BEBERAPA VARIASI PERHITUNGAN DENGAN CARA CROSS (THE MOMENT-DISTRIBUTION METHOD)
Oleh: Rony Ardiansyah Ardiansyah ABSTRAK Mengi Menginga ngatt banya banyak k ragam ragam cara cara penye penyeles lesaia aian n mekan mekanika ika teknik teknik denga dengan n cara cara Cross, Cross, baik baik perjanjian tanda, cara pelepasan momen primer dan momen imbang yang cukup bervariasi,juga mempergunakan kekakuan batang baik yang diselaraskan maupun tidak diselaraskan, serta berbagai istilah dan simbol yang dipergunakan selama ini. Dalam Artikel ini penulis memadu beberapa sistem, baik sistem atau metode oleh Chu!ia "ang "a ng maupun #utomo $.M,dimana mereka mempergunakan mempergunakan perjanjian tanda yang berbeda, kekakuan yang berbeda, namun memperoleh suatu hasil akhir yang sama. !emudian sebagai perhitungan kontrol penulis mempergunakan mempergunakan metode %#ingle Cycle Moment Distribution Method&. #emua perhitungan diatas mempergunakan mempergunakan bantuan Microso't ()cel. #asar #asaran an yang yang ingin ingin dicapa dicapaii denga dengan n menga mengambi mbill suatu suatu contoh contoh soal, soal, berupa berupa balok balok diatas diatas bebera beberapa pa perletakan, adalah untuk menghasilkan suatu hasil perhitungan praktis dengan tingkat akurasi yang cukup,dan dapat dipertanggungja*abkan dipertanggungja*abkan
Considering a lot of manner of is way of the solving of engineering mechanics by Cross, good of sign convention, convention, way of release of balancing balancing moment moment and moment moment primary (fixed (fixed end moment) moment) is which which enough enough variable variable and also utilize utilize the bar inertia inertia of both for harmonized by and also is not harmonized, and also various term and symbol utilized during the time. In this Article Article the writer combine combine some good systemthe systemthe system or method by by Chu! "ia #ang and also their $utomo %.&, where utilize the different sign convention, different inertia, but obtainget the same end result. 'aterhen as calculation control of the writer utilize the method $ingle Cycle &oment *istribution ðod. All above calculation utilize the aid of &icrosoft +xcel. he arget arget which wish reached reached by taing an example example of proble problem, m, in the form of above log some placement, is to yield an practical calculation result with the accuration storeylevel which enough and can be -ustified I. PENDAHULUAN Meto Metode de dist distri ribu busi sim mom omen en pada pada mula mulany nyaa dikem dikemuka ukakan kan oleh oleh +ro'. +ro'. $ardy $ardy Cross Cross pada pada tahun -/an dan dipandang dipandang sebagai salah satu satu sumb sumban angs gsih ih terp terpen entin ting g yang ang pern pernah ah diber diberika ikan n kepada kepada analis analisaa strukt struktur ur balok balok 0 kontinu dan kerangka kaku. +ada hakekatnya meto metode de ini ini meru merupa paka kan n suat suatu u cara cara untu untuk k menyelesaikan persamaanpersamaan persamaanpersamaan simultan di dala dalam m meto metode de ubah ubahan an sudu sudutt deng dengan an pendekatan berturutturut, dengan derajat
A
ketelitian ketelitian berapapun berapapun,, seiring seiring kehendak kehendak 1Chu !ia "ang, Analisa #truktur 2anjutan, --34 II. ANALISA TEORITIK FAKTOR KEKAKUAN . FAKTOR FACTOR) FACTOR) 4EI/L • •
(STIFFNESS
5aktor kekakuan bisa diambil 6 (782 atau 9(782 5aktor 5aktor kekakuan kekakuan yang diselara diselaraskan skan bisa diambil /,; dari 9(782. 9(782.
=
M=
MA
θ
6
? EI
EI
>
A
A
2
M B L .
MA
θ
(7 konstan
M B L .
θ
A3
θ
=3
=
. M A L
M A L .
