Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mend mendeskr eskripsik ipsikan an dan mengana menganalisis lisis konse konsep p vektor; vektor; 2. mendes mendeskripsi kripsikan kan dan menyeles menyelesaikan aikan operasi operasi aljabar vektor vektor;; 3. mende mendeskrip skripsikan sikan dan menyele menyelesaika saikan n masalah jarak jarak dan sudut sudut dua vektor; vektor; 4. memeca memecahkan hkan masalah mengguna menggunakan kan kaidah-k kaidah-kaidah aidah vektor vektor.. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik: 1. menunjukkan perilaku perilaku disiplin, sikap sikap kerja sama, sikap sikap kritis, kritis, dan cermat dalam bekerja bekerja menyelesaikan menyelesaikan masalah masalah kontekstual kontekstual;; 2. memiliki dan menunjukkan menunjukkan sikap ingin tahu, tahu, motivasi internal, internal, rasa senang senang dan tertarik, dan percaya diri dalam melakukan kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.
Pengertian Vektor
Konsep Vektor
Vektor di R2 Vektor di R3 Vektor Posisi Kesamaan Vektor Penjumlahan Vektor
Operasi Vekor
Pengurangan Vektor
Latihan 1
Perkalian Bilangan dengan Vektor
Latihan 2
Perbandingan Vektor
Latihan 3
Panjang Vektor
Latihan 4
Soal-Soal
Materi
Panjang Vekor
Jarak Antara Dua Titik Vektor Satuan
Latihan 5
Menyatakan Vektor Menggunakan Vektor Satuan pada Sumbu Koordinat
Ulangan Harian Perkalian Skalar Dua Vekor
Hasil Kali Skalar Dua Vektor Besar Sudut Antara Dua Vektor Dua Vektor Saling Tegak Lurus Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
Vektor
Proyeksi Vektor
Proyeksi Skalar Ortogonal Proyeksi Vektor Ortogonal
Tugas Sistem Koordinat di R3
Ilmuwan yang Mengembangkan Analisis Vektor
Membuktikan Rumus Perbandingan Vektor
Membuktikan Rumus a · b = | a || b | cos θ
Menentukan Vektor
Informasi
Kegiatan
Pemantapan
Menggunakan Operasi Vektor Menggunakan Vektor Satuan Membuktikan Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Menentukan Panjang Proyeksi Vektor
Selancar Internet
Menjelaskan Dot Product dan dan Cross Product Matematika Kelas X
1
A. Pilihlah jawaban yang paling tepat.
1.
5.
Koordinat titik P(4, 8) dan Q(2, –3), maka
Jawaban: Jawa ban: d
Gaya mempunyai besar/nilai yaitu besarnya gaya yang bekerja dan mempunyai arah yaitu arah gaya bekerja. Oleh karena mempunyai besar dan arah maka gaya merupakan besaran vektor. Panjang, massa, volume, dan suhu mempunyai besar/nilai tetapi tidak mempunyai arah. Oleh karena hanya mempunyai besar maka panjang, massa, volume, dan suhu termasuk besaran skalar. 2.
vektor PQ digambarkan seperti di samping. Dari titik P ke kiri 2 satuan (–2) dan ke bawah 11 satuan (–11) sampai di titik Q, maka ⎛ −2 ⎞ PQ = ⎜ ⎟. ⎝ −11⎠ Cara lain: Koordinat titik P(4, 8), maka xP = 4 dan y P = 8. Koordinat titik Q(2, –3), maka xQ = 2 dan yQ = –3.
Jawaban: Jawa ban: b
Pangkal vektor MN adalah titik M dan ujungnya titik N. Dari titik M ke kanan 6 satuan (6) dan ke bawah 3 satuan (–3) sampai di titik N. Jadi, vektor ⎛6⎞ MN = ⎜ ⎟ . ⎝ −3 ⎠
3.
Jawaban: Jawa ban: e
⎛ xQ PQ = ⎜ ⎝ yQ
Jawaban Jaw aban:: c
Dari kedudukan titik A, B, dan C diperoleh vektorvektor berikut. ⎛ −5 ⎞ BA = ⎜ ⎟ ⎝0⎠
Y P 7 6 5 4 3 2 1 0 –1
1
2
3
4
5
X
–2 –3
Q
⎛ 2−4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎟ − yP ⎠ ⎝ −3 − 8 ⎠ ⎝ −11⎠ − xP ⎞
⎛ −2 ⎞ ⎟. Jadi, PQ = ⎜ ⎝ −11⎠
6.
⎛ 1⎞ AC = ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −5 ⎞ Koordinat titik K(2, 3) dan KL = ⎜ ⎟ , berarti dari ⎝4⎠ titik K ke kiri 5 satuan dan ke atas 4 satuan sampai di titik L. perhatikan gambar berikut.
⎛ 4⎞ CB = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ Jadi, pernyataan yang benar adalah (iii).
4.
Jawaban: Jawa ban: c
L
Y 7 6
Jawaban Jaw aban:: e
5
Vektor-vektor di atas dapat dituliskan sebagai berikut. ⎛5⎞ p = ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
4 3
⎛ −5 ⎞ q = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
K
2 1
–3 –2 –2 –1 –1 0
⎛ −2 ⎞ r = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ s = ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠ ⎛ −2 ⎞ t = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛ −2 ⎞ Jadi, ⎜ ⎟ = t . ⎝5⎠
2
Vektor
1
2
3
X
Diperoleh koordinat titik L(–3, 7). Cara lain: Misalkan koordinat titik L(x L, yL), maka: ⎛ x − xK ⎞ ⎛ xL − 2 ⎞ ⎛ −5 ⎞ KL = ⎜ L ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝ yL − y K ⎠ ⎝ yL − 3 ⎠ Dari kesamaan tersebut diperoleh: –5 = xL – 2 ⇔ xL = –3 4 = yL – 3 ⇔ yL = 7 Jadi, koordinat titik L(–3, 7).
7.
Jawaban: a
⎛ −6 ⎞ Koordinat titik Q(–4, 1) dan PQ = ⎜ ⎟ , berarti ⎝ −5 ⎠ dari titik P ke kiri 6 satuan dan ke bawah 5 satuan sampai di titik Q. Perhatikan gambar berikut.
10. Jawaban: e Koordinat titik A(–5, 4, 1), maka x A = –5, y A = 4, dan zA = 1. Misalkan koordinat titik B(x B, yB, zB), maka:
⎛ xB ⎜ AB = ⎜ yB ⎜z ⎝ B
Y P
6
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 0
1
2
3
X
4
Diperoleh koordinat titik P(2, 6). Cara lain: Misalkan koordinat titik P(x P, yP), maka: ⎛ x Q − xP ⎞ ⎛ −4 − xP ⎞ ⎛ −6 ⎞ PQ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ ⎝ 1 − yP ⎠ ⎝ y Q − yP ⎠ Dari kesamaan tersebut diperoleh: –6 = –4 – x P ⇔ xP = –4 + 6 ⇔ xP = 2 –5 = 1 – yP ⇔ yP = 1 + 5 ⇔ yP = 6 Jadi, koordinat titik P(2, 6).
8.
Jawaban: d
Koordinat titik D(–6, 12, –3). Vektor d merupakan
⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ vektor posisi titik D, yaitu d = OD = ⎜ 12 ⎟ . ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ Jadi, d = ⎜ 12 ⎟ . ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
9.
Jawaban: a
Koordinat titik M(7, –4, 2), maka x M = 7, yM = –4, dan zM = 2. Koordinat titik N(1, 2, –5), maka x N = 1, y N = 2, dan zN = –5.
⎛ xM − x N ⎞ ⎜ ⎟ NM = ⎜ yM − yN ⎟ = ⎜z −z ⎟ N⎠ ⎝ M
⎛6⎞ ⎜ ⎟ Jadi, NM = ⎜ −6 ⎟ . ⎜7⎟ ⎝ ⎠
⇔
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛ xB − ( −5) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ yB − 4 ⎟ ⎜ z −1 ⎟ ⎝ B ⎠
Dari kesamaan tersebut diperoleh: 4 = xB – (–5) ⇔ xB = –1 –2 = yB – 4 ⇔ yB = 2 ⇔ z B = 6 5 = zB – 1 Jadi, koordinat titik B(–1, 2, 6).
5
Q
⎞ ⎟ − yA ⎟ − zA ⎟ ⎠ − xA
⎛ 7 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −4 − 2 ⎟ = ⎜ 2 − (−5) ⎟ ⎝ ⎠
⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠
11. Jawaban: c Koordinat titik D(–2, 0, 1), maka x D = –2, yD = 0, dan zD = 1. Misalkan koordinat titik C(x C, y C, zC), maka:
⎛ xD − x C ⎞ ⎜ ⎟ CD = ⎜ yD − yC ⎟ ⎜z − z ⎟ C⎠ ⎝ D
⇔
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −2 − xC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − yC ⎟ ⎜ 1− z ⎟ C ⎠ ⎝
Dari kesamaan tersebut diperoleh: 3 = –2 – xC ⇔ x C = –2 – 3 ⇔ x C = –5 2 = 0 – y C ⇔ y C = –2 –5 = 1 – zC ⇔ z C = 1 + 5 ⇔ zC = 6 Jadi, koordinat titik C(–5, –2, 6). 12. Jawaban: b Koordinat titik A(2, –1), maka x A = 2 dan yA = –1. Koordinat titik B(5, 3), maka x B = 5 dan y B = 3. ⎛ xB AB = ⎜ ⎝ yB
⎞ ⎛ 5−2 ⎞ ⎛3⎞ = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ − yA ⎠ ⎝ 3 − (−1) ⎠ ⎝4⎠ − xA
⎛ 3⎞ Vektor posisi titik C adalah c = AB = ⎜ ⎟ , maka ⎝ 4⎠ koordinat titik C(3, 4). Jadi, koordinat titik C adalah (3, 4).
13. Jawaban: a Koordinat titik P(–1, –3), maka x P = –1 dan y P = –3. Koordinat titik Q(3, –2), maka x Q = 3 dan y Q = –2. Koordinat titik R(2, 3), maka x R = 2 dan y R = 3. Misalkan koordinat titik S(x S, yS), maka:
PQ = RS
⇔
⎛ xQ ⎜ ⎝ yQ
⎞ ⎛ xS ⎟ = ⎜ − yP ⎠ ⎝ yS − xP
− xR ⎞
⎟
− yR ⎠
⇔
⎛ xS ⎛ 3 − (−1) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜y ⎝ −2 − (−3) ⎠ ⎝ S
− 2⎞
⇔
⎛ xS ⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜y ⎝ 1⎠ ⎝ S
− 2⎞
⎟
− 3⎠
⎟
− 3⎠
Matematika Kelas X
3
Dari kesamaan vektor diperoleh: 4 = xS – 2 ⇔ xS = 6 1 = yS – 3 ⇔ yS = 4 Jadi, koordinat titik S adalah (6, 4).
Diperoleh koordinat titik C(6, 0, –1) sehingga vektor
⎛6⎞ posisinya c = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ . ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
14. Jawaban: e
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ Vektor posisi titik K adalah k = ⎜ −2 ⎟ . ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛6⎞ ⎜ ⎟ Jadi, vektor posisi titik C adalah c = ⎜ 0 ⎟ . ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
Koordinat titik L(–2, 3, 1), maka x L = –2, y L = 3, dan zL = 1. Misalkan koordinat titik M(x M, y M, y M), maka:
k = LM
⇔
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛ xM − x L ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ yM − y L ⎟ ⎜z −z ⎟ L⎠ ⎝ M
B. Uraian
1.
a dari titik pangkal ke kiri 3 satuan dan ke atas 1 ⎛ −3 ⎞ satuan, maka a = ⎜ ⎟ . ⎝ 1⎠ b dari titik pangkal ke kiri 2 satuan dan ke bawah
⇔
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛ xM − ( −2) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ yM − 3 ⎟ ⎜ z −1 ⎟ ⎝ M ⎠
⎛ −2 ⎞ 5 satuan, maka b = ⎜ ⎟ . ⎝ −5 ⎠ c dari titik pangkal ke bawah 4 satuan, maka c =
Dari kesamaan tersebut diperoleh: –4 = xM – (–2) ⇔ x M = –6 –2 = y M – 3 ⇔ y M = 1 5 = zM – 1 ⇔ z B = 6 Jadi, koordinat titik M(–6, 1, 6).
⎛0⎞ ⎜ ⎟. ⎝ −4 ⎠
d dari titik pangkal ke kanan 4 satuan, maka ⎛4⎞ d = ⎜ ⎟ . ⎝0⎠
15. Jawaban: b Koordinat titik A(3, –1, 4), maka x A = 3, yA = –1, dan zA = 4. Koordinat titik B(–2, 5, 3), maka x B = –2, yB = 5, dan zB = 3. Koordinat titik D(1, 6, –2), maka x D = 1, y D = 6, dan zD = –2. Misalkan koordinat titik C(x C, y C, zC), maka:
AB = CD
⇔
⇔
⇔
⎛ xB ⎜ ⎜ yB ⎜z ⎝ B
⎞ ⎛ xD − xC ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ − yA ⎟ = ⎜ yD − yC ⎟ ⎜ ⎟ − zA ⎟ ⎠ ⎝ zD − zC ⎠
⎛ −5 ⎞ ⎛ 1 − xC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 6 − yC ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 − z ⎟ C⎠ ⎝ ⎠ ⎝
Dari kesamaan vektor diperoleh: –5 = 1 – x C ⇔ x C = 6 ⇔ y C = 0 6 = 6 – yC –1 = –2 – z C ⇔ zC = –1
4
Vektor
e dari titik pangkal ke kanan 8 satuan dan ke atas ⎛ 8⎞ 5 satuan, maka e = ⎜ ⎟ . ⎝ 5⎠
f dari titik pangkal ke kanan 3 satuan dan ke
− xA
⎛ −2 − 3 ⎞ ⎛ 1 − xC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 − ( −1) ⎟ = ⎜ 6 − yC ⎟ ⎜ 3−4 ⎟ ⎜ −2 − z ⎟ C⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎛3⎞ bawah 2 satuan, maka f = ⎜ ⎟ . ⎝ −2 ⎠
2.
Soal ini bersifat terbuka, artinya ada tak hingga banyak pasangan titik A(x A, yA) dan B(xB, yB) yang mungkin diberikan sebagai jawaban. Syarat pasangan titik A dan B yang benar adalah ⎛ xB − x A ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . Lima pasangan titik A dan B ⎝ yB − y A ⎠ ⎝8⎠ yang memenuhi misalnya: i) A(0, 0) dan B(–4, 8) ii) A(4, –8) dan B(0, 0) iii) A(1, 1) dan B(–3, 9) iv) A(0, 1) dan B(–4, 9) v) A(1, 0) dan B(–3, 8)
3.
Koordinat titik P(2, –5), maka x P = 2 dan yP = –5. Koordinat titik Q(–6, –8), maka x Q = –6 dan y Q = –8. a. Misalkan koordinat titik R(x R, yR), maka:
PR = q
⇔
⇔
⎛ xR ⎜ ⎝ yR
⎛ xQ ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ − yP ⎠ ⎝ yQ ⎠ − xP ⎞
⎛ xR − 2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ yR − ( −5) ⎠ ⎝ −8 ⎠
⎛ xR − 2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ yR + 5 ⎠ ⎝ −8 ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: xR – 2 = –6 ⇔ xR = –4 yR + 5 = –8 ⇔ yR = –13 Jadi, koordinat titik R adalah (–4, –13). Koordinat titik S(–4, 1), maka x S = –4 dan y S = 1. Misalkan koordinat titik R(x R, yR), maka:
PQ = RS
⇔
⇔
⎛ xQ ⎜ ⎝ yQ
− xP ⎞
⎛ xS ⎟ = ⎜ − yP ⎠ ⎝ yS
− xP
⎞ ⎟ − yP = ⎟ − zP ⎟ ⎠
⎛ 1− 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − ( −5) ⎟ = ⎜ −6 − (−1) ⎟ ⎝ ⎠
⎛ xP ⎜ QP = ⎜ yP ⎜z ⎝ P
− xQ
⎞ ⎟ − y Q = ⎟ − zQ ⎟ ⎠
⎛ 2 − ( −3) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −5 − 4 ⎟ = ⎜ −1 − 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ xR ⎜ QR = ⎜ yR ⎜z ⎝ R
− xQ
⎞ ⎟ − y Q = ⎟ − zQ ⎟ ⎠
⎛ 1 − ( −3) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 4 ⎟ = ⎜ −6 − 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠
⇔
b.
⎛ xR ⎜ PR = ⎜ yR ⎜z ⎝ R
− xR ⎞
⎟
− yR ⎠
⎛ −4 − xR ⎞ ⎛ −6 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 1− y ⎟ ⎝ −8 − (−5) ⎠ ⎝ R ⎠
5.
Koordinat titik A(–6, 2, –3), maka x A = –6, y A = 2, dan zA = –3. Koordinat titik D(4, 4, –5), maka x D = 4, y D = 4, dan zD = –5. a. Misalkan koordinat titik B(x B, yB, zB), maka:
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ AB = ⎜ 8 ⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛ −4 − xR ⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 1− y ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝ R ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: –8 = –4 – x R ⇔ xR = 4 –3 = 1 – y R ⇔ yR = 4 Jadi, koordinat titik R adalah (4, 4).
⎛2⎞ ⎜ ⎟ Vektor posisi titik P(2, –5, –1): p = OP = ⎜ −5 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
4.
a.
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ Vektor posisi titik Q(–3, 4, 0): q = OQ = ⎜ 4 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Vektor posisi titik R(1, 4, –6): r = OR = ⎜ 4 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ Koordinat titik P(2, –5, –1), maka x P = 2, yP = –5, dan z P = –1. Koordinat titik Q(–3, 4, 0), maka x Q = –3, yQ = 4, dan zQ = 0. Koordinat titik R(1, 4, –6), maka x R = 1, yR = 4, dan zR = –6.
b.
⎛ xB ⎜ ⎜ yB ⎜z ⎝ B
⇔
⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ − yA ⎟ = ⎜8⎟ ⎜ ⎟ − zA ⎟ ⎠ ⎝5⎠ − xA
⇔
⎛ xB − ( −6) ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ yB − 2 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⎜ z − ( −3) ⎟ ⎜5⎟ ⎝ B ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⎛ xB + 6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ yB − 2 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⎜z + 3⎟ ⎜5⎟ ⎝ B ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜9⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
Dari kesamaan vektor diperoleh: xB + 6 = –2 ⇔ xB = –8 yB – 2 = 8 ⇔ yB = 10 zB + 3 = 5 ⇔ zB = 2 Diperoleh koordinat titik B(–8, 10, 2).
⎛ x D − xB ⎞ ⎜ ⎟ BD = ⎜ yD − yB ⎟ = ⎜z −z ⎟ B⎠ ⎝ D
⎛ 4 − (−8) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 10 ⎟ = ⎜ −5 − 2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠
Jadi, koordinat titik B(–8, 10, 2) dan vektor
⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ BD = ⎜ −6 ⎟ . ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠
Matematika Kelas X
5
b.
Misalkan koordinat titik C(x C, yC, zC), maka:
Diperoleh koordinat titik C(0, 5, –8).
⎛4⎞ ⎜ ⎟ CD = ⎜ −1⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⎛ xC ⎜ AC = ⎜ y C ⎜z ⎝ C
⇔
⎛ xD − x C ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ yD − yC ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜z −z ⎟ ⎜ 3 ⎟ C⎠ ⎝ D ⎝ ⎠
⇔
⎛ 4 − xC ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − yC ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ −5 − z ⎟ ⎜3⎟ C⎠ ⎝ ⎝ ⎠
Dari kesamaan vektor diperoleh: 4 – xC = 4 ⇔ x C = 0 4 – yC = –1 ⇔ y C = 5 –5 – zC = 3 ⇔ zC = –8
6
Vektor
⎞ ⎟ − y A = ⎟ − zA ⎟ ⎠ − xA
⎛ 0 − ( −6) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 5 − 2 ⎟ = ⎜ −8 − ( −3) ⎟ ⎝ ⎠
⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
Jadi, koordinat titik C(0, 5, –8) dan vektor
⎛6⎞ ⎜ ⎟ AC = ⎜ 3 ⎟ . ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
5.
