01 Kunci Mat 10b Wajib K-13 2016

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.















Setelah mempelajari bab ini, siswa mampu: 1. meng mengonver onversikan sikan satua satuan n ukura ukuran n sudut sudut;; 2. mene menentuka ntukan n perbandingan perbandingan trigonom trigonometri etri pada segitiga segitiga siku-siku siku-siku;; 3. mene menentuka ntukan n perbandingan perbandingan trigonome trigonometri tri untuk sudut sudut di berbagai kuadran; kuadran; 4. mene menentuka ntukan n perbandingan perbandingan trigonom trigonometri etri untuk sudut-su sudut-sudut dut berelasi; berelasi; 5. menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan berkaitan dengan perbandingan trigonometri. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa mampu: 1. berp berpikir ikir logis logis dan percaya percaya diri dalam menyeles menyelesaikan aikan masalah masalah kontekstu kontekstual; al; 2. beke bekerja rja sama sama dan bertanggung bertanggung jawab jawab dalam dalam menghadapi menghadapi masala masalah. h. Satuan Ukuran Sudut

Besar Sudut Sudut dan Kuadran

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Latihan 1

Konsep Dasar Perbandingan

Latihan 2 Perbandingan Trigonometri Soal-Soal

Materi Perbandingan Trigonometri untuk SudutSudut Berelasi

Latihan 3

Ulangan Harian

Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Berelasi

Trigonometri (1) Tugas

Mengonversikan Satuan Derajat, Menit, dan Detik Menentukan Rumusan untuk Sudut Berelasi

Penulisan Nama Sudut

Menunjukkan Hubungan Antara Satuan Derajat dan Radian Informasi

Kegiatan

Pemantapan

Pencetus Rumusan Sinus, Kosinus, dan Tangen

Menentukan Rumus Kebalikan dan Rumus Perbandingan Menentukan Nilai Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Istimewa Menjelaskan Satuan Derajat dan Radian

Berselancar Internet

Menjelaskan Sinus, Kosinus, dan















6. Jawaban: e Sudut selalu dihitung dari sumbu X positif yang diputar berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik asal (titik O) sebagai pusat putaran. Dengan demikian sudut 30° disajikan seperti berikut.

A. Pi Pilih lihan an Gan Ganda da

1. Jawaban: d 1 rad =

180° 180° π

3 ra ad π r 4

sehingga:

=

3 π 4

=

3 41

×

180° 180° π

× 180°

Y 45

30°

= 3 × 45° = 135° 3 π 4

Jadi, sudut

O

X

rad = 135°.

2. Jawaban: b 1° =

π 180

Jadi, sudut 30° ditunjukkan oleh pilihan e. rad sehingga: 2

72° = 7 2 × Jadi, sudut 72°

π 5

rad =

180 2 = π rad. 5

2 π rad 5

3. Jawaban: c Sudut A =

1 6

Sudut B =

2 π rad 15

putaran = =

1 6

2 π 15

× 360° = 60° ×

180° 180° π

= 24°

Hasil penjumlahan kedua sudut: A + B = 60° + 24° = 84° Jadi, hasil penjumlahan kedua sudut tersebut adalah 84°. 4. Jawaban: d 11°24'32" + 89°45'56" = (11° + 89°) + (24' + 45') + (32" + 56") = 100° + 69' + 88" = 100° + 60' + 9' + 60" + 28" = 100° + 1° + 9' + 1' + 28" = 101°10'28" Jadi, hasil 11°24'32" + 89°45'56" = 101°10'28". 5. Jawaban: b 23°12'46" – 11°23'43" – 9°11'12" = (23° – 11° – 9°) + (12' – 23' – 11') + (46" – 43" – 12") = (23° – 11° – 9°) + (11' – 23' – 11') + (106" – 43" – 12") = (23° – 11° – 9°) + (11' – 23' – 11') + 51" = (22° – 11° – 9°) + (71' – 23' – 11') + 51" = (22° – 11° – 9°) + 37' + 51" = 2° + 37' + 51" = 2°37'51" Jadi, hasil 23°12'46" – 11°23'43" – 9°11'12" = 2°37'51".

7. Jawaban: e Sumbu X berupa garis lurus. Garis lurus sudutnya 180°. Dengan demikian, θ + 30° = 180° ⇔ θ = 150° Jadi, besar sudut θ = 150°. 8. Jawaban: b Sudut di kuadran I terletak di antara 0° dan 90°. Sudut di kuadran II terletak di antara 90° dan 180°. Sudut di kuadran III terletak di antara 180° dan 270°. Sudut di kuadran IV terletak di antara 270° dan 360°. (i) Sudut α = 125° nilainya di antara 90° dan 180° sehingga terletak di kuadran II. Pernyataan (i) benar. (ii) Sudut β = 215° nilainya di antara 180° dan 270° sehingga terletak di kuadran III. Pernyataan (ii) salah. (iii (i ii)) Sudu Sudutt γ = = –100° sama dengan sudut 260°. Nilainya di antara 180° dan 270° sehingga terletak di kuadran III. Pernyataan (iii) benar. (iv) (i v) Sudu Sudutt θ = –30° sama dengan sudut 330°. Nilainya di antara 270° dan 360° sehingga terletak di kuadran IV. Pernyataan (iv) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah (i) dan (iii). 9. Jawaban: b Sudut A dengan 45° < A < 90°. (i) Sudut 2A 45° < A < 90° ⇔ 2(45°) < 2(A) < 2(90°) ⇔ 90° < 2A < 180° Sudut 2A terletak di kuadran II.















