1) Metode Simpson 3/8 Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga yang melalui empat titik. b
b
a
a
I f ( x) dx f 3 ( x) dx
Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh: I
3Δ x
f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f ( x3 )
8
(7.20)
dengan:
x
ba 3
Persamaan (7.20) disebut dengan metode Simpson 3/8 karena 3/8. Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk: I (b a)
f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f ( x3 ) 8
x
dikalikan dengan
(7.21)
Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:
t
3 80
Mengingat x t
Δ x
3
ba 3
(b a) 6480
f ' ' ' ' ( )
(7.22a)
, maka:
5
f ' ' ' ' ( )
(7.22b)
Metode Simpson 1/3 biasanya lebih disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode Simpson 3/8 yang membutuhkan empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.
Contoh soal: 4
x Dengan aturan Simpson 3/8 hitung I e dx . Hitung pula integral tersebut dengan 0
menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan x = 0,8.
Penyelesaian: a) Metode Simpson 3/8 dengan satu pias
Integral dihitung dengan menggunakan menggunakan persamaan (7.21): I (b a)
f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f ( x3 ) 8 (e 3e 0
I (4 0)
1, 3333
3e 2, 6667 e 4 ) 8
55,07798 .
Besar kesalahan adalah: 53,598150 55,07798
t
100 % 2,761 % .
53,59815
b) Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah: 0
2,4
f (0) = e = 1 0,8 f (0,8) = e = 2,22554 1,6 f (1,6) = e = 4,9530
f (2,4) = e = 11,02318. 3,2 f (3,2) = e = 24,53253. 4 f (4) = e = 54,59815.
Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode Simpson 1/3 (persamaan 7.17): ba Ai f (a) 4 f (c) f ( b) 6 I
1,6 6
(1 (4 2,22554 ) 4,95303) 3,96138.
Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8: I (b a) I 2,4
f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f ( x3 ) 8
(4,95303 (3 11,02318) (3 24,53253) 54,59815) 8
Integral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas: I 3,96138 49,86549 53,826873. Kesalahan terhadap nilai eksak: t
53,598150 53,826873 53,59815
100 % 0,427 %.
49,86549.
