UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS PEARSON) K X Mo K Mo X
1
= ukuran kemencengan = modus = rata-rata Apabila maka K bernilai positif, keragaman disebut dengan positive skew (ekor bagian kananlebih panjang). Sebaliknya, apabila K bernilai negatif, maka keragaman disebut dengan negative skew (ekor bagian kiri lebih panjang)
DERAJA DERAJAT T KEMENCEN KEMENCENGAN GAN KURVA KURVA (RUMUS PEARSON) CK
CK
X Mod Mo d
Keterangan : CK = 0
S
3 X M ed S
X Mod 3 X Med Med CK S Mod Med 2
X
Distribusi data simetris CK < 0 Distribusi data menceng ke kiri
= koefisien kemencengan CK > 0 = simpangan baku = modus Distribusi data menceng = median ke kanan = Rata-Rata
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS PEARSON) Contoh : Diberikan data tinggi badan mahasiswa, Tentukan besarnya kemencengan kurva dari data di atas.
3
Kelas
Frekuensi (fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS PEARSON) Jawaban : 1.Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut adalah Mean Median Modus
= = =
Deviasi standar
Med Mod
= = =
109,6 108 105
=
=
X
9,26
2. Ukuran kemencengan Pearson adalah K = 109,6 – 105 = 4,6. 3. Koefisien kemencengan (CK) adalah CK 4
4,6 9,26
0,5.
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS PEARSON) Contoh Soal : 1. Koefisien kemiringan kurva distribusi frekuensi dari hasil penjualan suatu barang yang mempunyai nilai rata-rata = Rp 516.000,00, modus = Rp 435.000,00 dan standar deviasi = Rp 150.000,00 adalah….
5
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS PEARSON) Jawab : CK
X Mod M od S
516 516.000 435.000 150 150.000 000
0,54 6
UKURAN KEMENCENGAN KURVA (RUMUS PEARSON) Contoh Soal :
2. Dari suatu distribusi frekuensi diketahui
modus = 15,5dan simpangan baku = 4,5. Jika koefisien kemiringan kurva distribusi frekuensi tersebut = 0,8 , nilai rata-rata data tersebut adalah ….
7
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS PEARSON) Jawab : 0,8
=
x 15,5 4,5
0,8 x 4,5 3,6 x
8
= x - 15,5 = - 15,5 = 3,6 + 15,5 = 19,1 x
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS BOWLEY) K Q1 Q3 2Q2 K Q1 Q2 Q3
9
= = = =
ukuran kemencengan kuartil pertama kuartil kedua kuartil ketiga
DERAJA DERAJAT T KEMENCEN KEMENCENGAN GAN KURVA KURVA (RUMUS BOWLEY) CK
CK K Q1 Q2 Q3 1 0
K Q 3 - Q1
= = = = =
koefisien kemencengan ukuran kemencengan kuartil pertama kuartil kedua kuartil ketiga
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS BOWLEY) Contoh : Diberikan data tinggi badan mahasiswa, Tentukan besarnya kemencengan kurva dari data di atas.
