VELOCIDAD ANGULAR: Consideremos ahora el caso especial en el cual la trayectoria es un círculo; esto
es, movimiento circular. La velocidad v , siendo tangente el círculo, es perpendicular al radio R AC . Cuando medimos distancias a lo largo de la circunferencia del círculo a partir de O , tenemos, de la figura, que s R , de acuerdo a las ecuaciones y demostraciones anteriores consideramos que: ds d R d R (1) v dt dt dt La cantidad: d (2) dt se denomina velocidad angular, y es igual a la variación del ángulo descrito en la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo,
rad s
,
o simplemente
s , luego: 1
v R
(3) v
A
R
s
C
O
Figura 1: Movimiento Circular
La velocidad angular puede expresarse como una cantidad vectorial cuya dirección es perpendicular al plano del movimiento en el sentido de avance de un tornillo de rosca derecha girado en el mismo sentido en que se mueve la partícula.
Misión de la universidad :
Z
R
uk
v r
r O
X
Y
Figura 2: Relación vectorial entre la velocidad angular, la velocidad lineal y el vector de posición en el movimiento circular
De la figura vemos que R rsen y que
d ; por lo tanto podemos dt
uk
escribir, en lugar de la ecuación (3): v rsen indicando que la siguiente relación vectorial cumple, tanto en magnitud como en dirección. v r (4) Nótese que esto es válido v álido solamente para movimiento circular o rotacional (movimiento con r y constante) De interés especial es el caso de movimiento circular uniforme; esto es, movimiento en el que constante. En este caso, el movimiento es periódico y la partícula pasa por cada punto del círculo a intervalos iguales de tiempo. El periodo P es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolución y la frecuencia es el número de revoluciones por unidad de tiempo. Así si en el tiempo t la partícula realiza n revoluciones, el
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periodo es P t
n
y la frecuencia es
Ambas cantidades están f n . t entonces relacionadas por la siguiente expresión, que usaremos a menudo: 1 (5) f P Cuando el periodo se expresa en segundos, la frecuencia debe expresarse en
s , 1
unidad denominada
hertz ,
abreviada Hz . El término usual es revoluciones por segundo (RPS) en lugar de s 1 o Hz .
Si es constante, tenemos, integrando la ecuación (2): t
t
d dt dt
0
t0
t 0
Si tomamos como condiciones iniciales que 0 0 y t 0 0 la expresión anterior se reduce a:
(6) t Para una revolución o una vuelta tenemos t P y 2 , tenemos: 2 2 f (7) P
Misión de la universidad :
2
d
d
2 (9) dt dt Cuando la aceleración angular es constante (esto es cuando el movimiento circular es uniformemente acelerado), tenemos, integrando la ecuación anterior:
t
t
d dt dt
0
t0
t 0
0 (t t 0 )
(10)
donde 0 es el valor de para el tiempo t 0
. Sustituyendo la ecuación (10) en la
ecuación (2) obtenemos d 0 t t 0 dt e integrando nuevamente obtenemos:
0 (t t 0 )
t
Cuando la velocidad angular de una partícula cambia con el tiempo, la aceleración angular está definida por el vector: d (8) dt Como el movimiento circular es un plano, la dirección de permanece invariable, y la expresión (8) también cumple para las magnitudes de las cantidades involucradas. Esto es,
Los conceptos de periodo y frecuencia son aplicables a todos los procesos periódicos que ocurren en forma cíclica; esto es, aquellos procesos que se repiten después de completar cada ciclo. Por ejemplo, el movimiento de la tierra alrededor del sol no es ni circular ni uniforme, pero es periódico. Es un movimiento requerido para completar un ciclo, y la frecuencia es el número de ciclos por segundo, correspondiendo un hertz a un ciclo por segundo.
