01+Kunci+MAT+10B+PEMINATAN+K-13+2016

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: 1. mend mendeskr eskripsik ipsikan an dan mengana menganalisis lisis konse konsep p vektor; vektor; 2. mendes mendeskripsi kripsikan kan dan menyeles menyelesaikan aikan operasi operasi aljabar vektor vektor;; 3. mende mendeskrip skripsikan sikan dan menyele menyelesaika saikan n masalah jarak jarak dan sudut sudut dua vektor; vektor; 4. memeca memecahkan hkan masalah mengguna menggunakan kan kaidah-k kaidah-kaidah aidah vektor vektor.. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik: 1. menunjukkan perilaku perilaku disiplin, sikap sikap kerja sama, sikap sikap kritis, kritis, dan cermat dalam bekerja bekerja menyelesaikan menyelesaikan masalah masalah kontekstual kontekstual;; 2. memiliki dan menunjukkan menunjukkan sikap ingin tahu, tahu, motivasi internal, internal, rasa senang senang dan tertarik, dan percaya diri dalam melakukan kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata.

Pengertian Vektor

Konsep Vektor

Vektor di R2 Vektor di R3 Vektor Posisi Kesamaan Vektor Penjumlahan Vektor

Operasi Vekor

Pengurangan Vektor

Latihan 1

Perkalian Bilangan dengan Vektor

Latihan 2

Perbandingan Vektor

Latihan 3

Panjang Vektor

Latihan 4

Soal-Soal

Materi

Panjang Vekor

Jarak Antara Dua Titik Vektor Satuan

Latihan 5

Menyatakan Vektor Menggunakan Vektor Satuan pada Sumbu Koordinat

Ulangan Harian Perkalian Skalar Dua Vekor

Hasil Kali Skalar Dua Vektor Besar Sudut Antara Dua Vektor Dua Vektor Saling Tegak Lurus Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

Vektor

Proyeksi Vektor

Proyeksi Skalar Ortogonal Proyeksi Vektor Ortogonal

Tugas Sistem Koordinat di R3

Ilmuwan yang Mengembangkan Analisis Vektor

Membuktikan Rumus Perbandingan Vektor 



Membuktikan Rumus a · b = | a || b | cos θ 



Menentukan Vektor

Informasi

Kegiatan

Pemantapan

Menggunakan Operasi Vektor Menggunakan Vektor Satuan Membuktikan Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Menentukan Panjang Proyeksi Vektor

Selancar Internet

Menjelaskan Dot Product dan dan Cross Product Matematika Kelas X

1

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat.

1.

5.

Koordinat titik P(4, 8) dan Q(2, –3), maka

Jawaban: Jawa ban: d

Gaya mempunyai besar/nilai yaitu besarnya gaya yang bekerja dan mempunyai arah yaitu arah gaya bekerja. Oleh karena mempunyai besar dan arah maka gaya merupakan besaran vektor. Panjang, massa, volume, dan suhu mempunyai besar/nilai tetapi tidak mempunyai arah. Oleh karena hanya mempunyai besar maka panjang, massa, volume, dan suhu termasuk besaran skalar. 2.

  

vektor PQ digambarkan seperti di samping. Dari titik P ke kiri 2 satuan (–2) dan ke bawah 11 satuan (–11) sampai di titik Q, maka ⎛ −2 ⎞ PQ = ⎜ ⎟. ⎝ −11⎠ Cara lain: Koordinat titik P(4, 8), maka xP = 4 dan y P = 8. Koordinat titik Q(2, –3), maka xQ = 2 dan yQ = –3.    

Jawaban: Jawa ban: b    

Pangkal vektor MN adalah titik M dan ujungnya titik N. Dari titik M ke kanan 6 satuan (6) dan ke bawah 3 satuan (–3) sampai di titik N. Jadi, vektor ⎛6⎞ MN = ⎜ ⎟ . ⎝ −3 ⎠    

3.

Jawaban: Jawa ban: e

⎛ xQ PQ = ⎜ ⎝ yQ    

Jawaban Jaw aban:: c

Dari kedudukan titik A, B, dan C diperoleh vektorvektor berikut. ⎛ −5 ⎞ BA = ⎜ ⎟ ⎝0⎠

Y P 7 6 5 4 3 2 1 0 –1

1

2

3

4

5

X

–2 –3

Q

⎛ 2−4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎟ − yP ⎠ ⎝ −3 − 8 ⎠ ⎝ −11⎠ − xP ⎞

⎛ −2 ⎞ ⎟. Jadi, PQ = ⎜ ⎝ −11⎠    

 

6.

⎛ 1⎞ AC = ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −5 ⎞ Koordinat titik K(2, 3) dan KL = ⎜ ⎟ , berarti dari ⎝4⎠ titik K ke kiri 5 satuan dan ke atas 4 satuan sampai di titik L. perhatikan gambar berikut.    

  

⎛ 4⎞ CB = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ Jadi, pernyataan yang benar adalah (iii).    

4.

Jawaban: Jawa ban: c

L

Y 7 6

Jawaban Jaw aban:: e

5

Vektor-vektor di atas dapat dituliskan sebagai berikut. ⎛5⎞ p = ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

4 3



⎛ −5 ⎞ q = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

K

2 1



–3 –2 –2 –1 –1 0

⎛ −2 ⎞ r = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ s = ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠ ⎛ −2 ⎞ t = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛ −2 ⎞ Jadi, ⎜ ⎟ = t . ⎝5⎠ 







2

Vektor

1

2

3

X

Diperoleh koordinat titik L(–3, 7). Cara lain: Misalkan koordinat titik L(x L, yL), maka: ⎛ x − xK ⎞ ⎛ xL − 2 ⎞ ⎛ −5 ⎞ KL = ⎜ L ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝ yL − y K ⎠ ⎝ yL − 3 ⎠ Dari kesamaan tersebut diperoleh: –5 = xL – 2 ⇔ xL = –3 4 = yL – 3 ⇔ yL = 7 Jadi, koordinat titik L(–3, 7).    

7.

Jawaban Jaw aban:: a

⎛ −6 ⎞ Koordinat titik Q(–4, 1) dan PQ = ⎜ ⎟ , berarti ⎝ −5 ⎠ dari titik P ke kiri 6 satuan dan ke bawah 5 satuan sampai di titik Q. Perhatikan gambar berikut.    

Jawaban: e 10. Jawaban: Koordinat titik A(–5, 4, 1), maka x A = –5, y A = 4, dan zA = 1. Misalkan koordinat titik B(x B, yB, zB), maka:

⎛ xB ⎜ AB = ⎜ yB ⎜z ⎝ B    

Y P

6

4 3 2 1

–4 –3 –2 – 2 –1 –1 0

1

2

3

X

4

Diperoleh koordinat titik P(2, 6). Cara lain: Misalkan koordinat titik P(x P, yP), maka: ⎛ x Q − xP ⎞ ⎛ −4 − xP ⎞ ⎛ −6 ⎞ PQ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ ⎝ 1 − yP ⎠ ⎝ y Q − yP ⎠ Dari kesamaan tersebut diperoleh: –6 = –4 – x P ⇔ xP = –4 + 6 ⇔ xP = 2 –5 = 1 – yP ⇔ yP = 1 + 5 ⇔ yP = 6 Jadi, koordinat titik P(2, 6).   

8.

Jawaban: Jawa ban: d 

Koordinat titik D(–6, 12, –3). Vektor d merupakan

⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ vektor posisi titik D, yaitu d = OD = ⎜ 12 ⎟ . ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ Jadi, d = ⎜ 12 ⎟ . ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ 

   



9.


Koordinat titik M(7, –4, 2), maka x M = 7, yM = –4, dan zM = 2. Koordinat titik N(1, 2, –5), maka x N = 1, y N = 2, dan zN = –5.

⎛ xM − x N ⎞ ⎜ ⎟ NM = ⎜ yM − yN ⎟ = ⎜z −z ⎟ ⎝ M N⎠    

⎛6⎞ ⎜ ⎟ Jadi, NM = ⎜ −6 ⎟ . ⎜7⎟ ⎝ ⎠

⇔

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜5⎟ ⎝ ⎠

⎛ xB − ( −5) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ yB − 4 ⎟ ⎜ z −1 ⎟ ⎝ B ⎠

Dari kesamaan tersebut diperoleh: 4 = xB – (–5) ⇔ xB = –1 –2 = yB – 4 ⇔ yB = 2 ⇔ z B = 6 5 = zB – 1 Jadi, koordinat titik B(–1, 2, 6).

5

Q

⎞ ⎟ − yA ⎟ − zA ⎟ ⎠ − xA

⎛ 7 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −4 − 2 ⎟ = ⎜ 2 − (−5) ⎟ ⎝ ⎠

⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠

Jawaban: c 11. Jawaban: Koordinat titik D(–2, 0, 1), maka x D = –2, yD = 0, dan zD = 1. Misalkan koordinat titik C(x C, y C, zC), maka:

⎛ xD − x C ⎞ ⎜ ⎟ CD = ⎜ yD − yC ⎟ ⎜z −z ⎟ C⎠ ⎝ D    

⇔

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −2 − xC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − yC ⎟ ⎜ 1− z ⎟ C ⎠ ⎝

Dari kesamaan tersebut diperoleh: 3 = –2 – xC ⇔ x C = –2 – 3 ⇔ x C = –5 2 = 0 – y C ⇔ y C = –2 –5 = 1 – zC ⇔ z C = 1 + 5 ⇔ zC = 6 Jadi, koordinat titik C(–5, –2, 6). Jawaban: b 12. Jawaban: Koordinat titik A(2, –1), maka x A = 2 dan yA = –1. Koordinat titik B(5, 3), maka x B = 5 dan y B = 3.

⎛ xB AB = ⎜ ⎝ yB    

⎞ ⎛ 5−2 ⎞ ⎛3⎞ = ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ − yA ⎠ ⎝ 3 − (−1) ⎠ ⎝4⎠ − xA

⎛ 3⎞ Vektor posisi titik C adalah c = AB = ⎜ ⎟ , maka ⎝ 4⎠ koordinat titik C(3, 4). Jadi, koordinat titik C adalah (3, 4). 

   

Jawaban: a 13. Jawaban: Koordinat titik P(–1, –3), maka x P = –1 dan y P = –3. Koordinat titik Q(3, –2), maka x Q = 3 dan y Q = –2. Koordinat titik R(2, 3), maka x R = 2 dan y R = 3. Misalkan koordinat titik S(x S, yS), maka:    

   

PQ = RS

⇔

⎛ xQ ⎜ ⎝ yQ

− xP ⎞

⎛ xS ⎟ = ⎜ − yP ⎠ ⎝ yS

− xR ⎞

⎟

− yR ⎠

⇔

⎛ xS ⎛ 3 − (−1) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜y 3)⎠ ⎝ −2 − (−3) ⎝ S

− 2⎞

⇔

⎛ xS ⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜y ⎝ 1⎠ ⎝ S

− 2⎞

⎟

− 3⎠

   

⎟

− 3⎠

Matematika Kelas X

3

Dari kesamaan vektor diperoleh: 4 = xS – 2 ⇔ xS = 6 1 = yS – 3 ⇔ yS = 4 Jadi, koordinat titik S adalah (6, 4).

Diperoleh koordinat titik C(6, 0, –1) sehingga vektor

⎛6⎞ posisinya c = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ . ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ 

Jawaban: e 14. Jawaban:

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ Vektor posisi titik K adalah k = ⎜ −2 ⎟ . ⎜5⎟ ⎝ ⎠

⎛6⎞ ⎜ ⎟ Jadi, vektor posisi titik C adalah c = ⎜ 0 ⎟ . ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠



Koordinat titik L(–2, 3, 1), maka x L = –2, y L = 3, dan zL = 1. Misalkan koordinat titik M(x M, y M, y M), maka: 

 

k = LM

⇔

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜5⎟ ⎝ ⎠

⎛ xM − x L ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ yM − y L ⎟ ⎜z −z ⎟ ⎝ M L⎠



B. Urai Uraian an 

1.

a dari titik pangkal ke kiri 3 satuan dan ke atas 1 ⎛ −3 ⎞ satuan, maka a = ⎜ ⎟ . ⎝ 1⎠ b dari titik pangkal ke kiri 2 satuan dan ke bawah 



⇔

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜5⎟ ⎝ ⎠

⎛ xM − ( −2) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ yM − 3 ⎟ ⎜ z −1 ⎟ ⎝ M ⎠

⎛ −2 ⎞ 5 satuan, maka b = ⎜ ⎟ . ⎝ −5 ⎠ c dari titik pangkal ke bawah 4 satuan, maka c = 



Dari kesamaan tersebut diperoleh: –4 = xM – (–2) ⇔ x M = –6 –2 = y M – 3 ⇔ y M = 1 5 = zM – 1 ⇔ z B = 6 Jadi, koordinat titik M(–6, 1, 6).

⎛0⎞ ⎜ ⎟. ⎝ −4 ⎠ 

d dari titik pangkal ke kanan 4 satuan, maka ⎛4⎞ d = ⎜ ⎟ . ⎝0⎠

Jawaban: b 15. Jawaban: Koordinat titik A(3, –1, 4), maka x A = 3, yA = –1, dan zA = 4. Koordinat titik B(–2, 5, 3), maka x B = –2, yB = 5, dan zB = 3. Koordinat titik D(1, 6, –2), maka x D = 1, y D = 6, dan zD = –2. Misalkan koordinat titik C(x C, y C, zC), maka:    

   

AB = CD

⇔

⇔

⇔

⎛ xB ⎜ ⎜ yB ⎜z ⎝ B

⎞ ⎛ xD − xC ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ − yA ⎟ = ⎜ yD − yC ⎟ ⎜ ⎟ − zA ⎟ ⎠ ⎝ zD − zC ⎠

⎛ −5 ⎞ ⎛ 1 − xC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 ⎟ = ⎜ 6 − yC ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 − z ⎟ C⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Dari kesamaan vektor diperoleh: –5 = 1 – x C ⇔ x C = 6 ⇔ y C = 0 6 = 6 – yC –1 = –2 – z C ⇔ zC = –1

4

Vektor





e dari titik pangkal ke kanan 8 satuan dan ke atas ⎛ 8⎞ 5 satuan, maka e = ⎜ ⎟ . ⎝ 5⎠ 



f dari titik pangkal ke kanan 3 satuan dan ke

− xA

⎛ −2 − 3 ⎞ ⎛ 1 − xC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 − ( −1) ⎟ = ⎜ 6 − yC ⎟ ⎜ 3−4 ⎟ ⎜ −2 − z ⎟ C⎠ ⎝ ⎠ ⎝



⎛3⎞ bawah 2 satuan, maka f = ⎜ ⎟ . ⎝ −2 ⎠ 

2.

Soal ini Soal ini bersif bersifat at terbu terbuka, ka, arti artinya nya ada tak hin hingga gga banyak pasangan titik A(x A, yA) dan B(xB, yB) yang mungkin diberikan sebagai jawaban. Syarat pasangan titik A dan B yang benar adalah ⎛ xB − x A ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . Lima pasangan titik A dan B ⎝ yB − y A ⎠ ⎝8⎠ yang memenuhi misalnya: i) A(0 (0,, 0) dan B(– (–4 4, 8) iiii)) A( A(4 4, –8) –8) da dan n B(0 B(0,, 0) 0) iiiii) i) A( A(1, 1, 1) da dan n B(– B(–3, 3, 9) iv)) A( iv A(0, 0, 1) da dan n B(– B(–4, 4, 9) v) A( A(1, 1, 0) da dan n B( B(–3 –3,, 8) 8)

3.

Koordina Koord inatt titi titik k P(2 P(2,, –5) –5),, mak maka a x P = 2 dan yP = –5. Koordinat titik Q(–6, –8), maka x Q = –6 dan y Q = –8. a. Mi Misa salk lkan an ko koor ordi dina natt tit titik ik R( R(xx R, yR), maka:    



PR = q

⇔

⇔

⎛ xR ⎜ ⎝ yR

⎛ xQ ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ − yP ⎠ ⎝ yQ ⎠ − xP ⎞

⎛ xR − 2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ yR − ( −5) ⎠ ⎝ −8 ⎠

⎛ xR − 2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ yR + 5 ⎠ ⎝ −8 ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: xR – 2 = –6 ⇔ xR = –4 yR + 5 = –8 ⇔ yR = –13 Jadi, koordinat titik R adalah (–4, –13). Koor Ko ordi dina natt titi titik k S(–4 S(–4,, 1), 1), ma maka ka x S = –4 dan y S = 1. Misalkan koordinat titik R(x R, yR), maka:    

   

PQ = RS

⇔

⇔

⎛ xQ ⎜ ⎝ yQ

− xP ⎞

⎛ xS ⎟ = ⎜ − yP ⎠ ⎝ yS

− xP

⎞ ⎟ − yP = ⎟ − zP ⎟ ⎠

⎛ 1− 2 ⎞ ⎜ ⎟ 5 ) ⎟ = ⎜ 4 − ( −5) ⎜ −6 − (−1) ⎟ ⎝ ⎠

⎛ xP ⎜ QP = ⎜ yP ⎜z ⎝ P

− xQ

⎞ ⎟ − y Q = ⎟ − zQ ⎟ ⎠

⎛ 2 − ( −3) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −5 − 4 ⎟ = ⎜ −1 − 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⎛ xR ⎜ QR = ⎜ yR ⎜z ⎝ R

− xQ

⎞ ⎟ − y Q = ⎟ − zQ ⎟ ⎠

⎛ 1 − ( −3) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 4 ⎟ = ⎜ −6 − 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠

   

⇔

b.

⎛ xR ⎜ PR = ⎜ yR ⎜z ⎝ R    

− xR ⎞

⎟

− yR ⎠

⎛ −4 − xR ⎞ ⎛ −6 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 1− y ⎟ 5)⎠ ⎝ −8 − (−5) ⎝ R ⎠

   

5.

Koordi Koor dina natt titi titikk A(–6 A(–6,, 2, –3 –3), ), mak maka a x A = –6, y A = 2, dan zA = –3. Koordinat titik D(4, 4, –5), maka x D = 4, y D = 4, dan zD = –5. a. Mis Misal alka kan n ko koor ordi dina natt ti titik tik B( B(x x B, yB, zB), maka:

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ AB = ⎜ 8 ⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠

⎛ −4 − xR ⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 1− y ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝ R ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: –8 = –4 – x R ⇔ xR = 4 –3 = 1 – y R ⇔ yR = 4 Jadi, koordinat titik R adalah (4, 4).

⎛2⎞ ⎜ ⎟ Vekt Ve ktor or posi sisi si ti titi tik k P(2 (2,, –5 –5,, – –1) 1):: p = OP = ⎜ −5 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

4.

a.

  

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ Vektor posisi titik Q(–3, 4, 0): q = OQ = ⎜ 4 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Vektor posisi titik R(1, 4, –6): r = OR = ⎜ 4 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ Koordi Koo rdinat nat tit titik ik P(2, P(2, –5 –5,, –1), –1), mak maka a x P = 2, yP = –5, dan z P = –1. Koordinat titik Q(–3, 4, 0), maka x Q = –3, yQ = 4, dan zQ = 0. Koordinat titik R(1, 4, –6), maka x R = 1, yR = 4, dan zR = –6. 

b.

    

   

⎛ xB ⎜ ⎜ yB ⎜z ⎝ B

   

⇔

⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ − yA ⎟ = ⎜8⎟ ⎜ ⎟ − zA ⎟ ⎠ ⎝5⎠ − xA

⇔

⎛ xB − ( −6) ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ yB − 2 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⎜ z − ( −3) ⎟ ⎜5⎟ ⎝ B ⎠ ⎝ ⎠

⇔

⎛ xB + 6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ yB − 2 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⎜z + 3⎟ ⎜5⎟ ⎝ B ⎠ ⎝ ⎠

⇔



⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜9⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠

Dari kesamaan vektor diperoleh: xB + 6 = –2 ⇔ xB = –8 yB – 2 = 8 ⇔ yB = 10 zB + 3 = 5 ⇔ zB = 2 Diperoleh koordinat titik B(–8, 10, 2).

⎛ x D − xB ⎞ ⎜ ⎟ BD = ⎜ yD − yB ⎟ = ⎜z −z ⎟ B⎠ ⎝ D    

⎛ 4 − (−8) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − 10 ⎟ = ⎜ −5 − 2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠

Jadi, koordinat titik B(–8, 10, 2) dan vektor

⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ BD = ⎜ −6 ⎟ . ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠    

Matematika Kelas X

5

b.

Misa Mi salk lkan an ko koor ordi dina natt titi titikk C( C(xx C, yC, zC), maka:

Diperoleh koordinat titik C(0, 5, –8).

⎛4⎞ ⎜ ⎟ CD = ⎜ −1⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ xC ⎜ AC = ⎜ y C ⎜z ⎝ C

⇔

⎛ xD − x C ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ yD − yC ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜z −z ⎟ ⎜ 3 ⎟ C⎠ ⎝ D ⎝ ⎠

⇔

⎛ 4 − xC ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 − yC ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ −5 − z ⎟ ⎜3⎟ C⎠ ⎝ ⎝ ⎠

   

Dari kesamaan vektor diperoleh: 4 – xC = 4 ⇔ x C = 0 4 – yC = –1 ⇔ y C = 5 –5 – zC = 3 ⇔ zC = –8

6

Vektor

   

⎞ ⎟ − y A = ⎟ − zA ⎟ ⎠ − xA

⎛ 0 − ( −6) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 5 − 2 ⎟ = ⎜ −8 − ( −3) ⎟ ⎝ ⎠

⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠

Jadi, koordinat titik C(0, 5, –8) dan vektor

⎛6⎞ ⎜ ⎟ AC = ⎜ 3 ⎟ . ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠    

5.

