MOVIMIENTO CIRCULAR Es un tipo de movimiento en el plano, en el cual la partícula gira a una distancia fija alrededor de un punto llamado centro. El movimiento circular puede ser de dos tipos:
Movimiento circular uniforme
Movimiento circular uniformemente variado.
CANTIDADES CANTIDADES CINEMÁTICAS ANGULARES Radio de giro ( R ): Es la distancia constante desde la
∆S ∆Φ
partícula hasta el centro de giro.
r R
Vecor Vecor !o"ici#$ ( r ) ) : Es el vector que ubica la partícula en cualquier punto de su trayectoria.
De"!%a&a'ie$o a$g%ar (∆Φ) : Es el cambio de posición angular de la partícula durante el movimiento. Se mide en radianes.
Lo$gi Lo$gid d %i$ea% %i$ea% (∆S): Es el cambio de posición lineal de la partícula durante el movimi movimient ento. o. Se mide mide en metros metros.. El despla desplaam amien iento to linea lineall se relaci relaciona ona con el desplaamiento angular con la ecuación ∆S R *+
Ve%ocidad Ve%ocidad a$g%ar 'edia: Mide el desplaamiento angular por unidad de tiempo. Se mide en rad!s. "a velocidad angular se calcula con:
ω
,' ∆Φ -∆ Φ. / Φ0 - - . / 0 Ve%oci %ocida dad d
a$g a$ge$ e$ci cia% a%
'edi 'e dia: a:
Mide el desplaamiento por unidad de tiempo. tiempo. Se mide en m!s. "a velocidad se calcula con:
v' ∆r - ∆ r . 1 r 0 - . /0 El vector velocidad tangencial se puede e#presar con la siguiente ecuación
vT 2 R ( 1 Se$ Φ i 3 Co" Φ 4 ) "a velo veloci cida dad d line lineal al o tang tangen enci cial al se rela relaci cion ona a con con la velo veloci cida dad d angu angula larr con con la ecuación v R , vT Ace%eraci#$ ce$r5!ea: $omo puede observarse en la figu figura ra la velo veloci cida dad d camb cambia ia de dire direcc cció ión, n, debi debido do a la aceler aceleraci ación ón ac6 "a aceler aceleraci ación ón centríp centrípeta eta es normal normal al ac vecto vectorr veloci velocidad dad y produc produce e el cambi cambio o de direcc dirección ión del vector velocidad "a magnitud de la aceleración centrípeta se calcula con: v. - R o ,. R
R
El
vector aceleración
centrípeta
se puede
e#presar con la siguiente ecuación
aC 2 R ( 1 Co" Φ i 1 Se$ Φ 4 ) .
"a figura muestra las direcciones de la velocidad y aceleración en distintos puntos del movimiento circular uniforme de una partícula.
"a velocidad tangencial instant%nea velocidad angular media
vT = lim x →∞
se puede calcular tomando el límite a la v 2 − v1 t 2 − t 1
Ace%eraci#$ a$ge$cia%: Se produce cuando varía la
a c c c c c cc
vT
magnitud de la rapide de la partícula. En el movimiento circular uniforme es de modulo constante. "a aceleración tangencial media es el cambio de magnitud de la velocidad tangencial por unidad de tiempo VT
aT' v. /v0 - . /0
R
aT
El vector aceleración tangencial se puede e#presar con la siguiente ecuación
aT 7 R ( 1 Se$ Φ i 3 Co" Φ 4 ) "a aceleración tangencial instant%nea aceleración tangencial media
se puede calcular tomando el límite a la aT = lim x →∞
aT 2 − at 1 t 2 − t 1
Vecor ace%eraci#$
"as aceleraciones centrípeta y tangencial son componentes del vector aceleración El vector aceleración se puede e#presar con la ecuación
a. aT. 3 aC.
Ve%ocidad a$g%ar 8 ace%eraci#$ a$g%ar &na partícula en movimiento circular de radio r, genera un arco s y un %ngulo ' siendo (s ) * ('. +tra manera de describir el movimiento circular es analiando las variables angulares: el desplaamiento angular (', la velocidad angular y la aceleración angular. En la figura se muestra el %ngulo barrido (' ) ' - ', en un intervalo de tiempo (t ) t - t.
"a velocidad angular , es un vector perpendicular al plano del movimiento, representado en el eje del movimiento circular. /or convención el sentido de , se determina por la regla de la mano derecha, los cuatro dedos siguen el sentido de giro de la partícula y el dedo pulgar indica el sentido de ,9
Si la velocidad angular instant%nea de un móvil cambia de ,0 a ,. en el intervalo de tiempo (t, el móvil tiene una aceleración angular.
