$$ Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho
g
Geometría: Parte de la matemática que trata de las prop propie ieda dade dess y la medid edida a de la extensión. Punto: Limite mínimo de la ext extensi ensión ón que que se co cons nsid ider era a sin sin longitud, latitud ni proundidad. proundidad. Línea: !sta ormado por la sucesión continua de puntos con una sola dimensión que es la longitud. Línea recta: Línea curva:
+
g , + ∈ +,
Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.
Segmento de Recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los extremos. extremos. g g + + Plano: $upe $uper% r%ci cie e imag imagin inar aria ia ilimitada, es engendrada por una líne línea a rec ecta ta cuan cuando do se desp despla laza za paralel ela amente a su posición original. Porción de Plano
Línea quebrada: P
Figu Figura ra Geom Geomét étri rica ca:: !s un con& co n&un unto to de punt puntos os ó sist sistem emas as de líneas y super%cies que rec eci# i#en en el nom nom#re #re de %gur %gura as geom'tricas.
Línea mixta:
Lín Línea recta: sucesión sucesión contin"a contin"a de puntos que se desplaza hacia am#os extremos en orma ilimitada. g +
g ,
+ Semi–recta: Parte de la recta que carece de punto de origen. g + + ∉ +
o
ifcado de los tér términ minos Signifc
matemticos: !xioma: !s una prop propos osic ició ión n e(idente por si misma y que no necesita demostración) "eorema: Proposición que medi me dian ante te un ra razo zona nami mien ento to se hace e(idente y consta de dos partes* hipótesis y tesis. #orola #orolario rio:: !s una consecuencia
,--Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho de uno o (arios teoremas. Post Postul ulad ado: o: Proposi Proposición ción que sin ser e(idente se admite su certeza por no ser posi#le demostrarla. Lema: !s un teorema preliminar que sir(e de #ase para demostrar un teorema principal. %scolio: !s una una ad(e ad(ert rten enci cia a o anotación que se hace para aclarar, ampliar o res esttringir proposiciones proposiciones anteriores.
Pro&osici'n: !s el enunciado de una hipótesis ó suposición y conclusión. (i&'tesis: Punto de partida de una demostración lógica a partir del cual se propone alcanzar la solución. Probl roble ema: ma: !s una una prop propos osic ició ión n que se hace con el o#&eto de aclararlo ó resol(erlo. )&eraciones con Segmentos: $uma) g +
g
g
g C
- PR = P$ − P/ − R$ - P / = P R − /$ - R$ = P$ − PR
12 =
n( n − 0) 3
- Para circunerencias secantes 1 2 = n ( n − 0)
- Para polígonos secantes 1 2 = L . n ( n − 0)
n = n"mero de de %guras L = n"mero de de lado lados s del poli polig gono ono
1 Sobre una recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D. Si + = 4C = 5C , + = 06 m . Calcular la longitud de C .
#7 8m e7 4m
Resolución:
Resta) g /
- Para puntos secantes
a7 5m c7 6m d7 9m
- + = + + C + C - + = + + - + = +C + C g P
*xi *xim mo n+mero ero de &untos ntos de corte
g R
g $
g +
g 5a
06 5 a 4
g C
a
- + = 4C = 5C ⇒ si) C:a !ntonces) 5 + = 5a y C: a 4
g
,--Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho de uno o (arios teoremas. Post Postul ulad ado: o: Proposi Proposición ción que sin ser e(idente se admite su certeza por no ser posi#le demostrarla. Lema: !s un teorema preliminar que sir(e de #ase para demostrar un teorema principal. %scolio: !s una una ad(e ad(ert rten enci cia a o anotación que se hace para aclarar, ampliar o res esttringir proposiciones proposiciones anteriores.
Pro&osici'n: !s el enunciado de una hipótesis ó suposición y conclusión. (i&'tesis: Punto de partida de una demostración lógica a partir del cual se propone alcanzar la solución. Probl roble ema: ma: !s una una prop propos osic ició ión n que se hace con el o#&eto de aclararlo ó resol(erlo. )&eraciones con Segmentos: $uma) g +
g
g
g C
- PR = P$ − P/ − R$ - P / = P R − /$ - R$ = P$ − PR
12 =
n( n − 0) 3
- Para circunerencias secantes 1 2 = n ( n − 0)
- Para polígonos secantes 1 2 = L . n ( n − 0)
n = n"mero de de %guras L = n"mero de de lado lados s del poli polig gono ono
1 Sobre una recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C y D. Si + = 4C = 5C , + = 06 m . Calcular la longitud de C .
#7 8m e7 4m
Resolución:
Resta) g /
- Para puntos secantes
a7 5m c7 6m d7 9m
- + = + + C + C - + = + + - + = +C + C g P
*xi *xim mo n+mero ero de &untos ntos de corte
g R
g $
g +
g 5a
06 5 a 4
g C
a
- + = 4C = 5C ⇒ si) C:a !ntonces) 5 + = 5a y C: a 4
g
,-,Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho Luego) 5 5a + a + a = 06m ⇒ a = 4m 4 5 5 C = a = ( 4) 4 4
⇒ C =
a7 0
#7 4
c7 9
Resolución:
- +C + , + C! = 43m ( +C + C ! ) + = 43m ,
5m Rpta.