ACELERACION ANGULAR:
t
t
d dt (t t )dt 0
0
t0
0
t 0
De modo que: 1 0 0 (t t0 ) (t t0 ) 2 (11) 2 Esto da la posición angular de la partícula en cualquier tiempo. En el caso particular del movimiento uniforme, encontramos combinando las ecuaciones de aceleración con la ecuación (9) dv d d 2 R R 2 R (12) aT dt dt dt
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Y que la aceleración centrípeta) es: a N
v2
normal
(o
R (13) R Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el movimiento circular se ilustran así: 2
v R
v
aT R
a
VELOCIDAD RELATIVA:
Sin duda han observado que un auto que avanza lentamente parece moverse hacia atrás cuando usted lo rebasa. En general, si dos observadores miden la velocidad de un cuerpo, obtienen diferentes resultados si un observador se mueve relativo al otro. La velocidad que un observador dado percibe es la velocidad relativa a él, o simplemente velocidad relativa.
A
a N
v
2
R
C
Figura 3: Aceleración Tangencial y Normal en el movimiento circular
Nótese que en el movimiento circular uniforme (aceleración angular es nula) no hay aceleración tangencial, pero sí hay aceleración normal o centrípeta debido al cambio de dirección de la velocidad. En este caso de movimiento circular uniforme podemos calcular la aceleración directamente la ecuación (4). Luego como es constante: a
dv
dr
v (14) dt dt Si reemplazamos nuevamente en expresión (4) tenemos:
la
a r (15) Como el movimiento es circular uniforme, la aceleración dad por la ecuación (14) o (15) debe ser aceleración centrípeta. Esto puede verificarse fácilmente. Refiriéndose a la figura 4, vemos que el vector v señala hacia el centro del círculo, y su magnitud es
v v 2 R , ya que y v son perpendiculares y v R y esto coincide con la ecuación (13) Misión de la universidad :
Primero consideraremos la velocidad relativa en línea recta, y luego la generalizaremos a un plano. Recuerde que el movimiento rectilíneo (unidimensional), velocidad se refiere a la componente del vector velocidad sobre la línea de movimiento, y puede ser positiva, negativa o cero. Velocidad Relativa en una Dimensión:
Una mujer por ejemplo, camina con velocidad constante 1.0 m por el pasillo s de un vagón de ferrocarril que se mueve a 3.0 m (ver figura 4-a). ¿Qué velocidad s tiene la mujer? Es una pregunta sencilla pero no tiene una sola respuesta. Para un pasajero sentado en el tren, se mueve a 1.0 m . Para un ciclista parado junto al s tren, la mujer se mueve a Un 1.0 m 3.0 m 4.0 m . s s s observador en otro tren que va en la dirección opuesta diaria otra respuesta. Debemos especificar quien es el observador y dar la velocidad relativa a él. La velocidad de la mujer relativa al tren es 1.0 m , relativa al ciclista es s 4.0 m , etc. Cada observador, equipado s en principio con un metro y un cronómetro, constituye lo que podemos llamar un marco de referencia. Así, un marco de referencia es un sistema de coordenadas mas una escala de tiempo.
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Llamaremos al A marco de referencia del ciclista (respecto al suelo) y B al del tren en movimiento (ver figura 4-b). En el movimiento rectilíneo, la posición de un punto P relativa al marco de referencia A está dada por la distancia
X P / A
(la proyección de P respecto a A ), y la posición respecto al marco B está dada por
X P / B . Figura 4: (a) Una mujer camina dentro de un tren. (b) En el instante que es muestra, la posición de la mujer (partícula P) relativa al marco de referencia A es diferente de su posición relativa al marco de referencia B
La
distancia
del origen de A al origen de B (posición de B respecto a A ) es
X A/ B .