(ii) Sudut –2A 45° < A < 90° ⇔ –2(45°) > –2(A) > –2(90°) ⇔ –90° > –2A > –180° ⇔ –180° < –2A < –90° ⇔ 180° < –2A < 270° Sudut –2A terletak di kuadran III. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan b.

3. a.

Sudut 120° Y

120° X

O

10.. Sudut α dengan 0° < α < 90° dan sudut β dengan 10 90° < β < 180°. (i) Pilih α = 45° dan β = 100° ternyata β ≠ 2α. Pernyataan pilihan a salah.

b.

(ii) Pilih α = 60° dan β = 100° diperoleh: β – 2α = 100° – 2(60°) = –20° < 0° Terdapat pasangan nilai α dan β sehingga β – 2 α kurang dari 0°. Pernyataan pilihan b salah.

Sudut

3 π 5

rad

Sudut

3 π 5

rad = 108°

Y

108° O

X

(iiiii)) Pil (i Pilih ih α = 15° dan β = 100° diperoleh: 2α +

1 β = 2

1 2

2(15°) +

(100°) = 80°

Terdapat pasangan nilai α dan β sehingga 2α +

1 β kurang dari 90°. Pernyataan pilihan 2

4. a.

c

salah. (iv)) Selisi (iv Selisih h kedua kedua sud sudut: ut: 90° – 90° < β – α < 180° – 0° ⇔ 0° < β – α < 180° Pernyataan pilihan d salah. (v)) Juml (v Jumlah ah ke kedu dua a sud sudut ut:: 0° + 90° < α + β < 90° + 180° ⇔ 90° < α + β < 270° Pernyataan pilihan e benar.

b.

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. B. Ur Urai aian an

1. a.

Satu Sa tu pu puta tara ran n = 36 360° 0° seh ehin ingg gga: a: 1 2

b.

putaran =

Satu radian = 5 π rad 12

2. a.

=

× 360° = 180°

180° 180° π

sehingga:

π×

180° 180° π

5 121

15

= 75°

Satu putaran = 2 π rad sehingga: 1 4

b.

1 2

putaran =

1° =

π 180

1 4

× 2π rad =

1 π rad 2

rad sehingga: 7

210° = 210 ×

π 180

6

rad =

7 π rad 6

24°31'2 '23 3" + 12°44'3 '37 7" = (24° + 12°) + (31' + 44') + (23" + 37") = 36° + 75' + 60" = 36° + 60' + 15' + 1' = 36° + 1° + 15' + 1' = 37° + 16' = 37°16' Jadi, hasil 24°31'23" + 12°44'37" = 37°16'. 45°1 45 °15' 5'12 12"" – 23 23°1 °14' 4'34 34"" = (45° – 23°) + (15' – 14') + (12" – 34") = (45° – 23°) + (14' – 14') + (1' + 12" – 34") = (45° – 23°) + (14' – 14') + (72" – 34") = 22° + 0' + 38" = 22°38" Jadi, hasil 45°15'12" – 23°14'34" = 22°38".

5. Sudut A teletak teletak di kuadran III sehingga sehingga 180° < A < 270°. Sudut B teletak di kuadran II sehingga 0° < B < 90°. a. Ha Hasi sill A + B kur kuran ang g dar darii 360 360°. °. Hasil jumlah kedua sudut: 180° + 0° < A + B < 270° + 90° ⇔ 180° < A + B < 360° Jadi, pernyataan hasil A + B kurang dari 360° bernilai benar. b.

Hasill A – B le Hasi lebi bih h dar darii 90° 90°.. Hasil selisih kedua sudut: 180° – 90° < A – B < 270° – 0° ⇔ 90° < A – B < 270° Jadi, pernyataan hasil A – B lebih dari 90° bernilai benar.















c.

Terdapa Terda patt pasa pasanga ngan n sudu sudutt yang yang mem memen enuhi uhi A = 2B. Sudut A dengan 180° < A < 270°. Sudut B dengan 0° < B < 90° sehingga: 0° < B < 90° ⇔ 2(0°) < 2(B) < 2(90°) ⇔ 0° < 2B < 180°


1. Jawaban: c Segitiga PQR siku-siku di Q dengan α dan β masing-masing terletak pada sudut R dan sudut P. Perbandingan trigonometri pada segitiga tersebut sebagai berikut. (i)

sin α =

sisi depan sudut α sisi miring sudut α

(ii) cotan α =

=

PQ PR

sisi samping sudut α sisi depan sudut α

=

(iv) sec β = sisi samping sudut β =

PR PQ

sisi miring sudut β

(v) cosec β =

sisi miring sudut β sisi depan sudut β

=

tan M =

KL MK

2. Jawaban: e Segitiga KLM siku-siku di K seperti berikut.

2

K

–2

L

KL = 8 sa satu tuan an KM = 6 sat satua uan n LM =

2

KL + MK

2

X

R

–4 –3 –3 –2 – 2 –1

0 1

2

3

X

4

–1 –2

Q

–3

Segitiga PQR siku-siku di P. PQ = 4 satuan PR = 6 satuan =

Jadi, nilai

QR PR QR PQ

3×

3QR PR

=

×

PQ QR

3PQ 3×4 12 = = PR 6 6 3 sec R cose cosec cQ

= 2

= 2.

