Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menj menjelas elaskan kan operasi operasi kompo komposisi sisi pada pada fungsi fungsi serta serta sifat-s sifat-sifat ifatnya; nya; 2. menjelask menjelaskan an operasi operasi invers invers pada fungsi, sifat-sifat invers fungsi, dan menentukan menentukan eksistensi eksistensinya; nya; 3. menyelesa menyelesaikan ikan masalah masalah yang berkaitan berkaitan dengan operasi operasi komposisi komposisi dan operasi operasi invers invers suatu suatu fungsi. fungsi. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu: 1. berperilaku jujur, disiplin, disiplin, tanggung tanggung jawab, peduli, santun, santun, responsif, responsif, dan pro-aktif pro-aktif dalam dalam mempelajari mempelajari komposisi komposisi dan invers invers fungsi; 2. bers bersikap ikap gotong gotong royong royong dan bekerja sama sama dalam menyeles menyelesaika aikan n permasalah permasalahan an kontekstua kontekstual. l.
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi Mempelajari
Komposisi Fungsi
Invers Fungsi
Mencakup • • • •
Mencakup
Operasii Alj Operas Aljaba abarr pada pada Fun Fungs gsii Daerah Daer ah Asal Asal Fungsi Fungsi Hasi Hasill Operasi Operasi Alja Aljabar bar Beber Beberapa apa Fungsi Operas Ope rasii Kom Kompos posisi isi Fun Fungsi gsi Sifat-Si Sifa t-Sifat fat Opera Operasi si Komp Komposis osisii Fung Fungsi si
• • • •
Defini Defi nisi si Inv Inver erss Fung Fungsi si Peng Pe nger erti tian an Fung Fungsi si Inve Invers rs Sifat Si fat-Si -Sifat fat Fun Fungsi gsi Inv Invers ers Cara Car a Mene Menentu ntukan kan Inv Invers ers Fun Fungsi gsi
Mampu • • • • • • • • • • • •
40
Menentukan Menentuk an hasil hasil penjumlah penjumlahan, an, penguran pengurangan, gan, perkal perkalian ian,, dan pembagian pembagian fungsi fungsi.. Menentuk Mene ntukan an daerah daerah asal fungsi fungsi yang yang dihasilk dihasilkan an oleh operas operasii aljabar aljabar beberapa beberapa fungsi fungsi.. Menje Men jelas laskan kan peng pengert ertia ian n kompos komposis isii fungsi fungsi.. Menent Men entuka ukan n hasil hasil kompo komposi sisi si dua dua atau atau tiga tiga fungsi fungsi.. Menyeles Meny elesaika aikan n masalah masalah yang berk berkaita aitan n dengan dengan kompos komposisi isi fungs fungsi. i. Menje Men jelas laskan kan pen penger gertia tian n inve invers rs fung fungsi si.. Menent Men entuka ukan n in inver verss seb sebuah uah fun fungsi gsi.. Membed Mem bedaka akan n fungs fungsii inver inverss dan dan invers invers fung fungsi si.. Menent Men entuka ukan n inver inverss dari dari komp komposi osisi si fung fungsi. si. Menyeles Meny elesaika aikan n masalah masalah yang berk berkaita aitan n dengan dengan inver inverss fungsi fungsi.. Bersikap Bers ikap percay percaya a diri dalam dalam mempela mempelajari jari kompos komposisi isi fungsi fungsi dan dan invers invers fungsi. fungsi. Bertanggung jawab dalam dalam menyelesaikan menyelesaikan masalah yang berkaitan berkaitan dengan dengan komposisi komposisi fungsi dan invers invers fungsi. fungsi.
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
(ii) (f × g)( g)(x) x) = f(x f(x)) × g( g(x) x)
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: b f(x) = x2 – 5x + 1 sehingga: f(x + 1) = (x + 1)2 – 5(x + 1) + 1 = x2 + 2x + 1 – 5x – 5 + 1 = x2 – 3x – 3 Jadi, rumus fungsi f(x + 1) = x 2 – 3x – 3. 2. Jawaban: d (f – g)(x)= g)(x) = f(x) – g(x) g(x) = = = = = =
4x – (3x – 2) x −1 4x (3 x − 2)( x − 1) – x −1 x −1 4x 3 x 2 − 3 x − 2x + 2 – x −1 x −1 2 4x 3 x − 5x + 2 – x −1 x −1 2 4 x − 3 x + 5x − 2 x −1 2 −3 x + 9 x − 2 x −1
;x
≠
(iii)
=
=
6x x + 2x 2
f(x) g(x)
=
2x x +2 3 x
=
2x x+2
=
2(x + 4) (3 x − 2)( x + 4) 2 3x − 2
Jadi, rumus fungsi
=
=
⎛f⎞ ⎜ ⎟ (x) ⎝g⎠
=
2 ; 3x − 2
x
≠
2 3
.
4. Jawaban: b (i) (f – g)( g)(x) x) = f( f(xx) – g( g(x) x) =
2x x+2
–
3 x
=
2x × x x( x + 2)
–
=
2x 2 − 3x − 6 x 2 + 2x
×
x 3
3 ( x + 2) x (x + 2)
2x 2 3x + 6
Dengan demikian, pernyataan (iii) benar. ⎛g⎞
2x + 8 2 3 x + 10 x − 8
=
⎛f⎞ ⎜ ⎟ (x) ⎝g⎠
(iv) ⎜ f ⎟ (x)= ⎝ ⎠
=
6x x( x + 2)
3 x
2x 2
1.
f(x) g(x)
=
×
= 3(x + 2)
3. Jawaban: e ⎛f⎞ ⎜ ⎟ (x (x)) ⎝g⎠
2x x+2
Dengan demikian, pernyataan (ii) salah.
Jadi, hasil operasi aljabar (f – g)(x) = −3 x 2 + 9x − 2 x −1
=
g(x) f(x)
=
3 x 2x x+2
=
3 x
=
3(x + 2) 2x 2
=
3x + 6 2x 2
×
x+2 2x
Dengan demikian, pernyataan (iv) salah. Jadi, pernyataan yang benar ditunjukkan oleh (i) dan (iii). 5. Jawaban: d f(x) = x2 + 8x + 7 Daerah asal alami fungsi f: Df = {x | x ∈ R} g(x) = x + 1 Daerah asal alami fungsi g: Dg = {x | x ∈ R} ⎛g⎞ g(x) ⎜ f ⎟ (x)= f(x) ⎝ ⎠
=
x +1 2
x + 8x + 7
Dengan demikian, pernyataan (i) benar.
Matematika Kelas X
41
f(x) ⇔ ⇔ ⇔
0 x2 + 8x + 7 ≠ 0 (x + 1)(x + 7) ≠ 0 x ≠ –1 atau x ≠ –7 ≠
D g = Dg f
∩ D f dengan
e.
Fungsi komposisi h g Rg ∩ Dh = {6, 7, 8} ∩ {7, 8, 9} ≠ Ø Oleh karena Rg ∩ Dh ≠ Ø maka h g ada. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e.
f(x) ≠ 0
= {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≠ –1, x ≠ –7} = {x | x ≠ –1, x ≠ –7, x ∈ R}
9. Jawaban: a Fungsi komposisi (g f)(x) = g(f(x))
g
Jadi, daerah asal fungsi ( f )(x) adalah {x | x ≠ –1 dan x ≠ –7, x ∈ R}. 6. Jawaban: a
A
B∪C
1 2 3 4
5 6 7 8 10
4
Diketahui p(x) = 2x dan q(x) = x + 1 . (p – q)(x)= p(x) – q(x)
= =
2x 2 + 2x − 4 x +1
10. Jawaban: c (h g f)(5) = (h g)(f(5)) = (h g)(13) = h(g(13)) = h(52) = –47 Jadi, (h g f)(5) = –47.
2x 2 + 2x − 4 x +1
, x ≠ –1.
f
3
3
5
5
7
5
7
11. Jawaban: a Untuk x = –1 digunakan rumus f(x) = –x sehingga f(–1) = –(–1) = 1 Untuk x = 1 digunakan rumus f(x) = x + 3 sehingga f(1) = 1 + 3 = 4 Untuk x = 4 digunakan rumus f(x) = –x 2 sehingga f(4) = –42 = –16 (f f f)(–1) = (f f)(f(–1) = (f f)(1) = f(f(1)) = f(4) = –16 Jadi, nilai (f f f)(–1) = –16.
Jadi, komposisi f g = {(1, 5), (3, 7)}.
8. Jawaban: e Jika a dan b merupakan fungsi serta R a ∩ Db ≠ Ø maka fungsi komposisi b a ada. a. Fungsi komposisi f g Rg ∩ Df = {6, 7, 8} ∩ {1, 2, 3} = Ø Oleh karena Rg ∩ Df = Ø maka f g tidak ada. b. Fungsi komposisi f h Rh ∩ Df = {8, 9, 10} ∩ {1, 2, 3} = Ø Oleh karena Rh ∩ Df = Ø maka f h tidak ada. c. Fungsi komposisi g h Rh ∩ Dg = {8, 9, 10} ∩ {4, 5, 6} = Ø Oleh karena Rh ∩ Dg = Ø maka g h tidak ada. d. Fungsi komposisi h f Rf ∩ D h = {3, 4, 5} ∩ {7, 8, 9} = Ø Oleh karena Rf ∩ Dh = Ø maka h f tidak ada.
42
7. Jawaban: b Komposisi f g sebagai berikut.
1
13
Jadi, rumus fungsi (p – q)(x) =
g
12
2x(x + 1) − 4 x +1
11
g f = {1, 13}, (2, 13}, (3, 11)} Jadi, daerah asal g f = {1, 2, 3}.
4 x +1
= 2x –
D
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
12. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x2 – x – 8) = 5(2x2 – x – 8) + 3 = 10x2 – 5x – 40 + 3 = 10x2 – 5x – 37 Jadi, rumus komposisi fungsi (f g)(x) = 10x2 – 5x – 37.
13. Jawaban: a Misalkan t = x – 2 sehingga x = t + 2 f(x – 2) = x2 + 3x f(t) = (t + 2)2 + 3(t + 2) ⇔ ⇔ f(t) = t2 + 4t + 4 + 3t + 6 ⇔ f(t) = t2 + 7t + 10 ⇔ f(x) = x2 + 7x + 10
(f g)(x) = f(g(x)) = f(4x + 1) = (4x + 1)2 + 7(4x + 1) + 10 = 16x2 + 8x + 1 + 28x + 7 + 10 = 16x2 + 36x + 18 Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = 16x 2 + 36x + 18.
17. Jawaban: b (g f)(x) =
3x + 7 3x + 9
⇔
g(f(x)) =
3x + 7 3x + 9
⇔
g(3x + 7) =
3x + 7 3x + 9
14. Jawaban: c (g f)(x)= g(f(x)) = g(3x + 2) (g f)(–1) = g(3 × (–1) + 2) = g(–1)
Misalkan t = 3x + 7 sehingga x =
Diperoleh:
= =
−1 + 3 2(−1) − 1 2 – 3
g(3x + 7) = ⇔
g(t) =
⇔
g(t) =
t−7+7 t−7+9
⇔
g(t) =
t t+2
⇔
g(x) =
x x+2
2 3
15. Jawaban: b (f g)(x) = 4 ⇔ f(g(x)) = 4 ⇔ f(2x2 + 1) = 4 ⇔ 3(2x2 + 1) – 5= 4 ⇔ 6x2 + 3 = 9 6x 2 = 6 ⇔ ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = –1 atau x = 1.
t − 11 2 ) + 2
⇔
4(
⇔
4(t − 11)2 4
44(
t − 11 ) 2
= = =
x −3 x +1 x−3 + x +1
)
2
x −3 x +1 x −3 2(x +1) + x +1 x +1 x −3 x +1 x − 3 + 2x + 2 x +1
=
x −3 x +1 3x −1 x +1
=
x−3 3x − 1
Jadi, (g h)(x) =
x−3 ; 3x − 1
x
≠
1 3
.
18. Jawaban: b Misalkan (g f)(x) = k(x). k(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 6x + 5)
+ 22(t – 11) + 1 = h(t)
(t – 11)2 + 22t – 242 + 1 = 2 ⇔ t – 22t + 121 + 22t – 241 = ⇔ h(t) = ⇔ h(x) = 2 h(10) = (10) – 120 = 100 – 120 = –20 Jadi, nilai h(10) = –20. ⇔
9
x−3 x +1
= g(
t − 11 2
+ 1 = h(t)
7
4x2 + 44x + 1 = h(2x + 11)
3(
(g h)(x) = g(h(x))
16. Jawaban: a Misalkan t = x – 2 sehingga x = t + 2 g(x – 2) = 2x + 7 ⇔ g(t) = 2(t + 2) + 7 g(t) = 2t + 4 + 7 ⇔ ⇔ g(t) = 2t + 11 ⇔ g(x) = 2x + 11 (h g)(x) = h(g(x)) 2 ⇔ 4x + 44x + 1 = h(2x + 11) Misalkan t = 2x + 11 sehingga x =
3x + 7 3x + 9 t−7 )+ 3 t−7 3( 3 ) +
Jadi, nilai (g f)(–1) = – .
t−7 3
h(t) h(t) t2 – 120 x2 – 120
=
x 2 + 6x + 5 + 4
=
x 2 + 6x + 9 2
= (x + 3) =x+3
Matematika Kelas X
43
(g f h)(x) = ((g f) h)(x) = (k h)(x) = k(h(x)) = k(x2 – 5x + 1) = x2 – 5x + 1 + 3 = x2 – 5x + 4 Jadi, (g f h)(x) = x 2 – 5x + 4.
c.
{x | x d.
2. a.
1
= g( 2 x3)
⇔
1 3 x 2
3 1 3 x 6
f)(x) = 121,5 1 6
(2x + 1)(x − 5) 2x + 1 ⎛f⎞ ⎜ ⎟ ⎝g⎠
∈ R} ∩ {x
(x) = D
|x
∈ R}
f g
= Df
= {x | x
b.
x 3 = 121,5
x 3 = 729 ⇔ x =9 Jadi, nilai x = 9 cm. ⇔
(f × h)(x) = f(x) × h(x)
Nilai x = 4 terletak pada interval x ≥ 3 sehingga f(4) = –2. Nilai x = 2 terletak pada interval –1 < x < 3 sehingga f(2) = 2 – 1 = 1. Nilai x = –2 terletak pada interval x ≤ –1 sehingga f(–2) = 1. f(4) – 2f(2) + f(–2) = –2 – 2 × 1 + 1 = –3 Jadi, nilai f(4) – 2f(2) + f(–2) = –3. (f f)(5)= f(f(5)) = f(–2) =1 (f f)(–3)= f(f(–3)) = f(1) =1–1=0 (f f)(0)= f(f(0)) = f(0 – 1) = f(–1) =1 (f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 1 + 0 – 1 =0 Jadi, nilai (f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 0.
1. Daerah asal alami fungsi f(x) = 2x 2 – 9x – 5 adalah Df = {x | x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi g(x) = 2x + 1 adalah Dg = {x | x ∈ R}. x + 2 adalah
Dh = {x | x ≥ –2, x ∈ R}. a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x2 – 9x – 5) + (2x + 1) = 2x2 – 7x – 4 Daerah asal (f + g)(x) = D f + g = Df ∩ Dg = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ∈ R}. b.
(f – g – h)(x)= f(x) – g(x) – h)(x) = (2x2 – 9x – 5) – (2x + 1) –
x+2
= 2x2 – 11x – 6 – x + 2 Daerah asal (f – g – h)(x) = D f – g – h = Df ∩ D g ∩ D h = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} = {x | x ≥ –2, x ∈ R}.
44
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
Dg =
∈ R}.
B. Uraian
Daerah asal alami fungsi h(x) =
∩
= 2x2 x + 2 – 9x x + 2 – 5 x + 2 Daerah asal (f × h)(x) = D f × h = Df ∩ Dh = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} = {x | x ≥ –2, x ∈ R}.
(g
=
= (2x2 – 9x – 5) x + 2
20. Jawaban: e (g f)(x) = g(f(x))
=
2x 2 − 9x − 5 2x + 1
Daerah asal
=
=
=x–5
f(x)
= g(x)
19. Jawaban: b (g f h)(x) = g((f h)(x)) = g(f(h(x))) = g(f(1 – x)) = g((1 – x) 2 + 3(1 – x) – 1) = g(1 – 2x + x2 + 3 – 3x – 1) = g(x2 – 5x + 3) = 2(x2 – 5x + 3) + 5 = 2x2 – 10x + 6 + 5 = 2x2 – 10x + 11 Jadi, (g f h)(x) = 2x 2 – 10x + 11.
⎛f⎞ ⎜ ⎟ (x) ⎝g⎠
3. a. (f g h)(1) = 8 ⇔ f(g(h(1))) = 8 ⇔ f(g(2 + a)) = 8
⇔
⇔
⇔
⇔
f(
2+a 3
⎛2+a⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠
)=8
2
–
2+a 3
4 + 4a + a 2 9 4 + 4a + a 2 9
–
+ 8 = 8 2+a 3
=0
3(2 + a) 3×3
=0
–
4 + 4a + a 2 9
⇔
–
4. a.
6 + 3a 9
=0
Diketahui f(x) = 1,2x dan g(x) = 0,8x. Komposisi fungsi = (g f)(x). (g f)(x) = g(f(x)) = g(1,2x) = 0,8(1,2x) = 0,96x Jadi, komposisi fungsi tersebut adalah (g f)(x) = 0,96x. Diketahui x = 4, sehingga: (g f)(4) = 0,96 × 4 = 3,84 Jadi, berat kue kering yang dihasilkan 3,84 kuintal. (g f)(x) = 0,96x ⇔ 5,76 = 0,96x ⇔ x =6 Jadi, berat bahan baku yang digunakan 6 kuintal.
⇔
4 + 4a + a 2 − 6 − 3a 9
=0
⇔
a2 + a − 2 9
=0
a2 + a – 2 = 0 (a + 2)(a – 1) = 0 ⇔ ⇔ a = –2 atau a = 1 Diambil a = 1 karena disyaratkan a > 0. Jadi, nilai a = 1. (h g f)(x) = h(g(f(x))) = h(g(x2 – x + 8)) ⇔
b.
Jadi, (h
= h(
x2 − x + 8 3
)
= 2(
x2 − x + 8 3
)+1
=
2 3
=
b.
c.
5. a.
x2 –
2 3
x+
16 + 3
2 3
x2 –
2 3
x+
16 3 + 3 3
=
2 3
x2 –
2 3
x+
19 3
=
1 3
(2x2 – 2x + 19)
1
(f g)(x) = f(g(x) = f(0,4x) = 2.000.000 + 3.000(0,4x) = 2.000.000 + 1.200x Jadi, fungsi yang menunjukkan penghasilan karyawan adalah (f g)(x) = 2.000.000 + 1.200x. Diketahui penghasilannya Rp2.180.000,00 sehingga (f g)(x) = 2.180.000. (f g)(x) = 2.180.000 ⇔ 2.000.000 + 1.200x = 2.180.000 1.200x = 180.000 ⇔ ⇔ x = 150 Jadi, barang yang laku ia jual sebanyak 150 unit.
b.
1
g f)(x) = 3 (2x2 – 2x + 19).
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: d Invers fungsi f dinyatakan dalam diagram panah berikut.
2. Jawaban: d Grafik invers suatu fungsi f(x) dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi f(x) terhadap garis y = x. Y
f(x)
y= x
f–1(x) Q
P
5•
•2
11 •
•4
17 •
•6
23 •
•8
X
Jadi, invers fungsi f(x) adalah {(5, 2), (11, 4), (17, 6), (23, 8)}.
Matematika Kelas X
45
Grafik tersebut menunjukkan grafik fungsi f(x) dan hasil pencerminannya terhadap garis y = x. Jadi, grafik yang menunjukkan grafik fungsi f(x) dan hasil fungsi f(x) dan invers fungsinya adalah gambar pilihan d. 3. Jawaban: d Misalkan y = f(x)
⇔
f(x) =
3−x 4
y=
3−x 4
4y = 3 – x x = 3 – 4y –1 ⇔ f (y) = 3 – 4y ⇔ f –1 (x) = 3 – 4x Jadi, invers fungsi f adalah f –1(x) = 3 – 4x. ⇔ ⇔
4. Jawaban: c Grafik fungsi g(x) melalui titik A(2, 0) dan B(0, 4). Bentuk umum g(x) = ax + b. Untuk titik A(2, 0) diperoleh: g(2) = a × 2 + b . . .(1) ⇔ 0 = 2a + b Untuk titik B(0, 4) diperoleh: g(0) = a × 0 + b ⇔ 4 = b b = 4 sehingga: 2a + b = 0 ⇔ 2a + 4 = 0 ⇔ a=2 Diperoleh g(x) = ax + b = 2x + 4. y = 2x + 4 ⇔ 2x = y – 4 ⇔
x=
y−4 2
⇔
g–1(y) =
y−4 2
⇔ g –1 (x)
=
x−4 2
g –1(x)
=
x−4 2
.
⇔
3x − 1 + 2
4x =
3x − 1 + 8x 2
=
11x − 1 2
=
2(3x) 2(x + 1)
x 2x + 2
+
6x + x
=
7x 2x + 2
Misalkan y = h(x). y= ⇔ ⇔
(2x + 2)y = 2xy + 2y = 2xy – 7x = x(2y – 7) =
7x 2x + 2
7x 7x –2y –2y −2y
⇔
x = 2y − 7
⇔
h–1 (y) = 2y − 7
⇔
h–1 (x) = 2x − 7
−2y −2x
11x = 2y + 1 2y + 1 11
⇔
f –1 (y) =
2y + 1 11
⇔
f –1 (x) =
2x + 1 11
⇔
3
y + 27 = x
⇔
3
y + 27 = h–1(y)
⇔
f –1(x)
=
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
−2x ; 2x − 7
x≠
7 2
.
8. Jawaban: d Diketahui fungsi h(x) = x 3 – 27. Misalkan y = h(x) ⇔ y = x3 – 27 ⇔ y + 27 = x3
11x − 1 2
Jadi, invers fungsi f(x) adalah
46
3x x + x +1 2x + 2
Jadi, invers fungsi h adalah h –1(x) =
x=
⇔
=
= 2x + 2
⇔
5. Jawaban: d
y=
7. Jawaban: a h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
⇔
Jadi, invers fungsi g adalah
f(x)=
6. Jawaban: e Diketahui fungsi g(x) = 5x + 7 untuk daerah asal Dg = {x | 3 ≤ x ≤ 8, x ∈ R}. Untuk x = 3 maka g(3) = 5 × 3 + 7 = 22. Untuk x = 8 maka g(8) = 5 × 8 + 7 = 47. Daerah hasil fungsi g adalah Rg = {y | 22 ≤ y ≤ 47, y ∈ R}. Pada fungsi invers, daerah hasil fungsi yang diinverskan menjadi daerah asal fungsi inversnya. Daerah asal fungsi invers = daerah hasil fungsi yang diinverskan = {x | 22 ≤ x ≤ 47, x ∈ R} Jadi, daerah asal fungsi g–1 adalah Dg–1 = {x | 22 ≤ x ≤ 47, x ∈ R}.
2x + 1 . 11
h–1 (x) =
3
x + 27
Jadi, invers fungsi h(x) adalah h –1(x) =
3
x + 27 .
9. Jawaban: a Diketahui fungsi f(x) = x 2 – 4x – 5. Misalkan y = f(x) y = x2 – 4x – 5 ⇔ ⇔ y = (x – 2)2 – 4 – 5 ⇔ y = (x – 2)2 – 9 ⇔ y + 9 = (x – 2)2 ⇔
Untuk daerah asal {x | x ≥ –3, x fungsi invers berikut. Y
f–1(x)
⇔
f –1 (y) = 2 ± y + 9
⇔
f –1 (x) = 2 ± x + 9
Jadi, daerah asal fungsi adalah {x | x ≤ –3, x ∈ R}.
Jadi, invers fungsi f(x) adalah f –1(x) = 2 ± x + 9 , x > –9.
11. Jawaban: d (f g)(x) = f(g(x))
10. Jawaban: c Sketsa grafik fungsi f(x) = x 2 + 6x + 5. Y
–3 0
X
0
x = 2 ± y+9
diperoleh
y= x
f(x)
± y+9 = x – 2
⇔
∈ R},
f(x)
= f(
4x − 5 ) 2x + 1
= 3(
4x − 5 ) 2x + 1
=
12x − 15 2x + 1
+ 4
=
12x − 15 2x + 1
+
4(2x + 1) 2x + 1
=
12x − 15 2x + 1
+
8x + 4 2x + 1
X
–4
+4
20x − 11
Agar invers fungsi f(x) merupakan fungsi invers, daerah asal fungsi f(x) harus dibatasi sehingga fungsi f(x) merupakan fungsi bijektif. Fungsi f(x) merupakan fungsi bijektif untuk daerah asal Df = {x | x ≤ –3, x ∈ R} atau Df = {x | x ≥ –3, x ∈ R} dan daerah kawan K f = {y | y ≥ –4, y ∈ R}. Untuk daerah asal {x | x ≤ –3, x ∈ R} diperoleh fungsi invers berikut. f(x)
Y
0
y=x
= 2x + 1
Misalkan y = (f g)(x).
y= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
y(2x + 1) = 2xy + y = 2xy – 20x = x(2y – 20) =
20x – 11 20x – 11 –y – 11 –y – 11 − y − 11
x = 2y − 20
⇔
− y − 11
⇔
(f
g)–1(y) = 2y − 20
⇔
(f
g)–1(x) = 2x − 20
⇔
(f
g)–1(x) = −(−2x + 20)
⇔
(f
g)–1(x) =
− x − 11
X
f–1(x)
20x − 11 2x + 1
−(x + 11)
x + 11 −2x + 20
Jadi, invers (f g)(x) adalah (f
x + 11 −2x + 20
;x
≠
g) –1 (x) =
10.
Matematika Kelas X
47
12. Jawaban: c Misalkan t = x + 1 sehingga x = t – 1. g(x + 1) = 4x + 9 ⇔ g(t) = 4(t – 1) + 9 ⇔ g(t) = 4t + 5 ⇔ g(x) = 4x + 5 (g f)(x) = g(f(x))
=
8x − 2
2x + 1
= 2x − 12x + 8
2x + 1
= −10x + 8
= g( x − 3 )
8x − 2
= 4( x − 3 ) + 5
4x − 1
= −5x + 4
8x + 4 + 5 x−3 5(x − 3) 8x + 4 + x−3 x−3 − 15 5x 8x + 4 + x − 3 x−3 13x − 11 x−3
= = =
Jadi, (f
⇔
(x – 3)y = xy – 3y = xy – 13x = x(y – 13) =
⇔
x=
⇔ ⇔
(g
⇔
13x − 11 x−3
⇔
⇔
3y − 11 y − 13 3x − 11 x − 13
⇔ ⇔
3x − 11
Jadi, invers dari (g f)(x) = x − 13 ; x
13. Jawaban: a (f g)–1(x) = (g –1
f(x) =
≠
f–1)(x)
⇔
⇔
x=
⇔
4 . 5
((h
g
(h ((h
x=
y+4 2
f)–1)–1(x) =
x+4 2
g f)(x) =
g) f)(x) =
(h g)(f(x)) =
f(x) − 3 2f(x) + 1
=
2(f(x) – 3) = 2f(x) – 6 = 2f(x) – 2xf(x) – 8f(x) = –2xf(x) – 6f(x) = f(x)(–2x – 6) =
x+4 2 x+4 2 x+4 2 x+4 2
(x + 4)(2f(x) + 1) 2xf(x) + 8f(x) + x + 4 x+4+6 x + 10 x + 10 x + 10
⇔
f(x) = −2x − 6
⇔
f(8) = −2(8) − 6
8 + 10
= −22
y 3y − 2
f –1 (x) = 3x − 2 g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))
x
=
≠
18
= g–1( 3x − 2 )
48
9
= – 11
x
⇔
(f
2x 3x − 1
3xy – y = 2x 3xy – 2x = y x(3y – 2) = y
⇔
⇔
⇔
y=
⇔
⇔
⇔
2x 3x − 1
Misalkan y = f(x) ⇔
13.
⇔
⇔
13x – 11 13x – 11 3y – 11 3y – 11
f)–1(x) =
g)–1(x) = −5x + 4 ; x
y=
4x − 1
14. Jawaban: c Perhatikan sifat invers fungsi komposisi (h g f) –1(x) = (f –1 g –1 h –1)(x) = 2x – 4 Misalkan y = (h g f)–1(x) y = 2x – 4 ⇔
Misalkan y = (g f)(x)
⇔
2x −4 3x − 2 (3x − 2)+ 5x 3x −2 2x − 4(3x − 2) 3x −2
=
=
5x 3x − 2
1+
1+ 5 ⎛⎜
x ⎞ ⎟ ⎝ 3x −2 ⎠ 2 ⎛⎜ x ⎞⎟ − 4 ⎝ 3x − 2 ⎠
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
9
Jadi, nilai f(8) = – 11 . 15. Jawaban: c Diketahui h(t) = 5t 2 + 4t. Misalkan y = h(t). y = 5t2 + 4t ⇔ 5t 2 + 4t – y = 0 Dari persamaan kuadrat 5t 2 + 4t – y = 0 diperoleh a = 5, b = 4, dan c = –y.
Dengan rumus abc diperoleh: t 1,2 = = =
−b ± b2 − 4ac 2a
=
−4 ± 2 4 + 5y 10
=
c.
f(x) =
−2 ± 4 + 5t 5
.
2x − 1 x+3
y=
⇔
(x + 3)y = xy + 3y = xy – 2x = x(y – 2) =
⇔ ⇔
x=
⇔
6x + 12 9x − 1
⇔
h(x) =
⇔
h(x) =
⇔
y=
2x − 1 x+3
2. a.
2x – 1 2x – 1 –3y – 1 –3y – 1
x=
⇔
h–1(y) =
⇔
h–1(x) =
3y + 6 8 3y + 6 8 3x + 6 8
−3y − 1
⇔
f –1 (y) = y − 2
⇔
f –1 (x) = x − 2
f)–1 = f–1
3x + 6 8
.
g–1
g–1
−3y − 1 y−2
f–1
–3
1
–2
–1
2
–1
2
3
0
3
4
2
−3x − 1
(g f)–1
−3x − 1
Dari diagram panah di atas diperoleh (g f) –1 = {(–3, –2), (–1, 2), (2, –1), (3, 0)}.
Jadi, inversnya adalah f –1(x) = x − 2 ; x ≠ 2.
b.
g(x) =
2 3x − 2
+
x+6 9x − 6
=
3×2 x+6 + 3(3x − 2) 9x − 6
=
6 9x − 6
=
x + 12 9x − 6
+
b.
f = {(–1, 1), (–2, 2), (2, 3), (0, 4)} g = {(2, –3), (3, –1), (1, 2), (4, 3)} (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = –1 + 2 × 3 – 3 × (–3) = –1 + 6 + 9 = 14 Jadi, nilai (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = 14.
x+6 9x − 6
Misalkan y = g(x). y= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
x + 12 9x − 6
9xy – 6y = x + 12 9xy – x = 6y + 12 x(9y – 1) = 6y + 12 x=
6y + 12 9y − 1
.
3y = 8x – 6 8x = 3y + 6
⇔
(g
1 9
7x + 6 3 15x 7x + 6 – 3 3 8x − 6 3 8x − 6 3
h(x) = 5x –
Jadi, inversnya adalah h –1(x) =
⇔
⇔
g–1 (x) =
⇔
B. Uraian
1. a.
⇔
⇔
−2 ± 4 + 5y 5
Jadi, h–1(t) =
6y + 12 9y − 1
Jadi, inversnya adalah g –1(x) = 9x − 1 ; x ≠
−4 ± 16 + 20y 10 −4 ± 4(4 + 5y) 10
g–1 (y) =
6x + 12
−4 ± 4 2 − 4 × 5 × (−y) 2×5
=
⇔
3. a.
f(x) =
4x + 1 x+3
⇔
y=
⇔
(x + 3)y = xy + 3y = xy – 4x = x(y – 4) =
⇔ ⇔ ⇔
4x + 1 x+3
4x + 1 4x + 1 1 – 3y 1 – 3y
Matematika Kelas X
49
⇔
x=
1 − 3y y−4
⇔
f –1 (y) =
1 − 3y y−4
⇔
f –1 (x)
1 − 3x x−4
=
4. a.
Jadi, inversnya adalah f –1(x) = b.
(f
⇔
⇔
g)–1(x) = (g –1 37 − 12x 2x − 8
37 − 12x 2x − 8 =
⇔ ⇔
1 – 3x 1 – 3x 4t + 1 4t + 1
⇔
f –1 (x) = ± x + 9
0
3
X
f–1(x) = ± x + 9 Oleh karena f(x) = x 2 – 9 mempunyai daerah asal x ≤ 0 dan daerah kawan y ≥ –9 maka f–1(x) akan mempunyai daerah asal x ≥ –9 dan daerah kawan y ≤ 0. Daerah kawan y ≤ 0 hanya diperoleh
1 − 3x x−4
)
dari rumus f –1 (x) = – x + 9 . Untuk invers fungsi f –1(x) = – x + 9 , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f –1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f –1(x) =
= g–1(t)
2( t ++3 ) − 8 4t
–3
⇔
1
1
g–1(t)
=
37(t + 3) 12(4t + 1) − t+3 t+3 2(4t + 1) − 8(tt ++33) t+3 37(t + 3) − 12(4t + 1) t+3 2(4t + 1) − 8(t + 3) t+3
⇔
g–1(t)
⇔
g–1(t) =
37t + 111 − 48t − 12 8t + 2 − 8t − 24
⇔
g–1(t) =
−11t + 99 −22
⇔
g–1(t) =
11(− t + 9) −22
⇔
g–1(t) =
−t + 9 −2
⇔
g–1(t) =
t−9 2
=
g–1(x) =
Jadi, g–1(x) =
50
= g–1(
37 − 12( t ++3 ) 4t
⇔
f –1 (y) = ± y + 9
4t + 1
37 − 12x 2x − 8
⇔
4.
⇔
x = t+3
⇔
⇔
)
1 − 3x x−4
t(x – 4) = xt – 4t = x(t + 3) = xt + 3t =
≠
x = ± y+9
Jadi, f–1(x) = ± x + 9 bukan merupakan fungsi invers. (Dapat ditunjukkan) Fungsi f(x) = x2 – 9 harus dibatasi daerah asal dan daerah kawannya sehingga menjadi fungsi bijektif. 1) Untuk daerah asal Df = {x | x ≤ 0, x ∈ R} dan daerah kawannya K f = R f = { y | y ≥ –9, x ∈ R}, f(x) = x 2 – 9 merupakan fungsi bijektif. f(x) = x2 – 9
1 − 3x x−4
t= ⇔
1 − 3x x−4
g–1(
;x
⇔
Y
Pada f–1(x) = ± x + 9 , –9 untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan.
f–1)(x)
= g–1(f–1(x))
Misalkan t =
⇔
1 − 3x x−4
f(x) = x2 – 9 Misalkan y = f(x) y = x 2 – 9 x2 = y + 9 ⇔
x−9 2
x−9 2
.
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
2)
– x + 9 merupakan fungsi invers. Untuk daerah asal Df = {x | x ≥ 0, x ∈ R} dan daerah kawan K f = Rf = {y | y ≥ –9, y ∈ R}, f(x) = x2 – 9 merupakan fungsi bijektif. Oleh karena f(x) = x 2 – 9 mempunyai daerah asal x ≥ 0 dan daerah hasil y ≥ –9 maka f–1(x) akan mempunyai daerah asal x ≥ –9 dan daerah kawan y ≥ 0. Daerah kawan y ≥ 0 diperoleh dari rumus f –1(x) =
x + 9 . Untuk invers fungsi
f –1 (x) = x + 9 , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f –1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f–1(x) = fungsi invers.
x + 9 merupakan
b.
f(x) = –x2 + 12x – 20 Misalkan y = f(x) y = –x2 + 12x – 20 y = –(x – 6)2 + 16 ⇔ ⇔ (x – 6)2 = 16 – y x – 6 = ± 16 − y ⇔ ⇔
x = 6 ± 16 − y
⇔
f –1 (y) = 6 ± 16 − y
⇔
f –1 (x) = 6 ± 16 − x
Pada f –1 (x) = 6 ± 16 − x , untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan. Jadi, f–1(x) = 6 ± 16 − x bukan merupakan fungsi invers.(Dapat ditunjukkan) Fungsi f(x) = –x2 + 12x – 20 harus dibatasi daerah asal dan daerah kawannya sehingga f(x) menjadi fungsi bijektif.
2)
f–1(x) = 6 + 16 − x , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f –1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f–1(x) = 6 + 16 − x merupakan fungsi invers. 5 . a.
Y 16
b.
0
X
6
c. f(x)
1)
Untuk daerah asal Df = {x | x ≤ 6, x ∈ R} dan arah daerah kawan K f = {y | y ≤ 6, x ∈ R}, f(x) = –x2 + 12x – 20 merupakan fungsi bijektif. f(x) = –x2 + 12x – 20 ⇔ f–1(x) = 6 ± 16 − x Oleh karena f(x) = –x 2 + 12x – 20 mempunyai daerah asal x ≤ 6 dan daerah kawan y ≤ 16 maka f–1(x) akan mempunyai daerah asal x ≤ 16 dan daerah kawan y ≤ 6. Daerah kawan y ≤ 6 diperoleh dari rumus f–1(x) = 6 – 16 − x . Untuk invers fungsi f–1(x) = 6 – 16 − x , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f –1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f–1(x) = 6 – 16 − x merupakan fungsi invers.
Untuk daerah asal Df = {x | x ≥ 6, x ∈ R} dan daerah kawan Kf = {y | y ≤ 16, y ∈ R}, f(x) = –x2 + 12x – 20 merupakan fungsi bijektif. Oleh karena f(x) = –x 2 + 12x – 20 mempunyai daerah asal x ≥ 6 dan daerah kawan y ≤ 16 maka f–1(x) akan mempunyai daerah asal x ≤ 16 dan daerah kawan y ≥ 6. Daerah kawan y ≥ 6 diperoleh dari rumus f–1(x) = 6 + 16 − x . Untuk invers fungsi
M is al ka n f( x) m er up ak an f un gs i ya ng menyatakan nilai tukar dari dolar ke ringgit. f(x) = (x – 2) × 3,28 = 3,28x – 6,56 Jadi, fungsi yang menyatakan nilai tukar dari dolar ke ringgit adalah f(x) = 3,28x – 6,56. Misalkan g(x) merupakan fungsi yang menyatakan nilai tukar dari ringgit ke rupiah. g(x) = (x – 3) × 3.169,54 = 3.169,54x – 9.508,62 Jadi, fungsi yang menyatakan nilai tukar dari dolar ke ringgit adalah g(x) = 3.169,54x – 9.508,62. (g f)(x) = g(f(x)) = g(3,28x – 6,56) = 3.169,54(3,28x – 6,56) – 9.508,62 = 10.396,0912x – 20.792,1824 – 9.508,62 = 10.396,0912x – 30.300,8024 Jadi, komposisi fungsi yang menyatakan nilai tukar dari dolar ke rupiah adalah (g f)(x) = 10.396,0912x – 30.300,8024. Misal kan y = (g f)(x) = 10.396,0912x – 30.300,8024. y = 10.396,0912x – 30.300,8024 ⇔ 10.396,0912x = y + 30.300,8024
d.
x=
y + 30.300,8024 10.369,0912
f)–1(y) =
y + 30.300,8024 10.369,0912
f)–1(x) =
x + 30.300,8024 10.369,0912
⇔
⇔
(g
⇔
(g
Jadi, fungsi invers yang menyatakan nilai tukar dari rupiah ke dolar adalah (g f) –1(x)
=
x + 30.300,8024 10.369,0912
.
Matematika Kelas X
51
Operasi Penjumlahan Fungsi Operasi Pengurangan Fungsi
Definisi Komposisi Fungsi
Operasi Perkalian Fungsi
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi 1. g f ≠ f g 2. f (g h) = (f g) h 3. f I = I f = f
Operasi Pembagian Fungsi
Operasi Aljabar Fungsi
Komposisi Fungsi
Masalah yang Berkaitan dengan Komposisi Fungsi
Daerah Asal Fungsi Hasil Operasi Fungsi Sifat Operasi Fungsi
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Definisi Invers Fungsi
Fungsi Invers
Invers Fungsi
Sifat-Sifat Fungsi Invers 1. (f f–1)(x) = x = (f –1 f)(x) 2. (f g)–1 = (g–1 f–1), (g f)–1 = (f–1 g–1) 3. (f g h)–1 = (h–1 g–1 f–1)
Masalah yang Berkaitan dengan Invers Fungsi
52
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
Daerah asal h(x) adalah D h = Df ∩ Dg. Df ∩ Dg = {x | x ≠ 8; x ∈ R} Jadi, daerah asalnya adalah {x | x ≠ 8, x
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: b f (x) =
2x − 6 x + 2x − 15
6. Jawaban: a Misalkan t = x + 1 sehingga x = t – 1.
2
2(x − 3)
= (x + 5)(x − 3) =
∈ R}.
h(x + 1) =
2 x+5
f(x) terdefinisi untuk x ≠ –5, x ∈ R. Jadi, daerah asal fungsi tersebut adalah {x | x ≠ –5, x ∈ R}. 2. Jawaban: b Nilai g(x) ≥ 0. Agar g(x) ≥ 0, nilai x ≥ –6. Jadi, daerah asal fungsi g adalah {x | x ≥ –6, x ∈ R}.
x+5 2x + 1 (t − 1) + 5
⇔
h(t) = 2(t 1) 1 − +
⇔
h(t) =
t+4 2t − 2 + 1
⇔
h(t) =
t+4 2t − 1
⇔
h(x) =
x+4 2x − 1
(g – h)(x) = g(x) – h(x) = (3x + 2) –
3. Jawaban: d
x+4 2x − 1
Daerah asal alami f(x) = x − 2 adalah D f =
=
(2x − 1)(3x + 2) − (x + 4) 2x − 1
{x | x ≠ 2, x
=
6x 2 + 4x − 3x − 2 − x − 4 2x − 1
=
6x 2 − 6 2x − 1
2x + 1
∈ R}.
Daerah asal alami g(x) =
x+5 3
adalah D g =
{x | x ∈ R}. Daerah asal h(x) adalah D h = Df ∩ Dg. Df ∩ Dg = {x | x ≠ 2; x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ≠ 2; x ∈ R} Jadi, daerah asal h(x) adalah {x | x ≠ 2; x
Jadi, rumus (g – h)(x) = ∈ R}.
4. Jawaban: d
1
Daerah asal alami g(x) = adalah Dg = {x | x ≠ 8, x−8 x ∈ R}.
.
7. Jawaban: b (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + x + 6)
x−5
Fungsi f(x) = x − 10 mempunyai daerah asal alami Df = {x | x ≠ 10, x ∈ R} dan g(x) = x2 − 5x mempunyai daerah asal alami D g = {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ∈ R}. Daerah asal fungsi h(x) adalah D h = Df ∩ D g = {x | x ≠ 10, x ∈ R} ∩ {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ∈ R} = {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ≠ 10, x ∈ R}. Jadi, daerah asal h(x) adalah {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ≠ 10, x ∈ R}. 5 . Jawaban: e Daerah asal alami f(x) = x 2 + 3x – 88 adalah Df = {x | x ∈ R}.
6x 2 − 6 2x − 1
=
(x 2 + x + 6) + 2
=
x2 + x + 8
Jadi, rumus komposisi (g f)(x) =
x2 + x + 8 .
8. Jawaban: c (g f)(x)= g(f(x)) = g(2x – 1) = 3(2x – 1)2 – (2x – 1) + 5 = 3(4x2 – 4x + 1) – 2x + 1 + 5 = 12x2 – 12x + 3 – 2x + 6 = 12x2 – 14x + 9 Jadi, (g f)(x) = 12x2 – 14x + 9.
Matematika Kelas X
53
9. Jawaban: d (g f)(x) = g(f(x))
(f g)(x) = acx + (ad + b) berupa fungsi linear dengan gradien = ac < 0. Gradien ac < 0 berarti grafik miring ke kanan (turun). Grafik tidak melalui titik (0, 0) karena terdapat konstanta (ad + b). Dengan demikian, grafik (f g)(x) yang mungkin sebagai berikut.
= g(
x+6 ) 2x − 1
= 5(
x+6 ) 2x − 1
+6
Y
=
5x + 30 + 2x − 1
=
5x + 30 6(2x − 1) + 2x − 1 2x − 1
=
(5x + 30) + (12x − 6) 2x − 1
=
17x + 24 2x − 1
6 y = (f g)(x)
X
Jadi, komposisinya adalah (g f)(x) =
x
1 2
≠
17x + 24 2x − 1
;
(f g)(x) =
−12x − 11 3x + 1
⇔
f(g(x)) =
−12x − 11 3x + 1
⇔
3(g(x)) – 5 =
−12x − 11 3x + 1
⇔
3(g(x)) =
−12x − 11 + 3x + 1
⇔
3(g(x)) =
−12x − 11 5(3x + 1) + 3x + 1 3x + 1
3(g(x)) = 3(g(x)) =
⇔
12. Jawaban: b (f g)(x) = x2 + 10x + 27 f(g(x)) = x2 + 10x + 27 ⇔ ⇔ g(x + 6) = x2 + 10x + 27 Misalkan t = x + 6 sehingga x = t – 6. g(x + 6) = x2 + 10x + 27 ⇔ g(t) = (t – 6)2 + 10(t – 6) + 27 ⇔ g(t) = t2 – 12t + 36 + 10t – 60 + 27 ⇔ g(t) = t2 – 2t + 3 ⇔ g(x + 1) = (x + 1)2 – 2(x + 1) + 3 ⇔ g(x + 1) = x2 + 2x + 1 – 2x – 2 + 3 ⇔ g(x + 1) = x2 + 2 Jadi, fungsi g(x + 1) = x 2 + 2.
.
10. Jawaban: c
⇔
Jadi, grafik fungsi (f g)(x) yang mungkin ditunjukkan oleh pilihan e.
⇔
⇔
5
(−12x − 11) + 15x + 5 3x + 1 3x − 6 3x + 1
g(x) =
3(x − 2) 3(3x + 1)
g(x) =
x−2 3x + 1
(g h)(x)= g(x 2)
=
x2 − 2 3x 2 + 1
Jadi, (g h)(x) =
x2 − 2 . 3x 2 + 1
11. Jawaban: e (f g)(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = acx + (ad + b) ac bernilai negatif karena a > 0 dan c < 0. ad + b bernilai positif karena a > 0, b > 0, d > 0.