Vemos que en
la figura que:
X P / A X P / B X B / A
(16)
Esto nos dice que la distancia total del origen de A al punto P es la distancia del origen de B a P más la distancia del origen de A al origen de B . La velocidad de P relativa al marco A , denotada con v P / A , es la derivada de
X P / A
respecto al tiempo. Las otras velocidades se obtienen igual, así que la derivada respecto al tiempo de la ecuación (16) nos da la relación entre las velocidades. dX P / A dX P / B dX B / A dt
dt
dt
O sea:
v P / A vP / B vB / A
(17)
Volviendo a la mujer en el tren, A es el marco de referencia del ciclista, B es el del tren, y el punto P representa a la mujer. Usando la notación anterior, tenemos:
v P / B 1.0 m v B / A 3.0 m s s Por la ecuación (17), la velocidad v P / A de la mujer relativa al ciclista es v P / A 1.0 m 3.0 m 4.0 m s s s Lo cual ya era de nuestro conocimiento.
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Si la mujer se asoma por la ventana, le parecerá que el ciclista estacionario se mueve hacia atrás; llamamos v P / A a la velocidad del ciclista relativa a ella. Es evidente que ésta es el negativo de v P / A . En general, si A y B son dos puntos o marcos de referencia cualesquiera,
v A/ B vB / A
(18)
Velocidad relativa en dos o tres dimensiones:
Figura 5: (a) Mujer que camina a lo ancho de un v agón de ferrocarril, vista desde arriba. (b) el vector de posición depende del marco de referencia. (c) Diagrama Vectorial para la velocidad de la mujer r elativa al suelo.
Podemos extender el concepto de velocidad relativa al movimiento en un plano o en el espacio usando suma vectorial para combinar las velocidades. Suponga que la mujer del tren no camina por el pasillo del vagón sino de un costado al otro, con rapidez de 1.0 m s (ver figura 5-a). También podemos describir su posición P en dos marcos de referencia distintos, A para el observador terrestre estacionario y B para el tren en movimiento, pero en vez de coordenadas X usamos vectores de posición bidimensional. Entonces, como se muestra en la figura 5-b,
r P / A rP / B r B / A
r
porque el problema es
(19)
Igual que antes, derivamos respecto al tiempo para obtener una relación entre las velocidades; la velocidad de P relativa a A es v P / A
d r P / A dt
, e igual para las demás
velocidades. Obtenemos
v P / A vP / B vB / A
(20)
Si las velocidades están en la misma línea, la ecuación (20) se reduce a la ecuación (17) para las componentes de las velocidades en esa misma línea.
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Si la velocidad del tren relativa al suero tiene magnitud v P / B 1.0 m s , su vector velocidad v P / A
relativa al suelo es la mostrada en el diagrama vectorial de la figura 5-c. El teorema
de Pitágoras nos da: v P / A
2 2 3.0 m s 1.0 m s
10 m s 3.2 m s También es evidente en el diagrama que la dirección de su vector velocidad relativa al suelo forma un ángulo con la velocidad del tren v B / A , donde: tan
v P / B v B / A
1.0 m s 3.0 m s
18 Como en el caso dl movimiento rectilíneo, tenemos la regla general de que si A y B son dos puntos o marcos de referencia cualesquiera, (21) v A/ B vB / A La velocidad de la mujer con respecto al tren es el negativo de la velocidad del tren con respecto a la mujer, etc. La ecuación (20) se conoce como transformada Galileana de la velocidad, y muestra que la velocidad de un objeto P con respecto al marco A y su velocidad con respecto al marco B ( v P / A y vP / B respectivamente) están relacionadas por la velocidad del marco B con
respecto al marco A
v . P / B
1. Verdadero o falso: Si la afirmación es verdadera, explicar por qué lo es. Si es falsa, dar un contraejemplo, es decir, un ejemplo que contradiga la afirmación. a. La velocidad angular y la velocidad lineal tienen las mismas dimensiones. b. Todas las partes de una rueda en rotación poseen la misma velocidad lineal. c. Todas las partes de una rueda en rotación poseen la misma velocidad angular. d. Todas las partes de una rueda en rotación poseen la misma aceleración angular. 2. La tierra tiene 6380 Km de radio y gira una vez sobre su eje es 24 horas, a) ¿Qué aceleración radial tiene un objeto en el Misión de la universidad :
ecuador? b) si la aceleración radial en el ecuador fuere mayor que g, los objetos saldrían volando al espacio ¿Cuál es el periodo de rotación para que esto ocurra? 3.