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

1.

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −5 ⎟ – ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠

Jawaban Jaw aban:: e    

 

   

   

BD = BO + OE + CD  

   

   

= AF + AF + (– AB ) 



6.



= v + v + (– u ) 

⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 − ( −6) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −5 − 3 ⎟ = ⎜ −4 − ( −1) ⎟ ⎝ ⎠

⎛8⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

Jawaban: Jawa ban: b

⎛ −2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎛ −3 ⎞ 4 ⎜ ⎟ – 3 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝ −3 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ −9 ⎠



= 2 v – u 2.


Jawaban: Jawa ban: b D

3)⎞ ⎛ −8 − (−3) = ⎜ 20 ( 9) ⎟ ⎝ − − ⎠

C

v 

A

⎛ −5 ⎞ = ⎜ 29 ⎟ ⎝ ⎠

B

u 

7.    

   

AB + AC + BC + BD    

   

 

   

   

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ p = ⎜ 0 ⎟ dan q = ⎜2⎟ ⎝ ⎠

  

= AB + ( AB + BC ) + BC + ( BC + CD )    

   

   

   

   



   

= AB + ( AB + AD ) + AD + ( AD – AB ) = u + ( u + v ) + v + ( v – u ) = u + u + v + v + v – u 

















3.



1 2



Jawaban: Jawa ban: b 

 



 



u + v + w = 0 

⇔

u + w = 0 – v

⇔

u + w = – v



 



 




⎛4⎞ ⎛5⎞ u = ⎜ ⎟ dan v = ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝7⎠ ⎛4⎞ ⎛5⎞ u + v = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝7⎠ ⎛ 4+5 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −3 + 7 ⎠ ⎛9⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ 



p + 3 q =

1 2

⎛ −4 ⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ + 3 ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ −1⎟ ⎜2⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 15 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 13 ⎞ = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠







⎛ −2 + 15 ⎞ ⎟ = ⎜⎜ 0 + (−3) 3) ⎟ ⎜ 1 + (−9) ⎟ ⎝ ⎠



Jadi, pernyataan yang benar adalah u + w = – v . 4.

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

Berdasarkan gambar diperoleh: 







= u + 3 v 


 

   



8.


⎛ −2 ⎞ Vektor posisi titik A(–2, 1, 5) adalah a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ . ⎜5⎟ ⎝ ⎠ 

⎛ −6 ⎞ Vektor posisi titik B(–6, 4, –1) adalah b = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ . ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ 

Matematika Kelas X

7

⎛ −2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 a – 2 2b b = 3 ⎜ 1 ⎟ – 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ −10 ⎞ = ⎜⎜ −25 ⎟⎟ – ⎜ 40 ⎟ ⎝ ⎠



⎛ −6 ⎞ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ – ⎜ 15 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −10 − 0 ⎞ = ⎜⎜ −25 − ( −39) ⎟⎟ = ⎜ 40 − 52 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠



⇔

⎛6⎞ = ⎜⎜ −5 ⎟⎟ ⎜ 17 ⎟ ⎝ ⎠ Jawaban Jaw aban:: a

⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ a = PQ = q – p = ⎜ 5 ⎟ – ⎜ −1⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠    







⎛0⎞ ⎜6⎟ ⎝ ⎠



⎛4⎞ b = QR = r – q = ⎜ −2 ⎟ – ⎝ ⎠   





⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⎜ 5 ⎟ = ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎛ −2 ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ w = 3 u – 2 v = 3 1 – 2 ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎛ 12 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ = 3 – ⎜ 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −6 ⎠ ⎝ −8 ⎠ ⎛ 16 ⎞ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 





Jawaban: c 13. Jawaban: 









⎛0⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ 3 ⎟ + ⎜ −7 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



















⇔

2 c = –3 a – b

⇔

⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ 2 c = –3 ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝ 1 ⎠

⇔

⎛ −12 ⎞ ⎛ −2 ⎞ 2c = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 1⎠





⎛ −5 ⎞ c = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎛ −5 ⎞ Jadi, vektor c = ⎜ ⎟ . ⎝4⎠ 

⇔



Jawaban: b 14. Jawaban:

Jawaban: c 11. Jawaban: w = 3 u + 5 v 

2 v + 5 w = 3 w – 4 u 



 

















5 w – 3 w = –4 u – 2 v

⇔

2 w = –4 u – 2 v

Vektor















w = –2 u – v Diperoleh w = –2 u – v , maka: 



⇔









u + 2 v + w = u + 2 v + (–2 u – v ) 

⎛2⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ = –5 ⎜ 5 ⎟ – 13 ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠







= u – 3 v – 6 u – 10 v = –5u –5 u – 13 v



⇔ 

u – 3 v – 2 w = u – 3 v – 2(3 u + 5 v )

8

1 ⎛ −10 ⎞ c = 2 ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠

⇔

⎛ −15 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 14 ⎠









⎛ −6 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ + 3 ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝2⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −9 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝6⎠









= a + 3 b

 



2 c = a – b – 4 a

= 2 a + b – a + 2 b 



⇔


c – d = (2 a + b ) – ( a – 2 b )



4 a + 2 c = a – b 

⎛2⎞ 1 1 ⎛ 0⎞ + = + ⎜ ⎟ ⎜ −7 ⎟ = b a 2 2 ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠ 



⎛ −10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 14 ⎟ ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠

Jawaban: a 12. Jawaban: 3 u – w = 2 v

⎛ −6 − ( −12) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3−8 ⎟ ⎜ 15 − ( −2) ⎟ ⎝ ⎠

9.

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −39 ⎟ ⎜ 52 ⎟ ⎝ ⎠













= u + 2 v – 2 u – v = v – u 











⎛ −1⎞ = ⎜ ⎟ – ⎝5⎠





⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎛2⎞ = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ – ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1 − 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 5−4 ⎠ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ −4 ⎟ dan b = ⎜3⎟ ⎝ ⎠ 

  







 

 

⇔

⎛ ⎛ 8 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎟ = k ⎜⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎠

⇔

⎛ 12 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ =k⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ 1⎠















⇔

p = –2 a + 3 b + q

⇔

⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ p = –2 −4 + 3 ⎜ 5 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

⎛ −2 ⎞ p = ⎜ 8 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠





⎛6⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ 15 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠



( v – t ) = k( t – u )







⇔

– p = 2 a – 3 b – q

⇔

⎛8⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠

TV = k UT

q – p = 2 a – 3 b 

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠

Jawaban: d 17. Jawaban:





⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ + ⎜4⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

Jadi, koordinat titik S(8, –8, –5).

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

PQ = 2 a – 3 b ⇔



1) + 5 ⎞ ⎛ 2 − ( −1) ⎜ ⎟ = ⎜ −3 − 4 + ( −1) 1) ⎟ = ⎜ −8 − 3 + 6 ⎟ ⎝ ⎠




s = p – q + r

⇔



⎛ 12 ⎞ ⎛ −3k ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ k ⎠ Dari kesamaan di atas diperoleh k = –4. Jadi, nilai k = –4. ⇔

Jawaban: d 18. Jawaban: 

   



AB = b – a

⎛8⎞ p = ⎜ 24 ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ Jadi, koordinat titik P(8, 24, –3).

⎛2⎞ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠



⎛5⎞ = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

Jawaban: a 16. Jawaban:

⎛2⎞ Vektor posisi titik P(2, –3, –8) adalah p = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ . ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠ 

⎛ −1⎞ Vektor posisi titik Q(–1, 4, 3) adalah q = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ . ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

   

Titik P segaris dengan titik A dan B jika AP = k AB . Pada pilihan nilai x P = 12, maka dapat dimisalkan koordinat titik P(12, m, n).    



⎛5⎞ Vektor posisi titik R(5, –1, 6) adalah r = ⎜⎜ −1⎟⎟ . ⎜6⎟ ⎝ ⎠ PQRS jajargenjang, maka: 

  

   

PQ = SR 

 

⇔



q – p = r – s

   





AP = p – a ⎛ 12 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ m ⎟ – ⎜ −2 ⎟ ⎜n⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 15 ⎞ = ⎜⎜ m + 2 ⎟⎟ ⎜ n−3 ⎟ ⎝ ⎠

Matematika Kelas X

9

⎛ 15 ⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AP = k AB ⇔ ⎜ m + 2 ⎟ = k ⎜ 3 ⎟ ⎜ n−3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 15 ⎞ ⎛ 5k ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ m + 2 ⎟ = ⎜ 3k ⎟ ⎜ n−3 ⎟ ⎜ −2k ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari kesamaan di atas diperoleh: 15 = 5k k=3 ⇔ m + 2 = 3k ⇔ m + 2 = 9 m=7 ⇔ n – 3 = –2k ⇔ n – 3 = –6 –6 ⇔ n = –3 Jadi, koordinat titik yang segaris dengan titik A dan B adalah (12, 7, –3).    

Jawaban: a 21. Jawaban:

   




⎛4⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ q⎠

⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ AC = c − a = ⎜ p + 2 ⎟ – ⎝ −8 ⎠ 

  





h =

1 ⎛ ⎛ 14 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ = 3 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ⎠ 1 ⎛ 15 ⎞ ⎛5⎞ = 3 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝2⎠ Jadi, koordinat titik H(5, 2).




⎛ −2 ⎞ ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 − q⎠

⎛ 4⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ q⎠



⇒

⇔

⎛ −2k ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ −4k ⎟ = ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ (1 − q)k ⎠ ⎝ −8 − q ⎠

5p −3 + 5

m =

1 2

=

⎛ 4 ⎞ ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −8 − q ⎠

⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 5 ⎞⎞ ⎜ −3 ⎜ ⎟ + 5 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0⎠

1 ⎛ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 25 ⎞ ⎞ = 2 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ −10 ⎠ ⎠ 1 ⎛ 22 ⎞ = 2 ⎜ ⎟ ⎝ −10 ⎠

⎛ 11 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ Jadi, koordinat titik M(11, –5). Jawaban: d 23. Jawaban: Misalkan titik tengah P(2, –2, 5) dan Q(–4, 0, 1) adalah R, maka: 

Dari kesamaan vektor diperoleh: –2k = 4 ⇔ k = –2 –4k = p ⇒ p = –4 × (–2) = 8 (1 – q)k = –8 – q ⇒ (1 – q) q) × (–2) (–2) = –8 – q –2 + 2q = –8 – q ⇔ ⇔ 3q = –6 –6 ⇔ q = –2 Jadi, nilai p + q = 8 + (–2) = 6. Jawaban: c 20. Jawaban:



r =



p+q 2

=

1 2

⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ −2 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜⎜ 5 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

=

1 2

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠

 

AB : BP = 3 : –2 dapat digambarkan sebagai berikut. 3 –2 A

P

B

Jadi, gambar yang benar ada pada pilihan c.

10



−3 q +

  

   

⎛ −2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ k −4 = ⎜ p ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 − q⎠ ⎝ −8 − q ⎠

    

Dari gambar diperoleh PM : MQ = –3 : 5, maka:

k AB = AC

   



2l + k 2 +1

1 ⎛ ⎛7⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ = 3 ⎜ 2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 5 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ⎠

Titik A, B, dan C segaris sehingga diperoleh hubungan berikut.    

   

   

⎛2⎞ ⎜ ⎟ AB = b − a = ⎜ −2 ⎟ – ⎝ 1⎠    

 

KH : HL = 2 : 1, maka:

Vektor

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ Diperoleh koordinat titik R(–1, –1, 3). Jadi, koordinat titik tengah P dan Q adalah (–1, –1, 3). 3).


B. Urai Uraian an 5

   

3

1.

–2

a.

   

 

   

AB – ED + CD – CB    

   

   

   

   

   

   

= AB + DE + CD + BC A(11, 3, –2)    

P

 

   

AB : BP = 5 : –2 xP =

yP =

B(6, 8, 3)

2xA + 3xB 2+3

2yA + 3yB 2+3

  

2 × 11 + 3 × 6 5

=

22 + 18 5

=

40 5

=

2× 3+3×8 5

= AC + CA + DC

6 + 24 5

= AA + DC

=

   

   

   

   

   

b.

   

= 8

   

   

   

   

   

   

   

   



   

   

   

= 0 + DC = DC 2.

S

R

2 × (− 2 2)) + 3 × 3 5 O

−4 + 9

5

P

Q

T

   

  

PQ = u dan PS = v 

   

a.




  

   

QS = QP + PS    

   

3

= – u + v 

   

b.

–2

1

   

1

  

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 9 ⎟ + ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −10 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

  

= 2 ( u + v )

3n + ( −2)m 3 + ( −2 2))

⎛ ⎛ −1⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = 1 ⎜ 3 ⎜ 3 ⎟ + (− 2 ) ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎟ ⎜ ⎜0⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠

   

1

 

dengan MK : KN = 3 : –2 sehingga:

k =

   

= 2 ( PQ + PS )

   

Dari gambar diperoleh MN : NK = 1 : 2 ekuivalen 

   

= 2 ( PQ + QR )

K    



OR = PR 2 1

N

   

= – PQ + PS

   

Kedudukan titik M, N, dan K dengan MN : NK = 1 : 2 dapat digambarkan sebagai berikut.



   

   

   

5

   

   

= AB + BC + CA + DC

= 5 = 1 Jadi, koordinat titik P(8, 6, 1).

M

   

AB – AC – CD + BC = AB + CA + DC + BC

30

=

  

= AB + CE = AE

= 5 = 6 2zA + 3zB 2+3

   

= ( AB + BC ) + ( CD + DE )

=

=

zP =

   

   

AP : PB = 3 : 2

⇔

   

= AB + BC + CD + DE

1





1

= 2 u + 2 v  

c.





  

 

TS = TP + PS   

   

= – PT + PS 1

   

  

= – 2 PQ + PS 1

= – 2 u + v  

d.



   



   

RT = RQ + QT    

⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

   

1

   

= – PS – 2 PQ 1

= – v – 2 u 

Jadi, koordinat titik K(–7, –1, 2).

   

= – QR + (– TQ )



Matematika Kelas X

11



3.

a.



4.



a + b + c ⎛6⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ −2 ⎠

a.

Dari gambar diperoleh: ⎛2⎞ u = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛ 1⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝8⎠



⎛5⎞ v = ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

3)) ⎞ ⎛ 6 + 1 + (− 3 = ⎜ ⎟ ⎝ −2 + 3 + 8 ⎠



⎛ −3 ⎞ w = ⎜ ⎟ ⎝5⎠  

⎛ 4⎞ = ⎜ ⎟ ⎝9⎠

 



b.



b.



a – b – c

⎛ 4 − 1 5 + ( − 3) ⎞ = ⎜ ⎟ 6) + 5 ⎠ ⎝ 6 − (− 6)

⎛ 8 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −13 ⎠ 



⎛ −14 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 17 ⎠



a + 2 b – 3 c

1 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −3 ⎞ = 2 ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ – 3 ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝3⎠ ⎝8⎠

⎛3⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ −1⎠

⎛2⎞ ⎜ ⎟ – ⎝6⎠

 

c.

⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠









⎛2⎞ = 2⎜ ⎟ ⎝3⎠





= 3 a + b – 4 a + 2 c 



= 2u 



= – a + b + 2 c ⎛6⎞ = – ⎜ ⎟ + ⎝ −2 ⎠ ⎛ −6 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝2⎠

12

Vektor

 

Terbukti: u + v + w = 2 u 

⎛ 1⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝8⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ + ⎝3⎠

6)) ⎞ ⎛ −6 + 1 + (− 6 = ⎜ ⎟ ⎝ 2 + 3 + 16 ⎠

⎛ −11⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 21 ⎠



⎛4⎞ = ⎜ ⎟ ⎝6⎠

(3 a + b ) – (4 a – 2 c ) 



3)) ⎞ ⎛ 2 + 5 + (− 3 = ⎜ ⎟ 2) + 5 ⎠ ⎝ 3 + (− 2)

⎛ 14 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −19 ⎠ 

u + v + w

⎛2⎞ ⎛5⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝5⎠

9) ⎞ ⎛ 3 + 2 − (− 9) = ⎜ ⎟ ⎝ −1 + 6 − 24 ⎠

d.



⎛ 4 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ −6 ⎠ ⎝5⎠

3) ⎞ ⎛ 6 − 1 − (−3) = ⎜ ⎟ ⎝ −2 − 3 − 8 ⎠

1 2



⎛ 2⎞ ⎛5⎞ ⎛ −3 ⎞ = 2 ⎜ ⎟ – 3 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝5⎠

⎛6⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 8 ⎠

c.

2 u – 3 v + w

⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠

5.

a.



⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u = 2 ⎜ 4 ⎟ + 3 ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛2⎞ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 ⎟ + ⎜ −3 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛8⎞ ⎜ ⎟ = ⎜5⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠



⎛6⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = 3 ⎜ 0 ⎟ – 2 ⎜ 4 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔



⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ – ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ − 1⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 w = 3 ⎜ 4 ⎟ – 5 ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 w = ⎜ 12 ⎟ – ⎜ −10 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 30 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

 

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠

⇔

⎛ −18 ⎞ ⎜ ⎟ 2 w = ⎜ 22 ⎟ ⎜ −24 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −18 ⎞ 1 ⎜ w = ⎜ 22 ⎟⎟ = 2 ⎜ −24 ⎟ ⎝ ⎠  

⇔

⎛2⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −8 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

 

⇔

b.

⎛8⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 u – 4 v = 2 ⎜ 5 ⎟ – 4 ⎜ −8 ⎟ ⎜5⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 



⎛ 16 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 10 ⎟ – ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ Jadi, vektor w = ⎜ 11 ⎟ . ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠  

⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −32 ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠



7.

⎛8⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 42 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 

6.

a.



 



 





 



⇔

⎛ − 1⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ w = 2 ⎜ 4 ⎟ – 3 ⎜⎜ −2 ⎟⎟ ⎜2⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

⎛ −2 ⎞ w = ⎜⎜ 8 ⎟⎟ – ⎜4⎟ ⎝ ⎠

⇔

⎛ −11 ⎞ w = ⎜⎜ 14 ⎟⎟ ⎜ −14 ⎟ ⎝ ⎠

⎛9⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ 18 ⎟ ⎝ ⎠

 

 

⎛ −11⎞ ⎜ ⎟ Jadi, vektor w = ⎜ 14 ⎟ . ⎜ −14 ⎟ ⎝ ⎠  

 



 

 



⇔

⎛ −5 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = m ⎜ ⎟ + n ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝4⎠ ⎝2⎠

⇔

⎛ −5 ⎞ ⎛ −m ⎞ ⎛ 3n ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ 4m ⎠ ⎝ 2n ⎠





 













Jadi, u = 2 a – b .







⎛ −5 ⎞ ⎛ −m + 3n ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ 4m + 2n ⎠ Dari kesamaan vektor di atas diperoleh: –m + 3n = –5 . . . (i) 4m + 2n = 6 . . . (ii) Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): –m + 3n = –5 × 2 –2m + 6n = –10 4m + 2n = 6 × 3 12m + 6n = 18 ––––––––––––– – –14m –1 4m = –28 –28 ⇔ m=2 Substitusi m = 2 ke dalam persamaan (ii): 4m + 2n = 6 ⇔ 4 × 2 + 2n = 6 8 + 2n = 6 ⇔ ⇔ 2n = –2 –2 n = –1 ⇔ Diperoleh u = m a + n b dipenuhi oleh m = 2 dan n = –1.

5 v – w – 2 u = u – 3 w ⇔ – w + 3 w = u – 5 v + 2 u 2 w = 3 u – 5 v ⇔  



u = m a + n b

⇔

 



a.



2 u – 3 v – w = 0 2 u – 3 v = 0 + w ⇔ w = 2 u – 3 v ⇔ 

b.

⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 11 ⎟ ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠



Matematika Kelas X

13



b.





v = m a + n a ⇔

⎛ 3 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ = m ⎜ ⎟ + n ⎜ ⎟ ⎝ −12 ⎠ ⎝4⎠ ⎝ 2⎠

⇔

⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ −12 ⎠

⎛ −m ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ 4m ⎠

⎛7⎞ = ⎜⎜ −6 ⎟⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ Jadi, koordinat titik D(7, –6, 6).

⎛ 3n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2n ⎠

   

9.

a.

⎛ 3 ⎞ ⎛ −m + 3n ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −12 ⎠ ⎝ 4m + 2n ⎠ Dari kesamaan vektor tersebut diperoleh: –m + 3n = 3 . . . (i) 4m + 2n = –12 . . . (ii) Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): –m + 3n = 3 × 2 –2m + 6n = 6 4m + 2n = –12 × 3 12m + 6n = –36 ––––––––––––– – –14m –1 4m = 42 m = –3 ⇔ Substitusi m = –3 ke dalam persamaan (ii): 4m + 2n = –12 ⇔ 4 × (–3) (–3) + 2n = –12 –12 –12 + 2n = –12 –12 ⇔ 2n = 0 ⇔ n=0 ⇔ Diperoleh u = m a + n b dipenuhi oleh m = –3 dan n = 0. Jadi, v = –3 a + 0 b . ⇔







8.



a.

   







C

⎛ −4 ⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠





c =

⇒

⇔

   

  

  



  

  

⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ – ⎜z⎟ ⎝ ⎠

1 ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ = 3 ⎜2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎠ 1 ⎛ ⎛ −8 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ = 3 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎠ 1 ⎛ −6 ⎞ = 3 ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛ −2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ Jadi, koordinat titik C(–2, 1).    

b.

