05 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 12 Ips Ktsp

Integral

Integral Fungsi Aljabar

• •

Metode Pengintegralan

Integral tak tentu Integral tentu

• •

• • • • • •

Penggunaan Integral

Integral substitusi Integral parsial

Luas daerah

Bersikap teliti dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan. Mampu menentukan hasil integral tak tentu fungsi aljabar. Mampu menentukan hasil integral tentu fungsi aljabar. Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode substitusi. Mampu menentukan hasil integral menggunakan metode parsial. Mampu menentukan luas daerah menggunakan integral.

Matematika Kelas XII Program IPS

1

4. Jawaban: d f′(x) = 3x2 + 6x – 5 dan f(–1) = 8 f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (3x2 + 6x – 5) dx

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: e 1 2 x 2

∫ (4x3 +

+ 3x) dx

1

1

1

1

= 4 × 4 x4 + 2 × 3 x3 + 3 × 2 x2 + c 1

3

= x4 + 6 x3 + 2 x2 + c 2. Jawaban: b ∫ f(x) dx = ∫

1

1

1 1 2

+1

2

3

+1

x2

+ c1

x = 0 ⇒ TC = 40.000 ⇔ 0 – 0 + 0 + c = 40.000 ⇔ c = 40.000 Jadi, rumus biaya totalnya adalah TC = 2x3 – 4x2 + 1.000x + 40.000.

= 3 x 2 + c1 2

= 3 x x + c1 ∫ g(x) dx = ∫ 2x3 dx =2×

6. Jawaban: e 4

1 x3 + 1 + c2 3+1

∫ (–x2 + 6x – 8) dx

2

2

4

= 4 x4 + c2

1 = ⎡ − 3 x 3 + 3x 2 − 8x ⎤ ⎣ ⎦2

1

= 2 x4 + c2

1

2

1

3. Jawaban: a ∫

3x − 4x

x

x x

⎛ 3x

dx = ∫ ⎜⎜

⎝x x –

= ∫ (3x

=

3 −

1 2

3 1 2

4x 2 x ⎞ ⎟⎟ x x ⎠

− 1 2

–

+1 1 2

dx

– 4x) dx

x

x –

1 2

+1

4 2 x 2

Integral

8

20

4

= (– 3 ) – (– 3 ) = 3 7. Jawaban: e 2

4

– 1 + 1 x1 + 1 + c +c

= 6 x – 2x2 + c

2

64

= (– 3 + 48 – 32) – (– 3 + 12 – 16) 16

=

1

= (– 3 (4)3 + 3(4)2 – 8(4)) – (– 3 (2)3 + 3(2)2 – 8(2))

∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = 3 x x + 2 x4 + c

2

1

5. Jawaban: a MC = 1.000 – 8x + 6x2 TC = ∫ MC dx = (1.000 – 8x + 6x2) dx = 1.000x – 4x2 + 2x3 + c

x dx

= ∫ x 2 dx =

1 3 x 3

+ 6 × 2 x2 – 5x + c = x3 + 3x2 – 5x + c f(–1) = 8 ⇒ (–1)3 + 3(–1)2 – 5(–1) + c = 8 ⇔ –1 + 3 + 5 + c = 8 ⇔ c=1 Jadi, f(x) = x3 + 3x2 – 5x + 1. =3×

∫ (x – 1)(3x + 1) dx

−1

2

=

∫ (3x2 – 2x – 1) dx

−1

2

3 2 = ⎡⎣ x − x − x ⎤⎦ −1 = (8 – 4 – 2) – (–1 – 1 + 1) = 2 – (–1) =3

8. Jawaban: d

B. Kerjakan soal-soal berikut.

3

∫ (2x + 1) dx = 10

a

3

+ x ⎤⎦ = 10 a 2 ⇔ (9 + 3) – (a + a) = 10 ⇔ 12 – a2 – a = 10 ⇔ a2 + a – 2 = 0 ⇔ (a + 2)(a – 1) = 0 ⇔ a = –2 atau a = 1 Jadi, salah satu nilai a adalah 1. ⇔

⎡ x 2 + x2 ⎣

1. a.

1

∫ x4 dx = 4 + 1 x4 + 1 + c 1

= 5 x5 + c b.

∫

1 x3

dx = ∫ x–3 dx

−1

−1

∫ x dy = ∫

1

= −2 x–2 + c

3−y 2

2x + y = 3 ⇔ x = 1

3−y 2

=–

dy

c.

∫

1 x x

1

1

d.

1

= 2 (6) =3

∫

x2 x

3 2

+1

+c

+c

+c

x 1 2

dx

3

∫ f(x) dx = 2 4

∫ f(x) dx = 1

2

4

2

4

0

0 2

2

2.

a.

⇔ ∫ f(x) dx = 2 – 1 = 1 0

Jadi, ∫ f(x) dx = 1.

5

+1

+c

∫ f(x) dx = ∫ (6x2 – 3x + 2) dx 1

1

= 6 × 3 x3 – 3 × 2 x2 + 2x + c 3

= 2x3 – 2 x2 + 2x + c

2 = ∫ f(x) dx + 1 0

2

x2

2

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx

2

+1

= 5 x2 x + c

2

4

⇔

3 2

= 5 x2 + c

∫ 2f(x) dx = 2 ⇔ 2 ∫ f(x) dx = 2

2

3

1

=

0 4

0

1 2

2

dx = ∫ x2 –

4

2

–

x

= ∫ x 2 dx

10. Jawaban: b

⇔

–

− +1

=–

1

dx

3 2

= –2x

= 2 ((3 – 2 ) – (–3 – 2 ))

3 2

1

=

1

⎡3y − 1 y ⎤ 2 ⎦ −1 ⎣

+c –

1

1 2

1 2x 2

dx = ∫ x

= 2 ∫ (3 – y) dy −1 =

+c

1

9. Jawaban: c

1

1 x–3 + 1 −3 + 1

=

b.

∫ f(x) dx = ∫

x (3x – 4 x ) dx

= ∫ (3x x – 4x) dx 3

= ∫ (3x 2 – 4x) dx 2

5

1

= 3 × 5 x 2 – 4 × 2 x2 + c 6

= 5 x2 x – 2x2 + c


3

c.

∫ f(x) dx = ∫ (3x + 2)2 dx = ∫ (9x2 + 12x + 4) dx 1

1

= 9 × 3 x3 + 12 × 2 x2 + 4x + c = 3x3 + 6x2 + 4x + c d.

6. f(x) = 12x2 – 4x + 2 g(x) = 8 – 2x a.

1

1

−2

−2

= (8 – 1) – (–16 – 4) = 7 – (–20) = 27

∫ f(x) dx = ∫ (2 x + 1)(3 x – 2) dx = ∫ (6x – x – 2) dx = ∫ (6x – x – 2) dx 2

3

3

1

1

= (24 – 9) – (8 – 1) = 15 – 7 =8

3 2

= 6 × 2 x2 – 3 x – 2x + c 2

= 3x2 – 3 x x – 2x + c 3. f′(x) = 2x + 2 y = f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (2x + 2) dx = x2 + 2x + c Kurva melalui titik (2, 5). y = x2 + 2x + c ⇔ 5 = 22 + 2(2) + c ⇔ 5=4+4+c ⇔ 5=8+c ⇔ c = –3 Jadi, persamaan kurva tersebut y = x2 + 2x – 3. 4. MC = 12x – 8 TC = ∫ MC dx = ∫ (12x – 8) dx = 6x2 – 8x + c TC(5) = 130 ⇔ 6(5)2 – 8(5) + c = 130 ⇔ 150 – 40 + c = 130 ⇔ 110 + c = 130 ⇔ c = 20 Jadi, bentuk fungsi biaya total (dalam ribuan rupiah) adalah TC = 6x2 – 8x + 20. 5. a.

b.

f′(x) = 4 – 6x f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (4 – 6x) dx = 4x – 3x2 + c f(3) = –12 ⇒ 4(3) – 3(3)2 + c = –12 ⇔ 12 – 27 + c = –12 ⇔ c=3 Jadi, f(x) = –3x2 + 4x + 3. 2

2

−1

−1

∫ f(x) dx = ∫ (–3x2 + 4x + 3) dx 2

= ⎡ − x 3 + 2x 2 + 3x ⎤ ⎣ ⎦ −1 = (–8 + 8 + 6) – (1 + 2 – 3) =6–0 =6 4

Integral

3

2 ∫ g(x) dx = ∫ (8 – 2x) dx = ⎡⎣8x − x ⎤⎦1

1 2

1

1

2 ∫ g(x) dx = ∫ (8 – 2x) dx = ⎡⎣8x − x ⎤⎦ −2

1

3

−2

1

∫ g(x) dx – ∫ g(x) dx = 27 – 8 = 19

b.

3

3

−2

−2

∫ f(x) dx = ∫ (12x2 – 4x + 2) dx 3

= ⎡⎣ 4x 3 − 2x 2 + 2x ⎤⎦ −2 = (108 – 18 + 6) – (–32 – 8 – 4) = 96 – (–44) = 140 3

1

3

−2

1

∫ g(x) dx = ∫ g(x) dx + ∫g(x) dx

−2

= 27 + 8 = 35 3

3

−2

−2

∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = 140 + 35 = 175

c.

3

∫ (2f(x) − 5g(x)) dx

−2

3

3

−2

−2

= 2 ∫ f(x) dx – 5 ∫ g(x) dx = 2 × 140 – 5 × 35 = 280 – 175 = 105 7. a.

4

4

0

0

3

∫ 10r r dr = 10 ∫ r 2 dr 4

⎡2 5 ⎤ = 10 ⎢ 5 r 2 ⎥ ⎣ ⎦0 5

5

= 4( 4 2 − 0 2 ) = 4(32 – 0) = 128

b.

2

= ((2)2 – 5(2) – ((–1)2 – 5(–1)) = (4 – 10) – (1 + 5) = –6 – 6 = –12

c.

⇔ 3a – a2 + 4 = –14 ⇔ a2 – 3a – 18 = 0 ⇔ (a + 3)(a – 6) = 0 ⇔ a = –3 atau a = 6 Jadi, nilai a = 6.

2

2 ∫ (2p – 5) dp = ⎡⎣p − 5p ⎤⎦ −1 −1

−2

2 ∫ (y +

−4

1 y2

) dy

9. y2 = 2 – x ⇔ x = 2 – y2 a.

1

1

−1

−1

∫ x dy = ∫ (2 – y2) dy

−2

= ∫ (y 2 + y–2) dy

1

1 = ⎡2y − 3 y3 ⎤ ⎣ ⎦ −1

−4

−2

1

⎡1 ⎤ = ⎢ y 3 − y −1 ⎥ 3 ⎣ ⎦ −4 1

1

1

= = d.

8 3

+

1 2

+

64 3

1 4

−

1

=33

–32 + 6 + 256 − 3 12 227 11 = 18 12 12

1

b.

1

∫ (x – 2)(x + 5) dx

0

1

−2

= ∫ (2 – y2 + 4 – 4y2 + y4) dy

0

0

= ∫ (x 2 + 3x – 10) dx

1

−2

= ∫ (6 – 5y2 + y4) dy

0

0

3 ⎡1 ⎤ = ⎢ x 3 + x 2 − 10x ⎥ 3 2 ⎣ ⎦ −2

1

5 1 = ⎡6y – 3 y3 + 5 y5 ⎤⎥ ⎣ ⎦0

3

= 0 – ( 3 (–2)3 + 2 (–2)2 – 10(–2)) 8

5

2

8

1

= 4 15

= 2 3 – 6 – 20 = –23 3 3

∫ (4x – a) dx = 12

10. a.

1

⇔

5

−2

−2 5

∫ 2g(x) dx = 6 ⇔ 2 ∫ g(x) dx = 6

⎡ 2 ⎤ ⎣ 2x − ax ⎦1 = 12

a

∫ (3 – 2x) dx = –14

−1

⇔

5

3

⇔ (18 – 3a) – (2 – a) = 12 ⇔ 16 – 2a = 12 ⇔ –2a = –4 ⇔ a=2 b.

1

= (6 – 3 + 5 ) – 0

12

= 3 – 2 – 20

8. a.

∫ (x + x2) dy

0

= ∫ ((2 – y2) + (2 – y2)2) dy

0

1

1

=2– 3 +2– 3

= ( 3 (–2)3 – (–2)–1) – ( 3 (–4)3 – (–4)–1) = –

1

= (2 – 3 ) – (–2 + 3 )

a

⇔ b.

∫ g(x) dx = 3

−2

5

∫ (2f(x) – 3g(x)) dx

−2

5

5

−2

−2

= 2 ∫ f(x) dx – 3 ∫ g(x) dx = 2(8) – 3(3) =7

⎡ 3x − x 2 ⎤ = –14 ⎣ ⎦ −1

⇔ (3a – a2) – (–3 – 1) = –14


5

4. Jawaban: c Misalkan u = 3x2 + 9x – 1

A. Pilihlah jawaban yang tepat.

du dx

1. Jawaban: d Misalkan: u = 8 – x du dx

du

⇔ (2x + 3) dx = 3

= –1 ⇔ –du = dx

∫ (8 – x)5 dx = ∫ u5 (–du) = – ∫ u5 du 1

1

= – 6 u6 + c = – 6 (8 – x)6 + c

2

=∫

u du

u +c

=

2 3

u u+ c

=

2 3

(x2 – 2) x − 2 + c

du

1

= ∫ u × 2 du

1

∫ (x 2 + 2)(x 3 + 6x + 1) 2 dx 1

= ∫ (x 3 + 6x + 1) 2 × (x2 + 2) dx 1

+c

1

1

= 3 ∫ u2 du 1 2 2 × u 3 3

+c

2

= 9 (x3 + 6x + 1) x 3 + 6x + 1 + c

1

– 6x +

du

= ∫ u2 × 3

= 92 u u + c

= 4 u2 + c =

⇔ (x2 + 2) dx = 3 Sehingga diperoleh:

=

1

(x2

= 3x2 + 6 = 3(x2 + 2)

3

= 2 ∫ u du

1 4

3x 2 + 9x − 1 + c

du

2

= 2x – 6 ⇔ dx = 2(x – 3) ⇔ du = 2(x – 3) dx ∫ (x – 3)(x2 – 6x + 2) dx = ∫ (x2 – 6x + 2)(x – 3) dx

(

du 1

1

du dx

3. Jawaban: c Misalkan u = x2 – 6x + 2

=

1 2

5. Jawaban: a Misalkan u = x3 + 6x + 1 maka:

3 2

=

du

× 3

= 3 × 2u 2 + c 2

= ∫ u du 2 3

1 2

−

= 3

1 2

1 2 u) 2

1

1

2

dx

= ∫ (3x2 + 9x – 1)– 2 × (2x + 3) dx

= 3 ∫ u

∫ 2x x − 2 dx = ∫ x − 2 × 2x dx

1 2

3x 2 + 9x − 1

=∫ u

= 2x ⇔ du = 2x dx

du dx

2x + 3

∫

−

2. Jawaban: e Misalkan u = x2 – 2 du dx

= 6x + 9 = 3(2x + 3)

6. Jawaban: a 2)2

+c

1

∫ 8x(6x – 1)3 dx 8

1

4

1

= 6 ∫ x(6x – 1)3 × 6 dx = 3 ∫ x(6x – 1)3 d(6x – 1) 6

Integral

4

4

3

= 3 ∫ x d 4 (6x – 1)3 =

4 (x 3

×

4 3

3 (6x 4

– 1) –

4 3

1 6

4 3

1 6

= x(6x – 1) – = x(6x – 1) – 4 3

4 3

(9 −

– 1) dx)

dx = ∫ (9 – x3)

3 x3 ) 2

∫ (6x – 1) × 6 dx 3 (6x 7

×

1

– 1) + c

=

7 3

– 1) + c x2

0

(9 − x 3 )3

∫ f(x) dx = 6

2

Misalkan u = 5 – x

4

+c

2

2

2 3 9−8

2

2

6

2

–

2 3 9−0

4

1

= 4 ∫ x 4x + 1 × 4 dx

= – ∫ f(u)(–du) 1

1

1

4

= 4 ∫ x(4x + 1)2 d(4x + 1)

= ∫ f(u) du = 6 1

1

2

3

1

2

3

= 4 ∫ x d 3 (4x + 1)2

8. Jawaban: b Misalkan u = 4 – 2x du

0

3

2

= 4 (x × 3 (4x + 1)2 – ∫ 3 (4x + 1)2 dx)

= –2 ⇔ dx = −2 x=1⇒u=4–2=2 x=2⇒u=4–4=0

3

1 2

3

1

= 4 ( 3 x (4x + 1)2 – 6 ∫ (4x + 1)2 × 4 dx) 3

1 2

1

5

2

= 4 ( 3 x(4x + 1)2 – 6 × 5 (4x + 1)2 ) + c 2

du

∫ x 4x + 1 dx

∫ (4 – 2x)4 dx = ∫ u4 × −2 1 2 1

3 9 − x3

∫ x 4x + 1 dx

4

2

2

+c=

10. Jawaban: c

∫ f(5 – x) dx = ∫ f(u)(–du)

du dx

+c

= 9 – 9 = 9

x=1⇒u=5–1=4 x=4⇒u=5–4=1 1

1 2

= 3 – 9

= –1 ⇔ dx = –du

1

−

⎤ ⎥ 3 ⎣⎢ 3 9 − x ⎦⎥ 0

=

4

× x2 dx

du

1 3(9 − x 3 ) 2

dx = ⎢

1

du dx

3 2

−

2

⎡

2

∫

4

3 2

= – 3 (–2)u

7 3

7. Jawaban: a

−

1

= – 3 ∫u

4 3

1 (6x 14

= x(6x – 1) –

3 ∫ 4 (6x

x2

∫

0

2

3 5 ⎤ 1 1⎡ 2 = 4 ⎢( 3 x(4x + 1) 2 − 15 (4x + 1)2 ⎥ ⎣ ⎦0

0

= −2 ∫ u4 du 2

1

2

1

1

= 4 (( 3 × 2 × 27 – 15 × 243) – (0 – 15 ))

0

1 1 = – 2 ⎡ 5 u5 ⎤ ⎣ ⎦2

1

243

1

= 4 (36 – 15 + 15 ) 1

298

1

= 4 × 15

1

= 60

= – 10 (05 – 25)

298

= – 10 (–32) = 3,2

29

= 4 30

9. Jawaban: c Misalkan u = 9 – x3 ⇒

du = –3x2 dx 1

⇔ – 3 du = x2 dx

B. Kerjakan soal-soal berikut. 1. a.

Misalkan u = 5 – x du dx

= –1 ⇔ dx = –du


7

2

∫

dx = ∫

5−x

2 u

2. Misalkan u = x2 – 4x – 1

(–du) 1 –2

= –2 ∫ u

du dx

1

du 1 2

= –2 × 2u + c = –4 5 − x + c b.

⇔ (2 – x) dx = – 2 du

x = 0 ⇒ u = 0 – 0 – 1 = –1 x = 2 ⇒ u = 4 – 8 – 1 = –5 2

2

2−x

∫

Misalkan u = x2 – 3 du dx

= 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx = –2(2 – x) dx

0 (x

2

2

− 4x − 1)

dx = ∫ (x 2 – 4x – 1)–2 (2 – x) dx 0 −5

= 2x ⇔ 2x dx = du

∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3 × 2x dx = ∫ u3 du

−1

1 −5

= – 2 ∫ u−2 du

1

−1

= 4 u4 + c

=

1

c.

= 4 (x2 – 3)4 + c Misalkan u = 2x – 3 du dx

du

1 ⎛ 1 1 4

2

= 5

3 2

= 2 ∫ (2x – 3) dx

3. Misalkan u = x4 – 3x3 + 2

du

= 2 ∫ u2 × 2

du dx

3 2

= ∫ u du

(4x 3 − 9x 2 ) 4 3 2 0 (x − 3x + 2)

∫

u +c

= =

du

= –6x ⇔ x dx = −6

3x (4 − 3x 2 )2

2

du

3

= −6 ∫ u–2 du 1

= – 2 × −1 u–1 + c =

Integral

1 2u

∫ u–2 du

0

⎡ 1⎤ ⎣ ⎦0

dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2 × x dx

1

∫ (x4 – 3x3 + 2)–2(4x3 – 9x2) dx

0 2

= – ⎢u⎥

= 3 ∫ u–2 × −6

8

dx

2

2

∫

= (4x3 – 9x2) dx

2

5 2

= 5 (2x – 3)2 2x − 3 + c Misalkan u = 4 – 3x2 du dx

1⎞

= 2(5)

= ∫ (2(2x – 3)(2x – 3) dx

d.

−5

= 2 ⎜ −5 – −1⎟⎠ ⎝ 1 2

=

−5

⎡ −1u−1 ⎤ ⎣ ⎦ −1

1 ⎡ 1⎤ ⎢u⎥ ⎣ ⎦ −1

∫ (4x – 6) 2x − 3 dx

2 5

1 –2

= 2

= 2 ⇔ dx = 2

3

1

= ∫ u−2 × (– 2 ) du

+c

=

1 2(4 − 3x 2 )

=

1 8 − 6x 2

= – ⎡⎢

2

= 3 4. a.

+c

+c

2

1 ⎤ ⎥ ⎣ x − 3x 3 + 2 ⎦ 0 1 1 = –( 16 − 24 + 2 – 0 − 0 + 2 1 1 = –(– 6 – 2 ) 4 = –(– 6 ) 4

∫ x (2x – 1)4 dx Misalkan du

u = x ⇒ dx = 1 ⇔ du = dx dv = (2x – 1)4 dx

)

⇒ v = ∫ (2x – 1)4 dx

5. a. 1

= ∫ (2x – 1)4 × 2 d(2x – 1) =

1 2

=

1 2

dv =

∫ (2x – 1)4 d(2x – 1) ×

Misalkan u = 4x ⇒ du = 4 dx

⇒ v = ∫ (4 − x)

(2x – 1)5

= – ∫ (4 − x) 1

1 10

x(2x – 1)5 – ∫ 1

×

1 2

∫

(2x – 1)5 × 2 dx

1

1 –2

dx = ∫ (3x + 2)(x – 4)

x−4

d(4 – x)

∫ u dv = uv – ∫ v du 4x 4−x

dx 1

= ∫ 4x d(–2 (4 − x) 2 )

1

3x + 2

× (–1)dx

1

= 10 x(2x – 1)5 – 120 (2x – 1)6 + c

∫

dx

= –2 (4 − x) 2

= 10 x(2x – 1)5 – 20 × 6 (2x – 1)6 + c

b.

1 2

1 − 2

1

1

1 2

dx

= – ∫ (4 − x)

= x × 10 (2x – 1)5 – ∫ 10 (2x – 1)5 dx

1

1 2 −

1

=

−

dx = (4 − x) −

1 5

= 10 (2x – 1)5 ∫ u dv = uv – ∫ v du ∫ x (2x – 1)4 dx

1 10

1 4−x

1

1

= 4x (–2 (4 − x) 2 ) – ∫(–2 (4 − x) 2 ) × 4 dx

dx

Misalkan

1

1

1

1

= –8x (4 − x) 2 – 8 ∫ (4 − x) 2 × (–1) dx

du

u = 3x + 2 ⇒ dx = 3 ⇔ du = 3 dx

= –8x (4 − x) 2 – 8 ∫ (4 − x) 2 d(4 – x)

1

dv = (x – 4)– 2 dx 1 –2

⇒ v = ∫ (x – 4) = ∫ (x – 4) =

1 1 2

1 –2

dx

= –8x 4 − x –

d(x – 4)

1

x−4

(4 − x)3 + c 16

(4 − x)3 + c.

1

3

b.

∫ u dv = uv – ∫ v du ∫

16 3

Jadi, ∫ f(x) dx = –8x 4 − x – 3

(x – 4) 2

= 2(x – 4) 2 3x + 2

3

1

2 = –8x (4 − x) 2 – 8 × 3 (4 − x) 2 + c

∫ f(x) dx = ⎡⎢ −8x 4 − x − 163 (4 − x)3 ⎤⎥

0

⎣

⎦0

16

dx 1

1

= (3x + 2) × 2(x – 4) 2 – ∫ 2(x – 4) 2 × 3 dx 1 2

= (6x + 4) x − 4 – 6 ∫(x – 4) d(x – 4) 2

3

= (6x + 4) x − 4 – 6 × 3 (x – 4) 2 + c

3

128

= (–24 – 3 ) – (0 – 3 ) 88

128

=– 3 + 3 40

= 3

= (6x + 4) x − 4 – 4(x – 4) x − 4 + c = (6x + 4 – 4x + 16) x − 4 + c = (2x + 20) x − 4 + c


9

3. Jawaban: d


Y

1. Jawaban: c Persamaan garis: 2x + 3y – 12 = 0 ⇔ 3y = –2x + 12

10

2

⇔

y =–3x+4 2

Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y = – 3 x + 4

dan sumbu X pada interval –1 ≤ x ≤ 3. Luas daerah yang diarsir: 3

–2 –1 0

X

1 2 3 4 5

y=

–x2

+ 3x + 10

Luas daerah yang diarsir:

2

5

L = ∫ (– 3 x + 4) dx

L =

−1

2. Jawaban: c

∫ y dx

−1 5

Y

=

4

∫ (–x2 + 3x + 10) dx

−1

5

1 3 = ⎡ − 3 x 3 + 2 x 2 + 10x ⎤ ⎣ ⎦ −1

125

–3 –2 –1 0

1

2

3

y = 4 – x2

∫ y dx

−1 1

∫ (4 – x2) dx 1

1 = ⎡4x − 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦ −1

1

=

22

Jadu, luas daerah yang diarsir 7

⎡ 1 3 ⎢⎣ 3 x

2

+ x ⎤⎥ ⎦0

8

= ( 3 + 2) – 0

1 3

Integral

72

3

0

11

= 3

10

126

75

L = ∫ (x2 + 1) dx

= 3 – (– 3 )

=7

1

2

= (4 – 3 ) – (–4 + 3 ) 11

125

4. Jawaban: c Daerah yang diarsir dibatasi parabola y = x2 + 1 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Luas daerah yang diarsir:

−1

1

3

= – 3 + 2 + 60 = –42 + 36 + 60 = 54 Jadi, luas yang diarsir adalah 54 satuan luas.

1

=

1

= – 3 – 3 + 2 – 2 + 50 + 10

Luas daerah yang diarsir: L =

75

= (– 3 + 2 + 50) – ( 3 + 2 – 10)

X

2

1 3

satuan luas.

=43

2

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 4 3 satuan luas.

5. Jawaban: c Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (3 – x) 2 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 3. Luas daerah yang diarsir:

Y

y = (3 – x)2

9

3

L = ∫ (3 – x)2 dx

0

0

3

X

3

= ∫ (9 – 6x + x2) dx

7. Jawaban: c y = x2 y = 2x –––––– – 0 = x2 – 2x ⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 Diperoleh batas integrasi x = 0 dan x = 2. Luas daerah yang diarsir: 2

L = ∫ (2x – x2) dx

0

0

3

1 = ⎡9x − 3x 2 + 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦0

⎡

= (27 – 27 + 9) – 0 =9 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 9 satuan luas. 6. Jawaban: d Perpotongan kedua kurva: ⇒

x+

⇔

)2

( x

1

= (22 – 3 (2)3) – 0 8

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 3 satuan luas. 8. Jawaban: b

x –6 =0

+

4

=4– 3 = 3 4

x ke persamaan x + y – 6 = 0.

Substitusikan y =

2

1

= ⎢⎣ x2 – 3 x3 ⎤⎥ ⎦0

Y 4

x –6 =0

⇔ ( x + 3)( x – 2) = 0 ⇔

x = –3 atau

2

x =2

⇔ (tidak ada)

x =4

0

2

y = 4 – x2

Y

X y = –x + 2

Luas daerah yang diarsir: x+y–6=0

2

y=

L = ∫ ((4 – x2) – (–x + 2)) dx

x

0 2

I 0

= ∫ (2 – x2 + x) dx

II 6

4

0

X

2

Daerah I dibatasi oleh kurva y = pada interval 0 ≤ x ≤ 4.

x dan sumbu X

4

Luas daerah I: LI = ∫

x dx

0

Daerah II dibatasi oleh garis y = 6 – x dan sumbu X pada interval 4 ≤ x ≤ 6. 6

Luas daerah II: LII = ∫ (6 – x) dx 4

Luas daerah yang diarsir: 4

6

L = LI + LII = ∫

x dx + ∫ (6 – x) dx

0 4

= ∫

0

4 6

x dx – ∫ (x – 6) dx 4

1 1 = ⎡2x − 3 x 3 + 2 x 2 ⎤ ⎣ ⎦0

1

1

= (2(2) – 3 (2)3 + 2 (2)2) – 0 8

10

=4– 3 +2= 3 Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva-kurva 10

tersebut adalah 3 satuan luas. 9. Jawaban: c Parabola y2 = 4x untuk y > 0 dapat dituliskan menjadi y = 2 x . Pada interval 0 < x < 2 daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = 2 x dan sumbu X, luasnya L1 = 2

∫ 2 x dx.

0


11

Pada interval 2 < x < 4 daerah yang diarsir dibatasi


oleh kurva y = 2 x dan garis y = 2x – 4, luasnya

L = LI + LII = 2 + 1 6 = 3 6

4

∫ ( 2 x – (2x – 4)) dx.

L2 =

1

1 1

Jadi, luas daerah tersebut 3 6 satuan luas.

2

Luas daerah yang diarsir: L = L1 + L2 = = =

2

4

0

2

2

4

4

0

2

2

4

4

0

2

∫ 2 x dx + ∫ ( 2 x – (2x – 4)) dx

1. a.

Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua bagian. 1

Daerah I dibatasi parabola y = 2 x2 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Daerah II dibatasi garis y = 4 – x dan sumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4. Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII

∫ 2 x dx + ∫ 2 x dx – ∫ (2x – 4) dx ∫ 2 x dx – ∫ (2x – 4) dx

10. Jawaban: e

2

y2 = x2 – 6x + 8

0

y1 = x – 2

= II

2

4

5

4

2

2

1 1

Jadi, luas daerah yang diarsir 3 3 satuan luas. b.

LI = ∫ y1 dx = ∫ (x – 2) dx 4

Daerah yang diarsir dibatasi parabola y = 8 – 2x2 dan garis y = 2 – x pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Luas daerah yang diarsir: 2

1 = ⎡ x 2 − 2x ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 = (8 – 8) – (2 – 4) = 0 – (–2) = 2 satuan luas

L = ∫ ((8 – 2x2) – (–x + 2)) dx 0 2

= ∫ (6 – 2x2 + x) dx 0

Daerah II pada interval 4 ≤ x ≤ 5 dan dibatasi oleh garis y1 = x – 2 dan parabola y2 = x2 – 6x + 8. Luas daerah II:

2

2 1 = ⎡6x − 3 x 3 + 2 x 2 ⎤ ⎣ ⎦0

16

LII = ∫ (y1 – y2) dx

2

Jadi, luas daerah yang diarsir 8 3 satuan luas.

4

5

= ∫ ((x – 2) – (x2 – 6x + 8)) dx

2. a.

4

Daerah D dibatasi garis y = 2x, y = 3 – x, dan sumbu X.

5

Y

= ∫ (7x – x2 – 10) dx

y = 2x

4

5

7 1 = ⎡ x 2 − x 3 − 10x ⎤ 3 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 4

=

1

–

125 3

– 50) – (56 – 1

1

3 2

64 3

– 40)

= –4 6 – (–5 3 ) = 1 6 satuan luas 12

Integral

2

= 12 – 3 + 2 – 0 = 8 3

5

175 ( 2

4

1 ⎡ + ⎢ 4x – 2 x2 ⎤⎥ ⎣ ⎦2

= 3 +2=33

Daerah I pada interval 2 ≤ x ≤ 4 dan dibatasi oleh garis y1 = x – 2 dan sumbu X. Luas daerah I: 4

⎡ 1 3 ⎤2 ⎢⎣ 6 x ⎥ ⎦0

= ( 6 – 0) + (16 – 8) – (8 – 2)

X 4

2

8

I 0

4

1

= ∫ 2 x2 dx + ∫ (4 – x) dx

Y

0

1

3

X y=3–x

b. b.

Luas daerah D: 1

3

0

1

1

LI = ∫ (y1 – y2) dx

L = ∫ 2x dx + ∫ (3 – x) dx 1

0

1

3

1 ⎡ ⎡ = ⎢ x2 ⎤⎥ + ⎢ 3x – 2 x2 ⎤⎥ ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦1 9

= ∫ ((–x + 2) – x2) dx 0

1

1

= (1 – 0) + (9 – 2 ) – (3 – 2 ) 1

Luas daerah D

= ∫ (–x + 2 – x2) dx 0

1

=1+42 –22 =3

1

Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas. 3. Daerah D dibatasi parabola y = –x2 + x + 6 dan garis y = 2x + 4. y = 2x + 4 y = –x2 + x + 6 ––––––––––––– – 0 = x2 + x – 2 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1 Diperoleh batas pengintegralan –2 ≤ x ≤ 1. Luas daerah yang diarsir:

1 2 1 3 = ⎡⎣ − 2 x + 2x − 3 x ⎤⎦ 0

1

1

= (– 2 + 2 – 3 ) 3

12

2

=–6 + 6 – 6 7

= 6

2

LII = ∫ (y2 – y1) dx 1

2

= ∫ (x2 – (–x + 2)) dx

1

L = ∫ ((–x2 + x + 6) – (2x + 4)) dx

1

−2

2

= ∫ (x2 + x – 2) dx

1

= ∫ (–x2 – x + 2) dx

1

−2

=

2

⎡ 1 3 ⎢⎣ – 3 x

=

1 (– 3

=

1 (1 6

– )–

1 2 x 2

– 1 2

+ 2x ⎤⎥ ⎦ −2

+ 2) –

1 (–3 3

1 3 1 2 = ⎡⎣ 3 x + 2 x − 2x ⎤⎦ 1

1

)=

8 (3

8

– 2 – 4)

8

satuan luas.

8

1

1

8

1

1

2

3

11

= 6 Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII

2

0

1

= 6 – 6 – 6

3

–1

1

= 3 – 3 – 2 –2+2

16

4

–2

1

= 3 – 3 – 2

y2 = x2

Y

1

1

= ( 3 – 2) – ( 3 + 2 – 2)

1 42

1 Jadi, luas daerah yang diarsir 4 2

4. a.

4

= ( 3 + 2 – 4) – ( 3 + 2 – 2)

II

I 1

2 x=2

X

y1 = –x + 2

7

11

= 6 + 6 18

= 6 =3 Jadi, luas daerah D adalah 3 satuan luas.


13

5. a.

Titik potong antara kedua kurva (x + 2)2 = 10 – x2 2 ⇔ x + 4x + 4 = 10 – x2 ⇔ 2x2 + 4x – 6 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x – 1) (x + 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = –3 Y

y = (x +

b.

Luas daerah D 1

L = ∫ ((10 – x2) – (x + 2)2) dx −3 1

= ∫ ((10 – x2) – (x2 + 4x + 4)) dx −3 1

2)2

= ∫ (6 – 2x2 – 4x) dx −3

1

2 = ⎡6x − 3 x 3 − 2x 2 ⎤ ⎣ ⎦ −3

D –3

1

2

X y = 10 – x2

54

= (6 – 3 – 2) – (–18 – (– 3 ) – 18) 1

1

= (3 3 ) – (–18) = 21 3

1

Jadi, luas daerah D adalah 21 3 satuan luas.

5. Jawaban: c


∫

1. Jawaban: d 1 1+ 2

∫ x x dx = ∫ x

3x 4 x

dx = ∫ 3x3 x 7

dx

= 3 ∫ x 2 dx

3

= ∫ x 2 dx

2

5

2

= 5 x2 + c

2

= 3 x4 x + c

2

= 5 x2 x + c

6. Jawaban: c f′(x) = 4x – 3 f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (4x – 3) dx = 2x2 – 3x + c f(–1) = 9 ⇔ 2(–1)2 – 3(–1) + c = 9 ⇔ 2+3+c=9 ⇔ c=4 Jadi, f(x) = 2x2 – 3x + 4.

2. Jawaban: a 2

∫ (2x + 3) dx = 1 + 1 x1 + 1 + 3x + c 2

= 2 x2 + 3x + c = x2 + 3x + c 3. Jawaban: a ∫ x(2 + 3x) dx = ∫ (2x + 3x2) dx 1

1

= 2 × 2 x2 + 3 × 3 x3 + c = x2 + x3 + c

= =

x3

14

+

4x2

Integral

+

8 x1 + 1 1+ 1

– 3x + c

–

3 x0 + 1 0 +1

7. Jawaban: a f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (x2 + 3x – 1) dx

4. Jawaban: b ∫ (x + 3)(3x – 1) dx = ∫ (3x2 + 8x – 3) dx = 3 ∫ x2 dx + 8 ∫ x1 dx – 3 ∫ x0 dx 3 x2 + 1 2 +1

9

= 3 × 9 x2 + c

=

1 3 x 3

f(1) =

1 3

1 3

+

+c ⇔

+

3 2 x 2

× 13 + 3 2

3 2

–x+c × 12 – 1 + c =

–1+c=

5 6

5 6

⇔

5 6

+c=

Jadi, f(x) =

5 6

12. Jawaban: d

⇔c=0

1 3 x 3

+

3 2 x 2

3

∫

– x.

1

8. Jawaban: b dy dx

a x3

dx = 4 3

⇔

∫ ax–3 dx = 4 1

= 3x2 + 4x – 5

Persamaan kurva: y = ∫ (3x2 + 4x – 5) dx = x3 + 2x2 – 5x + c Kurva melalui titik (1, 2). (1, 2) ⇒ 2 = 1 + 2 – 5 + c ⇔ c=4 Persamaan kurva: y = x3 + 2x2 – 5x + 4 9. Jawaban: d MC = 8x – 5 TC = ∫ MC dx = ∫ (8x – 5) dx = 4x2 – 5x + c TC(5) = 80 ⇔ 4(52) – 5(5) + c = 80 ⇔ 100 – 25 + c = 80 ⇔ 75 + c = 80 ⇔ c=5 Jadi, TC = 4x2 – 5x + 5. 2

0

0

a

1

1

⇔ –2( 2 – 2 )=4 3 1 a

1

⇔

– 2 ( 9 – 1) = 4

⇔

– 2 (– 9 ) = 4

⇔

4a 9

⇔ ⇔

4a = 36 a=9

a

8

=4

13. Jawaban: b 3

∫ f(x) dx = 3

−1

10. Jawaban: d 2

3

⎡ a x −2 ⎤ = 4 ⎣ −2 ⎦1

⇔

3

3

−1

−1

∫ 2g(x) dx = –4 ⇔ 2 ∫ g(x) dx = –4

∫ 2x(8 – x2) dx = ∫ (16x – 2x3) dx

3

⇔ 2

16 2 2 4 = ⎡⎢ x − x ⎤⎥ 4 ⎣2 ⎦0 2

1 = ⎡⎢8x 2 − x 4 ⎤⎥ 2 ⎣ ⎦0

= (32 – 8) – 0 = 24 11. Jawaban: d 3

3

2 ∫ (2x – 1) dx = ⎡⎣ x − x ⎤⎦b b

= (32 – 3) – (b2 – b) = 6 – b2 + b

3

∫ (2x – 1) dx = 6

b

⇔ 6– +b=6 ⇔ b2 – b = 0 ⇔ b (b – 1) = 0 ⇔ b = 0 atau b = 1 Jadi, salah satu nilai b yang memenuhi adalah 1. b2

∫ g(x) dx = –2

−1

3

∫ (2f(x) – g(x)) dx

−1

3

3

−1

−1

= 2 ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx = 2(3) – (–2) =8 14. Jawaban: b b

∫ (3x – 2)2 dx = 8

a c

b

∫ (3x – 2)2 dx = – ∫ (3x – 2)2 dx = –5

b c

c

b

c

a

b

∫ (3x – 2)2 dx = ∫ (3x – 2)2 dx + ∫ (3x – 2)2 dx

a

= 8 + (–5) = 3 15. Jawaban: e Misalkan u = 2x + 5 du dx

=2⇔

1 du 2

= dx


15

∫

6 (2x + 5)2

dx = ∫

6 u2

1

× 2 du = 3∫ u–2 du 1 –1 u −1

=3× =

3 –u

4x

∫

1 − 2x 2

1

dx = – ∫ (1 – 2x2)– 2 (–4x dx)

+c

1

+c

2

= –2 u + c

3

16. Jawaban: c Misalkan u = 3x2 – 1

= –2 1 − 2x 2 + c 19. Jawaban: c Misalkan u = x2 – 3x + 8

= 6x ⇔ du = 6x dx

du dx

∫ 3x(3x2 – 1)2 dx = ∫ (3x2 – 1)2 3x dx =∫ =

1 u2(

du)

2

1 2

∫

4x − 6 x 2 − 3x + 8

∫ u2 du

1

=

du dx

du

⇔ (x – 1) dx = −2 ∫

x −1 (1 + 2x − x 2 )3

dx

= ∫ (1 + 2x – x2)–3 × (x – 1) dx = ∫ u–3 ×

du −2

1

1

+c

18. Jawaban: b Misalkan u = 1 – 2x2

16

= –4x ⇔ du = –4x dx

Integral

−

1 2

1 2

− +1

1 +1

u

+c

1

=4 u +c = 4 x 2 − 3x + 8 + c 20. Jawaban: d Misalkan u = x2 – 2 du dx

= 2x ⇔ du = 2x dx

2

2

0

0 2

∫ 4x(x2 – 2)4 dx = ∫ (x2 – 2)4 4x dx =

∫ u4(2 du)

0

2

= 2 ⎡ 5 u5 ⎤ ⎣ ⎦0 1

= 4 (1 + 2x – x2)–2 + c

du dx

× 2 du

0

= – 2 × −2 u–2 + c

1 4(1 + 2x − x 2 )2

1 2

2

1

=

−

= 2 ∫ u4 du

= −2 ∫ u–3 du 1

1

= 2 × 2 u2 + c

(3x2 – 1)3 + c

= 2 – 2x = –2(x – 1)

−

dx = ∫ (x2 – 3x + 8) 2 × 2(2x – 3) dx

=2×

1

17. Jawaban: d Misalkan u = 1 + 2x – x2

= 2x – 3 ⇔ du = (2x – 3) dx

= ∫u

= 2 × 3 u3 + c 1 6

du

1 2

=–1u +c

= – 2x + 5 + c

du dx

1

–2

=–∫u

2

2 = 5 ⎡(x 2 − 2)5 ⎤ ⎣ ⎦0 2

= 5 (25 – (–2)5) 2

= 5 (32 – (–32)) 2

= 5 (64) 128

= 5

21. Jawaban: c

24. Jawaban: c

1

∫ 3x 3x 2 + 1 dx =

1 ∫ 2 0

=

1 ∫ 2 0

=

1 2

0

Y

1

1

3x + 1 × 6x dx

8

1 2

5

2

( 3x

2

+ 1) d

(3x2

+ 1)

1

3 ⎡2 ⎤ 2 2 (3x + 1) ⎢3 ⎥ ⎣ ⎦0

3

1

X 1 2 3 4 5 y = –x2 + 4x + 5

–1 0 3

= 3 ( (3 + 1) 2 − (0 + 1) 2 ) 1

Luas daerah yang diarsir: 4

L

∫ y dx

=

1 4

= 3 (8 – 1)

∫ (–x2 + 4x + 5) dx

=

7

= 3

1

4

1 3 2 = ⎡⎣ − 3 x + 2x + 5x ⎤⎦ 1

22. Jawaban: c Misalkan u = 4x ⇒ du = 4 dx dv = (x – 2)3 dx ⇒ v = ∫ (x – 2)3 dx = ∫ (x – 2)3 d(x – 2)

64

1

= (– 3 + 32 + 20) – (– 3 + 2 + 5) 64

1

= (– 3 + 52) – (– 3 + 7) −64

1

= 3

+ 3 + 52 – 7

−63

1

= 4 (x – 2)4 ∫ u dv = uv – ∫ v du ∫ 4x(x – 2)3 dx

= 3 + 45 = –21 + 45 = 24 Jadi, luas daerah yang diarsir 24 satuan luas.

1

1

= (4x) × 4 (x – 2)4 – ∫ 4 (x – 2)4 (4 dx)

25. Jawaban: c 3

Y

L = ∫ (−x 2 + 4x) dx

= x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2)

y = –x2 + 4x

1

1

= x(x – 2)4 – 5 (x – 2)5 + c

3

= ⎡ − 1 x 3 + 2x 2 ⎤ ⎣⎢ 3 ⎦⎥1

1

= 5 (x – 2)4 (5x – (x – 2)) + c

1

= (–9 + 18) – (– 3 + 2)

1

= 5 (4x + 2)(x – 2)4 + c

1

= 7 3 satuan luas

23. Jawaban: d Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola y = (2 – x)2 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Luas daerah yang diarsir: 2

L = ∫ (2 – x)2 dx 0 2

0

1

2

3

4

X

26. Jawaban: a Tentukan titik potong antara kedua kurva y = x2 x2 = x 2 y=x ⇔ x –x=0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 1 1

L = ∫ (x – x2) dx

= ∫ (4 – 4x + x2) dx 0

0

1

1 ⎡1 ⎤ = ⎢ x2 − x3 ⎥ 3 ⎣2 ⎦0

2

= ⎡4x − 2x 2 + 31 x 3 ⎤ ⎣ ⎦0 8

8

= (8 – 8 + 3 ) – 0 = 3

1

8

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 3 satuan luas.