13. Jawaban: b (f g)(x) =
11x + 16 −10x − 19
⇔
f(g(x)) =
11x + 16 −10x − 19
⇔
g(x) + 3 g(x) − 4
11x + 16 −10x − 19
=
(g(x) + 3)(–10x – 19) = (g(x) – 4)(11x + 16) ⇔ g(x)(–10x – 19) – 30x – 57 = g(x)(11x + 16) – 44x – 64 ⇔ –10xg(x) – 19g(x) – 30x – 57 = 11xg(x) + 16g(x) – 44x – 64 ⇔ –21xg(x) – 35g(x) = –14x – 7 ⇔
⇔
g(x) =
⇔
g(x) =
⇔
g(x) =
Jadi, rumus fungsi g(x) adalah g(x) = x
54
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
−14x − 7 −21x − 35 14x + 7 7(3x + 5) 2x + 1 3x + 5
≠
5
–3 .
2x + 1 ; 3x + 5
14. Jawaban: a (g f)(x) = x – 9 ⇔ g(f(x)) = x – 9
3) {x | 0 ≤ x ≤ 1, x ∈ R} 4) {x | x ≥ 1, x ∈ R} Jika daerah asal fungsi dibatasi menjadi {x | x ≤ –1, x ∈ R}, fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers. Jadi, daerah asalnya dibatasi menjadi {x | x ≤ –1, x ∈ R}.
⇔
g( x − 4 ) = x – 9 x−4.
Misalkan t = t= ⇔ ⇔ ⇔
x−4
t 2 = ( x − 4 )2 t2 = x – 4 x = t 2 + 4
18. Jawaban: b
g( x − 4 ) = x – 9 ⇔ g(t) = (t2 + 4) – 9 ⇔ g(t) = t2 – 5 g(x) = x2 – 5 ⇔ Jadi, rumus fungsi g(x) adalah g(x) = x 2 – 5. 15. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) (f g h)(–1)= f(g(h(–1))) = f(g(–(–1))) = f(g(1)) = f(4 – 2(1)) = f(2)
= 22 + 5 = 9 =3 Jadi, nilai (f g h)(–1) = 3.
16. Jawaban: d Grafik invers fungsi f(x) dapat diperoleh dengan mencerminkan fungsi f(x) ke garis y = x. Perhatikan gambar. Y
x x +1 5(x + 1) − x x +1 5x + 5 − x x +1
f(x) = 5 – = = =
Misalkan y = f(x). y=
⇔
⇔
xy + y = 4x + 5 xy – 4x = –y + 5 x(y – 4) = –y + 5
⇔
x=
⇔
f –1 (y) =
⇔
f –1 (x) =
⇔
−y + 5 y−4 −x + 5 x−4 −x + 5
19. Jawaban: b g(x)=
6x + 5 2x + 3
– 1
=
(6x + 5) − (2x + 3) 2x + 3
=
4x + 2 2x + 3
Misalkan y = g(x) y=
4x + 2 2x + 3
⇔
2xy + 3y = 4x + 2 2xy – 4x = –3y + 2 x(2y – 4) = –3y + 2
⇔
x=
−3y + 2 2y − 4
⇔
g–1(y) =
−3y + 2 2y − 4
⇔
g–1(x) =
−3x + 2 2x − 4
⇔
17. Jawaban: c Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif. Fungsi f(x) pada gambar akan menjadi fungsi bijektif jika daerah asalnya dibatasi menjadi: 1) {x | x ≤ –1, x ∈ R} 2) {x | –1 ≤ x ≤ 0, x ∈ R}
−y + 5 y−4
Jadi, invers fungsi f adalah f –1(x) = x − 4 ; x ≠ 4.
f(x)
Grafik tersebut merupakan hasil pencerminan grafik fungsi dengan garis y = x. Jadi, grafik fungsi dan inversnya ditunjukkan oleh gambar pada pilihan d.
4x + 5 x +1
⇔
y= x
X
4x + 5 x +1
⇔
Jadi, invers g(x) adalah g –1(x) =
−3x + 2 2x − 4
;x
Matematika Kelas X
≠
2.
55
20. Jawaban: d Misalkan y = f(x). y=
22. Jawaban: e f(x) = ax + 3 Misalkan y = ax + 3 ax = y – 3 ⇔
5x − 1 4x + 3
⇔ 4xy
+ 3y = 5x – 1 ⇔ 4xy – 5x = –3y – 1 ⇔ x(4y – 5) = –3y – 1 x=
⇔
⇔
4=
−3p − 1 4p − 5
⇔
=p =p
p=1 Jadi, nilai p = 1. ⇔
21. Jawaban: d h(x) = (f g)(x) = f(g(x))
x
= f( − ) x 1 +6
=
4x 6(x − 1) + x −1 x −1
=
4x + (6x − 6) 10x − 6 = x −1 x −1 10x − 6 x −1
y=
⇔
⇔
xy – y = 10x – 6 xy – 10x = y – 6 x(y – 10) = y – 6
⇔
x=
y−6 y − 10
⇔
h–1(y) =
y−6 y − 10
⇔
h–1(x) =
x−6 x − 10
Jadi, invers fungsi h adalah h –1(x) =
56
6 a
=3
– 3 = 3a 6
24. Jawaban: c Misalkan t = x + 1 ⇔ x = t – 1 h(x + 1) = 3x – 1 ⇔ h(t) = 3(t – 1) – 1 ⇔ h(t) = 3t – 3 – 1 ⇔ h(t) = 3t – 4 ⇔ h(x) = 3x – 4 Misalkan h(x) = y y = 3x – 4
Misalkan y = h(x). ⇔
a
23. Jawaban: e f(x) = 3x – 1 Misalkan y = f(x) ⇔ y = 3x – 1 ⇔ 3log y = 3log 3x – 1 ⇔ x – 1 = 3log y ⇔ x = 3log y + 1 ⇔ f –1 (x) = 3log x + 1 f–1(81)= 3log 81 + 1 = 3log 34 + 1 = 4 × 3log 3 + 1 =5 Jadi, nilai f–1(81) = 5.
=p
x ) x −1
−3
0 = 3a + 3 – a ⇔ 0 = 3a2 + 3a – 6 ⇔ 0 = 3(a2 + a – 2) 0 = 3(a + 2)(a – 1) ⇔ ⇔ a = –2 atau a = 1 Untuk a = –2: a2 + a + 1 = (–2) 2 + (–2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3 Untuk a = 1 a2 + a + 1 = 12 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 Jadi, nilai a2 + a + 1 = 3.
Ingat, f(x) = y ⇔ f–1(y) = x. Diketahui f–1(p) = 4 sehingga f(4) = p. f(4) = p
20 − 1 16 + 3 19 19
6 a
⇔
Cara lain:
5×4 −1 4×4+3
6
f–1( a ) = 3
⇔
16p – 20 = –3p – 1 ⇔ 19p = 19 ⇔ p=1
⇔
x−3 a
f–1(f–1(9)) = 3
⇔
= 4(
f –1 (x) =
=
⇔
⇔
⇔
−3p − 1 4p − 5
f–1(p)
⇔
y−3 a
=
⇔
⇔
x=
−3y − 1 4y − 5
f –1 (y)
⇔
−3y − 1 4y − 5
⇔
x−6 x − 10
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
, x ≠ 10.
⇔
x=
y+4 3
⇔
h–1 (x) =
x+4 3
(g
26. Jawaban: a (g f)–1(x) = (f–1 g–1)(x) = f–1(g–1(x))
x+4
h–1)(x) = g( 3 )
2 ⎛⎜ x + 4 ⎞⎟
= f–1( x + 1 )
⎝ 3 ⎠ ⎛x +4⎞+ ⎜ 3 ⎟ 3 ⎝ ⎠
=
2x + 8 3 x +4 +9 3
=
(g
2x + 8 x + 13
=
Jadi, (g
2×4+ 8
16
h–1)(4) = 4 + 13 = 17 16
Jadi, nilai (g h –1)(4 ) = 17 .
⇔ ⇔
(g–1
= (–x – 8) – 9x − 57 x−5 9x − 57 x−5 9x − 57 x−5 9x − 57 x−5
g)–1(x) = f–1)(x) =
g–1(f –1(x)) =
− x + 8 )= 3 −x + 8 Misalkan t = 3 −x + 8 t = 3 ⇔
⇔ ⇔
g–1(
3
)=
2x − 5 3
=
3(− x − 8) − (2x − 5) 3
=
−3x − 24 − 2x + 5 3
=
−5x − 19 3
(h k)(x) = h(k(x))
= h(
.
= 3(
3t = –x + 8 x = –3t + 8
− x + 8 g–1(
= 3( x + 1 )2 + 2 = 3(x + 1) + 2 = 3x + 3 + 2 = 3x + 5 –1 f) (x) = 3x + 5.
27. Jawaban: e k(x) = (f – g)(x) = f(x) – g(x)
25. Jawaban: a (f
− 5x − 19 3
)
− 5x − 19 ) 3
+4
= –5x – 19 + 4
9x − 57 x−5
= –5x – 15 Misalkan (h k)(x) = y. y = –5x – 15 ⇔ 5x = –y – 15
⇔
g–1(t) =
9(−3t + 8) − 57 (−3t + 8) − 5
⇔
g–1(t) =
−27t + 72 − 57 −3t + 3
⇔
x=
⇔
g–1(t)
=
−27t + 15 −3t + 3
⇔
x=–
y + 15 5
=
−3(9t − 5) −3(t − 1)
⇔
⇔
g–1(t)
k)–1(x) = –
x + 15 5
⇔
g–1(x)
=
9x − 5 x −1
Jadi, inversnya adalah (h
⇔ ⇔ ⇔
9x − 5 x −1
xy – y = 9x – 5 xy – 9x = y – 5 x(y – 9) = y – 5
⇔
x=
⇔
(g –1) –1 (y) =
⇔
g(x) =
Jadi, g(x) =
x−5 ; x−9
y−5 y−9 y−5 y−9 x−5 x−9
x
k)–1(x) = –
x + 15 . 5
28. Jawaban: a Misalkan g(x) = y
Misalkan y = g–1(x). y=
(h
− y − 15 5
≠
g(x) = ⇔ ⇔ ⇔
y=
2x + 1 3 2x + 1 3
3y = 2x + 1 2x = 3y – 1
⇔
x=
3y − 1 2
⇔
g–1(x) =
3x − 1 2
9.
Matematika Kelas X
57
(f
g
h)–1(–2)= (h–1 g–1 f–1)(–2) = h–1((g–1 f–1)(–2)) = h–1(g–1(f–1(–2))) = h –1(g–1(4 × (–2) + 5)) = h–1(g–1(–3))
3 × (−3) − 1 ) 2
= h–1(
⇔
(g
x=
y + 13 2
f –1 (x) =
x + 13 2
g–1)(x)
= (g
h)–1(
3 + 13 2
4x − 5 2−x
=
3 + 10x 3 − 20x 2 − 4x + 8 x −2
=
10x 3 − 20x 2 − 4x + 11 x−2
Daerah asal fungsi (f + g) = D (f + g) = Df ∩ Dg = {x | x ≠ 2, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ≠ 2, x ∈ R}. b.
(f × g × h)(x) = f(x) × g(x) × h(x) 3
= ( x − 2 )(10x2 – 4)( x 2 − 25 )
1
3 x+4
= =
3−x−4 x+4
−x − 1
= x+4 Dengan rumus praktis:
−dx + b cx − a
,x
≠
x 2 − 25
Daerah asal fungsi (f × g × h) = D(f × g × h) = Df ∩ Dg ∩ D h = {x | x ≠ 2, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} = {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R].
– 1
,x
30x 2 − 12 x−2
=
)
3 x+4
x−2
3
ax + b cx + d
x ≠ 2.
= x − 2 + (10x2 – 4) x − 2
= (g h)–1(8) = 8 + 11 = 19 (g h))–1(3) = 19.
= h(
4x − 5 ; 2−x
3
= h(g( x + 4 ))
58
=
= x − 2 + (10x2 – 4)
)
f–1(x) =
−4 + 4x − 1 2−x
1. Daerah asal alami fungsi f(x) = x − 2 adalah Df = {x | x ≠ 2, x ∈ R}. Daerah asal alami g(x) = 10x 2 – 4 adalah Dg = {x | x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi fungsi h(x) = x 2 − 25 adalah Dh = {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R}. a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
30. Jawaban: b (h g f)(x) = h(g(f(x)))
Jika f(x) =
=
f) –1(x) =
−4(1 − x) − 1 (1 − x) + 1
f)–1(1 – x) =
B. Uraian
= 5( 5 ) + 7 = x + 11 –1 h)) (3) = ((g h)–1 f –1)(3) = (g h)–1(f–1(3))
Jadi, nilai (f
g
−4x − 1 x +1
x+4
3
h)–1(x) = (h–1
(g
Jadi, (h g f) –1(1 – x) =
x+4
−x − 1
g f)(x) = x + 4 maka (h
= h–1( 5 )
(f
29. Jawaban: e Misalkan f(x) = y f(x) = 2x – 13 ⇔ y = 2x – 13 ⇔
(h
(h g
= h–1(–5) = –5 – 6 = –11 Jadi, nilai (f g h) –1(–2) = –11.
Dengan demikian,
c.
g ( h )(x)
=
g(x) h(x)
=
10x 2 − 4 x 2 − 25
d
– c maka
a ≠ c
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
Fungsi
g ( h )(x)
untuk
x 2 − 25
=
g(x) h(x) ≠ 0.
=
10x 2 − 4 x 2 − 25
terdefinisi
x 2 − 25
⇔
≠ 0
(f g)(
x2 –
25 2 5> 0 (x + 5)(x 5)(x – 5) 5) > 0 x < –5 –5 atau atau x > 5
⇔ ⇔ ⇔
Daerah asal fungsi (
1 – x
1)=
= g ) h
= D⎛ g ⎞ = Dg
∩
⎜h⎟ ⎝ ⎠
Dh
Misalk Misa lkan an t = x – 1 seh sehin ingg gga a x = t + 1. 1. 2 g(x – 1)= x + 2x + 3 (t + 1)2 + 2(t + 1) + 3 ⇔ g(t) = (t ⇔ g( g(t) t) = t2 + 2t + 1 + 2t + 2 + 3 ⇔ g( g(t) t) = t2 + 4t + 6 ⇔ g( g(x) x) = x2 + 4x + 6 (g f)(x) f)(x) = g(f(x)) g(f(x)) = g(2x + 5) = (2x + 5)2 + 4(2x + 5) + 6 = 4x2 + 20x + 25 + 8x + 20 + 6 = 4x2 + 28x + 51 Jadi, (g f)(x) = 4x2 + 28x + 51. (g f)(a f)(a)) = 27 27 ⇔ 4a2 + 28a 28a + 51 51 = 27 2 ⇔ 4a + 28a 28a + 24 24 = 0 2 ⇔ 4(a + 7a 7a + 6) 6) = 0 ⇔ (a + 6)(a 6)(a + 1) = 0 ⇔ a + 6 = 0 atau a + 1 = 0 ⇔ a = –6 atau a = –1 Jadi, nilai a = –6 atau a = –1.
b.
x −1
⇔
= =
4–
⇔
x −1 x
1
k −1 k
=32
k −1 k
=4–32
1 1
k −1 k
1
= 2 k = 2k 2k – 2 ⇔ ⇔ k=2 Jadi, nilai k = 2. ⇔
5 . a.
(g f)(x) f)(x) = 0,56 0,56xx 0,56x 6x ⇔ g(f(x)) = 0,5 ⇔ g(0 g(0,8x) ,8x) = 0,56x 0,56x Misalkan t = 0,8x sehingga:
x=
t 0,8
=
10 8
t
g(0,8x) g(0, 8x) = 0,56x 0,56x ⇔
g(t) g( t) =
56 100
⇔
g(t) g( t) =
7 10
×
10 8
t
t
g(t) = 0,7t g(t) 0,7t 0,7x ⇔ g(x) = 0,7x Jadi, rumus g(x) adalah 0,7x. ⇔
1 − (−5) 5) g( −5 + 7 )
(f g)(x)= f(g(x)) = f(4 – x)
1 . 5
(g f)(x)= g(f(x)) = g( x ) = 4 –
6
4 . a.
≠
(g f)( f)(k) k) = 3 2
4x − 1
1
= g(3) = –3 – 2 = –5 Jadi, nilai (g h)(–5) = –5.
4x −1 x 5x −1 x
(f g)(x)= f(g(x)) = f(–x – 2) = 3(–x – 2) 2 + 1 = 3(x2 + 4x + 4) + 1 = 3x2 + 12x + 12 + 1 = 3x2 + 12x + 13 Jadi, (f g)(x) = 3x 2 + 12x + 13. (g h)(–5)= g(h(–5))
= g( 2 )
1
5− X
Jadi, (f g)( x – 1) = 5x − 1 ; x
=
X
4x − 1
b.
1
= 5x − 1
3 . a.
) − 1) −1
4− X
=
b.
1 X
1
dan {h(x) ≠ 0} = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} ∩ {x | x ≠ –5 atau x ≠ 5, x ∈ R} = {x | x < –5 atau x > 5, x ∈ R}. 2. a.
( 4−( 3−
b.
(g f)(x) f)(x) = 0,56 0,56xx ⇔ 67. 67.200 200 = 0,56x 0,56x
⇔
x=
67.200 0,56
= 120.000
Jadi, harga kaos mula-mula adalah Rp120.000,00.
(4 − x) − 1 4−x 3−x 4−x
Matematika Kelas X
59
6. Suatu fungsi fungsi invers invers terpen terpenuhi uhi jika jika fungsi fungsi tersebut tersebut bersifat bijektif. a. Gr Graf afik ik fu fung ngsi si f( f(x) x) = –x –x2 + 2x + 15 tampak seperti gambar berikut. 16
7 . a.
Y
x−6 3x + 1
g(x) =
y=
⇔
⇔
3xy + y = x – 6 3xy 3xy – x = –y – 6 x(3y x(3 y – 1) = –y – 6
⇔
x=
−y − 6 3y − 1
⇔
g–1 (y (y)) =
−y − 6 3y − 1
⇔
g–1 (x (x)) =
−x − 6 3x − 1
⇔
f(x)
X
0 1
(g
b.
x−6 3x + 1
⇔
f)–1(x (x)) = (f–1 g–1)(x) = f–1(g–1)(x))
− x − 6 ) 3x − 1
Agar fungsi f(x) = –x2 + 2x + 15 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≤ 16, y ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi f(x) = –x 2 + 2x + 15 dibatasi menjadi {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≤ 16, y ∈ R}.
= f–1(
Grafik Graf ik fu fung ngsi si f( f(x) x) = (x (x + 2)2 – 6 tampak seperti gambar berikut.
=
(− x − 6) − (9 x − 3) (3 x − 1)5
=
−10 x − 3 15x − 5
= =
Y f(x)
Jadi, (g b.
5 −x − 6 3x − 1
3( 3 x − 1) 3x − 1
5
−10 x − 3 15 x − 5
;x
≠
1 3
.
2x − 1 5
5y = 2 2xx – 1 2x = 5y 5y + 1
⇔ ⇔
x=
5y + 1 2
⇔
h–1(x (x)) =
5x + 1 2
X
(g
−
f)–1(x) =
y=
⇔
–6
−3
2x − 1 5
h(x) = ⇔
–2 0 –2
−x − 6 3x − 1
f
h)–1(x) = (h–1 f–1 g–1)(x) = h–1(f–1 g–1)(x)
Agar fungsi f(x) = (x + 2) 2 – 6 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ –2, x ∈ R} atau {x | x ≥ –2, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≥ –6, y ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2). Jadi, daerah asal fungsi f(x) = (x + 2) 2 – 6 menjadi {x | x ≤ –2, x ∈ R} atau {x | x ≥ –2, x ∈ R R}} dan daerah kawan {y | y ≥ –6, y ∈ R}.
= h–1( = =
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Fungsi Invers
)
5( −15 x −−5 ) + 1 10 x
3
2 10 x 3 ( − 3 x −−1 )
+
3x − 1 3x − 1
2
(−10 x − 3) + (3 x − 1) 2(3 x − 1) −7x − 4 = 6x − 2 1 −7x − 4 h)–1(x) = ;x≠ 3 6x − 2
=
Jadi, (g
60
− 10 x − 3 15x − 5
f
.
8 . a.
(g
3x − 6
f–1)(x) = x − 1
(6 − 3x) + 9 3
)=
5−x 5
15 − 3x 3
)=
5−x 5
⇔
g( 5 − x ) =
5−x 5
⇔
g( 5 − x ) =
( 5 − x )2 5
⇔
g(x) g( x) =
g(
⇔
3x − 6
g(f –1(x (x)) )) = x − 1
⇔
3f −1(x) − 1
3x − 6
= x −1 f (x) ⇔ f–1(x) × 3x – 6 × f –1(x (x)) = 3f 3f–1(x) × x – 3f–1(x (x)) –x+1 –1 –1 ⇔ f (x) × 3x – 3x × f (x (x)) –1 –1 – 6f (x) + 3f (x (x)) = –x –x + 1 –1 ⇔ –3f (x) = –x –x + 1 ⇔
−1
x −1 −x + 1 = 3 −3
f –1 (x (x)) =
⇔
Misalkan y = y=
g(
⇔
f–1(x)
Jadi, rumus fungsi g(x) = b.
x −1 3
3x − 1 x 3x − 1 x
⇔
⇔
xy = 3x 3x – 1 xy – 3x 3x = –1 –1 x(yy – 3) = –1 x( –1
⇔
x=
⇔
g–1 (x (x)) = x − 3
9 × 2 − 36 × 2 + 36 5
=n
⇔
36 − 72 + 36 5
=n
n=
−1
⇔
n=0
−1 x −1 −3 3
10.. a. 10
=
−1 x −1−9 3
−3
= x − 10
−3
g)–1(x) = x − 10 ; x
b. ≠
10.
(g h f) –1(x) = 5 – 5x Misalkan (g h f)–1(x) = y ⇔ y = 5 – 5x 5x ⇔ 5x = 5 – y
Misalk Misa lkan an fu fung ngsi si pe peng ngha hasi sila lan n = f( f(x) x).. f(x) = gaji gaji + ko komis misii = 2.000.000 + 5.000 × x = 2.000.000 + 5.000x Jadi, fungsinya adalah f(x) = 2.000.000 + 5.000x. f(x) f( x) = 2.0 2.000 00.0 .000 00 + 5.0 5.000 00xx ⇔ y = 2.000 2.000.000 .000 + 5.000 5.000xx 5.000x 0x = y – 2.0 2.000.0 00.000 00 ⇔ 5.00 ⇔
x =
y − 2.000.000 5.000
⇔
f –1 (y ) =
y − 2.000.000 5.000
⇔
f –1 (x ) =
x − 2.000.000 5.000
0 5
Jadi, nilai n = 0.
⎛ x − 1⎞ ⎟ ⎝ 3 ⎠
⇔
⇔
= g–1 ⎜
9 . a.
9x 2 − 36 x + 36 5
−1 y −3
Jadi, (f
=
2
(f g)–1(x (x)) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))
=
( 6 − 3 x )2 5
y=
⇔
=
Ingat, f(x) = y ⇔ f–1(y) = x sehingga: (g f) –1(n) = 2 maka (g f)(2) = n (g f)( f)(2) 2) = n
Misalkan g(x) = y ⇔
x=
5−y 5
f)–1)–1(x (x)) =
5−x 5
Jadi, inversnya adalah f –1(x) =
⇔
(g h f)( f)(x) x) =
5−x 5
c.
⇔
g(h(f(x g(h (f(x))) ))) =
5−x 5
⇔
g(h(6 g(h (6 – 3x)) 3x)) =
5−x 5
⇔
⇔
((g
h
.
x = 3y 3y + 1 3x + 1 ⇔ f(x) = 3x Jadi, f(x) = 3x + 1. g(x) =
x2 5
(g f)(x)= g(f(x)) = g(6 – 3x)
⇔
b.
x2 5
f–1(3. (3.000 000.00 .000) 0) = =
x − 2.000.000 5.000
.
3.00 3.000. 0.00 000 0 − 2.00 2.000. 0.00 000 0 5.000 1.000.000 5.000
= 200 Jadi, banyak barang yang laku ia jual 200 unit.
Matematika Kelas X
61
Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menjelaskan fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional secara formal yang meliputi notasi, daerah asal, daerah hasil, dan ekspresi simbolik; 2. menentukan sketsa grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional; 3. menganalisis karakteristik grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional; 4. menganalisis karakteristik perubahan grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional akibat transformasi f 2(x),
1 , f(x)
|f(x)| , dan f(x) . Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu menunjukkan sifat cermat dan teliti dalam menganalisis permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional.
Fungsi dan Grafik Fungi Mempelajari
Fungsi Linear
Fungsi Kuadrat
Mencakup •
• •
Daerah Asal, Daerah Hasil, Rumus Fungsi, dan Nilai Fungsi Linear Sketsa Grafik Fungsi Linear Menganalisis Grafik Fungsi Linear
Fungsi Rasional
Mencakup •
• •
Daerah Asal, Daerah Hasil, Rumus Fungsi, dan Nilai Fungsi Kuadrat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Menganalisis Grafik Fungsi Kuadrat
Mencakup •
• •
Daerah Asal, Daerah Hasil, Rumus Fungsi, dan Nilai Fungsi Rasional Sketsa Grafik Fungsi Rasional Menganalisis Grafik Fungsi Rasional
Mampu • • • •
Menentukan daerah asal, daerah hasil, rumus fungsi, dan nilai dari fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional. Menggambar sketsa grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional. Menganalisis grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional. Bersikap cermat dan teliti dalam menganalisis permasalahan yang berkaitan dengan fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional.
Matematika Kelas X
1
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Diketahui f : x → 4x – 3 sehingga rumus fungsi f(x) = 4x – 3. Df = {x | –2 < x ≤ 3, x ∈ bilangan bulat} = {–1, 0, 1, 2, 3} Tabel nilai f(x) = 4x – 3 sebagai berikut. x
–1
0
1
2
3
y = f(x)
–7
–3
1
5
9
Dari tabel diperoleh daerah hasil R f = {–7, –3, 1, 5, 9}. Jadi, daerah hasil f adalah {–7, –3, 1, 5, 9}. 2. Jawaban: a Menentukan titik potong grafik fungsi y = f(x) = 1 x 2
1–
dengan sumbu koordinat.
9 Y 8 7 6 y = g(x)
5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1
2 3 X
1
Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan c. 4. Jawaban: a Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = f(x) =
2 3
x + 4.
= 1 ⇔ x = 2
x
–3
–6
Sehingga grafik memotong sumbu X di titik (2, 0). Untuk x = 0 diperoleh:
y = f(x)
2
0
Untuk y = 0 diperoleh: 0=1–
y=1–
1 1 x⇔ x 2 2
1 × 2
0=1
Sehingga grafik memotong sumbu Y di titik (0, 1). Grafik yang memotong sumbu X di titik (2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 1) adalah pilihan a dan b. Daerah asal f adalah D f = {x | x ≥ –2, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri berabsis –2 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga. Di antara pilihan a dan b yang titik ujungnya paling kiri tidak berlubang adalah pilihan a. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan a. 3. Jawaban: d Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = g(x) = 2x + 4. x
–1
2
y = f(x)
2
8
Daerah asal g adalah D g = {x | –1 ≤ x < 2, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri yang berabsis –1 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan yang berabsis 2 berlubang.
2
Grafik fungsi y = g(x) = 2x + 4 dengan D g = {x | –1 ≤ x < 2, x ∈ R} sebagai berikut.
Fungsi dan Grafik Fungsi
Daerah asal f adalah D f = {x | x < –3, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri di tak hingga dan titik ujung paling kanan berabsis –3. 3 2
Grafik fungsi y = f(x) = x + 4 dengan Df = {x | x < –3, x ∈ R} sebagai berikut.
4
Y
3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
X
–2 –3
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X di titik (–6, 0). Jadi, grafik y = f(x) memotong sumbu koordinat di titik (–6, 0).
5. Jawaban: b Grafik f(x) = –2x + 4 dengan Df = {x | x ≤ 1, x ∈ R} sebagai berikut. 10 Y
f(x) = –2x + 4
Dari gambar terlihat, grafik tidak memotong sumbu Y. Grafik g(x) = x + 4 dengan Dg = {x | x ≤ –2, x ∈ R} sebagai berikut.
9
3
8
2
7
1
6 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 g(x) = x + 4 –2
5 4 3
1
2
3 X
Dari gambar terlihat, grafik tidak memotong sumbu X. Grafik f(x) = –2x – 6 dengan Df = {x | x ≤ –2, x ∈ R} sebagai berikut. 6
f(x) = –2x – 6
Dari gambar terlihat, grafik tidak memotong sumbu Y. Grafik g(x) = –x – 5 dengan D g = {x | x ≥ –3, x ∈ R} sebagai berikut. 2 1
5
–4 –3 –2 –1 0 –1
4
–2
3
–3 g(x) = x + 4
1
–6
–8
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X. Jadi, fungsi linear f(x) = –2x – 6 dengan D f = {x | x ≤ –2, x ∈ R} memotong sumbu X. 6. Jawaban: c Grafik g(x) = 3x + 5 dengan D g = {x | x ≤ –1, x ∈ R} sebagai berikut. Y
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu Y. Jadi, fungsi linear g(x) = –x – 5 dengan D g = {x | x ≥ –3, x ∈ R} memotong sumbu Y. 7. Jawaban: d Grafik h(x) = x + 6 dengan D h = {x | –3 ≤ x ≤ 2, x ∈ R} sebagai berikut. 9 Y 8
2
7
1
g(x) = 3x + 5
6 1
2
X
4 3
–3
2
–4
1
–6
h(x) = x + 6
5
–2
–5
X
3
–7
–3
–2 –1 0 –1
2
–5 X
–2
3
1
–4
1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
Y
Y
2
–3
X
–4
1 –3 –2 –1 0 –1
1
–3
2
–5 –4
Y
–4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
X
Matematika Kelas X
3
Dari gambar terlihat, grafik hanya memotong sumbu Y. Grafik h(x) = x – 3 dengan D g = {x | 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R} sebagai berikut. 4
Y
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X dan sumbu Y. Jadi, fungsi linear yang memotong sumbu X dan sumbu Y adalah h(x) = –2x + 4 dengan D h = {x | –1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}. 8. Jawaban: d Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = g(x) = 3x – 6.
3 2 h(x) = x – 3
1 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
X
–2 –3
Dari gambar terlihat, grafik hanya memotong sumbu X. Grafik h(x) = 2x – 3 dengan Dh = {x | 2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R} sebagai berikut.
x
1
2
y = f(x)
–3
0
Daerah asal g adalah D g = {x | x ≥ 1, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri yang berabsis 1 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan adalah tak hingga. Grafik fungsi y = g(x) = 3x – 6 dengan D g = {x | x ≥ 1, x ∈ R} sebagai berikut. 4 Y
8 Y
3
7
2
6
1
5
h(x) = 2x – 3
–2 –1 0
4 2
–2
1
–3 1
2
3 4
5
6
7
2
3
4
5
6
X
X
1)
Dari gambar terlihat, grafik tidak memotong sumbu X dan sumbu Y. Grafik h(x) = –2x + 4 dengan D h = {x | –1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R} sebagai berikut. 7 Y 6 5 4 3 2 1 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
–2 –3 –4 –5
4
1
–1
3
–1 0 –1
g(x) = 3x – 6
Fungsi dan Grafik Fungsi
5
X
Dari gambar terlihat grafik memotong sumbu X di titik (2, 0). Dengan demikian, pernyataan 1) benar. 2) Grafik tidak memotong sumbu Y. Dengan demikian, pernyataan 2) salah. 3) Nilai y terendah adalah y = –3 dan titik ujung (1, –3) tidak berlubang sehingga y ≥ –3. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Daerah hasilnya adalah {y | –3 ≤ y < –∞, y ∈ R} atau {y | y ≥ –3, y ∈ R}. Dengan demikian, pernyataan 3) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah 1) dan 3). 9. Jawaban: e Grafik melalui titik (–2, 6) maka g(–2) = 6. Grafik melalui titik (4, 3) maka g(4) = 3 atau g–1(3) = 4. Dengan demikian, g(–2) + g –1(3) = 6 + 4 = 10. Jadi, nilai g(–2) + g –1(3) adalah 10.
10. Jawaban: d Nilai x paling kiri adalah negatif tak hingga sehingga x > –∞. Nilai x paling kanan adalah x = 4 dan titik ujung (4, –2) tidak berlubang sehingga x ≤ 4. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x ≤ 4, x ∈ R} atau {x | x ≤ 4, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi y = f(x) adalah {x | x ≤ 4, x ∈ R}.
Daerah asal D f = {x | –2 < x ≤ 6, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri dengan absis –2 berlubang dan titik ujung paling kanan dengan absis 6 tidak berlubang. Grafik fungsi y = f(x) =
7
Y
6
Menentukan persamaan grafik
5
Bentuk umum fungsi linear adalah g(x) = ax + b dengan a ≠ 0. Dari gambar terlihat grafik melalui titik (–3, –2) dan (2, 3) maka g(–3) = –2 dan g(2) = 3. g(3) = –2 ⇔ 3a + b = –2 ⇔ 2a + b = 3 –––––––––– – a = –5 Substitusikan nilai a = –5 ke dalam persamaan 2a + b = 3 sehingga diperoleh: 2 × (–5) + b = 3 ⇔ –10 + b = 3 ⇔ b = 13 Substitusikan nilai a = –5 dan b = 13 ke dalam persamaan g(x) = ax + b sehingga diperoleh g(x) = –5x + 13.
4
Menentukan daerah asal grafik
Nilai x paling kiri adalah x = –3 dan titik ujung (–3, –2) berlubang sehingga x > –3. Nilai x paling kanan adalah x = 2 dan titik ujung (2, 3) tidak berlubang sehingga x ≤ 2. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –3 < x ≤ 2, x ∈ R}. Jadi, persamaan grafik fungsi adalah g(x) = –5x + 13 dengan {x | –3 < x ≤ 2, x ∈ R}. 12. Jawaban: c Nilai y terendah adalah y = –5 dan titik ujung (3, –5) berlubang sehingga y > –5. Nilai y tertinggi adalah y = 2 dan titik ujung (–6, 2) tidak berlubang sehingga y ≤ 2. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | –5 < y ≤ 2, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi y = f(x) adalah {y | –5 < y ≤ 2, y ∈ R}. 13. Jawaban: d Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi 3 x 2
– 3 dengan D f = {x |
–2 < x ≤ 6, x ∈ R} sebagai berikut.
11. Jawaban: b
y = f(x) =
3 x 2
f(x) =
3
3 x 2
–3
2 1 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
X
–2 –3 –4 –5 –6 –7
Dari gambar terlihat nilai y terendah adalah y = –6 dan titik ujung (–2, –6) berlubang sehingga y > –6. Nilai y tertinggi adalah y = 6 dan titik ujung (6, 6) tidak berlubang sehingga y ≤ 6. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | –6 < y ≤ 6, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi y = f(x) adalah {y | –6 < y ≤ 6, y ∈ R}. 14. Jawaban: a Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = f(x) =
1 x 2
+ 1.
x
0
–2
y = f(x)
1
0
Daerah hasil Rf = {y | –2 ≤ y < 3, y ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri dengan ordinat –2 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan dengan ordinat 3 berlubang.
– 3.
x
0
2
y = f(x)
–3
0
Matematika Kelas X
5
1 x 2
Grafik fungsi y = f(x) =
+ 1 dengan daerah
hasil Rf = {y | –2 ≤ y < 3, y ∈ R} sebagai berikut. 5
Y
17. Jawaban: b
3
Diketahui h(x) = –x – 2, maka h(x) = −x − 2 . Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi
2
y=
4
1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
X
–3
Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah x = –6 dan titik ujung (–6, –2) tidak berlubang sehingga x ≥ –6. Nilai x paling kanan adalah x = 4 dan titik ujung (4, 3) berlubang sehingga x < 4. Dengan demikian, daerah asalnya adalah {x | –6 ≤ x < 4, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi y = f(x) adalah {x | –6 ≤ x < 4, y ∈ R}. 15. Jawaban: a Diketahui f : x → x – 2, maka f(x) = x – 2 dan |f(x)| = |x – 2|. Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y = |x – 2|. |x – 2|
... –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
... 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
−
x−2 .
x
–2
x
Grafik yang melalui titik-titik koordinat pada tabel adalah pilihan d. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan d.
Koordinat Titik ... (–4, 6) (–3, 5) (–2, 4) (–1, 3) (0, 2) (1, 1) (2, 0) (3, 1) (4, 2) (5, 3) (6, 4)
−
–11 –6 –3 –2
Koordinat Titik
x−2 3 2 1 0
(–11, 3) (–6, 2) (–3, 1) (–2, 0)
Grafik yang melalui titik-titik koordinat pada tabel adalah pilihan b. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan b. 18. Jawaban: c Diketahui f : x → 5 – 2x, maka f(x) = 5 – 2x dan |f(x)| = |5 – 2x|. Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y = |5 – 2x|. x
|5 – 2x|
–2 –1 0 1 2
9 7 5 3 1
(–2, 9) (–1, 7) (0, 5) (1, 3) (2, 1)
22
0
(2 2 , 0)
3 4 5
1 3 5
(3, 1) (4, 3) (5, 5)
1
Koordinat Titik
1
Daerah asal f adalah Df = {x | –2 ≤ y < 5, x ∈ R} sehingga titik ujung yang berabsis –2 tidak berlubang dan ujung yang berabsis 5 berlubang. Grafik y = |5 – 2x| dengan daerah asal {x | –2 ≤ y < 5, x ∈ R} sebagai berikut. 10 Y 9 8
Grafik yang melalui titik-titik koordinat pada tabel adalah pilihan a. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan a.
7
16. Jawaban: d 2(x) = (x + 3) 2. Diketahui g(x) = x + 3, maka gKoordinat x (x – 3)2 Titik Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi (–5, 4) y =–5(x + 3) 2. 4
4
–4 –3 –2 –1 0
1 0 1 4 9
(–4, 1) (–3, 0) (–2, 1) (–1, 4) (0, 9)
6 5 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1
1 2 3
4
5 6
X
Dari gambar terlihat, nilai y terendah adalah 1
y = 0 sehingga x ≥ 0 dan titik (2 2 , 0) pada grafik.
6
Fungsi dan Grafik Fungsi
Nilai y tertinggi adalah y = 9 dan titik ujung (–2, 9) tidak berlubang sebingga y ≤ 9. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | 0 ≤ y ≤ 9, y ∈ R}. 19. Jawaban: b Diketahui f : x → 3 – x, maka f(x) = 3 – x dan =
1 3
−
x
1 f(x)
B. Uraian
.
Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi 1
y=
3
−
x
Dari gambar terlihat, nilai y terendah adalah y = 0 dan titik (2, 0) pada grafik sehingga x ≥ 0. Nilai y tertinggi adalah y = 9 dan titik ujung (–1, 9) berlubang sehingga y < 9. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | 0 ≤ y < 9, y ∈ R}.
1. a.
.
x
1 3−x
1 2 3 4 5
0,5 1 tak terdefinisi –1 –0,5
Koordinat Titik (1, 0,5) (2, 1) – (4, –1) (5, –0,5)
Grafik yang melalui titik-titik koordinat pada tabel adalah pilihan d. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan d. 20. Jawaban: a Diketahui g(x) = 2 – x, maka g 2(x) = (2 – x)2. Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y = (2 – x)2. x
(2 – x)2
Koordinat Titik
–1 0 1 2 3 4
9 4 1 0 1 4
(–5, 4) (–4, 1) (–3, 0) (–2, 1) (–1, 4) (0, 9)
1) Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah x = –5 dan titik ujung (–5, 4) berlubang sehingga x > –5. Nilai x paling kanan adalah tak hingga sehingga x < +∞. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –5 < x < + ∞, x ∈ R} atau {x | x > –5, x ∈ R}; 2) Nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga x > – ∞. Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan titik ujung (–5, 4) berlubang sehingga y < 4. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | –∞ < y < 4, y ∈ R} atau {y | y < 4, y ∈ R}. 3) Bentuk umum fungsi linear adalah f(x) = ax + b dengan a ≠ 0. Grafik melalui titik (0, 2) dan (5, 0) maka f(0) = 2 dan f(5) = 0. f(0) = 2 ⇔ a × 0 + b = 2 ⇔ b=2 f(5) = 0 ⇔ 5a + b = 0 ⇔ 5a + 2 = 0 ⇔ 5a = –2 a=–
⇔
Daerah asal g adalah D g = {x | –1 < x ≤ 4, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri yang berabsis –1 berlubang dan ujung paling kanan yang berabsis 4 tidak berlubang. Grafik y = g2(x) dengan daerah asal {x | –1 ≤ x < 4, x ∈ R} sebagai berikut.
2 5
2 5
Substitusikan nilai a = – dan b = 2 ke dalam persamaan f(x) = ax + b sehingga diperoleh 2 5
f(x) = – x + 2.
11 Y
Jadi, daerah asal grafik adalah D f = {x | x > –5, x ∈ R}, daerah hasinya Rf = {y | y < 4,
10
y ∈ R}, dan persamaan grafiknya f(x) = – x + 2.
2 5
9
b.
8 7 6 5
y = g2(x)
4
1) Dari gambar terlihat Nilai x paling kiri adalah x = 1 dan titik ujung (1, 3) tidak berlubang sehingga x ≥ 1. Nilai x paling kanan adalah x = 7 dan titik ujung (7, 8) berlubang sehingga x < 7. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | 1 ≤ x < 7, x ∈ R}
3 2 1 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
X
Matematika Kelas X
7
2)
Nilai y terendah adalah y = 3 dan titik ujung (1, 3) tidak berlubang sehingga y ≥ 3. Nilai y tertinggi adalah y = 8 dan titik ujung (7, 8) berlubang sehingga y < 8. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | 3 ≤ y < 8, y ∈ R}. Bentuk umum fungsi linear adalah g(x) = ax + b dengan a ≠ 0. Grafik melalui titik (1, 3) dan (7, 8) maka g(1) = 3 dan g(7) = 8. g(1) = 3 ⇔ a + b = 3 g(7) = 8 ⇔ 7a + b = 8 ––––––––– – –6a = –5
3)
a=
⇔
5 Substitusikan nilai a = – 6
=3–
5 6
=
Substitusikan nilai a =
7 6 5 4
5 6
2 1 –2 –1 0 –1
5 6
x+
13 6
5 6
2. a.
∈ R},
x+
13 6
5 6
+ b = 3
. dan b =
13 6
ke
.
dan persamaan grafiknya g(x) = .
Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = f(x) = 4 – 3x. x
0
1
y = f(x)
4
1
Daerah asal D f = {x | x ≤ 2, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri tak hingga dan titik ujung paling kanan dengan absis 2 tidak berlubang. Grafik fungsi y = f(x) = 4 – 3x dengan Df = {x | x ≤ 2, x ∈ R} sebagai berikut.
Fungsi dan Grafik Fungsi
3
X
b.
Dari gambar terlihat nilai y terendah adalah y = –2 dan titik ujung (2, –2) tidak berlubang sehingga y ≥ –2. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | –2 ≤ y < ∞, y ∈ R} atau {y | y ≥ –2, y ∈ R}. Jadi, daerah hasinya adalah R f = {y | y ≥ –2, y ∈ R}. Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi 1 x 3
y = g(x) =
+ 1.
x
0
–3
y = f(x)
1
0
Daerah asal D g = {x | 1 ≤ x < 9, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri dengan absis 1 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan dengan absis 9 berlubang. 1 3
Grafik fungsi y = g(x) = x + 1 dengan Dg = {x | 1 ≤ x < 7, x ∈ R} sebagai berikut. 6 Y 5 4 3 2 1 –7–6–5 –4–3 –2 –1 0 –1 –2
8
2
–3
Jadi, daerah asal grafik adalah Dg = {x | 1 ≤ x < 7, x ∈ R}, daerah hasinya R g = {y | 3 ≤ y < 8, y
1
–2
dalam persamaan g(x) = ax + b sehingga diperoleh g(x) =
y = 4 – 3x
3
ke dalam persama-
18 − 5 13 = 6 6
Y
8
5 6
an a + b = 3 sehingga diperoleh ⇔ b
9
1 3
g(x) = x + 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X
Dari gambar terlihat nilai y terendah adalah y = –1 dan titik ujung (–6, –1) tidak ti dak berlubang sehingga y ≥ –1. Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan titik ujung (9, 4) berlubang sehingga y < 4. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | –1 ≤ y < 4, y ∈ R}. Jadi, daerah hasinya adalah R g = {y | –1 ≤ y < 4, y ∈ R}. 3. a.
b.
4. a.
Grafik Graf ik mel melal alui ui tit titik ik (– (–4, 4, –1) –1) mak maka a f(–4 f(–4)) = –1. –1. Grafik melalui titik (2, –4) maka f(2) = –4. f(–4) – f(2) = –1 – (–4) = –1 + 4 = 3 Jadi, nilai f(–4) – f(2) = 3. Grafik Gra fik mel melalui alui titi titikk (–8, (–8, 1) mak maka a f(–8) f(–8) = 1 atau –1 f (1) = 8. Grafik melalui titik (4, –5) maka f(4) = –5. f–1(1) + f(4) = 8 + (–5) = 8 – 5 = 3 Jadi, nilai f–1(1) + f(4) = 3.
b.
3 Y 2 1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
3 Y 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
X
y = g(x)
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = g(x) dengan daerah asal D g = {x | –6 ≤ x ≤ 0, x ∈ R}. Dari grafik terlihat nilai y terendah adalah y = –5 dan titik (–6, –5) pada grafik sehingga y ≥ –5. Nilai y tertinggi adalah adal ah y = –2 dan titik (0, –2) pada grafik sehingga y ≤ –2. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Rf = {y | –5 ≤ y ≤ –2, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil fungsi g dengan D g = {x | –6 ≤ x ≤ 0, x ∈ R} adalah Rf = {y | –5 ≤ y ≤ – –2, 2, y ∈ R}.
y = g(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 X
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = g(x) dengan daerah hasil R g = {y | –4 ≤ y ≤ 0 0,, y ∈ R}. Dari grafik tersebut terlihat nilai x paling kiri adalah x = –4 dan titik (–4, –4) pada grafik sehingga x ≥ –4. Nilai x paling kanan adalah x = 4 dan titik (4, 0) pada grafik sehingga x ≥ 4. Dengan demikian, daerah asalnya adalah Dg = {x | –4 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi g dengan daerah hasil Rg = {y | –4 ≤ y ≤ 0, y ∈ R} adalah Dg = {x | –4 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}.
Perhat Perh atik ikan an gra grafi fikk pada pada dae daera rah h yang yang dia diars rsir ir berikut.
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
Perhati Per hatikan kan gra grafik fik pad pada a daer daerah ah yan yang g diars diarsir ir berikut.
5. a.