EI
? EI
θ
M=
@= 6 @= > @=3 6 / dihitung dengan cara putaran sudut atau 6 MA2 8 ?(7 > M=2 8 (7 6 / dapat dilihat pada table momen. 6 MA > M= 6 / MB = ½ MA ;. PERJANJIAN TANDA @A 6 > @A 0 @A3 • P'!!* %Apabila menyebabkan batang 6 > MA2 8 (7 0 M=2 8 ?(7 berputar searah jarum jam& 6 MA2 8 3(7 • N,!* % Apabila menyebabkan batang MA 6 3(7 8 (7 1@A4 6 9(7 8 2 1@A4 berputar berla*anan arah jarum jam&. 4EI / L Adalah 5aktor !ekakuan Adalah Carry Over 5actor PENIMBAN ?. MOMEN-MOMEN 3. FAKTOR PEMINDAHAN (CARRY OVER (BALANCIN MOMENT) FACTOR)/ FAKTOR INDUKSI = + ½ • Apabila momen primer pada titik • 5aktor perpindahan diberi simbol %CO& kumpul adalah (M&) • Berjadi induksi hanya dalam batang • #imbol =alancing Moment adalah yang sama #BAL%. • CO = +1/2 BAL . • Dalam buku #utomo $.M. dipakai . FAKTOR DISTRIBUSI (DISTRIBUTION simbol #0 M% (∆M) FACTOR) • 5aktor distribusi dapat disamakan . MOMENT CROSS dengan perbandingan kekakuan. • #imbol momen desain sama dengan • #imbol dari 5aktor Distribusi adalah momen cross #M% %5D& • ang dimaksud Momen Cross dalam • Dalam buku #utomo $.M. dipakai buku #utomo $.M. adalah Momen simbol %!"& 1µ4 Desain tapi berla*anan tanda atau PRIMER (FIXED END 9. MOMEN (M'= -M!3) & MOMENT) • M = M + ∆M • #imbol momen primer adalah #$EM% • Dalam buku #utomo $.M. dipakai . MOMEN DESAIN & • Momen desain disebut juga #M'3 simbol #M %. U"3,%. • =esarnya momen primer untuk berbagai jenis pembebanan atau perletakan dapat III. PEMBAHASAN !asus ini merupakan balok menerus di atas beberapa perletakan seperti yang terlihat pada gambar .. berikut ini : 39 kG8m
A
?m
=
;7c
Babel .. Distribusi momen untuk balok kontinu B BA 2EIC &8;&& >3// 9 / >? / 9, / >,? /
C
3 m
A AB 2EIC :: 3// / 39 / > / 3,9 / >,
?m
97c
/ m
T!!5 6"7"3, A3,,' 4EI/L $5' !!7"! 5(M #iklus =A2 CO #iklus 3 =A2 CO #iklus =A2 CO #iklus 9 =A2 #iklus ; CO
/ kG
BC 18999EIC &84&& 3/ 3 ?/ >39 > ,3 ? >3,9 >/,
C CB 18999EIC 18&&& >3/ 3/ ? >? >3 3 ,? >,? >,3
=A2
Eumlah 1diakhir siklus ;4
/
/,9
/,3
,3
-2&;8;
+1<;892
-1<;892
&
P!"#$# %$!#$&'% *% %$!'#, . $!0% ,$%$1% &$!**'2 #$! ,$.$,3
Fntuk perhitungan cara biasa 1kondisi 74 dan cara modi'ikasi 1kondisi 774 dapat dilihat pada
tabel .3 dan tabel . dengan asumsi perhitungan sebagai berikut :
-1/2 (63,): S"::::.. & 0 = "/(-K)
+erhitungan cara biasa pada tabel .3. dihitung berdasarkan asumsi H
-;.;;;? &.&&&& &.&&&&
-9.9999 1&.&&&& -@.&&&&
Check
•
•
Momen primer pada perletakan sendi jepit diambil sama dengan perletakan jepitjepit 1+284 !ekakuan diambil sama dengan 9(782
!(B(RAG
•
Distribusi Momen !ondisi 7 1Cara =iasa4 dengan #iklus. '!3:: A B C M7: AB BA BC CB 3/? .3 .3 / T'0
A AB 2 &
BA 2 &.;
BC 1.99999 &.4
C CB 1.99999 1
3//
3//
3/
3/
/
9
3
3/
39 /
/ ?
?/ 39
? ?
/
/ 9.
.3
3 3
3.9 /
/ .?
? 3.9
.? .?
. /
/ /.9
/. /.3
.3 .3
/.39 /
/ /.?
/.? /.39
/.? /.?
/. /
/ /./9
/./ /./3
/.3 /.3
/./39 /
/ /./?
/./? /./39
/./? /./?
/./ /
/ /.//9
/.// /.//3
/./3 /./3
/.//39 /
/ /.//?
/.//? /.//39
/.//? /.//?
C65 C63, -1/2 (63,): S"::::.. & 0 = "/(-K)
C65 C63,
/
/.///
/.//3
/.///9 /
/.///3 /.///?
/.//3 /.///?
/.///?
/.///39
/.///?