4. Jawaban: e Nilai cos K diperoleh dari perbandingan antara sisi KL dengan sisi KM. Pada segitiga KLM diperoleh panjang sisi KL, yaitu: KL =

KM2 − LM2

=

82 + 62

=

(2 13 )2 − 42

=

64 + 36

=

52 − 16 =

= 100 = 10 satuan

4 . 3

1

=

3

tan M =

3 P

4

0

4 dan 5

3. Jawaban: b Gambar segitiga tersebut seperti berikut.

3 sec R cose cosec cQ

Y

–5

8 4 = 6 3

=

Jadi, nilai cos L =

PR QR

Jadi, pernyataan yang benar adalah (i), (iii), dan (v).

M

KL 8 4 = = LM 10 5

QR PQ

=

(iii) tan β =

cos L =

Y

QR PQ

sisi depan sudut β sisi samping sudut β

Oleh karena tidak terdapat irisan antara interval sudut A dan sudut 2B maka tidak ada pasangan sudut yang memenuhi. Jadi, pernyataan tersebut bernilai salah.

cos K =

KL KM

=

6 2 13

36 = 6 =

3 13

=

3 13

13















5. Jawaban: a Nilai sinus diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring sudut. Berdasarkan ukuran segitiga PQR, terlihat bahwa segitiga tersebut bukan siku-siku. Hal ini ditunjukkan dengan 8 2 + 13 2 ≠ 152. Oleh karena itu diperlukan garis bantu, yaitu garis tinggi seperti berikut.

7. Jawaban: c Nilai kosinus diperoleh dari perbandingan antara sisi samping sudut dengan sisi miring sudut. Segitiga tersebut dapat disajikan kembali seperti berikut. C p 5

R 13

8

θ

A

AB = P

O

x

AC2 − BC2 =

p2 − 52 =

2 3

, diperoleh:

Q

(15 – x)

Oleh karena cos θ =

Misalkan panjang PO = x cm maka panjang OQ = (15 – x) cm. Pada segitiga POR diperoleh: OR2 = PR2 – PO2 = 64 – x 2 . . . (1) Pada segitiga OQR diperoleh: OR2 = QR2 – OQ2 = 169 – (15 – x) 2 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 64 – x 2 = 169 – (15 – x) 2 ⇔ 64 – x 2 = 169 – (225 – 30x + x 2) ⇔ 64 – x 2 = 169 – 225 + 30x – x 2 ⇔ 64 – x 2 = –56 + 30x – x 2 64 = –56 –56 + 30x 30x ⇔ 30x 30 x = 64 64 + 56 ⇔ 30x = 12 120 ⇔ x =4 ⇔ Untuk x = 4 maka panjang OR: OR2 = 64 – x2 = 64 – 42 = 64 – 16 = 48 2 OR = 48

AB 2 = AC 3

OR QR

=

4 3 13

Jadi, nilai sin Q =

= 4 13

4 13

⇔

=

2 3

2 3 p − 25 = 2p

⇔ (3 p2 − 25 )2 = (2p)2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

9(p2 – 25) 25) = 4p 4p2 9p2 – 225 225 = 4p 4p2 2 2 9p – 4p = 225 5p2 = 225 p2 = 45

⇔

p=

⇔

p=3 5

45

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 3

5.

8. Jawaban: b Nilai kosinus diperoleh dari perbandingan antara sisi samping sudut dengan sisi miring sudut. Segitiga ABC dapat disajikan seperti berikut. C 4

3

3.

6. Jawaban: c Nilai sinus diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring sudut. Pada segitiga tersebut, panjang sisi depan sudut adalah p cm dan panjang sisi miring sudut adalah 8 cm. Dengan demikian:

A

3

BC =

AC2 – AB2 4 2 – 3 2 =

3 5

=

p 8

3 5

cotan A =

=

B

Sisi samping sudut A adalah sisi AB dan sisi miring sudut A adalah sisi AC. Jika panjang AB = 3 satuan maka panjang AC = 4 satuan. Panjang BC diperoleh dengan teorema Pythagoras:

sin β = ⇔

p2 − 25 p

⇔

p2 − 25

48 = 4 3

⇔ OR =

sin Q =

B

16 – 9 =

sisi samping sudut A sisi depan sudut A

=

7 satuan AB BC

=

3 7

=

3 7

7

















9. Jawaban: c Nilai tangen diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut. Oleh 5 11 11

karena tan P =

=

5 11

, dapat dibentuk

segitiga seperti berikut.

a

11. Jawaban: b 1

KL

LM =

a2 − 12

=

a2 − 1

Nila Ni laii sin sin K tan tan K =

5

=

P

1

cos K = a ⇔ KM = a Misalkan panjang KL = 1 satuan maka panjang KM = a satuan.