2 Sobre una línea recta se ubican ubican los puntos puntos consec consecuti utivos vos A, B, C, D y E, donde:
entonces)
+! + = 43m =..> ? 7 4 el dato) = +! ........ > ?? 7 9 Reemplazando > ?? 7 en > ? 7
+C + , + C! = 55 m ; +! = 39 m y +! + 4 +! = 43m 9 Calcul ular ar la long longit itud ud ! = 3+ , Calc de + . 3
x
g
g C
39
g
g ! 3x
- +C + , + C! = 55 m ( + + C ) + + ( C + ! ) = 55 m
+5 C 5 +54! ) + = 55 m ( 0+5+55C339m 39m+ = 55 m = 06 m Luego) x + , + 3x = 39 m 4x + 06 = 39 ⇒ x: 3m Rpta. 3 Sobr obre una línea recta se ubican ordenadamente los puntos A, B, C, D y E, si: +C + , + C! = 43m y además
=
4 +! , calcular: +! . 9
E, y ! cumpli"ndose #ue: AD $ BD % CD $ C! $ D! % E! & '(, edemas se cumple #ue: ,! 4 +@ . )allar A!. 5
Resolución:
+
C
!
B
@
Piden ) +@ +@ A !
4
+@ 5
==== > ? 7
+ C C@ @ !@ 05
.
> ?? 7 +grupando con(enientemente en > ?? 7 3 C 0+5 5 4 +C
C@
3 05 5@ 4
!@
@
+C C@ @ !@ 05 +@ ! 05 === > ??? 7
Reemplazando > ? 7 en > ??? 7
05
,-5Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho +@ 4
+@ 5
E * R +D , D E 1otación) +D 1isectri2: Rayo que di(ide al ángulo en dos ángulos congruentes.
05
;+@ 9 +@ 8 Rpta.
+
5 En una recta se toman los puntos consecutivos *, +, , -, tal #ue es el punto medio de /A #ue es igual: L1 .
R
g
α
#isectriz
Dg α
?1 L? LD D1 ?M MD
g
Resolución:
a
a
La #? # M c D a c 1 R A
#lasifcaci'n: Los ángulos se clasi%can seg"n su magnitud, seg"n sus características y seg"n su posición de sus lados.
$ea) L M M1 a ?M # MD c
L?:a # D1:a c
34 Seg+n su *agnitud:
Reemplazando R R R
a #
a #
,: Fngulo 1ulo) a c
# 3# 3c # c 5 Rpta.
a c c
5:
Dg
Fngulo
Con(exo)
<° < α < 08<2
./G0L) !s la %gura ormada por dos rayos di(ergentes que tienen un extremo com"n denominado ('rtice. Gertice
α = <2
D
+
g
Lados
g
agudo ) o x e ( n o C
α
<2 < α < 6<2
recto) o#tuso )
α = 6<2 α
6<2 < α < 08<2
64 Fngulo llano)
α = 08<2
α 74 Fngulo Cónca(o)
,-6Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho b9 Fngulos Consecuti(os
08<2 < α < 4<2
C
α
84
Fngulo
de
una
θ
β
α
D
(uelta)
+
α + θ + β + ...... = 4<°
α = 4<2
α 334 Seg+n sus características a9 Fngulos Complementarios
α + θ = 6<°
α
θ
c9 Fngulos ('rtice
α
opuestos
por
θ
α=θ
.ngulos de lados &aralelos a7 #7 θ
b9 Fngulos $uplementarios
α α
θ
el
θ
c7
α
φ
α + θ = 08<2
θ
3334 Seg+n Posici'n de sus lados a9 Fngulos adyacentes suplementarios
.ngulos de &er&endiculares 07 os ángulos agudos θ α=θ
α + θ = 08<2
α
α θ
φ ángulos o#tusos 37 os
θ
lados
,-7Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho Pro&iedades entre rectas &aralelas: ,4 $i) MII1
φ=θ
M
α x
θ
47 Fngulos) agudo y o#tuso
y
β
α
α + θ = 08<°
θ
α + θ +β = x+ y
54 isectrices de un par lineal
.ngulos ormados &or dos rectas &aralelas y una recta secante 0 5
8
3 4
9
α θ θ α α + θ = 6<2
L0
sur suur L 0 II L 3 L3
;
Fngulos internos) 4 * 5 * 9 * Fngulos externos) 0 * 3 * ; * 8 Fngulos alternos internos) H=9 H*3 H= H 5
Fngulos
1
PR)1L%*!S R%S0%L")S , Dados
dos ángulos consecutivos: A-B, B-C y C-D, E E se cumple #ue +DC = D = 6<2 , Calcular la medida del ángulo 0ormado por las bisectrices de los ángulos A-B y C-D.