⎛ x ⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ −14 ⎟ – ⎜ z ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vektor

⎛3⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ −3 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

   

Perbandingan AB : BC = 3 : 2 dapat digambarkan: 2

A

B    

C

   

Perbandingan AB : BC = 3 : 2 ekuivalen    

  

dengan AC : CB = 5 : –2, sehingga: 

c =



5b + ( −2)a 5 + (−2) 2)

1 ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎞ = 3 ⎜ 5 ⎜ ⎟ + ( −2) ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠

⎛ −4 ⎞ ⎛7⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ = 2 ⎜ −7 ⎟ – 3 ⎜ −1⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 11 ⎞ = ⎜⎜ −11⎟⎟ + ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠

14



2b + a 2+1

3

Misa Mi salk lkan an koo koordi rdina natt titi titikk D(x, D(x, y, y, z). z). AD = 2AC − 3BC ⇔ d − a = 2AC − 3BC 

B

Diperoleh:



b.

1

A



⎛3⎞ AC = c − a = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ BC = c − b = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ 

2



Koordin Koo rdinat at A(–4, A(–4, 5, 2); 2); B(2, B(2, –1, –1, 3); 3); dan dan C(3, C(3, –2, –2, 1). 1).    

   

Perbandingan AC : CB = 2 : 1 dapat digambarkan:

1 ⎛ ⎛ −20 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ = 3 ⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

1 ⎛ −24 ⎞ = 3 ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠

⎛ −8 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝4⎠ Jadi, koordinat titik C(–8, 4).

10.. a. 10

Mene Me nent ntuk ukan an ko koor ordi dina natt ti titi tikk A.

Menentukan koordinat titik C. 2

2

1 A

P

Q

1 Q

Titik A membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2 maka PA : AQ = 1 : 2. xA = =

C

Titik C membagi QR di luar dengan perbandingan 2 : 1 maka QC : CR = 2 : (–1).

1× x Q + 2 × x P 1+ 2

xC =

1× 0 + 2 × 3 3

=

6

= 3 =2 yA =

R

2 × xR − 1× x Q 2 −1 2 ×1 −1× 0 1

=2–0 =2

1× y Q + 2 × y P 1+ 2

=

1× 3 + 2 × 0 3

=

3 3

yC = =

2 × yR − 1× y Q 2 −1 2 × 0 −1 × 3 1

=0–3 = –3

=1

zC =

2 × zR − 1× zQ 2 −1

zA =

1× zQ + 2 × zP 1+ 2

4 ) − 1× (−3) 3) = 2 × (−4)

=

1× ( −3) 3) + 2 × 6 3

=

=

9 3

=3 Diperoleh koordinat titik A(2, 1, 3). Titik B merupakan titik tengah PR maka koordinat titik B: xB = =

xP

+ xR

2 3 +1 2

=2

1

yB = =

+ yR

2 0+0 2

=0 zB = =

zP

+ zR

1

= –5 Diperoleh koordinat titik C(2, –3, –5). b.

Titik Tit ik A, A, B, dan C kolin kolinear ear jik jika a memen memenuh uhii    

   

AC = k AB untuk suatu konstanta k.

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b − a = ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠    





⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2⎞ AC = c − a = ⎜ −3 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ ⎝ 3 ⎠    

yP

−8 + 3





⎛0⎞ = ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −8 ⎠

2 6−4 2

=1 Diperoleh koordinat titik B(2, 0, 1).

⎛0⎞ = 4 ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠    

= 4 AB

Matematika Kelas X

15

   

   

Terdapat k = 4 yang memenuhi AC = k AB ,

   

| AB | =

sehingga AC dan AB searah.    

   

⎛2⎞ ⎜ ⎟ BC = c − b = ⎜ −3 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ 



Vektor

=

5

| BC | =

02

2 2 + (−3) + (−6)

  

⎛2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 0 = −3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

0 + 9 + 36

=

45

=3 5    

   

Jadi, perbandingan panjang AB : BC =

16

0 + 1+ 4

   

Perb Pe rban andi ding ngan an pa panj njan ang g AB : BC    

2 2 + ( −1) + (−2)

=

   

Oleh karena AC dan AB keduanya melalui titik A, maka A, B, dan C segaris (kolinear). Jadi, terbukti titik A, B, dan C kolinear. c.

02

   

   

5 : 3 5 = 1 : 3.

A. Piliha Pilihan n Ganda Ganda

1.

= 3 6


⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Jadi, p = ⎜ −2 ⎟ dan | p | = 3 6 sehingga ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −2 ⎞ Panjang vektor v = ⎜ ⎟ : ⎝4⎠







|v| =

(−2)2 + 42

=

4 + 16

=

20



pernyataan yang benar ada pada pilihan b. 5.


⎛a⎞ ⎜ ⎟ v = a i – b j + c k = ⎜ −b ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ ⎠ 

= 2 5 

Jadi, panjang vektor v adalah 2 5 .









2.

Panjang vektor v :


⎛6⎞ Dari gambar diperoleh vektor u = ⎜ ⎟ : ⎝ −3 ⎠



a2 + (−b)2 + c 2

|v| =



a2 + b 2 + c 2

= 

|u | =

62 + (−3)2

=

36 + 9

=

45



Jadi, | v | = 6.

a 2 + b2 + c 2 .

Jawaban: Jawa ban: b 







Panjang vektor u = i + 3 j – 3 k :

= 3 5



u =

12 + 32 + (−3)2



Jadi, nilai | u | = 3 5 . 3.


⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Vektor a = ⎜ 2 ⎟ , maka: ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

=

1+ 9 + 9

= 19 Panjang vektor v = 2 i – 4 j + k : 











|v| = =



|a| =

12 + 22 + (−2)2

22 + (−4)2 + 12 4 + 16 + 1

= 21 Panjang vektor w = –2 i + 2 j – 3 k :  

=

1+ 4 + 4

 

|w| =

= 9 =3

=



Jadi, nilai | a | = 3. 4.

Jawaban: Jawa ban: b

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ p = i – 2 j – 7 k = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠ 





|p | =











(−2)2 + 22 + (−3)2 4+4+9

= 17 Oleh karena 21 > 19 > 17 , maka urutan vektor dari yang terpanjang adalah v , u , dan w . Jadi, urutan vektor dari yang terpanjang adalah v , u , dan w . 



 





 

12 + (−2)2 + (−7)2

=

1 + 4 + 49

=

54

Matematika Kelas X

17

7.

10. Jawaban: Jawaban:

Jawa Ja waba ban: n: d

⎛6⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor u = ⎜ −3 ⎟ : ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ −5 ⎞ p + q = ⎜ ⎟ + ⎝6⎠





|u | =

b







62 + (−3)2 + 32



⎛3⎞ ⎜ ⎟ = ⎝2⎠

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝8⎠

(−2)2 + 82

| p + q | =

=

36 + 9 + 9

=

4 + 64

=

54

=

68

= 2 17

= 3 6

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor v = ⎜ −4 ⎟ : ⎜2⎟ ⎝ ⎠





Jadi, nilai | p + q | = 2 17 .



11. Jawaban: Jawaban: a 2 a – b = 2( î – 2 jˆ + 3 kˆ ) – (2 î + jˆ – 4 kˆ ) = (2 î – 4 jˆ + 6 kˆ ) – (2 î + jˆ – 4 kˆ ) 





|v| =

22 + (−4)2 + 22

=

4 + 16 + 4

=

24

= (2 – 2) î + (–4 – 1) jˆ + (6 + 4) kˆ = 0 î – 5 jˆ + 10 kˆ

= 2 6

02 + (−5)2 + 102



|2 a – b | = 





2| u | + | v | = 2 × 3 6 + 2 6 = 6 6 + 2 6 = 8 6

=

0 + 25 + 100

=

125 = 5 5 

Jadi, panjang vektor (2 a – b ) adalah 5 5 . 





Jadi, hasil 2| u | + | v | = 8 6 . 8.



   

⎛a⎞ Misalkan vektor v = ⎜ ⎟ , maka | v | = ⎝b⎠ a 4a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 v = 4 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ 4b ⎠ 



AB = b – a 

a2 + b2 .

⎛3⎞ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −7 ⎠ ⎝ 1⎠





⎛6⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −8 ⎠

|4 v | =

(4a)2 + (4b)2

=

16a 2 + 16b 2

| AB | =

=

16(a2 + b2 )

=

   

2

62 + (−8)2 36 + 64

= 100 = 10

2

16 (a + b )

=

d



   

2

= 4 a +b

Jadi, nilai | AB | = 10.

2

13. Jawaban: Jawaban: e PQ = q – p



= 4| 4| v |

   





Jadi, nilai |4 v | = 4| v |. 9.

Jawaban Jaw aban:: a 



Vektor u dan v searah, maka berlaku: 







| u + v | = | u | + | v | 











| u – v | = |u | u | – | v | jika | u | > | v | 











| u – v | = | v | – |u | u | jika | u | < | v | Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (i).

18

Vektor





⎛0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 5 ⎟ – ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜2⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

Jarak antara titik P dan Q sama dengan panjang    

vektor PQ , yaitu: 2

2

2

4 + 2 + (−4)

   

| PQ | =

16 + 4 + 16

=

= 36 =6 Jadi, jarak antara titik P dan Q adalah 6. 14. Jawaban: Jawaban:   

 

| LM | =

(i)

e

    

  

PQ = OQ – OP ⎛7⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −x ⎟ – ⎜ x ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

(−2 − 2)2 + (−1− 1)2

=

(−4) 4 )2 + (−2) 2 )2

=

16 + 4

=

20

   

 

= | LM |2 Jadi, segitiga KLM siku-siku di K.   

L =

22 + (− 2x 2x)2 + 12 = 3

   

=

12 + 32

=

1+ 9

=

10 ( xM − x K ) + ( y M − y K )

=

(−2 − 1)2 + (−1 − (−2) 2 ))2

=

(−3)2 + 12

=

9 +1

=

10

 

10 +

20

5 ) satuan panjang

≠ 4 10 satuan panjang Jadi, pernyataan yang benar adalah (i), (ii), dan (iii). 16. Jawaban: Jawaban: d Koordinat titik P(3, 2, –1), Q(6, 0, –4), dan R(–1, R(– 1, –2, 3), maka maka::    

2

10 +

= 2( 10 +

| PQ | =

| KM | =

   

   

= 2 10 + 2 5

( x L − x K )2 + ( y L − y K ) 2

=

10

K = | KL | + | KM | + | LM |

15. Jawaban: Jawaban: a Koordinat titik K(1, –2), L(2, 1), dan M(–2, –1), maka:

(2 − 1)2 + (1− (−2))2

10 ×

1

⇔ 4x2 + 5 = 9 4x2 = 4 ⇔ ⇔ x2 = 1 ⇔ x = –1 atau atau x = 1 Oleh karena x > 0 maka x = 1. Jadi, nilai x = 1.

=

  

= 2 × 10 = 5 satuan luas (iv)) Kel (iv Kelilin iling g segit segitiga iga KLM:

4x 2 + 5 = 3

   

   

× | KL | × | KM |

1

4 + 4x + 1 = 3

| KL | =

1 2

= 2 ×

2

⇔

   

(ii) | KL | = | KM | = 10 , maka segitiga KLM sama kaki. (iiiii)) Lu (i Luas as seg segit itig iga a KLM: KLM:

  

⇔

   

| KL |2 + | KM |2 = ( 10 )2 + ( 10 )2 = 10 + 10 = 20 = ( 20 )2

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −2x ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎢PQ ⎢ = 3 ⇒

( x M − x L )2 + ( y M − y L ) 2

2

( x Q − x P )2 + ( y Q − y P ) 2 + (z Q − z P ) 2

=

(6 − 3)2 + (0 − 2)2 + (−4 − (−1) 1))2

=

32 + (−2)2 + (−3)2

=

9+4+9

=

22

   

| PR | = =

(xR − xP )2 + (yR − yP )2 + (zR − z P ) 2

(−1 − 3)2 + (−2 − 2)2 + (3 − (−1 1)))2

Matematika Kelas X

19


(−4)2 + (−4)2 + 42

=

b

⎛3⎞ a = ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ 

=

16 + 16 + 16

=

48



= 4 3    

(xR − x Q )2 + (yR − y Q )2 + (zR − z Q ) 2

| QR | =

32 + (−4)2

|a| =

2

2

2

=

9 + 16

=

25 = 5

=

(−1 − 6) + (−2 − 0) + (3 − (−4) 4))

Vektor satuan dari a :

=

(−7)2 + (−2)2 + 72

eˆ a = | a |

=

49 + 4 + 49

=

102



a 

   





1 ⎛ 3 ⎞ = 5 ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠    

   

Diperoleh | PQ | < | PR | < | QR |. Jadi, pernyataan ”Sisi PQ lebih pendek daripada sisi PR” benar. 17. Jawaban: Jawaban:

⎛ 3⎞ 5 = ⎜ 4⎟ ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠

e

⎛ 0,6 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −0,8 ⎠

⎛ 1⎞ Panjang vektor u = ⎜ ⎟ : ⎝ 1⎠ 



1 +1

Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor a

=

1+ 1

=

2

⎛ 0,6 ⎞ adalah eˆ a = ⎜ ⎟. ⎝ −0,8 ⎠



|u | =

2

2



⎛− 1⎞ 2 Panjang vektor v = ⎜ ⎟ : ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠


d





|v| = =

2 ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ − ⎜ 2 ⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

⎛3⎞ ⎜ ⎟ PQ = q – p = ⎜ −3 ⎟ – ⎜5⎟ ⎝ ⎠    



   

| PQ | =

1 3 + 4 4

=

= 1 =1



⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

12 + (−2)2 + 22 1+ 4 + 4

= 9 =3    

⎛ ⎜ Panjang vektor w = ⎜ ⎜ ⎝  

2

 

|w| = =

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

⎞ ⎟ : 2 ⎟ ⎟ 5⎠ 1 5

   

eˆ PQ =    

Vektor

   

=

1 3



1 4 + 5 5



PQ |PQ|

⎛ 1 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2⎟ 1 2 2 = ⎜ − 3 ⎟ = 3 i – 3 j + 3 k ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠

2

= 1 =1 Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, yaitu v dan w .

20

Vektor satuan dari | PQ |:

 





Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor 1 2 2 | PQ | adalah eˆ PQ = 3 i – 3 j + 3 k . 

   

   






d

⎛ −6 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ a – b = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝5⎠ ⎝3⎠ 

b.

⎛ 1⎞ ⎜ 2⎟ Vektor r = ⎜ k ⎟ merupakan vektor satuan jika: ⎜ 1⎟ ⎜− ⎟ ⎝ 4⎠













⇔

2

2

+ k2 + ⎜⎛ − 1 ⎟⎞ = 1 4 ⎝

1 + k2 4

⇔

⎠

+

1 16

⇔

k + 2

a.

=1

k =1–

⇔

k2 = 16



⎛2⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor u = ⎜ 4 ⎟ : ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ 

5 16

|u | = =

11

22 + 42 + (−4)2 4 + 16 + 16

= 36 =6

1 k = ± 4 11

⇔

18



2.

⇔

=



2

2

9+9

⎛ −3 ⎞ Jadi, a – b = ⎜ ⎟ dan panjangnya 3 2 . ⎝3⎠

=1

5 16

=

= 3 2

5 k2 + 16 =1

⇔

(−3)2 + 32

| a – b | =

|r | = 1 ⎛1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠



Panjang vektor a – b :

⎛3⎞ ⎜ ⎟ Panjang vektor v = ⎜ −4 ⎟ : ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ 

1 1 Jadi, nilai k = 4 11 atau k = – 4 11 .



|v| =

B. Uraia Uraian n

=

⎛ −6 ⎞ Panjang vektor a = ⎜ ⎟ : ⎝8⎠

32 + (−4)2 + 122 9 + 16 + 144



1.

a.



|a| = =

= 169 = 13 Jadi, panjang vektor u dan v berturut-turut 6 dan 13.

(−6)2 + 82 36 + 64

= 100 = 10

b. 

|b | =

2

2

(−3) + 5

=

9 + 25

=

34 



Jadi, panjang vektor a dan b berturut-turut 10 dan

⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 u + 2 v = 3 ⎜ 4 ⎟ + 2 ⎜ −4 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ −3 ⎞ Panjang vektor b = ⎜ ⎟ : ⎝5⎠ 







⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 12 ⎟ + ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜4⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠

⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎜ 24 ⎟ ⎝ ⎠

34 .

Matematika Kelas X

21





Panjang vektor 3 u + 2 v : 



  

| AC | =

|3 u + 2 v | =

122 + 42 + 12 2

=

144 + 16 + 144

=

304

= 4 19

⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ Jadi, 3 u + 2 v = ⎜ 4 ⎟ dan panjangnya 4 19 . ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ 



3.







 













b.





w = 2 u – v 











= 2(4 i + 2 j – 5 k ) – (3 i – j + a k ) 









= 5 i + 5 j – (10 + a) k  

Panjang vektor w :  

2

2

5 + 5 + (10 + a)

⇔

25 + 25 + (10 + a)2 64 = 50 + (10 (10 + a)2 14 = (10 + a)2 8=

⇔ ⇔

⇔ 10 + a = ± 14 ⇔

a.

(−4 − 2)2 + (2 − (−1) 1))2 + (1− 3)2

=

(−6)2 + 32 + (−2)2

=

36 + 9 + 4

5.

Q

U

a = –10 –10 ± 14

Jadi, nilai a = –10 ± 4.

=

AC2 = ( 74 )2 = 74 AB 2 + BC 2 > AC 2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip. Jadi, segitiga ABC merupakan segitiga sembarang dan lancip.

2

|w| =

74

AB2 + BC2 = ( 33 )2 + 72 = 33 + 49 = 82





=

74 , maka:



= (8 i + 4 j – 10 k ) – (3 i – j + a k ) 

64 + 1 + 9

turut 33 , 74 , dan 7. Panjan Pan jang g sisi-s sisi-sisi isi segi segitig tiga a ABC berb berbeda eda,, maka maka segitiga ABC merupakan segitiga sembarang. Sisi terpanjang segitiga ABC adalah AC =



v = 3 i – j + a k  

=

= 49 =7 Jadi, panjang sisi AB, AC, dan BC berturut-

u = 4 i + 2 j – 5 k 

(−8)2 + 12 + 32



Jawaban: 

=



– j + a k . Jika panjang vektor w = 2 u – v adalah 8, tentukan nilai a. 

(−4 − 4)2 + (2 − 1)2 + (1− (− 2))2

   

Dike Di keta tahu huii ve vekt ktor or u = 4 i + 2 j – 5 k dan v = 3 i 

=

| BC | = (xC − xB )2 + (y C − yB )2 + (zC − zB )2





(xC − x A )2 + (y C − y A )2 + (zC − z A )2

14 .

Koordi Koor dina natt ti titi tik k A( A(4, 4, 1, –2 –2), ), B( B(2, 2, –1 –1,, 3) 3),, da dan n C(–4, 2, 1), maka:    

| AB | = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 + (zB − z A )2 =

(2 − 4)2 + (−1 − 1)2 + (3 − (− 2))2

P

a.

B

Gerakan Gera kan pes pesawat awat main mainan an din dinyat yataka akan n seba sebagai gai    

PB .  

Gerakan angin dinyatakan sebagai PU . Gerakan pesawat mainan akibat tertiup angin   

22

Vektor

=

(−2)2 + (−2)2 + 52

=

4 + 4 + 25

=

33

dinyatakan sebagai PQ .    

30 ⎢PB ⎢ = 30  

⎢BQ ⎢ = PU = 16   

   

⎢PQ ⎢2 = ⎢PB ⎢2 + ⎢BQ ⎢2 = 302 + 162 = 900 + 256 = 1.156    

   

  

⎢PQ ⎢2 = 1.156    

⇔ ⎢PQ ⎢ = 34 Jadi, kecepatan pesawat mainan akibat tertiup angin 34 km/jam.    

b.

sin ∠QPU =

|UQ| |PQ|

30

= 34 = 0,8824 ∠QP QPU U = arc arc sin sin 0,882 0,8824 4 ≈ 61,93° Jadi, besar sudut arah lintasan pesawat mainan terhadap arah angin kurang lebih 61,93°.    

Matematika Kelas X

23




d





a.

u = 4i − 5j dan v = i + 6j  

u ⋅ v = ( 4i − 5j ) × ( i + 6j ) = 4 × 1 + (–5) × 6 = 4 + (–30) = –26 2. Jawaban: Jawaban:

b

  ⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −3 ⎞  AB = b – a = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ −3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −4 ⎞  BC = c – b = ⎜ 2 ⎟ – ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ −3 ⎞ ⎛ −4 ⎞ AB · BC = ⎜ 5 ⎟ · ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = –3 × (–4) + 5 × (–1) = 12 – 5 =7

3. Jawaban: Jawaban: 



b.

c.

b 

c = 2 a + b

2 = 2 ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎝ −5 ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠

4 ⎞ = ⎛⎜ ⎟ + ⎝ −10 ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠

d.

