A. Penger Pengertia tian n Dist Distrib ribusi usi Chi Square
Chi square square adalah adalah pengujia pengujian n hipotesis hipotesis mengenai mengenai perbandi perbandinga ngan n antara antara frekuensi frekuensi observas observasii atau yang benar-ben benar-benar ar terjadi terjadi (aktual) (aktual) dengan dengan frekuensi frekuensi harapan harapan.. Frekuensi Frekuensi observas observasii adalah adalah frekuensi frekuensi yang nilainya nilainya diperole diperoleh h dari hasil hasil percobaa percobaan n (o) sedangka sedangkan n frekue frekuensi nsi harap harapan an adala adalah h frekue frekuensi nsi yang yang nilain nilainya ya dapat dapat di hitung hitung secara secara teorit teoritis is (e). (e). Dist Distri ribu busi si chi square square termas termasuk uk dalam dalam statis statistik tik nonpar nonparame ametri trik k yaitu yaitu distr distribu ibusi si di mana mana besa besara rann-be besa sara ran n popu popula lasi si tida tidak k dike diketa tahu hui. i. Deng Dengan an kata kata lain lain,, chi chi squa square re test test tidak memerlukan syarat data berdistribusi normal. Distribusi chi square sering square sering digunakan untuk melakukan analisis statistik di mana informasi tentang populasi atau jika asumsi-asumsi yang dipersyaratkan untuk penggunaan statistik parametrik tidak terpenuhi.
B. Karakter Karakteristik istik dan Keguna Kegunaan an Distribu Distribusi si Chi Square
Karakteristik dari distribusi chi square adalah square adalah sebagai berikut !. Distribusi chi square square hanya hanya memil memiliki iki satu satu parame parameter ter yaitu yaitu deraja derajatt kebeba kebebasan san atau atau degree degree of freedo freedom m (df) (df) denga dengan n persamaa persamaan n
=k −1 , di mana df = mana k adal adalah ah juml jumlah ah
kategori dalam percobaan" #. $ilai chi square selalu positif karena merupakan hasil pengkuadratan" %. &erdapat rdapat beber beberapa apa kelom kelompok pok distr distribu ibusi si chi square, square, yaitu distribusi distribusi chi square square dengan dengan df'!, #, %, dan seterusnya" . ent entuk uk kurv kurva a dist distri ribu busi si chi square tidak tidak ditentuka ditentukan n oleh banyaknya banyaknya sampel sampel melainka melainkan n dite ditent ntuk ukan an deng dengan an bany banyak akny nya a
dera deraja jatt
kebe kebeba basa san. n. *ema *emaki kin n
keci kecill
nila nilaii
dera deraja jatt
kebebasa kebebasan, n, bentuk bentuk kurvanya kurvanya semakin menceng menceng ke kanan kanan dan semakin besar nilai nilai derajat derajat kebebasa kebebasan n ( n → ∞ ), bentu bentuk k kurvan kurvanya ya semaki semakin n mendek mendekati ati bentuk bentuk fungsi fungsi normal.