Resolución:
alternos
+
H=8 H 0H = ;H * 3
C
Fngulos con&ugados internos) H + :08<2 H 5 y
H 4H + 9:08<2
Fngulos con&ugados externos) H 0H+ 8:08<2 y
externos)
H 3H + ;:08<2
Fngulos correspondientes) H:9 H*4 H =; H*5 H = 8H 0H:H * 3
α α θ
x
β β
e la grá%ca se o#ser(a)
,-8Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho Calcular la medida del ángulo x. L0 α
3α + θ = 6<2 J θ + 3β = 6<2 3( αJθJβ ) = 08<2 + β = 6<2 0α5+3θ 54
α
x
<° β β
x
x = 6<2 Rpta.
3<°
2 Se tienen tres ángulos consecutivos A-B, B-C y C-D de tal manera #ue las bisectrices de los ángulos A-B y C-D sean perpendiculares, donde el ángulo B-D mide 123. Calcular la medida del ángulo A-C.
a7 09
#7 0<
c7
e7 8
e Cla gra%ca) C x
β β
8 < 2
e la gra%ca) x = 3α + θ 8<2 = θ + 3β x + 8<2 = 3( α + θ + β ) ......... > ? 7 Pero) α + θ + β = 6<2 ......> ?? 7 > ?? 7 en > ? 7 x + 8<2 = 3( 6<2 ) x = 0<<2 Rpta. 3 !n
la gra%ca si
e7 5<2
Resolución:
Por las propiedades entre dos rectas paralelas. L0 α α
x
3<°
α α θ
#7 4<2
<° β β
Resolución:
+
a7 0<2 c7 9<2 d7 3<2
L3
L 0 II L 3 ,
L3
Por propiedad) 3( β + α ) = <° + 3<° β + α = 5<° =. > ? 7 Cuadrilátero cónca(o x + β + α = <° =. > ?? 7 > ? 7 en > ?? 7 x + 5<° = <° x = 3<° Rpta.
4 En la gra4ca mostrada calcular el valor del ángulo 567, si L 0 IIL 3 x
x
L0
x L3
,-;Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho x
a7 5<2 c7 ;<2 d7 <2
#7 9<2
β
L0
α
5<2
e7 8<2
Revolución:
- $i Nα N es el complemento de x !ntonces el triangulo som#reado es equilátero) x x x L α 0 x
x
α x e donde) 4x = 08<° ⇒ x:
L3
3<2
L3
α
el gra%co se tiene que) α = 3<2 +5<2 ⇒ α:<2 α + β = 08<2 ⇒ β:03<2 x + β = 08<2 ⇒ x: <2 Rpta.
"R3./G0L)S !s la %gura ormada por tres segmentos de recta que se unen pos sus extremos 3 a 3. , y θ
5 En
la gra4ca mostrada L 0 II L 3 , calcular la medida el ángulo 567
a7 5<2
x
#7 <2 c7 8<2 d7 9<2
L0 5<2
β
C x
+ %lementos: G'rtices) +* y C Lados) +* C y +C Fngulos interiores) α * θ y β Fngulos exteriores) x * y * z
"eoremas Fundamentales
e7 ;<2 L3
z α
3<2
,4 !n todo triangulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 08<2
θ
Resolución:
α +
β
C
,-
α + θ + β = 08<2
54 !n todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos del triángulo no adyacentes a 'l.
84 !n todo triángulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ángulo y (ice(ersa. $i) a > # > c θ
α
a
β
θ>α>β
θ
#lasifcaci'n de "ringulos:
α +
#
c
x:α + θ
34 Por sus lados
x C
64 !n todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 4<2.
escaleno
equilatero
isosceles
334 Por sus ngulos
θ3
C
Oriángulo Rectangulo +
θ4 +
C θ0
θ0 + θ 3 + θ 4 = 4<2
74 !n todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma y la sustracción de las longitudes de los otros dos lados. $i) a > # > c
#
c a
#− c < a < # + c
o l u g n a u c i l # D o l u g n a i r O
θ α
β
α
Oriangulo +cutangulo α < 6<2 * θ < 6<2 * β < 6<2
Oriangulo D#tusangulo α > 6<2
Líneas /otables "ringulo
en
el
1isectri2: !s el segmento que #iseca al ángulo de reerencia, se tienen
,->Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho #isectrices interiores y exteriores α αθ θ
,isectriz exterior
+
!