⎛5⎞ = ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠ 





d = a + 2 b 2 1 = ⎛⎜ ⎞⎟ + 2 ⎛⎜ ⎞⎟ 5 3 ⎝− ⎠ ⎝ ⎠ 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎝ −5 ⎠

⎛ 2⎞ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠

4 = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 1⎠   5 4 c · d = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ −7 ⎠ ⎝ 1 ⎠ = 5 × 4 + (–7) × 1 = 20 + (–7) = 13

24

Vektor

e.

c

 −2 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ 1⎠   5 2 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ − ⎞⎟ 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 5 × (–2) + 2 × 1 = –10 + 2 = –8  0 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ −4 ⎠   5 0 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −4 ⎠ = 5 × 0 + 2 × (–4) = 0 + (–8) = –8  4 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ −6 ⎠   5 4 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −6 ⎠ = 5 × 4 + 2 × (–6) = 20 + (–12) =8  2 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ −9 ⎠   5 2 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −9 ⎠ = 5 × 2 + 2 × (–9) = 10 + (–18) = –8  −6 q = ⎛⎜ ⎞⎟ , maka: ⎝ 11 ⎠   5 −6 p · q = ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 11 ⎠ = 5 × (–6) + 2 × 11 = –30 + 22 = –8

   4 Jadi, hasil p · q = –8, kecuali untuk q = ⎛⎜ ⎞⎟ . ⎝ −6 ⎠



c

⎛4⎞   a = ⎜ −1⎟ dan b = ⎜ ⎟ ⎝2⎠


⎛3⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

⎛4⎞ a · b = ⎜ −2 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ 









−2

2

y

→ y

= 2 dan r = 3

2

3

2

5 

x

5



b 



x 



a · b = | a || b | cos ∠( a , b ) 8 = 4 × 6 × cos α ⇔ 8 = 24 cos α ⇔ 8

⇔

cos α = 24

⇔

cos α = 3

1 1





a · ( a + b ) = a · a + a · b = 21 + 6 = 27

Jadi, nilai cos α = 3 . 11. Jawaban: Jawaban:

θ

=











8

OA ⋅ OB = |OA||OB| 8 5 20

=





u · v = –4 (–2) × 4 = –4 ⇒ 2 × a + 3 × (–2) + (–2) 2a – 6 – 8 = –4 ⇔ ⇔ 2a = 10 10 a=5 ⇔  Diperoleh v = 5 î – 2 jˆ + 4 kˆ , sehingga:   u + v = (2 î + 3 jˆ – 2 kˆ ) + (5 î – 2 jˆ + 4 kˆ )

d

OA · OB = ( i + 2 j ) · (4 i + j ) =1×4+2×2 =4+4=8 cos

7. Jawaban: Jawaban: d  u = 2î + 3 jˆ – 2kˆ

= 7 î + jˆ + 2 kˆ

32


⎛3⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

v = aî – 2 jˆ + 4kˆ





⎛4⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠





cos ∠( u , v ) = r = 3

= 4 × 3 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 12 – 4 – 2 =6 

a

9−4

=

= 4 × 4 + (–2) × (–2) + 1 × 1 = 16 + 4 + 1 = 21 

x= =



3

sin ∠( u , v ) = 3 = r

c

⎛4⎞ a · a = ⎜ −2 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ 

1 2

= 5 3

= 4 × (–3) + (–1) × (–5) + 2 × 1 = –12 + 5 + 2 = –5

⎛4⎞   a = ⎜ −2 ⎟ dan b = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠





= 10 ×




b 



a · b = | a || b | cos ∠( a , b ) = 5 × 2 × cos 30°

⎛ −3 ⎞ ⎜ −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠

⎛ 4 ⎞ ⎛ −3 ⎞ a · b = ⎜ −1⎟ · ⎜ −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 1⎠ 





8

2

1

+

2

4 2 + 22

2

8 100

= 4

= 10 = 5

5

3

3

tan θ = 4

θ

4


a

Misalkan α = sudut antara vektor 



cos

α

= =

  a dan b .

a ·b   |a||b|

4× 3+ 2× 3+ 2× 0 4

2

+2

2

+2

2

×

32

+3

2

+0

2

Matematika Kelas X

25



18 24 × 18

=

18 24

=

Misalkan sudut antara vektor OA dengan vektor 

=

3×

6

4×

6

1

= 2

1

 

3

cos

3 maka α = 30°.

Oleh karena cos α = 2

Jadi, besar sudut antara vektor 13. Jawaban: Jawaban:

AC adalah α.

  a dan b adalah 30°.

b

⎛5⎞   ⎜ ⎟  BA = a – b = ⎜ 1 ⎟ – ⎝3⎠

⎛2⎞ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ −1⎠

⎛4⎞  ⎜ ⎟  BC = c – b = ⎜ 2 ⎟ – ⎝ −4 ⎠ 

⎛3⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎛2⎞ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ −1⎠

⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠



| BA | = = 

| BC | = =

32

+2

2

+4

2

=

−16 4 × 2 13

9 + 4 + 16 =



vektor AC adalah – 15. Jawaban: Jawaban: 



22

4 + 9 + 9 =

2 13 13

cos

α

⇒

α

=

  BA ⋅ BC   

|BA||BC|

=

0 29 × 22

= 0

π

= 2







⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒⎜ 2⎟ ·⎜− 2⎟ = ⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 + 2 + a2

π

14. Jawaban: Jawaban: d ⎛4⎞  ⎜ ⎟  OA = ⎜ 0 ⎟ , OC = ⎜0⎟ ⎝ ⎠ AC = OC – ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 6 ⎟ – ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 6⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠



OA ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜6⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −4 ⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ OA · AC = ⎜ 0 ⎟ · ⎜ 6 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 4 × (–4) + 0 × 6 + 0 × 0 = –16 

| AC | =

(−4)2 + 62 + 02

=

16 + 36 + 0

=

52 = 2 13

Vektor

π

1 + 2 + a 2 cos 3

1

1 – 2 + a 2 = (1 + 2 + a 2) × 2 2(–1 + a2) = 3 + a2 –2 + 2a2 = 3 + a2 a2 = 5

⇔ ⇔

a=± 5


5.

d 

Vektor u tegak lurus v , maka: 



u · v = 0 ⎛ 2 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ = 0 ⎝ −3 ⎠ ⎝ p ⎠ (–6) + (–3) (–3) × p = 0 ⇔ 2 × (–6) –12 –1 2 – 3p = 0 ⇔ –3p –3 p = 12 12 ⇔ ⇔ p = –4 Jadi, nilai p = –4. ⇔

Jadi, besar sudut ABC = 2 .





.

Jadi, nilai a adalah – 5 atau

22

2 13 13

d



⇔

2 2 + 3 + ( −3)

= –

u · v = | u | | v | cos ∠( u , v )

⇔

29

2 13

= –

Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor OA dengan

⇔

Misalkan sudut ABC = α, maka:

26

=





BA · BC = 3 × 2 + 2 × 3 + 4 × (–3) = 6 + 6 – 12 = 0



α

OA ⋅ AC     |OA||AC|

17. Jawaban: Jawaban: a   Oleh karena vektor p dan q saling tegak lurus,   berlaku p · q = 0. ⇒

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⎛3⎞ ⎜ −6 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠

⎛2⎞ ⎜ −1⎟ = 0 ⎜ ⎟ ⎝x⎠

3 × 2 + (–6) × (–1) + (–4) (–4) × x = 0 6 + 6 – 4x 4x = 0 12 – 4x 4x = 0 4x = 12 x=3

⎛2⎞  Diperoleh vektor q = ⎜ −1⎟ . ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛3⎞ ⎛2⎞ ⎛4⎞    p – 2 q + 3 r = ⎜ −6 ⎟ – 2 ⎜ −1⎟ + 3 ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 1⎠ ⎛3⎞ = ⎜ −6 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠

⎛4⎞ ⎜ −2 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝6⎠

⎛ 12 ⎞ ⎜ −6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛ 11 ⎞ = ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −7 ⎠ 18. Jawaban: Jawaban: c Oleh karena vektor   berlaku a · c = 0.





⇔

| a |2 + |b|2 = 169

⇔

52 + | b |2 = 169











| b |2 = 169 – 25 = 144

⇔



⇔





a

1. a.

   b )( a – c



a



⊥

b

U(4, 2)

⇒

 ⎛4⎞ u = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

 ⎛ −1⎞ V(–1, 5) ⇒ v = ⎜ ⎟ ⎝5⎠   ⎛ 4 ⎞ ⎛ −1⎞ u ·v = ⎜ ⎟·⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 5 ⎠ = 4 × (–1) + 2 × 5 = –4 + 10 =6

U(2, 1, –3) ⇒

⎛2⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜ 1 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

V(4, –2, 3) ⇒

⎛4⎞ ⎜ ⎟ v = ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠



b.



⊥ ( b + 



) = 0.









a · ( b + 2 c ) = 0 

















a · b + 2 a · c = 0

⇒

0 + 2 a · c = 0

⇔

2 a · c = 0

⇔

a · c = 0 

⎛2⎞ ⎛4⎞ u · v = ⎜ 1 ⎟ · ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



2 c ), maka:

⇔





a · b = 0

⇔

 



⎛4⎞ ⎜ ⎟  2. u = ⎜ −1⎟ dan v = ⎝2⎠

 



d





a dan b saling tegak lurus 



| a + b | = 13

⇒

 

a · b = 0.





⇔

| a + b |2 = 132

⇔

( a + b ) · ( a + b ) = 16 169

⇔

a · a + 2( a · b ) + b · b = 169











a.

⎛4⎞ ⎜ ⎟ u · v = ⎜ −1⎟ · ⎝2⎠ 



⎛2⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎛2⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

= 4 × 2 + (–1) × (–3) + 2 × (–2) =8+3–4=7









= 2 × 4 + 1 × (–2) + (–3) × 3 = 8 + (–2) + (–9) = –3

a ⋅ (2b − c) = 2a ⋅ b − a ⋅ c =2×0–0 =0 20. Jawaban: Jawaban:

| b | = 12

B. Ura Uraian ian   a tegak lurus dengan vektor c ,

= 9 + (–3) – 0 – 6 =0

b 



a · a + b · b = 169

Jadi, panjang vektor b adalah 12.

  a · a = 1 × 1 + 2 × 2 + (–2) × (–2) = 1 + 4 + 4 = 9   b · a = 3 × 1 + (–2) × 2 + 1 × (–2) = 3 – 4 – 2 = –3   a · c = 1 × 2 + 2 × 1 + (–2) × 2 = 2 + 2 – 4 = 0   b · c = 3 × 2 + (–2) × 1 + 1 × 2 = 6 – 2 + 2 = 6             ( a + b )( a – c ) = a · a + b · a – a · c – b · c




⇔

1 × 2 + 2 × 1 + (–x) (–x) × 2 = 0 2 + 2 – 2x 2x = 0 ⇔ –2xx = –4 –2 –4 ⇔ x=2 ⇔  Diperoleh a = î + 2 jˆ – x kˆ = î + 2 jˆ – 2 kˆ .





a · a + 2 · 0 + b · b = 169

⇒

Jadi, ( a +



⇔





Matematika Kelas X

27



b.

⎛4⎞ ⎜ ⎟   u · u = ⎜ −1⎟ · ⎝2⎠

Panjang vektor u :

⎛4⎞ ⎜ −1⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠



|u | =

(−3) 3 )2

=

9+9

=

18

= 4 × 4 + (–1) × (–1) + 2 × 2 = 16 + 1 + 4 = 21















u · (2 v + u ) = 2 u · v + u · u

= 3 2 

= 2 × 7 + 21 = 35

c.

⎛2⎞ ⎜ ⎟   v · v = ⎜ −3 ⎟ · ⎝ −2 ⎠

⎛2⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠













(2 v + u ) · ( v – 3 u ) 





























| u | = 4, | v | = 2 2 , dan cos ∠( u , v ) = maka: 









1 4

b. 1 4

6,

6

c.

50





u⋅ v   |u||v|

| u | = 3 2 , | v | = 5 3 , dan ∠( u , v ) = 45°. 









= 15 6 × =

15 2

1 2

18



= 3 2×5 2 18

= 30

2

3

= 5

12

5. Diketah Diketahui ui A(3, 3, –2), –2), B(3, 7, 2), dan C(–1, C(–1, 7, –2).

= 15 3 4. Dik Diketa etahui hui A(2, A(2, 5), B(–1, B(–1, 2), 2), dan C(3, C(3, –2). 







u = AB = b – a

⎛ −1⎞ = ⎜ ⎟ – ⎝2⎠ ⎛ −3 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠

Vektor



 



cos ∠( u , v ) = 



Nilai Ni lai ko kosi sinu nus s sud sudut ut ant antar ara a vek vekto torr u dan v :

= 3 2 × 5 3 × cos 45°

28

=

⎛ −3 ⎞ ⎛ 1⎞   u = ⎜ ⎟ dan v = ⎜ ⎟ , maka: ⎝ −3 ⎠ ⎝ −7 ⎠

u · v = | u || v | cos ∠( u , v )

a.

1 + 49



= 4 3 

=

⎛ −3 ⎞ ⎛ 1 ⎞   u ·v = ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝ −7 ⎠ = –3 × 1 + (–3) × (–7) = –3 + 21 = 18



= 2 12

b.

7))2 + (− 7

= 5 2

u · v = | u || v | cos ∠( u , v )

= 4 × 2 2 ×

12

|v| = 



⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

Panjang vektor v :

= 2 v · v – 6 u · v + u · v – 3 u · u       = 2 v · v – 5 u · v – 3 u · u = 2 × 17 – 5 × 7 – 3 × 21 = 34 – 35 – 63 = –64 3. a.



⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −7 ⎠







⎛3⎞ = ⎜ ⎟ – ⎝ −2 ⎠

( v + u ) · ( v – u ) = v · v – u · u = 17 – 21 = –4 d.



v = AC = c – a

= 2 × 2 + (–3) × (–3) + (–2) × (–2) = 4 + 9 + 4 = 17



3 )2 + (−3)

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

⎛3⎞ BA = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

⎛ 3⎞ ⎜ 7 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛0⎞ ⎜ −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠

⎛ −1⎞ BC = ⎜ 7 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

⎛ 3⎞ ⎜ 7 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠



a.





| BA | = = 

| BC | = =

02

2 2 + ( −4) + (−4)

0 + 16 + 16 =

(−4)2

+

02

7. Ve Vekt ktor or 

2 + (−4)



32

⎛ 0 ⎞ ⎛ −4 ⎞ BA · BC = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −4 ⎠

cos

16

16

1

= |BA||BC| = 32 32 = 32 = 2 ⇔ ∠ABC = 60° Jadi, besar ∠ABC = 60°.

6. A(4 A(4,, 3, 2), 2), B(2, B(2, 4, 2), 2), dan dan C(3, C(3, 1, 2) ⎛ −2 ⎞ ⎛2⎞ ⎛4⎞    ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = 4 – 3 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛ −1⎞    ⎜ ⎟ AC = c – a = 1 – ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝0⎠   AB · AC = –2 × (–1) + 1 × (–2) + 0 × 0 =2–2+0 =0 

| AB | =

(−2)2

+

12

=

4 + 1+ 0

=

5



| AC | = =

(−1)2

+

1+ 4 + 0

= 5 Misalkan sudut BAC = α, maka:  

cos

α

=

=

0 5× 5

= 0

= 90° Diperoleh besar ∠BAC = 90°. ⇒

α





Oleh karena | AB | = | AC | maka segitiga ABC sama kaki, sehingga: ∠ABC

1

=n

dan da n

⎛ ⎞ ⎛ 2z ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = n ⎜ − y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ 18 ⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠

1 y 2

⇔ n

= 18n

⇒

4

= y 1 y 2

= ∠ACB = 2 (180° – 90°) = 45° Jadi, ∠BAC = 90° dan ∠ABC = ∠ACB = 45°.

4

= y × 18

y2 = 4 × 36 y = ±2 ±2 × 6 ⇔ = ±12 Oleh karena y bilangan bulat positif maka y = 12. ⇔





a = m c

⇒

⇔

⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ ⋅ 12 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ x⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ − x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ z⎠

⇔

02

2 2 + ( − 2) + 0

AB ⋅ AC   |AB||AC|

⇒

–4 = –ny

  BA ⋅ BC  

∠ABC

sear se arah ah ma maka ka

Dari kesamaan vektor diperoleh:

= 0 × (–4) + (–4) × 0 + (–4) × (–4) = 0 + 0 + 16 = 16 c.



a = n b

 

b.

, da dan n

a = m c .

32

16 + 0 + 16 =

, 

Dari kesamaan vektor diperoleh: x = m × 1 ⇔ m = x –4 = m × (–x) ⇒ –4 = x × (–x (–x)) 2 4 = x ⇔ ⇔ x = ±2 Oleh karena x bilangan bulat positif maka x = 2. 6 = mz ⇒ 6 = xz ⇔ 6 = 2z ⇔ z =3 Dengan demikian diperoleh:  1 1 a = x î – 4 jˆ + × y kˆ = 2 î – 4 jˆ + × 12 kˆ

2

2

= 2 î – 4 jˆ + 6 kˆ  b = 2z î – y jˆ + 18 kˆ = 2 × 3 î – 12 jˆ + 18 kˆ = 6 î – 12 jˆ + 18 kˆ  c = î – x jˆ + z kˆ = î – 2 jˆ + 3 kˆ

Matematika Kelas X

29

⎛ 2⎞   a · ( b – c ) = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 

⎛ 2⎞ = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠

–6 – x + 10 10 = 0 –x + 4 = 0 ⇔ x=4 ⇔   Vektor b searah dengan c maka: ⇔

⎛ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜ ⎜ −12 ⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 18 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠



⎛ 5 ⎞ ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠

= 2 × 5 + (–4) × (–10) + 6 × 15 = 10 + 40 + 90 = 140 





Jadi, nilai a · ( b – c ) = 140.

⇒

⎛3⎞ ⎛ y⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = m ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

⎛3⎞ ⎛ y⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = m ⎜ −2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = ⎜2⎟ ⎝ ⎠





8. | a | = 13 dan | b | = 8 12

tan α = 5 

⇔



5

cos α = 13 



5

a.

a · b = | a | | b | cos α = 13 × 8 × = 40 13

b.

a · ( a + b ) = a · a + a · b    = | a |2 + a · b

c.















–1 = –2m ym = 3

b.



d.

1

⇒

⎛ −2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ y ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a + b – c = ⎜ x ⎟ + ⎜ −1⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 6 ⎞ = ⎜ 4 ⎟ + ⎜ −1⎟ − ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 





⎛ −5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ −5 ⎞ Jadi, hasil operasi ( a + b – c ) adalah ⎜ 5 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ 









10. Mi Missal θ = sudut antara vektor u dan w . 







( u + w ) · ( u + w ) = 13 







 

u · u + 2 u · w + w · w = 13

⇔

| u |2 + 2|u 2| u || w | cos θ + | w |2 = 13

⇔

( 4 3 )2 + 2 × 4 3 × 5 × cos θ + 52 = 13

Vektor a tegak lurus dengan b maka:

⇔

48 + 40 3 × cos θ + 25 25 = 13

a · b = 0

⇔

40 3 × cos

θ

= –60

⇔

cos

θ

=– 2 3

θ

= 150°





| a – b | =

153 = 3 17 





⇒

⇔

30

1

m= 2

⇔

⇔

9. a.





| a + b | = 313    | a – b |2 = ( a – b )2     = ( a – b ) · ( a – b )         = a · a – a · b – b · a + b · b     = | a |2 – 2 a · b + | b |2 = 132 – 2 × 40 + 8 2 = 169 – 80 + 64 = 153   2 | a – b | = 153

⇔

y× 2 =3 ⇔ y= 3× 2= 6 Jadi, nilai x = 4 dan y = 6.

| a + b |2 = 313 ⇔ 

⎛ ym ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2m ⎟ ⎜ 4m ⎟ ⎝ ⎠


= 132 + 40 = 169 + 40 = 209     | a + b |2 = ( a + b )2     = ( a + b ) · ( a + b )         = a · a + a · b + b · a + b · b     = | a |2 + 2 a · b + | b | 2 = 132 + 2 × 40 + 8 2 = 169 + 80 + 64 = 313 



b = m c

Vektor



⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ · ⎜5⎟ ⎝ ⎠

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ = 0 ⎜2⎟ ⎝ ⎠ –2 × 3 + x × (–1) (–1) + 5 × 2 = 0









⇔



1



Jadi, besar sudut antara vektor u dan w adalah 150°.

A. Piliha Pilihan n Ganda Ganda Jawaban: 1. Jawaban:

Panjang proyeksi vektor

b 



Proyeksi vektor AC pada AB digambarkan sebagai berikut.