Una partícula se mueve en una circunferencia de radio 100 m con una velocidad de módulo constante de 20 m/s a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por segundo alrededor del centro de la circunferencia? b) ¿Cuántas revoluciones realiza en 90 s? c) ¿Cuál es el valor de su aceleración centrípeta?
4.
En la figura se representa en un instante dado, la aceleración total de una partícula que se mueve en el sentido de las manecillas del reloj en un círculo de 2,50 m de radio. En ese instante de
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE tiempo encuentre: a) la aceleración centrípeta, b) la velocidad de la partícula y c) su aceleración tangencial.
5.
Una rueda parte del reposo y tiene aceleración angular constante de 2 rad/s2. Después de 8 segundos: a) ¿Cuál es su velocidad angular? b) ¿Qué ángulo habrá girado la rueda? c) ¿Cuántas revoluciones habrá dado? d) ¿Cuál es la velocidad y la aceleración de un punto situado a 0.4 m del eje de rotación?
6.
En una prueba de traje g, un voluntario gira en un círculo horizontal de radio de 7.0m, ¿con que periodo la aceleración centrípeta tiene magnitud de a) 3.0 g? b) ¿10 g?
7.
Para un punto situado sobre la superficie de la Tierra en el Ecuador, calcule: a) la velocidad angular, b) la velocidad lineal.
8.
Un disco que gira a 90 RPM Si frena con aceleración angular constante y se detiene al cabo de 2 minutos: a) Hallar la aceleración angular. b) ¿Cuál es la velocidad angular del disco? c) ¿Cuántas revoluciones realiza antes de detenerse?
9.
Un modelo de motor de helicóptero tiene cuatro aspas, cada una de 3.20 m de longitud desde el eje central hasta la punta. El modelo se gira en un túnel de viento a 550 RPM, a) ¿Qué rapidez lineal tiene la punta del aspa en m/s? b) ¿Qué aceleración radial tiene la punta del aspa, expresada como múltiplo de g?
10. Un ciclista parte del reposo y pedalea de modo que las ruedas de su bicicleta tienen una aceleración angular constante. Al cabo de 10s las ruedas han Misión de la universidad :
FISICA 1 girado 5 revoluciones. a) ¿Cuál es la aceleración angular de las ruedas? b) ¿Cuál es su velocidad angular al cabo de 10 s? c) Si el radio de la rueda es 36 cm y rueda sin deslizamiento, ¿qué distancia habrá recorrido el ciclista en 10 s? 11. Una muela de afilar en forma de disco tiene una masa de 2 Kg y un radio de 7 cm y está girando a 700 RPM. Cuando se desconecta el motor, una joven continúa afilando un cuchillo manteniéndolo contra la muela hasta detenerla (10s). a) Hallar la aceleración angular de la muela de afilar admitiendo que es constante b) ¿Cuántas vueltas da la muela hasta detenerse. 12. El satélite Westar VI está en una órbita circular a 600 km sobre la superficie de la Tierra. La aceleración de caída libre en ese lugar es de 8,21 m/s 2. Si el radio de la Tierra mide 6 400 km, determine la rapidez del satélite y el tiempo requerido para completar una órbita alrededor de la Tierra. 13. Imagine que, en su primer día de trabajo para un fabricante de electrodomésticos, le piden averiguar que hacerle al periodo de rotación de una lavadora para triplicar la aceleración centrípeta, y usted impresiona a su jefe contestando inmediatamente. ¿Qué contesta? 14. Una rueda del a fortuna de 14.0m de radio gira sobre un eje horizontal en el centro. La rapidez lineal de un pasajero en el borde es constante e igual a 7.00 m/s. ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración del pasajero al pasar a) por el punto más bajo de su movimiento circular? b) ¿por el punto más alto? c) ¿Cuánto tarda una revolución de la rueda?
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