1

1

=(2 – 3) – 0 = 6 Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 1 6

satuan luas. Matematika Kelas XII Program IPS

17

27. Jawaban: e y=2 ⇒ x2 – 4x – 3 = 2 ⇔ x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 5) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 5 Parabola dan garis berpotongan di titik (–1, 0) dan (5, 0). Y

y = x2 – 4x – 3 2

1

2

= ∫ (x2 + x – 2) dx 1

2

1 1 = ⎡ 3 x 3 + 2 x 2 − 2x ⎤ ⎣ ⎦1

8

X

5

2

LII = ∫ (x2 – (2 – x)) dx

1

1

= ( 3 + 2 – 4) – ( 3 + 2 – 2)

y=2

–1 0

Luas daerah pada interval 1 ≤ x ≤ 2

2

7

= 3 – (– 6 ) 11

= 6 satuan luas Luas daerah yang diarsir: L = LI + LII


7

5

L = ∫ (2 – (x2 – 4x – 3)) dx −1 5

18

= 6 =3 Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 3 satuan luas.

= ∫ (–x2 + 4x + 5) dx −1

5

= – ∫ (x2 – 4x – 5) dx −1

=

11

= 6 + 6

⎡ 1 – ⎢ 3 x3 ⎣

5

– 2x2 – 5x ⎤⎥ ⎦ −1

125

1

= –(( 3 – 50 – 25) – (– 3 – 2 + 5)) 1

2

= –(–33 3 – 2 3 ) = 36 Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 36 satuan luas. 28. Jawaban: e Luas daerah pada interval 0 ≤ x ≤ 1

29. Jawaban: c Menentukan titik potong antara kedua kurva y = x2 – x – 2 y=x+1 ––––––––––––––––– – 0 = x2 – 2x – 3 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 3 Y

y1 = x + 1

y2 = x2 – x – 2

1

LI = ∫ ((2 – x) – x2) dx

1

0

–1 0

1

= ∫ (2 – x – x2) dx

X 2 3

–2

0

1

1 1 = ⎡2x − 2 x 2 − 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦0

= (2(1) – 1

1 2

(1)2

–

1

=2– 2 – 3 =

18

7 6

satuan luas

Integral

1 3

(1)3)

Luas daerah yang diarsir: –0

3

3

0 3

0

L = ∫ (y1 – y2) dx = ∫ ((x + 1) – (x2 – x – 2)) dx = ∫ (2x – x2 + 3) dx 0

3

1 = ⎡ x 2 − 3 x 3 + 3x ⎤ ⎣ ⎦0 = (9 – 9 + 9) – 0 = 9 Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 9 satuan luas.

30. Jawaban: c Titik potong kedua kurva: y1 = y2 ⇔ 6x – x2 = x2 – 2x ⇔ 2x2 – 8x = 0 ⇔ 2x(x – 4) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 4 Y

b.

2

∫ (12 – 14x + x2) dx 1

⎡

2

1

= ⎢ 12x – 7x2 + 3 x3 ⎤⎥ ⎣ ⎦1 8

1

= (24 – 28 + 3 ) – (12 – 7 + 3 )

y = x2 – 2x

2

= –6 3

0

2

4

3. a.

6 4 X y = 6x – x2

4

4

−1

−1

∫ y dx = ∫ (2x + 1) dx 4

= ⎡⎢⎣x2 + x ⎤⎦ −1

Luas = ∫ ((6x – x2) – (x2 – 2x)) dx 0 4

= (16 + 4) – (1 + (–1)) = 20

= ∫ (8x – 2x2) dx 0

4

2 = ⎡4x 2 − 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦0

= 4(4)2 –

b.

2 3

64

(4)3 – 0 = 3 Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva adalah 64 3

2

∫ (y2 – y) dx

0

2

= ∫ ((2x + 1)2 – (2x + 1)) dx 0

satuan luas.

2

= ∫ (4x2 + 4x + 1 – 2x – 1) dx 0

B. Kerjakan soal-soal berikut.

2

1. a.

= = b.

= ∫ (4x2 + 2x) dx

∫ (2x + 3)(3x – 2) dx = ∫ (6x2 + 5x – 6) dx 1 6 × 3 x3 + 5 2x3 + 2 x2

5×

1 2 x 2

0

– 6x + c

– 6x + c

2

= 14 3

= ∫ (9 – 12x + 4x) dx 3 2

x +4×

1 2 x 2

+c

= 9x – 8x x + 2x2 + c 2. a.

1

∫

0

3x − 2x 2 x

2

+ x2 ⎤⎥ ⎦0

32

1 2

= 9x – 12 ×

⎡4 3 ⎢⎣ 3 x

= ( 3 + 4) – 0

∫ (3 – 2 x )2 dx

2 3

=

1

dx = ∫ (3 – 2x) dx 0

1

= ⎡ 3x − x 2 ⎤ ⎣ ⎦0 = (3 – 1) – (0 – 0) =2

4. Diketahui f′(x) = mx – 4 dengan f′(1) = 2 dan f(–1) = 3. a. Tentukan rumus fungsi f(x). b. Tentukan hasil ∫ f(x) dx. Jawaban: a. f′(x) = mx – 4 f′(1) = 2 ⇒ m – 4 = 2 ⇔ m=6 Diperoleh f′(x) = 6x – 4 f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (6x – 4) dx = 3x2 – 4x + c f(–1) = 3 ⇒ 3(–1)2 – 4(–1) + c = 3 ⇔ 3+4+c=3 ⇔ c = –4 Jadi, f(x) = 3x2 – 4x – 4.


19

∫ f(x) dx = ∫ (3x2 – 4x – 4) dx = x3 – 2x2 – 4x + c

b.

x2

5. Misalkan u = du dx

∫ 4x(x – 3)4 dx

2

–x+8

= 2x – 1 ⇔ du = (2x – 1) dx

4

1 1 = ⎡ 4x( 4 (x − 3)4 ) − 4( 20 (x − 3)5 )⎤ ⎣ ⎦2 4

∫ (6x – 3) x 2 − x + 8 dx

1 = ⎡ x(x − 3)4 − 5 (x − 3)5 ⎤ ⎣ ⎦2

= 3 ∫ x 2 − x + 8 (2x – 1)dx =3∫

4

u du

4

1 = ⎡(x − 3)4 (x − 5 (x − 3))⎤ ⎣ ⎦2 4

1 = ⎡(x − 3)4 5 (5x − x + 3)⎤ ⎣ ⎦2

1 2

= 3 ∫ u du

4

3

= 3 × 3 u2 + c

1 = ⎡(x − 3)4 5 (4x + 3)⎤ ⎣ ⎦2

= 2 u3 + c

= (1)4 5 (16 + 3) – (–1)4 5 (8 + 3)

= 2u u + c

= 5 – 5

2

1

= 2(x2 – x + 8) x 2 − x + 8 + c 6. Misalkanu = du dx

x2

– 4x + 2

x=0 → u=0–0+2=2 x = 1 → u = 1 – 4 + 2 = –1

11

8

3

= 5 =15 Jadi, 8. a.

1

8x − 16 2 (x − 4x + 2)2 0

19

4

= 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx

∫

1

dx

3

∫ 4x(x – 3)3 dx = 1 5 .

2

Titik potong kurva dengan sumbu X x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3

1

3

= ∫ (x2 – 4x + 2)–2 × 4(2x – 4) dx

L = – ∫ (x2 – 4x + 3) dx

0

1

−1

1 3 2 = – ⎡⎣ 3 x − 2x + 3x ⎤⎦

= 4 ∫ u–2 du 2

−1

= –((9 – 18 + 9) –

1 = 4 ⎡⎢ u−1 ⎤⎥ ⎣ −1 ⎦ 2

1

1 = –4 ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ u ⎦2

1

b.

3 (– 2 )

=6 4

1

L = ∫ (8 – 2x2) dx

2

Turunan 4x ⎯⎯ ⎯⎯+ ⎯⎯ ⎯→ 4 ⎯⎯ ⎯⎯– ⎯⎯ ⎯→ 0

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 1 3 satuan luas. Titik potong kurva dengan sumbu X 8 – 2x2 = 0 ⇔ 2x2 = 8 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 atau x = –2 2

∫ 4x(x – 3)3 dx

7.

– 2 + 3))

1

= –4( −1 – 2 ) = –4 ×

1

1 (3

= –(0 – 1 3 ) = 1 3

−1

1

3

Integral (x – 3)3 1 4

(x – 3)4

1 20

(x – 3)5

−2

2

2 = ⎡8x − 3 x 3 ⎤ ⎣ ⎦ −2

16

16

= (16 – 3 ) – (–16 – (– 3 )) 2

2

1

= 10 3 – (–10 3 ) = 21 3

1

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 21 3 satuan luas. 20

Integral

9.

b.

Y

Luas daerah D 4

L = ∫ (y1 – y2) dx −1

II –3

0

4

= ∫ ((–x2 + 3x + 4) – (x2 – 3x – 4)) dx

X

3

−1

I

4

= ∫ (–2x2 + 6x + 8) dx −1

4

2 3 2 = ⎡⎣ − 3 x + 3x + 8x ⎤⎦ −1

0

LI = ∫ x3 dx

128

0

128

⎡1 ⎤ = ⎢ x4 ⎥ ⎣ 4 ⎦ −3

=

81 4

130

= – 3 + 85 130

=– 3

satuan luas

LII simetris dengan LI ⇒ LII = Jadi, L = LI + LII =

2

= (– 3 + 80) – ( 3 – 5)

81 ) 4

= –(0 –

2

= (– 3 + 48 + 32) – ( 3 + 3 – 8)

−3

81 4

+

81 4

=

81 4 162 4

255

+ 3

125

satuan luas =

1 40 2

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva tersebut

= 3

2

= 41 3

2

Jadi, luas daerah D adalah 41 3 satuan luas.

1

adalah 40 2 satuan luas. 10. a.

Daerah D Y

4 y2 = x2 – 3x – 4 –1 0

4

X y1 = –x2 + 3x + 4

–4


21

Program Linear

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

• • •

Pertidaksamaan linear dua variabel (PLDV). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

• • • • • • • • •

22

Program Linear

Nilai Optimum Fungsi Objektif

• • •

Model matematika. Metode uji titik pojok. Metode garis selidik.

Bersikap kreatif dalam menyelesaikan permasalahan program linear. Mampu menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Mampu menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari suatu daerah penyelesaian. Mampu menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode uji titik pojok. Mampu menentukan nilai optimum fungsi objektif menggunakan metode garis selidik. Mampu menyelesaikan model matematika. Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika. Mampu merancang dan menyelesaikan model matematika masalah program linear.

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: b Garis 3x – 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Uji titik (0, 0) ke 3x – 5y ≤ 15. 3 × 0 – 5 × 0 ≤ 15 (bernilai benar) Daerah penyelesaian 3x – 5y ≤ 15 dibatasi garis 3x – 5y = 15 dan memuat titik (0, 0). Jadi, grafik daerah himpunan penyelesaiannya seperti grafik di bawah ini. Y 0

5

4. Jawaban: a 21

Garis –3x + 2y = 21 melalui titik (0, 2 ) dan titik (–7, 0). Daerah penyelesaian –3x + 2y ≤ 21 di kanan dan pada garis –3x + 2y = 21. Garis –2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan titik (–6, 0). Daerah penyelesaian –2x + 3y ≥ 12 di kiri dan pada garis –2x + 3y = 12. Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y. Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

X 21 2

–3

2. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik (0, 1): y−0 1− 0

⇔

=

x+2 0+2 y x+2 = 2 1

⇔ 2y = x + 2 ⇔ 2y – x = 2 Titik (–1, 0) pada daerah penyelesaian. Uji titik (–1, 0) ke 2y – x. 2y – x = 0 – (–1) = 1 < 2 Jadi, pertidaksamaannya 2y – x < 2. 3. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. 1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (6, 0) adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12. Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian. Uji titik (1, 1) ke 2x + 3y. 2x + 3y = 2 × 1 + 3 × 1 = 5 < 12 Jadi, PtLDV-nya 2x + 3y ≤ 12 2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan titik (–2, 0) adalah 3x – 2y = –6 ⇔ –3x + 2y = 6. Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian. Uji titik (1, 1) ke –3x + 2y. –3x + 2y = –6 ⇔ –3 × 1 + 2 × 1 = –1 ≤ 6 Jadi, PtLDV-nya –3x + 2y ≤ 6. 3) Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y, maka x ≥ 0. 4) Daerah penyelesaian di atas dan pada sumbu X, maka y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaannya: x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 12; –3x + 2y ≤ 6

4

–7 –6

0

Y –3x + 2y = 21

–2x + 3y = 12

X

5. Jawaban: d 1) Garis x + y = 3 melalui titik (3, 0) dan titik (0, 3). Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 dibatasi garis x + y = 3 dan tidak memuat (0, 0). 2) Garis y – x = 0 melalui titik (0, 0) dan titik (5, 5). Daerah penyelesaian y – x ≥ 0 dibatasi garis y – x = 0 dan memuat titik (0, 3) 3) Garis 5y – x = 20 melalui titik (0, 4) dan titik (5, 5). Daerah penyelesaian 5y – x ≤ 20 dibatasi garis 5y – x = 20 dan memuat titik (0, 0). 4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 merupakan daerah di kanan dan pada sumbu Y. Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan keempat daerah tersebut yaitu daerah IV. 6. Jawaban: b 1) Daerah penyelesaian y ≤ 2x di kanan dan pada garis y = 2x. 2) Daerah penyelesaian 3y ≥ 2x di kiri dan pada garis 3y = 2x. 3) Daerah penyelesaian 2y + x ≤ 20 di kiri dan pada garis 2y + x = 20. 4) Daerah penyelesaian x + y ≥ 3 di kanan dan pada garis x + y = 3.


23

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan: Y

y = 2x

24

21

Diperoleh koordinat titik B ( 13 , 13 ). 24

Tinggi segitiga = xB = 13

3y = 2x

10

1

L = 2 ×a×t 1

= 2 × AC × xB

2y + x = 20

3 0

3

20

x+y=3

1

24

= 2 × 2 × 13

X

Dari gambar terlihat daerah penyelesaian berbentuk segi empat. 7. Jawaban: b 1) Garis x – 3y = –3 melalui titik (–3, 0) dan titik (0, –1). Uji titik (0, 0) ke x – 3y ≤ –3: 0 – 3 × 0 ≤ –3 (bernilai salah) Daerah penyelesaian x – 3y ≤ –3 dibatasi garis x – 3y = –3 dan tidak memuat titik (0, 0). 2) Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan titik (0, 3). Uji titik (0, 0) ke 3x + 4y ≤ 12: 3 × 0 + 4 × 0 ≤ 12 (bernilai benar) Daerah penyelesaian 3x + 4y ≤ 12 dibatasi garis 3x + 4y = 12 dan memuat titik (0, 0). 3) Daerah penyelesaian yang memenuhi x ≥ 0 di kanan dan pada sumbu Y. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

24

11

= 13 = 1 13

11

Jadi, luas daerah yang diarsir 1 13 satuan. 8. Jawaban: e a. 5 4 A

y=3

1 –3

2

C

–3 –2 –1 0 –1 y = –2

B

B A

3

4

5

6

–2

7

8

X

C

x = –2

1

Luas ABCD = 2 × AB(AD + BC) 1

x+y=2

–3

1

x – y = –2

3

5x – 2y = 10

2 A D

–2 –1 0 –1

1

2

3

X

–2 –3 –4 –5

C

–6

ABCD berbentuk layang-layang. 1

Luas ABCD = 2 × AC × BD 1

21

= 2 × 7 × 4 = 14 satuan

21

21

x – 3y = –3 ⇔ x – 3 × 13 = –3 63

x – 13 = –3 39

Y

B

y = 13

63

4

1

X 4 3x + 4y = 12

Substitusikan y = 13 ke x – 3y = –3.

Program Linear

2

ABCD berbentuk trapesium.

5x + 2y = –10

⇔

24

1

–3

b.

x – 3y = –3

Daerah yang diarsir berbentuk segitiga. Panjang alas = AC = 3 – 1 = 2 Menentukan koordinat titik B. Garis x – 3y = –3 dan 3x + 4y = 12 berpotongan di titik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. 3x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12 x – 3y = –3 × 3 3x – 9y = –9 ––––––––––– – 13y = 21

⇔

x+y=5

1

= 2 × 5(4 + 9) = 32 2 satuan

0

⇔

D

3

Y 3

Y

24

x = 13 – 13 = 13

c.

9. Jawaban: b 1) Pada pilihan a, d, dan e, titik (1, –2) dan (2, –1) tidak memenuhi pertidaksamaan y ≥ 0 karena –2 < 0 dan –1 < 0. 2)

Y 5

2x + 3y = 9

3x – 2y = –6

4

3x – 2y = 7

3 D 2

2x + 3y = –4

–3

–2

C

1

A

–1 0 –1

1

2

3

4

Y

X

5

5

B

–2

4

–3

3

–4

2

ABCD berbentuk persegi. Luas ABCD = AB × BC = 13 × 13 = 13 satuan d.

7 6

–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

Y

2 1 X 1

2

3

4

5

6

7

–2 B

C

–3

D

–4

x – y = –1

3x + 4y = –12

A

3

y = –3

X 3 3x + 5y = 15

2

–5

4

–3 –2 –1 0 –1

1

–4

3x + 2y = 12

5

–5 –4

5x – 3y = 15

1

Titik (1, 2), (1, –2), (2, 1), (2, –1) di dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan pilihan b. 3) Pada pilihan c, titik (1, –2) tidak memenuhi pertidaksamaan 5x – 3y ≥ 15 karena 5 × 1 – 3 × (–2) = 11 ≤ 15. Jadi, sistem pertidaksamaan yang benar pilihan b. 10. Jawaban: c a.

ABCD berbentuk segitiga. 1

Luas ABCD = 2 × BC × AD

Y

3x + 2y = –4

1

= 2 × 10 × 6 = 30 satuan e.

3x – 2y = –6

–2

4 3x + 2y = –6

y=1

1

Y 5

3x + 2y = 6

3

X

5 y = –2

–2

3x – 2y = 6

3 A

0

2

–3

–2

3x + 2y = 11

1

B

D –1 0 –1

1

2

3

Daerah penyelesaian berbentuk jajargenjang.

X

b.

Y

–2 –3 C

X –4

ABCD berbentuk belah ketupat.

=

× 6 × 4 = 12 satuan

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan yang memiliki luas 12 satuan adalah pilihan e.

0 –2

1

Luas ABCD = 2 × AC × BD 1 2

y=2

2

–4

x = –4

2 x + 3y = –4 2x – y = –2

Daerah penyelesaian berbentuk segi empat.


25

c.

⇔ 6(y – 4) = –4x ⇔ 6y – 24 = –4x ⇔ 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12 Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 2x + 3y = 12, maka pertidaksamaannya 2x + 3y ≤ 12.

Y

4

2x + 3y = –6

2x – 3y = –6

2 2x + 3y = 6

2x – 3y = –18 –6

–3

0

3)

X

Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan titik (2, 0): y − (−3) 0 − (−3)

Daerah penyelesaian berbentuk belah ketupat. d.

y–x=0

Y

⇔

X –2

0

5

2x – 5y = 20

–2 2x + 5y = 0

–4

x + y = –4

Daerah penyelesaian berbentuk layang-layang. Y

y=1

1 –5 –4

0

3

–2

3x – y = –13

X y = –2

B.

2. a.

1)

Garis x – y = –2 melalui titik (0, 2) dan titik (–2, 0). Daerah penyelesian x – y ≥ –2 dibatasi garis x – y = –2 dan memuat titik (0, 0).

2)

Garis 2x + 3y = 16 melalui titik (0, 3 ) dan titik (8, 0). Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 16 dibatasi garis 2x + 3y = 16 dan memuat titik (0, 0). Garis x – y = 3 melalui titik (0,–3) dan titik (3, 0). Daerah penyelesaian x – y ≤ 3 dibatasi garis x – y = 3 dan memuat titik (0, 0). Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (0, 2) dan titik (3, 0). Daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 6 dibatasi garis 2x + 3y = 6 dan tidak memuat titik (0, 0).

Uraian

1. 1)

Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan titik (–2, 0): y–3 0–3

⇔

2)

3)

x–0 −2 – 0

y−3 −3

x

= −2 ⇔ –2(y – 3) = –3x ⇔ –2y + 6 = –3x ⇔ 3x – 2y = –6 Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 3x – 2y = –6, maka pertidaksamaannya 3x – 2y ≥ –6. Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik (6, 0):

⇔ 26

=

y−4 0−4 y−4 −4

Program Linear

x−0

= 6−0 x

= 6

x

= 2 ⇔ 2(y + 3) = 3x ⇔ 2y + 6 = 3x ⇔ 3x – 2y = 6 Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 3x – 2y = 6, maka pertidaksamaannya 3x – 2y ≤ 6. 4) Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y maka x ≥ 0 dan di atas dan pada sumbu X maka y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah: 3x – 2y ≥ –6 2x + 3y ≤ 12 3x – 2y ≤ 6 y≥0 x≥0

x+y=1

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium. Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya berbentuk belah ketupat pilihan c.

x−0 2−0

e.

y+3 3

=

4)

16

Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 0 dibatasi garis x + 2y = 10 dan memuat titik (0, 0). 4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada sumbu Y dan daerah penyelesian y ≥ 0 di atas dan pada sumbu X. Daerah penyelesaian:

Daerah penyelesaian: Y 2x + 3y = 16

2x + 3y = 6

x – y = –2

16 3

Y 10 2x + y = 10

x–y=3 2

–2

3

X

8

6 5

–3

b.

x + 2y = 10 0

1)

Garis x + y = 2 melalui titik (2, 0) dan titik (0, 2). Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 dibatasi garis x + y = 2 dan tidak memuat titik (0, 0). Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan (0, 2). Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 dibatasi garis x – y = –2 dan memuat titik (0, 0). Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, 6). Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasi garis x + y = 6 dan memuat titik (0, 0). Garis x – 2y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, –3). Daerah penyelesaian x – 2y ≤ 6 dibatasi garis x – 2y = 6 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian:

b.

4

3. a.

1)

2)

3)

II

III

1

6 x+y=6

1

LI = LVI =

2

1 2

3

4

5

× 2 × 1 = 1 satuan

LII = LIII = LIV = 2 × 2 = 4 satuan 1

LV = 2 × 2 × 2 = 2 satuan Luas daerah himpunan penyelesaian. = LI + LII + LIII + LIV + LV + LVI = 3 LII + 2 LI + LV = 3 × 4 + 2 × 1 + 2 = 12 + 2 + 2 = 16 satuan Jadi, luas daerah penyelesaiannya 16 satuan luas. Y A

X

x+y=2

Garis 2x + y = 10 melalui titik (5, 0) dan titik (0, 10). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasi garis 2x + y = 10 dan memuat titik (0, 0). Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan titik (0, 6). Daerah penyelesaian x + y ≤ 6 dibatasi garis x + y = 6 dan memuat titik (0, 0). Garis x + 2y = 10 melalui titik (10, 0) dan titik (0, 5).

IV VI

4. 2

V

2

x – 2y = 6

–3

I

3

x – y = –2

2 –2

Daerah penyelesaian: 5

Y 6

X

5 6 10 x+y=6

4

D

B –4

X 0 –3

1)

2)

3 C

Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4) dan D(0, 4) adalah y = 4. Daerah penyelesaian di bawah dan pada garis y = 4 sehingga pertidaksamaannya y ≤ 4. Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 4) dan B(–4, 0) adalah x = –4. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis x = –4 sehingga pertidaksamaannya x ≥ –4. Matematika Kelas XII Program IPS

27

3)

Persamaan garis yang melalui titik B(–4, 0) dan titik C(3, –3): y − yB yC − yB y−0 −3 − 0 y −3

⇔ ⇔

4)

= = =

x − xB x C − xB x+4 3 − (−4) x+4 7

⇔ 7y = –3(x + 4) ⇔ 7y = –3x – 12 ⇔ 3x + 7y= –12 Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 3x + 7y = –12 maka pertidaksamaannya 3x + 7y ≥ –12. Persamaan garis yang melalui titik C(3, –3) dan titik D(0, 4): y − yD yC − yD y−4 −3 − 4 y−4 −7

⇔ ⇔

= = =

x − xD x C − xD x−0 3−0 x 3

⇔ 3y – 12 = –7x ⇔ 7x + 3y= 12 Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 7x + 3y = 12 maka pertidaksamaannya 7x + 3y ≤ 12. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y≤4 x ≥ –4 3x + 7y≥ –12 7x + 3y ≤ 12

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + 3y: Titik Pojok (2, (4, (6, (2, (0,

0) 1) 4) 5) 1)

f(x, y) = x + 3y 2+3×0= 2 4+3×1= 7 6 + 3 × 4 = 18 2 + 3 × 5 = 17 0+3×1= 3

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = x + 3y adalah 18. 2. Jawaban: a Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0) adalah 8x + 8y = 64 ⇔ x + y = 8 . . . (1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan titik (12, 0) adalah 4x + 12y = 48 ⇔ x + 3y = 12 . . . (2) Menentukan koordinat titik potong garis x + y = 8 dan x + 3y = 12. 28

Program Linear

5.

Y 3x + 5y = 19 5

A

5x – y = 13 D

2

B –4

–2

5x – 2y = –20

0

2

X

3

–2 –3

C

x + 2y = –4

Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah AC dan BD. Panjang AC =

(x C − x A )2 + (yC − y A )2

=

(2 + 2)2 + (−3 − 5)2

=

42 + (−8)2

=

16 + 64 =

Panjang BD = =

80 = 4 5

(xD − xB )2 + (yD − yB )2

(3 + 4)2 + (2 + 0)2

72 + 22 = 49 + 4 = 53 Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah 4 5 satuan dan =

53 satuan.

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2): x + 3y = 12 x + y= 8 ––––––––––– – 2y = 4 ⇔ y = 2 Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan x + y = 8 diperoleh: x+2=8 ⇔ x=6 Diperoleh koordinat titik potong kedua garis (6, 2). Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(12, 0), B(6, 2), dan C(0, 8). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y. Titik Pojok

f(x, y) = 3x + 4y

A(12, 0) B(6, 2) C(0, 8)

3 × 12 + 4 × 0 = 36 3 × 6 + 4 × 2 = 26 3 × 0 + 4 × 8 = 32

← Minimum

Jadi, nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 3x + 4y adalah 26.

3. Jawaban: d Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (–2, 0) adalah 4x – 2y = –8 ⇔ 2x – y = –4. Persamaan garis yang melalui titik (0, 2) dan (–3, 0) adalah 2x – 3y = –6. Persamaan garis yang melalui titik (0, 7) dan (7, 0) adalah 7x + 7y = 49 ⇔ x + y = 7. Garis 2x – 3y = –6 dan x + y = 7 berpotongan di titik C(3, 4). Garis 2x – y = –4 dan x + y = 7 berpotongan di titik D(1, 6). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y – x. Titik Pojok A(0, B(0, C(3, D(1,

4) 2) 4) 6)

f(x, y) = 3y – x 3 × 4 – 0 = 12 3×2–0=6 3×4–3=9 3 × 6 – 1 = 17

← Maksimum

Jadi, nilai maksimum fungsi obyektif f(x, y) = 3y –x adalah 17. 4. Jawaban: b Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan (3, 0) adalah –2x + 3y = –6. Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan (10, 0) adalah 5x + 10y = 50 ⇔ x + 2y = 10. Persamaan garis yang melalui titik (1, 0) dan sejajar sumbu Y adalah x = 1. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan sejajar sumbu X adalah y = 3. Menentukan koordinat titik C. Titik C merupakan titik potong antara garis –2x + 3y = –6 dan x + 2y = 10. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. –2x + 3y = –6 × 1 –2x + 3y = –6 x + 2y = 10 × 2 2x + 4y = 20 –––––––––––– + 7y = 14 ⇔ y=2 Substitusikan y = 2 ke persamaan garis x + 2y = 10. x + 2y = 10 ⇔ x + 2 × 2 = 10 ⇔ x + 4 = 10 ⇔ x=6 Diperoleh koordinat titik C (2, 6). Menentukan koordinat titik D. Titik D merupakan titik potong antara garis y = 3 dan x + 2y = 10. Substitusikan y = 3 ke persamaan garis x + 2y = 10. x + 2y = 10 ⇔ x + 2 × 3 = 10 ⇔ x + 6 = 10 ⇔ x=4

Diperoleh koordinat titik D (4, 3). Persamaan fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y. Titik-titik pojok daerah penyelesaian adalah A(1, 0), B(3, 0), C(6, 2), D(4, 3), dan E(1, 3). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 5y. Titik Pojok A(1, B(3, C(6, D(4, E(1,

f(x, y) = 5x + 5y 5×1+5×0=5 5 × 3 + 5 × 0 = 15 5 × 6 + 5 × 2 = 40 5 × 4 + 5 × 3 = 35 5 × 1 + 5 × 3 = 20

0) 0) 2) 3) 3)

← Minimum

Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum f(x, y) adalah 5. Jadi, persamaan garis selidik yang menyebabkan f(x, y) mencapai minimum adalah 5x + 5y = 5. 5. Jawaban: d Garis x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (8, 0). Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (6, 0). Garis x + y = 8 dan 2x + y = 12 berpotongan di titik B(4, 4). Uji (0, 0)

Penyelesaian

x + y ≥ 8 ⇒ 0 + 0 ≥ 8 Salah Tidak memuat titik (0, 0) 2x + y ≤ 12 ⇒ 0 + 0 ≤ 12 Benar Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian: Y 12 C 2x + y = 12 8

A

B(4, 4) x+y=8 6

0

8

X

Uji titik pojok ke fungsi objektif z = x – 2y: Titik Pojok

z = x – 2y

A(0, 8) B(4, 4) C(0, 12)

0 – 2 × 8 = –16 4 – 2 × 4 = –4 0 – 2 × 12 = –24

Nilai maksimum z = x – 2y adalah –4 dan nilai minimum –24. Dengan demikian, M = –4 dan m = –24. Jadi, nilai M – m = –4 – (–24) = 20. 6. Jawaban: b Garis 2x + y = 8 melalui titik (0, 8) dan titik (4, 0). Uji titik (0, 0) ke 2x + y ≤ 8. 2 × 0 + 0 ≥ 8 (salah) Daerah 2x + y ≥ 8 dibatasi garis 2x + y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 7 di kanan dan pada garis x = 0, di kiri dan pada garis x = 7. Matematika Kelas XII Program IPS

29

Daerah penyelesaian 1 ≤ y ≤ 2 di atas dan pada garis y = 1, di bawah dan pada garis y = 2. Daerah penyelesaian: Y 8

c.

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 10x + 15y. Titik Pojok A(2, 4)

10 × 2 + 15 × 4 = 80

B(3, 0)

10 × 3 + 15 × 0 = 30

C(6, 0) A

4

B

1 0

D(

D y=2

C

X

Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan garis y = 4 di titik A(2, 4). Garis 2x + y = 8 berpotongan dengan y = 1 di titik 7

B( 2 , 1).

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 5x + 10y: Titik Pojok A(2, 4) B(

7 2

, 1)

f(x, y) = 5x + 10y 5 × 2 + 10 × 4 = 50 5×

7 2

+ 10 × 1 = 27,5

C(7, 1)

5 × 7 + 10 × 1 = 45

D(7, 4)

5 × 7 + 10 × 4 = 75

18 5

,

10 × 6 + 15 × 0 = 60 24 5

)

← Minimum

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 5x + 10y adalah 27,5. 7. Jawaban: c a. Garis 4x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan (3, 0). Daerah penyelesaian 4x + y ≥ 12 di kanan dan pada garis 4x + y = 12. Garis 2x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan (6, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 12 di kiri dan pada garis 2x + y = 12. Garis x – 2y = –6 melalui titik (0, 3) dan (–6, 0). Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –6 di kanan dan pada garis x – 2y = –6. b. Daerah penyelesaian:

x – 2y = –6

A

Uji titik pojok: Titik Pojok

B C X 3 6 2x + y = 12 4x + y = 12

Garis 4x + y = 12 dan x – 2y = –6 berpotongan di titik A(2, 4). Garis 2x + y = 12 dan x – 2y = –6 18

24

berpotongan di titik D( 5 , 5 ). Program Linear

= 108

← Maksimum

x – 2y + 2 = 0

D

30

24 5

6

A 1O –2 0

0

+ 15 ×

Y

12

–6

18 5

8. Jika fungsi f(x, y) = 5.000 – x – y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x – 2y + 2 ≥ 0, dan 2x+ y – 6 ≥ 0 maka .... a. fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum b. fungsi f tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum c. fungsi f mempunyai nilai minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum d. fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum e. nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f tidak dapat ditentukan Jawaban: a Garis x – 2y = 0 melalui titik (0, 1) dan (–2, 0). Daerah penyelesaian x – 2y + 2 ≥ 0 di kanan dan pada garis x – 2y + 2 = 0. Garis 2x + y – 6 = 0 melalui titik (0, 6) dan (3, 0). Daerah penyelesaian 2x + y – 6 ≥ 0 di kanan dan pada garis 2x + y – 6 = 0. Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada sumbu Y. Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan pada sumbu X. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Y

3

10 ×

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10x + 15y adalah 108.

y=1

4 7 2x + y = 8

f(x, y) = 10x + 15y

A(0, O(0, B(3, C(2,

1) 0) 0) 2)

C(2, 2) B 3

X

2x + y –6 = 0 f(x, y) = 5.000x – x – y 5.000 – 0 – 1 5.000 – 0 – 0 5.000 – 3 – 0 5.000 – 2 – 2

= = = =

4.999 5.000 4.997 4.996

Dari tabel terlihat fungsi objektif f(x, y) mempunyai nilai minimum 4.996 dan nilai maksimum 5.000. Jadi, pernyataan yang benar adalah pilihan a.

9. Jawaban: a Misalkan: x = banyak sepatu jenis I y = banyak sepatu jenis II Sepatu Jenis I Jenis II Pembatas

Banyak

Harga

x y

60.000 80.000

40

3.000.000

10. Jawaban: d Misalkan: x = banyak mangga y = banyak apel Putri harus membeli paling sedikit 3 mangga dan 2 apel, maka diperoleh: x ≥ 3 dan y ≥ 2 . . . (1) Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 7 buah, maka diperoleh: x+y≥7 . . . (2) Putri mempunyai uang Rp12.000,00, sedangkan harga mangga Rp1.800,00 per buah dan harga apel Rp1.500,00 per buah, maka diperoleh: 1.800x + 1.500y ≤ 12.000 ⇔ 18x + 15y ≤ 120 ⇔ 6x + 5y ≤ 40 . . . (3) Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperoleh sistem pertidaksamaan berikut. 6x + 5y ≤ 40 x + y ≥7 x ≥3 y ≥2 Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah pilihan d. 11. Jawaban: c Misalkan: x = banyak mobil y = banyak bus

Banyak

Luas

Biaya Parkir

Mobil Bus

x y

6 24

2.000 3.500

Pembatas

58

600

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = 2.000x + 3.500y dengan kendala: x + y ≤ 58 6x + 24y ≤ 600 ⇔ x + 4y ≤ 100 x≥0 y≥0

Kios hanya cukup ditempati 40 pasang sepatu. Pertidaksamaan yang memenuhi x + y ≤ 40 . . . (1) Modal yang dimiliki hanya Rp3.000.000,00. Pertidaksamaan yang memenuhi 60.000x + 80.000y ≤ 3.000.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 150 . . . (2) Banyak sepatu jenis I tidak boleh negatif. Pertidaksamaan yang memenuhi x ≥ 0 . . . (3) Banyak sepatu jenis II tidak boleh negatif. Pertidaksamaan yang memenuhi y ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh SPtLDV: 3x + 4y ≤ 150 x + y ≤ 40 x≥0 y≥0

Jenis Kendaraan

Daerah penyelesaian: Y 58

25

C B(44, 14) A 58

0

x + y = 58

100

X x + 4y = 100

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 2.000x + 3.500y Titik Pojok O(0, 0) A(58, 0) B(44, 14) C(0, 25)

f(x, y) = 2.000x + 3.500y 2.000 × 0 2.000 × 58 2.000 × 44 2.000 × 0

+ 3.500 × 0 = 0 + 3.500 × 0 = 116.000 + 3.500 × 14 = 137.000 + 3.500 × 25 = 87.500

Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 3.500y adalah 137.000. Jadi, jika tempat parkir penuh hasil dari biaya parkir maksimum mencapai Rp137.000,00. 12. Jawaban: d Menentukan model matematika dari permasalahan pada soal. Misalkan: x = banyak mobil A yang disewa y = banyak mobil B yang disewa Mobil A memuat 14 orang dan mobil B memuat 7 orang, sedangkan jumlah siswa 98 orang, maka diperoleh 14x + 7y ≥ 98 ⇔ 2x + y ≥ 14 . . . (1) 4

Mobil tipe B yang disewa tidak kurang dari 5 4

banyak mobil tipe A, maka diperoleh y ≥ 5 x . . . (2) 3

Mobil tipe B yang disewa tidak lebih dari 2 banyak 3

mobil tipe A, maka diperoleh y ≤ 2 x . . . (3) Setiap mobil terisi penuh, maka fungsi objektif adalah meminimumkan f(x, y) = x + y. Dengan demikian, diperoleh model matematika sebagai berikut.


31

Meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = x + y dengan kendala: 14x + 7y ≥ 29 y≥ y≤

4 x 5 3 x 2

3 2

y=

x

y=

4 5

x

B

7

X 2x + y = 14

4

2x + y = 14 dan y = 5 x. 4

Substitusikan y = 5 x ke persamaan 2x + y = 14 diperoleh: 4

2x + 5 x = 14 ⇔

4 + 6 = 10

Jenis Pisang

Banyak

Cokelat Goreng

x y

1.000 400

400

250.000

x = 14 x=5 4

y=

y=

Y

× 5 = 4. Dengan demikian, diperoleh koordinat

titik A(5, 4). Menentukan koordinat titik B. Titik B merupakan perpotongan antara garis 3 2

625

5x + 2y = 1.250 400 C

x dan 2x + y = 14. 3

B

Substitusi y = 2 x ke persamaan 2x + y = 14 sehingga diperoleh:

x + y = 400

3

2x + 2 x = 14 7 2

⇔ ⇔

A

x = 14

0

250

400

X

x=4 3

Substitusi x = 4 ke dalam persamaan y = 2 x sehingga diperoleh: 3

y= 2 ×4=6 32

500 300

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 500x + 300y dengan kendala: x + y ≤ 400 1.000x + 400y ≤ 250.000 ⇔ 5x + 2y ≤ 1.250 x ≥ 0, y ≥ 0 Menentukan daerah penyelesaian. Garis x + y = 400 melalui titik (0, 400) dan (400, 0). Daerah penyelesaian x + y ≤ 400 di kiri dan pada garis x + y = 400. Garis 5x + 2y = 1.250 melalui titik (0, 625) dan (250, 0). Daerah penyelesaian 5x + 2y ≤ 1.250 di kiri dan pada garis 5x + 2y = 1.250. Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 di kuadran I. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

Substitusi x = 5 ke y = 5 x sehingga diperoleh 4 5

Harga Keuntungan

Menentukan koordinat titik A. Titik A merupakan perpotongan antara garis

14 5

5 + 4 = 9

B(4, 6)

Pembatas

A

⇔

f(x, y) = x + y

A(5, 4)

13. Jawaban: e Menentukan model matematika. Misalkan: x = banyak pisang cokelat y = banyak pisang goreng

14

0

Titik Pojok

Dari tabel di atas diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 9. Jadi, jumlah mobil yang disewa 9.

Daerah penyelesaian: Y

Dengan demikian, diperoleh koordinat titik B(4, 6). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = x + y.

Program Linear

Titik B merupakan perpotongan antara garis 5x + 2y = 1.250 dan x + y = 400.

Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 400 × 2 2x + 2y = 800 5x + 2y = 1.250 × 1 5x + 2y = 1.250 ––––––––––––– – –3x = –450 ⇔ x = 150 Substitusikan x = 150 ke persamaan x + y = 400. x + y = 400 ⇔150 + y = 400 ⇔ y = 250 Diperoleh koordinat titik B(150, 250). Titik pojok daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(250, 0), B(150, 250), dan C(0, 400). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 500x + 300y. Titik Pojok O(0, 0) A(250, 0) B(150, 250) C(0, 400)

f(x, y) = 500x + 300y 500 500 500 500

× × × ×

0 + 250 + 150 + 0 +

300 300 300 300

× × × ×

0 = 0 = 250 = 400 =

0 125.000 150.000 120.000

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 150.000. Jadi, keuntungan maksimumnya Rp150.000,00.

Jenis Tanaman Anggrek Hias Pembatas

Banyak

Keuntungan

x y

10.000 15.000

Titik Pojok

f(x, y) = 10.000x + 15.000y

A(30, 40) B(80, 40) C(30, 90)

10.000 × 30 + 15.000 × 40 = 900.000 10.000 × 80 + 15.000 × 40 = 1.400.000 10.000 × 30 + 15.000 × 90 = 1.650.000

Nilai maksimum f(x, y) = 10.000x + 15.000y adalah 1.650.000. Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh Rp1.650.000,00. 15. Jawaban: e Misalkan: x = banyak sapi y = banyak kambing Jenis Hewan

x y

12.000.000 1.500.000

Pembatas

18

48.000.000

32

8x + y = 32 18

x + y = 18

0

4

x = 30

120

y = 40

18

X

Uji titik pojok ke f(x, y) = 5.000.000x + 700.000y: O(0,0) A(4, 0) B(2, 6) C(0, 18)

C(30, 90)

0

5.000.000 700.000

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 5.000.000x + 700.000y dengan kendala: x + y ≤ 18 12.000.000x + 1.500.000y ≤ 48.000.000 ⇔ 8x + y ≤ 32 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian:

Titik Pojok

120

B(80, 40)

Keuntungan

Y

Y

A(30, 40)

Harga Beli

Sapi Kambing

120

Paling sedikit 30 pot tanaman anggrek. Diperoleh pertidaksamaan x ≥ 30 . . . (1) Paling sedikit 40 pot tanaman hias. Diperoleh pertidaksamaan y ≥ 40 . . . (2) Kios dapat menampung tidak lebih dari 120 pot. Diperoleh pertidaksamaan: x + y ≤ 120 . . . (3) Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 10.000x + 15.000y dengan kendala: x ≥ 30 y ≥ 40 x + y ≤ 120 Daerah penyelesaian SPtLDV:

40

Banyak

14. Jawaban: c Misalkan: x = banyak tanaman anggrek (pot) y = banyak tanaman hias (pot)

Uji titik pojok ke f(x, y) = 10.000x + 15.000y

f(x, y) = 5.000.000x + 700.000y 5.000.000 × 0 5.000.000 × 4 5.000.000 × 2 5.000.000 × 0

+ 700.000 × 0 + 700.000 × 0 + 700.000 × 16 + 700.000 × 18

=0 = 20.000.000 = 21.000.000 = 12.600.000

Nilai f(x, y) terbesar 21.000.000 dicapai di titik B(2, 16) atau pada saat x = 2 dan y = 16. Jadi, pendapatan terbesar diperoleh jika Pak Mahmud membeli 2 ekor sapi dan 16 ekor kambing.

X x + y = 120 Matematika Kelas XII Program IPS

33

B. Uraian 1. a.

b.

8

Persamaan garis g adalah x – y = –10. Koordinat titik A(0, 25). Garis selidik yang melalui titik A memiliki persamaan x – y = –25. Koordinat titik B(15, 5). Garis selidik yang melalui titik B memiliki persamaan x – y = 10. Koordinat titik C(30, 40). Garis selidik yang melalui titik C memiliki persamaan x – y = –10. Persamaan garis melalui titik (–10, 0) dan (0, 25) adalah 25x – 10y = –250 ⇔ 5x – 2y = –50. Garis 5x – 2y = –50 dan y = 40 berpotongan di titik D. Substitusi y = 40 ke 5x – 2y = –50 diperoleh: 5x – 2 × 40 = –50 ⇔ 5x – 80 = –50 ⇔ 5x = 30 ⇔ x=6 Diperoleh koordinat titik D(6, 40). Garis selidik yang melalui titik D(6, 40) memiliki persamaan x – y = –36. Jadi, nilai maksimumnya 10 dan nilai minimumnya –36. Persamaan garis g adalah x + y = 4. Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan (0, 4) adalah 4x – 2y = –8 ⇔ 2x – y = –4. Persamaan garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 12) adalah 12x + 6y = 72 ⇔ 2x + y = 12. Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 12) adalah 12x + 12y = 144 ⇔ x + y = 12. Menentukan koordinat titik A. Garis 2x – y = –4 dan 2x + y = 12 berpotongan di titik A. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. 2x – y = –4 2x + y = 12 –––––––––– + 4x = 8 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan 2x + y = 12. 2x + y = 12 ⇔ 2 × 2 + y = 12 ⇔ 4 + y = 12 ⇔ y=8 Diperoleh koordinat titik A(2, 8). Menentukan koordinat titik D. Garis 2x – y = –4 dan x + y = 12 berpotongan di titik D. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. 2x – y = –4 x + y = 12 –––––––––– + 3x = 8 8

⇔ x= 3 34

Program Linear

Substitusikan x = 3 ke persamaan x + y = 12. x + y = 12 ⇔

8 3

+ y = 12 8

⇔

y = 12 – 3

36 − 8 3 28 ⇔ y= 3 8 28 Diperoleh koordinat titik D( 3 , 3

⇔

y=

).

Garis selidik yang melalui titik A(2, 8) memiliki persamaan x + y = 10. Garis selidik yang melalui titik B(6, 0) memiliki persamaan x + y = 6. Garis selidik yang melalui titik C(12, 0) memiliki persamaan x + y = 12. 8

28

Garis selidik yang melalui titik D( 3 , 3 ) memiliki persamaan x + y = 12. Jadi, nilai maksimumnya 12 dan nilai minimumnya 6. 2. a.