= =

2 × 3 + ( −1 1)) × ( −4 4)) 32

C

E

+ ( −4)

2

6+4

=

B

pada

9 + 16

10

= 5 = 2 A

Jawaban: 5. Jawaban: 





Jadi, proyeksi vektor AC pada AB adalah AE . 2. Jawaban: Jawaban: c   Proyeksi vektor AB pada AD digambarkan sebagai berikut. D





e 







u = 3i − 4 j dan v = 5i + 2 j 











u – v = (3i − 4 j) − (5i + 2 j) 



= – 2i − 6 j 



Proyeksi skalar ortogonal vektor ( u – v ) pada

C



vektor u 

P

= A



B





Jadi, proyeksi vektor AB pada AD adalah AP dengan P pada AD sedemikian hingga BP tegak lurus AD. 3. Jawaban: Jawaban:

c 





Vektor w merupakan proyeksi vektor u pada v digambarkan sebagai berikut. Pada segitiga siku-siku di samping berlaku:

⇔

u

|w|  |u|





| w | = | u | × cos

(−2 2)) × 3 + (−6 6)) × (− 4) 32

2 + ( − 4)

−6 + ( −24)

9 + 16 −30

=

25 −30

= 5 = –6

α




α



w



v

Jadi, panjang proyeksi vektor u pada v adalah 

| u | × cos α. 4. Jawaban: Jawaban:

=







cos α =

=



(u − v) ⋅ u  |u|

d

⎛2⎞ ⎛3⎞  m = ⎜ −1⎟ dan n = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e

  a −4 Proyeksi vektor u = ⎛⎜ ⎞⎟ pada vektor v = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠ ⎝ −2 ⎠



adalah w , maka: 

|w| =

 

u⋅ v  |v|



⇔

4 5 =

⇔

4 5 =

⎛ a ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ (−4)2 + 22 a × (−4 4)) + (−2 2)) × 2 16 + 4

Matematika Kelas X

31

4 5 =

⇔

4 5×

⇔

−4a −



4

20



=

20 = –4a – 4

4 100 = –4a – 4 40 = –4a –4a – 4 ⇔ 4a = –4 – 40 ⇔ 4a = –44 –44 ⇔ a = –11 –11 ⇔ Jadi, nilai a = –11. a

=

⎛2⎞ ⎛3⎞   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a = ⎜ −3 ⎟ dan b = ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 



⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 17 ⎟ ⋅ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −10 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( −4)2

2 +2 +

−8 +

34 − 40 16 + 4 + 16

−14

36

14

7




a ⋅b  = |b|

1

13

⎛ 2⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 3 + (− 2) 2)2 + (− 1)2

2

+ 1 + ( −2 )

2m − 6 + 6 9 2m 3

4

= 3

Jadi, nilai m adalah 2. 10. Jawaban: Jawaban:

a 

2 6 , maka:  

14

⇒

d

⇔

⎛ 1⎞ 4p + q = 4 ⎜⎜ 4 ⎟⎟ + ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ = ⎜⎜ 16 ⎟⎟ + ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠ 

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞ = ⎜⎜ 17 ⎟⎟ ⎜ −10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ 2q = 2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜2⎟ ⎝ ⎠

Vektor

4

= 3 2m = 4 m=2

u⋅ v  | v|



4

= 3



Proyeksi skalar ortogonal vektor u pada v adalah

11 14


32

2

⇔

6 + 6 −1 14



2

2

⇔

=

11 14

m × 2 + (−6) 6) × 1 + (−3) 3 ) × (−2) 2)

⇔

=

=

⇒ ⇔

2 × 3 + (−3 3)) × (−2 2)) + 1× (−1 1)) 9+ 4+1

=

c



= |b|

=–

42

= – 6 = – 3

Panjang proyeksi vektor a pada vektor b   a ⋅b 



2q

= =



(4p + q) ⋅ (2q)

⇔






Proyeksi skalar ortogonal ( 4p + q ) pada 2q

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠

4 × 1 + a × 1+ 3 × a 12 + 12 + a2 4 + 4a 2 + a2

⇔ ⇔ ⇔

(4 + 4a)2 2 + a2

= 2 6 = 2 6 = 2 6 =4×6

16 + 32a + 16a 2 = 24(2 + a2) 2 + 4a + 2a 2 = 3(2 + a 2)

2 + 4a + 2a 2 = 6 + 3a2 a2 – 4a 4a + 4 = 0 ⇔ ⇔ (a – 2)2 = 0 a–2= 0 ⇔ ⇔ a=2 Dengan demikian diperoleh:  u = 4 î + a jˆ + 3 kˆ = 4 î + 2 jˆ + 3 kˆ  v = î + jˆ + a kˆ = î + jˆ + 2 kˆ ⇔

  u – v = (4 – 1) î + (2 – 1) jˆ + (3 – 2) kˆ = 3 î + jˆ + kˆ







| u – v | =

3

2

2

+1 +1

=

9 + 1+ 1

=

11 

 

=



Jadi, panjang ( u – v ) = 11. Jawaban: Jawaban:

11 . =

c

⎛3⎞  Panjang vektor v = ⎜ −4 ⎟ : ⎝ ⎠ 

32

|v| =

=

a ⋅ b   b | b |2 ⎛ −4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⋅ ⎜ −1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b 2 5 + (−1)2 + 42

2) × (− 1) + −4 × 5 + (− 2)

2 × 4 

b

25 + 1 + 16

14. Jawaban: Jawaban: d Proyeksi ortogonal vektor

2 + (−4)

 

9+16

=

=

= 25 =5



Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b

2

=





a·b  | b |2

(





Vektor proyeksi ortogonal vektor u pada vektor v 

v

= 15 × | v |

=

vektor

 b

 b

9 × 2 + ( − 2) × 2 + 4 × 1

Panjang proyeksi vektor u pada vektor v = 15.

 a pada

2

2

2

2 + 2 +1

18 (2 î + 9

)

2

(2 î + 2 jˆ + kˆ )

2 jˆ + kˆ )

= 2(2 î + 2 jˆ + kˆ ) = 4 î + 4 jˆ + 2 kˆ

1 ⎛ 3 ⎞ = 15 × 5 ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠

Jadi, proyeksi ortogonal vektor adalah 4 î + 4 jˆ + 2 kˆ .

⎛3⎞ = 3 ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠


⎛ 9 ⎞ = ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠



⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 5⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AC = c – a = ⎜ 0 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠





b = 2 î + jˆ 



Proyeksi vektor ortogonal a pada b

vektor

 b

c

⎛ −1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = ⎜ 4 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Jawaban: d 12. Jawaban:  a = 3 î + 4 jˆ

 a pada









= =

=

 a ⋅b   b | b |2

3 × 2 +4 ×1

⎛ 22 ⎜ ⎝

⎛ −3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ AB · AC = ⎜⎜ 5 ⎟⎟ · ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = –3 × 3 + 5 × 1 + (–1) × (–2) = –9 + 5 + 2 = –2   Proyeksi vektor ortogonal AB pada AC 

⎞ +1 ⎟ ⎠ 2

2

(2 î + jˆ )

6+4 (2 î + 4 +1

jˆ )

10 = 5 (2 î + jˆ ) = 4 î + 2 jˆ


⎛ −4 ⎞   a = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ dan b = ⎜2⎟ ⎝ ⎠

 

=

a

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠



=

AB ⋅ AC   AC |AC|2 −2

(

32

2 2 + 1 + ( −2 )

)

2

(3 î + jˆ – 2 kˆ )

−2 = 9 + 1+ 4 (3 î + jˆ – 2 kˆ )

1 = – 7 (3 î + jˆ – 2 kˆ )

Matematika Kelas X

33


c

 ⎛ −3 ⎞ ⎛ 1⎞ a = ⎜ 4 ⎟ dan b = ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  ⎛ −3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞  a + b = ⎜ 4 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 







=

= = =



=

6 6



Proyeksi ortogonal vektor ( a + b ) pada vektor b : 

=

5−8+9 6



(a + b) ⋅ b  b |b| ⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2⎠ 12 + 22

6×2 1+ 4

−2 + 12

5

⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠


⎛ 1⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ = 2 ⎜ 2 ⎟ = ⎝ ⎠

⎛ 2⎞ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠

=

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠

⎛3⎞ ⎜ ⎟ u – v = ⎜ 1 ⎟ – ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ 

=



−24 2

4



24 

3 

v = – 16 v = – 2 v

e



⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a + 1⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠



⎛4⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PR = r – p = ⎜ −3 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 







⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ PQ · PR = ⎜ a + 1⎟ · ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠ 

Proyeksi ortogonal vektor ( u + v ) pada vektor   ( u – v ): 



⎛ −1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PQ = q – p = ⎜ a ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −11⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠





u⋅v   = | v |2 v


⎛3⎞ ⎜ ⎟ u + v = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ 



2π

Proyeksi vektor u pada v

a





1

⎛3⎞  ⎜ ⎟ u = ⎜ 1 ⎟ dan v = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠







= 12 × 4 × (– 2 ) = –24





e

u · v = | u || v | cos 3




⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

−2 × 1 +

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠





(u + v )(u − v )     2 ( u – ) v |u− v|

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ = –3 × 2 + (a + 1) × (–2) + (–8) × 1 = –6 – 2a – 2 – 8 = –2a – 16 

=

=

34

⎛5⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎜ − 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 + (− 2 2))2 + (− 1)2

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

5 × 1 + 4 × (−2) 2) + (−9) 9) × (−1) 1) 1+ 4 + 1

Vektor



Proyeksi vektor ortogonal PQ pada PR adalah –4 î + 4 jˆ – 2 kˆ

⎛ −4 ⎞ = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

PQ ⋅ PR   PR |PR|2

⇒

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⇔

−2a − 16 2

( 2

2 2 2 + (−2) + 1 )

B. Ura Uraian ian

⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ −2a − 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 = 4 + 4 +1 ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −4 ⎞ −2a − 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ 9 ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ ⎛2⎞ −2a − 16 ⎜ ⎟ = –2 ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ 9 ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

⇔

⇔



1. a.

9

α





2

vektor v adalah 5 . 

b.

b 





cos

⎛ −4 ⎞

⎛a⎞   ⎜ ⎟ p = n v , yaitu −4 = n ⎜ a ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ ⎜b⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

4

. . . (1)

4

=

⇔

3 4

=

⇔

3 4

=

⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

3 4

=

b

2

2. a. + 144 + a

2

a2 −12a

+ 144 + a

2

a

2

+a

2

+a

2

+b

2

+b

2

+ 144

3b2

6 5

.



⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

= 1 × (–2) + (–2) × 1 + 3 × (–2) = –2 – 2 – 6 = –10 4 + 1 + 4 =

9 = 3







Proyeksi skalar a pada b =

+ 144

48 = 3 2b2

6

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ a · b = ⎜ −2 ⎟ · ⎜3⎟ ⎝ ⎠ 

|b | =

12 2b2

3

|w| = 5



12b 2b2





ab − 12a − ab b2

= |w|

u adalah



⇒

2 5



uv   |u||v|

3 4

=

Jadi, panjang proyeksi vektor v pada vektor

n= b . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = –b. cos θ =

|w|  |v|

α

 ⇔

n=–a



Vektor w merupakan proyeksi vektor v pada  u , maka:

p merupakan proyeksi u pada v , maka berlaku

⇔

= 5

Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor u pada



4 = nb

2

|w|  |u|

cos α =

–2a – 16 = –18 –18 ⇔ –2a = –2 –2 a=1 ⇔ Jadi, nilai a = 1.

⇔



v



⇔

–4 = na na



w

Pada segitiga siku-siku di atas berlaku:

= –2






v , maka | w | = 2. Perhatikan gambar berikut.

Dengan demikian, −2a − 16



Vektor w merupakan proyeksi vektor u pada

3

+ 144

2b2 + 144 256 = 2b 2b2 + 144 b2 = 56 b = ± 56 16 =

b = 2 14 atau b = –2 14 (tidak memenuhi)

Jadi, nilai b = 2 14 .

b.















a⋅b  = |b|

−10



3



a · b = (6 i + 2 j – k ) · (3 i – 4 j + 5 k ) = 6 × 3 + 2 × (–4) + (–1) × 5 = 18 – 8 – 5 =5 

|b | =

32 + (−4)2 + 52

=

9 + 16 + 25

=

50

= 5 2

Matematika Kelas X

35





Proyeksi skalar a pada b 

= c.



a ⋅b 5  = |b| 5 2 





2 1 = 2 2

×

b.

2 







Panjang vektor 2 m : 

(−8)2 + 62 + 102

=

5. a.

200 = 10 2







=



8

2 2

8 20

2 5

= 10 2 × =

2 =

2

= b.

⎛ 2 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⋅ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( −5) 5 )2

2

=



| b |2

=

2 ⎛ −5 ⎞

b = 13 ⎜ ⎟ = ⎝ 12 ⎠

⎛ −3 ⎞ m · n = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ · ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ 



−10 +

36

169

=

26 13

b. = 2







m⋅n  |n|

22

4 + 1+ 4

=

9 = 3 −2

= 3

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

−4 − 2x

3

Vektor



⎛4⎞  ⎜ ⎟ a = ⎜ −1⎟ dan b = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠









⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠





+3

2

2 +1



)2 = 4 + 9 + 1 = 14 

Proyeksi vektor a pada b 

=

 3 a ⋅b   b = 14 | b |2

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

6. A(2, 3), B(–1 B(–1,, –1), –1), dan C(5, –1)

−2

  ⎛ 2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 3 ⎞  BA = a – b = ⎜ 3 ⎟ – ⎜ −1⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ 5 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 6 ⎞  BC = c – b = ⎜ −1⎟ – ⎜ −1⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

a.



Proy Pr oyek eksi si vek ekto torr BA pada BC :  



BD = =

36



(3 i + 4 j )



| b |2 = ( 22

= 3 –2 ⇔ –4 – 2x = –2 ⇔ 2x = –2 –2 x = –1 ⇔ Jadi, nilai x = –1. ⇔





⎛ 4 ⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a · b = ⎜ −1⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 4 × 2 + (–1) × 3 + (–2) × 1 =8–3–2=3

⎛ 10 ⎞ ⎜ − 13 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 24 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠

2 2 + ( − 1) + (−2)

=



 6 a⋅b   2 b = 25 |b|



= –6 + 2 – 2x = –4 – 2x 





= (–3) × 2 + (–2) × (–1) + x × (–2)

|n | =





=



a⋅b 







Proy Pr oyek eksi si vek vekto torr ortog ortogon onal al a pada b  

4. a.

+ 12



a = 2 i + k dan b = 3 i + 4 j











Proyeksi vektor a pada b

Proy Pr oyek eksi si sk skal alar ar or orto togo gona nall a pada b 

56



 ⎛2⎞ ⎛ −5 ⎞ 3. a = ⎜ 3 ⎟ dan b = ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a⋅b  = |b|

=

| b |2 = 9 + 16 + 0 = 25



a.

36 + 16 + 4

a · b = (2 i + 0 j + k ) · (3 i + 4 j + 0 k ) = 2 ×3 + 0× 4 + 1 ×0 =6+0+0=6

Proyeksi skalar a pada b a⋅b  |b|

=

= 2 14

64 + 36 + 100

=

(−6 6))2 + (−4 4))2 + (−2 2))2

m| = |2m |2

= –16 + 24 + 0 =8 |b | =

⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ 

a · b = (2 i + 4 j ) · (–8 i + 6 j + 10 k ) = 2 × (–8) + 4 × 6 + 0 × 10



⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ 2 m = 2 ⎜ −2 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ 

BA ⋅ BC   BC |BC|2 3× 6+4×0 62 + 02

⎛6⎞ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

Dengan demikian diperoleh:

⎛6⎞ = ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛6⎞ = 2 ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ = ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 18 36

   

b.



1 1 a = x î – 4 jˆ + × y kˆ = 2 î – 4 jˆ + × 12 kˆ 

2

= 2 î – 4 jˆ + 6 kˆ b = 2z î – y jˆ + 18 kˆ = 2 × 3 î – 12 jˆ + 18 kˆ = 6 î – 12 jˆ + 18 kˆ 

c = î – x jˆ + z kˆ = î – 2 jˆ + 3 kˆ 



BD = d – b ⎛3⎞ ⎛ −1⎞ ⎛2⎞ = ⇔ d = BD + b = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝0⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ ⎠ Jadi, koordinat titik D(2, –1).    













⎛ 2⎞ = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠











⎛ ⎞ ⎛ 2z ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = n ⎜ − y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ 18 ⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠



a = n b 

⇒


⎛ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜ ⎜ −12 ⎟ − ⎜ −2 ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ 18 ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝

⎛ 2⎞ a · ( b – c ) = ⎜ −4 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠

7. Vektor a , b , dan c segaris maka a = n b dan a = m c . 

2

⎛ 5 ⎞ ⎜ −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠

= 2 × 5 + (–4) × (–10) + 6 × 15 = 10 + 40 + 90 = 140 

Jadi, nilai a · ( b – c ) = 140. 



⎛ 4 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8. u = PQ = q – p = ⎜ a ⎟ − ⎜ 0 ⎟ = ⎜ −4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜a⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 4 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = PR = r – p = ⎜ −2 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠

   

–4 = –ny 1 y 2

4

n = y

⇔

= 18n



1 y 2

4

= y × 18 y2 = 4 × 36 ⇔ y = ±2 ±2 × 6 ⇔ = ±12 Oleh karena y bilangan bulat positif maka y = 12. ⇒

   



a = m c 

⇒

⇔

⇔

⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ −x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ y⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ −x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎜ ⋅ 12 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ x⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ −4 ⎟ = m ⎜ −x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ z⎠

Dari kesamaan vektor diperoleh: x = m × 1 ⇔ m = x –4 = m × (–x) ⇒ –4 = x × (–x (–x)) 4 = x2 ⇔ x = ±2 ⇔ Oleh karena x bilangan bulat positif maka x = 2. 6 = mz ⇒ 6 = xz 6 = 2z ⇔ z=3 ⇔







⎛4⎞ ⎛4⎞ u · v = ⎜⎜ a ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −2 ⎟⎟ = 4 × 4 + a × (–2) + (–4) × 4 ⎜ −4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 16 – 2a – 16 = –2a Proyeksi vektor ortogonal u pada v = –2 î + jˆ – 2 kˆ 









u⋅ v | v |2 







⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ v = ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ 

⎛4⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ −2 = ⎜ 1⎟ ⎟ 2 2 2 2 ⎜ ⎜ ⎟ 4 + (−2) + 4 ) ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ −2a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 ⎟ = ⎜ 1⎟ 16 + 4 + 16 ⎜ ⎜ 4 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2a

−

⇒

(

⇔

2a 36

−

⇔

⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜⎝ −2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

Matematika Kelas X

37

⇔

−

⇔

a 18

a 9

⇔

= 1

⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ = ⎜ 1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a.



−

2 , maka: p⋅q | q| 





⇒

1× 3 + (−5) 5) × 5 + (−a) a ) × (−4) 4) 32

+

⇔

⇔

52





9. Pro Proyek yeksi si skalar skalar ortogo ortogonal nal vekto vektorr p pada vektor 



  

Jadi, nilai a = 9.

q adalah

( 4)2

+ −

=

−

2

=

−

2



⎛ −4 ⎞ ⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB · AC = ⎜ 4 ⎟ · ⎜ 7 ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = –4 × (–7) + 4 × 7 + 7 × 0 = 28 + 28 + 0 = 56    

   

   

3 − 25 + 4a 9 + 25 + 16

=

4a − 22 50

=

−

−

2

   

  

AD =

   

Proyeksi vektor ortogonal q pada p : 



p = 

3 × 1 + 5 × (−5 5)) + (−4 4)) × (−3 3))

(

12 + (−5 5))2 + (− 3 3))2

)

2

  

AC

=

56 ( (−7)2 + 72 + 02 )2

=

56 49 + 49 + 0

=

56 98



q⋅p | p |2



p 

⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −7 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜7⎟ = ⎜4⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Jadi, proyeksi vektor AB pada AC adalah 4 7

3 − 25 + 12 = 1+ 25 + 9 ( î – 5 jˆ – 3 kˆ )

   

= =

10 ˆ ( i – 5 jˆ – 3 kˆ ) 35 2 – 7 ( î – 5 jˆ – 3 kˆ ) −

Jadi, proyeksi vektor ortogonal q pada p adalah 

2 – 7 ( î – 5 jˆ – 3 kˆ ).

38

Vektor

  

   

AB ⋅ AC |AC|2

2

4a – 22 22 = − 2 × 50 4a – 22 = –10 –10 ⇔ 4a = 12 ⇔ a=3 ⇔ Dengan demikian, diperoleh p = î – 5 jˆ – 3 kˆ . 

   

Proyeksi vektor ortogonal AB pada AC = AD

⇔



C(–2, 4, –6)

⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = ⎜ 1 ⎟ − ⎜ −3 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AC = c – a = ⎜ 4 ⎟ − ⎜ −3 ⎟ = ⎜⎜ 7 ⎟⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠    

a =9

⇔

D

A(5, –3, –6)

Dengan demikian, diperoleh: a 9

B(1, 1, 1)

10.

⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ a ⎜ −2 − ⎜ ⎟ = ⎜ 1⎟ 18 ⎜ 4 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ × (–2) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ˆ ˆ ⎜ 4 ⎟ atau –4 i + 4 j . ⎜0⎟ ⎝ ⎠

  

   

b.

BD merupakan garis tinggi segitiga ABC    

  

   

   

   

| BD | =

02

+

02

| AC| =

(−7)2 + 72 + 02

   

BD = BA + AD = AD – AB ⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎞ = ⎜⎜ 4 ⎟⎟ − ⎜⎜ 4 ⎟⎟ = ⎜0⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  

c.

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠

( 7)2

+ −

=

49 + 49 + 0

=

98

= 7 2 Luass segit Lua segitiga iga ABC ABC =

1 × 2

   

   

| AC | × | BD |

1

= 49 =7 Jadi, tinggi segitiga ABC = 7.

= 2 × 7 2 × 7 49

= 2

2

Matematika Kelas X

39


3)

EG = EH + EF

1. Jawaban: Jawaban: c Vektor-vektor di atas dapat dituliskan sebagai berikut.

4)

GB = GF + GC

5)

HA = HD + HE

   

  

   

⎛2⎞ ⎛ −2 ⎞ a = ⎜ 3 ⎟ d = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ b = ⎜ 2 ⎟ e = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ c = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ Jadi, ⎜ −2 ⎟ ditunjukkan oleh c . ⎝ ⎠ 

   

   

   

   

Jadi, pernyataan yang salah adalah pilihan 5. Jawaban: Jawaban: –



1 u – 3 













   

⇔



⇔



⇔







r = p + q ⎛8⎞ r = ⎜ −5 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ −6 ⎠

⎛4⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠

⎛ 12 ⎞ r = ⎜ −7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

  

  

  

 

1

7. Jawaban: Jawaban: D

v 

  

u 

w 

   

B

v 

E

C

= v + w +vv ) + ( v + +w BC – BD + AC = ( v – u + w ) – (– u + w) = v – u + w + u – v + v + w = v + 2 w 

b





AC = AD + DC





1 ⎛ −2 ⎞ −1 = 2 ⎜ ⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ Jadi, koordinat titik P(–1, 2).