Diketahui f : x → 3x – 6, maka f(x) = 3x – 6 dan |f(x)| = |3x – 6|. Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y = |3x – 6|. x
|3x – 6|
–1 0 1 2 3 4 5 6
9 6 3 0 3 6 9 12
Koordinat Titik (–1, 9) (0, 6) (1, 3) (2, 0) (3, 3) (4, 6) (5, 9) (6, 12)
Daerah asal Df = {x | –1 < x ≤ 6, x ∈ R}, maka titik ujung paling kiri dengan absis –1 berlubang dan titik ujung paling kanan dengan absis 6 tidak berlubang.
Matematika Kelas X
9
Grafik fungsi y = |f(x)| = |3x – 6| sebagai berikut. 14
b.
Y
13 12 11
c.
10 9 8 7 6 5 4
Dari gamba Dari gambarr terli terlihat hat,, grafik grafik mem memoto otong ng sumb sumbu uX di titik (2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 6). Jadi, grafik fungsi y = |f(x)| memotong sumbu X di titik (2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 6). Darii graf Dar grafik ik ter terliha lihatt nilai nilai y teren terendah dah ada adalah lah y = 0 dan titik t itik (2, 0) pada grafik sehingga x ≥ 0 0.. Nilai y tertinggi adalah y = 12 dan titik ujung (6, 12) tidak berlubang sehingga y ≤ 12. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Rf = {y | 0 ≤ y ≤ 12, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil fungsi y = |f(x)| dengan Df = {x | –1 < x ≤ 6, x ∈ R} adalah R f = {y | 0 ≤ y ≤ 12, y ∈ R}.
3 2 1 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6 7
8
X
A. Pil ilih iha an Ganda 1. Jawa Jawaba ban: n: e Grafik melalui titik (2, 3) maka f(2) = 3. Grafik melalui titik (–2, –3) dan (5, –3) maka f(–2) = –3 atau f –1(–3) = –2 dan f(5) = –3 atau f–1(–3) = 5. Dengan demikian, diperoleh: 1) f(2) + f–1(–3) = 3 + (–2) = 1 2) f(2) + f–1(–3) = 3 + 5 = 8 Jadi, nilai f(2) + f –1(–3) adalah 1 atau 8. 2. Ja Jawa waba ban: n: a Dari gambar terlihat, nilai x paling kiri adalah adalah x = –4 dan titik ujung (–4, 3) berlubang sehingga x > –4. Nilai x paling kanan adalah tak hingga sehingga x ≤ ∞. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –4 < x ≤ ∞, x ∈ R} atau {x | x > –4, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi y = f(x) adalah {x | x > –4, x ∈ R}. 3. Ja Jawa waba ban: n: b Dari gambar terlihat, nilai x paling kiri adalah x = –1 dan titik ujung (–1, –8) tidak berlubang sehingga x ≥ –1. Nilai x paling kanan adalah x = 5 dan titik tit ik ujung (5, –5) berlubang sehingga x < 5. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –1 ≤ x < 5, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi y = h(x) adalah {x | –1 ≤ x < 5, x ∈ R}.
10
Fungsi dan Grafik Fungsi
4. Jawa Jawaba ban: n: d Dari gambar terlihat, nilai y terendah adalah y = 0 dan titik (–3, 0) pada grafik sehingga y ≥ 0. Nilai y tertinggi adalah y = 9 dan titik tit ik ujung (0, 9) tidak berlubang sehingga y ≤ 9. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | 0 ≤ y ≤ 9, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi y = f(x) adalah {y | 0 ≤ y ≤ 9, y ∈ R}. 5. Jawa Jawaba ban: n: e Fungsi f(x) = x 2 + 1 memiliki nilai a = 1, b = 0, dan c = 1. Nilai a > 0 sehingga grafik terbuka ke atas. D = b2 – 4ac = 02 – 4 × 1 × 1 = 0 – 4 = –4 Nilai D < 0 sehingga grafik tidak memotong sumbu X. Grafik fungsi f(x) = x 2 + 1 memotong sumbu Y di titik (0, 1). Beberapa titik bantu yang dilalui grafik fungsi f(x) = x2 + 1 sebagai berikut. x
–3
–2
–1
1
2
3
y = f(x)
10
5
2
2
5
10
Daerah hasil Rf = {x | 5 ≤ y < 10, y ∈ R} sehingga titik ujung (–3, 10) dan (3, 10) berlubang.
Sketsa grafik fungsi f(x) = x 2 + 1 sebagai berikut. Y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1
1 2 3 4
X
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = f(x) dengan daerah hasil R f = {x | 5 ≤ y < 10, y ∈ R}. Dari grafik tersebut terlihat ada dua grafik yang berada dalam daerah arsiran. Grafik di kiri sumbu Y dan grafik di kanan sumbu Y. Pada grafik di kiri sumbu Y: 1) nila nilaii x palin paling g kiri kiri adala adalah h x = –3 dan titik uju ujung ng (–3, 10) berlubang sehingga x > –3, 2) nila nilaii x pali paling ng kana kanan n adalah adalah x = –2 dan dan titik titik (–2, 5) pada grafik sehingga x ≤ –2. Dengan demikian, daerah asal grafik di kiri sumbu Y adalah Df = {x | –3 < x ≤ –2, x ∈ R}. Pada grafik di kanan sumbu Y: 1) nila nilaii x pali paling ng kiri kiri adal adalah ah x = 2 dan titi titik k (2, (2, 5) pada grafik sehingga x ≥ 2, 2) nila nilaii x pali paling ng kana kanan n adalah adalah x = 3 dan dan titik titik ujung ujung (3, 10) berlubang sehingga sehingga x < 3. Dengan demikian, daerah asal grafik di kanan sumbu Y adalah Df = {x | 2 ≤ x < 3, x ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi f dengan daerah hasil Rf = {x | 5 ≤ y < 10, y ∈ R} adalah Df = {x | –3 < x ≤ – –2 2 dan 2 ≤ x < 3, x ∈ R}. 6. Jawa Jawaba ban: n: a Diketahui f : x → 2x – x2 maka f(x) = 2x – x 2. Fungsi kuadrat y = f(x)= 2x – x 2 memiliki nilai a = –1, b = 2, dan c = 0. 1) Nila Nilaii a < 0 sehin sehingga gga gra grafik fik ter terbuk buka a ke baw bawah. ah. Daerah asal Df = {x | x ≤ 3, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri adalah tak hingga dan titik ujung paling kanan berabsis 3 tidak berlubang. Grafik yang terbuka ke bawah dan titik ujung grafik berabsis 3 tidak berlubang adalah pilihan a dan c.
2)
Menentuk Menent ukan an koord koordina inatt titik titik potong potong gra grafik fik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ 2x – x2 = 0 ⇔ x(2 x( 2 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau atau (2 – x) x) = 0 ⇔ x = 0 atau x=2 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (0, 0)dan (2, 0). Di antara grafik pada pilihan a dan c yang memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (2, 0) adalah pilihan a. Jadi, sketsa grafik fungsi y = f(x) adalah pilihan a. 7. Ja Jawa waba ban: n: e Fungsi kuadrat y = g(x) = nilai a = 1)
2)
1 , 2
1 2 x – 2
2x + 4 memiliki
b = –2, dan c = 4.
Nilai a > 0 sehin Nilai sehingga gga gra grafik fik ter terbuk buka a ke atas atas.. Daerah asal Dg = {x | –2 < x ≤ 4, x ∈ R} sehingga titik ujung panjang kiri berabsis –2 berlubang dan titik ujung paling kanan berabsis 4 tidak berlubang. Grafik yang terbuka ke atas dengan titik ujung paling kiri berabsis –2 berlubang dan titik ujung paling kanan berabsis 4 tidak berlubang adalah pilihan a dan e. Perbedaan antara grafik pada pilihan a dan e terdapat pada koordinat titik balik dan titik ujung. Menent Men entuka ukan n koord koordina inatt titik titik bal balik ik (x P, y P). b
xP = – 2a =– =
2
−
1
2× 2
2 1
=2 yP = f(xP) = f(2) =
1 × 2
22 – 2 × 2 + 4
=2–4+4 =2 Diperoleh koordinat titik balik (2, 2). Di antara grafik pada pilihan a dan e yang memiliki titik balik (2, 2) adalah pilihan e. Jadi, sketsa grafik dari fungsi y = g(x) adalah pilihan e.
Matematika Kelas X
11
8. Jawaban: d 1) Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. Untuk x = 0 diperoleh: L(0) = 02 – 7 × 0 + 10 = 0 – 0 + 10 = 10 Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu Y yaitu (0, 10). Daerah asal Df = {x | 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}. x = 0 tidak masuk dalam interval 1 ≤ x ≤ 6 sehingga grafik tidak memotong sumbu Y. 2) Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 2 ⇔ x – 7x + 10 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) = 0 ⇔ (x – 2) = 0 atau (x – 5) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 5 Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu X yaitu (2, 0)dan (5, 0). Daerah asal Df = {x | 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}. x = 2 dan x = 5 masuk dalam interval 1 ≤ x ≤ 6 sehingga grafik dengan daerah asal {x | 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R} memotong sumbu X di titik (2, 0)dan (5, 0). Jadi, grafik y = f(x) dengan daerah asal {x | 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R} memotong sumbu koordinat di titik (2, 0) dan (5, 0). 9. Jawaban: c Diketahui fungsi kuadrat y = f(x) = –2x 2 + 2x +12. 1) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 2 ⇔ –2x + 2x +12 = 0 ⇔ –2(x2 – x – 6) = 0 ⇔ –2(x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ –2(x + 2) = 0 atau (x – 3) = 0 ⇔ x = –2 atau x= 3 Diperoleh titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–2, 0) dan (3, 0). 2) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. Untuk x = 0 diperoleh: f(0) = –2 × 0 2 + 2 × 0 + 12 = 12 Diperoleh titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0, 12). Jadi, grafik memotong sumbu X dan sumbu Y berturut-turut di titik (–2, 0), (3, 0), dan (0, 12).
12
Fungsi dan Grafik Fungsi
10. Jawaban: d Fungsi kuadrat y = f(x) = –x 2 + 4x + 5 memiliki nilai a = –1, b = 4, dan c = 5. Misalkan koordinat titik balik (x P, yP). b
xP = – 2a 4
= – 2 × (−1) =
4 2
= –2 yP = f(xP) = f(2) = –22 + 4 × 2 + 5 = –4 + 8 + 5 =9 Jadi, koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat adalah (2, 9). 11. Jawaban: c Fungsi kuadrat f(x) = 5x 2 + 20x + 1 memiliki nilai a = 5, b = 20, dan c = 1. Persamaan sumbu simetri: b
x = – 2a =–
20 2×5 20
= – 10
= –2 Jadi, persamaan sumbu simetrinya x = –2. 12. Jawaban: d Untuk mengetahui grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X atau tidak, cukup kita selidiki letak absis titik potong grafik dengan sumbu X terhadap daerah asal grafik. Menentukan koordinat titik potong grafik f(x) = x2 – 4 dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 2 ⇔ –x + 4 = 0 ⇔ (–x – 2)(x – 2) = 0 ⇔ (–x – 2) = 0 atau (x – 2) = 0 ⇔ x = –2 atau x =2 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–2, 0) dan (2, 0). Daerah asal Df = {x | x ≥ 1, x ∈ R}. x = –2 tidak masuk dalam interval x ≥ 1 sehingga grafik tidak memotong sumbu X di titik (–2, 0). x = 2 masuk dalam interval x ≥ 1 sehingga grafik memotong sumbu X di titik (2, 0). Dengan demikian, grafik f(x) = –x2 + 4 memotong sumbu X di satu titik.
Menentukan koordinat titik potong grafik f(x) = –2x2 – 6x dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 2 ⇔ –2x – 6x = 0 ⇔ –2x(x + 3) = 0 ⇔ –2x = 0 atau (x + 3) = 0 ⇔ x = 0 atau x = –3 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–3, 0) dan (0, 0). Daerah asal Df = {x | x ≤ –1, x ∈ R}. x = –3 masuk dalam interval x ≤ –1 sehingga grafik memotong sumbu X di titik (–3, 0). x = 0 tidak masuk dalam interval x ≤ –1 sehingga grafik tidak memotong sumbu X di titik (0, 0). Dengan demikian, grafik f(x) = –2x 2 – 6x memotong sumbu X di satu titik. Menentukan koordinat titik potong grafik f(x) = x2 – 4 dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 2 ⇔ x – 4 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ (x – 2) = 0 atau (x + 2) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –2 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–2, 0) dan (2, 0). Daerah asal Df = {x | x ≥ 1, x ∈ R}. x = –2 tidak masuk dalam interval x ≥ 1 sehingga grafik tidak memotong sumbu X di titik (–2, 0). x = 2 masuk dalam interval x ≥ 1 sehingga grafik memotong sumbu X di titik (2, 0). Dengan demikian, grafik f(x) = x2 – 4 memotong sumbu X di satu titik. Menentukan koordinat titik potong grafik f(x) = 2x2 + 8x dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 2 ⇔ 2x + 8x = 0 ⇔ 2x(x + 4) = 0 ⇔ 2x = 0 atau (x + 4) = 0 ⇔ x = 0 atau x = –4 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–4, 0) dan (0, 0). Daerah asal Df = {x | x ≤ 1, x ∈ R}. x = –4 dan x = 0 masuk dalam interval x ≤ 1 sehingga grafik memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (0, 0). Dengan demikian, grafik f(x) = 2x2 + 8x memotong sumbu X di dua titik. Jadi, fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik adalah f(x) = 2x2 + 8x dengan Df = {x | x ≤ 1, x ∈ R}.
13. Jawaban: c Untuk mengetahui grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y atau tidak, cukup kita selidiki letak absis titik potong grafik dengan sumbu Y (x = 0). Jika x = 0 masuk dalam interval daerah asal maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y. Daerah asal fungsi g(x) = x 2 – 5x + 4 adalah Dg = {x | x ≥ 1, x ∈ R}. x = 0 tidak masuk dalam interval x ≥ 1sehingga grafik g(x) = x2 – 5x + 4 tidak memotong sumbu Y. Daerah asal fungsi g(x) = x 2 + 8x + 16 adalah Dg = {x | x ≤ –2, x ∈ R}. x = 0 tidak masuk dalam interval x ≤ –2 sehingga grafik g(x) = x 2 + 8x + 16 tidak memotong sumbu Y. Daerah asal fungsi g(x) = x 2 – 6x + 10 adalah Dg = {x | x ≥ –1, x ∈ R}. x = 0 masuk dalam interval x ≥ –1 sehingga grafik g(x) = x2 – 6x + 10 memotong sumbu Y. Jadi, fungsi kuadrat yang memotong sumbu Y adalah g(x) = x 2 – 6x + 10 dengan Dg = {x | x ≥ –1, x ∈ R}. 14. Jawaban: c 1) Menyelidiki titik potong grafik dengan sumbu Y. Daerah asal = {x | 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}. x = 0 tidak masuk dalam interval 2 ≤ x ≤ 6 sehingga grafik y = g(x) tidak memotong sumbu Y. Dengan demikian, pernyataan 1) salah. 2) Menyelidiki titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = g(x) = 0. f(x) = 0 2 ⇔ x – 10x + 21 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 7) = 0 ⇔ (x – 3) = 0 atau (x – 7) = 0 ⇔ x = 3 atau x =7 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (3, 0)dan (7, 0). Daerah asal Df = {x | 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}. x = 3 masuk dalam interval 2 ≤ x ≤ 6 sehingga grafik memotong sumbu X di titik (3, 0). x = 7 tidak masuk dalam interval 2 ≤ x ≤ 6 sehingga grafik tidak memotong sumbu X di titik (7, 0). Dengan demikian, pernyataan 2) salah. 3) Menyelidiki daerah hasil g(x) = x2 – 10x + 21. Nilai-nilai fungsi g(x) = x2 – 10x + 21 pada daerah asal Df = {x | 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R} sebagai berikut.
Matematika Kelas X
13
4)
x
2
3
4
5
6
y = g(x)
5
0
–3
–4
–3
Daerah asal Df = {x | 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R} sehingga titik ujung berabsis 2 dan 6 tidak berlubang. Dari tabel diperoleh nilai y = g(x) terendah adalah y = –4 sehingga y ≥ –4. Nilai y = g(x) tertinggi adalah y = 5 dan titik ujung (2, 5) tidak berlubang sehingga y ≤ 5. Dengan demikian, daerah hasil fungsi g adalah {y | –4 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}. Fungsi g(x) = x2 – 10x + 21 memiliki nilai a = 1, b = –10, dan c = 21. Sumbu simetri: b
10
−
x = – 2a = – 2 × 1 =
10 2
= 5
Dengan demikian, pernyataan 4) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah 3) dan 4). 15. Jawaban: c Grafik menyinggung sumbu X jika memiliki nilai D = 0. Fungsi kuadrat f(x) = –x2 – 2 memiliki nilai a = –1, b = 0, dan c = –2. D = b2 – 4ac = 02 – 4 × (–1) × (–2) =0–8 = –8 Oleh karena nilai D < 0, maka fungsi kuadrat f(x) = –x2 – 2 tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. Fungsi kuadrat f(x) = –x 2 – 9x – 21 memiliki nilai a = –1, b = –9, dan c = –21. D = b2 – 4ac = (–9)2 – 4 × (–1) × (–21) = 81 – 84 = –3 Oleh karena nilai D < 0, maka fungsi kuadrat f(x) = –x 2 – 9x – 21 tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. Fungsi kuadrat f(x) = x 2 – 4x + 4 memiliki nilai a = 1, b = –4, dan c = 4. D = b2 – 4ac = (–4)2 – 4 × 1 × 4 = 16 – 16 =0 Oleh karena nilai D = 0, maka fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 4 menyinggung sumbu X. Jadi, fungsi kuadrat yang memotong sumbu X adalah f(x) = x2 – 4x + 4.
16. Jawaban: d Dari gambar terlihat, grafik terbuka ke bawah sehingga a < 0. Grafik memotong sumbu Y negatif sehingga c < 0. Grafik tidak memotong sumbu X sehingga D < 0. Jadi, grafik fungsi kuadrat tersebut memiliki nilai a < 0, c < 0, dan D < 0. 17. Jawaban: e Dari gambar terlihat, grafik terbuka ke atas sehingga a > 0. Fungsi kuadrat yang memiliki nilai a > 0 adalah pilihan c, d, dan e. Titik balik grafik berada di kuadran IV sehingga absis titik balik bernilai positif (x P > 0) dan ordinat titik balik bernilai negatif (y P < 0). Menyelidiki titik balik fungsi kuadrat pada pilihan c, d, dan e. 1) Fungsi kuadrat g(x) = x 2 + 4x + 12 memiliki nilai a = 1, b = 4, dan c = –12. b
xP = – 2a = –
2)
Fungsi dan Grafik Fungsi
2 ×1
4 2
= – = –2
Diperoleh nilai x P < 0 maka syarat tidak dipenuhi. Fungsi kuadrat g(x) = x 2 – 6x – 12 memiliki nilai a = 1, b = 8, dan c = –12. b
xP = – 2a −
6
= – 2 ×1 =
3)
6 2
=3 Diperoleh nilai x P > 0 maka syarat tidak dipenuhi. yP = f(xp) = f(3) = 32 – 6 × 3 + 12 = 9 – 18 + 12 =3 Diperoleh yp > 0 maka syarat tidak dipenuhi. Fungsi kuadrat g(x) = x 2 – 8x + 12 memiliki nilai a = 1, b = –8, dan c = 12. b
xP = – 2a =– =
8 2
=4
14
4
8 2 ×1 −
Diperoleh nilai xP > 0 maka syarat dipenuhi. yP = f(xP) = f(4) = 42 – 8 × 4 + 12 = 16 – 32 + 12 = 28 – 32 = –4 Diperoleh nilai yP < 0 maka syarat dipenuhi. Jadi, fungsi kuadrat yang memiliki grafik seperti gambar adalah g(x) = x 2 – 8x + 12. 18. Jawaban: b Fungsi kuadrat f(x) = = px 2 + (p + 2)x – p + 4 memiliki nilai a = p, b = p + 2, dan c = –p + 4. D = b2 – 4ac = (p + 2)2 – 4p(–p + 4) = p2 + 4p + 4 + 4p2 – 16p = 5p2 – 12p + 4 Grafik memotong sumbu X di dua titik jika D > 0. D > 0 ⇔ 5p2 – 12p + 4 > 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2)> 0 Pembuat nol: (5p – 2)(p – 2) = 0 ⇔ 5p – 2 = 0 atau p – 2 = 0 2
p = 5 atau p = 2 Penyelesaian 5p 2 – 12p + 4 > 0 dalam bentuk diagram sebagai berikut. ⇔
+
–
+
2 5
2
2
Dari diagram diperoleh nilai p yaitu p < 5 atau p > 2. Jadi, agar fungsi tersebut memotong sumbu X di 2
dua titik, batas-batas nilai p adalah p < 5 atau p > 2. 19. Jawaban: c Fungsi kuadrat y = 3kx 2 – 6x + 1 memiliki nilai a = 3k, b = –6, dan c = 1. Grafik fungsi kuadrat y = 3kx 2 – 6x + 1 selalu terletak di atas sumbu X jika memiliki nilai a > 0 dan D < 0. 1) a > 0 ⇔ 3k > 0 ⇔ k > 0 Penyelesaian k > 0 dalam bentuk diagram sebagai berikut. . . . (1) 2)
D<0
⇔
⇔
(−6)2
4 × 3k × 1 4 × 3k
<0
36 − 12k 12k
<0
−
Pembuat nol: a) 36 – 12k = 0 ⇔ k = 3 b) 12k = 0 ⇔ k = 0 Penyelesaian
36 − 12k 12k
< 0 dalam bentuk dia-
gram sebagai berikut. –
+
–
0
3)
. . . (2)
3
Nilai k diperoleh dari irisan diagram (1) dan (2) sebagai berikut.
0
0
3
3
penyelesaian
Dari diagram tersebut diperoleh nilai k > 3. Jadi, grafik fungsi kuadrat f(x) = 3kx 2 – 6x + 1 selalu terletak di atas sumbu X jika nilai k > 3. 20. Jawaban: d Grafik mempunyai titik balik (2, 1)berarti persamaan grafik adalah y = f(x) = a(x – 2) 2 + 1. Grafik memotong sumbu Y di titik (0, 5), maka f(0) = 5 sehingga diperoleh: f(0) = 5 2 ⇔ a(x – 2) + 1 = 5 ⇔ a(0 – 2) 2 + 1 = 5 ⇔ 4a + 1 = 5 ⇔ 4a = 4 ⇔ a=1 Substitusikan nilai a = 1 ke persamaan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = a(x – 2) 2 + 1 sehingga diperoleh: y = f(x) = a(x – 2)2 + 1 = 1(x – 2)2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1 = x2 – 4x + 5 Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat adalah f(x) = x2 – 4x + 5. 21. Jawaban: d Dari gambar terlihat grafik memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (3, 0) sehingga persamaan grafiknya adalah y = f(x) = a(x – (–1)) (x – 3) = a(x + 1)(x – 3).
Matematika Kelas X
15
Grafik melalui titik ( 0, 6) maka f(0) = 6 sehingga diperoleh: f(0) = 6 ⇔ a(x + 1)(x – 3) = 6 ⇔ a(0 + 1)(0 – 3) = 6 ⇔ a × 1 × (–3) = 6 ⇔ –3a = 6 ⇔ a = –2 Substitusikan nilai a = –2 ke dalam persamaan grafik fungsi kuadrat y = f(x) = a(x + 1)(x – 3) sehingga diperoleh: y = f(x) = a(x + 1)(x – 3) = –2(x + 1)(x – 3) = –2(x2 – 2x – 3) = –2x2 + 4x + 6 Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah f(x) = –2x 2 + 4x + 6. 22. Jawaban: a Misalkan panjang halaman = x. Sketsa pagar yang dibuat: x h a m u r k o b m e T
Lebar
x Panjang
Panjang kawat untuk pagar = 40 ⇔ 2 × panjang + lebar = 40 ⇔ 2x + lebar = 40 ⇔ lebar = 40 – 2x Luas halaman: L(x) = panjang × lebar = x × (40 – 2x) = –2x2 + 40x L(x) merupakan fungsi kuadrat dengan a = –2 dan b = 40. Luas halaman terbesar = ordinat titik balik grafik fungsi kuadrat L(x) = –2x 2 + 40x. Misalkan titik balik fungsi kuadrat adalah (x P, yP), maka: b
xP = – 2a =
40 – 2 × (−2)
=
40 4
= 10
16
Fungsi dan Grafik Fungsi
Luas halaman terbesar: yP = L(xP) = L(10) = –2 × 102 + 40 × 10 = –200 + 400 = 200 Jadi, luas halaman terbesar yang dapat dipagari adalah 200 m2. 23. Jawaban: e Persamaan tinggi bola h(t) = –t 2 + 12t – 26 merupakan fungsi kuadrat yang memiliki nilai a = –1, b = 12, dan c = –26. Waktu yang diperlukan sehingga mencapai tinggi maksimum sama dengan absis titik puncak grafik fungsi kuadrat y = h(t) = –t 2 + 12t – 26. Absis titik puncak: b
−
t = 2a =
−12 2 × ( −1)
=
12 2
=6 Jadi, waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tinggi maksimum adalah 6 detik. 24. Jawaban: c Diketahui f : x → (x – 2)2, maka f(x) = (x – 2)2 dan f(x) =
(x − 2)2 .
Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi (x − 2)2 .
y= x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 ...
(x − 2) 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 ...
Koordinat Titik (–3, 5) (–2, 4) (–1, 3) (0, 2) (1, 1) (2, 0) (3, 1) (4, 2) (5, 3) ...
Grafik yang melalui titik-titik koordinat pada tabel adalah pilihan c. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan c. 25. Jawaban: b Diketahui f : x → 4 – x 2, maka f(x) = 4 – x2 dan |f(x)| = |4 – x2|. Daerah asal f adalah D f = {x | –4 < x ≤ 3, x ∈ R} sehingga titik ujung yang berabsis –4 berlubang dan titik ujung yang berabsis 3 tidak berlubang.
Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y = |4 – x2|. x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
y = |4 – x 2| 12
5
0
3
4
3
0
5
2. a.
1)
Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) =0 2x –
⇔
x 2|
Dari tabel terlihat, nilai y = |4 – terkecil adalah y = 0 sehingga x ≥ 0. Nilai y terbesar adalah y = 12 dan titik ujung (–4, 12) berlubang sehingga y < 12. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {x | 0 ≤ y < 12, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil fungsi y = |f(x)| adalah 0 ≤ y < 12, y ∈ R}. B. Uraian 1. a.
b.
Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah x = –2 dan titik ujung (–2, – 3) tidak berlubang sehingga x ≥ –2. Nilai x paling kanan tak hingga sehingga x < +∞. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –2 ≤ x < +∞, x ∈ R} atau {x | x ≥ –2, x ∈ R}. 2) Nilai y terendah tak hingga sehingga y > –∞. Nilai y tertinggi adalah y = 5 dan titik (2, 5) pada grafik sehingga y ≤ 5. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | – ∞ < y ≤ 5, y ∈ R} atau {y | y ≤ 5, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah Df = {x | x ≥ –2, x ∈ R} dan daerah hasilnya Rf = {y | y ≤ 5, y ∈ R}. 1) Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah x = –5 dan titik ujung (–5, 4) tidak berlubang sehingga x ≥ –5. Nilai x paling kanan adalah x = 1 dan titik ujung (1, 10) berlubang sehingga x < 1. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –5 ≤ x < 1, x ∈ R} 2) Nilai y terendah y = 2 dan titik (–3, 2) pada grafik sehingga y ≥ 2. Nilai y tertinggi adalah y = 10 dan titik ujung (1, 10) berlubang sehingga y < 10. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | 2 ≤ y < 10, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah Dg = {x | –5 ≤ x < 1, x ∈ R} dan daerah hasilnya Rg = {y | 2 ≤ y < 10, y ∈ R}.
1 (4x 2
⇔
⇔
1 x 2
=0
– x2) = 0
1 x(4 2
⇔
1 2 x 2
– x) = 0
= 0 atau (4 – x) = 0
x = 0 atau x =4 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (0, 0) dan (4, 0). Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. Untuk x = 0 diperoleh: ⇔
2)
1)
f(0) = 2 × 0 –
3)
1 × 2
02
=0–0 =0 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, 0). Menentukan koordinat titik balik (xP, yP). Dari fungsi kuadrat f(x) = 2x –
1 2 x 2
1 2
diperoleh nilai a = – dan b = 2 dan c = 0. b
xP = – 2a =– =
2 1
2 2×(
−
1 ) 2
= 2
yP = f(xP) = f(2) =2×2– =4–
4)
1 × 2
1 × 2
22
4
=4–2=2 Diperoleh koordinat titik balik (2, 2). Daerah asal Df = {x | x ≥ –2, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri berabsis –2 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga.
Matematika Kelas X
17
Menentukan ordinat titik ujung paling kiri. y = f(–2) 1 × 2
= 2 × (–2) – = –4 –
1 × 2
(–2)2
1 < 2
4
4
0 maka grafik terbuka ke
Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x –
1 2 x 2
dengan Df = {x | x ≥ –2, x ∈ R} sebagai berikut. Y 2 0
2
4
X
y = f(x)
–6
b.
18
Dari gambar terlihat, nilai y terendah tak hingga sehingga y > – ∞. Nilai y tertinggi adalah y = 2 dan titik (2, 2) pada grafik sehingga y ≤ 2. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Rf = {y | –∞ < y ≤ 2, y ∈ R} atau Rf = {y | y ≤ 2, y ∈ R}. 1) Dari fungsi kuadrat g(x) = x 2 – 4x + 6 diperoleh nilai a = 1 dan b = –4 dan c = 6. D = b2 – 4ac = (–4)2 – 4 × 1 × 6 = 16 – 24 = –8 Diperoleh nilai D < 0 sehingga grafik tidak memotong sumbu X. 2) Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. Untuk x = 0 diperoleh: g(0) = 02 – 4 × 0 + 6 =0–0+6 =6 Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu Y yaitu (0, 6).
Fungsi dan Grafik Fungsi
b
xP = – 2a −
bawah.
–2
Menentukan koordinat titik balik (xP, yP).
= – 2 ×1
= –4 – 2 = –6 Diperoleh koordinat titik ujung paling kiri yaitu (–2, –6). Nilai a =
3)
=
4 2
=2 yP = g(xP) = g(2) = 22 – 4 × 2 + 6 =4–8+6 =2 Diperoleh koordinat titik balik (2, 2). 4) Daerah asal D f = {x | –1 ≤ x < 4, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri berabsis –1 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan berabsis 4 berlubang. Menentukan ordinat titik ujung paling kiri. y = g(–1) = (–1)2 – 4 × (–1) + 6 =1+4+6 = 11 Diperoleh koordinat titik ujung paling kiri yaitu (–1, 11). Menentukan ordinat titik ujung paling kanan. y = g(4) = 42 – 4 × 4 + 6 = 16 – 16 + 6 =6 Diperoleh koordinat titik ujung paling kanan yaitu (4, 6). Nilai a = 1 > 0 maka grafik terbuka ke atas. Sketsa grafik fungsi kuadrat g(x) = x 2 – 4x + 6 dengan Df = {x | –1 ≤ x < 4, x ∈ R} sebagai berikut. Y 11
6 y = g(x)
2 –1 0
2
4
X
Dari gambar terlihat, nilai y terendah adalah y = 2 dan titik (2, 2) pada grafik sehingga y ≥ 2. Nilai y tertinggi adalah y = 11 dan titik ujung (–1, 11) tidak berlubang sehingga y ≤ 11. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Df = {y | 2 ≤ y ≤ 11, y ∈ R}. 3. a.
b.
4. a.
Grafik melalui titik (–4, –2) maka f(–4) = –2. Grafik melalui titik (–1, –7) maka f(–1) = –7. Dengan demikian, diperoleh: f(–4) – f(–1) = –2 + (–7) = –9 Jadi, nilai f(–4) – f(–1) adalah –9. Grafik melalui titik (0, –10) dan (–10, –10) maka f(0) = –10 atau f–1(–10) = 0 dan f(–10) = –10 atau f–1(–10) = –10. Grafik melalui titik (–6, –2) maka f(–6) = –2. Dengan demikian, diperoleh: 1) f–1(–10) + f(–6) = 0 + (–2) = –2 2) f–1(–10) + f(–6) = –10 + (–2) = –12 Jadi, nilai f–1(–10) + f(–6) adalah –2 atau –12. Daerah asal D g = {x | 4 ≤ x < 8, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri berabsis –4 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan berabsis 8 berlubang. Perhatikan grafik pada daerah yang diarsir berikut. Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5
y = g(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = g(x) dengan daerah asal D g = {x | 4 ≤ x < 8, x ∈ R}. Dari grafik terlihat nilai y terendah adalah y = –4 dan titik (5, –4) pada grafik sehingga y ≥ –4. Nilai y tertinggi adalah y = 5 dan titik ujung (8, 5) berlubang sehingga y < 5. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Rg = {y | –4 ≤ y < 5, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil fungsi g dengan D g = {x | 4 ≤ x < 8, x ∈ R} adalah Rg = {y | –4 ≤ y < 5, y ∈ R}.
b.
Daerah hasil Rg = {y | –3 < y ≤ 5, y ∈ R} sehingga titik ujung berordinat –3 berlubang dan titik ujung berordinat 5 tidak berlubang. Perhatikan grafik pada daerah yang diarsir berikut. Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5
y = g(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
x=5
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = g(x) dengan daerah hasil R g = {x | –3 < y ≤ 5, y ∈ R}. Dari grafik tersebut terlihat ada dua grafik yang berada dalam daerah arsiran. Grafik di kiri garis x = 5 dan grafik di kanan garis x = 5. Pada grafik di kiri garis x = 5: 1) nilai x paling kiri adalah x = 2 dan titik ujung (2, 5) tidak berlubang sehingga x ≥ 2, 2) nilai x paling kanan adalah x = 4 dan titik ujung (4, –3) berlubang sehingga x < 4. Dengan demikian, daerah asal grafik di kiri garis x = 5 adalah Df = {x | 2 ≤ x < 4, x ∈ R}. Pada grafik di kanan garis x = 5: 1) nilai x paling kiri adalah x = 6 dan titik ujung (6, –3) berlubang sehingga x > 6, 2) nilai x paling kanan adalah x = 8 dan titik ujung (8, 5) tidak berlubang sehingga x ≤ 8. Dengan demikian, daerah asal grafik di kanan garis x = 5 adalah D g = {x | 6 < x ≤ 8, x ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi g dengan daerah hasil Rg = {x | –3 < y ≤ 5, y ∈ R} adalah Df = {x | 2 ≤ x < 4 dan 6 < x ≤ 8, x ∈ R}. 5. Misalkan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut f(x) = ax 2 + bx + c. Grafik melalui titik (1, 5), (2, 1), dan (–2, –7) maka f(1) = 5, f(2) = 1, dan f(–2) = –7. f(1) = 5 ⇔ a × 12 + b × 1 + c = 5 ⇔ a+b+c=5 . . . (1) 2 f(2) = 1 ⇔ a × 2 + b × 2 + c = 1 ⇔ 4a + 2b + c = 1 . . . (2) 2 f(–2) = –7 ⇔ a × (–2) + b × (–2) + c = –7 ⇔ 4a – 2b + c = –7 . . . (3)
Matematika Kelas X
19
Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). a +b +c= 5 4a + 2b + c = 1 ––––––––––––––– – –3a – b = 4 ⇔ 3a + b = –4 . . . (4) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (3). 4a – 2b + c = –7 a +b +c= 5 ––––––––––––––– – 3a – 3b = –12 ⇔ a – b = –4 . . . (5) Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). 3a + b = –4 a – b = –4 ––––––––– + 4a = –8 ⇔ a = –2 Substitusikan a = –2 ke dalam persamaan (5). a – b = –4 ⇔ –2 – b = –4 ⇔ –b = –2 ⇔ b = 2 Substitusikan a = –2, b = 2, ke dalam persamaan (1). a +b +c= 5 ⇔ –2 + 2 + c = 5 ⇔ c=5 Diperoleh a = –2, b = 2, dan c = 5. Substitusikan nilai a = –2, b = 2, dan c = 5 ke dalam persamaan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c. Diperoleh f(x) = –2x2 + 2x + 5. Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 5), (2, 1), dan (–2, –7) adalah f(x) = –2x2 + 2x + 5. 6. Dari gambar terlihat, grafik menyinggung sumbu X di titik (–4,0) sehingga persamaan grafiknya adalah g(x) = a(x – (–4)) 2. Grafik melalui titik(0, –8) maka f(0) = –8. f(0) = 8 ⇔ a(0 – (–4)) 2 = –8 ⇔ a(0 + 4)2 = –8 ⇔ a × 16 = –8
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat adalah g(x) 1 2
= – x2 – 4x – 8. 7. Jika f adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (1, 0), (4, 0), dan (0, –4), nilai f(7) adalah . . . . Jawaban: c Grafik fungsi kuadrat melalui titik (1, 0), (4, 0), dan (0, –4). Perhatikan (1, 0) dan (4, 0) merupakan titik potong grafik dengan sumbu X. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (4, 0) adalah f(x) = a(x – 1)(x – 4). Grafik fungsi melalui titik (0, –4) maka f(0) = –4. f(0) = –4 ⇔ a(0 – 1)(0 – 4) = –4 ⇔ a × (–1) × (–4) = –4 ⇔ 4a = –4 ⇔ a = –1 Substitusikan nilai a = –1 ke dalam persamaan f(x) = a(x – 1)(x – 4). f(x) = –1(x – 1)(x – 4) = –1(x2 – 5x + 4) = –x2 + 5x – 4 Untuk x = 7, diperoleh: f(7) = –72 + 5 × 7 – 4 = –49 + 35 – 4 = –18 Jadi, nilai f(7) = –18. 8. Petunjuk guru: Soal ini bersifat terbuka. Jawaban siswa bisa berbeda-beda. Alternatif jawaban:
a.
8
⇔
a = – 16
⇔
a=–
1 2
1 2
Substitusikan nilai a = – ke dalam persamaan g(x) = a(x – (–4)) 2. 1 2
g(x) = – (x – (–4)) 2 1 2
= – (x + 4)2 1 2
= – (x2 + 8x + 16) 1 2
= – x2 – 4x – 8
20
Fungsi dan Grafik Fungsi
b.
Dari gambar terlihat titik balik grafik berada di kuadran II sehingga absis titik balik bernilai negatif (xP < 0) dan ordinat titik balik bernilai positif (yP > 0). Grafik terbuka ke bawah sehingga nilai a < 0. Misalkan dipilih xP = –3, yP = 4, dan a = –1 maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut. f(x) = a(x – xP)2 + yP = –1(x – (–3)) 2 + 25 = –1(x + 3)2 + 4 = –1(x2 + 6x + 9) + 4 = –x2 – 6x – 9 + 4 = –x2 – 6x – 5 Dari gambar terlihat titik balik grafik memotong sumbu X negatif sehingga grafik memotong sumbu X dititik (x1, 0) dan (x2, 0) dengan x1 < 0 dan x2 < 0. Grafik terbuka ke bawah sehingga nilai a < 0. Misalkan dipilih x1 = –4, x2 = –5, dan a = –1 maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut.
f(x) = a(x – x1)(x – x2) = –1(x – (–4))(x – (–5)) = –1(x + 4)(x + 5) = –1(x2 + 9x + 25) = –x2 – 9x – 25 9. a.
1
Luas DAEF
= 2 × AE × AF 1
10. Dari gambar terlihat grafik terbuka ke bawah dan memotong sumbu X di dua titik. Fungsi kuadrat f(x) = (k + 1)x 2 + 2kx – k memiliki nilai a = k + 1, b = 2k, dan c = –k. 1) Grafik terbuka ke bawah maka nilai a < 0. a < 0 ⇔ k + 1 < 0 ⇔ k < –1 . . . (1) Penyelesaian k < –1 dalam bentuk diagram sebagai berikut.
= 2 x(8 – 2x) . . . (1)
= 4x – x2 1
Luas ∆EBC = 2 × EB × BC
–1
2)
1
= 2 (8 – x) × 8 = 32 – 4x 1
Luas ∆CDF = 2 × CD × DF 1
= 2 × 8 × 2x = 8x b.
c.
L∆CEF = LABCD – L∆AEF – L∆EBC – L∆CDF = 8 × 8 – (4x – x2) – (32 – 4x) – 8x = 64 – 4x + x2 – 32 + 4x – 8x = 32 – 8x + x2 Luas minimum = ordinat titik balik fungsi kuadrat L(x) = 32 – 8x + x 2. Misalkan ordinat titik balik fungsi kuadrat adalah (xP, yP), maka:
Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda maka D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (2k)2 – 4(k + 1)(–k) > 0 ⇔ 4k2 + 4k2 + 4k > 0 ⇔ 8k2 + 4k > 0 ⇔ 4k(k + 1) > 0 Pembuat nol: 4k(k + 1) = 0 ⇔ 4k = 0 atau k + 1 = 0 ⇔ k = 0 atau k =1 Penyelesaian 4k(k + 1)> 0 dalam bentuk diagram sebagai berikut. +
– –1
3)
+
. . . (1)
0
Nilai k diperoleh dari irisan diagram (1) dan (2) sebagai berikut.
b
xP = – 2a =– =
8 2 ×1 −
–1
8 2
=4 Luas minimum segitiga CEF: yP = L(xP) = L(4) = 32 – 8 × 4 + 42 = 32 – 32 + 16 = 16 Jadi, luas minimum segitiga CEF adalah 16 cm2.
–1
–1
0
penyelesaian
Dari diagram tersebut diperoleh nilai k < –1. Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k < –1, k ∈ R}.
Matematika Kelas X
21
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Grafik melalui titik (0, 2) maka f(0) = 2. Grafik melalui titik (–1, 1) dan (3, 1) maka f(–1) = 1 atau f –1 (1) = –1 dan f(3) = 1 atau f –1(1) = 3. Dengan demikian, diperoleh: 1) f(0) + f–1(1) = 2 + (–1) = 1 2) f(0) + f–1(1) = 2 + 3 = 5 Jadi, nilai f(2) + f –1(–3) adalah 1 atau 5. 2. Jawaban: d Dari gambar terlihat nilai x paling kiri tak hingga sehingga x > –∞. Nilai x paling kanan tak hingga sehingga x < +∞. Grafik tidak memiliki nilai di x = –1. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x < +∞, x ≠ –1, x ∈ R} atau {x | x ≠ –1, x ∈ R}. 3. Jawaban: e Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah negatif tak hingga sehingga x > –∞. Nilai x paling kanan adalah tak hingga sehingga x < +∞. Grafik tidak memiliki nilai di x = 0 dan x = 4. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x < +∞, x ≠ 0, dan x ≠ 4, x ∈ R} atau {x | x ≠ 0, dan x ≠ 4, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah {x | x ≠ 0 dan x ≠ 4, x ∈ R}. 4. Jawaban: a Pada gambar terlihat nilai x paling kiri adalah negatif tak hingga sehingga x > –∞. Nilai x paling kanan adalah x = 7 dan titik ujung (7, –2) berlubang sehingga x < 7. Grafik tidak memiliki nilai di x = 2. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x < 7, x ≠ 2, x ∈ R} atau {x | x < 7, x ≠ 2, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah {x | x < 7, x ≠ 2, x ∈ R}.
jika (3x – 1) = 0. 3x – 1 = 0 ⇔ 3x = 1 ⇔ x =
1 − 2x tidak 3x − 1
Fungsi dan Grafik Fungsi
terdefinisi
1 3
Jadi, daerah asalnya adalah {x |x
22
8. Jawaban: e Pada grafik terlihat ketika x → –∞ maka y → 2 dan ketika x → +∞ maka y → 2. Dengan demikian, y = 2 merupakan asimtot datar. Jadi, asimtot datar grafik fungsi rasional tersebut adalah y = 2. 9. Jawaban: b Dari grafik terlihat, ketika x → –1 –, y → +∞. ketika x → –1 +, y → –∞. Dengan demikian, x = –1 merupakan asimtot tegak. Jadi, asimtot datar grafik adalah x = –1. 10. Jawaban: b Penyebut fungsi rasional f(x) = (3x – 6). Pembual nol penyebut: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2
−2 3x − 6
≠
1 3
, x ∈ R}.
adalah
Dengan demikian, fungsi rasional f(x) = memiliki asimtot tegak x = 2.
5. Jawaban: c Fungsi rasional y = f(x) =
6. Jawaban: b Nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga nilai y > –∞. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Grafik tidak melalui garis y = 1. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | –∞ < y < +∞, y ≠ 1, y ∈ R} atau {y | y ≠ 1, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik adalah R f = {y | y ≠ 1, y ∈ R}. 7. Jawaban: c Nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga nilai y > –∞. Nilai y tertinggi adalah y = 5 dan titik ujung (3, 5) tidak berlubang sehingga y ≤ 5. Grafik tidak melalui garis y = 0. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | – ∞ < y ≤ 5, y ≠ 0, y ∈ R} atau {y | y ≤ 5, y ≠ 0, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik adalah Rf = {y | y ≤ 5, y ≠ 0, y ∈ R}.
Penyebut fungsi rasional f(x) = 3x + 6. Pembual nol penyebut: 3x + 6 = 0 ⇔ 3x = –6 ⇔ x = –2
−2 3x + 6
−
2
3x − 6
adalah
Dengan demikian, fungsi rasional f(x) =
2
−
3x + 6
memiliki asimtot tegak x = –2. Jadi, fungsi rasional yang memiliki asimtot tegak 2
−
x = –2 adalah f(x) =
3x + 6
, x ≠ 2.
Fungsi rasional f(x) =
6x memiliki: 3x − 1 −
koefisien x pembilang = –6 koefisien x penyebut = 3 koefisien x pembilang koefisien x penyebut
Asimtot datar y =
= −6 3
Fungsi rasional f(x) =
−2x x+2
memiliki:
koefisien x pembilang = –2 koefisien x penyebut = 1 koefisien x pembilang koefisien x penyebut
Asimtot datar y =
= −2
Fungsi rasional f(x) = 1) 2)
4x 1 − 2x −
memiliki:
koefisien x pembilang koefisien x penyebut
= −4
2
−
=2 Jadi, fungsi rasional yang memiliki asimtot datar y = 2 adalah f(x) = 12. Jawaban: a
4x 1 − 2x −
Fungsi rasional f(x) =
dengan (1 – 2x) ≠ 0.