Garis 5x + 2y = 40 melalui titik (8, 0) dan titik (0, 20). Daerah penyelesaian 5x + 2y ≤ 40 dibatasi garis 5x + 2y = 40 dan memuat titik (0, 0). Garis x + 2y = 8 melalui titik (8, 0) dan titik (0, 4). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 8 dibatasi garis x + 2y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0). Garis x – 2y = –4 yang melalui titik (–4, 0) dan (0, 2). Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –4 dibatasi garis x – 2y = –4 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian: Y 20

5x + 2y = 40

x – 2y = –4 4 2 –4

0

8

X x + 2y = 8

Garis x – 2y = –4 dan x + 2y = 8 berpotongan di titik A. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x – 2y = –4 x + 2y = 8 –––––––––– – –4y = –12 ⇔ y=3

Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan x + 2y = 8. x + 2y = 8 ⇔ x + 2 × 3 = 8 ⇔ x+6=8 ⇔ x=2 Diperoleh koordinat titik A(2, 3). Garis 5x + 2y = 40 dan x – 2y = –4 berpotongan di titik C. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. 5x + 2y = 40 x – 2y = –4 ––––––––––– + 6x = 36 ⇔ x=6 Substitusikan x = 6 ke persamaan garis x – 2y = –4. x – 2y = –4 ⇔ 6 – 2y = –4 ⇔ –2y = –10 ⇔ y=5 Diperoleh koordinat titik C(6, 5). Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 6y – 3x. Titik

f(x, y) = 6y – 3x

A(2, 3) B(8, 0) C(6, 5)

b.

6 × 3 – 3 × 2 = 12 6 × 0 – 3 × 8 = –24 6 × 5 – 3 × 6 = 12

44

y – x = 20

Y C

32 24 20

D

12 8 4 –20 –12

f(x, y) = x + 2y

A(12, 8) B(24, 12) C(24, 44) D(4, 24)

12 + 2 × 8 = 28 24 + 2 × 12 = 48 24 + 2 × 44 = 112 4 + 2 × 24 = 52

← Minimum

Jadi, nilai minimum f(x, y) = x + 2y adalah 28. 3. Modal pedagang Rp180.000,00, sedangkan harga beli minuman x per kaleng Rp3.000,00 dan harga beli minuman y per kaleng Rp6.000,00 maka diperoleh: 3.000x + 6.000y ≤ 180.000 ⇔ x + 2y ≤ 60 . . . (1) Tempat pedagang hanya mampu menampung 40 kaleng minuman, maka diperoleh: x + y ≤ 40 . . . (2) Banyak minuman x dan y selalu bernilai nonnegatif maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (3) Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperoleh sistem pertidaksamaan sebagai berikut. x + 2y ≤ 60 x + y ≤ 40 x≥0 y≥0 4. Misalkan: x = banyak boneka y = banyak mobil-mobilan Jenis

Banyak

Harga Beli

Harga Jual

Boneka Mobil-mobilan

x y

15.000 45.000

20.000 65.000

Pembatas

42

900.000

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 5.000x + 20.000y dengan kendala: x + y ≤ 42 15.000x + 45.000y ≤ 900.000 ⇔ x + 3y ≤ 60 x≥0 y≥0

y + 2x = 32

Titik

Jadi, nilai maksimumnya 12. Garis 3y – x = 12 melalui titik (0, 4) dan titik (–12, 0). Daerah penyelesaian 3y – x ≥ 12 di kiri dan pada garis 3y – x = 12. Garis y – x = 20 melalui titik (0, 20) dan titik (–20, 0). Daerah penyelesaian y – x ≤ 20 di kanan dan pada garis y – x = 20. Garis y + 2x = 32 melalui titik (0, 32) dan titik (16, 0). Daerah penyelesaian y + 2x ≥ 32 di kanan dan pada garis y + 2x = 32. Daerah penyelesaian x ≤ 24 di kiri dan pada garis x = 24. Daerah penyelesaian:

Titik potong antara garis 3y – x = 12 dan garis y + 2x = 32 adalah A(12, 8). Titik potong antara garis y – x = 20 dan y + 2x = 32 adalah D(4, 24). Titik potong antara garis 3y – x = 12 dan x = 24 adalah B(24, 12). Titik potong antara garis y – x = 20 dan x = 24 adalah C(24, 44). Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = x + 2y.

B

3y – x = 12

A 12 16

24

X


35

Daerah penyelesaian:

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan f(x, y) = 700x + 600y. dengan kendala: x + y ≤ 500 4000x + 3000y ≤ 1.800.000 ⇔ 4x + 3y ≤ 1.800 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian:

Y

42

20

C B A 60 42 x + y = 42

O

X

Menentukan koordinat titik B. Titik B adalah perpotongan antara garis x + y = 42 dan x + 3y = 60. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 42 x + 3y = 60 –––––––––– – 2y = 18 ⇔ y=9 Substitusikan y = 9 ke persamaan garis x + y = 42. x + y = 42 ⇔ x + 9 = 42 ⇔ x = 33 Diperoleh koordinat titik B(33, 9). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif f(x, y) = 20.000x + 65.000y: Titik O(0, 0) A(42, 0) B(33, 9) C(0, 20)

f(x, y) = 20.000x + 65.000y 20.000 20.000 20.000 20.000

× × × ×

0 42 33 0

+ 65.000 × 0 = 0 + 65.000 × 0 = 840.000 + 56.000 × 9 = 1.245.000 + 65.000 × 20 = 1.300.000

Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.300.000. Jadi, pendapatan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang tersebut Rp1.300.000,00. 5. Misalkan: x = banyak sabun A y = banyak sabun B Jenis

Banyak

A B

x y

4.000 3.000

Pembatas

500

1.800.00

36

Program Linear

Harga Beli

Y

x + 3y = 60

Keuntungan 700 600

600 500

C

4x + 3y = 1.800

B x + y = 500 0

A 450 500

X

Menentukan koordinat titik B. Garis x + y = 500 dan 4x + 3y = 1.800 berpotongan di titik B. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. x + y = 500 ×3 3x + 3y = 1.500 4x + 3y = 1.800 × 1 4x + 3y = 1.800 ––––––––––––– – –x = 300 ⇔ x = 300 Substitusikan x = 300 ke persamaan garis x + y = 500. x + y = 500 ⇔ 300 + y = 500 ⇔ y = 200 Diperoleh koordinat titik B(300, 200). Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 700x + 600y. Titik O(0, 0) A(450, 0) B(300, 200) C(0, 500)

f(x, y) = 700x + 600y 700 × 0 700 × 450 700 × 300 700 × 0

+ 600 × 0 + 600 + 600 × 200 + 600 × 500

=0 = 315.000 = 330.000 = 300.000

Nilai maksimum f(x, y) = 700x + 600y adalah 330.000 dicapai di titik B(300, 200). Hal ini berarti keuntungan maksimum Rp330.000,00 diperoleh jika pedagang menjual 300 sabun A dan 200 sabun B.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Garis x – 2y = –8 memotong sumbu X di titik (–8, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian x – 2y ≥ –8 di kanan dan pada garis x – 2y = –8. Jadi, daerah penyelesaian pertidaksamaan adalah pilihan d. 2. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik (0, 3):

⇔

y−0 3−0

=

x+2 0+2

y 3

=

x+2 2

⇔ 2y = 3x + 6 ⇔ 3x – 2y = –6 Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 3x – 2y = –6, maka pertidaksamaanya 3x – 2y ≥ –6. 3. Jawaban: b Garis y – x = 4 melalui titik (0, 4) dan titik (–4, 0). Daerah penyelesaian y – x ≥ 4 di kiri dan pada garis y – x = 4. Garis 7x + 4y = 28 melalui titik (0, 7) dan titik (4, 0). Daerah penyelesaian 7x + 4y ≤ 28 di kiri dan pada garis 7x + 4y = 28. Garis x + 2y = 4 melalui titik (0, 2) dan (4, 0). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 4 di kanan dan pada garis x + 2y = 4. Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan pada sumbu X dan daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y. Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai adalah pilihan b. 4. Jawaban: b 1) Garis 2x + y = 8 melalui titik (4, 0) dan titik (0, 8). Uji titik (0, 0) ke 2x + y ≥ 8. 2 × 0 + 0 = 0 ≥ 8 (bernilai salah) Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 8 dibatasi garis 2x + y = 8 dan tidak memuat titik (0, 0). 2) Garis x + 2y = 12 melalui titik (0, 6) dan titik (12, 0). Uji titik (0, 0) ke x + 2y ≥ 12. 0 + 2 × 0 = 0 ≥ 12 (bernilai salah) Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasi garis x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). 3) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada sumbu Y. 4) Daerah penyelesaian y ≥ 3 di atas dan pada garis y = 3.

Daerah penyelesaian: Y 8 6 y=3

3 0

4

2x + y = 8

12

X x + 2y = 12

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah II. 5. Jawaban: d Garis x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan (0, 6). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasi garis x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan (0, 2). Daerah penyelesaian x – y ≤ –2 dibatasi garis x – y = –2 dan tidak memuat titik (0, 0). Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan (0, 24). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 24 dibatasi garis 2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x ≥ 0; y ≥ 0 adalah daerah di kuadran I. Daerah penyelesaiannya: Y 24 x – y = –2 6 2 –2 0

X 12

x + 2y = 12 2x + y = 24

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan d. 6. Jawaban: b Garis x – y = –2 melalui titik (0, 2) dan (–2, 0). Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 di kanan dan pada garis x – y = –2. Garis x – y = 1 melalui titik (0, –1) dan (1, 0). Daerah penyelesaian x – y ≤ 1 di kiri dan pada garis x – y = 1. Garis 2x + y = 2 melalui titik (0, 2) dan (1, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 2 di kiri dan pada garis 2x + y = 2. Garis 2x + y = –4 melalui titik (0, –4) dan (–2, 0). Daerah penyelesaian 2x + y ≥ –4 di kanan dan pada garis 2x + y = –4.


37

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. 4 2x + y = 2

Y

1

A

5y – 3x = 15 4 3 2

x–y=1 C

–3 –2 –1 0 –1 B

1

1

X

2

1 2 2x + y = 4

–2

Titik (1, 3) dan (2, 1) di luar daerah penyelesaian. b.

–4

7. Jawaban: c Garis x + 3y = –3 melalui (–3, 0) dan (0, –1). Daerah penyelesaian x + 3y ≥ –3 di kanan dan pada garis x + 3y = –3. Garis y – x = 5 melalui (–5, 0) dan (0, 5). Daerah penyelesaian y – x ≤ 5 di kanan dan pada garis y – x = 5. Garis 4x + 3y = 12 melalui (3, 0) dan (0, 4). Daerah penyelesaian 4x + 3y ≤ 0 di kiri dan pada garis 4x + 3y = 12. Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≤ 0 di kuadran II. Daerah penyelesaian: Y

5

4 3 2 1

X

–2 –1 0

1

2 3 4 5 3x + 5y = 15

Titik (1, 3) di luar daerah penyelesaian. c.

Y

5 4 3 2 1

y–x=5

X

–3 –2 –1 0

4

1

2 3 4 x + 2y = 4

3y – 5x = 15

3

Titik (0, 3), (1, 2), dan (1, 3) di luar daerah penyelesaian.

2 1

–5 –4 –3 –2 –10 –1

y – 2x = 4

Y

Dari gambar terlihat AB sejajar dengan DC dan AD sejajar dengan BC. Hal ini berarti ABCD berbentuk jajargenjang.

x + 3y = –3

X

–5 –4 –3 –2 –1 0

–3

4x + 3y = 12

Y

x – y = –2

3 2 D

2x + y = –4

8. Jawaban: e a.

1

2

3

4

5

X

d.

Y 2y – x = 4

–2 –3

Dari gambar terlihat titik (–1, 1), (–1, 2), (–1, 3), (–2, 1), (–2, 2), (–3, 1), dan (–4, 1) di dalam daerah penyelesaian. Jadi, himpunan titik yang berada di dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah pilihan c.

38

Program Linear

3 2 X –4 –3 –2 –1 0

1

2 3

4 5 3x + 5y = 15

Titik (0, 3) dan (1, 3) penyelesaian.

di luar daerah

e.

b.

Y

Y

A

5 4 3 2 1

–3 X

–2 –1 0

1

y – 2x = 4

0

Titik (–1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), dan (2, 1) di dalam daerah penyelesaian. Jadi, himpunan titik P merupakan penyelesaian pertidaksamaan pada pilihan e. 9. Jawaban: d Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + y ≥ 5, dan 0 ≤ x ≤ 6:

x=4

ABCD berbentuk persegi panjang Luas ABCD = panjang × lebar = AB × BC =4×7 = 28 satuan c.

Y

D

x–y=2

2 B

D

–4

8

y–x=4

4

A

Y C

–1 0 –1 –2 C –3 –4

T

x+y=8

X y = –2

C

x = –3

5x + 3y = 15

y=2

4

–2

B

2 3

D

2

X

2

x+y=2 x + y = –4

5

ABCD berbentuk persegi AB = BC

B 0

5

6 A

X

8 x+y=5

Daerah yang diarsir berbentuk jajargenjang dengan panjang alas CD = 8 – 5 = 3 satuan dan tinggi CT = 6 – 0 = 6 satuan. Luas daerah yang diarsir = alas × tinggi = 3 × 6 = 18 satuan Jadi, luas daerah penyelesaiannya 18 satuan.

3

4y – 3x = 0 C

(x C − xB )2 + (yC − yB )2

=

(−1 + 4)2 + (−3 − 0)2

2 2 = 3 + (−3) = 18 Luas ABCD = sisi × sisi = AB × BC = 18 × 18 = 18 satuan

d.

10. Jawaban: c a. Y

=

x = –3 A

3x – 4y = 24

–3

Y

x=2

1 0

D

X

2 x + 5y = 2

B O –3

4

X 8 3x + 4y = 24

A 3x + 4y = 0

OABC berbentuk belah ketupat. 1

Luas OABC = 2 × diagonal × diagonal 1

B

–3 –4

E C x + 5y = –18

ABCD berbentuk jajargenjang Luas ABCD = alas × tinggi = AB × BE =4×5 = 20 satuan

= 2 × OB × AC 1

= 2 × 8 × 6 = 24 satuan


39

e.

Y A 2 –2 B

1

4x + y = 18 D

–2 E

1

y=2

4 5 C

0

Luas ABCD = 2 × BD × AC = 2 ×6×4 = 12 satuan Luas daerah penyelesaiannya 12 satuan.

X y = –2

d.

Y

y – 2x = 2

6

ABCD berbentuk trapesium 1

2

1

4

x=9 D y=4

2y – x = 2

2x + y = 16

B

0

= 2 × 4(4 + 7) = 22 satuan Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya mempunyai luas 18 satuan pilihan c.

Y A

C

4

Luas ABCD = 2 × AE(AD + BC)

11. Jawaban: e a.

2y – x = 12 D

A

X

2 3 4 6 2x + y = 6

ABCD berbentuk persegi. Luas daerah penyelesaian ABCD = AB × BC = 20 × 20 = 20 satuan Luas daerah penyelesaiannya 20 satuan. e.

Y 2y – 3x = 8

C

B

0

6 9 2x + 3y = 12

4 A

X B

ABCD berbentuk trapesium. Luas ABCD =

1 2

× CD (AD + BC)

=

1 2

× 4 (9 + 3) = 24 satuan

Luas daerah penyelesaiannya 24 satuan. b.

Y -----------

D

A

E

y=4

B C X 0 1 6 2x + 3y = 2 2x + 3y = 12

–5

ABCD berbentuk jajargenjang. Luas ABCD = alas × tinggi = BC × AE = 5 × 4 = 20 satuan Luas daerah penyelesaiannya 20 satuan. c.

Y 3x – 2y = 2

A

2

C

X –3–2 –1 B 2 3 2x + y = 6 y – 2x = 6

ABCD berbentuk layang-layang.

40

Program Linear

4

–3

D 6

X 2x + 3y = 12

C 2x + 3y = –1

ABCD berbentuk persegi panjang. Luas ABCD = AD × DC = 13 × 2 13 = 26 satuan Luas daerah penyelesaiannya 26 satuan. Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya mempunyai luas 26 satuan adalah pilihan e. 12. Jawaban: a Persamaan garis AB yang melalui titik (–3, 0) dan B(–2, –2):

⇔

6 D 3x + 2y = –2

–2

3x – 2y = 18 1 0

y−0 −2 − 0 y −2

= =

x − (−3) −2 − (−3) x+3 1

⇔ y = –2x – 6 ⇔ 2x + y = – 6 A merupakan titik yang terletak pada garis AB, dengan absis –4. Menentukan koordinat titik A: Substitusikan nilai x = –4 ke persamaan garis 2x + y = –6. 2x + y = –6 ⇔ 2 × (–4) + y = –6

⇔ –8 + y = –6 ⇔ y=2 Diperoleh koordinat titik A(–4, 2). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y – 1. Titik Pojok A(–4, 2) B(–2, 2) C(4, –4) D(0, 4)

f(x, y) = 4x – 2y – 1 4(–4) – 2(2) – 1 = –21 4(–2) – 2(2) – 1 = –5 4(4) – 2(–4) – 1 = 23 4(0) – 2(4) – 1 = –9

Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y – 1 di atas mencapai minimum –21 yaitu di titik A(–4, 2). 13. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (6, 0) adalah 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12 . . . (1) Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0) adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8 . . . (2) Menentukan titik potong antara garis 2x + 3y = 12 dan 2x + y = 8. Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). 2x + 3y = 12 2x + y = 8 –––––––––– – 2y = 4 ⇔ y = 2 Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan (2). 2x + y = 8⇔ 2x + 2 = 8 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3 Diperoleh koordinat titik potong (3, 2). Titik pojok daerah yang diarsir adalah (0, 0), (4, 0), (3, 2), dan (0, 4). Uji titik pojok ke f(x, y) = 5x + 4y. Titik Pojok (0, (4, (3, (0,

0) 0) 2) 4)

f(x, y) = 5x + 4y 5×0+4×0=0 5 × 4 + 4 × 0 = 20 5 × 3 + 4 × 2 = 23 5 × 0 + 4 × 4 = 16

Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y) adalah 23. Jadi, nilai maksimum fungsi objektif 5x + 4y adalah 23. 14. Jawaban: d Garis x + 2y = 12 memotong sumbu X di titik (12, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 6). Garis 3x + 2y = 24 memotong sumbu X di titik (8, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 12). Menentukan titik potong antara garis x + 2y = 12 dan 3x + 2y = 24.

Eliminasi y dari kedua persamaan garis. x + 2y = 12 3x + 2y = 24 –––––––––– – –2x = –12 ⇔ x = 6 Substitusikan x = 6 ke dalam persamaan x + 2y = 12. x + 2y = 12 ⇔ 6 + 2y = 12 ⇔ 2y = 6 ⇔ y=3 Diperoleh koordinat titik potong (6, 3). Titik pojok daerah penyelesaiannya yaitu (12, 0), (6, 3), dan (0, 12). Uji titik pojok ke fungsi objektif. Titik Pojok

f(x, y) = 3x + 5y

(12, 0) (6, 3) (0, 12)

3 × 12 + 5 × 0 = 36 3 × 6 + 5 × 3 = 33 ← Minimum 3 × 0 + 5 × 12 = 60

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 3x + 5y dari daerah yang diarsir adalah 33. 15. Jawaban: d Menentukan daerah penyelesaian. 1

Garis 2x + y = 7 melalui titik (0, 7) dan (3 2 , 0).

Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 7 di kanan dan pada garis 2x + y = 7. Garis x + y = 5 melalui titik (0, 5) dan (5, 0). Daerah penyelesaian x + y ≥ 5 di kanan dan pada garis x + y = 5. Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan dan pada garis x = 0. Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas dan pada garis y = 0. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y 9 8 7 A 6 5 4 3 B 2 1 O

C

1 2 3 4 5 6 7 2x + y =

X

7 x + y = 5

Menentukan titik pojok daerah penyelesaian. Titik B merupakan perpotongan antara garis 2x + y = 7 dan x + y = 5. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. 2x + y = 7 x+y=5 –––––––––– – x=2


41

Titik Pojok

f(x, y) = 4y – 5x

A(0, 7)

4 × 7 – 5 × 0 = 28

B(2, 3)

4×3–5×2=2

C(5, 0)

4 × 0 – 5 × 5 = –25

Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) = –25. Jadi, nilai minimumnya –25. 16. Jawaban: e Garis –x + y = 4 memotong sumbu Y di titik A(0, 4). Garis 2x + y = 12 memotong sumbu X di titik B(6, 0). Garis x + y = 8 dan garis 2x + y = 12 berpotongan di titik C(4, 4). Garis –x + y = 4 dan garis 2x + y = 12 berpotongan di titik D(2, 6). Uji titik setiap titik pojok ke fungsi tujuan. f(x, y)

–4x + 9y 4x + 9y 10x + 18y 20x + 2y

7x + 12y

Banyak penumpang pelajar/mahasiswa atau umum tidak boleh negatif sehingga harus memenuhi x ≥ 0, y ≥ 0 . . . (3) Diperoleh sistem pertidaksamaan: x + y ≤ 50 2x + 3y ≥ 120 x≥0 y≥0 Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan a.

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan garis x + y = 5. x + y=5 ⇔ 2+y=5 ⇔ y=3 Diperoleh koordinat titik B(2, 3). Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(0, 7), B(2, 3), dan C(5, 0). Uji titik pojok ke f(x, y) = 4y – 5x.

18. Ani ingin membuat dua jenis kartu undangan. Kartu undangan jenis I memerlukan 30 m2 karton warna biru dan 25 m2 karton warna kuning, sedangkan kartu undangan jenis II memerlukan 45 m2 karton warna biru dan 35 m2 karton warna kuning. Banyak karton warna biru dan kuning yang dimiliki masingmasing 200 m2 dan 300 m2. Jika Ani membuat x undangan jenis I dan y undangan jenis II, Model matematika yang sesuai dari masalah tersebut adalah . . . . a. 30x + 25y ≤ 200, 45x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0 b. 30x + 25y ≥ 200, 25x + 35y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0 c. 30x + 45y ≤ 200, 25x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0 d. 30x + 45y ≤ 200, 25x + 35y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0 e. 30x + 45y ≥ 200, 25x + 35y ≤ 300, x ≥ 0, y ≥ 0 Jawaban: c Misalkan: x = banyak kartu undangan jenis I y = banyak kartu undangan jenis II Kartu Undangan Banyak Karton Biru

A(0, 4)

36

36

72

8

48

B(6, 0)

–24

24

60

120

42

C(4, 4)

20

52

112

88

76

Jenis I Jenis II

D(2, 6)

46

62

128

52

86

Pembatas

Perhatikan kolom kelima. Dari kolom kelima terlihat f(x, y) = 20x + 2y mencapai maksimum di titik B. Jadi, fungsi tujuan yang mencapai maksimum di titik B adalah f(x, y) = 20x + 2y. 17. Jawaban: a Misalkan: x = banyak penumpang pelajar/mahasiswa y = banyak penumpang umum Banyak

Tarif

Pelajar/mahasiswa Umum

x y

2.000 3.000

Pembatas

50

120.000

Daya muat bus paling banyak 50 orang, sehingga harus memenuhi x + y ≤ 50 . . . (1) Tarif seorang pelajar/mahasiswa Rp2.000,00 dan tarif seorang penumpang umum Rp3.000,00 sedangkan penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp120.000,00 sehingga harus memenuhi 2.000x + 3.000y ≥ 120.000 ⇔ 2x + 3y ≥ 120 . . . (2) 42

Program Linear

30 45 m2

25 m2 35 m2

200 m2

300 m2

Karton biru yang digunakan tidak boleh melebihi persediaan yang ada sehingga diperoleh pertidaksamaan: 30x + 45y ≤ 200 . . . (1) Karton kuning yang digunakan tidak boleh melebihi persediaan yang ada sehingga diperoleh pertidaksamaan 25x + 35y ≤ 300 . . . (2) Banyak kartu undangan jenis I dan II tidak boleh negatif sehingga diperoleh pertidaksamaan: x≥0 . . . (3) y≥0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh sistem pertidaksamaan: 30x + 45y ≤ 200 25x + 35y ≤ 300 x≥0 y≥0 Jadi, model matematika yang sesuai adalah pilihan e.

Penumpang

x y

Karton Kuning

m2

19. Jawaban: c Misalkan: x = banyak bus y = banyak mobil Jenis

Banyak

Luas (m2)

Bus Mobil

x y

24 6

Pembatas

58

600

20. Jawaban: d Misalkan: x = banyak barang jenis I y = banyak barang jenis II

3.500,00 2.000,00

4.000 5.000

6.000.000

6x + 5y = 1.200 C B(100, 120)

C B x + y = 58

0

Keuntungan

Y

4x + y = 100 58

30.000 25.000

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 4.000x + 5.000y dengan kendala: x + y ≤ 220 30.000x + 25.000y ≤ 6.000.000 ⇔ 6x + 5y ≤ 1.200 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian: 240 220

100

220

Pembatas

Daerah penyelesaian: Y

Modal

x y

Jenis I Jenis II

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 3.500x + 2.000y dengan kendala: x + y ≤ 58 24x + 6y ≤ 600 ⇔ 4x + y ≤ 100 x≥0 y≥0

Banyak

Barang

Biaya

A 25

58

X

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4.000x + 5.000y.

Titik B merupakan perpotongan antara garis x + y = 58 dan 4x + y = 100. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. x + y = 58 4x + y = 100 –––––––––––– – –3x = –42 ⇔ x = 14 Substitusikan x = 14 ke dalam persamaan x + y = 58. x + y = 58 ⇔ 14 + x = 58 ⇔ y = 44 Diperoleh koordinat titik B(14, 44). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 3.500x + 2.000y. Titik Pojok

f(x, y) = 3.500x + 2.000y 3.500 × 0 + 2.000 × 0 = 0 3.500 × 25 + 2.000 × 0 = 87.500 3.500 × 14 + 2.000 × 44 = 137.500 3.500 × 0 + 2.000 × 58 = 116.000

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) adalah 137.500 sehingga pendapatan maksimum dari biaya parkir sebesar Rp137.500,00.

Titik Pojok O(0, 0) A(200, 0) B(100, 120) C(0, 220)

f(x, y) = 4.000x + 5.000y 4.000 × 0 4.000 × 200 4.000 × 100 4.000 × 0

+ 5.000 × 0 = 0 + 5.000 × 0 = 800.000 + 5.000 × 120 = 1.000.000 + 5.000 × 220 = 1.100.000

Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.100.000. Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh sebesar Rp1.100.000,00. 21. Jawaban: c Misalkan: x = banyak toko tipe A y = banyak toko tipe B Barang Tipe A Tipe B Pembatas

Banyak

Luas Tanah (m 2 )

Keuntungan (Juta)

x y

100 75

7 4

125

10.000

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 7x + 4y (juta) dengan kendala: x + y ≤ 125 100x + 75y ≤ 10.000 ⇔ 4x + 3y ≤ 400 x≥0 y≥0

O(0, 0) A(25, 0) B(14, 44) C(0, 58)

x + y = 220 A X 200 220

O


43


Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

Y

Y

133,3 125 C

x = 12

40 B(25, 100)

x + y = 40 25

D(12, 22)

10

A (12, 10)

0

O

A X 100 125 4x + 3y = 400 x + y = 125

Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 7x + 4y (juta): Titik Pojok

Subtitusi ke f(x, y) = 7x + 4y (juta)

O(0, 0) A(100, 0) B(25, 100) C(0, 125)

7×0 +4×0 7 × 100 + 4 × 0 7 × 25 + 4 × 100 7 × 0 + 4 × 125

=0 = 700 juta = 575 juta = 500 juta

Nilai maksimum f(x, y) adalah 700 juta. Jadi, keuntungan maksimum dari penjualan toko sebesar Rp700.000.000,00. 22. Jawaban: c Misalkan: x = banyak handphone jenis A y = banyak handphone jenis B Handphone Jenis A Jenis B Pembatas

Banyak x y

x

40

12

Harga Beli y

1.000.000 4.000.000

Keuntungan 200.000 350.000

10 100.000.000

Daerah penyelesaian x ≥ 12 dibatasi garis x = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian y ≥ 10 dibatasi garis y = 10 dan tidak memuat titik (0, 0)

44

Program Linear

12

x + 4y = 100

y = 10

B (30, 10)

40

100

X

Garis x = 12 dan y = 10 berpotongan di titik A(12, 10). Garis y = 10 dan x + y = 40 berpotongan di titik B(30, 10). Garis x + y = 40 dan x + 4y = 100 berpotongan di titik C(20, 20). Garis x = 12 dan x + 4y = 100 berpotongan di titik D(12, 22). Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (200x + 350y) ribu. Titik Pojok

f(x, y) = (200x + 350y) ribu

A(12, 10) B(30, 10) C(20, 20) D(12, 22)

200 × 12 200 × 30 200 × 20 200 × 12

+ + + +

350 350 350 350

× × × ×

10 10 20 22

= = = =

5.900 ribu 9.500 ribu 11.000 ribu 10.100 ribu

Nilai maksimum f(x, y) adalah 11.000 ribu dicapai dititik C(20, 20). Hal ini berarti, keuntungan maksimum penjualan handphone adalah Rp11.000.000,00 jika terjual 20 handphone A dan 20 handphone B. Jadi, agar Pak Hasan memperoleh keuntungan maksimum harus terjual 20 handphone B. 23. Jawaban: a Misalkan: x = banyak keripik rasa cokelat y = banyak keripik rasa keju Banyak

Modal

Keuntungan

Cokelat Keju

x y

10.000 15.000

2.500 3.000

Pembatas

40

450.000

Keripik

Model matematika yang sesuai permasalahan adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala: x + y ≤ 40 10.000x + 15.000y ≤ 450.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 90 x ≥ 0, y ≥ 0 Garis x + y = 40 melalui (0, 40) dan (40, 0). Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garis x + y = 40 dan memuat titik (0, 0). Garis 2x + 3y = 90 melalui (45, 0) dan (0, 30). Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 90 dibatasi garis 2x + 3y = 90 dan memuat titik (0, 0).

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 200.000x + 350.000y dengan kendala: x + y ≤ 40 1.000.000x + 4.000.000y ≤ 100.000.000 ⇔ x + 4y ≤ 100 x ≥ 12 y ≥ 10 Menentukan daerah penyelesaian SPtLDV. Persamaan garis x + y = 40 melalui (40, 0) dan (0, 40). Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garis x + y = 40 dan memuat titik (0, 0). Persamaan garis x + 4y = 100 melalui (100, 0) dan (0, 25). Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 100 dibatasi garis x + 4y = 100 dan memuat titik (0, 0).

C(20, 20)

Daerah penyelesaian x ≥ 0; y ≥ 0 adalah daerah di kuadran I. Y

Daerah penyelesaian: Y 100

40 x + y = 40

30 C

C 40

A

0

50

B

y = 40

B 2x + 3y = 90 A 40 45

0

X

X

Menentukan koordinat titik B. Garis x + y = 40 dan 2x + 3y = 90 berpotongan di titik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 40 × 2 2x + 2y = 80 2x + 3y = 90 × 1 2x + 3y = 90 –––––––––––– – –y = –10 ⇔ y = 10 Substitusikan y = 10 ke persamaan x + y = 40. x + y = 40 ⇔ x + 10 = 40 ⇔ x = 30 Diperoleh koordinat titik B(10, 30). Uji titik pojok ke fungsi objektif. Titik

f(x, y) = 2.500x + 3.000y

O(0, 0)

2.500 × 0 + 3.000 × 0 = 0

A(40, 0)

2.500 × 40 + 3.000 × 0 = 100.000

B(10, 30)

2.500 × 10 + 3.000 × 30 = 115.000

C(0, 30)

2.500 × 0 + 3.000 × 30 = 90.000

Nilai maksimum f(x, y) adalah 115.000. Jadi, keuntungan terbesar Rp115.000,00.

Menu

Banyak

Porsi

Ayam goreng Bebek goreng

x y

x

100

50

Pembatas

Porsi

Harga

y

15.000 20.000

40

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 15.000x + 20.000y dengan kendala: x + y ≤ 100 x ≥ 50 y ≥ 40

x + y = 100

A merupakan perpotongan antara garis x = 50 dengan garis y = 40. Diperoleh koordinat titik A(50, 40). B merupakan perpotongan antara garis x + y = 100 dengan garis y = 40. Substitusikan y = 40 ke x + y = 100. x + y = 100 ⇔ x + 40 = 100 ⇔ x = 60 Diperoleh koordinat titik B(60, 40). C merupakan perpotongan antara garis x = 50 dengan garis x + y = 100. Substitusikan x = 50 ke x + y = 100. x + y = 100 ⇔ 50 + y = 100 ⇔ y = 50 Diperoleh koordinat titik C(50, 50). Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam ke fungsi objektif f(x, y) = 15.000x + 20.000y: Titik Pojok

24. Jawaban: b Misalkan: x = banyak menu dengan lauk ayam goreng y = banyak menu dengan lauk bebek goreng

100

A(50, 40) B(60, 40) C(50, 50)

f(x, y) = 15.000x + 20.000y 15.000 × 50 + 20.000 × 40 = 1.550.000 15.000 × 60 + 20.000 × 40 = 1.700.000 15.000 × 50 + 20.000 × 50 = 1.750.000

Nilai maksimum f(x, y) = 15.000x + 20.000y adalah 1.750.000 dicapai di titik C(50, 50). Hal ini berarti hasil penjualan maksimum diperoleh saat warung tersebut menyediakan 50 porsi menu dengan lauk ayam goreng dan 50 porsi menu dengan lauk bebek goreng. 25. Jawaban: b Misalkan: x = banyak tempe y = banyak tahu Jenis Tempe Tahu Pembatas

Banyak x y 400

Harga Beli 2.500 4.000

Keuntungan 600 1.000

1.350.000


45

5

Garis x + 2y = 5 melalui titik (5, 0) dan (0, 2 ). Daerah penyelesian x + 2y ≥ 5 dibatasi garis x + 2y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0). 5

Garis 3x + y = 5 melalui titik ( 3 , 0) dan (0, 5).

Y

Daerah penyelesaian 3x + y ≥ 5 dibatasi garis 3x + y = 5 dan tidak memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah daerah di kuadran I. Daerah penyelesaian:

400 300

5x + 10y ≥ 25 ⇔ x + 2y ≥ 5 3x + y ≥ 5 x≥0 y≥0

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 600x + 1.000y dengan kendala: x + y ≤ 400 2.500x + 4.500y ≤ 1.350.000 ⇔ 5x + 9y ≤ 2.700 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian:

x + y = 400

C

B

Y 3x + y = 5

5x + 9y = 2.700 A 400

0

X

540

5

Menentukan koordinat titik B. Garis x + y = 400 dan 5x + 9y = 2.700 berpotongan di titik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 400 × 5 5x + 5y = 2.000 5x + 9y = 2.700 × 1 5x + 9y = 2.700 ––––––––––––– – –4y = –700 ⇔ y = 175 Substitusikan y = 175 kepersamaan x + y = 400. x + y = 40 ⇔ x + 175 = 40 ⇔ x = 225 Diperoleh koordinat titik B(225, 175). Uji titik pojok ke f(x, y) = 500x + 1.000y: Titik Pojok

f(x, y) = 600x + 1.000y

O(0, 0)

600 × 0

A(400, 0)

600 × 400 + 1.000 × 0

B(225, 175)

600 × 225 + 1.000 × 175 = 310.000

C(0, 300)

600 × 0

+ 1.000 × 0

=0 = 2.400

+ 1.000 × 300 = 300.000

Nilai maksimum f(x, y) = 600x + 1.000y adalah 310.000. Jadi, keuntungan maksimum pedagang tersebut Rp310.000,00. 26. Jawaban: e Misalkan: x = banyak tablet jenis I y = banyak tablet jenis II Tablet I II

Banyak Vitamin A Vitamin B x y

Pembatas

5 10

3 1

25

5

Harga 4.000 8.000

Model matematika permasalahan adalah meminimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y dengan kendala:

5 2

Menentukan titik potong garis x + 2y = 5 dan 3x + y = 5. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + 2y = 5 6x + 2y = 10 –––––––––––– – –5x = –5 ⇔ x=1 Substitusikan x = 1 ke persamaan x + 2y = 5. x + 2y = 5 ⇔ 1 + 2y = 5 ⇔ 2y = 4 ⇔ y=2 Diperoleh titik potong (1, 2). Uji titik pojok penyelesaian.

Program Linear

f(x, y) = 4.000x + 8.000y

Titik Pojok

4.000 × 5 + 8.000 × 0 = 20.000 4.000 × 1 + 8.000 × 2 = 20.000 4.000 × 0 + 8.000 × 5 = 40.000

(5, 0) (1, 2) (0, 5)

Nilai maksimum f(x, y) = 4.000x + 8.000y adalah 20.000. Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari Rp20.000,00. 27. Jawaban: d Misalkan: x = banyak barang jenis I y = banyak barang jenis II Barang

Bahan A

Bahan B

Bahan C

Harga

Jenis I Jenis II

1 3

3 4

2 1

40.000 60.000

480

720

360

Pembatas

46

X 5 x + 2y = 5

5 3

Garis x + 3y = 480 melalui titik (0, 160) dan (480, 0). Garis 3x + 4y = 720 melalui titik (0, 180) dan (240, 0). Garis 2x + y = 360 melalui titik (0, 360) dan (180, 0). Uji titik (0, 0): Pertidaksamaan x + 3y ≤ 480 3x + 4y ≤ 720 2x + y ≤ 360

Uji (0, 0) 0 + 0 ≤ 480 (Benar) 0 + 0 ≤ 720 (Benar) 0 + 0 ≤ 360 (Benar)

x + y ≤ 25 12x + 14y ≤ 336 ⇔ 6x + 7y ≤ 168 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian:

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 40.000x + 60.000y dengan kendala: x + 3y ≤ 480 3x + 4y ≤ 720 2x + y ≤ 360 x≥0 y≥0

Y

25 24

Penyelesaian Memuat titik (0, 0) Memuat titik (0, 0) Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian :

0

C B(7, 18)

O

25

Titik Pojok

360

f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta

Uji titik pojok ke f(x, y) = 40.000x + 60.000y: f(x, y) = 40.000x + 60.000y 40.000 40.000 40.000 40.000 40.000

× 0 + 60.000 × 0 × 180 + 60.000 × 0 × 144 + 60.000 × 72 × 48 + 60.000 × 144 × 0 + 60.000 × 160

=0 = 7.200.000 = 10.080.000 = 10.560.000 = 9.600.000

28. Jawaban: a Misalkan: x = banyak motor A y = banyak motor B Banyak

Harga Beli (juta)

Keuntungan (juta)

Motor A Motor B

x y

12 14

2,4 2,6

Pembatas

25

336

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta dengan kendala:

29. Jawaban: d Misalkan: x = banyak gaun yang dibeli y = banyak rok yang dibeli Jenis

Banyak

Harga

Keuntungan

Gaun Rok

x y

60.000 30.000

25.000 20.000

Pembatas

40

1.800.000

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 25.000x + 20.000y dengan kendala: x + y ≥ 40 60.000x + 30.000y ≤ 1.800.000 ⇔ 2x + y ≤ 60 y ≥ 3x x≥0 y≥0

Dari tabel tersebut diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 10.560.000. Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh Rp10.560.000,00.

Jenis

2,4 × 0 + 2,6 × 0 = 0 juta 2,4 × 25 + 2,6 × 0 = 60 juta 2,4 × 7 + 2,6 × 18 = 63,6 juta 2,4 × 0 + 2,6 × 24 = 62,4 juta

Nilai maksimum f(x, y) adalah 63,6 juta yang dicapai pada saat x = 7 dan y = 18. Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum harus terjual 7 sepeda motor jenis A.

B(144, 72) O A X 0 180 240 480 x + 3y = 480 3x + 4y = 720 2x + y = 360

O(0, 0) A(180,0) B(144, 72) C(48, 144) D(0, 160)

X 6x + 7y = 168

Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta O(0, 0) A(25, 0) B(7, 18) C(0, 24)

Titik Pojok

28 x + y = 25

Y

180 160 D C(48, 144)

A

Y

y = 3x

60 A B 40 30

D(12, 36) C

x + y = 400 0

X

10 20 30 40 2x + y = 60

x + y = 40


47


f(x, y) = 2.000x + 20.000y

A(0, 60) B(0, 40) C(10, 30) D(12,36)

25.000 25.000 25.000 25.000

× × × ×

0 0 10 12

+ 20.000 × 60 + 20.000 × 40 + 20.000 × 30 + 20.000 × 36

= = = =

1.200.000 800.000 850.000 1.020.000

Nilai maksimum f(x, y) = 25.000x + 20.000y adalah 1.200.000. Jadi, keuntungan maksimum butik tersebut Rp1.200.000,00.

Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) = 2.100.000(x + y) adalah 134.400.000 dicapai di titik B(48, 16). Jadi, agar biaya pengoperasian minimum maka lama penambangan I dan II dioperasikan berturutturut selama 48 hari dan 16 hari. B. Uraian 1. a.

30. Jawaban: e Misalkan: x = lama pengoperasian penambangan I (hari) y = lama pengoperasian penambangan II (hari) Tempat

Tinggi

Menengah Rendah

Tambang I Tambang II

1 2

4 3

5 2

Pembatas

80

240

200

Biaya 2.100.000 2.100.000

Model matematika permasalahan adalah meminimumkan f(x, y) = 2.100.000(x + y) dengan kendala: x + 2y ≥ 80 4x + 3y ≥ 240 5x + 2y ≥ 200 x≥0 y≥0 Uji titik (0, 0): Pertidaksamaan x + 2y ≥ 80

Uji (0, 0)

Penyelesaian

0 + 0 ≥ 80 (Salah)

4x + 3y ≥ 240

5x + 2y ≥ 200

Tidak memuat titik (0, 0) 0 + 0 ≥ 240 (Salah) Tidak memuat titik (0, 0) 0 + 0 ≥ 200 (Salah) Tidak memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian SPtLDV: Y D 100

b.

80 C( 40

120 7

,

400 7

)

B(48, 16) A X 40 60 80 x + 2y = 80 4x + 3y = 240 5x + 2y = 200

0

Uji titik pojok ke f(x, y) = 2.100.000(x + y): Titik Pojok A(80, 0)

2.100.000(80 + 0) = 168.000.000

B(48, 16)

2.100.000(48 + 16) = 134.400.000

C(

120 7

,

400 7

D(0, 100)

48

f(x, y) = 2.100.000(x + y)

)

2.100.000(

120 7

+

400 7

) = 156.000.000

2.100.000(0 + 100) = 210.000.000

Program Linear

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan (–2, 0) adalah –3x – 2y = 6. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis –3x – 2y = 6 maka pertidaksamaannya –3x – 2y ≤ 6. Persamaan garis yang melalui titik (0, 1) dan sejajar sumbu X adalah y = 1. Daerah penyelesaian di atas dan pada garis y = 1 maka pertidaksamaannya y ≥ 1. Persamaan garis yang melalui titik (0, –3) dan (2, 0) adalah –3x + 2y = –6. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis –3x + 2y = –6 maka pertidaksamaannya –3x + 2y ≥ –6. Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan sejajar sumbu X adalah y = 5. Daerah penyelesaian di bawah dan pada garis y = 5 maka pertidaksamaannya y ≤ 5. Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan (–7, 0) adalah 5x – 7y = –35. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 5x – 7y = –35, maka pertidaksamaannya 5x – 7y ≥ –35. Jadi, sistem pertidaksamaannya: –3x – 2y ≤ 6 –3x + 2y ≥ –6 5x – 7y ≥ –35 1 ≤ y ≤5 Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan titik (–5, 0) adalah 5x – 5y = –25 ⇔ x – y = –5. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis x – y = –5 maka pertidaksamaannya x – y ≥ –5. Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan titik (–3, 0) adalah –2x – 3y = 6 ⇔ 2x + 3y = –6. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 2x + 3y = –6 maka pertidaksamaannya 2x + 3y ≥ –6. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan titik (2, 0) adalah 3x + 2y = 6. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 3x + 2y = 6 maka pertidaksamaannya 3x + 2y ≤ 6. Daerah penyelesaian di kiri dan pada sumbu Y, di atas dan pada sumbu X maka pertidaksamaannya x ≤ 0 dan y ≥ 0.

3. a.

Jadi, sistem pertidaksamaannya: x – y ≥ –5 2x + 3y ≥ –6 3x + 2y ≤ 6 x ≤ 0, y ≥ 0 2. a.

4x + 5y = –22

–8

B

1

1

1

1

= 2 × 5 × 4 + 2 × 4(3 + 5) = 10 + 16 = 26 satuan Jadi, luas daerah penyelesaian 26 satuan. b.

x + 2y = 6

Y A

B

4 3

–4

–3

y – 2x = 8

0

1

Y 2x – y = –4 6 x+y=2 4 2 2

6

X

C 3x + 4y = –12

Luas ABCD = Luas ABD + luas BCD

X

Garis 2x – y = –4 memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian 2x – y ≥ –4 di kanan dan pada garis 2x – y = –4. Garis x + y = 2 memotong sumbu X di titik (2, 0) dan sumbu Y di titik (0, 2). Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 di kanan dan pada garis x + y = 2. Garis 6x + 5y = 30 memotong sumbu X di titik (5, 0) dan sumbu Y di titik (0, 6). Daerah penyelesaian 6x + 5y ≤ 30 di kiri dan pada garis 6x + 5y = 30. Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 di kuadran I. Daerah penyelesaian:

0

x – 2y = 6

D

O E –2 0

1

1

= 2 × BD × AE + 2 × BD × OC

–2

–2

–2

= 2 × AE × BE + 2 × BE(DE + BC)

2

b.