   







4. Jawaban: Jawaban: b Pernyataan yang benar: 1) AF = AB + AE  

   

   

 

   

   

BD = BA + BC









Vektor

1

1 1 1 ⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎞ p = 2 BA = 2 ( a – b ) = 2 ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎠

   

   

 

⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −15⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠

Nilai x – y = –3 – (– 2 ) = –2 2

   



 

⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −15⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠

1

   

  



⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −15 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠



   

  

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 12 ⎟ + ⎜ 12y ⎟ ⎝ ⎠

–12y –1 2y = 6 ⇔ y = – 2

   

   





⇔

⎛ 3x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 12 ⎟ – ⎜0⎟ ⎝ ⎠

   

BC = BE + EC = AD + ( ED + DC ) = AD – DE + DC = v – u + w A BD = BA + AD = – AB + AD u = – u + v 

⇒

⎛ 3x ⎞ ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ −15 ⎟ = ⎜ −12y ⎟ ⎝ ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: 3x = –9 ⇔ x = – 3

e

   



⎛x⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ 4 ⎟ – 6 ⎜ 2 ⎟ + 3 ⎜ −5 ⎟ = ⎜ −15⎟ ⎜0⎟ ⎜ 2y ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠





p = r – q

Jadi, koordinat titik R(12, –7, –1).

 





c

p = QR ⇔


⎛ −3 ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ – 2 ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ −1⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎛ −7 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝0⎠ 1 3

6. Jawaban: Jawaban: e 3( a – 2b 2 b + c ) = –9 î – 15 jˆ + 6 kˆ ⇔ 3 a – 6 b + 3 c = –9 î – 15 jˆ + 6 kˆ




d

2v = –



40

   





2)

   


















b











5 d + 3 a + 2 b = 2 c + 3 d – 2 b 





⇔ 2 d = 2 c – 2 b – 3 a – 2 b 









= 2 c – 4 b – 3 a 



b.

⎛ −6 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 6 ⎞ = 4 ⎜ ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 39 ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛3⎞ ⎛5⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 2 ⎜ 4 ⎟ − 4 ⎜ 4 ⎟ − 3 ⎜ −8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 ⎟ − ⎜ 16 ⎟ − ⎜ −24 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ −20 ⎟ ⎜ 18 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 6 − 20 + 6 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 − 16 + 24 ⎟ = ⎜ −4 + 20 − 18 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2



⇔ d =

⎛ −8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 16 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 16 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

Jadi, vektor d = –4 î + 8 jˆ – kˆ . 


b

⎛ −2 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b – a = 3 – 4 = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x + 2⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎛6⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 AC = c – a = 1 – = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 10 ⎠    





1 ⎛ 0 ⎞ = 4 ⎜ 40 ⎟ = ⎝ ⎠

⎛0⎞ ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎠

Jadi, koordinat titik C(0, 10). 11. Jawaban: Jawaban: c A(2, 1, –4) dan B(2, –4, 6) AP : PB = 3 : 2 xP =

3 xB + 2 x A 3+2

=

6+4 3× 2 +2 ×2 = 5 5

yP =

3 yB + 2 y A 3+2

=

−12 + 2 3 × (−4) 4) + 2× 1 = 5 5

zP =

3zB + 2zA 3+2

=

3 × 6 + 2 × (−4 4)) 18 − 8 = 5 5

= 2 = –2

= 2

Diperoleh koordinat titik P(2, –2, 2).

⎛ −2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ PC = c − p = ⎜⎜ 5 ⎟⎟ – ⎜⎜ −2 ⎟⎟ = ⎜4⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Jadi, PC = –4 î + 7 jˆ + 2 kˆ .  





⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜7⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

 


c

3

  





Titik A, B, dan C segaris maka: ⎛ −6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ k −1 = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝x + 2⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −2k ⎞ ⎜ ⎟ −k = ⎜ −3 ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝ (x + 2)k ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: –2k = –6 ⇔ k = 3 (x + 2)k = 12 ⇒ (x + 2) × 3 = 12 12 ⇔ x +2=4 x=2 ⇔ Jadi, nilai x = 2.    

   

k AB = AC ⇒


a

⎛ −2 ⎞ ⎛6⎞ a = ⎜ 13 ⎟ dan b = ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Oleh karena AC : CB = 1 : 3 maka: 

–1 A

2

B

1

C

Titik C membagi garis yang melalui titik A dan B di luar dengan perbandingan 3 : 1 sehingga AC : CB = 3 : –1. Oleh karena AC : CB = 3 : –1 maka: 

3b − a 3 −1 

c = 

1



= 2 (3 b – a ) 

1 ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ = 2 ⎜ 3⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ 1 ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎞ = 2 ⎜⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝9⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ 1 ⎛ 4⎞ = 2⎜ ⎟ ⎝6⎠





1 b + 3a = 4 1+ 3 

c = 



( b + 3 a ) 

⎛ 2⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ Jadi, koordinat titik C(2, 3).

⎛ −2 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 6 ⎞ = 4 ⎜ ⎜ 1 ⎟ + 3 ⎜ 13 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

Matematika Kelas X

41



c

V

d

⎛3⎞ ⎜ 6 ⎟ – = q – p = PQ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

U

   



b



⎛ 0⎞ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠



⎛3⎞ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠



a S

T

3 5

R



c

32 + 32 + (−3)2

  

| PQ | =

Q

=

9+9+9

=

27 = 3 3



b

2

  



a

O

Vektor satuan dari PQ :

P

  

PQ |PQ|

W

  

    

   



   

OQ = OP + OR = a + b     



   

     

2

   

2

   

2

   

=

     

UW : QW = 5 : 2 maka UQ : QW = 3 : 2 Dengan demikian, 2

QW = 3 UQ = 3 (– OS ) = 3 (– c ) = – 3 c 



1 (3 î + 3 jˆ – 3 3 1 ˆ ( i + jˆ – kˆ ) 3

=

3 kˆ )

16. Jawaban: Jawaban: b A(1, –4), B(4, 3), dan C(2, –5) ⎛ 1⎞ ⎛4⎞ ⎛2⎞ a = ⎜ −4 ⎟ , b = ⎜ 3 ⎟ , dan c = ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ AC = c – a = ⎜ −5 ⎟ – ⎜ −4 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −2 ⎞ BC = c – b = ⎜ −5 ⎟ – ⎜ 3 ⎟ = ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ AC · BC = ⎜ −1⎟ · ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 1 × (–2) + (–1) × (–8) = –2 + 8 =6 

    

   



     

OW = OQ + QW 2



= ( a + b ) – 3 c 

2





   



= a + b – 3 c 



yS = zS =

xP + xQ 2 yP + yQ 2 zP + zQ 2

=

2+2 = 2

2

=

4+0 = 2

2

=

5+1 = 2

3

   

zT =

xQ + xR 2+6 = 2 = 4 2 yQ + yR 0+2 = 2 = 1 2 zQ + zR 1+ 3 = = 2 2 2

  

42

2

2

(4 − 2) + (1− 2) + (2 − 3)

=

4 + 1+ 1

=

6

Vektor

6.



a · b = | a | | b | cos 45° 1

= 4 × 3 × 2 2 = 6 2 1

=

Jadi, panjang ST =

c



e

( 2 u ) · v = 7

(x T − x S )2 + (y T − y S )2 + (z T − z S ) 2 2




Diperoleh koordinat titik T(4, 1, 2). Panjang ST: | ST | =

   


Diperoleh koordinat titik S(2, 2, 3). Titik T merupakan titik tengah QR maka:

yT =







xT =



   

14. Jawaban: Jawaban: d Titik S merupakan titik tengah PQ maka: xS =







⎛4⎞ ⎜ ⎟ · ⎜ −6 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠

⇒

1 2

⇔

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ · ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = 7 ⎜a⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = 7 ⎜a⎟ ⎝ ⎠

⇔ 2 × (–1) + (–3) × (–2) + 3 × a = 7 ⇔ –2 + 6 + 3a = 7 ⇔ 4 + 3a = 7 3a = 3 ⇔ a=1 ⇔

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ Dengan demikian, v = ⎜ −2 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ u + 2 v = (4 î – 6 jˆ + 6 kˆ ) + 2(– î – 2 jˆ + kˆ ) = 4 î – 6 jˆ + 6 kˆ – 2 î – 4 jˆ + 2 kˆ

12 + 12 + 22 = 1+ 1+ 4 = 6 Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah α. 







e







25 + 25 + 25 =

G

F

3 × 25 = 5 3

A(0, 0, 0, 0)

20. Jawaban: Jawaban: a p = î + 2 jˆ dan q = 4 î + 2 jˆ 

=



1× 4 + 2 × 2 2

2

1 +2 × 4 +2 4+4

5

3 2



   

θ 4

22 + 02 + 02

=    

| BH| =

4 = 2

(−2)2 + 42 + 42

=

4 + 16 + 16

=

36 = 6    

Misalkan θ = sudut antara AB dengan BH .    

cos θ = =

c

a · b = (4 î – 2 jˆ + 2 kˆ ) · ( î + jˆ + 2 kˆ ) 



   

5 × 20 8 4 = 10 = 5 4 3 cos θ = 5 ⇔ sin θ = 5 3 Jadi, nilai sin θ = 5 .




| AB | =



2

   

AB = b – a = (2 – 0) î + (0 – 0) jˆ + (0 – 0) kˆ = 2 î + 0 jˆ + 0 kˆ

   

p⋅q |p||q|

=

X

AB · BH = 2 × (–2) + 0 × 4 + 0 × 4 = –4 + 0 + 0 = –4





Y

C(2, 4, 0)

B(2, 0, 0)

   



cos θ =

D(0, 4, 0)

BH = h – b = (0 – 2) î + (4 – 0) jˆ + (4 – 0) kˆ = –2 î + 4 jˆ + 4 kˆ







H(0, 4, 4)

E

Jadi, panjang ( a – b ) adalah 5 3 .



1

Z

(−5 5))2 + (−5 5))2 + (−5 5))2

=

6

= 12 = 2

22. Jawaban: Jawaban: b Posisi balok dapat digambarkan sebagai berikut.





6 2 6× 6



⎛4⎞ Oleh karena x < 0, maka x = –2 dipero diperoleh leh a = ⎜ −2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a – b = −2 – 3 = ⎜ −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ −5 ⎠ 

=

Oleh karena cos α = , diperoleh α = 60°. 2 Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah 60°.

a · b = a · a 



| a – b | =







1



⎛ 4 ⎞ ⎛9⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ 2 3 − ⇒ ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x ⎠ 36 – 6 + 3x 3x = 16 + 4 + x2 ⇔ ⇔ x2 – 3x 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 ⇔ ⇔ x – 5 = 0 ata atau u x+ 2= 0 ⇔ x = 5 atau x = –2



a⋅b |a||b|

cos α =

a · b = | a |2 ⇔ 

24 = 2 6

|b | =

= 2 î – 10 jˆ + 8 kˆ 19. Jawaban: Jawaban:

16 + 4 + 4 =

= 





42 + (−2)2 + 22



|a | =



   

   

AB ⋅ BH |AB||BH| −4 2× 6    

   



= 4 × 1 + (–2) × 1 + 2 × 2 =4–2+4=6

=–

1 3    

   

Jadi, nilai kosinus sudut antara AB dan BH adalah 1 3

– .

Matematika Kelas X

43


⇔ ⇔ ⇔

d

a · a = | a |2 = 42 = 16 











b · b = | b |2 = 62 = 36 



| a + b | = 8 ⇔

| a + b |2 = 82

⇔

( a + b ) · ( a + b ) = 64



















⇔ a · a + 2 a · b + b · b = 64 







⇔

16 + 2 a · b + 36 36 = 64 64

⇔

2 a · b = 12





⇔ 







a · b = 6 



| a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b ) 
















b

⎛0⎞ PQ = q – p = ⎜ 4 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝5⎠

⎛a⎞ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛ 2⎞ QR = r – q = ⎜ 5 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝c⎠

⎛ 0⎞ ⎜ 4 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

  





   





⎛ −a ⎞ ⎜ 6⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

⎛ 2 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c − 5⎠

   

  

PQ tegak lurus QR berarti:







d

Misalkan θ = sudut antara u dan v . 



5

1

tan θ = 2 5 = 2

θ

2

maka cos θ = 3

2

( a + b ) · c = (5 î – 5 jˆ – kˆ ) · (4 î – 3 jˆ + 5 kˆ ) = 5 × 4 + (–5) × (–3) + (–1) × 5 = 20 + 15 – 5 = 30 





3





4a + 7 × 4 + 8 × (− 2) 2) 2

2

2

4 + 4 + ( − 2)

4a + 12 36 2a + 6 6 2a + 6 2

⇔ ⇔ ⇔

Vektor

=

2 3

=

2 3



2

= 3

1

= 3 =1



Proyeksi skalar ortogonal ( a + b ) pada c 



(a + b) ⋅ c |c| 30 

= =





42 + ( −3)2 + 52 30 16+9+25

= =

30 50

=

30 5 2

=

6 2

=

6 2

2

=3 2 27. Jawaban: Jawaban: b P(1, –3), Q(2, –1), dan R(4, 1)    

PQ = q – p 



⎛2⎞ = ⎜ −1⎟ – ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ = ⎜2⎟ ⎝ ⎠

5

u⋅ v | v|

44

a

a + b = (3 î – 4 jˆ – 4 kˆ ) + (2 î – jˆ + 3 kˆ ) = 5 î – 5 jˆ – kˆ

2

cos θ = 3

⇒



   

2(c – 5) = 0 PQ · QR = 0 ⇒ –2a + 6 + 2(c ⇔ –2a + 6 + 2c 2c – 10 10 = 0 –2(a –2 (a – c) c) = 4 ⇔ a – c = –2 –2 ⇔ Jadi, hasil a – c = –2.   





= a · a – 2 a · b + b · b = 16 – 2 × 6 + 36 = 52 – 12 = 40 Jadi, hasil | a – b | = 40 = 2 10 . 

⎛ −2 ⎞ Dengan demikian, diperoleh u = ⎜ 7 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛4⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u + v = 7 + 4 = ⎜ 11⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝6⎠ Jadi, vektor posisi dari ( u + v ) adalah 2 î + 11 jˆ + 6 kˆ . 







2a + 6 = 2 2a = –4 a = –2

⎛ 1⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

   

PR = r – p 



⎛4⎞ = ⎜ 1 ⎟ – ⎝ ⎠ ⎛3⎞ = ⎜4⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠



   

   

Proyeksi skalar ortogonal PQ pada PR 

a ⋅b | b |2

1 = 14



 

 

PQ ⋅ PR |PR|

=

  

1× 3 + 2 × 4

=

2

3 +4

11

1

= 5 = 2 5

2



28. Jawaban: Jawaban: e a = –3 î – jˆ + x kˆ

⇒



b = 3 î – 2 jˆ + 6 kˆ 



b

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = 1 ⎜2⎟ ⎜ −2 ⎟ 14 ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7 − 2x ( 32 + (−2)2 + 12 )2



a · b = –3 × 3 + (–1) × (–2) + x × 6 

= –9 + 2 + 6x = –7 + 6x 

⇔

32 + (−2)2 + 62

|b | = =

9 + 4 + 36

=

49 = 7  



−7 + 6x 7





5 ⇒

⎛3⎞ 1 ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ −2 ⎟ = – 14 ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh: 7 − 2x = 14

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

1

– 14

⇔ 7 – 2x = –1 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4 Jadi, nilai x = 4.

=5

⇔ –7 + 6x = 35 35 ⇔ 6x = 42 42 x=7 ⇔ Jadi, nilai x = 7.

B. Ura Uraian ian

1. a. 29. Jawaban: Jawaban:

⎛3⎞ ⎛3⎞ 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = – 14 ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7 − 2x 14

Proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah 5, berarti: a⋅b = |b|

7 − 2x 9 + 4 +1

H

v 

d

G

E 

F





w 

Proyeksi vektor ortogonal p pada q adalah r . 



r =



p⋅q 

q

2



q=

4 × 1 + (−5) 5)× (− 1) 1) + 3× 2

(

12 + (−1)2 + 22

=

4+5+6 1+ 1 + 4

=

15 6

)

2



q

u 

D A



q

 

B  

  

AH = AE + EH



q

  

   

= CG + EH    

   

=

5 2

= – GC + EH = – w + v



q





   

  

   



   

c

  

   

   

= – GC + DC – EH

a · b = (2 î + x jˆ + kˆ ) · (3 î – 2 jˆ + kˆ ) 

= 2 × 3 + x × (–2) + 1 × 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

 

  

   

1 (–3 î + 14

   

= CG + ( HG + GF ) = – GC + DC + HE



c =

 

DF = DH + HF

q.

Jawaban: 30. Jawaban:







Jadi, proyeksi vektor ortogonal p pada q adalah 5 2

C

= – w + u – v 

 





   

BC = EH = v AH + DF + BC = – w + v – w + u – v + v = u + v – 2 w  



   

 





2 jˆ – kˆ )















Matematika Kelas X

45

b.

H

v



G

E

F

D

w

a.



u

⎛ −3 ⎞ u + v = ⎜ −1⎟ + ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠ 



A

⎛ −6 ⎞ = ⎜⎜ 7 ⎟⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

C

B    

   

   

AC = AD + DC = EH + DC   

   

b.

= v + u 



 

  

 

DE = DH + HE

⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ 4 u – 2 v = 4 ⎜ −1⎟ – 2 ⎜⎜ 8 ⎟⎟ ⎜3⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 



   

   

= CG – EH

⎛ −12 ⎞ = ⎜⎜ −4 ⎟⎟ – ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠

   

   

= – GC – EH = – w – v 

   

⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜8⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠





   

⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 16 ⎟ ⎜ −12 ⎟ ⎝ ⎠

   

BH = BF + FH  

   

⎛ −6 ⎞ = ⎜⎜ −20 ⎟⎟ ⎜ 24 ⎟ ⎝ ⎠

   

= CG + ( FE + EH )   

   

   

= – GC + CD + EH = – GC – DC + EH   

  

   

= – w – u + v 

  

   





   

AC + DE – BH = v + u – w – v – (– (– w – u + v ) = v + u – w – v + w + u – v = 2 u – v 





















⇔





c = 3 a + 4 b 





⎛7⎞ ⎛ −1⎞ = 3 ⎜ −5 ⎟ + 4 ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



2. u = PQ = q – p

⎛ −4 ⎞ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 21 ⎞ = ⎜ −15 ⎟ + ⎝ ⎠



⎛ 1⎞ = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ – ⎜6⎟ ⎝ ⎠











2 a + 4 b = c – a





   



3. a.

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

⎛ 17 ⎞ = ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ 

b.

⎛ −3 ⎞ = ⎜⎜ −1⎟⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠    

6 a – 5 b + 2 c = 3 a + 4 c 











⎛ −3 ⎞ = ⎜⎜ 8 ⎟⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎝ ⎠

Vektor



⎛7⎞ ⎛ −1⎞ = 3 ⎜ −5 ⎟ – 5 ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −2 ⎞ = ⎜⎜ 5 ⎟⎟ – ⎜0⎟ ⎝ ⎠

46



⇔ 2 c = 3 a – 5 b

v = QR = r – q 



⎛ 21 ⎞ = ⎜ −15 ⎟ – ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜6⎟ ⎝ ⎠

⎛ −5 ⎞ ⎜ 15 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 26 ⎞ = ⎜ −30 ⎟ ⎝ ⎠ ⇔

c = 

1 2

⎛ 26 ⎞ ⎜ −30 ⎟ = ⎝ ⎠

⎛ 13 ⎞ ⎜ −15 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ 4. a = ⎜ 0 ⎟ , b = ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ , dan c = ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠







⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜x + y⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

xC =

2xB + (−1) × x A 2 −1

=

2 × 3 + (− 1) × 1 1

AB = k AC ⇒ b – a = k( c – a ) 





⎛x⎞ ⇒ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ – ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

2yB + (−1) × yA 2 −1

yC =

Titik A, B, dan C segaris jika AB = k AC.

=

2 × 1+ (−1) × 2 1

zC =

2zB + (−1) 1) × zA 2 −1

=

2 × 2 + (− 1) × 3 1



⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟=k ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎛ 6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ x + y⎟ − ⎜ 0 ⎟⎟ ⎜ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝

⎛ x + 2⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ 3 ⎟ = k ⎜⎜ x + y ⎟⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dari kesamaan vektor diperoleh:

5

= 0

=1

Jadi, koordinat titik C(5, 0, 1).    

b.

AC = c – a 



⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ – ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

1

–2 = k(–4) ⇔ k = 2

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

1

x + 2 = k × 8 ⇒ x + 2 = 2 × 8 ⇔ x +2=4 ⇔ x=2 1

⇒

3 = k(x + y)

   

⎢AC ⎢=

3 = 2 (2 + y) 6= 2+ y y=4

⇔ ⇔



⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟ · ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛⎛ 6 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ 6 ⎟ − ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −3 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜3⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

   

2 –1

   



⎛ −4 ⎞ ⎜7⎟ ⎜ ⎟ , dan c = ⎝5⎠ 

⎛2⎞ ⎜4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠

AP : PB = 2 : 1 

2b + a 2+1 



p = =

1 3



(2 b + a ) 

⎛ ⎛ −4 ⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟⎟ 2 7 = ⎜⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ −1⎠ ⎝ ⎝ 5 ⎠ ⎛ ⎛ −8 ⎞ ⎛2⎞ 1 ⎜⎜ ⎟ 14 = 3 ⎜ + ⎜ 4 ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ −1⎠ ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎛ −6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 = ⎜ 18 ⎟ = ⎜ 6 ⎟ 3 9 ⎝ ⎠ ⎝3⎠ Jadi, koordinat titik P(–2, 6, 3). 1 3

Jadi, nilai AB · AC = 29.

   

⎛2⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ 4 ⎟ , b = ⎝ −1⎠ 

a.

= 4 × 4 + 3 × 3 + (–2) × (–2) = 16 + 9 + 4 = 29

A(1, 2, 3)

6. A(2, 4, –1), –1), B(–4, B(–4, 7, 5), 5), dan dan C(2, C(2, 4, –5) –5)



⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎜ 3 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ ⎟ · ⎜ ⎜ −1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

5. a.

