01 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 10a Ktsp

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Bentuk Akar

Bentuk Pangkat

• • •

P an an gk gk at at bu bu la la t po po si si ti ti f, f, n ol ol , d a n negatif Sifa Si fatt-si sifa fatt pada pada pan pangk gkat at bul bulat at O pe pe ra ra si si h it it un un g be be nt nt uk uk p an an gk gk at at bulat

• • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

Akar pa Akar pang ngka katt n sua suatu tu bil bilan anga gan n Kons Ko nsep ep be bent ntuk uk ak akar ar Oper Op eras asii hi hitu tung ng be bent ntuk uk ak akar ar Mera Me rasi sion onal alka kan n pe peny nyeb ebut ut Pec Pe cah ahan an ben entu tuk k aka akarr Kons Ko nsep ep pa pang ngka katt pec pecah ahan an H ub ub un un ga ga n p an an gk gk at at p ec ec ah ah an an dengan bentuk akar O pe pe ra ra si si h it it un un g be be nt nt uk uk p an an gk gk at at pecahan

Logaritma

• • •

Konsep Kons ep log ogar arit itma ma Sifa Si fatt-si sifa fatt log logar arit itma ma Oper Op eras asii hi hitu tung ng lo loga gari ritm tma a

Bersikap cermat Bersikap cermat dan percay percaya a diri dalam dalam menyeles menyelesaika aikan n permasala permasalahan han sehari-h sehari-hari ari dan permasalahan yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Mampu Mamp u mendeskri mendeskripsik psikan an bilanga bilangan n berpangka berpangkatt bulat bulat positif, positif, nol, nol, dan negati negatif. f. Mampu Mamp u menentu menentukan kan hasil hasil oper operasi asi hitun hitung g bilanga bilangan n berpang berpangkat. kat. Mampu Mamp u menggunakan menggunakan sifat-s sifat-sifat ifat bilanga bilangan n berpangkat berpangkat dalam dalam menyelesai menyelesaikan kan perhitun perhitungan. gan. Mampu Mam pu menye menyeles lesaik aikan an persa persamaa maan n pangka pangkatt sederh sederhana ana.. Mampu Ma mpu men mendes deskr krip ipsi sika kan n bentuk bentuk aka akar. r. Mampu Mamp u menent menentukan ukan hasi hasill opera operasi si hitu hitung ng bent bentuk uk akar akar.. Mampu menggu menggunaka nakan n sifat-si sifat-sifat fat bentuk bentuk akar akar dalam dalam menyeles menyelesaika aikan n perhitunga perhitungan. n. Mampu Mam pu mera merasio sional nalkan kan pen penyeb yebut ut bent bentuk uk akar akar.. Mampu Mam pu mendes mendeskri kripsi psikan kan bilan bilangan gan berpa berpangk ngkat at pecaha pecahan. n. Mampu Mamp u menentuk menentukan an hasil hasil operasi operasi hitu hitung ng bilang bilangan an berpangk berpangkat at pecahan pecahan.. Mampu Mam pu menj menjela elask skan an penge pengerti rtian an loga logarit ritma. ma. Mampu Mamp u menen menentuka tukan n nilai nilai loga logaritm ritma a suatu suatu bila bilangan. ngan. Mampu Mamp u menen menentuka tukan n hasil hasil oper operasi asi hitu hitung ng loga logaritm ritma a . Mampu mengg menggunaka unakan n sifat-sifa sifat-sifatt logaritma logaritma dalam dalam menyele menyelesaik saikan an perhitunga perhitungan. n. Mampu Mam pu menyel menyelesa esaika ikan n persama persamaan an logari logaritma tma seder sederhan hana. a.

Matematika Kelas X

1


Bentuk Akar

Bentuk Pangkat

• • •

P an an gk gk at at bu bu la la t po po si si ti ti f, f, n ol ol , d a n negatif Sifa Si fatt-si sifa fatt pada pada pan pangk gkat at bul bulat at O pe pe ra ra si si h it it un un g be be nt nt uk uk p an an gk gk at at bulat

• • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

Akar pa Akar pang ngka katt n sua suatu tu bil bilan anga gan n Kons Ko nsep ep be bent ntuk uk ak akar ar Oper Op eras asii hi hitu tung ng be bent ntuk uk ak akar ar Mera Me rasi sion onal alka kan n pe peny nyeb ebut ut Pec Pe cah ahan an ben entu tuk k aka akarr Kons Ko nsep ep pa pang ngka katt pec pecah ahan an H ub ub un un ga ga n p an an gk gk at at p ec ec ah ah an an dengan bentuk akar O pe pe ra ra si si h it it un un g be be nt nt uk uk p an an gk gk at at pecahan

Logaritma

• • •

Konsep Kons ep log ogar arit itma ma Sifa Si fatt-si sifa fatt log logar arit itma ma Oper Op eras asii hi hitu tung ng lo loga gari ritm tma a

Bersikap cermat Bersikap cermat dan percay percaya a diri dalam dalam menyeles menyelesaika aikan n permasala permasalahan han sehari-h sehari-hari ari dan permasalahan yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Mampu Mamp u mendeskri mendeskripsik psikan an bilanga bilangan n berpangka berpangkatt bulat bulat positif, positif, nol, nol, dan negati negatif. f. Mampu Mamp u menentu menentukan kan hasil hasil oper operasi asi hitun hitung g bilanga bilangan n berpang berpangkat. kat. Mampu Mamp u menggunakan menggunakan sifat-s sifat-sifat ifat bilanga bilangan n berpangkat berpangkat dalam dalam menyelesai menyelesaikan kan perhitun perhitungan. gan. Mampu Mam pu menye menyeles lesaik aikan an persa persamaa maan n pangka pangkatt sederh sederhana ana.. Mampu Ma mpu men mendes deskr krip ipsi sika kan n bentuk bentuk aka akar. r. Mampu Mamp u menent menentukan ukan hasi hasill opera operasi si hitu hitung ng bent bentuk uk akar akar.. Mampu menggu menggunaka nakan n sifat-si sifat-sifat fat bentuk bentuk akar akar dalam dalam menyeles menyelesaika aikan n perhitunga perhitungan. n. Mampu Mam pu mera merasio sional nalkan kan pen penyeb yebut ut bent bentuk uk akar akar.. Mampu Mam pu mendes mendeskri kripsi psikan kan bilan bilangan gan berpa berpangk ngkat at pecaha pecahan. n. Mampu Mamp u menentuk menentukan an hasil hasil operasi operasi hitu hitung ng bilang bilangan an berpangk berpangkat at pecahan pecahan.. Mampu Mam pu menj menjela elask skan an penge pengerti rtian an loga logarit ritma. ma. Mampu Mamp u menen menentuka tukan n nilai nilai loga logaritm ritma a suatu suatu bila bilangan. ngan. Mampu Mamp u menen menentuka tukan n hasil hasil oper operasi asi hitu hitung ng loga logaritm ritma a . Mampu mengg menggunaka unakan n sifat-sifa sifat-sifatt logaritma logaritma dalam dalam menyele menyelesaik saikan an perhitunga perhitungan. n. Mampu Mam pu menyel menyelesa esaika ikan n persama persamaan an logari logaritma tma seder sederhan hana. a.

Matematika Kelas X

1

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

⎛ 3a −2b3c 4 ⎞ ⎜⎜ 3 −5 −2 ⎟ ⎟ ⎝ 15a b c ⎠

1. Jawaban: d ⎛ 18x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

−2

⎛

× x2 ⎞ ⎟ 2×5 ⎠

= ⎜2×3 ⎝ ⎛

= ⎜3 ⎝

2

x ⎞ ⎟ 5 ⎠

2 2

⎛ 5 ⎞

5. Jawaban: d

−2

−1

−2

5a5

=

b8 c 6

2

6. Jawaban: c

52

⎛ 8p−3 q−2 ⎞ ⎜⎜ −1 −4 ⎟ ⎟ ⎝ 16p q ⎠

=

3a −2b3c 4

= 5a3 – (–2)b–5 – 3c–2 – 4 = 5a5b–8c–6

= ⎜ 2 2⎟ ⎝3 x ⎠ =

15a3b−5 c−2

=

34 x 4

−2

⎛ 1q−2 −(−4) ⎞ = ⎜⎜ −1−( −3) ⎟⎟ ⎝ 2p ⎠

−2

−2

⎛ 1⎞ ⎟⎟ ⎝3⎠

− ⎜⎜

81x 81x 4

⎛ 2p2 ⎞ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ q ⎠

−2

23

= = = =

=

(5−1)−2 −(3−1)−2 23 5 2 − 32

7. Jawaban: c

23 25 − 9 8

⎛ 24 xy −5 ⎞ ⎜⎜ 5 2 ⎟⎟ ⎝ 3 y ⎠

16 8

⎛ 35 y 2 ⎞ ⎛ 24 x −4 y −2 = ⎜⎜ 24 xy −5 ⎟⎟ ⎜⎜ 32 x −2 y 2 ⎝ ⎠⎝

3. Jawaban: e (15 × 11)5 × 47

(3 × 5 × 11)5 × (22 ) 7

= (3 × 2 × 5 × 2 × 11)5

(30 × 22)5

5

= =

2 7

(3 × 5 × 11) × (2 ) 2

5

(2 × 3 × 5 × 11)

35 × 55 × 115 × 214 210 × 35 × 55 × 115 14

=

2

84x −7 y −1z −4

= = =

2

⎛ 22 x −2 y −1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ −1 ⎝ 3x y ⎠

=

4p4

⎞ ⎟⎟ ⎠

=

x3 27y 3 x3

8. Jawaban: b ab−1 − a−1b a−1 + b−1

=

a − b 1 + a

=

a 2 − b2 ab b +a ab

=

a 2 − b2 ab

=

a 2 − b2 a+b

=

(a + b)(a − b) (a + b)

7 x 3 y −4 z− 6 3 × 4 × 7 × x−7 y −1 z−4 4) 71 − 1 x3 − (−7 ) y −4 − (− 1)z− 6 − (− 4) 3×4 10 −3 −2 70 x 10 y z 12

x10 12y 3 z2


b a 1 b

=a–b

×

ab a+b

⎛p⎞

= 4 ⎜ ⎟ q ⎝ q⎠ 4

2

33 y3

= 214 – 10 = 24 = 16

210

4. Jawaban: e =

−1

2

= 35 – 224 – 4x–4 – 1 – (–2)y2 + (–2) – (–5) – 2 = 3320x–3y3

=2

7 x 3y −4z −6

−2

25

2. Jawaban: b ⎛ 1⎞ ⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎝ ⎠

⎛ q2 ⎞ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 2p ⎠

4

9. Jawaban: d ⎛ 1⎞

5×7×

4x − 3

=

343x – 1 = ⎜ ⎟ ⎝7⎠ ⇔ (73)x – 1 = (7–1)4x – 3 ⇔ 73(x – 1) = 7(–1)(4x – 3) ⇔ 73x – 3 = 7–4x + 3 ⇔ 3x – 3 = –4x + 3 ⇔ 7x = 6 ⇔

=

6 7

x=

Jadi, nilai yang memenuhi adalah

6 7

3

+3

x+2

2. a.

+3

x+ 3

= 27

39

⇔

3

x +1

+3

x + 1+ 1

+3

= 27

⇔

3 x + 1 + 3 ⋅ 3 x + 1 + 32 ⋅ 3 x + 1 39

= 27

⇔

3 x + 1(1 + 3 + 32 ) 39

= 27

3 x + 1( 13 )

⇔

39 3

3

⇔

1. a.

2

×9

18

−3

+

× 24

6

= (2 × 32 )−3 + 2 −3 × 3−4

7 ×2

=

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2

2

2

b −a ⎠ 2

⎛ ( a + b )(ab) ⎞ ⎟ = ⎜ ⎜ ( a + b )(−a + b) ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ ab ⎞ = ⎜ (−a + b) ⎟ ⎝ ⎠

=

2

a 2b2 (−a + b)2

(a + b)−1( a−2 − b−2 ) (a−1 + b −1)(ab− 1 − a− 1b)

=

=

=

1 ⎛ 1 1⎞ − a + b ⎜⎝ a2 b2 ⎟⎠ ⎛ 1 1 ⎞⎛ a b ⎞ ⎜ + ⎟⎜ − ⎟ ⎝ a b ⎠⎝ b a ⎠ 1 ⎛ b2 − a2 ⎜ a + b ⎜⎝ a2 b2

⎞ ⎟⎟ ⎠ b + a ⎛ a2 − b2 ⎞ ⎜ ⎟ ab ⎝ ab ⎠ 1 ⎛ ( b + a )(b − a) ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ a + b ⎜⎝ a 2 b2 ⎠ a + b ⎛ (a + b)(a − b) ⎞ ⎜ ⎟ ab ⎝ ab ⎠ b−a

=

2

5 2 × 7 × 7 × 2−1 7×2

⎛ 1+1 ⎞ = ⎜⎜ 1a b1 ⎟⎟ − ⎝ a 2 b2 ⎠

(22 × 3)3

52 × 7 × (5 × 7 × 2−3 − 22 )

2 −3 = 5 × 7 × 2 −1− 2

2

⎛ (a + b)(ab) ⎞ ⎟ ⎝ b 2 − a2 ⎠

b.

(2 × 3)12 × (23 × 3)−2

×5

⎛ a −1 + b−1 ⎞ ⎜ −2 ⎟ ⎝ a − b −2 ⎠

⎝ ab

−2

212 × 312 × 2−6 × 3− 2

−1

3 28

2 7

= ⎜

(72 × 2−3 × 53 ) − (52 × 7 × 2 2 ) 2

=

×

= 27

= 2−3 × 3−6 + 26 × 33 = 2–3 – (–3) × 3–4 – (–6) + 212 + (–6) – 6 × 312 + (–2) – 3 = 20 × 32 + 20 × 37 = 9 + 2.187 = 2.196 b.

3 8

= 27

123

2−3 × (32 )−2

=

2 = ⎛⎜ a + b × (ab) ⎞⎟ 2 2

B. Kerjakan soal-soal berikut. 12

7 2

x+1

3

−2

32 8

⎛ a+b = ⎜ 2 ab 2 ⎜b −a ⎜ a2 b 2 ⎝

⇔ 3x + 1 – 1 = 27 ⇔ 3x = 33 ⇔ x=3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3.

−3

−

⎛ b + a ⎞ ab ⎟ = ⎜ bab 2 a2 ⎟ ⎜ − 2 2 ⎝ a b a2b2 ⎠

x + 1+ 2

39

35 8

−4

.

10. Jawaban: b x+1

7×

1 8 1 2

(ab)2 (a + b)2 ( a − b) (ab)2

= =

b−a (a + b)2 (a − b) −( a − b )

(a + b)2 ( a − b )

=–

1 (a + b)2

Matematika Kelas X

3

3. a.

b.

n−1 + mn−2

=

1 − m2n−2

5 −1 + 3 × 5−2 1 − 3 2 × 5 −2

=

1 3 + 5 25 9 1 − 25

=

5 + 25 25 − 25

=

8 25 16 25

=

8 16

=

1 2

⇔

=

−2

×

3n

3n

= 35 – n × 2 n Ketinggian bola pada pemantulan ke-6: h(6) = 35 – 6 × 26 = 3–1 × 26

(8)−3

(−2)3 (−4)2 (23 )3 (− 1× 2)3 × (− 1× 22 )2 29

=

1 3

=

64 3

× 64 cm

Jadi, ketinggian bola pada pemantulan ke-6 2

4

(−1) × 2 × (− 1) × 2

adalah

29

b.

−1× 23 × 1× 24

⎛ 1⎞ × ⎜ ⎟ ⎝4⎠

x +1

=

1 32

⇔ 2–x × (2–2)x + 1 = 2–5 ⇔ 2–x × (2–2x – 2) = 2–5 2–x + (– 2x – 2) = 2–5 ⇔ ⇔ 2–3x – 2 = 2–5 ⇔ –3x – 2 = –5 –3x = –3 ⇔ ⇔ x=1 Jadi, nilai x = 1.

4

2n

2n

= 35 ×

1

= –29 – 3 – 4 = –22 = –4 4. a.

Rumus ketinggian bola:

= 243 ×

2

83

2–x

= 34

33x

n

= (–2)–3 × (–4)–2 × (8)3

3

34x + 8

⎛2⎞ ⎝3⎠

1 ⎛3+5⎞ ⎟ × (3 + 5)−3 ⎝3−5⎠

3

= 34

33x

h(n) = 243 × ⎜ ⎟

1

= (3 – 5)–3 × ⎜

=

(32x + 4 )2

Jadi, nilai x = –4.

⎛m + n⎞ ⎟ × (m + n)−3 ⎝ m − n ⎠

=

= 34

⇔ 34x + 8 – 3x = 34 ⇔ 3x + 8 = 34 x +8=4 ⇔ ⇔ x = –4

(m – n)–3 ⎜

=

2

(33 )x

⇔

5. a.

⎛ 8 ⎞ ⎟ ⎝ −2 ⎠

((32 )x 2 )

⇔

3 25 9 25

= 81

27x +

2

= (–2)–3 × ⎜

(9x + 2 )2

b.


64 3

cm.

Tinggi bola pada pemantulan ke-10: h(10) = 35 – 10 × 210 = 3–5 × 210 =

1 243

=

1.024 243

× 1.024 cm

Jadi, ketinggian bola pada pemantulan ke-10 adalah

1.024 243

cm.

=

14 3 − 4 26

=

7 13

4 5 − 17

2 13

3 –

3 6 −4 2

7

2

3 – = a 3 – b = 13 13 5 2 −2 6 Diperoleh a =

7 13

dan b =

2 13

.

⎛ −5 ⎞

=–

26 23

+ ⎜ ⎟ 85 ⎝ 23 ⎠

Diperoleh a = –

26 23

dan b = –

5 23

m0

5. m =

1−

4 5 − 17

b.

= a + b 85

3 5 − 2 17 17

v2 c2

3 5 − 2 17 17

= = = =

4 5 − 17 3 5 − 2 17 17

×

3 5 + 2 17 17 3 5 + 2 17 17

c2 − v 2 c2

4 5 × 3 5 − 17 × 3 5 + 4 5 × 2 17 − 1 7 × 2 1 7 (3 5 ) 2 − ( 2 1 7 ) 2

m0

=

6 0 − 3 85 + 8 85 − 3 4 45 − 6 8

c2 − v 2 c2

26 + 5 85 −23

=–

26 23

+

⎛ −5 ⎜ ⎝ 23

85 ⎞⎟

c2 − v 2

⎠

c2 − v 2

×

c2 − v 2

m0 × c c 2 − v 2 c2 − v2

2. Jawaban: e

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

1

1

1. Jawaban: c

36 2 2

3 4

m0 × c

=

=

2 3

m0

=

3

27 + 16 – 8

8 −

2 3

2 3

3 4

3

= (33) + (24) –

=3

3×

2 3

+ 2

= 32 + 23 – 32 +

23 –

4×

3 4

(2 3 ) 3

–

2

27 3 −

23

2

−

2 3

23

−2

( ) 1 2

=

2

( 33 ) 3

=

⎝ 3⎠

− ( 2 −1 )

−2

6 2

3 − 22

2 3 × ⎛⎜ − ⎞⎟

6

= 9−4

2−2

= 2 × 22 =9+8–8=9

( 62 ) 2

=

6 5

Matematika Kelas X

11

12


3. Jawaban: b 5 6

7 12

2 3

1 − 4

3 × 12 6 ×2

6. Jawaban: a

5 6

=

3 × (3 × 2

−

(3 × 2)3 × 2 5

=

−1

2 1 ⎛ 23 ⎞ ⎜ a ⎟ × (a 3 b 2 )2 : ⎜ 1⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 23 ⎞ 4 a = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ × (a 3 b1) : ⎜b 2 ⎟ ⎝ ⎠

7

22 )12

7

1 4

14

3 6 × 3 12 × 2 12 2

2

33 × 23 × 2

= 3

5 7 2 + − 6 12 3 3

−

1 4

×2

14 2 1 − − (− ) 12 3 4

−

=

3

−

3

125x

64y12

2

×

1 2

+

1

b2 4

+

1

1 2

1 − (− ) −

1 2

7. Jawaban: e 2

(1 + a)2 − 2a (1+ a)−1

4. Jawaban: c 3

−

a3

= a 3 3 3b = a1b1 = ab

3 4

= 64

=

(1 + a)

1 ⎛ 125x 7 ⎞ 3

7

1

4

a 3 a 3b b

= 3 4 × 24 = (3 × 2)

2

⎛ 21 ⎞ ⎜b ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ a3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 21 ⎞ ⎜b ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ a3 ⎟ ⎝ ⎠

⎠

1 53 x 7 ⎞ 3

⎛

= ⎜⎜

=

3 12 ⎟ ⎟ ⎝4 y ⎠

=

3×

1 3

3×

1 3

51 x

2

5 4

=

1 3

12 ×

1 3

y

=

9x y 3

8x 6 y3

=

1 3

=

3

5x 2 3 x

84 3 8 8 83 8

4y 4

3

2a 1+ a

1

3

84 8 × 8 2

=

1

8 × 83

1 (9x4 y 3 ) 2

1 1

3

84 (8 × 8 2 ) 3

=

1

1 1

(8 × 8 3 ) 2

y3 )3

(32 ) 2 × x 1

(23 ) 3 × x

4× 6×

1 2 1 3

×y ×y

3× 3×

1

1 3

1

3

2

=

1 1

(8 × 8 3 ) 2 1

3x 2 y 2

=

2x 2 y1

1

84 8 3 8 6

3

=

1 + a –

4

1

=

1

8. Jawaban: a

5x 2 x 3

(8x

1

(1 + a)2

1

4 y

6

–

1 2

= (1 + a) 2 – 2a(1 + a)–1

5. Jawaban: d 4 3

1 2

−

2a(1 + a)

1

1 4

4y

(1 + a)1

1 1

(848 3 8 6 )3 1 1

(8 × 8 3 ) 2

3

=

3 2 – 2 2 −1 x y 2 1

=

3 0 2 xy 2

=

3 2

y

1

= (1 + a)1 – 2 – 2a(1 + a)– 2 – 2

1

=

1

(1 + a)

7×

x

1 2

(1 + a)2

= ⎜⎜ ⎟ 64y 12 ⎟ ⎝

−

(1 + a)2 − 2a(1 + a)

4

=

1

1

8 3 8 9 8 18 1

1

8286

= 8

4 1 1 1 1 + + − − 3 9 18 2 6

5

= 86 = 23 ×

5 6

1

22

=2

= 22 2 = 4 2

Matematika Kelas X

13

9. Jawaban: b 7x 5 4

3 − 2

6

1

−

y5

(x − 6y )x −2

3

6

7 × 4 2 × 275

=

1 − 3

= (24 32 + 2 – (–1))– 3 × 22 × 3 × 3–4 × 3–1

5 4

1

= (24 35)– 3 × 22 × 3 × 3–4 × 3–1

1 − 3

(4 − 6 × 27 )4−2 7×2

= (2

5 4

2×

3 2 × (− ) 2

× 33 × 5 6

1 3

3 × (− )

− 6×3

7 × 2−3 × 3

=

4

4

= 2– 3

)22 × ( −2 )

× 3– 3

2

= 7×2

−3 − (−4)

2

2

1 2

×3

2

= 1 2

3

23 3

=

2 3

5

3

6 3

−

+1–4–1

2

2

5

=

7 × 21 × 32 × 3 4 2−2 7× 2 ×9× 3

=

5

+2

= 2 3 × 3–5 3

15 6

(2 2 − 6 × 3−1)2−4

=

5

= 2– 3 × 3– 3 × 22 × 3 × 3–4 × 3–1

b.

3

35 32

4

3

3

3

243 9

(27

−

1 3

−

22

1

+ 4 2)

−

3 3 3 2

30

3

=

=

2 (2 2 − 1)

63 3

=

2 2 −1

×

=

2 2 +1 2 2 +1

= =

63 3(1 + 2 2) 7

=

⇔

(3

(92x + 4) ((32)2x + 4)

1 2

⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 1 = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝3⎠

1

32 × (2x + 4) × 2

+2

(3 −1 + 2 −1 ) 1

(

)

1 1 + 3 2

1. a.

1 3

( 56 )

−

3 2

−

3 2

1

1

5 6

= −(3x + 3)

5 6

= −(3x + 3)

2. a.

6 4

16x y ×

3–1 × – (3x + 3)

3

−

3 2

−

3 1 − 2 2

−

3 1 + 2 2

5 −2 6

−1

−

3 2 1

1

× 62 × 52

=

61 5

2

12 × 9

2 2⎞ ⎛ 2 = ⎜ (2 × 3)−1 × 3 ⎟

⎝

⎛ = ⎜2 ⎝

⎠

3

4

×3 ×3 ⎞ 2

3 −1

−

2

⎟ ⎠

−

1 3

1 3

−2

×

×3

=

64y12

× (22 × 3) × (32)–2 × 3–1


1

3 13 3 )

(3 x (42 x 6y 4 ) 2

1

(43 y 12 )3

3x 3

= (4x3y2)

4y 4 13

=

4x 3 y 2 3x 3 4y 4 3 + 7

13 3

y2 − 4

1

= 3x 3 y −2 = 3x 7 3 x

b.

(1 − ( ) ) () x y

y x 2

2

−

3 2

(1 − ) y2

=

x

−1

y2

=

−

3 2

x2

2

(

−1

3 − x 2 − y2 2 x2

)

x 2 − y2 y2

14

6 25

13

−1

12 × 9−2 × 3−1 1

=

1

27x13

1

:

2

1

B. Kerjakan soal-soal berikut. −

3

3 2

= 3x

⎛ 122 × 9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3−1 ⎠

)

6 2 × 52

−(3x + 3)

⇔ = 2x + 4 3 = 33x + 3 ⇔ ⇔ 2x + 4 = 3x + 3 ⇔ 2x – 3x = 3 – 4 –x = –1 ⇔ ⇔ x=1 Jadi, himpunan penyelesaiannya {1}.

⎛ 1⎞ ⎝ 2⎠

2 × ⎜− ⎟ −

1

1 2

=

⎝3⎠

1 2

⎝ 3⎠

5× 6

= 1 = ⎛⎜ ⎞⎟

1 3 × ⎛⎜ − ⎞⎟

6 × 52

10. Jawaban: d

⇔

243 27

12 729

52 × 62

= (1 + 2 2 ) 9 3

9

3

=

−

63 3(2 2 + 1) 8 −1

2x + 4

3

12

1 y

2

=

3x 7 3 x y2

(x 2 − y 2 )

=

3 − 2

(x 2 )

−

x =

3

b.

x 3 y2 2

x3y2

1 2

3x +

⇔

(x 2 − y 2 )2 x2 − y 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2

=

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 32 ⎠

3x +

1 2

3x +

1 2

1 2

3 4

2

⇔

2

⇔

3x +

⇔

⎞4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛

= ⎜a b

1 − 4

⎝

3 4

⎞ ⎟ = a ⎠

3 16

b

−

3 16

= (256) 3

=

(28 )16 3

= 22 3 =

2

−

(81)

−

3 16

x−4 2

⎛x −4⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠

= –5 ⎜

x=

8

3x + 2

19 11

–

= (16)

⇔

8

⇔

23 ×

⇔

22

3

3 2

= (24)

3 4

3x+2 2

= 24 ×

3 (− ) 4

–

= 2–3

3x + 2 = –2

⇔

x=–

4 3 4 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya {– }.

2 2 3

3

=

2 2 4

b.

27

3

9

2x + 1

–

= (81)

5 4 1

4. a.

.

3 4

3x+2 2

(3x + 2)

19 11

(3x + 2) = –3

3 2 3

4

= (2 )

⇔

⇔

3 4

.

x−4 2

−5

11x = 19

⇔

3

− (3 4 ) 16

34

=

⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 32 ⎠

⇔

5. a.

9

x−4

Jadi, penyelesaiannya x =

Untuk a = 256 dan b = 81: 3 16

1 2

1

6x + 1 = –5x + 20

3

⎛ 5 + ( − 1) − 1 − ( − 1) − 1 − 1 − ( − 1) ⎞ 4 = ⎜ a6 2 3 4 b 4 3 3 ⎟ ⎝ ⎠ 1 4

1 9

Jadi, penyelesaiannya x =

3

1 1 − − ⎛ 56 ⎜ a × a 2b 4 = ⎜ 1 1 1 1 ⎜ a 3 b 3 a − 4 b− 3 ⎝

⇔

(x − y )

=

3.

9x = 1

× (x 2 − y 2 )

(x 2 − y 2 )

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⇔

2 1 − ( − 2 )

2

=

⎛ 1 ⎜ 5 1 31 ⎛ ab 2 ⎛ ⎞ ⎜ a6 ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 ⎜ ⎝ ab ⎠ ⎜⎜ 2 3 ⎝a b ⎜ ⎝

× y2

2

x3 y2

=

1 − 2

3

92x + 1 =

81 3x − 1

⇔

(92x + 1) 3

⇔

9

⇔

2x+1 3

1

⇔

⎛ 34 ⎞ 2 (32)2x + 1 = ⎜⎜ x − 1 ⎟⎟ ⎝3 ⎠

⇔

34x + 2 = (34 – x + 1)

⇔

34x + 2 = 3

⇔

4x + 2 =

5 − x 2

5 − x 2

⇔ 2(4x + 2) = 5 – x ⇔ 8x + 4 = 5 – x

1 2

2x+1 3

–

= (92) –

=9 =–

5 4

5 2

5 2

⇔

2(2x + 1) = –5 × 3

⇔

4x + 2 = –15

⇔

4x = –17

⇔

x=–

17 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {–

17 4

Matematika Kelas X

}.

15

A.

7. Jawaban:

Pilihlah jawaban yang tepat.

2

1. Jawaban: b Perhatikan: an = b ⇔ alog b = n. 1) 2log 3 = 8 ⇔ 3 = 28 (salah) Pernyataan pada pilihan a salah. 2) 2log 8 = 3 ⇔ 8 = 23 (benar) Pernyataan pada pilihan b benar. 3)

2

4. Jawaban:

y=

3

8. Jawaban: 3

=

=

=

d

=

6×4 3

= 3log

=

=

=

=

d

216 + log

1 49

= 6log 63 + =3×

6log

16

8 × 3log 3 + 3

⎛ 1⎞ ⎝7⎠

6+2×


log 21

log 3 +

1 2 × log 2

2

log 9

1 2 × log 2 2

2

log 3

1 × 2

8 × 1+

22

log 4

5

3

1

2

17 a

log 6 −

(3 log 2)2

1 7

1

log 6 2

( 3 log 18 + 3log 2)( 3 log 18 1 3 × log 6 2 3

(3 log (18 × 2))

3

3

(

log ⎛⎜ 18 ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠

1 3 × log6 2 3

log 36 × log 9 1 3 × log6 2 2 3

log 6

×

log 32

2

log ⎜ ⎟

=3×1+2×1 =5

log10 log 5

3

log 36 −

2 × 4 × 3log 5 ×

54

1 7

log 5

log 4

3

= 81 = 3log 34 = 4 × 3log 3 =4×1 =4

6log

3

(3 log 18)2

3log

1 7

log 10

2

3

log 52 × 5log 3 4 +

3

2 3

6. Jawaban:

3

9. Jawaban:

3 3 + 3log 54 – 3log 2 3 ×

2

= 2 = 4

d

3 3

log

b

log 36 −

17 2

= 2log 8 = 2log 23 = 3 × 2log 2 =3×1 =3 5. Jawaban:

2

log 25 × 5log 81 + 4log 2 3

64 = 4

6 + 2log 4 – 2log 3 = 2log

50 5 6 × 10 12

log

= 5log 10

3log

⇔

=

=

9 = 3 ⇔ 9 = 23 (salah) Pernyataan pada pilihan c salah.

3. Jawaban: b ylog 64 = 3 ⇔ 64 = y3

3log

log 6 + 2 log 10 − 2 log 12

2log

2. Jawaban: a Misalkan: 3log 81 = x ⇔ 3x = 81 ⇔ 3x = 34 ⇔ x = 4 Jadi, nilai 3log 81 = 4.

2log

2

log 50 − 2 log 5

=

2 = 8 ⇔ 2 = 38 (salah) Pernyataan pada pilihan d salah. 5) 3log 2 = 9 ⇔ 2 = 39 (salah) Pernyataan pada pilihan e salah. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan b. 4)

e

log

= 1 7

=

1 3 log × 2 3

6

(2 × log 6 )(2 × 3log 3) 1 2

2× 2×1

=

1 8

)

−

3

log 2)

10. Jawaban: 2log

8

3 +

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 8.

a 5log

2

25

–

3 1 log 4 3 5 log 2

15. Jawaban:

5

1 3 log 4

−

=

2 (23) log 3 +

= 23 × =2

2log

2log

5 (52) log 2

3 +

33 +

5

52 ×

5log

5log

22

–

(3 )

– 2

5

–

3

3

5

3

5

log 2

⇔

( −1) 3 log 4

5

5

d

plog

6 – plog 9 + plog

plog

6 + plog

1 – plog 2

log 2

= 33 + 22 – = 27 + 4

1 – 8

=

7 30 8

25log

81 = =

=

= –1 = –1

⇔

plog 1

= plog p–1

3

3–1 = p–1 ⇔ p=3 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 3. B.

Kerjakan soal-soal berikut.

1. a.

3log

7

1 2

– 3log

25 36

+ 3log

5 6

– 4

a

log 81 log 25

= 3log

15 2

+ 3log

5 6

– 3log

25 36

– 3log 34

3

= 3log

15 2

+ 3log

5 6

– 3log

25 36

– 3log 81

3

log 81

log 25

3 3

log 3

4

log 5

2

=

⎞ ⎟ × 81⎟ ⎝ 36 ⎠ 15

3log ⎜ 252 ⎜

×

5 6

5 36 1 ⎞ ⎛ 15 ⎟ × × × 6 25 81 ⎠ ⎝ 2

4 × 3log 3

= 3log ⎜

2 × 3log 5

⎛ 1⎞ ⎝9⎠

4 ×1

= 3log ⎜ ⎟

= 2×p =

9 3

⎛

=

1 2

⇔

11. Jawaban: b 2log 45 = 2log (9 × 5) = 2log 9 + 2log 5 = 2log 32 + 2log 5 = 2 × 2log 3 + 2log 5 = 2p + q 12. Jawaban:

9 = –1

plog 1

−

4 2

= –1

⇔

log 2

1

6×

plog

⇔

log 4−1 5

1 2

= 3log 3–2 = –2

2 p

13. Jawaban: d Diketahui b = a4 alog b – blog a = alog a4 – a4log a = 4 × alog a – =4×1– =4–

1 4

1 4

= 3

14. Jawaban: c 3log (4x – 5) = 3 3log (4x – 5) = 3log 33 ⇔ ⇔ 4x – 5 = 33 ⇔ 4x – 5 = 27 ⇔ 4x = 27 + 5 ⇔ 4x = 32 ⇔ x=8

1 a log 4

× 1 3 4

b.

a

2log

5 300 × 2 3 × 52

4

−

⎛ = 2log ⎜ 300 × 22 ⎝ 3×5

1

4

−

=

⎞5 ⎟ ⎠

1

2log ⎛

300 ⎞5 ⎜ ⎟ ⎝ 16 × 3 × 25 ⎠

⎛ 300 ⎞ ⎟ ⎝ 1.200 ⎠

=

1 5

× 2log ⎜

=

1 5

× 2log ⎜ ⎟

=

1 5

× 2log 2–2

=

1 5

× (–2) × 1

=–

⎛ 1⎞ ⎝4⎠

2 5

Matematika Kelas X

17

2. a.

13 a

log

a2

3

log b2

+

−

log ab2

log ab

= =

1 ×a a

log

log a

1 − 3

1 − a 3

+

log b

−

⇔ ⇔

log ab2

log a

−

1 3

−

4

−

ab log

4 3 1 2

2

b3

−

Jadi, nilai a adalah

2

4. a.

3

(4x + 2) – 3log (x – 2) = 2 3log 4x

+

⇔

3log 4x

+

⇔

2 x−2

4 3

4 –3

(ab)

=9

4x + 2 = 9x – 18 –5x = –20 x=4

⇔ ⇔


ab b.

× 2 × 1 = –

alog 1 × blog 1

2

8 3

× clog

1 d

3

× dlog

1 e

4

× elog

1 a5

× (–4) × dlog e × (–5) × elog a = (–1)(–2)(–3)(–4)(–5)alog b × blog c × clog d × dlog e × elog a = –120 × alog a = –120 × 1 = –120 (alog 3 – 1) 3log a = 5 a 3 3 ⇔ log 3 × log a – log a = 5 alog a – 3log a = 5 ⇔ ⇔ 1 – 3log a = 5 ⇔ 1 – 5= 3log a –4= 3log a ⇔ a = 3–4 =

⇔

alog

2log 2log

5. Diketahui: TI = 70 dB I0 = 10–12 Wm–2 TI = 10 log ⇔

1 81

1 . 81

I I0

70 = 10 log

⇔

7 = log

⇔

log 107 = log

⇔

107 =

alog

81 – 2 × 27 + 243 = 6 a 2 a 81 – log 27 + log 243 = 6

alog ⇔

alog 81 × 243

272


x – 2log 2log 2log 16 = 2

x – 2log 2log (2log 24) = 2 2log 2log x – 2log 2log 4 = 2 ⇔ 2log 2log x – 2log (2log 22) = 2 ⇔ 2log 2log x – 2log 2 = 2 ⇔ 2log 2log x – 1 = 2 ⇔ 2log 2log x = 3 ⇔ 2log x = 23 ⇔ 2log x = 8 ⇔ 2log x = 2log 28 ⇔ 2log x = 2log 256 ⇔ ⇔ x = 256 Jadi, nilai x yang memenuhi 256.