1 1
Kelas
Frekuensi (fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS BOWLEY) Jawaban : 1.Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut adalah Q1 Q2 Q3
= = =
102,71 108 116
2.Ukuran kemencengan Bowley adalah K Q1 Q3 2Q2 102 ,71 116 2108 2,71
3.Koefisien kemencengan (CK) adalah CK 1 2
K Q 3 - Q1
2,71 116 102 ,71
0,204
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) 1.Konsep
Rata-rata dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lain yang disebut momen. Momen juga dapat digunakan sebagai cara untuk mengukur ketidaksimetrisan terhadap distribusi data dalam suatu variabel. 2.Lambang 1 3
Momen dapat ditulis “ Mr (momen ke-r) “
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) Momen Data Tunggal M r
1
n
X n
i
i 1
X
r
Momen Data Berkelompok
M r
1
k
f X n i
i
X
i 1
Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan
1 4
r
DERAJA DERAJAT T KEMENCEN KEMENCENGAN GAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) Data Tunggal 3
α
3
M3 S3 n= Xi= X = 1 5
M 3 S
3
n
1
nS
3
X X
3
i
i 1
= koefisien kemencengan = momen ketiga, mengukur kemencengan = simpangan baku banyaknya data pengamatan data frekuensi ke-i rata-rata hitung atau mean
DERAJA DERAJAT T KEMENCEN KEMENCENGAN GAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok
3
α
3
M3 S3 n= k = fi = = X 1 6
M 3 S
3
k
1
nS
3
f M X
3
i
i
i 1
= koefisien kemencengan = momen ketiga, mengukur kemencengan = simpangan baku banyaknya data pengamatan banyaknya kelas frekuensi kelas ke-i rata-rata hitung atau mean
DERAJA DERAJAT T KEMENCEN KEMENCENGAN GAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok 3 k k k k c 1 1 1 3 2 1 3 f i d i 3 f i d i f i d i 2 f i d i S n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 3
3
α3
1 7
=
M3 S3 n = k = c = fi = di = X=
koefisien kemencengan = momen ketiga, mengukur kemencengan = simpangan baku banyaknya data pengamatan banyaknya kelas besarnya kelas interval frekuensi kelas ke-i simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi rata-rata hitung atau mean
DERAJA DERAJAT T KEMENCEN KEMENCENGAN GAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) 1.Jika
α
3
= 0, maka distribusi datanya
simetris.
2.Jika
α
3.Jika
α
< 0, maka distribusi datanya menceng ke kiri. 3
> 0, maka distribusi datanya menceng ke kanan.
1 8
3
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN)
1 9
Contoh Berikut ini data tinggi badan 50 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan ukuran kemencengan data tersebut.
Kelas
Frekuens i (fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
Jumlah
50
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) Jawaban
2 0
X 109 ,6 Nilai Kelas f i (X i X ) (Xi)
Kelas
Frekuensi (fi)
93 – 97
2
95
-29,2
426
-6.224
98 – 102
10
100
-96
922
-8.847
103 – 107
12
105
-55,2
254
-1.168
108 – 112
10
110
4
2
1
113 – 117
7
115
37,8
204
1.102 1.10 2
118 – 122
4
120
41,6
433
4.499
123 – 127
3
125
46,2
711 71 1
10.957
128 – 132
1
130
20,4
416
8.490
133 – 137
0
135
0
0
0
138 – 142
1
140
30,4
924
28.094
f i (X i X )
2
f i ( X i X )
3
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) Jawaban
M r
k
1
f X n i
i
X
r
i 1
M 1 M 2
2 1
M 3
1 50 1 50 1 50
0 0 4.292 85,84 36.904 738,07
UKURAN KEMENCENGAN KURVA KURVA (RUMUS MOMEN) Jawaban
M 3
1 50
36.904 738,07
S 9,26 794,02 3
3
3
3
3
2 2
M 3 S
3
M 2
1 50
4.292 85,84
M 2 var ians S 85,84 9,26 S 9,26 794,02 3
3
738,07 794,02
0,93
Jadi kurva yang terbentuk akan memiliki ekor yang menceng ke kanan (α3 > 0)
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A (RUMUS MOMEN) Momen Data Tunggal