2 3−x
dengan x ≠ 3 memiliki
asimtot datar y = 0 dan asimtot tegak x = 3. Grafik pada pilihan memiliki asimtot datar y = 0 dan asimtot tegak x = 3. Menyelidiki titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
2 3−x
2x − 1 . 1− x
x
0
2
y = f(x)
–1
–3
Diperoleh koordinat titik (0, –1) dan (2, –3). Sketsa grafik yang melalui titik (0, –1) dan (2, –3) adalah pilihan d. 2x − 1 1− x
14. Jawaban: c
koefisien x pembilang = –4 koefisien x penyebut = –2
Asimtot datar y =
asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = 1. Grafik yang memiliki asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = 1 adalah pilihan d dan e. Menyelidiki titik-titik yang dilalui grafik fungsi
dengan x ≠ 1 adalah pilihan d.
= –2
3−x
2x − 1 dengan x ≠ 1 memiliki 1− x
Fungsi rasional f(x) =
Jadi, sketsa grafik fungsi rasional f(x) =
1
2
13. Jawaban: d
rasional f(x) =
= –2
1) 2)
Jadi, sketsa grafik fungsi rasional f(x) = dengan x ≠ 3 adalah pilihan a.
11. Jawaban: c
1) 2)
Diperoleh koordinat titik (1, 1), (2, 2), (4, –2), dan (5, –1). Sketsa grafik yang melalui titik-titik (1, 1), (2, 2), (4, –2), dan (5, –1) adalah pilihan a.
.
Diketahui f: x
→
x +1 2−x
dengan x ≠ 2, maka f(x) =
1 x +1 dengan x ≠ 2 dan f(x) 2−x
Fungsi rasional y =
=
2−x dengan x ≠ –1. x +1
2−x memiliki x +1
asimtot datar
y = –1 dan asimtot tegak x = –1. Grafik yang memiliki asimtot datar y = –1 dan asimtot tegak x = –1 adalah pilihan c dan e. Menyelidiki titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional y =
2−x . x +1
x
–4
–2
0
2
y
–2
–4
2
0
Diperoleh koordinat titik (–4, –2), (–2, –4), (0, 2), dan (2, 0). Sketsa grafik yang melalui titik (–4, –2), (–2, –4), (0, 2), dan (2, 0) adalah pilihan c. Jadi, sketsa grafik fungsi rasional y =
x
1
2
4
5
y = f(x)
1
2
–2
–1
adalah pilihan c.
1 f(x)
dengan
Matematika Kelas X
23
15. Jawaban: b Dari gambar terlihat: 1) grafik memiliki asimtot datar y = 0 dan asimtot tegak x = 2 dan 2) grafik melalui titik (0, –1), (1, –2), (3, 2) dan (4, 1). Menyelidiki asimtot datar setiap fungsi rasional.
Diperoleh koordinat (0, –1), (1, –2), (3, 2) dan (4, 1). Oleh karena titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
k ax + b
pada gambar.
Menyelidiki asimtot tegak dan titik-titik yang dilalui setiap grafik fungsi rasional pilihan a. 2 2x − 4
Fungsi rasional f(x) =
memiliki penyebut
(2x – 4). Pembuat nol penyebut: 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
Dengan demikian, fungsi rasional f(x) =
fungsi rasional f(x) =
2 2x − 4
0
1
3
4
y = f(x)
–0,5
–1
1
0,5
2 2x − 4
1. a.
2 2x − 4
tidak sama dengan titik-titik
yang dilalui grafik pada gambar maka fungsi rasional f(x) = pada gambar.
2 2x − 4
bukan persamaan dari grafik
Menyelidiki asimtot tegak dan titik-titik yang dilalui setiap grafik fungsi rasional pilihan b.
Fungsi rasional f(x) = (x – 2). Pembuat nol penyebut: x–2⇔x=2
2 x−2
memiliki penyebut
Dengan demikian, fungsi rasional f(x) =
2 x−2
memiliki asimtot tegak x = 2. Menentukan koordinat titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
2 x−2
Fungsi dan Grafik Fungsi
.
2 x−2
dengan x ≠ 2.
B. Uraian
Diperoleh koordinat (0, –0,5), (1, –1), (3, 1), dan (4, 0,5). Oleh karena titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
merupakan persamaan dari grafik
yang mungkin adalah f(x) =
.
x
sama dengan titik-titik yang
Jadi, persamaan grafik fungsi rasional tersebut
memiliki asimtot tegak x = 2. Menentukan koordinat titik-titik yang dilalui grafik
24
2 x−2
f(x) =
fungsi rasional tersebut memiliki asimtot datar y = 0.
x−2
dilalui grafik pada gambar maka fungsi rasional
Fungsi rasional pada pilihan memiliki bentuk dengan (ax + b) ≠ 0 masing-masing grafik
2
b.
1)
Perhatikan grafik di kiri garis x = –3. Nilai x paling kiri adalah negatif tak hingga sehingga x > – ∞. Grafik tidak memotong garis x = –3 tetapi hanya mendekatinya sehingga x ≠ –3. Perhatikan grafik di kanan garis x = –3. Nilai x paling kiri adalah x = –2 dan titik ujung (–2, –3) berlubang sehingga x > –2. Nilai x paling kanan adalah tak hingga sehingga x < +∞. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | x < –∞, x ≠ –3, dan –2 < x < +∞, x ∈ R} atau {x | x ≠ –3 dan x > –2, x ∈ R}. 2) Nilai y terendah adalah y = –3 dan titik ujung (–2, –3) berlubang sehingga nilai y > –3. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Grafik tidak melalui garis y = 0. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | –3 < y < +∞, y ≠ 0, y ∈ R} atau {y | y > –3, y ≠ 0, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah Df = {x | x ≠ –3, x ∈ R} dan daerah hasinya Rf = {y | y > –3, y ≠ 0, y ∈ R}. 1) Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah negatif tak hingga sehingga x > –∞. Nilai x paling kanan adalah x = 2 dan titik ujung (2, –1) tidak berlubang sehingga x ≤ 2. Grafik tidak memiliki nilai di x = –2. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x ≤ 2, x ≠ –2, x ∈ R} atau {x | x ≤ 2, x ≠ –2, x ∈ R}.
2)
Perhatikan grafik di bawah garis y = –2. Nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga nilai y > – ∞. Grafik tidak memotong garis y = –2 tetapi hanya mendekatinya sehingga y ≠ –2. Perhatikan grafik di atas garis y = –2. Nilai y terendah adalah y = –1 dan titik ujung (2, –1) tidak berlubang sehingga y ≥ –1. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y |y > –∞, y ≠ –2 dan –1 ≤ y < +∞, y ∈ R} atau {y | y ≠ –2 dan y ≥ –1, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah D f = {x | x ≤ 2, x ≠ –2, x ∈ R} dan daerah hasilnya Rf = {y | y ≠ –2, y ∈ R}. 2. a.
b.
3. a.
Diperoleh koordinat titik bantu (–1, 1), (0, 2), (2, –2) dan (3, –1). Sketsa grafik fungsi rasional f(x) = Y
2 1 –1 0 –1
Fungsi rasional f(x) = =
k ax + b
2 1− x
y = f(x)
Pada gambar terlihat, nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga y > –∞. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Grafik tidak melalui garis y = 0. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Df = {y |–∞ < y < ∞, y ≠ 0, y ∈ R} atau Df = {y | y ≠ 0, y ∈ R}. 1) Menentukan asimtot datar. Diketahui fungsi rasional g(x) =
berbentuk f(x)
Koefisien x pembilang = –2 Koefisien x penyebut = 1
.
Fungsi rasional berbentuk f(x) =
Asimtot datar y =
k ax + b
2)
2 1− x
= −1 1
memiliki asimtot datar y = 0. 2)
Menentukan asimtot tegak. Penyebut fungsi rasional f(x) =
3)
2 1− x
= –1 Menentukan asimtot tegak. Penyebut fungsi rasional g(x) =
2 1− x
g(x) =
adalah x = 1.
Menentukan koordinat titik bantu. x
–1
0
2
3
y = g(x)
1
2
–2
–1
2−x x +1
adalah (x + 1). Pembuat nol penyebut: x + 1 = 0 ⇔ x = –1 Sehingga asimtot tegak fungsi rasional
adalah (1 – x). Pembuat nol penyebut: 1–x=0⇔x=1 Sehingga asimtot tegak fungsi rasional f(x) =
2−x . x +1
koefisien x pembilang koefisien x penyebut
memiliki asimtot datar y = 0 sehingga f(x) =
X
1 2 3
–2
b.
Menentukan asimtot datar.
1− x
dengan x ≠ 1 sebagai berikut.
Grafik melalui titik (–5, 2) maka f(–5) = 2. Grafik melalui titik (–2, 5) maka f(–2) = 5 atau f–1(5) = –2. Dengan demikian, diperoleh: f(–5) – f–1(5) = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 Jadi, nilai f(–5) – f–1(5) adalah 4. Grafik melalui titik (0, –3) maka f(0) = –3 atau f–1(–3) = 0. Grafik melalui titik (–3, 3) maka f(–3) = 3. Dengan demikian, diperoleh: f–1(–3) + f(–3) = 0 + 3 = 3 Jadi, nilai f–1(–3) + f(–3) adalah 3. 1)
2
3)
2−x adalah x +1
x = –1.
Menentukan koordinat titik bantu. x
–4
–2
0
2
y = g(x)
–2
–4
2
0
Diperoleh koordinat titik bantu (–4, –2), (–2, –4), (0, 2) dan (2, 0).
Matematika Kelas X
25
Sketsa grafik fungsi rasional g(x) = dengan x ≠ 1 sebagai berikut.
2−x x +1
b.
Y
Darah hasil Rg = {y | y < 1, y ∈ R} sehingga titik ujung berordinat 1 berlubang. Perhatikan grafik pada daerah yang diarsir berikut. 8 7 6 5 4 3 2 1
2 y = g(x) –4
–2 –1 0 –1
–9 –8–7–6–5 –4–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5
X
2
–2 –4
Pada gambar terlihat, nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga y > – ∞. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Grafik tidak melalui garis y = –1. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Df = {y |–∞ ≤ y ≤ ∞, y ≠ –1, y ∈ R} atau Df = {y | y ≠ –1, y ∈ R}. 4. a.
Darah asal Dg = {x | x ≥ 1, x ∈ R} sehingga titik ujung berabsis 1 tidak berlubang. Perhatikan grafik pada daerah yang diarsir berikut. 8 7 6 5 4 3 2 1 –9 –8–7–6–5 –4–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5
Fungsi dan Grafik Fungsi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = g(x) dengan daerah hasil R g = {y | y < 1, y ∈ R}. Dari grafik tersebut terlihat nilai x paling kiri adalah x = –3 dan titik ujung (–3, 1) berlubang sehingga x > –3. Grafik di kiri sumbu Y atau garis x = 0 sehingga x < 0. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah Dg = {x | –3 < x < 0, x ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi g dengan daerah hasil Rg = {x | y < 1, y ∈ R} adalah Dg = {x | –3 < x < 0, x ∈ R}. 5. Petunjuk guru: Soal ini bersifat terbuka. Jawaban siswa bisa berbeda-beda. Alternatif jawaban:
Dari gambar terlihat, grafik memiliki asimtot datar y = 0. Dengan demikian, persamaan grafiknya
Y
berbentuk f(x) =
k ax + b
Asimtot tegak f(x) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = g(x) dengan daerah asal D g = {x | x ≥ 1, x ∈ R}. Dari gambar terlihat, grafik berada di atas garis y = 2 sehingga y > 2. Nilai y tertinggi adalah y = 5 dan titik ujung (1, 5) tidak berlubang sehingga y ≤ 5. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah R = {y | 2 < y ≤ 5, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil fungsi g dengan D g = {x | x ≥ 1, x ∈ R} adalah Rf = {y | 2 < y ≤ 5, y ∈ R}.
26
Y
dengan (ax + b) ≠ 0.
k ax + b
adalah x = – b a
Grafik memiliki asimtot tegak x = –3 sehingga: – b = –3 ⇔ b = 3a a
Grafik melalui titik (0, 1) maka f(0) = 1. f(0) = 1
⇔
k a×0 +b
=1
⇔
k 0+b
=1
⇔
k b
=1
k=b Dengan demikian, diperoleh k = b = 3a. Jika dipilih a = 1 akan diperoleh: k = b = 3 × 1 = 3 ⇔
Substitusikan nilai a = 1, b = 3, dan k = 3 ke dalam k ax + b
persamaan f(x) =
sehingga diperoleh per-
f(x) =
samaan: f(x) =
k ax + b
=
3 1× x + 3
=
1. Jawaban: c Nilai x paling kiri adalah x = –6 dan titik ujung (–6, 3) berlubang sehingga x > –6. Nilai x paling kanan adalah x = 9 dan titik ujung (9, –2) tidak berlubang sehingga x ≤ 9. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –6 < x ≤ 9, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi tersebut adalah {x | –6 < x ≤ 9, x ∈ R}. 2. Jawaban: b Nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga y > –∞. Nilai y tertinggi adalah y = 1 dan titik ujung (2, 1) berlubang sehingga y < 1. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | – ∞ < y < 1, y ∈ R} atau {y | y < 1, y ∈ R}. Jadi , daera h hasil gra fik fun gsi linear tersebut adal ah {y | y < 1, y ∈ R}. 3. Jawaban: e Menentukan titik potong grafik fungsi y = f(x) = – 3 dengan sumbu koordinat.
Untuk y = 0 diperoleh: 1 2
0= x–3⇔
1 x 2
= 3 ⇔ x = 6
Sehingga grafik memotong sumbu X di titik (6, 0). Untuk x = 0 diperoleh: y=
1 × 2
3 x+3
dengan x ≠ 3.
3 x+3
A. Pilihan Ganda
1 x 2
Jadi, salah satu contoh fungsi rasional yang memiliki grafik seperti gambar tersebut adalah
0 – 3 = –3
Sehingga grafik memotong sumbu Y di titik (0, –3). Grafik yang memotong sumbu X di titik (6, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3) adalah pilihan c, d, dan e. Daerah asal f adalah D f = {x | x ≤ 8, x ∈ R} sehingga titik ujung yang berabsis 8 tidak berlubang. Di antara grafik pada pilihan c, d, dan e yang titik ujungnya berabsis 8 tidak berlubang adalah pilihan e. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan e.
4. Jawaban: a Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = f(x) = 6 –
2 x. 3
x
3
6
y = f(x)
4
2
Daerah asal f adalah Df = {x | x ≥ 3, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri yang berabsis 3 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga. 2 x dengan Df = {x | x ≥ 3, 3
Grafik fungsi y = f(x) = 6 – x ∈ R} sebagai berikut. 5
Y
4 3 y = f(x)
2 1 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
X
–2 –3
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X di titik (9, 0). Jadi, grafik y = f(x) memotong sumbu koordinat di titik (9, 0). 5. Jawaban: c Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = f(x) = 1 –
1 x. 2
x
–6
0
y = f(x)
4
1
Daerah asal Df = {x | x ≥ –6, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri dengan absis –6 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga.
Matematika Kelas X
27
1 2
Grafik fungsi y = f(x) = 1 – x dengan D f = {x | x ≥ –6, x ∈ R} sebagai berikut. 5
Y
Dari gambar terlihat, grafik hanya memotong sumbu X. Grafik h(x) = 2x – 1 dengan D h = {x | x ≤ 2, x ∈ R} sebagai berikut.
4
y = f(x)
3
3
2
2
1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1 2
3
4
5
6
7
X –2
–1
Dari gambar terlihat nilai y terendah tak hingga sehingga y > – ∞. Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan titik ujung (–6, 4) tidak berlubang sehingga y ≤ 4. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | –∞ < y ≤ 4, y ∈ R} atau {y | y ≤ 4, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi y = f(x) adalah {y | y ≤ 4, y ∈ R}. 6. Jawaban: d Grafik h(x) = x + 3 dengan D h = {x | x ≥ 2, x sebagai berikut.
∈
R}
Y
5 4 h(x) = x + 3
2 1 1
2
3
4
5
X
Dari gambar terlihat, grafik hanya memotong sumbu Y. Grafik h(x) = 2 – x dengan Dh = {x | x ≥ 1, x ∈ R} sebagai berikut. Y
1 x 4
+ 2.
x
–4
8
y = f(x)
1
4
Daerah asal D f = {x | –4 ≤ x < 8, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri dengan absis –4 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan dengan absis 8 berlubang. Grafik fungsi y = f(x) =
4
–3
h(x) = 2 – x
–4 –5
Fungsi dan Grafik Fungsi
5
6
7
X
1 x 4
+ 2 dengan D f =
{x | –4 ≤ x < 8, x ∈ R} sebagai berikut. 6 Y 5 4
1
–2
28
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X dan sumbu Y. Jadi, fungsi linear yang memotong sumbu X dan sumbu Y adalah h(x) = 2x – 1 dengan D h = {x | x ≤ 2, x ∈ R}.
1 3
X
–5
2
2
4
–4
3
1
3
–3
2
–1 0 –1
2
–2
y = f(x) =
6
3
1
7. Jawaban: e Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi
7
–4 –3 –2 –1 0 –1
0 –1
–3
3
h(x) = 2x – 1
1 –3
–2
8
Y
4
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
y=
1 2 3
1 4
x+2
4 5
6 7 8
9 10
X
Dari gambar terlihat nilai y terendah adalah y = 1 dan titik ujung (–4, 1) tidak berlubang sehingga y ≥ 1. Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan titik ujung (8, 4) berlubang sehingga y < 4.
Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | 1 ≤ y < 4, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi y = f(x) adalah {y | 1 ≤ y < 4, y ∈ R}. 8. Jawaban: a Diketahui f : x → 4 – |f(x)| = |4 –
1 x, 2
maka f(x) = 4 –
1 x 2
dan
1 x|. 2
Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y = |4 –
1 x|. 2 1 2
|4 –
x –2 0 2 4 6 8 10 12
x|
Koordinat Titik
5 4 3 2 1 0 1 2
(–2, 5) (0, 4) (2, 3) (4, 2) (6, 1) (8, 0) (10, 1) (12, 2)
Grafik yang melalui titik-titik koordinat pada tabel adalah pilihan a. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan a. 9. Jawaban: c Diketahui h(x) = 2 – 2x, maka
h(x) =
2
−
2x .
Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y=
2
−
2x .
x
2 − 2x
1 –1 –7
0 2 4
Koordinat Titik (1, 0) (–1, 2) (–7, 4)
Grafik yang melalui titik-titik koordinat pada tabel adalah pilihan c. Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan c. 10. Jawaban: a Nilai x paling kiri tak hingga sehingga x > – ∞. Nilai x paling kanan adalah x = 3 dan titik ujung (3, 6) berlubang sehingga x < 3. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x < 3, x ∈ R} atau {x | x < 3, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi adalah {x | x < 3, x ∈ R}. 11. Jawaban: b Nilai y terendah tak hingga sehingga y > –∞. Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan titik (1, 4) pada grafik sehingga y ≤ 4. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | –∞ < y ≤ 4, y ∈ R} atau {y | y ≤ 4, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi kuadrat tersebut adalah {y | y ≤ 4, y ∈ R}.
12. Jawaban: e Nilai-nilai fungsi y = f(x) = x 2 + 2x– 8 pada daerah asal Df = {x | –5 < x ≤ 1, x ∈ R} sebagai berikut. x
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
y = f(x)
7
0
–5
–8
–9
–8
–5
Daerah asal D f = {x | –5 < x ≤ 1, x ∈ R} sehingga titik ujung (–5, 7) berlubang dan titik ujung (1, –5) tidak berlubang. Dari tabel diperoleh nilai y = f(x) terendah adalah y = –9 sehingga y ≥ –9. Nilai y = f(x) tertinggi adalah y = 7 dan dan titik ujung (–5, 7) berlubang sehingga y < 7. Dengan demikian, daerah hasil grafik fungsi adalah {y | –9 ≤ y < 7, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi f(x) = x 2 + 2x – 8 dengan D f = {x | –5 < x ≤ 1, x ∈ R} adalah {y | –9 ≤ y < 7, y ∈ R}. 13. Jawaban: d Diketahui fungsi kuadrat y = f(x) = 2(x + 1) 2 – 8. 1) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. y = f(x) = 0 ⇔ 2(x + 1)2 – 8 = 0 ⇔ 2(x2 + 2x + 1) – 8 = 0 ⇔ 2x2 + 4x + 2 – 8 = 0 ⇔ 2x2 + 4x – 6 = 0 ⇔ 2(x2 + 2x – 3) = 0 ⇔ 2(x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ 2(x + 3) = 0 atau (x – 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 1 Diperoleh titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–3, 0) dan (1, 0). 2) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. Untuk x = 0 diperoleh: y = f(0) = 2(0 + 1)2 – 8 =2×1–8 =2–8 = –6 Diperoleh titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, –6). Jadi, grafik memotong sumbu X dan sumbu Y berturut-turut di titik (–3, 0), (1, 0), dan (0, –6). 14. Jawaban: b Fungsi kuadrat y = f(x) = 3x 2 – 36x + 100 memiliki nilai a = 3, b = –36, dan c = 100. Misalkan koordinat titik balik (x P, yP). b
36
−
xP = – 2a = – 2 × 3 =
36 6
= 6
Matematika Kelas X
29
yP = f(xP) = f(6) = 3 × 62 – 36 × 6 + 100 = 3 × 36 – 216 + 100 = 108 – 116 = –8 Jadi, koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat adalah (6, –8). 15. Jawaban: d Diketahui f : x → x2 – 4x + 3 maka f(x) = x2 – 4x + 3. Fungsi kuadrat y = f(x) = x 2 – 4x + 3 memiliki nilai a = 1, b = –1, dan c = 3. 1) Nilai a > 0 sehingga grafik terbuka ke atas. Grafik yang terbuka ke atas adalah pilihan c, d, dan e. 2) Grafik pada pilihan c, d, dan e masing-masing memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0). 3) Daerah asal Df = {x | x < 4, x ∈ R} sehingga titik ujung berabsis 4 berlubang. Titik ujung grafik yang berabsis 4 pada pilihan d dan e keduanya berlubang. Menentukan koordinat titik ujung grafik. Ordinat titik ujung grafik: f(4) = 42 – 4 × 4 + 3 = 16 – 16 + 3 =3 Diperoleh koordinat titik ujung (4, 3). Di antara grafik pada pilihan d dan e yang memiliki koordinat titik ujung (4, 3) adalah pilihan d. Jadi, sketsa grafik dari fungsi y = f(x) adalah pilihan d. 16. Jawaban: c 1 2 x memiliki 2
Fungsi f(x) = 3 –
1 2
nilai a = – , b = 0,
dan c = 3. Nilai a < 0 sehingga grafik terbuka ke bawah. 1 2
D = b2 – 4ac = 02 – 4 × (– ) × 3 = 0 + 6 = 6 Nilai D > 0 sehingga grafik memotong sumbu X di dua titik. Absis titik balik: xP = –
0 b = – 1 = 0 2a 2 × ( − 2)
Ordinat titik balik: f(xP) = f(0) = 3 –
1 × 2
02 = 3 – 0 = 3
Diperoleh koordinat titik balik (0, 3). Beberapa titik bantu yang dilalui grafik fungsi f(x) 1 2
= 3 – x2 sebagai berikut. x
–4
–2
2
4
y = f(x)
–5
1
1
–5
Daerah hasil Rf = {x | –5 < y ≤ 1, y ∈ R} sehingga titik ujung (–4, –5) dan (4, –5) berlubang. Titik ujung (–2, 1) dan (2, 1) tidak berlubang. 1 2
Sketsa grafik fungsi f(x) = 3 – x2 sebagai berikut. 4 3
Y y = f(x)
2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
X
–2 –3 –4 –5 –6 –7
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = f(x) dengan daerah hasil R f = {x | –5 < y ≤ 1, y ∈ R}. Dari grafik tersebut terlihat ada dua grafik yang berada dalam daerah arsiran. Grafik di kiri sumbu Y dan grafik di kanan sumbu Y. Pada grafik di kiri sumbu Y: 1) nilai x paling kiri adalah x = –4 dan titik ujung (–4, –5) berlubang sehingga x > –4, 2) nilai x paling kanan adalah x = –2 dan titik ujung (–2, 1) tidak berlubang sehingga x ≤ –2. Dengan demikian, daerah asal grafik di kiri sumbu Y adalah Df = {x | –4 < x ≤ –2, x ∈ R}. Pada grafik di kanan sumbu Y: 1) nilai x paling kiri adalah x = 2 itik ujung (–2, 1) tidak berlubang sehingga x ≥ 2, 2) nilai x paling kanan adalah x = 4 dan titik ujung (4, –5) berlubang sehingga x < 4. Dengan demikian, daerah asal grafik di kanan sumbu Y adalah Df = {x | 2 ≤ x < 4, x ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi f dengan daerah hasil Rf = {x | –5 ≤ y < 1, y ∈ R} adalah Df = {x | –4 < x ≤ –2 dan 2 ≤ x < 4, x ∈ R}. 17. Jawaban: d Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dengan a > 0, b > 0 , c > 0 dan D > 0. 1) Nilai a menentukan arah terbuka grafik fungsi kuadrat. Oleh karena nilai a > 0 maka grafik terbuka ke atas. Grafik pada pilihan semua terbuka ke atas. 2) Nilai b menentukan absis koordinat titik balik b
grafik fungsi kuadrat yaitu x = – 2a . Oleh b
karena nilai a > 0 dan b > 0 maka 2a > 0
30
Fungsi dan Grafik Fungsi
(bilangan positif dibagi bilangan positif menghasilkan bilangan positif) sehingga
3)
Irisan dari garis bilangan (1) dan (2) sebagai berikut.
b
x = – 2a < 0 karena negatif dari bilangan positif adalah bilangan negatif. Absis koordinat titik balik bernilai negatif sehingga titik balik grafik berada di kiri sumbu Y. Grafik yang titik baliknya berada di kiri sumbu Y adalah pilihan a, d, dan e. 3) Nilai c menentukan ordinat koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu Y. Oleh karena nilai c > 0 maka grafik memotong sumbu Y positif. Di antara grafik pada pilihan a, d, dan e yang memotong sumbu Y positif adalah pilihan d dan e. 4) Nilai diskriminan menentukan banyak titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Oleh karena nilai D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik. Di antara grafik pada pilihan d dan e yang memotong sumbu X di dua titik adalah pilihan d. Jadi, grafik y = f(x) yang sesuai adalah pilihan d. 18. Jawaban: a Fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x 2 – 2mx + (m – 3) memiliki nilai a = (m + 1), b = –2m, dan c = (m – 3). Fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x 2 – 2mx + (m – 3) definit negatif jika nilai a < 0 dan D < 0. 1) a < 0 ⇔ m + 1 < 0 ⇔ m < –1 Penyelesaian m < –1 dalam bentuk garis bilangan sebagai berikut. . . . (1) –1
2)
D<0
⇔ (–2m)2 – 4(m + 1)(m – 3) < ⇔ 4m2 – 4(m2 – 2m – 3) < ⇔ ⇔ ⇔
0 0 2 2 4m – 4m + 8m + 12 < 0 8m + 12 < 0 8m < –12 12
⇔
m<– 8
⇔
m< –2
3
3
Penyelesaian m < – 2 dalam bentuk garis bilangan sebagai berikut. . . . (2) 3 2
–1
3
–2 3
–2
penyelesaian
3
Dari diagram tersebut diperoleh nilai m < – 2 . 3
Jadi, nilai m < – 2 menyebabkan fungsi kuadrat definit negatif. 19. Jawaban: b Grafik menyinggung sumbu X jika memiliki nilai D = 0. Fungsi kuadrat f(x) = 4x 2 – 4x + 2 memiliki nilai a = 4, b = –4, dan c = 2. D = b2 – 4ac = 42 – 4 × 4 × 2 = 16 – 32 = –16 Oleh karena nilai D < 0, maka fungsi kuadrat f(x) = 4x2 – 4x + 2 tidak memotong sumbu X. Fungsi kuadrat f(x) = 4x 2 – 4x + 1 memiliki nilai a = 4, b = –4, dan c = 1. D = b2 – 4ac = 42 – 4 × 4 × 1 = 16 – 16 =0 Oleh karena nilai D = 0, maka fungsi kuadrat f(x) = 4x2 – 4x + 1 menyinggung sumbu X. Jadi, fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X adalah f(x) = 4x2 – 4x + 1 . 20. Jawaban: e Grafik memotong sumbu X di dua titik jika memiliki nilai D ≥ 0. Fungsi kuadrat h(x) = –x 2 – 3 memiliki nilai a = –1, b = 0, dan c = –3. D = b2 – 4ac = 02 – 4 × (–1) × (–3) = 0 – 12 = –12 Oleh karena nilai D < 0, maka fungsi kuadrat h(x) = –x2 – 3 tidak memotong sumbu X. Fungsi kuadrat h(x) = –x 2 – 5x – 7 memiliki nilai a = –1, b = –5, dan c = –7.
Matematika Kelas X
31
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 × (–1) × (–7) = 25 – 28 = –3 Oleh karena nilai D < 0, maka fungsi kuadrat h(x) = –x2 – 5x – 7 tidak memotong sumbu X. Fungsi kuadrat h(x) = x 2 – 8x + 17 memiliki nilai a = 1, b = –8, dan c = 17. D = b2 – 4ac = (–8)2 – 4 × 1 × 17 = 64 – 68 = –4 Oleh karena nilai D < 0, maka fungsi kuadrat h(x) = x2 – 8x + 17 tidak memotong sumbu X. Fungsi kuadrat h(x) = x 2 + 6 memiliki nilai a = 1, b = 0, dan c = 6. D = b2 – 4ac = 02 – 4 × 1 × 6 = 0 – 24 = –24 Oleh karena nilai D < 0, maka fungsi kuadrat h(x) = x2 + 6 tidak memotong sumbu X. Fungsi kuadrat h(x) = x 2 + 2x memiliki nilai a = 1, b = 2, dan c = 0. D = b2 – 4ac = 22 – 4 × 1 × 0 =4+0=4 Oleh karena nilai D > 0, maka fungsi kuadrat h(x) = x2 + 2x memotong sumbu X. Jadi, fungsi kuadrat yang memotong sumbu X adalah h(x) = x 2 + 2x. 21. Jawaban: e Fungsi kuadrat f(x) = (p + 2)x 2 + (p – 3)x – 20 memiliki nilai a = (p + 2), b = (p – 3), dan c = –20. Sumbu simetri: b
x = – 2a = –1
⇔
(p − 3)
– 2(p + 2) = –1
p – 3 = 2(p + 2) ⇔ p – 3 = 2p + 4 ⇔ p = –7 Substitusikan nilai p = –7 ke dalam persamaan grafik f(x) = (p + 2)x 2 + (p – 3)x – 20 sehingga diperoleh: f(x) = (–7 + 2) x2 + (–7 – 3) x – 20 = –5x2 – 10x – 20 Fungsi kuadrat f(x) = –5x 2 – 10x – 20 memiliki nilai a = –5 < 0 sehingga grafik fungsi memiliki nilai maksimum. Nilai ekstrem: f(–1) = –5 × (–1)2 – 10 × (–1) – 20 = –5 + 10 – 20 = –15 Jadi, nilai ekstrem fungsi kuadrat tersebut adalah maksimum –15. ⇔
32
Fungsi dan Grafik Fungsi
22. Jawaban: c Grafik memotong sumbu X di (–3, 0) dan (2, 0) sehingga persamaan grafiknya adalah y = f(x) = a(x – (–3)) (x – 2) = a(x + 3)(x – 2). Grafik memotong sumbu Y di titik (0, –12) maka f(0) = –12. f(0) = –12 ⇔ a(x + 3)(x – 2) = –12 ⇔ a(0 + 3)(0 – 2) = –12 ⇔ a × 3 × (–2) = –12 ⇔ –6a = –12 ⇔ a=2 Substitusikan nilai a = 2 ke dalam persamaan grafik y = f(x) = a(x + 3)(x – 2) sehingga diperoleh: y = f(x) = a(x + 3)(x – 2) = 2(x2 + x – 6) = 2x2 + 2x – 12 Jadi, persamaan fungsi kuadrat adalah f(x) = 2x 2 + 2x – 12. 23. Jawaban: b Diketahui f : x → 4 + 3x – x2 maka f(x) = 4 + 3x – x 2. Fungsi kuadrat y = f(x)= 4 + 3x – x 2 memiliki nilai a = –1, b = 3, dan c = 4. 1) Nilai a < 0 sehingga grafik terbuka ke bawah. Daerah asal Df = {x | x ≤ 5, x ∈ R} sehingga titik ujung berabsis 5 tidak berlubang. Grafik yang terbuka ke bawah dan titik ujung grafik berabsis 5 tidak berlubang adalah pilihan a, b, dan c. 2) Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ 4 + 3x – x2 = 0 ⇔ (4 – x)(1 + x) = 0 ⇔ (1 + x) = 0 atau (4 – x) = 0 ⇔ x = –1 atau x=4 Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu X yaitu (–1, 0) dan (4, 0). Di antara grafik pada pilihan a, b dan c yang memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (4, 0) adalah pilihan a dab b. 3) Menentukan koordinat titik ujung grafik. Absis titik ujung grafik adalah x = 5. Ordinat titik ujung grafik: f(5) = 4 + 3 × 5 – 5 2 = 4 + 15 – 25 = –6 Diperoleh koordinat titik ujung (5, –6) Di antara grafik pada pilihan a dan b yang memiliki titik ujung (5, –6) adalah pilihan b. Jadi, sketsa grafik dari fungsi y = f(x) adalah pilihan b.
24. Jawaban: b Dari gambar terlihat grafik memiliki titik balik (–2, 3) sehingga persamaan grafiknya adalah y = f(x) = a(x – (–2))2 + 3 = a(x + 2) 2 + 3. Grafik melalui titik (0, 5) maka f(0) = 5 sehingga diperoleh: f(0) = 5 ⇔ a(x + 2)2 + 3 = 5 ⇔ a(0 + 2)2 + 3 = 5 ⇔ a × 22 + 3 = 5 ⇔ 4a = 2 a=
⇔
1 2
Substitusikan nilai a =
1 ke 2
dalam persamaan
grafik fungsi kuadrat y = f(x) = a(x + 2) 2 + 3 sehingga diperoleh: y = f(x) = a(x + 2)2 + 3 =
1 (x 2
=
1 2 (x + 2
=
1 2 x + 2
2x + 2 + 3
=
1 2 x + 2
2x + 5
+ 2)2 + 3 4x + 4) + 3
Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah f(x) =
1 2 x + 2
2x + 5.
25. Jawaban: d Diketahui persentase produk tidak cacat yang diproduksi PT Cipta Kreasi perjamnya mengikuti fungsi f(x) = 82 + 8x – x2, dengan x menyatakan banyaknya produk (dalam lusin). Fungsi kuadrat f(x) = 82 + 8x – x 2 memiliki nilai a = –1, b = 8, can c = 82. Misalkan titik balik fungsi kuadrat y = f(x) adalah (xP, yP). Jumlah souvenir yang harus diproduksi agar persentase produk tidak cacat perjamnya mencapai maksimum = xP. xP =
b – 2a
=
8 8 – 2 × (−1) = 2
= 4
Sehingga diperoleh jumlah souvenir yang harus diproduksi agar persentase produk tidak cacat perjamnya mencapai maksimum adalah 4 lusin. Dengan demikian, pernyataan pilihan pada a dan b salah. Persentase produk tidak cacat maksimum perjamnya = yP. yP = f(xP) = f(4) = 82 + 8 × 4 – 42 = 82 + 32 – 16 = 98%
Oleh karena persentase produk tidak cacat maksimum perjamnya adalah 98%, maka perusahaan tidak mungkin dapat menekan persentase produk tidak cacat yang diproduksi perjamnya menjadi 100%. Dengan demikian, pernyataan pilihan pada c dan e salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan d. 26. Jawaban: e Nilai x paling kiri adalah x = –5 dan titik ujung (–5, –1) tidak berlubang sehingga x ≥ –5. Nilai x paling kanan adalah tak hingga sehingga x < +∞. Grafik tidak memiliki nilai di x ≠ –3. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –5 < x ≤ +∞, x ≠ –3, x ∈ R} atau {x | x ≥ –5, x ≠ –3, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi adalah {x | x ≥ –5, x ≠ –3, x ∈ R}. 27. Jawaban: b Nilai y terendah adalah y = –11 dan titik ujung (3, –11) berlubang sehingga y > –11. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga sehingga y < +∞. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {y | –11 < y < +∞, y ∈ R} atau {y | y > –11, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil grafik fungsi kuadrat tersebut adalah {y | y > –11, y ≠ –4, y ∈ R}. 28. Jawaban: c Fungsi rasional f(x) = 1) 2)
−6x 1 − 2x
memiliki:
koefisien x pembilang = –6 dan koefisien x penyebut = –2.
Asimtot datar y =
koefisien x pembilang koefisien x penyebut
= −6 2
−
=3 Fungsi rasional f(x) = 1) 2)
2x x+3 −
memiliki:
koefisien x pembilang = –2 dan koefisien x penyebut = 1.
Asimtot datar y =
koefisien x pembilang koefisien x penyebut
= −2 1
= –2 Fungsi rasional f(x) = 1) 2)
6x 1 − 2x
memiliki:
koefisien x pembilang = 6 dan koefisien x penyebut = –2.
Matematika Kelas X
33
Asimtot datar y =
koefisien x pembilang koefisien x penyebut
= 6 −2 = –3 Jadi, fungsi rasional yang memiliki asimtot datar 6x 1 − 2x
y = –3 adalah f(x) =
dengan (1 – 2x) ≠ 0.
–4
–3
–1
0
y = f(x)
–0,25
–0,5
0,5
0,25
Diperoleh koordinat (–4, –0,25), (–3, –0,5), (–1, 0,5), dan (0, 0,25). Oleh karena titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
1 − 2x x+2
–2
rasional f(x) =
memiliki asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = –2. Grafik yang memiliki asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = –2 adalah pilihan a dan b. Menyelidiki titik-titik yang dilalui grafik fungsi
pada gambar.
Fungsi rasional f(x) =
rasional f(x) =
1 2x+4
tidak sama dengan titik-titik
yang dilalui grafik pada gambar maka fungsi
29. Jawaban: a
1 − 2x x+2
dengan x
≠
.
x
–7
–3
–1
3
y = f(x)
–3
–7
3
–1
1 2x+4
bukan persamaan dari grafik
Menyelidiki asimtot tegak dan titik-titik yang dilalui setiap grafik fungsi rasional pilihan b. 2 x+2
Fungsi rasional f(x) =
memiliki penyebut
(x + 2). Pembuat nol penyebut: x + 2 ⇔ x = –2 Dengan demikian, fungsi rasional f(x) =
Diperoleh koordinat titik (–7, –3), (–3, –7), (–1, 3), dan (3, –1). Sketsa grafik yang melalui titik (–7, –3), (–3, –7), (–1, 3), dan (3, –1) adalah pilihan a. Jadi, sketsa grafik fungsi rasional f(x) = dengan x ≠ –2 adalah pilihan a.
1 − 2x x+2
30. Jawaban: c Dari gambar terlihat: 1) grafik memiliki asimtot datar y = 0 dan asimtot tegak x = –2 dan 2) grafik melalui titik (–4, 1), (–3, 2), (–1, –2), dan (0, –1).
2 x+2
memiliki asimtot tegak x = –2. Menentukan koordinat titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
2 x+2
x
–4
–3
–1
0
y = f(x)
–1
–2
2
1
.
Diperoleh koordinat (–4, –1), (–3, –2), (–1, 2) dan (0, 1). Oleh karena titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
2 x+2
tidak sama dengan titik-titik
yang dilalui grafik pada gambar maka fungsi 2 x+2
Menyelidiki asimtot datar setiap fungsi rasional.
rasional f(x) =
Fungsi rasional pada pilihan memiliki bentuk
dari grafik pada gambar.
k ax + b
Menyelidiki asimtot tegak dan titik-titik yang dilalui setiap grafik fungsi rasional pilihan c.
dengan (ax + b)
≠ 0
sehingga masing-
masing grafik fungsi rasional tersebut memiliki asimtot datar y = 0. Menyelidiki asimtot tegak dan titik-titik yang dilalui setiap grafik fungsi rasional pilihan a. 1 2x+4
Fungsi rasional f(x) =
memiliki penyebut
Dengan demikian, fungsi rasional f(x) =
1 2x+4
Fungsi dan Grafik Fungsi
.
−2 x+2
Fungsi rasional f(x) =
memiliki penyebut
(x + 2). Pembuat nol penyebut: x + 2 ⇔ x = –2 −2 x+2
memiliki asimtot tegak x = –2. Menentukan koordinat titik-titik yang dilalui grafik 1 2x+4
memiliki asimtot tegak x = –2. Menentukan koordinat titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
bukan merupakan persamaan
Dengan demikian, fungsi rasional f(x) =
(2x + 4). Pembuat nol penyebut: 2x + 4 = 0 ⇔ 2x = –4 ⇔ x = –2
34
x
fungsi rasional f(x) =
2 x+2 −
x
–4
–3
–1
0
y = f(x)
1
2
–2
–1
.
Diperoleh koordinat (–4, 1), (–3, 2), (–1, –2), dan (0, –1). Oleh karena titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) =
−2 x+2
c.
1)
2. a.
1)
sama dengan titik-titik yang
dilalui grafik pada gambar maka fungsi rasional f(x) =
2 x+2 −
merupakan persamaan dari grafik
pada gambar. Jadi, persamaan grafik fungsi rasional tersebut yang mungkin adalah f(x) =
2 x+2 −
dengan x ≠ –2.
B. Uraian 1. a.
b.
1)
Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah negatif tak hingga sehingga x > –∞. Nilai x paling kanan adalah x = –2 dan titik ujung (–2, 2) tidak berlubang sehingga x ≤ –2. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x ≤ 2, x ∈ R} atau {x | x ≤ 2, x ∈ R}. 2) Nilai y terendah adalah y = 2 dan titik ujung (–2, 2) tidak berlubang sehingga nilai y ≥ 2. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < + ∞. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | 2 ≤ y < +∞, y ∈ R} atau {y | y ≥ 2, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah D f = {x | x ≤ 2, x ∈ R} dan daerah hasinya Rf = {y | y ≥ 2, y ∈ R}. 1) Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah x = –2 dan titik ujung (–2, 1) tidak berlubang sehingga x ≥ –2. Nilai x paling kanan adalah x = 12 dan titik ujung (12, 8) berlubang sehingga x < 12. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –2 ≤ x < 12, x ∈ R}. 2) Nilai y terendah adalah y = –8 dan titik (4, –8) pada grafik sehingga nilai y ≥ –8. Nilai y tertinggi adalah y = 8 dan itik ujung (12, 8) berlubang sehingga y < 8. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | –8 ≤ y < 8, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah D g = {x | –2 ≤ x < 12, x ∈ R} dan daerah hasinya Rg = {y | –8 ≤ y < 8, y ∈ R}.
Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah negatif tak hingga sehingga x > – ∞. Nilai x paling kanan adalah x = 9 dan titik ujung (9, –3) tidak berlubang sehingga x ≤ 9. Grafik tidak memiliki nilai di x = 3. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x ≤ 9, x ≠ 3, x ∈ R} atau {x | x ≤ 9, x ≠ 3, x ∈ R}. 2) Nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga nilai y > –∞. Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan itik ujung (2, 4) berlubang sehingga y < 4. Grafik tidak memotong garis y = –2. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | –∞ < y < 4, y ≠ –2, y ∈ R} atau {y | y < 4, y ≠ –2, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah D h = {x | x ≤ 9, x ≠ 3, x ∈ R} dan daerah hasinya Rh = {y | y < 4, y ≠ –2, y ∈ R}. Menentukan nilai diskriminan fungsi kuadrat y = f(x) = – 1 x2 + 2x – 3. 2
Dari fungsi fungsi kuadrat y = f(x) = 1 2
x 2 + 2x – 3 diperoleh nilai a = –
1 2
,
b = 2, dan c = –3. D = b2 – 4ac = 22 – 4 × (– 1 ) × (–3) 2
= 4 + 2 × (–3) =4–6 = –2 Oleh karena nilai D < 0, grafik fungsi kuadrat y = f(x) = – 2)
1 2
x2 + 2x –3tidak
memotong sumbu X. Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. Untuk x = 0 diperoleh: 1
f(0) = – 2 × 02 + 2 × 02 – 3 = –0 + 0 – 3 = –3 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, –3).
Matematika Kelas X
35
3)
Menentukan koordinat titik balik (xP, yP). b
xP = – 2a =– = yP
2 2×(
−
1 ) 2
b.
2 1
Nilai y tertinggi adalah y = –1 dan titik (2, –1) pada grafik sehingga y ≤ –1. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Df = {y | –∞ < y ≤ –1, y ∈ R} atau Df = {y | y ≤ –1, y ∈ R}. 1) Menentukan asimtot datar. Fungsi rasional g(x) = –
=2 = f(xP) = f(2)
g(x) =
1 1
g(x) = –
= –2 + 1 = –1 Diperoleh koordinat titik balik (2, –1). Daerah asal Df = {x | x < 6, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri tak hingga dan titik ujung paling kanan berabsis 6 berlubang. Menentukan ordinat titik ujung paling kanan. y = f(6) =
. k ax + b
memiliki asimtot datar y = 0 sehingga
= – 2 × 4 + 4 – 3
1 –2
berbentuk
Fungsi rasional berbentuk g(x) =
= – 2 × 22 + 2 × 2 – 3
4)
k ax + b
4 x+2
2)
1
= –18 + 9 = –9 Diperoleh koordinat titik ujung paling kanan yaitu (6, –9). 1
Nilai a = – 2 < 0 maka grafik terbuka ke
memiliki asimtot datar
y = 0. Menentukan asimtot tegak. 4
Penyebut fungsi rasional g(x) = – x + 2 adalah (x + 2). Pembuat nol penyebut: x + 2 = 0 ⇔ x = –2 Sehingga asimtot tegak fungsi rasional 4
g(x) = – x + 2 adalah x = –2. 3)
Menentukan koordinat titik bantu.
× 62 + 2 × 6 – 3
= – 2 × 36 + 12 – 3
4 x+2
x
–6
–4
0
2
y = g(x)
1
2
–2
–1
Diperoleh koordinat titik bantu (–6, 1), (–4, 2), (0, –2) dan (2, –1). Sketsa grafik fungsi rasional g(x) = –
4 x+2
dengan x ≠ –2 sebagai berikut. Y
bawah. 1
Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = – 2 x2 + 2x –3 dengan Df = {x | x < 6, x ∈ R} sebagai berikut.
y = g(x)
Y 0 –1 –3
2
6
X –6
y = f(x)
–9
Pada gambar terlihat nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga y > –∞.
36
2 1
Fungsi dan Grafik Fungsi
–4
–2
0 –1 –2
2
X
–9
Pada gambar terlihat nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga y > –∞. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞.