+ji chi square secara umum digunakan digunakan untuk menguji menguji dua kelompok kelompok data baik square secara variabel independen maupun dependennya berbentuk kategorik atau dapat juga dikatakan sebagai uji proporsi untuk dua peristia atau lebih sehingga datanya bersifat diskrit. Dasar uji chi square adalah square adalah membandingkan perbedaan frekuensi hasil observasi ( fo ) dengan frekuensi yang diharapkan ( fh ). erbedaan tersebut meyakinkan jika nilai dari chi square sama atau lebih besar dari suatu nilai yang ditetapkan pada taraf signifikan tertentu (dari tabel #). +ji chi square dapat digunakan untuk pengujian sebagai berikut !. +ntuk +ntuk menguji menguji ketepa ketepatan tan pener penerapan apan suatu suatu fungsi fungsi (test ( test of goodness of fit )" )"
#. +ntuk menguji ada tidaknya suatu hubungan di antara dua variabel ( independency test )" serta %. +ntuk menguji kesamaan di antara sub-sub kelompok (homogenity test ). /umus umum untuk uji chi square adalah sebagai berikut
Dimana
x
2
' 0hi s1uare
fo
' Frekuensi yang diobservasi
fh
' Frekuensi yang diharapkan
Dalam melakukan pengujian dengan menggunakan uji chi square, ada hal-hal yang harus diperhatikan, yaitu sebagai berikut !. *ampel dipilih secara acak" #. *emua pengamatan dilakukan dengan independen" %. *etiap sel paling sedikit berisi frekuensi harapan sebesar ! (satu). *el-sel dengan frekuensi harapan kurang dari 2 tidak melebihi #34 dari total sel" . esar sampel sebaiknya 5 3 (0ochran, !62). Keterbatasan penggunaan uji chi square adalah teknik uji chi square menggunakan data yang diskrit dengan pendekatan distribusi kontinyu. Dekatnya pendekatan yang dihasilkan tergantung pada ukuran di berbagai sel dari tabel kontingensi. +ntuk menjamin pendekatan yang memadai digunakan aturan dasar 7frekuensi harapan tidak boleh terlalu kecil8 atau secara umum dengan ketentuan sebagai berikut !. &idak boleh ada sel yang mempunyai nilai harapan lebih kecil dari ! (satu)" #. 9umlah sel mempunyai nilai harapan lebih kecil dari 2 (lima) tidak boleh lebih dari #34.
C. Contoh Kasus Penggunaan Uji Chi Square
!. +ji Ketepatan enerapan *uatu Fungsi (Test of Goodness of Fit ) *etiap variabel dapat mempunyai bentuk fungsi (misalnya, variabel : mempunyai fungsi inomial, oisson, $ormal, dan sebagainya). Dengan mengetahui fungsi suatu variabel, ada beberapa manfaat yan diperoleh antara lain a. Dapat memperkirakan;meramalkan nilai fungsi dari suatu variabel yang sudah diketahui" b. Dapat menghitung nilai probabilitas terjadinya suatu variabel. Di dalam praktik seringkali ditemui asumsi baha hasil observasi yang dilakukan (berupa nilai variabel) mengikuti suatu fungsi tertentu atau proporsi tertentu atau frekuensi tertentu. +ntuk menguji ketepatan;kecocokan suatu fungsi, dapat digunakan
pengujian chi square. Dalam pengujian ini akan dibandingkan antara frekuensi hasil observasi ( fo ) dengan frekuensi harapan ( fh ) yang biasanya dinyatakan sebagai fungsi tertentu
foi ' frekuensi hasil observasi ke-i dan
fhi ' frekuensi harapan ke-
i . 0ontoh kasus Dalam menyusun rencana kebutuhan anggaran belanja modal untuk 2 (lima) tahun ke depan terkait dengan pengadaan komputer, Kepala agian +mum aporan ermintaan Kebutuhan Komputer tahun-tahun sebelumnya, diperoleh informasi mengenai distribusi masa pakai komputer seperti yang tampak pada tabel di baa ini. Dengan menggunakan taraf nyata 5 %, dapatkah Kepala agian +mum menarik kesimpulan baha masa pakai komputer di
Frekuensi A ! #2 ## != = 63
*olusi a. Citung luas daerah di baah kurna normal untuk masing-masing katagori. /umus
yang dipergunakan adalah
Z =
X − μ σ
Di mana : ' batas baah dan batas atas kelas. µ ' nilai rata-rata σ ' standar deviasi b. Citung frekuensi yang dihrapkan dengan megkalikan luas daerah dibaah kurva normal dengan jumlah sampel. Casil yang diperoleh adalah sebagai berikut @asa pakai (tahun)
Frek.
