2b
. Calcular:
d) 4
a
M ( x) ax( a1)
b
.ba
y
b(a 1) , donde a.b 0 e) 2
38. Si el polinomio homogéneo: P (a, b)
a m5 b n3 a m 4 b n 2 ..... es ordenado y completo
con respecto a “a”. Calcular (m+n) si es de decimo grado con respecto a “a” y quinceavo grado en “b” a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 14
39. Sea un polinomio homogéneo, determine el polinomio M(x, y) que debe agregarse al polinomio P(x, y) para que el polinomio resultante sea un polinomio homogéneo y completo, tal que la suma de sus coeficientes sea 7 y su valor numérico para x=2 e y= -1 sea 4 2 2 5 3 3 4 3 4 2 4 A)3x y -3y B)6x y-8y4 C)7x -4y D)2x -5y E)4x y-5y
EJERCICIOS PROPUESTOS III 40. Considere el polinomio P(x,y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado ascendentemente con respecto a x. se han tomado tres términos consecutivos que son: 2 2 ... x a y b B xb y a ..., según esta condición el grado de la variable y en el monomio B es: a) 3 b) 4
c) 5
d) 6
e) 7 2
3
41. Determine el grado del polinomio P(x) sabiendo que el grado de [ p( x)] [Q( x)] es igual a 21. 3
2
Además el grado de [ p( x)] [Q( x)] , es igual a 24.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
42. Calcular:
A)45 B)46
e) 6
si:
C) 48
43. Dado el polinomio: Calcular 2a+b
D)49
y
E) 52
donde se verifica
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA”
A)3 B)5 C)-4 D) 1 E) 0
44. Sea , un polinomio de grado n polinomio P se define un operador “D” mediante:
A)3/2+a0 B) 1/2+a0
N, y sobre el
, entonces la suma de coeficientes del polinomio P es: C) 5/2+a0 D) 7/2+a0 E) 9/2+a0
45. Hallar el número de términos en G( x) (m 1) x un polinomio completo. a) 6. b) 5
c) 7
m 7
(m 2) x m6 (m 3) x m5 ... si
d) 4
es
e) 8
46. Si P es un polinomio sobre los números reales R definido por
P ( x; y) x 2nm15 x mn y 5n a) –2.
1 5 m
b) –1
x 6m , entonces el valor de T 3m 4n , es:
c) 0
47. Dar el valor de “x” en la expresión:
d) 1
e) 2
3 x 5 4 3 2 4 a b c S x 7 3 1 5 0 a . a b d
1
. Sabiendo que el grado absoluto
de la misma es cero A) 17 B) 5/72 C) 76/9 D) 43/7 E) 4/27 48. Hallar la suma de los valores de “m” para los cuales la expresión G
m 1
x y m z 2 x2 z m 2
2
3 x 2
, sean de grado dos. A) -5/3 B) -5/2 C) 8/3 D) 6/7 E) 5/3
SUMA Y RESTA: Para sumar o restar expresiones Algebraicas se suma o se restan términos semejantes. NOTA: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. MULTIPLICACION: Multiplicar expresiones algebraicas significa obtener una denominada producto, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador. factores A(x) . B(x)
multiplicando multiplicador
expresión
P(x)
producto
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION: El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores. PRODUCTOS NOTABLES
Ciertas multiplicaciones, por la característica particular de sus factores, tienen por producto expresiones también peculiares, de modo que se puede obviar el proceso de la multiplicación y obtener directamente la expresión del producto. Estos casos particulares de la multiplicación son identidades algebraicas, llamados productos notables y son los siguientes: 1. Binomio al cuadrado
(a b) 2 a 2 2ab b 2
2. Diferencia de cuadrados a 2 b 2 (a b)(a b) CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” a 2 n b 2m (a n b m )(a n b m )
3. Suma y diferencia de cubos a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) 4. Trinomio al cuadrado (a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc 5. Binomio al cubo (a b)3 a 3 3a 2b 3ab2 b3 (a b) 3 a 3 b3 3ab(a b) (a b)3 a 3 3a 2b 3ab2 b3
(a b)3 a 3 b3 3ab(a b)
6. Trinomio al cubo 3 3 3 3 ( a b c) a b c 3(a b)(a c)(b c) 3 3 3 3 (a b c) a b c 3(a b c)(ab bc ac) 3abc
7. Identidades de Legendre (a b) 2 (a b) 2 2(a 2 b 2 )
(a b) 2 (a b) 2 4ab
(a b) 4 (a b) 4 8ab(a 2 b 2 )
8. Producto de binomios con un termino común ( x a)( x b) x 2 (a b) x ab 3 2 ( x a )( x b )( x c ) x ( a b c ) x ( ab ac bc) x abc 3 2 ( x a)( x b)( x c) x ( a b c) x (ab ac bc) x abc
9. Identidad de Argand x
4n
x
2n
1 ( x
2n
x
n
1)( x
2n
x
n
1)
10. Identidad de Lagrange 2 (a b 2 )( x 2 y 2 ) (ax by) 2 (ay bx) 2 11. Identidades auxiliares Si a b c 0 se cumple: a 2 b 2 c 2 2(ab ac bc) a 3 b3 c 3 3abc (ab ac bc) 2 (ab) 2 (bc) 2 (ac) 2
A a b c
3
EJERCICIOS PROPUESTOS I 3 a b 3c a b c a b
1.