Grafik tidak melalui garis y = 0. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Df = {y |–∞ < y < +∞, y ≠ 0, y ∈ R} atau Df = {y | y ≠ 0, y ∈ R}. 3. a.
5. Fungsi kuadrat f memiliki sifat f(x) ≥ 0. Ada dua kemungkinan grafiknya sebagai berikut. 1) Grafik terbuka ke atas dan tidak memotong sumbu X.
Diketahui f : x → 4 – x, maka f(x) = 4 – x dan
Y y = f(x)
f(x) = 4 − x . Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y= 4−x . x y=
4−x
–5
0
3
4
3
2
1
0
Grafik fungsi y =
f(x) =
berikut.
2)
Y 4
Grafik terbuka ke atas dan menyinggung sumbu X.
3
Y
2
y = f(x)
1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
X
0
4 − x sebagai
1
2
3
4
5
X
–2
b.
c.
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2). Jadi, grafik fungsi y = f(x) memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2). Dari grafik terlihat nilai y terendah adalah y = 0 dan titik (4, 0) pada grafik sehingga y ≥ 0. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Rf = {y | 0 ≤ y < +∞, y ∈ R} atau Rf = {y | y ≥ 0, y ∈ R}. Jadi, daerah hasil fungsi y = f(x) dengan Df = {x |x ∈ R} adalah Rf = {y | y ≥ 0, y ∈ R}.
4. Petunjuk guru: Soal ini bersifat terbuka. Jawaban siswa bisa berbeda-beda. Alternatif jawaban:
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X negatif sehingga nilai a < 0. Grafik memotong sumbu Y positif sehingga nilai b > 0. Persamaan grafik fungsi linear adalah f(x) = ax + b dengan a ≠ 0 dan a, b ∈ bilangan real. Grafik di atas memiliki syarat a < 0 dan b > 0. Misalkan dipilih a = –2 dan b = 5 maka diperoleh fungsi linear f(x) = ax + b = –2x + 5. Jadi, salah satu contoh fungsi linear yang memiliki grafik seperti gambar tersebut adalah f(x) = –2x + 5.
0
X
Oleh karena f(1) = 0, maka grafik melalui titik (1, 0) atau menyinggung sumbu X di titik(1, 0). Dengan demikian, grafik yang mungkin adalah nomor 2). Grafik menyinggung sumbu X di titik(1, 0) sehingga titik baliknya adalah (1, 0). Persamaan fungsi kuadratnya yang memiliki titik balik (1, 0) adalah y = f(x) = a(x – 1) 2 + 0 = a(x – 1) 2. f(2) = 2 ⇔ a(2 – 1)2 = 2 ⇔ a × 12 = 2 ⇔ a =2 Substitusikan nilai a = 2 ke dalam persamaan f(x) = a(x – 1) 2 sehingga diperoleh f(x) = 2(x – 1)2. Nilai f(0) + f(4) = 2(0 – 1)2 + 2(4 – 1)2 = 2 × 12 + 2 × 32 = 2× 1 + 2 ×9 = 2 + 18 = 20 Jadi, f(0) + f(4) = 20. 6. a.
Dari gambar terlihat grafik terbuka ke bawah sehingga nilai a < 0. Grafik fungsi kuadrat g(x) = ax + bx + c memotong sumbu Y di titik (0, c). Dari gambar terlihat grafik memotong sumbu Y negatif sehingga nilai c < 0.
Matematika Kelas X
37
Titik balik grafik berada di kuadran IV sehingga absis titik balik bernilai positif (x P > 0) dan ordinat titik balik bernilai negatif (y P < 0). xP =
b – 2a ⇔ b
Tembok
= –2a × xP
Nilai a < 0 dan nilai x P > 0 sehingga (2a × x P) < 0 karena perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan negatif. Dengan demikian, b = –2a × x P > 0 (negatif dari bilangan negatif adalah bilangan positif) Karena grafik tidak menyinggung/memotong sumbu X maka D < 0 atau b2 – 4ac < 0. Jadi, grafik fungsi kuadrat pada gambar tersebut memiliki nilai a < 0, b > 0, dan c < 0 dengan b2 – 4ac < 0. Grafik fungsi kuadrat pada gambar memiliki nilai a < 0, b > 0, dan c < 0 dengan b2 – 4ac < 0. Misalkan dipilih nilai a = –1, b = 2, dan c = –3. Substitusikan a = –1, b = 2, dan c = –3, ke dalam persamaan fungsi kuadrat g(x) = ax + bx + c sehingga diperoleh g(x) = –x 2 + 2x –3. Jadi, contoh fungsi kuadrat yang memiliki grafik seperti gambar adalah g(x) = –x2 + 2x – 3.
b.
8. Misalkan x = lebar kebun dan y = panjang kebun. Sketsa ukuran kebun sebagai berikut
7. Jawaban: a Misalkan pendapatan dari penjualan x komputer adalah P(x) = 18.000x – 80x2 maka biaya produksi x komputer adalah B(x) = x(2.000 +
8.000 ). x
Keuntungan: K(x) = pendapatan – biaya produksi = P(x) – B(x) = 18.000x – 80x2 – x(2.000 +
8.000 ) x
= 18.000x – 80x2 – 2.000x – 8.000 = –80x2 + 16.000x – 8.000 Keuntungan maksimum diperoleh pada titik balik (xP, yP). Banyak komputer yang harus diproduksi agar pabrik memperoleh keuntungan maksimum = x P. Fungsi kuadrat K(x) = –80x 2 + 16.000x – 8.000 memiliki nilai a = –80, b = 16.000, dan c = –8.000.
x
Area tanah
x
y
Keliling kebun = x + x + y = 2x + y Oleh karena pagar ada 4 lapis kawat maka 4 kali keliling kebun = panjang kawat sehingga diperoleh: 4(2x + y) = 800 ⇔ 2x + y = 200 ⇔ y = 200 – 2x Luas kebun: L(x) = p × = y × x = (200 – 2x) × x = 200x – 2x2 Luas maksimum diperoleh pada titik balik (x P, yP). Luas maksimum kebun = yP. Fungsi kuadrat L(x) = 200x – 2x 2 memiliki nilai a = –2, b = 200, dan c = 0. yP = – =–
D 4a b2
4ac 4a −
=–
2002 − 4 × (−2) × 0 4 × (−2)
=–
40.000 − 0 −8
=
40.000 8
= 5.000 Jadi, luas maksimum kebun yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia adalah 5.000 m 2. 9. Fungsi kuadrat f(x) = –x2 – px + (1 – p) memiliki nilai a = –1, b = –p, dan c = (1 – p) Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu Y positif sehingga nilai c = (1 – p) > 0. 1–p>0⇔p<1 Penyelesaian p < 1 dalam bentuk garis bilangan sebagai berikut.
b
xP = – 2a 16.000
= – 2 × (−80) =
16.000 160
= 100 Jadi, banyak komputer yang harus diproduksi agar pabrik memperoleh keuntungan maksimum adalah 100 unit.
38
Fungsi dan Grafik Fungsi
1
. . . (1)
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik sehingga nilai D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (–p)2 – 4 × (–1) × (1 – p) > 0 ⇔ p2 + 4(1 – p) > 0 ⇔ p2 + 4 – 4p > 0 ⇔ p2 – 4p + 4 > 0 ⇔ (p – 2)2 > 0
Pembuat nol:
Dengan demikian, diperoleh: 2)2
(p – =0 (p – 2)(p – 2) = 0 ⇔ p – 2 = 0 atau p – 2 = 0 ⇔ p = 2 atau p = 2 Penyelesaian (p – 2) 2 > 0 dalam bentuk garis bilangan sebagai berikut. ⇔
+
+
. . . (2)
2
Irisan dari garis bilangan (1) dan (2) sebagai berikut.
a c
= 1
⇔
– d = 0 ⇔ d = 0 c
Substitusikan nilai d = 0 ke dalam persamaan f(x) =
ax + b cx + d
ax + b cx
ax + b cx + 0
=
Grafik melalui titik (3, 0) maka f(3) = 0. ⇔
3a + b 3c
=0
3a + b = 0 ⇔ b = –3a Dengan dem ikian, diperoleh nilai a = c dan b = –3a. Perbandingan a : b : c = 1 : –3 : 1. Misalkan dipilih nilai c = 1, maka: a=1 b = –3a = –3 × 1 = –3 ⇔
1
2 penyelesian
1
Dari garis bilangan tersebut diperoleh nilai p < 1. Jadi, nilai p yang memenuhi p < 1. 10. Dari gambar terlihat grafik y = f(x) memiliki asimtot datar y = 1 dan asimtot tegak x = 0. Fungsi rasional yang memiliki asimtot datar y = k dan asimtot tegak x = h memiliki persamaan ax + b cx + d
sehingga diperoleh f(x) =
.
f(3) = 0
f(x) =
a=c
dengan (cx + d)
≠ 0,
k=
a c
f(x) =
ax + b cx
=
x−3 x
Jadi, persamaan grafik fungsi rasional tersebut adalah f(x) =
x−3 x
.
, dan
h = –d. c
Matematika Kelas X
39
A.
Pilihan Ganda
1.
Jawaban: d
Ordinat titik ujung grafik: y = f(–3) 1
Perhatikan grafik pada daerah yang diarsir berikut.
= 1 – 3 × (–3) =1+1 =2 Diperoleh koordinat titik ujung (–3, 2). Di antara pilihan b, d, dan e yang grafiknya memiliki titik ujung (–3, 2) adalah pilihan b.
Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5
1
1 2 3 4 5
X
Grafik pada daerah yang diarsir merupakan grafik y = f(x) dengan daerah hasil R f = {y | y ≥ –2, y ∈ R}. Dari grafik tersebut terlihat nilai x paling kiri adalah x = –3 dan titik ujung (–3, 8) berlubang sehingga x > –3. Nilai x paling kanan adalah x = 2 dan titik (2, –2) terletak pada grafik sehingga x ≤ 2. Dengan demikian, daerah asalnya adalah Df = {x | –3 < x ≤ 2, x ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi f dengan daerah hasil Rf = {y | y ≥ –2, y ∈ R} adalah Df = {x | –3 < x ≤ 2, x ∈ R}. 2.
3.
Jawaban: c 1
Grafik f(x) = 4 – 2 x dengan Df = {x | x > 4, x ∈ R} sebagai berikut. Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1 0 –1
1
X
Jawaban: b
Daerah asal D f = {x | x < –3, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri tak hingga dan titik ujung paling kanan berabsis –3 berlubang. Grafik yang memiliki titik ujung paling kiri tak hingga dan titik ujung paling kanan berabsis –3 berlubang adalah pilihan b, d, dan e.
62
Jadi, sketsa grafik fungsi linear f(x) = 1 – 3 x dengan daerah asal D f = {x | x < –3, x ∈ R} adalah pilihan b.
Ulangan Tengah Semester
Dari gambar terlihat, grafik tidak memotong sumbu X dan sumbu Y. 1
Grafik 4 – 2 x dengan Df = {x | –2 ≤ x < 2, x ∈ R} sebagai berikut.
Y
Diperoleh titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, 4). Di antara grafik pada pilihan a, b, dan c yang memotong sumbu Y di titik (0, 4) adalah pilihan a dan c.
5 4
g
3 2 1
3)
–3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
X
1
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu Y. 1
Grafik f(x) = 4 – 2 x dengan Df = {x | x > 4, x ∈ R} sebagai berikut. Y
5. Jawaban: e Diketahui g(x) =
2
dengan x ≠ 1.
–1 0 –1
1 2
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
X
–3
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X. Jadi, fungsi linear yang grafiknya memotong 1
sumbu X adalah f(x) = 4 – 2 x dengan Df = {x | x > 4, x ∈ R}. 4. Jawaban: a Diketahui f :
1 x→ 2
x + 2, maka f(x) =
1 2
x + 2 dan
1
f2(x) = ( 2 x + 2)2. 2
Fungsi kuadrat y = f (x) =
1 (2
2
x + 2) dapat
diubah menjadi bentuk berikut. 1
y = f2(x) = ( 2 x + 2)2
2 memiliki x −1
=
2 x −1
asimtot datar
y = 0 dan asimtot tegak x = 1. Grafik yang memiliki asimtot datar y = 0 dan asimtot tegak x = 1 adalah pilihan c, d, dan e. Menyelidiki titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional g(x) =
2 . x −1
x
–1
0
2
3
y = g(x)
–1
–2
2
1
Diperoleh koordinat titik (–1, –1), (0, –2), (2, 2), dan (3, 1). Sketsa grafik yang melalui titik (–1, –1), (0, –2), (2, 2), dan (3, 1) adalah pilihan e. Jadi, sketsa grafik fungsi rasional y = pilihan e.
1 g(x)
adalah
6. Jawaban: b 1
1
= ( 2 (x + 4))2 1
= ( 2 )2 (x + 4)2 1
= 4 (x + 4)2 1
Fungsi kuadrat y = 4 (x + 4)2 memiliki nilai 1
a = 4 > 0 sehingga grafiknya terbuka ke atas. Grafik yang terbuka ke atas adalah pilihan a, b, dan c. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y. Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. Untuk x = 0 diperoleh: 1
1 g(x)
(x – 1) maka
Fungsi rasional y =
–2
2)
Fungsi kuadrat y = 4 (x + 4)2 memiliki titik puncak (–4, 0). Di antara grafik pada pilihan a dan c yang memiliki titik puncak (–4, 0) adalah pilihan a. Jadi, sketsa grafik y = f2(x) adalah pilihan a.
3
1
1)
Menentukan titik puncak grafik.
y = ( 2 × 0 + 2)2 = (0 + 2)2 = 4
Fungsi kuadrat y = f(x) = 2 x2 + 6x + 16 memiliki 1
nilai a = 2 , b = 6, dan c = 16. Nilai a > 0 sehingga grafik terbuka ke atas. Grafik yang terbuka ke atas adalah pilihan a, b, dan c. Menentukan titik balik grafik. Misalkan grafik memiliki titik balik (x P, yP). b
xP = – 2a = –
6 2×
6
1 2
= – 1 = –6
yP = f(6) 1
= 2 × (–6)2 + 6 × (–6) + 16 1
= 2 × 36 – 36 + 16 = 18 – 20 = –2
Matematika Kelas X
63
Diperoleh koordinat titik balik (–6, –2). Di antara pilihan a, b, dan c yang grafiknya memiliki titik balik (–6, –2) adalah pilihan a dan b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 1 2 x + 6x + 2
⇔
⇔
=
0
3)
Menyelidiki titik potong grafik dengan sumbu Y.
(x + 8)(x + 4) = 0 ⇔ (x + 8) = 0 atau (x + 4) = 0 ⇔ x = –8 atau x = –4 Diperoleh koordinat titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–8, 0) dan (–4, 0). Di antara pilihan a dan b yang grafiknya memotong sumbu X yaitu (–8, 0) dan (–4, 0) adalah pilihan b.
Grafik fungsi kuadrat g(x) = 2 x2 – 6x + 20 memotong sumbu Y di titik (0, 20). Oleh karena daerah asal fungsi g adalah {x | 2 < x ≤ 8, x ∈ R} dan x = 0 tidak masuk dalam interval 2 < x ≤ 8 maka grafik y = g(x) tidak memotong sumbu Y. Dengan demikian, pernyataan 3) salah.
⇔
1 2 x + 6x + 16 2
adalah pilihan b. 7. Jawaban: c 1) Menyelidiki grafik y = g(x) definit positif. Grafik fungsi kuadrat g(x) = ax + bx + c definit positif jika nilai a > 0 dan D < 0. 1
Fungsi kuadrat g(x) = 2 (x – 6)2 + 2 dapat diubah menjadi bentuk berikut. 1
g(x) = 2 (x – 6)2 + 2 1
= 2 (x2 – 12x + 36) + 2
4)
Menyelidiki daerah hasil g(x) =
x
2
4
6
8
y = g(x)
10
4
2
4
Daerah asal D f = {x | 2 < x ≤ 8, x ∈ R} sehingga titik ujung berabsis 2 berlubang dan titik ujung berabsis 8 tidak berlubang. Sketsa grafik fungsi y = g(x) = x2 – 10x + 21 pada daerah asal D f = {x | 2 < x ≤ 8, x ∈ R} sebagai berikut.
1
, b = –6, dan c = 20. 1 2
6
3
× 20
= 36 – 2 × 20 = 36 – 40 = –6 Fungsi kuadrat memiliki nilai a > 0 dan D < 0 sehingga grafiknya definit positif. Dengan demikian, pernyataan 1) benar.
64
y = g(x)
7
4
= (–6)2 – 4 ×
Menyelidiki titik balik grafik y = g(x) Titik balik grafik fungsi terletak di titik (xP, yP). b
8
5
D = b2 – 4ac
xP = – 2a = –
Y
9
Fungsi kuadrat g(x) = 2 x2 – 6x + 20 memiliki
2)
11 10
1
= 2 x2 – 6x + 20
nilai a =
1 2 x – 6x + 20. 2
Beberapa titik bantu yang melalui grafik fungsi g(x) = x2 – 10x + 21 pada daerah asal Df = {x | 2 < x ≤ 8, x ∈ R} sebagai berikut.
1
= 2 x2 – 6x + 18 + 2
1 2
(6 – 6)2 + 2
1
0
Jadi, sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) =
1 2
=0+2 =2 Fungsi kuadrat memiliki nilai a > 0 maka grafik terbuka ke atas sehingga y P = 2 merupakan nilai balik minimum. Dengan demikian, pernyataan 2) salah.
16 = 0
1 2 (x + 12x + 32) = 2 1 (x + 8)(x + 4) = 2
⇔
yP = f(6)
−6 1 2× 2
=
Ulangan Tengah Semester
6 1
= 6
2 1 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
X
Dari gambar diperoleh nilai y = g(x) terendah adalah y = 2 dan titik (6, 2) pada grafik sehingga y ≥ 2. Nilai y = g(x) tertinggi adalah y = 10 dan titik ujung (2, 10) berlubang sehingga y < 10.
Dengan demikian, daerah hasil fungsi g adalah {y | 2 ≤ y < 10, y ∈ R}. Dengan demikian, pernyataan 4) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah 1) dan 4). 8. Jawaban: b Dari gambar terlihat grafik terbuka ke atas sehingga nilai a > 0. Grafik memotong sumbu Y negatif sehingga nilai c < 0. Titik balik (xP, yP) grafik di berada kiri sumbu Y sehingga xP < 0. b
xP = – 2a
⇔ b
Pembuat nol: ⇔
(3p – 4)(p – 4) = 0 (3p – 4) = 0 atau (p – 4) = 0 4
p = 3 atau p=4 Penyelesaian (3p – 4)(p – 4) > 0 dalam bentuk diagram sebagai berikut. ⇔
= –2a × xP
9. Jawaban: e Dari f(x) = px2 + (2p + 4)x + 8 + a = p, b = (2p + 4), dan c = (8 +
p diperoleh 4 p ). 4
nilai
Dari gambar terlihat grafik terbuka ke bawah sehingga nilai a < 0. a<0⇔p<0 Penyelesaian p < 0 dalam bentuk diagram sebagai berikut. 0
. . . (1)
Grafik memotong sumbu Y negatif sehingga nilai c < 0. p
p
c < 0 ⇔ 8 + 4 < 0 ⇔ 4 < –8 ⇔ p < –32 Penyelesaian p < –32 dalam bentuk diagram sebagai berikut. . . . (2)
32
0
⇔ ⇔
–32 4 3
4 penyelesaian
–32
Dari diagram di atas diperoleh nilai p < –32. Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p < –32. 10. Jawaban: a Dari gambar terlihat grafik memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (5, 0) sehingga persamaan grafiknya adalah y = f(x) = a(x + 4)(x – 5). Grafik melalui titik (2, –9) sehingga f(2) = –9. f(2) = –9 a(2 + 4)(2 – 5) = –9 ⇔ a × 6 × (–3) = –9 ⇔ –18a = –9 ⇔ 1
a= 2
⇔
1
Substitusikan nilai a = 2 ke dalam persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = a(x + 4)(x – 5) sehingga diperoleh: y = f(x) 1
Grafik memotong sumbu X di dua titik sehingga D > 0. D = b2 – 4ac > 0
⇔
4
Irisan penyelesaian (1), (2), dan (3) sebagai berikut.
Nilai a > 0 dan nilai x P < 0 sehingga (2a × xP) < 0 karena perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif. Dengan demikian, b = –2a × x P > 0 (negatif dari bilangan negatif adalah bilangan positif). Jadi, nilai grafik fungsi kuadrat pada gambar tersebut memiliki nilai a > 0, b > 0, dan c < 0.
⇔
. . . (3)
4 3
p
(2p + 4)2 – 4p(8 + 4 ) > 0 4p2 + 16p + 16 – 32p – p2> 0 3p2 – 16p + 16 > 0 (3p – 4)(p – 4) > 0
= 2 (x + 4)(x – 5) 1
= 2 (x2 – x – 20) 1
1
= 2 x2 – 2 x – 10 1
1
Jadi, persamaan grafik adalah y = 2 x2 – 2 x – 10.
Matematika Kelas X
65
11. Jawaban: c Persamaan kuadrat h(t) = 30t – t 2 memiliki nilai a = –1, b = 30, dan c = 0. Peluru mencapai tinggi maksimun di titik (t P, hP). tP = waktu peluru mencapai tinggi maksimum b 2a 30 – 2 × (−1) 30 2
tP = – = =
Nilai x paling kanan adalah x = 10 dan titik ujung (10, 2) berlubang sehingga x < 10. Grafik tidak memiliki nilai di x ≠ 5. Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | –∞ < x < 10, x ≠ 5, x ∈ R} atau {x | x < 10, x ≠ 5, x ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik fungsi adalah {x | x < 10, x ≠ 5, x ∈ R}. 14. Jawaban: b Diketahui f: x →
= 15
Jadi, peluru mencapai tinggi maksimun pada detik ke-15. 12. Jawaban: e Misalkan: x = panjang bingkai hiasan dan y = lebar bingkai Sketsa bingkai hiasan sebagai berikut.
1− x 2x − 4
1− x 2x − 4
Fungsi rasional f(x) =
y = –2 dan asimtot tegak x = 1. Grafik yang memiliki asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = 1 adalah pilihan a, b, dan c. Menyelidiki titik-titik yang dilalui grafik fungsi
y
2x − 4 1− x
.
x
–1
0
2
3
y = f(x)
–3
–4
0
–1
Keliling bingkai hiasan = panjang bingkai ⇔ 2 × (x + y) = 160 ⇔ x + y = 80 ⇔ y = 80 – x
Diperoleh koordinat titik (–1, –3), (0, –4), (2, 0), dan (3, –1). Sketsa grafik yang melalui titik (–1, –3), (0, –4), (2, 0), dan (3, –1) adalah pilihan b.
Luas bingkai = panjang × lebar =x×y = x × (80 – x) = 80x – x2 L(x) merupakan fungsi kuadrat yang mempunyai nilai a = –1, b = 80, dan c = 0. Fungsi L(x) mencapai maksimun di titik (x P, yP). yP = luas bingkai hiasan maksimum
Jadi, sketsa grafik fungsi rasional y =
D
yP = −4a =
802 − 4 × (− 1) × 0 −4 × (−1)
=
6.400 4
= 1.600 Jadi, luas maksimum bingkai hiasan tersebut adalah 1.600 cm2. 13. Jawaban: d Dari grafik terlihat nilai x paling kiri adalah tak hingga sehingga x > – ∞.
66
2x − 4 1 = dengan x ≠ 1. 1− x f(x) 2x − 4 memiliki asimtot datar 1− x
dengan x ≠ 2 dan
rasional y = f(x) =
x
dengan x ≠ 2, maka f(x) =
Ulangan Tengah Semester
f(x) =
1− x 2x − 4
1 dengan f(x)
adalah pilihan b.
15. Jawaban: e Penyebut fungsi rasional f(x) =
3x − 2 x
adalah x
sehingga asimtot tegak grafik adalah x = 0. Dengan demikian, pernyataan 3) benar. Grafik y = f(x) memiliki asimtot tegak x = 0 sehingga daerah asal grafik adalah D g = {x | x ≠ 0, x ∈ R}. Dengan demikian, pernyataan 1) salah. Koefisien × pembilang fungsi f adalah 3 dan koefisien × penyebut adalah 1 sehingga asimtot datar grafik adalah y =
koefisien × pembilang koefisien × penyebut
=
3 1
= 3.
Dengan demikian, pernyataan 4) benar. Grafik y = f(x) memiliki asimtot datar y = 3 sehingga daerah hasil grafik adalah R f = {y | y ≠ 3, y ∈ R}. Dengan demikian, pernyataan 2) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah 3) dan 4).
16. Jawaban: c (f + g)(x) = f(x) + g(x)
20. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 5)
5 x +x−2
3 x+2
+
=
3 x+2
+
=
3(x − 1) 5 + (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1)
=
3x − 3 + 5 (x + 2)(x − 1)
=
3x + 2 (x + 2)(x − 1)
=
3x + 2 x +x−2
=
2
=
5 (x + 2)(x − 1)
=
x+5
Jadi, rumus fungsi (g ° f)(x) = x + 4 ; x ≠ –4.
2
Jadi, rumus fungsi (f + g)(x) =
3x + 2 x2 + x − 2
, x ≠ 1, x ≠ –2.
17. Jawaban: a
21. Jawaban: b Misalkan: t = x + 1 sehingga x = t – 1. f(x + 1) = 8x + 5 f(t) = 8(t – 1) + 5 ⇔ f(t) = 8t – 8 + 5 ⇔ f(t) = 8t – 3 ⇔ ⇔ f(x) = 8x – 3 (f g)(x) = 24x + 29 ⇔ f(g(x)) = 24x + 29 ⇔ 8g(x) – 3 = 24x + 29 ⇔ 8g(x) = 24x + 32 ⇔ g(x) = 3x + 4 Jadi, rumus fungsi g(x) = 3x + 4.
g(x) ⎛g⎞ ⎜ h ⎟ (x) = h(x) ⎝ ⎠ x 2 + 9x + 20 = −x − 4
=
x+5 (x + 5) − 1 x+5 x+4
(x + 4)(x + 5) −(x + 4)
= –(x + 5) = –x – 5 Jadi, rumus fungsi –x – 5. 18. Jawaban: b h(x) = (f × g)(x) = f(x) × g(x) = (2x – 1) × (3x + 4) = 6x2 + 8x – 3x – 4 = 6x2 + 5x – 4 h(x – 1) = 6(x – 1)2 + 5(x – 1) – 4 = 6(x2 – 2x + 1) + 5x – 5 – 4 = 6x2 – 12x + 6 + 5x – 9 = 6x2 – 7x – 3 Jadi, rumus fungsi h(x – 1) = 6x 2 – 7x – 3. 19. Jawaban: d (f g)(x) = f(g(x)) = f(–x + 3) = (–x + 3) 2 + 5(–x + 3) + 4 = x2 – 6x + 9 – 5x + 15 + 4 = x2 – 11x + 28 Jadi, rumus (f g)(x) = x 2 – 11x + 28.
22. Jawaban: c (g h)(x) =
2x 2 − 11 x2 − 2
g(h(x)) =
2x 2 − 11 x2 − 2
⇔
2h(x) − 5 h(x) + 1
⇔
2x 2 − 11 x2 − 2
=
(2h(x) – 5)(x 2 – 2) = (h(x) + 1)(2x2 – 11) 2 2 ⇔ 2h(x)x – 4h(x) – 5x + 10 = 2x2h(x) – 11h(x) + 2x2 – 11 ⇔ –4h(x) + 11h(x) = 5x2 – 10 + 2x2 – 11 ⇔ 7h(x) = 7x2 – 21 ⇔ h(x) = x2 – 3 Jadi, rumus fungsi h(x) = x 2 – 3. ⇔
23. Jawaban: d (f g h)(x) = f(g(h(x)))
2x + 1
= f(g( x
))
2x + 1 2
= f(( x = f(
))
4x 2 + 4x + 1 ) x2
= 4(
4x 2 + 4x + 1 ) x2
–5
Matematika Kelas X
67
=
16x2 + 16x + 4 x2
–
⇔
2xy – 5x = –y + 8 x(2y – 5) = –y + 8
⇔
x=
⇔
5x 2 x2
2
=
11x + 16x + 4 x2
Jadi, rumus komposisi (f g h)(x) =
11x 2 + 16x + 4 x2
;
x ≠ 0. 24. Jawaban: e (h g f)(x) = 25x2 – 60x + 43 ⇔ h(g(f(x))) = 25x2 – 60x + 43 ⇔ h(g(5x – 6)) = 25x2 – 60x + 43 ⇔ h((5x – 6)2 + 3) = 25x2 – 60x + 43 2 2 ⇔ h(25x – 60 x + 39) = 25x – 60x + 43
Misalkan: t = 25x2 – 60x + 39 h(25x2 – 60 x + 39) = 25x2 – 60x + 43 ⇔ h(t) = (25x2 – 60x + 39) + 4 ⇔ h(t) = t + 4 ⇔ h(x) = x + 4 Jadi, rumus fungsi h(x) = x + 4.
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
y = x+2 y(x + 2) = 5x – 6 xy + 2y = 5x – 6 xy – 5x = –2y – 6 x(y – 5) = –2y – 6 x= f –1(y) =
−x + 8
27. Jawaban: a (g f)–1(x) = x – 1 –1 ⇔ (f g–1)(x) = x – 1 –1 –1 ⇔ f ((g )(x)) = x – 1 ⇔ 3g–1(x) + 5 = x – 1 3g–1(x) = x – 6 ⇔
−2y − 6 y −5 −2y − 6 y −5
⇔ ⇔
x=
⎛ 2x + 1 ⎞
x−5
y = 3 ⎜ 2x + 1 ⎟ – 2x + 1 ⎝ ⎠ x−5
⇔
y = 2x + 1 – 2x + 1
⇔
y=
6x + 3 − x + 5 2x + 1
y=
5x + 8 2x + 1
Ulangan Tengah Semester
x+5
f –1(x) = 3x − 2 4
−2x − 6
y(2x + 1) = 5x + 8 2xy + y = 5x + 8
y+5 3y − 2
Diketahui f–1(a) = – 5 sehingga:
f –1(x) = x − 5
6x + 3
2x + 5
y = 3x − 1 (3x – 1)y = 2x + 5 3xy – y = 2x + 5 3xy – 2x = y + 5 x(3y – 2) = y + 5
⇔
x−5
68
.
2x + 5
⇔
y = 3 – 2x + 1
⇔
x−6 3
28. Jawaban: d
⇔
26. Jawaban: b Misalkan: y = f(x).
⇔
x−6 3
Jadi, invers fungsi g adalah g –1(x) =
a+5 3a − 2
−2x − 6
⇔
g–1(x) =
⇔
⇔
Jadi, invers dari f(x) adalah f –1(x) = x − 5 ; x ≠ 5.
⇔
5
Jadi, invers fungsi f adalah f –1(x) = 2x − 5 ; x ≠ 2 .
⇔
5x − 6
⇔
−x + 8
f –1(x) = 2x − 5
⇔
f(x) = 3x − 1
25. Jawaban: a Misalkan: y = f(x).
⇔
−y + 8 2y − 5
4
= –5
5(a + 5) = –4(3a – 2) ⇔ 5a + 25 = –12a + 8 17a = –17 ⇔ ⇔ a = –1 Jadi, nilai a = –1. ⇔
29. Jawaban: c Diketahui f(x) = 0,9x dan (g f)(x) = 0,72x. (g f)(x) = 0,72x ⇔ g(f(x)) = 0,72x ⇔ g(0,9x) = 0,72x
9
Misalkan: t = 0,9x = 10 x sehingga: 9
t = 10 x ⇔
10
x= 9 t
g(0,9x) = 0,72x 72
3
Substitusikan nilai a = – 4 ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh:
10
⇔
g(t) = 100 × 9 t
⇔
g(t) = 10 t
3
b = –6 × (– 4 ) =
8
Substitusikan nilai a = – 4 dan b =
3
g(x) = 10 x ⇔ g(x) = 0,8x Jadi, rumus g(x) adalah g(x) = 0,8x. ⇔
⇔
x=
⇔
f –1(y) = –1
f (x) = –1
Jadi, f (x) =
3
diperoleh g(x) = – 4 x +
a.
b.
ke
3
18 4
adalah g(x) = – 4 x + 2.
a.
y − 2.200.000 3.000 y − 2.200.000 3.000 x − 2.200.000 3.000 x − 2.200.000 . 3.000
a=
.
1 4
Substitusikan nilai a =
Bentuk umum fungsi linear adalah g(x) = ax + b dengan a ≠ 0. Dari gambar terlihat grafik melalui titik (2, 3) dan (6, 0) sehingga g(2) = 3 dan g(6) = 0. g(2) = 3 ⇔ 2a + b = 3 . . . (1) g(6) = 0 ⇔ 6a + b = 0 b = –6a . . . (2) ⇔ Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh:
.
Dari gambar terlihat grafik memiliki titik balik (–2, –4) sehingga persamaan grafiknya adalah y = f(x) = a(x – (– 2)) 2 – 4 = a(x + 2) 2 – 4. Grafik melalui titik (0, –3) sehingga f(0) = –3. f(0) = –3 2 ⇔ a(0 + 2) – 4 = –3 4a = 1 ⇔ ⇔
Dari gambar terlihat, nilai x paling kiri adalah x = 2 dan titik ujung (2, 3) berlubang sehingga x > 2. Nilai x paling kanan adalah tak hingga sehingga x < + ∞ . Dengan demikian, daerah asal grafik adalah {x | 2 < x < –∞, x ∈ R} atau {x | x > 2, x ∈ R}. Dari gambar terlihat, nilai y terendah adalah negatif tak hingga sehingga x > – ∞. Nilai y tertinggi adalah y = 3 dan titik ujung (2, 3) berlubang sehingga y < 3. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah {y | – ∞ < y < 3, y ∈ R} atau {y | y < 3, y ∈ R}. Jadi, daerah asal grafik adalah {x | x > 2, x ∈ R} dan daerah hasilnya {y | y < 3, y ∈ R}.
18 4
Jadi, persamaan grafik fungsi linear tersebut
1 4
ke dalam persama-
an fungsi kuadrat y = f(x) = a(x + 2) 2 – 4 sehingga diperoleh: y = f(x) = a(x + 2)2 – 4
B. Uraian
1.
18 4
dalam persamaan g(x) = ax + b sehingga
30. Jawaban: e Diketahui f(x) = penghasilan karyawan. f(x) = gaji pokok + komisi penjualan = 2.200.000 + 3.000x Misalkan y = f(x). y = 2.200.000 + 3.000x ⇔ 3.000x = y – 2.200.000
⇔
18 4
8
b.
=
1 4
(x2 + 4x + 4) – 4
=
1 4
x2 + x + 1 – 4
=
1 4
x2 + x – 3
Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0. f(x) = 0 1 2 x + 4
⇔
1 4
⇔
1 4
⇔
⇔
1 4
x– 3= 0
(x2 + 4x – 12) = 0 (x + 6)(x – 2) = 0
(x + 6) = 0 atau (x – 2) = 0
x = –6 atau x =2 Diperoleh titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–6, 0) dan (2, 0). Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (–6, 0) dan (2, 0). ⇔
3
2a + (–6a) = 3 ⇔ –4a = 3 ⇔ a = – 4
Matematika Kelas X
69
3. a. b.
Nilai a < 0 sehingga grafik terbuka ke atas. Menentukan letak koordinat titik balik (xP, yP). b
100 cm
Absis titik balik xP = – 2a . b
Nilai a < 0 dan nilai b > 0 sehingga 2a < 0 karena pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif. b
Dengan demikian, xP = – 2a > 0 (negatif dari bilangan negatif adalah bilangan positif). Nilai xP > 0 sehingga koordinat titik balik berada di kanan sumbu Y. c.
75 cm 150 cm
Jadi, ukuran setiap persegi panjang agar luas bangun maksimum adalah panjang 100 m dan lebar 75 cm. 5. a.
Dari grafik terlihat, ketika x → –∞, y → 0 dan ketika x → +∞ menyebabkan y → 0. Dengan demikian, y = 0 merupakan asimtot datar. Ketika x → 2–, y → +∞. ketika x → 2+, y → –∞. Dengan demikian, x = 2 merupakan asimtot tegak. Jadi, asimtot datar grafik fungsi rasional tersebut adalah y = 0 dan asimtot tegaknya x = 2.
b.
Grafik memiliki asimtot datar y = 0 sehingga persamaan grafik memiliki bentuk y = h(x)
Nilai c < 0 sehingga grafik memotong sumbu Y negatif.
Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c sebagai berikut. Y
0
X
xP
yP
=
b
– a = 2 ⇔ b = –2a
f(0) = 2
nilai a = –
3 2
,
Fungsi L mencapai maksimum di titik (x P, yP). b 2a
= –
300
( )
2× −
k a×0+b k ⇔ b ⇔
3 2
=
300 3
= 100
3
yP = 300 – 2 xP 3
= 300 – 2 × 100 = 300 – 150 = 150 Dengan demikian, diperoleh ukuran bangun sebagai berikut.
Ulangan Tengah Semester
=2 . . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh b = –2a dan k = 2b. Misalkan dipilih nilai a = 1, maka diperoleh: b = –2 × 1 = –2 k = 2 × (–2) = –4 Substitusikan nilai a = 1, b = –2, dan k = –4 ke dalam persamaan y = h(x) = diperoleh y = h(x) =
−4 x−2
k ax + b
sehingga
.
Jadi, persamaan grafik fungsi rasional tersebut adalah y = h(x) =
70
=2
k = 2b
⇔
3 2 x memiliki 2
b = 300, dan c = 0.
xP = –
. . . (1)
Grafik melalui titik (0, 2) sehingga f(0) = 2.
3 x(300 – 2 x) 3 300x – 2 x2
Fungsi L = 300x –
k ax + b
b
3
=
dengan (ax + b) ≠ 0.
memiliki asimtot tegak x = – a sehingga diperoleh:
y = 300 – 2 x Luas bangun: L = xy =
k ax + b
Grafik fungsi rasional berbentuk h(x) =
4. Panjang kawat = 600 meter maka: 3x + 2y = 600 ⇔ 2y = 600 – 3x ⇔
75 cm
−4 x−2
.
6. a.
b.
(g – f)(x) = (x + 4) – (x2 – x – 20) = –x2 + 2x + 24 Jadi, rumus (g – f)(x) = –x2 + 2x + 24. g f
x+4 x − x − 20
=
x+4 (x + 4)(x − 5)
2
b.
=
1 ; x−5
8. a.
g(f(x)) =
⇔
g(4x – 17) =
x ≠ 5.
x=
⇔
⇔
g(t) = g(t) =
( ) − 16 t +17 4
1 (t + 17) − 16
=
5x − 9 x2 − 3
= f(
5x − 9 x2 − 3
= 5(
)
5x − 9 x2 − 3
)–9
=
25x − 45 – x2 − 3
9
=
25x − 45 – x2 − 3
9(
=
25x − 45 9x 2 − 27 – x2 − 3 x2 − 3
=
−9x 2 + 25x − 18 x2 − 3
x2 − 3 x2 − 3
3
5(2x − 1)
3
10x − 5
⇔
f(x) = 2x − 1 + 2x − 1
⇔
f(x) = 2x − 1 + 2x − 1
⇔
f(x) = 2x − 1
10x − 2
y−2 2y − 10
⇔
=
1 f( x + 1 )
f –1(y) =
y−2 2y − 10
⇔
=
1 4( x + 1 )
f –1(x) = 2x − 10
⇔
1
⇔ ⇔
x ≠ –1.
1 ; x +1
(f g)(x) = f(g(x))
– 17
.
10x − 2
x=
g(x) = x + 1
−9x 2 + 25x − 18 x2 − 3
3
⇔
⇔
)
f(x) = 2x − 1 + 5
⇔
g(t) = t + 1
.
⇔
1
⇔
5x − 9 x2 − 3
(f h)(x) = f(h(x))
y = 2x − 1 y(2x – 1) = 10x – 2 2xy – y = 10x – 2 2xy – 10x = y – 2 x(2y – 10) = y – 2
Jadi, rumus fungsi g adalah g(x) = c.
b.
9. a.
1 4
f(x) g(x)
Jadi, rumus fungsi (f ° h)(x) =
1 4x − 16
x ≠ –1.
Jadi, rumus fungsi h adalah h(x) =
1 4x − 16 1 4x − 16
t + 17 4
g(4x – 17) =
−17x − 13 ; x +1
f
=
Misalkan: t = 4x – 17 sehingga: t = 4x – 17 ⇔ 4x = t + 17 ⇔
−17x − 13 x +1
h(x) = ( g )(x)
1 4x − 16
⇔
17x + 17 x +1
Diketahui f(x + 2) = 4x – 9. Misalkan: t = x + 2 sehingga x = t – 2 f(x + 2) = 4x – 9 ⇔ f(t) = 4(t – 2) – 9 ⇔ f(t) = 4t – 8 – 9 ⇔ f(t) = 4t – 17 ⇔ f(x) = 4x – 17 Jadi, rumus fungsi f adalah f(x) = 4x – 17. (g f)(x) =
4
Jadi, rumus (f g)(x) =
1 x−5 g f
17(x + 1) x +1
= x + 1 –
=
Jadi, rumus ( )(x) =
4
= x + 1 –
g(x) f(x)
( )(x) =
=
7. a.
4
= x + 1 – 17
x−2
x−2
Jadi, inversnya adalah f –1(x) = 2x − 10 ; x ≠ 5.
Matematika Kelas X
71
b.
1
b.
3
f(x) = 2x − 5 + −8x + 20
⇔
⇔
f(x) =
−4 + 3 −8x + 20
4y = 3x3
⇔
f(x) =
−1 −8x + 20
x3 = 3
−1 −8x + 20
y=
⇔
–8xy + 20y = –1 –8xy = –20y – 1
⇔
x=
−20y − 1 −8y
⇔
x=
20y + 1 8y
⇔
f –1(y) =
20y + 1 8y
⇔
f –1(x) =
20x + 1 8x –1
Jadi, inversnya adalah f (x) = 10. a.
c.
=
x2 2 3x 4
20x + 1 ; 8x
⇔
x=
3
4y 3
⇔
V–1(y) =
3
4y 3
⇔
V–1(x) =
3
4x 3
Jadi, inversnya adalah V –1(x) =
⇔
V–1(y) = x, diperoleh:
V–1(y) = x ⇔
V–1(y) =
3
4y 3
⇔
V–1(48) =
3
4 × 48 3
⇔
x=
3
3x
3
Ulangan Tengah Semester
64
x=4 Jadi, nilai x = 4 cm. ⇔
3x 3 4
.
3
4x 3
.
Diketahui volume balok 48 cm 3. Dengan pengertian invers
x ≠ 0.
× 2
Jadi, rumus fungsinya adalah V(x) =
72
4y
V(x) = y
V(x) = (f × g)(x) = f(x) × g(x) =
3x 3 4
⇔
⇔
⇔
y=
3 1× (−4) + −4(2x − 5) −8x + 20
f(x) =
⇔
Misalkan y = V(x).
Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. menjelaskan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku; 2. menjelaskan perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran; 3. menjelaskan perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut berelasi; 4. menjelaskan aturan sinus dan kosinus; 5. menjelaskan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan; 6. menjelaskan perubahan grafik fungsi trigonometri akibat perubahan konstanta pada fungsi y = a sin b(x + c) + d; 7. menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri; dan 8. menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aturan sinus dan kosinus. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu: 1. bersikap teliti, cermat, dan hati-hati dalam menyelesaikan masalah kontekstual; 2. bertanggung jawab dan saling menghargai terhadap proses penyelesaian yang berbeda dan kreatif.
Trigonometri Mempelajari
Ukuran Sudut dan Perbandingan Trigonometri
Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Berelasi
Meliputi •
•
Ukuran Sudut Perbandingan Trigonometri pada Segitiga SikuSiku Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Meliputi •
•
•
•
•
•
R el asi Sud ut a dengan Sudut (90° ± a) R el asi Sud ut a dengan Sudut (180° ± a) R el asi Sud ut a dengan Sudut (270° ± a) R el asi Sud ut a dengan Sudut (360° ± a) R el asi Sud ut a dengan Sudut (–a) R el asi Sud ut a dengan Sudut (a + k × 360°)
Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga
Identitas Trigonometri
Meliputi • • • •
Identitas Kebalikan Identitas Perbandingan I de nt it as Py th agoras Pembuktian Identitas Trigonometri
Grafik Fungsi Trigonometri
Meliputi • • •
Aturan Sinus Aturan Kosinus Luas Segitiga
Meliputi • •
•
F un gs i Tr ig on ometri U ns ur -U ns ur Fungsi Trigonometri Grafik Fungsi Trigonometri
Mampu • • • • •
Menjelaskan tentang perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Menjelaskan aturan trigonometri yang berlaku pada segitiga sebarang. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan trigonometri pada segitiga siku-siku dan segitiga sebarang. Matematika Kelas X Aktif dalam berdiskusi dan bekerja sama dalam menyelesaikan masalah. Bersikap teliti, cermat, dan hati-hati dalam menyelesaikan permasalahan konsep perbandingan trigonometri.
73
5. Jawaban: c Perbandingan trigonometri pada segitiga PQR tersebut sebagai berikut.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d 1 rad = 3 π rad 4
180° sehingga: π 3
= 4 π × 3
=
4
1
180° π
× 180 °
sin α =
(i)
(ii) cotan α = 45
= 3 × 45° = 135°
QR depan = PQ samping
(iv) sec β =
PR miring = PQ samping
Jadi, pernyataan yang benar adalah (i), (iii), dan (v).
π rad 180 2
Jadi, 72° =
PR miring = QR depan
(v) cosec β =
2. Jawaban: b
72° = 72 ×
QR samping = PQ depan
(iii) tan β =
3
Jadi, sudut 4 π rad = 135°.
1° =
PQ depan = PR miring
π 5
rad =
180 2 π rad. 5
6. Jawaban: b Dari koordinat titik P (12, 5) dapat dibuat segitiga siku-siku POQ berikut.
2 π rad 5
Y
3. Jawaban: b Sudut di kuadran I terletak di antara 0° dan 90°. Sudut di kuadran II terletak di antara 90° dan 180°. Sudut di kuadran III terletak di antara 180° dan 270°. Sudut di kuadran IV terletak di antara 270° dan 360°. (i) Sudut α = 125° nilainya di antara 90° dan 180° sehingga terletak di kuadran II. Pernyataan (i) benar. (ii) Sudut β = 215° nilainya di antara 180° dan 270° sehingga terletak di kuadran III. Pernyataan (ii) salah. (iii) Sudut γ = –100° sama dengan sudut 260°. Nilainya di antara 180° dan 270° sehingga terletak di kuadran III. Pernyataan (iii) benar. (iv) Sudut θ = –30° sama dengan sudut 330°. Nilainya di antara 270° dan 360° sehingga terletak di kuadran IV. Pernyataan (iv) salah. Jadi, pernyataan yang benar adalah (i) dan (iii).