,isectriz interior
,
C
#eviana: !s el segmento determinado por un ('rtice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Ce(iana exterior
!ltura: !s el segmento determinado por la partida de un ('rtice y la llegada en orma perpendicular al lado opuesto o su prolongación. altura exterior
altura interior
C
= Pro&iedades en el triangulo is'sceles4
Ce(iana interior
isectriz +ltura Mediana Mediatriz Ce(iana
,
! *ediatri2: C + !s la línea recta perpendicular en el punto medio de un lado cualquiera. 5
La suma de las distancias de un punto de la #ase de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
Mediatriz
+
C
x = a + #
*ediana: !s el segmento determinado por un ('rtice y el punto medio del lado opuesto.
x a
# P
#onsecuencia:
Mediana
x = a + #
+
C θ
θ
x a
#
P
θ
,-$Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho es igual a 6<2 menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
= Pro&iedades en el triangulo equiltero4 ortocentro incentro #aricentro circuncentro
La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
c
E x = 6<2 − 3
64 Fngulo ormado por una #isectriz interior y una exterior, su medida es igual a la mitad del tercer ángulo interior. ,
x +
h # a
α α
θ C
h = a+ #+ c
θ
E x = 3
Pro&iedades !dicionales .ngulos Formados Por Las Líneas /otables ,4 Fngulo ormado por dos #isectrices interiores. $u medida es igual a 6<2 más la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
,4
α x:θ + α + β
,
x
θ
+
α α
x
E x = 6<2 + 3
θ θ, Cα
α por dos 5. ángulo ormado #isectrices exteriores. $u medida x
+
θθ
C
+
54
β
m
m+ n x = 3
x θ θ
+
n
α α
,,-Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho 64 a
#
4,92
9
m+ n = a + #
3,92
3
n m
74
PR)1L%*!S R%S0%L")S m
1 En un triangulo is8sceles ABC de base AC, sobre los lados AC y BC se ubican los puntos y D tal #ue B&BD, calcular la medida del ángulo CD, sabiendo #ue el ángulo AB&(29.
a + # = m+ n
#
a n
84
Resolución:
m x + y = m+ n
n
5<2
y
x
;4
α
+
θ
α=θ
+
,
α C
"ringulos /otables:
Rectngulos
α
B
x
α + x
+
x
α C
- ∆ BC) isosceles B = - ∆ +B) ángulo exterior ( α + x ) + x = α + 5<2 x = 3<2 Rpta.
5 Se 592
<2
3
3
592
4<2
4 39
;
;0,92
a7 0<2 5<2 d7 3<2
942
;52
4
9
02 35 0< 08,92
4;2
5
tiene un triangulo acutángulo ABC, donde 5+7 es el incentro y 5-7 el ortocentro y además la medida del ángulo ?C = 0352 , calcular la medida del ángulo -BA.
Resoluci'n:
#7 332 e7 442
c7
,,,Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho
,
x Dg
≅ α ?
∆ +,C) Propiedad 0352 = 6<2 + α 3 α = 82 !n el ∆ rectángulo Q+ α + x = 6<2 82 + x = 6<2 x = 332 Rpta.
,
C
+
C
+
∆ +,C ≅ ∆ + R, RC R
Primer #aso: !L! ?!ngulo–Lado–!ngulo9 os triángulos son congruentes si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a 'l.
#uarto #aso: LL!m ?Lado–Lado–!ngulo mayor9 os triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor. ,
,
≅
,
θ
C
+
∆ +,C ≅ ∆ + R, RC R
α C
C
+
≅ +
,
≅
#ongruencia de "ringulos
α
C
+
"ercer #aso: LLL ?Lado–Lado–Lado9
C
,
C
∆ +,C ≅ ∆ + R, RC R
Q
+
α
+
0352
α
,
+
θ
C
∆ +,C ≅ ∆ + R, RC R
Segundo #aso: L!L ?Lado–!ngulo–Lado9 os triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
"eorema de la base media !n todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud igual a su mitad. +C = 3M1
M θ
1
+C II M1
θ +
C
,,5Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho "eorema de la 1isectri2
entre ellos encontramos) Cuadrado Rectángulo Rom#o Rom#oide
α α
"eorema de la *ediatri2
3 #0!@R!@): $us cuatro ángulos rectos y lados congruentes. , C
#0!@R3L!"%R)S
Los cuadriláteros, es todo polígono de cuatro lados. #L!S3F3#!#3)/: ,4 #uadriltero #onvexo $us ángulos interiores son ángulos con(exos C
+
+ = C = C = +
33 R%#"!/G0L): $us cuatro ángulos rectos y sus lados opuestos congruentes dos a dos. , C
+
54 #uadriltero #'ncavo Posee un ángulo interior cónca(o
+
+ = C
y
C = +
+
C
#0!@R3L."%R)S #)/A%B)S ,4 P!R!L%L)GR!*)S: $on cuadriláteros que poseen lados paralelos dos a dos y además congruentes entre sí,
333 R)*1): $us cuatro lados congruentes y sus ángulos opuestos congruentes dos a dos. # # +
c c
a a
dd
C
,,6Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho + = C = C = +
3A R)*1)3@%: $us lados y sus ángulos opuestos son congruentes dos a dos entre sí)
C
+ ≠ C
33 "ra&ecio lados no congruentes ,
3s'sceles: paralelos
$us son
C
+
+ = C y C:+
+
+ : C
E E E = mC E m+ y m:m
PR)P3%@!@%S @% P!R!L%L)GR!*)S
L)S
!n todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. Los ángulos adyacentes a un lado de todo paralelogramo sin suplementarios. Las diagonales de los paralelogramos se #isecan mutuamente.
