WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS CONGRUENCIA DE SEGMENTOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos segm segmen ento toss son son cong congrruent uentes es si tien tienen en la mism misma a longitud. Así, por ejemplo:
Defini Definició ción n : Dos Dos triá triángu ngulo loss ABC ABC y DEF DEF son congr congrue uent ntes es
Si AB = CD, entonces denota:
es congruente co c on
si sus lados lados y ángul ángulos os son resp respect ectiv ivame ament nte e congr congrue uent ntes. es.
y se
Para ara indi indica carr que que el “tri “trián ángu gulo lo ABC es es cong congru ruen ente te al al triángulo DEF”; se escribe : ΔABC
ΔDEF
Esta Esta sola sola expr expres esió ión n nos nos dice dice a la vez vez seis seis cosa cosas, s, a sabe saber: r: , o AB = DE CONGRUENCIA DE ÁNGULOS
Dos Dos ángul ángulos os son son congr congrue uent ntes es si tiene tienen n la misma misma medid medida. a. Así, por ejemplo:
A B C
Si m AOB = m MNL, entonces el AOB es congruente con con el MNL y se deno denota ta:: AOB
D, E, F,
,
o
BC = EF
,
o
AC = DF
o o o
m A=m D m B=m E m C=m F
En cada cada una de las seis seis líne líneas as ante anteri rior ores, es, la congr congruen uencia cia de la izquier izquierda da signific significa a lo mismo que la igualdad igualdad de la dere derech cha. a. Pode Podemo moss por por tant tanto, o, util utiliz izar ar una una u otra otra nota notaci ción ón según nos convenga.
MNL
En dos dos trián triángu gulos los congr congrue uent ntes, es, a lados lados congr congruen uente tess se le oponen ángulos congruentes congruentes y recíprocamente recíprocamente,, a ángulos ángulos congruentes se le oponen lados congruentes. CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA
Para reconocer reconocer si dos triángulos triángulos son congruente congruentes, s, no necesariamente los seis pares de elementos correspondientes deben de ser congruentes, sino simplemente tres pares de ellos, entre los que por lo meno menoss debe debe figu figura rarr un par par de lado ladoss corr corres espo pond ndie ient ntes es,, -12-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
esto implica la congruencia de los restantes.
punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma se define como cero. Así en la figura P es un punto exterior a la recta L y
De acuerdo con la naturaleza de los elementos congruentes, resultan los siguientes casos de congruencia de triángulos :
, luego PQ es la distancia entre la recta L y el punto “P”
PRIMER CASO : Dostriángulosson congruentes si tienen
un lado y los ángulos adyacentes respectivamente congruentes (postulado ALA)
La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.
SEGUNDO CASO :
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes (postulado LAL)
CONSECUENCIAS TRIÁNGULOS
DE
LA
CONGRUENCIA
DE
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo
TERCER CASO :
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes (postulado LLL)
Si
CUARTO CASO :
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de dichos lados respectivamente congruentes.
es la bisectriz del ángulo AOB, P
,
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
En la figura sólo si b > a, se podrá afirmar que los triángulos son congruentes.
Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento
OBSERVACIÓN:
Si dos triángulos rectángulos tienen congruentes un cateto y la hipotenusa entonces serán congruentes (4to caso)
LA DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO
La distancia entre una recta y un punto fuera de ella es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el -13-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
L P NOTA : A
A Si
OBSERVACIÓN :
d
d
M
se le denomina la base media
B
es mediatriz de
yP
RECOMENDACIÓN : TEOREMA DE LA MENOR TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Cada vez que en un problema se observe una perpendicular a la bisectriz de un ángulo, se debe completar un triángulo isósceles.
En la figura se prolonga isósceles PQR, luego :
MEDIANA
EN
EL
En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa mide igual que la mitad de dicha hipotenusa
para formar el triángulo Si
PQ = PR y QH = HR
es mediana :
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo, se traza una paralela a cualquiera de los otros dos lados, entonces dicha paralela intersecará al tercer lado en su punto medio.
NOTA :
Observe que los triángulos AMB y BMC son isósceles. 1.
Si “M” es punto medio de
Ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa, en un triángulo rectángulo
y x=α-β
-14-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
2.