A. Pilihlah jawaban yang tepat.
1.
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −5 ⎟ – ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
Jawaban: e
BD = BO + OE + CD
= AF + AF + (– AB )
6.
= v + v + (– u )
⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 − ( −6) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −5 − 3 ⎟ = ⎜ −4 − ( −1) ⎟ ⎝ ⎠
⎛8⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
Jawaban: b
⎛ −2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎛ −3 ⎞ 4 ⎜ ⎟ – 3 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ −3 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ −9 ⎠
= 2 v – u 2.
Jawaban: c
Jawaban: b D
⎛ −8 − (−3) ⎞ = ⎜ 20 ( 9) ⎟ ⎝ − − ⎠
C
v
A
⎛ −5 ⎞ = ⎜ 29 ⎟ ⎝ ⎠
B
u
7.
AB + AC + BC + BD
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ p = ⎜ 0 ⎟ dan q = ⎜2⎟ ⎝ ⎠
= AB + ( AB + BC ) + BC + ( BC + CD )
= AB + ( AB + AD ) + AD + ( AD – AB ) = u + ( u + v ) + v + ( v – u ) = u + u + v + v + v – u
3.
1 2
Jawaban: b
u + v + w = 0
⇔
u + w = 0 – v
⇔
u + w = – v
Jawaban: a
⎛4⎞ ⎛5⎞ u = ⎜ ⎟ dan v = ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝7⎠ ⎛4⎞ ⎛5⎞ u + v = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝7⎠ ⎛ 4+5 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −3 + 7 ⎠ ⎛9⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠
p + 3 q =
1 2
⎛ −4 ⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ + 3 ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ −1⎟ ⎜2⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 15 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 13 ⎞ = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −2 + 15 ⎞ = ⎜⎜ 0 + (−3) ⎟⎟ ⎜ 1 + (−9) ⎟ ⎝ ⎠
Jadi, pernyataan yang benar adalah u + w = – v . 4.
⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
Berdasarkan gambar diperoleh:
= u + 3 v
Jawaban: c
8.
Jawaban: d
⎛ −2 ⎞ Vektor posisi titik A(–2, 1, 5) adalah a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ . ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛ −6 ⎞ Vektor posisi titik B(–6, 4, –1) adalah b = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ . ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
Matematika Kelas X
7
⎛ −2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ 3 a – 2b = 3 ⎜ 1 ⎟ – 2 ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎜5⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −10 ⎞ = ⎜⎜ −25 ⎟⎟ – ⎜ 40 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −6 ⎞ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ – ⎜ 15 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −10 − 0 ⎞ = ⎜⎜ −25 − ( −39) ⎟⎟ = ⎜ 40 − 52 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⇔
⎛6⎞ = ⎜⎜ −5 ⎟⎟ ⎜ 17 ⎟ ⎝ ⎠ Jawaban: a
⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ a = PQ = q – p = ⎜ 5 ⎟ – ⎜ −1⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛0⎞ ⎜6⎟ ⎝ ⎠
⎛4⎞ b = QR = r – q = ⎜ −2 ⎟ – ⎝ ⎠
⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⎜ 5 ⎟ = ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −2 ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ w = 3 u – 2 v = 3 1 – 2 ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎛ 12 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ = 3 – ⎜ 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −6 ⎠ ⎝ −8 ⎠ ⎛ 16 ⎞ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
13. Jawaban: c
⎛0⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ 3 ⎟ + ⎜ −7 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
2 c = –3 a – b
⇔
⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ 2 c = –3 ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⇔
⎛ −12 ⎞ ⎛ −2 ⎞ 2c = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 1⎠
⎛ −5 ⎞ c = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎛ −5 ⎞ Jadi, vektor c = ⎜ ⎟ . ⎝4⎠
⇔
14. Jawaban: b
11. Jawaban: c w = 3 u + 5 v
2 v + 5 w = 3 w – 4 u
5 w – 3 w = –4 u – 2 v
⇔
2 w = –4 u – 2 v
Vektor
w = –2 u – v Diperoleh w = –2 u – v , maka:
⇔
u + 2 v + w = u + 2 v + (–2 u – v )
⎛2⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ = –5 ⎜ 5 ⎟ – 13 ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= u – 3 v – 6 u – 10 v = –5u – 13 v
⇔
u – 3 v – 2 w = u – 3 v – 2(3 u + 5 v )
8
1 ⎛ −10 ⎞ c = 2 ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠
⇔
⎛ −15 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 14 ⎠
⎛ −6 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ + 3 ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝2⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −9 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝6⎠
= a + 3 b
2 c = a – b – 4 a
= 2 a + b – a + 2 b
⇔
10. Jawaban: b c – d = (2 a + b ) – ( a – 2 b )
4 a + 2 c = a – b
⎛2⎞ 1 1 ⎛ 0⎞ + = + ⎜ ⎟ ⎜ −7 ⎟ = b a 2 2 ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠
⎛ −10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 14 ⎟ ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠
12. Jawaban: a 3 u – w = 2 v
⎛ −6 − ( −12) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3−8 ⎟ ⎜ 15 − ( −2) ⎟ ⎝ ⎠
9.
⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −39 ⎟ ⎜ 52 ⎟ ⎝ ⎠
= u + 2 v – 2 u – v = v – u
⎛ −1⎞ = ⎜ ⎟ – ⎝5⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠
⎛2⎞ = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ – ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1 − 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 5−4 ⎠ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ −4 ⎟ dan b = ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⇔
⎛ ⎛ 8 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎟ = k ⎜⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎠
⇔
⎛ 12 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ =k⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ 1⎠
⇔
p = –2 a + 3 b + q
⇔
⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ p = –2 −4 + 3 ⎜ 5 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⎛ −2 ⎞ p = ⎜ 8 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠
⎛6⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ 15 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠
( v – t ) = k( t – u )
⇔
– p = 2 a – 3 b – q
⇔
⎛8⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
TV = k UT
q – p = 2 a – 3 b
⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠
17. Jawaban: d
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ + ⎜4⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
Jadi, koordinat titik S(8, –8, –5).
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
PQ = 2 a – 3 b ⇔
⎛ 2 − ( −1) + 5 ⎞ = ⎜⎜ −3 − 4 + ( −1) ⎟⎟ = ⎜ −8 − 3 + 6 ⎟ ⎝ ⎠
15. Jawaban: c
s = p – q + r
⇔
⎛ 12 ⎞ ⎛ −3k ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ k ⎠ Dari kesamaan di atas diperoleh k = –4. Jadi, nilai k = –4. ⇔
18. Jawaban: d
AB = b – a
⎛8⎞ p = ⎜ 24 ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ Jadi, koordinat titik P(8, 24, –3).
⎛2⎞ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
⎛5⎞ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
16. Jawaban: a
⎛2⎞ Vektor posisi titik P(2, –3, –8) adalah p = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ . ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1⎞ Vektor posisi titik Q(–1, 4, 3) adalah q = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ . ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
Titik P segaris dengan titik A dan B jika AP = k AB . Pada pilihan nilai x P = 12, maka dapat dimisalkan koordinat titik P(12, m, n).
⎛5⎞ Vektor posisi titik R(5, –1, 6) adalah r = ⎜⎜ −1⎟⎟ . ⎜6⎟ ⎝ ⎠ PQRS jajargenjang, maka:
PQ = SR
⇔
q – p = r – s
AP = p – a ⎛ 12 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ m ⎟ – ⎜ −2 ⎟ ⎜n⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 15 ⎞ = ⎜⎜ m + 2 ⎟⎟ ⎜ n−3 ⎟ ⎝ ⎠
Matematika Kelas X
9
⎛ 15 ⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AP = k AB ⇔ ⎜ m + 2 ⎟ = k ⎜ 3 ⎟ ⎜ n−3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 15 ⎞ ⎛ 5k ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ m + 2 ⎟ = ⎜ 3k ⎟ ⎜ n−3 ⎟ ⎜ −2k ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari kesamaan di atas diperoleh: 15 = 5k k=3 ⇔ m + 2 = 3k ⇔ m + 2 = 9 m=7 ⇔ n – 3 = –2k ⇔ n – 3 = –6 ⇔ n = –3 Jadi, koordinat titik yang segaris dengan titik A dan B adalah (12, 7, –3).
21. Jawaban: a
19. Jawaban: c
⎛4⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ q⎠
⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ AC = c − a = ⎜ p + 2 ⎟ – ⎝ −8 ⎠
h =
1 ⎛ ⎛ 14 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ = 3 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ⎠ 1 ⎛ 15 ⎞ ⎛5⎞ = 3 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝2⎠ Jadi, koordinat titik H(5, 2).
22. Jawaban: e
⎛ −2 ⎞ ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 − q⎠
⎛ 4⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ q⎠
⇒
⇔
⎛ −2k ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ −4k ⎟ = ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ (1 − q)k ⎠ ⎝ −8 − q ⎠
5p −3 + 5
m =
1 2
=
⎛ 4 ⎞ ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −8 − q ⎠
⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 5 ⎞⎞ ⎜ −3 ⎜ ⎟ + 5 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0⎠
1 ⎛ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 25 ⎞ ⎞ = 2 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ −10 ⎠ ⎠ 1 ⎛ 22 ⎞ = 2 ⎜ ⎟ ⎝ −10 ⎠
⎛ 11 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ Jadi, koordinat titik M(11, –5). 23. Jawaban: d Misalkan titik tengah P(2, –2, 5) dan Q(–4, 0, 1) adalah R, maka:
Dari kesamaan vektor diperoleh: –2k = 4 ⇔ k = –2 –4k = p ⇒ p = –4 × (–2) = 8 (1 – q)k = –8 – q ⇒ (1 – q) × (–2) = –8 – q –2 + 2q = –8 – q ⇔ ⇔ 3q = –6 ⇔ q = –2 Jadi, nilai p + q = 8 + (–2) = 6. 20. Jawaban: c
r =
p+q 2
=
1 2
⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ −2 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜⎜ 5 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
=
1 2
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠
AB : BP = 3 : –2 dapat digambarkan sebagai berikut. 3 –2 A
P
B
Jadi, gambar yang benar ada pada pilihan c.
10
−3q +
⎛ −2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ k −4 = ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 − q⎠ ⎝ −8 − q ⎠
Dari gambar diperoleh PM : MQ = –3 : 5, maka:
k AB = AC
2l + k 2 +1
1 ⎛ ⎛7⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ = 3 ⎜2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 5 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ⎠
Titik A, B, dan C segaris sehingga diperoleh hubungan berikut.
⎛2⎞ ⎜ ⎟ AB = b − a = ⎜ −2 ⎟ – ⎝ 1⎠
KH : HL = 2 : 1, maka:
Vektor
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ Diperoleh koordinat titik R(–1, –1, 3). Jadi, koordinat titik tengah P dan Q adalah (–1, –1, 3).
24. Jawaban: b
B. Uraian 5
3
1.
–2
a.
AB – ED + CD – CB
= AB + DE + CD + BC A(11, 3, –2)
P
AB : BP = 5 : –2 xP =
yP =
B(6, 8, 3)
2xA + 3xB 2+3
2yA + 3yB 2+3
2 × 11 + 3 × 6 5
=
22 + 18 5
=
40 5
=
2× 3+3×8 5
= AC + CA + DC
6 + 24 5
= AA + DC
=
b.
= 8
= 0 + DC = DC 2.
S
R
2 × (− 2) + 3 × 3 5 O
−4 + 9
5
P
Q
T
PQ = u dan PS = v
a.
25. Jawaban: e
QS = QP + PS
3
= – u + v
b.
–2
1
1
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 9 ⎟ + ⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −10 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
= 2 ( u + v )
3n + ( −2)m 3 + ( −2)
⎛ ⎛ −1⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = 1 ⎜ 3 ⎜ 3 ⎟ + (−2) ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎟ ⎜ ⎜0⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠
1
dengan MK : KN = 3 : –2 sehingga:
k =
= 2 ( PQ + PS )
Dari gambar diperoleh MN : NK = 1 : 2 ekuivalen
= 2 ( PQ + QR )
K
OR = PR 2 1
N
= – PQ + PS
Kedudukan titik M, N, dan K dengan MN : NK = 1 : 2 dapat digambarkan sebagai berikut.
5
= AB + BC + CA + DC
= 5 = 1 Jadi, koordinat titik P(8, 6, 1).
M
AB – AC – CD + BC = AB + CA + DC + BC
30
=
= AB + CE = AE
= 5 = 6 2zA + 3zB 2+3
= ( AB + BC ) + ( CD + DE )
=
=
zP =
AP : PB = 3 : 2
⇔
= AB + BC + CD + DE
1
1
= 2 u + 2 v
c.
TS = TP + PS
= – PT + PS 1
= – 2 PQ + PS 1
= – 2 u + v
d.
RT = RQ + QT
⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
1
= – PS – 2 PQ 1
= – v – 2 u
Jadi, koordinat titik K(–7, –1, 2).
= – QR + (– TQ )
Matematika Kelas X
11
3.
a.
4.
a + b + c ⎛6⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ −2 ⎠
a.
Dari gambar diperoleh: ⎛2⎞ u = ⎜ ⎟ ⎝3⎠
⎛ 1⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝8⎠
⎛5⎞ v = ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
⎛ 6 + 1 + (−3) ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −2 + 3 + 8 ⎠
⎛ −3 ⎞ w = ⎜ ⎟ ⎝5⎠
⎛ 4⎞ = ⎜ ⎟ ⎝9⎠
b.
b.
a – b – c
⎛ 4 − 15 + (−3) ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 6 − (− 6) + 5 ⎠
⎛ 8 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −13 ⎠
⎛ −14 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 17 ⎠
a + 2 b – 3 c
1 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −3 ⎞ = 2 ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ – 3 ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝3⎠ ⎝8⎠
⎛3⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ −1⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ – ⎝6⎠
c.
⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠
⎛2⎞ = 2⎜ ⎟ ⎝3⎠
= 3 a + b – 4 a + 2 c
= 2u
= – a + b + 2 c ⎛6⎞ = – ⎜ ⎟ + ⎝ −2 ⎠ ⎛ −6 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝2⎠
12
Vektor
Terbukti: u + v + w = 2 u
⎛ 1⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝8⎠
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ + ⎝3⎠
⎛ −6 + 1 + (− 6) ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 2 + 3 + 16 ⎠ ⎛ −11⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 21 ⎠
⎛4⎞ = ⎜ ⎟ ⎝6⎠
(3 a + b ) – (4 a – 2 c )
⎛ 2 + 5 + (− 3) ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 3 + (− 2) + 5 ⎠
⎛ 14 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −19 ⎠
u + v + w
⎛2⎞ ⎛5⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝5⎠
⎛ 3 + 2 − (− 9) ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −1 + 6 − 24 ⎠
d.
⎛ 4 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ −6 ⎠ ⎝5⎠
⎛ 6 − 1 − (−3) ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −2 − 3 − 8 ⎠
1 2
⎛ 2⎞ ⎛5⎞ ⎛ −3 ⎞ = 2 ⎜ ⎟ – 3 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝5⎠
⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 8 ⎠
c.
2 u – 3 v + w
⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠
5.
a.
⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u = 2 ⎜ 4 ⎟ + 3 ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛2⎞ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 ⎟ + ⎜ −3 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛8⎞ ⎜ ⎟ = ⎜5⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛6⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = 3 ⎜ 0 ⎟ – 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ – ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ − 1⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 w = 3 ⎜ 4 ⎟ – 5 ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 w = ⎜ 12 ⎟ – ⎜ −10 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 30 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
⇔
⎛ −18 ⎞ ⎜ ⎟ 2 w = ⎜ 22 ⎟ ⎜ −24 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −18 ⎞ 1 ⎜ w = ⎜ 22 ⎟⎟ = 2 ⎜ −24 ⎟ ⎝ ⎠
⇔
⎛2⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −8 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
⇔
b.
⎛8⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 u – 4 v = 2 ⎜ 5 ⎟ – 4 ⎜ −8 ⎟ ⎜5⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 16 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 10 ⎟ – ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ Jadi, vektor w = ⎜ 11 ⎟ . ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −32 ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠
7.
⎛8⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 42 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
6.
a.
⇔
⎛ − 1⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ w = 2 ⎜ 4 ⎟ – 3 ⎜⎜ −2 ⎟⎟ ⎜2⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⎛ −2 ⎞ w = ⎜⎜ 8 ⎟⎟ – ⎜4⎟ ⎝ ⎠
⇔
⎛ −11 ⎞ w = ⎜⎜ 14 ⎟⎟ ⎜ −14 ⎟ ⎝ ⎠
⎛9⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ 18 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −11⎞ ⎜ ⎟ Jadi, vektor w = ⎜ 14 ⎟ . ⎜ −14 ⎟ ⎝ ⎠
⇔
⎛ −5 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = m ⎜ ⎟ + n ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝4⎠ ⎝2⎠
⇔
⎛ −5 ⎞ ⎛ −m ⎞ ⎛ 3n ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ 4m ⎠ ⎝ 2n ⎠
Jadi, u = 2 a – b .
⎛ −5 ⎞ ⎛ −m + 3n ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ 4m + 2n ⎠ Dari kesamaan vektor di atas diperoleh: –m + 3n = –5 . . . (i) 4m + 2n = 6 . . . (ii) Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): –m + 3n = –5 × 2 –2m + 6n = –10 4m + 2n = 6 × 3 12m + 6n = 18 ––––––––––––– – –14m = –28 ⇔ m=2 Substitusi m = 2 ke dalam persamaan (ii): 4m + 2n = 6 ⇔ 4 × 2 + 2n = 6 8 + 2n = 6 ⇔ ⇔ 2n = –2 n = –1 ⇔ Diperoleh u = m a + n b dipenuhi oleh m = 2 dan n = –1.
5 v – w – 2 u = u – 3 w ⇔ – w + 3 w = u – 5 v + 2 u 2 w = 3 u – 5 v ⇔
u = m a + n b
⇔
a.
2 u – 3 v – w = 0 2 u – 3 v = 0 + w ⇔ w = 2 u – 3 v ⇔
b.
⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 11 ⎟ ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠
Matematika Kelas X
13
b.
v = m a + n a ⇔
⎛ 3 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ = m ⎜ ⎟ + n ⎜ ⎟ ⎝ −12 ⎠ ⎝4⎠ ⎝ 2⎠
⇔
⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ −12 ⎠
⎛ −m ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ 4m ⎠
⎛7⎞ = ⎜⎜ −6 ⎟⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ Jadi, koordinat titik D(7, –6, 6).
⎛ 3n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2n ⎠
9.
a.
⎛ 3 ⎞ ⎛ −m + 3n ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −12 ⎠ ⎝ 4m + 2n ⎠ Dari kesamaan vektor tersebut diperoleh: –m + 3n = 3 . . . (i) 4m + 2n = –12 . . . (ii) Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): –m + 3n = 3 × 2 –2m + 6n = 6 4m + 2n = –12 × 3 12m + 6n = –36 ––––––––––––– – –14m = 42 m = –3 ⇔ Substitusi m = –3 ke dalam persamaan (ii): 4m + 2n = –12 ⇔ 4 × (–3) + 2n = –12 –12 + 2n = –12 ⇔ 2n = 0 ⇔ n=0 ⇔ Diperoleh u = m a + n b dipenuhi oleh m = –3 dan n = 0. Jadi, v = –3 a + 0 b . ⇔
8.
a.
C
⎛ −4 ⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c =
⇒
⇔
⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ – ⎜z⎟ ⎝ ⎠
1 ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ = 3 ⎜2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎠ 1 ⎛ ⎛ −8 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ = 3 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎠ 1 ⎛ −6 ⎞ = 3 ⎜ ⎟ ⎝3⎠
⎛ −2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ Jadi, koordinat titik C(–2, 1).
b.