333 "ra&ecio Rectngulo:
C
+
E = m E = 6<2 m+
PR)P3%@!@%S %/ L)S "R!P%#3)S #
"R!P%#3)S
$on cuadriláteros que poseen dos lados opuestos paralelos se les denomina #ases del trapecio y dos lados no paralelos.
3 "ra&ecio %scaleno: !s el trapecio en el cual sus lados no paralelos son de dierente longitud.
+
C
C M
/
P
1
Los ángulos adyacentes a los lados no paralelos son suplementarios La longitud de la mediana >M17 es igual a la semisuma de las longitudes de sus #ases)
,,7Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho M1 =
#)*PL%*%/"!R3)S:
+# 3
La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales >P/7, es igual a la semiSdierencia de longitudes de sus #ases. P/ =
−# 3
a
α
a x
#
x=
#
a aα x =
α+θ
3
## θ
"R!P%C)3@%S $on cuadriláteros con(exos que no poseen lados paralelos. $e tiene dos clases de trapezoides
##
θ x=
x
α
C
3
θ
x
"ra&e2oide !simétrico:
α+ θ
a
aa
#
y
a
θ−α
3
#
x + y = 08<2
+
x
d d
c
c
+ ≠ C ≠ C ≠ + a m
"ra&e2oide Simétrico: C
m:n y a:#
n
#
$i @ es #aricentro del triangulo x
+
+ = C y +:C
g @
# a
x = a+ #
"%)R%*!S
x ,
#
,,8Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho de BA: si AB&'
a7 4m 3m d7 5m
+# 3
#7 9m
c7
e7 ;m
Resolución:
#
M
−# x = 3
x
03m
@g +
C
1
%n todo Paralelogramo cum&le que: C
, #
+
a + c = # + d
C
, # a
c
d
a
+
se
x
c x: aJ#JcJd 5 d
PR)1L%*!S R%S0%L")S: Ejemplo 1 En un triángulo ABC las medianas A y B se interceptan en el punto !, por se traa una paralela A #ue inter0ecta en a la prolongaci8n
P
$e traza) M1 >#ase media7 03 = e donde) M1 = 3 $e o#ser(a que +M1P es un rom#o +M = M1 = P1 = +P = m !n el triangulo +C @ es su #aricentro, entonces diremos que) 0 @M = +M * +M = M1 = 4 0 @M = ( ) = 3 Rpta. 4 Ejemplo 2 En un romboide ABCD se traa la bisectri AE =E en BC>. Si CD&?m. Calcular la longitud del segmento #ue une los puntos medios de AC y ED
a7 3m 0
#7 4m e7 5m
c7
,,;Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho
a
α
x +
C
∆ BC ≅ ∆ B+ Caso ( L.+.L ) !ntonces) m R !+ = m R BC x = 3<2 Rpta. #3R#0/F%R%/#3!
α α
+ a $e o#ser(a que ∆ +!) isoceles + = ! = m $i ) !C = a → + = + a !n el trapecio +!C + − !C x= >Propiedad7 3 ( + a ) − a x= 3 x = 4 Rpta. Ejemplo 3 En un cuadrado ABCD, sobre el lado CD se ubica un punto E de modo #ue AE corte a BD en , si Calcular: mR +! = 3<2 ,
m R BC = 3<2 a7 0<2 3<2 d7 5<2
#7 4<2
c7
e7 9<2
Resolución: ,
C x
! B +
3<2
$e o#ser(a congruencia)
592 592
que
existe
!s el con&unto de todos los puntos aerentes que constituyen una línea cur(a plana y cerrada, cuyos puntos están a la misma distancia R >R → radio7 de un punto interior D denominado centro de la misma.