11

a2 − 1 × a a2 − 1 a

Jadi, nilai sin K tan K = Panjang sisi miring segitiga: a =

2

5 + ( 11)

=

25 + 11

=

36 sisi depan sudut P sisi miring sudut P

Jadi, nilai sin P =

12. Jawaban: b

5 6

=

5 6

sin si n M=

2 3

⇔

KL KM

=

2 3

⇔

20 KM

=

2 3

karena sin B = p =

p , 1

dapat dibentuk segitiga

KM =

⇔

p C

3 2

20 =

1 × 2 1 × 2

⇔

9=

⇔

DF = 6

DE =

D

EF2 + DF2

Panjang sisi BC:

=

9 + 36

BC =

=

45 = 3 5

2

= 3 5

DF × 3

32 + 62

AB2 – AC2

3×2 5 2

DF × EF

=

B

M

L

13. Jawaban: e LΔDEF =

1

20

Jadi, panjang sisi KM = 3 5 cm.

seperti berikut. A

K

2KM = 3 20

⇔

.

10. Jawaban: a Nilai sinus diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring sudut. Oleh

12

a2 − 1 . a

2

=6 sin P =

a2 − 1 1

cos E =

EF

3

1

E

F

















Perhatikan segitiga MLN.

b.

12

D

F

LM

LM

5

cos β = LN ⇔ LN = cos β . . . (2) cos β Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: p sin α

=

α

LM cos β cos β

E

LM =

⇔

p cos β sin α

Jadi, panjang sisi LM =

p cos cos β sin α

.

15. Jawaban: c Perhatikan ΔABC.

⇔ ⇔

AB AC AB p

= cos θ

AB = p co cos sθ sin θ =

⇔

=

122 + 52

=

1 44 + 25

=

169 = 13

sin α =

DF DE

=

12 13

cos α =

EF DE

=

5 13

tan α =

DF EF

=

12 5

= cos θ

Perhatikan ΔABD.

⇔

DF2 + EF2

DE =

⇔ LM sin α = p cos β

sin θ =

D

c.

BD AB BD p cos θ

24 A

C

α

BD = p sin sin θ cos θ

APB B = 180 180°° ∠BAD + ∠ABD + ∠AP 180° ⇔ θ + ∠ABD + 90° = 180° ⇔ ∠ABD = 180° 180° – 90° – θ ABD D = (90° (90° – θ) ⇔ ∠AB

7

20 B

AC =

AD2 + CD2

DE

sin ∠ABD = BD

=

242 + 72

⇔ sin (90° – θ) = p sin θ cos θ

=

57 6 + 4 9

DE p sin θ cos θ

=

625

DE

⇔

cos θ =

DE = p si sin n θ cos2 θ

⇔

Jadi, panjang DE = p sin θ cos2 θ.

= 25 BC =

B. Ur Urai aian an

1. a.

BC = =

AC2 − AB2 152 − 122

AC2 − AB2

=

252 − 202

=

62 5 − 4 00

=

225

















Misalkan KM = 7 maka LM = 25, diperoleh:

tan α =

=

252 − 72

Perhatikan segitiga NLM.

=

6 25 − 49

tan β =

=

576

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: KL tan α = NL tan β ⇔ (KN + NL) tan α = NL tan β (1 + NL) tan α = NL tan β ⇔ ⇔ tan α + NL tan α = NL tan β tan α = NL tan β – NL tan α ⇔ tan α = NL (tan β – tan α) ⇔

= 24 tan L =

KM KL

=

Jadi, tan L = b.

KL

7 24 7 24

.

24

tan M = KM = 7 Jadi, tan M =

3. a.

LM KL

LM2 − KM2

KL =

a.

4. Perh Perhati atikan kan seg segiti itiga ga KLM KLM..

24 7

NL =

.

tan α tan β − tan α

. . . (1)

. . . (2)

(terbukti)

5. Bentuk persegi ABCD beserta beserta ukurann ukurannya ya disajikan seperti berikut. C

D K

a2 + c2 = b2

sin C = cos C

⇔ LM = NL tan β

⇔

sin2 C + cos2 C = 1 Bukti: c b a = b

LM NL

⇔ LM = KL tan α

O

c b

a b

sin2 C + cos2 C = ( )2 + ( )2 =

c2 b

2

+

2

=

b

A

B

12p

2

Garis AC merupakan diagonal persegi sehingga

2

Terbukti bahwa sin 2 C + cos 2 C = 1.

panjang AC = 12p 2 . Titik O merupakan perpotongan kedua diagonal persegi sehingga sudut BOC merupakan sudut siku-siku. Titik O membagi diagonal AC menjadi dua bagian sama

cosec2 A – cotan 2 A = 1 Bukti:

panjang sehingga panjang OC = 6p 2 . Oleh karena OK : KC = 1 : 2, diperoleh:

= b.