= (–1) × alog b × (–2) × blog c × (–3) × clog d

Jadi, nilai a adalah

2log 2log ⇔

= alog b–1 × blog c–2 × clog d–3 × dlog e–4 × elog a–5

alog

= 3log 32

4x + 2 x−2

⇔

c

=2

2 x−2

⇔

3

3.

3log

4

4 –3

b

27 1

ablog

4 3

6

1

log ab

=–

18

a=

log ab log (ab)

=6 =6 =6 = a6

= 3 2 =

1

log a 3 b

=

⇔

34 + 5 – 6 alog 33 alog 27 27

=6

= (33) 6

log ab

−

b.

36

⇔

= (ab) log (ab)

3. a.

35

log ab

1 2

b.

×

2 × b3

−

=

⇔

4

ab2

−

=

log ab

2

log ab

=

=

log b

2 3

alog

⇔ 2 3 −

log ab

log

=

2 3 +

alog 3

⇔

=6

I 10−12

I 10−12 I 10−12

I 10−12

I = 107 · 10–12 = 107 – 12 = 10–5 Jadi, intensitas kebisingan truk tersebut 10–5 Wm–2. ⇔

A.

Pilihlah jawaban yang tepat.

1. Jawaban: 8−2 × 244

(23 )−2 × (23 × 3)4 (2

2

×

2 5

3 )

×

8

−

(2 )

1

6. Jawaban:

210 × 310 × 2−8

= 2–6 + 12 – 10 – (–8) × 34 – 10 = 24 × 3–6 = = 2. Jawaban: 3p q

12n − 1

= =

b

7. Jawaban: 15p5 q−3 q6

×

= 3 24 + 2 3 × 32 × 2 3 × 2 18

5 × p 5q−3q6

= 3 4× 6

3 p2 q

= 6 6 +8 6

8. Jawaban:

3)n − 1

(

2n + 2 × 2n − 4 × 3n − 4

1 27

= ( 2 + 3)2

(

2 + 3 + 5)

−

×

7

( 5)2

=2 6

=

2x 5 x 3 = (7 × 73x)(7 1× 7 )

−

3) + 5))

+

= (2 + 2 6 + 3) – 5

3

+

2)

e

2 −

= (3 + 4 3

( −2

10

+

+

(

5

+

2)

2

)(

4 − 5 − 2 10

4 3)

(

10

+

−

10

+

2 3)

2)

(

10

+

2 3)

2 3)

= –20 – 4 30 + 4 30 + 24 =4 10. Jawaban: 3 5

b

1.024a15 b30 = 2

3 5

210 a15 b30

b

2 ⎛ 1 + 2m 1 ⎞ ⎛ m − 2 ⎞ 1+ m m−2 ⎜⎜ 1 ⎟ 1 ⎟⎜ 1 ⎟ = 1 1 × 2 2 m 2m − ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ 2 m m −

−

2 + 3 − 5)

((

= 72x + x – 3x × 7 5 + (–3) – 1 = 70 × 71 =7

−

a

9. Jawaban:

7

12 6

= (( 2 + 3) − 5)(( 2

22(n − 1) × 3n − 1

f(2x + 5) × f(x − 3) f(3x + 1)

−

= 2 6

2n + 2 (2 × 3)n − 4 ×

2 3 16 × 2 − 4 3 9 × 2

+

= 3(2 6) + 2 3(4 2) − 4 3(3 2)

b

(22

b

3 24 + 2 3( 32 − 2 18)

3p2 q

4. Jawaban: c f(x) = 7x f(2x + 5) = 72x + 5 = 72x × 7 5 f(x – 3) = 7x – 3 = 7x × 7 –3 f(3x + 1) = 73x + 1 = 73x × 7 1

5. Jawaban:

2 ) – ( 4 − 50 ) = 1 + 3 2 – 4 + 25 × 2

= 8 2 – 3

= 2(n + 2) + (n – 4) – 2(n – 1) × 3(n – 4) – (n – 1) = 2n + 2 + n – 4 – 2n + 2 × 3 n – 4 – n + 1 = 20 × 3–3 = 3–3 =

(1 + 3

= –3 + 8 2

3

m 2

c

36 16 729

= 5p5 – 2q–3 + 6 – 1 = 5p3q2

2n + 2 6n − 4

× (m – 2) ×

= 1 – 4 + 3 2 + 5 2

=

3. Jawaban:

2m m−2

×

m 2

24

(q2)3 =

2

m+2 m

× (m – 2) ×

= m(m + 2)

2−6 × 212 × 34

=

15p5q−3

=

e

=

365 × 256−1

=

m+ 2 m m−2 2m

=

3 5

=

3

(22 a3b 6 )5

−

2 2 a 3 b6

Matematika Kelas X

19

3

=

(ab2 ) 3 × 2 2

=

= ab2 3 22

14. Jawaban:

11. Jawaban: d −

2 5

7

+

2 5

=

= = =

−

2 5

7

+

2 5

7

=

7

×

×

−

2 5

7

−

2 5

7

−

2 5

7

×

( 7) 7 − 2 35 − 2 35 7 − 20

+

−

1

×

2 5

3+ 2

+

2 5

×

2 5

(2 5)

7

3+ 2

3− 2

1+ 3

4 ×1+ 3

3

–

×

2+3 2

2−3 2

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

×

4

−

4 −3 3 − 3 1− 3

=

1− 3 3 −2

=

3 3 −1 2

×

3

=

2(18 − 6 2 ) + (6 − 9 2) 14

=

=

36 − 12 2 + 6 − 9 2 14

=

=

42 − 21 2 14

= = =

16. Jawaban: 1 ⎛ 21 ⎜ (3) − (2) 2 1 ⎜ 1 ⎜ 2 2 − (3) 2 ⎝ −

a a( a

a

× −

a2

−

−

a

−

b

a

−

b

b) + b b( a

( a )2 a2

−

5

3 12

×

26

10 ×

36 1

−

5

−

7

+

26 32 64 9 c 2

⎞ ⎛ 3 ⎟ ⎜ = ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ 6

−

2 6

−

1

−

2 1

−

3

1⎞

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

2

⎟ ⎟ ⎠

1⎟

3

b)

b2

( −a + b) ab a −b

+

⎛ 6 −1 3 ⎞ × ⎟ = ⎜⎜ 2 6 − 1⎟⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠

=

20

×

⎛ = ⎜⎜ ⎜ ⎝

( b )2

a ab + b ab a −b b2

7

26

7

2

b

3

2−4 × 34 × 3 4

−

+

34

= 2 6 + 6 – (–4) × 3 12 = 26 × 3–2

−

a

×

6−9 2 −14

18 − 6 2 7

b b

(2 × 32 )6

=

=

+

×

6−9 2 4 − 18

−

a a

×

1

2−4 3−4

=

13. Jawaban:

( 3)

3

5

(22 × 3)12

7

=3–

−

−

2

2− 3 2

18 − 6 2 9−2

3 2

1− 4 × 3

b

=

1 4

×

(1)

7

18 6

1− 3 2

5

1212

1− 3

×

=

15. Jawaban:

3− 2

4+ 3

20

2+3 2 ×

3

+

1+ 3

=

3

6

16

2

a

−

1+ 3

=

4 35 − 27 13

6

(16 + 3) + 2 16 × 3

=

7

−

2

+

c

=

27 − 4 35 −13

12. Jawaban:

=

19 + 8 3 3

7

b) ab

−

= a + b – ab

= ab2 3 4

7

(a + b)(a − b) − (a a −b


3 2

2

2

10 6

1

–4– 4

17. Jawaban: 3 25

1 2

16

×

625

0,25

a 1

2

3 4

×

×

810,5

27 3

=

3

3

1

(54 ) 4 35

=

=

2

×

2

3

×

3

(a

3 2

−

= (a

−

−

b ) :

3 2

−

=

−

=

−

1 − 3

a b

2

−

2 3

b

= (ab) =

(a ) b 1 2

1 2 3 3

4 3

−

: (a

4 3

2

−

−

1 3

1 3

4

b9)

3

4 2 −

1)

4 2(3 3 2

(3 3)

×

+

−

(3 3

+

1)

(3 3

+

1)

1)

2

1

=

4 2(3 3 + 1) 27 − 1

=

2 13

2 (3 3 + 1) e

Diketahui 2log 5 = p. 1 3 −

× b

−

2 9

−

20log 125

4 9

2 3

=

log125 log 20 2

=

log125

2

2 3

log 20 2

=

2

log5 3

log (22

5)

×

2

(ab)

3x + 1

3

a

⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ 243 ⎠

x

−

4

3x + 1

⇔

3

⇔

3

1

3x –

⇔

5

3 2

6

x – 10

22. Jawaban:

5

5 2

x = –10 –

1 2

x=–

1

6y 3 )x −2

=

x

−

3 2

5

(x 4

=

( −2)

−

1 2

1 2

x y −

1

5 6

6y

1 − 3

Substitusikan x = 9 dan y = 8 ke dalam

x y 5

x4 5

−

−

−

6y

1 − 3

.

6(8)

1 3

(2 ×

+

2

log 5

3×p

3p 2+p

=

2 × 2log 2 + p

b x

+

1

3)x – 1

⎛2⎞ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

2x – 1 × 3 x – 1 =

⇔

3x – 1 × 3 x + 1 =

x

+

1

2 x +1 3 x +1 2 x +1 2 x −1

⇔

3x – 1 + (x + 1) = 2x + 1 – (x – 1)

⇔

32x = 22

⇔

32x = 4

⇔

2x = 3log 4

⇔

2x = 3log 22

⇔

2x = 2 × 3log 2

⇔

(9)2 ( 8)6 5

5 6

⎛2⎞ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠

log 22

⇔

5

1 2

(9) 4

⇔

21 2

6y 3 )

5

x4

1

6x – 1

y6 −

−

2

=

b

y5 −

−

5

= 32

x −4 2

x = –21

⇔

−

2

= (35)

3x + 2 = x – 10 2

⇔

x

2

3x + 1

⇔

20. Jawaban:

3 × 2log 5

=

= ⎜

2

(x 4

×

−

3 (3 3

1 3

6(2−1)

21. Jawaban:

19. Jawaban:

=

3

=

4 9

1+

=a

2

−

9 3

=

−

1 3

3×4 2

=

2 9

−

=a

2 9

5

32

51 × 32

b ) : ((a ) (b ))

= a–1b a −1b

1 2

3

2

−

(31)(22 )

c

1 3

6(23 )

−

5

1

(34 )2

×

= 3 23 =2

3

5

(32 ) 4

(52 )2 × (24 )4 × (33 )3

1

18. Jawaban:

5

1

(32 ) 2 (23 )6

x = 3log 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3log 2.

Matematika Kelas X

21

23. Jawaban:

c 2

6log

14 =

=

log 6

1

2

log (2 × 7)

2

log (2 × 3)

1 1 ⎛ p − 1⎞2 = log ⎜ + log ((p – 1) 2(p + 1) 2) ⎟ ⎝ p + 1⎠

2

log 2 + log 7

2

log 2 + 2log 3

1 ⎛ 1 1 ⎟ (p − 1)2 ⎜ 2 × (p + 1) 2 ⎟ = log ⎜ × (p – 1) 1 ⎜ (p + 1)2 ⎝

2

=

1+ a 1+ b

=

a +1 b +1

24. Jawaban:

1

28. Jawaban: (3 log 36)2

a

=

12x + 4 = 2log 23 12x + 4 = 8

⇔

(

⇔

12x + 4

)

2

=

plog

q + qlog p = =

2 3

2 3

4 9

log

2

log

⎛2⎞ log ⎜ ⎟ + ⎝3⎠

2 ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

1 2

=2+

1

⎛2⎞ log ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

=

26. Jawaban: 3log

=

15 –

3log

1 50

15 –

= 3log 15 –

log 3

1 log 3 log50

+ +

30

1 log 3 log 30

log 50 log 30 + log 3 log 3

15 × 30 50

= 3log 9 = 3log 32 = 2

log

× log (p2 – 1)

1

1 ⎛ p − 1⎞ 2 = log ⎜ + log (p2 – 1) 2 ⎟ ⎝ p + 1⎠

22

log12 3

log 12

2 × 2 ×1 1 2

29. Jawaban: 2 +

3log

=3

a 4 log

16

2 +

22 +

=4+4– =


2 – 5

3

4

4log

(42) 4log

5

log 5

3

log 3

2 – 5

3

22 – 5

3

5 3

= 22 + 22 – 5 3

19 3

30. Jawaban: e 2 × 3log y = 3log (x + 1) + 2 ⇔

a

p −1 1 + p+1 2

3

=8

⇔

27. Jawaban:

log 12

log 3

= 3log 15 – 3log 50 + 3log 30 = 3log

×

3log

1

log12

1 × 2

= (32)

c

)

2 × 3log 12 × 2 × 3log 3

9

1 2

3

×

1

3log

=2

log 4)

log 122 × 3log 32 2

2 3

36 4

3

log 144 × 3log 9 1

3

4 9

log (12)

−

1 2

3

1 × 2

=

+

log 4)( 3 log 36

(3 log 36 × 4)( 3 log

2

=

3

+

3

=

e

(3 log 4)2

−

( 3 log 36

3

12x + 4 = 64 12x = 60 ⇔ x=5 ⇔ Nilai 3x = 3(5) = 15

c

log 12

= 82

⇔

25. Jawaban:

1 2

= log (p – 1)

12x + 4 = 3

2log

+

= log (p – 1) 2

3

2log ⇔

log14

2

=

1

1 ⎛ p − 1⎞2 = log ⎜ + log ((p – 1)(p + 1) 2 ) ⎟ ⎝ p + 1⎠

2 × 3log y = 3log (x + 1) + 3log 32 3log

y2 = 3log (x + 1)9

⇔

y2 = (x + 1)9

⇔

y2 = 9(x + 1)

2 3

– x

⇔

5

⇔

–

2 3

6.

= 5–2

x = –2

D

x

x

⎛ 3⎞ ⎝ 2⎠

x = –2 × ⎜ − ⎟

⇔

A

x

E

x

B

x =3

⇔

BC =

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3. 2

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ × 3 72x +1 = 343 ⎝7⎠

b.

C

=

2

1 3

x+

7–2 × 7 3

⇔

2

73

⇔

2 3

⇔

= 73 = 73

1

2

–2 + ( x + 3 ) 3

7

⇔

5 3

x–

5 3

x–

⇔

= 73 = 73

14 3

x=

14 3

3 2

3

1

1

3

1 3

–

1

1

x2

+

CE2

⇒

2x + x 2 + x + x = 28

⇔

4x + x 2 = 28

⇔

x(4 +

×

2 ) = 28 x=

⇔

= 7

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 7. 5. p = (x 2 + x 2 )(x 3 – x

x2

=3

x=

2 3

⇔

+

= x 2 AB = AE + EB =x+x = 2x a. Keliling trapesium ABCD = 28 ⇒ AB + BC + CD + AD = 28

1

–1 2 2x + 1) 3 ⇔ (7 ) × (7

BE2

x=

⇔

) 3

1

1

1

1

= x 2 × x 3 + x 2 × x 3 – x 2 × x – 3 – x 2 × x – 3 3

1 3

= x 2 + 11 6

=x

1

1

3

+ x 2 + 3 – x 2 – 5 6

7 6

5

1

– x 2 –

2

1

–

1

= x2 x + x

1 2

1

= x 2 + 1 + x 3

1

1

1 2

1

– x 2

1

5

= x 2 + x 2 – x 6 – x =x p q

=

–

1 6

1 6

5

1 6

5 3

x (x

=x

1 6

=x

2 6

–

+

1 3

–

1 2

1

b.

x3

– x

–

1 2

+

1 3

5 3

+

+

x

x

2 3

1 6

24

=

112 + 28 2 14

Panjang BC = x 2 = (8 + 2 2 ) 2 = (8 2 + 4) cm

−

−

x

−

0

x )

x1 − x 0 )

1

– (– ) 6

1

3

28 × 4 + 28 2 16 − 2

Jadi, panjang AB = (16 + 4 2 ) cm dan 1

= x3 =

4+ 2

= (16 + 4 2 ) cm

2

2 3

4+ 2

Panjang AB = 2x = 2 × (8 + 2 2 )

(x 3 + x 3 – x 1 – x 0)

x (x −

1

x – x 2 x 3 – x

– + 1

4− 2

×

Jadi, nilai x = 8 + 2 2 .

)(x – x 3 )

1 2

–

28

=8+2 2

= x (x 3 + x 3 – x1 – x 0) q = (x 2 + x

4− 2

=

1 3

1 6

+x –x –x

1 6

1 3

28

x


BC = (8 2 + 4) cm. c.

Luas trapesium ABCD =

1 2

× (AB + CD) × AD

=

1 2

× (3x) × x

=

3 2

x2

=

3 2

(8 + 2 2 )2

=

3 2

(64 + 32 2 + 8)

=

3 2

(72 + 32 2 )

a.

12log 112

3

= =

= 108 + 48 2

=

Jadi, luas trapesium ABCD (108 + 48 2) cm2. 7. a.

3log

27 =

16

3 33 × log 5 +

3log

=3

3log

=3

1

2log

5 +

53 +

3

log 3

–

–

2log

2

8

log 3

2

2 24 × log 3

(3

2

125 +

5

–

5

1 9

2log

1 2

1 2 )4

5

–

–

2

5 2

–

5

2

5

2

23

5

×

2

1 8

= = = = = c.

2–3log

11 2

2 ×

11 2

25 4

× −3

– −5

11 × 6

5 4

−

55 24

+

log 2

−

log 3

log 27

b.

6log

1 25

log 22

+

log 7

3

log 3

2ab +1 a

b +1

3

686 =

–

–1

4

log 4

64

=

3 2

=

3 2

log 686 3

3

log 73 × 2

3

3

log 6

log 2 × 3

log 73

3

3

log 2

+

3

log 2 + log 3

3 × 3log 7 + 3log 2 3

log 2 + 1

1

−

3 2

+

=

36 24

91 24

5log

3

3

2ab + 1

1

25 4

+

= a(b + 1)

log 64 4 2 – 4 log

–5

2

log 24

log 3

=

1 32

log 32 2 ×

3

b 1 + 2 a b 2× +1 2

=

= 125 b.

log 22 × 3

3

1 3 – 9 27

= 125 +

log 24 × 7

3

4×

log 3

log 3

3

2 × 3log 2 + 3log 3

=

log 3

log 12

4 × 3log 2 + 3log 7

=

5

log112

3

– 3log

81 –

0,1log

(0,01)

1 3 1

= 5log 5–2 – 3log 34 – 0,1log ((0,1)2) 3

3×

1 b + a 2

b +1 2

=

6 + ab 2a b+2 2

=

6 + ab 2a

=

6 + ab a(b + 2)

×

2 b+2

2

= 5log 5–2 – 3log 34 – 0,1log (0,1) 3 = –2 – 4 –

8.

7log

3=a

⇔

⇔

⇔

3log

4=b

⇔ ⇔

⇔

2 3

= –6

=a

log 7 log 3

=

3log 7

=

b.

1 a

x2y + ylog x3y–1 – xlog y

2 × 4log 45 – 4log =

1 a

3log 22

=b 3 2 log 2 = b 2 =

xlog

= xlog x2 + xlog y + ylog x3 + ylog y–1 – xlog y = 2 + xlog y + 3 × ylog x – 1 – xlog y = 1 + 3 × ylog x (terbukti)

2 3

log 3 log 7

3log

9. a.

b 2

4log

3 – 5

⎛5⎞ 452 – 4log

1

−

4 ⎜ 3 ⎟ + (–3) × log 5 ⎝ ⎠

= 4log 452 + 4log = 4log (452 ×

3 × 4log 5

5 + 4log 3

5 1 × 3 3 5

5–3

)

Matematika Kelas X

25

= 4log ((32 × 5)2 × = 4log (34 × 52 ×

5 3

5 1 × 3 3 5

×

1 3

5

)

⇔

)

⇔

= 4log 34 – 1 × 52 + 1 – 3 = 4log 33 × 50 = 4log 33

⇔

= 3 × 4log 3 (terbukti)

⇔ ⇔

1

10.

16

log (x − 2) −

16

log (x

2

−

⇔

4x + 4)

⇔

26

16log

(x – 2) –

16log

2)2

(x –

16log (x

(x

16log

−

−

2)

2)2

1 x −2 1 x −2

−

(x – 2) – 16log (x2 – 4x + 4) = 16log

1 2

−

(x – 2) – 16log (x – 2)2 = 16log 16


−

1 2

1

4 = 16log (2 ) 2

= 16log 2–2 = 16log =

1 4

x –2= 4 x=6


= –2 ⇔

16log

1 4

Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat

Fungsi

Persamaan Kuadrat

Fungsi Kuadrat

• Konsep fungsi • Domain, kodomain, dan range fungsi • Grafik fungsi

• Penyelesaian persamaan kuadrat • Jenis-jenis akar persamaan kuadrat • Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat • Persamaan kuadrat baru

• Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat • Grafik fungsi kuadrat • Fungsi kuadrat baru

• • • • • • • • • • • • • • •

Pertidaksamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Satu Variabel

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat dan Pemakaian Persamaan Kuadrat

• P er t id ak sa ma a n linear • P er t id ak sa ma a n kuadrat • P er t id ak sa ma a n pecahan

• P e rm a sa l ah a n d e t e r m i n a n persamaan kuadrat • P e rm a sa l ah a n sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

Bersikap kreatif menggunakan alternatif lain dalam menyelesaikan masalah. Mampu mendeskripsikan konsep fungsi Mampu menentukan domain, kodomain, dan range fungsi Mampu menggambar grafik fungsi Mampu menentukan penyelesaian persamaan kuadrat Mampu menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat Mampu menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat Mampu menyusun persamaan kuadrat Mampu menentukan unsur-unsur grafik fungsi kuadrat Mampu menggambar grafik fungsi kuadrat Mampu menyusun fungsi kuadrat Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan pecahan Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

Matematika Kelas X

27

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: c Fungsi adalah relasi yang mengawankan setiap anggota domain (A) dengan tepat satu anggota kodomain (B). a. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang mempunyai dua kawan di B. b. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang tidak mempunyai kawan di B. c. Fungsi karena setiap anggota domain A mempunyai tepat satu kawan di B. d. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang mempunyai dua kawan di B. e. Bukan fungsi karena ada anggota domain A yang tidak mempunyai kawan di B. Jadi, diagram panah yang menggambarkan fungsi adalah c. 2. Jawaban: b Fungsi dari himpunan P ke himpunan Q adalah pengawanan yang mengawankan setiap anggota P dengan tepat satu anggota Q, misalkan pengawanan (i) dan (iii). Pengawanan (ii) dan (iv) bukan fungsi karena ada anggota P yang mempunyai dua kawan di Q. 3. Jawaban: d Range adalah himpunan dari anggota kodomain yang memiliki pasangan dengan anggota domain. Pada fungsi g yang dinyatakan dalam pasangan berurutan, rangenya adalah bilangan kedua pada setiap pasangan berurutan. Jadi, range pada fungsi g adalah {1, 2, 3, 4}. 4. Jawaban: d Dari diagram panah diperoleh g(–2) = 2 dan g(2) = 3. Jadi, g(–2) + g(2) = 2 + 3 = 5. 5. Jawaban: a h(x) = 3 h( 2

x x−3

)=

3 2 3 2

−3

×

2 2

=

3 3−6

=

3 −3

= –1

3 2

Jadi, nilai h( ) = –1. 6. Jawaban: d g(x) = –x – 2 Untuk x = –3 diperoleh: g(–3) = –(–3) – 2 = 3 – 2 = 1

28


g((–3)2) = g(9) = –9 – 2 = –11 Untuk x = –3 maka: 2(g(x))2 + g(x2) – 3g(x) = 2(g(–3))2 + g((–3)2) – 3g(–3) = 2 × 12 + (–11) – 3 × 1 = 2 – 11 – 3 = –12 7. Jawaban: b Oleh karena x = –2 < 2, maka menggunakan rumus f(x) = 4 – 2x. f(–2) = 4 – 2(–2) = 4 + 4 = 8 8. Jawaban: e f(2x + 3) = 5x – 3 Untuk x = –2 diperoleh: f(2(–2) + 3) = 5(–2) – 3 ⇔ f(–4 + 3) = –10 – 3 ⇔ f(–1) = –13 Jadi, nilai f(–1) = –13. 9. Jawaban: c Fungsi pecahan tak terdefinisi apabila penyebutnya nol. Jadi, fungsi f(x) tak terdefinisi apabila: 4 – 2x = 0 ⇔ –2x = –4 ⇔ x=2 10. Jawaban: a f(w) =

1 2w + 3

2w + 3 > 0

terdefinisi jika memenuhi syarat: 3

⇔ 2w > –3 ⇔ w > – 2

Jadi, daerah asal alami fungsi tersebut 3

{w | w > – 2 , w ∈ R}. 11. Jawaban: b –3 ∈ x < –2, jadi f(–3) = (–3) 2 – (–3) = 9 + 3 = 12 –2 ∈ –2 ≤ x < 2, jadi f(–2) = (–2) – 5 = –7 –1 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(–1) = (–1) – 5 = –6 0 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(0) = (0) – 5 = –5 1 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(1) = (1) – 5 = –4 2 ∈ –2 ≤ x ; jadi f(2) = –1 – 8(2) = –17 Range = {–17, –7, –6, –5, –4, 12}. 12. Jawaban: b Himpunan pasangan berurutan pada pilihan b merupakan suatu fungsi satu-satu karena setiap anggota domain mempunyai pasangan berbeda di kodomain.

13. Jawaban: b Diagram panah pada pilihan b menunjukkan suatu fungsi dari A ke B yang surjektif karena setiap anggota B mempunyai prapeta di A.

f(–2) = 18

14. Jawaban: a Grafik (i) dan (ii) menunjukkan fungsi berkorespondensi satu-satu karena setiap garis tegak bertemu tepat satu titik dengan grafik dan setiap garis mendatar bertemu tepat satu titik dengan grafik. 15. Jawaban: b Fungsi linear: f(x) = 2x + n Grafik fungsi f(x) melalui titik (–3, –12), berarti: f(–3) = –12 ⇒ 2(–3) + n = –12 ⇔ –6 + n = –12 ⇔ n = –12 + 6 ⇔ n = –6 Diperoleh f(x) = 2x – 6. f(5) = 2(5) – 6 = 4 Jadi, nilai f(5) = 4. 16. Jawaban: e Fungsi: f(x) = 2x 2 – 4x + 3 Grafik fungsi f(x) memotong sumbu Y jika x = 0. f(0) = 2(0)2 – 4(0) + 3 = 3 Jadi, grafik fungsi f(x) memotong sumbu Y di titik (0, 3). 17. Jawaban: b g(x) = 5 – 3x Grafik fungsi g(x) melalui titik (a, –19), berarti: g(a) = –19 ⇒ 5 – 3a = –19 ⇔ –3a = –19 – 5 ⇔ –3a = –24 a=8 ⇔ Jadi, nilai a = 8. 18. Jawaban: b Fungsi linear: f(x) = 2x – 10 f(0) = 2(0) – 10 = 0 – 10 = –10 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y (0, –10). f(x) = 0 ⇒ 0 = 2x – 10 ⇔ 2x = 10 ⇔ x=5 Diperoleh titik potong dengan sumbu X (5, 0). Gambar yang sesuai ada pada pilihan b. 19. Jawaban: b g(x) = 2x2 – x + 5 g(–2) = 2(–2)2 – (–2) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15 Grafik fungsi kuadrat g(x) melalui titik (–2, 15). 20. Jawaban: b f(x) = x2 + 3x + m Grafik f(x) melalui titik (–2, 18), berarti:

⇒ (–2)2 + 3(–2) + m = 18 4 – 6 + m = 18 ⇔ m – 2 = 18 ⇔ ⇔ m = 18 + 2 ⇔ m = 20

Diperoleh f(x) = x 2 + 3x + 20. f(–1) = (–1)2 + 3(–1) + 20 = 1 – 3 + 24 = 18 Diperoleh grafik f(x) melalui titik (–1, 18) sehingga nilai n = 18. Jadi, nilai m – n = 20 – 18 = 2. B.

Uraian

1. a.

b. 2.

fungsi f: P → Q Domain: P = {–2, –1, 0, 1, 2} Kodomain: Q = {–8, –6, –4, –2, 0, 2} Range: R = {–6, –2, 0} Fungsi f = {(–2, –6), (–1, –2), (0, 0), (1, –2), (2, 0)}

x2 – 4 untuk x ≥ 2  f(x) =  2 – x untuk x < 2 a. Oleh karena 5 ≥ 2 maka: f(5) = 52 – 4 = 25 – 4 = 21 Oleh karena –5 < 2 maka: f(–5) = 2 – (–5) = 7 Jadi, nilai fungsi f untuk x = 5 adalah 21 dan nilai fungsi f untuk x = –5 adalah 7. b. f(2) = 22 – 4 = 4 – 4 = 0 f(–2) = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 Jadi, f(2) + f(–2) = 0 + 4 = 4.

3. a.

b.

f(x) = 10 – 2x f(1) = 10 – 21 = 10 – 2 = 8 f(2) = 10 – 22 = 10 – 4 = 6 f(3) = 10 – 23 = 10 – 8 = 2 f(4) = 10 – 24 = 10 – 16 = –6 f(5) = 10 – 25 = 10 – 32 = –22 daerah hasil = {–22, –6, 2, 6, 8}. x 2 + 2x − 15 f(x) = x+5 1 + 2 − 15 −12 f(1) = 1 + 5 = 6 = –2 4 + 4 − 15 −7 f(2) = 2 + 5 = 7 = –1 9 + 6 − 15 0 f(3) = 3 + 5 = 8 = 0 9 16 + 8 − 15 f(4) = = 9 = 1 4+5 25 + 10 − 15 20 f(5) = = 10 = 2 5+5 Daerah hasil = {–2, –1, 0, 1, 2}.

Matematika Kelas X

29

4. f(x) = px – 6 Dari diagram garis diperoleh f(2) = 14, f(5) = a, dan f(b) = –8. f(2) = 14 ⇒ 2p – 6 = 14 ⇔ 2p = 14 + 6 2p = 20 ⇔ ⇔ p = 10 Diperoleh f(x) = 10x – 6. f(5) = a ⇒ a = 10(5) – 6 = 50 – 6 = 44 f(b) = –8 ⇒ 10b – 6 = –8 ⇔ 10b = –8 + 6 10b = –2 ⇔ ⇔ b = –0,2 Jadi, nilai p = 10, a = 44, dan b = –0,2. 5. f(x) = x2 + 1 f(0) = 02 + 1 = 1 f(1) = 12 + 1 = 2 f(2) = 22 + 1 = 5

A

c.

Y 5 4 3 2 1

1 2

8. a.

30


f(x) = 4x – 8 f(0) = 0 – 8 = –8 melalui titik (0, –8) f(2) = 8 – 8 = 0 melalui titik (2, 0) Grafik fungsi f(x) = 4x – 8: X

2

0

–8

b.

2

g(x) = – 3 x + 12 g(0) = 0 + 12 = 12 g(6) = –4 + 12 = 8

6. f(x) = 2x – 3 a. Grafik fungsi f(x) melalui (4, n), berarti: f(4) = n ⇒ n = 2(4) – 3 = 8 – 3 = 5 Jadi, nilai n = 5. b. Grafik fungsi f(x) melalui (n, –7), berarti: f(n) = –7 ⇒ 2n – 3 = –7 ⇔ 2n = –4 n = –2 ⇔ 7. f(x) = x2 – 2x – 3 Domain: A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} f(–2) = (–2)2 – 2(–2) – 3 = 4 + 4 – 3 = 5 f(–1) = (–1)2 – 2(–1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 f(0) = (0)2 – 2(0) – 3 = 0 – 0 – 3 = –3 f(1) = (1)2 – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = –4 f(2) = (2)2 – 2(2) – 3 = 4 – 4 – 3 = –3 f(3) = (3)2 – 2(3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 f(4) = (4)2 – 2(4) – 3 = 16 – 8 – 3 = 5 a. Daerah hasil: Rf = {–4, –3, 0, 5} b. Fungsi f = {(–2, 5), (–1, 0), (0, –3), (1, –4), (2, –3), (3, 0), (4, 5)}

1 2 3 4

Y

1 2 3 4 5

Fungsi f(x) adalah fungsi injektif karena setiap anggota himpunan A mempunyai bayangan berbeda di B. Fungsi f(x) bukan fungsi surjektif karena 3 ∈ B dan 4 ∈ B tidak memiliki prapeta di A. Karena f(x) bukan fungsi surjektif, pasti f(x) bukan fungsi bijektif. Jadi, f(x) merupakan fungsi injektif saja.

X

0 –2 –1 –1 –2 –3 –4

B

0

Diagram kartesius:

2

Grafik fungsi g(x) = – 3 x + 12: Y 12 8

0

9. a.

X

6

h(x) = 2 – x – x2 x

–3

–2

–1

0

1

2

3

h(x)

–4

0

2

2

0

–4

–10

Koordinat titik-titiknya (–3, –4), (–2, 0), (–1, 2), (0, 2), (1, 0), (2, –4), (3, –10).

b.

Gambar grafik h(x) = 2 – x – x2

Gambar titik-titik bantu pada koordinat kartesius, kemudian hubungkan dengan kurva mulus.

Y 3 2 1 –4 –3 –2–1 0 –1 –2 –3

Y 5 4 3 2 1

X

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 X –1 –2 –3 –4 –5 (0, –5) (6, –5) x=3

h(x) = 2 – x – x 2

–4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

10. a.

f(x) =

b.

–x 2 +

6x – 5 dengan daerah asal {x | 0 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}. Ambil beberapa titik bantu.

x

0

1

2

3

4

5

6

–x2

0

–1

–4

–9

–16

–25

–36

6x

0

6

12

18

24

30

36

–5

–5

–5

–5

–5

–5

–5

–5

f(x)

–5

0

3

4

3

0

–5

(1, 0)

(2, 3)

(3, 4)

(4, 3)

(x, f(x)) (0, –5)

A.

Dari grafik diperoleh pembuat nol fungsi: x = 1 dan x = 5 Persamaan sumbu simetri: x = 3. Nilai balik maksimum: y = 4. Koordinat titik balik (3, 4). Daerah hasil {y | –5 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}.

(5, 0) (6, –5)

Pilihan Ganda

1. Jawaban: d Mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. 3x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ (3x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ 3x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ 3x = –4 atau x = 2 4

⇔ x = – 3 atau x = 2 4

Diperoleh penyelesaian x = – 3 atau x = 2. 4

Jadi, himpunan penyelesaiaannya {– 3 , 2}. 2. Jawaban: a Persamaan kuadrat: x 2 – 6x + 4 = 0 Diperoleh a = 1, b = –6, dan c = 4 sehingga: D = b2 – 4ac = (–6)2 – 4(1)(4) = 36 – 16 = 20

Mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus abc. −(−6) ± 20 6±2 5 = = 3 ± 5 × 2 1 2a 2 Jadi, salah satu akar persamaan kuadrat tersebut

x=

−b ± D

adalah 3 +

=

5.

3. Jawaban: e (2x – 3)2 – 12 = 0 ⇔ (2x – 3)2 = 12

⇔ ⇔ ⇔

2x – 3 = ± 12 2x = 3 ± 2 3 3

x = 2 ± 3

Jadi, penyelesaiannya 2 +

3 3

3 atau 2 –

Matematika Kelas X

3.

31

4. Jawaban: d 2x2 – 13x – 7 = 0 ⇔ (2x + 1)(x – 7) = 0

9. Jawaban: e x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + x – 2 = 0.

1

b

⇔ x = – 2 atau x = 7 1

Oleh karena x 2 > x1, maka x1 = – 2 dan x2 = 7. Jadi, nilai 2x1 + 3x2 = 20.

1

a= 2

1

Diperoleh persamaan kuadrat: 2 x2 + 5x – 12 = 0

1

= 9( 9 ) + 4 =5 10. Jawaban: d 2x2 + 3x – 6 = 0 Diperoleh: a = 2, b = 3, c = –6 b

c −6 x1x2 = a = 2 = –3 2x1x22 + 2x12x2 = 2x1x2(x1 + x2) 3

=9

6. Jawaban: e Misalkan y = 2p + 3 (2p + 3)2 + 3(2p + 3) – 10 = 0 y2 + 3y – 10 = 0 ⇒ ⇔ (y + 5)(y – 2) = 0 y = –5 atau y =2 ⇔ ⇔ 2p + 3 = –5 atau 2p + 3 = 2 ⇔ 2p = –8 atau 2p = –1

11. Jawaban: a Dari persamaan kuadrat 3x 2 – x + 9 = 0, diperoleh: b 1 −1 x1 + x2 = – a = – 3 = 3 c

1

= ( 3 )2 – 2(3) 1

= 9 – 6

1

53

=– 9

1

7. Jawaban: a x2 – 8x + c = 0 Persamaan kuadrat di atas mempunyai penyelesaian tunggal apabila: D = 0 ⇔ (–8)2 – 4 × 1 × c = 0 64 – 4c = 0 ⇔ ⇔ 4c = 64 c = 16 ⇔ 8. Jawaban: b 2x2 – 7x + a = 0 Persamaan kuadrat tidak mempunyai penyelesaian apabila: D < 0 ⇔ (–7)2 – 4 × 2 × a < 0 ⇔ 49 – 8a < 0 ⇔ 49 < 8a

⇔

49

a> 8


9

x1x2 = a = 3 = 3 x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

p =–2

Jadi, HP = {–4, – 2 }.