24



AB · BC = ( b – a ) · ( c – b )

 

=

   





16 + 4 + 4

Jadi, panjang vektor AC adalah 2 6 .



 

=

= 2 6

⎛2⎞ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Dengan demikian, diperoleh b = ⎜ 3 ⎟ dan c = ⎜ 6 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠  

42 + (− 2 2))2 + (− 2 2))2

B(3, 1, 2)    

C(xC, yC, zC)    

AC : BC = 2 : 1 ⇔ AC : CB = 2 : –1

Matematika Kelas X

47

   



8.

u = AB = b – a

b.





u 

⎛ −6 ⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ = ⎜ 7 ⎟ – ⎜ 4 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ −1⎠

u 

w 

30°

90°

90° v 

   

v = CP = p – c 





Dari gambar di atas terlihat bahwa ∠( u , w ) = 30°. Vektor u dan v saling tegak lurus maka u · v = 0. 



⎛ −2 ⎞ = ⎜ 6 ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛ −6 ⎞ u · v = ⎜ 3 ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 



⎛2⎞ ⎜ 4 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠

⎛ −4 ⎞ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠

= 24 + 6 + 48 = 78 7.







v · w = | v | | w | cos ∠( v , w ) = 8 × 6 cos 120° 











1

= 8 × 6 × (– 2 ) = –24 u · w = | u | | w | cos ∠( u , w ) 











= 4 × 6 cos 30° 1

=4×6× 2 3

Jadi, hasil u · v = 78. 





A

= 12 3

θ

| u + v + w |2 





= ( u + v + w ) · ( u + v + w ) 











= u · u + u · v + u · w + u · v + v · v 



















+ v · w + u · w + v · w + w · w 

B

C

   



























 

   

⎛ −2 ⎞ = ⎜ −4 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝2⎠

= 42 + 82 + 62 + 2 × 0 + 2 × 12 3 + 2 × (–24)

⎛0⎞ ⎛2⎞ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝ 1⎠    

cos ∠BAC =

= = = = = = =

   

AB ⋅ AC | AB||AC|    

= 16 + 64 + 36 + 0 + 24 24 3 – 48 = 68 + 24 3 Jadi, | u + v + w | = 68 + 24 3 . 







a ⋅b |b| 

24 × 18 18 24 × 18

x(−2) + y(4) + 12(−4)

⇔

−2x + 4y − 48 4 + 16 + 16

=– 3

⇔

−2x + 4y − 48 6

=– 3

⇔ ⇔ ⇔

18 24 18 24

=– 3

⇒

4 + 16 16 + 4 × 0 + 9 + 9 0 + 12 + 6

19



(−2)2 + (−4)2 + 22 × 02 + (−3)2 + 32

−2 ×0 + (−4) 4) × (−3) 3) + 2× 3

19

9. Proy Proyeks eksii skala skalarr ortogo ortogonal nal a pada b = – 3 

⎛ −2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ −4 ⎟ ⋅ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠

3 4



   

(−2)2 + 42 + (−4)2

19

=– 3

19 19

–2x + 4y 4y – 48 = –38 –38 –2x –2 x + 4y = 10 10 x = 2y – 5

. . . (1)

Panjang vektor a = 13 

1

= 2 3 1

Oleh karena cos ∠BAC = 2 3 maka ∠BAC = 30°. Jadi, besar ∠BAC = 30°.

Vektor



= | u |2 + | v |2 + | w |2 + 2 u · v + 2 u · w + 2 v · w

AC = AB + BC

48





⇒

x2 + y 2 + 122 = 13

⇔

x2 + y2 + 144 = 169 169

⇔

x2 + y2 = 25

. . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) diperoleh:

⎛2⎞ = ⎜ −4 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠

(2y – 5) 2 + y2 = 25

⇔ 4y2 – 20y + 25 + y 2= 25 ⇔

5y2 –

20y 20 y=0

⇔

y2 – 4y 4y = 0

⇔

y(y y( y – 4) = 0

⇔

y = 0 atau atau y = 4

b.

⎛5⎞ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ Proy Pr oyek eksi si vek vekto torr ortog ortogon onal al c pada a 

=

c.a | a |2

=

5 × 1 + (−3) 3 ) × (−2) 2 ) + (−5) 5) × (−1) 1) 12 + (− 2 2))2 + (− 1)2

=

16 6



Untuk y = 0 ⇒ x = 2(0) – 5 = –5 Untuk y = 4 ⇒ x = 2(4) – 5 = 3 Jadi, nilai x = –5 dan y = 0 atau x = 3 dan y = 4. ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 10. a = ⎜ −2 ⎟ dan b = ⎝ −1⎠ 



a.

⎛3⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠

⎛3⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠









a

⎛ 1⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ −2 ⎟ = 8 ⎜ −2 ⎟ 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎝ −1⎠



c = 2 a + b 



Jadi, proyeksi vektor ortogonal c pada a adalah 

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ = 2 ⎜ −2 ⎟ + ⎝ −1⎠

⎛3⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠

8 ˆ (i 3



– 2 jˆ – kˆ ).

Matematika Kelas X

49

4. Jawaban: d

A. Pilihla Pilihlahan han Ganda Ganda

1. Jawaban: c

6 a + b =  −4  +   5   



 3  −4  3     a – 2 b + 3 c = a = 1 – 2 3 + 3  −2         2 5 2       



3   2  1  





3 =  1  –   2  

9 =  −2    6   



| a + b | = =

92

2

+ (−2)

+



62

 20  =  −11    −2   



Jadi, panjang a + b adalah 11. 2. Jawaban: d 



 20  Jadi, a – 2 b + 3 c =  −11 .    −2   

 

1

= AD + 2 · DC 



1



| AC | =

1 

= v + 2 u

=

3. Jawaban: b 











 



















 















Ulangan Akhir Semester

A



12



= 144 

9 cm 

Jadi, u · v = 144.

Jadi, 2 a – 3 b = 16 i – 12 j + 3 k .

50



v

= 12 · 15 · ( 15 ) 

= 16 i – 12 j + 3 k 

2

u · v = | u | · | v | · cos

= 10 i – 6 j + 12 k + 6 i – 6 j – 9 k 

C

144 + 81



2 a – 3 b = 2(5 i – 3 j + 6 k ) – 3(–2 i + 2 j + 3 k ) 

+9

225 = 15

b = –2 i + 2 j + 3 k 

122

D

=

a = 5 i – 3 j + 6 k 



5. Jawaban: d

= AD + 2 · AB 





AE = AD + DE 

9    −6  6  

 3+8+9  =  1− 6 − 6     2 − 10 + 6   

81 + 4 + 36

= 121 = 11

 −8    + 6  10   



∠( u ·



u 12 cm

v)

B

6. Jawaban: b

9. Jawaban: d

3  −5   −2           | a + 3b 3 b – 2 c | =  −1 + 3  2  − 2  4  2  4  4      





cos α =

a⋅b   | a| a| ⋅| b |

 3   −15   −4       =  −1 +  6  −  8   2   12   8       





2  a =  0  , b =   3  

109

109 .



Jika AB = BC ma mak ka B – A = C – B ⇔ 2B = C + A ⇔





2 2 ⋅ 3 2 ⋅ ( −3)2

0 29 ⋅ 22

 −3    , dan c = 1   n + 2  

 ⇔

⇔



m    −2   −1  







b – a = k · ( c – a )  m   2 2   = k       −2  −  0   0 3   −1  3        

 −3    –  1  n + 2  

1

B = 2 (C + A)

⇔

B=

⇔

B=

1 ((3, 6) + (–1, 2)) 2 1 (2, 8) = (1, 4) 2

Jadi, titik B adalah (1, 4). 8. Jawaban: b

⋅

Titik A, B, dan C segaris jika AB = k · AC AB = k · AC

7. Jawaban: d 

42

=0 = 0 maka α = 90°



Jadi, nilai | a + 3 b – 2 c | =

2

+2 +

10. Jawaban: c

64 + 9 + 36 = 

32



(−8) 8 )2 + (−3) 3 )2 + (6)2

=

α

3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ (−3)

Jadi, besar sudut antara vektor a dan b adalah 90°.

 −8    −3 =   6   =

= =

karena cos

 3 − 15 + 4    −1 + 6 − 8  =   2 + 12 − 8   





Misalkan α = sudut antara vektor a dan b .



c = m a + n b

⇔

 −5  m − 2   =k   1   −2   n − 1  −4     

Dari kesamaan vektor diperoleh: •

1 = k(–2)

⇔ k

•

–5 = k(m – 2)

8  −6   −5    = m   + n    −7  5 4 0  −2   −3        Diperoleh 8 = –6m – 5n . . . (1) –7 = 5m + 4n . . . (2) 0 = –2m – 3n . . . (3) Eliminasi n dari persamaan (1) dan (2) 8 = –6m – 5n | × 4 | 32 = –24m –24m – 20n –7 = 5m + 4n | × 5 | –35 = 25m + 20n 20n ––––––––––––––– + –3 = m Substitusi m = –3 ke persamaan (1) 8 = –6(–3) –6(–3) – 5n ⇔ 8 = 18 – 5n ⇔ 5n = 10 n=2 ⇔ Nilai m – n = –3 – 2 = –5 Jadi, nilai m – n = –5.

1

=–2

–5 = – 2 (m – 2)

⇔

–5 = – 2 m + 1

⇔ ⇔

•

n – 1 = k(–4)

1

⇔

1

1 m 2

=6

m = 12 1

⇔

n – 1 = – 2 (–4)

⇔

n –1 = 2

n = 3 Jadi, nilai m – 4n = 12 – 4(3) = 0. ⇔

11. Jawaban: d

x    a =  3  ; b =  2   

2    −6  3  

Matematika Kelas X

51





14. Jawaban: c

| a | = |b |b |

2 AB = b – a =  7  –   8  

2 2 2 x 2 + 32 + 22 = 2 + (−6) + 3 2 13 + x = 49 2 x = 36 x=±6

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

6   Untuk x = 6 maka a =  3  .  2     a · b = 6 × 2 + 3(–6) + 2 × 3 = 12 – 18 + 6 =0









1 



1  1 = AB 3 3



AC =

 3  =  6 9  











AC = c – a

⇔



a · b = –6 × 2 + 3(–6) + 2 × 3 = –12 – 18 + 6 = –24 





 1  p    =   –  2   q 3  r     

 −1    1  −1  

 p   1   =   +  q  2   r   3    

 −1    1  −1  





0 = 3   2  

Oleh karena a · b < 0 berarti a dan b membentuk sudut tumpul. Jadi, pernyataan yang benar pilihan d. 12. Jawaban: a 

Jadi, koordinat titik C adalah (0, 3, 2).



a · b = 16 (–5)) = 16 ⇔ (3 × 2) + (–4 × m) + (2 × (–5)) 6 – 4m 4m – 10 10 = 16 ⇔ ⇔ –4m = 20 20 ⇔ m = –5 Diperoleh: 













15. Jawaban: d Menentukan Q dengan rumus perbandingan vektor. 

q =















a + b = (3 i – 4 j + 2 k ) + (2 i – 5 j – 5 k ) 





= 5 i – 9 j – 3 k 

















(zu = 1)

w = 2 i + j – 3 k (zw = –3)

⇔













p = 4 u – 2 v – w zp = 4zu – 2zv – zw = 4 × 1 – 2 × (–2) – (–3) = 4 + 4 + 3 = 11  Jadi, komponen vektor p pada arah sumbu Z adalah 11. 52

(9, − 24, 15 15) + (−4, 4, 4, − 10) 5

=

(5, − 20, 5) 5) 5








⇔ ⇔



=

AB : AC = 3 : 2

v = – i + 4 j – 2 k (zv = –2)



3(3, − 8, 5) 5) + 2(−2, 2, 2, − 5) 5

CQ = q – c = (1, –4, 1) – (–3, –2, 1) = (4, –2, 0) 



u = 4 i – 2 j + k 

=

16. Jawaban: d

13. Jawaban: a 



= (1, –4, 1) Menentukan vektor CQ 

Jadi, hasil a + b adalah 5 i – 9 j – 3 k . 



3b + 2a 2+3



a = 3 i – 4 j + 2 k dan b = 2 i – 5 j – 5 k Sehingga 

 1   2 3  

Misalkan koordinat titik C adalah (p, q, r) maka:

Oleh karena a · b = 0 maka a dan b membentuk sudut 90°.  −6     Untuk x = –6 maka a =  3  . 2   

 3    6 9  

Karena AC = 3 AB maka vektor AC adalah





 −1   =  1  −1  

⇔



3 AC = 2 AB     3( c – a ) = 2( b – a )     3 c – 3a 3 a = 2 b – 2 a    3 c = 2 b + a 













⇔

3 c = 2(– i + 2 j + 5 k ) + (5 i – 7 j + 5 k )

⇔

3 c = 3 i – 3 j + 15 k

⇔



 











c = i – j + 5 k

Jadi, koordinat titik C adalah (1, –1, 5).

17. Jawaban: a

m AB = B – A =  5  – n  

 −1   = 3  1  



 −7  AC = C – A =  7  – 3  

 m + 1    2   n −1  

 −1   = 3  1  



⇔

  4 2  

⇔

⇔

c =

⇔

c = (2 i – 5 j + k )











19. Jawaban: c

 −6    4 2  





3

Diketahui | a | = 4, | b | = 14, cos α = 7  





 −6 





(4 i − 10 j + 2k ) 2   

Jadi, c = 2 i – 5 j + k .

Titik A, B, dan C segaris, maka berlaku k · AB = AC .

 m + 1 k  2  =    n −1  





 k(m + 1)    =  2k   k(n − 1)   

 −6    4 2  

cos

α

⇔

3 7

⇔

3 7









=

a ⋅b   | a| a| ⋅| b |

=

a ⋅b 4 ⋅ 14

=

a ⋅b 56

 

 

Dari kesamaan vektor diperoleh: 2k = 4 ⇔ k = 2 k(m + 1) = –6 ⇔ 2( 2(m m + 1) 1) = –6 m + 1 = –3 –3 ⇔ ⇔ m = –4 k(n – 1) = 2 2(n n – 1) = 2 ⇔ 2( n– 1= 1 ⇔ ⇔ n=2 Sehingga A = (–1, 3, 1), B(–4, 5, 2), dan C(–7, 7, 3)

Dicari nilai a ( a + b )

 −7  BC = C – B =  7  –   3  

Jadi, nilai a ( a + b ) = 40.



 −4    = 5 2  

 −3    2  1  

a · b =

3 ⋅ 56 7

a · b = 24 



















a ( a + b ) = a · a + a · b 





= | a |2 + a · b = 42 + 24 = 16 + 24 = 40 





20. Jawaban: c









Diketahui | a | = 12, | b | = 8, sudut a dan b = 60°,

 −4  AB = B – A =  5  – 2   

 −1   = 3  1  

 −3    2  1  





1

= 96 · 2 = 48

AB : BC = (–3, 2, 1) : (–3, 2, 1) = 1 : 1 



Jadi, AB : BC = 1 : 1. 





A

2



⇔

⇔



b



a

c =

3b − a 2



3(3 i

 −4j +







(9 i − 12 j + 6k ) − (5 i − 2 j + 4k ) 2

c = c =



1









2k ) − (5 i − 2 j + 4k ) O 2 











 







= ( a )( a ) – 2 a b + ( b )( b )

C

 





= | a |2 – 2 a b + |b | b |2 = 122 – 2 · 48 + 8 2 = 144 – 96 + 64 = 112



c













B



( a – b )2 = ( a – b )( a – b )

n

1a + 2c

2 c = 3 b – a ⇔



m



b = m+n





Akan dicari panjang ( a – b )

18. Jawaban: c 





a · b = | a | | b | cos α = 12 · 8 · cos 60°









misal α = sudut antara a dan b .





maka |( a – b )| =

112

=4 7 



Jadi, panjang ( a – b ) adalah 4 7 .

Matematika Kelas X

53

21. Jawaban: c cos

=

θ

cos 60 = 



a · b =

23. Jawaban: b

  a ⋅b   |a || b | a ⋅b

4⋅5 1 · 4 2



























( a + b )( a + b ) = ( a )2 + 2 a · b + ( b )2



(24, − 6, − 12) 6



















⇔

| a |2 + 2 · a · b + | b |2 = 13

⇔

52 + 2 a · b + ( 4 3 )2 = 13







m(–4) + 2(m – 2) + 5 · 2 = 0 m(–4) –4m + 2m – 4 + 10 = 0 –2m = –6 –6 ⇔ m=3 ⇔ Jadi, nilai m = 3.





25. Jawaban: a Menentukan nilai m terlebih dahulu. Oleh karena a dan b tegak lurus, maka berlaku:



25 + 2 a · b + 48 48 = 13 13 



⇔

2 a · b = 13 – 25 –48

⇔

2 a · b = –60

⇔

a · b = –30













Misalkan α = sudut antara vektor a dan vektor b . 

a ⋅b   | a| a| ⋅| b |







(3m · 3) + (5m (5m · (–3)) + (–6 · 8) 8) = 0 ⇔ 9m – 15m – 48 = 0 –6m = 48 48 ⇔ ⇔ m = –8 Dengan demikian, diperoleh: 













a = 3m i + 5m j – 6 k = –24 i – 40 j – 6 k

−30

= 5 4 3 ⋅















c = –10 i – 8 j + 2m k = –10 i – 8 j – 16 k

30

= – 20 3 = – 2 3 ·



(3m i + 5m j – 6 k )(3 i – 3 j + 8 k ) = 0

⇔



Dipunyai | a | = 5, | b | = 4 3 , a · b = –30

3



 ⇔







a · b = 0





⇔

⇔







a · b = 0



a · a + 2 · a · b + b · b = 13

⇔

Sehingga: 















a – c = (–24 i – 40 j – 6 k ) – (–10 i – 8 j – 16 k )

3 3







= –14 i – 32 j + 10 k

3

=–6 3











Jadi, a – c = –14 i – 32 j + 10 k .

1

=–2 3

26. Jawaban: c 1

Karena cos α = – 2 3 , maka α = 150°. 



Jadi, sudut antara vektor a dan b adalah 150°.

•









a · b = 0 

⇔

⇔






a tegak lurus b maka a · b = 0

⇔

54







⇔

=

=

Jika vektor a dan vektor b saling tegak lurus,

( a + b )( a + b ) = 13

α

(−1, 4, 4, 3) 3) + (25, − 10, − 15) 6



b

maka θ = 90°, akibatnya a · b = 0. 

cos

=

24. Jawaban: a

22. Jawaban: d



a



Jadi, nilai ( a + b )( a + b ) = 61.



k

Jadi, vektor posisi k adalah (4, –1, –2).





B

= (4, –1, –2)



= | a |2 + 2( a · b ) + | b |2 = 42 + 2 · 10 + 5 2 = 61



5 

(−1, 4, 4, 3) 3) + 5(5, − 2, − 3) 6





Maka dipunyai | a | = 4, | b | = 5, a · b = 10

K



= ·5





1

A



b + 5a 1+ 5

k =

a · b = 10

⇔















(5 i + m j + 3 k )( )(n n i + 7 j + 2 k ) = 0 (5n + 7m + 6) 6) = 0 5n + 7m = –6 . . . (1) (1)



•







b tegak lurus c maka b · c = 0 

=



b · c = 0 











(n i + 7 j + 2 k )(3 i + m j – k = 0 ⇔ 3n + 7m – 2 = 0 3n + 7m = 2 . . . (2) (2) ⇔ Eliminasi m dari persamaan (1) dan (2) 5n + 7m = –6 3n + 7m 7m = 2 ––––––––––– – 2n = –8 –8 ⇔ n = –4 Substitusi n = –4 ke persamaan (1) 5(–4 5( –4)) + 7m = –6 ⇔ 7m = –6 –6 + 20 20 ⇔ m=2 ⇔







a + 2 b – c 















= (5 i + 2 j + 3) + 2(–4 i + 7 j + 2 k ) – (3 i + 2 j – k ) 





b



⇔ 





// d d c //



. . . (1)



 2x     22 − z  = k  8   

x    4y  4   Dari kesamaan vektor diperoleh: 8=k·4 ⇒ k=2 ⇒ k=2 22 – z = 8y 8y . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2) 16 + 2y – 5z = 0 22 – z = 8y 8y

→ →

2y – 5z = 16 8y + z = 22

× 4 8y – 20z = 64 ×1 8y + z = 22 ––––––––––– – –21zz = 42 –21 42 z = –2

Substitusi z = –2 ke persamaan (2) z = –2 → 8y – 2 = 22 22 ⇔ 8y = 24 24 ⇔ y=3 Jadi, nilai (y + z) = 3 + (–2) = 1. 28. Jawaban: b 





AB = b – a = (3, 1, 4) – (2, –2, 1) = (1, 3, 3) 





AC = c – a = (0, 1, 5) – (2, –2, 1) = (–2, 3, 4) Proyeksi skalar ortogonal: = =

  AB ⋅ AC 



KL =

   – k =

2

+ (4)

2

2   – 2 0  

0 KM = m + k =  0  – 0   

=





0   = 2 2  

2   0  −2   

0   = 2 2  

0    −2   −2    



2 ⋅0

0 ⋅ ( −2) + (−2 2)) ⋅ (− 2)

+

 02  

2

+ ( − 2)

2

+ (−2)

  

2

0    −2   −2   

0 = 4  −2  8  −2   

=

0   =  −2   −2   

1 2

0    −1  −1   



Jadi, proyeksi vektor ortogonal KL pada KM 









adalah 0 i – j – k = – j – k . 30. Jawaban: d

2  1   a + 3 b = 1 + 3  −4  =      −3  2     



 2+3     1 − 12  =  −3 + 6    

 5     −11  3   





Proyeksi skalar ortogonal vektor ( a + 3 b ) pada b 



=

(1, 3 , 3) 3) ⋅ ( −2, 3, 4 ) + ( 3)

29 .