-186.66668
186.66668
-1/2 (63,): S"::::.. & 0 = "/(-K)
0
6.66684
13.33332
6 6.66668
120
-6.66666
-3.33342
-60
-33.33334
0 .00018
9.9999
6.66668
86.66666
-9E-05
-4.9999 5
-5.0000 1
-64 .9 99995
Check
Bable .. Distribusi Momen !ondisi 77 1Cara Modi'ikasi4 A B C AB BA BC CB K= 4EI/L 2 2 1.9999 1.9999 >0 T'0 C65 C63,
D$ 5(M =A2
3/ .? .9 ??. Check
.9 ?.? . /.-
.3 9.3 9.;
??. ?/ ?. ;. Check
3/ .9 ?.? ?9.-; Check
Bable .?.
'!3:: M7:
K. MODI$IKASI (&8?@)
Check
Check
Check
?.3 ?/ .3 3.9
Distribusi Momen !ondisi 7 1Cara =iasa4 dengan 9 #iklus. '!3:: A B C M7: AB BA BC CB 3/.9 ?. ?. / T'0
/ /.///39
Check
?. . ?.-
Bable .;.
/.//
4
? .9 3.9 .3 Check
206.6668
T'0 C65 C63, -1/2 (63,): S"::::.. & 0 = "/(-K)
:
Bable .9.
Bable .3. Distribusi Momen !ondisi 7 1Cara =iasa4 B
Check
#ebagai bahan perbandingan perhitungan analisa statika dengan cara Cross ini yaitu antara kondisi 7 dengan kondisi 77 1modi'ikasi4, maka perhitungan distribusi momen dengan cara biasa 1!ondisi 74 disajikan dalam beberapa macam siklus dapat ditampilkan pada tabel .9., tabel .;. dan tabel .?. berikut ini :
Momen primer diambil berdasarkan perletakan sendijepit 1+28?4 !ekakuan diambil sama dengan /,; dari 9(782
'!3:: M7: K = 4EI/L >0 D$ 5(M =A2 CO 3 =A2 CO =A2 CO 9 =A2 CO ; =A2 CO ? =A2 CO =A2 CO =A2 CO =A2 CO / =A2 CO =A2 CO 3 =A2
Check
-9.9999 -9.9999 2.@&&&
. +(2(+A#AG #(R(GBA! 3. B7DA! ADA 7GDF!#7 +ADA B7B7! !( IC I . I ! I MOD757!A#7 1 !.CD 6 !. DC 6 ,4
+erhitungan cara modi'ikasi pada tabel .. dihitung berdasarkan asumsi H •
&.&&&& ;.;;;? -@.&&&&
2 &
2 &.;;;?
1 &.9999
& &
3// ?.???
3// .
/ ?.?????
/ /
2&;.;;;?
-1<;.;;;?
1<;.;;;?
&.&&&&
;.;;;?
19.9999
;.;;;?
&.&&&&
Distribusi Momen !ondisi 7 1Cara =iasa4 dengan #iklus. '!3:: A B C M7: AB BA BC CB 3/?.?9 ?.?? ?.?? / T'0 C65 C63, -1/2 (63,): S"::::.. & 0 = "/(-K)
?.?9 ?.??? /./ /.//Check
.3 .93 -.-9.--;
??.?? ?/ ?.?? ;.//
Check
3/ .9 ?.??? ?9.---; Check
Dari tabeltabel distribusi momen dengan cara biasa 1kondisi 74 terlihat pada siklus yang lebih sedikit terdapat perbedaan putaran sudut yang berbeda. #emakin banyak siklus distribusi momen maka putaran sudut yang dihasilkan akan semakin akurat. $asilhasil ini dapat dilihat pada tabel .9 dengan siklus., tabel .; dengan 9 siklus dan tabel .? dengan siklus.
!emudian pada tabel .3 yang menampilkan distribusi momen dengan kondisi 7 terlihat bah*a hasil perhitungan semakin akurat. Dimana pada tabel ini, distribusi momen dihitung hingga siklus ke3. #ementara itu perhitungan distribusi momen pada kondisi 77 atau cara modi'ikasi hanya memerlukan 1satu4 siklus saja untuk menghasilkan putaran sudut yang sangat akurat. #ebagai perhitungan kontrol, digunakan metode S1$ C9:1$ M"$% D#%!&'%" M$%." yang ditampilkan pada tabel . berikut ini: Bable .;. Distribusi Momen dengan #ingle Cycle S!50" 5:
T!!5 $D $EM
#iklus
Dist. At. A Dist. At. = Dist. At. C
Momen #iklus 3
Dist. At. A Dist. At. = Dist. At. C
Momen #iklus
Dist. At. A Dist. At. = Dist. At. C
Momen #iklus 9
A & 2&& ? / 3/? /.? / 3/?.? /./? / 3/?.??