32

3

x1 + x2 = – a = – 2

= 2(–3) (– 2 )

Jadi, akar yang lain adalah –12.

p = –4 atau

2

9(x1 + x2)2 – 6x1x2 = 9(– 3 )2 – 6(– 3 )

5x – 12 = 0

⇔ x2 + 10x – 24 = 0 ⇔ (x + 12)(x – 2) = 0 ⇔ x = –12 atau x = 2

⇔

2

= a = – 3

1

5. Jawaban: e Substitusikan x = 2 ke persamaan kuadrat: ax2 + 5x – 12 = 0 ⇔ a(2)2 + 5(2) – 12 = 0 ⇔ 4a + 10 – 12 = 0 4a – 2 = 0 ⇔ ⇔ 4a = 2

1 2 x + 2

c

x1 x2

1

2x1 + 3x2 = 2(– 2 ) + 3(7) = –1 + 21 = 20

⇔

1

Diperoleh: x1 + x2 = – a = – 3 dan

x1 x2

+

x2 x1

=

x12 + x12 x1x 2

=

− 53 9

3

53

= – 27

12. Jawaban: e Akar-akar x2 + (a – 1)x + 6 = 0 adalah x 1 dan x2. b

x1 + x2 = – a = –(a – 1) = 1 – a c

x1 × x2 = a = 6 Oleh karena berlaku x 12 + x22 = 13 maka: x12 + x22 = 13 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 13 ⇔ (1 – a)2 – 2 × 6 = 13 ⇔ 1 – a = ± 25

⇔ ⇔

a = 1 ±5 a = –4 atau a = 6 Oleh karena a > 0 maka yang memenuhi a = 6.

13. Jawaban: d Persamaan kuadrat: x 2 + (p + 1)x + 8 = 0 Diperoleh: α + β = –(p + 1) dan α × β = 8 Diketahui α =

1 β, maka: 2 1 β × β = 8 2

1

Jadi, nilai p = –7. 14. Jawaban: d Oleh karena α dan β adalah akar-akar dari persamaan x2 + ax + b = 0 maka α × β = b dan α + β = –a. α2β + αβ2 = 6 ⇔ αβ(α + β) = 6 ⇔ (–a)b = 6 −6 ⇔ b= a 3 2

⇔ ⇔

3 α+β = 2 αβ 3 −a = b 2

⇔ ⇔ ⇔

–a = 2 b 3 −6 –a = 2 × a –a2 = –9 a2 = 9

36 36 −6 b2 = ( a )2 = 2 = 9 = 4 a 2 Jadi, nilai a – b2 = 9 – 4 = 5.

15. Jawaban: c x2 + bx – 2 = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x2 x1 + x2 = –b dan x 1 × x2 = –2 x1 2x2

⇔

3 ) + (2 –

3)=4

1

= (x1 – 2 ) 1

x1 = 2x2(x1 – 2 )

x1 = 2x2 × x1 – 2x2 × ⇔ x1 = 2x2 × x1 – x2 ⇔ ⇔ x1 + x2 = 2x1 × x2 –b = 2(–2) ⇔ ⇔ b=4

17. Jawaban: e 2x2 – 5x + 1 = 0 Diperoleh: a = 2, b = –5, c = 1 b 5 −5 x1 + x2 = – a = – 2 = 2 c

1 2

1

x1x2 = a = 2 Akar-akar persamaan kuadrat baru dan β = (x2 – 1). α + β = (x1 – 1) + (x2 – 1) = x1 + x2 – 2 5

α = (x1 – 1)

1

= 2 – 2 = 2 αβ = (x1 – 1)(x2 – 1) = x1x2 – x1 – x2 + 1 = x1x2 – (x1 + x2) + 1 1

3

⇔

3

x1x2 = (2 + 3 )(2 – 3 ) =4–3=1 Persamaan kuadratnya: x2 – 4x + 1 = 0

α = 2 β = 2 × 4 = 2 α + β = –(p + 1) ⇔ 4 + 2 = –p – 1 ⇔ p = –1 – 4 – 2 p = –7 ⇔

α–1 + β–1 =

3 dan x2 = 2 –

x1 = 2 +

x1 + x2 = (2 +

α × β = 8 ⇔ ⇔ β2 = 16 ⇔ β = ±4 β positif, maka β = 4. 1

16. Jawaban: a Akar-akar persamaan kuadrat:

5

= 2 – 2 + 1 = –1 Persamaan kuadrat baru: 1

x2 – 2 x – 1 = 0 ⇔ 2x2 – x – 2 = 0 18. Jawaban: d x2 – 5x – 1 = 0 mempunyai akar p dan q p + q = 5 dan pq = –1 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah: x2 – (2p + 1 + 2q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0 ⇔ x2 – (2(p + q) + 2)x + (4pq + 2(p + q) + 1) = 0 x2 – (2(5) + 2)x + (4(–1) + 2(5) + 1) = 0 ⇔ x2 – 12x + 7 = 0 ⇔ Jadi, persamaan kuadrat baru x 2 – 12x + 7 = 0. 19. Jawaban: e 2x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai akar x1 dan x2 3

x1 + x2 = –3 dan x1 × x2 = 2 3

Misalkan a = x1 + x2 = –3 dan b = x 1 × x2 = 2 .

Matematika Kelas X

33

Persamaan kuadrat dengan akar-akar a dan b: x2 – (a + b)x + ab = 0 3 2

⇔ x2 – (–3 +

3

=

)x + (–3) 2 = 0 3

⇔

x1,2 =

9

1

2. a.

Persamaan kuadrat baru yang akarnya – α dan –β adalah x2 – (–α + (–β))x + (–α)(–β) = 0 ⇔ x2 – (–(α + β))x + α × β = 0 ⇔ x2 + (α + β)x + α × β = 0 c −b ⇔ x2 + a x + a = 0 –––––––––––––––––––––– × a ⇔ ax2 – bx + c = 0

b.

Uraian

1.

a.

b.

x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 3) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 3 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut 2 atau 3. x2 + 3x – 2 = 0 a = 1, b = 3, c = –2 D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(–2) =9+8 = 17 −b ± D −3 ± 17 x1,2 = = 2a

2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut −3 + 17 −3 ± 17 atau . 2

c.

2

3x2 + 8x + 4 = 0 ⇔ (3x + 2)(x + 2) = 0 2

⇔ x = – 3 atau x = –2 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut 2

– 3 atau –2. d.

34

2x2 – 4x – 1 = 0 a = 2, b = –4, c = –1 D = b2 – 4ac = (–4)2 – 4(2)(–1) = 16 + 8 = 24


4 − 24 4

=1± 2 6 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut

20. Jawaban: b Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai akar α dan β. c −b α + β = a dan α × β = a

B.

2a

1

x2 + 2 x – 2 = 0 2x2 + 3x – 9 = 0

⇔

−b ± D

1

1 + 2 6 atau 1 – 2 6 . (x + 2)2 = 2(x + 5) – 3 ⇔ x2 + 4x + 4 = 2x + 10 – 3 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 1 Jadi, himpunan penyelesaiannya {–3, 1}. (5 – 2x)2 – 7 = 1 ⇔ (5 – 2x)2 = 8

⇔ ⇔

5 – 2x = ± 8

⇔

x = 2 ±

2x = 5 ± 2 2 5

2 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 2 + 5 – 2 }. 2 c.

2,

Ingat: a2 – b2 = (a + b)(a – b) (2x – 3) 2 – (x + 5)2 = 0 ⇔ ((2x – 3) + (x + 5))((2x – 3) – (x + 5)) = 0 ⇔ (3x + 2)(x – 8) = 0 2

⇔ x = – 3 atau x = 8 2

d.

Jadi, himpunan penyelesaiannya {– 3 , 8}. Ingat: a2 – 3a – 18 = (a + 3)(a – 6) (x – 5)2 – 3(x – 5) – 18 = 0 ⇔ ((x – 5) + 3)((x – 5) – 6) = 0 ⇔ (x – 2)(x – 11) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 11 Jadi, himpunan penyelesaiannya {2, 11}.

3. Misal: x1 akar x2 – 3x + p = 0 maka x 1 + 3 akar x2 – 3x – 2p = 0 sehingga berlaku: (x1 + 3)2 – 3(x1 + 3) – 2p = 0 ⇔ x12 + 6x1 + 9 – 3x1 – 9 – 2p = 0 ⇔ x12 + 3x1 – 2p = 0 . . . (1) 2 x1 akar x – 3x + p = 0 maka x12 – 3x1 + p = 0 . . . (2) Eliminasi x12 dari (1) dan (2): x12 + 3x1 – 2p= 0 x12 – 3x1 + p = 0 –––––––––––––––– – p 6x1 – 3p = 0 ⇔ 6x1 = 3p ⇔ x1 = 2

p

Substitusi x1 = 2 ke (2): x12 – 3x1 + p = 0 p

b.

p

⇔ ( 2 )2 – 3( 2 ) + p = 0 ⇔

p2 4

3p

– 2 + p = 0 ––––––––––––––––––– × 4 ⇔ p2 – 6p + 4p = 0 p2 – 2p = 0 ⇔ ⇔ p(p – 2) = 0 ⇔ p = 0 atau p = 2 Jadi, p = 2 (karena p bilangan asli). 4. a.

a = 3, b = 2 2 , c = –5

⇔ x =± 5

= 8 + 60 = 68 > 0 Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat

D = b2 – 4ac = (2 2 )2 – 4 × 3 × (–5) 5 }.

x – 2 x – 15 = 0 2 x – 15 = 0 ⇔ ( x ⇔ ( x – 5)( x + 3) = 0 ⇔ x = 5 atau x = –3 (TM) ⇔ x = 25

3a2 + 2 2 a – 5 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.

)2 –

Jadi, himpunan penyelesaiannya {25}. c.

x (4

–

5 x

+ 2 = 0) × 4x

⇔ x2 – 20 + 8x = 0 x2 + 8x – 20 = 0 ⇔ ⇔ (x + 10)(x – 2) = 0 ⇔ x = –10 atau x = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya {–10, 2}.

d.

x + 5 – x + 1 = 0

⇔ x+5 =x–1 ⇔ x + 5 = (x – 1)2 ⇔ x + 5 = x2 – 2x + 1 ⇔ x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 4) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 4 Oleh karena (−1) + 5 – (–1) + 1 ≠ 0, maka x = –1 bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya {4}. 5. a.

3a2 + 2 2 a – 5 = 0

x4 – 25 = 0 ⇔ (x2 – 5)(x2 + 5) = 0 ⇔ x2 = 5 atau x2 = –5 (TM) Jadi, himpunan penyelesaiannya {– 5 ,

b.

c.

Oleh karena D = 0 maka persamaan kuadrat 4y2 + 20y + 25 = 0 mempunyai akar real yang sama. 2p2 – 3p + 8 = 0 a = 2, b = –3, c = 8 D = b2 – 4ac = (–3)2 – 4 × 2 × 8 = 9 – 64 = –55 < 0 Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2p2 – 3p + 8 = 0 tidak mempunyai akar real.

4y2 + 20y + 25 = 0 a = 4, b = 20, c = 25 D = b2 – 4ac = 202 – 4 × 4 × 25 = 400 – 400 = 0

d.

m2 – 3 3 m + 10 –

3 = 0

a = 1, b = –3 3 , c = 10 –

3

D = b2 – 4ac = (–3 3 )2 – 4 × 1 × (10 –

3)

= 27 – 40 + 4 3 = 4 3 – 13

≈ –6,07 < 0 Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat m2 – 3 3 m + 10 – 3 = 0 tidak mempunyai akar nyata. 6. D = b2 – 4ac = (–(2n – 1))2 – 4 × n × n = 4n2 – 4n + 1 – 4n 2 = –4n + 1 a. Persamaan kuadrat mempunyai akar real jika D ≥ 0: –4n + 1 ≥ 0 ⇔ –4n ≥ –1

⇔

1

⇔

n= 4

n ≤ 4 b. Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0: –4n + 1= 0 ⇔ –4n = –1 1

Matematika Kelas X

35

c.

Persamaan kuadrat mempunyai akar real dan berlainan jika D > 0: –4n + 1> 0 ⇔ –4n > –1

⇔

1

⇔

1 4

n< 4 d. Persamaan kuadrat mempunyai akar imajiner jika D < 0: –4n + 1< 0 ⇔ –4n < –1 n>

8. a.

b.

7. 3x2 + 2x – 18 = 0 b

2

x1 + x2 = – a = – 3

⇔

c −18 x1 × x2 = a = 3 = –6 a. x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 2

= (– 3 )2 – 2(–6) 4

1 x12

+

1 x 22

1

9. a.

4

=

x 22 x12 x 22

=

x 2 2 + x12 x12 x 22

= =

x12

x12 x12 x 22

+

+ x2

x1 = –8 dan x 2 = 5 x1 + x2 = –8 + 5 = –3 x1 × x2 = –8 × 5 = –40 Persamaan kuadrat: x 2 + 3x – 40 = 0

b.

2

x1 = 3 dan x2 = 6 2

x1 + x2 = 3 + 6

2

(x1 x 2 )2 12

2

= 63

4 9 2

20

(−6)

= 3

112

2

= 9 ⋅ 36

x1 × x2 = 3 × 6 = 4 Persamaan kuadrat:

28

= 81 c.

20

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x12 x2 – 3x1x22 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) 2

2

= (– 3 )3 – 3(–6)(– 3 ) =

8 – 27

⇔ c.

– 12

+

x 22 x1

=

x13 x1 x 2

=

x13 + x 2 3 x1 x 2

+

Persamaan kuadrat: x 2 + 4 3 x + 9 = 0 x 23 x1 x 2

−12 278 = −6 166

= 81 4

= 2 81 36

x1 = – 3 dan x2 = –3 3 x1 × x2 = – 3 × (–3 3 ) = 9

8

x12 x2

x2 – 3 x + 4 = 0 3x2 – 20x + 12 = 0

x1 + x2 = – 3 + (–3 3 ) = –4 3

= –12 27 d.

1

x = 3 atau x = 3

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah 3 atau 3.

= 9 + 12 = 12 9 b.

(p – 2)x2 – 2px + 2p – 7 = 0 a = p – 2, b = –2p, c = 2p – 7 Persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang saling berkebalikan, berarti: 2p − 7 x1 × x2 = 1 ⇒ p − 2 = 1 ⇔ 2p – 7 = p – 2 ⇔ p=5 Jadi, nilai p = 5. (p – 2)x2 – 2px + 2p – 7 = 0 ⇒ (5 – 2)x2 – 2(5)x + 2(5) – 7 = 0 ⇔ 3x2 – 10x + 3 = 0 ⇔ (3x – 1)(x – 3) = 0


d.

x1 = 4 –

5 dan x2 = 4 +

x1 + x2 = (4 –

5 ) + (4 +

5 5)=8

x1 × x2 = (4 – 5 )(4 + 5 ) = 16 – 5 = 11 Persamaan kuadrat: x 2 – 8x + 11 = 0

10. a dan b akar-akar persamaan x 2 – x + 3 = 0 maka: α + β = 1 dan α × β = 3 a. x2 – (x1 + x2)x + x1· x2 = 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

A.

1

1

1

)x + α + 1 β+1 β+1 β + 1+ α + 1 1 x2 – ( (α + 1)(β + 1) )x + (α + 1)(β + 1) α+β+2 1 x2 – ( )x + αβ + (α + β) + 1 αβ + (α + β) + 1 + 1 2 1 x2 – ( 3 + 1 + 1 )x + 3 + 1+ 1

⇔ ⇔ b.

1

x2 – ( α + 1 +

3

c.

x2 – (x1 + x2)x + x1 × x2 = 0 x2 – (α3 + β3)x + α3 × β3 = 0 ⇔ ⇔x2 – ((α + β)3 – 3αβ(α + β))x + (αβ)3 = 0 ⇔ x2 – (13 – 3 × 3 × 1)x + 3 3 = 0 ⇔ x2 + 8x + 27 = 0

d.

x2 – (x1 + x2)x + x1 × x2 = 0 α α β β ⇔ x2 – ( β + α )x + β × α = 0 α 2 + β2 2 ⇔ x – ( α × β )x + 1 = 0 (α + β)2 – 2αβ )x + 1 = 0 ⇔ x2 – ( α ×β 12 − 2 × 3 x2 – ( )x + 1 = 0 ⇔

=0 =0 =0 =0

1

x2 – 5 x + 5 = 0 5x2 – 3x + 1 = 0

x2 – (x1 + x2)x + x1 × x2 = 0 ⇔ x2 – (α2 + β2)x + α2 × β2 = 0 ⇔x2 – ((α + β)2 – 2α × β)x + (αβ)2 = 0 ⇔ x2 – (12 – 2 × 3)x + 3 2 = 0 ⇔ x2 + 5x + 9 = 0

Pilihan Ganda

1. Jawaban: d f(x) = x2 – 4x + 12 f(2) = (2)2 – 4(2) + 12 = 4 – 8 + 12 =8 Grafik fungsi f(x) melalui titik (2, 8), tetapi tidak melalui titik (2, 24) dan (2, 16). f(0) = (0)2 – 4(0) + 12 = 0 – 0 + 12 = 12 Grafik fungsi f(x) melalui titik (0, 12), tetapi tidak melalui titik (0, 8). f(–2) = (–2)2 – 4(–2) + 12 = 4 + 8 + 12 = 24 Grafik fungsi f(x) melalui titik (–2, 24). Jadi, grafik fungsi f(x) melalui titik (–2, 24). 2. Jawaban: e g(x) = 2x2 + 5x + p Grafik fungsi g(x) melalui titik (3, –2), berarti: g(3) = –2 ⇔ 2(3)2 + 5(3) + p = –2 ⇔ 18 + 15 + p = –2 ⇔ 33 + p = –2 ⇔ p = –35 Jadi, nilai p = –35.

3

5

⇔

x2 + 3 x + 1 = 0

⇔

3x2 + 5x + 3 = 0

3. Jawaban: b h(x) = 3x2 + 4 Grafik fungsi h(x) melalui titik (a, 16), berarti: h(a) = 16 ⇔ 3a2 + 4 = 16 ⇔ 3a2 – 12 = 0 a2 – 4 = 0 ⇔ ⇔ (a + 2) (a – 2) = 0 ⇔ a = –2 atau a = 2 Jadi, nilai a = –2. 4. Jawaban: b y = 5x2 – 20x + 1 a = 5, b = –20, c = 1 Persamaan sumbu simetri: b

20

−

x = – 2a = – 2 × 5 = 2 Jadi, persamaan sumbu simetrinya x = 2. 5. Jawaban: c f(x) = –x2 + 4x + 8 a = –1 < 0 berarti grafik membuka ke bawah atau mempunyai titik balik maksimum. 6. Jawaban: b Fungsi kuadrat: y = 3x 2 – x – 2 Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, berarti: y=0 ⇒ 3x2 – x – 2 = 0 ⇔ (3x + 2)(x – 1) = 0 2

⇔ x = – 3 dan x = 1 Matematika Kelas X

37

2

Diperoleh titik potong dengan sumbu X: (– 3 , 0) dan (1, 0) Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y, berarti: x = 0 ⇒ y = 3(0)2 – (0) – 2 = –2 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y: (0, –2) 2

Jadi, titik potongnya (– 3 , 0), (1, 0), dan (0, –2). 7. Jawaban: c Grafik fungsi f(x) = 8 – 2x – x2 terbuka ke bawah sehingga f(x) mempunyai nilai minimum bilangan real yang sangat kecil (negatif tak hingga). 8. Jawaban: d Fungsi kuadrat y = (x – 6)(x + 2). Titik potong terhadap sumbu X adalah (6, 0) dan (–2, 0). x +x 6 + (−2) Absis puncak x P = 1 2 = = 2 2

2

Ordinat puncak y P = (2 – 6)(2 + 2) = –4(4) = –16 Koordinat titik puncak atau titik balik (2, –16). 9. Jawaban: a f(x) = –3x2 + 12x + 8 a = –3 < 0 berarti parabola terbuka ke bawah. b

12

x = – 2a = – 2(−3) = 2 Nilai maksimum fungsi f: f(2) = –3(2)2 + 12(2) + 8 = –12 + 24 + 8 = 20 Daerah hasil fungsi f adalah {y | y ≤ 20}. 10. Jawaban: a y = –x2 – 2x + 8 1) Menentukan titik potong terhadap sumbu X (y = 0). –x2 – 2x + 8 = 0 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –4 atau x=2 Diperoleh titik potong (–4, 0) dan (2, 0). 2) Menentukan titik potong terhadap sumbu Y (x = 0). y=0–0+8=8 Diperoleh titik potong (0, 8). 3) Koefisien dari x2 bernilai negatif (a < 0), maka grafik terbuka ke bawah. Jadi, grafik yang sesuai gambar pada pilihan a.

38


11. Jawaban: d h(t) = 30t – 5t2 = –5t2 + 30 h(t) merupakan parabola dengan sumbu simetri t b

= – 2a = –

30 = 2(−5)

3

Nilai maksimum h: h(3) = 30(3) – 5(3) 2 = 90 – 45 = 45 Jadi, tinggi bola maksimum 45 m. 12. Jawaban: d Grafik menghadap ke bawah berarti a < 0. Grafik memotong sumbu Y di c negatif berarti c < 0. Grafik tidak memotong sumbu X berarti D < 0. 13. Jawaban: b Jika koordinat titik balik fungsi kuadrat adalah (p, q), rumusnya: f(x) = a(x – p)2 + q Sebaliknya, koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = 2(x + 2) 2 + 3 adalah (–2, 3). 14. Jawaban: d Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0), berarti persamaannya: y = a(x – 1)(x – 3) Grafik fungsi kuadrat melalui titik (–1, –16), berarti: y = a(x – 1)(x – 3) ⇒ –16 = a(–1 – 1)(–1 – 3) ⇔ –16 = a(–2)(–4) ⇔ –16 = 8a ⇔ a = –2 Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya: y = –2(x – 1)(x – 3) ⇔ y = –2(x2 – 4x + 3) ⇔ y = –2x2 + 8x – 6 15. Jawaban: d Dari gambar diperoleh koordinat puncak (p, q) = (3, –2), berarti persamaannya: y = a(x – p) 2 + q ⇔ y = a(x – 3) 2 – 2 Grafik melalui titik (2, 0), sehingga diperoleh: y = a(x – 3) 2 – 2 ⇔ 0 = a(2 – 3) 2 – 2 ⇔ 0=a–2 ⇔ a=2

Persamaan grafik fungsi kuadrat: y = a(x – 3) 2 – 2 ⇔ y = 2(x – 3) 2 – 2 ⇔ y = 2(x2 – 6x + 9) – 2 ⇔ y = 2x2 – 12x + 16 B.

b.

b

x = – 2a = –

1

⇔ q = – 3 atau q = 1 1

Jadi, nilai p = 25 dan q = – 3 atau 1. 2. g(x) = x2 – 3x + r a. Grafik fungsi melalui (1, 4) g(1) = 4 ⇒ 1 – 3 + r = 4 ⇔ r = 6 Grafik fungsi melalui (5, p). g(5) = p ⇒ p = 52 – 3(5) + 6 = 25 – 15 + 6 = 16 Jadi, r = 6 dan p = 16. b. Grafik fungsi memotong sumbu Y apabila x = 0. g(x) = x2 – 3x + 6 g(0) = 02 – 3(0) + 6 =0–0+6 =6 Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 6). 3. a.

f(x) = 2x2 + 6x + 15 6 −b x = 2a = – 2 × 2

→ a = 2 > 0

6

=–4 3

=–2 Nilai minimum fungsi: 3

3

3

f(– 2 ) = 2(– 2 )2 + 6(– 2 ) + 5 9

= 2 – 9 + 5 1

= 2

Daerah hasil: {y | y

≥

1 2

→ a = –1 < 0

8 = 2 × (−1)

4

Nilai maksimum fungsi: g(4) = –(4)2 + 8(4) – 3 = –16 + 32 – 3 = 13 Daerah hasil: {y | y ≤ 13}.

Uraian

1. f(x) = 3x2 – 2x – 8 Grafik fungsi f(x) melalui titik (–3, p), berarti: f(–3) = p ⇒ p = 3(–3)2 – 2(–3) – 8 = 27 + 6 – 8 = 25 Grafik fungsi f(x) melalui titik (q, –7), berarti: f(q) = –7 ⇒ 3q2 – 2q – 8 = –7 ⇔ 3q2 – 2q – 1 = 0 ⇔ (3q + 1)(q – 1) = 0

g(x) = –x2 + 8x – 3

4. y = –3x2 + nx + 1 a = –3, b = n, c = 1 1

Grafik mencapai nilai maksimum di titik (p, 1 3 ), berarti: −(n2 − 4(−3)(1)) 1 1 −D ⇒ = 1 = 1 4(−3) 4a 3 3 2 4 −(n + 12) ⇔ = 3 −12 4 n2 + 12 ⇔ = 3 12

⇔ ⇔ ⇔ 1)

n2 +

12 = 16 n2 = 4 n=±2

Untuk n = 2 y = –3x2 + 2x + 1 b

1

2

p = – 2a = – 2(−3) = 3 2) Untuk n = –2 y = –3x2 – 2x + 1 b 1 −2 p = – 2a = – 2(−3) = – 3 Jadi, pasangan nilai n dan p yang mungkin adalah 1

1

2 dan 3 atau –2 dan – 3 . 5. y = f(x) = x2 – 4x – 5 a. Grafik memotong sumbu X jika y = 0, diperoleh: x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 5) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 5 Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu (–1, 0) dan (5, 0). Grafik memotong sumbu Y jika x = 0, diperoleh: y = f(0) = 02 – 4 · 0 – 5 = –5 Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, –5). Jadi, titik-titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut (–1, 0), (5, 0), dan (0, –5).

}.

Matematika Kelas X

39

b.

Oleh karena a = 1 > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya minimum. Koordinat titik puncak (x P, yP). b −4 xP = – 2a = – 2(1) = 2 yP = f(xP) = f(2) = 22 – 4(2) – 5 = 4 – 8 – 5 = –9 Jadi, koordinat titik baliknya (2, –9).

c.

Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5: Y

Nilai a dicari dengan mensubstitusikan (0, 3) ke persamaan y = a(x + 1)(x – 3). Diperoleh: 3 = a(0 + 1)(0 – 3) ⇔ 3 = a(1)(–3) ⇔ 3 = –3a ⇔ a = –1 Persamaan grafiknya: y = –1(x + 1)(x – 3) ⇔ y = –(x2 – 2x – 3) ⇔ y = –x2 + 2x + 3 8. a.

–1 0

2

5

X

–5

–9

6. f(x) = x2 + 2x + 8 a. Memotong sumbu Y berarti x = 0. f(0) = 02 + 2 × 0 + 8 = 0 + 0 + 8 = 8 Koordinat titiknya (0, 8). b.

b

b.

2

x = – 2a = – 2 × 1 = –1 f(–1) = (–1)2 + 2(–1) + 8 = 1 – 2 + 8 = 7 Oleh karena a = 1 > 0 maka grafik terbuka ke atas dan jenis titik puncaknya minimum. Jadi, koordinat titik minimum parabola (–1, 7).

c.

Grafik fungsi f(x):

9. a.

Fungsi kuadrat dengan koordinat titik puncak (2, 1): f(x) = a(x – 2)2 + 1 Grafik melalui titik (4, –3), berarti: f(4) = –3 ⇔ a(4 – 2)2 + 1 = –3 ⇔ 4a = –4 ⇔ a = –1 Rumus fungsi kuadrat: f(x) = –1(x – 2)2 + 1 = –(x2 – 4x + 4) + 1 = –x2 + 4x – 3 Grafik memotong sumbu X, berarti: f(x) = 0 ⇔ –x2 + 4x – 3 = 0 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3 Jadi, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0). h(t) = 60t – 7,5t2 Peluru mencapai maksimum untuk

Y

D

h(t) = – 4a

8

=–

7

(b2

− 4ac)

4a (60 − 4 × ( −7,5) × 0) – 4(−7, 5) 2

=

−(3.600) −30 = 120 Jadi, tinggi maksimum peluru itu 120 meter. Waktu yang diperlukan sehingga mencapai tinggi maksimum: −b t = 2a

=

b. –1 0

X

7. Grafik memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (3, 0), maka persamaannya: y = a(x – x1)(x – x2) ⇔ y = a(x + 1)(x – 3) Grafik melalui titik (0, 3).

40


−60

⇔ t = 2(−7, 5) ⇔ t =4 Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum peluru itu adalah 4 detik.

10. a.

1

Luas ∆AEF = 2 × AE × AF

Luas ∆CEF = luas persegi ABCD – luas ∆AEF – luas ∆EBC – luas ∆CDF = 64 – (4x – x2) – (32 – 4x) – 8x = 64 – 4x + x 2 – 32 + 4x – 8x = 32 – 8x + x 2 Luas segitiga CEF: L(x) = 32 – 8x + x2 Luas minimum:

b.

1

= 2 × x × (8 – 2x) = 4x – x2 1

Luas ∆EBC = 2 × EB × BC =

1 × 2

c.

(8 – x) × 8

= 32 – 4x Luas ∆CDF = =

1 2 1 2

D

Lmin = – 4a

× CD × DF

=–

× 8 × 2x

=–

= 8x

(−8)2

− 4(1)(32) 4(1)

64 − 128 4

64

= 4 = 16 Jadi, luas minimum segitiga CEF adalah 16 cm2.

A.

Jadi, garis y = 2x + 10 tidak berada di atas garis y = 1 – x pada interval x ≤ –3.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: b 3 2

1

4

(x – 4) + 6 < 3x – 3

––––––––––––––––––––– × 6

⇔ 9(x – 4) + 1 < 18x – 8 ⇔ 9x – 36 + 1 < 18x – 8 ⇔ 9x – 35 < 18x – 8 ⇔ 8x – 18x < 35 – 8 ⇔ –9x < –27 x>3 ⇔ Himpunan penyelesaian: {x| x > 3} 2. Jawaban: e Penyelesaian pertidaksamaan 6 – 2(y – 3) ≤ n(2y – 4) adalah y ≤ 1, berarti batas penyelesaiannya 6 – 2(y – 3) = n(2y – 4) dipenuhi oleh y = 1 yaitu: 6 – 2(1 – 3) = n(2(1) – 4) ⇔ 6 + 4 = –2n 2n = –10 ⇔ ⇔ n = –5 Jadi, nilai n = –5. 3. Jawaban: d Garis y1 = 2x + 10 tidak berada di atas garis y2 = 1 – x, berarti y 1 tidak lebih dari y2 (y1 ≤ y2). y1 ≤ y2 ⇔ 2x + 10 ≤ 1 – x 3x ≤ –9 ⇔ ⇔ x ≤ –3

4. Jawaban: c Kuadrat dari x + 2 kurang dari 16, berarti: (x + 2)2 < 16

⇔ – 16 < (x + 2) < 16 ⇔ –4 < x + 2 < 4 ⇔ –4 – 2
Batas-batas penyelesaian: x = 2 dan x = 5 +

– 1 2

+ 5

1

Diperoleh penyelesaian: 2 ≤ x ≤ 5 Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1

–2x2 + 11x – 5 ≥ 0 adalah {x| 2

≤ x ≤ 5, x ∈ R}.

6. Jawaban: a x2 + 5x ≥ 2(2x + 3) x2 + 5x ≥ 4x + 6 ⇔ ⇔ x2 + 5x – 4x – 6 ≥ 0 ⇔ x2 + x – 6 ≥ 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) ≥ 0 Matematika Kelas X

41

Pembuat nol: x = –3 atau x = 2 +

–

10. Jawaban: a

+

–3

5 2

Himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –3 atau x ≥ 2).

4 3x

< 4

⇔

4 3x

– 4 < 0

⇔

4 3x

–

⇔

4 − 12x 3x

7. Jawaban: d Kurva y = x2 + 4x – 5 berada di bawah sumbu X jika y < 0 yaitu: x2 + 4x – 5 < 0 ⇔ (x + 5)(x – 1) < 0 Batas-batas penyelesaian: x = –5 dan x = 1 +

–

+

–5

+

–

+

–5

2)

5

x = 3 dan x = 0

1

11. Jawaban: c 1 x+3

⇔ ⇔ ⇔

Nilai x yang memenuhi kedua pertidaksamaan di atas adalah x < –5 atau x > 5. Jadi, HP = {x | x < –5 atau x > 5}.

≤

4−x 2x − 5 – 2x + 3 2x + 3

≤ 0

⇔

4 − x − 2x + 5 2x + 3

≤ 0

⇔

9 − 3x 2x + 3

≤ 0

≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 5

Pembuat nol x = –3 dan x = 2 Syarat: (x + 3)(2x – 5) ≠ 0 +

–

⇔ x ≠ –3 atau x ≠

5 2

+ 5 2

5

+

–

≤ 0 dengan syarat x ≠ 5, x ≠ –2 +

1

– 3

+ 5

13. Jawaban: a

3

⇔ x = – 2

x(x + 4) < 2 3

–

+

12. Jawaban: c x 2 − 4x + 3 ≤ 0 x 2 − 3x − 10 (x − 1)(x − 3) ⇔ (x − 5)(x + 2)

Jadi, penyelesaiannya –2 < x ≤ 1 atau 3 ≤ x < 5.

3

3

Penyelesaian: x < – 2 atau x ≥ 3.

42

2

– 2x − 5 (2x − 5) − 2(x + 3) (x + 3)(2x − 5) 2x − 5 − 2x − 6 (x + 3)(2x − 5) −11 (x + 3)(2x − 5)

–2

Pembuat nol: 9 – 3x = 0 ⇔ x = 3

3 –2

2x − 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –3 < x < 2 , x ∈ R}.

⇔

–

2

–3

2x − 5 2x + 3

2x + 3 = 0

≥

1 x+3

9. Jawaban: a 4−x 2x + 3

1

x > 3 , x ∈ R}.

(x + 3)2 > 4 ⇔ (x + 3)2 – 22 > 0 ⇔ (x + 3 + 2)(x + 3 – 2) > 0 ⇔ (x + 5)(x + 1) > 0

⇔ x < –5 atau x > –1

– 1 3

Penyelesaian pertidaksamaan: x < 0 atau x > 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya {x| x < 0 atau

⇔

–1

+ 0

⇔ x < –5 atau x > 5

–5

< 0

1

⇔ –

8. Jawaban: e 1) x2 – 25 > 0 ⇔ (x + 5)(x – 5) > 0

0

Batas-batas penyelesaian: 4 – 12x = 0 dan 3x = 0

1

Penyelesaian pertidaksamaan: x < –5 atau x > 1 Jadi, kurva y = x 2 + 4x – 5 berada di bawah sumbu X pada interval x < –5 atau x > 1.

12x < 3x


⇔ x(x + 4) < (2 3 )2 x2 + 4x < 12 ⇔ ⇔ x2 + 4x – 12 < 0 ⇔ (x + 6) (x – 2) < 0

Pembuat nol: x = –6 atau x = 2 Grafik penyelesaian: +

–

+

11 11

2

Jadi, HP = {x | x < –5 atau x > 3 }.

Syarat: x(x + 4) ≥ 0 Pembuat nol: x = 0 atau x = –4 –

+

B.

Uraian

1. a.

–

–4

0

Irisan kedua grafik –6 –4

0 2

Nilai x yang memenuhi: –4 ≤ x ≤ 0.

b.

14. Jawaban: d 10 − x 2 < 2 + x ⇔ 10 – x2 < (2 + x)2 10 – x2 < 4 + 4x + x 2 ⇔ ⇔ 2x2 + 4x – 6 > 0 ⇔ x2 + 2x – 3 > 0 Pembuat nol: x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 1 +

– –3

+

− 10

b.

–

1

1 (2x 6

2

– 1) ≥ 3 (x + 2) – 4 –––––––––––––––––––––––– × 6 ⇔ (2x – 1) ≥ 4(x + 2) – 24 ⇔ 2x – 1 ≥ 4x + 8 – 24 ⇔ 2x – 4x ≥ 1 – 16 ⇔ –2x ≥ –15 ⇔ 2x ≤ 15

⇔

1

x ≤ 7 2

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear

10

–2

8

8

1

adalah x ≤ 7 2 . d.

–3

x

(x + 3) > 4 – 5 ––––––––––––––––––––––––– × 12 ⇔ 16 – 12(x + 3) > 3x – 60 ⇔ 16 – 12x – 36 > 3x – 60 ⇔ –12x – 20 > 3x – 60 ⇔ –12x – 3x > 20 – 60 ⇔ –15x > –40 ⇔ 15x < 40

adalah x < 3 .

2 + x > 0 ⇔ x > –2

− 10

4 – 3

x< 3 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear

Syarat-syarat lain: a. agar mempunyai penyelesaian maka 10 – x2 ≥ 0 ⇔ ( 10 – x)( 10 + x) ≥ 0 Pembuat nol: x = – 10 dan x = 10 +

2(x – 5) ≤ 4(x + 2) – x + 3 ⇔ 2x – 10 ≤ 4x + 8 – x + 3 ⇔ 2x – 10 ≤ 3x + 11 ⇔ –x ≤ 21 x ≥ –21 ⇔ Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear adalah x ≥ –21.

⇔

c.

1

–

+ 11 3

Penyelesaian: x < –5 atau x > 3

+

–6

– –5

10

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut 1 < x ≤ 10 . 15. Jawaban: d |2x – 3| > |x – 8| ⇔ (2x – 3)2 > (x – 8)2 (2x – 3) 2(x – 8) – (x – 8)2 > 0 ⇔ ⇔ ((2x – 3) + (x – 8))((2x – 3) – (x – 8)) > 0 ⇔ (3x – 11)(x + 5) > 0

1− 2x 3x − 5 < 6 4

+ x + 2 ––––––––––––––––––––––––––––––– × 12 ⇔ 3(3x – 5) < 2(1 – 2x) + 12x + 24 ⇔ 9x – 15 < 2 – 4x + 12x + 24 ⇔ 9x – 15 < 8x + 26 ⇔ 9x – 8x < 15 + 26 ⇔ x < 41 Jadi, penyelesaian pertidaksamaan linear adalah x < 41.

Matematika Kelas X

43

2. a.

3x2 + 5x – 2 ≥ 0 ⇔ (3x – 1)(x + 2) ≥ 0

3. a. 1

Batas-batas penyelesaian: x = 3 dan x = –2 +

–

+ 1 3

–2

+

Diperoleh penyelesaian: x ≤ –2 atau x

≥

x≥ b.

x ∈ R}.