⎛ x ⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ −14 ⎟ – ⎜ z ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Vektor
⎛3⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ −3 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
Perbandingan AB : BC = 3 : 2 dapat digambarkan: 2
A
B
C
Perbandingan AB : BC = 3 : 2 ekuivalen
dengan AC : CB = 5 : –2, sehingga:
c =
5b + ( −2)a 5 + (−2)
1 ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ = 3 ⎜ 5 ⎜ ⎟ + ( −2) ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠
⎛ −4 ⎞ ⎛7⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ = 2 ⎜ −7 ⎟ – 3 ⎜ −1⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 11 ⎞ = ⎜⎜ −11⎟⎟ + ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠
14
2b + a 2+1
3
Misalkan koordinat titik D(x, y, z). AD = 2AC − 3BC ⇔ d − a = 2AC − 3BC
B
Diperoleh:
b.
1
A
⎛3⎞ AC = c − a = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ BC = c − b = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
2
Koordinat A(–4, 5, 2); B(2, –1, 3); dan C(3, –2, 1).
Perbandingan AC : CB = 2 : 1 dapat digambarkan:
1 ⎛ ⎛ −20 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ = 3 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
1 ⎛ −24 ⎞ = 3 ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠
⎛ −8 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ Jadi, koordinat titik C(–8, 4).
10. a.
Menentukan koordinat titik A.
Menentukan koordinat titik C. 2
2
1 A
P
Q
1 Q
Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2 maka PA : AQ = 1 : 2. xA = =
C
Titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1 maka QC : CR = 2 : (–1).
1× x Q + 2 × x P 1+ 2
xC =
1× 0 + 2 × 3 3
=
6
= 3 =2 yA =
R
2 × xR − 1× x Q 2 −1 2 ×1 −1× 0 1
=2–0 =2
1× y Q + 2 × y P 1+ 2
=
1× 3 + 2 × 0 3
=
3 3
yC = =
2 × yR − 1× y Q 2 −1 2 × 0 −1 × 3 1
=0–3 = –3
=1
zC =
2 × zR − 1× zQ 2 −1
zA =
1× zQ + 2 × zP 1+ 2
= 2 × (−4) − 1× (−3)
=
1× ( −3) + 2 × 6 3
=
=
9 3
=3 Diperoleh koordinat titik A(2, 1, 3). Titik B merupakan titik tengah PR maka koordinat titik B: xB = =
xP
+ xR
2 3 +1 2
=2
1
yB = =
+ yR
2 0+0 2
=0 zB = =
zP
+ zR
1
= –5 Diperoleh koordinat titik C(2, –3, –5). b.
Titik A, B, dan C kolinear jika memenuhi
AC = k AB untuk suatu konstanta k.
⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b − a = ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2⎞ AC = c − a = ⎜ −3 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ ⎝ 3 ⎠
yP
−8 + 3
⎛0⎞ = ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −8 ⎠
2 6−4 2
=1 Diperoleh koordinat titik B(2, 0, 1).
⎛0⎞ = 4 ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
= 4 AB
Matematika Kelas X
15
Terdapat k = 4 yang memenuhi AC = k AB ,
| AB | =
sehingga AC dan AB searah.
⎛2⎞ ⎜ ⎟ BC = c − b = ⎜ −3 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
Vektor
=
5
|BC | =
02
2 2 + (−3) + (−6)
⎛2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 0 = −3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
0 + 9 + 36
=
45
=3 5
Jadi, perbandingan panjang AB : BC =
16
0 + 1+ 4
Perbandingan panjang AB : BC
2 2 + ( −1) + (−2)
=
Oleh karena AC dan AB keduanya melalui titik A, maka A, B, dan C segaris (kolinear). Jadi, terbukti titik A, B, dan C kolinear. c.
02
5 : 3 5 = 1 : 3.
A. Pilihan Ganda
1.
= 3 6
Jawaban: c
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Jadi, p = ⎜ −2 ⎟ dan | p | = 3 6 sehingga ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −2 ⎞ Panjang vektor v = ⎜ ⎟ : ⎝4⎠
|v| =
(−2)2 + 42
=
4 + 16
=
20
pernyataan yang benar ada pada pilihan b. 5.
Jawaban: d
⎛a⎞ ⎜ ⎟ v = a i – b j + c k = ⎜ −b ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ ⎠
= 2 5
Jadi, panjang vektor v adalah 2 5 .
2.
Panjang vektor v :
Jawaban: c
⎛6⎞ Dari gambar diperoleh vektor u = ⎜ ⎟ : ⎝ −3 ⎠
a2 + (−b)2 + c 2
|v| =
a2 + b 2 + c 2
=
|u | =
62 + (−3)2
=
36 + 9
=
45
Jadi, | v | = 6.
a 2 + b2 + c 2 .
Jawaban: b
Panjang vektor u = i + 3 j – 3 k :
= 3 5
u =
12 + 32 + (−3)2
Jadi, nilai | u | = 3 5 . 3.
Jawaban: d
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Vektor a = ⎜ 2 ⎟ , maka: ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
=
1+ 9 + 9
= 19 Panjang vektor v = 2 i – 4 j + k :
|v| = =
|a| =
12 + 22 + (−2)2
22 + (−4)2 + 12 4 + 16 + 1
= 21 Panjang vektor w = –2 i + 2 j – 3 k :
=
1+ 4 + 4
|w| =
= 9 =3
=
Jadi, nilai | a | = 3. 4.
Jawaban: b
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ p = i – 2 j – 7 k = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠
|p | =
(−2)2 + 22 + (−3)2 4+4+9
= 17 Oleh karena 21 > 19 > 17 , maka urutan vektor dari yang terpanjang adalah v , u , dan w . Jadi, urutan vektor dari yang terpanjang adalah v , u , dan w .
12 + (−2)2 + (−7)2
=
1 + 4 + 49
=
54
Matematika Kelas X
17
7.
10. Jawaban:
Jawaban: d
⎛6⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor u = ⎜ −3 ⎟ : ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⎛ −5 ⎞ p + q = ⎜ ⎟ + ⎝6⎠
|u | =
b
62 + (−3)2 + 32
⎛3⎞ ⎜ ⎟ = ⎝2⎠
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝8⎠
(−2)2 + 82
| p + q | =
=
36 + 9 + 9
=
4 + 64
=
54
=
68
= 2 17
= 3 6
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor v = ⎜ −4 ⎟ : ⎜2⎟ ⎝ ⎠
Jadi, nilai | p + q | = 2 17 .
11. Jawaban: a 2 a – b = 2( ˆi – 2 jˆ + 3 kˆ ) – (2 ˆi + jˆ – 4 kˆ ) = (2 ˆi – 4 jˆ + 6 kˆ ) – (2 ˆi + jˆ – 4 kˆ )
|v| =
22 + (−4)2 + 22
=
4 + 16 + 4
=
24
= (2 – 2) ˆi + (–4 – 1) jˆ + (6 + 4) kˆ = 0 ˆi – 5 jˆ + 10 kˆ
= 2 6
02 + (−5)2 + 102
|2 a – b | =
2| u | + | v | = 2 × 3 6 + 2 6 = 6 6 + 2 6 = 8 6
=
0 + 25 + 100
=
125 = 5 5
Jadi, panjang vektor (2 a – b ) adalah 5 5 .
Jadi, hasil 2| u | + | v | = 8 6 . 8.
12. Jawaban:
Jawaban: c
⎛a⎞ Misalkan vektor v = ⎜ ⎟ , maka | v | = ⎝b⎠ a 4a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 v = 4 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ 4b ⎠
AB = b – a
a2 + b2 .
⎛3⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −7 ⎠ ⎝ 1⎠
⎛6⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −8 ⎠
|4 v | =
(4a)2 + (4b)2
=
16a 2 + 16b 2
| AB | =
=
16(a2 + b2 )
=
2
62 + (−8)2 36 + 64
= 100 = 10
2
16 (a + b )
=
d
2
= 4 a +b
Jadi, nilai | AB | = 10.
2
13. Jawaban: e PQ = q – p
= 4| v |
Jadi, nilai |4 v | = 4| v |. 9.
Jawaban: a
Vektor u dan v searah, maka berlaku:
| u + v | = | u | + | v |
| u – v | = |u | – | v | jika | u | > | v |
| u – v | = | v | – |u | jika | u | < | v | Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (i).
18
Vektor
⎛0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 5 ⎟ – ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜2⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
Jarak antara titik P dan Q sama dengan panjang
vektor PQ , yaitu: 2
2
2
4 + 2 + (−4)
| PQ | =
16 + 4 + 16
=
= 36 =6 Jadi, jarak antara titik P dan Q adalah 6. 14. Jawaban:
| LM | =
(i)
e
PQ = OQ – OP ⎛7⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −x ⎟ – ⎜ x ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
(−2 − 2)2 + (−1− 1)2
=
(−4)2 + (−2)2
=
16 + 4
=
20
= | LM |2 Jadi, segitiga KLM siku-siku di K.
L =
22 + (− 2x)2 + 12 = 3
=
12 + 32
=
1+ 9
=
10 (xM − xK ) + (yM − y K )
=
(−2 − 1)2 + (−1 − (−2))2
=
(−3)2 + 12
=
9 +1
=
10
10 +
20
5 ) satuan panjang
≠ 4 10 satuan panjang Jadi, pernyataan yang benar adalah (i), (ii), dan (iii). 16. Jawaban: d Koordinat titik P(3, 2, –1), Q(6, 0, –4), dan R(–1, –2, 3), maka:
2
10 +
= 2( 10 +
|PQ | =
| KM | =
= 2 10 + 2 5
(xL − xK )2 + (y L − y K )2
=
10
K = | KL | + | KM | + | LM |
15. Jawaban: a Koordinat titik K(1, –2), L(2, 1), dan M(–2, –1), maka:
(2 − 1)2 + (1− (−2))2
10 ×
1
⇔ 4x2 + 5 = 9 4x2 = 4 ⇔ ⇔ x2 = 1 ⇔ x = –1 atau x = 1 Oleh karena x > 0 maka x = 1. Jadi, nilai x = 1.
=
= 2 × 10 = 5 satuan luas (iv) Keliling segitiga KLM:
4x 2 + 5 = 3
× | KL | × | KM |
1
4 + 4x + 1 = 3
| KL | =
1 2
= 2 ×
2
⇔
(ii) | KL | = | KM | = 10 , maka segitiga KLM sama kaki. (iii) Luas segitiga KLM:
⇔
| KL |2 + | KM |2 = ( 10 )2 + ( 10 )2 = 10 + 10 = 20 = ( 20 )2
⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −2x ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎢PQ ⎢ = 3 ⇒
(xM − xL )2 + (yM − y L )2
2
(xQ − xP )2 + (y Q − yP )2 + (z Q − z P )2
=
(6 − 3)2 + (0 − 2)2 + (−4 − (−1))2
=
32 + (−2)2 + (−3)2
=
9+4+9
=
22
| PR | = =
(xR − xP )2 + (yR − yP )2 + (zR − z P ) 2
(−1 − 3)2 + (−2 − 2)2 + (3 − (−1))2
Matematika Kelas X
19
18. Jawaban:
(−4)2 + (−4)2 + 42
=
b
⎛3⎞ a = ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠
=
16 + 16 + 16
=
48
= 4 3
(xR − x Q )2 + (yR − y Q )2 + (zR − z Q ) 2
| QR | =
32 + (−4)2
|a| =
2
2
2
=
9 + 16
=
25 = 5
=
(−1 − 6) + (−2 − 0) + (3 − (−4))
Vektor satuan dari a :
=
(−7)2 + (−2)2 + 72
eˆ a = | a |
=
49 + 4 + 49
=
102
a
1 ⎛ 3 ⎞ = 5 ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠
Diperoleh | PQ | < | PR | < | QR |. Jadi, pernyataan ”Sisi PQ lebih pendek daripada sisi PR” benar. 17. Jawaban:
⎛ 3⎞ 5 = ⎜ 4⎟ ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠
e
⎛ 0,6 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −0,8 ⎠
⎛ 1⎞ Panjang vektor u = ⎜ ⎟ : ⎝ 1⎠
1 +1
Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor a
=
1+ 1
=
2
⎛ 0,6 ⎞ adalah eˆ a = ⎜ ⎟. ⎝ −0,8 ⎠
|u | =
2
2
⎛− 1⎞ 2 Panjang vektor v = ⎜ ⎟ : ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠
19. Jawaban:
d
|v| = =
2 ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ − ⎜ 2 ⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛3⎞ ⎜ ⎟ PQ = q – p = ⎜ −3 ⎟ – ⎜5⎟ ⎝ ⎠
|PQ | =
1 3 + 4 4
=
= 1 =1
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
12 + (−2)2 + 22 1+ 4 + 4
= 9 =3
⎛ ⎜ Panjang vektor w = ⎜ ⎜ ⎝
2
|w| = =
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
⎞ ⎟ : 2 ⎟ ⎟ 5⎠ 1 5
eˆ PQ =
Vektor
=
1 3
1 4 + 5 5
PQ |PQ|
⎛ 1 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2⎟ 1 2 2 = ⎜ − 3 ⎟ = 3 i – 3 j + 3 k ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠
2
= 1 =1 Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, yaitu v dan w .
20
Vektor satuan dari | PQ |:
Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor 1 2 2 | PQ | adalah eˆ PQ = 3 i – 3 j + 3 k .
20. Jawaban:
d
⎛ −6 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ a – b = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝5⎠ ⎝3⎠
b.
⎛ 1⎞ ⎜ 2⎟ Vektor r = ⎜ k ⎟ merupakan vektor satuan jika: ⎜ 1⎟ ⎜− ⎟ ⎝ 4⎠
⇔
2
2
+ k2 + ⎜⎛ − 1 ⎟⎞ = 1 4 ⎝
1 + k2 4
⇔
⎠
+
1 16
⇔
k + 2
a.
=1
k =1–
⇔
k2 = 16
⎛2⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor u = ⎜ 4 ⎟ : ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
5 16
|u | = =
11
22 + 42 + (−4)2 4 + 16 + 16
= 36 =6
1 k = ± 4 11
⇔
18
2.
⇔
=
2
2
9+9
⎛ −3 ⎞ Jadi, a – b = ⎜ ⎟ dan panjangnya 3 2 . ⎝3⎠
=1
5 16
=
= 3 2
5 k2 + 16 =1
⇔
(−3)2 + 32
| a – b | =
|r | = 1 ⎛1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
Panjang vektor a – b :
⎛3⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor v = ⎜ −4 ⎟ : ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠
1 1 Jadi, nilai k = 4 11 atau k = – 4 11 .
|v| =
B. Uraian
=
⎛ −6 ⎞ Panjang vektor a = ⎜ ⎟ : ⎝8⎠
32 + (−4)2 + 122 9 + 16 + 144
1.
a.
|a| = =
= 169 = 13 Jadi, panjang vektor u dan v berturut-turut 6 dan 13.
(−6)2 + 82 36 + 64
= 100 = 10
b.
|b | =
2
2
(−3) + 5
=
9 + 25
=
34
Jadi, panjang vektor a dan b berturut-turut 10 dan
⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 u + 2 v = 3 ⎜ 4 ⎟ + 2 ⎜ −4 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −3 ⎞ Panjang vektor b = ⎜ ⎟ : ⎝5⎠
⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 12 ⎟ + ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜4⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠
⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜ 24 ⎟ ⎝ ⎠
34 .
Matematika Kelas X
21
Panjang vektor 3 u + 2 v :
| AC | =
|3 u + 2 v | =
122 + 42 + 12 2
=
144 + 16 + 144
=
304
= 4 19
⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ Jadi, 3 u + 2 v = ⎜ 4 ⎟ dan panjangnya 4 19 . ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠
3.
b.
w = 2 u – v
= 2(4 i + 2 j – 5 k ) – (3 i – j + a k )
= 5 i + 5 j – (10 + a) k
Panjang vektor w :
2
2
5 + 5 + (10 + a)
⇔
25 + 25 + (10 + a)2 64 = 50 + (10 + a)2 14 = (10 + a)2 8=
⇔ ⇔
⇔ 10 + a = ± 14 ⇔
a.
(−4 − 2)2 + (2 − (−1))2 + (1− 3)2
=
(−6)2 + 32 + (−2)2
=
36 + 9 + 4
5.
Q
U
a = –10 ± 14
Jadi, nilai a = –10 ± 4.
=
AC2 = ( 74 )2 = 74 AB 2 + BC 2 > AC 2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip. Jadi, segitiga ABC merupakan segitiga sembarang dan lancip.
2
|w| =
74
AB2 + BC2 = ( 33 )2 + 72 = 33 + 49 = 82
=
74 , maka:
= (8 i + 4 j – 10 k ) – (3 i – j + a k )
64 + 1 + 9
turut 33 , 74 , dan 7. Panjang sisi-sisi segitiga ABC berbeda, maka segitiga ABC merupakan segitiga sembarang. Sisi terpanjang segitiga ABC adalah AC =
v = 3 i – j + a k
=
= 49 =7 Jadi, panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-
u = 4 i + 2 j – 5 k
(−8)2 + 12 + 32
Jawaban:
=
– j + a k . Jika panjang vektor w = 2 u – v adalah 8, tentukan nilai a.
(−4 − 4)2 + (2 − 1)2 + (1− (− 2))2
Diketahui vektor u = 4 i + 2 j – 5 k dan v = 3 i
=
|BC | = (xC − xB )2 + (y C − yB )2 + (zC − zB )2
(xC − x A )2 + (y C − y A )2 + (zC − z A )2
14 .
Koordinat titik A(4, 1, –2), B(2, –1, 3), dan C(–4, 2, 1), maka:
| AB | = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 + (zB − z A )2 =
(2 − 4)2 + (−1 − 1)2 + (3 − (− 2))2
P
a.
B
Gerakan pesawat mainan dinyatakan sebagai
PB .
Gerakan angin dinyatakan sebagai PU . Gerakan pesawat mainan akibat tertiup angin
22
Vektor
=
(−2)2 + (−2)2 + 52
=
4 + 4 + 25
=
33
dinyatakan sebagai PQ .
⎢PB ⎢ = 30
⎢BQ ⎢ = PU = 16
⎢PQ ⎢2 = ⎢PB ⎢2 + ⎢BQ ⎢2 = 302 + 162 = 900 + 256 = 1.156
⎢PQ ⎢2 = 1.156
⇔ ⎢PQ ⎢ = 34 Jadi, kecepatan pesawat mainan akibat tertiup angin 34 km/jam.
b.
sin ∠QPU =
|UQ| |PQ|
30
= 34 = 0,8824 ∠QPU = arc sin 0,8824 ≈ 61,93° Jadi, besar sudut arah lintasan pesawat mainan terhadap arah angin kurang lebih 61,93°.
Matematika Kelas X
23
4. Jawaban:
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban:
d
u = 4i − 5j dan v
a. = i + 6j
u ⋅ v = ( 4i − 5j ) × ( i + 6j ) = 4 × 1 + (–5) × 6 = 4 + (–30) = –26 2. Jawaban:
b
⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −3 ⎞ AB = b – a = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −4 ⎞ BC = c – b = ⎜ 2 ⎟ – ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −4 ⎞ AB · BC = ⎜ 5 ⎟ · ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = –3 × (–4) + 5 × (–1) = 12 – 5 =7
3. Jawaban:
b.
c.
b
c = 2 a + b
2 = 2 ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎝ −5 ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
4 ⎞ = ⎛⎜ ⎟ + ⎝ −10 ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
d.