P(12, 5) 5 a O
sin a =
2 depan = 3 miring
cos a =
samping = miring
5 3
tan a =
depan = samping
2 5
= ×
1 3 5 5
5 =
2 5
5
Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c.
OQ2 + PQ2
OP = =
122 + 52
=
144 + 25 =
Jadi, nilai sin α =
Trigonometri
5 . 13
7. Jawaban: e Segitiga KLM segitiga siku-siku sehingga berlaku:
KM2 − LM2 2
=
( 2 13 ) − 42
=
52 − 16 =
cos K = =
36 = 6
samping miring KL 6 = KM 2 13
Jadi, nilai cos K =
74
169 = 13
PQ 5 depan = = OP 13 miring
sin a =
KL =
4. Jawaban: c
X
Q
12
=
3 13
3 13
13 .
×
13 13
=
3 13
13
8. Jawaban: c cos θ =
Pada segitiga OQR diperoleh: OR2 = QR2 – OQ2 = 169 – (15 – x)2
samping 2 = miring 3
Jika sisi samping = 2 maka sisi samping = 3. Segitiga tersebut dapat disajikan kembali seperti berikut. C
p
5
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 64 – x2 = 169 – (15 – x)2 ⇔ 64 – x2 = 169 – (225 – 30x + x2) ⇔ 64 – x2 = 169 – 225 + 30x – x2 ⇔ 64 – x2 = –56 + 30x – x2 ⇔ 64 = –56 + 30x ⇔ 30x = 64 + 56 30x = 120 ⇔ ⇔ x=4
=
p2 − 5 2
Untuk x = 4 maka panjang OR: OR2 = 64 – x2 = 64 – 42 = 64 – 16 = 48 OR2 = 48
=
p2 − 25
⇔ OR = 48
θ
A
B
AB =
AC2 − BC2
cos θ =
Oleh karena cos θ =
2 3
, diperoleh:
p2 − 25 p
=
2 3
⇔
2 3 p − 25 = 2p
⇔
2 (3 p − 25 )2 = (2p)2
9(p2 – 25) = 9p2 – 225 = 5p2 – 225 = 5(p2 – 45) =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
p = – 45 atau p = 45
⇔
p = –3 5 atau p = 3 5
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 3 5 . 9. Jawaban: a Berdasarkan ukuran segitiga PQR, terlihat bahwa segitiga tersebut bukan siku-siku. Hal ini ditunjukkan dengan 82 + 132 ≠ 15 2. Oleh karena itu, diperlukan garis bantu yaitu garis tinggi OR seperti berikut. R
x
=
4 13
3
3.
10. Jawaban: e Y M
4
–5 K
0
3
–2
L
X
Terbentuk segitiga KLM siku-siku di K. KL = 8 satuan KM = 6 satuan LM =
KL2 + KM2 =
82 + 62
=
64 + 36
=
100 = 10 satuan
cos L =
samping miring
=
KL 8 4 = = LM 10 5
KL 8 4 depan = = = KM 6 3 samping 4 4 cos L = dan tan M = . 5 3
tan M = Jadi,
P
4 13
Jadi, nilai sin Q =
4p2 4p2 0 0
5(p – 45)(p – 45 ) = 0
13
8
depan OR 4 3 = = miring QR 13
sin Q =
p2 − 25 p
samping = miring
. . . (2)
11. Jawaban: c Perhatikan segitiga istimewa berikut. O
(15 – x)
Q
Misalkan panjang PO = x cm maka panjang OQ = (15 – x) cm. Pada segitiga POR diperoleh: OR2 = PR2 – PO2 = 64 – x2 . . . (1)
60°
2
1
1
45°
3
30° 3
45° 1
Matematika Kelas X
75
samping miring
cos 60° =
samping = depan
cotan 30° = sin 45° = 3
1
depan = miring
cos2 60°
14. Jawaban: c
1 2
=
2
3 1
2
cotan2 30°
+2
= 2
×
3
–5
sin2 45°
1
3 + 4
1 3 24 = + 2 4 4
6–5×
–
⇔
2 2
=
2 2 ) 2
= 3 × ( )2 + 2 × ( 3 )2 – 5 × ( 2 =
1 2
x 6
3 =
6
x 1 2
3
⇔
x = 6×
⇔
x = 3 3 m
60°
Jadi, jarak ujung tangga dan permukaan tanah
10 17 = 4 4
3 3 m.
Jadi, nilai dari (3 cos2 60° + 2 cotan2 30° – 5 sin245°) =
x 6
sin 60° =
15. Jawaban: b C
17 . 4
12. Jawaban: e 1 × 2 1 × 2
L∆DEF =
⇔
9=
⇔
DF = 6
DE =
DF × EF
E
32 + 6 2
=
9 + 36
=
45 = 3 5 3 5 1 5
=
E
1 5
5
sin α =
⇔ ⇔
p
LM
LN =
p sin α
=
LM =
LM cos β
. . . (2)
LM cos β
p sin α
Trigonometri
3 (BD + 20)
⇔
BC =
1 3
3 BD +
20 3
3
p cos β sin α
. . . (1)
BC BD
⇔
3 =
⇔
BC =
BC BD
3 BD
. . . (2)
⇔ ⇔
1 3
3 BD + 3
20
1 3
3 BD –
3 BD = –
20 3
3
2 3
3 BD = –
20 3
3
–
3 =
3 BD
−20
BD = − 2 = 10
Untuk BD = 10 m maka BC =
× cos β =
Jadi, panjang sisi LM =
76
1 3
⇔
⇔ LM sin α = p cos β ⇔
BC =
. . . (1)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: p sin α
BC BD + 20
3 =
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
sin α = LN LN =
BC AB
⇔
5.
Perhatikan segitiga MLN. cos β = LN ⇔
F
1 3
tan 60°=
13. Jawaban: d Perhatikan segitiga KLN. KN LN
tan 30°=
⇔
3
=
D
2
=
Jadi, cos E =
B
DF × 3
EF + DF
cos E =
60°
D
20 m
2
EF DE
30°
A
.
p cos β sin α
3 × BD = 10 3 m.
BE = tinggi anak = 160 cm = 1,6 m Tinggi menara = BC + BE = (10 3 + 1,6) m. Jadi, tinggi menara (10 3 + 1,6) m.
B. Uraian 1. a.
c.
b.
3. a.
b.
=
1 × 2
Satu radian = 5 π rad 12
2. a.
24
Satu putaran = 360° sehingga: 1 putaran 2
b.
D
=
180° π
5 12
1
A
360° = 180°
180° π
20
15
B
= 75°
=
152 − 122
=
225 − 144
=
81 = 9
sin α =
α 15 12
=
cos α =
AB 12 = AC 15
=
4 5
tan α =
BC AB
=
3 4
=
9 12
B
576 + 49
=
625
AC2 − AB2
=
252 − 202
=
625 − 400
=
225
sin α =
BC 15 = AC 25
=
3 5
cos α =
AB 20 = AC 25
=
4 5
tan α =
BC AB
=
3 4
15 20
=
Y
B(8, 6)
C A(4, 4) 6 4
12
D
=
= 15
A
3 5
242 + 72
BC =
4.
BC 9 = AC 15
=
= 25
45°15'12" – 23°14'34" = (45° – 23°) + (15' – 14') + (12" – 34") = (45° – 23°) + (14' – 14') + (1' + 12" – 34") = (45° – 23°) + (14' – 14') + (72" – 34") = 22° + 0' + 38" = 22°38" Jadi, hasil 45°15'12" – 23°14'34" = 22°38".
AC2 − AB2
AD2 + CD2
AC =
24°31'23" + 12°44'37" = (24° + 12°) + (31' + 44') + (23" + 37") = 36° + 75' + 60" = 36° + 60' + 15' + 1' = 36° + 1° + 15' + 1' = 37° + 16' = 37°16' Jadi, hasil 24°31'23" + 12°44'37" = 37°16'.
BC =
C
α
sehingga:
π ×
7
F
X O
4
Q
4
P
5
Perhatikan ∆OAP.
α E
OA =
OP2 + AP2
DF2 + EF 2
=
42 + 42
=
122 + 52
=
2 × 42
=
144 + 25
=4 2
=
169 = 13
DE =
sin α =
DF DE
=
12 13
cos α =
EF DE
=
5 13
tan α =
DF EF
=
12 5
sin XOA = cos XOA =
AP OA OP OA
= =
4 4 2 4 4 2
× ×
2 2 2 2
= =
1 2 1 2
2 2
Matematika Kelas X
77
Perhatikan ∆OBQ. OB =
6. a.
D
OQ2 + BQ2
=
82 + 62
=
642 + 362
=
100 = 10
sin XOB =
BQ OB
tan XOB =
BQ OQ
x 4 3
=
3 6 = 5 10
=
6 8
=
A
60°
45°
C
B
Perhatikan segitiga BCD.
3 4
sin 60° = 1 2
2 ×
a.
sin XOA × sin XOB =
b.
cos2 XOA + tan XOB = (
1 2
=
2 )2 +
1 3 + 2 4
=
3 5
= 1
3 10
CD BD
⇔
3 2
=
⇔ CD =
2
CD 4 3 3 2
× 4 3
=2×3=6
3 4
Perhatikan segitiga ACD.
1 4
sin 45° =
CD AD
⇔
5. Perhatikan segitiga siku-siku istimewa berikut.
⇔
2 2
=
AD =
6 AD 6
×
2 2
60°
2
1
3
45°
2
= 3 2
Jadi, nilai x = AD = 3 2 .
1
D
b.
45°
30°
2
1
3
30°
sin 60° = cos 30° = tan 30° =
3 2 C
3 2 1
x
×
3
cotan 45° =
a.
4
1 = 1
3 3
=
3 3
A
tan 30° =
sin2 60° + cos2 30° = (
cotan 45° +
tan2 30°
3 4
3 2 ) + 2
+
3 4
=1+( =1+
3 9
=1+
1 3
=1
1 3
(
=
Trigonometri
AB BD
3 2 ) 2 6 4
3 2 ) 3
=
⇔ ⇔
3 2
3 3
=
AB =
AB 4 4 3 3
Perhatikan segitiga ABC. tan 30° =
BC AB
⇔ ⇔
Jadi, nilai x =
4 3
3 3
=
x=
x 4 3 3
3 3
×
4 3 3
=
4 3
.
7. ∠BDA = 180° – (90 + 45)° = 45° Oleh karena ∠BDA = ∠ABD = 45° maka ∆ABD siku-siku sama kaki. Akibatnya, panjang DA = AB = 10 cm. DB =
78
B
Perhatikan segitiga ABD.
1
= b.
30°
AB2 + DA 2
=
102 + 102
=
200 = 10 2 cm
Perhatikan ∆CDB. cos ∠CDB =
⇔ cos 60° = 1 2
⇔
=
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
CD DB CD
KL tan α = NL tan β
⇔
(KN + NL) tan α = NL tan β
10 2 CD
⇔
(1 + NL) tan α = NL tan β
⇔
tan α + NL tan α = NL tan β
10 2
⇔
tan α = NL tan β – NL tan α
⇔
tan α = NL (tan β – tan α)
10 2 2
⇔
CD =
⇔
C D = 5 2 cm
⇔
NL =
Jadi, dapat ditunjukkan panjang LN = tan β − tan α satuan.
8. Perhatikan gambar berikut. C
10. Bentuk persegi ABCD beserta ukurannya disajikan seperti berikut.
15 cm
C
D
K
45° 9 cm
B
P
Perhatikan ∆APC. CP2 = AC2 – AP2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144 2 CP = 144 ⇔ CP = 12 cm
O
A
Perhatikan ∆BPC. tan B =
CP BP
⇔ tan 45° =
12 BP
⇔
12 BP
⇔
1=
panjang AC = 12p 2 . Titik O merupakan perpotongan kedua diagonal persegi sehingga sudut BOC merupakan sudut siku-siku. Titik O membagi diagonal AC menjadi dua bagian sama panjang sehingga panjang OC = 6p 2 . Oleh karena OK : KC = 1 : 2, diperoleh:
BP = 12 cm
= = =
1 × 2 1 × 2 1 × 2 1 × 2
AB × CP (AP + BP) × CP (9 + 12) × 12 21 × 12
= 126 cm2
1
BK =
BO2 + OK 2
=
(6p 2)2 + (2p 2)2
=
72p2 + 8p2 =
sin ∠KBO =
9. Perhatikan segitiga KLM.
⇔ LM = KL tan α
. . . (1)
1
OK = 1 + 2 × OC = × 6p 2 = 2p 2 3 Perhatikan segitiga BOK.
Jadi, luas segitiga ABC adalah 126 cm2. LM KL
B
12p
Garis AC merupakan diagonal persegi sehingga
Luas segitiga ABC =
tan α =
(terbukti) tan α
Jadi, panjang CD = 5 2 cm.
A
tan α tan β − tan α
OK BK
=
80p2 = 4p 5
2p 2 4p 5
Jadi, nilai sin ∠KBO =
=
1 10
1 10
10
10 .
Perhatikan segitiga NLM. tan β=
LM NL
⇔ LM = NL tan β
. . . (2)
Matematika Kelas X
79
= 2 cos 2x
A. Pilihan Ganda
Jadi, sin (
1. Jawaban: d A
α X
O
π 2
+ 2x) + sin ( – 2x) = 2 cos 2x
5. Jawaban: e cos (90° + A) + sin (180 – A) + tan (180° – A) + cotan (90° + A) = – sin A + sin A + (–tan A) + (–tan A) = –2 tan A Jadi, bentuk sederhananya adalah –2 tan A.
Y
B
π 2
6. Jawaban: a tan ( 360° − x) sin (27 0° − x) cos (−x) tan (180° + x)
x2 + y2 =
r = OA =
cos α =
OB OA
=
−6 10
(−6)2 + 82
=
36 + 64
=
100 = 10
= –
Jadi,
3 5
1 2
Y
=
22 + (−3)2
=
4+9
β O
=–
–3
13
×
13
=
13
Jadi, nilai sin β = –
Jadi, nilai cos 120° + tan 315° – sin 210° = –1. Q 2
X
3 13
3 – 13
Trigonometri
Jadi, nilai
sin (180 − 30)° + sin (180 − 60)°
= cos (180 + 30)° − cos (360 − 60)° =
sin 30° + sin 60° −cos 30° − cos 60°
=
1 1 + 2 2 1 − 3 2
3
−
sin 150° + s in 120° cos 210° − cos 300°
1 2
=
−
1 1 + 2 2 1 3 2
(
3
+
1 2
π 2
– 2x)
)
= –1
= –1.
9. Jawaban: b tan 660° – sin 900° + cos (–390)° = tan (–60° + 2 × 360°) – sin (180 + 2 × 360)° + cos 390° = tan 300° – sin 180° + cos (360 + 30)° = –tan 60° – sin 180° + cos 30° = – 3 – 0 +
1 2
3 = –
1 2
3
Jadi, tan 660° – sin 900° + cos (–390)° = – 10. Jawaban: d
+ 2x) + sin (
= cos 2x + cos 2x
80
sin 150° + s in 120° cos 210° − cos 300°
13
13 .
4. Jawaban: b π 2
8. Jawaban: e
P
3. Jawaban: d a. sin (90° – a) = cos a b. cos (90° + a) = –sin a c. sin (180° – a) = sin a d. cos (180° – a) = –cos a e. cos (270° + a) = sin a Pernyataan pada pilihan a, b, c, dan e salah. Pernyataan pada pilihan d benar. Jadi, persamaan yang benar untuk semua nilai a adalah cos (180° – a) = –cos a.
sin (
1 2
PQ OP 3
= 1.
= –1
13
Perhatikan ∆OQP. sin β =
tan ( 360 ° − x) sin (27 0° − x) cos (−x) tan (180° + x)
1
= – –1 – (– )
x2 + y2
=
−tan x (− cos x ) = cos x tan x
7. Jawaban: b cos 120° + tan 315° – sin 210° = cos (180 – 60)° + tan (360 – 45)° – sin (180 + 30)° = –cos 60° – tan 45° – (–sin 30°)
2. Jawaban: a r = OP =
=
cos 25° sin 35° sin 55° cos 145° sin 145° cos 155° cos 25° sin 35° sin 55°
= cos (90° + 55°) sin (180° − 35°) cos (180° − 25°)
1 2
3.
Jika sisi depan = 1 satuan maka sisi samping = 2 satuan.
cos 25° sin 35° sin 55°
= −sin = 1 sin 55° 55° sin sin 35°( 35°( − cos cos 25° 25°)) Jadi,
cos 25° sin 35° sin 55° cos 145° sin 145° cos 155°
C
= 1.
11. Jawaban: b a + b + c = 180° ⇔ b + c = 180° – a sehingga: sehingga:
⇔
1 (b + 2
⇔ sin
1 (b 2
c) = c)
1 (180° 2
+ c) c) = sin sin (90° (90° = cos
Jadi, nilai sin
1 (b 2
1
1 a 2
+ c) = cos
1 a. 2
1 tan (A + B)
=–
1 tan C
3
=
Jika sisi depan = = 3 satuan.
=
9−3
=
16
tan
depan miring
π ( 2
=
5
1
2 5 2 5
= =
3
– 2 ×
5
3 satuan maka sisi miring
dan cos α =
5
2 5
.
) + cos (π – α)
2 5
5
×
5
5
–
2 5
π 2
) + cos (π – α) =
5.
15. Jawaban: c 3
3
5
3
α p
– α) + 3 cos α
A
52 − 32 =
= cotan α + 3 cos α 6
π 2
1
Jadi, nilai 2 sin α – sin (α +
32 + ( 3 )2
p =
4 +1
= 2 sin α – cos α – cos α = 2 sin α – 2 cos α
=– 3
=
2 sin α – sin (α +
=–
13. Jawaban: c 3 =
22 + 12
Dengan demikian, sin α =
Jadi, nilai cotan (A + B) = –cotan C. 1 3
=
=2×
= –cotan C
sin α =
AB2 + BC2
AC =
1 – a) 2
B
2
– a)
12. Jawaban: e ∠A + ∠B + ∠C = 18 180° 0° ⇔ ∠A + ∠B = 180° – ∠C ⇔ tan (∠A + ∠B) = tan tan (1 (180 80°° – ∠C) = –tan ∠C cota co tan n (A + B) =
α
A
+ 3 ×
2 +
sin A =
6 3
cos A =
6
Jadi, nilai tan (
π 2
– α) + 3 cos α =
2 +
1 2
, dapat dibentuk segitiga seperti
berikut. tan α =
1 depan = 2 samping
(0 < A <
4 dan 5
6.
14. Jawaban: d Nilai tangen diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut. Oleh karena tan α =
3 dan 5
16 = 4
tan A =
π 2 4 5
) maka
4
B
– 3
42 − ( 3) 3 )2 =
sin B = – cos B = –
13
− 3 3 = dan 4 4 13 dan 4
π < B <
tan B =
3 π maka 2
3 13
sin A cos B – cos A sin B
Matematika Kelas X
81
=
3 − 13 × ( ) 5 4
=
−3 1 13 3+4 3 20
–
4 − 3 × ( ) 5 4
cos cos (90 (90°° + x) sin sin (270° (270° − x) cos (18 0° 0° − x)
2 . a.
=
Jadi, nilai sin A cos B – cos A sin B =
−3 1 13 3+4 3 20
.
sin (90° − x) 1 − cos (90° − x)
b.
=
B. Uraian 1. a.
Y
−sin sin x ( − cos cos x) = −cos x
cosx 1− sin x
–
–sin x
sin (360° + x) 1 + cos (2 (270° − x)
sinx
– 1− sin x =
cos x − sin x 1− sin x
cos cos (90 (90°° + x) sec sec (−x) tan tan (180 (180°° − x) sec (360° (360° + x) sin sin (180° (180° + x) x) cotan cotan (90° (90° − x)
c.
sin x sec sec x (−tan tan x) −sin
= secx secx ( −sin sin x) x) tan tan x
P
4 O
X
= –1
–2
3. a.
A(4, –2)
OA =
42 + (−2)2 =
16 + 4
=
=
20
Perhatikan ∆OAP.
b.
AP OA
=
cos α =
OP OA
=
tan α =
AP OP
=
2 5
5
=
2 5
= –
1 2
4 2 5
−2 4
5
×
= –
1 5
5
X
(−3) 3 ) + ( −6) 6)
=
45
82
BP OB
4. si sin n (90 (90°° – α) =
⇔
=
−3 3 5
cos α =
OP OB
=
−6 3 5
tan α =
BP OP
=
−3 −6
Trigonometri
2 3 3
=4
2
=3 5 sin α =
=
=1+1+1+1
2
9 + 36
3 3
sin2 3° + sin2 7° + sin2 11° + sin2 15° + sin2 75° + sin2 79° + sin2 83° + sin2 87° = sin2 3° + sin2 7° + sin2 11° + sin2 15° + sin 2 (90° – 15°) + sin 2 (90° – 11°) + sin2 (90° – 7°) + sin2 (90° – 3°) = sin2 3° + sin2 7° + sin2 11° + sin2 15° + cos2 15° + cos2 11° + cos2 7° + cos2 3° = (sin2 3° + cos2 3°) + (sin2 7° + cos2 7°) + (sin2 11° + cos2 11°) + (sin2 15° + cos2 15°)
c.
P
=
3 –
sin sin 75° 75° sin sin 10° 10° ( − cota cotan n 45°) 45°)
–6
OB =
3 3
= sin 75° = 1 75° (−sin 10°) 10°) cota cotan n 45°
Y
–3
–
sin 75° cos (270° + 10°) tan (90° + 45°)
Titi Ti tik k B(– B(–3, 3, –6 –6)) dan dan ∠XOB = α
B(–3, –6)
3 2
= cos (270° + 75°) sin (180° + 10°) cotan (180° + 45°)
5
O
+
sin 75° cos 280° tan 135° cos 35° sin 190° cotan 225°
b.
−2
3 2
=
=2 5
sin α =
sin 78 sin 780° + cos cos 33 330° 0° + tan tan 15 150° 0° = sin (60° + 2 x 360°) + cos (270° + 60°) + tan (180° – 30°) = sin 60° + sin 60° + (–tan 30°)
× ×
=
1 2
5 5 5 5
1 5
5
2 – 5
5
= – =
cos α =
3 5 3 5
=
samping miring
Jika sisi samping 3 satuan, sisi miring 5 satuan. 2
p=
5 −3
=
25 − 9
=
16
=4
5
p
2
α 3
sin (180° + α) + sin (270° + α) = –sin α + (–cos α) =–
4 5
3 5
+ (– ) = –
c.
7 5
b.
Menunjukkan cos α = –cos(β + γ ). ). Pada segitiga ABC berlaku: α + β + γ = 180° ⇔ α = 180° – (β + γ ) ⇔ cos α = cos (180° – (β + γ ) = –cos (β + γ ) Dapat ditunjukkan. α+β 2
Men enun unju juk kka kan n si sin n
= cos
γ . 2
α + β + γ = 180° ⇔ α + β = 180° – γ α +β 2
⇔ sin
α 2
⎛ β + γ ⎞ ⎟ = 1 ⎝ 2 ⎠
tan ⎜
α + β + γ = 180° ⇔ α = 180° – (β + γ )
7 5
Terbukti bahwa sin (180° + α) + sin (270° + α) = – . 5. a.
Menunjukkan tan tan
= sin (90° – = cos
tan
α 2
= tan
=
180° − (β + γ ) 2
⎛ β + γ ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠
tan ⎜
180° − (β + γ ) 2
⎛ β + γ ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠
tan ⎜
⎛ β + γ ⎞ ⎛ β + γ ⎞ ⎟ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
= tan (90° – ⎜
⎛ β + γ ⎞ ⎛ β + γ ⎞ ⎟ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
= cotan ⎜ =
1 tan ⎛⎜ β + γ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠
⎛ β + γ ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠
tan ⎜
=1 Dapat ditunjukkan.
180° − γ 2
= sin
α 2
⇔
γ ) 2
γ 2
Dapat ditunjukkan.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c cos x
cota cotan nx cos x
sin x
=
cos x
1
=
sin x
. Pilihan a salah.
= sin2 x (
1
sec x tan x
=
cos x
1
=
sin x
sin x
. Pilihan b salah.
cos x
cos x cota cotan nx cos x sec x
cos x
=
=
cos x
= sin x. Pilihan c benar.
sin x
cos x 1
=
cos2 x.
Pilihan d salah.
cos x cos x
cotan cotan x seca secan nx
=
2. Jawaban: b sin2 x + sin2 x cotan2 x = sin2 x (1 + cotan2 x) = sin2 x (cosec2 x) = sin2 x (cosec x) 2
sin x 1
2
=
co s x sin x
. Pilihan e salah.
cos x
Pilihan a, b, d, dan e salah. Pilihan c benar.
1 ) 2 sin sin x
= sin2 x ×
1 s in 2 x
= 1
Jadi, bentuk sederhana dari sin2 x + sin2 x cotan2 x adalah 1. 3. Jawaban: a (sin x + cos x) (sin x – cos x) = sin2 x – cos2 x = sin2 x – (1 – sin2 x) = sin2 x + sin2 x – 1 = 2 sin2 x – 1 Jadi, (sin x + cos x) (sin x – cos x) = 2 sin2 x – 1.
Jadi, identitas trigonometri yang benar adalah sin x =
cos x cota cotan nx
.
Matematika Kelas X
83
4. Jawaban: a (sec x + tan x)(1 – sin x) =( =
1 cos x
sin x cos x
+
1 + sin x ( cos x
Jadi, bentuk sederhana cotan P – 8. Jawaban: b
)(1 – sin x)
2 sin A cos A 2
2
1 + cos A − sin A
=
1 − sin2 x cos x
=
=
cos2 x cos x
=
= cos x
Jadi, (sec x + tan x)(1 – sin x) = cos x.
6. Jawaban: c
= =
2 cos2 A sin A cos A
= tan A ekuivalen dengan
tan A. 9. Jawaban: c 1 1+ sin α
+
1 1 − sin α
= = =
(1 − sin α) + (1+ sin α) (1 + sin α)(1 − sin α) 2 1 − sin2
α
2 cos 2
α
1
= 2 × ( cos α )2 = 2 sec2 α 1 1+ sin α
+
1 1 − sin α
ekuivalen dengan
10. Jawaban: b sin C 1 + cos C
1 + cos x sin x cos x + sin x cos x
1 + cos x
=
sin x (1 + cos x) cos x (1 + cos x)
=
sin x cos x
= =
= tan x
Jadi, bentuk sederhana dari
sin x + tan x adalah 1 + c os x
= tan x.
+
sin C 1 − cos C
sin C (1 − cos C) + sin C (1 + cos C) (1 + cos C)(1 − cos C) sin C ( 1 − cos C + 1 + cos C) 1 2 sin C 2
sin C
=
cos2 C
−
2 sin C
= 2 cosec C
7. Jawaban: d cosec P cos P
=
–
=
cos P sin P
×
=
cos2 P sin P cos P
=
cos2 P − 1 sin P cos P
=
−sin
2
P cos P
= –tan P
Trigonometri
cos P cos P
–
sin C 1 + cos C
+
sin C 1 − cos C
ekuivalen
dengan 2 cosec C.
cos P
P sin P cos P −sin
Jadi, bentuk
1 sin P
cos P sin P
=
84
2 sin A cos A
2 sec2 α.
sinx cos x
cotan P –
(sin A + cos 2 A) + cos2 A − sin2 A
1 + cos2 A − sin2 A
Jadi, bentuk
sin x + tan x 1 + cos x
2
2 sin A cos A
Jadi, bentuk
5. Jawaban: c Oleh karena sin2 x + cos2 x = 1 maka sin2 x – cos2 x = 1 salah. Oleh karena 1 + tan2 x = sec2 x ⇔ tan2 x – sec2 x = –1 maka tan2 x – sec2 x = 1 salah dan tan2 x + sec2 x = 1 salah. Oleh karena 1 + cotan2 x = cosec2 x ⇔ 1 = cosec2 x – cotan2 x maka cosec2 x – cotan2 x = 1 benar dan cosec2 x + cotan2 x = 1 salah. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c.
2 sin A cos A
=
(1 + sin x)(1 − sin x) cos x
+
adalah
–tan P.
)(1 – sin x)
=
sin x
cosec P cos P
–
1 sin P cos P
1 sin P cos P
B. Uraian
1. a.
Membuktikan sin x cosec x – sin2 x = cos2 x. Ruas kiri: sin x cosec x – sin2 x = sin x ×
1 sin x
– sin2 x
= 1 – sin2 x = cos2 x = ruas kanan (terbukti) Jadi, dapat dibuktikan sin x cosec x – sin2 x = cos2 x.
b.
Membuktikan (cosec x + cotan x)(1 – cos x) = sin x. Ruas kiri: (cosec x + cotan x)(1 – cos x) =( =(
1 sin x
cos x sin x
+
1 + cos x sin x
3. a.
Membuktikan
)(1 – cos x) 1
sin A cos A
−
)(1 – cos x)
= =
1
1 − cos x sin x
=
sin A cos A
s in x sin x
=
= sin x = ruas kanan (terbukti) Jadi, dapat dibuktikan (cosec x + cotan x) (1 – cos x) = sin x. 2. a.
= =
sin2 y 2
cos y
b.
sin (1 + cos A) 1
– sin2 y
sin (1 + cos A) sin2 A
=
2
cos y sin2 y (1 − cos 2 y) cos y
c.
= cos2 y × sin2 y
Membuktikan (1 – sin2 y) 2 + (1 – cos2 y) 2 = 1 – 2 sin2 y cos2 y. Ruas kiri: (1 – sin2 y)2 + (1 – cos2 y)2 = (1 – 2 sin2 y + sin4 y) + (1 – 2 cos2 y + cos4 y) = 1 + 1 – 2 (sin2 y + cos2 y) + sin4 y +cos4 y = 1 + 1 – 2 + sin4 y +cos4 y = sin4 y + cos4 y = (sin2 y + cos2 y)2 – 2 sin2 y cos2 y = 12 – 2 sin2 y cos2 y = 1 – 2 sin2 y cos2 y = ruas kanan Jadi, dapat dibuktikan (1 – sin2 y)2 + (1 – cos2 y) = 1 – 2 sin2 y cos2 y.
sin A cos A
−
=
1 + cos A sin A
.
cos A sin A
cos2 A sin A
sin2 A + cos2 A sin A
=
1 sin A
Membuktikan cosec A + cotan A =
sin A 1 − cos A
Ruas kiri: cosec A + cotan A
= tan2 y sin2 y = ruas kanan Jadi, dapat dibuktikan tan2 y – sin2 y = tan2 y sin2 y. b.
1
Jadi, dapat dibuktikan sin A + cos A cotan A = cosec A.
sin y sin2 y
sin y
= ruas kanan
= cosec A = ruas kanan
2
2
1 + cos A sin A
Membuktikan sin A + cos A cotan A = cosec A Ruas kiri: sin A + cos A cotan A
= sin A +
sin2 y − sin 2 y cos 2 y
cos2 y
cos2 A
−
= sin A + cos A ×
2
=
1 + cos A sin A
1 + cos A 1 + cos A
Jadi, dapat dibuktikan =
Membuktikan tan2 y – sin2 y = tan2 y sin2 y Ruas kiri: tan2 y – sin2 y =
×
−
2
=
=
−
Ruas kiri:
2
=
sin A cos A
1
= =
cos A 1 + sin A sin A 1 + cos A sin A
=
1 + cos A sin A
=
1 − cos2 A sin A(1 − cos A)
=
sin2A sin A(1 − cos A)
=
sin A cos A
1−
×
1 − cos A 1 − cos A
= ruas kanan
Jadi, dapat dibuktikan cosec A + cotan A = sin A 1 − cos A
4. a.
.
(sin B + cos B)2 + (sin B – cos B)2 = sin2 B + 2 sin B cos B + cos 2 B + sin2 B – 2 sin B cos B + cos2 B = 2 sin2 B + 2 cos2 B = 2(sin2 B + cos2 B) = 2 × 1= 2 Jadi, bentuk sederhana (sin B + cos B)2 + (sin B – cos B)2 adalah 1.
Matematika Kelas X
85
b.
(cosec C – cotan C)(1 + cos C) = cosec C – cotan C + cosec C cos C – cotan C cos C =
1 sin C
=
1 sin C
=
cos C sin C
–
+
1 sin C
b.
sec 2
sec 2
1 − cos2 C sin C sin C sin C
=
= sin C =
Jadi, bentuk sederhana (cosec C – cotan C) (1 + cos C) adalah sin C. 5. a.
2 sin2 α − 1 = sin α − cos α
Membuktikan
=
tan α – cotan α.
Ruas kiri:
=
2
2 sin α − 1 sin α − cos α
= = =
2 sin2
α − (sin
2
α+
cos 2
=
α)
sin α cos α 2 sin2
sin2 α − cos 2 sin α cos α
α−
sin2 α − cos2 sin α cos α
= α
=
α
α
=
1 cos
2
α (1 +
sin α)
α−
sec α tan α
sec
2
α
sec α tan α
α−
cos2 1 cos2
− α
α
1 sin α × cos α cos α
cos2
α
1 − sin α cos2 α
cos2
α
1 − sin α cos
4
α
1 − sin2 cos
4
α
cos
α
α
(1 + sin α )
cos 2 4
1 + sin α 1 + sin α
×
α
(1 + sin α )
1 cos
2
α
(1 + sin α)
= ruas kanan (terbukti)
2
2
=
sin α sin α cos
α
=
sin α cos α
cos α sin α
–
2
cos2
2
=
sec α tan α
Ruas kiri:
cos C cos C cos2 C + – sin C sin C sin C
–
α−
cos
cos C × cos C sin C
× cos C –
Membuktikan
cos α sin α cos
–
Jadi, dapat dibuktikan
α
1 cos
2
α (1 +
sec 2
α−
sec α tan α
cos2
=
α
. sin α)
= tan α – cotan α = ruas kanan (terbukti) Jadi, dapat dibuktikan
2 sin2 α − 1 = sin α − cos α
tan
α
– cotan α.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c BC sin A
AC
= sin B
⇔ ⇔
BC sin 60°
10
= sin 45°
BC = = =
10 sin 45° 10 1 2
2
10 3 2
× sin 60°
×
1 2
×
= 5 6 cm Jadi, panjang BC = 5 6 cm.
86
Trigonometri
2. Jawaban: a Bentuk segitiga PQR dan ukurannya disajikan seperti gambar di samping. Pada segitiga PQR berlaku aturan sinus. QR sinP
3 2
=
PR sin Q sinP
⇔
QR PR
= sin Q
⇔
QR PR
= sin 45°
2
sin 60°
R
60° P
45° Q
⇔
QR PR
=
⇔
QR PR
=
1 2 1 2
R = 180° – P – Q = 180° – 45° – 30° = 105° Jadi, besar ∠R =105°
3 2
3 2
Jadi, perbandingan antara panjang QR dengan PR adalah
3 :
2.
3. Jawaban: c Perhatikan ∆ABD.
= 196 + 64 – 2 × 14 × 8 ×
=
BD sin A
2 sin 30°
=
BD sin 45°
2
⇔
1 2
=
BC =
148 =
4 × 37 = 2 37 cm
Jadi, panjang BC = 2 37 cm.
BD 1 2
1 2
= 260 – 112 = 148
AD sin ∠ABD ⇔
5. Jawaban: c Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus: a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A BC2 = 142 + 82 – 2 × 14 × 8 cos 60°
6. Jawaban: c
2
C
BD = 2 2
⇔
Perhatikan ∆BCD. BD sin C ⇔
2 2 sin C
⇔
2 2 sin C
=
sin ∠BDC
4
A
= sin 60° =
1 2
sin C =
⇔
sin C =
3
Jadi, sin C =
1 4
2 2×2 3 4 1 4
B
10 cm
Sudut terbesar pada segitiga menghadap sisi terpanjang sehingga sudut terbesar segitiga ABC tersebut adalah ∠A. Aturan kosinus: a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A 122 = 82 + 102 – 2 × 8 × 10 cos A ⇔ ⇔ 144 = 64 + 100 – 160 cos A ⇔ 160 cos A = 20
4
1
⇔
12 cm
8 cm
BC
6
6.
cos A =
⇔
4. Jawaban: e
20 160
1 8
=
= 0,125
Jadi, nilai kosinus sudut terbesar segitiga tersebut adalah 0,125.
R
7. Jawaban: c
12 cm
6 2 cm
sin q = 45°
Q
P
1 3 C 2
QR sin P
=
PR ⇔ sin Q
12 sin 45°
=
6 2 sin Q
θ
A 2 2
⇔
12 1 2
2
=
6 2 sin Q
⇔
sin Q = 6 2 ×
⇔
sin Q =
⇔
sin Q = sin 30°
⇔
1 2
Q = 30°
1 2
B
Diperoleh: cos2 θ = 1 – sin2 θ 2
12
⇔
cos2 θ = 1 –
⇔
cos2 θ =
8 9
⇔
cos θ =
8 9
1 9
=
2 3
2
Matematika Kelas X
87
AC2 = AB2 + BC 2 – 2AB × BC × cos q ⇔
2 3
AC2 = (2 2 )2 + 22 – 2 × 2 2 × 2 × = 8 + 4 – 8 2 × = 12 – =
AC2 =
2 3
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 100 – 96 cos A = 20 – 16 cos C 80 – 96 cos A = –16 cos C ⇔ ⇔ 80 – 96 cos (180° – C) = –16 cos C ⇔ 80 + 96 cos C = –16 cos C 112 cos C = –80 ⇔
2
2
32 3
4 3
4 ⇔ 3
4 3
AC = 2 3
=
2 3
3
×
3
2 3
=
S 135°
3.
5 cm 120°
R 3 cm Q
P
1 2
49 = 7 cm
PQ2 = PS2 + QS2 – 2 × PS × QS cos 135° = 62 + 72 – 2 × 6 × 7 × (–
1 2
2)
= 36 + 49 + 42 2
Jadi, nilai cos α = –
5 7
.
85 + 42 2
=
PR × QR × sin 120°
=
1 × 2
1 2
15 × 8 ×
1 2
5 1
1 2
2 α
C 4
Perhatikan segitiga BCD. BD2 = BC2 + CD2 – 2 × BC × CD × cos C = 42 + 22 – 2 × 4 × 2 × cos C = 16 + 4 – 16 × cos C = 20 – 16 cos C . . . (2)
B
Q
48 × sin P = 24 sin P =
sin P =
1 2
1 2
= depan miring
Jika sisi depan = 1 maka sisi miring = 2. a=
Perhatikan segitiga ABD. BD2 = AB2 + AD2 – 2 × AB × AD × cos A = 62 + 82 – 2 × 6 × 8 × cos A = 36 + 64 – 96 × cos A = 100 – 96 cos A . . . (1)
Q
× 12 × 8 × sin P = 24
D
6
8 cm
3
⇔
A
120°
P
⇔
85 + 42 2 cm.
8
m c
× PQ × PR × sin P = 24
⇔
9. Jawaban: e Gambar pada soal dapat dilengkapi seperti gambar di samping. Segi empat ABCD merupakan segi empat tali busur sehingga ∠A + ∠C = 180° ⇔ ∠A = 180° – ∠C.
R
1 × 2
⇔
= 85 + 42 2
Trigonometri
7
11. Jawaban: d R Bentuk segitiga PQR beserta ukurannya disajikan seperti gam- 8 cm bar di samping. L = 24 cm2 Oleh karena luas segitiga PQR = 24 cm 2 , P 12 cm diperoleh: LPQR = 24
= 9 + 25 + 15 = 49
88
5
Jadi, luas ∆PQR adalah 30 3 cm2.
= 32 + 52 – 2 × 3 × 5 × (– )
Jadi, panjang PQ =
.
= 30 3 cm2
QS2 = QR2 + RS2 – 2 × QR × RS cos 120°
PQ =
112
= –
10. Jawaban: a Luas segitiga PQR
6 cm
QS =
5 7
cos C = cos α = –
3
8. Jawaban: d
⇔
80
Oleh karena besar sudut C adalah α maka nilai
Jadi, panjang AC =
QS2 = 49
cos C = –
⇔
22
2
−1
=
4 −1
=
3
tan P = =
1 3 1 3
2 1
×
P
3 3
3
Jadi, nilai tan P =
1 3
3.
a
12. Jawaban: d Bentuk segitiga DEF beserta ukurannya disajikan seperti di bawah ini.
14. Jawaban: e Bentuk lingkaran dan segi-12 beraturan disajikan seperti gambar berikut.
F 25 cm
17 cm
6
D
Oleh karena kelilingnya 70 cm, diperoleh: DE + EF + DF = 70 ⇔ DE + 25 + 17 = 70 DE + 42 = 70 ⇔ ⇔ DE = 70 – 42 DE = 28 ⇔ s = setengah keliling = 35 cm Luas segitiga DEF
6 cm
O
E
A
c m
Panjang sisi segi-12 ditunjukkan oleh garis AB. Besar sudut AOB: ∠AOB
=
360° = 12
30°.
Pada segitiga AOB berlaku aturan kosinus. AB2 = AO2 + BO 2 – 2 × AO × BO × cos ∠AOB = 62 + 62 – 2 × 6 × 6 × cos 30°
=
s(s − DE)(s − EF)(s − DF)
=
35(35 − 28) × (35 − 25) × (35 − 17)
= 36 + 36 – 72 ×
=
35 × 7 × 10 × 18
= 72 – 36 3
=
35 × 7 × 5 × 2 × 18
=
35 × 35 × 36
=
352
×
=
1 × 2
3)
AB2 = 36(2 –
3)
PQ × PS 12 × 5 = 30 2
QS =
PS + PQ
=
25 + 144
cm2
2
= 169 = 13 cm Luas segitiga SQR:
6 2 --
15. Jawaban: d Bentuk lingkaran dan segi-8 beraturan disajikan seperti gambar di samping. Segi-8 beraturan tersusun atas delapan segitiga yang kongruen. Salah satu segitiga itu adalah segitiga AOB dengan panjang AO = BO = p. Besar sudut AOB: ∠AOB
=
1 × 2
13 × 8 × sin 150°
Luas segi-8 = 8 × LAOB
= 30 + 26 = 56 cm2 Jadi, luas PQRS adalah 56 cm2.
2 --
3
3
=
360° = 8
A
p
B
O
45°.
=8×
1 2
× AO × BO × sin ∠AOB
=8×
1 2
× p × p × sin 45°
=8×
1 2
× p × p ×
cm2
Luas PQRS = LI + LII
36
3 cm.
QS × QR × sin ∠SQR
1 2
36(2 − 3)
Jadi, panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah
1 × 2
= 26
AB =
= 6 2 --
LII =
= 52 ×
⇔
3
=
13. Jawaban: b Segitiga SPQ siku-siku di P dengan luas: 1 × 2
= 36(2 –
1 2
62
= 35 × 6 = 210 Jadi, luas segitiga DEF adalah 210 cm2.
LI =
B
1 2
2 = 2p 2 2
Jadi, luas segi delapan tersebut 2p2 2 satuan luas. Matematika Kelas X
89
16. Jawaban: b F
Bangun segi empat KLMN terdiri atas segitiga KLN dan LMN sehingga luas segi empat KLMN dapat ditentukan dengan menjumlah luas kedua segitiga tersebut.
E O
A
1
D
L∆KLN = 2 × KL × LN =
B
C
∠AOB
=
× 15 × 8
= 60 cm2
AB = BC = CD = DE = EF = AF = 7 cm 360° 6
1 2
L∆LMN =
= 60°
=
A Perhatikan segitiga AOB. AO = BO ∠A + ∠B + ∠O = 180° ⇔ 2∠A + 60° = 180° 2∠A = 120° ⇔ B ⇔ ∠A = 60° ∠A = ∠B = ∠O = 60° (segitiga sama sisi) sehingga AO = BO = 7 cm
LAOB =
1 × 2
AO × BO × sin ∠AOB
=
1 × 2
7 × 7 × sin 60°
=
1 × 2
7×7×
1 2
O
1 2 1 2
× LM × LN × sin
× 8 × 12 × sin 120°
= 48 ×
= (60 + 24 3 ) cm2 Jadi, luas segi empat KLMN adalah (60 + 24 3 ) cm2. 18. Jawaban: e
=
BC2 + AB2 − AC2 2BC × AB 25 + 25 − 75 25 = – 2×5×5 50
cos B = –
22 7
22 7
3
LKLMN = LKLM + LLMN
3
Lsegi enam = 6 × LAOB = 6 × 21,19 = 127,14 cm2
1 2
= 24 3 cm2
cos B =
= 21,19
⇔
1 2
B = 120° 1 × 2
AB × BC × sin B
Larsiran = Llingkaran – Lsegi enam
=
5 × 5 × sin 120°
= 154 – 127,14 = 26,86
1 × 2
=
25 2
× AO =
× 72 = 154 cm2
Jadi, luas arsiran 26,86 cm2.
25
3 cm2 = 4
120° L 12 cm M
LN dihitung menggunakan rumus Pythagoras. LN2 = KN2 – KL2 = 172 – 152 = 289 – 225 = 64
25 4
3×8
= 50 3 cm3
19. Jawaban: d Permasalahan tersebut dapat diilustrasikan U sebagai berikut. U B
80 km A
80°
60° 120°
80°
60 km
64 = 8 cm C
Trigonometri
3 cm 2
Jadi, volume prisma 50 3 cm3.
17 cm
LN =
1 2
=
N
15 cm
×
Volume prisma = L∆ABC × tinggi
17. Jawaban: a Dari soal dapat diperoleh gambar segi empat KLMN berikut.
K
1 2
= –
L∆ABC =
Llingkaran = π × r2 =
90
∠LNM
Aturan kosinus: AC2 = AB2 + BC 2 – 2 AB × BC × cos B = 802 + 602 – 2 × 80 × 60 × cos 60° = 6.400 + 3.600 – 4.800 = 5.200
⇔
AC =
⇔
5.200 =
⇔
∠A ⇔
AC sin B
Jadi, jarak antara pelabuhan C dan A adalah 20 13 km. 20. Jawaban: c Permasalahan tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut.
A
96° 78°
Utara 30 m
B 96° 57°
+ ∠B + ∠C = 180° ∠A + 90° + 60° = 180° ∠A + 150° = 180° ∠A = 30°
⇔
400 × 13 = 20 13
Utara
sin B = 1 ∠B = 90°
⇔
2 3 sin 90°
⇔
2 3 1
45° C
Aturan sinus: BC sin A
30 sin 45°
⇔
30
⇔
⇔
1 2
30 1 2
=
BC =
⇔
BC =
BC 1 2
1 2
× 2 3 3 cm
Jadi, ∠A = 30°, ∠B = 90°, ∠C = 60°, AB = 3 cm,
123°
b.