– –3

c.

b.

2 (x 3

+

+ 2) + 1 ≤

+

4. a.

1)2

–

x ≥ 1

⇔ (x – 3)2 – (3x + 5)2 > 0 ⇔((x – 3) – (3x + 5))((x – 3) + (3x + 5)) > 0 ⇔ (–2x – 8)(4x + 2) > 0 Batas-batas penyelesaian: x = –4 dan x = – + –4

1 2

– 1

–2

1

Diperoleh penyelesaian: –4 ≤ x ≤ – 2

Jadi, himpunan penyelesaian {x| –4 ≤ x ≤ – 1 , 2

44

⇔

2 + 10x + 17 2x + 3

<0

⇔

10x + 19 2x + 3

<0

–

b.

3x 2− x

+

3x 2− x


– (2x + 1) ≥ 0 (2x + 1)(2 − x) 2−x

≥ 0

⇔

3x − (4x − 2x 2 + 2 − x) 2− x

≥ 0

⇔

2x2 − 2 2−x

≥ 0

3x 2− x

⇔

–

Batas-batas penyelesaian: 2x2 – 2 = 0 dan 2 – x = 0 ⇔ x2 = 1 dan x = 2 ⇔ x = ±1 dan x = 2 +

x ∈ R}.

–1,5

≥ 2x + 1

⇔

(x – 3)2 > (3x + 5)2

–

<0

Penyelesaian pertidaksamaan: –1,9 ≤ x ≤ –1,5 Jadi, himpunan penyelesaiannya {x| –1,9 ≤ x ≤ –1,5, x ∈ R}.

3

d.

2 5(2x + 3) + 2x + 3 2x + 3

–1,9

Jadi, himpunan penyelesaian {x| x ≤ – 2 atau x ≥ 1, x ∈ R}.

5<0

⇔

+

1

Diperoleh penyelesaian: x

–5 2 + 2x + 3

+

3 ≤ – 2 atau

5

Batas-batas penyelesaian: 10x + 19 = 0 dan 2x + 3 = 0 ⇔ x = –1,9 dan x = –1,5

3

3 2

2 < 2x + 3

⇔

Batas-batas penyelesaian: x = – 2 dan x = 1 –

+

⇔ x < 0 atau x > 5

–––––––––––––––––––––––––––– × 3 ⇔ 2(x + 2) + 3 ≤ (2x + 1)2 ⇔ 2x + 4 + 3 ≤ 4x2 + 4x + 1 ⇔ –4x2 – 2x + 6 ≤ 0 ⇔ 2x2 + x – 3 ≥ 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) ≥ 0

+

– 0

–1

1 (2x 3

5

Grafik fungsi f(x) di atas garis y = 5 – x apabila: f(x) > y ⇒ x2 – 6x + 5 > 5 – x ⇔ x2 – 5x > 0 x(x – 5) > 0 ⇔

+

Diperoleh penyelesaian: –3 ≤ x ≤ –1 Jadi, himpunan penyelesaian {x| –3 ≤ x ≤ –1, x ∈ R}.

+

⇔ 1 < x < 5

(2x + 3)2 + 4x + 3 < 0 ⇔ 4x2 + 12x + 9 + 4x + 3 < 0 4x2 + 16x + 12 < 0 ⇔ ⇔ x2 + 4x + 3 < 0 (x + 3)(x + 1) < 0 ⇔ Batas-batas penyelesaian: x = –3 dan x = –1 +

– 1

1 3

Jadi, himpunan penyelesaian {x| x ≤ –2 atau 1 , 3

Grafik fungsi f(x) di bawah sumbu X apabila nilai f(x) negatif, yaitu: f(x) < 0 ⇒ x2 – 6x + 5 < 0 ⇔ (x – 1)(x – 5) < 0

– –1

+ 1

– 2

Penyelesaian pertidaksamaan: x ≤ –1 atau 1 ≤ x < 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya {x| x ≤ –1 atau 1 ≤ x < 2, x ∈ R}. 5. Syarat suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata adalah D ³ 0. ⇔ b2 – 4ac ≥ 0 2 ⇔ (m – 2) – 4(1)(9) ≥ 0 ⇔ m2 – 4m + 4 – 36 ≥ 0 ⇔ m2 – 4m – 32 ≥ 0 (m – 8) (m + 4) ≥ 0 ⇔

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: d 2x2 – 4x + 1 = 2x – 6 ⇔ 2x2 – 6x + 7 = 0 a = 2, b = –6, c = 7 D = b2 – 4ac = (–6)2 – 4(2)(7) = 36 – 56 = –20 Jadi, nilai diskriminan –20. 2. Jawaban: b Banyak penyelesaian nyata persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan melihat nilai diskriminannya. 1) x2 + 6x + 3 = 0 a = 1, b = 6, c = 3 D = b2 – 4ac = 62 – 4(1)(3) = 36 – 12 = 24 Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai dua penyelesaian nyata. 2)

3)

2x2 – 2x + 5 = 0 a = 2, b = –2, c = 5 D = b2 – 4ac = (–2)2 – 4(2)(5) = 4 – 40 = –36 Oleh karena D < 0 maka persamaan kuadrat 2x 2 – 2x + 5 = 0 tidak mempunyai penyelesaian nyata. –4x2 + x + 3 = 0 a = –4, b = 1, c = 3 D = b2 – 4ac = 12 – 4(–4)(3) = 1 + 48 = 49

Pembuat nol: m = 8 atau m = –4 Grafik penyelesaian: +

– –4

+ 8

Jadi, nilai m yang memenuhi m ≤ –4 atau m ≤ 8.

Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat –4 x 2 + x + 3 = 0 mempunyai dua penyelesaian nyata. Jadi, persamaan kuadrat 2) tidak mempunyai penyelesaian bilangan nyata. 3. Jawaban: b Persamaan kuadrat: x 2 + (p – 2)x + 4 = 0 Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika diskriminannya nol. D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ (p – 2)2 – 4(1)(4) = 0 ⇔ p2 – 4p + 4 – 16 = 0 ⇔ p2 – 4p – 12 = 0 ⇔ (p + 2)(p – 6) = 0 ⇔ p = –2 atau p = 6 Jadi, nilai p = –2 atau p = 6. 4. Jawaban: e y = 2x2 + x – p Memotong sumbu X di satu titik apabila: D=0 ⇒ b2 – 4ac = 0 ⇔ 12 – 4(2)(–p) = 0 ⇔ 1 + 8p = 0 8p = –1 ⇔

⇔

1

p=–8

5. Jawaban: a 6x2 – 5x + n = 0 Persamaan kuadrat mempunyai sepasang akar berkebalikan jika x 1x2 = 1 atau a = c = 6. 6. Jawaban: d Persamaan kuadrat: x 2 – (k – 1)x – k + 4 = 0 Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real jika diskriminannya tidak negatif.

Matematika Kelas X

45

D ≥ 0 ⇔

b2 – 4ac ≥ 0 ⇔ (–(k – 1))2 – 4(1)(–k + 4) ≥ 0 ⇔ k2 – 2k + 1 + 4k – 16 ≥ 0 ⇔ k2 + 2k – 15 ≥ 0 ⇔ (k + 5)(k – 3) ≥ 0 k ≤ –5 atau k ≥ 3 ⇔

7. Jawaban: b y = px2 + (p + 2)x – p + 4 D = b2 – 4ac = (p + 2)2 – 4p(–p + 4) = p2 + 4p + 4 + 4p 2 – 16p = 5p2 – 12p + 4 Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik apabila: D > 0 ⇒ 5p2 – 12p + 4 > 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2) > 0 +

–

+

2 5

2

⇔ p<

2 atau p 5

>2

8. Jawaban: a Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda jika D > 0. (n – 1)2 – 4(4 – n) > 0 ⇔ n2 – 2n + 1 – 16 + 4n > 0 ⇔ n2 + 2n – 15 > 0 ⇔ (n + 5)(n – 3) > 0 +

– –5

+ 3

Jadi, nilai n yang memenuhi n < –5 atau n > 3. 9. Jawaban: d Fungsi kuadrat: f(x) = (p – 2)x 2 + 2px + p + 3 Fungsi kuadrat f(x) definit positif jika koefisien x 2 bernilai positif dan diskriminannya bernilai negatif. 1) p – 2 > 0 ⇔ p > 2 2) D < 0 b2 – 4ac < 0 ⇔ ⇔(2p)2 – 4(p – 2)(p + 3)< 0 ⇔ 4p2 – 4(p2 + p – 6) < 0 ⇔ 4p2 – 4p2 – 4p + 24 < 0 ⇔ –4p < –24 p>6 ⇔ Nilai a yang memenuhi 1) dan 2) adalah p > 6. Jadi, fungsi kuadrat f(x) definit positif jika p > 6. 10. Jawaban: c Syarat (1): syarat agar dua akarnya berlainan: D > 0 ⇔ (–8)2 – 4(1)(2a) > 0 64 – 8a > 0 ⇔ ⇔ a<8

46


Syarat (2): syarat agar dua akarnya positif: x1 × x2 > 0 ⇔ 2a > 0 ⇔ a>0 Jadi, yang memenuhi syarat (1) dan syarat (2) adalah 0 < a < 8. 11. Jawaban: a Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (p – 2)x2 + 2px + p – 1 = 0. Syarat agar akar-akarnya bernilai negatif dan berlainan adalah D > 0. (2p)2 – 4 × (p – 2) × (p – 1) > 0 ⇔ 4p2 – 4(p2 – 3p + 2) > 0 ⇔ 4p2 – 4p2 + 12p – 8 > 0 2

⇔ x1 + x2 < 0

x1 × x2 > 0

p> 3

⇔ ⇔ ⇔

−2p p−2

. . . (i)

<0

p < 0 atau p > 2 . . . (ii) p −1 > p−2

0

⇔

p < 1 atau p > 2 . . . (iii) Dari ketiga syarat di atas diperoleh nilai p yang memenuhi adalah p > 2. 12. Jawaban: c Substitusikan h(t) = t + 14 ke h(t) = 14 + 9t – t 2 14 + 9t – t2 = t + 14 ⇔ t2 – 8t = 0 ⇔ t(t – 8) = 0 ⇔ t = 0 atau t = 8 Tampak bahwa kedua peluru itu bertemu ketika t = 0 (ketika mulai ditembakkan) dan t = 8. 13. Jawaban: a Misalkan panjangnya p, maka lebarnya (p – 4). L = p(p – 4) = 96 ⇔ p2 – 4p = 96 ⇔ p2 – 4p – 96 = 0 ⇔ (p – 12)(p + 8) = 0 ⇔ p = 12 atau p = –8 (tidak mungkin) Jadi, panjangnya 12 cm. 14. Jawaban: c Ketinggian bola pada saat di tanah adalah nol. h(t) = 0 ⇔ 18t – 6t2 = 0 ⇔ 6t(3 – t) = 0 ⇔ t = 0 atau t = 3 Jadi, bola berada di udara dari detik ke-0 sampai detik ke-3 yaitu selama 3 detik.

15. Jawaban: c Misalkan lebar bingkai = x cm.

(45 – 2x) cm

m c ) x 2 – 6 3 (

3

m c 6 3

x 45 cm

Luas daerah berbayang 1.036 cm 2, berarti: (45 – 2x)(36 – 2x) = 1.036 ⇔ 1.620 – 162x + 4x 2 = 1.036 ⇔ 4x2 – 162x + 584 = 0 ⇔ 2x2 – 81x + 292 = 0 ⇔ (2x – 73)(x – 4) = 0

⇔

Lebar bingkai B.

Diketahui bahwa t + tm = 45 menit = 4 jam dan vs = v + 14. 3

t + tm = 4 3 v

⇔ 3 v

⇔

5 vm

+

3

5

= 4 + 14 3(v  + 14) + 5v  3 = 4 v (v  + 14)

⇔

+

3

= 4

v

⇔ 4(3v + 42 + 5v ) = 3(v 2 + 14v ) ⇔ 32v + 168 = 3v 2 + 42v ⇔ 3v 2 + 10v – 168 = 0 ⇔ (3v + 28)(v – 6) = 0 







73

x = 2 atau x = 4 73 2

3. Misalkan kecepatan berlari = v l dengan waktu = t l dan kecepatan sepeda motor = v m dengan waktu = tm.

cm tidak mungkin.















28 3

Jadi, lebar bingkai 4 cm.

⇔ v = –

Uraian

Jadi, rata-rata kecepatan lari Edo 6 km/jam.

1. Persamaan kuadrat: 2x2 – (m + 2)x + 2m – 2 = 0 Diperoleh: a = 2, b = –(m + 2), dan c = 2m – 2 D = b2 – 4ac = (–(m + 2))2 – 4 × 2 × (2m – 2) = m2 + 4m + 4 – 16m + 16 = m2 – 12m + 20 = (m – 2)(m – 10) a. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan: D > 0 ⇔ (m – 2)(m – 10) > 0 ⇔ m < 2 atau m > 10 Jadi, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan jika m < 2 atau m > 10. b. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama: D = 0 ⇒ (m – 2)(m – 10) = 0 ⇔ m = 2 atau m = 10 Jadi, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama jika m = 2 atau m = 10. c. Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real: D < 0 ⇔ (m – 2)(m – 10) < 0 ⇔ 2 < m < 10 Jadi, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real jika 2 < m < 10. 2. y = x2 – 2ax + 3a + 4 tidak memotong sumbu X berarti persamaan x 2 – 2ax + 3a + 4 = 0 tidak mempunyai akar real (D < 0). D < 0 ⇔ (–2a)2 – 4 × 1 × (3a + 4) < 0 4a2 – 12a – 16 < 0 ⇔ ⇔ a2 – 3a – 4 < 0 ⇔ (a + 1)(a – 4) < 0 ⇔ –1 < a < 4 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –1 < a < 4.



atau v = 6

4. P = (I1 + I2)2 × R

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

80 = (2I2 + I2)2 × 5 (3I2)2 = 16 3I2 = ±4 4

I2 = ± 3 4

4

⇔ I2 = 3 = 1,33 atau I2 = – 3 (tidak mungkin) Jadi, I2 = 1,33 A. 5. Misalkan banyaknya komputer yang dibeli = n, maka banyak komputer yang terjual = n – 1 Harga beli setiap komputer = Harga jual setiap komputer =

120.000.000 n 135.000.000 n−1

Untuk setiap komputer maka untung = harga jual – harga beli

⇔

135.000.000 n−1

120.000.000

– = 1.500.000 n ––––––––––––––––––––––––––––––––– × n(n – 1) ⇔ n×135.000.000 – (n – 1)120.000.000 = 1.500.000×n(n – 1) ⇔ 270n – (n – 1)240 = 3n(n – 1) ⇔ 270n – 240n + 240 = 3n2 – 3n ⇔ 3n2 – 3n – 30n – 240= 0 ⇔ 3n2 – 33n – 240 = 0 ⇔ n2 – 11n – 80 = 0 ⇔ (n – 16)(n + 5) = 0 n = 16 atau n = –5 (tidak mungkin) ⇔ Jadi, jumlah komputer yang terjual = n – 1 = 16 – 1 = 15 komputer.

Matematika Kelas X

47

A.

7. Jawaban: e

Pilihan Ganda

1. Jawaban: b Pada gambar I, ada anggota domain A yang tidak memiliki kawan di B dan ada anggota domain yang memiliki dua pasangan di B. Sedangkan pada diagram II, ada anggota domain A yang memiliki dua pasangan di B, sehingga I dan II bukan fungsi. Pada diagram panah III dan IV, setiap anggota domain (A) dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain (B) sehingga III dan IV merupakan fungsi. 2. Jawaban: c {(0, a), (1, a), (2, b), (3, b), (4, e)} bukan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q karena 4 ∈ P dikawankan ke e ∉ Q. 3. Jawaban: e 2 − x 2 untuk x < − 2 f(x) =  4x − 5 untuk x ≥ − 2 Untuk x = –1 > –2 maka f(x) = 4x – 5. Jadi, f(–1) = 4(–1) – 5 = –9. 4. Jawaban: d f: x → 4x – n berarti f(x) = 4x – n. f(3) = 18 ⇒ 4(3) – n = 18 ⇔ 12 – n = 18 ⇔ –n = 18 – 12 ⇔ n = –6 Diperoleh f(x) = 4x – (–6) = 4x + 6. f(–3) = 4(–3) + 6 = –12 + 6 = –6 Jadi, nilai f(–3) = –6. 5. Jawaban: a h(x) = 2x2 – 2x 1

3

h(–2) = 2 × (–2)2 – 2–2 = 8 – 4 = 7 4 1

1

h(–1) = 2 × (–1)2 – 2–1 = 2 – 2 = 1 2 h(0) = 2 × 02 – 20 = 0 – 1 = –1 h(1) = 2 × 12 – 21 = 2 – 2 = 0 h(2) = 2 × 22 – 22 = 8 – 4 = 4 1

3

Daerah hasil {–1, 0, 1 2 , 4, 7 4 }. 6. Jawaban: d g(x) = 3 – 2x g(a) = 19 ⇒ 3 – 2a = 19 ⇔ –2a = 19 – 3 ⇔ –2a = 16 ⇔ a = –8 Jadi, nilai a adalah –8.

48


1

y= 4x+3 x = 0 ⇒ y = (0) + 3 = 0 + 3 = 3 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y (0, 3). y=0

1

⇒

0= 4x+3 1 x 4

⇔ ⇔

= –3

x = –3 × 4 = –12 Diperoleh titik potong dengan sumbu X (–12, 0). Gambar yang sesuai ada pada pilihan e. 8. Jawaban: b g(x) = x 2 + px + 6 g(2) = 18 ⇒ 22 + p(2) + 6 = 18 ⇔ 4 + 2p + 6 = 18 2p = 8 ⇔ ⇔ p=4 9. Jawaban: d Mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. x2 + 3x – 18 = 0 ⇔ (x + 6)(x – 3) = 0 ⇔ x = –6 atau x = 3 Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut –6 dan 3. 10. Jawaban: c 2x2 + 4x – 5 = 0 a = 2, b = 4, c = –5 D = b2 – 4ac = (4)2 – 4(2)(–5) = 16 + 40 = 56 1 −b ± D −b ± 56 x1,2 = = = –1 ± 2 14 2a

4

Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat tersebut 1

x = –1 ± 2 14. 11. Jawaban: d Substitusikan x = 8 ke dalam persamaan (x – 3)2 – n = 0. (x – 3)2 – n = 0 ⇔ (8 – 3)2 – n = 0 ⇔ n = 52 = 25 Diperoleh persamaan kuadrat: (x – 3) 2 – 25 = 0 (x – 3)2 – 25 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 25 ⇔ x –3= ±5 x= 3± 5 ⇔ ⇔ x = –2 atau x = 8 Jadi, nilai akar yang lain adalah –2.

12. Jawaban: a 3x2 + 10x – 8 = 0 ⇔ (3x – 2)(x + 4) = 0 2

⇔ x = 3 atau x = –4 2

Oleh karena x 2 > x1, maka x1 = –4 dan x2 = 3 . 2

x1 + 3x2 = –4 + 3( 3 ) = –4 + 2 = –2 Jadi, nilai x1 + 3x2 = –2. 13. Jawaban: d Persamaan kuadrat: x2 – 12x + 35 = 0 mempunyai penyelesaian x1 dan x2. Dengan memfaktorkan, diperoleh: x2 – 12x + 35 = 0 ⇔ (x – 7)(x – 5) = 0 ⇔ x = 7 atau x = 5 Oleh karena x 1 > x2 maka x1 = 7 dan x2 = 5. x12 – x22 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24 14. Jawaban: b x2 – 3x – 5 = 0 Diperoleh: a = 1, b = –3, c = –5 −3 b x1 + x2 = – = – = 3 1

a

c −5 x1 × x2 = a = 1 = –5 (x1 + x2)2 + 3x1 × x2 = (3)2 + 3(–5) = 9 – 15 = –6 2 Jadi, nilai (x1 + x2) + 3x1 × x2 = –6.

15. Jawaban: b Persamaan kuadrat: 2x2 – 3x + 5 = 0 mempunyai penyelesaian α dan β. b 3 −3 α + β = – a = – 2 = 2

αβ =

c 5 = a 2

α β + β α

α 2 + β2 αβ (α + β)2 − 2αβ = αβ

=

3

= = =

2

   2

− 2  52  5 2

9 4

−5 5 2

4

× 4

9 − 20 10

16. Jawaban: c Persamaan kuadrat: x 2 + (a – 1)x + 2 = 0 Diperoleh: α + β = a – 1 dan α × β = 2 Diketahui α = 2β, maka: α × β = 2 ⇔ 2β × β = 2 ⇔ β2 = 1 ⇔ β = ±1 Untuk β = 1 α = 2β = 2(1) = 2 α + β = a – 1 ⇔ 2 + 1= a –1 a=4 ⇔ Untuk β = –1 α = 2β = 2(–1) = –2 α + β = a – 1 ⇔ (–2) + (–1) = a – 1 a = –2 ⇔ Oleh karena a > 0 maka a = 4. 17. Jawaban: e Persamaan kuadrat x2 + 4x + p = 0. Diperoleh: x1 + x2 = –4 x1x2 = p x12 + x22 = 12 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12 ⇔ (–4)2 – 2p = 12 16 – 2p = 12 ⇔ ⇔ 4 – 2p = 0 ⇔ p =2 Jadi, nilai p = 2. 18. Jawaban: b x2 – 6x + 3 = 0 Diperoleh: a = 1, b = –6, c = 3 α + β = – b = – −6 = 6 a c 3 = = a 1

1

αβ = 3 (3α + 1) + (3β + 1) = 3α + 3β + 2 = 3(α + β) + 2 = 3(6) + 2 = 18 + 2 = 20 (3α + 1)(3β + 1) = 3α(3β + 1) + (3β + 1) = 9αβ + 3α + 3β + 1 = 9αβ + 3(α + β) + 1 = 9(3) + 3(6) + 1 = 27 + 18 + 1 = 46 Persamaan kuadrat baru: x 2 – 20x + 46 = 0.

11

= – 10

Matematika Kelas X

49

19. Jawaban: c Grafik memotong sumbu X jika y = 0. y = f(x) = (x – 1)2 – 4 ⇔ (x – 1)2 – 4 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 4 x – 1 = ±2 ⇔ ⇔ x= 1± 2 ⇔ x = 3 atau x = –1 Jadi, titik potongnya (–1, 0) dan (3, 0). 20. Jawaban: c y = f(x) = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu X di 1

(– 2 , 0) berarti: 1 f(– 2 )

⇔

1 5(– 2 ) – 3 1 5 + – 3 4 2

Titik puncak (3,5)

=0

a× =0 –––––––––––––––––––––– × 4 ⇔ a + 10 – 12 = 0 a –2 = 0 ⇔ ⇔ a=2 21. Jawaban: a Dari y = f(x) = –x2 + 2x + 3 diperoleh: a = –1, b = 2, c = 3 Koordinat titik balik (xP, yP). b

xP = – 2a = –

2 = 2(−1)

1

yP = f(xP) = f(1) = –(1)2 + 2(1) + 3 = –1 + 2 + 3 =4 Jadi, koordinat titik baliknya (1, 4). 22. Jawaban: d f(x) = x2 + 4x + 4 a = 1 > 0 → parabola terbuka ke atas b

4

Sumbu simetri: x = – 2a = – 2 = –2 Nilai minimum: f(–2) = (–2)2 + 4(–2) + 4 =4–8+4 =0 Koordinat titik balik minimum (–2, 0). Grafik yang sesuai pada pilihan d. 23. Jawaban: e −b (a − 3) Sumbu simetri x = 2a = –1 ⇔ – = –1 2(a + 2) ⇔ a – 3 = 2(a + 2) ⇔ a – 3 = 2a + 4 ⇔ a = –7 2 Fungsi kuadrat f(x) = (–7 + 2) x + (–7 – 3) x – 20 ⇔ f(x) = –5x2 – 10x – 20

50

24. Jawaban: c f(x) = ax2 + bx + c f(2) = 22a + 2b + c 0 = 4a + 2b + c . . . (1) ⇔ f(4) = 42a + 4b + c ⇔ 0 = 16a + 4b + c . . . (2) Sumbu simetri x =

=0

1 ⇔ a(– 2 )2 –

Nilai ekstrem: f(–1)= –5(–1)2 – 10(–1) – 20 = –5 + 10 – 20 = –15 Jadi, nilai ekstrem fungsi kuadrat tersebut maksimum –15.


2+4 2

= 3

⇒ 5 = 32a + 3b + c

5 = 9a + 3b + c . . . (3) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2): 4a + 2b + c = 0 16a + 4b + c = 0 –––––––––––––– – –12a – 2b = 0 –12a = 2b ⇔ ⇔ –6a = b Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3): 16a + 4b + c = 0 9a + 3b + c = 5 –––––––––––––– – 7a + b = –5 . . . (4) Substitusikan b = –6a ke dalam persamaan (4) 7a + (–6a) = –5 a = –5 ⇔ Substitusikan a = –5 ke dalam persamaan b = – 6a. b = (–6) × (–5) = 30 Substitusikan a = –5 dan b = 30 ke dalam persamaan (1): 4a + 2b + c = 0 ⇔ 4(–5) + 2(30) + c = 0 –20 + 60 + c= 0 ⇔ c= –40 ⇔ Jadi, fungsi kuadrat tersebut f(x) = –5x 2 + 30x – 40. 25. Jawaban: a Dari gambar diketahui bahwa grafik memotong sumbu X di titik x1 = 2 dan x2 = 8, maka persamaan grafiknya: y = a(x – x1)(x – x2) = a(x – 2)(x – 8) Grafik melalui titik (4, 8) maka: ⇒ 8 = a(4 – 2)(4 – 8) ⇔ 8 = a(2)(–4) ⇔ 8 = –8a ⇔ a = –1

Persamaan grafik menjadi: y = –1(x – 2)(x – 8) = –1(x2 – 10x + 16) = –x2 + 10x – 16

30. Jawaban: e Dua akar berkebalikan maka x 1 × x2 = 1 −2k + 6 ⇔ 3 =1 ⇔ –2k = –6 + 3 ⇔ –2k = –3

26. Jawaban: d –x2 + 4x + 5 ≤ 0 ⇔ (–x + 5)(x + 1) ≤ 0

k= 2 3 2⋅ 2 −1 2k − 1 2 −b x1 + x2 = a = 3 = = 3

Pembuat nol: x = 5 atau x = –1 +

–

3

B.

–

–1

5

Himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 5}. 27. Jawaban: b x(x + 3) – 6 ≥ 6x + 4 ⇔ x2 + 3x – 6 ≥ 6x + 4 ⇔ x2 – 3x – 10 ≥ 0 ⇔ (x – 5)(x + 2) ≥ 0 –

+

+

–2

Uraian

1. g = {(0, 5), (–1, 3), (–2, 1), (–3, –1), (–4, –3)} a. Domain: D = {0, –1, –2, –3, –4} Range: R = {5, 3, 1, –1, –3} b. Dari himpunan pasangan berurutan diperoleh: g(0) = 5 g(–3) = –1 g(0) – g(–3) = 5 – (–1) = 6 2. a.

5

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –2 atau x ≥ 5. 28. Jawaban: d 1 2x

≤

1

b.

1

1 2x

– 3 − x ≤ 0 3−x 3 − x − 2x ⇔ ≤ 0 2x(3 − x) 3 − 3x ⇔ ≤ 0 2x (3 − x) 3(1 − x) ⇔ ≤ 0 2x(3 − x) Pembuat nol fungsi: x = 1, x = 0, atau x = 3 Syarat: 2x(3 – x) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 dan x ≠ 3. –

⇔

+

0

–

1

+

3

29. Jawaban: d Syarat parabola memotong di dua titik, D > 0. b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (–3m) – 4m(3n) > 0 ⇔ 9m2 – 12mn > 0 ⇔ 3m2 – 4mn > 0 ⇔ m(3m – 4n) > 0 4n

Pembuat nol: m = 0 atau m = 3 . Grafik penyelesaian: – 0

f(x) = 2x2 – x + n f(2) = –12 ⇒ 2(2)2 – (2) + n = –12 ⇔ 8 – 2 + n = –12 ⇔ n + 6 = –12 ⇔ n = –18 f(x) = 2x2 – x – 18. f(–1) = 2(–1)2 – (–1) – 18 = 2 + 1 – 18 = –15 Jadi, nilai f(–1) = –15.

3. Dari persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x – 90 = 0 diperoleh: x1 + x2 = –(a – 1) = 1 – a x1 × x2 = –90

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x < 0 dan 1 ≤ x < 3, x ∈ R}

+

3

⇔

Oleh karena x1 = 19 + x2 maka diperoleh: x1 × x2 = –90 ⇔ (19 + x2) x2 = –90 ⇔ 19x2 + x22 = –90 ⇔ x22 + 19x2 + 90 = 0 ⇔ (x2 + 10)(x2 + 9) = 0 ⇔ x2 = –10 atau x2 = –9 Untuk x2 = –10 x1 + x2 = 1 – a

⇒ x1 = 19 + (–10) = 9

⇔ –10 + 9 = 1 – a –1 = 1 – a ⇔ ⇔ a=2 Untuk x2 = –9 ⇒ x1 = 19 + (–9) = 10 x1 + x2 = 1 – a

+ 4n 3

4n

Nilai m yang memenuhi m < 0 atau m > 3 .

⇔ ⇔ ⇔

10 – 9 = 1 – a 1 = 1– a a = 0 (tidak memenuhi karena a > 0) Jadi, nilai a = 2.

Matematika Kelas X

51

4. 6x2 + 4x – 5 = 0 Diperoleh a = 6, b = 4, c = –5 b

4

Titik potong grafik dengan sumbu X yaitu 1

(– 2 , 0) dan (4, 0).

2

p + q = – a = – 6 = – 3

b.

Grafik memotong sumbu Y jika x = 0, diperoleh: y = f(0) = 2 × (0)2 – 7 × 0 – 4 = –4 Titik potong grafik dengan sumbu Y yaitu (0, – 4).

c.

Oleh karena a = 2 > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya minimum. Koordinat titik puncak (xP, yP). b 7 3 −7 xP = – = – = = 1

c 5 −5 pq = a = 6 = – 6

(p2 – 1) + (q2 – 1) = p2 + q2 – 2 = (p + q)2 – 2pq – 2 =

2 (– 3 )2 – 4

5 2(– 6 )

–2

5

= 9 + 3 – 2 =

2a

1 9

7 4

=

5 (– 6 )2 –

=

25 36

2 (– 3 )2 +

4 5 – + 9 3

5 2(– 6 )

=

+1

1

d.

– 7 – 5 = –8

15 16 15 ). 16

Grafik fungsi kuadrat f(x): Y X

O –

1 2

3 14

4

15

x2 – 9 x – 36 = 0 ⇔ 36x2 – 4x – 15 = 0

–4

5. Nilai maksimum f(x) adalah 5. −D = 5 4a −(b2 − 4ac)

⇔

4a

15

–8 16

7. a.

=5

−((k + 5)2 − 4(−2)(1 − 2k)) =5 4(−2) −(k 2 + 10k + 25 + 8 − 16k) =5 −8 k2 – 6k + 33 = 40

k2 – 6k – 7 = 0 (k – 7)(k + 1) = 0 k = 7 atau k = –1 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 7 atau k = – 1. 2x2 –

6. y = f(x) = 7x – 4. a. Grafik memotong sumbu X jika y = 0, diperoleh: 2x2 – 7x – 4 = 0 ⇔ (2x + 1)(x – 4) = 0 1

⇔ x = – 2 atau x = 4

52

49 16

3 4

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p 2 – 1) dan (q2 – 1):

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

7 4

Jadi, koordinat titik puncaknya (1 , –8

15

⇔

7 4

= ( )2 – 4( ) – 5

= – 36

1

4

yP = f(xP) = f( )

(p2 – 1)(q2 – 1)= p2q2 – (p2 + q2) + 1 = (pq)2 – (p + q)2 + 2pq + 1

–

4

2(2)


(2x – 5) 2 – 8 > 2 – 3x ⇔ 4x2 – 20x + 25 – 8 – 2 + 3x > 0 4x2 – 17x + 15 > 0 ⇔ ⇔ (4x – 5)(x – 3) > 0 Pembuat nol: 5

4x – 5 = 0 ⇔ x = 4 x – 3 = 0 ⇔ x = 3 +

– 5 4

+

3 5

b.

Jadi, penyelesaiannya: x < 4 atau x > 3 6x + 8 ≤ 4 2x + 1 6x + 8 ⇔ – 4 ≤ 0 2x + 1 6x + 8 − 4(2x + 1) ⇔ ≤ 0 2x + 1 6x + 8 − 8x − 4 ⇔ ≤ 0 2x + 1 −2x + 4 ⇔ ≤ 0 2x + 1

Pembuat nol: –2x + 4 = 0 ⇔ x = 2 2x + 1 = 0

⇔ x =

–

9. a.

x1 ⋅ x2 = 1

1 –2

+

b.

–

1 2

Dua akar berkebalikan

2

⇔

1

–

+ 1

– 4

+ 5

2p 6

=1

p =3 Dua akar berlawanan (4p + 1) x1 + x2 = 0 ⇔ – 6 = 0

Penyelesaian: x < – 2 atau x ≥ 2 8. (k – 1)x2 + 4x + 2k = 0 mempunyai dua akar real jika D > 0. 42 – 4 × (k – 1) × 2k > 0 ⇔ 16 – 8k2 + 8k > 0 ⇔ 2 + k – k2 > 0 ⇔ (2 – k)(1 + k) > 0 Pembuat nol: k = 2 dan k = –1

⇔ ⇔

⇔ 10. p = 3 L ≥ 75

4p + 1 = 0 1

p = –4

⇒ 3 ×  ≥ 75 ⇔ 32 ≥ 75 ⇔ 2 ≥ 25  ≤ –5 atau  ≥ 5 ⇔

Oleh karena lebar bernilai positif maka diperoleh  ≥ 5 atau lebar terkecil 5 cm. Jadi, panjang kawat paling sedikit: K = 2(3 + ) = 2(15 + 5) = 40 cm.

Jadi, batas-batas nilai k agar mempunyai dua akar real adalah –1 < k < 2 dan k ≠ 1.

Matematika Kelas X

53

A.

−1 4 −3 −2 Jadi, bentuk paling sederhana dari (3 2a −b1 −2) 2

Pilihan Ganda

1. Jawaban: 1 8

3 4

p q r

−

2 3

(6a b c )

c

= 

8 4

adalah

1 1 8

(16) (27)

  256 

1  1 8  8  2 

=

− 2 3

3 4

2  33  − 3 2       3 4 4

1

= (2−8 )8 × 23 × 3–2

b c 4a12

4. Jawaban: 27y−2  3 −5  16x y

. c

−1

27y2  3  4x

2

=

4

=

= 9 3 4

Jadi, nilai p q r 2. Jawaban: − 34

256

4

+

−

2 3

4

= 9 .

d

 81 3  64   

625

(− 34 ) +

8

=

2

( 6481)

3 2

1

(625)4

= =

4

+  326 

2−6 2−6

5

(5 )

+ 29

5

1

9

6

×2 +3 5 × 29 3 2 + 36 = 5 × 29 8 + 729 = 5 ⋅ 512

=

2

5

Jadi,

256

4

3. Jawaban: (3−1a4b−3 )−2 (6a2b−1c−2 )2

+

 81 3  64 

=

6

(23 × 3)4

1

625

=

9

2

=

=

= 2

32 a−8b6 2 3 a b−2 c−4 a b 2 −4 2 c

=

3

5

× 32 3

× 32

−1

+ ( −1) + (− 1 ) 2

3

× 30 − 59 6

−3 3

= 2

5 2

× 32

1

−8 − 4 6 − ( − 2)

30 a−12b8 4c−4

59 6

13 2

2 2 4

3

+4+ 4

13 2

2 2

−8 6

3 a b 2 4 −2 −4 6 ab c

2−2

=

9

22

3

× 32

−0

3

× 3 2

3

b8c4 4a12

Ulangan Tengah Semester

=

32 2

1 3 3

− 21

× 24 × 23 × 3−1 × 3

2

=

× 3−1

4

3

22 × 32

=

5

23 × 21 × 22 × 32

3 + 1+

d

=

54

=

1

× (2 × 23 )4 × (3 × 32 )−1 5

737 2.560

1

(2 × 23 )3 × (2 × 3)2 × (32 )−2

737

= 2.560 − 34

d

(23 2)3 × 6 2 × ( 3)−2 4 ( 24)6 × (23 2)4 × (3 3)−1

1 4 4 6 3

−6

27y x3

5. Jawaban: b xy + yx + y = 3(–1) + (–1) 3 + (–1) = –3 + (–1)2 = –3 + 1 = –2 Jadi xy + yx + y = –2. 6. Jawaban:

3 2

×

27 ⋅ 27y4 16 x6

= 27x3 – 6y4 – 5 + 2 = 27x–3y

= 2–1 × 23 × 3–2 = 22 × 3–2

1 8

16 x 3 y−5 27 y−2

=

3 3 23 3 2

=

3 3 8 32

=

2 3

2log

8 2 ×

17. Jawaban: d 2log a = 3 ⇔ a = 23

1 3

2

= 2log

8 2

((a ) )

2

= 2log

  3 2 3  =   (2 )     

1 − 2 3 2

23 2

1

−2

=

= (2

7 22

= 2log 2

−5 2

−2

)

= 2–9

5

= – 2

1

= 512 1

14. Jawaban: b (log 15 – log 150)(log75 – log 7,5)

(

2 3

Jadi, (a )

75

15

1

−2

1

18

2

= 2log

 26  ( )    3

−2

)

1

= 512 .