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
Propiedad en el triángulo rectángulo de 15 y 75
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El ΔABC es equilátero y AM=NB. Calcular “θ”
A D
A) 10 D) 20
B) 15 E) 12
B
C) 18 A) 2 D) 1
02. En la figura: calcular “α”
C B) 4 E) 5
C) 3
05. De la figura, calcular AB si : AC - PQ = 8 D
B P 2α°
α° A
A) 10 D) 20
B) 15 E) 25
A) 4 D) 8
C) 18
B) 3 E) 2
B) 6 E) 12
C) 10
C
06. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz de y la bisectriz del ángulo interior A se intersecan en un punto de . Calcular m B A) 18 B) 22,5 C) 30 D) 36 E) 45
03. En untriángulo ABC; m A=20; m C=10. Calcular la medida de la distancia del vértice “C” a la bisectriz interior del ángulo A. (AB=2) A) 2 D) 1
Q
C) 3
07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatriz de interseca a en D tal que DC = 2(BD). Calcular la m C A) 25 B) 26,5 C) 30 D) 45 E) 37
04. En la figura : AD = 1; BD = 4. Calcular : CD
08. En un triangulo escaleno ABC, se traza la mediana , luego en el triángulo BMC se traza la mediana , tal que BN = 9. Sea F y un punto de , tal que . Calcular MF. A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 9
-15-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
09. En un triángulo ABC se traza la mediana tal que m MBC = x, m ABM = 2x. Si BC = 2BM, calcular el valor de “x” A) 18 B) 22,5 C) 25 D) 30 E) 36
A) 4 D) 8
17. Si “O” es circuncentro del ΔABC, calcular “α”
11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles DAC recto en A luego se traza . Calcular DE si BC = 15 y EC = 4 A) 19 B) 26 C) 20 D) 24 E) 18 12. Calcular m BCD, si AC = 2BD
C A D C) 60
13. En la figura AD = 2DB. Calcular m FDE B
α° A
θ° θ° α°
E
F
A) 30 D) 60
B) 45 E) 75
C C) 15
14. En el triángulo ABC; AP = PQ, MC = RM y AB = QC. Calcular “x” B 7
R M x
A
P
A) 10 D) 25
B) 15 E) 30
Q
C C) 20
15. En el gráfico, calcular BD, si CD = 12 B θ° A θ°
α° A
B
D
O
B
5
B) 45 E) 53
C) 6
16. En un triángulo ABC recto en “B” la bisectriz exterior del A y la prolongación de la altura se intersectan en “F” tal que : AB + AH = 4; HF = 3. Calcular BH A) 2 B) 2,5 C) 1,5 D) 0,5 E) 1
10. Dado el triángulo isósceles ABC(AB =BC). Sea P un punto q ue p ertenece a tal que m PBC = 90 y PC = 2(AP). Calcular la m C A) 30 B) 26,5 C) 45 D) 10 E) 7
A) 30 D) 37
B) 6 E) 12
C
-16-
C
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
A) 20 D) 50
B) 30 E) 25
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
C) 40
18. En la figura, calcular “θ”, si CE = 2HC B H E θ° 2θ°
3θ° A) 10 D) 8
A
D B) 12 E) 18
C C) 15
19. En un triángulo ABC: m B = 2m A; se traza perpendiculara la bisectriz interior del B.Si BH = 3, calcular AC A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 4,5 20. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB = 4; BC = 8 y AC = 10, desde el vértice C se trazan perpendiculares a la bisectriz interior de A y exterior de B. Calcular la medida del segmento que une los pies de estas perpendiculares A) 3 B) 2 C) 1 D) 1,5 E) 0,5
TAREA TAREA 01. En la figura : AB = AC; AD = DC. Calcular “x”, si : m BAC = 2m DBC
A) 4 D) 3
B) 5 E) 7
05. En la figura BD = 6
B
C) 6 . Calcular EF
B
x D A A) 20 D) 37
C B) 25 E) 45
C) 30
A A) 6 D) 6
02. En un triángulo ABC (m B = 90) se sabe m C = 24. Sobre se ubica el punto “P”, tal que AB = PC, la mediatriz de y de se intersectan en “E”. Calcular m ACE. A) 24 B) 36 C) 34 D) 33 E) 23
B) 4 E) 7
C B) 4 E) 4
C) 3
06. Si : BM = MC; AB = 2DM, calcular “θ”
03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz exterior trazada del vértice A intersectan a la perpendicular a la hipotenusa trazada por el vértice “B” en el punto “E”. Si dicho punto dista 3 de y4 de , calcular BE A) 3 D) 6
F
E
A) 10 D) 18
C) 5
B) 12 E) 20
C) 15
07. Calcular x”, si AC = BD y BC = CD
04. En un triángulo ABC, AB = 2 y BC = 9. Calcular el mayor valor entero de la mediana -17-
WWW.EDICIONESRUBINOS.COM
GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA
08. Calcular “α”, si : 2AB = DC
B
B D C α° 2α°
x A A) 45 D) 37
D B) 22,5 E) 53
A A) 20 D) 18
C) 60
B) 15 E) 17,5
C) 22,5
C
09. Calcular “x”, si : AP = 4; PB = 3 y PC = 5 B
x P C
A A) 135 D) 150
B) 120 E) 165
C) 105
10. Un triángulo ABCrecto en B; I es el incentro “O” es el circuncentro; m AIO = 90. Calcular m BAC A) 37 B) 60 C) 30 D) 45 E) 53
-18-