1 2 X C

0

Luas ABCD = Luas ABE + luas BCDE

Y

–3

D

2x + y = 2

4

–5

2

–3

y = –2

5y – 4x = 20 3x + 2y = –6

E

A

y=2

Garis 5y – 4x = 20 memotong sumbu X di titik (–5, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian 5y – 4x ≤ 20 di kanan dan pada garis 5y – 4x = 20. Garis 3x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik (–3, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –2). Daerah penyelesaian 3x + 2y ≥ –6 di kanan dan pada garis 3x + 2y = –6. Garis 2x + y = 2 memotong sumbu X di titik (1, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2). Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 2 di kiri dan pada garis 2x + y = 2. Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y. Daerah penyelesaian SPtLDV: 2x + y = 2

Y

1

1

= 2 × 10 × 4 + 2 × 10 × 3 = 20 + 15 = 35 satuan Jadi, luas daerah penyelesaian 35 satuan. 4.

Y 6

2x + 3y = 2

4 B

–5 4x – 2y = –12

–2

4x – 2y = –8 3y – 2x = 10 f1 A 4x – 2y = 12

2 C 1

D 3

X

2x + y = 6

Misal garis selidik awal adalah f1: 4x – 2y = –8. Fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y mempunyai koefisien x positif maka nilai minimumnya dicapai di titik pojok yang dilalui garis selidik paling kiri. Garis selidik paling kiri melalui titik B(–2, 2) mempunyai persamaan 4x – 2y = –12 maka nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y adalah –12.

X 5 6x + 5y = 30


49

5.

5x – 2y = 10 Y

3x + 2y = –6 A

B –4

–2

4y – x = 16

D

5 4 3 C 2

0

X 4

–3

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y – 2x: Titik Pojok A(–4, 3) B(–2, 0) C(2, 0) D(4, 5)

f(x, y) = 3y – 2x 3 × 3 – 2 × (–4) 3 × 0 – 2 × (–2) 3×0–2×2 3×5–2×4

= 17 =4 = –4 =7

← Maksimum

8. Sebuah perusahaan makanan ringan mendapat pasokan 80 kg kentang dan 120 kg gandum setiap hari. Setiap bungkus makanan ringan A membutuhkan 100 gram kentang dan 200 gram gandum. Setiap bungkus makanan ringan B membutuhkan 200 gram kentang dan 200 gram gandum. Laba untuk setiap bungkus makanan ringan A Rp1.000,00 dan setiap bungkus makanan ringan B Rp1.200,00. Tentukan: a. model matematika permasalahan tersebut; b. laba maksimum yang mungkin diperoleh perusahaan tersebut. Jawaban: a. Misalkan: x = banyak makanan ringan A y = banyak makanan ringan B Jenis Makanan

Banyak

Kentang (gram)

Gandum (gram)

Laba

A B

x y

100 200

200 200

1.000 1.200

80.000

120.000

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 3x – 2x adalah 17.

7. Diketahui: x = banyak mainan A yang diproduksi y = banyak mainan B yang diproduksi Banyak Mainan A Mainan B

x y

Pembatas

Mesin I Mesin II 20 30

30 25

480

480

Diperoleh sistem pertidaksamaan: 20x + 30y ≤ 480 ⇔ 2x + 3y ≤ 48 30x + 25y ≤ 480 ⇔ 6x + 5y ≤ 96 x≥0 y≥0 Jadi, model matematika yang sesuai adalah 2x + 3y ≤ 48, 6x + 5y ≤ 96, x ≥ 0, y ≥ 0. 50

Program Linear

Pembatas

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 1.000x + 1.200y dengan kendala: 100x + 200y ≤ 80.000 ⇔ x + 2y ≤ 800 200x + 200y ≤ 120.000 ⇔ x + y ≤ 600 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian SPtLDV:

6. Keuntungan penjualan sepatu merek A dan merek B berturut-turut Rp20.000,00 dan Rp15.000,00, sedangkan keuntungan yang diperoleh dalam atu minggu tidak kurangdari 8 juta sehingga diperoleh pertidaksamaan: 20.000x + 15.000y ≥ 8.000.000 ⇔ 4x + 3y ≥ 1.600 . . . (1) Banyak sepatu merek B yang terjual dalam satu minggu tidak kurang dari 35 pasang sehingga diperoleh pertidaksamaan y ≥ 35 . . . (2) Jumlah sepatu yang terjual dalam satu minggu paling banyak 100 pasang sehingga diperoleh pertidaksamaan x + y ≤ 100 . . . (3) Banyak sepatu merek A dan merak B yang terjual tidak mungkin negatif sehingga diperoleh pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1)–(4) diperoleh sistem pertidaksamaan 4x + 3y ≥ 1.600 x + y ≤ 100 y ≥ 35 x≥0

b.

Y

600 400 C B

O

A 600 800

X x + 2y = 800 x + y = 600

Menentukan koordinat titik B. B merupakan perpotongan antara garis x + y = 600 dan x + 2y = 800. x + 2y = 800 x + y = 600 ––––––––––– – y = 200 Substitusikan y = 200 ke x + y = 600 x + y = 600 ⇔ x + 200 = 600 ⇔ x = 400 Diperoleh koordinat titik B(400, 200).

Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 1.000x + 1.200y: Titik Pojok O(0, 0) A(600, 0) B(400, 200) C(0, 400)

Uji titik pojok ke f(x, y) = (300x + 200y) juta:

f(x, y) = 1.000x + 1.200y 1.000 × 0 1.000 × 600 1.000 × 400 1.000 × 0

+ 1.200 × 0 + 1.200 × 0 + 1.200 × 200 + 1.200 × 400

=0 = 600.000 = 640.000 = 480.000

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) adalah 640.000. Jadi, laba maksimum yang mungkin diperoleh perusahaan itu adalah Rp640.000,00 tiap hari. 9. Misalkan: x = banyak rumah tipe A y = banyak rumah tipe B

f(x, y) = (300x + 200y) juta

O(0, 0) A(160, 0) B(80, 120) C(0, 200)

(300 × 0 + 200 × 0 = 0) juta (300 × 160 + 200 × 0 = 48.000) juta (300 × 80 + 200 × 120 = 48.000) juta (300 × 0 + 200 × 200 = 40.000) juta

Nilai maksimum f(x, y) adalah 48.000 juta atau 48 miliar. Jadi, pendapatan maksimum yang dapat diperoleh 48 miliar rupiah. 10. Misalkan: x = banyak pengoperasian truk I y = banyak pengoperasian truk II Jenis

Jenis

Banyak

Luas

Harga Jual (juta rupiah)

Rumah tipe A Rumah tipe B

x y

150 100

300 200

200

24.000

Kendala

Titik Pojok

Truk I Truk II

x y

Pembatas

300.000 200.000

5 10

15 5

20 15

100

150

300

Daerah penyelesaian: Y 3x + y = 30 30 D 4x + 3y = 60 20 x + 2y = 20

C(6, 12) 10 B(12, 4)

240 0

C

Titik Pojok

O

A 160 200 3x + 2y = 480

10

15

A 20

X

Uji titik pojok ke f(x, y) = 300.000x + 200.000y:

B(80, 120)

0

Biaya

Model matematika permasalahan adalah meminimumkan f(x, y) = 300.000x + 200.000y dengan kendala: 5x + 10y ≥ 100 ⇔ x + 2y ≥ 20 15x + 5y ≥ 150 ⇔ 3x + y ≥ 30 20x + 15y ≥ 300 ⇔ 4x + 3y ≥ 60 x≥0 y≥0

Y

200

Sepeda Motor C

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = (300x + 200y) juta dengan kendala: x + y ≤ 200 150x + 100y ≤ 24.000 ⇔ 3x + 2y ≤ 480 x≥0 y≥0 a. Garis x + y = 200 melalui titik (0, 200) dan titik (200, 0). Daerah penyelesaian x + y ≤ 200 dibatasi garis x + y = 200 dan memuat titik (0, 0). b. Garis 3x + 2y = 480 melalui titik (160, 0) dan titik (0, 240). Daerah penyelesaian 3x + 2y ≤ 480 dibatasi garis 3x + 2y = 480 dan memuat titik (0, 0). c. Garis x + y = 200 dan 3x + 2y = 480 berpotongan di titik B(80, 120). Daerah penyelesaian SPtLDV:

Sepeda Sepeda Banyak Motor A Motor B

X x + y = 200

A(20, 0) B(12, 4) C(6, 12) D(0, 30)

f(x, y) = 300.000x + 200.000y 300.000 300.000 300.000 300.000

× × × ×

20 + 200.000 × 0 12 + 200.000 × 4 6 + 200.000 × 12 0 + 200.000 × 30

= = = =

6.000.000 4.400.000 4.200.000 6.000.000

Nilai minimum f(x, y) adalah 4.200.000 dicapai pada saat x = 6 dan y = 12. Jadi, agar biaya pengoperasian minimum, truk I dioperasikan 6 kali dan truk II dioperasikan 12 kali.


51

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c ∫ (3x4 – 4x3 + 2x2 – x + 5) dx =

x5 +

–

x4 +

+

x3 +

Diperoleh: f(x) = ∫ 18(2x – 5)5 × 2 dx = ∫ 18 u5 du

2 x +

–

+ 5x + c

= x5 – x4 + x3 – x2 + 5x + c 2. Jawaban: d

∫ (

+ +

) dx = ∫ (2x2 + 3x + 1) dx

= 18 × u6 + c = 3u6 + c = 3(2x – 5)6 + c

= x3 + x2 + x + c

Diketahui: f(2) = 10 ⇔ 3(2 × 2 – 5)6 + c = 10 ⇔ 3 × 1 + c = 10 ⇔ c=7 Jadi, diperoleh fungsi f(x) = 3(2x – 5)6 + 7. 6. Jawaban: d f(x) = ∫ (12x3 – 3x2 + 2) dx

3. Jawaban: c F(x) = ∫ (

– 3) dx = − + x–3 + 1 – x + c

= – x–2 – 3x + c =–

– 3x + c

4. Jawaban: a

∫ 60t − dt Misalkan u = 3t2 – 11 ⇔ du = 6t dt

∫ 60t − dt = ∫ 10(3t2 – 11) · 6t dt

= ∫ 10 × u du

= 10 × u + c

= 8u + c

= 8(3t2 – 11) + c 5. Jawaban: b f′(x) = 36(2x – 5)5 f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ 36(2x – 5)5 dx Misalkan u = 2x – 5 ⇔ du = 2 dx

= 12 × x4 – 3 × x3 + 2x + c = 3x4 – x3 + 2x + c f(2) = 46 ⇔ 3(2)4 – (2)3 + 2(2) + c = 46 ⇔ 48 – 8 + 4 + c = 46 ⇔ 44 + c = 46 ⇔ c=2 Jadi, fungsi f(x) = 3x4 – x3 + 2x + 2. 7. Jawaban: c Gradien kurva = f′(x) = 3x2 – 2x + 4 Persamaan kurva: f(x) = ∫ (3x2 – 2x + 4) dx = x3 – x2 + 4x + c Kurva f(x) melalui titik (2, 17) f(x) = x3 – x2 + 4x + c ⇔ 17 = 23 – 22 + 4(2) + c ⇔ 17 = 8 – 4 + 8 + c ⇔ c=5 Jadi, persamaan kurva tersebut y = x3 – x2 + 4x + 5. 8. Jawaban: d f(x) = ∫ (2x5 – 3x2 + 1) dx

= x6 – x3 + x + c

= x6 – x3 + x + c

52

Ulangan Tengah Semester 1

40 = ⇔ 40 = ⇔

c=

⇔

c=

⇔

c=

(2)6 – 23 + 2 + –8+2+c 40 – + 8 – 2 −

= 24

−

∫

Diketahui f(2) = 40, berarti:

dx = ∫ u–3 du

c

= − u–2 + c −

=–

− −

∫

dx = –

Diperoleh f(x) = x6 – x3 + x + 24 . Titik potong terhadap sumbu Y diperoleh ketika x = 0.

+c

 −  −

= – (

−

− −

–

)

= – (1 – )

= (– )( )

=–

f(0) = × 06 – 03 + 0 + 24

= 24

12. Jawaban: b

Jadi, titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 24

9. Jawaban: b

∫ (f(x) – g(x)) dx

= =

⇔

∫ (f(x) – g(x)) dx + ∫ (f(x) – g(x)) dx

−

−

−

−

−

−

  −

2 p

+ 2p –

 

∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx – ∫ g(x) dx

+  = 12 

× 32 + 2 × 3) = 12

+ 2p – – 12 = 0 2 p

⇔

∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx –  ∫ g(x) + ∫ g(x) dx

(

2 p

⇔

∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx + ∫ f(x) – ∫ g(x) dx

+ 2p – = 0 ⇔ p2 + 4p – 45 = 0 ⇔ (p – 5)(p + 9) = 0 ⇔ p = 5 atau p = –9 Oleh karena p > 0 maka nilai p = 5. 13. Jawaban: c

10. Jawaban: e

∫ (2x –

∫ (x + 2) dx = 12

⇔

−

=

=

).

3x2)

dx =

x2

–

 x3



⇔ m = (42 – 43) – (02 – 03) ⇔ m = 16 – 64 ⇔ m = –48 m = –48 sehingga m – 2 = –48 – 2 = –50. Jadi, nilai m – 2 = – 50.

Misal u =

dx x2

3 x

⇔

– 3 ⇔ du = 2x dx



– x2 + x  = 

⇔

( × 23 – 22 + 2) – ( × 13 – 12 + 1) =

⇔

( a – 4 + 2) – ( – 1 + 1) =

⇔

11. Jawaban: b ∫ − −

∫ (ax2 – 2x + 1) dx =

a–2=

⇔ ⇔ Jadi, nilai a = 1.


a=2 a=1

53

14. Jawaban: a Misalkan: ⇒ ⇔

u = x2 – 2x – 3 du = (2x – 2) dx du = 2(x – 1) dx du

⇔

= (x – 1) dx

∫ (x – 1)(x2 – 2x – 3) dx =∫

(x2

=∫

=

L=

– 2x – 3)(x – 1) dx

=

= = 4

Jadi, luasnya 4 satuan luas.

u du

2 u

16. Jawaban: e Kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3. Substitusikan persamaan y = x + 3 ke dalam persamaan y = x2 + 1. x2 + 1 = x + 3 2 ⇔ x –x–2=0 D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4 × 1 × (–2) = 9

17. Jawaban: a Y

+c

= (x2 – 2x – 3)2 + c L1

∫ (x – 1)(x2 – 2x – 3) dx

L2

=

(x2 – 2x – 3)2 ]

g(x)

–

∫ (f(x) – g(x)) dx

L2 =

∫ f(x) dx

L = L1 + L2

=

=

15. Jawaban: a

∫ (f(x) – g(x)) dx + ∫ f(x) dx

= y = x2 – 5x + 6

=

L = − ∫ (x2 – 5x + 6) dx

–

= –((

−

–

+

 

+ 18) –

–

∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx Y

f(x) = x2 – 4x

0

4

–4

+ 12))

− + )

∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

X

g(x) = –x2 + 4x

(

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x) = Luas daerah yang diarsir

= –( – + 6) = –(

18. Jawaban: b f(x) = (x – 2)2 – 4 = x2 – 4x + 4 – 4 = x2 – 4x g(x) = –f(x) = –(x2 – 4x) = –x2 + 4x

X

3

2

0

Y

=

Jadi, luas daerah yang diarsir

=

∫ (g(x) – f(x)) dx

satuan luas. =

∫ (–x2 + 4x – (x2 – 4x)) dx

54

f(x)

L1 =

= (5)2 – (–4)2

=

X

b

= (42 – 2 × 4 – 3)2 – (12 – 2 × 1 – 3)2

=

a

0


=

∫ (–2x2 + 8x) dx

−

= – x3 + 4x2 ]

= ∫ (– x2 – x) dx −

= – (4)3 + 4(4)2 – (– (0)3 + 4(0)2)

 = − −   −

= – + 64 – 0 =

L = ∫ (6 – ( x2 + x + 6)) dx

= 0 – ( – 2)

21

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)

adalah 21 satuan luas.

sumbu Y, dan garis y = 6 adalah satuan luas.

19. Jawaban: d Gradien kurva y adalah y′. y′ = 3x2 + 2x + 6 ⇔ y = ∫ (3x2 + 2x + 6) dx ⇔ y = x3 + x2 + 6x + c Kurva melalui (1, 12), diperoleh: 12 = 13 + 12 + 6(1) + c ⇔ 12 = 8 + c ⇔ c =4 Persamaan kurva tersebut y = x3 + x2 + 6x + 4. Titik potong kurva dengan sumbu Y, berarti x = 0. y = 03 + 02 + 6 × 0 + 4 ⇔ y=4 Jadi, titik potong kurva tersebut dengan sumbu Y adalah (0, 4). 20. Jawaban: d f′(x) = x + 1

f(x) = ∫ (x + 1) dx = x2 + x + c Fungsi f(x) melalui titik (2, 10)

10 = (2)2 + 2 + c ⇔ 10 = 4 + c ⇔ c=6 Diperoleh f(x) =

2 x

= Jadi, luas daerah yang dibatasi y = f(x), sumbu X,

21. Jawaban: d Garis x + y = 125 melalui (0, 125) dan (125, 0). Garis 3x + 2y = 300 melalui (0,150) dan (100, 0). 1) Pertidaksamaan x + y ≤ 125 Uji titik (0, 0) ⇔ 0 + 0 ≤ 125 ⇔ 0 ≤ 125 (benar) Daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 125 dibatasi garis x + y = 125 dan memuat titik (0, 0). 2) Pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 300 Uji titik (0, 0) ⇔ 3(0) + 2(0) ≤ 300 ⇔ 0 ≤ 300 (benar) Daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 300 dibatasi garis 3x + 2y = 300 dan memuat titik (0, 0). 3) Pertidaksamaan x ≥ 0 Daerah penyelesaian x ≥ 0 adalah daerah di sebelah atas sumbu X. 4) Pertidaksamaan y ≥ 0 Daerah penyelesaian y ≥ 0 adalah daerah di sebelah kanan sumbu Y. Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh irisan daerah penyelesaian seperti grafik berikut. Y 3x + 2y = 300

150 125

+ x + 6.

Titik potong kurva y = 6 dan

kurva y = x2 + x + 6:

x + y = 125 Y

y=

x2 + x + 6

6 = x2 + x + 6

0

⇔ 0 = x2 + x ⇔ 0 = x2 + 2x ⇔ 0 = x(x + 2) ⇔ x = 0 atau x = –2

6

0

y=6

X

100 125

X

Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai ditunjukkan pada pilihan d. 22. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan (2, 0).

+ = 1⇔ 5x + 2y = 10


55

Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (6, 0).

+

= 1⇔ x + 2y = 6

Daerah yang diarsir terletak di sebelah kanan garis 5x + 2y = 10 dan di sebelah kiri garis x + 2y = 6. Dengan demikian, sistem pertidaksamaannya: 5x + 2y ≥ 10, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 23. Jawaban: b Garis x + 2y = 10 melalui (0, 5) dan (10, 0). Garis 2x + y = 10 melalui (0, 10) dan (5, 0). 1) Pertidaksamaan x + 2y ≥ 10 Uji titik (0, 0) ⇔ 0 + 2(0) ≥ 10 ⇔ 0 ≥ 10 (salah) Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 10 dibatasi garis x + 2y = 10 dan tidak memuat (0, 0). 2) Pertidaksamaan 2x + y ≤ 10 Uji titik (0, 0) ⇔ 2(0) + 0 ≤ 10 ⇔ 0 ≤ 10 (benar) Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 10 dibatasi garis 2x – y = 10 dan memuat (0, 0). 3) Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah daerah di kuadran I. Dari 1), 2), dan 3) diperoleh irisan daerah penyelesaian sebagai berikut. Y

10

2x + y = 10

5

0

10

X

24. Jawaban: e Setiap pertidaksamaan digambarkan dalam grafik kartesius. x – 2y ≤ 0 berarti daerah penyelesaiannya di

x.

x + y ≤ 4 berarti daerah penyelesaiannya di sebelah kiri garis x + y = 4. y ≤ 3x ⇔ 3x – y ≥ 0 berarti daerah penyelesaiannya di sebelah kanan garis 3x – y = 0 ⇔ y = 3x. Jika digambarkan dalam Y satu bidang cartesius y = 3x 4 seperti gambar di samping. x+y=4 Jadi, daerah yang me y= x menuhi sistem pertidaksamaan tersebut pada X 4 0 pilihan e.

56


26. Jawaban: d Persamaan garis yang melalui (5, 0) dan (0, 5) adalah x + y = 5. Persamaan garis yang melalui (6, 0) dan (0, 4) adalah 2x + 3y = 12. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan eliminasi. x+y =5 ×3 3x + 3y = 15 2x + 3y = 12 × 1 2x + 3y = 12 –––––––––––– – x =3

(x, y)

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah II.

sebelah kiri garis x – 2y = 0 ⇔ y =

adalah + = 1 ⇔ 2x + y = 4. Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah diarsir adalah 2x + y ≥ 4. 3) Persamaan garis yang sejajar sumbu X dan melalui (0, 1) adalah y = 1. Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah yang diarsir adalah y ≥ 1. Jadi, sistem pertidaksamaan linear yang sesuai dengan daerah penyelesaian di atas adalah x + y ≤ 4; y ≥ 1; 2x + y ≥ 4; y ≥ 0.

Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan x + y = 5. Dengan demikian, 3 + y = 5 ⇔ y = 2. Titik potong kedua garis adalah (3, 2). Uji titik pojok:

x + 2y = 10 5

25. Jawaban: e 1) Persamaan garis melalui (0, 4) dan (4, 0) adalah x + y = 4. Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah diarsir adalah x + y ≤ 4. 2) Persamaan garis melalui (0, 4) dan (2, 0)

(0, (3, (5, (0,

4) 2) 0) 0)

F(x, y) = 7x – 2y 7 × 0 – 2 × 4 = –8 7 × 3 – 2 × 2 = 17 7 × 5 – 2 × 0 = 35 7×0–2×0=0

Jadi, nilai maksimumnya 35. 27. Jawaban: a Untuk menghitung besar nilai maksimum f(x, y), dapat dilakukan dengan menguji titik pojok daerah penyelesaian itu. Titik Pojok (1, (3, (0, (3,

0) 3) 1) 0)

f(x, y) = 5x + 8y 5×1+8×0=5 5 × 3 + 8 × 3 = 39 5×0+8×1=8 5 × 3 + 8 × 0 = 15

Oleh karena nilai tertinggi adalah 39 maka nilai maksimum f(x, y) = 39. Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 5x + 8y pada daerah penyelesaian di atas adalah 39.

28. Jawaban: d Persamaan garis yang melalui (0, 3) dan (2, 0):

Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik

+ = 1 ⇔ 3x + 2y = 6 Persamaan garis yang melalui (0, 0) dan (6, 4): − −

−

= − ⇔ = ⇔ 4x – 6y = 0 ⇔ 2x – 3y = 0 Untuk menghitung nilai minimum f(x, y) dapat dilakukan dengan menguji titik pojok. Titik-titik pojok pada daerah yang diarsir adalah A, B, C. Titik A adalah titik potong garis 3x + 2y = 6 dan garis 2x – 3y = 0. 3x + 2y= 6 × 3 9x + 6y= 18 2x – 3y = 0 × 2 4x – 6y = 0 –––––––––– +

Z = 5x + 10y

A(2, 0) B(4, 0) C(0, 4) D(0, 3)

5 × 2 + 10 × 0 = 10 5 × 4 + 10 × 0 = 20 5 × 0 + 10 × 4 = 40 5 × 0 + 10 × 3 = 30

Jadi, nilai minimum dari sistem pertidaksamaan di atas adalah 10. 30. Jawaban: b Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + 2y ≥ 10; 4x + 5y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 sebagai berikut. Y 5 4

C

13x = 18

⇔ x =

Substitusikan x =

ke dalam persamaan

2x – 3y = 0.  

2x – 3y = 0 ⇔ 2   – 3y = 0  

⇔

= 3y

⇔

y =

A( ,

)

B(6, 4) C(0, 3)

3×

+2×

=6

3 × 6 + 2 × 4 = 26 3×0+2×3=6

Jadi, nilai minimum yang memenuhi daerah penyelesaian itu adalah 6. 29. Jawaban: e Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y ≤ 4, 3x + 2y ≥ 6, x ≥ 0 dan y ≥ 0 sebagai berikut. Y 4 3

Titik pojok daerah penyelesaian di samping adalah A(2, 0); B(4, 0); C(0, 4); dan D(0, 3).

C D

Titik C merupakan titik potong 5x + 2y = 10 dan 4x + 5y = 20. 5x + 2y= 10 × 5 25x + 10y = 50 4x + 5y= 20 × 2 8x + 10y = 40 ––––––––––––– – 17x = 10 ⇔ x =

Substitusikan x = ke dalam persamaan 5x + 2y = 10.

⇔ 5( ) + 2y = 10

B

0

2

4

X

−

⇔

2y =

⇔

2y =

⇔

y =

Koordinat titik C( , ). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik

f(x, y) = 17x + 17y

A(2, 0) B(5, 0)

C( , A

4x + 5y = 20

f(x, y) = 3x + 2y

X

Koordinat titik A ( , ). Uji titik pojok daerah penyelesaian: Titik

B 5

A 2 5x + 2y = 10

0

17 × 2 + 17 × 0 17 × 5 + 17 × 0

)

17 ×

+ 17 ×

= 34 = 85

= 70

Nilai maksimumnya 85 yang dicapai pada titik B(5, 0) atau x = 5; y = 0. Sehingga nilai x + y = 5 + 0 = 5. Jadi, nilai x + y = 5.


57

31. Jawaban: a Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + 6y ≥ 30, 4 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 4 sebagai berikut. x=7

x=4

Y

5

C

D

y=4

E B X 7 5x + 6y = 30

A 0

4

6

Koordinat titik A(6, 0), B(7, 0), C(7, 4), dan D(4, 4). Titik E adalah titik potong garis x = 4 dengan garis 5x + 6y = 30. Substitusikan x = 4 ke dalam persamaan 5x + 6y = 30. 5 × 4 + 6y = 30 ⇔ 6y = 10

⇔

y=

Koordinat titik E(4, ). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik

Z = 9x + 8y

A(6, 0) B(7, 0) C(7, 4) D(4, 4)

)

9×4+8×

= 54 = 63 = 95 = 68

= 49

Jadi, nilai maksimum Z = 9x + 8y dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah 95. 32. Jawaban: d Permasalah tersebut dapat dibuat tabel seperti berikut. Sandal

Banyak

Modal

Jenis I Jenis II

x y

6.000x 15.000y

Pembatas

30

300.000

Model matematika: x + y ≤ 30 . . . (1) 6.000x + 15.000y ≤ 300.000 ⇔ 2x + 5y ≤ 100 . . . (2) x ≥ 0, y ≥ 0 33. Jawaban: d Diketahui: x = banyak ikan lele yang dibeli (kg) y = banyak ikan kakap yang dibeli (kg) Harga pembelian ikan lele dan ikan kakap tidak boleh melebihi modal yang dimiliki penjual ikan: 10.000x + 15.000y ≤ 600.000 . . . (1) ⇔ 2x + 3y ≤ 120 Jumlah berat ikan lele dan ikan kakap yang dibeli tidak lebih dari 50 kg: ⇔ x + y ≤ 50 . . . (2) 58


34. Jawaban: c Jenis

Banyak

Vitamin B

Vitamin C

Tablet I Tablet II

x y

2x 3y

3x 2y

18

15

Pembatas

Jumlah vitamin B yang dikonsumsi paling sedikit 18 unit diperoleh pertidaksamaan: 2x + 3y ≥ 18 . . . (1) Jumlah vitamin C yang dikonsumsi paling sedikit 15 unit diperoleh pertidaksamaan: 3x + 2y ≥ 15 . . . (2) Banyak tablet I dan tablet II tidak boleh negatif diperoleh pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0. Model matematikanya berupa sistem pertidaksamaan linear: 2x + 3y ≥ 18 3x + 2y ≥ 15 x≥0 y≥0

E(4,

9 × 6 + 8× 0 9×7+8×0 9×7+8×4 9×4+8×4

Banyak ikan lele dan ikan kakap tidak boleh negatif: x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (3) Diperoleh sistem pertidaksamaan: 2x + 3y ≤ 120 x + y ≤ 50 x ≥ 0, y ≥ 0 Jadi, model matematika yang sesuai adalah 2x + 3y ≤ 120; x + y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0

35. Jawaban: b Diketahui: x = banyak motor manual y = banyak motor matic Persediaan motor manual paling sedikit 100 unit dan kurang dari 150 unit, diperoleh pertidaksamaan: 100 ≤ x ≤ 150 . . . (1) Persediaan motor matic paling sedikit 150 unit, diperoleh pertidaksamaan: y ≥ 150 . . . (2) Jumlah motor matic dan manual tidak lebih dari 400: x + y ≤ 400 Jadi, model matematika yang sesuai adalah x + y ≤ 400; 100 ≤ x ≤ 150; y ≥ 150 36. Jawaban: e Misalkan: x = banyak gaun A yang dibuat y = banyak gaun B yang dibuat Diperoleh model matematika: 2x + 1,5y ≤ 60 ⇔ 4x + 3y ≤ 120 . . . (1) x + 2,5y ⇔ 65 ⇔ 2x + 5y ≤ 130 . . . (2) x ≥ 0, y ≥ 0 . . . (3)

Memaksimumkan f(x, y) = 500.000x + 400.000y. 4x + 3y = 120 ×1 4x + 3y = 120 2x + 5y = 130 ×2 4x + 10y = 260 ––––––––––––– – –7y = –140 ⇔ y = 20 Dengan demikian diperoleh x = 15. Jadi, titik potongnya (15, 20). Daerah penyelesaian: Y

40

Titik

(15, 20)

26

30

0

65 4x + 3y = 120

Titik Pojok

X 2x + 5y = 130

F(x, y) = 500.000x + 400.000y

(0, 26) (15, 20) (30, 0) (0, 0)

500.000 × 0 + 400.000 × 26 = 10.400.000 500.000 × 15 + 400.000 × 20 = 15.500.000 500.000 × 30 + 400.000 × 0 = 15.000.000 500.000 × 0 + 400.000 × 0 = 0

Nilai maksimum f(15, 20) = 15.500.000. Jadi, keuntungan maksimum Rp15.500.000,00.

Banyak

Luas

Biaya Parkir

Mobil Bus

x y

10x 20y

5.000x 8.000y

Pembatas

24

300

Model matematika pada persoalan di atas dapat dibuat sebagai berikut. 10x + 20y ≤ 300 ⇔ x + 2y ≤ 30 x + y ≤ 24 x ≥ 0; y ≥ 0 Memaksimumkan F(x, y) = 5.000x + 8.000y Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut: Y

x + y = 24

15

C B

x + 2y = 30 A

O

24

30

X

5.000 × 0 + 8.000 × 0 5.000 × 24 + 8.000 × 0 5.000 × 18 + 8.000 × 6 5.000 × 0 + 8.000 × 15

=0 = 120.000 = 138.000 = 120.000

Nilai maksimum F(x, y) adalah 138.000. Jadi, hasil maksimum tempat parkir tersebut Rp138.000,00. 38. Jawaban: d Misalkan: x = banyak rumah tipe A y = banyak rumah tipe B Jenis Rumah Banyak Lahan (m2) x y

Tipe A Tipe B

100x 75y

125

Pembatas

10.000

Keuntungan (Juta) 10x 6y

Model matematika persoalan tersebut dapat dibuat sebagai berikut. 100x + 75y ≤ 10.000 ⇔ 4x + 3y ≤ 400 x + y ≤ 125 x ≥ 0; y ≥ 0 Memaksimumkan F(x, y) = 10.000.000x + 6.000.000y Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

37. Jawaban: d Misalkan: x = banyak mobil yang sedang diparkir y = banyak bus yang sedang diparkir Kendaraan

F(x, y) = 5.000x + 8.000y

O(0, 0) A(24, 0) B(18, 6) C(0, 15)

Uji titik pojok ke fungsi objektif:

24

Titik B merupakan titik potong garis x + 2y = 30 dan x + y = 24. x + 2y = 30 x + y = 24 ––––––––– – y=6 Substitusikan y = 6 ke dalam persamaan x + y = 24. x + 6 = 24 ⇔ x = 18 Diperoleh koordinat titik B(18, 6) Uji titik pojok ke fungsi objektif:

Y

125

C

4x + 3y = 400 B

x + y = 125

O

A 100 125

X

Titik B adalah titik potong garis 4x + 3y = 400 dan x + y = 125. 4x + 3y = 400 × 1 4x + 3y= 400 x + y = 125 × 3 3x + 3y= 375 ––––––––––– – ⇔ x = 25 Substitusikan x = 25 ke dalam persamaan x + 2y = 125.


59

⇔ 25 + y = 125 ⇔ y = 100 Diperoleh koordinat titik B(25, 100). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik

Nilai minimum f(x, y) adalah 5.000.000 Jadi, biaya sewa minimum yang dikeluarkan sekolah Rp5.000.000,00.

F(x, y) = (10x + 6y)

O(0, 0) A(100, 0) B(25, 100) C(0, 125)

(10 × 0 + 6 × 9 (10 × 100 + 6 × 0 (10 × 25 + 6 × 100 (10 × 0 + 6 × 125)

= 0) juta = 1.000) juta = 850) juta = 750) juta

Banyak

Daya Angkut

Harga Sewa

Bus Minibus

x y

50x 30y

900.000x 500.000y

Pembatas

8

300

Kendaraan

Diperoleh SPtLDV: x+y≥8 50x + 30y ≥ 300 ⇔ 5x + 3y ≥ 30 x≥0 y≥0 Meminimumkan f(x, y) = 900.000x + 500.000y. Daerah penyelesaian SPtLDV: Y

10

C

8 B

0

A X 6 8 5x + 3y = 30 x + y = 8

Titik B merupakan perpotongan garis 5x + 3y = 30 dan x + y = 8. Koordinat B(3, 5). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik A(8, 0) B(3, 5) C(0, 10)

60

f(x, y) = 900.000x + 500.000y 900.000 × 8 + 500.000 × 0 = 7.200.000 900.000 × 3 + 500.000 × 5 = 5.200.000 900.000 × 0 + 500.000 × 10 = 5.000.000


Banyak

Jenis Arloji Arloji wanita Arloji pria

x y

Pembatas

30

Harga Beli 60.000 240.000

Keuntungan 20.000 60.000

3.600.000

Diperoleh model matematika: x + y ≤ 30 60.000x + 240.000y ≤ 3.600.000 ⇔ x + 4y ≤ 60 x ≥ 0, y ≥ 0 Memaksimumkan f(x, y) = 20.000x + 60.000y. Daerah penyelesaian:

Nilai maksimum F(x, y) = 1.000 juta = 1 miliar dicapai pada titik A(100, 0) atau pada saat x = 100 dan y = 0. Jadi, keuntungan maksimum yaitu 1 miliar rupiah dapat dicapai jika pemborong tersebut membuat 100 rumah tipe A. 39. Jawaban: d Misalkan: x = banyak bus y = banyak minibus

40. Jawaban: d Misalkan: x = banyak arloji wanita y = banyak arloji pria

Y

30 C 15

B A 30

O

x + y = 30

X 60 x + 4y = 60

Titik B merupakan titik potong garis x + y = 30 dan x + 4y = 60. x + 4y= 60 x + y = 30 ––––––––– – 3y = 30 ⇔ y = 10 Substitusikan y = 10 ke dalam pesamaan x + y = 30. x + 10 = 30 ⇔ x = 20 Koordinat titik B(20, 10). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik O(0, 0) A(30, 0) B(20, 10) C(0, 15)

F(x, y) = 20.000x + 60.000y 20.000(0) + 60.000(0) = 0 20.000(30) + 60.000(0) = 600.000 20.000(20) + 60.000(10) = 1.000.000 20.000(0) + 60.000(15) = 900.000

Nilai maksimum f(x, y) adalah 1.000.000 yang dicapai pada titik B(20, 10) atau x = 20 dan y = 10. Jadi, keuntungan maksimum diperoleh jika pedagang membeli 20 arloji wanita dan 10 arloji pria.

B. Uraian 1. a.

3. a.

∫

(5x4

2x3

–

4x2

+

=

x4 + 1 +

=

5 x

–

4 x

–

3 x

+

+

=

– 3x + c

= ∫ (2x – 3x = =

+

x

x –

+1

−

– 3x + c

−

2. a.

) dx

=

− + −

x

−

+

=

= x4 + 4( x ) + 4x  

= x4 + x + 4x  

+c

∫

−

–

+ 1)

+ + c

– 1 ⇔ du = 2x dx

∫ 3x − dx =

∫

−

− − +

= 131

dx

Misal u = x2 – 4x + 3 ⇔ du = (2x – 4) dx ⇔ du = 2(x – 2) dx

∫ 3x − dx x2

= +c

c.

=

= (64 + × 25 + 16) – 0

· 4x dx

= × +c

= 64 + 16 + du

– ( (0)4 + (0) + 4(0))

(2x2

= ( (4)4 + (4) + 4(4))

= ∫

Misalkan u =

∫ (x3 + 4x + 4) dx

dx =

∫ (x + 2)2 dx

+1

∫

b.

∫ (x + 2)2 dx

Misalkan u = 2x 2 + 1 ⇔ = 4x ⇔ du = 4x dx

= (9 + + 3) – ( + 1 + 1) = 10

= x3 +

= ( (3)3 + (3)–1 + 3) – ( (1)3 + (1)–1 + 1)

b.

x

= x3 + x–1 + x 

) dx

–

= x + 6x

−

∫ (x2 – x–2 + 1) dx

∫(2x2 –

+ 1) dx

x2 + 1 +

= x5 – x4 + x3 – 3x + c b.

– 3) dx

x3 + 1 +

∫ (x2 –

∫ (x2 – 1) · 2x dx

∫

− − +

=∫

=u +c

−

du

= (2u ) + c

= × u + c

− +

=∫ u

= ∫ u du

−

dx = ∫

= u + c =

− + + c

= (x2 – 1) − + c


61

−

∫

− +

−

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

dx

=

− +  −

=

− + –

=

–

Jadi, nilai a = 3.

− − − +

6. Persamaan garis yang melalui (0, 2) dan (2, 0):

= –2 f′(x)

+ = 1 ⇔ x + y = 2 ⇔ y = –x + 2 Menentukan titik potong garis y = –x + 2 dan kurva y = x2. ⇔ x2 = –x + 2 ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ (x – 1)(x + 2) = 0 ⇔ x = 1 atau x = –2 Garis y = –x + 2 berpotongan di x = 1 atau x = –2.

=0–2

4. a.

40 – 54 + 2 + 5a = 3 –12 + 5a = 3 5a = 15 a=3

= 2x +

f(x) = ∫ (2x + ) dx = x2 + x + c f(4) = 12

⇔ 42 + 4 + c = 12 ⇔

y1 = x2

16 + + c = 12

⇔

c = 12 – 16 – = –9

Jadi, f(x) = x2 + b.

Y

x –

9

.

= ∫ (–x + 2 – x2) dx

+c

f(4) = 5

⇔

c =5–4+

⇔

c =2

+

2

.

∫ (2x3 – 6x2 + ax) dx = 3

⇔ ⇔

⇔ ⇔

62

 4  x



– x3 + x2  = 3

 4  x



– 2x3 + x2  = 3

  × 34 – 2 × 33 + × 32  –      × 14 – 2 × 13 + × 12  = 3        – 54 +  –  – 2 +  = 3    – – 54 + 2 + + = 3


– (– (0)2 + 2(0) – (0)3)

⇔

= – (1)2 + 2(1) – (1)



= – x2 + 2x – x3  

+c =5

Jadi, f(x) = x – 5.

X y2 = –x + 2

⇔ 4–

2

LI = ∫ (y2 – y1) dx

= x + − x–1 + c

1

f(x) = ∫ (1 + 5x–2) dx

=x–

LII

0

f′(x) = 1 + 5x–2

LI

=–+2– –0

= satuan luas

LII = ∫ (y1 – y2) dx

= ∫ (x2 – (–x + 2)) dx

= ∫ (x2 + x – 2)) dx



= x3 + x2 – 2x  

3)

Garis yang melalui (0, 3) dan (3, 0) yaitu x + y = 3. Oleh karena daerah penyelesaiannya di atas garis x + y = 3, pertidaksamaan yang sesuai adalah x + y ≥ 3. 4) Garis yang melalui (0, 7) dan (7, 0) yaitu x+y=7 Oleh karena daerah penyelesaiannya di bawah garis x + y = 7, pertidaksamaan yang sesuai adalah x + y ≤ 7. Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah penyelesaian itu adalah

= (2)3 + (2)2 – 2(2)

– ( (1)3 + (1)2 – 2(1))

= +2–4– – +2

= satuan luas Luas daerah yang diarsir = LI + LII

y ≤ 2x; y ≥ x; x + y ≥ 3; x + y ≤ 7.

= +

= = 3 satuan luas Jadi, luas daerah yang diarsir 3 satuan luas. 7. a.

Pada gambar a, terdapat tiga garis yang membatasi daerah penyelesaian. 1) Persamaan garis yang melalui (0, 1) dan (3, 0) yaitu x + 3y = 3. Oleh karena daerah penyelesaian di kanan garis x + 3y = 3, pertidaksamaan yang sesuai adalah x + 3y ≥ 3. 2) Persamaan garis yang melalui (0, 4) dan (3, 0) yaitu 4x + 3y = 12. Oleh karena daerah penyelesaiannya di kiri garis 4x + 3y = 12, pertidaksamaan yang sesuai adalah 4x + 3y ≤ 12. 3)

Persamaan garis yang melalui (– , 0) dan (0, 4):

⇔

b.

− − y

=

+ +

Garis y =

x. Oleh karena daerah

B

5 0

C(15, 0) X 15

5

Persamaan garis melalui (0, 15) dan (5, 0):

+ = 1 ⇔ 3x + y = 15 Persamaan garis melalui (0, 5) dan (15, 0): + = 1 ⇔ x + 3y = 15 Titik B merupakan perpotongan garis 3x + y = 15 dan x + 3y = 15. Eliminasi y: 3x + y= 15 ×3 9x + 3y= 45 x + 3y = 15 ×1 x + 3y = 15 –––––––––– – 8x = 30

⇔

penyelesaiannya di atas y = x maka pertidaksamaan yang sesuai adalah y ≥ x.

15 A(0, 15)

= 4x + 6

⇔ 3y = 8x + 12 Oleh karena daerah penyelesaian di sebelah kanan 8x – 3y = –12, pertidaksamaannya adalah 8x – 3y ≥ –12. Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah penyelesaian pada gambar c adalah x + 3y ≥ 3; 4x + 3y ≤ 12; 8x – 3y ≥ –12. Pada gambar b, terdapat empat garis yang membatasi daerah penyelesaian. 1) Garis y = 2x. Oleh karena daerah penyelesaiannya di bawah y = 2x maka pertidaksamaan yang sesuai adalah y ≤ 2x. 2)

Y

8. a.

Eliminasi x: 3x + y = 15 x + 3y = 15

×1 ×3

x=

3x + y = 15 3x + 9y = 45 ––––––––––– – –8y = –30

⇔

y=

Koordinat titik B ( , ). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik

f(x, y) = 25x + 20y

A(0, 15) B(

,

C(15, 0)

25(0) + 20(15) )

25(

) + 20(

25(15) + 20(0)

= 300 )=

= 168

= 375

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 25x + 20y adalah

168 .


63

b.


c.


= 1 ⇔ 4x + 3y = 48


+ = 1 ⇔ 3x + 2y = 24 Persamaan garis melalui (0, 12) dan (16, 0):

+

+ = 1 ⇔ 3x + 5y = 60 Persamaan garis sejajar sumbu Y dan melalui (3, 0) adalah x = 3.

Y

Y 16

12

A

12

0

3 x=3

12

× 5 × 3

x =

Koordinat titik B( , ). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik

,

C(20, 0)

25(3) + 20(12) )

25(

) + 20(

25(20) + 20(0)

= 315 ) = 310

= 500

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 25x + 20y adalah 315.


3x + 4y = 48

3x + 2y = 24

Titik B merupakan perpotongan garis y = 4 dan garis 3x + 2y = 24. y = 4 ⇔ 3x + 2(4) = 24

⇔

3x =

⇔

x=

Koordinat titik B( , 4). Titik C merupakan perpotongan garis y = 4 dengan garis 3x + 4y = 48. y = 4 ⇔ 3x + 4(4) = 48 ⇔ 3x = 32

⇔

x=

Koordinat titik C( , 4). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik

f(x, y) = 25x + 20y

A(0, 12)

25(0) + 20(12)

B(

, 4)

C(

, 4)

= 240

25(

) + 20(4)

= 213

25(

) + 20(4)

= 346

Jadi, nilai minimum f(x, y) = 25x + 20y adalah

f(x, y) = 25x + 20y

A(3, 12)

X

16

8

20x + 15y = 240 9x + 15y = 180 ––––––––––––– – 11x = 60

0

y =

⇔

y=4

4

4x + 3y = 48

Eliminasi y: 4x + 3y = 48 3x + 5y = 60

C

B

C X 20 3x + 5y = 60

⇔

64

A(0, 12)

B

Titik A merupakan perpotongan garis x = 3 dan garis 4x + 3y = 48. Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan 4x + 3y = 48. 4(3) + 3y = 48 ⇔ 3y = 48 – 12 ⇔ y = 12 Diperoleh koordinat A(3, 12). Titik B merupakan perpotongan garis 4x + 3y = 48 dan 3x + 5y = 60. Eliminasi x: 4x + 3y= 48 × 3 12x + 9y = 144 3x + 5y = 60 × 4 12x + 20y = 240 ––––––––––––– – –11y = –96

B(

+ = 1 ⇔ 3x + 4y = 48 Persamaan garis melalui (0, 4) dan sejajar sumbu X yaitu y = 4.