18. Jawaban: b 3 log 227 − 3log 3 = 3 log 27 − 3log 3

= log 150 × log 7,5 1

= log 10 × log 10 = log 10–1 × 1 = –1

(3 log 33 )2 3

log 3

3 2

− 3log 3 1

− 3log 3 2

32

=

3 2

−1 1 −2

8

15. Jawaban: 7log

log 2 log 7

=a

log 7 log 2

=

1 a

⇔ 2log 7 =

1 a

⇔

2=a

⇔

6log 98

=

= 1 =8

d

2

log 98 = 2 log6

19. Jawaban: e Ingat: an = b ⇔ n = alog b 3 9 log x = 25 ⇔ 3log x = 9log 25 2 ⇔ 3log x = 3 log 52

2

log 2 × 72 2 log 2 × 3

2

=

log 2 + 2log 72 2 log 2 + 2log 3

=

1 + 2 × 2log 7 1 + 2log 3

=

1 + 2( a1 ) 1+ b a+2 a

= 1 + b = Jadi,

6log

98 =

⇔ ⇔ ⇔

x = 2 3log 5 3log x = 3log 5 x=5 Jadi, himpunan penyelesaiannya {5}. 20. Jawaban:

a+2 a(b + 1)

a+2 a(b + 1)

.

x=

1


= log (a + b)4 + log (a – b)2 – log (a2 – b2)3 – log

a+ b a−b

= log

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 4 .

56

a+ b a−b

= log

1 4

e

4 log (a + b) + 2 log (a – b) – 3 log (a 2 – b2) – log

= log

16. Jawaban: c 4log (8 × 4x) = 2 – x ⇔ 4log (8 × 4x) = 4log 42 – x ⇔ 8 × 4x = 42 – x ⇔ 23 × 22x = 22(2 – x) ⇔ 22x + 3 = 24 – 2x ⇔ 2x + 3 = 4 – 2x ⇔ 4x = 1

⇔

2

3log

(a + b)4(a − b)2 (a2

− b2 )3 × aa +− bb

(a + b)4(a − b)2 ((a + b)(a − b))3 a +− b a b

(a + b)4(a − b)2 4 2 (a + b) (a − b)

= log 1 log x = log 1 ⇔ x = 1 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1.

21. Jawaban: b f: x  y dikatakan suatu fungsi jika setiap x dikawankan tepat satu kali. Y Y

Y

Y

24. Jawaban: e f(x) = –2x2 + 4x + 3 Nilai ekstrim fungsi dicapai pada titik balik yaitu −b D (xp, yp) = ( 2a , 4a ). xp = –

x1 x2 0 x3

X

0 x1x2 x3

X

x1 x2 0 x3

X

x1 0 x2 x3

X

Keempat grafik di atas bukan merupakan grafik suatu fungsi karena ada beberapa x yang dikawankan lebih dari satu kali. Y Grafik di samping merupakan grafik suatu fungsi karena setiap x dikawankan tepat satu X kali. Jadi, grafik suatu fungsi f: x  y ditunjukkan pada gambar pilihan b. 22. Jawaban: a Diketahui f(x) = ax + b. f(–3) = 9 ⇔ –3a + b = 9 . . . (1) f(4) = –5 ⇔ 4a + b = –5 . . . (2) Diperoleh: –3a + b= 9 4a + b = –5 ––––––––––– – –7a = 14 ⇔ a = –2 a = –2 ⇒ –3a + b = 9 ⇔ 6+ b= 9 ⇔ b=3 Diperoleh a = –2 dan b = 3. Jadi, rumus fungsi f adalah f(x) = –2x + 3. 23. Jawaban: e Fungsi f: A → B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1 dan a2 anggota A dengan a1 ≠ a2 maka berlaku f(a 1) ≠ f(a2). 1) Diagram panah pada pilihan a bukan fungsi injektif karena f(2) = f(3) = b. 2) Diagram panah pada pilihan b bukan fungsi injektif karena f(1) = f(3) = a dan f(5) = f(7) = c. 3) Diagram panah pada pilihan c bukan fungsi injektif karena f(4) = f(8) = c. 4) Diagram panah pada pilihan d bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak mempunyai kawan di B. 5) Diagram panah pada pilihan e merupakan fungsi injektif.

4 2(−2)

−4 = −4 = 1

yp = f(1) = –2 × 12 + 4 × 1 + 3 = 5 Nilai-nilai y pada ujung interval –2 ≤ x ≤ 3: x = –2 ⇒ f(–2) = –2(–2) 2 + 4(–2) + 3 = –13 x = 3 ⇒ f(3) = –2(3)2 + 4(3) + 3 = –3 Oleh karena x = 1 berada di dalam interval –2 ≤ x ≤ 3 dan f(1) = 5 maka daerah hasil fungsi adalah {y | –13 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}. 25. Jawaban:

c

Diketahui f(x) =

x+4 2

+ 7x + 3 Agar f(x) terdefinisi, x + 4 dan 2x2 + 7x + 3 harus terdefinisi. 2x

x + 4 terdefinisi jika x + 4 ≥ 0. x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ –4 . . . (1) 2 2x + 7x + 3 ≠ 0 ⇔ (2x + 1)(x + 3) ≠ 0 ⇔ 2x + 1 ≠ 0 atau x + 3 ≠ 0 1

⇔

x ≠ – 2 atau x ≠ –3 Irisan daerah penyelesaian (1) dan (2).

–4

–3

. . . (2)

1

–2

1

Jadi, daerah asal alaminya {x | x ≥ –4, x ≠ –3, x ≠ – 2 }. 26. Jawaban: a Fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (5, 0). Rumus fungsi kuadrat tersebut yaitu: y = a(x – x1)(x – x2) = a(x + 4)(x – 5) Fungsi kuadrat melalui (2, –9) sehingga diperoleh: –9 = a(2 + 4)(2 – 5) ⇔ –9 = a(6)(–3)

⇔

1

a= 2

Diperoleh fungsi kuadrat: 1

y = 2 (x + 4)(x – 5) 1

⇔

y = 2 (x2 – x – 20)

⇔

y = 2 x2 – 2 x – 10

1

1

1

1

Jadi, fungsi kuadrat tersebut y = 2 x2 – 2 x – 10. Matematika Kelas X

57

27. Jawaban: e I. x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = –4 II. x2 – x – 12 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 4) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 4 III.

1 2 1 x + x 3 3

30. Jawaban: d Persamaan kuadrat pertama: 2x2 + 11x – 21 = 0 11

Diperoleh: x1 + x 2 = – 2

21

x1 × x 2 = – 2 Persamaan kuadrat yang baru mempunyai akarakar 2 kali akar-akar 2x 2 + 11x – 21 = 0. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru x3 = 2x1 x4 = 2x 2 x3 + x4 = 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2)

–4=0

⇔ x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = –4 IV. x2 – 7x + 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = 4 V.

1 2 1 x + x 2 2

11

= 2 × (– 2 ) = –11 x3 × x4 = (2x1)(2x2) = 4(x1 × x2)

–6=0

⇔ x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = 3 atau x = –4

21

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan –4 adalah I, III, dan V. 28. Jawaban: b Persamaan kuadrat x 2 – kx – 30 = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x2. Diperoleh: x1 + x2 =

b –a

x1 × x 2 = c

a

⇔ x1 + x2 = k

= 4 × (– 2 ) = –42 Persamaan kuadrat yang baru yaitu: x2 – (x3 + x4)x + (x3 × x4) = 0 ⇔ x2 + 11x – 42 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru x 2 + 11x – 42 = 0. 31. Jawaban:

2x2 – x + 4 = 0

⇔ x1 × x2 = –30

Hasil penjumlahan akar-akar yang baru: α( α + 1) + β(β + 1) β α β + 1 + α + 1 = ( α + 1)(β + 1) α2 + β2 + α + β = αβ + (α + β) + 1 = =

x1 + x2 = – ba = –( −648 ) = 8 x1 – x2 =

=

− 4ac a

(−48)2

= =

= =2 2 2 x1 – x2 = ( x1 + x2)(x1 – x2) = 8 × 2 = 16 Jadi, nilai x12 – x2 2 = 16. 58


− 4 ⋅ 6 ⋅ 90 6

144 6 12 6

1 2

αβ = ac = 42 = 2

29. Jawaban: e 6x2 – 48x + 90 = 0 ⇒ a = 6, b = –48, c = 90

b2

⇒ a = 2, b = –1, c = 4

α + β = – ba = –( −21 ) =

Diketahui x12 + x22 = 61 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1 × x2 = 61 ⇔ k2 – 2(–30) = 61 ⇔ k2 + 60 – 61 = 0 ⇔ k2 – 1 = 0 ⇔ (k + 1)(k – 1) = 0 ⇔ k = –1 atau k = 1 Jadi, nilai k = 1 atau k = –1.

D a

a

(α + β)2

− 2αβ + (α + β) αβ + (α + β) + 1

 1 2  2  

− 2 ⋅ 2 + 21 2 + 21 + 1

= – 13 14 Hasil perkalian akar-akar yang baru: αβ β 2 α β + 1 × α + 1 = αβ + (α + β) + 1 = 2 + 21 + 1 = Persamaan kuadrat baru α α β β x2 – ( + α + 1 )x – × α + 1 = 0 β +1 β +1

⇔ ⇔

2 = 4 7 7 2

x2 – (– 13 )x + 47 = 0 14

14x2 + 13x + 8 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru 14x 2 + 13x + 8 = 0.

32. Jawaban: e 2x2 – 11x + 15 ≥ 0 ⇔ (2x – 5)(x – 3) ≥ 0 Pembuat nol: (2x – 5)(x – 3) = 0 ⇔ 2x – 5 = 0 atau x – 3 = 0 5

⇔

x = 2 atau +

x=3

– 5 2

Grafik memotong sumbu X di y = 0: y = 2(x + 2)(x + 5) = 0 ⇔ (x + 2)(x + 5) = 0 ⇔ x = –2 atau x = –5 Oleh karena y = 2x 2 + 14x + 20 mempunyai nilai a = 2 > 0 maka grafik membuka ke atas. Diperoleh grafik membuka ke atas dan memotong sumbu X di x = –2 dan x –5. Jadi, grafik yang sesuai pada pilihan b.

+

36. Jawaban: d Fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c menyinggung sumbu X jika D = b2 – 4ac = 0.

3 5

Diperoleh x ≤ 2 atau x ≥ 3. Jadi, himpunan penyelesaiannya

a.

y = x2 – x + 2 ⇒ D = (–1) 2 – 4 × 1 × 2 = –7 (Oleh karena D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu X)

b.

y = 3x2 – x + 6 ⇒ D = (–1)2 – 4 × 3 × 6 = –71 (Oleh karena D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu X)

c.

y = 2x2 – 8x + 10 ⇒ D = (–8)2 – 4 × 2 × 10 = – 16 (Oleh karena D < 0 maka grafik tidak memotong sumbu X)

d.

y = 4x2 + 4x + 1 ⇒ D = 42 – 4 × 4 × 1 = 0 (Oleh karena D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X)

5

{x | x ≤ 2 atau ≥ 3, x ∈ R}. 33. Jawaban: b 6 – 3(x – 2) > (x + 2)2 ⇔ 6 – 3x + 6 > x 2 + 4x + 4 ⇔ –x2 – 4x – 4 + 6 – 3x + 6 > 0 ⇔ –x2 – 7x + 8 > 0 ⇔ x2 + 7x – 8 < 0 Pembuat nol: x2 + 7x – 8 = 0 ⇔ (x – 1)(x + 8) = 0 ⇔ x = 1 atau x = –8 +

– –8

+ 1

Jadi, nilai x yang memenuhi {x | –8 < x < 1, x ∈ R). 34. Jawaban: e x – 3 < 4x – 3 < 2x – 1 artinya x – 3 < 4x – 3 dan 4x – 3 < 2x – 1. (1) x – 3 < 4x – 3 ⇔ 3x > 0 ⇔ x > 0 (2) 4x – 3 < 2x – 1 ⇔ 2x < –1 + 3 ⇔ 2x < 2 ⇔ x<1 (1)

1 0 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x|0 < x < 1}. 35. Jawaban: b y = 2x2 + 14x + 20 ⇔ y = 2(x2 + 7x + 10) ⇔ y = 2(x + 2)(x + 5)

37. Jawaban: e Dari soal diketahui bahwa grafik mempunyai titik puncak (0, 2), sehingga fungsi kuadrat dapat disusun dengan rumus y = a(x – x p)2 + yp dengan (xp, yp) adalah titik puncak. y = a(x – 0) 2 + 2 y = ax2 + 2 Grafik melalui titik (1, 8) ⇒ 8 = a × 12 + 2 ⇔ a=6 Fungsi kuadrat menjadi

0

(2) Irisan (1) dan (2)

y = 3x2 – 6x – 3 ⇒ D = (–6)2 – 4 × 3 × (–3) = 72 (Oleh karena D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik berbeda) Jadi, fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X adalah y = 4x 2 + 4x + 1. e.

f(x) = 6x2 + 2 ⇒ a = 6, b = 0, c = 2 Nilai 2a – 5b + c = 2 × 6 – 5 × 0 + 2 = 14 38. Jawaban:

c

p

Dari f(x) = px2 + (2p + 4)x + 8 + 4 diperoleh: p

a = p, b = (2p + 4), c = (8 + 4 )

Matematika Kelas X

59

Fungsi kuadrat f(x) memotong sumbu X di dua titik berbeda jika D > 0. b2 – 4ac > 0 p ) 4

(2p + 4)2 – 4p(8 +

B.

Uraian

1. a.

>0

=

⇔ 4p2 + 16p + 16 – 32p – p 2 > 0 ⇔ 3p2 – 16p + 16 > 0

4

p = 3 atau

b. +++

4

4

d

1 3 – 4 ), 4p 1 3 – 4 . 4p

b = 2p, dan c =

diperoleh a = p,

1

2. a.

+++

13

+ 17

Jadi, ketinggian peluru tidak kurang dari 221 m terjadi pada saat 13 ≤ t ≤ 17.

60


7

9

+ log (b2 )2 + log a2 log a + log b

= =

log a 2 + log b7 + log a2 log a + log b

=

3

40. Jawaban: d Ketinggian peluru tidak kurang dari 221 m, berarti mempunyai pertidaksamaan: 30t – t2 ≥ 221 ⇔ 30t – t2 – 221 ≥ 0 ⇔ t2 – 30t + 221 ≤ 0 ⇔ (t – 17)(t – 13) ≤ 0 Pembuat nol: (t – 17) = 0 atau (t – 13)= 0 ⇔ t = 13 atau t = 17 –

6

log a 2

5 log 2

9

9

a + 2 log a + 7 log b log a + log b

+++

Nilai p yang memenuhi adalah p < –1 atau p > 4 .

+

3− 3

log a2 a + log (b3 b)2 + log a4 a log a + log b

=

4

2−5 2−6

65 4− 3

5

3

–1

4− 3

p = –1

–––

–

5

12

–

5

Pembuat nol: 4p2 + p – 3 = 0 ⇔ (4p – 3)(p + 1)= 0 p=

−

(24 ) 4 (23 )−2

= 5(4 + 3 ) – 2(3 + 3 ) = 20 + 5 3 – 6 – 2 3 = 14 – 3 3

3 ⇔ (2p)2 – 4 × p × ( 4p – 4 ) > 0 ⇔ 4p2 + p – 3 > 0

⇔

×

2 6 3 (2 )

13

Agar memotong sumbu X nilai D > 0. b2 – 4ac > 0

3 atau 4

8

12 4+ 3 3+ 3 × 4 + 3 – 3 − 3 × 3 + 3 65(4 + 3) 12(3 + 3) = 16 − 3 – 9 − 3 65(4 + 3) 12(3 + 3) = –

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p < 3 atau p > 4.

f(x) = px2 + 2px + (

1 3 3 (3 )

65

=

4

3

39. Jawaban:

×

= 3 × 24 – 2–5 – (–6) = 3 × 24 – 21 = 48 – 2 = 46

p=4

– – –

+++

2 −5 16 4 643 – −2

= 31 × 24 –

Pembuat nol: (3p – 4)(p – 4) = 0 ⇔ 3p – 4= 0 atau p – 4 = 0

⇔

1 3 (27)

7 log a + 7 log b log a + log b

7(log a + log b ) = log a + log b = 7

b.

8log

3 × 5log 64 × 3log

5

= 8 log 3 × 3 log 5 × 5 log 64 1

1

5 2 8 3 = log 3 2 × log 52 × log 8 1

1

= 2 × 2 × 2 × 8log 3 × 3log 5 × 5log 8 1

1

1

1

= 2 × 2 × 2 × 8log 8 = 2 × 2 × 2 × 1 1

= 2

3. Suatu fungsi f: A → B merupakan fungsi surjektif jika daerah hasil kodomain = B. a. f = {(1, a), (2, e), (3, i), (4, o)} Daerah hasil fungsi f = {a, e, i, o} = B. Jadi, fungsi f merupakan fungsi surjektif. b g = {(1, a), (2, e), (3, e), (4, o)} Daerah hasil fungsi g = {a, e, o} ≠ B. Jadi, fungsi g bukan fungsi surjektif. c. h = {(1, a), (2, e), (3, i), (4, o)} Daerah hasil fungsi h = {a, e, i, o}. Jadi, fungsi h merupakan fungsi surjektif. Jadi, fungsi yang merupakan fungsi surjektif adalah f dan h. 4. a.

1)

k2

⇔

k2

⇔

5k − 6

2

Jadi, nilai k yang memenuhi 2 atau 3.

Domainnya: {x | –5 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}. Daerah hasil f(x) = 25 − x2 adalah f(x) ≥ 0.

⇔

6. a.

25 − x2 terdefinisi jika 25 – x2 ≥ 0 25 – x2 ≥ 0 ⇔ (5 – x)(5 + x) ≥ 0 +

– 5

2

p = 5 atau

Jadi, domainnya Df: {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} dan rangenya R f = {f(x) | f(x) ≥ 0, x ∈ R}.

+

+ 9x + 18 f(x) = x+4 1) Domain harus memenuhi syarat

x+4

x + 4 tidak boleh bernilai nol sehingga:

+ 2

2

b.

p < 5 atau p > 2). Grafik fungsi kuadrat y = px2 + (p + 2)x – p + 4 menyinggung sumbu X jika D = 0. ⇔ (p + 2)2 – 4p(–p + 4) = 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2) = 0 2

⇔

p = 5 atau p = 2 Jadi, grafik menyinggung sumbu X jika nilai

x + 4 ≠ 0

Daerah hasil f(x) =

p=2

Jadi, grafik memotong sumbu X jika nilai

terdefinisi untuk x + 4 ≥ 0. x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ –4 . . . (1)

⇔ x + 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ –4

– 2 5

x2

2)

=

k−2

k ⇔ k−2 = k−2 ⇔ k2 = 5k – 6 ⇔ k2 – 5k + 6 = 0 ⇔ (k – 2 )(k – 3) = 0 ⇔ k = 2 atau k = 3

f(x) =

–5

b.

3k − 2 k−2 2(k − 2) 3k − 2 k − 2 + k − 2

=2+

k−2

Grafik fungsi kuadrat y = px2 + (p + 2)x – p + 4 memotong sumbu X di dua titik jika D > 0. b2 – 4ac > 0 ⇒ (p + 2)2 – 4p(–p + 4) > 0 2 ⇔ p + 4p + 4 + 4p 2 – 16p > 0 ⇔ 5p2 – 12p + 4 > 0 ⇔ (5p – 2)(p – 2) > 0 Pembuat nol: (5p – 2)(p – 2) = 0 ⇔ 5p – 2 = 0 atau p – 2 = 0

–

2)

(p + q) = 2 + (pq)

2

. . . (2) x2

+ 9x + 18 adalah x+4

f(x) ∈ R. Diperoleh Rf = {f(x) | f(x) ∈ R}. Jadi, diperoleh Df = {x | x > –4, x ∈ R} dan Rf = {f(x) | f(x) ∈ R}. 5. (k – 2)x2 – k2x + (3k – 2) = 0 Diperoleh a = k – 2, b = –k 2, c = 3k – 2 k2 −k2 p + q = – ba = –( k − 2 ) = k − 2 3k − 2 p × q = ac = k − 2

p = 5 atau p = 2. 7. x1 dan x2 akar-akar dari x 2 – 4x + 3 sehingga diperoleh: x1 + x 2 = 4 x1 × x 2 = 3 Persamaan kuadrat baru yang dicari mempunyai akar-akar (4x 1 + 2) dan (4x 2 + 2) sehingga: (4x1 + 2) + (4x2 + 2) = 4(x1 + x2) + 4 =4×4+4 = 20 (4x1 + 2)(4x2 + 2) = 16x1x2 + 8(x1 + x2) + 4 = 16 × 3 + 8 × 4 + 4 = 48 + 32 + 4 = 84

Matematika Kelas X

61

Persamaan kuadrat yang baru yaitu: x2 – [(4x1 + 2) + (4x2 + 2)]x + (4x1 + 2)(4x2 + 2) = 0 ⇔ x2 – 20x + 84 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru x 2 – 20x + 84 = 0. 8. a.

b.

Grafik memotong sumbu X pada (–2, 0) dan (6, 0) sehingga bentuk fungsi kuadrat: y = a(x + 2)(x – 6) Grafik juga melalui titik (0, 12) sehingga diperoleh: 12 = a(0 + 2)(0 – 6) ⇔ 12 = a(–12) ⇔ a = –1 Persamaan fungsi kuadrat y = –1(x + 2)(x – 6) ⇔ y = –(x2 + 2x – 6x – 12) ⇔ y = –x2 + 4x + 12 Misalkan titik puncak fungsi tersebut (x P, yP) −b −4 xP = = = 2 2a 2(−1) D b2 − 4ac yP = – 4a = – = = =

4a − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 12 – 4 ⋅ (−1) 16 + 48 – −4 64 4

Menentukan titik puncak. −b = −2 = 1 x = 2a 2(−1) 2 y = –1 + 2 × 1 – 1 = 0 Koordinat titik puncak (1, 0). Kurva menghadap ke bawah (a < 0) Y

X –5 –4 –3 –2 –1 0 –1


3

4

5

–3 –4 –5

4

1

10. h(t) = 1 + 5 t – 5 t2 a. Tinggi maksimum diperoleh apabila −b t = 2a

⇒ t =

4 5 2  − 1   5

−

4

= 2 = 2

Fungsi maksimum = h(2) 4

1

= 1 + 5 × 2 – 5 × 22

= 16 Jadi, titik puncaknya (2, 16).

62

2

–2

42

9. Menentukan titik potong dengan sumbu X. y = 0 ⇒ –x2 + 2x – 1 = 0 ⇒ x2 – 2x + 1 = 0 ⇒ (x – 1)(x – 1) = 0 x =1 ⇒ Grafik memotong sumbu X di titik (1, 0). Menentukan titik potong dengan sumbu Y. x = 0 ⇒ y = –02 + 2 × 0 – 1 ⇔ y = –1 Grafik memotong sumbu X di titik (0, –1)

1

5

8

4

= 5 + 5 – 5 9

= 5 = 1,8 b.

Jadi, tinggi maksimum batu 1,8 meter. Batu jatuh di tanah, berarti ketinggiannya nol. h(t) = 0

4

1

⇒ 1 + 5 t – 5 t2 = 0 ⇔ t2 – 4t – 5 = 0 ⇔ (t + 1)(t – 5) = 0 ⇔ t = –1 atau t = 5

Oleh karena waktu bernilai positif maka t = 5. Jadi, batu jatuh di tanah pada detik ke-5.

Sistem Persamaan Linear-Kuadrat

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

• •

K on se p S is te m P er sa ma an Linear Dua Variabel P en ye le sa ia n S is te m P er samaan Linear Dua Variabel

• •

K on se p S is te m P er sa ma an Linear Tiga Variabel P en ye le sa ia n S is te m P er samaan Linear Tiga Variabel

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat

• • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • •

K on se p S is te m P er sa ma an Linear dan Kuadrat P en ye le sa ia n S is te m P er samaan Linear dan Kuadrat K on se p S is te m P er sa ma an Kuadrat P en ye le sa ia n S is te m P er samaan Kuadrat

Bersikap cermat saat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat. Mampu menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menjelaskan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menyelidiki sifat sistem persamaan linear dua variabel berdasarkan jenis penyelesaiannya. Mampu membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menjelaskan pengertian sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menjelaskan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menyelidiki sifat sistem persamaan linear tiga variabel berdasarkan jenis penyelesaiannya. Mampu membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel. Mampu menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. Mampu menjelaskan cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. Mampu menggambar kedudukan garis lurus dan fungsi kuadrat. Mampu menyelidiki hubungan diskriminan dan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat. Mampu membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat.

Matematika Kelas X

63

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Misalkan: p = panjang persegi panjang  = lebar persegi panjang Diperoleh:  =p–3 . . . (1) ⇔ p– =3 K = 2(p + ) 32 = 2(p + ) ⇔ . . . (2) ⇔ p +  = 16 Diperoleh SPLDV  p –  = 3  p +  = 16 Jadi, SPLDV dari permasalahan tersebut p –  = 3 dan p +  = 16. 2. Jawaban: c Persamaan garis 1 melalui titik (–6, 0) dan (0, 5) sehingga persamaannya 5x – 6y = –30. Persamaan garis 2 melalui titik (4, 0) dan (0, 3) sehingga persamaannya 3x + 4y = 12. Diperoleh SPLDV  5x – 6y = –30  3x + 4y = 12 3. Jawaban: b Misalkan: x = banyak kelereng besar y = banyak kelereng kecil Diperoleh SPLDV:  50x – 30y = 50  50x + 30y = 1.550 Eliminasi y. 50x – 30y = 50 50x + 30y = 1.550 ––––––––––––––– + 100x = 1.600 x = 16 ⇔ Substitusikan x = 16 ke dalam persamaan 50x – 30y = 50. 50 × 16 – 30y = 50 ⇔ 800 – 30y = 50 30y = 750 ⇔ y = 25 ⇔ Jadi, banyak kelereng besar 16 dan banyak kelereng kecil 25. 4. Jawaban: d Misalkan: x = harga 1 kg jeruk y = harga 1 kg apel Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut. 2x + 2y = 41.000 . . . (1) 4x + 3y = 71.000 . . . (2)

64


Eliminasi x dari sistem persamaan. 2x + 2y = 41.000 × 2 4x + 4y = 82.000 4x + 3y = 71.000 × 1 4x + 3y = 71.000 –––––––––––––– – y = 11.000 Substitusikan y = 11.000 ke dalam persamaan (1). 2x + 2y = 41.000 ⇔ 2x + 2 × 11.000 = 41.000 2x + 22.000 = 41.000 ⇔ 2x = 19.000 ⇔ x = 9.500 ⇔ 3x + 2y = 3 × 9.500 + 2 × 11.000 = 28.500 + 22.000 = 50.500 Uang kembalian = 100.000 – 50.500 = 49.500 Jadi, uang kembalian yang diterima Widya adalah Rp49.500,00. 5. Jawaban: b Misalkan: x = banyak karung beras 100 kg y = banyak karung beras 50 kg Dari permasalahan tersebut diperoleh persamaan linear sebagai berikut. x + y = 125 . . . (1) 100x + 50y = 8.750 ⇔ 2x + y = 175 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y = 125 2x + y = 175 ––––––––––– – –x = –50 x = 50 ⇔ Substitusikan x = 50 ke dalam persamaan (1). x + y = 125 ⇒ 50 + y = 125 y = 75 ⇔ Jadi, banyak karung beras 100 kg dan 50 kg berturut-turut 50 dan 75. 6. Jawaban: e + + –  

= 1

+ + –  

⇔

6(

⇔

2x + 4 – 3y – 9 = 6 2x – 3y = 11

⇔

+ 

+



+

 + 



)= 1× 6

= 4

+

 +  

⇔

6(

⇔

6 + 3x + 4y + 10 = 24 3x + 4y = 8

⇔

. . . (1)

)= 6× 4 . . . (2)

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh: 2x – 3y = 11 × 3 6x – 9y = 33 3x + 4y = 8 × 2 6x + 8y = 16 –––––––––– – –17y = 17 y = –1 ⇔ y = –1 ⇒ 2x – 3y = 11 2x + 3 = 11 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4 ⇔ x + y = 4 + (–1) =3 Jadi, x + y = 3. 7. Jawaban: c Misalkan: A = umur Anang sekarang B = umur Bima sekarang Tiga tahun lalu umur Anang sama dengan 2 kali umur Bima, dapat ditulis: A – 3 = 2 × (B – 3) . . . (1) ⇔ A = 2B – 3 Dua tahun yang akan datang 4 kali umur Anang sama dengan umur Bima ditambah 36 tahun. Dapat ditulis: 4 × (A + 2) = (B + 2) + 36 B = 4A – 30 . . . (2) ⇔ Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). A = 2(4A – 30) – 3 A = 8A – 63 ⇔ ⇔ 7A = 63 A = 9 ⇔ Jadi, umur Anang sekarang 9 tahun.

9. Jawaban: e Himpunan penyelesaian SPLDV {(–1, 2)}, berarti x = –1, y = 2. Substitusikan x = –1 dan y = 2 ke dalam SPLDV. 

+





+

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ = 2   − + +  

3(a – 1) + 2(2 + b) = 12 3a – 3 + 4 + 2b = 12 3a + 2b = 11

−  −  +  + =   − −  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Eliminasi  

+

 = 

  –  

 dari 

1

= 8

sistem persamaan.  

×2

 

×1

  –  

+

⇔

 

 

+

 = 

1

4+

⇒

+

=

  

−

 

=

  

x=

= 18

. . . (2)

 . 

 

+

 

= –7

× 1

 

+

 

= –7

 

–

 

= 7

× 2

 

–

 

= 14

 

=7

x=2

⇔

 

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan

 

–

= 7.  



+ 

 

–

 

= 7

⇒

⇔

 – 

= –2

10. Jawaban: d

=1 = –3

 −  +  

Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh: 3a + 2b = 11 –3a – 16b = –25 –––––––––––––– + –14b = –14 b=1 ⇔ b = 1 ⇒ 3a + 2b = 11 3a + 2 = 11 ⇔ 3a = 9 ⇔ a=3 ⇔ a+b=3+1=4 Jadi, nilai a + b = 4.

⇔

y=

⇔



   

⇔

+

––––––––––– +

= 10

ke dalam persamaan

= 1. 

–2

=8 ––––––––– +  

Substitusikan x =

=2

. . . (1)

3(–1 – a) + 4(2 – (4b + 1)) = –24 –3 – 3a + 8 – 16b – 4 = –24 –3a – 16b = –25

Eliminasi 8. Jawaban: b

=2

3– –

 

=7

 

=4

y=–

 

Jadi, nilai x dan y berturut-turut 2 dan –

 

.

11. Jawaban: e Misalkan: x = banyak ikan beta jenis I y = banyak ikan beta jenis II

Matematika Kelas X

65

 

Diperoleh SPLDV: x + y = 325 4.000x + 5.000y = 1.500.000 4x + 5y = 1.500 ⇔ x + y = 325

×5

4x + 5y = 1.500

×1

14. Jawaban: a . . . (1)



. . . (2)

⇔

5x + 5y = 1.625

4x + 5y = 1.500 ––––––––––––– – x = 125 Jadi, ikan beta jenis I terjual 125 ekor.

 

(y – 4)

⇔

x–

 

y= 4–

⇔

x–

 

y=2

⇔

x+4=

 

(y + 4)

x–

 

y=

 

⇔

x–

 

y = –1

⇔

4x – 3y = –4

 

. . . (1) – 4

. . . (2)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x – y = 4 × 3 6x – 3y = 12 4x – 3y = –4 × 1 4x – 3y = –4 –––––––––– – 2x = 16 x=8 ⇔ Substitusikan x = 8 ke dalam persamaan (1). 2x – y = 4 ⇔ 2(8) – y = 4 y = 12 ⇔ Jadi, selisih umur Fiki dan Andi sekarang y – x = 12 – 8 = 4 tahun. 13. Jawaban: b Misalkan: a = angka pertama b = angka kedua Diperoleh SPLDV: 3a – 2 = b . . . (1) ⇔ 3a – b = 2 a + 2b = 17 . . . (2) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 3a – b = 2 × 2 6a – 2b = 4 a + 2b = 17 × 1 a + 2b = 17 –––––––––– + 7a = 21 a=3 ⇔ a = 3 ⇒ 3a – b = 2 9– b= 2 ⇔ b=7 ⇔ Bilangan = ab = 37 Jadi, bilangan tersebut 37.

66


x + 2y – 3 = –6x + 18y 7x – 16y = 3

⇔

 −  −   − 

2x – y – 5 = –6y + 3x x – 5y = –5

⇔ ⇔

. . . (1)

= –3

7x – 16y = 3 x – 5y = –5

2x – y = 4

⇔

= –6

. . . (2)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2).

12. Jawaban: a Misalkan: x = umur Andi sekarang y = umur Fiki sekarang x–4=

 −   − 

+

×1 ×7

7x – 16y = 3 7x – 35y = –35 ––––––––––––– – 19y = 38 y=2 ⇔ Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan (2). y = 2 ⇒ x – 5y = –5 ⇔ x – 10 = –5 x=5 ⇔ x–y=5–2=3 Jadi, nilai x – y = 3. 15. Jawaban: c {(2, 5)} atau x = 2 dan y = 5 merupakan penyelesaian SPLDV, sehingga berlaku:  −   +  

= 5

⇔

   − +  

=5

⇔

  +  

=5



+



+

 − = 

. . . (1)

3

⇔

+ − +  

=3

⇔

 

 

=3

Eliminasi

 dari persamaan (1) dan (2). 

  +  

+

=5

  +  

=3 –––––––––––– –  

 

=2

⇔

  –  

=2

⇔

− 

=2

⇔

 

=2

⇔

b=

–

 = 

2

. . . (2)

Substitusikan b = 2 ke dalam persamaan (2). b=2

=3

 

–

 = 

1.

2=3

 

–

 = 

1

⇒

  +  

⇔

 + 

 

⇔

a=3

=1

16. Jawaban: e Persamaan ketiga garis: x – 4y = 12 . . . (1) 2x – y = 10 . . . (2) ax + 3y= 2 . . . (3) Titik potong ketiga garis sama dengan titik potong garis (1) dan (2). Menentukan titik potong garis (1) dan (2). Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x – 4y = 12 × 2 2x – 8y = 24 2x – y = 10 × 1 2x – y = 10 ––––––––––– – –7y = 14 y = –2 ⇔

4a + 3(–2) = 2 4a – 6 = 2 ⇔ 4a = 8 ⇔ a=2 ⇔ Jadi, nilai a = 2. 17. Jawaban: a Menentukan nilai p dan q.

+

 

 

–

 = 

 

+

 

p=2

Substitusikan x = p = 2 dan y = q = 1 ke persamaan x + 2y = n. 2+2×1=n ⇔ n=4 Jadi, nilai n = 4.

Substitusikan y = –2 ke dalam persamaan (1). x – 4y = 12 ⇒ x – 4(–2) = 12 x + 8 = 12 ⇔ x=4 ⇔ Diperoleh titik potong ketiga garis (4, –2). Oleh karena ketiga garis berpotongan di titik (4, –2) maka garis ax + 3y = 2 melalui titik (4, –2) sehingga:

 

18. Jawaban: d Misalkan: x = usia Bima sekarang y = usia kak Lusi sekarang Diperoleh: 2x = y + 10 2x – y = 10 . . . (1) ⇔ 3(x – 5) = y + 10 ⇔ 3x – 15 = y + 10 3x – y = 25 ⇔

2x – y = 10 3x – y = 25 ––––––––––– – –x = –15 x = 15 ⇔ x = 15 ⇒ 2x – y = 10 ⇔ 30 – y = 10 y = 20 ⇔ x + y = 15 + 20 = 35 Jadi, jumlah usia mereka sekarang 35 tahun. 

 

–

 = 

1 dan

Misalkan pecahan tersebut  . Sistem persamaan yang terbentuk:  + −

= 3. × 1

 

= 3

× 2

 

–

  

⇔

 

=

= –5

 ⇔  ⇔

=1

+ =6  –––––––––– – –

. . . (2)

19. Jawaban: c

persamaan

1

=2

p = 2 dan q = 1 memenuhi sistem persamaan 2x – 3y = 1 dan x + 2y = n. Misalkan p = y dan q = x. 2q – 3p = 1 2 × 1– 3 ×2= 1 ⇔ 2 – 6 = 1 (salah) ⇔ Misalkan p = x dan q = y. 2p – 3q = 1 2 × 2– 3 ×1= 1 ⇔ 4 – 3 = 1 (benar) ⇔

Jadi, nilai a dan b berturut-turut 3 dan 2.

 dari 

 

⇔ ⇔

⇔

Eliminasi

Substitusikan nilai q = 1 ke dalam persamaan

⇔

 − −

=

 ⇔  ⇔ ⇔

3(x + 1) = 2(y – 2) 3x + 3 = 2y – 4 3x – 2y = –7

. . . (1)

3(x – 1) = y – 2 3x – 3 = y – 2 3x – y = 1

. . . (2)

q=1

Matematika Kelas X

67

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 3x – 2y = –7 3x – y = 1 ––––––––––– – –y = –8 y=8 ⇔

b.

 

.

20. Jawaban: a Misalkan: p = jam kerja pekerja A q = jam kerja pekerja B p+q=8 50p + 60q = 435

Diperoleh SPLDV:

 8x + 5y = 330 

12x + 6y = 468

Eliminasi p dari persamaan (1) dan (2). × 50 × 1

Eliminasi x dari kedua persamaan.

50p + 50q = 400 50p + 60q = 435 ––––––––––––– – –10q = –35 q = 3,5 ⇔

8x + 5y = 330 12x + 6y = 468

24x + 15y = 990 24x + 12y = 936 –––––––––––––– – 3y = 54 y = 18 ⇔ Substitusikan y = 18 ke dalam persamaan 8x + 5y = 330. y = 18 ⇒ 8x + 5y = 330 ⇔ 8x + 90 = 330 8x = 240 ⇔ x = 30 ⇔ Berat 10 sachet kopi instan dan 10 sachet biskuit: 10x + 10y = 10(x + y) = 10(30 + 18) = 10(48) = 480 Jadi, berat isi kantong plastik 480 gram.