29. Jawaban: e

|AC|

(−2)2

19 29

adalah

 = |KM| 2 · KM

d = k · c

→



Jadi, proyeksi skalar ortogonal AB pada AC

KL ⋅ K M

a · b = 0 2(–8) + 2(y) 2(y) + z(–5) = 0 –16 + 2y – 5z = 0

⇔

29

Proyeksi vektor ortogonal KL pada KM 

⇒

19 29

=

 

 ⊥

19 29

=

27. Jawaban: c a

4 + 9 + 16



= (–6 i + 14 j + 8 k ). 

−2 + 9 + 12

=



(a + 3b) ⋅ b  |b|  5   1      −11 ⋅  −4   3  2     12

2

+ ( −4)

+

22

Matematika Kelas X

55

=

5 + 44 + 6 21

=

55 55 = 21 21





Proyeksi skalar ortogonal r pada v

21







Jadi, proyeksi skalar ortogonal vektor ( a + 3 b ) 

pada b adalah

8   2      5 ⋅  3   3   −1    

55 21

r ⋅v  |v|

21 .

=

31. Jawaban: e







Proyeksi skalar ortogonal a pada b =

⇔

⇔

=

1 3

=

1 3

=



a⋅b  |b|

 2   −4       3 ⋅ x   −1  2      ( −4)2 −8 +

x2

+

x2

3x

−

2

+

20

+

22

22

+

32

2

+ (−1)

16 + 15 − 3 4 +9+1

=

28 14

=

28 14

=

28 14 14 ⋅ 14

14 14

·

= 2 14





Jadi, proyeksi skalar ortogonal vektor (2 u + 3 v ) 

2

x + 20 = 9x – 30

⇔

x2 + 20 = 81 81xx2 – 540x + 900 540x + 880 540x 880 = 0 2 8x – 54x 54x + 88 88 = 0 (8x – 22) 22)(x (x – 4) 4) = 0

⇔

80x2 –

⇔ ⇔ ⇔

pada v adalah 2 14 . 33. Jawaban: b Proyeksi skalar ortogonal a pada b =

 

a ⋅b  |b|  2  x       3 ⋅  0   4  3     

22

x = 8 at atau au x = 4 Karena x ∈ bilangan bulat, maka x = 4 diperoleh ⇔

 −4   b =  4  2  

⇔

⇔

2  −4     a + 2 b = 3 + 2  4       −1 2     − 2 8    −6   =  3 + 8  =  11   −1 + 4   3       −6    Jadi, nilai a + 2 b adalah  11  . 3  

⇔



32. Jawaban: d 





Misalkan r = 2 u + 3 v maka

 1 2    r = 2 −2 + 3  3      3  −1      2+6  =  −4 + 9  =  6 + ( −3) 3 )  

56





 8    5  3  


4 x2

4 5

=

4 5

=

+9

x2

+

02

+

32

2x + 0 + 12 x2

+

9

= 5(2x + 12)

2

 4 x2 + 9  ⇔   = (10x + 60) 2   2 ⇔ 16(x + 9) = 100x 100x2 + 1.200x + 3.600 16x2 + 144 = 100x 100x2 + 1.200x + 3.600 ⇔ 84xx2 + 1.200x 1.200x + 3.456 3.456 = 0 ⇔ 84 ⇔ 7x2 + 100x 100x + 288 = 0 ⇔ (7x + 72)( 72)(x x + 4) = 0 72

x = – 7 ata atau u x = –4 –4 Jadi, salah satu nilai x yang memenuhi adalah –4. ⇔

34. Jawaban: e 




8=

⇔

⇔

8=

8m + (−2 2)) ⋅ 0 m2

+

+ 16

4⋅ 4

 

a ⋅b  |b|  8   m      −2  ⋅  0   4  4     m2

+ 16

⇔

8 m2

36. Jawaban: e

= 8m + 16

+ 16









a = 2 i + 4 j – k

m2

⇔

⇔

  m2 

⇔ ⇔ ⇔



=m+2

+ 16



2

 = (m + 2)2  2 m + 16 16 = m2 + 4m + 4 4m = 12 12 m=3 + 16 

8 3   a + 2 b = −2 + 2  0  =     4 4     

8   +  −2  4  



| a + 2b 2b | = =

142

+

( −2)2

+



6   = 0 8  

 14     −2   12   

⇒

2x + 4y – z = 0

. . . . (1)

b · c = 0

⇒

2x – 2y + z = 0

. . . . (2)

| c | = 41 ⇒ x2 + y 2 + z 2 = 41 2 Eliminasi x dari persamaan 1 dan 2: 2x + 4y – z = 0 2x – 2y + z = 0 –––––––––––––– ––––––––––– ––– – 6y – 2z = 0 ⇔ z = 3y

1

344 .

4     a = 4 i – 5 j + 3 k =  −5    3  1     b = i + p j + k =  p     1  4   1   a · b =  −5   p  = 4 – 5p + 3 = 7 – 5p     3   1 Panjang b = | b | =

2

2

+ p + 1 =  

1

1 2 y + 4

y 2 + 9y 2 = 412 41 2 y 4

⇔



⇒

⇔



Oleh karena vektor c membentuk sudut tumpul dengan sumbu Y arah positif maka y = –2 ⇒ z = ⇒

p2 + 2

1

1

41 ) = x = – 2 y = – 2 × (–2 41) 



b

2 =2 p

+2



Jadi, vektor c =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

p2 + 2

2

=2 p

p=

1 2

37. Jawaban: c

 







a = 2 i + 3 j – 6 k

22 + 32 + (−6)2

|a| = 







=

4 + 9 + 36 = 





49 = 7



⇔

( a – b )2 = a 2 – 2 a · b + b 2

⇔

| a – b |2 = | a |2 – 2 a · b + | b |2

⇔













102 = 72 – 2 a · b + 92

⇔

1

Jadi, nilai p = –3 atau p = 2 .







atau at au p = –3



41( 41 ( i – 2 j – 6 k ).

=

+2

7 – 5p = 2(p 2(p2 + 2) 7 – 5p = 2p2 + 4 2p2 + 5p 5p – 3 = 0 (2p – 1)( 1)(p p + 3) = 0 2p – 1 = 0 atau atau p + 3 = 0

41

41 i – 2 41 j – 6 41 k



7 − 5p

41. 41 .

41 ) = –6 41 3y = 3 × (–2 41)

 

= 412

y2 = 4 × 41 y = ± 2 41

⇔

Proyeksi skalar ortogonal a pada b = 2 × panjang b a·b

. . . . (3)

Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2: 2x + 4y – z = 0 2x – 2y + z = 0 –––––––––––––– + 1 4x + 2y = 0 ⇔ x = – 2 y

⇔





Substitusi z = 3y dan x = – 2 y ke persamaan 3: x2 + y2 + z 2 = 412

35. Jawaban: b







344

Jadi, panjang a + 2b 2 b adalah





a · c = 0 









122

196 + 4 + 144 =





Vektor c tegak lurus a dan b , berarti

3 Diperoleh m = 3, maka b =  0  . 4   



c = x i + y j + z k









b = 2 i – 2 j + k













2 a · b = 49 + 81 – 100 30

⇔

a · b = 2

⇔

a · b = 15

Matematika Kelas X

57

 






40. Jawaban: d

a ⋅b  |b| 15

D

5

= 9 = 3 



Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b 5

adalah 3 . 

B A 80 m/menit







22







2

+ (−2)

2

+1

4 + 4 + 1 =

=

9 = 3

AE =

AB2

+ BE

=

802

+



a · b = | a | · | b | · cos 120°

= 3 · 4 · (–

1 2





Proyeksi vektor otogonal b pada a  

=

=

=

 2

|a| −6

32

2 –3

AE AD

802

BE

= CD



· a

AD =

2 ·  −2   1  

=

AE ⋅ CD BE 80 2 ⋅ 500 80

= 500 2 Waktu perahu untuk sampai ke tepi:

2    −2   1  

4 

2

= 80 2 Panjang lintasan perahu yang dilewati:

)

= –6 b⋅a

C

Kecepatan perahu setelah setelah terkena arus adalah ada lah

a = 2 i – 2 j + k

|a| =

500 m

E

80 m/menit

38. Jawaban: e 

F

jarak

waktu = kecepatan = 4 

2 

500 2 80 2

= 6,25 = 6 menit 15 detik

= – 3 i + 3 j – 3 k B. Uraian

39. Jawaban: e D



1. Diketahui: | a | = 3 

|b | = 5 vP = 3 m/s

A

B

Misalkan θ = sudut antara a dan b

E

a · b = | a | · | b | · cos = 3 · 5 · cos 60°

vR = 5 m/s



vS = 4 m/s C

=

AB ⋅ DE BC

=

5 ⋅ 60 3

= 100

Jadi, panjang lintasan yang ditempuh perahu adalah 100 m.

58







1

Asumsikan bahwa perahu bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD dan resultan kecepatan perahu dan air adalah 5 m/s (dengan aturan Phytagoras) Dengan membandingkan sisi ABC dan ADE maka diperoleh: AB BC ⇔ A = AD D AD DE






60 m

θ

1

= 3 · 5 · 2 = 7 2 a.















a ( a + b ) = a · a + a · b 





= | a |2 + a · b 1

= 32 + 7 2 1

1

= 9 + 7 2 = 16 2 





1

Jadi, a ( a + b ) = 16 2 .

















b ( a + b ) = b · a + b · b

b.







= b · a + | b |2 =

1 7 2 +

52













| a |2 +





















d.

|( a –

b )|2

















a =



1⋅ q + 2 ⋅ p 1+ 2



2)

19 .

|r | =

(x 2

− x1)

2

+ ( y 2 − y1)

2

+ (z 2 − z 1)

(353 − 128)2 + (198 − 88)2 + (108 − 24)2

=

(225)2 + (110)2 + (84)2

=

50.625 + 12.100 + 7.056





E



1



B

3)





p+r 2

=

(3, 0, 0, 6) 6 ) + (1, 0, 0, − 4) 2

=

(4, (4, 0, 2) = 2

(2, 0, 1)



b.

2r

−



q

2(1, 0, 0, − 4) − (0, 3, 3, − 3)





c = 2 − 1 = 1 = (2, –3, –5)  Diperoleh c = (2, –3, –5) Jadi, koordinat titik C(2, –3, –5). Akan Aka n dibu dibuktik ktikan an bah bahwa wa A, A, B, dan C koli kolinier nier.. Syarat titik yang segaris adalah AC = k · AB. AC = k · AB 



3 ⋅ c + 1⋅ b 3 +1

1

(2, 1, 3)



c – a = k · ( b – a )





e = A



2 ⋅ a + 1⋅ c 2 +1

= 3 (2 a + c )

D

(6, (6, 3, 9) = 3

Diperoleh b = (2, 0, 1) Jadi, koordinat titik B(2, 0, 1). C memba membagi gi QR di di luar luar den dengan gan QC : RC = 2:1 

d =

=



=

C



b =

2

= 69.781 = 264,16 Jadi, jarak yang ditempuh pesawat adalah 264,16 km. 3.

(0, 3, 3, − 3) + 2 ⋅ (3, 0, 0, 6) 6) 3

Diperoleh a = (2, 1, 3) Jadi, koordinat tititk A(2, 1, 3). B titi titikk ten tenga gah h PR, PR, mak maka a PB PB = BR 

2. Jarak yang ditempu ditempuh h pesawat pesawat terbang terbang yang yang tinggal tinggal landas menuju Surabaya dihitung dengan rumus jarak:: jarak 







Jadi, nilai |( a + b )| =

=



= | a |2 – 2 · a · b + | b |2 = 9 – 15 + 25 = 19 

1



















= a · a – 2 a · b + b · b 





p = (3, 0, 6), q = (0, 3, –3), dan r = (1, 0, –4). a. 1) A me me m ba ba g i PQ PQ di di da da l a m de de n g a n PA : AQ = 1 : 2.



= ( a – b ) · ( a – b ) 





49 = 7.





4. Vekt Vektor or posisi posisi untuk untuk titik titik P, Q, dan dan R adalah adalah

| b |2



Jadi, nilai |( a + b )| = 



+ 3 b + 5 c ).



= 2 · a · b + = 9 + 15 + 25 = 49 

=

9c + 3b − 8a − 4c 12



= a · a + 2 a · b + b · b 



Jadi, DE dalam a , b , dan c adalah 12 (–8 a

|( a + b )|2 = ( a + b ) · ( a + b ) 



= 12 (–8 a + 3 b + 5 c )

1





=

1





1

3(3c + b) − 4(2a + c ) 12 

Jadi, nilai b ( a + b ) = 32 2 . c.





1

=





1

= 4 (3 c + b ) – 3 (2 a + c )

= 7 2 + 25 1 32 2





Sehingga: DE = e – d



= 4 (3 c + b )

2    −3  –  −5   

2    1 = k · 3  

0   =k·  −4   −8   

2    0  –  1  

2    1 3  

0    −1  −2   

Matematika Kelas X

59

Dari kesamaan di atas diperoleh: 1) –4 = k · (–1) k=4 2) –8 = k · (–2) k=4 Jadi, A, B, dan C kolinier karena terpenuhi AC = k · AB dengan k = 4. 

c.

Proy Pr oyek eksi si vek vekto torr orto ortogo gona nall a pada b =

=







=





BC = c – b = (2, –3, –5) – (2, 0, 1) = (0, –3, –6) Diperoleh: 





18 ( 18 )2



a⋅b   | a| a| ⋅| b |

(−4)2

+

22

2

+ (−2)

(−3)2

⋅

6. Proy Proyeks eksii skala skalarr ortogo ortogonal nal a pada b 

+

32

+

02

|b|

4(−3) + (2 ⋅ 3) + (−2) ⋅ 0 16 + 4 + 4 ⋅ 9 + 9 + 0

⇔

=

12 + 6 + 0 24 ⋅ 18

⇔

4 3

=

=

18 24 ⋅ 18

⇔

4 3

=

=

18 24

⇔

=

=

1 2

⇔

3

⇔ ⇔

1

Karena cos θ = 2 3 , maka θ = 30°

⇔

=

=



a⋅b  |b|  −4   −3      2  3   −2   0     ( − 3) 3)2 18 18

+

=

(3)2

+

02

18 = 3 2 



Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah 3 2 .


(m, 6, 6, n) n) ⋅ ( −4, − 2, 4) 4) ( −4 4))2

2)) + ( −2

2

+ ( 4)

2

−4m − 12 +

4n 16 + 4 + 16

−4m +

4n − 12 6

24 = 3(–4m 3(–4m + 4n – 12) 24 = –12m –12m + 12n – 36 60 = –12m –12m + 12n 12n –m + n = 5 n=5+m . . . (1)

Panjang vektor a = 7

Proy Pr oyek eksi si ska skala larr ortog ortogon onal al a pada b =

1

13 =











= a ⋅ b

=

3 4





 −4   −3      2  3   −2   0    

=



 −3  adalah  3  .   0  



Misalkan θ = sudut yang dibentuk oleh a dan b cos θ =

 −3    3 0  







18 18

 −3    3 0  

Jadi, proyeksi vektor ortogonal a pada b



Jadi, nilai perbandingan AB : BC = 1 : 3.

60

| b |2



· b

 −3  = 3   0  

AB : BC = (0, –1, –2) : (0, –3, –6) =1:3

b.





AB = b – a = (2, 0, 1) – (2, 1, 3) = (0, –1, –2)

5. a.





a ⋅b

Nila Ni laii per perba band ndin inga gan n AB : BC 





c.

m2 + 62 + n2 = 7 m2 + 36 + n 2 = 49 m2 + n2 = 13 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) n=5+m → m2 + n2 = 13 m2 + (5 + m) 2 = 13 ⇔ ⇔ m2 + 25 + 10m + m 2 = 13 ⇔ 2m2 + 10m 10m + 12 12 = 0 ⇔ (2m + 6)( 6)(m m + 2) = 0 m = –3 atau atau m = –2 ⇔ Untuk m = –3 ⇒ n = 5 + (–3) = 2 Untuk m = –2 ⇒ n = 5 + (–2) = 3 Jadi, nilai m = –3 dan n = 2 atau m = –2 dan n = 3.















7. b ⊥ ( a – 2 c ) maka b · ( a – 2 c ) = 0

⇔

 1   · 2 2  

  −4    – 2  5   1  

 1   · 2 2  

  −4    –  5   1  

 x − 3    = 0  2x    2 − x   

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x − 3 Diperoleh c =  2x  =   2 − x   



=

=

22

+

42

+

4 + 16 + 0 20

02 20 20

=

adalah b.

20 = 2 5 .

 

=

=

42

+

02

8+0+0 16

 −2    2  1  

c.

+

02

= 8 = 2 4

















Proyeksi vektor ortogonal AG pada AC

 

A G ⋅ AC 

| A C |2

 4  4      4  5   4  0    



· AC =

( 42

+

42

+

02 )2

2

+1

=

1 



AC = C – A = (4, 4, 0) – (0, 0, 0) = (4, 4, 0)



= 3 = 6 3



1

Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada c adalah 6 3 . 8.



AG = G – A = (4, 4, 4) – (0, 0, 0) = (4, 4, 4)

8 + 10 + 1 9

19



Jadi, proyeksi skalar ortogonal DK pada DC adalah 2.

 −4   −2      5  2   1  1     22



 2 4      0 0   4 0    

= |c|

+



Proye Pro yeks ksii sk skala alarr or ortog togon onal al DK pada DC

DK ⋅ DC  = |DC|

  a⋅c 

( −2)2

20 

Proyeksi skalar ortogonal a pada c

=

=

Jadi, proyeksi skalar ortogonal AK pada AL

 −2x + 2    =0  5 − 4x   2x − 3   

1− 3    =  2 ⋅ 1  2 − 1  

 2 2      4 4   4 0    

 

(–2x + 2) 2) + 2(5 – 4x) + 2(2x 2(2x – 3) = 0 –2x + 2 + 10 – 8x + 4x – 6 = 0 –6xx + 6 = 0 –6 6x = 6 x=1

⇔



Proye Pro yeks ksii sk skala alarr or ortog togon onal al AK pada AL

AK ⋅ AL   |AL|

 2x − 6     = 0  4x    4 − 2x    

 1   · 2 2  

⇔

a.

d.

32 32

4 ·  4  =   0  

4 ·  4    0  

 4    4  0  





Jadi, proyeksi vektor ortogonal AG pada AC adalah (4, 4, 0).    E = – = (2, 4, 4) – (0, 0, 4) = (2, 4, 0) K AK 





FG = G – F = (4, 4, 4) – (4, 0, 4) = (0, 4, 0)

ZA



H(0, 4, 4) K(2, 4, 4) G(4, 4, 4)

E(0, 0, 4)

 

F(4, 0, 4)

EK ⋅ FG 

|FG|2 Y D(0, 4, 0) L(2, 4, 0) A(0, 0, 0)

C(4, 4, 0)

B(4, 0, 0)

X



Proyeksi vektor ortogonal EK pada FG  2  0      4  4   0  0    

0 · FG = ·  4  2 2 2 2   ( 0 +4 +0 ) 0   0  0 16 = ·  4  =  4  16     0  0     

 



Jadi, proyeksi vektor ortogonal EK pada FG adalah (0, 4, 0).

Matematika Kelas X

61

 4   −2  9. AB = b – a =   –   =  1   −1 



10. Akan dicari nilai m terlebih terlebih dahulu dahulu..

6   2





 −1  −2   1   AC = c – a =   –   =    5   −1 6 Pada gambar di atas jelas terlihat bahwa AD adalah 



proyeksi vektor ortogonal AC pada AB .  

 1  6      6  2 

AC ⋅ AB 



= 





· b



| b |2

 1 i (4 9

+ 4 j + 2 k ) = 16 + 4m + 0 · (4 i + 4 j + 2 k )

(4,m,0) (4,m,0) ⋅ (4, (4, 4, 2) ( 42

2

+4

2

+2









· (4 i +4 j + 2k ) 2

)





= 16 + 4m 36

36 = 9(16 9(16 + 4m) 4 = 16 16 + 4m 4m 4m = –12 –12 m = –3

⇔ ⇔ ⇔





 54   20     18     20 

9  6 = 20   =  2

= =



 2

|a|

( 42

=

2

+

0 2 )2





25

4

 14   20     2  −   20 

=

Jadi, koordinat titik D adalah (

62

+ ( −3)



· (4 i – 3 j )

= 16 + (−12) + 0 · (4 i – 3 j )



 −2    =  −1



· a

(4, 4, 4, 2) 2 ) ⋅ (4, − 3, 0) 0)

d = AD + a  54   20    +  18     20 



b⋅a



AD = d – a 



Proyeksi vektor ortogonal b pada a 





Dengan demikian, diperoleh vektor a = 4 i – 3 j

18  6  = 40   2





36

1 9







+ 4 j + 2 k ) =

⇔

6 + 12  6  = 36 + 4    2



a ⋅b

 1 i (4 9

⇔

 6 AD = | A B |2 · AB =   ( 62 + 22 )2  2  



Proyeksi vektor ortogonal a pada b


 7   10     1 −   10 

7 10

,

1 – 10





= 25 (4 i – 3 j ) 



1

= 25 (16 i – 12 j ) 

).



Jadi, proyeksi vektor ortogonal b pada a adalah 1 25





(16 i – 12 j ).

01+Kunci+MAT+10B+PEMINATAN+K-13+2016

Recommend Documents