⎛5⎞ = ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠
d = a + 2 b 2 1 = ⎛⎜ ⎞⎟ + 2 ⎛⎜ ⎞⎟ 5 3 ⎝− ⎠ ⎝ ⎠ 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎝ −5 ⎠
⎛ 2⎞ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠
4 = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 1⎠ 5 4 c · d = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ −7 ⎠ ⎝ 1 ⎠ = 5 × 4 + (–7) × 1 = 20 + (–7) = 13
24
Vektor
e.
c
−2 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ 1⎠ 5 2 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ − ⎞⎟ 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 5 × (–2) + 2 × 1 = –10 + 2 = –8 0 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ −4 ⎠ 5 0 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −4 ⎠ = 5 × 0 + 2 × (–4) = 0 + (–8) = –8 4 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ −6 ⎠ 5 4 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −6 ⎠ = 5 × 4 + 2 × (–6) = 20 + (–12) =8 2 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ −9 ⎠ 5 2 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −9 ⎠ = 5 × 2 + 2 × (–9) = 10 + (–18) = –8 −6 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ 11 ⎠ 5 −6 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 11 ⎠ = 5 × (–6) + 2 × 11 = –30 + 22 = –8
4 Jadi, hasil p · q = –8, kecuali untuk q = ⎛⎜ ⎞⎟ . ⎝ −6 ⎠
5. Jawaban:
8. Jawaban:
c
⎛4⎞ a = ⎜ −1⎟ dan b = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
9. Jawaban:
⎛3⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
⎛4⎞ a · b = ⎜ −2 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
−2
2
y
→ y
= 2 dan r = 3
2
3
2
5
x
5
b
x
a · b = | a || b | cos ∠( a , b ) 8 = 4 × 6 × cos α ⇔ 8 = 24 cos α ⇔ 8
⇔
cos α = 24
⇔
cos α = 3
1 1
a · ( a + b ) = a · a + a · b = 21 + 6 = 27
Jadi, nilai cos α = 3 . 11. Jawaban:
θ
=
8
OA ⋅ OB = |OA||OB| 8 5 20
=
u · v = –4 ⇒ 2 × a + 3 × (–2) + (–2) × 4 = –4 2a – 6 – 8 = –4 ⇔ ⇔ 2a = 10 a=5 ⇔ Diperoleh v = 5 ˆi – 2 jˆ + 4 kˆ , sehingga: u + v = (2 ˆi + 3 jˆ – 2 kˆ ) + (5 ˆi – 2 jˆ + 4 kˆ )
d
OA · OB = ( i + 2 j ) · (4 i + j ) =1×4+2×2 =4+4=8 cos
7. Jawaban: d u = 2ˆi + 3 jˆ – 2kˆ
= 7 ˆi + jˆ + 2 kˆ
32
10. Jawaban:
⎛3⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
v = aˆi – 2 jˆ + 4kˆ
⎛4⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
cos ∠( u , v ) = r = 3
= 4 × 3 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 12 – 4 – 2 =6
a
9−4
=
= 4 × 4 + (–2) × (–2) + 1 × 1 = 16 + 4 + 1 = 21
x= =
3
sin ∠( u , v ) = 3 = r
c
⎛4⎞ a · a = ⎜ −2 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
1 2
= 5 3
= 4 × (–3) + (–1) × (–5) + 2 × 1 = –12 + 5 + 2 = –5
⎛4⎞ a = ⎜ −2 ⎟ dan b = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
= 10 ×
6. Jawaban:
b
a · b = | a || b | cos ∠( a , b ) = 5 × 2 × cos 30°
⎛ −3 ⎞ ⎜ −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠
⎛ 4 ⎞ ⎛ −3 ⎞ a · b = ⎜ −1⎟ · ⎜ −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 1⎠
8
2
1
+
2
4 2 + 22
2
8 100
= 4
= 10 = 5
5
3
3
tan θ = 4
θ
4
12. Jawaban:
a
Misalkan α = sudut antara vektor
cos
α
= =
a dan b .
a ·b |a||b|
4× 3+ 2× 3+ 2× 0 4
2
+2
2
+2
2
×
32
+3
2
+0
2
Matematika Kelas X
25
18 24 × 18
=
18 24
=
Misalkan sudut antara vektor OA dengan vektor
=
3×
6
4×
6
1
= 2
1
3
cos
3 maka α = 30°.
Oleh karena cos α = 2
Jadi, besar sudut antara vektor 13. Jawaban:
AC adalah α.
a dan b adalah 30°.
b
⎛5⎞ ⎜ ⎟ BA = a – b = ⎜ 1 ⎟ – ⎝3⎠
⎛2⎞ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ −1⎠
⎛4⎞ ⎜ ⎟ BC = c – b = ⎜ 2 ⎟ – ⎝ −4 ⎠
⎛3⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝4⎠
⎛2⎞ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ −1⎠
⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠
| BA | = =
| BC | = =
32
+2
2
+4
2
=
−16 4 × 2 13
9 + 4 + 16 =
vektor AC adalah – 15. Jawaban:
22
4 + 9 + 9 =
2 13 13
cos
α
⇒
α
=
BA ⋅ BC
|BA||BC|
=
0 29 × 22
= 0
π
= 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒⎜ 2⎟ ·⎜− 2⎟ = ⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 + 2 + a2
π
14. Jawaban: d ⎛4⎞ ⎜ ⎟ OA = ⎜ 0 ⎟ , OC = ⎜0⎟ ⎝ ⎠ AC = OC – ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 6 ⎟ – ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 6⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠
OA ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜6⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ OA · AC = ⎜ 0 ⎟ · ⎜ 6 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 4 × (–4) + 0 × 6 + 0 × 0 = –16
| AC | =
(−4)2
+
62 + 02
=
16 + 36 + 0
=
52 = 2 13
Vektor
π
1 + 2 + a 2 cos 3
1
1 – 2 + a 2 = (1 + 2 + a 2) × 2 2(–1 + a2) = 3 + a2 –2 + 2a2 = 3 + a2 a2 = 5
⇔ ⇔
a=± 5
16. Jawaban:
5.
d
Vektor u tegak lurus v , maka:
u · v = 0 ⎛ 2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ = 0 ⎝ −3 ⎠ ⎝ p ⎠ ⇔ 2 × (–6) + (–3) × p = 0 –12 – 3p = 0 ⇔ –3p = 12 ⇔ ⇔ p = –4 Jadi, nilai p = –4. ⇔
Jadi, besar sudut ABC = 2 .
.
Jadi, nilai a adalah – 5 atau
22
2 13 13
d
⇔
2 2 + 3 + ( −3)
= –
u · v = | u | | v | cos ∠( u , v )
⇔
29
2 13
= –
Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor OA dengan
⇔
Misalkan sudut ABC = α, maka:
26
=
BA · BC = 3 × 2 + 2 × 3 + 4 × (–3) = 6 + 6 – 12 = 0
α
OA ⋅ AC |OA||AC|
17. Jawaban: a Oleh karena vektor p dan q saling tegak lurus, berlaku p · q = 0. ⇒
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
⎛3⎞ ⎜ −6 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠
⎛2⎞ ⎜ −1⎟ = 0 ⎜ ⎟ ⎝x⎠
3 × 2 + (–6) × (–1) + (–4) × x = 0 6 + 6 – 4x = 0 12 – 4x = 0 4x = 12 x=3
⎛2⎞ Diperoleh vektor q = ⎜ −1⎟ . ⎜ ⎟ ⎝3⎠
⎛3⎞ ⎛2⎞ ⎛4⎞ p – 2 q + 3 r = ⎜ −6 ⎟ – 2 ⎜ −1⎟ + 3 ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 1⎠ ⎛3⎞ = ⎜ −6 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠
⎛4⎞ ⎜ −2 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝6⎠
⎛ 12 ⎞ ⎜ −6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
⎛ 11 ⎞ = ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −7 ⎠ 18. Jawaban: c Oleh karena vektor berlaku a · c = 0.
⇔
| a |2 + |b|2 = 169
⇔
52 + | b |2 = 169
| b |2 = 169 – 25 = 144
⇔
⇔
a
1. a.
b )( a – c
a
⊥
b
U(4, 2)
⇒
⎛4⎞ u = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
⎛ −1⎞ V(–1, 5) ⇒ v = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −1⎞ u ·v = ⎜ ⎟·⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 5 ⎠ = 4 × (–1) + 2 × 5 = –4 + 10 =6
U(2, 1, –3) ⇒
⎛2⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ 1 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
V(4, –2, 3) ⇒
⎛4⎞ ⎜ ⎟ v = ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
b.
⊥ ( b +
) = 0.
a · ( b + 2 c ) = 0
a · b + 2 a · c = 0
⇒
0 + 2 a · c = 0
⇔
2 a · c = 0
⇔
a · c = 0
⎛2⎞ ⎛4⎞ u · v = ⎜ 1 ⎟ · ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 c ), maka:
⇔
a · b = 0
⇔
⎛4⎞ ⎜ ⎟ 2. u = ⎜ −1⎟ dan v = ⎝2⎠
d
a dan b saling tegak lurus
| a + b | = 13
⇒
a · b = 0.
⇔
| a + b |2 = 132
⇔
( a + b ) · ( a + b ) = 169
⇔
a · a + 2( a · b ) + b · b = 169
a.
⎛4⎞ ⎜ ⎟ u · v = ⎜ −1⎟ · ⎝2⎠
⎛2⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎛2⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
= 4 × 2 + (–1) × (–3) + 2 × (–2) =8+3–4=7
= 2 × 4 + 1 × (–2) + (–3) × 3 = 8 + (–2) + (–9) = –3
a ⋅ (2b − c) = 2a ⋅ b − a ⋅ c =2×0–0 =0 20. Jawaban:
| b | = 12
B. Uraian a tegak lurus dengan vektor c ,
= 9 + (–3) – 0 – 6 =0
b
a · a + b · b = 169
Jadi, panjang vektor b adalah 12.
a · a = 1 × 1 + 2 × 2 + (–2) × (–2) = 1 + 4 + 4 = 9 b · a = 3 × 1 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 3 – 4 – 2 = –3 a · c = 1 × 2 + 2 × 1 + (–2) × 2 = 2 + 2 – 4 = 0 b · c = 3 × 2 + (–2) × 1 + 1 × 2 = 6 – 2 + 2 = 6 ( a + b )( a – c ) = a · a + b · a – a · c – b · c
19. Jawaban:
⇔
1 × 2 + 2 × 1 + (–x) × 2 = 0 2 + 2 – 2x = 0 ⇔ –2x = –4 ⇔ x=2 ⇔ Diperoleh a = ˆi + 2 jˆ – x kˆ = ˆi + 2 jˆ – 2 kˆ .
a · a + 2 · 0 + b · b = 169
⇒
Jadi, ( a +
⇔
Matematika Kelas X
27
b.
⎛4⎞ ⎜ ⎟ u · u = ⎜ −1⎟ · ⎝2⎠
Panjang vektor u :
⎛4⎞ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
|u | =
(−3)2
=
9+9
=
18
= 4 × 4 + (–1) × (–1) + 2 × 2 = 16 + 1 + 4 = 21
u · (2 v + u ) = 2 u · v + u · u
= 3 2
= 2 × 7 + 21 = 35
c.
⎛2⎞ ⎜ ⎟ v · v = ⎜ −3 ⎟ · ⎝ −2 ⎠
⎛2⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
(2 v + u ) · ( v – 3 u )
| u | = 4, | v | = 2 2 , dan cos ∠( u , v ) = maka:
1 4
b. 1 4
6,
6
c.
50
u⋅ v |u||v|
| u | = 3 2 , | v | = 5 3 , dan ∠( u , v ) = 45°.
= 15 6 × =
15 2
1 2
18
= 3 2×5 2 18
= 30
2
3
= 5
12
5. Diketahui A(3, 3, –2), B(3, 7, 2), dan C(–1, 7, –2).
= 15 3 4. Diketahui A(2, 5), B(–1, 2), dan C(3, –2).
u = AB = b – a
⎛ −1⎞ = ⎜ ⎟ – ⎝2⎠ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠
Vektor
cos ∠( u , v ) =
Nilai kosinus sudut antara vektor u dan v :
= 3 2 × 5 3 × cos 45°
28
=
⎛ −3 ⎞ ⎛ 1⎞ u = ⎜ ⎟ dan v = ⎜ ⎟ , maka: ⎝ −3 ⎠ ⎝ −7 ⎠
u · v = | u || v | cos ∠( u , v )
a.
1 + 49
= 4 3
=
⎛ −3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ u ·v = ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝ −7 ⎠ = –3 × 1 + (–3) × (–7) = –3 + 21 = 18
= 2 12
b.
2 + ( − 7)
= 5 2
u · v = | u || v | cos ∠( u , v )
= 4 × 2 2 ×
12
|v| =
⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠
Panjang vektor v :
= 2 v · v – 6 u · v + u · v – 3 u · u = 2 v · v – 5 u · v – 3 u · u = 2 × 17 – 5 × 7 – 3 × 21 = 34 – 35 – 63 = –64 3. a.
⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −7 ⎠
⎛3⎞ = ⎜ ⎟ – ⎝ −2 ⎠
( v + u ) · ( v – u ) = v · v – u · u = 17 – 21 = –4 d.
v = AC = c – a
= 2 × 2 + (–3) × (–3) + (–2) × (–2) = 4 + 9 + 4 = 17
2 + (−3)
⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠
⎛3⎞ BA = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
⎛ 3⎞ ⎜ 7 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛0⎞ ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠
⎛ −1⎞ BC = ⎜ 7 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
⎛ 3⎞ ⎜ 7 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠
a.
| BA | = =
|BC | = =
02
2 2 + ( −4) + (−4)
0 + 16 + 16 =
(−4)2
+
02
7. Vektor
2 + (−4)
32
⎛ 0 ⎞ ⎛ −4 ⎞ BA · BC = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −4 ⎠
cos
16
16
1
= |BA||BC| = 32 32 = 32 = 2 ⇔ ∠ABC = 60° Jadi, besar ∠ABC = 60°.
6. A(4, 3, 2), B(2, 4, 2), dan C(3, 1, 2) ⎛ −2 ⎞ ⎛2⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = 4 – 3 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ AC = c – a = 1 – ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝0⎠ AB · AC = –2 × (–1) + 1 × (–2) + 0 × 0 =2–2+0 =0
| AB | =
(−2)2
+
12
=
4 + 1+ 0
=
5
| AC | = =
(−1)2
+
1+ 4 + 0
= 5 Misalkan sudut BAC = α, maka:
cos
α
=
=
0 5× 5
= 0
= 90° Diperoleh besar ∠BAC = 90°. ⇒
α
Oleh karena | AB | = | AC | maka segitiga ABC sama kaki, sehingga: ∠ABC
1
=n
dan
⎛ ⎞ ⎛ 2z ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = n ⎜ − y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ 18 ⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠
1 y 2
⇔ n
= 18n
⇒
4
= y 1 y 2
= ∠ACB = 2 (180° – 90°) = 45° Jadi, ∠BAC = 90° dan ∠ABC = ∠ACB = 45°.
4
= y × 18
y2 = 4 × 36 y = ±2 × 6 ⇔ = ±12 Oleh karena y bilangan bulat positif maka y = 12. ⇔
a = m c
⇒
⇔
⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ ⋅ 12 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ x⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ z⎠
⇔
02
2 2 + (−2) + 0
AB ⋅ AC |AB||AC|
⇒
–4 = –ny
BA ⋅ BC
∠ABC
searah maka
Dari kesamaan vektor diperoleh:
= 0 × (–4) + (–4) × 0 + (–4) × (–4) = 0 + 0 + 16 = 16 c.
a = n b
b.
, dan
a = m c .
32
16 + 0 + 16 =
,
Dari kesamaan vektor diperoleh: x = m × 1 ⇔ m = x –4 = m × (–x) ⇒ –4 = x × (–x) ⇔ 4 = x2 ⇔ x = ±2 Oleh karena x bilangan bulat positif maka x = 2. 6 = mz ⇒ 6 = xz ⇔ 6 = 2z ⇔ z =3 Dengan demikian diperoleh: 1 1 a = x ˆi – 4 jˆ + × y kˆ = 2 ˆi – 4 jˆ + × 12 kˆ
2
2
= 2 ˆi – 4 jˆ + 6 kˆ b = 2z ˆi – y jˆ + 18 kˆ = 2 × 3 ˆi – 12 jˆ + 18 kˆ = 6 ˆi – 12 jˆ + 18 kˆ c = ˆi – x jˆ + z kˆ = ˆi – 2 jˆ + 3 kˆ
Matematika Kelas X
29
⎛ 2⎞ a · ( b – c ) = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠
⎛ 2⎞ = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠
–6 – x + 10 = 0 –x + 4 = 0 ⇔ x=4 ⇔ Vektor b searah dengan c maka: ⇔
⎛ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜ ⎜ −12 ⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 18 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠
⎛ 5 ⎞ ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠
= 2 × 5 + (–4) × (–10) + 6 × 15 = 10 + 40 + 90 = 140
Jadi, nilai a · ( b – c ) = 140.
⇒
⎛3⎞ ⎛ y⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = m ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⎛3⎞ ⎛ y⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = m ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = ⎜2⎟ ⎝ ⎠
8. | a | = 13 dan | b | = 8 12
tan α = 5
⇔
5
cos α = 13
5
a.
a · b = | a | | b | cos α = 13 × 8 × = 40 13
b.
a · ( a + b ) = a · a + a · b = | a |2 + a · b
c.
–1 = –2m ym = 3
b.
d.
1
⇒
⎛ −2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ y ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a + b – c = ⎜ x ⎟ + ⎜ −1⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 6 ⎞ = ⎜ 4 ⎟ + ⎜ −1⎟ − ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⎛ −5 ⎞ Jadi, hasil operasi ( a + b – c ) adalah ⎜ 5 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
10. Misal θ = sudut antara vektor u dan w .
( u + w ) · ( u + w ) = 13
u · u + 2 u · w + w · w = 13
⇔
| u |2 + 2|u || w | cos θ + | w |2 = 13
⇔
( 4 3 )2 + 2 × 4 3 × 5 × cos θ + 52 = 13
Vektor a tegak lurus dengan b maka:
⇔
48 + 40 3 × cos θ + 25 = 13
a · b = 0
⇔
40 3 × cos
θ
= –60
⇔
cos
θ
=– 2 3
θ
= 150°
| a – b | =
153 = 3 17
⇒
⇔
30
1
m= 2
⇔
⇔
9. a.
| a + b | = 313 | a – b |2 = ( a – b )2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a · a – a · b – b · a + b · b = | a |2 – 2 a · b + | b |2 = 132 – 2 × 40 + 8 2 = 169 – 80 + 64 = 153 2 | a – b | = 153
⇔
y× 2 =3 ⇔ y= 3× 2= 6 Jadi, nilai x = 4 dan y = 6.
| a + b |2 = 313 ⇔
⎛ ym ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2m ⎟ ⎜ 4m ⎟ ⎝ ⎠
Dari kesamaan vektor diperoleh:
= 132 + 40 = 169 + 40 = 209 | a + b |2 = ( a + b )2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a · a + a · b + b · a + b · b = | a |2 + 2 a · b + | b | 2 = 132 + 2 × 40 + 8 2 = 169 + 80 + 64 = 313
b = m c
Vektor
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ · ⎜5⎟ ⎝ ⎠
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = 0 ⎜2⎟ ⎝ ⎠ –2 × 3 + x × (–1) + 5 × 2 = 0
⇔
1
Jadi, besar sudut antara vektor u dan w adalah 150°.
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban:
Panjang proyeksi vektor
b
Proyeksi vektor AC pada AB digambarkan sebagai berikut.