%lementos de la #ircunerencia /
M
gP4 gP0
1
P
Dg
L4
R
L0
gP3 O
+ L3 Puntos: → D centro de la circunerencia O → punto de tangencia P0 → punto aerente de la circunerencia P3 → punto interior a la circunerencia P4 → punto exterior a la circunerencia Rectas: L 0 → recta tangente
,,
+
C
"%)R%*!S @% L! #3R#0/F%R%/#3! L O
+
O $i O es punto de tangencia) ⇒ DO ⊥ L O
g
D
M
$i ) DM ⊥ +, ⇒ +1:1,
1
M D
/
P
1
"eorema de Poncelet c
a
+
M
C + y C) Oangentes !xteriores M1 y P/) Oangentes ?nteriores +:C y M1:P/
+
D
$i +C es el diametro +EC:6<2
r
$i ) DM = D1 ⇒ +,:C
C 1
#
a + # = c + 3r
Posiciones relativas dos #ircunerencias
+
C α α
$i ) +, IIC
!dicionales:
-3
U U ⇒ ,C:+
β
P
θ β P+ = P,
+
-0
entre
θ
,,>Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho m R +P :
,4 Si las circunerencias son congruentes
xJy 3
B
gC
r
Dg r
y
6
A
V V +C:+
#oncuencia: B
-0 r
g
x + y + z = 08<2
,54 Si: DRE es &unto de tangencia
g-3 r
B
A
y
V :+D V :03<2 +D 0 3
@
)bseraci'n: B
6
x:y
C
A
Si: D"E es &unto de tangencia B
A
C
D
+, II C
D A
y
A
6
B
+, IIC
Si: D"E es &unto de tangencia a a:#
O
#
,,$Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho
Si: DPE es &unto de tangencia
C
Ejemplo 2: Calcular el perímetro del triangulo rectángulo, si las longitudes de los radios de las circun0erencias inscrita y circunscrita miden (m y 'm
U = m P1 U U = m PC m PW
PR)1L%*!S R%S0%L")S Ejemplo 1: Se tienen tres circun0erencias tangentes e6teriores dos a dos de radios: 'm,
a7 3m 9m d7 4m
#7 0m
c7
e7 5m
Resolución: + g 0m 0m
3m g
r g
4m
reerencia a la circunerencia menor son tangentes a ella, por ende) + = 4m * C = 9m * +C = 5m Los cuales determinan un triangulo rectángulo recto en + +plicando teorema de poncelet 4 + 5 = 9 + 3r ⇒ r: 0m Rpta.
3m 4m
g
C
Los lados del triangulo +C con
a7 0
#7 09m e7 n.a.
c7
Resolución:
#
a
D0g 5m
g D 3m
+
C
Por el teorema de Poncelet a + # = 3 + 3( 5 ) a + # = 45 !l perímetro será) Per. = 0a3+ 4# + 3 45
Per. =
Rpta.
Ejemplo 3: Sobre el lado AB de un cuadrado ABCD se construye e6teriormente un triángulo rectángulo AB, si es el punto
,5-Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho de intersecci8n de AC y BD. Calcular: m R MB .
a7 4<2 5<2 d7 9<2
#7 592
c7
e7 n.a.
Resolución:
#lasifcaci'n Por su Forma ,4 Polígono Plano: Lados coplanares
x +
592 592
gC
g M
+g
C
$e o#ser(a que el cuadrilátero +BM es cíclico >inscripti#le7. H + m +M E = 08<2 m +B ⇒ x: 592 Rpta.
g
54 Polígono !labeado: Lados no coplanares
+g g !
P)L3G) /)S
!s todo con&unto de segmentos consecuti(os, los cuales siguen dierentes direcciones. !s decir es toda poligonal cerrada 1 θ4 θ5 α5 C α4 + θ9
g
g
gC
6 Polígono #onvexo: $us ángulos interiores son con(exos. g +
g
α9
α3 α0
α
%lementos B θ
M
!
θ3
θ0
Lados) +, * ,C * C * ..... Gertices) + * , * C * .... Fngulos interiores) α0 * α 3 * α 4 * ..... Fngulos exteriores) θ0 * θ 3 * θ 4 * ..... iagonal) BC iagonal media ) M1
C
7 Polígono #'ncavo: Wno o mas ángulos interiores son cónca(os.
C !
0
g
+
3
g
4
g
g5
,5,Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho 84 Polígono equiltero: Poseen sus Lados congruentes , C
+
Qexágono Qeptágono Dctogono !neágono ecágono Wndecágono odecágono Pentadecágono ?coságono
) lados ) ; lados ) 8 lados ) 6 lados ) 0< lados ) 00 lados ) 03 lados ) 09 lados ) 3< lados
8 Polígono %quingulo: Poseen todos sus ángulos interiores congruentes PR)P3%@!@%S:
a a a a a
a
;4 Polígono Regular: !s aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la (ez
,
Para todo polígono de n lados) !n todo polígono num'ricamente) los ('rtices, lados, ángulos interiores y ángulos centrales son iguales. + partir de un ('rtice de un polígono con(exo se puede trazar ( n − 4) diagonales. !l numero de diagonales, se o#tiene por) 1
; Polígono 3rregular: $on los que poseen ángulos y lados desiguales.
=
n ( n − 4) 3
La suma de las medidas de los ángulos interiores resulta ser) $ i = 08<2 ( n − 3)
La suma de las medidas de los ángulos exteriores, resulta ser) $e = 4<2
La suma de las medidas de los ángulos centrales $ c = 4<2
P)R S0 /*%R) @% L!@)S Oriangulo ) 4 lados Cuadrilátero ) 5 lados Pentágono ) 9 lados
La medida de un ángulo interior de un polígono regular o equiángulo) Ri =
08<2 ( n − 3) n
,55Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho La medida de un ángulo exterior de un polígono regular o equiángulo. Re=
4<2 n
$i = 08<2 ( ; − 3) ⇒ $i = 6<<2 +demás se conoce que) $i = 4( 03<2 ) + 5a 6<<2 = 4<2 +5a ∴ a: 0492 Rpta.