Reducir: 3 A) c B) 3 C) 5b D) 3c E) 2b
2.
Si: y A) 4 B) p C) 2 D) q E) 8
3.
Si: a
p q r 2
2
2 2 2 pq pr qr , entonces p q r es igual a:
b 2 c 2 2 y (a b c)(1 ab bc ac) 32 . El valor de Z a b c es:
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 1/ 2
4.
Si ( x y )
3
8( p 2 q 2 ) y
a) ¾ b) 3/2 c) 5.
b) 0
c) x+1
3 /4
b) -2
Si a b
3
c) 1
2
x 13) 2 49 e) x-1
xy xz yz , hallar E
x( x y ) y ( y z ) z ( x z )
d) -1 e) 0
a 3 b 3 23(a b) y
a) 121 b) 64
2
d) 2x
Si se cumple que ( x y z ) a) 2
7.
d) 3 /2 e)
Calcular ( x 3)( x 5)( x 2)( x 4) ( x a) 1
6.
3
x 4 x 2 y 2 y 4 2 2 3 xy p q , hallar E 4 2 2 4 x 2 x y y
a b
3 , hallar (a
2
b )
c) 49 d) 36 e) 16
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” 1
8.
Si: a
a(a 2 3) b(b 2 3) 3 b 4 1 , el valor de: Z 2 2 a 1 1 b
3 2 1 y
1
es:
A) 1/6 B) 2/3 C) 4/5 D) 1 E) 0
9.
Resolver: a) -7
x(x yz) y(y xz) z(z xy)
Si
x(x yz) y(y xz) z(z xy) b) 3
c) -2
d) -3
x
y
z
yz xz xy
1
e) 2
10. Si: x y z 0 , el valor de W
( x y 2 z ) ( y z 2 x ) ( x z 2 y ) 3
3
3
xyz
A) -81 B) -73 C) -87 D) -37 E) -78 11. Si:
a
a b c 0 , el valor de: Z
2
b 2 c 2 3a 4 b 4 c 4 a 4 b 4 c 4 4
2
es:
A) 0 B) 1 C) 3/4 D) 2/3 E) 1/4 2 2 3 3 1 3 10 Calcular el valor de : x y x y xy 100 10 1 x y 12. Siendo ; 4
a)44
b)88
a
13. Si se sabe que
2
b
b
c)50
d) -100
e)) -88
2
a
4
3(a b) , el valor de: Z
4(a b 8 ) 8
(ab) 4
es:
A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12 14. Si x y
2( x y ) , el valor de: Z
2
2
2
3 x 3 y 3 2
x y
3 x 2 y 5 x
6 y 2 x y
es:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 15. Calcular Z
b
4
a
2
b 2 a 2 b 2 2a 2 b 2 a 2 b 2 2
2
a
b 4 a 4 b 4 2
4
2
A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3
a (b c) c (a b ) ab (a b c) b 3
16. Simplificar la expresión A 2
2
2
2
2
4
(a b)b (a c)c
2
A) a+b B) a +b C) a+b+c D) abc E) b+c 17. Si a b c
20 y a 2 b 2 c 2 300 , calcular Q (a b)2 (a c)2 (b c)2
a) 700 b) 800
c) 900 d) 500 e) 600
18. Calcular n x
3
1 x3
, si se cumple 1 x(4 x)
A) 11 B) 13 C) 52 D) 16 E) 14
19. Si
x
2
1
3
27 ; calcular
x
a) 50 b) 42 c) 27 x
20. Si: x
P
x
4
x
4
d) 40 e) 47
16 x x 8 . Hallar A x3 x2 1
2
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 169 3
21. Si:
1 4 4 x 27 , calcular P x x x
A) 50 B) 42 C) 27 D) 47 E) N. A 2
2
-2
22. Si: x + 1 = 8x. Hallar E = x + x A) 64 B) 63 C) 62 D) 512 E) N. A.
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA”
a 2n 123 , hallar P a n a n
2n
23. Si a a) 9
b) 11
c) 15
24. Hallar el valor de x a) 12 b) 15 a
25. Si
x
9
x
7 y
, sabiendo: x
3
2
3x 1 0
d) 20 e) 27
9
a
4
E
x
b) 2
4 x
9
9
, el valor de
a
c) 3
n
26. Si:
x
c) 18
a
a) 1
1
3
d) 13 e) 10
d) 4
E
2
es:
e) 5
n
n n x y x y 62 . Hallar V 3 n n x y y x
A) 1 B) 2 C) 7 D) 15 E) 21
an
27. Si:
bn
bn
n
7 , el valor de Z
an
a) 5
(1 x) 2 (1 x)2 4 x , hallar el valor de: E (a b)3 (b c)3 c a 3 3abc
b) 3 8
30. Si a
3
12
b)
a
c) 2 c)
a
d) 0
16
b
e) 1
b )(a 4 b4 ) b8
2
2
d)1 e) N.A.