c +a

a2

cosec A = cotan A =

b2 b

2

b2

= 1

b c a c

OK =

1 1+ 2

× OC =

1 3

× 6p 2 = 2p 2

Perhatikan segitiga BOK. b

a

cosec2 A – cotan 2 A = ( c )2 – ( c )2 =

b2 2

–

a2 2

BK = =

BO2 + OK2 (6p 2 )2 + (2p 2 )2

















4. Jawaban: c


1. Jawaban: c Nilai perbandingan trigonometri di setiap kuadran sebagai berikut. (i)) Di kuadr (i kuadran an I, sin sinus, us, kos kosinu inus, s, dan dan tange tangen n bernilai positif. (ii) (i i) Di kuadran kuadran II, II, hanya hanya sinus sinus yang yang berni bernilai lai positif. (iii)) Di kuadran (iii kuadran III, hanya hanya tangen tangen yang yang bernilai bernilai positif. (iv) Di kuadran kuadran IV, IV, hanya hanya kosinus kosinus yang yang bernilai bernilai positif. Jadi, pernyataan yang benar adalah (i) dan (iii). 2. Jawaban: d Titik A(–6, 8) berada di kuadran II, dengan x = –6 dan y = 8. r = OA =

x 2 + y2 =

(−6)2 + 82

=

36 + 64

=

100

Kosinus di kuadran II bernilai negatif sehingga 6 10

3 5

= – .

Jadi, nilai cos α =

3π 4

=

3 × 180° 4

= 135°

sin α = sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45° =

1 2

2

cos α = cos 135° = cos (180° – 45°) = –cos 45° = –

1 2

2

Oleh karena nilai sin α berlainan tanda dengan cos α maka jumlah keduanya sama dengan nol. sin α + cos α =

1 2

1 2

2 + (–

2 ) = 0.

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c. 5. Jawaban: b cos 120° + tan 315° – sin 210° = cos (180° – 60°) + tan (360° – 45°) – sin (180° + 30°) = –cos 60° – tan 45° – (–sin 30°)

= 10

cos α = –

α =

=–

1 2

– 1 – (–

1 2

) = –1

Jadi, nilai cos 120° + tan 315° – sin 210° = –1. 6. Jawaban: e

3 – 5

.

sin 15 150° + s in in 12 120° cos 210° − cos 300°

=

sin (1 (180° − 30°) + sin (1 (180° − 60°) cos (180° + 30°) − cos ( 36 360° − 60°)

=

sin 30° + sin 60° −cos 30° 30° − cos cos 60°

=

1 1 + 2 2 1 3 − 2

3. Jawaban: a Titik P(2, –3) berada di kuadran IV, dengan x = 2 dan y = –3. r = OP = =

2

x +y 2

2

Y

O 2

2 + (−3)

β

X

=

−

3 −

1 1 + 2 2 1 3 2

(

1 2

3 +

1 2

)

= –1

















8. Jawaban: c

⇔

sin si nA=

BC AC

sin si n 30° 30° =

6 AC

1 2

⇔

C

karena cotan θ = – 6 cm

B

=

Jadi, panjang AC = 12 cm.

AC − AT

25 = 5 Oleh karena 90° < θ < 180° maka θ di kuadran II sehingga sec θ bernilai negatif.

=

(p 3 )2 − p2

sec θ = –

=

3p2 − p2

Jadi,

=

2p2

CT =

2

2

C

= p 2 Perhatikan ΔBCT. sin si n B= ⇔ si sin n 60° 60° =

⇔

3 2

=

BC =

CT BC

p 3

p 2 BC 60°

p 2 BC 2p 2 3

p

A

×

Jadi, panjang BC =

2 3

3 3

=

2 3

T

B

6p

6 p.

2 3

karena sin α = – dan α di kuadran III, maka dapat dibentuk segitiga seperti berikut. 2

2

3 −2

sisi miring sudut θ sisi samping sudut θ 5 nilai sec θ = – . 3

= –

θ 3 5 3

12. Jawaban: e cos (K + M) = p 90°) = p ⇔ cos (K + 90°) –sin –s in K = p ⇔ ⇔ sin si n K = –p –p cos L = cos (180 (180°° – (K + M)) M)) = cos (180° – (K + 90°)) = cos (180° – K – 90°) = cos (90° – K) = sin K = –p sin K + cos L = –p + (–p) = –2p Jadi, sin K + cos L = –2p.

sin (

π 2

+ 2x) + sin (

α

– 2x)

π

π

= sin (π – ( 2 + 2x)) + sin ( 2 – 2x) = sin (

π 2

= 2 sin (

p

π 2

– 2x) + sin ( π 2

= 2 cos 2x

– 2x)

π 2

– 2x)

r

4

13. Jawaban: b

10. Jawaban: b Nilai sinus diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring sudut. Oleh

p =

9 + 16

=

9. Jawaban: d Perhatikan ΔATC.

⇔

dan θ di kuadran II, maka

(–3)2 + 4 2

r =

30°

A

3 4

dapat dibentuk segitiga seperti berikut.

6

= AC

AC = 12 12

⇔

11. Jawaban: a Nilai kotangen diperoleh dari perbandinga perbandingan n antara sisi samping sudut dengan sisi depan sudut. Oleh Ol eh



















15. Jawaban: e Misalkan A, B, dan C adalah sudut-sudut segitiga ABC. A + B + C = 180° 180° ⇔ A + B = 180° 180° – C tan (A + B) = tan (180° (180° – C) = –tan C

=–

1 tan C

Jadi, nilai cotan (A + B) = –cotan C.