=
BC
= sin 30°
⇔
3 cm, dan AC = 2 3 cm.
BC =
AB sin C
BC sin A
=
×
2
49 50
×
147 5
⇔
2 2 2
= =
∠A
+ ∠B + ∠C = 180° ⇔ 120° + 30° + ∠C = 180° ⇔ 150° + ∠C = 180° ⇔ ∠C = 30° Oleh karena ∠B = ∠C = 30° (segitiga ABC sama kaki) sehingga AB = AC = 44 cm. AB BC = sin C sin A 44 BC ⇔ = sin120° sin 30°
BC sin 78° BC 49 50
44
⇔
1 2
= BC
BC 1 2
3
BC = 44 3
⇔
2 = BC
=
Jadi, ∠A = 120°,
Luas segitiga
∠B
1
1 2
=
1.764 5
2. a.
× 30 × 147 2 × 4 5
5
2 m2
Jadi, luas sebidang tanah tersebut
1.764 5
2
QR sinP
=
AB sin C ⇔
⇔
⇔
=
AC sin B
3 sin 60° 3 1 2
= 30°, AB =
⇔
10 sin P
⇔
10 sin P
⇔
sin P =
⇔
sin P =
= =
m2.
3
=
2 3 sin B
=
2 3 sin B
sin B =
a =
C
1 2
3×2 3 3
60°
B
2 3
3
P
PQ sinR
B. Uraian
1. a.
∠C
44 cm, BC = 44 3 cm, dan AC = 44 cm.
= 2 × AB × BC sin 57° =
= 30°,
32
15 sin 30°
Q
1 2 1 × 10 2
10
R
15 5 1 = 15 3
2
−1
9 −1
=
8 = 2 2
cos P =
30°
15
= A
15
3
a 2 2 = 3 3
Jadi, nilai cos P =
P 2 3
1
a
2.
Matematika Kelas X
91
b.
QR2 = PQ2 + PR2 – 2 × PQ × PR cos P 52 = 32 + 72 – 2 × 3 × 7 cos P ⇔ ⇔ 25 = 9 + 49 – 42 cos P P –33 = –42 cos P ⇔ ⇔
cos P =
33 42
=
11 14
11 . 14
Jadi, nilai cos P =
Luas segitiga sama sisi
5
R
3. Bentuk jajargenjang ABCD beserta ukurannya disajikan seperti gambar berikut.
A
12 cm
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
1 2
cos A = cos 60° A = 60° ⇔ Jadi, besar sudut A adalah 60°.
= 144 + 64 – 2 × 12 × 8 × (–
1 2
)
= 144 + 64 + 96 = 304 2 AC = 304 AC =
304 =
1 4
a2 3
92
Trigonometri
3
Lingkaran di dalam segitiga disebut dengan lingkaran dalam. Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam adalah r, diperoleh: luas segitiga setengah keliling
=
1 2 a 3 4 1 × 3a 2
=
1 6
a 3
1 3
a 3 . Dengan demikian: 1 3
p2 + p2 = ( a 3 )2 ⇔
2p2 =
1 3
a2
⇔
p2 =
1 6
a2
Luas persegi = p2 =
1 6
a2
Perbandingan antara luas segitiga dan persegi 1 2 a 3 4 1 2 a 6
=
3a2 3 2a
2
=
3 3 2
16 × 19 = 4 19
luas persegi adalah 3 3 : 2. C
5. AB + BC + CA = p Oleh karena ∆ AB C sama sisi maka AB = BC = CA =
F
p 3
E
Q
QD + QE + QF = s QD = QE = QF =
s 3
D
A
B
Luas ∆ABC = luas ∆AQB + luas ∆BQC + luas ∆CQA Oleh karena ∆AQB, ∆BQC, dan ∆CQA saling kongruen maka luas ∆AQB = luas ∆BQC = luas ∆CQA. Sehingga: luas ∆ABC = 3 × luas ∆AQB ⇔
Jadi, panjang diagonal AC = 4 19 cm. 4. Gambar pada soal dapat disajikan ulang seperti di samping. Misalkan panjang sisi segitiga adalah a dan panjang sisi persegi adalah p.
1 2
Jadi, perbandingan antara luas segitiga dengan
Pada jajargenjang ABCD, jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°. Dengan demikian: ∠A + ∠ABC = 180° ⇔ 60° + ∠ABC = 180° ⇔ ∠ABC = 180° – 60° ⇔ ∠ABC = 120° Panjang diagonal AC ditentukan dengan aturan kosinus. AC2 = AB2 + BC2 – 2 × AB × BC × cos ∠ABC = 122 + 82 – 2 × 12 × 8 × cos 120°
⇔
=
=
⇔
b.
× a × a ×
2
(4 7 ) = 12 + 8 – 2 × 12 × 8 × cos A 112 = 144 + 64 – 192 × cos A 112 = 208 – 192 × cos A 192 cos A = 208 – 112 192 cos A = 96 cos A =
1 2
adalah
Pada gambar di atas panjang AD = BC = 8 cm. a. Perhatikan segitiga ABD, berlaku: BD2 = AB2 + AD2 – 2 × AB × AD × cos A 2
=
Oleh karena diagonal persegi merupakan diameter lingkaran dalam maka panjang diagonal persegi
8 cm
B
2
× a × a × sin 60°
r =
C 4 7 cm
1 2
7
3 Q
D
=
⇔
1 × 2
⎞
⎛ 1 ⎝ 2
AB × CA × sin 60° = 3 ⎜ × AB × QD⎟ 1 p p × × × 2 3 3
⇔
3 2 p 3 2
=3×
⎠
1 p s × × 2 3 3
= 3s 6s
⇔
p =
p
⇔
p = 2s 3
a
Jadi, p = 2s 3 .
p
3
×
3 3
3. Jawaban: a
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b f(x) = 5 sin f(
π 2
1 x 2
) = 5 sin
1 π × ( 2 2
= 5 sin
1 π × ( 2 2
= 5 sin
π 4
=5×
1 2
) )
5 2
2 =
adalah
1 x 2
untuk nilai x =
π 2
2.
x
y = –2 cos x
(x, y)
0
–2
(0, –2) π ( 6 π (4
– 3 – 2
–0 1 2 3
4π 3 3π 2
(π, 2)
–1
( 3 , 1)
0
( 2 , –90)
4π
3π
(2π, –2)
0
π 6
– 3
).
y = f(x) (x, y)
(
–1 –
3 3
(
(
π 2
π 6
,– 3)
(
π 4
π 3
,–
, –1) 3 3
)
π , –) 2 2π 3 ( , ) 3 3 3π ( , –1) 4 5π ( , 3) 6
–
(
3 3
1 3
(π, 0)
0 –
, 0)
3 3
(
0
π 2
Grafik fungsi y = tan (x –
4π 3 , ) 3 3 3π ( , 0) 2
).
Y 2
y = f(x) = tan (π –
π 2
)
1 0
π
π 2
–1
2π
3π 2
X
5π 2
–2
Catatan: Grafik fungsi y = tan (x –
π 2
) dapat diperoleh
dengan menggeser grafik fungsi y = tan x (digambar putus-putus) ke kanan sejauh
π 2
satuan
searah sumbu X.
Grafik fungsi f(x) = –2 cos x.
Y
Y
y = f(x) = tan (π –
π 2
)
3
2
2 1
1 0 –1
π 2
4π 3 3π 2
,– 2)
2
–2
2π
,– 3)
π ( 3 , –1) π ( 2 , 0) 2π ( 3 , 1) 3π ( 4 , 2) 5π ( 6 , 3)
–1
π
y = tan x
π
2. Jawaban: c Tabel nilai f(x) = –2 cos x.
π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6
x
π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6
2
Jadi, nilai fungsi f(x) = 5 sin 5 2
π 2
Tabel nilai fungsi y = tan (x –
π 2
π
3π 2
2π
X
y = f(x) = –2 cos x
0 –1
π 2
π
X 3π 2
2π
5π 2
3π
–2 –2
Jadi, grafik fungsi f(x) = –2 cos x ditunjukkan oleh gambar pada pilihan c.
Jadi, grafik yang sesuai pada pilihan a.
Matematika Kelas X
93
4. Jawaban: e Tabel nilai fungsi y = sin
1 2
π 4
Untuk sin (x – x.
f(x) = 3 sin (x –
x
1 y = sin x 2
(x, y)
0
0
(0, 0)
π 3
1 2
π (3
π 2
2 2
(2,
π
1
3π 2 5π 3
2 2
2π
0
(2π, 0)
3π
–1
(3π, –1)
4π
0
(4π, 0)
,
π
1 2
5π
1 2
( 3 ,
)+1
Jadi, nilai minimum f(x) = 3 sin 2(x –
)
2 2 1 2
π 4
) + 1 adalah –2.
6. Jawaban: d )
(π, 1) 3π
π 4
= 3 × (–1) + 1 = –2 ← (minimum)
2 2
( 2 ,
) = –1, diperoleh:
Amplitudo =
1 2
(nilai maksimum – nilai minimum)
=
1 2
(1 – (–1)) = 1
)
Periode = π, karena untuk setiap interval skala π pada sumbu X, grafik akan berulang dengan bentuk yang sama. Jadi, amplitudo dan periode grafik tersebut berturut-turut adalah 1 dan π.
)
7. Jawaban: e 1 2
Grafik fungsi y = sin
x:
Grafik fungsi y = sin (x –
Y y = sin
1 –1
1 2
π
x
Perhatikan grafik fungsi y = sin (x –
2π
3π
4π
1
Jadi, grafik yang sesuai pada pilihan e. 5. Jawaban: b f(x) = a sin b(x + c) + d Nilai f maksimum adalah fmaks = |a| + d dan nilai minimum f adalah fmin = –|a| + d. f(x) = 3 sin (x –
π 4
)+1
Jadi, nilai minimum f(x) = 3 sin 2(x –
π ) + 1 adalah 4
–2. Cara lain:
minimum sin (x – Untuk sin (x –
π 4
f(x) = 3 sin (x –
π 4
y = sin (x – 0
π 2
π 4
π
X
2π
3π 2
π 2
dan (
3π 2
, 0).
π 2
dengan sumbu Y adalah ( , 0) dan (
3π 2
π 2
, 0).
Cara lain: Untuk y = 0: y = sin (x –
⇔
0 = sin (x –
⇔ sin (x – ⇔ sin (x –
)+1 1)
π 2 π 2
sin (x –
⇔ ⇔
(x –
π 2 π 2
) )
)=0 ) = sin 0 atau sin (x – π 2 π 2
π 2
) = sin π
) = sin 0 )= 0+ k×π x=
π 2
+ k × π
Untuk k = 0 ⇒ x = Trigonometri
)
Grafik tersebut memotong sumbu X di titik ( , 0)
) adalah 1 dan nilai
) adalah –1.
=3×1+4 = 7 ← (maksimum)
π 2
–1
) = 1, diperoleh: π 4
) berikut.
Jadi, titik potong grafik fungsi y = sin (x –
fmin = –|3| + 1 = –3 + 1 = –2.
Nilai maksimum sin (x –
π 2
Y
X
–2
94
) memotong sumbu X
jika y = 0.
2
0
π 2
π 2
+ 0 × 2π =
π 2
)
sin (x –
π 2
) = sin π
⇔ (x –
π 2
) = π + k × 2π
2)
⇔
x=
3π 2
Nilai fungsi y = 5 – 2 cos 3x terletak di antara 3 dan 7. Jadi, daerah hasil fungsi y = 5 – 2 cos 3x adalah {y | 3 ≤ y ≤ 7}. 9. Jawaban: c Grafik y = cos (x + 60°) dapat diperoleh dengan menggeser grafik fungsi y = cos x ke kiri sejauh
+ k × 2π
Untuk k = 0 ⇒ x =
3π 2
+ 0 × 2π =
3π 2
Jadi, titik potong grafik fungsi y = sin (x – dengan sumbu Y adalah
π ( 2
, 0) dan
3π ( 2
π 2
)
π 3
satuan. Y
8. Jawaban: e Tabel nilai fungsi y = 5 – 2 cos 3x.
X 30°
x
y = 5 – 2 cos 3x
(x, y)
0
3
(0, 3)
π 6 π 3 π 2 2π 3
7 5 3
7π 6 4π 3 3π 2
2π
60°
90°
120°
150°
180°
Tabel nilai fungsi y = 2 sin 3(x – x
y = 2 sin 3(x –
(π, 7)
5
( 6 , 5)
3
( 3 , 3)
7
( 2 , 7)
3
(2π, 3)
π 6 π 3 π 2 2π 3
7π 4π 3π
Grafik fungsi y = 5 – 2 cos 3x. Y
y = 5 – 2 cos 3x
4
π 3
π 2
2π 5 π 6 3
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
300°
360°
X
Daerah hasil fungsi y = 5 – 2 cos 3x selalu terletak di antara 3 dan 7. Jadi, daerah hasil fungsi y = 5 – 2 cos 3x adalah {y | 3 ≤ y ≤ 7}. Cara lain: Fungsi y = cos 3x mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimum 2. Untuk cos 3x = 1: y = 5 – 2 cos 3x = 5 – 2 × 1 = 5 – 2 = 3 (minimum) Untuk cos 3x = –1: y = 5 – 2 cos 3x = 5 – 2 × (–1) = 5 + 2 = 7 (maksimum)
).
π ) 6
(x, y) (0, –2) π , 6 π ( , 3 π ( , 2 2π ( , 3
(
2 0 –2
0) 2) 0) –2)
(π, 2)
2
7π , 0) 6 4π ( , –2) 3 3π ( , 0) 2 5π ( , 2) 3
0
(
–2 0 2
(2π, –2)
–2
2π
2
π 6
0
7π 6 4π 3 3π 2 5π 3
8
π 6
270°
–2
π
0
240°
10. Jawaban: e
0
7
6
210°
Jadi, grafik y = (x + 60°) pada pilihan c.
π ( 6 , 5) π ( 3 , 7) π ( 2 , 5) 2π ( 3 , 3)
5
π
y = cos (x + 60°)
y = cos x
, 0).
Grafik fungsi y = 2 sin 3(x – Y
π 6
).
2 y = 2 sin 3(x – 1 −π 6
0
π 6
π 2
5π 6
7π 6
3π 2
11π 6
π 6
)
X
–1 –2
Jadi, grafik y = 2 sin 3(x –
π 6
) ada pada gambar
pilihan e.
Matematika Kelas X
95
B. Uraian 1. a.
b.
Tabel titik bantu y = cos 3x + 1:
Tabel titik bantu y = –2 sin x:
x
y = cos 3x + 1
x
y = –2 sin x
0°
2
0°
0
30°
1
30°
1 – 2
45°
45°
– 2
(2 − 2) 2
60°
– 3
60°
0
90°
–2
90°
1
120°
– 3
120°
2
135°
– 2
135°
(2 − 2) 2
150°
–1
150°
1
180°
0
270°
2
180°
0
270°
1
300°
0
360°
2
300° 360°
3
0
Grafik fungsi y = –2 sin x:
Grafik fungsi y = cos 3x + 1:
Y
2
y = –2 sin x
1
0
X 30°
60°
Y
2
1
90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
X –1
0
30°
60°
90°
120° 150° 180°
210° 240° 270° 300° 330° 360°
–2
Cara lain: Grafik y = –2 sin x dapat diperoleh menggunakan grafik fungsi y = sin x sebagai grafik dasar terlebih dahulu. Dengan mengalikan setiap ordinat grafik fungsi y = sin x dengan –2 akan diperoleh grafik y = –2 sin x. 2
Cara lain: Grafik y = cos 3x + 1 dapat diperoleh menggunakan grafik fungsi y = cos x sebagai grafik dasar terlebih dahulu. Dengan mengubah periode grafik fungsi y = cos x menjadi 360 3
Dengan menambahkan 1 setiap ordinat grafik fungsi y = cos 3x akan diperoleh grafik y = cos 3x + 1.
Y y = –2 sin x
1
Y
y = sin x 0
= 120° akan diperoleh grafik y = cos 3x.
2
X 30°
45°
–1
60° 90° 12 0° 135° 1 50° 180° 270 ° 300° 3 60° 1
X 0
–2 –1
96
Trigonometri
3 0°
60°
90° 120° 150° 180° 21 0° 240° 270° 300° 330° 360°
c.
Tabel titik bantu y = tan (x – 15°): x
y = tan (x – 15°)
0°
–0,26
30°
0,26
45°
0,57
60°
1
90°
3,73
120°
2
2. a.
Sketsa grafik y = 2 sin (x + 30°) dapat dibuat dengan cara menggambar grafik fungsi y1 = sin x, lalu menggeser ke kiri grafik fungsi y1 = sin x sejauh 30° searah sumbu X sehingga dihasilkan grafik fungsi y2 = sin (x + 30°). Langkah terakhir, mengalikan semua ordinat dengan 2 pada grafik fungsi y2 = sin (x + 30°) agar diperoleh grafik fungsi y3 = 2 sin (x + 30°). Y
y = 2 sin (x + 30°)
2
y2 = sin (x + 30°)
1
135°
–3,7
150°
–1
180°
–0,26
270°
3,73
300°
–3,73
360°
–0,26
0 –1
y1 = sin x
330°
180°
360°
150°
X
–2
b.
Grafik fungsi y = tan (x – 15°): Y y = tan (x – 15°)
Sketsa grafik y = cos 2x + 2 dapat dibuat dengan cara menggambar grafik fungsi y1 = cos x, lalu memampatkan grafik fungsi y1 = cos x sehingga mempunyai periode 180° agar dihasilkan grafik fungsi y2 = cos 2x. Langkah terakhir, menambahkan 2 pada semua ordinat grafik fungsi y2 = cos 2x agar diperoleh grafik fungsi y = cos 2x + 2. Y 3
X 0
30°
60°
90°
2
120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
y = cos 2x + 2
1
y1 = cos x
y2 = cos 2x
0
90°
270°
180°
X
360°
–1
Cara lain: Grafik y = tan (x – 15°) dapat diperoleh menggunakan grafik fungsi y = tan x sebagai grafik dasar terlebih dahulu. Dengan menggeser grafik fungsi y = tan x ke kanan sejauh 15°akan diperoleh grafik y = tan (x – 15°). 1
c.
Y y = tan (x – 15°)
X 0
–1
30°
60°
90°
Sketsa grafik y = –sin 2(x – 45°) dapat dibuat dengan cara menggambar grafik fungsi y1 = sin 2x, lalu menggeser ke kanan grafik fungsi y1 = sin 2x sejauh 45° searah sumbu X sehingga dihasilkan grafik fungsi y2 = sin 2(x – 45°) memampatkan grafik fungsi. Langkah terakhir, mengalikan semua ordinat dengan (–1) pada grafik fungsi y3 = sin 2(x – 45°) agar diperoleh grafik fungsi y4 = –sin 2(x – 45°). ° ) 5 ° ) – 4 5 x 2 ( – 4 n x i s 2 ( i n = – y 3 = s y 2
120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
Y 1
2 x i n s =
y 1
0 0 45° 90°
180°
270°
360°
X
–1
Matematika Kelas X
97
3.
1 2
y3 = 2 sin
Y
y1 = sin
1
1 2
Grafik fungsi memotong sumbu X di titik
1
(x – 90°)
y2 = sin 2 (x – 90°)
2
30°
60°
π 4
(
7π 4
x
90°
, 0), (
π 2
3π 4
, 0), (
π 4
π 2
adalah (0, 0), ( , 0), ( , 0), ( –1 1 2
(x – 90°) – 1
(π, 0), (
–2
a.
1 (x 2
Untuk sin
1 (x 2
y = 2 sin Untuk
1 (x 2
b.
Nilai maksimum = 1 dan nilai minimum = –3. Amplitudo =
1 (nilai 2
=
1 (1 2
=
1 × 2
maksimum – nilai minimum)
– (–3))
1 2
c. 4. a.
, 0).
Daerah hasil fungsi f(x) = sin 4x adalah {f(x) |–1 ≤ f(x) ≤ 1, f(x) ∈ R}.
Fungsi g(x) = cos 4x. Grafik fungsi memotong sumbu Y jika x = 0. g(0) = cos 0 = 1 Grafik fungsi memotong sumbu Y di titik (0, 1). Grafik fungsi memotong sumbu X jika y = 0 atau f(x) = 0. π 2 π
4=2
a)
1 (x – 90°) – 2
1 adalah
Fungsi f(x) = sin 4x.
b)
Grafik fungsi memotong sumbu Y jika x = 0. f(0) = sin 0 = 0 Grafik fungsi memotong sumbu Y di titik (0, 0). Grafik fungsi memotong sumbu X jika y = 0 atau f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ sin 4x = 0 ⇔ sin 4x = sin 0 atau sin 4x = sin π ⇔ 4x = 0 + k × 2π atau 4x = π + k × 2π π 2
atau x =
⇔ x=
π 2
, π ,
3π 2
, 2π , . . .
atau x =
Trigonometri
π 4
,
3π 4
,
5π 4
,
π 4
7π 4
+ k ×
π 2
9π 4
,....
π 2
π 2
+ k × 2π
⇔ x=
π 8
+ k ×
⇔ x=
π 8
,
3π 8
,
π 4 5π 8
,
7π 8
,....
π 2
cos 4x = cos (– ) π 2
⇔ 4x = (– ) + k × 2π π
⇔ x = (– ) + k × 8
π 4
π 8
,
⇔ x=
,
13π 8
3π 8
,
,
15π 8
5π 8
7π 8
,
9π 8
,
11π 8
,
,....
Grafik fungsi memotong sumbu X di titik π 8
( , 0), ( (
,
cos 4x = cos
⇔ 4x =
= 720°.
⇔ x=0+k×
98
7π 4
3)
Daerah hasil fungsi adalah {y | –3 ≤ y ≤ 1, y ∈ R}. 1)
, 0), (
⇔ cos 4x = cos (± 2 )
Periode fungsi y = 2 sin 360°
5π 4
⇔ cos 4x = cos
Jadi, amplitudo fungsi 2. b.
, 0), (
, 0),
Untuk sembarang nilai x, fungsi f(x) = sin 4x bernilai –1 ≤ f(x) ≤ 1. Jadi, nilai maksimum fungsi f(x) = sin 4x adalah 1 dan nilai minimumnya –1.
1)
– 90°) – 1 = 2 × (–1) – 1= –3.
3π 4
3π 4
2)
– 90°) – 1 = 2 × 1 – 1 = 1.
1 (x 2
y = 2 sin
– 90°) = 1 maka
– 90°) = –1 maka
, 0),
, 0).
120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
y = 2 sin
5π 4
, 0), (π, 0), (
Jadi, titik potong dengan sumbu koordinat
X 0
(
11π 8
3π 8
, 0), (
, 0), (
13π 8
5π 8
, 0), (
, 0), (
15π 8
7π 8
, 0).
, 0), (
9π 8
, 0),
Jadi, titik potong dengan sumbu koordinat adalah (0, 1) dan (
2)
3)
(
5π 8
(
13π 8
, 0), ( , 0), (
7π 8
15π 8
, 0), (
3π 8
9π 8
π 8
, 0),
11π 8
, 0),
, 0), (
, 0), (
, 0).
Untuk sembarang nilai x, fungsi g(x) = cos 4x bernilai –1 ≤ g(x) ≤ 1. Jadi, nilai maksimum fungsi g(x) = cos 4x adalah 1 dan nilai minimumnya –1. Daerah hasil fungsi g(x) = cos 4x adalah {g(x) |–1 ≤ g(x) ≤ 1, g(x) ∈ R}.
5. Grafik fungsi tersebut mempunyai 2 kemungkinan persamaan yaitu fungsi sinus atau fungsi kosinus. a.
Sebagai fungsi kosinus. Misalkan persamaan grafik fungsi adalah y = a cos b(x + c) + d. Grafik fungsi berulang setiap b=
2π 2π 3
2π 3
. Nilai
= 3.
Nilai ymaks = 3 dan nilai ymin = 1. Amplitudo fungsi =
1 2
Persamaan fungsi sementara dengan y = cos 3(x + c) + d. Titik potong grafik y = cos 3x sumbu Y yaitu titik (0, 1) pada tidak mengalami pergeseran ke kanan atau ke kiri searah sumbu X sehingga c = 0. Akan tetapi titik tersebut mengalami pergeseran ke atas (+2) searah sumbu Y sehingga d = 2. Jadi, persamaan fungsinya y = cos 3(x + 0) + 2 ⇔ y = cos 3x + 2. b.
Sebagai fungsi sinus. Misalkan persamaan grafik fungsi y = a sin b(x + c) + d. Grafik fungsi berulang setiap b=
2π 2π
2π 3
. Nilai
= 3.
3
Nilai ymaks = 3 dan nilai ymin = 1. Amplitudo fungsi = (3 – 1) = 1. Nilai a = 1. Persamaan fungsi menjadi y = sin 3(x + c) + 2. Titik potong sumbu Y yaitu (0, 0) pada fungsi y = sin 3x mengalami pergeseran ke kiri
π 6
searah sumbu X dan pergeseran ke atas +2 satuan sehingga c =
(3 – 1) = 1. Nilai a = 1.
π 6
dan d = 2.
Jadi, persamaan fungsinya y = sin 3(x+ + 2 ⇔ y = sin 3(x +
π 6
π 6
) + 2.
Matematika Kelas X
99
)
t u d u S n a ) g a n – e d ° 0 a 9 t ( u I d n u r a S d i a s u a l e K i R d
) ) a – ° 0 8 t ( 1 u d n u a S d n ) a a g + n ° e d 0 9 a ( ( t I u I d n u r a S d i a s u a l e K i R d
) ) a – ° 0 7 2 ( t u n d a u d S ) a n a + g ° n 0 e 8 d 1 ( a ( I t I u I d n u a r S d i a s u a l e K i R d
) ) a – ° 0 6 3 ( t n u a d d u S ) a n + a g ° n 0 e 7 d 2 ( a ( t V u I d n u r a S d i a s u a l e K i R d
f i t a g e N t u d u S n a g n e d a t u d u S i s a l e R
t u d u S n a g n e d n a a r u t k u d U u i S a i g s a a b l r e e R B
i r t e s m a o t i t n n o g e i r d I T
i r t e m o n o g i n r a T i t s k a u t b i t m n e e P d I
s u n i S n a r u t A
i r t e m o n o g i r T s a t i t n e d I
t u n d u a S g i i n r s i a l d t e n e r a m e o b r n B e o P i g r T
s u n i s o K n a r u t A
n a r s a u u t A L a , n g s a i t u d i n , i s g S u e n S n i a r s u o t K A
i r t e m o n o g i r T
i r t e m o n o g i r T i s g n u F k i f a r G
n a i d n r t t a e u g n m d i u d o S n n a o n b g a i r r r e T u P k U
t u d u S n a r u k U
100
Trigonometri
n i r u k a t i g e S n m i u d o k i n n o a g S b r i r a e T g P i t i g e S
I n t u n a d g u a r n S d i d i a n t r u a e K b i r m e o d P n o g i r T
n i r a a t w g e e n m m i i d o t n n s o a g I t b i r r u e T d P u S
i i r s t g e n u m F o n o g i r T
r i r u t s e n m U o r n u o s i g n r U T i s g n u F
i i r s t g e n u m F o n k o i f i g a r r T G
a g i t i g e S s a u L
A. Pilihan Ganda
⇔
1. Jawaban: c Satu radian = 7 π 5
rad =
180° π 36
7 5
1 π ×
⇔ 4x2 + x2 = 20 ⇔ 5x2 – 20 = 0 x2 – 4 = 0 ⇔ ⇔ x = ±2 Jadi, nilai x yang memenuhi = 2.
sehingga: 180° π
= 7 × 36° = 252° Jadi,
7 π 5
5. Jawaban: b Misalkan panjang BC = CD = p. Perhatikan segitiga ACD siku-siku di D.
rad = 252°.
tan α =
2. Jawaban: e (i) Besar sudut α Satu putaran = 2π rad sehingga: Sudut α =
1 4
1 π rad 2
× 2π rad =
Satu derajat =
π 180°
π
Sudut β = 240 ×
180°
3
rad =
4 π rad 3
=
(p tan α)2 + (2p)2
=
p2 tan2 α + 4p2
=
p2 (4 + tan2 α)
= p (4 + tan2 α )
Hasil penjumlahan kedua sudut: 1 4 11 + π = π π 2 3 6
depan miring
sin B =
Jadi, hasil penjumlahan kedua sudut tersebut 11 π 6
AD p tan α = AB p 4 + tan2 α
=
rad.
6 2 + 92
=
36 + 81 =
sin α =
Jadi,
OA =
117 = 3 13
hadap miring
BC 9 = = = AC 3 13 3 nilai sin α = 13
3 13
×
13 13
=
tan α =
⇔
BC AC
=
1 2
⇔
x AB
=
1 2
⇔
AB = 2x
4 + t an2 α tan α 4 + tan2 α
.
3 13
13
(−3)2 + ( −4)2
=
9+16
=
25
=5 Y
13 .
4. Jawaban: d Perhatikan ∆ABC di samping. 1 2
tan α
6. Jawaban: a Titik A di kuadran III. Panjang OA:
AB2 + BC2
=
=
Jadi, sin B dapat dinyatakan dengan
3. Jawaban: c AC =
⇔ AD = CD tan α = p tan α
AD2 + BD2
AB =
rad sehingga:
4
AD CD
Pada segitiga ABD siku-siku di D berlaku teorema Pythagoras, diperoleh:
(ii) Besar sudut β
α + β =
AB2 + BC2 = AC2 (2x)2 + x2 = (2 5 )2
α A B 2 5
α
B –3 O –4
x
X
5
A
C
Matematika Kelas X
101
sin α =
AB −4 = AO 5
= –
11. Jawaban: a cos 110° × cotan 160° + sin 200° = cos (180 – 70)° × cotan (180 – 20)° + sin (180 + 20)° = –cos 70° × (–cotan 20°) – sin 20° = –cos 70° × (–cotan (90 – 70)°) – sin (90 – 70)° = –cos 70° × (–tan 70°) – cos 70°
4 5
4 5
Jadi, nilai sin α = – . 7. Jawaban: b tan (–1.200)° = –tan 1.200° = –tan (6 × 180° + 120°) = –tan 120° = –tan (180° – 60°) = –(–tan 60°) = tan 60°
= –cos 70° × (–
12. Jawaban: c Perhatikan segitiga QSR.
3.
Jadi, tan (–1.200)° = 8. Jawaban: b cos2
π 6
5π 6
– sin2
cos2 30°
+ 8 cos
3π 4
sin
=
1 2
3 4
π 4
1 2
= –3
1 – 4
1 2
2) × (
1 2
Jadi, nilai cos
6
– sin
6
+ 8 cos
9. Jawaban: a Jumlah sudut segitiga = 180° A + B + C = 180° ⇔ ⇔ A + B = 180° – C sin (A + B) = sin (180° – C) = sin C Jadi, nilai sin (A + B) = sin C.
PR2 − RS2
=
252 − 202
=
625 − 400
=
225
π 4
= 15 Jadi, panjang PS = 15 cm.
⇔ ⇔ ⇔
10. Jawaban: c sin 25° cos 65°
= tan 25° × tan (90 – 25)° – = tan 25° × cotan 25° – 1 tan 25°
NL KN
sin 45° =
NL 6
1 2
2 = NL =
–
tan L = sin 25° cos (90 − 25)°
sin 25° sin 25°
sin 25° sin 25°
=1–1 =0 Jadi, nilai tan 25° × tan 65° –
Trigonometri
sin K =
NL 6 1 2
2 × 6 = 3 2 cm
Perhatikan segitiga NLM siku-siku di L.
tan 25° × tan 65° –
102
RS 40
13. Jawaban: c Perhatikan segitiga KLN siku-siku di L.
1 2
= –3 .
= tan 25° ×
sin
=
RS = 20
PS =
2)
3π 4
1 2
RS 40
Perhatikan segitiga PSR.
1 2 2 5π
sin 30° =
⇔
4
2 π
⇔ ⇔
sin2 150°
3 )2 – ( )2 + 8 × (–
–
RS QR
sin Q =
= – + 8 cos 135° sin 45° 2 2 = cos 30° – sin (180° – 30°) + 8 cos (180° – 45°) sin 45° = cos2 30° – sin2 30° + 8 (–cos 45°) sin 45° =(
) – cos 70°
= sin 70° – cos 70° =p–q Jadi, nilai cos 110° × cotan 160° + sin 200° = p – q.
3
=
sin 70° cos 70°
NL LM
⇔ tan 60° =
3 2 LM
⇔
3 =
3 2 LM
⇔
LM =
3 2 3
×
Jadi, panjang LM = sin 25° cos 65°
= 0
3 3
=
6 cm.
6 cm
14. Jawaban: b 7 tan2 x + 3 = 7(sec2 x – 1) + 3 = 7 sec2 x – 7 + 3 = 7 sec2 x – 4 =
7
cos 2 x
17. Jawaban: c a + b = 10 ⇔ a = 10 – b
– 4 7
cos 2 x
– 4.
⇔
15. Jawaban: e +
⇔
1 + cos α sin α
c
a sin A
=
b sin B
a sin A
=
b sin B
a sin 30°
=
b s in 6 0 °
1 2
=
3
sin α × sin α (1 + cos α) sin α
=
sin2 α (1 + cos α) sin α
=
sin2 α + 1 + 2 cos α + cos2 α (1 + cos α) sin α
=
=
(sin2 α + cos2 α) + 1 + 2 cos α (1 + cos α) sin α
10 3 − 30 1− 3
=
=
1 + 1 + 2 cos α (1 + cos α) sin α
30 − 10 3 2
= 15 – 5 3
=
2 + 2 cos α (1 + cos α) sin α
=
2(1 + cos α) (1 + cos α) sin α
(1 + cos α)(1 + cos α) (1 + cos α) sin α
+
1 + 2 cos α + cos 2 α (1 + cos α) sin α
⇔ 10 3 – b 3 = b
+
1 + cos α sin α
= 2 cosec α.
16. Jawaban: d ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 75° + ∠B + 45° = 180° ⇔ ∠B + 120° = 180° ⇔ ∠B = 60° Aturan sinus: AB sin C
⇔
AB sin 45°
⇔
AB 1 2
2
= = =
⇔
AB AC
=
⇔
AB AC
=
10 3 = b(1 +
⇔
b=
10 3 1+ 3
3) ×
1− 3 1− 3
18. Jawaban: d B Ukuran sisi segitiga: AB = c = 3 cm 3 cm 7 cm BC = a = 7 cm AC = b = 5 cm A C 5 cm Besar sudut A ditentukan dengan aturan kosinus. a2 = b2 + c2 – 2bc cos A 72 = 52 + 32 – 2 × 5 × 3 × cos A ⇔ ⇔ 49 = 25 + 9 – 30 cos A ⇔ 49 = 34 – 30 cos A ⇔ 30 cos A = 34 – 49 ⇔ 30 cos A = –15
2
sin α 1 + cos α
⇔
Jadi, panjang sisi b = 15 – 5 3 .
= sin α = 2 cosec α Jadi,
B
b 1 2
=
+
60°
30°
A
10 − b
a
b
Aturan sinus:
Jadi, 7 tan2x + 3 =
sin α 1 + cos α
C
C 45°
⇔
AC sin B
AC sin 60°
75° A
B
AC 1 2
3
1 2 1 2
2
cos A = –
1 2
⇔ cos A = cos 120° A = 120° ⇔ Jadi, besar sudut A adalah 120°. 19. Jawaban: a Dimisalkan panjang sisi segitiga 2a, 3a, dan 4a. Sudut terbesar berada di depan sisi terpanjang, yaitu ∠B.
3 2 3
Jadi, perbandingan antara panjang AB dengan AC adalah
2 :
3.
Matematika Kelas X
103
21. Jawaban: a
AB2 + BC2 − AC2 2 × AB × BC
cos ∠B =
C
(2a)2 + (3a)2 − (4a)2 2 × 2a × 3a
=
m 8 c
B
4a
=
3a
C
12a2
−3a2 12a2
=
= –
1 4
A
B
2a
Jadi, nilai kosinus sudut terbesar adalah
D
2 cm 60°
2x cm 3 cm 60° B
L∆ABC =
1 × 2
AB × BC × sin B
=
1 × 2
8 × 8 × sin 30° 1
= 32 × 2 = 16 cm2 Luas segi-12 beraturan = 12 × L∆ABC = 12 × 16 = 192 cm2 Jadi, luas segi-12 beraturan tersebut 192 cm2. 22. Jawaban: d Belah ketupat KLMN beserta ukurannya disajikan ulang seperti berikut.
C
x cm
Luas segitiga (s, sd, s):
1 – . 4
20. Jawaban: b Misalkan panjang BC = x cm maka panjang CD = 2x cm. A
30° 8 c m
4a2 + 9a2 − 16a2
A
N
Perhatikan segitiga ABD. BD2 = AB2 + AD2 – 2 × AB × AD × cos A = 32 + 22 – 2 × 3 × 2 × cos 60° =9+4–2×3×2×
1 2
120° K
12 3
30° 30°
=9+4–6 =7
L
Perhatikan segitiga BCD. BD2 = BC2 + CD2 – 2 × BC × CD × cos C ⇔ 7 = x2 + (2x)2 – 2 × x × 2x × cos 60°
⇔
7 = x2 + 4x2 – 2 × x × 2x ×
⇔ ⇔
7 = x2 + 4x2 – 2x2 7 = 3x2
⇔ x2 = ⇔ ⇔
1 2
7 3 7 3
×
3 1 3
3
1 3
21 .
Trigonometri
(12 3)2 × 2× 432 ×
1 2
1 2
×
1 2
1
×2
3 1 2
3
108 3
×
3 3
Luas KLMN = 2 × L∆KMN
21
Jadi, panjang BC =
104
=
KM2 × sin 30° × sin 30° 2 sin120°
= 36 3 cm2
3
Panjang BC yang memenuhi tidak negatif yaitu BC = x =
L∆KMN =
=
7
x=± =±
Luas segitiga KMN (sd, s, sd):
=
x=±
30° 30°
= 2 × 36 3 cm2 Jadi, luas KLMN = 72 3 cm2.
1 3
21 cm.
M
23. Jawaban: c
25. Jawaban: b
cos B =
AB2 + BC2 − AC2 2AB × BC
=
(2a)2 + (2a)2 − a 2 2 × 2a × 2a 2
4a + 4a − a
= = =
2
7
7 8
mengalikan ordinat grafik fungsi y = cos 2(x –
2
64 − 49 8
2 x s c o = y
Y
y = cos 2(x –
π 6
y = cos 2(x –
)
5π 4
5π 12
15 AB × BC × sin B
=
1 × 2
2a × 2a ×
1 8
π 12
15
)
π 6
)
=
15 × 4
24. Jawaban: d Perhatikan ∆ABD
f(x) =
D
1 × 2
30
3 sin 2(x –
C
f maks = | 3 |+ 1 =
π 3
) ada pada
π 2
)+1
3 + 1
fmin = –| 3 |+ 1 = – 3 + 1
14 cm
=
X
26. Jawaban: e f(x) = a sin b(x + c) + d Nilai f maksimum adalah fmaks = |a| + d dan nilai minimum f adalah fmin = –|a| + d.
+ BD + AD)
+ 14 + 10)
17π 12
pilihan b.
Jadi, volume prisma adalah a2 15 cm3.
=
11π 12
Jadi, grafik fungsi y = –2 cos (2x –
= a2 15 cm3
1 (6 2
3π 4
23π 12
–2
15 cm2
1 2 a 4
π 4
–1
Volume prisma = L∆ABC × AD
10 cm
Dengan demikian a =
3 + 1 dan b = – 3 + 1.
a2 + b2 = ( 3 + 1)2 + (– 3 + 1)2
= 15
A
6 cm
B
LABCD = 2 × LABD =2×
s(s − AB)(s − BD)(s − AD)
=2×
15 × (15 − 6) × (15 − 14) × (15 − 10)
=2×
15 × 9 × 1 × 5
=2×
15 × 45
=2×
π 6
1
L∆ABC =
1 (AB 2
) dapat diperoleh dengan
dengan –2 untuk setiap x yang bersesuaian.
82 − 72 8
1 2 a 4
)
). Grafik
fungsi y = –2 cos 2(x –
1 × 2
s=
π 6
π 6
8a2
1 8
π 6
searah sumbu X
agar diperoleh grafik fungsi y = cos 2(x –
7a2
=
=
π 6
gesernya ke kanan sejauh
B
) = –2 cos 2(x –
dapat diperoleh dengan menggambar grafik y = cos 2x terlebih dahulu kemudian meng-
8
8a 2
sin B =
=
2
π 3
Grafik fungsi y = –2 cos (2x –
= (3 + 2 3 + 1) + (3 – 2 3 + 1) =8 Jadi, nilai a2 + b2 = 8. 27. Jawaban: c f(x) = a cos b(x + c) + d Nilai f maksimum adalah fmaks = |a| + d dan nilai minimum f adalah fmin = –|a| + d. f(x) = –5 cos (x –
15 × 15 × 3
= 2 × 15 3 = 30 3 Jadi, luas jajargenjang tersebut 30 3 cm2.
π 4
)+1
f maks = |–5 |+ 1 =5+1=6 fmin = –|–5 |+ 1 = –5 + 1 = –4
Matematika Kelas X
105
Dengan demikian nilai f(x) terletak di antara –4 dan 6. Jadi, daerah hasil fungsi f(x) = –5 cos (x –
π 4
⇔ –2 = 2
⇔ –2 = 2 × (–1) + d ⇔ –2 = –2 + d d=0 ⇔
28. Jawaban: d y = cos (x –
1
−π 6
)
y = cos x
Persamaan grafiknya y = 2 cos 3(x – π 6
–1
π 3
•
•
π π 3 2
5π 6
3π 2
5π 2
11π 6
17π 6
X
Perhatikan (0, 1) salah satu titik puncak grafik y = cos x. Titik (0, 1) bergeser ke kanan sejauh π 3
π 3
B. Uraian
2π 2π
Perhatikan ∆PQS. PQ QS
cos ∠PQS =
)
b.
Jadi, nilai a = –2 dan k = 1.
QR QS
1 2
2. a.
Grafik fungsi tepat mempunyai 1 periode pada interval
π –
π 3
=
π sampai dengan π. 3 2π . Dengan demikian, 3
Periode grafik = b=
2π 2π 3
= 3.
Grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi f(x) = 2 cos 3x yang digeser ke kanan sejauh
π 3
satuan
searah sumbu X. Persamaan grafiknya f(x) = 2 cos 3(x –
π 3
) + d.
Trigonometri
QS = 20 2 cm
2
×
⇔
sin 60° =
2
3 2
=
QR 20 2 QR 20 2 20 2 × 2
1 2
+
b.
QR =
⇔
QR = 10 6 cm
1 2
sin 120° × cos 300° tan 210°
=
sin (180° − 60°) × cos (300° − 60°) tan (180° + 30°)
=
sin 60° × cos 60° tan 30°
=
1 2
3 × 1 3
3
1 2
=
3
⇔
=0 Jadi, tan 315° – cos 240° + sin 150° = 0.
Jadi, 106
⇔
1 2
tan 315° – cos 240° + sin 150° = tan (360° – 45°) – cos (180° + 60°) + sin (180° – 30°) = –tan 45° – (–cos 60°) + sin 30° = –1 +
Persamaaan grafik fungsi sementara adalah f(x) = 2 cos 3(x + c) + d.
2
QS =
Jadi, panjang QR = 10 6 cm.
(2 – (–2)) = 2.
Dengan demikian, a = 2.
20
⇔
⇔
30. Jawaban: a f(x) = a cos b(x + c) + d dengan a = amplitudo dan b = periode. Nilai maksimum dan nilai minimum f(x) adalah fmaks = 2 dan fmin = –2. (fmaks – fmin) =
20
2 = QS
Perhatikan ∆QRS. sin ∠QRS =
1 2
1 2
20 QS
Jadi, panjang QS = 20 2 cm.
= 1.
Amplitudo =
⇔ cos 45° = ⇔
29. Jawaban: a Grafik melalui titik (0, –2), diperoleh: y = a cos kx ⇔ –2 = a cos (k × 0) ⇔ –2 = a cos 0 ⇔ –2 = a Grafik membentuk satu periode dari 0 sampai dengan 2π, periodenya adalah 2π sehingga nilai
)
Jadi, persamaan grafik fungsinya adalah y = –2 cos 3x.
Jadi, grafik fungsi yang dimaksud adalah y = cos (x –
π 3
⇔ y = 2 cos (π – 3x) ⇔ y = –2 cos 3x.
1. a.
satuan searah sumbu X.
k=
π )+d 3 π cos (– ) + d 3
f(x) = 2 cos 3(x –
)+ 1
adalah {f(x) | –4 ≤ f(x) ≤ 6}. Y
Grafik melalui titik (0, –2), diperoleh:
3 4
sin 120° × cos 300° tan 210°
=
3 4
.
3. Cara I: Segitiga ABD siku-siku di B dengan ∠BDA = 30° dan panjang AD = 24 cm. sin ∠BDA =
⇔
sin 30° = 1 2
⇔ ⇔
=
cos ∠BAC =
AB AC
AB AD
⇔ cos 30° =
12 AC
AB 24
⇔
1 2
AB 24
⇔
3 AC = 24
AB = 12 cm
cos ∠BDA =
BD AD
⇔ cos 30° =
BD 24
1 2
BD 24
⇔ ⇔
3 =
12 cm.
⇔
AC = 8 3 cm
Jadi, panjang CD = AC = 8 3 cm. 4. Oleh karena 0 < θ <
tan ∠CAB =
⇔ tan 30° =
BC 12
1 3
Cara II: Jumlah sudut dalam segitiga ABC adalah 180°, diperoleh: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° ⇔ 30° + 90° + ∠BCA = 180° ⇔ 120° + ∠BCA = 180° ⇔ ∠BCA = 60°
∠BCA dan ∠ACD saling berpelurus sehingga: ∠BCA + ∠ACD = 180° ⇔ 60° + ∠ACD = 180° ⇔ ∠ACD = 120° Jumlah sudut dalam segitiga ACD adalah 180°, diperoleh: ∠ACD + ∠CDA + ∠DAC = 180° ⇔ 120° + 30° + ∠DAC = 180° ⇔ 150° + ∠DAC = 180° ⇔ ∠DAC = 30° Oleh karena ∠DAC = ∠CDA = 30° maka segitiga ACD sama kaki sehingga AC = CD. Dari langkah pada cara I diperoleh panjang AB =
=
depan samping
5
2
( 5)2 + 22
r= =
5+4
=
9 = 3 3π 2
sec (
cos
− θ) + cotan (2 π − θ)
π (2
+ θ ) − tan (π − θ)
=
sec (270° − θ) + cotan (360° − θ) cos (90° + θ) − tan (180° − θ)
=
−cosec θ − cotan θ −sin θ + tan θ
= 12 3 – 4 3 = 8 3 cm
maka θ terletak di kuadran I.