213 . 9. Misalkan: x = banyak tiket kelas utama y = banyak tiket kelas ekonomi Kelas

Banyak

Bagasi

Pendapatan

Utama Ekonomi

x y

50x 20y

500.000x 250.000y

Pembatas

50

1.150

Sistem pertidaksamaan linear: x + y ≤ 50 50x + 20y ≤ 1.150 x≥0 y≥0 Fungsi sasaran memaksimumkan f(x, y) = 500x + 250y (dalam ribuan rupiah). Daerah penyelesaian:

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut sebagai berikut. Y 8 C

5 B

Y 57,5 50 (5, 45)

0

23

50

X

Uji titik sudut: f(x, y) = 500x + 250y f(0, 0) = 500 × 0 + 250 × 0 = 0 f(23, 0) = 500 × 23 + 250 × 0 = 11.500 f(5, 45) = 500 × 5 + 250 × 45 = 13.750 f(0, 50) = 500 × 0 + 250 × 50 = 12.500 Diperoleh nilai maksimum fungsi sasaran 13.750 dalam ribuan rupiah. Jadi, pendapatan maksimumnya Rp13.750.000,00. 10. Misalkan: x = banyak tablet A y = banyak tablet B Jenis Tablet I Tablet II Pembatas

A X 4 6 2x + y = 8 5x + 6y = 30

0

Titik-titik pojok penyelesaiannya adalah A, B, C. Titik B adalah titik potong antara 2x + y = 8 dan 5x + 6y = 30. Eliminasi x: 2x + y = 9 × 6 12x + 6y = 48 5x + 6y = 30 × 1 5x + 6y = 30 ––––––––––– – 7x = 18 ⇔ x =

Substitusikan x =

5x + 6y = 30.

5( ) + 6y = 30

⇔ 6y = 30 –

⇔ 6y =

Banyak

Vitamin A

Vitamin B

Harga

x y

12x 6y

5x 6y

500x 350y

48

30

Persoalan di atas dapat dibuat menjadi model matematika sebagai berikut. 12x + 6y ≥ 48 ⇔ 2x + y ≥ 8 5x + 6y ≥ 30 x ≥ 0; y ≥ 0 Meminimumkan F(x, y) = 500x + 350y

ke dalam persamaan

⇔ y=

Diperoleh titik B( , ). Uji titik pojok ke fungsi objektif F(x, y) = 500x + 350y: Titik

F(x, y) = 500x + 350y

A(6, 0) B(

,

C(0, 8)

500 × 6 + 350 × 0

)

500 ×

+ 350 ×

500 × 0 + 350 × 8

= 3.000

= 2.285,71 = 2.800

Jadi, pengeluaran minimum setiap hari adalah Rp2.285,71.


65

Matriks

Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

• • • •

• • • • • • • • • • • • •

Pengertian Matriks Notasi dan Ordo Matriks Jenis Matriks Kesamaan Dua Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

• •

Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks

Perkalian Matriks

Determinan dan Invers Matriks

•

•

• •

Perkalian Skalar Matriks Perkalian Antarmatriks Pemangkatan Matriks

•

Determinan Matriks Invers Matriks

Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear

•

•

•

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Matriks

Bersikap percaya diri dalam melengkapi permasalahan dan menyelesaikannya. Mampu menjelaskan pengertian matriks. Mampu menyebutkan jenis matriks. Mampu menentukan transpos matriks. Mampu menggunakan kesamaan matriks untuk menentukan elemen matriks. Mampu melakukan pejumlahan dan pengurangan matriks. Mampu melakukan operasi perkalian matriks. Mampu menentukan hasil pemangkatan matriks. Mampu menentukan determinan matriks. Mampu menentukan invers matriks. Mampu menggunakan sifat determinan dan invers matriks. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear menggunakan invers matriks. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear menggunakan determinan matriks.

66

Matriks

A.

Uraian

1. Jawaban: c Dalam matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen a11 dengan ann disebut elemen diagonal utama. Perhatikan matriks berikut.  −   −     

2. Jawaban: e Transpos dari matriks C adalah suatu matriks baru yang terbentuk jika elemen-elemen pada baris matriks C ditukarkan dengan elemen-elemen pada kolomnya.   Diketahui C =  − sehingga C T =            −  3. Jawaban: d Matriks segitiga atas adalah suatu matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama berupa nol. Perhatikan matriks pada pilihan d.

       

 A =   

   

Banyak baris matriks A = 3 dan banyak kolom matriks A = 3 maka ordo matriks A = 3 × 3. 2) Pada matriks A banyak baris = banyak kolom maka matriks A merupakan matriks persegi. 3) Semua elemen matriks A = 0 kecuali elemen pada diagonal utama maka matriks A merupakan matriks diagonal. 4) Semua elemen pada diagonal utama sama, yaitu 2 dan elemen yang lain 0 maka matriks A merupakan matriks skalar. 5) Matriks identitas adalah suatu matriks persegi dengan elemen-elemen pada diagonal utama sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol. Oleh karena elemen diagonal utama matriks A adalah 2 ≠ 1 maka matriks A bukan matriks identitas. Jadi, matriks A bukan matriks identitas. 6. Jawaban: b Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi yang elemen-elemennya nol (0), kecuali elemen pada diagonal utama (tidak semua nol). Jadi, matriks diagonal.

Pada matriks di atas, semua elemen di bawah diagonal utama berupa nol.   Jadi, matriks   merupakan matriks     segitiga atas.

4. Jawaban: d

 −   −   

5. Jawaban: c

1)

Elemen-elemen diagonal utama adalah 4, –2, 0.

 −      Diketahui A =  −      

Matriks AT terdiri atas 2 baris dan 5 kolom sehingga ordo matriks AT adalah 2 × 5. Jadi, ordo matriks AT adalah 2 × 5.

sehingga A T =

    merupakan matriks    

7. Jawaban: c P=Q

  +   ⇔  −  =  −   Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: 2a + b = 5 . . . (1) a – b = –2 . . . (2) Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 2a + b = 5 a – b = –2 –––––––––– + 3a = 3 ⇔ a=1


67

Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (2). a – b = –2 ⇔ 1 – b = –2 ⇔ –b = –2 – 1 ⇔ –b = –3 ⇔ b =3 Nilai b – 2a = 3 – 2(1) = 3 – 2 = 1 Jadi, nilai b – 2a adalah 1. 8. Jawaban: c A=B       ⇔ − − =  −          Dari kesamaan matriks diperoleh: 4a = 12 ⇔ a=3 . . . (1) –3b = 3a ⇔ –3b = 3(3) ⇔ b = –3 . . . (2) 3c = b ⇔ 3c = –3 ⇔ c = –1 . . . (3) Jadi, nilai a + b + c = 3 + (–3) + (–1) = –1 9. Jawaban: d

  +   AT = B ⇔  + +  =       Dari kesamaan matriks diperoleh: x+y=5 . . . (1) 4x = 8 . . . (2) Dari persamaan (2) diperoleh: 4x = 8 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1). x+y=5 ⇔ 2+y=5 ⇔ y=3 Jadi, nilai x dan y berturut-turut adalah 2 dan 3. 10. Jawaban: e  +     =       Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: log x + log y = 0 . . . (1) log y = 1 Menentukan nilai y: log y = 1 ⇔ log y = log 10 ⇔ y = 10 . . . (2) Substitusikan y = 10 ke dalam persamaan (1). log x + log y = 0 ⇔ log x + log 10 = 0 ⇔ log x + 1 = 0 ⇔ log x = –1 ⇔ x = 10–1

⇔

68

x =

Matriks

= = 100

Jadi, nilai adalah 100. B.

Uraian

 1. A =  −  

a.

b. c.

 B =   

b. c. 4. a.

−    

diagonal samping

diagonal utama

Banyak baris = 3, banyak kolom = 3 Ordo = banyak baris × banyak kolom = 3 × 3 Jadi, ordo matriks A adalah 3 × 3. Elemen-elemen pada diagonal utama adalah 2, 0, 2. Elemen-elemen pada diagonal samping adalah 7, 0, –3.

 − 2. A =   

3. a.

  sehingga AT = 



− −

 −  sehingga BT = 



  −    −

 −  

    



      A =        

Ordo matriks A = 5 × 2 dan banyak elemen matriks A = 10.   AT =    

 − +  R=     −  ⇔ RT =  +    Jadi, transpos matriks  −   +  .  

b.

 −   

RT = S

 −   −  ⇔  +  =      

R

adalah

Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: 3a – b = –5 . . . (1) 6a + 7b = 8 . . . (2) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). 3a – b = –5 × 2 6a – 2b = –10 6a + 7b = 8 × 1 6a + 7b = 8 ––––––––––– – –9b = –18 ⇔ b=2 Substitusikan b = 2 ke dalam persamaan (1). 3a – b = –5 ⇔ 3a – 2 = –5 ⇔ 3a = –5 + 2 ⇔ 3a = –3 ⇔ a = –1 a2b = (–1)2(2) = 1 × 2 = 2 Jadi, nilai a2b adalah 2. 5. a.

b.

      =      Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: 4x = 8 ⇔ x = 2 y=3 Jadi, nilai x = 2 dan y = 3. (2x 3xy) = (2 6) Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: 2x = 2 ⇔ x = 1 Substitusikan nilai x = 1 ke dalam persamaan 3xy = 6. 3xy = 6 ⇔ 3×1×y=6 ⇔ 3y = 6 ⇔ y=2 Jadi, nilai x = 1 dan y = 2.

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: c C =A+B

 −    =   +        −  =       CT =  −   

c.

 −   −  =    −  −     Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: y=2 4z = 12 ⇔ z = 3 Substitusikan nilai y = 2 ke dalam persamaan 3x – 5y = –7. 3x – 5y = –7 ⇔ 3x – 5 × 2 = –7 ⇔ 3x – 10 = –7 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1 Jadi, nilai x = 1, y = 2, dan z = 3.

d.

 −   −    =       Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: –x = 2 ⇔ x = –2 Substitusikan x = –2 ke persamaan xz = –2. xz = –2 ⇔ –2 × z = –2 ⇔ z=1 Substitusikan x = 1 ke persamaan 3yz = 6. 3yz = 6 ⇔ 3y × 1 = 6 ⇔ 3y = 6 ⇔ y=2 Jadi, nilai x = –2, y = 2, dan z = 1.

2. Jawaban: a A =C+D

    =  −  +  −        =       Jadi, matriks A =   .  

  Jadi, matriks CT =  −  .  


69

3. Jawaban: e  A + AT =  −  

 −  

 +    − 

 + =  − +   −

− + +



=    −

−    

−

   

− + 

+   + 

7. Jawaban: c    −   AT – A =  − −  –  − −    − −     − 

4. Jawaban: c

    M =   ⇔ MT =          −   K + L – MT =   +  −  –          + − − −  =  − − + −      =  −    5. Jawaban: e A + B = 2CT ⇔ ⇔

 

!

 

  "  −   " "  =       Dari kesamaan matriks diperoleh: p + 5 = –4 ⇔ p = –9 ⇔

2q + 3 = 6 ⇔ 2q = 3 ⇔ q = 3r + 2 = 8 ⇔ 3r = 6 ⇔ r = 2

p + 2q + r = –9 + 2 × + 2 = –9 + 3 + 2 = –4 Jadi, nilai p + 2q + r = –4. 6. Jawaban: d

+     −    −  +  −  =  −     − + +   +   ⇔  + −  =  −  − +    

70

     + − −  =  −     

Matriks

 −  =  − −      Trace matriks (A – AT) = 0 + 0 + 0 = 0. Catatan: Elemen-elemen diagonal utama matriks A dan AT selalu sama sehingga jumlah semua elemen diagonal utama (A – AT) adalah nol.

8. Jawaban: a

   −  −   +   = 2        " " −   −  " "  = 2    

⇔

Dari kesamaan matriks, diperoleh: y=2 . . . (1) 1+x–y=3 . . . (2) Substitusikan y = 2 ke persamaan (2). 1+x–y=3 ⇔ 1+x–2=3 ⇔ x–1=3 ⇔ x=4 x+y=4+2=6 Jadi, nilai x + y = 6.

  

−   − –    

 

=    

−  

 + − −   −   − −  =      Dari kesamaan matriks diperoleh: p + 12 = 16 ⇔ p = 16 – 12 ⇔ p=4 2q – 7 = 11 ⇔ 2q = 11 + 7 ⇔ 2q = 18 ⇔ q=9 –3r – 5 = –14 ⇔ –3r = –14 + 5 ⇔ –3r = –9 ⇔ r=3 2s – 3 = 7 ⇔ 2s = 7 + 3 ⇔ 2s = 10 ⇔ s=5 Jadi, nilai p, q, r, dan s yang memenuhi persamaan di atas berturut-turut 4, 9, 3, dan 5. ⇔

9. Jawaban: e  − −  −   − −    –   =          −   +     − − − − −   − −   −    − ⇔  =   + −   −  − 

⇔

−  +   − −         =  + −   −  

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 2p + 8 = –q ⇔ 2p + q = –8 . . . (1) 4p + q – 10 = –p ⇔ 4p + p + q = 10 ⇔ 5p + q = 10 . . . (2) Eliminasi q dari persamaan (1) dan (2). 2p + q = –8 5p + q = 10 –––––––––– – –3p = –18 ⇔ p=6 Substitusikan p = 6 ke dalam persamaan (1). 2p + q = –8 ⇔ 2 × 6 + q = –8 ⇔ 12 + q = –8 ⇔ q = –8 – 12 ⇔ q = –20 4p – q = 4 × 6 – (–20) = 24 + 20 = 44 Jadi, nilai 4p – q = 44.

a.

   −    =   +   –            −     + − + − −   −  =  + − +−  =        + − + − −   −   −  Jadi, A + BT – C =      − 

b.

 −  =  −   

c.

 + + +    =  − + −  =  − −     

     − −   ⇔   +  −  –   =  − −  −          + +  ⇔  − −  =  Dari kesamaan matriks diperoleh: 6+x=8⇔x=2 2 – y = –x ⇔ 2 – y = –2 ⇔ y = 4 x + 2xy + y = 2 + 2 × 2 × 4 + 4 = 22 Jadi, nilai x + 2xy + y = 22. Utaian

    A=   dan (B + CT) =  

   − −   

×

     

 −  C =   ⇔ CT =    − 

       

   − −   

   − −  

 ×

Ordo matriks A tidak sama dengan ordo matriks matriks (B + CT). Oleh karena itu, pengurangan kedua matriks tidak dapat dilakukan. Jadi, A – (B + CT) tidak terdefinisi.

2. a.

  T B=   ⇔B =  

 −  Jadi, AT – B + CT =  −    T (B + C )     =   +  − −    

  A+B–C=    − − 

  1. A =   ⇔ AT =    

AT – B + CT

      =   –  +  − −         − + −+   − + =  − + − − + − + −   

10. Jawaban: e

B.

A + BT – C

   − + X =  −       −     ⇔ X =  −  –  −      −    −    − − −   −  ⇔X=   ⇔X=    − −   −     Jadi, matriks X =  −   −  Matematika Kelas XII Program IPS

71

b.

    X –   =      

4.

    ⇔ X =   +      

− − −    −  −  − −   −  − ⇔   =   −  −   − − 

 + +    ⇔ X =  + +  ⇔ X =         Jadi, matriks X =   .   c.

    – X =    

⇔

 −       

  ⇔ X =   –    

 −       

 −  ⇔ X =      −   −  Jadi, matriks X =      − 

a.

 −  − 

  +   − −  

  =    

 

 − + +    ⇔  − − − +  =       Dari kesamaan matriks diperoleh: 4x – 2 + 3 = 9 ⇔ 4x + 1 = 9 ⇔ 4x = 8 ⇔ x=2 x–y–1=4 ⇔ x–y=5 ⇔ 2–y=5 ⇔ y = –3 Jadi, nilai (x, y) adalah (2, –3). b.

  

  − –   −  

  =   − −  

−    +  − − +  =  −    Dari kesamaan matriks diperoleh: 2x + 4 = 10 ⇔ 2x = 6 ⇔ x =3 4y – x + 5 = 6 ⇔ 4y – x = 1 ⇔ 4y – 3 = 1 ⇔ 4y = 4 ⇔ y =1 Jadi, nilai (x, y) adalah (3, 1). ⇔

72

Matriks

  −   −  − −  =  −      −  −   

Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: x – y – 9 = 11 – 5y ⇔ x – y + 5y = 11 + 9 ⇔ x + 4y = 20 . . . (1) 2x – 5 = –3y ⇔ 2x + 3y = 5 . . . (2)

 − − − −  ⇔ X =  − − −     − − − 

3.

 −    −   −  −     −    –   =   −     −  



 



Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2). x + 4y = 20 × 2 2x + 8x = 40 2x + 3y = 5 × 1 2x + 3y = 5 ––––––––––– – 5y = 35 ⇔ y=7 Substitusikan y = 7 ke dalam persamaan (1). x + 4y = 20 ⇔ x + 4 × 7 = 20 ⇔ x + 28 = 20 ⇔ x = 20 – 28 ⇔ x = –8 Jadi, nilai x = –8 dan y = 7. 5. a.

t

   A =    

 b.

s

d r

      

Persediaan barang sekarang: B=A+D

   =    



       +       

 

 

    

t

   =     

s

d

      =          

r

      

Sisa persediaan setiap jenis barang pada akhir bulan: Televisi = 6 + 10 + 8 + 1 + 9 = 34 unit Setrika = 6 + 12 + 11 + 2 + 5 = 36 unit DVD player = 8 + 9 + 6 + 9 + 5 = 37 unit Radio = 5 + 7 + 4 + 2 + 11 = 29 unit

Banyak persediaan setiap jenis barang Televisi = 14 + 20 + 23 + 20 + 15 = 92 unit Setrika = 18 + 23 + 17 + 12 + 16 = 86 unit DVD player = 14 + 24 + 20 + 14 + 18 = 90 unit Radio = 14 + 10 + 11 + 20 + 20 = 75 unit c.

Persediaan sisa barang pada akhir bulan: C= B – R

   =     

A.

          –           

Pilihan Ganda

1. Jawaban: c Dua buah matriks, misalkan A dapat dikalikan dengan B jika banyak kolom matriks B sama dengan banyak baris matriks A. Jadi, matriks yang dapat dikalikan dari kanan

2.

    dengan matriks   adalah   .     # $  Jawaban: d

 −   A + 3B =   + 3  −     −     =   +    −  + −  =  + − +     − =    

3. Jawaban: d  AB =   

 −  

  

− 

 × + × =  × + − ×   ×+ ×

× − + ×  × − + − ×   × − + × 

  =  −      4. Jawaban: c 3A – B = C

⇔

   − −   3   –   =  −       

⇔

   − −     –   =  −       

⇔

    +  − −  =  −     


73

Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 12 + x = 10 ⇔ x = 10 – 12 ⇔ x = –2 3–y =2 ⇔ –y = 2 – 3 ⇔ –y = –1 ⇔ y =1 2x – y = 2 × –2 – 1 = –4 – 1 = –5 Jadi, nilai 2x – y = –5. 5. Jawaban: a

⇔

    

−     − −   – 3  = 2  −   −   

    

−     − −   –   =  −

  −         

⇔

 −

−

−  −    =    − 

 

⇔ X=

    

  

    

 . 

 −  −         × + − × × − + − ×  =  × + × × − + ×  

74

Matriks

 − =    

   X = AB =        × + ×  =  × + ×      =    

  A =   ⇔ AT =  

7. Jawaban: a

 −  =  −   

 −  − =  −   −    

10. Jawaban: d

  

Jadi, matriks X =

 − ⇔ C =  −    2 C =C×C

9. Jawaban: c

      +        

    

−   ⇔ C =  −   

 − =  −   

    4X –  =     

⇔ X=

 −  ⇔ 5C =  −   

 −  − =    −    

6. Jawaban: c

 −   −  +  ⇔ 5C =     −   −   + − −  ⇔ 5C =  + − −   

C3 = C2 × C

Diperoleh: –2p = –6 ⇔ p=3 2q – 6 = 6 ⇔ q=6 2p + q = 2 × 3 + 6 = 12 Jadi, nilai 2p + q = 12.

⇔ X=

8. Jawaban: a 5C = A + B

     

    AT – B =   –        − −    =  − −  =  −      (AT – B)2 = (AT – B)(AT – B)

      =  −   −  =  −      

11. Jawaban: e

14. Jawaban: a

    (x 1)     = (3)    

1)

 ⇔ (2x + 2 3x)   = (3)   ⇔ (2x2 + 2x + 3x) = (3) ⇔ (2x2 + 5x) = (3) Dari kesamaan matriks diperoleh: 2x2 + 5x = 3 ⇔ 2x2 + 5x – 3 = 0 ⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0

⇔

x =

atau

  =       = 2    = 2A Jadi, pernyataan A2 = 2A benar.

2)

x = –3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah

    BA =       

 −   −   −  =     =  −      

  =     Jadi, pernyataan AB = BA benar.

 − −  −  B =   ⇔ BT =  −       −   −  2A2 – BT = 2  −  –  −       −   −  =  −  –  −     

3)

 − − − −  =  − − − −     − =  −   

4)

 − Jadi, matriks 2A2 – BT =  −  .   13. Jawaban: c P2 = P × P

 −   −    =  −  − =          Q =   ⇔ QT =  

     

 −     − −  PQT =  −   =  − −          − −  P2 – PQT =   –  − −       − −

    AB =          =    

atau –3.

12. Jawaban: c A2

    A2 =       

  AB =       = 2    = 2B Jadi, pernyataan AB = 2B benar. BAB = B(AB)     =          =         2B2 = 2          = 2   

  =     Jadi, pernyataan BAB = 2B2 benar. Jadi, pernyataan 1), 2), 3), dan 4) benar.

+ 

=  − − − −     

=    


75

15. Jawaban: d       −     =   –    −       

2. a.

  −   −   (P + Q)2 =   +    −    

+ +   − − −   =   − + − +   − −  

−  =    − 

⇔ 

      =       Dari kesamaan matriks diperoleh: 7c = 7a ⇔ c = a . . . (1) 5a = 10 ⇔ a = 2 . . . (2)

 −  =    −  P2 + 2PQ + Q2

7c = 14b ⇔ b = = . . . (3) Substitusikan nilai a = 2 ke dalam persamaan (1). c=a=2 Substitusikan nilai c = 2 ke dalam persamaan (3).

 −   −   −   −  =    + 2    −   −   −     −   −  +           − −   −   =  + +   −   − −   

b= = =1 Diperoleh a = 2, b = 1, dan c = 2. a+b+c=2+1+2=5 Jadi, nilai a + b + c = 5. B.

 + − − + −  =    − − + − +   −  =    −  Dari hasil di atas disimpulkan bahwa: (P + Q)2 ≠ P2 + 2PQ + Q2

Uraian

1. a.

 A2 = A × A =  

   

 × + × =   × + ×  =   b.

A3

=A×

 

  

b.





 × + × =   × + ×  =  

× + ×  × + × 

   

 −   −   −   −  =    –     −   −      −   − −  =   –    −     −  =    −    −

= 



  

 

 × + × =   × + ×   =    

Matriks

P2 – Q2

(P + Q)(P – Q)

ATA = AT × A

 =  

76

× + ×  × + × 

A2

 =  

c.

 





 −   −  =     −   − 

⇔

× + ×  × + × 

  −    −   −   +    −  −      −    

  −   − =     −   −   −  =    −  Dari hasil di atas disimpulkan P2 – Q2 ≠ (P + Q)(P – Q).

3. a.

             3 + x + y =                     ⇔   +   +   =               + +   +  =   ⇔     + + 

Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: 6 + 3x + y = 4 ⇔ 3x + y = 4 – 6 ⇔ 3x + y = –2 . . . (1) 12 + x = 10 ⇔ x = 10 – 12 ⇔ x = –2 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). 3x + y = –2 ⇔ 3(–2) + y = –2 ⇔ –6 + y = –2 ⇔ y = –2 + 6 ⇔ y=4 Jadi, nilai x = –2 dan y = 4.

b.

  +   −    −   −  = 5  −    

 + − −    ⇔   =  −   − + −    ⇔

 + − −      =  −  − −    

 + −     − −  =  −      Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: 4x + 7y – 10 = 0 ⇔ 4x + 7y = 10 . . . (1) –4 – 3y = –10 ⇔ –3y = –10 + 4 ⇔ –3y = –6 ⇔ y=2 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). 4x + 7y = 10 ⇔ 4x + 7(2) = 10 ⇔ 4x + 14 = 10 ⇔ 4x = 10 – 14 ⇔ 4x = –4 ⇔ x = –1 Jadi, nilai x = –1 dan y = 2. ⇔

 −    4. A =   ⇔ AT =  −      A2 = A × A  −   −  =         −  =  −     −    A2 – I =  −  –        −  =  −    a.

b.

 −  (A2 – I) =  −   

 −  =  −   (A2 + I) – 2AT       −  =  +    – 2  −         −   −    =  −  –  −       −  =  −   

 −  5. 4A +   = 3B      −  ⇔ 4(2B) +   = 3B    

⇔

 −  8B +   = 3B    

⇔

 −    = 3B – 8B    

⇔

 −    = –5B    

⇔

 −  B = –      

⇔

 − − B =  − −     − −  Matematika Kelas XII Program IPS

77

A = 2B  − − = 2  − −     − −   − −  =  − −     − − 

 − −   − − AB =  − −   − −      − −   − −      =    −      Jadi, AB =   .  − 

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: e det A = =5×3–9×1 = 15 – 9 =6 2. Jawaban: d AB – C

 −      =  −  − − –         × + − × − × + − × −   =  × + − × − × + − × −  –           =   –         =     = 12 × 1 – 1 × 9 = 12 – 9 =3 Jadi, det (AB – C) = 3.

det (AB – C) =

3. Jawaban: a Gunakan sifat: det (PQ) = det (P) × det (Q)

= × = [(3 × 4) – (7 × 1)] × [(8 × 2) – (5 × 3)] = (12 – 7) × (16 – 15) =5×1=5 Jadi, determinan matriks (PQ) adalah 5.

78

Matriks

4. Jawaban: a

– – – − − + + + ⇔ 2p + 1 = 1 + 2 + 12 – 2 + 2 + 6 ⇔ 2p + 1 = 21 ⇔ 2p = 20 ⇔ p = 10 Jadi, nilai p adalah 10.

Det A =

−

5. Jawaban: e D = 3A + B – C

 3 −4   2 −5   −  = 3  +  5 −1  –  12 10         3 −6   3 −4   2 −5  =  9 12  +   –    5 −1   12 10   3 + 3 − 2 −6 + ( −4) − ( −5)  =  9 + 5 − 12 12 + ( −1) − 10     4 −5  = 2 1    Determinan matriks D: − |D| = = 4 × 1 – (–5) × 2 = 4 + 10 = 14 Jadi, determinan matriks D adalah 14. 6. Jawaban: d

   −    2P – Q + R = 2   –   +  −          −    =   –   +  −        + + − +  =  − + − −   

 −  =     det 2P – Q + R = 5 × 4 – (–4) × 4 = 20 + 16 = 36 Jadi, determinan dari 2P – Q + R = 36.

 × − × × − ×  = –    − × + × − × + ×  = –    − − 

=  − −   

7. Jawaban: b R–1 = =

× − − ×

  B–1 = − × − − ×  − −   

     



=    S–1 =

10. Jawaban: c

     

 − −  =     3A – B–1 = C

  

 −  −   − −  ⇔ 3   –   =  %  + %      

      × − × −    

 = 2    =  

 −  −   − −  ⇔   –   =  %  + %      

     

 −  =  −     %      % Dari kesamaan matriks diperoleh: 2k2 – 3k = 0 3k = 2k2 ⇔ ⇔ k(2k – 3) = 0 ⇔ k = 0 atau 2k – 3 = 0

⇔





Jadi, R–1S–1 =      

   

   =   .      

8. Jawaban: b A = M–1

=

B.

×

−

2. AC = B ⇔ A–1AC = A–1B ⇔ IC = A–1B ⇔ C = A–1B

9. Jawaban: e  −   −  = –   AX = B ⇔ X = A–1 B

=

−

= (–2 – 3) × (12 + 2) = –5 × 14 = –70 Jadi, determinan matriks AB adalah –70.

  Jadi, AN =  −  .  

–

= det (A) x det (B) =

     AN =  − −    =  −      

× − ×

Uraian

1. Det (AB)

   − −   

  =  − −   

A–1 =

k = 0 atau k =

Jadi, nilai k = 0 atau k = .

  = − − −  − −   

⇔

 −   −   

 −     −      

⇔

    C = −       

⇔

    C =       

⇔

  C=    


79

= 5 · 13 – 6 · 9 = 65 – 54 = 11 Jadi, determinan matriks C adalah 11.

  Jadi, matriks A adalah  .  

det C =

3.

P–1

c.

 −    − −  –Q =   –   =  −   −     

− − det (P–1 – Q) = − = 12 + 18 = 30 (P–1

–

Q)–1 =

=

4. a.

# & − − '

  −   − 

  ⇔ A =    − − 

     − − 

 − −    = − − −      − −  

  − −   =–      − −    − −  =–        =   − −   

  . Jadi, matriks A adalah   − −   

b.

 −    A  =       −    −  ⇔ A =             =   × − − ×      − 

    =        − 

    =   =     

80

Matriks

   −   −    –   =  A −      − 

⇔

 −   −    =  A    −  −

 −    =A  

 − −   −  ⇔ − × − − ×    =A  − −   

   −  

     A =    − −   − −  −

 −     − 

⇔

−  ⇔    − 

 −   − −   

 −   − −  =  

   −    –  A=    − 

⇔

   −     =A    

⇔

 −    =A  − 

 −  Jadi, matriks A adalah  .  − 

d.

   −  A  +   =        −  ⇔ A  =      

 −       −  –    

   −  ⇔ A  =       −  −    ⇔ A=        

⇔

 −   −        −   −   −  =        −   −   −  =   =    −   − 

A=

× − ×

 −  Jadi, matriks A adalah  .  − 

 −  5. Misalkan C =  −    AB–1 = C ⇔ AB–1B = CB ⇔ AI = CB ⇔ A = CB Dengan demikian, matriks A dapat ditentukan sebagai berikut. A = CB

 − × − + × − − × + ×  =    − × − + × − − × + ×    =       Jadi, matriks A adalah   .  

 −   −  =  −   −    

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: a Bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan

 − = adalah  −   =   .  + =        2. Jawaban: c Sistem persamaan:  + + =   − + + =  + − =     =         

  Jadi, matriks koefisiennya  −  .    −  3. Jawaban: a Sistem persamaan linear: 2x + 3y = 3 4x – y = –7 Bentuk persamaan matriksnya:         =    −    − 

y=

/

=

− −

=

/

x = /

⇔

* % %#$ #

/

 −     −   −    =       

⇔

Dapat dinyatakan dalam persamaan matriks:

   −    −  

4. Jawaban: e Bentuk persamaan matriksnya:

× − − × −

=

−

−

3=

−

− −

−

−

3 = − ⇔ 3(2p – 24) = 12p – 102 ⇔ 6p – 72 = 12p – 102 ⇔ 6p – 12p = –102 + 72 ⇔ –6p = –30 ⇔ p=5 Jadi, nilai p adalah 5. 5. Jawaban: b Syarat SPLDV tidak mempunyai penyelesaian adalah D = 0, Dx ≠ 0, dan Dy ≠ 0. Pada pilihan b: D= =4–4=0

Dx = = 12 – 4 = 8 ≠ 0 Dy = = 8 – 24 = –16 ≠ 0

Oleh karena D = 0, Dx ≠ 0, dan Dy ≠ 0 maka sistem persamaan linear pada pilihan b tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, nilai a yang memenuhi –26.


81

6. Jawaban: d Sistem persamaan garis dalam bentuk matriks:  −         =       − = (–2) × 2 – 3 × 1 = –7

Dx =

= 4 × 2 – 3 × 5 = –7

− Dy = = (–2) × 5 – 4 × 1 = –14 −

/

− −

x = / = − = 1 y=

/

=

x= y=

7. Jawaban: c Mengubah bentuk SPLDV di atas menjadi bentuk baku.

Misalkan = a dan = b maka SPLDV menjadi: a + b = 10 5a – 3b = 26 Bentuk persamaan matriksnya:

      −    =        Sehingga,        − −    −      

⇔

  = –  

 − −    −      

⇔

  = –  

 −   −   

   ⇔  =      Diperoleh nilai a = 7 dan b = 3 Menentukan nilai x:

=a⇔x= =

Jadi, nilai x = . 8. Jawaban: b Sistem persamaan garis dalam bentuk matriks:  −     −     =    −     − 

82

Matriks

= 30 – 10 = 20

/ / /

/

=

= 20

=

= 15

Diperoleh titik A (20, 15). Persamaan garis yang melalui A (20, 15) dan B (3, 4): =

− ; < − ;

⇒

− −

=

− −

⇔

− −

=

− −

⇔ –17y + 255 = –11x + 220 ⇔ 17y = 11x + 35 ⇔ 11x – 17y = –35 Jadi, persamaan garis p adalah 11x – 17y = –35. 9. Jawaban: b Syarat ketiga garis di atas berpotongan di satu titik adalah

+ − − − = 0 ⇔ ((a + 2) × (–1) × 1) + (1 × (–3) × 3) + ((–2) × 1 × a) – ((–2) × (–1) × 3) – ((a + 2) × (–3) × a) – (1 × 1 × 1) = 0 ⇔ –a – 2 – 9 – 2a – 6 + 3a2 + 6a – 1 = 0 ⇔ 3a2 + 3a – 18 = 0 ⇔ (3a + 9)(a – 2) = 0 ⇔ a = –3 atau a = 2 Oleh karena a > 0 maka nilai a = 2. 10. Jawaban: d Misalkan: x = Harga 1 butir permen y = Harga 1 buah wafer Bentuk sistem persamaan linear dari permasalahan di atas: 4x + 3y = 1.900 2x + 4y = 2.200 Bentuk persamaan dalam matriks:

−

− = –5 + 20 = 15 −

Dy =

Jadi, titik potong kedua garis adalah (1, 2).

−

−

− ; < − ;

=2

     =  −       ⇔   = − −  

− −

Dx =

D =

/

− = –3 + 4 = 1 −

D =

     ?      =  ?       Menentukan nilai x dan y menggunakan invers matriks.

2)

     ?      =  ?       ⇔

/ /

  =  

⇔

−   ?      =  −   ?      

=

y=

/ /

Uraian

1. a.

b.

× − × × − ×

 −         =      

−

 −     ⇔   =            −    ⇔  =    − × − ×   − −      −  ⇔   = −     −     ⇔  =     

−

 −        −   

    ⇔  =      Diperoleh nilai x = 1 dan y = 2.

 −         =       1) Menggunakan invers matriks

      ⇔   =         

 −     − 

× − × × − × − −

−

         =         1) Menggunakan invers matriks          =        

 ⇔   = −  

= − = 2 Diperoleh x = 1 dan y = 2. Jadi, penyelesaiannya x = 1 dan y = 2. Sistem persamaan linear 3y – 2x = 6 ⇔ –2x + 3y = 6 x–3=0 ⇔x=3 Bentuk persamaan matriks:

Sistem persamaan linear dalam bentuk matriks:

 ⇔  = × − ×  

=

=

⇔

B.

=1

  ?    =  ?     

     =       Diperoleh: harga 1 butir permen (x) = Rp100,00 harga 1 buah wafer (y) = Rp500,00 Harga tiga butir permen dan lima buah wafer = 3x + 5y = 3 × 100 + 5 × 500 = 300 + 2.500 = 2.800 Jadi, harga tiga butir permen dan lima buah wafer Rp2.800,00.

=

=

 −   ?   −   ?    

⇔

⇔

x=

−     ?   =          ? 

−

Menggunakan metode Cramer

2)

Diperoleh nilai x = 3 dan y = 4. Menggunakan metode Cramer

x=

/ /

=

=

−

× −× − × − ×

−

= − = 3


83

y=

/ /

=

=

− −

−

⇔ –1 = − ⇔ 8=9–t ⇔ t=9–8 ⇔ t=1 Jadi, nilai t = 1.

− × − × − × − ×

3. Sistem persamaan:

−

= − = 4 Diperoleh nilai x = 3 dan y = 4. Jadi, penyelesaiannya x = 3 dan y = 4. c.

Menggunakan invers matriks

2 – =1 Mengubah bentuk sistem persamaan di atas ke dalam bentuk baku. Misalkan: = a dan = b Sehingga sistem persamaan menjadi a+b=5 2a – b = 1 Menentukan nilai a dan b dengan metode determinan matriks. Bentuk persamaan matriks:

         =        

     −   =       

Sistem persamaan linear: y=4 x + y = 10 Bentuk persamaan matriks:

         =        

1)

=5

+

−

      ⇔   =            −   ⇔  = × − ×  −           −  ⇔   = −     − 

2)

    ⇔  =      Diperoleh x = 6 dan y = 4. Menggunakan metode Cramer

x=

y=

/ /

/ /

=

=

=

=

× − × × − ×

−

= − = 6

× − × × − ×

4 Diperoleh x = 6 dan y = 4. Jadi, penyelesaiannya x = 6 dan y = 4.

⇔ –1 =

− + − + −

⇔ –1 =

− + −

84

Matriks

b=

/ /

=

− −

= − − = − = 2

=

= − − = − = 3

−

− −

−

−

−

Menentukan nilai x dan y: =a ⇔ x = a2 ⇔ x = 22 ⇔ x = 4 . . . (1) =b ⇔ y = b2 ⇔ y = 32 ⇔ y = 9 . . . (2) Jadi, nilai x = 4 dan y = 9. 4. Model matematika dari permasalahan di atas sebagai berikut. 10 buku dan 8 pensil seharga Rp70.000,00: 10x + 8y = 70.000 . . . (1) 20 buku dan 12 pensil seharga Rp127.000,00: 20x + 12y = 127.000 . . . (2) Sistem persamaan linear yang terbentuk: 10x + 8y = 70.000 20x + 12y = 127.000 Diperoleh sistem persamaan linear dalam bentuk matriks.

/

2. x = /

−

= − =

a=

/ /

  

 

  ?    =  ?     

Bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan tersebut:

Menggunakan invers matriks.

  

 

  ?    =  ?     

   ⇔  =      ⇔  =  

 

−

 ?   ?   

× − ×

  − 

  ⇔   = −  −     ⇔   = –  

     ?      =  ?       Menggunakan invers matriks

−   ?    ? 

−   ?    ? 

 − ?   −?   

   ?  ⇔   =  ?      Diperoleh x = 4.400 dan y = 3.250. Jadi, harga sebuah buku Rp4.400,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp3.250,00.

5. Misalkan: x = Harga sebuah kue A y = Harga sebuah kue B Sistem persamaan linear dari permasalahan tersebut. 5x + 3y = 7.000 2x + 4y = 5.600

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e a12 = elemen baris ke-1 kolom ke-2 = 3 a24 = elemen baris ke-2 kolom ke-4 = 2 a33 = elemen baris ke-3 kolom ke-3 = 6 a12 + a24 + a33 = 3 + 2 + 6 = 11 2. Jawaban: c



 

−  merupakan matriks berordo 2 × 2.

  

  −      

 −  merupakan matriks berordo 2 × 3.

  merupakan matriks berordo 3 × 2.   −

  merupakan matriks berordo 3 × 3.  

     ?      =  ?       −

⇔

    =      

⇔

  =  

⇔

   =  

 −   ?   −   ?    

⇔

   =  

 ?   ?   

−

 ?   ?   

 −   ?   −   ?    

     =  ?      Diperoleh: x = 800 dan y = 1.000. Harga 3 buah kue A dan 5 buah kue B = 3x + 5y = 3 × 800 + 5 × 1.000 = 2.400 + 5.000 = Rp7.400,00 Jadi, harga 3 buah kue A dan 5 buah kue B adalah Rp7.400,00. ⇔

 −      merupakan matriks berordo 3 × 4.  −  Jadi, matriks berordo 3 × 2 pada pilihan c.

3. Jawaban: e Suatu matriks A dikatakan simetris jika A = AT. Perhatikan matriks pada pilihan e.

 − −   − −      T A =  −  ⇔ A =  −           − −    Oleh karena A = AT maka matriks  −      merupakan matriks simetris. Jadi, matriks pada pilihan e merupakan matriks simetris.


85

4. Jawaban: e Transpos dari matriks P adalah suatu matriks baru yang terbentuk jika elemen-elemen pada baris matriks P ditukar dengan elemen-elemen pada kolomnya.  −  R = PT =  − −   5. Jawaban: e A=B

 −  =  −       Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh: x – 3y = –2 . . . (1) 4y = 12 ⇔y=3 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). x – 3y = –2 ⇔ x – 3 × 3 = –2 ⇔ x – 9 = –2 ⇔ x = –2 + 9 ⇔ x=7 Jadi, nilai 2(x – y) = 2(7 – 3) = 2(4) = 8. 6. Jawaban: c P – PT + Q  =  −     =  −  −

  –      − 

−

   

−

  − +     

7. Jawaban: b  −   



   − 

      +   =        

   

 −   − + +       =  



   Dari kesamaan matriks diperoleh: 6x + 4 = –2 ⇔ 6x = –6 ⇔ x = –1 5y – x + 5 = 11 ⇔ 5y – (–1) + 5 = 11 ⇔ 5y + 6 = 11 ⇔ 5y = 5 ⇔ y=1 Jadi, nilai (x, y) adalah (–1, 1).

⇔

86

Matriks

   

8. Jawaban: b

 −   X –   =          − ⇔ X =   +        + −  ⇔ X=    + +    ⇔ X =       Transpos matriks X = XT =  .   9. Jawaban: c A + B = 3CT  ⇔  

−  

−  +  −

   = 3  −

−  

−   +

 −   −

− +  =  −   Dari kesamaan matriks diperoleh: 3a + 6 = 9 ⇔ 3a = 3 ⇔ a=1 –2b + 4 = 6 ⇔ –2b = 2 ⇔ b = –1 a + b = 1 + (–1) = 0 Jadi, nilai a + b yang memenuhi A + B = 3CT adalah 0. ⇔

10. Jawaban: b        p   + 2q  − – r   =  −           −  −          ⇔   +  −  –   =  −            −   −     −        ⇔  −  =  −     −     Dari kesamaan matriks diperoleh: r = –1 2q – r = 1 ⇔ 2q – (–1) = 1 ⇔ 2q + 1 = 1 ⇔ q=0 p – 2q = –2 ⇔ p – 0 = –2 ⇔ p = –2 Jadi, nilai p + q + r = –2 + 0 – 1 = –3.

11. Jawaban: d

 −            × + − × × + − × × + − ×  =  × + × × + ×   × + ×

 − − −  =     12. Jawaban: b

15. Jawaban: a  −   −    AB =   −   −   − × + × − × − + × −   =   − × + × − × − + × −   − −   =   − − 

(AB)–1 =

    C2 = C × C =          + +  =  + +      =    

    C3 = C × C2 =          + +  =  + +      =    

13. Jawaban: e det C = 0

⇔ =0 − − ⇔ x × 2(x – 5) + 12 = 0 ⇔x × (2x – 10) + 12 = 0 ⇔ 2x2 – 10x + 12 = 0 ⇔ x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 3) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = 2 atau x = 3 Jadi, nilai x1 dan x2 berturut-turut adalah 2 dan 3. 14. Jawaban: e − − det P = − − −

⇔ 4x – 2 = 4 – 1 + 6 + 4 + 2 + 3 ⇔ 4x – 2 = 18 ⇔ 4x = 18 + 2 ⇔ 4x = 20 ⇔ x=5 Jadi, nilai x adalah 5.

 − −     − −

−

 −   = −   − 

 −   =–   − 

=

    − 

−   

 

Jadi, invers AB adalah

(AB)–1

=

    − 

− 

. 

 

16. Jawaban: c D = 2A + B – C

 = 2  − 

   +  −

 =  −



   +  −

 =  − 

 − 

Det (D) = −

−

  − −  –  −

  − −  –  −

−   −  

= 12 × (–2) – 13 × (–5)

= –24 + 65 = 41 Jadi, nilai determinan matriks D adalah 41. 17. Jawaban: e C =A+B

    =   +         =    


87

 C–1 =    

−

  ⇔ X =  −      Jadi, matriks X adalah  −  .  

 −  = × − ×    − 

−   =   −  

=

   

− 

20. Jawaban: d

 AB =  

−     

 + =  +     

− 

Jadi, invers matriks C adalah

− 

 .  

18. Jawaban: c

  −  



−









−

 −   −    −   −    − 

  

P=

− −

⇔

P=

  

⇔

P =  − − +   

⇔

P =  − 

⇔

 P =  − 

⇔

−   −    −   

 + 

 Jadi, matriks P adalah  − 

 −     −  X =  −      −

   −   

    ⇔ X = −    −         ⇔ X =    −       ⇔ X =  −   

Matriks

−  

−   .

19. Jawaban: c

 −  ⇔ X=    − 

− − 

−  

 =  

 

+  + 

 

 (AB)–1 = × − ×  −   = −  − 

  −   P =  − 

⇔  −   −  P =  −       

88

  

 =  − 

−  

−  

−  

21. Jawaban: e

    A =   ⇔ AT =         ATB =         ⇔   B =         ⇔ B=    

−

     

−    ⇔ B = −  −       −    ⇔ B =  −        × + − × × + − ×  ⇔ B =  − × + × − × + ×     − ⇔ B =  −    B2 = B × B  −  − =  −   −      × + − × − × − + − ×  =  − × + × − − × − + ×     −  =  −   

22. Jawaban: d C = A – 3B

det B = = ad – bc

   −  =  − – 3      −     −  =   –    −  − 

      ATB =     =        det (ATB) =

−  =    −  C–1 =

× − − × −

= 4ad – 4bc = 4(ad – bc) = 4 × det B

     

  =    

=4× p = 2p Jadi, det (ATB) adalah 2p.