PR)1L%*!S R%S0%L")S 1 /Cual es el polígono regular en el cual al aumentar en su nmero de lados, la medida de su ángulo e6terior disminuye en <9F
a7 Cuadrilátero c7 triangulo e7 n.a.
#7 pentágono d7 hexágono
3 /Cuántos lados tiene el polígono conve6o #ue al duplicar el nmero de lados, la suma de sus medidas de sus ángulos interiores se cuadruplicanF
a7 3 lados c7 4 lados e7 lados
#7 5 lados d7 9 lados
Resolución: Resolución:
Por ser polígono regular n ( n + 4) X Lados 4<2 4<2 R !xterior n n+ 4 Por enunciado) 4<2 4<2 = − 3; n+ 4 n e donde) n = 9 ( Pentágono )
Rpta.
2 En un Geptágono, tres de sus ángulos interiores miden '<29 cada uno, calcular la medida de los otros cuatro ángulos, sabiendo #ue son congruentes.
a7 05<2 d7 09<2
#7 03<2 e7 n.a.
Resolución:
c7 0492
el enunciado se tiene que) $i = 08<2 ( n − 3)
X Lados $uma R int.
n 08<2 ( n − 3)
3n 08<2 ( 3n − 3)
el enunciado se tiene que) 5 08<2 ( n − 3) = 08<2 ( 3n − 3)
∴ n:
4 lados
Rpta.
4 *a di0erencia entre en nmero de diagonales de un polígono regular con el nmero de ángulos rectos a #ue e#uivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1. /Calcular la medida de su ángulo centralF
a7 4<2 c7 9<2 d7 592
Resolución:
#7 3<2 e7 5<2
el enunciado se tiene) $R i 1 − =8 6<2 n( n − 4) 08<2 ( n − 3) − =8 3 6<2
,56Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho Resol(iendo) n = 8 Luego la medida de un ángulo central 4<2 Rc= = 592 8 R c = 592 Rpta.
6 YCuál es el perímetro de un rectángulo que tiene de diagonal 09 m y su ancho es ;9Z de su largoA a7 < #7 58 c7 53 d7 3 e7 98 7 Los lados de un triángulo miden ;, 05 y 09 m. YCuánto se de#e disminuir a cada lado para que el triángulo que resulte sea triángulo rectánguloA a7 0 m #7 0,9 m c7 3, 9 m d7 3 m e7 4,9 m 8 !n un cuadrado +C de la do 0 m se trazan 3 cuadrantes con centros en + y C y con radio 0 m, que interceptan a la diagonal +C en P y /, hallar P/ .
, !n un triángulo +C, ,B es #isectriz, B esta en +C . $i) +:B:BC, Qallar la medida del ángulo C+. a7 4<2 #7 592 c7 942 d7 4;2 e7 42 5 !n un triangulo rectángulo si uno de los ángulos agudos mide 48K, YCuánto mide el ángulo que orman la altura y la mediana relati(a a la hipotenusaA a7 35K #7 3
a7 ( 3 − 0) 3 c7 3 + 0 e7 4 − 0
#7
3 −0 d7 3 − 3
; !n el cuadrilátero +C se cumple) + = <° , = 09<° , C = 03<° , + = 4 , + = 05 , calcular C . 8 8 0< 4 4 4 a7 #7 c7 9 4 4 6 4 d7 e7 1.+. 4 < $i el área de un cuadrado inscrito en la circunerencia es al área del cuadrado inscrito en las semicircunerencias como)
,57Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho a7 3)0 9)3 d7 5)4
#7 4)3
c7
e7 9)4
> Qallar la distancia entre los puntos medios de dos caras consecuti(as de un cu#o, cuyas aristas miden 3 . a7 0 #7 0I3 c7 4I8 d7 <,;9 e7 V $ !n una circunerencia de 03 m de radio se toma un sector circular de
d7 0,<;9
,, $e tiene un sólido de madera de 08 cm de arista, se pintan todas sus caras y luego se di(ide en cu#itos de 4 cm de arista, YCuántos cu#itos tienen sólo una cara pintadaA a7 35 #7 4 c7 6 d7 e7 8
,5 YCuál es la dierencia de las áreas de dos círculos que son tangentes interiormente si la distancia entre sus centros es ; cm y la suma de sus circunerencias es ;< cmA a7 359 #7 38< c7 039 d7 06< e7 3< ,6 Qallar el área de un rectángulo de perímetro 3p inscrito en una circunerencia de radio R. 3 3 3 3 p − 5R p + R a7 #7 3 3 3 3 3 3 p − 3R p − 3R c7 d7 3 3 e7 1.+. ,7 Qallar el área total de un cono si el ángulo ormado por la generatriz y el radio de la #ase mide