Pekerja B bekerja selama 3,5 jam. Jadi, kue yang dibungkus pekerja B = 3,5 × 60 = 210 buah. B. Uraian 1. a.

SPLDV: 2x + 4y = 22 dan 5x + 3y = 6. Titik-titik yang dilalui garis 2x + 4y = 22: x y

0 5

11



0



Titik yang dilalui (0, 5

 ) 

dan (11, 0).

0

 

y

2

0

Persamaan linear yang terbentuk: v2 = 16 + v1 Jarak kota A dan B = 4v2 = 5v1 4v2 = 5v1 ⇔ 4(16 + v1) = 5v1 64 + 4v 1 = 5v1 ⇔ v1 = 64 km/jam ⇔ v2 = 16 + v 1 = 16 + 64 = 80 km/jam

 

Titik yang dilalui ( , 0) dan (0, 2). Gambar grafik SPLDV: Y



2x + 4y = 22

4. Misalkan: x = usia Lia sekarang y = usia Paman Banu sekarang

2 0

 

68


. . . (1) . . . (2)

Jadi, kecepatan rata-rata truk 64 km/jam dan kecepatan rata-rata mobil 80 km/jam.

5 5x + 3y = 6

×3 ×2

3. Misalkan: v1 = kecepatan truk v2 = kecepatan mobil

Titik-titik yang dilalui garis 5x + 3y = 6: x

+ 2y = 11

2. Misalkan: x = berat 1 sachet kopi instan y = berat 1 sachet biskuit

. . . (1) . . . (2)

p+ q =8 50p + 60q = 435

⇔ x

Eliminasi x dari kedua persamaan. x + 2y = 11 × 5 5x + 10y = 55 5x + 3y = 6 × 1 5x + 3y = 6 –––––––––––– – 7y = 49 y=7 ⇔ Substitusikan y = 7 ke dalam persamaan x + 2 = 11. y = 7 ⇒ x + 2y = 11 ⇔ x + 14 = 11 x = –3 ⇔ Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–3, 7)}.

Substitusikan y = 8 ke dalam persamaan (2). 3x – y = 1 ⇒ 3x – 8 = 1 3x = 9 ⇔ x=3 ⇔ Jadi, pecahan yang dimaksud

2x + 4y = 22

X 11

Diperoleh: x= ⇔ ⇔

 (y 

5x = y + 4 5x – y = 4

x–4= ⇔ ⇔

+ 4)

 (y 

. . . (1)

– 4)

8x – 32 = y – 4 8x – y = 28

. . . (2)

Eliminasi x dari kedua persamaan. 5x – y = 4 8x – y = 28 –––––––––– – –3x = –24 x=8 ⇔ Substitusikan x = 8 ke dalam persamaan (1). x = 8 ⇒ 5x – y = 4 ⇔ 40 – y = 4 y = 36 ⇔ Jadi, sekarang usia Lia 8 tahun, sedangkan usia Paman Banu 36 tahun. 5. Misalkan: x = banyak lembar uang dua ribuan y = banyak lembar uang lima ribuan Diperoleh: x + y = 17 2.000x + 5.000y = 49.000 2x + 5y = 49 ⇔

. . . (1) . . . (2)

Eliminasi x dari kedua persamaan. x + y = 17 2x + 5y = 49

×2 ×1

2x + 2y = 34 2x + 5y = 49 ––––––––––– – –3y = –15 y=5 ⇔ Substitusikan y = 5 ke dalam persamaan (1). y = 5 ⇒ x + y = 17 ⇔ x + 5 = 17 x = 12 ⇔ Jadi, uang dua ribuan di laci tersebut sebanyak 12 lembar. 6. Misalkan: x = berat 1 bolpoin y = berat 1 pensil Diperoleh SPLDV berikut. 12x + 8y = 1.000 ⇔ 3x + 2y = 250 9x + 15y = 1.335 ⇔ 3x + 5y = 445

. . . (1) . . . (2)

Eliminasi x dari kedua persamaan. 3x + 2y = 250 3x + 5y = 445 –––––––––––– – –3y = –195 y = 65 ⇔

Substitusikan y = 65 ke dalam persamaan (1). y = 65 ⇒ 3x + 2y = 250 ⇔ 3x + 130 = 250 3x = 120 ⇔ x = 40 ⇔ Kantong plastik I berisi semua bolpoin sehingga beratnya: Berat = 40 × (12 + 9) = 40 × 21 = 840 gram Kantong plastik II berisi semua pensil sehingga beratnya: Berat = 65 × (8 + 15) = 65 × 23 = 1.495 gram Selisih berat = 1.495 – 840 = 655 gram Jadi, selisih berat isi kedua plastik tersebut 655 gram. 7. Sistem persamaannya: 6a = 5b . . . (1) ⇔ 6a – 5b = 0 2a – b = 4 . . . (2) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). 6a – 5b = 0 × 1 6a – 5b = 0 2a – b = 4 × 3 6a – 3b = 12 ––––––––––– – –2b = –12 b=6 ⇔ Substitusikan b = 6 ke dalam persamaan (1). 6a – 5(6) = 0 6a = 30 ⇔ a=5 ⇔ Jadi, bilangan tersebut 56. 8. Misalkan: x = berat 1 sachet kopi gula y = berat 1 sachet krimer 1 lusin sachet kopi gula = 12 buah sachet kopi gula Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut. 12x + 8y = 1.180 . . . (1) 9x + 15y = 1.335 . . . (2) Eliminasi x dari sistem persamaan. 12x + 8y = 1.180 × 3 36x + 24y = 3.540 9x + 15y = 1.335 × 4 36x + 60y = 5.340 ––––––––––––––– – –36y = –1.800 y = 50 ⇔ Substitusikan y = 50 ke dalam persamaan (1). 12x + 8y = 1.180 ⇔ 12x + 8 × 50 = 1.180 12x + 400 = 1.180 ⇔ 12x = 780 ⇔ x = 65 ⇔

Matematika Kelas X

69

Jumlah sachet kopi gula = 12 + 9 = 21 Berat isi plastik I = 21 × 65 = 1.465 gram Jumlah sachet krimer = 8 + 15 = 23 Berat isi plastik II = 23 × 50 = 1.150 gram Jadi, berat isi plastik I adalah 1.465 gram dan plastik II adalah 1.150 gram. 9. Misalkan: x = lama pipa A mengalirkan air (menit) y = lama pipa B mengalirkan air (menit) Sistem persamaan yang terbentuk: x + y = 25 . . . (1) 8x + 14y = 248 . . . (2)

  

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y = 25 × 14 14x + 14y = 350 8x + 14y = 248 ×1 8x + 14y = 248 –––––––––––––– – 6x = 102 x = 17 ⇔

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Diketahui: b = panjang pensil biru h = panjang pensil hijau m = panjang pensil merah Dari permasalahan tersebut diperoleh persamaanpersamaan berikut. ++ 

= 13

b + h + m = 39 b + m = 2h ⇔ b – 2h + m = 0 h+m=b+7 h+m–b =7 ⇔ SPLTV:  b + h + m = 39  b – 2h + m = 0  h+m–b=7 ⇔

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Sistem persamaan linear yang terbentuk: (1) x + y = 8 ⇔ x = 8 – y (2) 7.500x + 8.200y = 62.100 ⇔ 75x + 82y = 621 Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 75x + 82y = 621 ⇒ 75(8 – y) + 82y = 621 ⇔ 600 – 75y + 82y = 621 7y = 21 ⇔ y=3 ⇔ Substitusikan y = 3 ke dalam persamaan (1). x=8–y=8–3=5 Jadi, Bu Titik membeli beras jenis A sebanyak 5 kg dan membeli beras jenis B sebanyak 3 kg.

Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 2a + b – 2c = –1 × 2 4a + 2b – 4c = –2 a – 2b + 2c = 23 × 1 a – 2b + 3c = 23 ––––––––––––––– + 5a – c = 21 . . . (4) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (3). 2a + b – 2c = –1 3a – b + 2c = 26 –––––––––––––– + 5a = 25 a= 5 ⇔

Substitusikan a = 5 dan c = 4 ke dalam persamaan (2). a – 2b + 3c = 23 ⇔ 5 – 2b + 12 = 23 17 – 2b = 23 ⇔ –2b = 6 ⇔ b = –3 ⇔ Jadi, himpunan penyelesaiannya {(5, –3, 4)}.

2

2a + b + 1 = 2c ⇔ 2a + b – 2c = –1 a – 2b + 3c = 23 3a – b + 2c = 26

10. Misalkan: x = banyak beras jenis A yang dibeli Bu Titik (dalam kg) y = banyak beras jenis B yang dibeli Bu Titik (dalam kg)

Substitusikan a = 5 ke dalam persamaan (4). 5a – c = 21 ⇔ 25 – c = 21 c=4 ⇔

2. Jawaban: e  +  +  = 

Pipa A mengalirkan air selama 17 menit. Banyak air yang dialirkan pipa A = 17 × 8 = 136 liter.

⇔

70


. . . (1) . . . (2) . . . (3)

3. Jawaban: e Misalkan: x = uang Adi y = uang Beni z = uang Cindy

Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x = y + 2z + 40.000 . . . (1) ⇔ x – y – 2z = 40.000 x + y + z = 200.000 . . . (2) y – z = 10.000 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x – y – 2z = 40.000 x + y + z = 200.000 –––––––––––––––––– – –2y – 3z = –160.000 2y + 3z = 160.000 . . . (4) ⇔ Eliminasi y dari persamaan (3) dan (4). y – z = 10.000 × 2 2y – 2z = 20.000 2y + 3z = 160.000 × 1 2y + 3z = 160.000 ––––––––––––––– – –5z = –140.000 z = 28.000 ⇔ Substitusikan nilai z = 28.000 ke dalam persamaan (3). y – z = 10.000 ⇒ y – 28.000 = 10.000 y = 38.000 ⇔ Substitusikan y = 38.000 dan z = 28.000 ke dalam persamaan (2). x + y + z = 200.000 ⇔ x + 38.000 + 28.000 = 200.000 x + 66.000 = 200.000 ⇔ x = 134.000 ⇔ Diperoleh x + y = 134.000 + 38.000 = 172.000 Jadi, jumlah uang Adi dan Beni Rp172.000,00. 4. Jawaban: e Persamaan dalam SPLTV yaitu:  3a – b + 2c = 16  2a + b + c = 1  4a – 2b + c = 18

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). 3a – b + 2c = 16 × 1 3a – b + 2c = 16 2a + b + c = 1 × 2 4a + 2b + 2c = 2 ––––––––––––––– – –a – 3b = 14 . . . (4) Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3). 2a + b + c = 1 4a – 2b + c = 18 ––––––––––––––– – –2a + 3b = –17 Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). –a – 3b = 14 –2a + 3b = –17 ––––––––––––– + –3a = –3 a=1 ⇔

. . . (5)

a=1

–a – 3b = 14 ⇔ –1 – 3b = 14 –3b = 15 ⇔ b = –5 ⇔ ⇒

3a – b + 2c = 16 ⇔ 3 × 1 – (–5) + 2c = 16 3 + 5 + 2c = 16 ⇔ 2c = 8 ⇔ c=4 ⇔ a – b + c = 1 – (–5) + 4 = 10 Jadi, nilai a – b + c = 10. 5. Jawaban: a Misalkan bilangan tersebut abc dengan a = angka pertama, b = angka kedua, c = angka ketiga. Diperoleh: a + b + c = 11 . . . (1) 2a + b = c ⇔ 2a + b – c = 0 . . . (2) a + b – c = –1 . . . (3) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). a + b + c = 11 2a + b – c = 0 ––––––––––––– + 3a + 2b = 11

. . . (4)

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (3). a + b + c = 11 a + b – c = –1 –––––––––––– + 2a + 2b = 10

. . . (5)

Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). 3a + 2b = 11 2a + 2b = 10 ––––––––––– – a=1 a = 1 ⇒ a+ b= 5 ⇔ 1+ b= 5 b=4 ⇔ Substitusikan a = 1 dan b = 4 ke dalam persamaan (1). a + b + c = 11 ⇔ 1 + 4 + c = 11 c=6 ⇔ Bilangan = abc = 146 Jadi, bilangan tersebut 146. 6. Jawaban: a Sistem persamaan linear tiga variabel      –      +       – 

  +  

= 9

. . . (1)

  –  

= –19

. . . (2)

 

= 2

. . . (3)

+

 

Matematika Kelas X

71

Eliminasi

 dari persamaan (1) dan (2). 

   – +   

=9

   + –   

= –19

7. Jawaban: b  +  

–

Eliminasi

 

–2x + 3y + 2z = 0 2x + y – 6z = 20 . . . (2) 

 

–

 

+

= –10

 

= 9 = 2

×2

   – + =   

×1

 

 

– –

 

–

–  

 

+

 

 

+

18

= 2

= –10

×3

 

×1

  –  

Substitusikan nilai x = –  

 

= 16 . . . (5)

= –10

= –30



 

= –14  – 

x=

ke dalam persamaan (4).

–

 

= –10

–6 –

 

= –10

⇔

 

=4

⇔

z=

⇒

⇔

 − 

Substitusikan nilai x = –

 

 

dan z =

 

ke dalam

= 9

⇒

⇔

  − 

  +  

. . . (4)

Substitusikan persamaan (5) ke dalam persamaan (4). y –z=5 ⇔ –4z – z = 5 –5z = 5 ⇔ z = –1 ⇔ Substitusikan z = –1 ke dalam persamaan (5). y = –4z = –4 × (–1) = 4 Substitusikan y = 4 dan z = –1 ke dalam persamaan (1). –2x + 3y + 2z = 0 ⇔ –2x + 12 – 2 = 0 –2x + 10 = 0 ⇔ –2x = –10 ⇔ x=5 ⇔

Jadi, nilai

=9

–1

− = 

–1.



–2 –

 + 

 

⇔

y=–  

– (–

 

8. Jawaban: a Misalkan: x = banyak baju dalam paket per lusin y = banyak celana dalam paket per lusin z = banyak kaos dalam paket per lusin

8=9

⇔

Jadi, nilai x – y + z = –

72

–

. . . (3)

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). –2x + 3y + 2z = 0 2x + y – 6z = 20 –––––––––––––––– + 4y – 4z = 20 y–z=5 ⇔

− − = = − 

persamaan (1).    – +   

x – 2y – 3z = 0

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). –2x + 3y + 2z = 0 × 1 –2x + 3y + 2z = 0 x – 2y – 3z = 0 × 2 2x – 4y – 6z = 0 ––––––––––––––– + –y – 4z = 0 –y = 4z ⇔ y = –4z . . . (5) ⇔





⇔

–

+

– + = 16   –––––––––––– +  

 

 

. . . (1)

x – 3z = 2y

⇔

Diperoleh SPLTV:   –2x + 3y + 2z = 0  2x + y – 6z = 0  x – 2y – 3z = 0

dari persamaan (4) dan (5).

= 16

= 4

⇔

–––––––––––––– –

Eliminasi

−   

. . . (4)

 dari persamaan (1) dan (3). 

   – +   

3y + 2z = 2x

⇔ ⇔

––––––––––––––– +  

= 2

= –3

)+


 

 

=

 

.

Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: 5x + 6y + 5,5z = 24,5 . . . (1) x + y + z = 4,5 . . . (2)

5x + 6y = 2,5 + 3 × 5,5z ⇔ 5x + 6y – 16,5z = 2,5

(1) . . . (3)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 1 × (1) 5x + 6y + 5,5z = 24,5 5 × (2) 5x + 5y + 5z = 22,5 –––––––––––––––––– – y + 0,5z = 2 . . . (4) Eliminasi x dan y dari persamaan (1) dan (3). 5x + 6y + 5,5z = 24,5 5x + 6y – 16,5z = 2,5 –––––––––––––––––– – 22z = 22 z=1 ⇔ Substitusikan nilai z = 1 ke dalam persamaan (4). y + 0,5z = 2 ⇒ y + 0,5 × 1 = 2 y = 1,5 ⇔ Substitusikan nilai y = 1,5 dan z = 1 ke dalam persamaan (2). x + y + z = 4,5 ⇒ x + 1,5 + 1 = 4,5 x=2 ⇔ Jadi, banyak baju, celana, dan kaos dalam paket berturut-turut 2 lusin, 1,5 lusin, dan 1 lusin. 9. Jawaban: d Misalkan: x = harga 1 kg mangga y = harga 1 kg jeruk z = harga 1 kg anggur Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLTV: 2x + 2y + z = 88.000 . . . (1) x + 2y + 2z = 128.000 . . . (2) 2x + 2y + 3z = 184.000 . . . (3) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 2x + 2y + z = 88.000 x + 2y + 2z = 128.000

×1 ×2

2x + 2y + z = 88.000 2x + 4y + 4z = 256.000 ––––––––––––––––––– – –2y – 3z = –168.000 2y + 3z = 168.000 . . . (4) ⇔

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). 2x + 2y + z = 88.000 2x + 2y + 3z = 184.000 –––––––––––––––––––– – –2z = –96.000 z = 48.000 ⇔ Substitusikan z = 48.000 ke dalam persamaan (4). 2y + 3z = 168.000 2y + 144.000 = 168.000 ⇔ 2y = 24.000 ⇔ y = 12.000 ⇔ Jadi, harga 1 kg jeruk Rp12.000,00. 10. Jawaban: c Misalkan: x = usia Ari y = usia Badu z = usia Rina x:y:z=3:4:6 Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut:

⇔ ⇔

(2) ⇔ ⇔

(3) ⇔

x:y=3:4 4x = 3y 4x – 3y = 0 x:z=3:6 6x = 3z 2x – z = 0 x+y=4+z x +y –z=4

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 4x – 3y = 0 ×1 4x – 3y = 0 2x – z = 0 ×2 4x – 2z = 0 ––––––––––– – –3y + 2z = 0

. . . (4)

Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3). 2x – z = 0 × 1 2x – z = 0 x+y–z=4 ×2 2x + 2y – 2z = 8 –––––––––––––– – –2y + z = –8 . . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). –3y + 2z = 0 ×1 –3y + 2z = 0 –2y + z = –8 ×2 –4y + 2z = –16 ––––––––––––– – y = 16 Substitusikan y = 16 ke dalam persamaan (1). 4x – 3y = 0 ⇒ 4x – 3 × 16 = 0 4x = 48 ⇔ x = 12 ⇔ Substitusikan x = 12 dan y = 16 ke dalam persamaan (3). x + y – z = 4 ⇒ 12 + 16 – z = 4 28 – z = 4 ⇔ z = 24 ⇔ Jadi, usia Ari, Badu, dan Rina berturut-turut 12, 16, dan 24 tahun. 11. Jawaban: b   3x – 2z = 5   2x + 3y = 3  x + 5y – z = –4

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 3x – 2z = 5 ×2 6x – 4z = 10 2x + 3y = 3 ×3 6x + 9y = 9 ––––––––––– – –9y – 4z = 1

. . . (4)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). 3x – 2z = 5 ×1 3x – 2z = 5 x + 5y – z = –4 × 3 3x + 15y – 3z = –12 –––––––––––––––– – –15y + z = 17 . . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). –9y – 4z = 1 ×1 –9y – 4z = 1 –15y + z = 17 ×4 –60y + 4z = 68 –––––––––––– + –69y = 69 y = –1 ⇔

Matematika Kelas X

73

Substitusikan y = –1 ke dalam persamaan (4). –9y – 4z = 1 ⇔ –9(–1) – 4z = 1 9 – 4z = 1 ⇔ z=2 ⇔

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). 9a – 3b + c = 28 a+ b +c=0 –––––––––––––– – 8a – 4b = 28 ⇔ 2a – b = 7

. . . (4)

Substitusikan z = 2 ke dalam persamaan (1). 3x – 2z = 5 ⇔ 3x – 2 × 2 = 5 3x = 9 ⇔ x=3 ⇔

Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3). a+ b +c=0 4a + 2b + c = 3 –––––––––––––– – –3a – b = –3

. . . (5)

2x + 3z = 2 × 3 + 3 × 2 = 12 Jadi, nilai 2x + 3z = 12. 12. Jawaban: b Misalkan: x = besar sudut terkecil y = besar sudut menengah z = besar sudut terbesar Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x=

 y 

. . . (1)

z = 2(x + y) . . . (2) x + y + z = 180° . . . (3) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (3). x + y + z = 180° ⇔ x + y + 2(x + y) = 180° ⇔ x + y + 2x + 2y = 180° 3x + 3y = 180° . . . (4) ⇔ Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (4). 3x + 3y = 180° ⇔

Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). 2a – b = 7 –3a – b = –3 ––––––––––– – 5a = 10 ⇔ a = 2 Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (4). 2a – b = 7 ⇒ 2 × 2 – b = 7 ⇔ b = 4 – 7 = –3 Substitusikan a = 2 dan b = –3 ke dalam persamaan (2). a + b + c = 0 ⇒ 2 + (–3) + c = 0 ⇔ c = 1 Jadi, persamaan kurva: y = 2x 2 – 3x + 1. 14. Jawaban: e Misalkan: p = panjang  = lebar t = tinggi Jumlah panjang semua rusuknya 60 cm, sehingga: 4p + 4 + 4t = 60 ⇔ p +  + t = 15 . . . (1) Keliling alas dikurangi tinggi sama dengan 6 cm, sehingga: 2(p + ) – t = 6 ⇔ 2p + 2 – t = 6 . . . (2) Panjang balok adalah setengah tinggi balok, sehingga:

 

3( y) + 3y = 180°

y + 3y = 180° 4y = 180° y = 45° ⇔ Substitusikan nilai y = 45° ke dalam persamaan (4). 3x + 3y = 180° ⇔ 3x + 3(45 °) = 180° 3x + 135° = 180° ⇔ 3x = 45° ⇔ x = 15° ⇔ Substitusikan nilai x = 15° dan y = 45° ke dalam persamaan (2). z = 2(x + y) ⇔ z = 2(15° + 45 °) ⇔ z = 2 · 60° ⇔ z = 120° ⇔ ⇔

Jadi, besar sudut-sudut segitiga tersebut 15°, 45°, dan 120°. 13. Jawaban: c y = ax2 + bx + c Kurva melalui (–3, 28) Kurva melalui (1, 0) Kurva melalui (2, 3) 74

9a – 3b + c = 28 . . . (1) a + b + c = 0 . . . (2) ⇒ ⇒ 4a + 2b + c = 3 . . . (3) ⇒


p=

 

t

⇔

t = 2p

. . . (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1) dan (2). p +  + 2p = 15 ⇔ 3p +  = 15 . . . (4) 2p + 2 – 2p = 6 ⇔ 2 = 6 ⇔  = 3 Substitusikan  = 3 ke dalam persamaan (4). 3p + 3 = 15 ⇔ p = 4 Substitusikan p = 4 ke dalam persamaan (3) diperoleh t = 2 × 4 = 8. Jadi, luas permukaan balok: L = 2 × (p × ) + 2 × ( × t) + 2 × (p × t) = 2 × (4 × 3) + 2 × (3 × 8) + 2 × (4 × 8) = 24 + 48 + 64 = 136 cm2 15. Jawaban: a Sistem persamaan linear tiga variabel      2x + 2y – z =      –x + 3y + 2z =      3x – y + z =  

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2). 2x + 2y – z =

 

×2

4x + 4y – 2z =

 

×1

–x + 3y + 2z =  ––––––––––––––– +

–x + 3y + 2z =

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (3). 2a – 3b + c = 19 a – 4b – c = 14 –––––––––––––– + 3a – 7b = 33

  

3x + 7y =

 

Eliminasi a dari persamaan (4) dan (5). 7a – 4b = 40 × 3 21a – 12b = 120 3a – 7b = 33 × 7 21a – 49b = 231 –––––––––––––– – 37b = –111 b = –3 ⇔ b = –3 ⇒ 3a – 7b = 33 ⇔ 3a + 21 = 33 3a = 12 ⇔ a=4 ⇔ a = 4, b = –3 ⇒ 2a – 3b + c = 19 8 + 9 + c = 19 ⇔ 17 + c = 19 ⇔ c=2 ⇔ 2a – b + c = 2 × 4 – (–3) + 2 =8+3+2 = 13

. . . (4)

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3).    

2x + 2y – z =

3x – y + z = –––––––––––––– + 5x + y =

 

. . . (5)

Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5). 3x + 7y = 5x + y =

 

×1

 

3x + 7y =

  

×7

35x + 7y =  –––––––––––––– – –32x = – x=

⇔

Substitusikan x = 3×

 

 

+ 7y =

 

 

2.

 

 −   ⇔ ⇔

ke dalam persamaan (4).

⇔

7y =

⇔

y=

 

Substitusikan x =

dan y =

⇔ ⇔

 

ke dalam per-

samaan (1). 2×

 

+ 2 ×

+

⇔

– z =

Jadi, (xy) : z = (

 

×

  ⇔  

 

):

– z =

 

⇔

–z = –

⇔

z=

 

=

 

:

 

 

 

= 4 : 3.

B. Uraian 1. 2a – 3b + c = 19 3a + 2b – 2c = 2 a – 4b – c = 14

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2). 2a – 3b + c = 19 × 2 4a – 6b + 2c = 38 3a + 2b – 2c = 2 × 1 3a + 2b – 2c = 2 ––––––––––––––– + 7a – 4b = 40. . . (4)

. . . (1)

+ 4 = 5  +   −

=1

x + 2y = z – 1 x + 2y – z = –1 

+

− ⇔

 

2x – y = 3z 2x – y – 3z = 0

 +   −

  

= 3

⇔

 

. . . (5)



. . . (2)

= 7

x + y + 4 = 28 – 7z x + y + 7z = 24

. . . (3)

Eliminasi x dari perasmaan (1) dan (2). 2x – y – 3z = 0 × 1 2x – y – 3z = 0 x + 2y – z = –1 × 2 2x + 4y – 2z = –2 ––––––––––––––– – –5y – z = 2 . . . (4) Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3). x + 2y – z = –1 x + y + 7z = 24 ––––––––––––– – y – 8z = –25

. . . (5)

Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5). –5y – z = 2 ×1 –5y – z = 2 y – 8z = –25 × 5 5y – 40z = –125 ––––––––––––– + –41z = –123 z=3 ⇔ z = 3 ⇒ –5y – z = 2 ⇔ –5y – 3 = 2 –5y = 5 ⇔ y = –1 ⇔

Matematika Kelas X

75

y = –1, z = 3

x + 2y – z = –1 x – 2 – 3 = –1 –1 ⇔ x – 5 = –1 ⇔ x =4 ⇔ Jadi, nilai x, y, dan z berturut-turut 4, –1, dan 3. ⇒

   + =   

3.

  + =  

. . . (1)

1

. . . (2)

   + =   

. . . (3)

   + =      + =  

1 –––––– ––––––––– –––– ––    – =   

  +  

=

  –  

. . . (4)

 dari persamaan (3) dan (4). 

Eliminasi

⇒

 

⇔

⇔

=

 

=2

–m + 3h = 28 –m + 54 = 28 –m = –26 m = 26

h = 18, m = 26

 

x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1).

⇔

m + k + h = 58 18 = 58 58 ⇔ 26 + k + 18 44 + k = 58 58 ⇔ k = 14 ⇔ Jadi, banyak kelereng merah 26, kelereng kuning 14, dan kelereng hijau 18. ⇒

5. Misa Misalk lkan an:: x = ban banya yak k jeru jeruk k dala dalam m kg y = banyak apel dalam kg z = banyak mangga dalam kg Dari permasalahan tersebut diperoleh sistem persamaan: x + y + z = 60 . . . (1) y = x – 10 . . . (2) 9.000x + 14.000y 14.000y + 6.000z 6.000z = 555.000 555.000 9x + 14y + 6z = 555 . . . (3) ⇔

⇒

  +  

=

 

⇔

  +  

=

 

⇔

 

=

 – 

⇔

 

=

 

  = ⇒  

  +  

=1

Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) dan (3).

⇔

  +  

=1

(1) x + y + z = 60 ⇒ x + (x – 10) 10) + z = 60 60 2x + z = 70. . . (4) ⇔

⇔

 

⇔

 

x=2

Nilai 2(

76

h = 18

⇔

 

. . . (4)

Eliminasi m dari persamaan (4) dan (5). –m + 3h 3h = 28 × 3 –3m + 9h= 9h = 84 3m + 5h = 168 × 1 3m + 5h = 168 –––––– ––––––––– –––––– –––– –+ 14h = 252 252 h = 18 ⇔

 

= –––––– ––––––––– –––– –+

⇔

Eliminasi k dari persamaan (1) dan (2). m + k + h = 58 58 2m + k – 2h = 30 –––––– ––––––––– –––––– ––––– ––– –– –m + 3h = 28

Eliminasi k dari persamaan (1) dan (3). m + k + h = 58 × 2 2m + 2k + 2h= 116 m – 2k + 3h = 52 × 1 m – 2k + 3h= 52 –––––– ––––––––– –––––– –––––– –––– –+ 3m + 5h = 168. 168. . . (5) (5)

 dari persamaan (1) dan (2). 

Eliminasi

4. Misal Misalkan kan:: m = bany banyak ak kelere kelereng ng merah merah k = banyak kelereng kuning h = banyak kelereng hijau Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLTV: m + k + h = 58 . . . (1) 2m + k – 2h = 30 . . . (2) m – 2k + 3h = 52 . . . (3)

=1– =

   + + )   

=

1

 

(3) ⇔

 

⇔ ⇔

   + +   

=1+

  +  

=1+

 = 

2


9x + 14y + 6z = 555 9x + 14(x 14(x – 10) + 6z = 555 555 9x + 14x – 140 + 6z 6z = 555 555 23x + 6z = 695

Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). 2x + z = 70 × 6 12x + 6z = 420 23x + 6z = 695 × 1 23x + 6z = 695 –––––– ––––––––– –––––– ––––– –– – –11x –11x = –275 x = 25 ⇔

. . . (5)

Substitusikan x = 25 ke dalam persamaan (2) dan (4). y = x – 10 = 25 – 10 = 15 2x + z = 70 ⇒ 2 × 25 25 + z = 70 70 50 + 7 = 70 70 ⇔ z = 20 ⇔ Jadi, banyak jeruk, apel, dan mangga dalam gerobak buah berturut-turut 25 kg, 15 kg, dan 20 kg. 6. Misa Misalk lkan an:: x = bil bilan anga gan n per perta tama ma y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Dari permasalahan tersebut diperoleh dengan persamaan: x+y+z=6 2x – y – 2z = 1 3x + 2y = 15 – z ⇔ 3x + 2y + z = 15 Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y+ z=6 2x – y – 2z 2z = 1 –––––– ––––––––– –––––– –––– –+ 3x – z = 7

SPLTV . . . (1) . . . (2) . . . (3)

. . . (4)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3). x+y+z=6 × 2 2x + 2y + 2z = 12 3x + 2y + z = 15 × 1 3x + 2y + z = 15 ––––– –––––––– –––––– –––––– –––– –– –x + z = –3. . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). 3x – z = 7 –x + z = –3 –––––– ––––––––– ––– + 2x = 4 x=2 ⇔ x = 2 ⇒ 3x – z = 7 6 –z= 7 ⇔ z = –1 ⇔ x = 2, z = –1 ⇒ x + y + z = 6 ⇔ 2 +y –1= 6 y +1=6 ⇔ y=5 ⇔ zyx = (–1) × 5 × 2 = –10 Jadi, bilangan baru tersebut –10. 7. Misalkan: x = an angka ra ratusan y = angka angka puluha puluhan n z = angka angka satu satuan an Nilai bilangan = 100x + 10y + z Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x+y+z=9 . . . (1) x – 2y – 3z = 2 . . . (2) 2x + y – 4z = 11 . . . (3)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x + y + z= 9 x – 2y 2y – 3z 3z = 2 –––––– ––––––––– –––––– –––– –– 3y + 4z = 7 . . . (4) Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3). x – 2y – 3z = 2 × 2 2x – 4y – 6z = 4 2x + y – 4z = 11 × 1 2x + y – 4z = 11 –––––––––––––––– – –5y – 2z = –7 . . . (5) Eliminasi z dari persamaan (4) dan (5). 3y + 4z = 7 ×1 3y + 4z = 7 –5y – 2z = –7 × 2 –10y – 4z = –14 –14 –––––– ––––––––– –––––– ––––– –– + –7y = –7 ⇔ y =1 Substitusikan y = 1 ke dalam persamaan (4). 3y + 4z = 7 ⇒ 3(1) 3(1) + 4z = 7 3 + 4z = 7 ⇔ 4z = 4 ⇔ z=1 ⇔ Substitusikan y = 1 dan z = 1 ke dalam persamaan (1). x + y+ z= 9 ⇔ x + 1+ 1= 9 x +2=9 ⇔ x=7 ⇔ Nilai bilangan = 100 × 7 + 10 × 1 + 1 = 711. Jadi, bilangan tersebut 711. 8. Misa Misalk lkan an:: x = har harga ga beli beli baju baju per per pot poton ong g y = harga bali celana celana per per potong potong z = harga beli kaos kaos per potong potong Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: (1) (1) 5 × 12x 12x + 4 × 12y 12y + 6 × 12z 12z = 3.060 3.060.00 .000 0 5x + 4y + 6z = 255.000 255.000 ⇔ (2) (2) 4 × 12(x 12(x + 6.000) 6.000) + 2 × 12(y 12(y + 7.000) 7.000) + 3 × 12(z + 5.000) = 2 × 472.000 14. 000 + 3z + 15.000 ⇔ 4x + 24.000 + 2y + 14.000 = 206.000 ⇔ 4x + 2y + 3z = 153.000 (3) y = 5.00 .000 + z Eliminasi y dan z dari persamaan (1) dan (2). 5x + 4y + 6z = 255.00 255.000 0 × 1 5x + 4y + 6z = 255. 255.00 000 0 4x + 2y + 3z = 153.00 153.000 0 × 2 8x + 4y + 6z = 306. 306.00 000 0 –– ––––––––––––––––– ––––––– – –3x = –51.000 –51.000 ⇔ x = 17. 17.00 000 0

Substitusikan x = 17.000 ke dalam persamaan (1). 5x + 4y + 6z = 255.000 255.000 ⇔ 5 × 17.000 + 4y + 6z = 255.000 4y + 6z = 170.00 170.000 0 ⇔ 2y + 3z = 85.000 . . . (4) ⇔

Matematika Kelas X

77

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (4). 2y + 3z = 85.000 ⇒ 2(5.000 + z) + 3z = 85.000 ⇔ 10.000 + 2z + 3z = 85.000 5z = 75.0 75.000 00 ⇔ z = 15.0 15.000 00 ⇔ Substitusikan z = 15.000 ke dalam persamaan (3). y = 5.000 + z = 5.000 + 15.000 15.000 = 20.000 20.000 Jadi, harga beli baju, celana, dan kaos per potong berturut-turut Rp17.000,00, Rp20.000,00, dan Rp15.000,00. 9. Misa Misalk lkan an:: x = bany banyak ak pen penon onto ton n kela kelas s satu satu y = banyak banyak penonton penonton kelas dua dua z = banyak banyak penonton penonton kelas tiga tiga Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: (1) x + y + z = 1.50 1.500 0 (2) z = 200 + y (3) (3) 30.00 30.000x 0x + 20.00 20.000y 0y + 15. 15.00 000z 0z = 29.5 29.500 00.0 .000 00 30x + 20y + 15z 15z = 29.50 29.500 0 ⇔ 6x + 4y + 3z 3z = 5.900 5.900 ⇔ Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). x + y + z = 1.500 6x + 4y + 3z = 5. 5.900

×6 ×1

6x + 6y + 6z = 9.000 6x + 4y + 3z = 5.900 ––––––––––––––––– – 2y + 3z = 3.100 . . . (4)

Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (4). 2y + 3z = 3.100 ⇒ 2y + 3(200 3(200 + y) = 3.100 3.100 5y + 600 600 = 3.100 3.100 ⇔ 5y = 2.5 2.500 00 ⇔ y = 500 ⇔ Substitusikan y = 500 ke dalam persamaan (2). z = 200 + 500 = 700 Substitusikan y = 500 dan z = 700 ke dalam persamaan (1). x + y + z = 1.500 ⇒ x + 500 + 700 700 = 1.500 1.500 x = 300 ⇔ Hasil penjualan tiket kelas satu = 300 × 30.000 = 9.000.000 Jadi, hasil penjualan tiket kelas satu Rp9.000.000,00.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Persamaan-persamaan pada sistem yaitu: y = 2x2 + x + k . . . (1) y = –2x – 1 . . . (2)

78


10. Misa Misalk lkan an:: x = banyak pakaian pakaian model A yang diproduksi diproduksi y = banyak pakaian pakaian model B yang diproduksi diproduksi z = banyak pakaian pakaian model C yang diproduksi diproduksi Sistem persamaan linear pada permasalahan di atas: 0,1x + 0,1y + 0,3z 0,3z = 68 x + y + 3z = 680 . . . (1) ⇔ 0,3x + 0,2y 0,2y + 0,4z = 116 3x + 2y + 4z = 1.160 . . . (2) ⇔ 0,1x + 0,2y + 0,1z 0,1z = 51 x + 2y + z = 510 . . . (3) ⇔ Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y + 3z = 680 × 2 2x + 2y + 6z = 1.360 3x + 2y + 4z = 1.160 × 1 3x + 2y 2y + 4z 4z = 1.160 .160 –––– –––––– –––– –––– –––– –––– –––– ––– –– –x + 2z = 200 200 . . . (4) Eliminasi y dari persamaan (2) dan (3). 3x + 2y + 4z = 1.160 1.160 x + 2y + z = 510 ––––– –––––––– –––––– ––––– ––––– –––– –– 2x + 3z = 650

. . . (5)

Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5). –x + 2z = 200 × 2 –2x + 4z = 400 400 2x + 3z = 650 × 1 2x + 3z = 650 –––––– ––––––––– –––––– –––– –+ 7z = 1.050 1.050 z = 15 150 ⇔ Substitusikan z = 150 ke dalam persamaan (4). –x + 2 × 150 = 200 200 x = 300 300 – 200 200 = 100 100 ⇔ Substitusikan x = 100 dan z = 150 ke dalam persamaan (3). x + 2y + z = 510 510 2y + 150 = 510 510 ⇔ 100 + 2y 2y = 260 260 ⇔ y = 13 130 ⇔ Jadi, banyak pakaian modal A, model B, dan model C yang diproduksi berturut-turut 100 potong, 130 potong, dan 150 potong.

Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). 2x2 + x + k = –2x – 1 ⇔ 2x2 + x + 2x + k + 1= 0 2x2 + 3x + (k + 1) = 0 ⇔ Diperoleh a = 2, b = 3, c = k + 1.

Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac 0 = 32 – 4 × 2 × (k + 1) ⇔ ⇔ 9 – 8(k + 1) = 0 8(k + 1) = 9 ⇔ ⇔

k +1=

⇔

k=

⇔

k=

k=

 

⇒

8k = 8 ×

    –      = 1 

Jadi, nilai 8k = 1. 2. Jawaban: c Sistem persamaan: y = x2 – 4x + 4 . . . (1) y=x+p . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). x2 – 4x + 4 = x + p x2 – 5x + 4 – p = 0 ⇔ Diperoleh a = 1, b = –5, c = 4 – p. Sistem mempunyai satu penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac (–5)2 – 4 × 1 × (4 – p) =0 ⇔ 25 – 16 + 4p = 0 ⇔ 9 + 4p = 0 ⇔ 4p = –9 ⇔ ⇔ 4p – 1 = –9 – 1 4p – 1 = –10 ⇔ Jadi, nilai 4p – 1 = –10. 3. Jawaban: d Persamaan-persamaan: 2y = 2x2 + x – 30 . . . (1) 2 2y = –x – 2x + 6 . . . (2) Diperoleh: 2x2 + x – 30 = –x 2 – 2x + 6 ⇔ 2x2 + x2 + x + 2x – 30 – 6 = 0 3x2 + 3x – 36 = 0 ⇔ ⇔ x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 ⇔ x = –4 atau x = 3 ⇔ Untuk x = –4 ⇒ 2y = 2x2 + x – 30 2 ⇔ 2y = 2(–4) – 4 – 30 ⇔ 2y = 32 – 34 ⇔ 2y = –2 y = –1 ⇔ Titik potongnya (–4, –1). 2 Untuk x = 3 ⇒ 2y = 2x + x – 30 2 ⇔ 2y = 2(3) + 3 – 30 ⇔ 2y = 18 + 3 – 30 ⇔ 2y = –9 ⇔

y = –4

 

 

Titik potongnya (3, –4 ). Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut  

(–4, –1) dan (3, –4 ). 4. Jawaban: b Persamaan-persamaan: y = x2 – 10x + 21 . . . (1) y = 2x + p . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1). x2 – 10x + 21 = 2x + p x2 – 10x – 2x + 21 – p = 0 ⇔ ⇔ x2 – 12x + 21 – p = 0 Agar tidak memotong atau menyinggung, nilai D < 0. D = b2 – 4ac = (–12)2 – 4 × 1 × (21 – p) = 144 – 84 + 4p = 60 + 4p D < 0 ⇒ 60 + 4p < 0 4p < –60 ⇔ ⇔ p < –15 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p < –15. 5. Jawaban: c y = px – 2 y = x 2 + x – 2

. . . (1) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). px – 2 = x 2 + x – 2 ⇔ x2 + x – px = 0 x2 + (1 – p)x = 0 ⇔ Garis menyinggung kurva, sehingga D = 0. (1 – p)2 – 4 × 1 × 0 = 0 ⇔ (1 – p)2 = 0 p=1 ⇔ Jadi, nilai p = 1. 6. Jawaban: e x2 – x – y = 6 y–x=2

⇔ ⇔

y = x 2 – x – 6 y=x+2

. . . (1) . . . (2)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1). x + 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 2) = 0 x = 4 atau x = –2 ⇔ Substitusikan x = 4 dan x = –2 ke dalam persamaan (2). Untuk x = 4 ⇒ y = 4 + 2 = 6 (4, 6) → Untuk x = –2 ⇒ y = –2 + 2 = 0 (–2, 0) → Jadi, (x, y) yang memenuhi adalah (4, 6) atau (–2, 0). 7. Jawaban: a y = –2x –1 y = –x2 – 2x + 3 –––––––––––––– – 0 = x2 – 4 ⇔ ⇔ ⇔

x2 – 4 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 atau x = –2

Matematika Kelas X

79

Oleh karena titik A di kuadran II maka x A = –2. Substitusikan x A = –2 ke dalam persamaan y = –2x – 1. y A = –2(–2) – 1 = 3 ⇔ Diperoleh koordinat titik A(–2, 3). Persamaan garis g:  −    −  

− − 

⇔



⇔

 

− −

=

 −    −  

=

+ +

=



+

(p – 2)(p + 1) = 0 p – 2 = 0 atau p + 1 = 0 ⇔ p = 2 atau p = –1 ⇔ Jadi, nilai p = –1 atau p = 2. ⇔

10. Jawaban: e Misalkan: x = usia Ali sekarang y = usia Badu sekarang Sistem persamaan yang terbentuk: (x – 6) : (y – 6) = 5 : 6 ⇔ 6(x – 6) = 5(y – 6) 6x – 5y = 6 ⇔





x=1+

⇔

2y – 6 = –x – 2

⇔

⇔

x + 2y = 4

xy = 1.512

8. Jawaban: e Persamaan-persamaan y = 3x2 – x + 1 . . . (1) y = x 2 + 4x – 2 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 3x2 – x + 1 = x2 + 4x – 2 2x2 – 5x + 3 = 0 ⇔ ⇔ (2x – 3)(x – 1) = 0 x=

⇔

x=

 

x=1

 atau 

⇒

⇒

(1 +

 

 

y ke dalam persamaan (2).

y)y = 1.512

 

y2 = 1.512

⇔

y+

⇔

5y2 + 6y – 9.072 = 0

⇔

(5y + 216)(y – 42) = 0

⇔

y=–

. . . (1)

 

atau y = 42

Oleh karena usia bernilai positif maka y = 42. Jadi, usia Badu sekarang 42 tahun.

x=1  

y = ( )2 + 4 × =

 + 

6–2

=

 + 

4

=

 +  

= 6

 – 

2

=9

 + 

B. Uraian

1. Persamaan-persamaan: y = x 2 + px + 1 . . . (1) y = 2x – 3 . . . (2)  

y = 12 + 4 × 1 – 2 =1+4–2=3

Jumlah nilai ordinat = 6

3

 

9. Jawaban: b (p + 2)x2 – 3x + 12 = 5x + 4p (p + 2)x2 – 8x + (12 – 4p) = 0 ⇔ Oleh karena kurva dan garis saling bersinggungan maka D = 0. b2 – 4ac = 0 (–8)2 – 4 × (2 + p)(12 – 4p) = 0 64 – 4(–4p2 + 4p + 24) = 0 ⇔ 64 + 16p2 – 16p – 96 = 0 ⇔ 16p2 – 16p – 32 = 0 ⇔ p2 – p – 2 = 0 ⇔

80

y

. . . (2)

Substitusikan x = 1 + ⇔

 


Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). x2 + px + 1 = 2x – 3 x2 + (p – 2)x + 4 = 0 ⇔ Diperoleh a = 1, b = p – 2, dan c = 4. Sistem mempunyai 1 penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac (p – 2)2 – 4 × 1 × 4 = 0 ⇔ p2 – 4p + 4 – 16 = 0 ⇔ ⇔ p2 – 4p – 12 = 0 ⇔ (p – 6)(p + 2) = 0 ⇔ p = 6 atau p = –2 Untuk p = –2, diperoleh: x2 + (p – 2)x + 4 = 0 x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2x – 3 =4–3=1 Penyelesaiannya (2, 1).

Untuk p = 6, diperoleh:

b.

x2 + (p – 2)x + 4 = 0 ⇔

x2 + 4x + 4 = 0

⇔

(x + 2)2 = 0 x = –2

⇔

x = –2

⇒

4. Misalkan: p = panjang balok = 8 cm  = lebar balok t = tinggi balok

y = 2x – 3 = –4 – 3 = –7

Lebar balok 2 cm lebih dari tinggi balok maka . . . (1)  = 2 + t

Penyelesaiannya (–2, –7). Jadi, nilai p = 6 atau p = –2, sedangkan penyelesaian sistem persamaan (2, 1) atau (–2, –7). 2. Misalkan: a = panjang b = lebar K = 2a + 2b = 82

⇔ ⇔

2a = 82 – 2b a = 41 – b

Panjang diagonalnya 29 cm sehingga a2 + b2 = 292

. . . (1) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). (41 – b)2 + b2 = 292 1.681 – 82b + b 2 + b2 = 841 ⇔ 2b2 – 82b + 1.681 – 841 = 0 ⇔ 2b2 – 82b + 840 = 0 ⇔ b2 – 41b + 420 = 0 ⇔ (b – 21)(b – 20) = 0 ⇔ b = 21 atau b = 20 ⇔ Substitusikan b = 21 dan b = 20 ke dalam persamaan (1). Untuk b = 21 → a = 41 – 21 = 20 Untuk b = 20 → a = 41 – 20 = 21 Persegi panjang tersebut memiliki panjang 21 cm dan lebar 20 cm. Jadi, luas persegi panjang: L = 20 × 21 = 420 cm 2. 3. a.

Diketahui: m2 – n2 = 156 m + n = 26 m = 26 – n ⇔

(m – n)2 = (16 – 10) 2 = 62 = 36 Jadi, kuadrat selisih bilangan-bilangan tersebut 36.

. . . (1) . . . (2)

Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). m2 – n2 = 156 ⇔ (26 – n)2 – n2 = 156 676 – 52n + n 2 – n2 = 156 ⇔ –52n = –520 ⇔ n = 10 ⇔ n = 10 ⇒ m = 26 – n = 26 – 10 = 16 Jadi, m = 16, n = 10.

Luas permukaan balok= 158 2(p + pt + t) = 158 ⇒ 8 + 8t + t = 79 ⇔

. . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 8 + 8t + t = 79 8(2 + t) + 8t + (2 + t)t = 79 ⇔ 16 + 8t + 8t + 2t + t 2 = 79 ⇔ t2 + 18t – 63 = 0 ⇔ (t + 21)(t – 3) = 0 ⇔ t + 21 = 0 atau t – 3 = 0 ⇔ ⇔ t = –21 atau t=3 Oleh karena tinggi balok selalu bernilai positif maka t = 3 cm. Substitusikan t = 3 ke dalam persamaan (1).  = 2 + t = 2 + 3 = 5 cm Volume balok = p  t =8×5×3 = 120 cm3 Jadi, volume balok 120 cm 3. 5. Persamaan-persamaan: 2y = 2px + 6 ⇔ y = px + 3 y = 2x2 + x + 5

. . . (1) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). px + 3 = 2x2 + x + 5 ⇔ 2x2 + (1 – p)x + 2 = 0 Diperoleh: a = 2, b = 1 – p, c = 2. Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian sehingga D = 0. D=0 2 b – 4ac = 0 ⇔ 2 ⇔ (1 – p) – 4 × 2 × 2 = 0 1 – 2p + p 2 – 16 = 0 ⇔ ⇔ p2 – 2p – 15 = 0 (p – 5)(p + 3) = 0 ⇔ p = 5 atau p = –3 ⇔ Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 5 atau p = –3.

Matematika Kelas X

81

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d Sistem persamaan linear dan kuadrat memuat persamaan linear dan persamaan kuadrat. Sistem persamaan yang sesuai ditunjukkan oleh pilihan d. 2. Jawaban: a Misalkan: a = banyak anggota yang berusia kurang dari 10 tahun b = banyak anggota yang berusia 10 tahun atau lebih Banyak anggota = 80 a + b = 80 . . . (1) ⇔ Banyak anggota yang berusia kurang dari 10 tahun 12 orang kurang dari banyak anggota yang berusia 10 tahun atau lebih, sehingga: a = b – 12 ⇔

b – a = 12

. . . (2)

. . . (1) . . . (2)

4x – 5y = 34 4x + 10 = 34 4x = 24 ⇔ ⇔ x=6 Titik potong garis = (x, y) = (6, –2) ⇒

⇔

4. Jawaban: d (m, n) merupakan penyelesaian sistem persamaan sehingga:    

–

− = 

6

2(2m + 3) – 3(n – 2) = 36 ⇔ 4m + 6 – 3n + 6 = 36 4m – 3n = 24 ⇔ 2m + n = 2 ⇔

. . . (1) . . . (2)

Eliminasi n dari persamaan (1) dan (2). 4m – 3n = 24 × 1 4m – 3n= 24 2m + n = 2 × 3 6m + 3n = 6 ––––––––––– + 10 m = 30 m= 3 ⇔

82

 

= –

 

5. Jawaban: c Sistem persamaan dari permasalahan tersebut: p –  = 12 . . . (1) K = 80 2(p + ) = 80 ⇔ ⇔ p +  = 40 . . . (2) Eliminasi  dari persamaan (1) dan (2). p –  = 12 p +  = 40 –––––––– + 2p = 52 ⇔ p = 26 cm p –  = 12 26 –  = 12 ⇔ ⇔  = 14 cm Jadi, panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-turut 26 cm dan 14 cm.

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 4x – 5y = 34 ×3 12x – 15y = 102 3x + 7y = 4 ×4 12x + 28y = 16 ––––––––––––– – –43y = 86 y = –2 ⇔ y = –2

Nilai

p = 26

Sistem persamaan:  a + b = 80  b – a = 12 3. Jawaban: b Diperoleh SPLDV: 4x – 5y = 34 3x + 7y = 4

Substitusikan m = 3 ke dalam persamaan (2). 2m + n = 2 ⇒ 2 × 3 + n = 2 n = –4 ⇔


⇒

6. Jawaban: e SPLDV: 3x + 2y = 9 4x – 3y = 29

. . . (1) . . . (2)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan persamaan (2). 3x + 2y = 9 ×3 9x + 6y= 27 4x – 3y = 29 ×2 8x – 6y = 58 –––––––––– + 17x = 85 x=5 ⇔ x = 5 ⇒ 3x + 2y = 9 ⇔ 15 + 2y = 9 ⇔ 2y = –6 y = –3 ⇔ 2 z = (x – y) = (5 – (–3))2 = 82 = 64 7. Jawaban: d Misalkan: b = usia Bobi pada tahun 2015 w = usia Weni pada tahun 2015 Diperoleh persamaan-persamaan berikut. b=w–8 ⇔ w–b=8 . . . (1) (b – 2) = ⇔ ⇔ ⇔

 (w 

– 2)

3(b – 2) = w – 2 3b – 6 = w – 2 w – 3b = –4

. . . (2)

Eliminasi w dari persamaan (1) dan (2). w –b = 8 w – 3b = –4 ––––––––– – 2b = 12 b=6 ⇔ Usia Bobi sekarang = b = 6 tahun Sekarang tahun 2015 sehingga: tahun kelahiran Bobi = 2015 – 6 = 2009 Jadi, Bobi lahir pada tahun 2009. 8. Jawaban: c Misalkan: a = harga sebuah buku b = harga sebuah bolpoin c = harga sebuah pensil Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut: 4a + 2b + 3c = 26.000 . . . (1) 3a + 3b + c = 21.500 . . . (2) 3a + c = 12.500 . . . (3) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 4a + 2b + 3c = 26.000 × 3 12a + 6b + 9c = 78.000 3a + 3b + c = 21.500 × 2 6a + 6b + 2c = 43.000 ––––––––––––––––––– – 6a + 7c = 35.000 . . . (4)

Eliminasi a dari persamaan (3) dan (4). 3a + c = 12.500 × 2 6a + 2c = 25.000 6a + 7c = 35.000 × 1 6a + 7c = 35.000 ––––––––––––––– – –5c = –10.000 c = 2.000 ⇔ Substitusikan c = 2.000 ke dalam persamaan (3). 3a + 2.000 = 12.500 ⇔ 3a = 10.500 ⇔ a = 3.500 Substitusikan a = 3.500 dan c = 2.000 ke dalam persamaan (1). 4 × (3.500) + 2b + 3 × (2.000) = 26.000 2b + 20.000 = 26.000 ⇔ 2b = 6.000 ⇔ ⇔ b = 3.000 2b + 2c = 2 × (3.000) + 2 × (2.000) = 10.000 Jadi, uang yang harus dibayarkan Dina Rp10.000,00. 9. Jawaban: b Misalkan: x = harga 1 kg apel y = harga 1 kg jeruk Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: 2x + 3y = 57.000 . . . (1) 3x + 5y = 90.000 . . . (2)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x + 3y = 57.000 × 5 10x + 15y = 285.000 3x + 5y = 90.000 × 3 9x + 15y = 270.000 ––––––––––––––––– – x = 15.000 Substitusikan x = 15.000 ke dalam persamaan (1). 2x + 3y = 57.000 ⇒ 2(15.000) + 3y = 57.000 3y = 27.000 ⇔ y = 9.000 ⇔ x + y = 15.000 + 9.000 = 24.000 Uang kembalian yang diterima Surya = Rp50.000,00 – Rp24.000,00 = Rp26.000,00. 10. Jawaban: c Dari permasalahan tersebut diperoleh sistem persamaan:  . . . (1) y = x2 – 8x + p 

y = –12x + 3

. . . (2)

Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). –12x + 3 = x2 – 8x + p ⇔ x2 + 12x – 8x + p – 3 = 0 x2 + 4x + p – 3 = 0 . . . (3) ⇔ Diperoleh a = 1, b = 4, c = p – 3. Garis h menyinggung y = x 2 – 8x + p di satu titik jika determinan persamaan (3) bernilai nol. D=0 ⇔

b2 – 4ac = 0

⇔

42 – 4 × 1 × (p – 3) = 0

⇔

16 – 4p + 12 = 0

⇔

–4p = –28

⇔

p=7

Jadi, nilai p = 7. 11. Jawaban: b Sistem-sistem dalam SPLTV sebagai berikut.    

+

 

= 4

 =   = 

   

Eliminasi

 

 

   

+ +

+

 

= 4





. . . (1) . . . (2) . . . (3) dari persamaan (1) dan (2).

+ =   ––––––––– –  

–

 

=

 

. . . (4)

Matematika Kelas X

83

Eliminasi  

 

+

 

 

 

=6

⇔

 

=6

⇔

x=1

x=1

⇒

⇔

 

+

3+

⇔

⇔

⇔

     

=4 =4 =1

y=3

⇔

⇒

 

+

3+

     

= = =

     

z=6

x + y + z= 1+ 3+ 6 = 10 Jadi, nilai x + y + z = 10. 12. Jawaban: d Persamaan-persamaan dalam SPLTV: 3m + 2n – 4p = –23 . . . (1) 2m + 4n + 3p = –3 . . . (2) 4m – 3n + 5p = 55 . . . (3) Eliminasi n dari persamaan (1) dan (2). 3m + 2n – 4p = –23 × 2 6m + 4n – 8p = –46 2m + 4n + 3p = –3 × 1 2m + 4n + 3p= –3 ––––––––––––––– – 4m – 11p = –43...(4) Eliminasi n dari persamaan (1) dan (3). 3m + 2n – 4p = –23 × 3 9m + 6n – 12p= –69 4m – 3n + 5p= 55 × 2 8m – 6n + 10p= 110 –––––––––––––––– + 17m – 2p = 41 . . . (4) Eliminasi p dari persamaan (4) dan (5). 4m – 11p = –43 × 2 8m – 22p = –86 17m – 2p = 41 × 11 187m – 22p = 451 –––––––––––––––– – –179m= –537 m= 3 ⇔

⇔

12 – 11p = –43

⇔

–11p = –55

13. Jawaban: d Misalkan: x = harga sebuah sabun y = harga sebuah pasta gigi z = harga sebotol sampo Sistem persamaan yang terbentuk: 3x + 2y + z = 16.600 y = 2x + 250 z = 2y – 900


. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1). 3x + 2y + z = 16.600 ⇔ 3x + 2y + (2y – 900) = 16.600 3x + 4y = 17.500 . . . (4) ⇔ Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (4). 3x + 4y = 17.500 ⇒ 3x + 4(2x + 250) = 17.500 ⇔ 3x + 8x + 1.000 = 17.500 11x = 16.500 ⇔ x = 1.500 ⇔ Substitusikan x = 1.500 ke dalam persamaan (2). y = 2x + 250 = 2(1.500) + 250 = 3.250 Substitusikan y = 3.250 ke dalam persamaan (3). z = 2y – 900 = 2(3.250) – 900 = 5.600 Harga 4 sabun mandi dan 2 botol sampo = 4x + 2z = 4 · 1.500 + 2 · 5.600 = 17.200. Jadi, uang yang harus dibayarkan Bu Erna Rp17.200,00. 14. Jawaban: d Misalkan: a = sisi pertama segitiga b = sisi kedua segitiga c = sisi ketiga segitiga Diperoleh SPLDV dengan persamaan-persamaan berikut. a + 2b – c = 23 . . . (1) 2a – b + 3c = 71 . . . (2) + +  

84

4m – 11p = –43

p=5 m = 3, p = 5 ⇒ 3m + 2n – 4p = –23 9 + 2n – 20 = –23 ⇔ ⇔ 2n – 11 = – 23 2n = –12 ⇔ n = –6 ⇔ m – p + 2n = 3 – 5 + 2 × (–6) = –2 – 12 = –14

⇔

x=1

⇒

⇔



– =   ––––––––– + 2×

m=3

 

=



dari persamaan (3) dan (4).

= 15 ⇔ a + b + c = 45

. . . (3)

Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + 2b – c = 23 × 2 2a + 4b – 2c = 46 2a – b + 3c = 71 × 1 2a – b + 3c = 71 ––––––––––––––– – 5b – 5c = –25 b – c = –5 . . . (4) ⇔ Eliminasi a dari persamaan (1) dan (3). a + 2b – c = 23 a + b + c = 45 –––––––––––– – b – 2c = –22 . . . (5) Eliminasi b dari persamaan (4) dan (5). b – c = –5 b – 2c = –22 –––––––––– – c = 17 c = 17

b – c = –5 b – 17 = –5 ⇔ b = 12 b = 12, c = 17 ⇒ a + b + c = 45 a + 12 + 17 = 45 ⇔ ⇔ a + 29 = 45 a = 16 ⇔ Jadi, panjang sisi segitiga tersebut berturut-turut 16 cm, 12 cm, dan 17 cm. ⇒

Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + b = 98 a + c = 94 –––––––– – b–c =4 . . . (4) Eliminasi c dari persamaan (3) dan (4). b + c = 96 b –c = 4 ––––––––– + 2b = 100 ⇔ b = 50 b = 50

⇒ ⇔ ⇔

+ +  

⇔

15. Jawaban: x x y x

 +  

=

 

17. Jawaban: d Persamaan-persamaan dalam SPLTV:  + 

r = 14

. . . (1)

2p + 3q– r = 5

:y:z=2:1:3 : y = 2 : 1 ⇔ x = 2y : z = 1 : 3 ⇔ z = 3y + y – 2z = –6

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke dalam persamaan (3). x + y – 2z = –6 ⇒ 2y + y – 2 × 3y = –6 –3y = –6 ⇔ y=2 ⇔ Substitusikan y = 2 ke persamaan (1) dan (2). x = 2y ⇒ x = 2 × 2 = 4 z = 3y ⇒ z = 3 × 2 = 6 Nilai x – y + z = 4 – 2 + 6 = 8. 16. Jawaban: b Misalkan: a = berat badan Apri b = berat badan Bambang c = berat badan Cici Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLDV berikut.  + = 49  + = 47  + = 48 

=

= 48 Jadi, rata-rata berat badan Apri, Bambang, dan Cici 48 kg.

p–

a

a + b = 98 a + 50 = 98 a = 48

⇔

a + b = 98

. . . (1)

⇔

a + c = 94

. . . (2)

⇔

b + c = 96

. . . (3)

 = 

p + 3q –

. . . (2)

1

. . . (3)

Eliminasi p dari persamaan (1) dan (2). p–

 + 

r = 14 × 2

2p + 3q – r = 5

×1

2p – q + 2r = 28 2p + 3q – r = 5 ––––––––––––– – –4q + 3r = 23 . . . (4)

Eliminasi p dari persamaan (1) dan (3). p–

 + 

r = 14 

p + 3q – = 1  –––––––––––– –  

 r = 13    10(– q + r)=  

– q + ⇔ ⇔

10 × 13

–35q + 12r = 130

. . . (5)

Eliminasi r dari persamaan (4) dan (5). –4q + 3r = 23 × 4 –16q + 12r = 92 –35q + 12r = 130 × 1 –35q + 12r = 130 –––––––––––––– – 19q = –38 q = –2 ⇔ q = –2

⇒ ⇔ ⇔ ⇔

–4q + 3r = 23 8 + 3r = 23 3r = 15 r=5

Matematika Kelas X

85

q = –2, r = 5

⇔ ⇔ ⇔

 

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 4x – y – z = 0 4x – y – z = 0 x – 2y + z = 0 4x – 8y + 4z = 0 ––––––––––––– – 7y – 5z = 0

=1

p + (–6) – 1 = 1 p –7 = 1 p=8

 +  +   + −  +  =    =   =3 

Rata-rata =

18. Jawaban:

p + 3q –

⇒

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (4). 7y – 5z = 0 ⇒ 7y – 5(200 + y) = 0 7y – 1.000 – 5y = 0 ⇔ 2y = 1.000 ⇔ y = 500 ⇔

a

Substitusikan y = 500 ke dalam persamaan (3). z = 200 + y ⇒ z = 200 + 500 = 700

Misalkan: x = uang Siti mula-mula y = uang Nunik mula-mula z = uang Hani mula-mula Sistem persamaan linear yang terbentuk: x:y=3:4

⇔

4x = 3y

⇔

4x – 3y = 0

. . . (1)

x + 7.000 = y – 7.000 + 4.000 ⇔

x – y = –10.000

. . . (2)

z – 4.000 = 14.000 + x + 7.000 ⇔

z = x + 25.000

. . . (3)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 1 × Pers (1) 4x – 3y = 0 4 × Pers (2) 4x – 4y = –40.000 ––––––––––––––– – y = 40.000 Substitusikan y = 40.000 ke dalam persamaan (2). x – y = –10.000 ⇒ x – 40.000 = –10.000 x = 30.000 ⇔ Substitusikan x = 30.000 ke dalam persamaan (3). z = x + 25.000 ⇒ z = 30.000 + 25.000 = 55.000 Jadi, uang Siti, Nunik, dan Hani mula-mula berturut-turut Rp30.000,00; Rp40.000,00; dan Rp55.000,00. 19. Jawaban: c Misalkan: x = banyak penonton anak-anak y = banyak penonton pria dewasa z = banyak penonton wanita dewasa Jumlah penonton = x + y + z. Sistem persamaan yang terbentuk: x = 20%(x + y + z) ⇔ ⇔ ⇔

y=

 (x 

+ y + z)

⇔ ⇔

x=

+ y + z)

3y = x + y + z

z = 200 + y

86

 (x 

5x = x + y + z 4x – y – z = 0 . . . (1)

x – 2y + z = 0


. . . (4)

. . . (2) . . . (3)

Substitusikan y = 500 dan z = 700 ke dalam persamaan (2). x – 2y + z = 0 ⇔ x – 2 × 500 + 700 = 0 x = 300 ⇔ Jumlah penonton = 300 + 500 + 700 = 1.500. Jadi, jumlah penonton pertunjukan 1.500 orang. 20. Jawaban: b Persamaan-persamaan dalam sistem tersebut sebagai berikut. 2y = 4x + 18 y = 2x + 9 . . . (1) ⇔ 2 y = 2x + 3x + 6 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 2x + 9 = 2x2 + 3x + 6 2x2 + 3x – 2x + 6 – 9 = 0 ⇔ ⇔ 2x2 + x – 3 = 0 (2x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ ⇔

 

x = – atau x = 1

Untuk x = –

 

⇒

 

y = 2 × (– ) + 9 = –3 + 9 =6  

Penyelesaiannya (– , 6) Untuk x = 1

y = 2× 1+ 9 = 11 Penyelesaiannya (1, 11). ⇒

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–

 , 6), (1, 11)}. 

21. Jawaban: c Persamaan-persamaan dalam sistem sebagai berikut. y = px2 + 4x + 9 . . . (1) y = –2x – 9 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). px2 + 4x + 9 = –2x – 9

px2 + 4x + 2x + 9 + 9 = 0 px2 + 6x + 18 = 0 . . . (3) ⇔ Diperoleh a = p, b = 6, c = 18. Sistem persamaan mempunyai 1 penyelesaian jika diskriminan persamaan (3) bernilai nol. D = b2 – 4ac 62 – 4 × p × 18 = 0 ⇔ 36 – 72p = 0 ⇔ 72p = 36 ⇔ ⇔

p=

⇔

Jadi, nilai p =

 

 . 

22. Jawaban: b Garis g : y = ax + b melalui titik (0, 1) berarti garis g memotong sumbu Y di titik (0, 1) sehingga persamaan garis menjadi y = ax + 1. Substitusikan y = ax + 1 ke dalam persamaan y = x 2 + 4x + 2. ax + 1 = x 2 + 4x + 2 ⇒ x2 + (4 – a)x + 1 = 0 ⇔ Garis menyinggung kurva maka D = 0. (4 – a)2 – 4 × 1 × 1 = 0 ⇒ (4 – a)2 – 4 = 0 ⇔ (4 – a)2 – 22 = 0 ⇔ ⇔ (4 – a – 2)(4 – a + 2) = 0 (2 – a)(6 – a) = 0 ⇔ 2 – a = 0 atau 6 – a = 0 ⇔ ⇔ a = 2 atau a=6 Diperoleh persamaan garis g : y = 2x + 1 atau y = 6x + 1. 23. Jawaban: c Persamaan-persamaan yang saling berpotongan: y = 2x2 + 6x – 11 . . . (1) 2 y = x + 2x + 10 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). 2x2 + 6x – 11 = x2 + 2x + 10 2x2 – x2 + 6x – 2x – 11 – 10 =0 ⇔ 2 ⇔ x + 4x – 21 = 0 (x + 7)(x – 3) = 0 ⇔ x = –7 atau x = 3 ⇔ Disyaratkan x1 > x2, sehingga diambil x 1 = 3. x1 = 3

⇒

y1 = 2x12 + 6x1 – 11

= 2(3)2 + 6 × 3 – 11 = 2 × 9 + 18 – 11 = 18 + 7 = 25 Diperoleh titik A(x1, y1) = A(3, 25). Sumbu koordinat = O(0, 0).

Persamaan garis yang melalui O(0, 0) dan A(3, 25) sebagai berikut.  −   −  

=

 −   − 

⇔

− −

=  − 

 − 

⇔

− 

=

 −  

25(x – 3) = 3(y – 25) 25x – 75 = 3y – 75 3y – 25x = 0

⇔ ⇔ ⇔

y=

⇔

 

x

Jadi, persamaan garis yang melalui titik A dan sumbu koordinat adalah y =

 

x.

24. Jawaban: d 5x2 – 4x + 2n = 6x + 3 5x2 – 10x + (2n – 3) = 0

⇔

Kedua kurva saling bersinggungan jika D = 0. b2 – 4ac = 0 ⇔

(–10)2 – 4 × 5(2n – 3) = 0

⇔

100 – 40n + 60 = 0

⇔

40n = 160

⇔

n=4

25. Jawaban: c Misalkan: p = panjang balok  = lebar balok t = tinggi balok Diketahui p =  + 2 Luas permukaan balok = 348 ⇔

2(p + pt + t) = 348

⇔

( + 2) + ( + 2)9 + 9  = 174

⇔

2 +

2  + 9  + 18 + 9 = 174 2 +

⇔

20 = 156

. . . (1)

Volume balok = 432. ⇔

p  t = 432

⇔

( + 2) × 9 = 432 2 +

⇔

Eliminasi 2 +

2 dari

2  = 48

. . . (2)

persamaan (1) dan (2).

20 = 156

2 +

2  = 48 ––––––––––––– – 18 = 108 ⇔  =6 p =  + 2 ⇔ p = 6 + 2 ⇔ p = 8 cm

Matematika Kelas X

87

Luas alas balok = p ×  =8×6 = 48 cm2 Jadi, luas alas balok 48 cm 2. 26. Jawaban: c 2x + y – 8 = 0 ⇔ y = –2x + 8 x2 + y 2 + 3xy + 1 = 0

28. Jawaban: e y = 4x + p . . . (1) y = x 2 – 2x + 3 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 4x + p = x2 – 2x + 3 . . . (1) . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). x2 + (–2x + 8) 2 + 3x(–2x + 8) + 1 = 0 ⇔

x2 + 4x2 – 32x + 64 – 6x 2 + 24x + 1 = 0

⇔

–x2 – 8x + 65 = 0

x2 + 8x – 65 = 0 (x + 13)(x – 5) = 0 ⇔ x + 13 = 0 atau x – 5 = 0 ⇔ x = –13 atau x = 5 ⇔ Substitusikan nilai x = –13 dan x = 5 ke dalam persamaan (1). Untuk x = –13 maka y = –2(–13) + 8 = 34 Untuk x = 5 maka y = –2 × 5 + 8 = –2 Jadi, himpunan penyelesaian sistem dalam persamaan adalah {(–13, 34), (5, –2)}. ⇔

27. Jawaban: b (2, 1) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:   by = (a – a2)x + a2 + 3 

2by = ax + 2

Dengan demikian diperoleh: b × 1 = (a – a2)2 + a2 + 3 b = 2a – 2a2 + a2 + 3 ⇔ ⇔ b = –a2 + 2a + 3 . . . (1) 2b × 1 = a × 2 + 2 ⇔ 2b = 2a + 2 ⇔ b=a+1 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). a + 1 = –a2 + 2a + 3 a2 – a – 2 = 0 ⇔ ⇔ (a – 2)(a + 1) = 0 a – 2 = 0 atau a + 1= 0 ⇔ a = 2 atau a = –1 ⇔ Substitusikan a = 2 dan a = –1 ke dalam persamaan (2). Untuk a = 2 ⇒ b = 2 + 1 = 3 Nilai a + b = 2 + 3 = 5 Untuk a = –1 ⇒ b = –1 + 1 = 0 Nilai a + b = –1 + 0 = –1 Jadi, nilai a + b adalah 5 atau –1.

88


⇔

x2 – 2x + 3 – 4x – p = 0

⇔

x2 – 6x + (3 – p) = 0

Syarat sistem persamaan mempunyai penyelesaian tunggal adalah D = 0. (–6)2 – 4 × 1 × (3 – p) = 0 36 – 4(3 – p) = 0 ⇔ 36 – 12 + 4p = 0 ⇔ ⇔ 4p = –24 ⇔ p = –6 Jadi, p = –6. 29. Jawaban:

a

y = 2x2 – 4x + 3

. . . (1)

y = x 2 – 6x + 6

. . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 2x2 – 4x + 3 = x2 – 6x + 6 2x2 – 4x + 3 – x 2 + 6x – 6 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 x = –3 atau x = 1 ⇔ Substitusikan x = –3 dan x = 1 ke dalam persamaan (1). Untuk x = –3 ⇒ y = 2(–3)2 – 4(–3) + 3 = 18 + 12 + 3 = 33 Untuk x = 1 ⇒ y = 2(1)2 – 4(1) + 3 =2–4+3 =1 Jadi, nilai y yang memenuhi 33 atau 1. 30. Jawaban: d  Misalkan: x = bilangan  x > y y = bilangan Sistem persamaan yang terbentuk: x–y=2 ⇔ y=x–2 . . . (1) 2 (x + y) = 256 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). (x + x – 2)2 = 256 ⇔

(2x – 2)2 – 256 = 0

⇔

(2x – 2)2 – 162 = 0

⇔

(2x – 2 – 16)(2x – 2 + 16) = 0

⇔

(2x – 18)(2x + 14) = 0

⇔

2x – 18 = 0 atau 2x + 14 = 0 x = 9 atau

⇔

x = –7



2. a. y = px2 – 3x + 1  y = –x – 1

px2 – 3x + 1 = –x – 1 px2 – 3x + x + 1 + 1 = 0 ⇔ ⇔ px2 – 2x + 2 = 0 . . . (3) Diperoleh: a = p, b = –2, c = 2 Agar sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian nilai determinan persamaan (3) harus nol. D = b2 – 4ac = 0 ⇔ (–2)2 – 4 × p × 2 = 0 4 – 8p = 0 ⇔

Oleh karena kedua bilangan bulat positif maka x = 9. Diperoleh y = 9 – 2 = 7. Jadi, bilangan yang terkecil adalah 7. B. Uraian

1. a.

Persamaan-persamaan pada SPLDV: 3x + 5y = –7 . . . (1) 4x – 3y = –19 . . . (2) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). × 4 12x + 20y = –28 × 3 12x – 9y = –57 ––––––––––––– – 29y = 29 ⇔ y=1 y = 1 ⇒ 3x + 5y = –7 3x + 5 = –7 ⇔ ⇔ 3x = –12 x = –4 ⇔ Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–4, 1)}.

3x + 5y = –7 4x – 3y = –19

b.