23. Jawaban: e f(A, B) = A2 + B

25. Jawaban: a

    S+M=   +  −       + +  =  + −      =     (S + M)2 = (S + M)(S + M)     =         + =   +   S–M =   –  

 

+  =    +       −   

 − −  =    − +   −  =    

  Misalkan matriks B =     det (B) = = ad – bc = n  AB =  

 + −  =    + +    =     24. Jawaban: e

    A=  maka AT =          Misalkan matriks B =    

  

  =    

 

det (AB) = = 6ad – 6bc = 6(ad – bc) = 6n 26. Jawaban: a Bentuk persamaan matriksnya:

 −         =        Menentukan nilai x dan y:

x=

/ /

=

− −

=

f(S + M, S – M) = (S + M)2 + (S – M)

   −  =   +      

 

y=

/ /

−

=

+ +

=

= =2

− +

−

=

= –2

xy = 2 × (–2) = –4 Jadi, nilai xy adalah –4. 27. Jawaban: c  −       =    −   

D =

− = 2 × (–1) – (–1) × 3 = 1 −


89

Dx =

− = 5 × (–1) – (–1) × 7 = 2 −

Dy =

= 2 × 7 – 5 × 3 = –1

/

/

−

x = / = = 2 y=

30. Jawaban: d Misalkan: A1 = matriks berat barang yang dibeli di toko Maju A2 = matriks berat barang yang dibeli di toko Laris B1 = matriks harga barang per kg di toko Maju B2 = matriks harga barang per kg di toko Laris A1 = (3 10) ↑ ↑ gula beras

= = –1 Jadi, kedua garis berpotongan di titik (2, –1). /

A2 = (2 ↑

28. Jawaban: c a + 4b = 22 a + 11b = 57 Bentuk persamaan matriksnya:

gula beras

 ?  ← B1 =    ?  ← #

          =        Menentukan nilai a = a 0 dan b = b 0 dengan determinan matriks. a0 =

/ /

b0 =

/ /

=

=

− −

=

=

− −

5) ↑

 ?  ← B2 =    ?  ← # Jumlah uang yang dikeluarkan Bu Ani = A1B1 + A2B2  ?   ?  = (3 10)  ?  + (2 5)  ?     

= =2

B.

Uraian

= =5

a + 14b = 2 + 14 × 5 = 2 + 70 = 72 Jadi, nilai a0 + 14b0 adalah 72.

&% @

1. a.

 A=   &% @

29. Jawaban: e

   −  

 B=  

    =       −

b.

⇔

    =      −

⇔

  =  

⇔

  − −      = –  −        

⇔

  −    = –  −     

− −

    

 − −     −      

  ⇔   =      Jadi, titik potongnya adalah (3, 2).

90

Matriks

&% @@

 ← !  ← F &% @@

 ← !  ← F

Misalkan H adalah matriks total penjualan bulan November dan Desember (dalam jutaan rupiah) H =A+B     =   +      

=

   ↑

& % @



 ↑

& % @@

Total penjualan produk I = Rp55.000.000,00 + Rp45.000.000,00 = Rp100.000.000,00 Total penjualan produk II = Rp35.000.000,00 + Rp65.000.000,00 = Rp100.000.000,00

c.

Misalkan K adalah matriks kenaikan penjualan produk I dan II bulan Desember (dalam jutaan rupiah).

= 2ad + 3bd – 2bc – 3bd = 2ad – 2bc = 2(ad – bc) =2×4 =8

    K =   –      

=

   ↑

& % @

d.

  ↑

& % @@

Kenaikan penjualan produk I = Rp15.000.000,00 + Rp15.000.000,00 = Rp Rp30.000.000,00 Kenaikan penjualan produk II = Rp8.000.000,00 + Rp15.000.000,00 = Rp23.000.000,00 Misalkan P adalah matriks besar komisi Toni dan Joni pada bulan Desember (dalam jutaan rupiah).    W W  P = (3%)   =  W     W Besar komisi Toni = Rp1.050.000,00 + Rp600.000,00 = Rp1.650.000,00 Besar komisi Joni = Rp900.000,00 + Rp1.200,000 = Rp2.100.000,00

2. Laba roti per bungkus:

 ?   ?   ?        A =  ?  –  ?  =    ?   ?          Laba setiap roti dalam seminggu:

 ?  B = (1.000 600 1.200)        ??    =  ?   ?    Jadi, laba toko tersebut dalam seminggu: = Rp1.000.000,00 + Rp300.000,00 + Rp600.000,00 = Rp1.900.000,00 3.

= 4 ⇔ ad – bc = 4 + det P = +

det Q =

+ +

= 5d(a + 3b) – 5b(c + 3d) = 5ad + 15bd – 5bc – 15bd = 5ad – 5bc = 5(ad – bc) =5×4 = 20 det P + det Q = 8 + 20 = 28. Jadi, det P + det Q adalah 28. 4. det A = 3(det B) ⇔

+ =3 −

⇔ 3(5 + x) – 5x = 3(7(x – 2) – 27) ⇔ 15 + 3x – 5x = 3(7x – 14 – 27) ⇔ 15 – 2x = 3(7x – 41) ⇔ 15 – 2x = 21x – 123 ⇔ 21x + 2x = 15 + 123 ⇔ 23x = 138 ⇔ x =6 Jadi, nilai x adalah 6.   −   T 5. A =   ⇔A =    − − −     −  A–1 = × − − − ×  −     −  = −    −   −   =   −   

k det (AT) = det (A–1) ⇔

k

− = − − −

⇔ k(5 × (–2) – 2 × (–4)) = (1 × (– ) – (–2) × 1)

⇔

–2k = –

⇔

k=

= d(2a + 3b) – b(2c + 3d)


91

a.

k+1= +1=

b.

k2 + k – 1 =   +   – 1  

 

 

= + –

=

–

    6. A =  − ⇔ AT =  −      −   −   −  =  −      T –1 A +C =B C–1 =

−

⇔

   −   + −  − +  −  =       

⇔

 + −   + −  − − +  =     

 −  + −   =      Dari kesamaan matriks tersebut, diperoleh: 3=t+1 ⇔ t=3–1 ⇔ t=2 Jadi, nilai 2t = 2 × 2 = 4. ⇔

 7. (AT)T = A =   B–1

=

  

 

−  =

     

    − 

    

B = (B–1)–1 =

=

=

92

  ⋅ − ⋅ −   

+

    − 

  2  − 

Matriks

    

    

  =    − 

 −     

− C = AB + p      −      =  +           −   − +   −  =   +   − +      − +  =    − +  − + det C = − + = (2p – q)(2p + q) – (p – q)(p + q) = (2p)2 – q2 – (p2 – q2) = 4p2 – q2 – p2 + q2 = 3p2 Jadi, determinan matriks C adalah 3p2. −   8. A–1 = −  −     −   −  = –1  −  =  −       AT =     a. Menentukan matriks B.  −  A–1B =     ⇔

 −   −   − B =      

 −  ⇔ B=    −

−

 −     

 − −   −  ⇔ B = −  − −      

 − −   −  ⇔ B = –1  − −          −  ⇔ B =          ⇔ B =       Jadi, matriks B =   .  

b.

Menentukan det (ATB). ATB =

          =       

b.

−

= 238 – 240 = –2 Jadi, det (ATB) adalah –2. 9. Misalkan: x = Banyak karcis kelas I yang terjual y = Banyak karcis kelas II yang terjual Dari permasalahan di atas diperoleh: x + y = 200 . . . (1) 80.000x + 60.000y = 14.300.000 . . . (2) ⇔ 4x + 3y = 715 Persamaan matriksnya:

x=

y=

/ /

=

=

=

=

− −

− −

=

− −

−

= − = 85

Jadi, terjual 115 karcis kelas I dan 85 karcis kelas II. 10. a.

   +    −  −  =         + + −   ⇔  + − −  =      

⇔

 + + −    + − +  =      

 +   −  = –  

 − −     −      

⇔

 +   −  = –  

 − −   − +   

⇔

 +   −  = –  

 −   −   

   +   −  =       Dari kesamaan matriks diperoleh: x+2=3⇔x=1 y–1=2⇔y=3 Jadi, titik potong kedua garis adalah (1, 3). c.

= 115

⇔

⇔

          =        Menentukan nilai x dan y:

−

    +      ⇔    =     −  − −   −  

det (ATB)=

/ /

   +  =    −  −       

Garis x + 2y – 7 = 0, 2x – y + 1 = 0, dan x + py – 16 = 0 berpotongan di satu titik jika det A = 0 dengan  A =    ↑

− ↑

−    −  ↑ konstanta koefisien y koefisien x

det A = 0 ⇔ (1 × (–1) × (–16)) + (2 × 1 × 1) + ((–7) × 2 × p) – ((–7) × (–1) × 1) – (1 × 1 × p) – (2 × 2 × (–16)) = 0 ⇔ 16 + 2 – 14p – 7 – p + 64 = 0 ⇔ –15p = –75 ⇔ p=5 Jadi, nilai p adalah 5.

 +    − +  =       Dari kesamaan matriks diperoleh: x + 2y = 7 . . . (1) 2x – y + 5 = 4 ⇔ 2x – y = –1 . . . (2)

⇔

 + = Jadi, sistem persamaannya:  .  − = −


93

A.

Pilihan Ganda

1

1. Jawaban: c

∫

8x 5 − 18x 3 2x 3 − 3x 2

2x 3 (4x 2 − 9) ∫ x2 (2x − 3)

dx =

1

f(2) = 6 × 23 – 2 + c

dx

=

2 − 32 ) ∫ 2x((2x) (2x − 3)

=

2x(2x − 3)(2x + 3) ∫ (2x − 3)

dx dx

= ∫ 2x(2x + 3) dx = ∫ (4x2 + 6x) dx 4

= 3 x3 + 3x2 + c 8x 5 − 18x 3 2x 3 − 3x 2

∫

Jadi,

4

dx = 3 x3 + 3x2 + c.

∫

( x − 1)( x + 1) x +1

dx

=

1

x2

1 11 2

2 3

x

⇔ 11 = –2 + 12 + c ⇔ c=1 Dengan demikian, diperoleh persamaan tinggi

+1

–x+c

1

peluru h(t) = – 2 t2 + 6t + 1.

–x+c

Ketinggian peluru 17 meter, berarti h(t) = 17. h(t) = 17

x x –x+c

Jadi,

x −1 x +1

∫

dx =

2 3

x x – x + c.

3. Jawaban: e Gradien garis singgung kurva di titik P(x, y) adalah 1

m = y′ = 2 x2 – 1, maka: y = ∫ y′ dx 1

= ∫ ( 2 x2 – 1) dx 1

= 6 x3 – x + c 94

4. Jawaban: b Kecepatan gerak peluru adalah v(t) = (–t + 6) meter/detik, maka persamaan ketinggian peluru pada saat t detik adalah:

1

1

3 2

1

Jadi, f(x) = 6 x3 – x + 1.

h(2) = – 2 × 22 + 6 × 2 + c

= ∫(x 2 – 1) dx

=

⇔

4

= 3 –2+c c =1

= – 2 t2 + 6t + c Tinggi yang dicapai peluru pada saat t = 2 detik adalah 11 meter, maka h(2) = 11.

dx

= ∫( x – 1) dx

+1

1 3

1

=∫

1

⇔

8

= 6 –2+c

= ∫ (–t + 6) dt

( x )2 − 12 x +1

1 2

1 3

dx

=∫

=

⇔

h(t) = ∫ v(t) dt

2. Jawaban: d x −1 x +1

1

Kurva y = f(x) melalui titik (2, 3 ) maka f(2) = 3 .

Ulangan Akhir Semester 1

⇔ ⇔

1

– 2 t2 + 6t + 1 = 17 1

– 2 t2 + 6t – 16 = 0

⇔ –t2 + 12t – 32 = 0 ⇔ t2 – 12t + 32 = 0 ⇔ (t – 4)(t – 8) = 0 ⇔ t – 4 = 0 atau t – 8 = 0 ⇔ t = 4 atau t=8 Jadi, peluru mencapai ketinggian 17 meter pada saat t = 4 detik atau t = 8 detik.

5. Jawaban: e

Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (1).

3

∫ (x − 2)(2x + 3) dx

0

3

⇔

2 = ∫ (2x − x − 6) dx 0

= (18 –

9 2

1 2 x 2

du dx

1

= – 2 = –4 2

3

0

6. Jawaban: c f(x) = ax + b 1

∫ f(x) dx = 2

= –3 × 4 u4 + c

∫ (ax + b) dx = 2

3

= – 4 (4 – 2x)4 + c

0

a 2  2 x

1

+ bx  = 2 0

8. Jawaban: b Misalkan u = x2 – 6x – 12 maka:

    2 2 ⇔  2 × 1 + b × 1 –  2 × 0 + b × 0  = 2     a

a

a 2

⇔

+b=2

= –2

1

0 1

⇔

+b=2

⇔ du = –2 dx Sehingga diperoleh: ∫ 6(4 – 2x)3 dx = –3 ∫(4 – 2x)3(–2) dx = –3 ∫u3 du

1

Jadi, hasil dari ∫ (x − 2)(2x + 3) dx = –4 2 .

⇔

2 2

7. Jawaban: c Misalkan u = 4 – 2x maka:

– 18) – (0)

9

+b=2

⇔ b=1 a+b=2+1=3 Jadi, a + b = 3.

3

− 6x   0 3 2 3 1 2  =  3 x − 2 x − 6x  0 1 =  2 × x 3 − 3 

a 2

du dx

. . . (1)

2

∫ f(x) dx = 4

⇔

= 2x – 6 du dx

= –2(3 – x) du

2

⇔ (3 – x) dx = −2 Sehingga diperoleh:

1

∫

1

∫ (ax + b) dx = 4

⇔

a 2  2 x

⇔

2

+ bx = 4 1

x 2 − 6x − 12

dx = ∫ (x 2 − 6x − 12)

a

a  2

⇔

3 2

+b=2

a + b= 4 –––––––––– – –a = –2 ⇔ a=2

⋅

(3 – x) dx

du −2 −

1

∫ u 2 du 1

1

= – 2 × 2u 2 + c

a + b = 4 . . . (2)

Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). a 2

1

=–2

× 4 + 2b  –  a + b  = 4  2  3 2

⇔

1

−2

= ∫u

    2 2 ⇔  2 × 2 + b × 2  –  2 × 1 + b × 1 = 4     a

1

−2

3−x

= − x 2 − 6x − 12 + c 9. Jawaban: d f′(x) = (4x + 2) (x 2 + x + 3) , maka: f(x) = ∫ (f′(x) dx = ∫ (4x + 2)

(x 2 + x + 3) dx 1

= 2 ∫ (x2 + x + 3) 2 d(x2 + x + 3) =2× 4

1 3 2

3

(x2 + x + 3) 2 + c 3

= 3 (x2 + x + 3) 2 + c


95

Grafik f(x) memotong sumbu Y di titik (0, 5 3 ) maka f(0) = 5 3 .

∫(x – 3) f(x) dx = ∫(x – 3) × 2 x2 − 6x + 2 dx 2 = ∫(2x – 6) x − 6x + 2 dx

3

4

f(0) = 3 (02 + 0 + 3) 2 + c

2 = ∫ x − 6x + 2 × (2x – 6) dx

4

⇔

5 3 = 3 ×3 3 +c c = 3

⇔

1

= ∫(x2 – 6x + 2) 2 d(x2 – 6x + 2) 3

4

Diperoleh f(x) = 3 (x2 + x + 3) 2 +

= 3 (x2 – 6x + 2) 2 + c

3

4

Nilai f(2) = 3 (22 + 2 + 3) 2 + 4

3

=

4 3

3 2 2

× (3 )

+

=

4 3

× 33 +

3

= 3 ×92 +

= 4 × 32 + = 36 +

3

2

= 3 (x 2 − 6x + 2)3 + c Dikarenakan c = 0, maka:

3 3

f′(x) =

x 2 − 6x + 2

2

∫ x2(x3 + 4)3 dx =

3

0

2x − 6

∫

2x − 6 x 2 − 6x + 2

1 3 4 4 = 12 (2 + 4) − (0 + 4) 

dx.

1

= 12 (124 – 44)

2 = ∫ (x − 6x + 2)

= ∫u =

1 2

1 1

44 4 (3 12

64

× (2x – 6) dx

5.120 3

Y 6

y1

4

1 − 2

u

+1

+c

2

I

II

1

= 2 u2 + c = 2 x 2 − 6x + 2 + c Oleh karena konstanta f(x) adalah nol, maka diperoleh f(x) = 2 x 2 − 6x + 2 + 0 = 2 x 2 − 6x + 2

96

– 1)

= 3 × 80 =

du

−2 +1

=

12. Jawaban: d 1 − 2

−

1

= 12 (44 × 34 – 44)

dx

x 2 − 6x + 2

(x3 + 4)3 d(x3 + 4) 2

Dengan integral substitusi dapat dimisalkan: u = x2 – 6x + 2 ⇔ du = (2x – 6) dx Dengan demikian, diperoleh: f(x) = ∫

2

1 ∫ 3 0

1 1 3 4 = 3 × 4 (x + 4)  0

3.

, maka f(x) =

(x2 − 6x + 2)3

11. Jawaban: b Dengan integral substitusi diperoleh penyelesaian sebagai berikut.

10. Jawaban: e 2x − 6

2 3

∫(x – 3) f(x) dx =

3

Jadi, nilai f(2) = 36 +

3

2

3


0

2

6

X y2 y3

Daerah yang diarsir terbagi menjadi dua bagian. Daerah I dibatasi garis y1, y2, x = 0, dan x = 2. Daerah II dibatasi garis y2, y3, x = 2, dan x = 6. 1

Persamaan garis y 1 = x + 2, y2 = – 3 x + 2, y3 = –x + 6.

6

Menentukan titik potong kurva dan garis. Substitusi y = x + 4 ke persamaan kurva diperoleh: x + 4 = –x2 – 4x ⇔ x2 + 5x + 4 = 0 ⇔ (x + 4)(x + 1) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = –4 atau x = –1

2

L=

Luas daerah yang diarsir: L=

2

6

0

2

∫ (y1 – y2) dx + ∫ (y3 – y2) dx

2

6

1

1

= ∫ (x + 2 – (– 3 x + 2)) dx + ∫ (–x + 6 – (– 3 x + 2)) dx 0

2

2

= =

4 0 3

∫

x dx +

∫ (– 32 x + 4) dx

2

6

0

2

−1

∫ 43 x dx – ∫ ( 32 x – 4) dx

−1

=

13. Jawaban: a Menentukan titik potong garis dan kurva. x + y = 4 ⇔ y = –x + 4 Substitusi y = –x + 4 ke persamaan kurva y = x2 + 2x diperoleh: –x + 4 = x2 + 2x ⇔ x2 + 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 1) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –4 atau x = 1 Oleh karena titik potongnya di kanan sumbu Y maka x = 1. Luas daerah yang diarsir: 1

L=

0

∫ ((–x + 4) – (x2 + 2x)) dx

0

∫ (–x2 – 3x + 4) dx

0

1

1 3 3 2 =  − 3 x − 2 x + 4x  0

1

3

= – 3 (1 – 0) – 2 (1 – 0) + 4(1 – 0) 1

3

=–3 – 2 +4 1

=26

1

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 2 6 satuan luas.

14. Jawaban: d Y 4

–4

–1

−1

=

∫ (–x2 – 5x – 4) dx

−4

−1

1 3 5 2 =  − 3 x − 2 x − 4x  −4

1

5

= – 3 ((–1)3 – (–4)3) – 2 ((–1)2 – (–4)2) – 4(–1 – (–4)) 1

5

= – 3 (–1 + 64) – 2 (1 – 16) – 4 × 3 1

= –21 + 37 2 – 12 1

=42

1

1

=

∫ ((–x2 – 4x – (x + 4)) dx

−4

Jadi, luas daerah tersebut 4 2 satuan luas.

∫ (y1 – y2) dx 1

=

∫ (y2 – y1) dx

−4

0

y1 = x + 4

X y2 = –x2 – 4x

15. Jawaban: e Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (2, 2) adalah y = x. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis y = x maka x ≤ y. Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (4, 0) adalah 4x + 4y = 10 ⇔ x + y = 4. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis x + y = 4 maka x + y ≥ 4. Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0) adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 2x + y = 8 maka 2x + y ≤ 8. Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y maka x ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian di atas adalah x ≤ y, x + y ≥ 4, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0. 16. Jawaban: d Garis x + 3y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, 2). Oleh karena x + 3y ≤ 6, berarti daerah penyelesaiannya di kiri dan pada garis x + 3y = 6. Garis 5x + y = 5 melalui titik (1, 0) dan (0, 5). Oleh karena 5x + y ≥ 5, berarti daerah penyelesaiannya di kanan dan pada garis 5x + y = 5.


97

Garis 5x + 3y = 15 melalui titik (3, 0) dan (0, 5). Oleh karena 5x + 3y ≤ 15, berarti daerah penyelesaiannya di kiri dan pada garis 5x + 3y = 15. Oleh karena x ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannya di kanan dan pada sumbu Y. Oleh karena y ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannya di atas dan pada sumbu X. Irisan daerah penyelesaian dari kelima pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai berikut.

Garis y + 2x = 4 memotong sumbu X di titik (2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian y + 2x ≤ 4 di kiri dan pada garis y + 2x = 4. Garis 2x – 3y = 12 melalui titik (3, –2) dan (0, –4). Daerah penyelesaian 2x – 3y ≤ 12 di kiri dan pada garis 2x – 3y = 12. Y

y – 2x = 4

Y 4 A

5

2x – 3y = 12 2x + 3y = –12

–3 –2

2

–4 C

1

3

X

6

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah IV. 17. Jawaban: a Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 4 di kanan dan pada sumbu Y, di kiri dan pada garis x = 4. Garis 3x – 4y = 12 memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Daerah penyelesaian 3x – 4y ≤ 12 di kiri dan pada garis 3x – 4y = 12. Garis x + 4y = 16 melalui titik (0, 4) dan titik (4, 3). Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 16 di kiri dan pada garis x + 4y = 16. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y x + 4y = 16 4 3 4

0 3x – 4y = 12

–3

x=4

18. Jawaban: d Garis y – 2x = 4 memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian y – 2x ≤ 4 di kanan dan pada garis y – 2x = 4. Garis 2x + 3y = –12 melalui titik (–3, –2) dan (0, –4). Daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ –12 di kanan dan pada garis 2x + 3y = –12. Ulangan Akhir Semester 1

X

y + 2x = 4

Daerah penyelesaian berbentuk layang-layang. 1

Luas ABCD = 2 × BD × AC 1

= 2 × 6 × 8 = 24 satuan luas 19. Jawaban: d Daerah penyelesaian y ≤ 4 di bawah dan pada garis y = 4. Daerah penyelesaian x ≥ –6 di kanan dan pada garis x = –6. Garis x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik (–6, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ –6 di kanan dan pada garis x + 2y = –6. Garis 4x + y ≤ 4 memotong sumbu X di titik (1, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian 4x + y = 4 di kiri dan pada garis 4x + y = 4. Garis x + 2y = –6 dan garis 4x + y = 4 berpotongan di titik (2, –4). Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

X

Dari gambar di atas terlihat daerah penyelesaian berbentuk trapesium. Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berbentuk trapesium.

98

2 3 D

–2

B

0

0

A

4

D

B –6 x = –6

0 1 2

y=4

X

–3 C –4 x + 2y = –6 4x + y = 4


f(x, y) = 10y – 8x

A(–6, 4) B(–6, 0) C(2, –4) D(0,4)

10 × 4 – 8 × (–6) = 88 10 × 0 – 8 × (–6) = 48 10 × (–4) – 8 × 2 = –56 10 × 4 – 8 × 0 = 40

Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 10y – 8x adalah 88.

20. Jawaban: b Gambar tersebut adalah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≤ 4; 3x + 4y ≤ 12; x, y ≥ 0. Menentukan koordinat titik B. B adalah titik potong antara garis 2x + y = 4 dan garis 3x + 4y = 12. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. 2x + y = 4 × 4 8x + 4y = 16 3x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12 –––––––––– – 5x = 4 ⇔ x = Substitusi x = diperoleh:

4 5

4 5

ke dalam persamaan 2x + y = 4

4

12

2× 5 +y=4⇔y= 5

 4 12 

Diperoleh koordinat titik B  5 , 5    Akan dicari fungsi objektif yang memiliki nilai maksimum di B. Titik Pojok

Fungsi Objektif

O(0, 0)

A(2, 0)

15x + 10y

0

30

–20x + 15y

0

–40

4x + 5y

0

6x – 4y

8

0

4 5

B(

12 5

,

)

C(0, 3)

36 (maks)

30

20

45 (maks)

15

1 5

12 (maks)

(maks)

–4

4 5

15 –12

Jadi, yang mencapai maksimum di B adalah 15x + 10y dan 4x + 5y. 21. Jawaban: b Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 3y + 2x. Titik Pojok

f(x, y) = 3y + 2x

A(0, 4) B(2, 0) C(5, 3) D(4, 6)

3 × 4 + 2 × 0 = 12 3×0+2×2=4 3 × 3 + 2 × 5 = 19 3 × 6 + 2 × 4 = 26

Oleh karena nilai minimum f(x, y) = 3y + 2x adalah 4 maka persamaan garis selidik yang menyebabkan f(x, y) mencapai minimum adalah 3y + 2x = 4. 22. Jawaban: b x=6

Y

E

6 A

1 0 –2

B

D C 2 34

6

X

Titik Pojok

f(x, y) = 4x – 2y

A(0, 6) B(0, 4) C(3, 1) D(6, 4) E(6, 6)

4 × 0 – 2 × 6 = –12 4 × 0 – 2 × 4 = –8 4 × 3 – 2 × 1 = 10 4 × 6 – 2 × 4 = 16 4 × 6 – 2 × 6 = 12

Nilai minimum f(x, y) = 4x – 2y adalah –12 dicapai di titik A(0, 6). 23. Jawaban: d Misalkan: x= banyak bolpoin merek A yang dibeli y= banyak bolpoin merek B yang dibeli Banyak bolpoin merek A yang dibeli tidak lebih dari tiga kali banyak bolpoin B sehingga diperoleh pertidaksamaan: x ≤ 3y . . . (1) Harga beli bolpoin merek A Rp1.000,00 per buah dan harga beli bolpoin merek B Rp1.500,00 per buah, sedangkan modal untuk membeli kedua merek bolpoin hanya Rp100.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan: 1.000x + 1.500y ≤ 100.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 200 . . . (2) Keuntungan penjualan bolpoin merek A Rp500,00 per buah dan keuntungan penjualan bolpoin merek B Rp600,00 per buah, sedangkan keuntungan yang diperoleh paling sedikit Rp30.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan: 500x + 600y ≥ 30.000 ⇔ 5x + 6y ≥ 300 . . . (3) Banyak bolpoin merek A dan merek B yang dibeli tidak mungkin negatif sehingga diperoleh pertidaksamaan: x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4) diperoleh sistem pertidaksamaan: x ≤ 3y, 2x + 3y ≤ 200, 5x + 6y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0 24. Jawaban: e Misalkan: x = banyak roti I yang dibuat y = banyak roti II yang dibuat Bahan

Roti I (x)

Roti II (y)

Maks

A B

2 1

1 1

160 180

Harga

30.000

20.000

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 20.000y dengan kendala: 2x + y ≥ 160 x + y ≤ 180 x ≤ 2y x≥ 0 y≥ 0

4

y=6

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y.

x+y=4 x–y=2


99


Menentukan koordinat titik B. Garis x + y = 98 dan 4x + 7y = 560 berpotongan di titik B. Eliminasi x dari kedua persamaan garis. x + y = 98 × 4 4x + 4y = 392 4x + 7y = 560 × 1 4x + 7y = 560 ––––––––––––– – –3y = –168 ⇔ y = 56 Substitusikan y = 56 ke persamaan x + y = 98 sehingga diperoleh: x + 56= 98 ⇔ x = 42 Diperoleh koordinat titik B(42, 56). Titik pojok daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(98, 0), B(42, 56), dan C(0, 80). Uji titik pojok.

Y

A 180 160 B

D

60 32

x = 2y

C X x + y = 180

64 80 120 180

0

2x + y = 160


f(x, y) = 30.000x + 20.000y

A(0, 180) B(0, 160) C(64, 32) D(120, 60)

30.000 × 0 + 20.000 × 180 = 3.600.000 30.000 × 0 + 20.000 × 160 = 3.200.000 30.000 × 64 + 20.000 × 32 = 2.560.000 30.000 × 120 + 20.000 × 60 = 4.800.000

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) = 30.000x + 20.000y adalah 4.800.000 dicapai di titik D(120, 60). Jadi, banyak roti I yang harus dibuat 120 dan banyak roti II yang harus dibuat 60 agar diperoleh pendapatan maksimum. 25. Jawaban: b Misalkan: x = banyak kain katun (potong) y = banyak kain sutra Jenis Kain

Banyak (Potong)

Harga Jual

Katun Sutra

x y

60.000 105.000

Persediaan

98

8.400.000

Titik Pojok O(0, 0) A(98, 0) C(42, 56) D(0, 80)

f(x,

(15 (15 (15 (15

y) = (15x + 21y) ribu

× 0 + 21 × 0) = 0 ribu × 98 + 21 × 0) = 1.470 ribu × 42 + 21 × 56) = 1.806 ribu × 0 + 21 × 80) = 1.680 ribu

Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum f(x, y) adalah 1.806 ribu atau 1.806.000. Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh Pak Burhan Rp1.806.000,00. 26. Jawaban: e Akan dibuat sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan permasalahan tersebut. Misalkan: x = banyak barang A y = banyak barang B Barang A (x) Barang B (y)

Keuntungan 15.000 21.000

Keuntungan

2 1

1 1

240 180

25.000

50.000

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = 25.000x + 50.000y dengan kendala: 2x + y ≤ 240 x + y ≤ 180 x, y ≥ 0 Daerah penyelesaian:

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = (15x + 21y) ribu dengan kendala: x + y ≤ 98 60.000x + 105.000y ≤ 8.400.000 ⇔ 4x + 7y ≤ 560 x ≥ 0, y ≥ 0 Daerah penyelesaian:

Mesin I Mesin II

Y

240

Y 180 C 98 80

B

C B

O

A 0

98

140

x + y = 98

100

X 4x + 7y = 560


Maks

A 120

180

X

Menentukan koordinat titik B. Garis 2x + y = 240 dan x + y = 180 berpotongan di titik B. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. 2x + y = 240 x + y = 180 –––––––––– – x = 60 Substitusikan x = 60 ke dalam persamaan x + y = 180 sehingga diperoleh: 60 + y = 180 ⇔ y = 120 Diperoleh koordinat titik B(60, 120). Uji titik pojok ke f(x, y) = 25.000x + 50.000y atau f(x, y) = (25x + 50y) ribu. Titik

f(x, y) = (25.000x + 50.000y) ribu

O(0, 0) A(120, 0) B(60, 120) C(0, 180)

25 × 0 + 50 × 0 = 0 ribu 25 × 120 + 50 × 0 = 3.000 ribu 25 × 60 + 50 × 120 = 7.500 ribu 25 × 0 + 50 × 180 = 9.000 ribu

Dari tabel diperoleh nilai maksimum f(x, y) adalah 9.000 ribu atau 9.000.000. Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Rp9.000.000,00. 27. Jawaban: d B = 2A

 2a − b 2a  a + 1 3  ⇔  30 16  = 2  15 bc    2a − b 2a   2a + 2 6   30  =  30 16 2bc     Dari kesamaan matriks diperoleh: 2a = 6 ⇔ a = 3 2a – b = 2a + 2 ⇔ b = –2 16 = 2bc ⇔ 8 = –2c ⇔ c = –4 Nilai a + b – c = 3 – 2 – (–4) = 5. ⇔

28. Jawaban: b B + C = –2AT ⇔

b   1 a   −3 0  a + b  3b c  +  5b −a  = –2  −c a − b       

⇔

a  −2b   −2  −2a − 2b  8b −a + c  =  2c 2b − 2a    

Dari kesamaan matriks diperoleh: (1) a = –2b (2) –2 = –2a – 2b ⇔ –2 = –2(–2b)–2b ⇔ –2 = 2b ⇔ b = –1 (3) 8b = 2c ⇔ c = 4b ⇔ c = 4 × (–1) = –4

(4) –a + c = 2b – 2a ⇔ a + c = 2b ⇔ a – 4 = 2 × (–1) ⇔ a=2 Nilai a + b + c = 2 + (–1) + (–4) = –3 Jadi, nilai a + b + c = –3. 29. Jawaban: d

a − d  c a + d   −1 1   0  b −2   1 −1 =  c − b −1       a − d  −c + a + d c − a − d   0 =  −b − 2    b+2    c − b −1  Dari kesamaan matriks diperoleh: b + 2 = –1 ⇔ b = –3 –b – 2 = c – b ⇔ 3 – 2 = c + 3 ⇔ c = –2 c – a – d = a – d ⇔ c – a= a ⇔ c = 2a ⇔ –2 = 2a ⇔ a = –1 –c + a + d = 0 ⇔ 2 – 1 + d = 0 ⇔ d = –1 2 Jadi, nilai (a + b + c + d) = (–1 – 3 – 2 – 1)2 = 49. ⇔

30. Jawaban: c S = PR + 2QT

 2 1   −1 −2   3 −1 =  3 4   1 2  + 2  −2 1         −1 −2   6 −2   5 −4  =  1 2  +  −4 2  =  −3 4         5 −4  Jadi, matriks S =  −3 4  .   31. Jawaban: b

 2 −4   2 −1  2 −4  AB – A =  3 1   −3 6  –  3 1        16 −26   2 −4  = 3 3  –  3 1    14 −22  = 0 2   Determinan matriks (AB – A): | AB – A | =

14 −22 = 28 – 0 = 28 0 2

32. Jawaban: b

2x − 1 3   2 4 A – B = x − 2 3  –  1 x − 1   −2 2x − 4  = x − 3 4 − x   


101

|A – B| = –2(4 – x) – (x – 3)(2x – 4) ⇔ –2 = –2((4 – x) + (x – 3)(x – 2)) ⇔ 1 = (4 – x) + (x – 3)(x – 2) ⇔ 1 = 4 – x + x2 – 5x + 6 ⇔ x2 – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ x=3 Jadi, nilai x = 3. 33. Jawaban: a det A = det B

3 1 2x 2 4 x = 1 3x

⇔

⇔ 3x – 4 = –2 2 ⇔ 6x – 3x + 2 = 0 Persamaan kuadrat 6x2 – 3x + 2 = 0 mempunyai nilai a = 6, b = –3, dan c = 2. Oleh karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat −b a

x12 + x22

=

3 6

1 2

c

2

1

dan x1x2 = a = 6 = 3 . = (x1 + x2)2 – 2x1x2 1

=

1

= ( 2 )2 – 2 × 3 1

2

=

–

5 4 3 2 BA =  1 1   1 2      15 + 4 10 + 8   19 18  =  3+1 2+2  =  4 4       4 −18  1 (BA)–1 = 4 × 19 − 4 × 18  −4 19    −18  1  4 = 4  −4 19    2 1 1 1 det (BA)–1 =   (4 × 19 – 4 × 18) = 16 × 4 = 4

1

8 12

5

= – 12 5

Jadi, x12 + x22 = – 12 . 34. Jawaban: a

x x −3 −3 3 x = 3 −3 ⇔ x2 – 3x = 9 + 9 2 ⇔ x – 3x – 18 = 0 ⇔ (x – 6)(x + 3) = 0 ⇔ x – 6 = 0 atau x + 3= 0 ⇔ x = 6 atau x = –3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = –3 atau x = 6. 35. Jawaban: d

 4 −2   1 0 A – kI =  −1 3  – k  0 1       4 −2  k 0 =  −1 3  –  0 k       4 − k −2  =  −1 3 − k    102

⇔ (4 – k)(3 – k) – (–2)(–1) = 0 ⇔ 12 – 7k + k2 – 2 = 0 ⇔ k2 – 7k + 10 = 0 ⇔ (k – 2)(k – 5) = 0 ⇔ k – 2 = 0 atau k – 5 = 0 ⇔ k = 2 atau k=5 Jadi, k = 2 atau k = 5.

4

= 4 – 3 3 12

4 − k −2 −1 3 − k = 0

⇔

36. Jawaban: b

6x2

maka x1 + x2 =

A – kI matriks singular jika |A – kI| = 0. |A – kI| = 0


Jadi, determinan (BA)–1 = 4 . 37. Jawaban: c

 2 4 A=    1 5 1  5 −4  1  5 −4  A–1 = 10 − 4   = 6  −1 2   −1 2    AX = B ⇔ X = A–1B

1  5 −4   −2 6  = 6    −1 2   −7 0 

30  1  18  3 5 = 6  =    −12 −6   −2 −1  3 5 Jadi, matriks X =  .  −2 −1 38. Jawaban: b

 −1 3   −11 −1 X  4 5  =  11 18      −1 −1  −1 3   −1 3   −11 −1  −1 3  ⇔ X 4 5  =         4 5  11 18   4 5 

 −11 −1 1 ⇔ XI =  11 18  × −5 − 12  

 5 −3   −4 −1  

⇔

1 17

 −11 −1  5 −3   11 18   −4 −1   

= 3 ∫ u2 2

1 – 17

33 + 1   −55 + 4  55 − 72 −33 − 18   

= 2 ∫ u2 du

X=– =

 3 −2  1  −51 34  =–  −17 −51 =  1 3  17      3 −2  Jadi, matriks X yang memenuhi adalah  1 3  .   39. Jawaban: e A=P+Q  2 4   1 −2   3 2  =  3 1 + 1 2  =  4 3        ⇔

AX = BT X = A–1BT =

1 9−8

 3 −2   7 −7   −4 3   10 −9    

 1 −3  Jadi, matriks X =  2 1  .   40. Jawaban: d p23 dari adjoint P =

p11 p13 p21 p23

=–

−1 2 2 3

= –(–3 – 4) =7 Jadi, elemen baris 2 kolom 3 adalah 7. Uraian

1. ∫(6x – 3) 2x − 1 dx Misalkan u = 2x – 1 maka: du dx

=2 du

⇔ dx = 2 Diperoleh:

∫(6x – 3) 2x − 1 dx 1

= ∫ 3(2x − 1)(2x − 1)2 dx 3

= 3 ∫ (2x − 1)2 dx

3

3

3

= 2 × =

3 5

du

2 5

5

u2 + c =

3 5

u2 u + c

(2x – 1)2 2x − 1 + c

2. Fungsi biaya: C = f(Q) Biaya marginal: MC = Oleh karena MC =

dC dQ

dC dQ

maka C = ∫ MC dQ.

Diketahui MC = 4Q + 5 (dalam puluhan ribu) maka: C = ∫ (4Q + 5) dQ = (2Q2 + 5Q + c) × 10.000

 1 −3  1  1 −3  = 1 2 1  = 2 1     

B.

3

Untuk Q = 2 diperlukan biaya C = 300.000 sehingga f(2) = 300.000. f(2) = 300.000 ⇔ (2 × 22 + 5 × 2 + c) × 10.000 = 300.000 ⇔ 18 + c = 30 ⇔ c = 12 Diperoleh fungsi biaya: C = 2Q2 + 5Q + 12 (dalam puluhan ribu) untuk Q = 5 maka C = f(5). f(5) = (2 × 52 + 5 × 5 + 12) × 10.000 = (50 + 25 + 12) × 10.000 = 870.000 Jadi, biaya yang diperlukan untuk memproduksi 5 unit barang Rp870.000,00. 3. Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (3, 0) adalah 3x + 3y = 9 ⇔ y = –x + 3. Kurva memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (3, 0) maka persamaan kurva adalah y = f(x) = a(x + 1)(x – 3). Kurva melalui titik (0, 3) maka f(0) = 3. f(0) = a(0 + 1)(0 – 3) ⇔ 3 = –3a ⇔ a = –1 Persamaan kurva menjadi: f(x) = –(x + 1)(x – 3) = –(x2 – 2x – 3) = –x2 + 2 + 3 Daerah yang diarsir dapat dibagi menjadi 2 bagian. Daerah 1 dibatasi kurva y1 = –x2 + 2x + 3, sumbu X negatif, dan sumbu Y positif. Daerah II dibatasi garis y2 = –x + 3, sumbu X positif, dan sumbu Y positif.


103

Luas daerah yang diarsir: L = L1 + L2 = =

0

3

−1

0

0

3

−1

0

∫ (–x2 + 2x + 3) dx + ∫ (–x + 3) dx 3

1 3 1 – 3 1 6 6

= – (0 + 1) + (0 – 1) + 3(0 + 1) – –1+3–

9 2

1 (9 – 0) + 3(3 – 0) 2

+9

Jadi, luas daerah yang diarsir 6

1 6

satuan luas.

=

1 2

× 7(3 + 4)

5. 6

Y A

x=7

D 3

C O

Jadi, luas daerah penyelesaiannya 24 luas.

7

X

3x + 7y = 21


1 2

satuan

6. Diketahui: x = banyak paket A y = banyak paket B Harga paket A Rp15.000,00 dan harga paket B Rp20.000,00, sedangkan pendapatan minimum penjualan Rp600.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan: 15.000x + 20.000y ≥ 600.000 ⇔ 3x + 4y ≥ 120 . . . (1) Banyak paket B yang terjual tidak lebih dari 3 2

kali banyak paket A sehingga diperoleh pertidaksamaan: y≤

3 2

x ⇔ 2y ≤ 3x

⇔ 3x – 2y ≥ 0 . . . (2) Jumlah kedua paket yang terjual tidak lebih dari 80 sehingga diperoleh pertidaksamaan: x + y ≤ 80 . . . (3) Banyak paket A dan paket B yang terjual tidak mungkin negatif sehingga diperoleh pertidaksamaan: x ≥ 0, y ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1) – (4) diperoleh sistem pertidaksamaan: 3x + 4y ≥ 120 3x – 2y ≥ 0 x + y ≤ 80 x≥0 y≥0 7. Permasalahan tersebut dapat ditulis sebagai berikut. Misalkan: x = banyak barang A y = banyak barang B

2x + 7y = 42

B

1 2

4. Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab. Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (2, 0) adalah 4x + 2y = 8 ⇔ 2x + y = 4. Daerah penyelesaian di kanan dan pada garis 2x + y = 4 maka 2x + y ≥ 4 . . . (1) Persamaan garis yang melalui titik (0, –1) dan (2, 0) adalah –x + 2y = –2 ⇔ x – 2y = 2. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis x – 2y = 2 maka x – 2y ≤ 2 . . . (2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan (4, 0) adalah 6x + 4y = 24 ⇔ 3x + 2y = 12. Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis 3x + 2y = 12 maka 3x + 2y ≤ 12 . . . (3) Daerah penyelesaian di kanan dan pada sumbu Y maka x ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4) diperoleh sistem pertidaksamaan: 2x + y ≥ 4 x – 2y ≤ 2 3x + 2y ≤ 12 x≥0

104

× OC (AB + CD)

= 24

0

=

1 2

∫ y1 dx + ∫ y2 dx

1 3 1 2 2 =  − 3 x + x + 3x  +  − 2 x + 3x  −1 0

=

Luas ABCD =

Barang A (x) Barang B (y) Mesin I Mesin II Mesin III

6 4 5

3 6 5

Laba

10 juta

8 juta

Maks 54 48 50

Model matematika permasalahan adalah memaksimumkan f(x, y) = (10x + 8y) juta dengan kendala: 6x + 3y ≤ 54 ⇔ 2x + y ≤ 18 4x + 6y ≤ 48 ⇔ 2x + 3y ≤ 24 5x + 5y ≤ 50 ⇔ x + y ≤ 10 x ≥ 0; y ≥ 0 Daerah penyelesaiannya:

18

Nilai maksimum f(x, y) = (10x + 8y) juta adalah 96.000.000 dicapai di titik (8, 2). Jadi, pabrik harus memproduksi 8 unit barang A dan 2 unit barang B agar diperoleh laba maksimum. (ABC)T = CT(BTAT)

8.

 15 6   −3 0  ⇔  −9 0  = CT  9 6      −1  15 6   −3 0  CT =  −9 0       9 6 0  15 6   1  6 =  −9 0  × –  − 18   −9 −3       

⇔

Y 2x + y = 18

10 8 D

0 1  15 6   6 = – 18  −9 0   −9 −3    

x + y = 10

−18  1  36 = – 18  −54 0   

C B 2x + 3y = 24 A X 9 10 12

O

Daerah penyelesaiannya adalah daerah OABCD. Menentukan koordinat titik B. Garis 2x + y = 18 dan x + y = 10 berpotongan di titik B. Eliminasi y dari kedua persamaan garis. 2x + y = 18 x + y = 10 ––––––––– – x=8 Substitusi x = 8 ke persamaan x + y = 10, diperoleh: 8 + y = 10 ⇔ y=2 Diperoleh koordinat titik B(8, 2). Menentukan koordinat titik C. Garis 2x + 3y = 24 dan x + y = 10 berpotongan di titik C. Eliminasi x dari kedua persamaan garis: 2x + 3y = 24 × 1 2x + 3y = 24 x + y = 10 × 2 2x + 2y = 20 ––––––––––– – y =4 Substitusi y = 4 ke x + y = 10 diperoleh: x + 4 = 10 ⇔ x=6 Diperoleh koordinat titik C(6, 4). Uji titik pojok ke f(x, y) = (10 + 8) juta. Titik

f(x, y) = (10x + 8y) Juta

O(0, 0) A(9, 0) B(8, 2) C(6, 4) D(0, 8)

(10 × 0 + 8 × 0) juta = 0 (10 × 9 + 8 × 0) juta = 90.000.000 (10 × 8 + 8 × 2) juta = 96.000.000 (10 × 6 + 8 × 4) juta = 92.000.000 (10 × 0 + 8 × 8) juta = 64.000.000

 −2 1  =  3 0   |C| = |CT| = –2 × 0 – 1 × 3 = –3 Jadi, determinan matriks C adalah –3. 9. a.