,58Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho razón de la nue(a circunerencia al nue(o diámetro es) a7 π + 3 #7 π − 3 c7 π I3 d7 π e7 π − 0
,< Los radios de 3 circunerencias ortogonales miden 8 y 09. eterminar el área del círculo inscrita en el triángulo que se orma al unir los centros de las circunerencias originales con uno de sus puntos de corte. a7 6π #7 π c7 0π d7 5π e7 39π ,> el punto P se trazan las secantes PB+ y PQ de manera que + es el diámetro del círculo, siendo D el centro del círculo tal que) P = 9<° , hallar la medida del ángulo BDQ. a7
c7 94K d7
e7 4;K
5, Qallar el área máxima que puede tener un rectángulo inscrito en un triángulo +C, +C: y altura Q = h , uno de los lados del rectángulo está so#re +C . #h #h a7 #7 c7 4 5 #h 9 #h h d7 e7 3 3# 55 Calcular el radio de la circunerencia inscrita en un rom#o si sus diagonales miden) 0m y 03m. a7 5,8 #7 9,3 c7 9,0 d7 4,3 e7 4,8 56 Qallar) M1 + MP , si) M1 = M/ 57 a7 4 − 0 M #7 4 + 0 θ θ c7 3 4 d7 4 3 592 e7 5 4 1 / P 57 Qallar x, si) + = 3( P/ ) P a7 4
c7
592
+
g
,5;Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho ángulo Nθ N puede inclinarse de tal manera que no se derrameA a7 4;K #7 94K c7 4
θ
d7 59K
58 !n la %gura +C es un rectángulo, M = 3( +M ) . Qallar el perímetro. a7 9< #7 93 c7 95
C
4;2
8
d7 56 e7 9
M
+
0<
e7
5$ Qallar el ancho del rectángulo mostrado. a7 4 + 0 C #7 4 − 0 592 c7 4 09<2 d7 3 4 + 3 e7 3
5; Qallar) +M en el gra%co mostrado) a7 3 3
6- Qallar) x a7 4
#7 5 3
c7 4;K
C
c7 3
;
832
d7 9K
M
e7
d7 4 3 e7 1.+.
+
;
5< Qallar la longitud de la a&a que rodea las circunerencias iguales de radio <,9 cm. a7 + 3π #7 5 + π c7 5 − π d7 3( 5 − π ) e7 + π 5>Wn hasta
cilindro contiene sus 4I5 partes.
agua Y/u'
9
x 4<2
+
C
6, !n el triangulo. YCuál de las siguientes relaciones entre los ángulos es (erdaderaA , y1 # x
z m
+ a7 xJz:aJ# #7 yJz:aJ#
n c
a C
,5
67
e7 xJyJnJ:aJ#Jm
eterminar el (alor del
ángulo x, $i) +:C
a7 032
4x
#7 092 c7 0;2 d7 082
3 x
x
e7 3<2 +
65 $i +C es un cuadrado de lado 3m y el triángulo C! es equilátero. YQallar el área del triángulo +CA a7 4 − 0 , C #7 3( 4 − 0) c7 3,39 d7
+
3<2
d7 4<2
4α
1
e7 082
W
x
α α
α
0<<2
c7 592 x
#7 3<2
c7 092 e7 92
P
6; eterminar el (alor del ángulo NxN . a7 4<2 x #7 <2
2 0 < 0< 2
d7 082
determinar el (alor del ángulo x, si) CP:3W1C
c7 <2
!
66 el gra%co mostrado, determinar el ángulo x
a7 0<2
!n el gra%co mostrado
a7 42 #7 592
4 +0
e7 3,039
68
C
d7 4;2 e7 942
x
a
5a
x a
,5>Matemático Razonamiento Ronald Carhuancho 6< $i se tiene que) !:!B:!:BC y +:+B, determinar el ángulo x. a7 452 #7 952 c7 4;2 d7 4<2
B
equiláteros, hallar la distancia de ! a si +:0<. a7 0< #7 9
c7 8 d7
e7 5
7- Qallar la medida del ángulo
x !
+
los triángulos +!C y C resulten
C +C de un triángulo +C, si se
e7 <2
E conoce que) +C = 55° , + = 39
y C = 58 a7 4<2
#7 592 c7 <2 d7 4;2e7
092
7,
!n el siguiente gra%co
determinar 4x si +C:+J.
6>
ado el triangulo +C, se
E , E tiene que +:8 y C+ = 5+C
determinar
el
máximo
(alor
entero que puede asumir C. a7 40 #7 30 c7 06 d7 43 e7 33
,
, a7 992 #7 4<2 c7 9< d7 42 3<2 0<2 +3x 3<2 e7 8<2 + C 75 !n un triangulo +C se traza
la mediana M, de tal manera E = 592 . Qallar) C+ E si se que M+ E . E conoce que C+ = 3C+
5α +
a7 3
α C
6$ ado el triangulo rectángulo +C, recto en , se u#ican los
#7 4
c7 09K d7 59K
e7
puntos y ! exteriores y relati(o
76 el gra%co, Calcular Nθ N a7
a la hipotenusa* de tal orma que
#7 5
3θ
θI3
θ