θ
BC
Panjang CD: CD = BD – BC
π 2
r
3 = 12
BC = 4 3 cm
5 2
5 =
BD = 12 3 cm
BC AB
⇔
1 2
tan θ =
Segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠CAB = 30° dan panjang AB = 12 cm.
⇔
12
3 = AC
=
= =
−
3 5 5 3
− −
− +
2 5 5 2
5 5 5 6
−5 5
×
6 5
= –6 Jadi, nilai 5. a.
sec (
3π 2
cos
− θ) + cotan (2 π − θ)
π (2
+ θ) − tan ( π − θ)
= –6.
Membuktikan tan A cos4 A + cotan A sin4 A = sin A cos A. Ruas kiri: tan A cos4 A + cotan A sin4 A =
sin A cos A
× cos4 A +
cos A sin A
× sin4 A
= sin A cos3 A + cos A sin 3 A = sin A cos A (cos2 A + sin2 A) = sin A cos A × 1 = sin A cos A = ruas kanan (terbukti) Matematika Kelas X
107
b.
sin2 x
Membuktikan
cos2 x
–
Perhatikan ∆ABC.
cos2 x sin2 x
AC sinB
= sec2 x – cosec2 x. Ruas kiri: 2
sin x cos2 x
2
cos x
–
sin2 x
1
= tan2 x – cotan2 x
cos x 1 + sin x
Membuktikan
–
1 + sin x cos x
–
1 + sin x cos x
= 30 × sin 60° = 30 ×
–
(1 + sin x )(1 − sin x ) (1 + sin x ) cos x
=
cos 2 x (1 + sin x ) cos x
–
1 − sin2 x (1 + sin x ) cos x
=
cos 2 x + sin2 x − 1 (1 + sin x ) cos x
4 cm
= 1 + cotan x.
(1 − cotan2 x) sin x sin x − cos x
sin x
sin x − cos x (
=
sin2 x − cos2 x ) sin2 x
=
sin x − cos x sin x (sin x − cos x)
=
sin x + cos x sin x
=1+
E
60°
60°
108
Trigonometri
1 × 2
DE × BE × sin ∠BEC
6 × 6 × sin 120° –
= 9 3 –
C
A
1 × 2
1
cosx sin x
D
AC × BC × sin C
1
1
1 × 2
2 × 2 × sin 120° 1
= 2 × 6 × 6 × 2 3 – 2 × 2 × 2 × 2 3
= 1 + cotan x = ruas kanan(terbukti) 7.
1 × 2
–
(sin x + cos x)(sin x − cos x) sin x (sin x − cos x)
B
Besar ∠C, yaitu: ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ 30° + 30° + ∠C = 180° 60° + ∠C = 180° ⇔ ⇔ ∠C = 180° – 60° ⇔ ∠C = 120° Besar ∠BED = ∠C = 120°. Luas ADEC merupakan selisih antara luas ABC dan luas DBE. Dengan demikian: Luas ADEC = LABC – LDEB =
2
2 cm
30° 30° D
sin x − cos x 2
=
sin x
E
30°
A
Ruas kiri:
=
C 6 cm
(1 − cotan2 x) sin x sin x − cos x
Membuktikan
=
3
8. Oleh karena panjang AC = BC maka segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki. Garis AC sejajar dengan DE sehingga bentuk segitiga ABC beserta ukurannya disajikan seperti berikut.
1− 1 (1 + sin x ) cos x
cos2 x ) sin2 x
1 2
Jadi, lebar sungai 15 3 m.
cos 2 x (1 + sin x ) cos x
(1 −
AD AC
= 15 3
= 0 = ruas kanan (terbukti) b.
= 30 m
⇔ AD = AC sin ∠ACD
= 0.
=
=
60 × 2 AB × sin B = sin C 1
sin ∠ACD =
Ruas kiri: cos x 1 + sin x
AB sin C
⇔ AC =
= (sec2 x – 1) – (cosec2 x – 1) = sec2 x – cosec2 x = ruas kanan (terbukti) 6. a.
=
30° 60 m
B
3 = 8 3
Jadi, luas segi empat ADEC = 8 3 cm2.
9. a.
f(x) = 2 sin (3x –
π 2
)–1
b.
π 2
g(x) = 4 – cos 3(x –
) – 1.
0
4
(0, 4)
, –1)
π 6
5
( 6 , 5)
, 1)
π 3
4
( 3 , 4)
π 2
3
( 2 , 3)
2π 3
4
(
5π 6
5
(
π
4
7π 6
3
(
7π 6
, 3)
4π 3
4
(
4π 3
, 4)
3π 2
5
(
3π 2
, 5)
2π
4
0
–3
(0, –3)
–1
π 3
1
(
π 2
–1
( 2 , –1)
2π 3
–3
(
5π 6
–1
(
π
1
π 3
π
2π 3
, –3)
5 π 6
, 1)
(π, 1)
–3
(
4π 3
, –3)
5π 3
1
(
2π
–3
(2π, –3)
Grafik fungsi f(x)= 2 sin (3x – Y
f(x) = 2 sin (3x –
1
π 2
π 2
5π 3
, 1)
–1 –2
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
π
π
2π , 3 5π 6
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
, 5)
(π, 4)
)–1
π 2
g(x) = 4 – cos 3(x –
5
4)
(π, 4)
Grafik fungsi g(x) = 4 – cos 3(x – Y
π 6
π
) – 1.
X 0
). (x, g(x)
(x, f(x))
π (6
π 2
g(x)
f(x)
4π 3
)
X
X
π 6
π 2
Menggunakan tabel nilai
Menggunakan tabel nilai f(x) = 2 sin 3(x –
g(x) = 4 – cos 3(x –
)
π 2
)
4 3 2 1
–3 π 6
π 3
π 2
2π 5π 3 6
π
7π 6
4 π 3 π 5π 11π 3 2 3 6
2π
Matematika Kelas X
X
109
10. a.
Misalkan f(x) = a cos b(x + c) + d dengan a = amplitudo dan b = periode Nilai maksimum dan nilai minimum f(x) adalah fmaks = 3 dan fmin = –1. 1 2
Amplitudo =
(fmaks – f min) = (3 – (–1)) = 2.
Dengan demikian, a = 2. Grafik fungsi tepat mempunyai 1 periode pada interval 0 sampai dengan periodenya b=
2π periode
2π 3
=
2π 3
sehingga
. 2π 2π 3
= 3.
Persamaan fungsi sementara: f(x) = 2 cos (x + c) + d Titik (0, 2) pada grafik y = 2 cos x bergeser 0 satuan searah sumbu x dan 1 satuan ke atas searah sumbu Y (yaitu menjadi titik (0, 3)). Dengan demikian c = 0 dan d = 1. Persamaan grafiknya: f(x) = 2 cos 3(x + 0) + 1 = 1 cos 3x + 1. Jadi, persamaan grafiknya f(x) = 2 cos 3x + 2.
110
Trigonometri
b.
Misalkan g(x) = a cos b(x + c) + d dengan a = amplitudo dan b = periode. Nilai maksimum dan nilai minimum f(x) adalah gmaks = 0 dan gmin = –2. Amplitudo =
1 2
(gmaks – gmin) =
1 2
(0 – (–2)) = 1.
Dengan demikian, a = 1. Grafik fungsi tepat mempunyai 1 periode π lembah pada interval 0 sampai dengan π. 2π
b = π = 2 Persamaan fungsi sementara: g(x) = cos 2(x + c) + d Titik (0, 1) pada grafik y = cos 2x bergeser ke kanan sejauh
π 2
satuan dan bergeser ke
bawah sejauh 1 satuan. Dengan demikian π 2
c = – dan d = –1. Persamaan grafiknya: g(x) = cos 2(x –
π 2
) – 1 = cos –(π – 2x) – 1 =
– cos 2x – 1. Jadi, persamaan grafiknya g(x) = –cos 2x – 1.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Diketahui f: x →
1 2
(x – 3), maka f(x) =
1 2
(x – 3).
Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi f(x) =
1 2
Semua grafik pada pilihan memiliki titik ujung paling kiri berabsis –3 berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga. Ordinat titik ujung grafik: 1 3
y = f(–4) = – × (–3) – 3 = 1 – 3 = –2
x
3
7
Diperoleh koordinat titik ujung (–3, –2). Grafik yang memiliki titik ujung (–3, –2) adalah pilihan c.
y = f(x)
0
2
Jadi, sketsa grafik fungsi linear f(x) = f(x) = –
(x – 3).
Daerah asal Df = {x | x ≤ 7, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri tak hingga dan titik ujung paling kanan (7, 2) tidak berlubang. Sketsa grafik fungsi f(x) =
1 2
(x – 3) pada daerah asal D f = {x | x ≤ 7, x
dengan daerah asal D f = {x | x > –3, x ∈ R} adalah pilihan c. 3. Jawaban: d Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = 1 4
x
4
8
y = f(x)
1
0
Y 3 2 1 1
2
x–3
f(x) = – (x – 8).
∈ R} sebagai berikut.
–3 –2 –1 0 –1
1 3
3
4
5
6
7
8
X
–2 –3
Dari gambar diperoleh nilai y = f(x) terendah adalah negatif tak hingga sehingga y > – ∞. Nilai y = f(x) tertinggi adalah y = 2 dan titik ujung (7, 2) tidak berlubang sehingga y ≤ 2. Dengan demikian, daerah hasil fungsi f adalah {y | –∞ < y ≤ 2, y ∈ R} atau {y | y ≤ 2, y ∈ R}. 2. Jawaban: c Daerah asal D f = {x | x > –4, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri berabsis –4 berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga.
Daerah asal f adalah D f = {x | x ≥ 4, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri berabsis 4 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga. Grafik fungsi y = f(x) = –
1 (x 4
– 8) dengan D f =
{x | x ≥ 4, x ∈ R} sebagai berikut. Y 2 1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
X
–2 –3
Dari gambar terlihat, grafik memotong sumbu X di titik (8, 0). Jadi, grafik y = f(x) memotong sumbu koordinat di titik (8, 0).
Matematika Kelas X
113
4. Jawaban: e Diketahui f : x → 2 – |f(x)| = |2 –
1 2
1 2
x, maka f(x) = 2 –
1 2
x dan
x|.
6. Jawaban: c Fungsi f(x) = 4m – (m + 2)x – x 2 mempunyai nilai a = –1, b = –(m + 2), dan c = 4m. Nilai maksimum fungsi = 25, maka: D
– 4a = 25
Menentukan titik-titik yang dilalui grafik fungsi y = |2 – x –2 0 2 4 6 8 ...
1 2
x|. |2 –
1 x| 2
Koordinat titik
3 2 1 0 1 2 ...
(–2, 3) (0, 2) (2, 1) (4, 0) (6, 1) (8, 2) ...
1 2
Sketsa grafik y = |2 –
= 25
(−(m + 2))2 − 4 × (−1) × 4m 4 × (−1)
= 25
m2 + 4m + 4 + 16m −4
= 25
x| dengan daerah asal
3 2 1 2
3
4
5
6
7
8
X
Dari gambar terlihat, nilai y terendah adalah y = 0 dan titik (4, 0) pada grafik sehingga x ≥ 0. Nilai y tertinggi adalah tak hingga sehingga y < +∞. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah {x | 0 ≤ y < +∞, y ∈ R} atau {x | y ≥ 0, y ∈ R}. 5. Jawaban: b Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c selalu berada di atas sumbu X jika memiliki nilai a > 0 dan D = b2 – 4ac < 0. Menyelidiki nilai a dan D setiap fungsi kuadrat. Fungsi Kuadrat 3x2 – 5x – 4 5x2 – 2x + 3 3x2 + 5x – 4 –5x2 + 2x – 3 –3x2 – 2x + 3
Nilai a
Nilai D
3>0 5>0 3>0 –5 < 0 –3 < 0
(–5)2 – 4 × 3 × (–4) = 73 > 0 (–2)2 – 4 × 5 × 3 = –56 < 0 52 – 4 × 3 × (–4) = 73 > 0 22 – 4 × (–5) × (–3) = –56 < 0 (–2)2 – 4 × (–3) × 3 = 40 > 0
Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi kuadrat f(x) = 5x2 – 2x + 3 mempunyai nilai a = 5 > 0 dan D = –56 < 0. Jadi, fungsi yang grafiknya selalu berada di atas sumbu X adalah f(x) = 5x 2 – 2x + 3.
Ulangan Akhir Semester
m2 + 20m + 4 = 100 m2 + 20m – 96 = 0 (m + 24)(m – 4) = 0 (m + 24) = 0 atau (m – 4) = 0 m = –24 atau m = 4 Oleh karena m > 0 maka dipilih m = 4. Absis titik balik: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
b
x = – 2a = –
4+2 6 −(m + 2) = −2 = −2 = –3 2 × (−1)
Jadi, titik balik maksimum fungsi (–3, 25).
Y
1
–
⇔
{x | x ≥ –2, x ∈ R} sebagai berikut.
–3 –2 –1 0 –1
–
⇔
Daerah asal f adalah D f = {x | x ≥ –2, x ∈ R} sehingga titik ujung paling kiri berabsis –2 tidak berlubang dan titik ujung paling kanan tak hingga.
114
b2 − 4ac 4a
–
⇔
7. Jawaban: c Dari gambar terlihat grafik terbuka ke bawah sehingga nilai a < 0. Fungsi kuadrat pada pilihan semua memiliki nilai a < 0. Grafik memotong sumbu Y positif sehingga c > 0. Fungsi kuadrat yang memiliki nilai c > 0 adalah pilihan a dan c. Titik balik grafik (xP, yP) berada di kanan sumbu Y sehingga nilai xP > 0. Menyelidiki nilai xP fungsi kuadrat pada pilihan a dan c. Fungsi kuadrat f(x) = –x 2 + 2x + 3 memiliki nilai a = –1, b = 2, dan c = 3. xP = – =– =–
b 2a
−4 2 × (−2) 4 4
= –1 Nilai xP < 0 sehingga fungsi kuadrat f(x) = –2x 2 – 4x + 3 bukan persamaan dari grafik. Fungsi kuadrat f(x) = –2x 2 – 4x + 3 memiliki nilai a = –2, b = –4, dan c = 3. xP = – =– =
2 2
=1
b 2a 2 2 × (−1)
Nilai xP > 0 sehingga fungsi kuadrat f(x) = –2x 2 – 4x + 3 merupakan persamaan dari grafik. Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat yang mungkin adalah f(x) = –2x2 – 4x + 3. 8. Jawaban: e Keliling 2 persegi panjang = panjang kawat 2(2(p + )) = 80 ⇔ 4(p + ) = 80 ⇔ p + = 20 ⇔ p = 20 – Misalkan kuadrat L mencapai maksimum di (x p, yp). yp = luas maksimum persegi panjang Fungsi kuadrat L = 20x – x2 memiliki nilai a = –1, b = 20, dan c = 0. yp = =
3
Penyelesaian m > 8 dalam bentuk garis bilangan sebagai berikut. . . . (3) 3 8
Irisan penyelesaian (1), (2), dan (3) sebagai berikut.
0
b 2 − 4ac −4a
–3
202 − 4 × (− 1) × 0 −4 × (−1)
3 8
400
= 4 = 100 Jadi, luas maksimum setiap persegi panjang adalah 100 cm2. 9. Jawaban: b Dari gambar terlihat grafik terbuka ke atas sehingga nilai a > 0. Grafik memotong sumbu Y positif sehingga c > 0. Grafik berada di atas sumbu X sehingga nilai D < 0. Fungsi kuadrat f(x) = mx 2 + (2m – 3)x + m + 3 memiliki nilai a = m, b = (2m – 3), dan c = (m + 3). a > 0 ⇔ m > 0 Penyelesaian m > 0 dalam bentuk garis bilangan sebagai berikut.
penyelesaian
3 8
3
Dari diagram di atas diperoleh penyelesaian m > 8 . Jadi, batas-batas nilai m yang memenuhi adalah 3
m> 8 . 10. Jawaban: b Fungsi rasional f(x) = 1 − 4x memiliki: 2x − 6
1) 2)
koefisien x pembilang = –4 koefisien x penyebut = 2
Asimtot datar y =
koefisien x pembilang koefisien x penyebut
= −4 = –2
. . . (1)
2
0
c > 0 ⇔ m + 3 > 0 ⇔ m > –3 Penyelesaian m > –3 dalam bentuk garis bilangan sebagai berikut.
1 − 4x 2x − 6
Jadi, fungsi rasional f(x) =
memiliki asimtot
datar y = –2. 11. Jawaban: e
. . . (2) –3
2−x
(2m – 3)2 – 4m(m + 3) < 0 ⇔ 4m2 – 12m + 9 – 4m2 – 12m < 0 ⇔ –24m + 9 < 0
D<0 ⇔
⇔ ⇔
Fungsi rasional f(x) = 2x − 2 dengan x ≠ 2 memiliki
−9
m > −24 m>
3 8
asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = 2. Grafik yang memiliki asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = 2 adalah pilihan a dan e. Menyelidiki titik-titik yang dilalui grafik fungsi rasional f(x) = 2x − 2 . 2−x
x
0
1
3
4
y = f(x)
–1
0
–4
–3
Matematika Kelas X
115
Diperoleh koordinat titik (0, –1), (1, 0), (3, –4), dan (4, –3). Sketsa grafik yang melalui titik (0, –1), (1, 0), (3, –4), dan (4, –3) adalah pilihan e. Jadi, sketsa grafik fungsi rasional f(x) = 2x − 2 2−x
dengan x ≠ 2 adalah pilihan e. 12. Jawaban: c Penyebut fungsi rasional f(x) = x − 1 adalah 1 + 2x
(1 + 2x) sehingga asimtot tegak grafik adalah 1 + 2x = 0 ⇔ x = – 1 . 2
Dengan demikian, pernyataan 4) salah. Grafik y = f(x) memiliki asimtot tegak x = –
1 2
sehingga daerah asal grafik adalah D g = {x | x ≠ – 1 , x ∈ R}. 2
Dengan demikian, pernyataan 1) salah. Koefisien x pembilang fungsi f adalah 1 dan koefisien x penyebut adalah 2 sehingga asimtot datar grafik adalah y =
koefisien x pembilang koefisien x penyebut
= 1 . 2
sehingga daerah hasil grafik adalah R f = {y | y
13. Jawaban: e (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (3x – 7) – (–x 2 + 2x – 6) = x2 + x – 1 Jadi, rumus fungsi (f – g)(x) = x 2 + x – 1. 14. Jawaban: d ⎛f⎞ f(x) ⎜ g ⎟ (x) = g(x) ⎝ ⎠ 2 = 2x + x − 15 x+3
=
(2x − 5)(x + 3) x+3
= 2x – 5 Jadi, rumus fungsinya adalah 2x – 5.
1 2
≠ 1 2
y ∈ R}. Dengan demikian, pernyataan 2) benar. Jadi, pernyataan yang benar adalah 2) dan 3).
16. Jawaban: b k(x) = (f × g)(x) = f(x) × g(x) = (x + 5)(2x – 1) = 2x2 – x + 10x – 5 = 2x2 + 9x – 5 (h k)(x) = h(k(x)) = h(2x2 + 9x – 5) = –3(2x2 + 9x – 5) + 7 = –6x2 – 27x + 15 + 7 = –6x2 – 27x + 22 Jadi, rumus fungsi (h k)(x) = –6x 2 – 27x + 22. 17. Jawaban: b (g f)(x) = g(f(x))
Dengan demikian, pernyataan 3) benar. Grafik y = f(x) memiliki asimtot datar y =
15. Jawaban: b Misalkan t = x + 1 sehingga x = t – 1. f(x + 1) = x2 + 5x + 6 ⇔ f(t) = (t – 1)2 + 5(t – 1) + 6 ⇔ f(t) = t2 – 2t + 1 + 5t – 5 + 6 ⇔ f(t) = t2 + 3t + 2 ⇔ f(x) = x2 + 3x + 2 (g – f)(x) = 2x2 – 8x + 9 ⇔ g(x) – f(x) = 2x2 – 8x + 9 ⇔ g(x) – (x2 + 3x + 2) = 2x2 – 8x + 9 ⇔ g(x) = (2x2 – 8x + 9) + (x 2 + 3x + 2) ⇔ g(x) = 3x2 – 5x + 11 Jadi, rumus g(x) = 3x2 – 5x + 11.
= g(
3x + 7 ) 2x − 1
= 4(
3x + 7 ) 2x − 1
, =
12x + 28 2x − 1
+ 5
=
12x + 28 2x − 1
+
5(2x − 1) 2x − 1
=
12x + 28 2x − 1
+
10x − 5 2x − 1
=
22x + 23 2x − 1
Jadi, rumus (g f)(x) =
Ulangan Akhir Semester
22x + 23 ; 2x − 1
1 2
.
t −9 2
.
x≠
18. Jawaban: b (g f)(x) = x2 + 4x + 9 ⇔ g(f(x)) = x2 + 4x + 9 ⇔ g(2x + 9) = x2 + 4x + 9 Misalkan t = 2x + 9 sehingga x = g(2x + 9) = x 2 + 4x + 9 2 ⎛t −9⎞ ⎛t −9⎞ ⇔ g(t) = ⎜ + 2 ⎜ 2 ⎟ – 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 t − 18t + 81 ⇔ g(t) = + (t – 9) – 5
4
116
+5
22. Jawaban: e
⎛ t 2 − 18t + 81 ⎞ ⎟⎟ + 4(t – 9) – 4 × 5 ⇔ g(t) = 4 ⎜⎜ 4 ⎝ ⎠
f(x) =
⇔ g(t) = t2 – 18t + 81 + 4t – 36 – 20 ⇔ g(t) = t2 – 14t + 25 ⇔ g(x) = x2 – 14x + 25
−3(3x + 1)
19. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) ⇔ (g(x))2 + 2g(x) – 5 = x2 + 10x + 19 ⇔ (g(x))2 + 2g(x) = x2 + 10x + 24 ⇔ (g(x))2 + 2g(x) + 1 = x2 + 10x + 24 + 1 ⇔ (g(x) + 1)2 = x2 + 10x + 25 ⇔ (g(x) + 1)2 = (x + 5)2 ⇔ g(x) + 1 = x + 5 ⇔ g(x) = x + 4 Jadi, rumus fungsi g(x) = x + 4.
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Jadi, rumus komposisi (f g h)(x) =
⇔
y(–3x + 18) = –10x – 5 –3xy + 18y = –10x – 5 10x – 3xy = –18y – 5 x(10 – 3y) = –18y – 5 −18y − 5
x = −3y + 10
−(18y + 5)
⇔
f–1(x) =
x + 15 x+9
; x ≠ –9.
⇔
12x + 22 8x + 17
= g–1(f–1(x))
⇔
12x + 22 8x + 17
= g–1(4x + 7)
Misalkan t = 4x + 7 sehingga x = 12x + 22 8x + 17
y(2x – 5) = x – 7 2xy – 5y = x – 7 2xy – x = 5y – 7 x(2y – 1) = 5y – 7 5y − 7 2y − 1 5y − 7 2y − 1
f–1(x) =
5x − 7 2x − 1
18x + 5 ; 3x − 10
x≠
10 3
23. Jawaban: b (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x)
12 ⎛⎜ t − 7 ⎞⎟ + 22
f–1(y) =
18x + 5 3x − 10
Jadi, invers fungsi f adalah f –1(x) =
x−7 2x − 5
x=
−10x − 5 −3x + 18
f–1(y) = −(3y − 10)
21. Jawaban: a Misalkan y = f(x).
⇔
−10x − 5 −3x + 18
⇔
)
⎛ x + 12 ⎞ = 4 ⎜ 2(x + 9) ⎟ – 1 ⎝ ⎠ 2(x + 12) = (x + 9) – 1 2x + 24 x+9 = – x+9 x+9 x + 15 = x+9
⇔
=
⇔
x + 12
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
(−9x − 3) − (x + 2) −3x + 18
y=
= f( 2(x + 9) )
y=
=
Misalkan y = f(x).
20. Jawaban: a (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 9)) (x + 9) + 3 2(x + 9)
x+2
= −3(x − 6) – −3x + 18
Jadi, rumus g(x) = x2 – 14x + 25.
= f(
3x + 1 x+2 – x−6 −3x + 18
t−7 4
.
= g–1(4x + 7)
⇔
⎝ 4 ⎠ ⎛ t−7 ⎞ 8 ⎜ ⎟ + 17 ⎝ 4 ⎠
= g–1(t)
⇔
3(t − 7) + 22 2(t − 7) + 17
= g–1(t)
⇔
3t − 21 + 22 2t − 14 + 17
= g–1(t)
⇔
3t + 1 2t + 3
= g–1(t)
⇔
3x + 1 2x + 3
= g–1(x)
g–1(x) =
3x + 1 2x + 3
⇔
y=
3x + 1 2x + 3
⇔
2xy + 3y = 3x + 1
Misalkan y = g–1(x). –1
Jadi, invers dari f(x) adalah f (x) =
5x − 7 ; 2x − 1
1 x≠ 2
.
Matematika Kelas X
117
.
⇔ 2xy – 3x = –3y + 1 ⇔ x(2y – 3) = –3y + 1 −3y + 1 ⇔ x = 2y − 3 ⇔
g(y) =
−3y + 1 2y − 3
⇔
g(x) =
−3x + 1 2x − 3
BC = 4 satuan
⇔
x=
⇔
36 + 16
=
52
karena tan β =
2 3
r
9x + 1 x−3
h (x) =
=
depan = miring
=
90x − 135 + 1 10x − 18
cos β =
samping miring
=
90x − 134 10x − 18
depan samping
⇔ sin 30° =
6 AC 6 AC
90x − 134 9 ;x≠ 10x − 18 5
Nilai .
13 3
=
13
5 sin β − 6 cos β 2 cos β + 3 sin β
5(
=
2(
=
C 6 cm A
2 13 3 13
− +
) − 6( ) + 3(
3 13 2 13
) )
18 13 6 13
8 12 2
B
= –3 Cara II : 5 sin β − 6 cos β 2 cos β + 3 sin β
Y 2
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3
=
5 sin β − 6 cos β 2 cos β + 3 sin β
C
1
A
=–
30°
AC = 12 Jadi, panjang AC = 12 cm.
Ulangan Akhir Semester
13 6 13
⇔
26. Jawaban: a Segitiga ABC disajikan pada bidang koordinat seperti gambar di samping. Segitiga ABC sikusiku di B. AB = 6 satuan
maka dapat dibentuk
2
10
sin A =
118
=
r = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 Dengan demikian diperoleh:
25. Jawaban: c
=
13 .
3
sin β =
BC AC
13
2
9(10x − 15) + 1 (10x − 15) − 3
Jadi, invers dari (f g h)(x) adalah
1 2
3 13
13
3 13
=
β
(f g h)–1(x) = (h–1 g–1 f–1)(x) = h –1(g–1(f–1(x))) = h–1(g–1(5x – 8)) = h–1(2(5x – 8) + 1) = h–1(10x – 15)
⇔
13
×
segitiga seperti berikut.
9y + 1 y−3
–1
AB 6 = AC 2 13
cos A =
27. Jawaban: b Cara I : Nilai tangen diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut. Oleh
3x + 1 x−9
(x – 9)y = 3x + 1 xy – 9y = 3x + 1 xy – 3x = 9y + 1 x(y – 3) = 9y + 1
=
Jadi, nilai cos A =
24. Jawaban: d Misalkan y = h(x).
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
62 + 4 2
= 2 13
3 −3x + 1 Jadi, rumus fungsi g adalah g(x) = ; x≠ . 2x − 3 2
y=
AC =
1 2 B
3 4
X
=
sin β
cos β
cos β
sin β
5 cos β − 6 cos β 2 cos β + 3 cos β
×
1 cos β 1 cos β
=
5 tan β − 6 2 + 3 tan β
= =
5( 3) − 6
= 5 Oleh karena α di kuadran III maka kosinus bernilai negatif.
2
2 + 3( 3 ) 10 3
−6 2+2
10 3
cos α = –
− 183 8
2
5 sin β − 6 cos β 2 cos β + 3 sin β
2 3
= – .
5 3
1
= – 3 5
5
tan θ = 12 dapat disajikan dalam segitiga seperti berikut.
5
Sudut 6 π = 150°. cos 150° = cos (180° – 30°) = –cos 30° = – 5 6
Jadi, nilai cos π = –
1 2
1 2
sin 150 ° + cos 330 ° tan 225° − sin 300 °
r =
122 + 52
=
144 + 25
3
r 12
= 169 = 13 tan (270° – θ) + cos (180° + θ) = cotan θ – cos θ
3.
29. Jawaban: e
5 12
θ
5 13
=
sin (180° − 30°) + cos (360 ° − 30°) tan (180° + 45°) − sin (360 ° − 60°)
=
=
sin 30° + cos 30 ° tan 45° − ( − sin 60 °)
= 156
1 2
Jadi, nilai tan (270° – θ) + cos (180° + θ) =
=
= = =
+ 21 3
1+
1 2
1+ 3 2+ 3
3
×
×
5
5
2 2
2− 3
sin θ + cos θ sin θ − cos θ
2− 3
2− 3+2 3−3 4−3
depan
sin α = – = 3 = miring 3 dan α di kuadran III maka dapat dibentuk segitiga seperti di samping.
5 156
.
1 − tan θ
× 1 + tan θ
3 – 1.
sin θ cos θ sin θ cos θ
=
×
=
sin θ + cos θ sin θ − cos θ
×
cos θ − sin θ cos θ cos θ + sin θ cos θ
=
sin θ + cos θ sin θ − cos θ
×
cos θ − sin θ cos θ + sin θ
=
sin θ + cos θ sin θ − cos θ
×
−(sin θ − cos θ) = –1 sin θ + cos θ
p α
2
1−
sin θ + cos θ sin θ − cos θ
3–1
30. Jawaban: b Nilai sinus diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring sudut. Oleh karena −2
–
32. Jawaban: b
sin 150° + cos 3 30 ° = tan 225° − sin 300 °
2
= –
31. Jawaban: b Nilai tangen diperoleh dari perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping sudut. Nilai
28. Jawaban: a
Jadi, nilai
samping miring
1 Jadi, nilai cos α = – 3 5 .
4
= – 12 = – 3 Jadi, nilai
9−4
=
2
=
32 − 2 2
p=
3
Jadi, nilai
1+
sin θ + cos θ sin θ − cos θ
1 − tan θ
× 1 + tan θ = –1.
Matematika Kelas X
119
33. Jawaban: a −1 +1
cotan x cotan x cos x
=
=
sin x cos x
Perhatikan ΔBED sin ∠DBE = DE BD
−1
sin x
+1
cos x
− sin x
DE p sin θ cos θ
⇔
cos θ =
DE p sin θ cos θ
DE = p sin θ cos2 θ Jadi, panjang DE = p sin θ cos2 θ.
+ sin x
sin x
=
sin (90° – θ) =
⇔
sin x cos x
⇔
− sin x cos x + sin x cos x
Jadi, bentuk
cotan x cotan x
−1 setara dengan +1
cos x cos x
− sin x . + sin x
34. Jawaban: d C
CT =
AC2 − AT2
=
(p 3)2 − p 2
1
= 144 + 256 – 2 × 12 × 16 × 2 = 144 + 256 – 192 = 208 2 BD = 208
p 3 2
2
=
3p − p
=
2p2
36. Jawaban: d Untuk menentukan panjang CD diperlukan ukuran panjang BD atau BC. Pada segitiga ABD berlaku aturan kosinus sebagai berikut. BD2 = AB2 + AD2 – 2 × AB × AD × cos A = 122 + 162 – 2 × 12 × 16 × cos 60°
60° A
= p 2 Perhatikan ΔBCT.
p
T
208 = 4 13 Perhatikan ΔBCD. ⇔ BD =
B
BD sin C
=
CD sin B
⇔
4 13 sin 30°
=
CD sin 45°
p 2 BC
⇔
4 13
=
p 2 BC
⇔
sin B = CT
BC
⇔
sin 60° = 3 2
⇔
=
2
BC = p 2 ×
⇔
3
35. Jawaban: c Perhatikan ΔABC.
⇔
AB p
= cos θ
C
AB = p cos θ Perhatikan ΔABD. AB
⇔
sin θ =
A
θ
E
BD p cos θ
⇔ BD = p sin θ cos θ ∠BAD + ∠ABD + ∠APB = 180° ⇔ θ + ∠ABD + 90° = 180° ⇔ ∠ABD = 180° – 90° – θ ⇔ ∠ABD = (90° – θ) ∠DBE = ∠ABD = (90° – θ)
120
Ulangan Akhir Semester
CD = 4 26
B
A 3 α
1
cos α = 9
⇔
p =
D
⇔
sin θ = BD
2
37. Jawaban: b AB2 = OA2 + OB2 – 2(OA)(OB) cos α ⇔ 42 = 32 + 32 – 2(3)(3) cos α ⇔ 16 = 9 + 9 – 18 cos α ⇔ 16 = 18 – 18 cos α O ⇔ –2 = –18 cos α
3
3
= cos θ
CD 1 2
Jadi, panjang CD = 4 26 cm.
= 2 6 p
Jadi, panjang BC = 2 6 p.
AB AC
1 2
4 3 B
92 − 12
=
81 − 1
=
80
9 α
=4 5 p
tan α = 1 =
p 1
4 5 1
= 4 5
Jadi, nilai tan α = 4 5 .
38. Jawaban: d Perhatikan gambar berikut. D x 120° 10 A
40. Jawaban: e π
Grafik fungsi f(x) = sin (x + 6 ) – 1 dapat diperoleh dengan menggeser grafik f(x) = sin x ke kiri sejauh
C 120° 10 60°
60° 18
π 6
menggeser ke bawah sejauh 1 satuan searah sumbu Y.
B
Dalam menentukan panjang AC ada 2 cara. AC2 = AB2 + BC2 – 2EB × BC cos ∠B atau AC2 = AD2 + DC2 – 2AD × DC cos ∠D Dengan menyamakan kedua persamaan diperoleh sebagai berikut. AD2 + DC2 – 2AD × CD cos D = AB2 + BC2 – 2AB × BC cos ∠B 102 + x2 – 2 × 10 × cos 120° = 182 + 102 – 2 × 18 × 10 cos 60° 2
⇔ 100 + x – 20x × (–
1 2
) = 324 + 100 – 360 ×
2
x + 10x = 324 – 180 x2 + 10x = 144 x2 + 10x – 144 = 0 (x – 8)(x + 18) = 0 x = 8 atau x = –18 Nilai x yang memenuhi adalah 8. Jadi, panjang CD = 8 cm. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
1 2
)
π
−π −π 0
π
3 6
6
1. a.
⇔
sin A = 2
⇔
sin A = sin 30°
π 6
)–1
Bentuk umum fungsi linear adalah g(x) = ax + b dengan a ≠ 0. Grafik melalui titik (–4, 4) dan (0, 3) sehingga g(–4) = 4 dan g(0) = 3. g(–4) = 4 ⇔ –4a + b = 4 . . . (1) g(0) = 3 ⇔ 0 × a + b = 3 ⇔ b=3 . . . (2) Substitusikan nilai b = 3 ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh: –4a + b = 4 ⇔ –4a + 3 = 4 ⇔ –4a = 1 1
a= –4
⇔
1
Substitusikan nilai a = – 4 dan b = 3 ke dalam
48
sin A = 96
X
2π
f3(x) = sin (x +
12 × 16 × sin A
⇔
11π 6
B. Uraian
1
48 = 96 sin A
π
π
L = 2 × AB × AC × sin A
⇔
2π 3
Jadi, grafik fungsi f(x) = sin (x + 6 ) – 1 ditunjukkan oleh gambar pada pilihan e.
Luas segitiga (s, sd, s):
48 =
f1(x) = sin x
–2
C
⇔
6
–1
12 cm
1 × 2
+
1
B
16 cm
x ( i n s ) = x ( f 2
Y
39. Jawaban: a
A
satuan searah sumbu X, lalu dilanjutkan
persamaan g(x) = ax + b sehingga diperoleh 1
1
g(x) = – 4 x + 3. Jadi, persamaan grafik fungsi linear tersebut 1
adalah g(x) = – 4 x + 3.
⇔
A = 30° Jadi, besar sudut A = 30°. b.
1
g(8) = – 4 × 8 + 3 = –2 + 3 = 1 Misalkan g–1(2) = p, maka: 1
g(p) = 2 ⇔ – 4 p + 3 = 2 ⇔ ⇔
1
–4 p=1 p = –4 Matematika Kelas X
121
Dengan demikian, diperoleh g –1(2) = –4. Nilai g(8) + g–1(2) = 1 – 4 = –3 Jadi, nilai g(8) + g –1(2) = –3. 2. A
12 – x
P x
cx + d
dengan (cx + d) ≠ 0. Grafik fungsi rasional berbentuk h(x) =
8–x x 12 – x
ax + b cx + d
8
R
Luas ABCD = LPQRS – LΔAQB – LΔBRC – LΔCSD – LΔADP = 12 × 8 –
x(8 – x) –
1
1 2
x(12 – x)
. . . (1)
a c
. . . (2)
= –2 ⇔ a = –2c
f(0) = 1 ⇔
a×0+b c×0+ d
=1
⇔
b d
=1
1
1
1
b=d . . . (3) Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh a = –2c dan b = c = d. Misalkan dipilih nilai d = 1, maka diperoleh: b=c=1 a = –2 × 1 = –2 Substitusikan nilai a = –2, b = 1, c = 1, dan ⇔
= 12 × 8 – 2 × 2 x(8 – x) – 2 × 2 x(12 – x) = 96 – (8x – x2) – (12x – x 2) = 96 – 8x + x2 – 12x + x2 = 96 – 20x + 2x2 Misalkan f(x) = luas ABCD, maka f(x) = 96 – 20x + 2x2. Fungsi kuadrat f(x) = 96 – 20x + 2x 2 mencapai minimum di titik (xP, yP). yP = luas minimum segi empat ABCD Fungsi kuadrat f(x) = 96 – 20x + 2x 2 memiliki nilai a = 2, b = –20, dan c = 96. D
yP = – 4a = – =–
d = 1 ke dalam persamaan y = h(x) = ax + b cx + d
sehingga diperoleh y = h(x) = −2x + 1 . x +1
Jadi, persamaan grafik fungsi rasional tersebut
b2 − 4ac 4a
adalah y = h(x) = −2x + 1 dengan x ≠ 1. x +1
2
(−20) − 4 × 2 × 96 4×2
=
400 − 4 × 2 × 96 – 4×2
=
8 × 50 − 8 × 96 – 8
4. a.
= –(50 – 96) = –(–46) = 46 Jadi, luas minimum segi empat ABCD adalah 46 cm2.
122
– d = –1 ⇔ d = c
Grafik melalui titik (0, 1) sehingga f(0) = 1.
– 2 x(8 – x) – 2 x(12 – x)
3. a.
a
c
12
1 2
c
memiliki asimtot tegak x = – d dan
asimtot datar y = c sehingga diperoleh:
C
x
Grafik memiliki asimtot datar y = –2 dan asimtot tegak x = –1 sehingga persamaan grafik memiliki bentuk y = h(x) = ax + b
D S x 8–x
Q B
b.
Dari grafik terlihat, ketika x → –∞, y → –2 dan ketika x → +∞ menyebabkan y → –2. Dengan demikian, y = –2 merupakan asimtot datar. Ketika x → –1 –, y → –∞. Ketika x → –1 +, y → + ∞ . Dengan demikian, x = –1 merupakan asimtot tegak. Jadi, asimtot datar grafik fungsi rasional tersebut adalah y = –2 dan asimtot tegaknya x = –1.
Ulangan Akhir Semester
(f × g)(x)= f(x) × g(x) =
2x − 1 × 3x + 2
=
(2x − 1)(5x + 8) 3x + 2
=
2x 2 + 16x − 5x − 8 3x + 2
=
2x 2 + 11x − 8 3x + 2
(5x + 8)
Jadi, rumus (f × g)(x) = b.
(g f)(x) = g(f(x)) ⎛ 2x − 1 ⎞ ⎝ ⎠
= g ⎜ 3x + 2 ⎟ ⎛ 2x − 1 ⎞ ⎝ ⎠
= 5 ⎜ 3x + 2 ⎟ + 8
2x 2 + 11x − 8 3x + 2
2 3
; x ≠ – .
= 3(f(x)) – 11 = 3(5x + 6) – 11 = 15x + 18 – 11 = 15x + 7 –1 Jadi, invers (f g h) adalah (f –1 g h)–1(x) = 15x + 7.
⎛ 3x + 2 ⎞
10x − 5
= 3x + 2 + 8 ⎜ 3x + 2 ⎟ ⎝ ⎠ 10x − 5
24x + 16
= 3x + 2 + 3x + 2 34x + 11
= 3x + 2
6. a. 34x + 11
Jadi, rumus komposisi (g f)(x) = 3x + 2 ; 2 3
x ≠ – . 5. a.
b. x−5
Diketahui g–1(x) = 5x − 9 . Misalkan y = g–1(x). y=
f(x) = gaji + bonus = 3.500.000 + 6.000x Jadi, rumus fungsi f adalah f(x) = 3.500.000 + 6.000x. Misalkan y = f(x). y = 3.500.000 + 6.000x x=
y − 3.500.000 6.000
⇔ f–1(y) =
y − 3.500.000 6.000
⇔ f–1(x) =
x − 3.500.000 6.000
⇔
x−5 5x − 9
⇔ 5xy – 9y = x – 5 ⇔ 5xy – x = 9y – 5 ⇔ x(5y – 1) = 9y – 5 9y − 5 ⇔ x = 5y − 1 9y − 5 ⇔ (g–1)–1(y) = 5y − 1 9y − 5 ⇔ g(y) = 5y − 1 9x − 5 ⇔ g(x) = 5x − 1
Jadi, rumus invers f adalah f–1(x) =
x − 3.500.000 . 6.000
7. Nilai kosinus diperoleh dari perbandingan antara sisi samping sudut dengan sisi miring sudut. Nilai cos 5° =
samping miring
1
=
p2 + 1
sehingga dapat
dibentuk segitiga seperti berikut. 9x − 5
Jadi, rumus fungsi g adalah g(x) = 5x − 1 ; x
1 ≠ 5
p2 + 1 5° 1
. (h g)–1(x) = 3x – 11 (g–1 h–1)(x) = 3x – 11 g–1(h–1(x)) = 3x – 11
b. ⇔ ⇔
−1
h (x) − 5 5h−1(x) − 9
⇔
= 3x – 11
Sisi depan sudut = tan 95° + tan 185° tan 275° + tan 355°
⇔ (3x – 11)(5h –1(x) – 9) = h–1(x) – 5 ⇔ 15xh–1(x) – 27x – 55h –1(x) + 99 ⇔ ⇔
= h–1(x) – 5 –1 –1 15xh (x) – 56h (x) = 27x – 104 h–1(x)(15x – 56) = 27x – 104
x≠ c.
56 15
=
−cotan 5° + tan 5 ° −cotan 5° − tan 5° − p1 + p1 − p1 − p1 −1 + p2
=
p
−1 − p2 p
27x − 104 ; 15x − 56
= .
Invers (f–1 h g)(x) = (f –1 h g)–1(x) (f–1 h g)–1(x) = (g–1 h–1 (f–1)–1)(x) = (g–1 h–1 f)(x) = ((h g)–1 f)(x) = (h g)–1(f(x))
p2 = p
tan (90° + 5°) + tan (180° + 5°) tan (270° + 5°) + tan (360° − 5°)
27x − 104
Jadi, invers fungsi h adalah h –1(x) =
(p2 + 1) − 1 =
=
=
h–1(x) = 15x − 56
⇔
p
Jadi,
1 − p2 −1 + p2 −(1 − p2 ) = = 1 + p2 −1 − p2 −(1 + p2 )
tan 95° + tan 185° tan 275° + tan 355°
=
1 − p2 1 + p2
.
Matematika Kelas X
123
AB2 + AC2 − BC 2 2 × AB × AC
8. cos BAC = = =
63
312 + 252 − (24 2)2 2 × 31× 25
C
1
2
961 + 625 − 1.152 2 × 31× 25
25 − 7
25
= 2 × PQ × PR × sin P
2
1
= 576 = 24
434
= 2 × 31× 25 14
sin P = 65 Luas segitiga PQR
A
O
7 cm
7
= 2 × 25 = 25
10. a.
7
24
cos BAC = 25 maka sin BAC = 25 AC
BC sin BAC
= sin ABC
24 2
24 sin ABC
⇔
24 25
=
⇔ sin ABC =
24 25 2
G ra fi k fu ng si t e rs eb ut m em pu ny ai 2 kemungkinan persamaan yaitu fungsi sinus atau fungsi kosinus. 1) Sebagai fungsi sinus Y y = sin x
2
×
2
=
24 50
24
12 25
2 = 12
0
2
240°
60°
Fungsi f(x) tersebut merupakan fungsi y = sin x yang digeser ke kanan sejauh 60° satuan searah sumbu X sehingga persamaan grafik fungsi tersebut adalah f(x) = sin (x – 60°). Sebagai fungsi kosinus
9. Segitiga PQR beserta ukurannya disajikan seperti berikut. P
2) 13 cm
Y 1
Q
a.
y = cos x
R
21 cm
0
Pada segitiga PQR berlaku aturan kosinus. QR2 = PQ2 + PR2 – 2 × PQ × PR × cos P ⇔ 212 = 202 + 132 – 2 × 20 × 13 × cos P ⇔ 441 = 400 + 169 – 520 cos P ⇔ 441 = 569 – 520 cos P ⇔ 520 cos P = 569 – 441 ⇔ 520 cos P = 128 cos P = 520
⇔
cos P = 65
16
=
65
4.225 − 256 P
y = sin (x + 90°) + 3
4
a
16
y
0
Ulangan Akhir Semester
π 3
Y
652 − 162
= 3.969 = 63
124
X
240°
)
Grafik fungsi tersebut mempunyai 2 kemungkinan persamaan yaitu fungsi sinus atau fungsi kosinus. 1) Sebagai fungsi sinus
16
Telah diperoleh cos P = 65 , sehingga: a =
150°
Fungsi f(x) tersebut merupakan fungsi y = cos x yang digeser ke kanan sejauh 150° satuan searah sumbu X sehingga persamaan grafik fungsi tersebut adalah f(x) = cos (x – 150°) = cos – (180° – (x + 30°) = –cos (x + 30°) b.
16
60°
y = cos (x –
128
⇔
Jadi, nilai cos P = 65 . b.
X
360°
y = sin (x – 60°)
2.
Jadi, sin BAC = 50 dan sin ABC = 25
20 cm
63
= 2 × 20 × 13 × 65 = 126 cm2 Jadi, luas segitiga PQR = 126 cm 2.
90°
180°
270°
x n i s =
360°
X