= =
2 × 3 + ( −1) × ( −4) 32
C
E
+ ( −4)
2
6+4
=
B
pada
9 + 16
10
= 5 = 2 A
5. Jawaban:
Jadi, proyeksi vektor AC pada AB adalah AE . 2. Jawaban: c Proyeksi vektor AB pada AD digambarkan sebagai berikut. D
e
u = 3i − 4j dan v = 5i + 2j
u – v = (3i − 4j) − (5i + 2j)
= – 2i − 6j
Proyeksi skalar ortogonal vektor ( u – v ) pada
C
vektor u
P
= A
B
Jadi, proyeksi vektor AB pada AD adalah AP dengan P pada AD sedemikian hingga BP tegak lurus AD. 3. Jawaban:
c
Vektor w merupakan proyeksi vektor u pada v digambarkan sebagai berikut. Pada segitiga siku-siku di samping berlaku:
⇔
u
|w| |u|
| w | = | u | × cos
(−2) × 3 + (−6) × (− 4) 32
2 + (−4)
−6 + ( −24)
9 + 16 −30
=
25 −30
= 5 = –6
α
6. Jawaban:
α
w
v
Jadi, panjang proyeksi vektor u pada v adalah
| u | × cos α. 4. Jawaban:
=
cos α =
=
(u − v) ⋅ u |u|
d
⎛2⎞ ⎛3⎞ m = ⎜ −1⎟ dan n = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e
a −4 Proyeksi vektor u = ⎛⎜ ⎞⎟ pada vektor v = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠ ⎝ −2 ⎠
adalah w , maka:
|w| =
u⋅ v |v|
⇔
4 5 =
⇔
4 5 =
⎛ a ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ (−4)2 + 22 a × (−4) + (−2) × 2 16 + 4
Matematika Kelas X
31
4 5 =
⇔
4 5×
⇔
−4a −
4
20
=
20 = –4a – 4
4 100 = –4a – 4 40 = –4a – 4 ⇔ 4a = –4 – 40 ⇔ 4a = –44 ⇔ a = –11 ⇔ Jadi, nilai a = –11. a
=
⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a = ⎜ −3 ⎟ dan b = ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 17 ⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −10 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( −4)2
+
22 + 42
−8 +
34 − 40 16 + 4 + 16
−14
36
14
7
= – 6 = – 3
Panjang proyeksi vektor a pada vektor b a ⋅b
2q
= =
(4p + q) ⋅ (2q)
⇔
7. Jawaban:
9. Jawaban:
a ⋅b = |b|
1
13
⎛ 2⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 + (− 2)2 + (− 1)2
2
+ 1 + (−2)
2m − 6 + 6 9 2m 3
4
= 3
Jadi, nilai m adalah 2. 10. Jawaban:
a
2 6 , maka:
14
⇒
d
⇔
⎛ 1⎞ 4p + q = 4 ⎜⎜ 4 ⎟⎟ + ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ = ⎜⎜ 16 ⎟⎟ + ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞ = ⎜⎜ 17 ⎟⎟ ⎜ −10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ 2q = 2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜2⎟ ⎝ ⎠
Vektor
4
= 3 2m = 4 m=2
u⋅ v |v|
4
= 3
Proyeksi skalar ortogonal vektor u pada v adalah
11 14
8. Jawaban:
32
2
⇔
6 + 6 −1 14
2
2
⇔
=
11 14
m × 2 + (−6) × 1 + (−3) × (−2)
⇔
=
=
⇒ ⇔
2 × 3 + (−3) × (−2) + 1× (−1) 9+ 4+1
=
c
= |b|
=–
Proyeksi skalar ortogonal ( 4p + q ) pada 2q
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠
4 × 1 + a × 1+ 3 × a 12 + 12 + a2 4 + 4a 2 + a2
⇔ ⇔ ⇔
(4 + 4a)2 2 + a2
= 2 6 = 2 6 = 2 6 =4×6
16 + 32a + 16a 2 = 24(2 + a2) 2 + 4a + 2a 2 = 3(2 + a 2)
2 + 4a + 2a 2 = 6 + 3a2 a2 – 4a + 4 = 0 ⇔ ⇔ (a – 2)2 = 0 a–2= 0 ⇔ ⇔ a=2 Dengan demikian diperoleh: u = 4 ˆi + a jˆ + 3 kˆ = 4 ˆi + 2 jˆ + 3 kˆ v = ˆi + jˆ + a kˆ = ˆi + jˆ + 2 kˆ ⇔
u – v = (4 – 1) ˆi + (2 – 1) jˆ + (3 – 2) kˆ = 3 ˆi + jˆ + kˆ
| u – v | =
3
2
2
+1 +1
=
9 + 1+ 1
=
11
=
Jadi, panjang ( u – v ) = 11. Jawaban:
11 . =
c
⎛3⎞ Panjang vektor v = ⎜ −4 ⎟ : ⎝ ⎠
32
|v| =
=
a ⋅ b b | b |2 ⎛ −4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⋅ ⎜ −1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b 2 5 + (−1)2 + 42 −4 × 5 + (− 2) × (− 1) +
2 × 4
b
25 + 1 + 16
14. Jawaban: d Proyeksi ortogonal vektor
2 + (−4)
9+16
=
=
= 25 =5
Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b
2
=
a·b | b |2
(
Vektor proyeksi ortogonal vektor u pada vektor v
v
= 15 × | v |
=
vektor
b
b
9 × 2 + (−2) × 2 + 4 × 1
Panjang proyeksi vektor u pada vektor v = 15.
a pada
2
2
2
2 + 2 +1
18 (2 ˆi + 9
)
2
(2 ˆi + 2 jˆ + kˆ )
2 jˆ + kˆ )
= 2(2 ˆi + 2 jˆ + kˆ ) = 4 ˆi + 4 jˆ + 2 kˆ
1 ⎛ 3 ⎞ = 15 × 5 ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
Jadi, proyeksi ortogonal vektor adalah 4 ˆi + 4 jˆ + 2 kˆ .
⎛3⎞ = 3 ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
15. Jawaban:
⎛ 9 ⎞ = ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 5⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AC = c – a = ⎜ 0 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
b = 2 ˆi + jˆ
Proyeksi vektor ortogonal a pada b
vektor
b
c
⎛ −1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = ⎜ 4 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12. Jawaban: d a = 3 ˆi + 4 jˆ
a pada
= =
=
a ⋅b b | b |2
3 × 2 +4 ×1
⎛ 22 ⎜ ⎝
⎛ −3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ AB · AC = ⎜⎜ 5 ⎟⎟ · ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = –3 × 3 + 5 × 1 + (–1) × (–2) = –9 + 5 + 2 = –2 Proyeksi vektor ortogonal AB pada AC
⎞ +1 ⎟ ⎠ 2
2
(2 ˆi + jˆ )
6+4 (2 ˆi + 4 +1
jˆ )
10 = 5 (2 ˆi + jˆ ) = 4 ˆi + 2 jˆ
13. Jawaban:
⎛ −4 ⎞ a = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ dan b = ⎜2⎟ ⎝ ⎠
=
a
⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠
=
AB ⋅ AC AC |AC|2 −2
(
32
2 2 + 1 + (−2)
)
2
(3 ˆi + jˆ – 2 kˆ )
−2 = 9 + 1+ 4 (3 ˆi + jˆ – 2 kˆ )
1 = – 7 (3 ˆi + jˆ – 2 kˆ )
Matematika Kelas X
33
16. Jawaban:
c
⎛ −3 ⎞ ⎛ 1⎞ a = ⎜ 4 ⎟ dan b = ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ a + b = ⎜ 4 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
= = =
=
6 6
Proyeksi ortogonal vektor ( a + b ) pada vektor b :
=
5−8+9 6
(a + b) ⋅ b b |b| ⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2⎠ 12 + 22
6×2 1+ 4
−2 + 12
5
⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
18. Jawaban:
⎛ 1⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ = 2 ⎜ 2 ⎟ = ⎝ ⎠
⎛ 2⎞ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
=
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠
⎛3⎞ ⎜ ⎟ u – v = ⎜ 1 ⎟ – ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
=
−24 2
4
24
3
v = – 16 v = – 2 v
e
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a + 1⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠
⎛4⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PR = r – p = ⎜ −3 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ PQ · PR = ⎜ a + 1⎟ · ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠
Proyeksi ortogonal vektor ( u + v ) pada vektor ( u – v ):
⎛ −1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PQ = q – p = ⎜ a ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −11⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
u⋅v = | v |2 v
19. Jawaban:
⎛3⎞ ⎜ ⎟ u + v = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
2π
Proyeksi vektor u pada v
a
1
⎛3⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ 1 ⎟ dan v = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠
= 12 × 4 × (– 2 ) = –24
e
u · v = | u || v | cos 3
17. Jawaban:
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
−2 × 1 +
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
(u + v)(u − v) 2 ( u – ) v |u− v|
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ = –3 × 2 + (a + 1) × (–2) + (–8) × 1 = –6 – 2a – 2 – 8 = –2a – 16
=
=
34
⎛5⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎜ − 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 + (− 2)2 + (− 1)2
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
5 × 1 + 4 × (−2) + (−9) × (−1) 1+ 4 + 1
Vektor
Proyeksi vektor ortogonal PQ pada PR adalah –4 ˆi + 4 jˆ – 2 kˆ
⎛ −4 ⎞ = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
PQ ⋅ PR PR |PR|2
⇒
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⇔
−2a − 16 2
( 2
2 2 2 + (−2) + 1 )
B. Uraian
⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ −2a − 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 = 4 + 4 +1 ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ −2a − 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ 9 ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ ⎛2⎞ −2a − 16 ⎜ ⎟ = –2 ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ 9 ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
⇔
⇔
1. a.
9
α
2
vektor v adalah 5 .
b.
b
cos
⎛ −4 ⎞
⎛a⎞ ⎜ ⎟ p = n v , yaitu −4 = n ⎜ a ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎜b⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔
4
. . . (1)
4
=
⇔
3 4
=
⇔
3 4
=
⇔
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
3 4
=
b
2
2. a. + 144 + a
2
a2 −12a
+ 144 + a
2
a
2
+a
2
+a
2
+b
2
+b
2
+ 144
3b2
6 5
.
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
= 1 × (–2) + (–2) × 1 + 3 × (–2) = –2 – 2 – 6 = –10 4 + 1 + 4 =
9 = 3
Proyeksi skalar a pada b =
+ 144
48 = 3 2b2
6
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ a · b = ⎜ −2 ⎟ · ⎜3⎟ ⎝ ⎠
|b | =
12 2b2
3
|w| = 5
12b 2b2
ab − 12a − ab b2
= |w|
u adalah
⇒
2 5
uv |u||v|
3 4
=
Jadi, panjang proyeksi vektor v pada vektor
n= b . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = –b. cos θ =
|w| |v|
α
⇔
n=–a
Vektor w merupakan proyeksi vektor v pada u , maka:
p merupakan proyeksi u pada v , maka berlaku
⇔
2
= 5
Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor u pada
4 = nb
v
|w| |u|
cos α =
–2a – 16 = –18 ⇔ –2a = –2 a=1 ⇔ Jadi, nilai a = 1.
⇔
w
⇔
–4 = na
Pada segitiga siku-siku di atas berlaku:
= –2
20. Jawaban:
v , maka | w | = 2. Perhatikan gambar berikut.
Dengan demikian, −2a − 16
Vektor w merupakan proyeksi vektor u pada
3
+ 144
2b2 + 144 256 = 2b2 + 144 b2 = 56 b = ± 56 16 =
b = 2 14 atau b = –2 14 (tidak memenuhi)
Jadi, nilai b = 2 14 .
b.
a⋅b = |b|
−10
3
a · b = (6 i + 2 j – k ) · (3 i – 4 j + 5 k ) = 6 × 3 + 2 × (–4) + (–1) × 5 = 18 – 8 – 5 =5
|b | =
32 + (−4)2 + 52
=
9 + 16 + 25
=
50
= 5 2
Matematika Kelas X
35
Proyeksi skalar a pada b
= c.
a ⋅b 5 = |b| 5 2
2 1 = 2 2
×
b.
2
Panjang vektor 2 m :
(−8)2 + 62 + 102
=
5. a.
200 = 10 2
=
8
2 2
8 20
2 5
= 10 2 × =
2 =
2
= b.
⎛ 2 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⋅ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( −5)2
2
=
| b |2
=
2 ⎛ −5 ⎞
b = 13 ⎜ ⎟ = ⎝ 12 ⎠
⎛ −3 ⎞ m · n = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ · ⎜x ⎟ ⎝ ⎠
−10 +
36
169
=
26 13
b. = 2
m⋅n |n|
22
4 + 1+ 4
=
9 = 3 −2
= 3
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
−4 − 2x
3
Vektor
⎛4⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ −1⎟ dan b = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
+3
2
2 +1
)2 = 4 + 9 + 1 = 14
Proyeksi vektor a pada b
=
3 a ⋅b b = 14 | b |2
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
6. A(2, 3), B(–1, –1), dan C(5, –1)
−2
⎛ 2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 3 ⎞ BA = a – b = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ −1⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 6 ⎞ BC = c – b = ⎜ −1⎟ – ⎜ −1⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a.
Proyeksi vektor BA pada BC :
BD = =
36
(3 i + 4 j )
| b |2 = ( 22
= 3 ⇔ –4 – 2x = –2 ⇔ 2x = –2 x = –1 ⇔ Jadi, nilai x = –1. ⇔
⎛ 4 ⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a · b = ⎜ −1⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 4 × 2 + (–1) × 3 + (–2) × 1 =8–3–2=3
⎛ 10 ⎞ ⎜ − 13 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 24 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠
2 2 + ( − 1) + ( −2)
=
6 a⋅b 2 b = 25 |b|
= –6 + 2 – 2x = –4 – 2x
= (–3) × 2 + (–2) × (–1) + x × (–2)
|n | =
=
a⋅b
Proyeksi vektor ortogonal a pada b
4. a.
+ 12
a = 2 i + k dan b = 3 i + 4 j
Proyeksi vektor a pada b
Proyeksi skalar ortogonal a pada b
56
⎛2⎞ ⎛ −5 ⎞ 3. a = ⎜ 3 ⎟ dan b = ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a⋅b = |b|
=
| b |2 = 9 + 16 + 0 = 25
a.
36 + 16 + 4
a · b = (2 i + 0 j + k ) · (3 i + 4 j + 0 k ) = 2 ×3 + 0× 4 + 1 ×0 =6+0+0=6
Proyeksi skalar a pada b a⋅b |b|
=
= 2 14
64 + 36 + 100
=
(−6)2 + (−4)2 + (−2)2
|2m| =
= –16 + 24 + 0 =8 |b | =
⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
a · b = (2 i + 4 j ) · (–8 i + 6 j + 10 k ) = 2 × (–8) + 4 × 6 + 0 × 10
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ 2 m = 2 ⎜ −2 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
BA ⋅ BC BC |BC|2 3× 6+4×0 62 + 02
⎛6⎞ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
Dengan demikian diperoleh:
⎛6⎞ = ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛6⎞ = 2 ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ = ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 18 36
b.
1 1 a = x ˆi – 4 jˆ + × y kˆ = 2 ˆi – 4 jˆ + × 12 kˆ
2
= 2 ˆi – 4 jˆ + 6 kˆ b = 2z ˆi – y jˆ + 18 kˆ = 2 × 3 ˆi – 12 jˆ + 18 kˆ = 6 ˆi – 12 jˆ + 18 kˆ
c = ˆi – x jˆ + z kˆ = ˆi – 2 jˆ + 3 kˆ
BD = d – b ⎛3⎞ ⎛ −1⎞ ⎛2⎞ = ⇔ d = BD + b = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝0⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ ⎠ Jadi, koordinat titik D(2, –1).
⎛ 2⎞ = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠
⎛ ⎞ ⎛ 2z ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = n ⎜ − y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ 18 ⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠
a = n b
⇒
Dari kesamaan vektor diperoleh:
⎛ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜ ⎜ −12 ⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ 18 ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝
⎛ 2⎞ a · ( b – c ) = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠
7. Vektor a , b , dan c segaris maka a = n b dan a = m c .
2
⎛ 5 ⎞ ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠
= 2 × 5 + (–4) × (–10) + 6 × 15 = 10 + 40 + 90 = 140
Jadi, nilai a · ( b – c ) = 140.
⎛ 4 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8. u = PQ = q – p = ⎜ a ⎟ − ⎜ 0 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜a⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = PR = r – p = ⎜ −2 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠
–4 = –ny 1 y 2
4
n = y
⇔
= 18n
1 y 2
4
= y × 18 y2 = 4 × 36 ⇔ y = ±2 × 6 ⇔ = ±12 Oleh karena y bilangan bulat positif maka y = 12. ⇒
a = m c
⇒
⇔
⇔
⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ −x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ −x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ ⋅ 12 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ x⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ −x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ z⎠
Dari kesamaan vektor diperoleh: x = m × 1 ⇔ m = x –4 = m × (–x) ⇒ –4 = x × (–x) 4 = x2 ⇔ x = ±2 ⇔ Oleh karena x bilangan bulat positif maka x = 2. 6 = mz ⇒ 6 = xz 6 = 2z ⇔ z=3 ⇔
⎛4⎞ ⎛4⎞ u · v = ⎜⎜ a ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −2 ⎟⎟ = 4 × 4 + a × (–2) + (–4) × 4 ⎜ −4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 16 – 2a – 16 = –2a Proyeksi vektor ortogonal u pada v = –2 ˆi + jˆ – 2 kˆ
u⋅ v | v |2
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ v = ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛4⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ −2 = ⎜ 1⎟ ⎟ 2 2 2 2 ⎜ ⎜ ⎟ 4 + (−2) + 4 ) ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ −2a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 ⎟ = ⎜ 1⎟ 16 + 4 + 16 ⎜ ⎜ 4 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2a
−
⇒
(
⇔
2a 36
−
⇔
⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜⎝ −2 ⎟⎠ ⎝ ⎠
Matematika Kelas X
37
⇔
−
⇔
a 18
a 9
⇔
= 1
⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ = ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a.
−
2 , maka: p⋅q | q|
⇒
1× 3 + (−5) × 5 + (−a) × (−4) 32
+
⇔
⇔
52
9. Proyeksi skalar ortogonal vektor p pada vektor
Jadi, nilai a = 9.
q adalah
( 4)2
+ −
=
−
2
=
−
2
⎛ −4 ⎞ ⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB · AC = ⎜ 4 ⎟ · ⎜ 7 ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = –4 × (–7) + 4 × 7 + 7 × 0 = 28 + 28 + 0 = 56
3 − 25 + 4a 9 + 25 + 16
=
4a − 22 50
=
−
−
2
AD =
Proyeksi vektor ortogonal q pada p :
p =
3 × 1 + 5 × (−5) + (−4) × (−3)
(
12 + (−5)2 + (− 3)2
)
2
AC
=
56 ( (−7)2 + 72 + 02 )2
=
56 49 + 49 + 0
=
56 98
q⋅p | p |2
p
⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎛ −7 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜7⎟ = ⎜4⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Jadi, proyeksi vektor AB pada AC adalah 4 7
3 − 25 + 12 = 1+ 25 + 9 ( ˆi – 5 jˆ – 3 kˆ )
= =
10 ˆ ( i – 5 jˆ – 3 kˆ ) 35 2 – 7 ( ˆi – 5 jˆ – 3 kˆ ) −
Jadi, proyeksi vektor ortogonal q pada p adalah
2 – 7 ( ˆi – 5 jˆ – 3 kˆ ).
38
Vektor
AB ⋅ AC |AC|2
2
4a – 22 = − 2 × 50 4a – 22 = –10 ⇔ 4a = 12 ⇔ a=3 ⇔ Dengan demikian, diperoleh p = ˆi – 5 jˆ – 3 kˆ .
Proyeksi vektor ortogonal AB pada AC = AD
⇔
C(–2, 4, –6)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = ⎜ 1 ⎟ − ⎜ −3 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AC = c – a = ⎜ 4 ⎟ − ⎜ −3 ⎟ = ⎜⎜ 7 ⎟⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a =9
⇔
D
A(5, –3, –6)
Dengan demikian, diperoleh: a 9
B(1, 1, 1)
10.
⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ a ⎜ −2 − ⎜ ⎟ = ⎜ 1⎟ 18 ⎜ 4 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ × (–2) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ˆ ˆ ⎜ 4 ⎟ atau –4 i + 4 j . ⎜0⎟ ⎝ ⎠
b.
BD merupakan garis tinggi segitiga ABC
| BD | =
02
+
02
| AC| =
(−7)2 + 72 + 02
BD = BA + AD = AD – AB ⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ − ⎜⎜ 4 ⎟⎟ = ⎜0⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c.
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠
( 7)2
+ −
=
49 + 49 + 0
=
98
= 7 2 Luas segitiga ABC =
1 × 2
| AC | × | BD |
1
= 49 =7 Jadi, tinggi segitiga ABC = 7.
= 2 × 7 2 × 7 49
= 2
2
Matematika Kelas X
39
A. Pilihan Ganda
3)
EG = EH + EF
1. Jawaban: c Vektor-vektor di atas dapat dituliskan sebagai berikut.
4)
GB = GF + GC
5)
HA = HD + HE
⎛2⎞ ⎛ −2 ⎞ a = ⎜ 3 ⎟ d = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ b = ⎜ 2 ⎟ e = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ c = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ Jadi, ⎜ −2 ⎟ ditunjukkan oleh c . ⎝ ⎠
Jadi, pernyataan yang salah adalah pilihan 5. Jawaban: –
1 u – 3
⇔
⇔
⇔
r = p + q ⎛8⎞ r = ⎜ −5 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ −6 ⎠
⎛4⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠
⎛ 12 ⎞ r = ⎜ −7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠
1
7. Jawaban: D
v
u
w
B
v
E
C
= v + w BC – BD + AC = ( v – u + w ) – (– u +v ) + ( v +w ) = v – u + w + u – v + v + w = v + 2 w
b
AC = AD + DC
1 ⎛ −2 ⎞ −1 = 2 ⎜ ⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ Jadi, koordinat titik P(–1, 2).