Ace%eraci#$ a$g%ar (7): Mide el cambio de velocidad angular por unidad de tiempo en rad!s, puede ser media o instant%nea. Es un vector colineal con el vector velocidad angular. En el movimiento circular uniformemente variado es constante "a aceleración angular media se puede calcular con la e#presión
7' *, - *
en rad!s
"a aceleración angular instant%nea se puede calcular tomando el límite a la aceleración angular media α
= lim x →∞
ω2 − ω1
t 2 − t 1
0 α
El modulo de la aceleración angular instant%nea se puede calcular con la e#presión :
7 aT - R
en rad!s
"a aceleración angular en el M$&1 es constante y su grafica se representa en la figura
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIORME "a partícula recorre arcos iguales en tiempos iguales. Sus características son:
"a rapide tangencial es constante "a aceleración es perpendicular a la
velocidad y su modulo es constante "as velocidades angulares media
e
instant%nea son iguales "a aceleración angular es cero "a aceleración tangencial es cero
Ecacio$e" "a magnitud de , v - R en rad!s "a magnitud de aC v. - R ,. R en m!s El vector velocidad v , ; r El periodo T .< - , 8 , .< = El desplaamiento angular
Gr>?ica" '
'o .
+ +o 3
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIORMEMENTE ACELERADO $onsideremos ahora un móvil en una trayectoria circular en la que su velocidad cambia tanto en dirección como en magnitud, como se puede ver en la figura a
a
t a
a
)
r a
r
a
r
a
a a
a a
r
a
)
r
a
t
r
t
a
a
a
t
"a velocidad siempre es tangente a la trayectoria, Se puede observar que adem%s de aceleración radial o centrípeta, ar , hay aceleración tangencial, a, por lo que la aceleración total a hace un %ngulo respecto a la trayectoria. "a aceleración radial 2normal o centrípeta3 se debe al cambio en la dirección de la velocidad v y tiene magnitud
ac
v =
,
r
donde r es el radio de la trayectoria.
"a magnitud de la aceleración radial no es constante, como en el caso de movimiento circular uniforme, pues la velocidad v cambia de magnitud. "a aceleración tangencial, a es originada por el cambio en la rapide de la partícula En el 'ovi'ie$o circ%ar $i?or'e'e$e ace%erado 2M$&43 la a es de magnitud constante. En la figura se observa claramente que el vector aceleración total a es el resultado de sumar la componente radial ac y la componente tangencial a6
a ar 3 a "as componentes ar y a son vectores perpendiculares entre sí El módulo del vector aceleración total es
a @ ar 3 a
En el 'ovi'ie$o circ%ar $i?or'e'e$e ace%erado 2M$&43 la aceleración angular es de magnitud constante y su grafica se observa en la figura "a velocidad angular 5 se relaciona con el desplaamiento angular, ' a partir de la definición
, , 3 7 donde 56 es la velocidad angular inicial en el tiempo t6 ) 6. $uando 5 es variable en el tiempo, la velocidad angular media 5m es la semi suma de las velocidades inicial y final en un intervalo ∆t: 5m )
ω+ω
o
,
De"!%a&a'ie$o a$g%ar (*+) 7el %rea bajo la curva de la velocidad angular obtenemos la e#presión del desplaamiento angular '
+ + 3 , 3 B 7 .
Eliminando t en las dos 8ltimas ecuaciones, se llega a
, . ,. 3 . 7 (+ 1 +)
Re%acio$e" e$re %a" ca$idade" a$g%are" 8 %i$ea%e" El movimiento circular se describe sea con las llamadas cantidades lineales como desplaamiento s, velocidad v, aceleraciones radial y tangencial. o con las cantidades angulares definidas en los p%rrafos anteriores. 1eremos enseguida las relaciones entre sí. *ecordemos que el arco s descrito por un móvil es : s ) r ', la velocidad tangencial o lineal v se define (s v)
(' )
r ) r5
(t (t En 9sta 8ltima e#presión se observa que en el movimiento circular la velocidad tangencial depende directamente de la distancia del móvil respecto del eje de giro, dado por r. 4 mayor distancia r, mayor velocidad lineal.
En el movimiento circular uniformemente acelerado la aceleración tangencial esta dada por a
t
=
(v (t
=
(2r ω3 (t
=
(ω r (t
=
r α
/or ultimo la aceleración radial o normal sabemos esta definida por: ,
ar =
v r
=
( r5) , r
=
,
5 r
"as ecuaciones usadas tanto con magnitudes lineales o angulares se muestran en la tabla
En el movimiento circular de la figura hay que considerar los siguientes casos
E4e'!%o 0
&na partícula se mueve en una trayectoria circular de m de radio y el módulo de su velocidad es v ) ; en m!s. 7etermine en qu9 instante la magnitud de la aceleración tangencial es
So%ci#$ a = a t ? <
at
=
? , a B t
+
a t ,
a t
=
+
a ,t
at
a t
+
a c,
=
< a , at ?
=
<
elevando al cuadrado ,
.C , a B t
=
A
2. +
*eemplaando at ) < y despejando D ) ,6 s