$ilai
Daerah
3- -2 2-= =-A A-B 5B
A ! #2 ## != =
E -!,% -!,% s.d. -3,A! -3,A! s.d. 3,33 3,33 s.d. 3,A! 3,A! s.d. !,% 5 !, %
3,3A= 3,!=#2 3,#=!! 3,#=!! 3,!=#2 3,3A=
Frekuensi yang diharapkan =,BA= !,=#2 #%,66 #%,66 !,A#2 =,BA=
&otal
63
!
63
c. Citung nilai chi square $ilai :# tabel dengan df ' k - ! ' = ! ' 2 dan taraf nyata 2 4 diperoleh nilai !!,3A3 Co masa pakai komputer terdistribusi normal C! masa pakai komputer tidak terdistribusi normal Co diterima jika : # E !!,3A3 Co dittolak jika : # ≥ !!,3A3 (menerima C !) @asa pakai (tahun) 3- -2 2-= =-A A-B 5B &otal
fo A ! #2 ## != = 63
fh
( fo −fh)2 / fh
=,BA= !,=#2 #%,66 #%,66 !,=#2 =,BA= 63
3,33##%=# 3,3#=A36 3,362BA=2 3,362=#!! 3,!#6#A%2 3,!!!=3#! 3,=!%!BB
Kesimpulan Karena nilai X2 hitung sebesar 3,= ebih ke!i dari "",#$#, hipotesis nol diterima yang berarti masa pakai komputer terdistribusi nora. #. +ji Cubungan di antara Dua Gariabel (Independency Test ) +ji chi square untuk independensi merupakan uji kebebasan dua faktor atau uji hipotesis mengenai ada atau tidaknya hubungan antara dua faktor. 9ika tidak ada hubungan antara dua faktor itu maka dapat dikatakan baha dua faktor itu saling bebas atau independen secara statistik. Dalam pengujian independensi, hipotesis yang digunakan selalu menyatakan baha kedua faktor saling bebas; independen (tidak terikat, tidak berkaitan, tidak berhubungan). Hleh karena itu, bentuk Co &idak ada hubungan; asosiasi antara : danI. Dalam uji independensi,
df =( R − 1)( C −1 ) , di mana
derajat
kebebasan
dihitung
dengan
R=∑ baris dalam tabel kontingensi dan
rumus
C =∑
kolom dalam tabel kontingensi. $ilai chi square dihitung dengan rumus umum chi square
yaitu
2
X = ∑
( fo− fh )2 fh
tabel kontingensi dan
dengan
fh =
( ∑R )( ∑ C ) n
dengan
R=∑
baris dalam
C =∑ kolom dalam tabel kontingensi.
0ontoh kasus CJ). CJ di masing-masing tim auditnya dari seluruh +nit-+nit engaasan di
dua kelompok jabatan fungsional auditor, yaitu auditor pertama dan auditor muda. Casil penelitian
Ketepatan aktu penyelesaian >CJ &epat aktu aktu lebih 22 (a) #3 (b) !3 (c) !2 (d) =2 %2
&otal baris A2 (ab) #2 (cd) !33
*olusi a. &entukan nilai harapan dari setiap sel *el a
¿
(Totalbaris )( Total kolom ) Totalobservasi
¿
75 x 65 100
=48,75
*el c ' =2 - B,A2 ' !=,#2 *el b ' A2 B,A2 ' #=,#2 *el d ' %2-#=,#2 ' B,A2 b. Dari perhitungan nilai harapan setiap sel, dapat ditentukan nilai chi square melalui tabel berikut egalaman Juditor Juditor @uda
Juditor ertama
&otal kolom
Ketepatan aktu penyelesaian >CJ &epat aktu aktu lebih o'22" h'B,A2 o'#3" h'#=,#2 (o-h)'=,#2 (o-h)'-=,#2 # : ' 3,B3! :#' !,BB o'!3" h'!=,#2 o'!2" h'B,A2 (o-h)'-=,#2 (o-h)'=,#2 # : ' #,3 :#' ,= =2 %2
&otal baris A2 (ab)
#2 (cd)
!33
:#' 3,B3! L !,BB L #,3 L ,= ' 6,!2A c. Casil dan *impulan
α =0,05
df ' (/-!) M (0-!) ' (#-!)(#-!) ' ! $ilai :# berdasarkan tabel ' %,B! $ilai :# berdasarkan perhitungan ' 6,!2A Karena :# hasil perhitungan 5 :# tabel maka Co ditolak. Dengan kata lain kedua faktor tidak bebas ; independen satu dengan yang lain. Dengan begitu, terdapat hubungan antara pengalaman auditor dengan ketepatan aktu penyelesaian laporan hasil audit (>CJ).
