3. Metode Frobenius

Inst Instit itut ut Tekn Teknol olo ogi Sepu Sepulu luh h Nopember - Surabaya 

MATEMATIKA REKAYASA II Seri: PENYELESAIAN PD METODE FROBENIUS Desain: Desai n: Aulia Siti Siti Aisjah

Klasifikasi Persamaan Diferensial

Deferensial

Pengantar Materi

Biasa

Parsial

(Xi, i=1)

(Xi, i>1)

Turunan Kedua

Turunan Pertama

Contoh Soal Ringkasan

Pengantar

Turunan ke-n

y’’+p(x)y’+q(x)y=0 p,q (constant)

Linear 

Non Linear 

(derajat=1)

(derajat>1)

y’+p(x)y=r(x)

y’+p(x)y=g(x)ya

Latihan Homogeneous

Asesmen r(x)=0

Non Homogeneous r(x)

0

Persamaan Diferensial Linear  Koefisien tidak konstan

 y ' '

c(t ) m

 y '

k (t ) m

y0

Power Series (Deret Pangkat) Latihan :

Pengantar



Materi

 y   am x m  a0  a1 x  a2 x 2   m0

Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen



 y'   ma m x m1  a1  2a2 x  3a3 x 2   m 1 

 y' '   m(m  1)am x m2 2a2  3.2a3 x  4.3a4 x 2   m 2

…

Materi Pengantar

Frobenius Method

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Kelebihan metoda ini adalah aplikasinya yang lebih umum, dimana Metoda Deret Pangkat tidak bisa lakukan

Materi

Metode Frobenius Pengantar

• TEOREMA 1: Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Untuk semua jenis persamaan differensial yang memenuhi persamaan: (1)

 x

 y '

c( x)  x

2

y0

mempunyai sekurang-kurangnya satu solusi yang dapat diwakili oleh:

Latihan

(2) Asesmen

 y' '

b( x)



 y( x)   x r   am x m   x r  (a0  a1 x  a2 x 2  ) m 0

dimana pangkat adalah bilangan riil atau kompleks yang dipilih sehingga

a 0

Cotoh Soal Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

• Contoh (A) : Pengantar

• Selesaikan 4xy” + 2 y’ +y= 0  

Materi

 y'   (m  r )am x



m r 1

 y"   (m  r )(m  r   1)a m x m r 2

m 0

m0



Contoh Soal

Ringkasan



4 x (m  r )(m  r   1)am x

m  r  2



 2 (m  r )am x

m0

m  r 1

  am x

m0

m r 

0

m 0

Pers. Indicial

4r(r  1)+2r=0  r(2r  1) =0  r =0 or r=1/2 (Kasus 1) Latihan

Asesmen



4 (m  r )(m  r   1)a m

0

  x

m

m

 r 1

 2 (m  r )a m

0

  x

m

m

 r 1

 a m

0

m

x

m

 r 

0

(saat r=0)  



4 m(m  1)a m x

m1

 2 ma m x

m 0

Pengantar



m1

m 0



 am x  0 m

m 0





4 ( s  1) sa s 1 x  2 ( s  1)a s 1 x  a s x s  0  s

 s

 s 0

 s  0

 s  0

Materi

a s 1  

[4(s+1)s+2(s+1)]a s+1 + a s=0  recurrence Contoh Soal



1 (4 s  2)( s  1)

a1=   a0 /2! ; a2=   a1 /12=a0 /4! ; a3=   a2 /30=   a0 /6!

a s

…

Ringkasan 

Latihan

Asesmen

 y1

a0=1 0

  x (a0 

a0

2!

 x 

a0

4!

 x

2



a0

6!

 x

3

 ...)  1 

1

 x 

2!

1

 x

4!

2



1

 x

6!

3

 ...  cos

 x

(saat r=1/2)  

Pengantar

1



1

4 (m  )(m  )am x 2 2 m 0 

Materi

m 1 / 2



1

 2 (m  )a m x

m1 / 2

2

m 0

 am x

m1 / 2

0

m 0





4 ( s  1) sa s 1 / 2 x  2 ( s  1)a s 1 / 2 x   a s 1 / 2 x s  0  s

 s

m0

m0

m 0

[4(s+1)s+2(s+1)]a s+1 + a s=0  recurrence a s1 / 2  

Contoh Soal



Ringkasan

a1=   a0 /3!

(s=1/2);

1 (4 s  2)( s  1)

a2=   a1 /20=a0 /5! (s=3/2); a3=   a2 /42=a0 /7!

(s=5/2); …

a0=1 Latihan

Asesmen



 y 2

  x

1/ 2

(a0 

a0

3!

 x 

a0

5!

 x

2



a0

7!

 x

3

 ...)   x

1/ 2



1

 x

3!

3/ 2



1

 x

5!

5/ 2



1

 x

7!

7/2

 ...  sin

 x

a s 1 / 2