⇔

3AC 3A C = 36

⇔

AC = 12 12 sin si nA=

CD AC

sin n 60° 60° = ⇔ si

CD 12

1 2

CD 12

LΔABC =

9 − 3 =

=

= 6

π 2

+ 3(

2 +

3

sin si n 60° 60° =

) α p

6

Jadi, nilai tan (

π 2

B

AB × CD 12 × 6 3

3 cm2.

19. Jawaban: c 3

3

1 × 2 1 × 2

Jadi, luas segitiga tersebut 36

= cotan α + 3 cos α 6 3

D

= 36 3

tan ( – α) + 3 cos α

6

3 =

60°

60°

A

CD = 6 3

32 − ( 3) 3)2

p =

C

AB + BC + AC = 36

⇔

16. Jawaban: c

=

⇔

⇔

= –cotan C

=

K = 36 ⇔ AC + AC + AC = 36

1 tan (A + B)

cotan co tan (A + B) =

18. Jawaban: c

– α) + 3 cos α =

⇔ 2 +

6.

17. Jawaban: d Nilai tangen diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut. Oleh

⇔

1 2

3 =

x 6 x 6

x =6 ×(

x

1 2

3)

6

60°

⇔ x= 3 3 Jadi, jarak antara ujung tangga dan permukaan

tanah 3 3



















Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 1 3

⇔

1 3

3 BD + 3 BD – 2 – 3

⇔

20 3

3 =

3 BD

3 BD =

20 – 3

3 BD =

20 – 3

⇔

sin α = – cos α = –

3 tan α = 3

BD = 10 10

Untuk BD = 10 maka BC = 3 × BD = 10 3 . BE = tinggi anak = 160 cm = 1,6 m

Jadi, tinggi menara menara tersebut (10 3 + 1,6) m.

DB =

B. Ur Urai aian an

1. a.

Titik A(4, –2) dan ∠XOA = α

OA =

2

6

= – 5

3 5

=

5 5

1 2

AB2 + DA2

=

102 + 102

=

200

cos ∠CDB =

4

X –2 A(4, –2)

CD DB CD

cos s 60° 60° = 10 2 ⇔ co CD

⇔

1 2

⇔

CD =

=2 5

⇔

C D = 5 2 cm

1

Jadi, panjang CD = 5 2 cm.

42 + (−2)2 = =

2

3 5

1 5

= 10 2 Perhatikan ΔCDB.

Y

α O

= –

2. ∠BDA = 180° – (90° + 45°) = 45° Oleh karena ∠BDA = ∠ABD = 45° maka ΔABD siku-siku sama kaki. Akibatnya, panjang DA = AB = 10 cm.

3 + 1,6) m

Tinggi menara = BC + BE = (10

3 6

3

=

16 + 4 20

10 2 10 2 2



















4. si sin n (9 (90° 0° – α) = ⇔

cos α =

p =

52 − 32

=

3 5 3 5 5

25 − 9

Perhatikan ΔBPC.

= 16 =4 sin (180° + α) + sin (270° + α) = –sin α + (–cos α) =

p

4 – + 5

3 (– ) 5

Perhatikan ΔAPC. CP2 = AC2 – AP2 ⇔ CP2 = 152 – 92 ⇔ CP2 = 225 – 81 = 144 ⇔ CP = 12 cm

=

α

CP

tan ta n B = BP

3

tan n 45° 45° = ⇔ ta ⇔

7 – 5

Terbukti bahwa sin (180° + α) + sin (270° + 5. Per Perhat hatika ikan n gamba gambarr beriku berikut. t. C

7 α) = – . 5

⇔

1=

12 BP 12 BP

BP = 12 12 cm cm

Luas segitiga segitiga ABC = = =

15

=

1 × 2 1 × 2 1 × 2 1 × 2

AB × CP (AP + BP) × CP (9 + 12) × 12 21 × 12

= 126 cm2 45° A

9

P

B

Jadi, luas segitiga ABC = 126 cm 2.



















Derajat Besar Sudut Radian

Satuan Ukuran Sudut

Kuadran I (0°–90°) Kuadran II (90°–180°) Sudut dan Kuadran Kuadran III (180°–270°) Kuadran IV (270°–360°)

Konsep Dasar Perbandingan

Trigonometri (1)

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Sinus Perbandingan Trigonometri

Kosinus Tangen



















5. Jawaban: d 12°24'11" + 21°10'7" – 29°46'12" = (12° + 21° – 29°) + (24' + 10' – 46') + (11" + 7" – 12") = (12° + 21° – 29°) + (24' + 10' – 46') + 6" = (33° – 29°) + (34' – 46') + 6" = (32° – 29°) + (1° + 34' – 46') + 6" = (32° – 29°) + (60' + 34' – 46') + 6" = (32° – 29°) + 48' + 6" = 3° + 48' + 6" = 3°48'6" Jadi, 12°24'11" + 21°10'7" – 29°46'12" = 3°48'6".