A = 2BT ⇔

−2  −1   x  −y  3x + 2y 6  = 2  x 2x + y     

−2   −2y −2   x  3x + 2y 6  =  2x 4x + 2y      Dari kesamaan matriks diperoleh: x = –2y 6 = 4x + 2y ⇔ 3 = 2x + y ⇔ 3 = 2(–2y) + y ⇔ 3 = –3y ⇔ y = –1 x = –2y = –2 × (–1) = 2 Jadi, nilai x = 2 dan y = –1.

⇔

b.

(2

x y  1 1 3 )  4 5    = 30   2 3 2

⇔

(2x + 4 + 9

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x:

 1 2y + 5 + 6 )   = 30 2

 1 2y + 11)   = 30 2 2x + 13 + 4y + 22 = 30 2x + 4y + 35 = 30 2x + 4y = –5 y = 1 : 2 ⇔ y = 2x

(2x + 13


105

Substitusikan y = 2x ke dalam persamaan 2x + 4y = –5, diperoleh: 2x + 4 × 2x = –5 ⇔ 10x = –5 ⇔

10. a.

 4 3  1 2  8 18  =    3 4 –  2 7  2 1       13 20   8 18  =   – 2 7  5 8  

1

x =–2

1

Substitusikan x = – 2 ke dalam persamaan y = 2x. y = 2x = 2 ×

 1 −   2

= –1

1

Jadi, nilai x = – 2 dan y = –1.

S = PQ – R

b.

 5 2 =    3 1 Invers matriks S: 1  1 −2  S–1 = 5 − 6    −3 5 

=

1 −1

 1 −2   −3 5   

 −1 2  =    3 −5 

106


Barisan dan Deret Bilangan

Barisan dan Deret Aritmetika

• •

Barisan aritmetika Deret aritmetika

• • • • • • • • • • • • • • • •

Barisan dan Deret Geometri

• •

Barisan geometri Deret geometri

Penerapan Barisan dan Deret dalam Kehidupan Sehari-Hari

• •

Bunga tunggal Bunga majemuk

Bersikap tekun dalam menerapkan konsep deret aritmetika, yaitu saat menabung. Mampu menjelaskan pengertian barisan aritmetika. Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah barisan aritmetika. Mampu menjelaskan pengertian deret aritmetika. Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah deret aritmetika. Mampu menyebutkan rumus suku tengah sebuah barisan aritmetika. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika. Mampu menjelaskan pengertian barisan geometri. Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah barisan geometri. Mampu menjelaskan pengertian deret geometri. Mampu menyebutkan rumus suku ke-n sebuah deret geometri. Mampu menyebutkan rumus suku tengah sebuah barisan geometri. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri. Mampu mengubah masalah bunga tunggal menjadi model matematika berbentuk barisan aritmetika. Mampu mengubah masalah bunga majemuk menjadi model matematika berbentuk barisan geometri. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bunga tunggal dan bunga majemuk menggunakan barisan aritmetika dan barisan geometri.


107

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Un = 2n – 5 U8 + U15 = (2 × 8 – 5) + (2 × 15 – 5) = 11 + 25 = 36 Jadi, hasil penjumlahan suku ke-8 dan suku ke-15 barisan tersebut adalah 36. 2. Jawaban: d a =3 b = 12 – 3 = 9 Un = 237 Un = a + (n – 1)b ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

237 = 3 + (n – 1)9 237 = 3 + 9n – 9 237 = 9n – 6 243 = 9n n=

= 27

Jadi, 237 pada barisan tersebut merupakan suku ke-27. 3. Jawaban: d Dari permasalahan di atas, diperoleh: U5 = a + 4b = 57 . . . (1) U8 = a + 7b = 87 . . . (2) Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2). a + 4b = 57 a + 7b = 87 ––––––––––– – –3b = –30 ⇔ b = 10 . . . (3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1). a + 4b = 57 ⇔ a + 4 × 10 = 57 ⇔ a + 40 = 57 ⇔ a = 57 – 40 ⇔ a = 17 Un = a + (n – 1)b ⇔ 107 = 17 + (n – 1)10 ⇔ 107 = 17 + 10n – 10 ⇔ 107 = 7 + 10n ⇔ 10n = 107 – 7 ⇔ 10n = 100 ⇔ n = 10 Jadi, banyak suku barisan tersebut ada 10. 4. Jawaban: b U6 = a + 5b ⇔ –32 = 48 + 5b ⇔ 5b = –32 – 48 ⇔ 5b = –80 ⇔ b = –16

U7 + U12 = a + 6b + a + 11b = 2a + 17b = 2 × 48 + 17 × (–16) = 96 – 272 = –176 5. Jawaban: b Susunan bilangannya sebagai berikut. 4, ( 4 + b), (4 + 2b), (4 + 3b), (4 + 4b), (4 + 5b), 28. b = U6 – U5 ⇔ b = 28 – (4 + 5b) ⇔ b = 24 – 5b ⇔ 6b = 24 ⇔ b =4 Jadi, beda barisan aritmetika yang terbentuk adalah 4. 6. Jawaban: d U5 = a + 4b = 22 U12 = a + 11b = 57 –––––––––––– – –7b = –35 ⇔ b=5 Substitusikan b = 5 ke dalam persamaan a + 4b = 22. a + 4b = 22 ⇔ a + 4 × 5 = 22 ⇔ a + 20 = 22 ⇔ a = 22 – 20 = 2 Menentukan suku ke-20. U20 = a + 19b = 2 + 19 × 5 = 2 + 95 = 97 Jadi, suku ke-20 adalah 97. 7. Jawaban: d a = 136 b = 131,75 – 136 = –4,25 Un = a + (n – 1)b ⇔ 0 = 136 + (n – 1) × (–4,25) ⇔ 0 = 136 – 4,25n + 4,25 ⇔ 4,25n = 140,25 ⇔

n = ⇔ n = 33 8. Jawaban: b Un = a + (n – 1)b ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

U3 + U5 + U7 + U9 (U1 + 2b) + (U1 + 4b) + (U1 + 6b) + (U1 + 8b) 4U1 + 20b 4(U1 + 5b) U1 + 5b U6

Jadi, U6 adalah 26.

108


= 104 = 104 = 104 = 104 = 26 = 26

9. Jawaban: a Misalkan: U1 = a U2 = a + b U3 = a + 2b U1 + U2 + U3 = 48 ⇔ a + a + b + a + 2b = 48 ⇔ 3a + 3b = 48 ⇔ 3(a + b) = 48 ⇔ a + b = 16 ⇔ a = 16 – b . . . (1) U1 × U2 × U3 = 3.696 ⇔ a(a + b)(a + 2b) = 3.696 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). a(a + b)(a + 2b) = 3.696 ⇔ (16 – b)(16 – b + b)(16 – b + 2b) = 3.696 ⇔ (16 – b) × 16 × (16 + b) = 3.696 ⇔ 16(256 – b2) = 3.696 ⇔ –b2 + 256 = 231 ⇔ b2 = 256 – 231 ⇔ b2 = 25 ⇔ b=5 Untuk b = 5 maka a = 16 – 5 = 11 U1 = a = 11 U2 = a + b = 11 + 5 = 16 U3 = a + 2b = 11 + 10 = 21 Untuk b = –5 maka a = 16 + 5 = 21 U1 = a = 21 U2 = a + b = 21 – 5 = 16 U3 = a + 2b = 21 – 10 = 11 Jadi, bilangan terbesarnya 21. 10. Jawaban: a Barisan bilangan asli ganjil, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, . . . . U1 = a = 1 b=3–1=2 Sn = 39

= (2 × 1 + (n – 1)2)

= (2 + 2n – 2)

= × 2n = n2 Jadi, jumlah n bilangan asli ganjil pertama dirumuskan dengan n2. 11. Jawaban: e a = 13 b = 11 – 13 = –2 Sn

=

(2a

+ (n – 1)b)

⇔

–1.800 = (2 × 13 + (n – 1) × –2)

⇔

–1.800 = (26 – 2n + 2)

⇔

–1.800 = (28 – 2n) ⇔ –1.800 = 14n – n2 2 ⇔ n – 14n – 1.800 = 0 ⇔ (n – 50)(n + 36) = 0 ⇔ n – 50 = 0 atau n + 36 = 0 ⇔ n = 50 atau n = –36 Untuk n = –36 tidak memenuhi. Jadi, banyak suku pada deret tersebut adalah 50. 12. Jawaban: d Diketahui: U3 = 3, U8 = 23 U3 = U1 + 2b ⇔ 3 = U1 + 2b U8 = U1 + 7b ⇔ 23 = U1 + 7b Diperoleh: U1 + 2b = 3 U1 + 7b = 23 ––––––––––– – –5b = –20 ⇔ b=4 U1 + 2 × 4 = 3 ⇔ U1 = –5 S21 =

(2U1 + (21 – 1)b)

=

(2

=

(–10 + 80)

=

× (–5) + 20 × 4)

× 70

= 735 Jadi, jumlah 21 suku pertama deret tersebut 735. 13. Jawaban: e U4 = 11⇒ a + 3b = 11 U6 = 17⇒ a + 5b = 17 –––––––––––– – –2b = –6 ⇔ b = 3 Substitusikan b = 3 ke persamaan a + 3b = 11. a + 3 × 3 = 11 ⇔ a = 2 U9 + U20 = (a + 8b) + (a + 19b) = 2a + 27b = 2 × 2 + 27 × 3 = 4 + 81 = 85 Jadi, jumlah suku ke-9 dan ke-20 deret tersebut 85. 14. Jawaban: a Diketahui U6 = 17 dan U10 = 33. Un = U1 + (n – 1)b ⇔ U6 = U1 + 5b ⇔ 17 = U1 + 5b . . . (1) U10 = U1 + 9b ⇔ 33 = U1 + 9b . . . (2)


109

Eliminasi U1 dari persamaan (1) dan (2). U1 + 5b = 17 U1 + 9b = 33 –––––––––––– – –4b = –16 ⇔ b=4 . . . (3) Substitusikan b = 4 ke dalam persamaan (1). U1 + 5b = 17 ⇔ U1 + 5 × 4 = 17 ⇔ U1 = –3

b.

Sn = (2U1 + (n – 1)b) ⇔ S40 =

(2 × (–3) + 39 × 4)

⇔ S40 = 20(–6 + 156) ⇔ S40 = 20 × 150 ⇔ S40 = 3.000 Jadi, jumlah 40 suku pertama deret tersebut adalah 3.000. 15. Jawaban: c Diperoleh: b = 4 dan U4 : U10 = 2 : 5.

=

⇔

+

+

⇔

+ ×

+ ×

⇔

+

+

⇔ ⇔ ⇔ Un ⇔ ⇔ ⇔

=

=

= 5U1 + 60 = 2U1 + 72 3U1 = 12 U1 = 4 = U1 + (n – 1)b 72 = 4 + (n – 1)4 72 = 4 + 4n – 4 n = 18

Sn = (U1 + (n – 1)b)

⇔ S18 = (2 × 4 + (18 – 1)4) ⇔ S18 = 9(8 + 68) ⇔ S18 = 9 × 76 ⇔ S18 = 684 Jadi, banyak kursi yang dimiliki gedung tersebut 684 kursi. B. Uraian 1. a. Diketahui U4 + U8 = –46. U4 + U8 = –46 ⇔ (U1 + 3b) + (U1 + 7b) = –46 ⇔ 2U1 + 10b = –46 110


⇔ 2(U1 + 5b) = –46 ⇔ U1 + 5b = –23 ⇔ U6 = –23 Jadi, suku keenam barisan tersebut adalah –23. U10 = –3 ⇔ U1 + 9b = –3 . . . (1) Diketahui pula U6 = –23, sehingga: U6 = U1 + 5b ⇔ –23 = U1 + 5b . . . (2) U1 + 9b = –3 U1 + 5b = –23 –––––––––––– – 4b = 20 ⇔ b =5 b=5 ⇒ U1 + 5b = –23 ⇔ U1 + 5 × 5 = –23 ⇔ U1 = –48 Un = 47 ⇔ –48 + (n – 1) b = 47 ⇔ –48 + (n – 1) 5 = 47 ⇔ 5n – 5 = 95 ⇔ 5n = 100 ⇔ n = 20 Jadi, banyak suku barisan adalah 20.

2. Suatu barisan bilangan U 1, U 2, U 3, . . ., U n merupakan barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. b = Un – Un – 1 a. U2 – U1 = U3 – U2 ⇔ (k + 3) – (k – 1) = (2k + 1) – (k + 3) ⇔ 4=k–2 ⇔ k=4+2 ⇔ k=6 Untuk k = 6 maka: U1 = k – 1 = 6 – 1 = 5 U2 = k + 3 = 6 + 3 = 9 U3 = 2k + 1 = 12 + 1 = 13 Jadi, barisan aritmetikanya adalah 5, 9, dan 13. b. U2 – U1 = U3 – U2 ⇔ (k + 2) – 2k = k – (k + 2) ⇔ –k + 2 = –2 ⇔ k=2+2 ⇔ k=4 Untuk k = 4 diperoleh: U1 = 2k = 8 U2 = k + 2 = 4 + 2 = 6 U3 = k = 4 U4 = k – 2 = 4 – 2 = 2 Jadi, barisan aritmetikanya 8, 6, 4, dan 2. 3. a.

U1 = –54, Un = 6 Setelah 29 bilangan disisipkan, terbentuk barisan aritmetika: –54, (–54 + b), (–54 + 2b), . . . , (–54 + 29b), 6

n=5 S y = jumlah bilangan dari deret tersebut yang habis dibagi 4 dan 5

b = Un – U n – 1 ⇔ b = U31 – U30 ⇔ b = 6 – (–54 + 29b) ⇔ 30b = 60 ⇔ b=2 Jadi, beda barisan tersebut adalah 2. b.

Sn = =

Deret bilangan: 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + . . . + 100 b=8–4=4 Un = a + (n – 1)b ⇔ 100 = 4 + (n – 1)4 ⇔ 100 = 4 + 4n – 4 ⇔ 100 = 4n ⇔ n = 25 Misalkan: Sx = jumlah deret bilangan seluruhnya

Sn = (a + Un)

S x = (4 + 100)

b.

= × 104 = 1.300 Jadi, jumlah semua bilangan dalam deret tersebut adalah 1.300. Deret bilangan yang habis dibagi 4 dan 5 dari deret tersebut adalah 20 + 40 + 60 + 80 + 100. b = 40 – 20 = 20

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e a = 125 r=

S y = (20 + 100)

(2a + (n – 1)b) (2(–54) + (31 – 1)2)

= 31(–54) + 31(30) = –1.674 + 930 = –744 Jadi, jumlah barisan tersebut adalah –744. 4. a.

Sn = (a + Un)

= × 120 = 300 Jadi, jumlah bilangan dari deret tersebut yang habis dibagi 4 dan 5 adalah 300. 5. Misalkan bilangan-bilangan itu a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b. Jumlah 5 bilangan aritmetika = 75 sehingga: a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) ⇔ 5a + 10b ⇔ a + 2b ⇔ a

= 75 = 75 = 15 = 15 – 2b . . . (1)

Hasil kali bilangan terkecil dan terbesar = 161. a(a + 4b) = 161 ⇔ a2 + 4ab = 161 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). (15 – 2b)2 + 4(15 – 2b)b = 161 ⇔ 225 – 60b + 4b2 + 60b – 8b2 = 161 ⇔ 225 – 4b2 = 161 ⇔ –4b2 = –64 ⇔ b2 = 16 ⇔ b=±4 Untuk b = 4 maka a = 15 – 2(4) = 7 Untuk b = –4 maka a = 15 – 2(–4) = 23 Barisan tersebut: 7, 11, 15, 19, 23, atau 23, 19, 15, 11, 7. Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil 23 – 7 = 16.

2. Jawaban: b

= = Un = arn – 1

−

 

= 125 ×     = 53 × (5–1)n – 1 = 53 × 5–n + 1 = 5–n + 4 Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut 5–n + 4.

⇔

=

= r3

⇔ 8 = r3 ⇔ r=2 Substitusikan r = 2 ke dalam persamaan U2 = ar. U2 = ar ⇔ 8 = 2a ⇔ a=4 U7 = ar6 = 4 × 26 = 4 × 64 = 256 Jadi, suku ke-7 barisan tersebut 256.


111

6. Jawaban: a 2 + 22 + 23 + . . . + 2x + 1 = 8.190 a=2

3. Jawaban: a Un = arn – 1 U5 = ar4 ⇔ 48 = ar4

. . . . (1)

ar7

⇔ ⇔ ⇔

U8 = –384 = ar4 × r3 –384 = 48 × r3 r3 = –8

⇔

r=

− = –2

Substitusikan r = –2 ke dalam persamaan (1). 48 = a(–2)4

⇔ a = ⇔ a=3

U4 + U6 = ar3 + ar5 = 3(–2)3 + 3(–2)5 = –24 – 96 = –120 Jadi, nilai U4 + U6 sama dengan –120. 4. Jawaban: a Un = arn – 1

⇔ ⇔ ⇔

= r2

9 = r2 r = 3 (karena suku-sukunya positif) U3 = ar2 ⇔ 18 = a × 9 ⇔ a=2 U7 = ar6 = 2 × 36 = 2 × 729 = 1.458 Jadi, suku ketujuh barisan tersebut adalah 1.458. 5. Jawaban: e

⇔

=

=

=

= =2

Sn =

− −

⇔ 8.190 =

− −

⇔ 8.190 = 2(2n – 1) ⇔ 4.095 = 2n – 1 ⇔ 2n = 4.095 + 1 ⇔ 2n = 4.096 ⇔ 2n = 212 ⇔ n = 12 Banyak suku deret = n = 12, sedangkan suku terakhirnya adalah 2x + 1. Diperoleh: 2x + 1 = 212 ⇔ x + 1 = 12 ⇔ x = 11 Jadi, nilai x adalah 11.

⇔ U1 =

= × 28 = 384

x2 = (4x + 64)

⇔

x2 =

U7 = U1r6 ⇔ 96 = U1r6 ⇔ 96 = U1r2 · r4 ⇔ 96 = 6 · r4 ⇔ r4 = 16 ⇔ r = ±2 Untuk r = 2 ⇒ U3 = U1 × 22 ⇔ 6 = U1 × 4 U9 = U1r8

⇔

+ 8x

⇔ 2x2 = x2 + 16x 2 ⇔ x – 16x = 0 ⇔ x(x – 16) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 16 Diambil x = 16 karena disyaratkan x > 0. Jumlah ketiga suku = (4x + 64) + x +

= (4 × 16 + 64) + 16 +

= 128 + 16 + 2 = 146 Jadi, jumlah ketiga suku tersebut 146.

112

7. Jawaban: b U3 = U1r2 ⇔ 6 = U1r2

=

r=


Jadi, suku ke-9 barisan tersebut 384. 8. Jawaban: d Misalkan 5 suku awal barisan aritmetika tersebut a – 2b, a – b, a, a + b, a + 2b. (a – 2b) + (a – b) + a + (a + b) + (a + 2b) = 40 ⇔ 5a = 40 ⇔ a=8 Barisan aritmetika menjadi: 8 – 2b, 8 – b, 8, 8 + b, 8 + 2b Barisan geometri: 8 – 2b, (8 – b) + 2, 8 + 8 ⇔ 8 – 2b, 10 – b, 16 −

r = − atau r = −

Diperoleh: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

−

−

= − 2 (10 – b) = (8 – 2b)16 100 – 20b + b2 = 128 – 32b b2 + 12b – 28 = 0 (b + 14)(b – 2) = 0 b = –14 atau b = 2

Diambil b = 2 karena disyaratkan b > 0. U5 – U3 = (U1 + 4b) – (U1 + 2b) = 2b = 4 Jadi, selisih suku ke-5 dan suku ke-3 adalah 4. 9. Jawaban: d Misalkan ketiga bilangan tersebut a, ar, dan ar2. a + ar + ar2 = 21 . . . (1) a × ar × ar2 = 216 ⇔ a3r3 = 216 ⇔ ar = 6 a= . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). a + ar + ar2 = 21

+ × r + × r2 = 21

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ 6 + 6r = 21

6 + 6r + 6r2 = 21r 6r2 – 15r + 6 = 0 2r2 – 5r + 2 = 0 (2r – 1)(r – 2) = 0 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0

⇔

r = atau r = 2

Untuk r = diperoleh a = 12 Barisannya: 12, 6, 3 Untuk r = 2 diperoleh a = 3 Barisannya: 3, 6, 12 Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 12 – 3 = 9. 10. Jawaban: a Un = arn – 1

⇔ ⇔ ⇔

11. Jawaban: e

=

⇔ ⇔

=

= r4

r4 = 16 r=2 ar = 10 ⇔ a × 2 = 10 ⇔ 2a = 10 ⇔ a= 5 Sn =

S9 = =

− − − − −

= 5 × 511 = 2.555 Jadi, jumlah 9 suku pertama deret tersebut 2.555. 12. Jawaban: c a = –2

r=

S∞ =

= − = –2

− −

= +

=–

Jadi, jumlah dari deret tak hingga tersebut – . 13. Jawaban: d

Diketahui U1 = 3 dan U2 = r =

= =

S∞ = − = = −

=6

Jadi, jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. 14. Jawaban: d S∞ =

= r3

8 = r3 r=2 U2 = ar ⇔ 4=a×2 ⇔ a=2

⇔

⇔

⇔

U7 = ar6 = 2 × 26 = 27 = 128 Jadi, suku ketujuh deret tersebut adalah 128.

⇔

3=

− −

⇔ 3(1 – r) = 2 ⇔ 3 – 3r = 2 ⇔ 3r = 3 – 2


113

⇔

3r = 1

⇔

r=

⇔ –4.095 = 1 – (–2)n ⇔ –4.096 = –(–2)n ⇔ (–2)n = 4.096 ⇔ (–2)n = (–2)12 ⇔ n = 12 Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 12.

Jadi, rasio deret tersebut . 15. Jawaban: e U7 = U4

×

⇔ ar6 = ⇔

r3

⇔

=

r=

3.

ar3

⇔a ⇔

=1

= 6 × =

=

a = 16 −

= 6 × ( )3

Jadi, suku pertamanya = 6 dan suku ke-4 = . 4. S∞ = 5,U1 = 3x + 4

−

S∞ = −

= 32

⇔

B. Uraian 1. a. U1 = k – 2, U2 = 2k, dan U3 = 6k =

⇔

−

=

⇔

−

=3

5 = − ⇔ 5 – 5r = 3x + 4 ⇔ 5r = –3x + 1 ⇔

r=

−

Deret geometri tak hingga tersebut mempunyai jumlah (nilai limit) jika nilai rasionya antara –1 dan 1(–1 < r < 1). Diperoleh:

⇔ 2k = 3k – 6 ⇔ k=6 Jadi, nilai k adalah 6. a = U1 = k – 2 = 6 – 2 = 4 U6 = ar5 = 4 × 35 = 4 × 243 = 972 Jadi, U6 adalah 972.

2. Diketahui a = 12, r = –2, dan Sn = –16.380

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

−

> –1

–3x + 1 > –5 –3x > –6 –x > –2 x<2 −

. . . (1)

<1

–3x + 1 < 5 –3x < 4

⇔

x > –

. . . (2)

Dari pertidaksamaan (1) dan (2) diperoleh batasan

Sn =

− −

Sn =

− −

⇔

–16.380 =

⇔

− −

–16.380 = 4(1 – (–2)n)

114

9=

a=9× ⇔ a=6 U4 = ar3

Jadi, jumlah deret tak hingga tersebut 32.

⇔

⇔

−

=1

=

b.

9=

 ×

S∞ =

⇔

−

⇔

Suku kelima = 1 U5 = 1 ⇔ ar4 = 1 ⇔ a  

S∞ =


nilai x adalah – < x < 2. Jadi, himpunan nilai x yang memenuhi, yaitu

{x | – < x < 2}.

5. Luas persegi yang paling besar: p × p = p2 Luas persegi II: Luas persegi III:

2 p 2 p,

dan seterusnya.

p2 + p2 + p2 + . . .

A. Pilihlan Ganda 1. Jawaban: e U1 = 120.000.000 – 5% × 120.000.000 = 120.000.000 – 6.000.000 = 114.000.000 U2 = U1 – 5% × 120.000.000 = 114.000.000 – 5% × 120.000.000 = 114.000.000 – 6.000.000 = 108.000.000 U3 = U2 – 5% × 120.000.000 = 108.000.000 – 5% × 120.000.000 = 108.000.000 – 6.000.000 = 102.000.000 Jadi, harga jual mobil Pak Andi pada tahun ke-3 adalah Rp102.000.000. 2. Jawaban: d Misalkan: U1 = suhu benda pada menit ke-1 U2 = suhu benda pada menit ke-6 U3 = suhu benda pada menit ke-11 U4 = suhu benda pada menit ke-16 Suhu benda pada menit ke-21 = U5 U3 = 75, U5 = 69 Un = U1 + (n – 1)b, diperoleh: U3 = U1 + 2b ⇔ 75 = U1 + 2b ⇔ U1 = 75 – 2b . . . (1) U5 = U1 + 4b ⇔ 69 = U1 + 4b ⇔ U1 = 69 – 4b . . . (2) Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh: 75 – 2b = 69 – 4b ⇔ 6 = –2b ⇔ b = –3 U1 = 75 – 2b = 75 – 2(–3) = 75 + 6 = 81 Jadi, suhu benda mula-mula 81°C. 3. Jawaban: d a = 20 b=2 n = 30

a = U1 = p2 dan r = .

Jumlah luas semua persegi:

Diperoleh deret geometri tak hingga dengan

S∞ = − =

−

=

= 2p2

Jadi, jumlah luas persegi yang terbentuk 2p2.

Sn = (2a + (n – 1)b)

S30 = (2 × 20 + (30 – 1)2) = 15(40 + 58) = 15 × 98 = 1.470 Jumlah seluruh kursi di gedung tersebut 1.470 buah. 4. Jawaban: c Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan deret aritmetika. Diketahui: U1 = 12 b = 15 – 12 = 3 n = 12

Sn = (2U1 + (n – 1)b)

⇔ S12 = (2U1 + (11 × 3)) ⇔ S12 = 6(24 + 33) ⇔ S12 = 6 × 57 ⇔ S12 = 342 Hasil penjualan mangga = 342 × 10.000 = 3.420.000 Jadi, hasil penjualan mangga selama 12 hari pertama adalah Rp3.420.000,00. 5. Jawaban: b Dari permasalahan di atas diketahui sebagai berikut. Sn = S6 = 81 Un = U6 = 6 n=6 Nilai suku pertama (a) dan beda (b) dapat ditentukan sebagai berikut.

Sn = (a + Un)

⇔ 81 = (a + 6) ⇔ 81 = 3(a + 6) ⇔ 27 = a + 6 ⇔ a = 21


115

U6 = a + 5b ⇔ 6 = 21 + 5b ⇔ –15 = 5b ⇔ b = –3 Bagian untuk anak ketiga = U3 U3 = a + 2b = 21 + 2 × (–3) = 21 – 6 = 15 Jadi, anak ketiga mendapat bagian sebanyak 15 ekor. 6. Jawaban: c Penduduk yang belum bekerja pada tahun 2004 = 20% × 1.000.000 = 200.000 Diperoleh U1 = 200.000 U2 = U1 – 50% × U1

= U1 × (1 – 50%) = U1 U3 = U2 – 50%U2

= U1 – 50%( U1)  

= U1 (1 – 50%) =   U1  Diperoleh r =

=

Tahun 2012 → n =

−

+1=5

U5 = U1r5 – 1  

= 200.000 ×   

= 200.000 × = 12.500 Jadi, penduduk yang belum bekerja pada tahun 2012 sebanyak 12.500 jiwa. 7. Jawaban: a Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan deret aritmetika. Diketahui S12 = 306.000 dan S18 = 513.000

Sn = (2a + (n – 1)b) ⇔ ⇔ ⇔

S12 = (2a + 11b) 306.000 = 6(2a + 11b) 2a + 11b = 51.000

. . . (1)

S18 = (2a + 17b) ⇔ 513.000 = 9(2a + 17b) ⇔ 57.000 = 2a + 17b . . . (2) Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2). 2a + 11b = 51.000 2a + 17b = 57.000 ––––––––––––––– – –6b = –6.000 ⇔ b = 1.000 2a + 11b = 51.000 ⇔ 2a + 11 × 1.000 = 51.000

116


⇔ 2a = 40.000 ⇔ a = 20.000 U15 = a + 14b = 20.000 + 14 × 1.000 = 34.000 Jadi, uang yang ditabung pada hari ke-15 adalah Rp34.000,00. 8. Jawaban: e Sisa pembayaran = 14.000.000 – 6.000.000 = 8.000.000 Waktu pembayaran = 2 × 12 bulan = 24 bulan M0 = 8.000.000 Mt = M0(1 + pt) ⇔ M24 = 8.000.000(1 + 3% × 24)  

 

= 8.000.000   = 8.000.000(1,72) = 13.760.000 Jadi, besar angsuran yang harus dibayarkan Rp13.760.000,00. 9. Jawaban: e Mt = M0(1 + p)t M3 = 2.000.000(1 + 3%)3 = 2.000.000(1,03)3 = 2.000.000 × 1,0927 = 2.185.400 Jadi, uang Linda setelah tiga tahun menjadi Rp2.185.400,00. 10. Jawaban: c Mt = M0(1 + pt) ⇔ 22.610.000 = 17.000.000(1 + 5,5% × t) ⇔ ⇔ ⇔

1 + =

= –

= ⇔ 9.350t = 56.100 ⇔ t= 6 Jadi, uang Bu Hindun akan menjadi Rp22.610.000,00 setelah 6 tahun. B. Uraian 1. a. Barisan geometri: 1, 2, 4, 8, . . .  ↓ ↓ ↓ ↓ U1 U2 U3 Nilai awal

Banyak bagian karton setelah pemotongan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya = 2, 4, 8, . . . . a = U1 = 2 r =2 Un = ar n – 1 = 2 × 2n – 1 = 2n U6 = 26 = 64 Jadi, banyak bagian karton setelah pemotongan keenam ada 64 potong.

b.

Un = 2n ⇔ 256 = 2n ⇔ n =8 Jadi, karton tersebut terbagi menjadi 256 bagian pada pemotongan ke-8.

4. a.

2. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan deret aritmetika. Diketahui a = 15.000 b = 6.000 Sn = 495.000

Sn = (2a + (n – 1)b)

⇔

495.000 = (2 × 15.000 + (n – 1)6.000) ⇔ 495.000 = n(15.000 + (n – 1)3.000) ⇔ 495.000 = n(15.000 + 3.000n – 3000) ⇔ 495.000 = n(12.000 + 3.000n) ⇔ 3.000n2 + 12.000n – 495.000 = 0 ⇔ n2 + 4n – 165 = 0 ⇔ (n + 15)(n – 11) = 0 ⇔ n = –15 atau n = 11 Dipilih n = 11 karena n merupakan bilangan bulat positif. Jadi, Dina harus menabung selama 11 minggu.

3. Dari permasalahan tersebut diperoleh barisan

geometri dengan r = .

b.

⇔ p= ⇔ p=

5. M0 = 5.000.000 p = 10% per tahun Mt = 7.320.500

Ketinggian pantulan kedua = U2 =

× U1 =

m.

Ketinggian pantulan ketiga = U3 = × U2 = m, dan seterusnya. S∞ =

−

=

−

= = 12

Jadi, jumlah ketinggian pantulan bola hingga bola berhenti adalah 12 m.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Un = a + (n – 1)b ⇔ U5 = a + 4b ⇔ –3 = a + 4b . . . (1) U9 = a + 8b ⇔ 9 = a + 8b . . . (2)

× 100% ⋅ ×

×

100%

⇔ p = 1,2% Jadi, suku bunga yang diberlakukan oleh bank tersebut 1,2% per bulan.

⇔

Ketinggian pantulan pertama = U1 = × 4 = 3 m.

Bunga pada bulan kesepuluh = 960.000 B = M0 · p · t ⇔ 960.000 = M0 · p · 10 ⇔ M0 · p = 96.000 Jumlah pinjaman setelah 1 tahun 3 bulan = 9.440.000 1 tahun 3 bulan = 15 bulan Mt = M0(1 + pt) ⇔ Mt = M0 + M0 · p · t M15 = M0 + 96.000 × 15 ⇔ 9.440.000 = M0 + 1.440.000 ⇔ M0 = 8.000.000 Jadi, besar uang yang dipinjam Pak Abdullah Rp8.000.000,00. B = M0 · p · t

⇔ ⇔ ⇔

Mt = M0(1 + p)t M0 =

+

M0 = Mt(1 + p)–t 5.000.000 = 7.320.500(1 + 0,1)–t

(1,1)–t = ⇔ (1,1)–t = 0,684013455 ⇔ log (1,1)–t = log (0,684013455) ⇔ –t log (1,1) = –0,16557074 ⇔ –t × 0,041392685 = –0,16557074 ⇔ –t = –4 ⇔ t=4 Jadi, jangka waktunya 4 tahun.

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2). a + 4b = –3 a + 8b = 9 –––––––––– – –4b = –12 ⇔ b=3 b = 3 ⇒ a + 4b = –3 ⇔ a + 12 = –3 ⇔ a = –15


117

3U12 = 3(a + 11b) = 3(–15 + 11 × 3) = 3 × 18 = 54 2. Jawaban: b U4 + U7 + U10 = –66 ⇔ (a + 3b) + (a + 6b) + (a + 9b) = –66 ⇔ 3a + 18b = –66 ⇔ 3(a + 6b) = –66 ⇔ a + 6b = –22 ⇔ U7 = –22 Jadi, U7 = –22. 3. Jawaban: b U1 + U4 + U6 + U8 = 32 ⇔ (U1 + b) + (U1 + 3b) + (U1 + 5b) + (U1 + 7b) = 32 ⇔ 4U1 + 16b = 32 ⇔ 4U1 + 16 × 5 = 32 ⇔ 4U1 = –48 ⇔ U1 = –12 Misalkan k = beda barisan aritmetika ke-2, diperoleh: V2 + V4 + V6 + V8 = 52 ⇔ (V1 + k) + (V1 + 3k) + (V1 + 5k) + (V1 + 7k) = 52 ⇔ 4V1 + 16k = 52 ⇔ 4V1 + 16 × 4 = 52 ⇔ 4V1 = –12 ⇔ V1 = –3 (U1 + U3 + U5) – (V1 + V3 + V5) = (–12 + (U1 + 2b) + (U1 + 4b)) – (–3 + (V1 + 2k) + (V1 + 4k)) = (–12 + (–12 + 10) + (–12 + 20)) – (–3 + (–3 + 8) + (–3 + 16)) = (–36 + 30) – (–9 + 24) = –6 – 15 = –21 Jadi, (U1 + U3 + U5) – (V1 + V3 + V5) = –21. 4. Jawaban: d Un = U1 + (n – 1)b U5 = U1 + 4b ⇔ –4 = U1 + 4b . . . (1) U9 = U1 + 8b ⇔ –16 = U1 + 8b . . . (2) Eliminasi U1 dari persamaan (1) dan persamaan (2). U1 + 4b = –4 U1 + 8b = –16 –––––––––––– – –4b = 12 ⇔ b = –3 Substitusikan b = –3 ke dalam persamaan (1). U1 + 4(–3) = –4 ⇔ U1 = 8

118


U20 = U1 + 19b = 8 + 19(–3) = –49

S20 =

(U1 + U20)

= 10(8 + (–49)) = –410 Jadi, jumlah 20 suku pertama deret tersebut –410. 5. Jawaban: a

Sn = n(11 – n)

= (11n – n2)

Sn – 1 = (n – 1)(11 – (n – 1))

= (n – 1)(12 – n)

= (13n – n2 – 12) Un = Sn – Sn – 1

= (11n – n2) – (13n – n2 – 12)

= ((11n – n2 – 13n + n2 + 12))

= (–2n + 12) = 6 – n Jadi, rumus suku ke-n adalah 6 – n. 6. Jawaban: e a2 – a1 = –p + 9 – (2p + 25) = –p + 9 – 2p – 25 = –3p – 16 a3 – a2 = 3p + 7 – (–p + 9) = 3p + 7 + p – 9 = 4p – 2 an + 1 – an selalu sama (konstan) a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ –3p – 16 = 4p – 2 ⇔ 7p = –14 ⇔ p = –2 a3 – a2 = 4 × (–2) – 2 = –10 a1 = 2 × (–2) + 25 = 21 Barisan yang dimaksud adalah barisan aritmetika dengan a = 21 dan b = –10.

S10 = (2a + 9b) = 5(2 × 21 – 9 × (10)) = –240 Jadi, jumlah semua bilangan –240. 7. Jawaban: a S5 = 325 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(2a + (5 – 1)b) (2a + 4b)

= 325 = 325

5a + 10b = 325 a + 2b = 325 U1 + U4 + U13 = 52 ⇔ a + a + 3b + a + 12b = 52 ⇔ 3a + 15b = 52 ⇔ a + 5b = 26

. . . (1)

. . . (2)

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2). a + 2b = 65 a + 5b = 26 –––––––––– – –3b = 39 ⇔ b = –13 . . . (3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1). a + 2b = 65 ⇔ a + 2(–13) = 65 ⇔ a – 26 = 65 ⇔ a = 65 + 26 ⇔ a = 91 Jadi, suku pertama deret tersebut 91. 8. Jawaban: b Diketahui deret aritmetika dengan: n = 12 U12 = 200 S12 = 30

⇔

= r3

⇔

= r3

−

⇔ = r3 ⇔ 8x3 = r3 ⇔ (2x)3 = r3 ⇔ r = 2x U3 = 4x2 ⇔

ar2 = 4x2

⇔

a(2x)2 = 4x2

⇔ a × 4x2 = 4x2

⇔

Sn = (a + Un) S12 = (a + U12) ⇔ 30 = 6(a + 200) ⇔ 5 = a + 200 ⇔ a = –195 Jadi, suku pertamanya –195. 9. Jawaban: d

Sn = (2a + (n – 1)b) ⇔

=

S14 = (2a + (14 – 1)b) ⇔ 252 = 7(2a + (14 – 1)b) ⇔ 36 = 2a + 13b U3 + U6 + U9 + U12 = a + 2b + a + 5b + a + 8b + a + 11b = 4a + 26b = 2(2a + 13b) = 2 × 36 = 72 Jadi, nilai U3 + U6 + U9 + U12 adalah 72. 10. Jawaban: c U3 = 950 ⇔ a + 2b = 950 ⇔ a + 2 · 25 = 950 ⇔ a + 50 = 950 ⇔ a = 900 Banyak karyawan pada tahun kelima belas = U15. U15 = a + 14b = 900 + 14 · 25 = 900 + 350 = 1.250 Jadi, banyak karyawan sekarang 1.250 orang. 11. Jawaban: b Un = arn – 1

a=

Jadi, suku pertama barisan adalah

.

12. Jawaban: e

=

+ −

⇔

+

= + ⇔ (2k + 1)(2k + 1) = (k + 10)(4k – 1) ⇔ 4k2 + 4k + 1 = 4k2 + 39k – 10 ⇔ 35k = 11

⇔

k =

Jadi, nilai k adalah . 13. Jawaban: d a=2 r=

= =3 Ut =

⇔

art – 1 =

×

×

⇔ 2× = ⇔ 2 × 3t – 1 = 54 ⇔ 3t – 1 = 27 ⇔ 3t – 1 = 33 ⇔ t–1=3 ⇔ t=4 Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-4. 14. Jawaban: d 3t – 1

⇔

=

= r2


119

⇔

⇔

17. Jawaban: b

= r2

r=

(karena r > 0) ⇔

U2 = ar

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔ 16 = a × ⇔ a = 32

U9 = ar8 = 32 × ( )8 = 25 ×

=

=

Jadi, suku ke-9 barisan tersebut adalah . 15. Jawaban: a

⇔

=

= r3

⇔ r3 = 27 ⇔ r=3 ar2 = 18 ⇔ a × 32 = 18 ⇔ a × 9 = 18 ⇔ 9a = 18 ⇔ a=2 U8 = ar7 = 2 × 37 = 2 × 2.187 = 4.374 Jadi, suku kedelapan adalah 4.374. 16. Jawaban: d Barisan geometri: U1, U2, U3, U4, U5, U6 S6 = 781

U6 = S6 – S5

ar5 = 781 – 156

⇔ ar5 = 625 . . . (1) Jumlah 5 suku terakhir = 781 S6 – U1 = 781

⇔ 781 – a = 781 ⇔

a=

Substitusikan a = ar5 = 625 ⇔ ⇔

. . . (2) ke (1).

× r5 = 625 r5 = 3.125

⇔ r = ⇔ r=5 Jadi, rasio deret tersebut 5.

120

= r2

r2 r U2 ar 2a a

=4 =2 = 40 = 40 = 40 = 20 Un = 160 n ar – 1 = 160 20(2)n – 1 = 160 2n – 1 = 8 2n – 1 = 23 n–1=3 n=4

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ S4 =

− −

−

=

= 20 × 15 = 300

Jadi, jumlah n suku pertamanya 300. 18. Jawaban: b U1 = 18 U2 = 6 r=

=

−

=

S∞ =

=

−

= 27

Jadi, jumlah suku-suku deret tersebut adalah 27.

r=

=

−

=–

U8 = ar7

U8 = –4 × (– )7 = –4 × (– ) =

=

19. Jawaban: e x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x1 = –4 atau x2 = 2 Diperoleh: U1 = –4 dan U2 = 2

S5 = 156 ⇔


Jadi, suku ke-8 barisan tersebut . 20. Jawaban: b Un = 3–n U1 = a = 3–1 U2 = 3–2 r=

S∞ =

=

−

− −

=

= 3–1

− − −

=

−

=

=

Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut

.

21. Jawaban: c Diketahui n = banyak potongan tali = 5, U1 = 6, dan U5 = 96. U5 = U1r4 ⇔ 96 = 6r4 ⇔ ⇔

r4 = 16 r=2

Sn =

− −

22. Jawaban: b Luas persegi-persegi tersebut membentuk barisan geometri dengan S∞ = 640.

=

=

S∞ = ⇔

640 =

⇔

640 =

=

−

−

S12 = (U1 + U12) = 6(100.000 + 650.000) = 6 × 750.000 = 4.500.000 Jadi, tabungan Vivi setelah satu tahun Rp4.500.000,00.

a = 640 × a = 160

⇔

U3 = ar2 = 160 ×   = 160 × = 90



26. Jawaban: c Nilai jual laptop setiap tahun membentuk barisan

U3 = luas persegi ketiga s3 =

geometri dengan r = . Nilai awal = 8.000.000

= = 3 cm

Jadi, sisi persegi ketiga adalah 3 cm.

U1 = × 8.000.000 = 6.000.000 Nilai jual setelah dipakai 3 tahun = U3

23. Jawaban: b

=

⇔



⇔

r=

U3 = ar2 ⇔

⇔

a = × 25 a = 15

= a × ( )2

S∞ = − = = = 15 × = = 18 −

U3 = ar2 = 6.000.000 ·   = 3.375.000   Jadi, nilai jual laptop setelah dipakai 3 tahun sebesar Rp3.375.000,00. 27. Jawaban: d Tali terpendek = U1 = a = 3 n=5 U5 = ar4 ⇔ 48 = 3r4 ⇔ 16 = r4 ⇔ r=2

= r2

⇔ = r2

⇔

S10 = (2a + 9b) ⇔ 145.000 = 5(2a + 9 × 3a) ⇔ 29.000 = 2a + 27a ⇔ 29.000 = 29a ⇔ a = 1.000 Jadi, uang yang ditabung pada bulan pertama adalah Rp1.000,00. 25. Jawaban: e U1 = a = 100.000 U2 = 150.000 b = 150.000 – 100.000 = 50.000 n = 12 U12 = a + 11b = 100.000 + 11 × 50.000 = 100.000 + 550.000 = 650.000

⇔

⇔

⇔ S5 = 186 Jadi, panjang tali semula 186 cm.

24. Jawaban: a Diketahui S10 = 145.000 U4 + U9 = 5U3 ⇔ (a + 3b) + (a + 8b) = 5(a + 2b) ⇔ 2a + 11b = 5a + 10b ⇔ 3a = b . . . (1)

⇔ S5 = 6 × 31

r =

18 .

Sn = (2a + (n – 1)b)

− −

⇔ S5 =

Jadi, jumlah seluruh suku barisan tersebut adalah

Sn =

− −

=

− −

= 3(32 – 1) = 3 × 31 = 93

Jadi, panjang tali semula adalah 93 cm.


121

28. Jawaban: d M0 = Rp2.000.000,00; p = 10%; n = 5 B = M0 × p × n = 2.000.000 × 10% × 5 = 1.000.000 Jadi, besarnya bunga pada akhir tahun ke-5 adalah Rp1.000.000,00. 29. Jawaban: b Diketahui barisan geometri dengan n = 6, U1 = 4, dan U6 = 128. Diperoleh: U6 = U1r5 ⇔ 128 = 4r5 ⇔ r2 = 32 ⇔ r=2 Sn = ⇔

3. a.

b.

Jadi, suku kelima barisan adalah 20. 3U1 + 12b = 3(U1 + 4b) = 3 × 20 = 60 Jadi, nilai 3U1 + 12b = 60.

2. Un = U1rn – 1 U1 × U3 × U5 = 27 ⇔ U1 × (U1r2) × (U1r4) = 27 ⇔ (U1)3 × r6 = 27 ⇔ (U1r2)3 = 27 ⇔ U1r2 = 3 ⇔ U3 = 3 Jadi, U3 adalah 3.