%. Test of Homogenity ada dasarnya uji homogenitas dimaksudkan untuk memperlihatkan baha dua atau lebih kelompok data sampel berasal dari populasi yang sama memiliki variansi yang sama. +ntuk uji homogenitas dengan hanya dua kelompok data, metode yang
digunakan
adalah
+ji
Fisher.
>angkah-langkah
yang
harus
dilakukan
ketika
menggunakan uji fisher adalah sebagai berikut a. &entukan taraf signifikansi (N) untuk menguji hipotesis 2
C3
σ 1
C3
σ 1
2
'
σ 2
O
σ 2
2
(Garians ! sama dengan varians # atau homogen)
2
(Garians ! tidak sama dengan varians # atau tidak homogen)
Dengan kriteria pengujian &erima C3 jika Fhitung EFtabel" dan &olak C3 jika Fhitung5Ftabel. b. @enghitung varians setiap kelompok data" c. &entukan nilai Fhitung, yaitu Fhitung '
Varians terbesar Varians terkecil
d. &entukan Ftabel untuk taraf signifikansi
, dk! ' dkpembilang ' na !, dan dk# '
dkpenyebut ' nb !. e. >akukan pengujian dengan membandingkan nilai F hitung dan Ftabel. 0ontoh kasus
$o. *ampel ! # % 2 = A B 6 !3 !!
: J! !33 !33 !33 !33 6= 6= 6= 6= 6= 6= 6=
(:-:mean)# J! %%,= %%,= %%,= %%,= %,# %,# %,# %,# %,# %,# %,#
: J# 6! 6! 6! 6! 6! BA BA BA BA BA BA
(:-:mean)# J# #!,=# #!,=# #!,=# #!,=# #!,=# 3,# 3,# 3,# 3,# 3,# 3,#
!# !% ! !2 != !A !B !6 #3 9umlah
6= 6! 6! 6! 6! 6! BA BA BA !BB
%,# !3,# !3,# !3,# !3,# !3,# 2!,B 2!,B 2!,B %=A,#
BA BA B% B% B% B% B% B% AB !A#A
3,# 3,# !!,## !!,## !!,## !!,## !!,## !!,## =6,A# #B,22
Dari data di atas diperoleh
∑
X A 1 = = = 94,20 A X 1 mean A 1 /erata (mean) Kelompok n A 1 2
Garian data Kelompok A 1= ! A 1 =
∑ X
− X meanA 1 =19,33 n A 1 −1 A 1
/erata (mean) Kelompok A 2= X mean A 2=
2
Garian data Kelompok A 2= ! A 2 =
∑ X
A 2
n A 2
= 86,35
"
"
∑ X
− X meanA 2 =13,08 n A 2−1 A 2
b. @enghitung nilai F3 atau Fhitung Fhitung '
Varians terbesar 19,33 = =1,48 Varians terkecil 13,08
c. @enentukan Ftabel Dengan dbpembilang ' #3 !' !6 (untuk varian terbesar) dan db penyebut ' #3 !' !6 (untuk varian terkecil), serta taraf signifikansi ( ) ' 3,32 maka diperoleh F tabel ' #,!2 d. andingkan Fhitung dengan Ftabel Dapat diketahui baha F hitung ' !,B E Ftabel ' #,!2. Dengan demikian C 3 diterima dan disimpulkan kedua kelompok data memiliki varian yang sama atau homogen.