A. Pil Piliha ihan n Gan Ganda da

1. Jawaban: c 180° 180° π

Satu radian = 7 π 5

rad =

36

7 5

sehingga:

1 π ×

180° π

= 7 × 36° = 252° Jadi,

7 π rad 5

= 252°.

2. Jawaban: e (i) Besar sudut α Satu putaran = 2π rad sehingga: Sudut α =

1 4

× 2 π rad =

1 π rad 2

(ii)) Be (ii Bes sar su sudu dutt β Satu derajat =

π 180

rad sehingga: π

4

Sudut β = 240 ×

180

3

rad =

4 π rad 3

Hasil penjumlahan kedua sudut: α + β =

6. Jawaban: c Sudut selalu dihitung dari sumbu X positif. Ada dua aturan yang digunakan dalam membuat sebuah sudut. (i) Untu Untuk k sudu sudutt posit positif if dipu diputar tar berl berlawa awanan nan arah putaran jarum jam dengan titik asal (titik O) sebagai pusat putaran. (ii) Untu Untuk k sudut sudut negati negatiff diputar diputar sear searah ah putara putaran n jarum jam dengan dengan titik asal (titik (titik O) sebagai pusat putaran. Dengan demikian, sudut –30° disajikan pada bidang koordinat seperti berikut.

1 4 11 π + π = π 2 3 6

Y

Jadi, hasil penjumlahan kedua sudut tersebut 11 π rad. 6

O

30°

X





















(iii (i ii)) Sud Sudut γ = –40° sama dengan sudut 320°. Nilainya di antara 270° dan 360° sehingga terletak di kuadran IV. Pernyataan (iii) salah. (iv)) Su (iv Sudu dutt θ = –120° sama dengan sudut 240°. Nilainya di antara 180° dan 270° sehingga terletak di kuadran III. Pernyataan (iv) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah (ii) dan (iv). 8. Jawaban: a Segitiga ABC disajikan pada bidang koordinat seperti berikut.

AB2 – BC2

AC = =

62 – 52

=

36 – 25 =

–4 –3 –2 –1 0 –1 A

–2

1

2

3

4

X

B

Segitiga ABC siku-siku di B. AB = 6 sa satu tuan an BC = 4 sat satua uan n

11

A

5

C

sisi depan sudut B

= =

C

6

tan B = sisi samping sudut B

Y 3 2 1

B

Panjang sisi AC:

=

AC BC 11 5 1 5

11

Jadi, nilai tan B =

1 5

11 .

11. Jawaban: c Nilai sinus diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring sudut. Oleh





















13. Jawaban: b Nilai sinus diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring sudut. Oleh karena sin θ = 0,8 diperoleh: sin θ = 0,8 ⇔

12 r

⇔

12 r

⇔ ⇔

= 0,8 =

81 = 9

14. Jawaban: b Cara I: Nilai tangen diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut. Oleh karena tan β = seperti berikut.

2 3

AD CD

⇔ AD = CD tan α = p tan α

AD2 + BD2

AB =

Nilai p: 152 – 122 = 225 – 144 = Jadi, nilai p + r = 9 + 15 = 24.

tan α =

Pada segitiga ABD siku-siku di D berlaku teorema Pythagoras, diperoleh:

8 10

8r = 12 120 0 r = 15

p=

15. Jawaban: b Misalkan panjang BC = CD = p. Perhatikan segitiga ACD siku-siku di D.

maka dapat dibentuk segitiga

=

(p tan tan α)2 + (2p) (2p)2

=

p2 tan2 α + 4p 2

=

p2 (4 + tan2 α)

2 = p 4 + tan α

sisi depan sudut B

sin B = sisi miring sudut B = =

p tan α p 4 + tan2 α

AD AB





















17. Jawaban: a Sudut

5 π = 6

21. Jawaban: b Nilai tangen diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut. Nilai

150°.

cos 150° 150° = co cos s (180° (180° – 30°) 30°) = –cos 30° =– Jadi, nilai cos

1 2

5 π = 6

–

1 2

dapat disajikan dalam segitiga seperti

berikut.

3.

Jadi, nilai tan (–1.200°) =

r

12

θ 5

Nilai r: r = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 13 tan (270° – θ) + cos (180° + θ) = cotan θ – cos θ

3

19. Jawaban: b

12 5

3

18. Jawaban: b tan (–1.200°) = –tan 1.200° = –tan (3 × 360° + 120°) = –tan 120° = –tan (180° – 60°) = tan 60° =

tan θ =

3.

=

5 12

=

5 156

–

5 13





















24. Jawaban: c α + β = 270° ⇔ α = 270° – β cos α + sin β = cos (270° – β) + sin β = –sin β + sin β =0 Jadi, nilai cos α + sin β = 0.

28. Jawaban: c Segitiga KLN siku-siku di L.

tan 25° × tan 65° –

sin25° cos cos 65°

= tan 25° × tan (90 – 25)° – = tan 25° × cotan 25° – 1 tan25°° tan25

NL KN

⇔ si sin n 45° 45° =

NL 6

1 2

NL 6

⇔

25. Jawaban: c

= tan 25° ×

sin si n K=

–

sin25° cos (9 (90 − 65)°

⇔ NL = 3 2 cm Segitiga NLM siku-siku di L.

tan ta n L=

sin sin 25° sin sin 25°

sin sin 25° sin sin 25°

=1–1=0 Jadi, nilai tan 25° × tan 65° –

sin25° cos cos 65°

26. Jawaban: a cos 110° × cotan 160° + sin 200°

2 =

NL LM

tan n 60° 60° = ⇔ ta

3 2 LM

⇔

3 =

3 2 LM

⇔

LM =

= 0.