Persamaan-persamaan pada SPLDV: 3x + y + 4z = 4 . . . (1) 5x – y + 3z = 19 . . . (2) 2x + 2y + 3z = –5 . . . (3) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 3x + y + 4z = 4 5x – y + 3z = 19 ––––––––––––– + 8x + 7z = 23 . . . (4) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3). 3x + y + 4z = 4 × 2 6x + 2y + 8z = 8 2x + 2y + 3z = –5 × 1 2x + 2y + 3z = –5 –––––––––––––– – 4x + 5z = 13 ...(5)

Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5). 8x + 7z = 23 × 1 8x + 7z = 23 4x + 5z = 13 × 2 8x + 10z = 26 ––––––––––– – –3z = –3 z=1 ⇔ z = 1 ⇒ 4x + 5z= 13 4x + 5 = 13 ⇔ 4x = 8 ⇔ ⇔ x=2 x = 2, z = 1 ⇒ 3x + y + 4z = 4 6 +y +4= 4 ⇔ 10 + y = 4 ⇔ y = –6 ⇔ Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, –6, 1)}.

. . . (1) . . . (2)

8p = 4 ⇔ p =

⇔

Jadi, p = b.

 

 . 

y = x2 + 4x + 2 = 0     y = px – 

x2 + 4x + 2 = px –

 

⇔

x2 + 4x – px + 2 +

 

=0

⇔

x2 + (4 – p)x +

 

=0

Diperoleh a = 1, b = 4 – p, c =

 . 

D=0 ⇔

⇔

b2 – 4ac = 0 (4 – p)2 – 4 × 1 ×

 

=0

⇔

(4 – p)2 – 9 = 0

⇔

(4 – p)2 = 9

⇔

4 – p = ±3

Untuk 4 – p = 3 ⇒ p = 1 Untuk 4 – p = –3 ⇒ p = 7. Jadi, p = 1 atau p = 7. 3. Misalkan: x = berat daging sapi dalam kilogram y = berat ikan segar dalam kilogram Dari permasalahan di atas dapat dibentuk sistem persamaan linear berikut. Persamaan linear untuk kebutuhan kalori: 500x + 350y = 27.500 . . . (1) Persamaan linear untuk kebutuhan protein: 200x + 400y = 16.200 . . . (2)

Matematika Kelas X

89

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 500x + 350y = 27.500 200x + 400y = 16.200

×2 ×5

1.000x + 700y = 55.000 1.000x + 2.000y = 81.000 ––––––––––––––––––––– – –1.300 y = –26.000 y = 20 ⇔

Substitusikan y = 20 ke dalam persamaan (2). 200x + 400y = 16.200 ⇔ 200x + 400(20) = 16.200 200x = 16.200 – 8.000 ⇔ x=

⇔

 = 

41

Kebutuhan daging sapi pada hari Senin 41 kg dan ikan segar 20 kg. Biaya yang harus dikeluarkan rumah sakit untuk memenuhi kebutuhan kalori dan protein pasien pada hari Senin = x × Rp40.000,00 + y × Rp15.000,00 = 41 × Rp40.000,00 + 20 × Rp15.000,00 = Rp1.640.000,00 + Rp300.000,00 = Rp1.940.000,00 4. Panjang = a Lebar =b Tinggi =c

H

G F

E

c D

Dari permasalahan tersebut diperoleh:

A

C b B

a

Keliling alas = keliling persegi panjang ABCD ⇔ ⇔

76 = 2(a + b) . . . (1)

Keliling sisi tegak depan= keliling ABFE 80= 2(a + c) a + c = 40

⇔

. . . (2)

Keliling sisi tegak samping = keliling BCGF 68 = 2(b + c)

⇔

b + c = 34

⇔

. . . (3)

SPLTV dari masalah tersebut: a + b = 38   a + c = 40 

b + c = 34

Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + b = 38 a + c = 40 –––––––– – b – c = –2 . . . (4) Eliminasi a dari persamaan (3) dan (4). b + c = 34 b – c = –2 ––––––––– + 2b = 32

90

5. Misalkan: x = besar pinjaman di bank A y = besar pinjaman di bank B z = besar pinjaman di lembaga keuangan z = 80.000.000 – 70.000.000 = 10.000.000 Sistem persamaan linear yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x + y = 70.000.000 . . . (1)   ⇔

⇔ ⇔

x+

 

 

x+

y+

 

 

× 10.000.000 = 8.500.000

y + 1.300.000 = 8.500.000  

x+

 


y = 7.200.000

11x + 10y = 720.000.000 . . . (2)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x + y = 70.000.000

× 10 10x + 10y = 700.000.000

11x + 10y = 720.000.000 × 1

a + b = 38

⇔

b = 16 cm b = 16 ⇒ b – c = –2 ⇔ 16 – c = –2 c = 18 cm ⇔ a + b = 38 a + 16 = 38 ⇔ a = 22 cm ⇔ V ABCD.EFGH = a × b × c = 22 × 16 × 18 = 6.336 cm3 Jadi, volume kubus tersebut 6.336 cm 3. ⇔

11x + 10y = 720.000.000 ––––––––––––––––––– – –x = –20.000.000 ⇔

x = 20.000.000

Substitusikan x = 20.000.000 ke dalam persamaan (1). x + y = 70.000.000 20.000.000 + y = 70.000.000 ⇔ y = 50.000.000 ⇔ Jadi, besar pinjaman Pak Didin di bank A dan bank B berturut-turut Rp20.000.000,00 dan Rp50.000.000,00. 6. Misalkan: a = sisi pertama b = sisi kedua c = sisi ketiga Dari permasalahan tersebut diperoleh SPLTV:  . . . (1) a + b + c = 23  = 2 + 2c ⇔ 2a + b – 2c = 2 . . . (2) 2a + b  a + 2b + c = 31 . . . (3) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). a + b + c = 23 × 2 2a + 2b + 2c = 46 2a + b – 2c = 2 × 1 2a + b – 2c = 2 –––––––––––––– – b + 4c = 44 . . . (4)

Eliminasi a dari persamaan (1) dan (3). a + b + c = 23 a + 2b + c = 31 ––––––––––––– – –b = –8 b = 8 cm ⇔ b = 8 cm ⇒ b + 4c = 44 ⇔ 8 + 4c = 44 ⇔ 4c = 36 c = 9 cm ⇔ a + b + c = 23 a + 8 + 9 = 23 ⇔ a + 17 = 23 ⇔ ⇔ a = 6 cm Jadi, ukuran sisi-sisi segitiga ABC berturut-turut 6 cm, 8 cm, dan 9 cm. 7. Misalkan: x = banyak buku yang dibaca Agus y = banyak buku yang dibaca Budi z = banyak buku yang dibaca Anto Sistem persamaan yang terbentuk dari permasalahan tersebut: x:y=6:5 ⇔ 5x = 6y 5x – 6y = 0 . . . (1) ⇔ y:z=5:7

⇔ ⇔

7y = 5z 7y – 5z = 0

x + z = 65

. . . (2) . . . (3)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3). 5x – 6y = 0 ×1 5x – 6y = 0 x + z = 65 × 5 5x + 5z = 325 ––––––––––––– – –6y – 5z = –325

. . . (4)

Eliminasi z dari persamaan (2) dan (4). 7y – 5z = 0 –6y – 5z = –325 ––––––––––––– – 13y = 325 ⇔ y = 25 Substitusikan y = 25 ke dalam persamaan (1). 5x – 6y = 0 ⇒ 5x – 6 · 25 = 0 5x = 150 ⇔ x = 30 ⇔ Substitusikan x = 30 ke persamaan (3). x + z = 65 ⇒ 30 + z = 65 z = 35 ⇔ Jadi, banyak buku yang telah dibaca Agus, Budi, dan Anto berturut-turut 30, 25, dan 35. 8. Misalkan: x = harga 1 buku tulis y = harga 1 pensil z = harga 1 penghapus Diperoleh SPLTV berikut. 2x + y + 3z = 10.500 y + 2z + x = 6.800 3x + 3y + 3z = 15.600

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x + y + 3z= 10.500 y + 2z + x = 6.800 –––––––––––––––– – x + z = 3.700

. . . (4)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3). 2x + y + 3z = 10.500 3x + 3y + 3z = 15.600

×3 ×1

6x + 3y + 9z = 31.500 3x + 3y + 3z = 15.600 –––––––––––––––––– – 3x + 6z = 15.900 ⇔ x + 2z = 5.300 . . . (5)

Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5). x + z = 3.700 y + 2z= 5.300 –––––––––––– – –z = –1.600 z = 1.600 ⇔ z = 1.600 ⇒ x + z = 3.700 ⇔ x + 1.600 = 3.700 x = 2.100 ⇔ 2x + y + 3z = 10.500 2 × 2.100 + y + 3 × 1.600 = 10.500 ⇔ ⇔ 4.200 + y + 4.800 = 10.500 y + 9.000 = 10.500 ⇔ ⇔ y = 1.500 4x + 2y + z = 4 × 2.100 + 2 × 1.500 + 1.600 = 8.400 + 3.000 + 1.600 = 13.000 Jadi, Lusi harus membayar sebesar Rp13.000,00. 9. Titik B(–4, 2) merupakan titik potong garis  dan kurva maka: 4 × 2 = a(–4)2 + 12(–4) + 8 8 = 16a – 40 ⇔ ⇔ 16a = 48 a=3 ⇔ Substitusikan a = 3 dan (–4, 2) ke dalam persamaan garis . 2y – ax = b ⇒ 2 · 2 – 3(–4) = b b = 16 ⇔ Persamaan garis  menjadi: 2y – 3x = 16 ⇔ 2y = 3x + 16

. . . (1)

Persamaan kurva menjadi: 4y = 3x2 + 12x + 8. . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2y = 3x + 16 × 2 4y = 6x + 32 2 4y = 3x + 12x + 8 × 1 4y = 3x2 + 12x + 8 –––––––––––––––– – 0 = –3x2 – 6x + 24 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 x = –4 atau x=2 ⇔

Matematika Kelas X

91

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1). 2y = 3x + 16

⇒

2y = 3 × 2 + 16

⇔

2y = 22

⇔

y = 11

x2 + y 2 + 2x – 19 = 0

Jadi, koordinat titik A(2, 11). 10.

x2 +

y 2 +

2x – 19 = 0

. . . (1)

x2 +

y 2 +

5x + y – 26 = 0

. . . (2)

Eliminasi x2 dan y2 dari persamaan (1) dan (2). x2 + x2 +

y 2 +

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1).

2x – 19 = 0

y2 +

5x + y – 26 = 0 –––––––––––––––––––––––– – –3x – y + 7 = 0 y = 7 – 3x . . . (3) ⇔

⇔

x2 + (7 – 3x)2 + 2x – 19 = 0

⇔

x2 + (49 – 42x + 9x2) + 2x – 19 = 0

⇔

10x2 – 40x + 30= 0

⇔

x2 – 4x + 3 = 0

⇔

(x – 1)(x – 3)= 0

⇔

x = 1 atau x= 3

Substitusikan x = 1 dan x = 3 ke dalam persamaan (3). Untuk x = 1

⇒

y = 7 – 3(1) =7–3=4

Untuk x = 3

⇒

y = 7 – 3(3) = 7 – 9 = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 4), (3, –2)}.

92


A.

Pilihan Ganda

1.

Jawaban: c  +  −   −  + 

5.

 

 +   − 

=

Jawaban: b

− +

 

+ 5 =

 −   +   + 





=

 − 

=  −   + 

2log

Jawaban: a   −  ⋅  −   



⋅



−



=

  

− + 

 



−

−

⋅

t3x – 3 + 6 ·

  = =

 





 

 

 ⋅  =   ⋅  

=



 

Jadi, nilai m =





  =

 



 =  

p = pm sehingga m =

⋅

( )  

 

= p

 

6.

b=

 5 

⇔

a=  

=

=

a= =

   

 

log  

8.

   –1 ) =   =– . 

Jadi, nilai blog a







Jawaban: a

Jawaban: d

⇔ ⇔ ⇔

2  ×  + n  ×  =

⇔

n=

 – 2n 

 ×  – 2n  × 

8  + 8n  = 5  – 12n  20n  = –3 

−



 

=

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah

 ( )4 

log (

+ 2log

2  + n  =

 



blog

 + 2log 

2log

= 9  + 8  – 12  = 5  7.

=

 +

= 3  ×  + 2  ×  – 6  × 

 

.

 

 



3  + 2  – 6 

 

Jawaban: d a = 0,6666. . . diubah menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. 10a = 6,6666. . . a = 0,6666. . . ––––––––––––––– – 9a = 6

= 2log 2 

=

 

4.



=1+

Jawaban: c  



+  

= 1 + 2log

s3 – 6y + 6y

= t3x + 3 · s3 3.

+5

= 2log 2 + 2log

 −  ⋅  − 

=

+

=2 

= 23m + 3 3n – 4 2.

 −  −

+ 5

= 2  – 5 + 5

24m – m + 2 + 1 33n – 2n – 3 – 1

=

  −   −  −

–

 

− 

− 

.

Jawaban: c 2n + 3 – 2n + 2 – 2n = 192 ⇔ 2n × 23 – 2n × 22 – 2n = 192 2n(8 – 4 – 1) = 192 ⇔ 2n = 64 ⇔ 2n = 26 ⇔ n=6 ⇔ Jadi, nilai n = 6.

Matematika Kelas X

93

(x1 + x2)2 + (x1 – x2)2

9. Jawaban: d

 −   .

Penyebut dari fungsi yaitu

 −   harus lebih dari nol agar fungsi terdefinisi.  − 

⇔ ⇔

25 –



x2

>0

= 2(x1 + x2)2 – 4x1x2

>0

= 2(4)2 – 4 × 3 = 20

Pembuat nol: (5 – x) = 0 atau (5 + x) = 0 x = 5 atau x = –5 ⇔ ++ –5

= 2x12 + 2x22 = 2(x12 + x22)

(5 – x)(5 + x) > 0

––

= (x12 + 2x1x2 + x22) + (x12 – 2x1x2 + x22)

–– 5

(x1 + x 2)2(x1 – x 2)2 = (x1 + x2)2(x12 + x22 – 2x1x2) = 42((x1 + x2)2 – 2x1x2 – 2x1x2) = 16(42 – 2 × 3 – 2 × 3) = 16(4) = 64 Persamaan kuadrat baru yaitu:

Nilai x yang memenuhi adalah –5 < x < 5. Jadi, domain fungsi tersebut adalah {x | –5 < x < 5}.

x2 – ((x1 + x2)2 + (x1 – x2)2)x + (x1 + x2)2(x1 – x2)2

10. Jawaban: c Grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X jika D < 0.

13. Jawaban: b Suatu fungsi selalu bernilai positif untuk sebarang nilai x jika D < 0 dan a > 0.

b2 – 4ac < 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(6k)2 – 4(9k – 1)(k + 1) < 0

Jadi, batas nilai k adalah k >

   . 

11. Jawaban: b Grafik memotong sumbu X di titik A(1, 0) dan B(4, 0) sehingga f(x) = a(x – 1)(x – 4). Grafik melalui titik C(0, –4) sehingga f(0) = –4. f(0) = a(0 – 1)(0 – 4) –4 = 4a a = –1

Persamaan grafik menjadi: f(x) = –1(x – 1)(x – 4) = –(x2 – 5x + 4) = –x2 + 5x – 4 Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat adalah f(x) = –x2 + 5x – 4.

3x2 – 5x – 4

3>0

(–5)2 – 4 · 3(–4) > 0

5x2 –

2x + 3

5>0

(–2)2 – 4 · 5 · 3 < 0

3x2 + 5x – 4

3>0

52 – 4 · 3 · (–4) > 0

–5x2 + 2x – 3

–5 < 0

22 – 4 · (–5) · (–3) < 0

–3x2 – 2x + 3

–3 < 0

(–2)2 – 4 · (–3) · 3 > 0

Dari x2 – 4x + 3 = 0 diperoleh a = 1, b = –4, dan c = 3.  

x1 + x2 = – = 4 x1 · x2 =

 = 

3

Ulangan Akhir Semester

Nilai D

Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi 5x 2 – 2x + 3 mempunyai a = 5 > 0 dan D = –56 < 0. Jadi, fungsi yang selalu bernilai positif untuk sebarang nilai x adalah pilihan b. 14. Jawaban: d f(x) = 3x2 + 3x + 6 mempunyai a = 3, b = 3, dan c = –6. D = b2 – 4ac = 32 – 4 × 3 × (–6) = 81 Oleh karena D = 81 > 0 maka grafik fungsi f(x) memotong sumbu X di dua titik atau fungsi f(x) mempunyai dua akar yang berbeda. Jadi, pernyataan yang benar pilihan d. 15. Jawaban: d Sumbu simetri: x =

 

−

⇔

12. Jawaban: b

94

Nilai a

36k2 – 36k2 – 32k + 4 < 0 32k > 4 k>

x2 – 20x + 64 = 0

Fungsi Kuadrat

36k2 – 4(9k2 + 8k – 1) < 0

⇔

⇔ ⇔

⇔

⇔ ⇔ ⇔



=

 

−  +  =  –5p = 2(p2 + 1)



2p2 + 5p + 2 = 0

⇔ ⇔

(2p + 1)(p + 2) = 0 2p + 1 = 0 atau p + 2 = 0

⇔

p=–

 

atau p = –2

Oleh karena p bilangan bulat maka diambil p = –2. Diperoleh: f(x) = ((–2)2 + 1)x2 + 2(–2)x – 10

18. Jawaban: c

= 5x2 – 4x – 10  

x1x2 =

= –

 = 

Absis titik balik: +  − x= =  ⋅ −  + = − = –3 Jadi, titik balik maksimum fungsi tersebut (–3, 25). Persamaan grafik fungsi kuadrat yang puncaknya di titik (1, 4) berbentuk y = f(x) = a(x – 1)2 + 4.

–2

Grafik melalui titik (0, 3), maka f(0) = 3.

Jadi, hasil kali akar-akarnya adalah –2.

f(0) = a(0 – 1)2 + 4

16. Jawaban: a (x +

1)2 +

(2x –

=

(x2 +

2x + 1) +

=

5x2 –

6x + 5

= 5(x2 – = 5(x2 – = 5(x2 – = 5(x – = 5(x – = 5(x –

 x) 

⇔ ⇔

2) 2 (4x2 –

8x + 4)

y = –(x – 1)2 + 4

⇔

19. Jawaban: c Dari persamaan a=

sehingga a = 5, p 5apq = 5 × 5 × (–

q=

= –48 Jadi, nilai 5apq = –48. 17. Jawaban: c Nilai maksimum fungsi = 25.

⇒

– 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

– –



 

−  

−  × − ×   × −

= 25 = 25 = 25

m2 + 4m + 4 + 16m = 100 m2 + 20m – 96 = 0 (m + 24)(m – 4) = 0 m + 24 = 0 atau m – 4 = 0 m = –24 atau m = 4

Oleh karena m > 0 maka m = 4.

 , 

 

+ (m – 4)x + 18 = 0 diperoleh

b = m – 4, dan c = 18.

Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0.

Disimpulkan: a(x + p) 2 + q = 5(x –  = – , dan    )×  

y = –x2 + 2x + 3

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya adalah y = –x2 + 2x + 3.

   x + ( )2 – ( )2) + 5      2  x + ( ) ) – 5( )2 + 5     2  ) – 5 × + 5    2  ) – + 5    2  ) +  

 + 

a = –1

Persamaan grafik fungsi kuadratnya:

+5

⇔

3=a +4

 . 

 2 ) 

+

 , 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

b2 – (m – 4)2 – 4 ×

D=0 4ac = 0

 × 

18 = 0

m2 – 8m + 16 – 36 = 0 m2 – 8m – 20 = 0 (m + 2)(m – 10) = 0 m = –2 atau m = 10 Jadi, nilai m = –2 atau m = 10. 20. Jawaban: d 2x2 + 4x – 60 > x2 + 3x + 12

⇔ ⇔

x2 + x – 72 > 0 (x – 8)(x + 9) > 0

Pembuat nol: (x – 8)(x + 9) = 0 ⇔ x – 8 = 0 atau x + 9 = 0 x = 8 atau x = –9 ⇔ ++

–– –9

++ 8

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {x | x < –9 atau x > 8}.

Matematika Kelas X

95

21. Jawaban: c Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real dan berbeda jika D > 0. b2 – 4ac > 0 ⇔ (4k)2 – 4(1 + k) × 9 > 0 16k2 – 36k – 36 > 0 ⇔ 4k2 – 9k – 9 > 0 ⇔ (4k + 3)(k – 3) > 0 ⇔ Pembuat nol: 4k + 3 = 0

⇔

k=– ++ –

atau k – 3 = 0  

atau ++ 3



y –2=2 y=4 ⇔ Jadi, wadah kecil dapat menampung air 2 cangkir, sedangkan wadah besar 4 cangkir. 24. Jawaban: e Misalkan: x = banyak soal ”Benar/Salah” y = banyak soal ”Pilihan Ganda” Diperoleh SPLDV: x + y = 20 . . . . (1) 3x + 11y = 100 . . . . (2) Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).

–– 

k=3

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan y – x = 2.

x + y = 20 3x + 11y = 100

×3 ×1

3x + 3y = 60 3x + 11y = 100 –––––––––––– – –8y = –40 ⇔ y=5

 

Jadi, nilai k adalah k < – atau k > 3. 22. Jawaban: b Substitusikan y = mx + 11 ke dalam persamaan kurva. mx + 11 = 2x2 – x + 13 ⇔ 2x2 – (m + 1)x + 2 = 0 Garis tidak memotong kurva jika D < 0. b2 – 4ac < 0 ⇔ (–(m + 1))2 – 4 × 2 × 2 < 0 (m + 1)2 – 42 < 0 ⇔ ⇔ (m + 1 – 4)(m + 1 + 4) < 0 (m – 3)(m + 5) < 0 ⇔ Pembuat nol: m – 3 = 0 atau m + 5 = 0 = 3 atau m = –5 ⇔ m ++

–– –5

++ 3

Jadi, batas-batas nilai m adalah –5 < m < 3. 23. Jawaban: b Misalkan: x = banyak air yang dapat ditampung wadah kecil y = banyak air yang dapat ditampung wadah besar Diperoleh SPLDV: 2x + y = 8 y–x=2

25. Jawaban: b Substitusikan y = 2x – 2 ke dalam persamaan y = x2 – x – 6. 2x – 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – x – 2x – 6 + 2 = 0 x2 – 3x – 4 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x = 4 atau x = –1 ⇔ Jadi, penyelesaiannya x = –1 atau x = 4. 26. Jawaban: b Substitusikan y = 3x – 5 ke dalam persamaan kurva y = 3x2 – 7x – 2. 3x2 – 7x – 2 = 3x – 5 3x2 – 10x + 3 = 0 ⇔ (3x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ ⇔ 3x – 1 = 0 atau x – 3 = 0

⇔

x =

Untuk x =

 

 

atau

x =3

, nilai y = 3 ×

 

– 5 = –4

Untuk x = 3, nilai y = 3 × 3 – 5 = 4 . . . . (1) . . . . (2)

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). 2x + y = 8 y –x= 2 ––––––––– – 3x = 6 ⇔ x=2

96

Jadi, banyak soal ”Pilihan Ganda” ada 5 buah.


Jadi, titik potongnya adalah ( 27. Jawaban: d y = ax + 6 y = ax2 + (a + 4)x + 36 Eliminasi y dari (1) dan (2). y = ax + 6 y = ax2 + (a + 4)x + 36 –––––––––––––––––––––– – 0 = –ax2 + (a – a – 4)x – 30

 

, –4) dan (3, 4).

. . . (1) . . . (2)

⇔ ⇔

0 = –ax2 – 4x – 30 ax2 + 4x + 30 = 0

. . . (3)

Persamaan (3) akan mempunyai penyelesaian tunggal jika D = 0.

⇔

42 – 4 × a × 30 = 0 Jadi, nilai a =

 

a=

 

=

 

.

28. Jawaban: b Substitusikan (16, m) ke dalam persamaan garis  x – 2.   = × 16 

22 + 2k – 16 – 4 = 0 2k = 16 ⇔ k=8 ⇔ Jadi, nilai m = 2 dan k = 8. 29. Jawaban: c y = x2 + 2x + c y = –x2 – 2x + q

. . . (1) . . . (2)

30. Jawaban: b

+ 

=



+ 

= 13x cm

Keliling PQRST = panjang kawat ⇔ PQ + QR + RS + ST + PT = 70 5x + y + 12x + y + 13x = 70 ⇔ 30x + 2y = 70 ⇔ 15x + y = 35 ⇔ y = 35 – 15x ⇔ Luas PQRST = 240

⇔ ⇔ ⇔

 RS(PR   × 

25x2 – 70x + 40 = 0 5x2 – 14x + 8 = 0 (5x – 4)(x – 2) = 0 5x – 4 = 0 atau x – 2 = 0 x=  , 

 

atau

x=2

nilai y = 35 – 15 ×

 = 

23

+ ST) = 240

12x(5x + y + y) = 240 x(5x + 2y) = 40

Jadi, nilai x =

 dan 

y = 23 atau x = 2 dan y = 5.

31. Jawaban: b Diketahui: x = harga tiket dewasa y = harga tiket pelajar

Jadi, harga tiket dewasa 8 dolar Amerika.

x2 + 2x + c = –x2 – 2x + q ⇔ x2 + x2 + 2x + 2x + c – q = 0 2x2 + 4x + c – q = 0 ⇔ Syarat ke dua parabola berpotongan di satu titik adalah D = 0. b2 – 4ac = 0 ⇔ ⇔ 42 – 4 × 2 × (c – q) = 0 8(c – q) = 16 ⇔ c –q=2 ⇔ Jadi, nilai c – q = 2.

⇔

–25x2 + 70x – 40 = 0

5x + 2y = 48 3x + 2y = 32 –––––––––––– – 2x = 16 ⇔ x=8

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2).



5x2 + 70x – 30x 2 – 40 = 0

Untuk x = 2, nilai y = 35 – 15 × 2 = 5

–2=2

Substitusikan (16, 2) ke dalam persamaan kurva y2 + ky – x – 4 = 0.

PT =

⇔

5x2 + 2x(35 – 15x) = 40

Untuk x =

y= m

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

32. Jawaban: d y – 2x = –2 y = 2x – 2 ⇔ Substitusikan y = 2x – 2 ke dalam persamaan y = x2 – 2x + 2. 2x – 2 = x2 – 2x + 2 ⇔ x2 – 2x – 2x + 2 + 2 = 0 x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 ⇔ Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan y = 2x – 2. y=2×2–2=2 Jadi, penyelesaiannya (2, 2) 33. Jawaban: a y – 5x = 25 y = 5x + 25 ⇔ Substitusikan y = 5x + 25 ke dalam persamaan y = x2 + 1. 5x + 25 = x2 + 1 ⇔ x2 – 5x – 24 = 0 ⇔ (x – 8)(x + 3) = 0 ⇔ x = 8 atau x = –3 Untuk x = 8, nilai y = 5 × 8 + 25 = 65 Untuk x = –3, nilai y = 5 × (–3) + 25 = 10 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(8, 65), (–3, 10)}.

5x2 + 2xy = 40

Matematika Kelas X

97

34. Jawaban: d

 1)

+  > x + 3 mempunyai penyelesaian:  +  > x + 3 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ x + 3 > x2 + 6x + 9 ⇔ –x2 + x – 6x + 3 – 9 > 0 –x2 – 5x – 6 > 0 (kedua ruas di⇔ x2 + 5x + 6 < 0 kalikan –1) ⇔ (x + 3)(x + 2) < 0 ⇔

Pembuat nol: x(x – 2) = 0 x = 0 atau x – 2 = 0 ++ 0

3)

Pembuat nol:

++

––

++

–3

2)

++

. . . (2)

2

Syarat 3x + 6 > 0 3x + 6 > 0 3x > –6 ⇔ x > –2 ⇔

(x + 3) (x + 2) = 0 (x + 3) = 0 atau (x + 2) = 0 x = –3 atau x = –2

⇔ ⇔

–

⇒ x = 2

– –

++

. . . (3)

–2

. . . (1)

Penyelesaian (1), (2), dan (3) dapat digambarkan dalam garis bilangan berikut.

–2

Syarat x + 3 > 0 x +3>0 x > –3 ⇔

–1

6

0

2

–2 –1 0

2

. . . (2) –3

–2

Penyelesaian (1) dan (2) digambarkan pada garis bilangan:

6

Jadi, penyelesaiannya –1 < x < 0 atau 2 < x < 6. –3

36. Jawaban: d

–2

–3

–2

–3

–2

⇔ ⇔ ⇔

Jadi, nilai yang memenuhi –3 < x < –2. 35. Jawaban: e

 1)

−  

–



−  –

+  < 0 mempunyai penyelesaian: 

+  < 0

Pembuat nol: (x + 1)( x – 6) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 6 –– –1

2)

98

Syarat x2 – 2x > 0 x2 – 2x > 0 ⇔ x(x – 2) > 0


++ 6

Pembuat nol: x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 x = –3 atau x =2 ⇔ ++

–– –3

⇔  −  <  +  ⇔ x2 – 2x < 3x + 6 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ x2 – 2x – 3x – 6 < 0 x2 – 5x – 6 < 0 ⇔ (x +1)(x – 6) < 0 ⇔

++

x + 6 ≥ x2 + 2x x2 + 2x – x – 6 ≤ 0 x2 + x – 6 ≤ 0 (x + 3)(x – 2) ≤ 0

. . . (1)

++ 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {x | –3 ≤ x ≤ 2}. 37. Jawaban: e −  −

<3

⇔ –3 <

−  −

< 3, artinya terdapat dua

kemungkinan penyelesaian. − 1) > –3  − − + 3 > 0 ⇔  −  −  ⇔  −−  +  −  > 0  −  +  −  >0 ⇔  −  −  >0 ⇔  −

Pembuat nol: 4x – 5 = 0 atau x – 1 = 0

⇔

 

x=

atau

Pembuat nol: t – 3 = 0 atau t – 1 = 0 t = 3 atau t=1 ⇔

x=1

++

Nilai x yang memenuhi dapat digambarkan dengan garis bilangan berikut. ++

––

++

2)

−  −

⇔ ⇔ ⇔

. . . (1)

 

1

<0

 

<0



atau

+ 

. . . (2)

Dari gambar (1) dan (2) diperoleh:

 

 



1

 

Dari gambar di atas tampak bahwa penyelesaiannya adalah x <

 

atau x >

38. Jawaban: b h(t) = –16t2 + 64t + 4 h(t) ≥ 52 2 ⇔ –16t + 64t + 4 ≥ 52 ⇔ –16t2 + 64t – 48 ≥ 0 –t2 + 4t – 3 ≥ 0 ⇔ t2 – 4t + 3 ≤ 0 ⇔ (t – 3)(t – 1) ≤ 0 ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x=0 x=2 x=5 (x + 3)(x – 3) = 0 x = –3 atau x = 3 x = –4

Pembuat nol: +

–

–4 –3

0

+

–

2 3

+ 5

Dari gambar di atas, himpunan penyelesaiannya adalah: {x | x < –4 atau –3 < x ≤ 2 atau 3 < x ≤ 5, x ≠ 0}. 40. Jawaban: e Misalkan: p = panjang  = lebar Keliling = 2(p + ) = 180 p +  = 90 ⇔  = 90 – p ⇔



1

x+4=0

–

––

1

≤ 0

−  −  −  +  = 0

x=1

1





x2 = 0 x–2=0 x–5=0 x2 – 9 = 0

Nilai x yang memenuhi dapat digambarkan dengan garis bilangan berikut. ––

3

Nilai t yang memenuhi yaitu 1 ≤ t ≤ 3. Jadi, ketinggian bola lebih dari atau sama dengan 52 kaki pada saat 1 ≤ t ≤ 3.

  

− +  <0  − Pembuat nol: –2x + 1 = 0 atau x – 1 = 0 x=

++

Pembuat nol:

<0

⇔

⇔

1

39. Jawaban: e    −  −    −  + 

< 3

− – 3  −  −  − –  −   −  −  −  +   −

––

 

.

Luas = p ×  ≥ 2.000 p × (90 – p) ≥ 2.000 ⇔ 90p – p2 ≥ 2.000 ⇔ ⇔ p2 – 90p + 2.000 ≤ 0 ⇔ (p – 40)(p – 50) ≤ 0 Pembuat nol: p – 40 = 0 atau p – 50 = 0 p = 40 atau p = 50 ⇔ ++

–– 40

++ 50

Nilai p yang memenuhi 40 ≤ p ≤ 50. Jadi, panjang lapangan tersebut tidak kurang dari 40 m dan tidak lebih dari 50 m.

Matematika Kelas X

99

B. Uraian 1.

24

log

 

=

 

=

  −      

=

  ×  −   ×      

= =

  +   −   −        

+  −   − 

=

 +  −  −    

=

 +  −    

log

    –

 

5.

 +  −     .

      × 

=

     –

(

=

       –

=

 +



 –  –

(



)

 –

 –



=3– Jadi,

 +

 –



)

⇔

 × 

2x × 2 = 4x

Akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 3x + 4 = 0 adalah α dan β sehingga: α + β = –3 αβ = 4  β  α α + β   −   + β = αβ = αβ = = – α  

100

=1


⇔ ⇔ ⇔

 

⇔

1×

 

=

x2 =

 

− −  

− −  

–m – 6 = 1 m = –7 Jadi, nilai m = –7.

 –  .

Luas daerah yang diarsir = 4x

 

x1

x1 · x 2 =

 +

   

=



    = 3 –

+ 2x)(2 + x) –

  − −  

2x2

x1 + x2 =

(1 + x)(2 + x) – 2x – 4x = 0 2 + 3x + x2 – 6x = 0 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 x – 1 = 0 atau x – 2 = 0 x = 1 atau x=2 Jadi, nilai x = 1 atau x = 2. 4.

+ 1 = 0.

x1 + x2 = ––––––––– +





 –

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 x 

3(x2 – x) = m + 6 + x 3x2 – 3x = m + 6 + x ⇔ ⇔ 3x2 – 4x – m – 6 = 0 Diperoleh:

)

(

=3+

 (2 

+1= 0

x1 – x2 =

   ×   –

 

⇔

x1 · x2 =

=

=

   x2 + x 

   



· =0 α β

x2 – (– )x + 1 = 0

x1 + x2 =

=





⇔

x2 +

   +  −    −    

24



Jadi, persamaan kuadrat baru tersebut adalah



    

    –

3.





x2 – (α + β)x +

=

Jadi, nilai 2.





· = αβ = = 1  α β Persamaan kuadrat baru sebagai berikut.

  

6.

 

–

⇔ ⇔ ⇔  −

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 −  

= –9

 −     15  – = –9 × 15   

10x – 9y + 15 = –135 10x – 9y = –150   =  −   −    +  −   −    + +  −   −  −   +  −  − 

. . . . (1)

+

=



− − 

=0 =0

8(2y – 15) + 5(x – 2) = 0 16y – 120 + 5x – 10 = 0 5x + 16y = 130

. . . . (2)

Eliminasi x persamaan dari (1) dan (2). 10x – 9y = –150 × 1 10x – 9y = –150 5x + 16y = 130 ×2 10x + 32y = 260 –––––––––––––– – –41y = –410 y = 10 ⇔ Substitusikan y = 10 ke dalam persamaan (1). 10x – 9y = –150 ⇔ 10x – 9 × 10 = –150 10x = –150 + 90 ⇔

⇔

x=–

 

1)

2)

= –6

Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut {(–6, 10)}. 7. Misalkan:

Substitusikan nilai y = 20 dan z = 25 ke dalam persamaan (1). x + 20 + 25 = 60 x + 45 = 60 ⇔ x = 15 ⇔ Jadi, banyak kamar tipe I, II, dan III berturut-turut 15, 20, dan 25 kamar. 8. 2|x – 1|2 – 3|x – 1| + 1 < 0 Misalkan |x – 1| = p maka pertidaksamaan menjadi: 2p2 – 3p + 1 < 0

x>

atau

 

 

 

|x – 1| < 1 ⇔ –1 < x – 1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 (kedua ruas ditambah 1) Dari penyelesaian (1) dan (2) dapat dibuat garis bilangan:

 

 

2

0

 

 

2

Jadi, berdasar gambar di atas nilai x yang memenuhi adalah 0 < x <

 

atau

 

< x < 2.

9. Substitusikan x = 3 dan y = 2 ke dalam persamaan my + kx = 8 dan m2y – k2x + 10 = 0. 2m + 3k = 8

⇔ m =

2m2 – 3k2 + 10 = 0

– 3k)

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 (8 

2( (8 – 3k))2 – 3k2 + 10 = 0 2·

 (64 

– 48k + 9k2) – 3k2 + 10 = 0

64 – 48k + 9k2 – 6k2 + 20 = 0 3k2 – 48k + 84 = 0 k2 – 16k + 28 = 0 (k – 14)(k – 2) = 0 k – 14 = 0 atau k – 2 = 0 k = 14 atau  (8 

 (8 

k=2

– 3 × 14) = –17.

– 3 × 2) = 1.

10. Keliling AFGE = 24

Batas-batas nilai p yang memenuhi: ––

x<

 

Jadi, nilai m = –17 dan k = 14 atau m = 1 dan k = 2.

atau p = 1

++

x–1<–

atau

Untuk k = 2, nilai m =

(2p – 1)(p – 1) = 0 p=

⇔

   

Untuk k = 14, nilai m =

(2p – 1)(p – 1) < 0

Pembuat nol pertidaksamaan:

⇔

x –1>

0

Substitusikan nilai z = 25 ke dalam persamaan (3). y + 25 = 45 y = 20 ⇔

⇔

⇔

. . . (1) . . . (2) . . . (3)

Eliminasi x dan y dari persamaan (1) dan (2). x + y + z = 60 x + y = 35 –––––––––––– – z = 25

< |x – 1| < 1.

 

|x – 1| >

x = banyak kamar tipe I y = banyak kamar tipe II z = banyak kamar tipe III

x + y + z = 60 x + y = 35 y + z = 45

 

Oleh karena p = |x – 1| maka

++

1

Nilai yang memenuhi adalah

 

< p < 1.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2(AF + FG) = 24 2(15 – x + y – 5) = 24 y – x + 10 = 12 y = x+2

Matematika Kelas X

101

01 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 10a Ktsp

Recommend Documents