4. Jawaban: b Pernyataan yang benar: 1) AF = AB + AE
BD = BA + BC
Vektor
1
1 1 1 ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎞ p = 2 BA = 2 ( a – b ) = 2 ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎠
⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −15⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠
Nilai x – y = –3 – (– 2 ) = –2 2
⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −15⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠
1
⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −15 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 12 ⎟ + ⎜ 12y ⎟ ⎝ ⎠
–12y = 6 ⇔ y = – 2
⇔
⎛ 3x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 12 ⎟ – ⎜0⎟ ⎝ ⎠
BC = BE + EC = AD + ( ED + DC ) = AD – DE + DC = v – u + w A BD = BA + AD = – AB + AD u = – u + v
⇒
⎛ 3x ⎞ ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ −15 ⎟ = ⎜ −12y ⎟ ⎝ ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: 3x = –9 ⇔ x = – 3
e
⎛x⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ 4 ⎟ – 6 ⎜ 2 ⎟ + 3 ⎜ −5 ⎟ = ⎜ −15⎟ ⎜0⎟ ⎜ 2y ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
p = r – q
Jadi, koordinat titik R(12, –7, –1).
c
p = QR ⇔
3. Jawaban:
⎛ −3 ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ – 2 ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ −1⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎛ −7 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝0⎠ 1 3
6. Jawaban: e 3( a – 2b + c ) = –9 ˆi – 15 jˆ + 6 kˆ ⇔ 3 a – 6 b + 3 c = –9 ˆi – 15 jˆ + 6 kˆ
2. Jawaban:
d
2v = –
40
2)
8. Jawaban:
b
5 d + 3 a + 2 b = 2 c + 3 d – 2 b
⇔ 2 d = 2 c – 2 b – 3 a – 2 b
= 2 c – 4 b – 3 a
b.
⎛ −6 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 6 ⎞ = 4 ⎜ ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 39 ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛3⎞ ⎛5⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 2 ⎜ 4 ⎟ − 4 ⎜ 4 ⎟ − 3 ⎜ −8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 ⎟ − ⎜ 16 ⎟ − ⎜ −24 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ −20 ⎟ ⎜ 18 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 6 − 20 + 6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 − 16 + 24 ⎟ = ⎜ −4 + 20 − 18 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2
⇔ d =
⎛ −8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 16 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 16 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
Jadi, vektor d = –4 ˆi + 8 jˆ – kˆ .
9. Jawaban:
b
⎛ −2 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = 3 – 4 = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x + 2⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎛6⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 AC = c – a = 1 – = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 10 ⎠
1 ⎛ 0 ⎞ = 4 ⎜ 40 ⎟ = ⎝ ⎠
⎛0⎞ ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎠
Jadi, koordinat titik C(0, 10). 11. Jawaban: c A(2, 1, –4) dan B(2, –4, 6) AP : PB = 3 : 2 xP =
3xB + 2x A 3+2
=
6+4 3× 2 +2 ×2 = 5 5
yP =
3yB + 2y A 3+2
=
−12 + 2 3 × (−4) + 2× 1 = 5 5
zP =
3zB + 2zA 3+2
=
3 × 6 + 2 × (−4) 18 − 8 = 5 5
= 2 = –2
= 2
Diperoleh koordinat titik P(2, –2, 2).
⎛ −2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ PC = c − p = ⎜⎜ 5 ⎟⎟ – ⎜⎜ −2 ⎟⎟ = ⎜4⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Jadi, PC = –4 ˆi + 7 jˆ + 2 kˆ .
⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
12. Jawaban:
c
3
Titik A, B, dan C segaris maka: ⎛ −6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ k −1 = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝x + 2⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −2k ⎞ ⎜ ⎟ −k = ⎜ −3 ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝ (x + 2)k ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: –2k = –6 ⇔ k = 3 (x + 2)k = 12 ⇒ (x + 2) × 3 = 12 ⇔ x +2=4 x=2 ⇔ Jadi, nilai x = 2.
k AB = AC ⇒
10. Jawaban:
a
⎛ −2 ⎞ ⎛6⎞ a = ⎜ 13 ⎟ dan b = ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Oleh karena AC : CB = 1 : 3 maka:
–1 A
2
B
1
C
Titik C membagi garis yang melalui titik A dan B di luar dengan perbandingan 3 : 1 sehingga AC : CB = 3 : –1. Oleh karena AC : CB = 3 : –1 maka:
3b − a 3 −1
c =
1
= 2 (3 b – a )
1 ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ = 2 ⎜ 3⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ 1 ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ = 2 ⎜⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝9⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ 1 ⎛ 4⎞ = 2⎜ ⎟ ⎝6⎠
1 b + 3a = 4 1+ 3
c =
( b + 3 a )
⎛ 2⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ Jadi, koordinat titik C(2, 3).
⎛ −2 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 6 ⎞ = 4 ⎜ ⎜ 1 ⎟ + 3 ⎜ 13 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
Matematika Kelas X
41
13. Jawaban:
15. Jawaban:
c
V
d
⎛3⎞ ⎜ 6 ⎟ – = q – p = PQ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠
U
b
⎛ 0⎞ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛3⎞ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠
a S
T
3 5
R
c
32 + 32 + (−3)2
| PQ | =
Q
=
9+9+9
=
27 = 3 3
b
2
a
O
Vektor satuan dari PQ :
P
PQ |PQ|
W
OQ = OP + OR = a + b
2
2
2
=
UW : QW = 5 : 2 maka UQ : QW = 3 : 2 Dengan demikian, 2
QW = 3 UQ = 3 (– OS ) = 3 (– c ) = – 3 c
1 (3 ˆi + 3 jˆ – 3 3 1 ˆ ( i + jˆ – kˆ ) 3
=
3 kˆ )
16. Jawaban: b A(1, –4), B(4, 3), dan C(2, –5) ⎛ 1⎞ ⎛4⎞ ⎛2⎞ a = ⎜ −4 ⎟ , b = ⎜ 3 ⎟ , dan c = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ AC = c – a = ⎜ −5 ⎟ – ⎜ −4 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ BC = c – b = ⎜ −5 ⎟ – ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ AC · BC = ⎜ −1⎟ · ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 1 × (–2) + (–1) × (–8) = –2 + 8 =6
OW = OQ + QW 2
= ( a + b ) – 3 c
2
= a + b – 3 c
yS = zS =
xP + xQ 2 yP + yQ 2 zP + zQ 2
=
2+2 = 2
2
=
4+0 = 2
2
=
5+1 = 2
3
zT =
xQ + xR 2+6 = 2 = 4 2 yQ + yR 0+2 = 2 = 1 2 zQ + zR 1+ 3 = = 2 2 2
42
2
2
(4 − 2) + (1− 2) + (2 − 3)
=
4 + 1+ 1
=
6
Vektor
6.
a · b = | a | | b | cos 45° 1
= 4 × 3 × 2 2 = 6 2 1
=
Jadi, panjang ST =
c
e
( 2 u ) · v = 7
(x T − x S )2 + (y T − y S )2 + (z T − z S ) 2 2
18. Jawaban:
Diperoleh koordinat titik T(4, 1, 2). Panjang ST: | ST | =
17. Jawaban:
Diperoleh koordinat titik S(2, 2, 3). Titik T merupakan titik tengah QR maka:
yT =
xT =
14. Jawaban: d Titik S merupakan titik tengah PQ maka: xS =
⎛4⎞ ⎜ ⎟ · ⎜ −6 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠
⇒
1 2
⇔
⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ · ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = 7 ⎜a⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = 7 ⎜a⎟ ⎝ ⎠
⇔ 2 × (–1) + (–3) × (–2) + 3 × a = 7 ⇔ –2 + 6 + 3a = 7 ⇔ 4 + 3a = 7 3a = 3 ⇔ a=1 ⇔
⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ Dengan demikian, v = ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ u + 2 v = (4 ˆi – 6 jˆ + 6 kˆ ) + 2(– ˆi – 2 jˆ + kˆ ) = 4 ˆi – 6 jˆ + 6 kˆ – 2 ˆi – 4 jˆ + 2 kˆ
12 + 12 + 22 = 1+ 1+ 4 = 6 Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah α.
e
25 + 25 + 25 =
G
F
3 × 25 = 5 3
A(0, 0, 0)
20. Jawaban: a p = ˆi + 2 jˆ dan q = 4 ˆi + 2 jˆ
=
1× 4 + 2 × 2 2
2
1 +2 × 4 +2 4+4
5
3 2
θ 4
22 + 02 + 02
=
| BH| =
4 = 2
(−2)2 + 42 + 42
=
4 + 16 + 16
=
36 = 6
Misalkan θ = sudut antara AB dengan BH .
cos θ = =
c
a · b = (4 ˆi – 2 jˆ + 2 kˆ ) · ( ˆi + jˆ + 2 kˆ )
5 × 20 8 4 = 10 = 5 4 3 cos θ = 5 ⇔ sin θ = 5 3 Jadi, nilai sin θ = 5 .
21. Jawaban:
| AB | =
2
AB = b – a = (2 – 0) ˆi + (0 – 0) jˆ + (0 – 0) kˆ = 2 ˆi + 0 jˆ + 0 kˆ
p⋅q |p||q|
=
X
AB · BH = 2 × (–2) + 0 × 4 + 0 × 4 = –4 + 0 + 0 = –4
Y
C(2, 4, 0)
B(2, 0, 0)
cos θ =
D(0, 4, 0)
BH = h – b = (0 – 2) ˆi + (4 – 0) jˆ + (4 – 0) kˆ = –2 ˆi + 4 jˆ + 4 kˆ
H(0, 4, 4)
E
Jadi, panjang ( a – b ) adalah 5 3 .
1
Z
(−5)2 + (−5)2 + (−5)2
=
6
= 12 = 2
22. Jawaban: b Posisi balok dapat digambarkan sebagai berikut.
6 2 6× 6
⎛4⎞ Oleh karena x < 0, maka x = –2 diperoleh a = ⎜ −2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a – b = −2 – 3 = ⎜ −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ −5 ⎠
=
Oleh karena cos α = , diperoleh α = 60°. 2 Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah 60°.
a · b = a · a
| a – b | =
1
⎛ 4 ⎞ ⎛9⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ 2 3 − ⇒ ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x ⎠ 36 – 6 + 3x = 16 + 4 + x2 ⇔ ⇔ x2 – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 ⇔ ⇔ x – 5 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 5 atau x = –2
a⋅b |a||b|
cos α =
a · b = | a |2 ⇔
24 = 2 6
|b | =
= 2 ˆi – 10 jˆ + 8 kˆ 19. Jawaban:
16 + 4 + 4 =
=
42 + (−2)2 + 22
|a | =
AB ⋅ BH |AB||BH| −4 2× 6
= 4 × 1 + (–2) × 1 + 2 × 2 =4–2+4=6
=–
1 3
Jadi, nilai kosinus sudut antara AB dan BH adalah 1 3
– .
Matematika Kelas X
43
23. Jawaban:
⇔ ⇔ ⇔
d
a · a = | a |2 = 42 = 16
b · b = | b |2 = 62 = 36
| a + b | = 8 ⇔
| a + b |2 = 82
⇔
( a + b ) · ( a + b ) = 64
⇔ a · a + 2 a · b + b · b = 64
⇔
16 + 2 a · b + 36 = 64
⇔
2 a · b = 12
⇔
a · b = 6
| a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b )
24. Jawaban:
b
⎛0⎞ PQ = q – p = ⎜ 4 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝5⎠
⎛a⎞ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠
⎛ 2⎞ QR = r – q = ⎜ 5 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝c⎠
⎛ 0⎞ ⎜ 4 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠
⎛ −a ⎞ ⎜ 6⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 2 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝c − 5⎠
PQ tegak lurus QR berarti:
26. Jawaban:
25. Jawaban:
d
Misalkan θ = sudut antara u dan v .
5
1
tan θ = 2 5 = 2
θ
2
maka cos θ = 3
2
( a + b ) · c = (5 ˆi – 5 jˆ – kˆ ) · (4 ˆi – 3 jˆ + 5 kˆ ) = 5 × 4 + (–5) × (–3) + (–1) × 5 = 20 + 15 – 5 = 30
3
4a + 7 × 4 + 8 × (− 2) 2
2
2
4 + 4 + (−2)
4a + 12 36 2a + 6 6 2a + 6 2
⇔ ⇔ ⇔
Vektor
=
2 3
=
2 3
2
= 3
1
= 3 =1
Proyeksi skalar ortogonal ( a + b ) pada c
(a + b) ⋅ c |c| 30
= =
42 + ( −3)2 + 52 30 16+9+25
= =
30 50
=
30 5 2
=
6 2
=
6 2
2
=3 2 27. Jawaban: b P(1, –3), Q(2, –1), dan R(4, 1)
PQ = q – p
⎛2⎞ = ⎜ −1⎟ – ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ = ⎜2⎟ ⎝ ⎠
5
u⋅ v |v|
44
a
a + b = (3 ˆi – 4 jˆ – 4 kˆ ) + (2 ˆi – jˆ + 3 kˆ ) = 5 ˆi – 5 jˆ – kˆ
2
cos θ = 3
⇒
PQ · QR = 0 ⇒ –2a + 6 + 2(c – 5) = 0 ⇔ –2a + 6 + 2c – 10 = 0 –2(a – c) = 4 ⇔ a – c = –2 ⇔ Jadi, hasil a – c = –2.
= a · a – 2 a · b + b · b = 16 – 2 × 6 + 36 = 52 – 12 = 40 Jadi, hasil | a – b | = 40 = 2 10 .
⎛ −2 ⎞ Dengan demikian, diperoleh u = ⎜ 7 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛4⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u + v = 7 + 4 = ⎜ 11⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝6⎠ Jadi, vektor posisi dari ( u + v ) adalah 2 ˆi + 11 jˆ + 6 kˆ .
2a + 6 = 2 2a = –4 a = –2
⎛ 1⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
PR = r – p
⎛4⎞ = ⎜ 1 ⎟ – ⎝ ⎠ ⎛3⎞ = ⎜4⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
Proyeksi skalar ortogonal PQ pada PR
a ⋅b | b |2
1 = 14
PQ ⋅ PR |PR|
=
1× 3 + 2 × 4
=
2
3 +4
11
1
= 5 = 2 5
2
28. Jawaban: e a = –3 ˆi – jˆ + x kˆ
⇒
b = 3 ˆi – 2 jˆ + 6 kˆ
b
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −3 ⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = 1 ⎜2⎟ ⎜ −2 ⎟ 14 ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7 − 2x ( 32 + (−2)2 + 12 )2
a · b = –3 × 3 + (–1) × (–2) + x × 6
= –9 + 2 + 6x = –7 + 6x
⇔
32 + (−2)2 + 62
|b | = =
9 + 4 + 36
=
49 = 7
−7 + 6x 7
5 ⇒
⎛3⎞ 1 ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ −2 ⎟ = – 14 ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: 7 − 2x = 14
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
1
– 14
⇔ 7 – 2x = –1 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4 Jadi, nilai x = 4.
=5
⇔ –7 + 6x = 35 ⇔ 6x = 42 x=7 ⇔ Jadi, nilai x = 7.
B. Uraian
1. a. 29. Jawaban:
⎛3⎞ ⎛3⎞ 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = – 14 ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7 − 2x 14
Proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah 5, berarti: a⋅b = |b|
7 − 2x 9 + 4 +1
H
v
d
G
E
F
w
Proyeksi vektor ortogonal p pada q adalah r .
r =
p⋅q
q
2
q=
4 × 1 + (−5)× (−1) + 3× 2
(
12 + (−1)2 + 22
=
4+5+6 1+ 1 + 4
=
15 6
)
2
q
u
D A
q
B
AH = AE + EH
q
= CG + EH
=
5 2
= – GC + EH = – w + v
q
c
= – GC + DC – EH
a · b = (2 ˆi + x jˆ + kˆ ) · (3 ˆi – 2 jˆ + kˆ )
= 2 × 3 + x × (–2) + 1 × 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
1 (–3 ˆi + 14
= CG + ( HG + GF ) = – GC + DC + HE
c =
DF = DH + HF
q.
30. Jawaban:
Jadi, proyeksi vektor ortogonal p pada q adalah 5 2
C
= – w + u – v
BC = EH = v AH + DF + BC = – w + v – w + u – v + v = u + v – 2 w
2 jˆ – kˆ )
Matematika Kelas X
45
b.
H
v
G
E
F
D
w
a.
u
⎛ −3 ⎞ u + v = ⎜ −1⎟ + ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
A
⎛ −6 ⎞ = ⎜⎜ 7 ⎟⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
C
B
AC = AD + DC = EH + DC
b.
= v + u
DE = DH + HE
⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ 4 u – 2 v = 4 ⎜ −1⎟ – 2 ⎜⎜ 8 ⎟⎟ ⎜3⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= CG – EH
⎛ −12 ⎞ = ⎜⎜ −4 ⎟⎟ – ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠
= – GC – EH = – w – v
⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 16 ⎟ ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠
BH = BF + FH
⎛ −6 ⎞ = ⎜⎜ −20 ⎟⎟ ⎜ 24 ⎟ ⎝ ⎠
= CG + ( FE + EH )
= – GC + CD + EH = – GC – DC + EH
= – w – u + v
AC + DE – BH = v + u – w – v – (– w – u + v ) = v + u – w – v + w + u – v = 2 u – v
⇔
c = 3 a + 4 b
⎛7⎞ ⎛ −1⎞ = 3 ⎜ −5 ⎟ + 4 ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. u = PQ = q – p
⎛ −4 ⎞ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 21 ⎞ = ⎜ −15 ⎟ + ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ – ⎜6⎟ ⎝ ⎠
2 a + 4 b = c – a
3. a.
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
⎛ 17 ⎞ = ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
b.
⎛ −3 ⎞ = ⎜⎜ −1⎟⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠
6 a – 5 b + 2 c = 3 a + 4 c
⎛ −3 ⎞ = ⎜⎜ 8 ⎟⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠
Vektor
⎛7⎞ ⎛ −1⎞ = 3 ⎜ −5 ⎟ – 5 ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −2 ⎞ = ⎜⎜ 5 ⎟⎟ – ⎜0⎟ ⎝ ⎠
46
⇔ 2 c = 3 a – 5 b
v = QR = r – q
⎛ 21 ⎞ = ⎜ −15 ⎟ – ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠
⎛ −5 ⎞ ⎜ 15 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 26 ⎞ = ⎜ −30 ⎟ ⎝ ⎠ ⇔
c =
1 2
⎛ 26 ⎞ ⎜ −30 ⎟ = ⎝ ⎠
⎛ 13 ⎞ ⎜ −15 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ 4. a = ⎜ 0 ⎟ , b = ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ , dan c = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜x + y⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠
xC =
2xB + (−1) × x A 2 −1
=
2 × 3 + (− 1) × 1 1
AB = k AC ⇒ b – a = k( c – a )
⎛x⎞ ⇒ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ – ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
2yB + (−1) × yA 2 −1
yC =
Titik A, B, dan C segaris jika AB = k AC.
=
2 × 1+ (−1) × 2 1
zC =
2zB + (−1) 1) × zA 2 −1
=
2 × 2 + (− 1) × 3 1
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟=k ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ ⎛ 6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ x + y⎟ − ⎜ 0 ⎟⎟ ⎜ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝
⎛ x + 2⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ 3 ⎟ = k ⎜⎜ x + y ⎟⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh:
5
= 0
=1
Jadi, koordinat titik C(5, 0, 1).
b.