M r
1
n
X n
i
i 1
Momen Data Berkelompok
X
r
M r
1
k
f X n i
i
X
i 1
Untuk r = 1, maka M1 (momen pertama) = mean Untuk r = 2, maka M2 (momen kedua) = varians Untuk r = 3, maka M3 (momen ketiga) = kemencengan Untuk r = 4, maka M4 (momen keempat) = keruncingan
2 3
r
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A (RUMUS MOMEN) Data Tunggal
α4
M4 S4 n= Xi = X= 2 4
4
M 4 S
4
n
1
nS
4
X
i
X
4
i 1
= koefisien kemencengan = momen ketiga, mengukur kemencengan = simpangan baku banyaknya data pengamatan data frekuensi ke-i rata-rata hitung atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok
4
α
4
M4 S4 n= k = fi = X = 2 5
M 4 S
4
k
1
nS
4
f M i
i
X
4
i 1
= koefisien kemencengan = momen keempat, mengukur kemencengan = simpangan baku banyaknya data pengamatan banyaknya kelas frekuensi kelas ke-i rata-rata hitung atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A (RUMUS MOMEN) Data Berkelompok
α
2 6
3
M3 S3 n= k = c = fi = di =
X
2 4 k k 1 k 1 k 1 k 1 k 4 3 1 2 1 4 f i d i 4 f i d i f i d i 6 f i d i f i d i 3 f i d i S n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1
c
4
4
= koefisien kemencengan = momen ketiga, mengukur kemencengan = simpangan baku banyaknya data pengamatan banyaknya kelas besarnya kelas interval frekuensi kelas ke-i simpangan kelas ke-I terhadap titik asal asumsi rata-rata hitung atau mean
UKURAN KERUNCINGAN KURVA 1.Jika
α
2.Jika
α
3.Jika
α
> 3, maka bentuk kurva leptokurtis (meruncing) 4
= 3, maka bentuk kurva mesokurtis (normal) 4
< 3, maka bentuk kurva platikurtis (mendatar)
2 7
4
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A Contoh : Berikut ini data tinggi badan 50 siswa dalam suatu sekolah. Tentukan ukuran keruncingan data tersebut.
2 8
Kelas
Frekuensi (fi)
93 – 97
2
98 – 102
10
103 – 107
12
108 – 112
10
113 – 117
7
118 – 122
4
123 – 127
3
128 – 132
1
133 – 137
0
138 – 142
1
Jumlah
50
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A Jawaban
2 9
Nilai Kelas f (X X ) 3 f i (X i X ) 4 i i (Xi)
Kelas
Frekuensi (fi)
93 – 97
2
95
-6.224
90.874
98 – 102
10
100
-8.847
84.935
103 – 107
12
105
-1.168
5.373
108 – 112
10
110
1
0
113 – 117
7
115
1.102 1.10 2
5.952 5.95 2
118 – 122
4
120
4.499
46.794
123 – 127
3
125
10.957
168.735
128 – 132
1
130
8.490
173.189
133 – 137
0
135
0
0
138 – 142
1
140
28.094
854.072
Jumlah
50
36.904
1.429.924
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A Jawaban M r
k
1
f i X i X n
r
i 1
M 1 M 2 M 3 3 0
M 4
1 50 1 50 1 50 1 50
0 0 4.292 29 2 85,84 90 4 738 73 8,07 36.904
1.429 42 9.924 92 4 28.598 59 8,48
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A Jawaban M 4 28.598,48 S 9,26 7.352,65 4
4
4
3
3
3 1
M 4 4
S 28.598,48
M 2
1 50
4.292 85,84
M 2 var ians S 85,84 9,26 S 9,26 7.352,65 4
3
7.352,65
3,89
Jadi kurva yang leptokurtis (α > 3)
terbentuk
adalah
kurva
UKURAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN KURV KURVA A Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva (koefisien kurtosis) dapat Digunakan rumus : k = Q Q 3
1
2( P90 P10 )
32
UKURAN KERUNCINGAN KURVA Keterangan : Jika nilai k > 0,263 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali) k < 0,253 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar) k = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau distribusi normal)
33
KURVA Contoh : Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5 ; P90 = 82,5. Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut adalah ….
34
KURVA Jawab :
73,64 55,24 k =2(82,5 44,5) =
18,4 2(38)
= 0,242
Karena k < 0,263 maka kurva distribusi tersebut platikurtik.
35