b3 c3 86 ; ab ac bc 3; a b c
a) 3 31.
es:
n
3 E) 1
2 D)
29. Reducir E (a b)(a b)(a a)
n
n
a 2b2
A) 3 B) 2 C) 28. Si a b c
a b
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
12 x 2 1 x 6 1 x 24 x12 1 x 4 x 2 1 1
Calcular el resultado de la expresión : R a) x
32. Si a a)
3
2
6
b) x
2 . Hallar “a+b+c”
2
d)) x
c) 1
3
e) x
12
b 2 c 2 ab ac bc , calcular P 3 3(a b c)(ab ac bc)
a3
b3
c3
3
b)
abc
c) abc d) a+b+c
33. Conociendo las siguientes relaciones .Hallar:
P
1
1
1
a
b
c
a) 1/3 b) 3/2
e) 0
a b c 5 ; a 2 b 2 c 2 7 ; a 3 b3 c3 8
1
c) 2/3
d) 3/5
e) 2/5
EJERCICIOS PROPUESTOS II
2 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 2 4 x y , sabiendo que x e y 2 x y 2 x y 2 x y 2 x y
34. Hallar el valor de: G
verifican la relación: 4 x y y 3
a) 2
b) 4
35. Si (a b c) a) 1
2
c) 8
a) 4
37. Dada la condición b) 27 3
e) 32
d) 4
5
( a b c) 6 a 6 b6 c6
e) 5
3 3 8 3 3 8 calcular x 3 3x 4 c) 8 3
38. Si a
d) 16
c) 3
b) 6
a) 9
xy 3 4 x 2
3(ab ac bc) Calcular: l
b) 2
36. Si : x
2
3
2
d) 10
a 3 b
ac 3 bc c) 3
e) 12
2
1; a b , hallar.
d) 81
b 3 , a b , calcula, F
(a b c) 3 abc
e) 8
ab ( a b)
2
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” a) 1/3
b) -1/3
c) -1/2
d) 1/2
x ( xy 1) 2
39. El equivalente simple de: M a) x
b)2x
c) 3x
E a) 3
d) 4x
1 , cuando. x z 1 y z 1 es:
e) 5x
(a b c) 2003 a 2003 b2003 c 2003 b) 2
c) 1 2
41. Sabiendo que: a .b a) a
2 2 x z
3 3 3 a b c 0 , a b c 3abc . Calcular el valor numérico de:
40. Si se cumple: 2002
e) -3
4
b) b
1
d) 1/2
e) 1/3
b 2 .a 1 1 Hallar: E 3 a 9 b9 3a 4b 4
c) ab
3
d) a+b e) a b
3
5 3 2 , b 2 3 2 5 , c 5 2 3 . Hallar el valor de 3 3 3 2 2 2 (a b c )(a b c ) : E abc(ab bc ac)
42. Si se sabe que: a
a) 1 43. Si : a)
b) 3 a
2
b c
3
b
2
b)
c) -6
c
2
b c
4
d) -3
a b c a b c a b c a b c a b c 2 2 2 2
; el valor de: c)
b c
5
d)
e) 6
b c
2
e)
b c
6
Carl Friedrich Gauss Cuando Gauss tenía diez años de edad, su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas. Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera los siete años. Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos dela geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los cl ásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, pero las matemáticas resultaron ser una atracción irresistible. Cuando estudiaba en Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba a su profesor, quién se demostró un tanto escéptico y le dijo que lo que sugería era imposible; pero Gauss demostró que tenía la razón. El profesor, no pudiendo negar lo evidente, afirmó que también él procedió de la misma manera. Sin embargo, se reconoció el mérito de Gauss, y la fecha de su descubrimiento, 30 de Marzo de 1796, fue importante en la historia de las matemáticas. Posteriormente, Gauss encontró la fórmula para construir los demás polígonos regulares con la regla y el compás. Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doctorado en la Universidad de Helmstedt. Las matemáticas no fueron el único tema que le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de sesenta años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga. A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números, comprendiendo las complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposición de una convergencia de una serie infinita. Estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la probabilidad, llamada también curva de Gauss, que todavía se usa en los cálculos estadísticos. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber , proyectó y construyó un observatorio no magnético. Tanto Gauss como Riemann, que fue discípulo suyo, pensaban en una teoría electromagnética que sería muy semejante a la ley universal de la gravitación, de Newton. Empero, la teoría del electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para la teoría. En 1840, las investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia debido a sus deducciones por lo que toca a los sistemas de lentes. A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
INSTITUCION EDUCATIVA “CIMA” el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales
.
CUANDO PIERDES, NO TE FIJES EN LO QU E HAS PERDIDO, SINO EN LO QUE TE QUEDA POR GANAR Profesor: Jorg e Cruz Portug al 5to de secun daria