AC = c – a
⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
1
–2 = k(–4) ⇔ k = 2
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
1
x + 2 = k × 8 ⇒ x + 2 = 2 × 8 ⇔ x +2=4 ⇔ x=2 1
⇒
3 = k(x + y)
⎢AC ⎢=
3 = 2 (2 + y) 6= 2+ y y=4
⇔ ⇔
⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟ · ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛⎛ 6 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ 6 ⎟ − ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −3 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
2 –1
⎛ −4 ⎞ ⎜7⎟ ⎜ ⎟ , dan c = ⎝5⎠
⎛2⎞ ⎜4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠
AP : PB = 2 : 1
2b + a 2+1
p = =
1 3
(2 b + a )
⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟⎟ 2 7 = ⎜⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ −1⎠ ⎝ ⎝ 5 ⎠ ⎛ ⎛ −8 ⎞ ⎛2⎞ 1 ⎜⎜ ⎟ 14 = 3 ⎜ + ⎜ 4 ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ −1⎠ ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 = ⎜ 18 ⎟ = ⎜ 6 ⎟ 3 9 ⎝ ⎠ ⎝3⎠ Jadi, koordinat titik P(–2, 6, 3). 1 3
Jadi, nilai AB · AC = 29.
⎛2⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ 4 ⎟ , b = ⎝ −1⎠
a.
= 4 × 4 + 3 × 3 + (–2) × (–2) = 16 + 9 + 4 = 29
A(1, 2, 3)
6. A(2, 4, –1), –1), B(–4, B(–4, 7, 5), 5), dan dan C(2, C(2, 4, –5) –5)
⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ ⎟ · ⎜ ⎜ −1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
5. a.
24
AB · BC = ( b – a ) · ( c – b )
=
16 + 4 + 4
Jadi, panjang vektor AC adalah 2 6 .
=
= 2 6
⎛2⎞ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Dengan demikian, diperoleh b = ⎜ 3 ⎟ dan c = ⎜ 6 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
42 + (− 2 2))2 + (− 2 2))2
B(3, 1, 2)
C(xC, yC, zC)
AC : BC = 2 : 1 ⇔ AC : CB = 2 : –1
Matematika Kelas X
47
8.
u = AB = b – a
b.
u
⎛ −6 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ = ⎜ 7 ⎟ – ⎜ 4 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ −1⎠
u
w
30°
90°
90° v
v = CP = p – c
Dari gambar di atas terlihat bahwa ∠( u , w ) = 30°. Vektor u dan v saling tegak lurus maka u · v = 0.
⎛ −2 ⎞ = ⎜ 6 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛ −6 ⎞ u · v = ⎜ 3 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠
⎛2⎞ ⎜ 4 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠
⎛ −4 ⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠
= 24 + 6 + 48 = 78 7.
v · w = | v | | w | cos ∠( v , w ) = 8 × 6 cos 120°
1
= 8 × 6 × (– 2 ) = –24 u · w = | u | | w | cos ∠( u , w )
= 4 × 6 cos 30° 1
=4×6× 2 3
Jadi, hasil u · v = 78.
A
= 12 3
θ
| u + v + w |2
= ( u + v + w ) · ( u + v + w )
= u · u + u · v + u · w + u · v + v · v
+ v · w + u · w + v · w + w · w
B
C
⎛ −2 ⎞ = ⎜ −4 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝2⎠
= 42 + 82 + 62 + 2 × 0 + 2 × 12 3 + 2 × (–24)
⎛0⎞ ⎛2⎞ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 1⎠
cos ∠BAC =
= = = = = = =
AB ⋅ AC | AB||AC|
= 16 + 64 + 36 + 0 + 24 24 3 – 48 = 68 + 24 3 Jadi, | u + v + w | = 68 + 24 3 .
a ⋅b |b|
24 × 18 18 24 × 18
x(−2) + y(4) + 12(−4)
⇔
−2x + 4y − 48 4 + 16 + 16
=– 3
⇔
−2x + 4y − 48 6
=– 3
⇔ ⇔ ⇔
18 24 18 24
=– 3
⇒
4 + 16 16 + 4 × 0 + 9 + 9 0 + 12 + 6
19
(−2)2 + (−4)2 + 22 × 02 + (−3)2 + 32
−2 ×0 + (−4) 4) × (−3) 3) + 2× 3
19
9. Proy Proyeks eksii skala skalarr ortogo ortogonal nal a pada b = – 3
⎛ −2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ −4 ⎟ ⋅ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
3 4
(−2)2 + 42 + (−4)2
19
=– 3
19 19
–2x + 4y 4y – 48 = –38 –38 –2x –2 x + 4y = 10 10 x = 2y – 5
. . . (1)
Panjang vektor a = 13
1
= 2 3 1
Oleh karena cos ∠BAC = 2 3 maka ∠BAC = 30°. Jadi, besar ∠BAC = 30°.
Vektor
= | u |2 + | v |2 + | w |2 + 2 u · v + 2 u · w + 2 v · w
AC = AB + BC
48
⇒
x2 + y 2 + 122 = 13
⇔
x2 + y2 + 144 = 169 169
⇔
x2 + y2 = 25
. . . (2)
Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) diperoleh:
⎛2⎞ = ⎜ −4 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠
(2y – 5) 2 + y2 = 25
⇔ 4y2 – 20y + 25 + y 2= 25 ⇔
5y2 –
20y 20 y=0
⇔
y2 – 4y 4y = 0
⇔
y(y y( y – 4) = 0
⇔
y = 0 atau atau y = 4
b.
⎛5⎞ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ Proy Pr oyek eksi si vek vekto torr ortog ortogon onal al c pada a
=
c.a | a |2
=
5 × 1 + (−3) 3 ) × (−2) 2 ) + (−5) 5) × (−1) 1) 12 + (− 2 2))2 + (− 1)2
=
16 6
Untuk y = 0 ⇒ x = 2(0) – 5 = –5 Untuk y = 4 ⇒ x = 2(4) – 5 = 3 Jadi, nilai x = –5 dan y = 0 atau x = 3 dan y = 4. ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 10. a = ⎜ −2 ⎟ dan b = ⎝ −1⎠
a.
⎛3⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠
⎛3⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠
a
⎛ 1⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ −2 ⎟ = 8 ⎜ −2 ⎟ 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎝ −1⎠
c = 2 a + b
Jadi, proyeksi vektor ortogonal c pada a adalah
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ = 2 ⎜ −2 ⎟ + ⎝ −1⎠
⎛3⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠
8 ˆ (i 3
– 2 jˆ – kˆ ).
Matematika Kelas X
49
4. Jawaban: d
A. Pilihlahan Ganda
1. Jawaban: c
6 a + b = −4 + 5
3 −4 3 a – 2 b + 3 c = a = 1 – 2 3 + 3 −2 2 5 2
3 2 1
3 = 1 – 2
9 = −2 6
| a + b | = =
92
2
+ (−2)
+
62
20 = −11 −2
Jadi, panjang a + b adalah 11. 2. Jawaban: d
20 Jadi, a – 2 b + 3 c = −11 . −2
1
= AD + 2 · DC
1
| AC | =
1
= v + 2 u
=
3. Jawaban: b
Ulangan Akhir Semester
A
12
= 144
9 cm
Jadi, u · v = 144.
Jadi, 2 a – 3 b = 16 i – 12 j + 3 k .
50
v
= 12 · 15 · ( 15 )
= 16 i – 12 j + 3 k
2
u · v = | u | · | v | · cos
= 10 i – 6 j + 12 k + 6 i – 6 j – 9 k
C
144 + 81
2 a – 3 b = 2(5 i – 3 j + 6 k ) – 3(–2 i + 2 j + 3 k )
+9
225 = 15
b = –2 i + 2 j + 3 k
122
D
=
a = 5 i – 3 j + 6 k
5. Jawaban: d
= AD + 2 · AB
AE = AD + DE
9 −6 6
3+8+9 = 1− 6 − 6 2 − 10 + 6
81 + 4 + 36
= 121 = 11
−8 + 6 10
∠( u ·
u 12 cm
v)
B
6. Jawaban: b
9. Jawaban: d
3 −5 −2 | a + 3b – 2 c | = −1 + 3 2 − 2 4 2 4 4
cos α =
a⋅b | a| ⋅ | b |
3 −15 −4 = −1 + 6 − 8 2 12 8
2 a = 0 , b = 3
109
109 .
Jika AB = BC maka B – A = C – B ⇔ 2B = C + A ⇔
2 2 ⋅ 3 2 ⋅ ( −3)2
0 29 ⋅ 22
−3 , dan c = 1 n + 2
⇔
⇔
m −2 −1
b – a = k · ( c – a ) m 2 2 = k −2 − 0 0 3 −1 3
−3 – 1 n + 2
1
B = 2 (C + A)
⇔
B=
⇔
B=
1 ((3, 6) + (–1, 2)) 2 1 (2, 8) = (1, 4) 2
Jadi, titik B adalah (1, 4). 8. Jawaban: b
⋅
Titik A, B, dan C segaris jika AB = k · AC AB = k · AC
7. Jawaban: d
42
=0 = 0 maka α = 90°
Jadi, nilai | a + 3 b – 2 c | =
2
+2 +
10. Jawaban: c
64 + 9 + 36 =
32
(−8)2 + (−3)2 + (6)2
=
α
3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ (−3)
Jadi, besar sudut antara vektor a dan b adalah 90°.
−8 −3 = 6 =
= =
karena cos
3 − 15 + 4 −1 + 6 − 8 = 2 + 12 − 8
Misalkan α = sudut antara vektor a dan b .
c = m a + n b
⇔
−5 m − 2 =k 1 −2 n − 1 −4
Dari kesamaan vektor diperoleh: •
1 = k(–2)
⇔ k
•
–5 = k(m – 2)
8 −6 −5 = m + n −7 5 4 0 −2 −3 Diperoleh 8 = –6m – 5n . . . (1) –7 = 5m + 4n . . . (2) 0 = –2m – 3n . . . (3) Eliminasi n dari persamaan (1) dan (2) 8 = –6m – 5n | × 4 | 32 = –24m – 20n –7 = 5m + 4n | × 5 | –35 = 25m + 20n ––––––––––––––– + –3 = m Substitusi m = –3 ke persamaan (1) 8 = –6(–3) – 5n ⇔ 8 = 18 – 5n ⇔ 5n = 10 n=2 ⇔ Nilai m – n = –3 – 2 = –5 Jadi, nilai m – n = –5.
1
=–2
–5 = – 2 (m – 2)
⇔
–5 = – 2 m + 1
⇔ ⇔
•
n – 1 = k(–4)
1
⇔
1
1 m 2
=6
m = 12 1
⇔
n – 1 = – 2 (–4)
⇔
n –1 = 2
n = 3 Jadi, nilai m – 4n = 12 – 4(3) = 0. ⇔
11. Jawaban: d
x a = 3 ; b = 2
2 −6 3
Matematika Kelas X
51
14. Jawaban: c
| a | = |b |
2 AB = b – a = 7 – 8
2 2 2 x 2 + 32 + 22 = 2 + (−6) + 3 2 13 + x = 49 2 x = 36 x=±6
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
6 Untuk x = 6 maka a = 3 . 2 a · b = 6 × 2 + 3(–6) + 2 × 3 = 12 – 18 + 6 =0
1
1 1 = AB 3 3
AC =
3 = 6 9
AC = c – a
⇔
a · b = –6 × 2 + 3(–6) + 2 × 3 = –12 – 18 + 6 = –24
1 p = – 2 q 3 r
−1 1 −1
p 1 = + q 2 r 3
−1 1 −1
0 = 3 2
Oleh karena a · b < 0 berarti a dan b membentuk sudut tumpul. Jadi, pernyataan yang benar pilihan d. 12. Jawaban: a
Jadi, koordinat titik C adalah (0, 3, 2).
a · b = 16 ⇔ (3 × 2) + (–4 × m) + (2 × (–5)) = 16 6 – 4m – 10 = 16 ⇔ ⇔ –4m = 20 ⇔ m = –5 Diperoleh:
15. Jawaban: d Menentukan Q dengan rumus perbandingan vektor.
q =
a + b = (3 i – 4 j + 2 k ) + (2 i – 5 j – 5 k )
= 5 i – 9 j – 3 k
(zu = 1)
w = 2 i + j – 3 k (zw = –3)
⇔
p = 4 u – 2 v – w zp = 4zu – 2zv – zw = 4 × 1 – 2 × (–2) – (–3) = 4 + 4 + 3 = 11 Jadi, komponen vektor p pada arah sumbu Z adalah 11. 52
(9, − 24, 15) + (−4, 4, − 10) 5
=
(5, − 20, 5) 5
Ulangan Akhir Semester
⇔ ⇔
=
AB : AC = 3 : 2
v = – i + 4 j – 2 k (zv = –2)
3(3, − 8, 5) + 2(−2, 2, − 5) 5
CQ = q – c = (1, –4, 1) – (–3, –2, 1) = (4, –2, 0)
u = 4 i – 2 j + k
=
16. Jawaban: d
13. Jawaban: a
= (1, –4, 1) Menentukan vektor CQ
Jadi, hasil a + b adalah 5 i – 9 j – 3 k .
3b + 2a 2+3
a = 3 i – 4 j + 2 k dan b = 2 i – 5 j – 5 k Sehingga
1 2 3
Misalkan koordinat titik C adalah (p, q, r) maka:
Oleh karena a · b = 0 maka a dan b membentuk sudut 90°. −6 Untuk x = –6 maka a = 3 . 2
3 6 9
Karena AC = 3 AB maka vektor AC adalah
−1 = 1 −1
⇔
3 AC = 2 AB 3( c – a ) = 2( b – a ) 3 c – 3a = 2 b – 2 a 3 c = 2 b + a
⇔
3 c = 2(– i + 2 j + 5 k ) + (5 i – 7 j + 5 k )
⇔
3 c = 3 i – 3 j + 15 k
⇔
c = i – j + 5 k
Jadi, koordinat titik C adalah (1, –1, 5).
17. Jawaban: a
m AB = B – A = 5 – n
−1 = 3 1
−7 AC = C – A = 7 – 3
m + 1 2 n −1
−1 = 3 1
⇔
4 2
⇔
⇔
c =
⇔
c = (2 i – 5 j + k )
19. Jawaban: c
−6 4 2
3
Diketahui | a | = 4, | b | = 14, cos α = 7
−6
(4 i − 10 j + 2k) 2
Jadi, c = 2 i – 5 j + k .
Titik A, B, dan C segaris, maka berlaku k · AB = AC .
m + 1 k 2 = n −1
k(m + 1) = 2k k(n − 1)
−6 4 2
cos
α
⇔
3 7
⇔
3 7
=
a ⋅b | a| ⋅ | b |
=
a ⋅b 4 ⋅ 14
=
a ⋅b 56
Dari kesamaan vektor diperoleh: 2k = 4 ⇔ k = 2 k(m + 1) = –6 ⇔ 2(m + 1) = –6 m + 1 = –3 ⇔ ⇔ m = –4 k(n – 1) = 2 ⇔ 2(n – 1) = 2 n– 1= 1 ⇔ ⇔ n=2 Sehingga A = (–1, 3, 1), B(–4, 5, 2), dan C(–7, 7, 3)
Dicari nilai a ( a + b )
−7 BC = C – B = 7 – 3
Jadi, nilai a ( a + b ) = 40.
−4 = 5 2
−3 2 1
a · b =
3 ⋅ 56 7
a · b = 24
a ( a + b ) = a · a + a · b
= | a |2 + a · b = 42 + 24 = 16 + 24 = 40
20. Jawaban: c
Diketahui | a | = 12, | b | = 8, sudut a dan b = 60°,
−4 AB = B – A = 5 – 2
−1 = 3 1
−3 2 1
1
= 96 · 2 = 48
AB : BC = (–3, 2, 1) : (–3, 2, 1) = 1 : 1
Jadi, AB : BC = 1 : 1.
A
2
⇔
⇔
b
a
c =
3b − a 2
3(3 i
−4j +
(9 i − 12 j + 6k) − (5 i − 2 j + 4k) 2
c = c =
1
2k) − (5 i − 2 j + 4k) O 2
= ( a )( a ) – 2 a b + ( b )( b )
C
= | a |2 – 2 a b + |b |2 = 122 – 2 · 48 + 8 2 = 144 – 96 + 64 = 112
c
B
( a – b )2 = ( a – b )( a – b )
n
1a + 2c
2 c = 3 b – a ⇔
m
b = m+n
Akan dicari panjang ( a – b )
18. Jawaban: c
a · b = | a | | b | cos α = 12 · 8 · cos 60°
misal α = sudut antara a dan b .
maka |( a – b )| =
112
=4 7
Jadi, panjang ( a – b ) adalah 4 7 .
Matematika Kelas X
53
21. Jawaban: c cos
=
θ
cos 60 =
a · b =
23. Jawaban: b
a ⋅b |a || b | a ⋅b
4⋅5 1 · 4 2
( a + b )( a + b ) = ( a )2 + 2 a · b + ( b )2
(24, − 6, − 12) 6
⇔
| a |2 + 2 · a · b + | b |2 = 13
⇔
52 + 2 a · b + ( 4 3 )2 = 13
m(–4) + 2(m – 2) + 5 · 2 = 0 –4m + 2m – 4 + 10 = 0 –2m = –6 ⇔ m=3 ⇔ Jadi, nilai m = 3.
25. Jawaban: a Menentukan nilai m terlebih dahulu. Oleh karena a dan b tegak lurus, maka berlaku:
25 + 2 a · b + 48 = 13
⇔
2 a · b = 13 – 25 –48
⇔
2 a · b = –60
⇔
a · b = –30
Misalkan α = sudut antara vektor a dan vektor b .
a ⋅b | a| ⋅ | b |
(3m · 3) + (5m · (–3)) + (–6 · 8) = 0 ⇔ 9m – 15m – 48 = 0 –6m = 48 ⇔ ⇔ m = –8 Dengan demikian, diperoleh:
a = 3m i + 5m j – 6 k = –24 i – 40 j – 6 k
−30
= 5 4 3 ⋅
c = –10 i – 8 j + 2m k = –10 i – 8 j – 16 k
30
= – 20 3 = – 2 3 ·
(3m i + 5m j – 6 k )(3 i – 3 j + 8 k ) = 0
⇔
Dipunyai | a | = 5, | b | = 4 3 , a · b = –30
3
⇔
a · b = 0
⇔
⇔
a · b = 0
a · a + 2 · a · b + b · b = 13
⇔
Sehingga:
a – c = (–24 i – 40 j – 6 k ) – (–10 i – 8 j – 16 k )
3 3
= –14 i – 32 j + 10 k
3
=–6 3
Jadi, a – c = –14 i – 32 j + 10 k .
1
=–2 3
26. Jawaban: c 1
Karena cos α = – 2 3 , maka α = 150°.
Jadi, sudut antara vektor a dan b adalah 150°.
•
a · b = 0
⇔
⇔
Ulangan Akhir Semester
a tegak lurus b maka a · b = 0
⇔
54
⇔
=
=
Jika vektor a dan vektor b saling tegak lurus,
( a + b )( a + b ) = 13
α
(−1, 4, 3) + (25, − 10, − 15) 6
b
maka θ = 90°, akibatnya a · b = 0.
cos
=
24. Jawaban: a
22. Jawaban: d
a
Jadi, nilai ( a + b )( a + b ) = 61.
k
Jadi, vektor posisi k adalah (4, –1, –2).