3 2 3

=

Jadi, panjang LM =

6 cm





















c.

2 π 5

1 rad = 2 π rad 5

d.

3. a.

rad

1 rad = 7 π rad 4

180° 180° π

=

2 180° 180° π × 5 π

180° 180° π

=

sehingga: = 72°

sehingga

7 180° 180° π × 4 π

b. = 315°

2. Sudut selalu dihitun dihitung g dari sumbu X positif. positif. Sudut Sudut positif diputar berlawanan arah putaran jarum jam sedangkan sudut negatif diputar searah putaran jarum jam. a. Sudut 10 105° Arah sudut berlawanan arah putaran jarum jam. Y

13°34'1 '12 2" + 34°4 °45 5'5 '54 4" = (13° + 34°) + (34' + 45') + (12" + 54") = 47° + 79' + 66" = 47° + (60' + 19') + (60" + 6") = 47° + (1° + 19') + (1' + 6") = 48° + 20' + 6" = 48°20'6" Jadi, 13°34'12" + 34°45'54" = 48°20'6". 102°16 102° 16'9" '9" – 34°2 34°26' 6'45 45"" – 19° 19°12 12'51 '51"" = (102° – 34° – 19°) + (16' – 26' – 12') + (9" – 45" – 51") = 49° + (16' – 26' – 12') + (9" – 45" – 51") = 49° + (14' – 26' – 12') + (2' + 9" – 45" – 51") = 49° + (14' – 26' – 12') + (120" + 9" – 45" – 51") = 49° + (14' – 26' – 12') + 33" = 48° + (1° + 14' – 26' – 12') + 33" = 48° + (60' + 14' – 26' – 12') + 33" = 48° + 36' + 33" = 48°36'33" Jadi, 102°16'9" – 34°26'45" – 19°12'51" = 48°36'33".























5. Segitiga Segitiga ABD siku-s siku-siku iku di B dengan dengan AB = 5 cm dan AD = 13 cm. Panjang BD dicari dengan teorema Pythagoras: BD =

AD2 – AB2 2

2

=

13 – 5

=

169 – 25

=

144

= 12 cm

7. Cara I: Segitiga ABD siku-siku di B dengan ∠BDA = 30° dan panjnag AD = 24 cm. (i)) Panjang AB (i AB sin ∠BDA =

AB AD

sin n 30° 30° = ⇔ si

AB 24

⇔

1 2

=

AB 24























Dari langkah pada cara I diperoleh diperoleh panjang AB = 12 cm. cos ∠BA BAC C=

AB AC

⇔ co cos s 30° 30° =

12 AC

⇔

1 2

⇔

3 AC = 24

3 =

12 AC

Nilai a: a=

(p 2 + 1) 1) – 1 =

p 2 = p

tan 95° + tan 185° tan 275° + tan 355°

=

tan (90° + 5°) + tan (180° + 5°) tan (270° + 5°) + tan (360° – 5°)

=

–cotan 5° + tan 5° –cotan 5° – tan 5° –

=

1 p + p 1













































A.

Piliha han n Gan anda da

=

Jaw wab aban an:: c 1. Ja cota cotan nx cos x sec x

=

cos x sin x

cos x 1

= 1

1 sin x

. Pilihan a salah.

cos2 x cos x

= cos x Jadi, (sec x + tan x)(1 – sin x) = cos x. Jawab aban an:: c 5. Jaw Oleh karena sin 2 x + cos 2 x = 1 maka sin2 x – cos 2 x = 1 salah.























Jawa waba ban: n: b 8. Ja 2 sin A cos A 1 + cos2 A − sin2 A

=

2 sin A cos A (sin A + cos 2 A) + co cos2 A − sin2 A 2

=(

1 sin x

1 + cos x sin x

=

2 sin A cos A 2 cos2 A

=(

=

sin A cos A

=

= tan A Jadi, bentuk

Ruas kiri: (cosec x + cotan x)(1 – cos x)

2 sin A cos A 1 + cos2 A sin2 A

ekuivalen dengan

+

1 − cos2 x sin x

cos x sin x

)(1 – cos x)

)(1 – cos x) =

sin2 x sin x

= sin x = ruas kanan (terbukti) (terbukti) Jadi, dapat dibuktikan (cosec x + cotan x) (1 – cos x) = sin x

























b.

Membuk Mem buktik tikan an sin sin A + cos cos A cota cotan n A = cos cosec ec A

2









































































BD2 = AB2 + AD2 – 2 × AB × AD × cos A

Panjang sisi segi-12 ditunjukkan oleh garis AB.

























Jaw wab aban an a 13. Ja

















































































































































































































































































































































































































01 Kunci Mat 10b Wajib K-13 2016

Recommend Documents