B &.; -2&& 7GD 7GD
7GD 7GD
7GD 7GD
Dist. At. A Dist. At. = /.//? 7GD 7GD Dist. At. C / Momen 3/?.??? #iklus ; Dist. At. A Dist. At. = /.///? 7GD 7GD Dist. At. C / Momen 3/?.???? #iklus ? Dist. At. A Dist. At. = ?(/; 7GD Dist. At. C / 7GD Momen 3/?.??? #iklus Dist. At. A Dist. At. = ?(/? 7GD Dist. At. C / 7GD Momen 3/?.??? #iklus Dist. At. A Dist. At. = ?(/ 7GD Dist. At. C / 7GD Momen 3/?.??? #iklus - Dist. At. A Dist. At. = ?(/ 7GD Dist. At. C / 7GD Momen 3/?.??? #iklus / Dist. At. A Dist. At. = ?(/- 7GD Dist. At. C / 7GD Momen 3/?.???
3 / .3 / ?. /.3 / ?.?
&.4 12& ?/
7GD 7GD
3 /.
7GD
?. /.3 /./
7GD
?.? /./3 /.//
7GD
/./3 / ?.?? ?.?? /.//3 /.//3 /./// / ?.?? ?.??? /.///3 /.///3 (/; / ?.?? ?.??? 3(/; .3( /; (/? / ?.?? ?.??? 3(/? .3( /? (/ / ?.?? ?.??? 3(/ .3( / (/ / ?.?? ?.??? 3(/ .3( / (// ?.?? ?.???
7GD
7GD
7GD
7GD 7GD
7GD 7GD
7GD 7GD
7GD 7GD
7GD 7GD
7GD 7GD
C 1 -12& 3/ 9 9 9 /.9 /.9 /.9 /./9 /./9 /./9 /.//9 /.//9 /.//9 /.///9 /.///9 /.///9 9(/; 9(/; 9(/; 9(/? 9(/? 9(/? 9(/ 9(/ 9(/ 9(/ 9(/ 9(/ 9(/-
Dari hasil pembahasan diatas dapat ditarik beberapa kesimpulan antara lain sebagai berikut : . +ada ujung balok, balok kontinu dengan perletakan sendi , apabila dihitung dengan kekakuan yang diselaraskan maka besar %!& yang diselaraskan adalah sama dengan /,; !. 3. =esarnya momen primer akan berbeda dalam perhitungan pada perhitungan cara kekakuan yang diselaraskan dengan yang tidak diselaraskan. . +erhitungan dengan perlepasan momen primer atau momen penimbang, dengan cara perlepasan satu titik akan menghasilkan perhitungan yang lebih singkat dan lebih akurat dibandingkan dengan cara perlepasan serentak. 9. #ebagai kontrol pada ujung perletakan jepit besarnya momen harus sama dengan nol. ;. !ontrol perhitungan dengan %Bhe #ingle Cycle Moment Distribution& yang menghasilkan momen desain yang sama, adalah disebabkan metode ini juga diturunkan dari metode putaran sudut. ?. Dari hasil perhitungan pada kondisi 7 diperoleh hasil yang hampir sama antara putaran sudut ; BA dengan ; AB, tetapi hasil ini baru diperoleh pada siklus ke3. . Dari hasil perhitungan pada kondisi 77 1modi'ikasi4 diperoleh hasil yang sama antara putaran sudut ; BA dengan ; AB, hanya pada siklus pertama. . Dengan hasil kedua perhitungan tersebut penulis menyarankan agar menggunakan perhitungan dengan cara modi'ikasi8kondisi 77. Dimana cara ini dinilai lebih praktis, karena hanya memerlukan satu siklus saja untuk mendapatkan hasil perhitungan yang cukup akurat.
9(/-
!eterangan : . Disini Isingle cycle moment distributionI sebagai perhitungan control 3. +erataan momen baru bisa mencapai konvergen pada siklus ke / . #ebelum konvergen perhitungan tidak boleh dihentikan
J. DA5BAR +F#BA!A $. M. #oetomo 7r., P$!.%' C! C!"##, penerbit Departemen #ipil 7B= 0 $M# 7B=, =andung
7J. !(#7M+F2AG DAG #ARAG
"ang C. !., +h.D., A1# S%!',%'! L0'%, Eilid , edisi mahasis*a, penerbit (rlangga, Eakarta, --3
udhiantoro D., T!, T$,, M$', M:!"#"<% E:$1 , penerbit Andi
ogyakarta, 3//3.