122


=

⇔ (a – = (a + 1)(a + 3) ⇔ a2 – 4a + 4 = a2 + 4a + 3 ⇔ 8a = 1

⇔

a=

Jadi, nilai a adalah . b.

a+1= +1=

a–2 = –2=–

a+3= +3=

Barisan aritmetika yang terbentuk:

,– , +x Diperoleh: U2 – U1 = U3 – U2

30. Jawaban: c t = 5 × 2 semester = 10 semester Mt = M0(1 + p)t M10 = 10.000.000(1 + 2%)10 = 10.000.000(1,02)10 ≈ 12.189.944 Jadi, nilai akhir modal Bu Leni setelah 5 tahun sekitar Rp12.189.944,00.

U1 + U3 + U6 + U10 U1 + (U1 + 2b) + (U1 + 5b) + (U1 + 9b) 4U1 + 16b U1 + 4b U5

+ −

=

2)2

⇔ S6 = 4 × 63 ⇔ S6 = 252 Panjang susunan potongan pita = 252 – 4 = 248 cm Jadi, panjang susunan pita adalah 248 cm.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− +

⇔

− − − S6 = −

B. Uraian 1. a.

Barisan geometri a + 1, a – 2, a + 3

= = = = =

80 80 80 20 20

⇔

    – – =  +  – −    



⇔

– = +x ⇔ 5 + x = –3 ⇔ x = –8 Jadi, nilai x adalah –8. 4. Misalkan bilangan tersebut a, a + b, a + 2b. a + (a + b) + (a + 2b) = 102 ⇔ 3a + 3b = 102 ⇔ a + b = 34 ⇔ a = 34 – b Barisan geometri yang terbentuk adalah a, a + b – 18, a + 2b. Pada barisan geometri berlaku: r=

+ −

+

= + −

Diperoleh:

⇔ ⇔

+ −

− + −

− −

+

= + −

− +

= − + −

=

+

⇔ (34 – b)(34 + b) = 256 ⇔ 1.156 – b2 = 256 ⇔ b2 = 900 ⇔ b = 30 b = 30 ⇒ a = 34 – b = 4 Barisan aritmetika tersebut sebagai berikut. a, a + b, a + 2b ⇔ 4, 34, 64 Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 4, 34, dan 64.

5. a.

b.

Banyak barang yang diproduksi pada tahun 1998 = a = U1 = 3.600. Banyak barang yang diproduksi pada tahun 2010 = U2010 – 1998 = U12 = 4.150. Un = a + (n – 1)b ⇔ U12 = a + 11b

8. Jarak pendulum setiap ayunan membentuk deret

⇔ 4.150 = 3.600 + 11b ⇔ 11b = 550 ⇔ b = 50 Jadi, besar peningkatan jumlah barang produksi 50 unit per tahun. 2014 – 1998 = 16

9.

Sn = (2a + (n – 1)b) S16 = 8(2 × 3.600 + 15 × 50) = 8(7.200 + 750) = 8(7.950) = 63.600 Jadi, total barang yang diproduksi dari tahun 1998 sampai 2014 sebanyak 63.600 unit. 6. Dari permasalahan di atas diketahui sebagai berikut. a = 6.000 b = 100 Un = 8.500 Un = a + (n – 1) b ⇔ 8.500 = 6.000 + (n – 1)500 ⇔ 8.500 = 6.000 + 500n – 500 ⇔ 8.500 = 5.500 + 500n ⇔ 500n = 8.500 – 5.500 ⇔ 500n = 3.000 ⇔ n=6 Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 8.500 unit tas pada tahun ke-6. 7. a = 500

geometri tak hingga dengan a = 50 cm dan r = . S∞ =

−

=

= 500 cm = 5 m

Jadi, seluruh jarak ayunan pendulum 5 m. ⇔

B = M0 · p · t 280.000 = M0 × 3,5% × 1

⇔

M0 =

⇔

M0 = 8.000.000

× 280.000

Mt = M0(1 + pt) ⇔ M3 = 8.000.000(1 + 3,5% × 3) = 8.000.000(1,105) = 8.840.000 Jadi, jumlah uang yang diterima Pak Malik Rp8.840.000,00. 10. M0 = 1.000.000 = 106 Mt = 1.464.100 = 1,4641 × 106 Mt = M0(1 + p)t M0 = Mt(1 + p)–t ⇔ 106 = 1,4641 × 106 (1 + 10%)–t ⇔ log 106 = log 1,4641 × 106 (1,1)–t ⇔ log 106 = log 1,4641 + log 106 – t log(1,1) ⇔ 6 = 0,1656 + 6 – (0,0414)t ⇔ (0,0414)t = 0,1656 + 6 – 6 ⇔ (0,0414)t = 0,1656 ⇔

t = ⇔ t=4 Jadi, jangka waktunya 4 tahun.

r = = Jumlah jarak seluruhnya yang ditempuh oleh benda tersebut sampai berhenti sebagai berikut.

S∞ = − =

−

=

= 2.500 m

Jadi, jumlah jarak seluruhnya yang ditempuh oleh benda tersebut sampai berhenti 2.500 m.


123

Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: e Pernyataan di atas berkuantor universal (∀), yaitu (∀x, p(x)) dengan: p(x): Tinggi peserta lebih dari 150 cm. ~p(x): Tinggi peserta tidak lebih dari 150 cm. Ingkaran dari (∀x, p(x)) adalah ~(∀x, p(x)) ≡ (∃x, ~p(x)). Jadi, negasi pernyataan di atas adalah ”Tinggi beberapa peserta tidak lebih dari 150 cm”. 2. Jawaban: b Misalkan: p : Cuaca cerah. q : Lokasi wisata ramai pengunjung. Pernyataan tersebut dapat ditulis p ⇒ q. p ⇒ q ≡ ~p ∨ q Jadi, pernyataan yang ekuivalen adalah ”Cuaca tidak cerah atau lokasi wisata ramai pengunjung”. 3. Jawaban: e Misalkan: p: Nisa belajar dengan sungguhsungguh. q: Nisa dapat mengerjakan soal ujian. r: Nisa lulus ujian. Premis 1: p⇒q Premis 2: q⇒r ––––––––––––––––– Kesimpulan: p ⇒ r Jadi, kesimpulan dari premis-premis di atas adalah ”Jika Nisa belajar dengan sungguh-sungguh maka ia lulus ujian”. 4. Jawaban: a ⎛ 6−2 a 3b−2 ⎞ ⎜⎜ 9−1a −2b−3 ⎟⎟ ⎝ ⎠

−1

=

⎛ 9a 3 + 2b−2 + 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 62 ⎝ ⎠

=

⎛ 9a 5b1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 36 ⎠

=

⎛ a5b ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠

=

4 a 5b

−1

−1

−1

5. Jawaban: e ( 2 + 3)2( 2 − 3) 3− 5

= = = =

Latihan Ujian Sekolah

2( 2 + 3)( 2 − 3) 3− 5 2(2 − 9) 3− 5 −14 3− 5 −14

×

3− 5

3+ 5 3+ 5

−14(3 + 5) 9−5

7

= – 2 (3 +

5)

6. Jawaban: b n = 4log 5 × 25log 256 –

3

log 81

1

=

4log

2

5

5 × log

162

32

–

= 4log 5 × 5log 16 –

4 1 2

log 34

× 3log 3

= 4log 16 – 8 × 3log 3 =2–8×1 = –6 Jadi, n = –6. 7. Jawaban: c Grafik mempunyai titik puncak (1, 5) maka persamaan grafiknya: y = a(x – 1)2 + 5 Grafik melalui titik (0, 3), berarti: 3 = a(0 – 1)2 + 5 ⇔ a = –2 y = –2(x – 1)2 + 5 = –2(x2 – 2x + 1) + 5 = –2x2 + 4x + 3 Jadi, persamaan grafiknya y = –2x2 + 4x + 3. 8. Jawaban: d Dari y = x2 – 4x – 45 diperoleh a = 1, b = –4, c = –45. Misalkan titik puncak grafik = (xP, yP). b

xP = – 2a = – (−4) = 2 2 ⋅1

D

yP = – 4a

124

=

= –b

2

− 4ac 4a 2

= – (−4)

⇔

− 4 × 1× ( −45) 4×1

=

– 16 + 180 4

=

– 196 4

6−x

⇔

1

g–1(x) = 3x − 1 ; x ≠ 3

6−x

x≠

Jadi, titik puncak grafik tersebut (2, –49). 9. Jawaban: c y = (x – 1)2 – 16 = x2 – 2x + 1 – 16 = x2 – 2x – 15 a. Fungsi kuadrat memotong sumbu X jika y = 0. y= 0 2 ⇔ x – 2x – 15 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 5) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 5 = 0 ⇔ x = –3 atau x=5 Titik potong dengan sumbu X adalah (–3, 0) dan (5, 0). b. Fungsi kuadrat memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇔ y = (0)2 – 2(0) – 15 = –15 Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, –15). Jadi, koordinat titik potongnya adalah (–3, 0), (5, 0), dan (0, –15). 10. Jawaban: b (f D g)(x) = f(g(x))

1 . 3

12. Jawaban: b 3x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (3x – 4)(x + 2) = 0 4

⇔

x1 = 3 atau x2 = –2 4

Disyaratkan x2 < x1 sehingga diambil x1 = 3 dan x2 = –2. 4

3x1 + x2 = 3 × 3 + (–2) =4–2 =2 Jadi, 3x1 + x2 = 2. 13. Jawaban: a Dari persamaan 2x2 + 13x – 24 = 0 diperoleh a = 2, b = 13, c = –24. b

13

x1 + x2 = – a = – 2 c

−24

=

x 2 + x1 x1 x 2

x1 × x2 = a = 2 = –12 1 x1

+

1 x2

=

−

13 2

−12

13

= 24

14. Jawaban: e Pertidaksamaan kuadrat: x2 – 10x + 21 < 0 ⇔ (x – 7)(x – 3) < 0

⎛ 2x + 3 ⎞ ⎟ ⎝ x −1 ⎠

= f⎜

⎛ 2x + 3 ⎞ ⎟ ⎝ x −1 ⎠

–6 6(x − 1) x −1

=

10x + 15 x −1

=

(10x + 15) − (6x − 6) x −1

=

4x + 21 ; x −1

–

x≠1

11. Jawaban: c Misalkan y = g(x). x+6

6−y 3y − 1

Jadi, fungsi invers dari g(x) adalah g–1(x) = 3x − 1 ;

= –49

= 5⎜

x=

y = 3x + 1 ⇔ 3xy + y = x + 6 ⇔ 3xy – x = 6 – y ⇔ x(3y – 1) = 6 – y

+

– 3

+ 7

⇔ 3

125

⇔ 2b = –6 ⇔ b = –3 Diperoleh a1 = 5, b1 = –3. a1 + 2b1 = 5 + 2 × (–3) = 5 – 6 = –1 Jadi, nilai a1 + 2b1 = –1.

17. Jawaban: a Persamaan garis yang melalui (0,8) dan (8, 0) adalah x + y = 8. Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (12, 0) adalah x + 2y = 12. Perpotongan garis x + y = 8 dan x + 2y = 12: x+y=8 x + 2y = 12 ––––––––– – –y = –4 ⇔ y=4 Selanjutnya diperoleh nilai x = 4. Titik potong kedua garis adalah (4, 4). Menentukan nilai maksimum fungsi f(x, y) = 3x + 5y. Titik Pojok

f(x, y) = 3x + 5y

(0, 6) (4, 4) (8, 0)

3 × 0 + 5 × 6 = 30 3 × 4 + 5 × 4 = 32 3 × 8 + 5 × 0 = 24

Jadi, nilai maksimum fungsi obyektifnya adalah 32. 18. Jawaban: e Misalkan: x = banyak mainan A yang diproduksi y = banyak mainan B yang diproduksi

126


Mesin I

Mesin II

x y

20 30

25 25

480

480

Mainan A Mainan B Pembatas

Diperoleh sistem pertidaksamaan: 20x + 30y ≤ 480 ⇔ 2x + 3y ≤ 48 25x + 25y ≤ 480 ⇔ 5x + 5y ≤ 96 x≥0 y≥0 Jadi, model matematika yang sesuai adalah 2x + 3y ≤ 48, 5x + 5y ≤ 96, x ≥ 0, y ≥ 0.

16. Jawaban: a Misalkan: x = Harga 1 buku tulis. y = Harga 1 buku gambar. 5x + 3y = 24.700 3x – 4y = 900 Eliminasi y dari sistem persamaan: 5x + 3y = 24.700 × 4 20x + 12y = 98.800 3x – 4y = 900 ×3 9x – 12y = 2.700 ––––––––––––––––– + 29x = 101.500 ⇔ x = 3.500 Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan 3x – 4y = 900. x = 3.500 ⇔ 3x – 4y = 900 ⇔ 3 × 3.500 – 4y = 900 ⇔ 10.500 – 4y = 900 ⇔ –4y = –9.600 ⇔ y = 2.400 2x + 2y = 2 × 3.500 + 2 × 2.400 = 7.000 + 4.800 = 11.800 Jadi, Lulu harus membayar sebesar Rp11.800,00.

Banyak

19. Jawaban: b ⎛ 9 7 2 ⎞ ⎛ 13 8 1 ⎞ ⎛ a 6 2⎞ ⎛ −1 5 3 ⎞ ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ + ⎜8 1 6⎟ = ⎜ ⎟ − 1 b 8 2 2 c ⎝ ⎠ ⎝ 5 3 8⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

1 −1 ⎞ ⎛ 9 7 2⎞ ⎛a + 1 ⎛ 13 8 1 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜8 1 6⎟ = ⎜ ⎟ − 3 b − 2 8 − c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 5 3 8⎠

⇔

8 1 ⎞ ⎛ a + 10 ⎛ 13 8 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 5 b − 1 14 − c ⎝ ⎠ ⎝ 5 3 8⎠

Dari kesamaan matriks diperoleh: a + 10 = 13 ⇔ a = 3 b–1 =3 ⇔b=4 14 – c = 8 ⇔ c = 6 Jadi, nilai a, b, dan c berturut-turut 3, 4, dan 6. 20. Jawaban: c ⎛ 2 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ 6 0⎞ ⎟ ⇒ 3P = 3 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ P = ⎜ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ −3 3 ⎠ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 6 −4 ⎞ ⎟ ⇒ 2Q = 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ Q= ⎜ ⎝ −1 4 ⎠ ⎝ −1 4 ⎠ ⎝ −2 8 ⎠

R = 3P – 2Q ⎛ 6 0⎞ ⎛ 6 −4 ⎞ ⎛0 4⎞ ⎟ – ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ −3 3 ⎠ ⎝ −2 8 ⎠ ⎝ −1 −5 ⎠ |R| = 0(–5) – 4(–1) = 4 Jadi, determinan R adalah 4.

21. Jawaban: b 3⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ ⎛ 7 2⎜ ⎟ –M= ⎜ ⎟ ⎝ −6 4 ⎠ ⎝ −4 − 2 ⎠ 3⎞ ⎛ 7 −3 ⎞ ⎛ 7 ⇔ M = 2⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ ⎝ −6 4 ⎠ ⎝ −4 − 2 ⎠ ⎛ 7 −9 ⎞ 3⎞ ⎛ 14 −6 ⎞ ⎛ 7 = ⎜ ⎟– ⎜ ⎟ = ⎜⎝ −8 10 ⎟⎠ ⎝ −12 8 ⎠ ⎝ −4 −2 ⎠

1 7 × 10 − (−8) × (−9)

M–1 =

⎛ 10 9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 8 7⎠

⎛ −5 − 9 ⎞ 1 ⎛ 10 9 ⎞ 2⎟ ⎜ =–2 ⎜ ⎟ = ⎜ 7⎟ 8 7 ⎝ ⎠ ⎝ −4 − 2 ⎠ 22. Jawaban: b Rumus suku ke-n deret aritmetika: Un = a + (n – 1)b U3 = 3 ⇒ a + 2b = 3 . . . (1) U8 = 23 ⇒ a + 7b = 23 . . . (2) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2): a + 2b = 3 a + 7b = 23 –––––––––– – –5b = –20 ⇔ b = 4 Substitusi nilai b = 4 ke persamaan (1): ⇔ a + 2(4) = 3 ⇔ a=3–8 ⇔ a = –5 Diperoleh a = –5 dan b = 4. Jumlah n suku pertama: n

Sn = 2 [2a + (n – 1)b] ⇔ S20 =

20 2

[2(–5) + (20 – 1)4]

= 10[–10 + 76] = 660 Jadi, 20 suku pertama deret tersebut adalah 660. 23. Jawaban: b Rumus suku ke-n deret geometri: Un = arn – 1 1

U4 = 2

Sn =

a(1 − r n ) 1− r

⇔ S8 =

a(1 − r 8 ) 1− r 1

⇔

ar 6 ar 3

⇔ ⇔

=

1

(1 − 28 )

24

3 −

⇔ S8 =

1

+

24

28 24

3 8 1 ⎛ 2 − 1⎞ ⎜⎜ 24 ⎟⎟ ⎝ ⎠

⇔ S8 = 3

1 ⎛ 256 − 1⎞ ⎜ 16 ⎟ ⎝ ⎠

⇔ S8 = 3

255

15

5

⇔ S8 = 48 = 5 48 = 5 16 Jadi, jumlah delapan suku pertama deret tersebut 5

5 16 . 24. Jawaban: e Permasalahan tersebut merupakan permasalahan deret aritmetika. U1 = 80, b = 4 n

Sn = 2 (2a + (n – 1) b) 25

⇔ S25 = 2 (2 × 80 + 24 × 4) 25

25

= 2 (256) = 25 × 128 = 3.200 kg = 32 kuintal Jadi, banyak buah yang dihasilkan 32 kuintal.

−4 1 2

= –8

25. Jawaban: b

r3 = –8 r = –2

x 2 − 64 x→−8 x + 4x − 32

n = lim

1

= lim

2

(x + 8)(x − 8)

x→−8 (x + 8)(x − 4)

1

a(–2)3 = 2

= lim x − 8 x→−8 x − 4

1

⇔ a × (–8) = 2 ⇔

−

= 2 (160 + 96)

U4 = 2 ⇔

1 − (−2)

⇔ S8 =

1

⇔ ar3 = 2 U7 = –4 ⇔ ar6 = –4 U7 U4

− 16 (1 − (−2)8 )

⇔ S8 =

−8 − 8

1

a = – 16

= −8 − 4 −16

4

= −12 = 3 Matematika Kelas XII Program IPS

127

4

30. Jawaban: a Daerah I dibatasi oleh sumbu X, garis y = 2x – 2 dan interval 1 ≤ x ≤ 5.

4

n = 3 ⇒ 6n + 1 = 6 × 3 + 1 =8+1=9 Jadi, nilai 6n + 1 = 9.

5

26. Jawaban: e −2x 2 + 11x − 12 x →∞ x 2 − 18

(4 − x)(2x − 3) x →∞ x 2 − 18

lim

= lim

−2 +

= lim =

−2 + 0 − 0 1− 0

=

−2 1

×

x2 1 x2

x

– turun

1 3

x=

+ naik

1

7

= –2

5

2

9

= (4 × 72 – 7 × 7 – = (196 – 49 –

4

= 4 x4 – 3 x3 + 2 x2 – 5x + c 1

= 2 x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + c

) – (65 –

125 3

125 3

1 3

× 53)

)

)

2

1

= 82 – 72 3 = 9 3 1 1

Jadi, luas daerah tersebut 25 3 satuan luas. 31. Jawaban: a Banyak susunan buku merupakan permutasi 7 dari 7. Banyak susunan buku = 7P7 = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040 32. Jawaban: d Banyak cara memilih ketiga orang untuk berorasi: = 10C3 =

+

) – (100 – 35 –

1

– turun

4 x1 + 1 1+ 1

218 3

343 3

× 73) – (4 × 52 – 7 × 5 –

= 16 + 9 3 = 25 3

atau x = 1

9 x2 + 1 2 +1

343 3

1 3

Luas daerah = LI + LII

∫(2x3 – 9x2 + 4x – 5) dx –

7 2 1 3 2 = ∫ (8x − 7 − x ) dx = 4x − 7x − 3 x ⎤⎥ ⎦5 5

= 82 –

29. Jawaban: d

=

7

= (147 –

Maksimum terletak di antara naik dan turun, yaitu x = 1. Jadi, fungsi f maksimum untuk x = 1.

2 x3 + 1 3 +1

5

2 LII = ∫ ((2x − 2) − (x − 6x + 5)) dx

28. Jawaban: d f(x) = –2x3 + 4x2 – 2x + 8 f′(x) = –6x2 + 8x – 2 f(x) stasioner apabila: f′(x) = 0 ⇒ –6x2 + 8x – 2 = 0 ⇔ 3x2 – 4x + 1 = 0 ⇔ (3x – 1)(x – 1) = 0 ⇔

2 = x − 2x ⎤⎦

= (25 – 10) – (1 – 2) = 16 satuan luas Daerah II dibatasi oleh sumbu X, garis y = 2x – 2, garis y = x2 – 6x + 5, dan interval 5 ≤ x ≤ 7.

2

27. Jawaban: a f(x) = (x – 2)(x2 – 2x + 5) = uv f'(x) = u' v + uv' = 1(x2 – 2x + 5) + (x – 2)(2x – 2) = x2 – 2x + 5 + (x – 2)(2x – 2) f'(–1) = 1 + 2 + 5 + (–1 – 2)(–2 – 2) = 8 + (–3)(–4) = 20

1 3

∫ (2x − 2) dx

1

1

11 12 − 2 x x 18

1−

x →∞

1

LI =

– 5x + c

10! 3!(10 − 3)!

10!

8 × 9 × 10

= 3! 7! = 1× 2 × 3 = 120

33. Jawaban: b S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)} n(S) = 12 B = kejadian muncul angka dan mata dadu genap = {(A, 2), (A, 4), (A, 6)} n(B) = 3 P=

n(B) n(S)

=

3 12

=

1 4

.

Jadi, peluang muncul angka dan mata dadu genap adalah

128


1 4

.

34. Jawaban: b Banyak percobaan: N = 15 kali. Jumlah bola dalam kantong = 8 + 12 = 20. Banyak bola hijau = 8. 8

Peluang terambil bola hijau: P(H) = 20 . 8

Fh(H) = P(H) × N = 20 × 15 = 6 Jadi, frekuensi harapan terambil bola hijau adalah 6 kali. 35. Jawaban: a Banyak siswa yang melanjutkan kuliah di Fakultas Teknik = 180 – (35 + 50 + 40 + 30) = 180 – 155 = 25 Persentase banyak siswa yang melanjutkan kuliah di Fakultas Teknik 25

125

= 180 × 100% = 9 % = 13 89 % 36. Jawaban: e Misalkan besar sudut pusat pertanian = 3n maka besar sudut pusat ekonomi = 5n Jumlah besar sudut pusat pertanian dan ekonomi = 360° – (70° + 50° + 80°) ⇔ 3n + 5n = 160° ⇔ 8n = 160° ⇔ n = 20° Sudut pusat ekonomi = 5n = 5 × 20° = 100°. Misalkan x = banyak siswa yang memilih kuliah di Fakultas Ekonomi.

×c

⎛ 4 ⎞

= 29,5 + ⎜⎝ 4 + 1⎠⎟ × 5 4

= 29,5 + 5 × 5 = 33,5 Jadi, modus data adalah 33,5 tahun. 39. Jawaban: d Data: 2, 1, 3, 6, 1, 4, 2 ,5 Rata-rata data: x = =

jumlah data banyak data

2 + 1+ 3 + 6 + 1+ 4 + 2 + 5 8 24

= 8 =3 Ragam dari data: 1

S2 = 8 ((2 – 3)2 + (1 – 3)2 + (3 – 3)2 + (6 – 3)2 + (1 – 3)2 + (4 – 3)2 + (2 – 3)2 + (5 – 3)2) 1

x

= 8 (24) = 3

100° 70°

= 35 100°

x = 70° × 35 ⇔ x = 50 Jadi, siswa yang memilih kuliah di Fakultas Ekonomi sebanyak 50 orang. 37. Jawaban: e Poligon merupakan grafik dari titik tengah suatu data. Rata-rata tinggi badan pemain: x =

⎛ d1 ⎞ ⎜d +d ⎟ ⎝ 1 2 ⎠

= 8 (1 + 4 + 0 + 9 + 4 + 1 + 1 + 4)

= 35

⇔

Modus = L0 +

x

sudut pusat ekonomi sudut pusat sastra

⇔

38. Jawaban: e Modus data terletak pada interval 30–34. L0 = 29,5 d1 = 11 – 7 = 4 d2 = 11 – 10 = 1 c =5

∑ xi fi ∑ fi

=

162 ⋅ 2 + 167 ⋅ 6 + 172 ⋅ 4 + 177 ⋅ 8 + 182 ⋅ 5 2+6+4+8+5

=

324 + 1.002 + 688 + 1.416 + 910 25

=

4.340 25

= 173,6 cm

Jadi, rata-rata tinggi badan pemain basket tersebut 173,6 cm.

1

Jadi, simpangan baku dari data =

S2 =

3.

40. Jawaban: a x =

=

Σxi n 8 + 4 × 10 + 9 + 3 × 11 9 90

= 9 = 10 Σ |xi –

x|

1

=|8 – 10| + 4|10 – 10| + |9 – 10| + 3 |11 – 10| =2+4×0+1+3×1 =6 1

SR = n Σ |xi – x | = 10 × 6 = 0,6 Jadi, simpangan rata-rata adalah 0,6.


129

6. Jawaban: b

A. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jawaban: e Misalkan: p: Air sungai meluap. q: Penduduk mengungsi. Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai p ⇒ q. Ingkaran dari p ⇒ q adalah ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q. Jadi, ingkaran dari pernyataan tersebut adalah ”Air sungai meluap dan penduduk tidak mengungsi” atau ”Air sungai meluap tetapi penduduk tidak mengungsi”. 2.

Jawaban: b Misalkan: p: Dita tidak datang. q: Nisa menggantikan tugas Dita. Pernyataan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk impliklasi p ⇒ q. Implikasi p ⇒ q setara dengan kontraposisinya, yaitu (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p). Jadi, pernyataan yang setara adalah ”Jika Nisa tidak menggantikan tugas Dita maka Dita datang”.

3. Jawaban: d Misalkan: p: Ada baterai yang mati. q: Bohlam tidak dapat menyala. Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : ~q ––––––––––––––––– Kesimpulan : ~p Jadi, kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah ”Tidak ada baterai yang mati” atau ”Semua baterai tidak mati”. −1

3−1x −2 y −4

= 2−1x −1y3 =

2 3x −1+ 2 y 3 + 4

5. Jawaban: e 3+ 2 3− 2

= = =

3+ 2 3− 2

×

3+ 2 3+ 2

2

( 3 + 2) 3−2

3+2 6 +2 1

=5+2 6

130

6 = = = =

2

log 6 log 9 2 log (2 × 3) 2 log 32 2 log 2 + 2log 3 2 × 2log 3

2

1+ p 2p

Jadi, 9log 6 =

1+ p 2p

.

7. Jawaban: b Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 3x2 + x – 2. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X jika f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ 3x2 + x – 2 = 0 ⇔ (3x – 2)(x + 1)= 0 ⇔

x=

2 3

atau x = –1

Titik potong f(x) = 3x2 + x – 2 dengan sumbu X 2 3

adalah (–1, 0) dan ( , 0). Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu Y jika x = 0. f(x) = 3x2 + x – 2 ⇔ f(0) = 3 × 02 + 0 – 2 ⇔ f(0) = –2 Titik potong f(x) = 3x2 + x – 2 dengan sumbu Y adalah (0, –2). 2

4. Jawaban: c ⎛ 3x 2 y4 ⎞ ⎜⎜ −3 ⎟ ⎟ ⎝ 2xy ⎠

9log

Latihan Ujian Nasional

=

2 3xy 7

Jadi, titik potongnya adalah ( 3 , 0), (–1, 0), dan (0, –2). 8. Jawaban: b Fungsi y = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai a = 1, b = –2, dan c = –3. Misalkan koordinat titik balik fungsi adalah (xP, yP). b

xP = – 2a (−2)

= – 2 ×1 = 1

Diambil x2 = 2 dan x1 = –1 karena disyaratkan x2 > x1. 2x1 + 3x2 = 2 × (–1) + 3 × 2 = –2 + 6 =4 Jadi, 2x1 + 3x2 = 4.

D

yP = – 4a =–

b2 − 4ac 4a

=–

(−2)2 − 4 × 1× (−3) 4 ×1

=

4 + 12 – 4

= –4

Jadi, koordinat titik balik fungsi adalah (1, –4). 9. Jawaban: c Misalkan titik balik fungsi kuadrat = (p, q) = (–1, 4) maka f(x) = a(x + 1)2 + 4. Grafik fungsi melalui titik (0, 3) maka f(0) = 3. f(0) = a(0 + 1)2 + 4 ⇔ 3=a+4 ⇔ a = –1 Diperoleh persamaan grafik fungsi kuadrat: y = –1(x + 1)2 + 4 = –(x2 + 2x + 1) + 4 = –x2 – 2x + 3 Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah y = –x2 – 2x + 3. 10. Jawaban: d f(x) = x2 – 10x + 4 (f D g)(x) = f(g(x)) = f(–x + 3) = (–x + 3)2 – 10(–x + 3) + 4 = (x2 – 6x + 9) + 10x – 30 + 4 = x2 + 4x – 17 Jadi, (f D g)(x) = x2 + 4x – 17. 11. Jawaban: e Misalkan y = f(x) y=

⇔

x=

−y − 4 2y − 3

3

f –1(x) = 2x − 3 ; x ≠ 2 −1 − 4

−5

f–1(1) = 2 × 1 − 3 = −1 = 5 Jadi, f –1(1) = 5. 12. Jawaban: e

= x1 × x2 =

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya 3x 1 dan 3x2. 3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2) 7 6

= 3 × (– ) =–

7 2

3x1 × 3x2 = 9x1 × x2 =9×

1 3

=3 Persamaan kuadrat yang baru: x2 – (3x1 + 3x2)x + (3x1 × 3x2) = 0 x2 +

7 x 2

+3=0

⇔ 2x2 + 7x + 6 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah 2x2 + 7x + 6 = 0.

3x − 4 2x + 1

−x − 4

b a 7 – 6 c 2 = a 6 1 = 3

x1 + x2 = –

⇔

⇔ 2xy + y = 3x – 4 ⇔ 2xy – 3x = –y – 4 ⇔ x(2y – 3) = –y – 4 ⇔

13. Jawaban: e Dari persamaan kuadrat 6x2 + 7x + 2 = 0 diperoleh a = 6, b = 7, dan c = 2. x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 6x2 + 7x + 2 = 0 sehingga:

x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1

14. Jawaban: b Diketahui pertidaksamaan x2 + 3x – 4 < 0. Pembuat nol dari persamaan x2 + 3x – 4 = 0 sebagai berikut. x2 + 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 1) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –4 atau x = 1 +++

––– –4

+++ 1

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x2 + 3x – 4 < 0 adalah –4 < x < 1.


131

15. Jawaban: c x + 3y = 1 × 2 2x – y = 9 ×1

2x + 6y = 2 2x – y = 9

18. Jawaban: d Misalkan: x = banyak helm merek A y = banyak helm merek B

–––––––––– –

7y = –7 y = –1

16. Jawaban: e Misalkan: x = harga 1 buku tulis y = harga 1 spidol Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut. 2x + 3y = 12.000 . . . (i) x + 2y = 6.500 . . . (ii) Eliminasi x dari (i) dan (ii). 2x + 3y = 12.000 × 1 2x + 3y = 12.000 x + 2y = 6.500 ×2 2x + 4y = 13.000 –––––––––––––– – –y = –1.000 ⇔ y = 1.000 y = 1.000 ⇒ x + 2y = 6.500 ⇔ x + 2.000 = 6.500 ⇔ x = 4.500 Candra hanya membeli 1 buku tulis dan 1 spidol sehingga: x + y = 4.500 + 1.000 = 5.500 Uang kembalian = 10.000 – 5.500 = 4.500 Jadi, uang kembalian Candra Rp4.500,00. 17. Jawaban: b Y 6

x–y=2

(4, 2) 0

2

–2

X

6

3x + y = 6

x+y=6

Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik Pojok (2, 0) (4, 2) (0, 6)

f(x, y) = 12x + 15y 12 × 2 + 15 × 0 = 24 12 × 4 + 15 × 2 = 78 12 × 0 + 15 × 6 = 90

Nilai minimum f(x, y) adalah 24. Jadi, nilai minimumnya 24.

132


Merek A Merek B

x y

Pembatas

30

Harga Beli 160.000 80.000

Laba 25.000 15.000

3.200.000

Diperoleh model matematika: Memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 25.000x + 15.000y dengan kendala: x + y ≤ 30 160.000x + 80.000y ≤ 3.200.000 ⇔ 2x + y ≤ 40 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian:

⇔ y = –1 ⇒ 2x – y = 9 ⇔ 2x + 1 = 9 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4 Diperoleh x1 = x = 4 dan y1 = y = –1. x1 + y1 = 4 + (–1) = 3 Jadi, x1 + y1 = 3.

Banyak

Helm

Y 40 30 C B

A 0

20

30

2x + y = 40

X x + y = 30

Titik B merupakan perpotongan garis x + y = 30 dan 2x + y = 40. Koordinat titik B(10, 20). Uji titik pojok ke fungsi objektif: Titik Pojok O(0, 0) A(20, 0) B(10, 20) C(0, 30)

f(x, y) = 25.000x + 15.000y 25.000 × 0 + 15.000 × 0 25.000 × 20 + 15.000 × 0 25.000 × 10 + 15.000 × 20 25.000 × 0 + 15.000 × 30

=0 = 500.000 = 550.000 = 450.000

Nilai maksimum f(x, y) adalah 550.000 untuk x = 10 dan y = 20. Jadi, agar laba yang diperoleh pedagang maksimum, pedagang tersebut harus menyediakan 10 helm merek A dan 20 helm merek B. 19. Jawaban: e 2A – B = C ⎛ 2p 2r ⎞ ⎛ 3q 3s ⎞ ⇔ 2 ⎜ p −3 ⎟ – ⎜ −2 2s ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6r ⎞ ⎛ 5p − q = ⎜ 3p 2q − 4s ⎟⎠ ⎝

6r ⎞ ⎛ 4p − 3q 4r − 3s ⎞ = ⎛ 5p − q ⎜ 3p ⎜ 2p + 2 −6 − 2s ⎟ 2q − 4s ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Dari kesamaan matriks diperoleh: 1) 2p + 2 = 3p ⇔ p = 2 2) 4p – 3q = 5p – q ⇔ 4 × 2 – 3q = 5 × 2 – q ⇔ 2q = –2 ⇔ q = –1 ⇔

–6 – 2s = 2q – 4s ⇔ –6 – 2s = –2 – 4s ⇔ 2s = 4 ⇔ s=2 4) 4r – 3s = 6r ⇔ 4r – 3 × 2 = 6r ⇔ 2r = –6 ⇔ r = –3 Jadi, nilai pqrs = 2 × (–1) × (–3) × 2 = 12. 3)

23. Jawaban: e Misal 5 suku deret geometri adalah a r2 a r2

a

, r , a, ar, ar2 a

× r × a × ar × ar2 = 32 ⇔ a5 = 25 ⇔ a=2 U5 = 18 ⇔ ar2 = 18 ⇔ 2r2 = 18 ⇔ r2 = 9 ⇔ r=±3 Oleh karena r > 0 maka r = 3.

20. Jawaban: d ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ PQ – Q = ⎜ 3 2 ⎟ ⎜ 0 3 ⎟ – ⎜ 0 3 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 4 ⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ = ⎜ −3 0 ⎟ – ⎜ 0 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛0 6⎞ = ⎜ −3 −3 ⎟ ⎝ ⎠ det (PQ – Q) = 0 × (–3) – (–3) × 6 = 18

Jumlah deret = =

21. Jawaban: d

=

⎛ 1 −1⎞ ⎜ 0 −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛2 2⎞ ⎜ −1 −2 ⎟ = ⎜ 2 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1 A = ⎜ −1 ⎝ ⎛1 ATA = ⎜ 0 ⎝

0⎞ T −2 ⎟⎠ maka A =

(ATA)–1

1 8−4

=

−1⎞ −2 ⎟⎠

2

2

+ 3 + 2 + 2 × 3 + 2 × 32 2

+ 3 + 2 + 6 + 18 8

24. Jawaban: c Deret aritmetika: n = 10; a = 42; S10 = 330 10

2 ⎠

Jadi, invers dari matriks ATA adalah

a

+ r + a + ar + ar2

= 26 9

⎛ 1 − 1 ⎞⎟ ⎛ 4 −2 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎜ −2 2 ⎟ ⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎜− ⎟ ⎝

a r2 2 32 2 9

⎛ ⎜ 1 ⎜ ⎜− 1 ⎜ ⎝ 2

− 1 ⎞⎟ 2⎟ 1 ⎟ ⎟ 2 ⎠

22. Jawaban: b Misal 7 suku deret aritmetika adalah U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7 U1 + U2 + U3 = 45 ⇔ a + a + b + a + 2b = 45 ⇔ 3a + 3b = 45 . . . (1) U5 + U6 + U7 = 105 ⇔ a + 4b + a + 5b + a + 6b = 105 ⇔ 3a + 15b = 105 . . . (2) Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2): 3a + 15b = 105 3a + 3b = 45 ––––––––––––– – 12b = 60 ⇔ b=5 Substitusi b = 5 ke persamaan (1) diperoleh: 3a + 3 × 5 = 45 ⇔ 3a = 30 ⇔ a = 10 Nilai suku ke-4: U4 = a + 3b = 10 + 3 × 5 = 25

.

S10 = 2 (a + U10) ⇔ 330 = 5(42 + U10) ⇔ 66 = 42 + U10 ⇔ U10 = 24 Jadi, panjang potongan pita terpendek 24 cm. 25. Jawaban: e 5x + 15

lim

2

x →−3 2x + 4x − 6

= lim

5(x + 3) 2

x →−3 2(x + 2x − 3)

=

x+3 5 lim 2 x →−3 (x + 3)(x − 1)

1

5

= 2 lim x − 1 x →−3 =

5 2

×

⎛ 1 ⎞ ⎜ −3 − 1⎟ ⎝ ⎠

=

5 2

×

⎛ 1⎞ ⎜− 4 ⎟ ⎝ ⎠

5

=–8 26. Jawaban: b

lim

x →∞

(

= lim

x →∞

x 2 − 7x + 5 − (x + 2)

(

)

x 2 − 7x + 5 − (x + 2)

)


133

( × (

29. Jawaban: a

) − 7x + 5 + (x + 2))

x 2 − 7x + 5 + (x + 2) x

= lim

0

1

= 2

(x 2 − 7x + 5) − (x 2 + 4x + 4) x 2 − 7x + 5 + (x + 2)

−11x + 1

= lim

x − 7x + 5 + (x + 2) 1 x

−11 +

= lim

x →∞

1−

7 x

+

5 x2

+ (1 +

=

−11 + 0 1 − 0 + 0 + (1 + 0)

=

−11 1+1

=–

11 2

df(x) dx

=

df(x) du

3 4 3 4

x − 6x − 1

dx

0

∫ (x2 – 6x – 1)

−

1 3

−1

×

d(x2 – 6x – 1) 0

3 2

2⎤ ⎡ 2 3 ⎣⎢(x − 6x − 1) ⎦⎥ −1

((0 – 1) – 6(0 + 1) – 1) × (–8)

2 3

2 3 2

×

3 (–23)

× (–2)2

30. Jawaban: c Persamaan kurva: y1 = f(x) = a(x + 2)(x – 6) Kurva melalui titik (0, 12) maka f(0) = 12. f(0) = a(0 + 2)(0 – 6) ⇒ 12 = –12a ⇔ a = –1 Persamaan kurva menjadi: f(x) = –(x + 2)(x – 6) = –(x2 – 4x – 12) = –x2 + 4x + 12 Persamaan garis: y2 = 3x Luas daerah yang diarsir:

= 5u4

f′(x) =

4

L= ×

du dx

=

= 5u4 × (4x – 3) = 5(4x – 3)(2x2 – 3x)4

=

28. Jawaban: c Biaya per hari 1.200 x

∫ (y1 – y2) dx

0 4

∫ (–x2 + 4x + 12 – 3x) dx

0 4

∫ (12 + x – x2) dx

0

= ⎡⎢12x + 1 x2 − 1 x3 ⎤⎥ – 120) (dalam juta rupiah)

Biaya x hari = ((3x +

1.200 x

– 120)x)

⇔ f(x) = + 1.200 – 120x) Agar biaya minimum f′(x) = 0 f(x) = 3x2 + 1.200 – 120x ⇔ f′(x) = 6x – 120 ⇔ 0 = 6x – 120 ⇔ 6x = 120 ⇔ x = 20 Jadi, agar biaya minimum proyek harus diselesaikan dalam waktu 20 hari. (3x2

134

3 4

2

=3

f(x) = (2x2 – 3x)5 = u5

= (3x +

=

=

= u′ = 4x – 3

df(x) du

=

3 4

=

2 ) x

27. Jawaban: c Misalkan u = 2x2 – 3x. du dx

=

1 2

2

x →∞

3

−1

x 2 − 7x + 5 + (x + 2)

x →∞

x−3

∫

(x 2 − 7x + 5) − (x + 2)2

x →∞

= lim

2


⎣

2

= 12(4 – 0) +

4

3 ⎦0 1 (16 – 2

1

0) – 3 (64 – 0)

64

= 48 + 8 – 3 2

= 34 3 2

Jadi, luas daerah yang diarsir 34 3 satuan luas.

31. Jawaban: b Angka-angka = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Banyak angka = 6 3 kemungkinan (3, 4, 5) 5 kemungkinan 4 kemungkinan

35. Jawaban: b Besar sudut juring buruh = 360° – (90° + 50° + 160° + 15°) = 360° – 315° = 45° Banyak kepala keluarga yang bekerja sebagai buruh 45°

angka satuan angka puluhan

angka ratusan

Banyak bilangan lebih dari 300 yang dapat disusun = 3 × 5 × 4 = 60. 32. Jawaban: c Banyak cara memilih 5 orang pengurus dari 7 orang dapat diselesaikan dengan permutasi 5 unsur dari 7 unsur. Banyak cara = 7P5 =

7! (7 − 5)!

=

7! 2!

33. Jawaban: d Percobaan melemparkan dua dadu. n(S) = 36 Misalkan A = kejadian jumlah kedua mata dadu habis dibagi 5 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} n(A) = 7

=

n(A) n(S) 7 36

7

34. Jawaban: e Banyak percobaan = N = 180 kali. Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 36. A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 8 = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} n(A) = 5 =

5 36

fh(A) = P(A) × N =

5 36

72

=9 Jadi, kepala keluarga yang bekerja sebaai buruh sebanyak 9. 36. Jawaban: b Banyak anak = 40 + 30 + 62 + n + 22 ⇔ 200 = 154 + n ⇔ n = 46 Persentase = 200 × 100% = 23% Jadi, persentase anak yang menyukai permen adalah 23%. 37. Jawaban: e Tabel dari diagram tersebut sebagai berikut. Diameter Pohon (cm)

Frekuensi

fk

4–6 7–9 10–12 13–15 16–18 19–21

8 16 6 7 4 3

8 24 30 37 41 44

n = 44 1 2

habis dibagi 5 adalah 36 .

P(A) =

1 × 8

Median data = nilai data ke- (44 + 1)

Jadi, peluang muncul jumlah kedua mata dadu

n(A) n(S)

=

46

=7×6×5×4×3 = 2.520 Jadi, terdapat 2.520 cara memilih pengurus.

P(A) =

= 360° × banyak kepala keluarga

× 180 = 25.

Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 8 adalah 25.

= nilai data ke-22,5 Nilai data ke-22,5 terletak di kelas interval 7–9. L = 6,5 fM = 16 e fk = 8 p

Me

=3

Me = L +

⎛ n − fk Me ⎜2 ⎜ fM e ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 44 − 8 ⎞ 2 ⎟ ⎜ 16 ⎟ ⎝ ⎠

= 6,5 + ⎜ = 6,5 +

⎛ 14 ⎞ ⎜ 16 ⎟ ⎝ ⎠

×p ×3

×3

= 6,5 + 2,625 = 9,125 ≈ 9,13 Jadi, median data 9,13 cm. Matematika Kelas XII Program IPS

135

38. Jawaban: d

1 8

Nilai

Frekuensi

10–19 20–29 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79

3 4 5 10 7 6 5

SR = n ∑ | xi − x | i=1 1

= 8 (|7 – 6| + |8 – 6| + |6 – 6| + |8 – 6| + |3 – 6| + |5 – 6| + |4 – 6| + |7 – 6|) 1

= 8 (1 + 2 + 0 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1)

Modus data terletak pada kelas interval 40–49 karena frekuensinya paling banyak. L = 39,5 d1 = 10 – 5 = 5 d2 = 10 – 7 = 3 p = 10 Mo = L +

⎛ d1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ d1 + d2 ⎠

= 39,5 +

×p

⎛ 5 ⎞ ⎜ 5+3⎟ ⎝ ⎠

× 10

5

= 39,5 + 8 × 10 = 39,5 + 6,25 = 45,75 Jadi, modus data tersebut adalah 45,75. 39. Jawaban: d

x

=

7+8+6+8+3+5+4+7 8 48

= 8 =6

1

3

= 8 (12) = 2 3

Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 2 . 40. Jawaban: d

x =

3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 10 + 11 + 12 9 72

= 9 =8

1 9

2 S2 = n ∑ (xi − x) i=1

1

= 9 [(3 – 8)2 + (5 – 8)2 + (6 – 8)2 + (7 – 8)2 + (9 – 8)2 + (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (11 – 8)2 + (12 – 8)2] 1

= 9 (25 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 9 + 16) 1

= 9 (70) 70

= 9

70

Jadi, varians data tersebut adalah 9 .

136


05 Kunci Jawaban Dan Pembahasan Mat 12 Ips Ktsp

Recommend Documents