B
= (4, –1, –2)
= | a |2 + 2( a · b ) + | b |2 = 42 + 2 · 10 + 5 2 = 61
5
(−1, 4, 3) + 5(5, − 2, − 3) 6
Maka dipunyai | a | = 4, | b | = 5, a · b = 10
K
= ·5
1
A
b + 5a 1+ 5
k =
a · b = 10
⇔
(5 i + m j + 3 k )(n i + 7 j + 2 k ) = 0 (5n + 7m + 6) = 0 5n + 7m = –6 . . . (1)
•
b tegak lurus c maka b · c = 0
=
b · c = 0
(n i + 7 j + 2 k )(3 i + m j – k = 0 ⇔ 3n + 7m – 2 = 0 3n + 7m = 2 . . . (2) ⇔ Eliminasi m dari persamaan (1) dan (2) 5n + 7m = –6 3n + 7m = 2 ––––––––––– – 2n = –8 ⇔ n = –4 Substitusi n = –4 ke persamaan (1) 5(–4) + 7m = –6 ⇔ 7m = –6 + 20 ⇔ m=2 ⇔
a + 2 b – c
= (5 i + 2 j + 3) + 2(–4 i + 7 j + 2 k ) – (3 i + 2 j – k )
b
⇔
c // d
. . . (1)
2x 22 − z = k 8
x 4y 4 Dari kesamaan vektor diperoleh: 8=k·4 ⇒ k=2 ⇒ k=2 22 – z = 8y . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2) 16 + 2y – 5z = 0 22 – z = 8y
→ →
2y – 5z = 16 8y + z = 22
× 4 8y – 20z = 64 ×1 8y + z = 22 ––––––––––– – –21z = 42 z = –2
Substitusi z = –2 ke persamaan (2) z = –2 → 8y – 2 = 22 ⇔ 8y = 24 ⇔ y=3 Jadi, nilai (y + z) = 3 + (–2) = 1. 28. Jawaban: b
AB = b – a = (3, 1, 4) – (2, –2, 1) = (1, 3, 3)
AC = c – a = (0, 1, 5) – (2, –2, 1) = (–2, 3, 4) Proyeksi skalar ortogonal: = =
AB ⋅ AC
KL =
– k =
2
+ (4)
2
2 – 2 0
0 KM = m + k = 0 – 0
=
0 = 2 2
2 0 −2
0 = 2 2
0 −2 −2
2 ⋅0
0 ⋅ ( −2) + (−2) ⋅ (− 2)
+
02
2
+ (−2)
2
+ (−2)
2
0 −2 −2
0 = 4 −2 8 −2
=
0 = −2 −2
1 2
0 −1 −1
Jadi, proyeksi vektor ortogonal KL pada KM
adalah 0 i – j – k = – j – k . 30. Jawaban: d
2 1 a + 3 b = 1 + 3 −4 = −3 2
2+3 1 − 12 = −3 + 6
5 −11 3
Proyeksi skalar ortogonal vektor ( a + 3 b ) pada b
=
(1, 3 , 3) ⋅ ( −2, 3, 4 ) + (3)
29 .
29. Jawaban: e
|AC|
(−2)2
19 29
adalah
= |KM| 2 · KM
d = k · c
→
Jadi, proyeksi skalar ortogonal AB pada AC
KL ⋅ KM
a · b = 0 2(–8) + 2(y) + z(–5) = 0 –16 + 2y – 5z = 0
⇔
29
Proyeksi vektor ortogonal KL pada KM
⇒
19 29
=
⊥
19 29
=
27. Jawaban: c a
4 + 9 + 16
= (–6 i + 14 j + 8 k ).
−2 + 9 + 12
=
(a + 3b) ⋅ b |b| 5 1 −11 ⋅ −4 3 2 12
2
+ ( −4)
+
22
Matematika Kelas X
55
=
5 + 44 + 6 21
=
55 55 = 21 21
Proyeksi skalar ortogonal r pada v
21
Jadi, proyeksi skalar ortogonal vektor ( a + 3 b )
pada b adalah
8 2 5 ⋅ 3 3 −1
55 21
r ⋅v |v|
21 .
=
31. Jawaban: e
Proyeksi skalar ortogonal a pada b =
⇔
⇔
=
1 3
=
1 3
=
a⋅b |b|
2 −4 3 ⋅ x −1 2 ( −4)2 −8 +
x2
+
x2
3x
−
2
+
20
+
22
22
+
32
2
+ (−1)
16 + 15 − 3 4 +9+1
=
28 14
=
28 14
=
28 14 14 ⋅ 14
14 14
·
= 2 14
Jadi, proyeksi skalar ortogonal vektor (2 u + 3 v )
2
x + 20 = 9x – 30
⇔
x2 + 20 = 81x2 – 540x + 900 540x + 880 = 0 2 8x – 54x + 88 = 0 (8x – 22)(x – 4) = 0
⇔
80x2 –
⇔ ⇔ ⇔
pada v adalah 2 14 . 33. Jawaban: b Proyeksi skalar ortogonal a pada b =
a ⋅b |b| 2 x 3 ⋅ 0 4 3
22
x = 8 atau x = 4 Karena x ∈ bilangan bulat, maka x = 4 diperoleh ⇔
−4 b = 4 2
⇔
⇔
2 −4 a + 2 b = 3 + 2 4 −1 2 − 2 8 −6 = 3 + 8 = 11 −1 + 4 3 −6 Jadi, nilai a + 2 b adalah 11 . 3
⇔
32. Jawaban: d
Misalkan r = 2 u + 3 v maka
1 2 r = 2 −2 + 3 3 3 −1 2+6 = −4 + 9 = 6 + (−3)
56
8 5 3
Ulangan Akhir Semester
4 x2
4 5
=
4 5
=
+9
x2
+
02
+
32
2x + 0 + 12 x2
+
9
= 5(2x + 12)
2
4 x2 + 9 ⇔ = (10x + 60) 2 2 ⇔ 16(x + 9) = 100x2 + 1.200x + 3.600 16x2 + 144 = 100x2 + 1.200x + 3.600 ⇔ ⇔ 84x2 + 1.200x + 3.456 = 0 ⇔ 7x2 + 100x + 288 = 0 ⇔ (7x + 72)(x + 4) = 0 72
x = – 7 atau x = –4 Jadi, salah satu nilai x yang memenuhi adalah –4. ⇔
34. Jawaban: e
Proyeksi skalar ortogonal a pada b =
8=
⇔
⇔
8=
8m + (−2) ⋅ 0 m2
+
+ 16
4⋅ 4
a ⋅b |b| 8 m −2 ⋅ 0 4 4 m2
+ 16
⇔
8 m2
36. Jawaban: e
= 8m + 16
+ 16
a = 2 i + 4 j – k
m2
⇔
⇔
m2
⇔ ⇔ ⇔
=m+2
+ 16
2
= (m + 2)2 2 m + 16 = m2 + 4m + 4 4m = 12 m=3 + 16
8 3 a + 2 b = −2 + 2 0 = 4 4
8 + −2 4
| a + 2b | = =
142
+
( −2)2
+
6 = 0 8
14 −2 12
⇒
2x + 4y – z = 0
. . . . (1)
b · c = 0
⇒
2x – 2y + z = 0
. . . . (2)
| c | = 41 ⇒ x2 + y 2 + z 2 = 41 2 Eliminasi x dari persamaan 1 dan 2: 2x + 4y – z = 0 2x – 2y + z = 0 –––––––––––––– – 6y – 2z = 0 ⇔ z = 3y
1
344 .
4 a = 4 i – 5 j + 3 k = −5 3 1 b = i + p j + k = p 1 4 1 a · b = −5 p = 4 – 5p + 3 = 7 – 5p 3 1 Panjang b = | b | =
2
2
+ p + 1 =
1
1 2 y + 4
y 2 + 9y 2 = 412 41 2 y 4
⇔
⇒
⇔
Oleh karena vektor c membentuk sudut tumpul dengan sumbu Y arah positif maka y = –2 ⇒ z = ⇒
p2 + 2
1
1
x = – 2 y = – 2 × (–2 41) =
b
2 =2 p
+2
Jadi, vektor c =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
p2 + 2
2
=2 p
p=
1 2
37. Jawaban: c
a = 2 i + 3 j – 6 k
22 + 32 + (−6)2
|a| =
=
4 + 9 + 36 =
49 = 7
⇔
( a – b )2 = a 2 – 2 a · b + b 2
⇔
| a – b |2 = | a |2 – 2 a · b + | b |2
⇔
102 = 72 – 2 a · b + 92
⇔
1
Jadi, nilai p = –3 atau p = 2 .
atau p = –3
41( i – 2 j – 6 k ).
=
+2
7 – 5p = 2(p2 + 2) 7 – 5p = 2p2 + 4 2p2 + 5p – 3 = 0 (2p – 1)(p + 3) = 0 2p – 1 = 0 atau p + 3 = 0
41
41 i – 2 41 j – 6 41 k
7 − 5p
41.
3y = 3 × (–2 41) = –6 41
= 412
y2 = 4 × 41 y = ± 2 41
⇔
Proyeksi skalar ortogonal a pada b = 2 × panjang b a·b
. . . . (3)
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2: 2x + 4y – z = 0 2x – 2y + z = 0 –––––––––––––– + 1 4x + 2y = 0 ⇔ x = – 2 y
⇔
Substitusi z = 3y dan x = – 2 y ke persamaan 3: x2 + y2 + z 2 = 412
35. Jawaban: b
344
Jadi, panjang a + 2b adalah
a · c = 0
122
196 + 4 + 144 =
Vektor c tegak lurus a dan b , berarti
3 Diperoleh m = 3, maka b = 0 . 4
c = x i + y j + z k
b = 2 i – 2 j + k
2 a · b = 49 + 81 – 100 30
⇔
a · b = 2
⇔
a · b = 15
Matematika Kelas X
57
Proyeksi skalar ortogonal a pada b =
40. Jawaban: d
a ⋅b |b| 15
D
5
= 9 = 3
Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b 5
adalah 3 .
B A 80 m/menit
22
2
+ (−2)
2
+1
4 + 4 + 1 =
=
9 = 3
AE =
AB2
+ BE
=
802
+
a · b = | a | · | b | · cos 120°
= 3 · 4 · (–
1 2
Proyeksi vektor otogonal b pada a
=
=
=
2
|a| −6
32
2 –3
AE AD
802
BE
= CD
· a
AD =
2 · −2 1
=
AE ⋅ CD BE 80 2 ⋅ 500 80
= 500 2 Waktu perahu untuk sampai ke tepi:
2 −2 1
4
2
= 80 2 Panjang lintasan perahu yang dilewati:
)
= –6 b⋅a
C
Kecepatan perahu setelah terkena arus adalah
a = 2 i – 2 j + k
|a| =
500 m
E
80 m/menit
38. Jawaban: e
F
jarak
waktu = kecepatan = 4
2
500 2 80 2
= 6,25 = 6 menit 15 detik
= – 3 i + 3 j – 3 k B. Uraian
39. Jawaban: e D
1. Diketahui: | a | = 3
|b | = 5 vP = 3 m/s
A
B
Misalkan θ = sudut antara a dan b
E
a · b = | a | · | b | · cos = 3 · 5 · cos 60°
vR = 5 m/s
vS = 4 m/s C
=
AB ⋅ DE BC
=
5 ⋅ 60 3
= 100
Jadi, panjang lintasan yang ditempuh perahu adalah 100 m.
58
1
Asumsikan bahwa perahu bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD dan resultan kecepatan perahu dan air adalah 5 m/s (dengan aturan Phytagoras) Dengan membandingkan sisi ABC dan ADE maka diperoleh: AB BC ⇔ AD = AD DE
Ulangan Akhir Semester
60 m
θ
1
= 3 · 5 · 2 = 7 2 a.
a ( a + b ) = a · a + a · b
= | a |2 + a · b 1
= 32 + 7 2 1
1
= 9 + 7 2 = 16 2
1
Jadi, a ( a + b ) = 16 2 .
b ( a + b ) = b · a + b · b
b.
= b · a + | b |2 =
1 7 2 +
52
1
| a |2 +
d.
|( a –
b )|2
a =
1⋅ q + 2 ⋅ p 1+ 2
2)
19 .
|r | =
(x 2
− x1)
2
+ (y 2 − y1)
2
+ (z 2 − z 1)
(353 − 128)2 + (198 − 88)2 + (108 − 24)2
=
(225)2 + (110)2 + (84)2
=
50.625 + 12.100 + 7.056
E
1
B
3)
p+r 2
=
(3, 0, 6) + (1, 0, − 4) 2
=
(4, 0, 2) = 2
(2, 0, 1)
b.
2r
−
q
2(1, 0, − 4) − (0, 3, − 3)
c = 2 − 1 = 1 = (2, –3, –5) Diperoleh c = (2, –3, –5) Jadi, koordinat titik C(2, –3, –5). Akan dibuktikan bahwa A, B, dan C kolinier. Syarat titik yang segaris adalah AC = k · AB. AC = k · AB
3 ⋅ c + 1⋅ b 3 +1
1
(2, 1, 3)
c – a = k · ( b – a )
e = A
2 ⋅ a + 1⋅ c 2 +1
= 3 (2 a + c )
D
(6, 3, 9) = 3
Diperoleh b = (2, 0, 1) Jadi, koordinat titik B(2, 0, 1). C membagi QR di luar dengan QC : RC = 2:1
d =
=
=
C
b =
2
= 69.781 = 264,16 Jadi, jarak yang ditempuh pesawat adalah 264,16 km. 3.
(0, 3, − 3) + 2 ⋅ (3, 0, 6) 3
Diperoleh a = (2, 1, 3) Jadi, koordinat tititk A(2, 1, 3). B titik tengah PR, maka PB = BR
2. Jarak yang ditempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Surabaya dihitung dengan rumus jarak:
Jadi, nilai |( a + b )| =
=
= | a |2 – 2 · a · b + | b |2 = 9 – 15 + 25 = 19
1
= a · a – 2 a · b + b · b
p = (3, 0, 6), q = (0, 3, –3), dan r = (1, 0, –4). a. 1) A mem bagi PQ di dalam dengan PA : AQ = 1 : 2.
= ( a – b ) · ( a – b )
49 = 7.
4. Vektor posisi untuk titik P, Q, dan R adalah
| b |2
Jadi, nilai |( a + b )| =
+ 3 b + 5 c ).
= 2 · a · b + = 9 + 15 + 25 = 49
=
9c + 3b − 8a − 4c 12
= a · a + 2 a · b + b · b
Jadi, DE dalam a , b , dan c adalah 12 (–8 a
|( a + b )|2 = ( a + b ) · ( a + b )
=
1
= 12 (–8 a + 3 b + 5 c )
Jadi, nilai b ( a + b ) = 32 2 . c.
1
3(3c + b) − 4(2a + c) 12
1 32 2
1
1
= 4 (3 c + b ) – 3 (2 a + c )
= 7 2 + 25 =
Sehingga: DE = e – d
= 4 (3 c + b )
2 −3 – −5
2 1 = k · 3
0 =k· −4 −8
2 0 – 1
2 1 3
0 −1 −2
Matematika Kelas X
59
Dari kesamaan di atas diperoleh: 1) –4 = k · (–1) k=4 2) –8 = k · (–2) k=4 Jadi, A, B, dan C kolinier karena terpenuhi AC = k · AB dengan k = 4.
c.
Proyeksi vektor ortogonal a pada b =
=
=
BC = c – b = (2, –3, –5) – (2, 0, 1) = (0, –3, –6) Diperoleh:
18 ( 18)2
a⋅b | a| ⋅ | b |
(−4)2
+
22
2
+ (−2)
(−3)2
⋅
6. Proyeksi skalar ortogonal a pada b
+
32
+
02
|b|
4(−3) + (2 ⋅ 3) + (−2) ⋅ 0 16 + 4 + 4 ⋅ 9 + 9 + 0
⇔
=
12 + 6 + 0 24 ⋅ 18
⇔
4 3
=
=
18 24 ⋅ 18
⇔
4 3
=
=
18 24
⇔
=
=
1 2
⇔
3
⇔ ⇔
1
Karena cos θ = 2 3 , maka θ = 30°
⇔
=
=
a⋅b |b| −4 −3 2 3 −2 0 ( − 3)2 18 18
+
=
(3)2
+
02
18 = 3 2
Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah 3 2 .
Ulangan Akhir Semester
(m, 6, n) ⋅ ( −4, − 2, 4) ( −4)2
+ ( −2)
2
+ (4)
2
−4m − 12 +
4n 16 + 4 + 16
−4m +
4n − 12 6
24 = 3(–4m + 4n – 12) 24 = –12m + 12n – 36 60 = –12m + 12n –m + n = 5 n=5+m . . . (1)
Panjang vektor a = 7
Proyeksi skalar ortogonal a pada b =
1
13 =
= a ⋅ b
=
3 4
−4 −3 2 3 −2 0
=
−3 adalah 3 . 0
Misalkan θ = sudut yang dibentuk oleh a dan b cos θ =
−3 3 0
18 18
−3 3 0
Jadi, proyeksi vektor ortogonal a pada b
Jadi, nilai perbandingan AB : BC = 1 : 3.
60
| b |2
· b
−3 = 3 0
AB : BC = (0, –1, –2) : (0, –3, –6) =1:3
b.
AB = b – a = (2, 0, 1) – (2, 1, 3) = (0, –1, –2)
5. a.
a ⋅b
Nilai perbandingan AB : BC
c.
m2 + 62 + n2 = 7 m2 + 36 + n 2 = 49 m2 + n2 = 13 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) n=5+m → m2 + n2 = 13 m2 + (5 + m) 2 = 13 ⇔ ⇔ m2 + 25 + 10m + m 2 = 13 ⇔ 2m2 + 10m + 12 = 0 ⇔ (2m + 6)(m + 2) = 0 m = –3 atau m = –2 ⇔ Untuk m = –3 ⇒ n = 5 + (–3) = 2 Untuk m = –2 ⇒ n = 5 + (–2) = 3 Jadi, nilai m = –3 dan n = 2 atau m = –2 dan n = 3.
7. b ⊥ ( a – 2 c ) maka b · ( a – 2 c ) = 0
⇔
1 · 2 2
−4 – 2 5 1
1 · 2 2
−4 – 5 1
x − 3 = 0 2x 2 − x
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
x − 3 Diperoleh c = 2x = 2 − x
=
=
22
+
42
+
4 + 16 + 0 20
02 20 20
=
adalah b.
20 = 2 5 .
=
=
42
+
02
8+0+0 16
−2 2 1
c.
+
02
= 8 = 2 4
Proyeksi vektor ortogonal AG pada AC
AG ⋅ AC
| A C |2
4 4 4 5 4 0
· AC =
( 42
+
42
+
02 )2
2
+1
=
1
AC = C – A = (4, 4, 0) – (0, 0, 0) = (4, 4, 0)
= 3 = 6 3
1
Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada c adalah 6 3 . 8.
AG = G – A = (4, 4, 4) – (0, 0, 0) = (4, 4, 4)
8 + 10 + 1 9
19
Jadi, proyeksi skalar ortogonal DK pada DC adalah 2.
−4 −2 5 2 1 1 22
2 4 0 0 4 0
= |c|
+
Proyeksi skalar ortogonal DK pada DC
DK ⋅ DC = |DC|
a⋅c
( −2)2
20
Proyeksi skalar ortogonal a pada c
=
=
Jadi, proyeksi skalar ortogonal AK pada AL
−2x + 2 =0 5 − 4x 2x − 3
1− 3 = 2 ⋅ 1 2 − 1
2 2 4 4 4 0
(–2x + 2) + 2(5 – 4x) + 2(2x – 3) = 0 –2x + 2 + 10 – 8x + 4x – 6 = 0 –6x + 6 = 0 6x = 6 x=1
⇔
Proyeksi skalar ortogonal AK pada AL
AK ⋅ AL |AL|
2x − 6 = 0 4x 4 − 2x
1 · 2 2
⇔
a.
d.
32 32
4 · 4 = 0
4 · 4 0
4 4 0
Jadi, proyeksi vektor ortogonal AG pada AC adalah (4, 4, 0). E = – = (2, 4, 4) – (0, 0, 4) = (2, 4, 0) K AK
FG = G – F = (4, 4, 4) – (4, 0, 4) = (0, 4, 0)
ZA
H(0, 4, 4) K(2, 4, 4) G(4, 4, 4)
E(0, 0, 4)
F(4, 0, 4)
EK ⋅ FG
|FG|2 Y D(0, 4, 0) L(2, 4, 0) A(0, 0, 0)
C(4, 4, 0)
B(4, 0, 0)
X
Proyeksi vektor ortogonal EK pada FG 2 0 4 4 0 0
0 · FG = · 4 2 2 2 2 ( 0 +4 +0 ) 0 0 0 16 = · 4 = 4 16 0 0
Jadi, proyeksi vektor ortogonal EK pada FG adalah (0, 4, 0).
Matematika Kelas X
61
