Distribucion f Snedecor 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBES FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ESCUELA ACADEMICO ACADEMICO PROFESIONAL DE ADMINISTRACION ADMINISTRACION

“Distribución de Probbi!idd F de Snedecor" AUTORES Moscoso A#urto$ A#urto$ I%&n I %&n Dnie!' Córdo% Vidrte$ A!e(snder' A!e(snder' Torres Crdo)o$ Ric*rd'

TUMBES$ PER+ ,-./ 0NDICE'

INTRODUCCI1N'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''2 DISTRIBUCI1N DE PROBABILIDAD F DE 3SNEDECOR''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4 3 SNEDECOR''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4 CARACTER0STICAS5'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''6 PROPIEDADES5'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''6

Universidad Nacional de Tumbes – F.C.E – Escuela de Administración

FUNCI1N DE DENSIDAD F DE SNEDECOR'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''6 LA MEDIA ARITM7TICA5'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''/ VARIAN8A5'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''/ FUNCI1N DE DISTRIBUCI1N PROBABIL0STICA' USO DE TABLAS5''''''''''''''''''9 E:ERCICIOS'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''; E:ERCICIOS PROPUESTOS'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''.,


INTRODUCCI1N George Waddel Snedecor (octubre 20, 1881-febrero 15, 1974) fue un matemátco ! e"tad#"tco amercano$ %ontrbu!& a lo" fundamento" del anál"" de 'arana, anál"" de dato", el d"eo de e*+ermento" ! la metodolog#a e"tad#"tca$ a d"trbuc&n  de Snedecor ! el .remo George W$ Snedecor de la /"ocac&n /mercana de "tad#"tca lle'an "u nombre$ Snedecor fund& el +rmer de+artamento acadmco de e"tad#"tca de lo" "tado" ndo"$ 3ambn cre& el +rmer laboratoro de la" e"tad#"tca" en lo" $$ en el "tado de oa, ! fue un +onero de la moderna e"tad#"tca a+lcada en lo" $$ Su lbro de 198 6todo" e"tad#"tco" "e con'rt& en un recur"o e"encal n la dcada de 1970, una re'"&n de cta" de art#culo" cent#fco" +ublcado" de toda" la" área" de la cenca demo"tr& ue lo" mtodo" e"tad#"tco" de Snedecor fue el lbro má" frecuentemente ctado"$ Snedecor fue nombrado doctor :onor" cau"a en cenca" +or la n'er"dad "tatal de %arolna del ;orte en 195< ! +or la n'er"dad "tatal de =oa en 1958$ Snedecor >all, n'er"dad "tatal de =oa, e" la "ede del ?e+artamento de "tad#"tca$ ue con"trudo en 199$ ;ac& en 6em+:", 3enne""ee, en una famla "ocal ! +ol#tcamente +odero"a$ Snedecor crece en lorda ! /labama, donde "u +adre abogado "e tra"lad& @unto con "u e"+o"a e :@o" en orden a cum+lr una 'ocac&n relgo"a +er"onal ! radcal +ara atender, e'angelar ! educar a lo" negro" +obre" del +ueblo$ George e" el neto del abogado de 6en+:", Aedford 6tc:ell "te", e" :@o de ml! /l"ton "te" ! Bame" G$ Snedecor, ! "obrno de lona "te" ?odd ! Wllam B$ ?odd, el gran arutecto$ C en el +re"ente e"crto analaremo" uno de "u" ma" grande" a+orte" a la e"tad#"tcaD la d"trbuc&n  de Snedecor o


DISTRIBUCI1N DE PROBABILIDAD F DE 3SNEDECOR' De
( X 21 + X 22 + … X 2δ )/ δ 1 F = 2 ( Y 1+ Y 22 + …Y 2δ )/ δ 2 /demá" X i e" una 'arable normal con d"trbuc&n e"tándar como "gue X i N (0,1 ) ?onde 0 e" µ, ! 1 e"

σ

2

2 uego notemo" ue X i "e encuentra ele'ada al cuadrado X i ! una 'arable

normal con d"trbuc&n e"tándar ele'ada al cuadrado, e" una 'arable c: cuadrado con grado de lbertad gual a 1$ %omo "e denota

X i2 X (1) ntonce" luego tendremo" Suma de lo" grado" de lbertad 2

2

2

X 2i

2

W 1= X 1+ X 2+ … X δ X ( δ 1) 1

W 2=Y 21 + Y 22 + … Y 2δ X2 ( δ 2) 2

C fnalmente defnmo"

F =

W 1 / δ 1 W 2 / δ 2

?ondeD

W 1 : esunavariable chicuadradocon gradosde libertad δ 1 W 2 : esuna variable chi cuadradocon gradosde libertad δ 2


" decr ue una 'arable  e" la ra&n o el cocente entre do" d"trbucone" c:cuadrado d'dda cada una de ella" con "u" grado" de lbertad$

T=bi>n se ?uede de
F =

S x / δ 1 2

S y / δ 2

Fecordemo" ue

´ X i − X

∑ (¿)

2

n− 1 S2 =¿

´ .ero X i e" una 'arable normal con d"trbuc&n e"tándar, e" decr tene X =0 , entonce" X i−0

∑ (¿)2 = ∑ X i = X 21 + X 22 +… X 2n n− 1 n −1 n−1 2 S x =¿ 2

∼

X

2

Universidad Nacional de Tumbes – F.C.E – Escuela de Administración Y i−0

∑ (¿)2 = ∑ Y i = Y 21+ Y 22 + …Y 2m n− 1 n− 1 m−1 2 S y =¿ 2

?onde "e +uede de"+e@ar

X 21 + X 22 + … X 2n S x = n−1 2

X 21 + X 22 + … X 2n =( n−1 ) S 2 x 2

2

2

Y 1+ Y 2 + … Y n S y = n −1 2

Y 21+ Y 22 + …Y 2n =( m−1 ) S 2 y uego

( X 21 + X 22 + … X 2δ )/ δ 1 F = 2 ( Y 1+ Y 22 + …Y 2δ )/ δ 2 Feem+laandoD

( n−1 ) S 2 x / δ 1 F = ( m−1 ) S2 y / δ 2 %omo !

δ 1 y

δ 2 "on grado" de lbertad ue "e +ueden elegr, +ara cancelar (n-1)

(m-1) :acemo" concdr

δ 1=( n−1 ) δ 2=( m−1) /"# tendr#amo"

δ 1

δ 2


S 2 x F = 2 F ( n −1, m−1) S y " decr a 'arable  e" la ra&n de do" 'arana" de mue"tra" +ro'enente" de do" +oblacone" dferente", con una d"trbuc&n con +arámetro" (n-1) ! (m-1)$

CARACTER0STICAS5 -

-

 e C deben "er nde+endente"$ a d"trbuc&n de la 'arable e" a"mtrca, +ero "u a"metr#a d"mnu!e cuando aumentan lo" grado" de lbertad del numerador ! denomnador$ %ada cur'a $ tene forma a"mtrca ! e" "e"gado :aca la derec:a (e" +o"t'o al "e"go)$ a d"trbuc&n , utla doble (n-1) E g$ Hue +ara el numerador "e le llama ; ! +ara el denomnador "e le llama ?$ Su cubertura de+ende de "u grado de lbertad$

PROPIEDADES5 -

na 'arable  'ara de 'alor 0 a I$ na d"trbuc&n  e" +o"t'amente a"mtrcaD +ero "u a"metr#a "e reduce con lo" aumento" de n ! d$ >a! una d"trbuc&n  +or cada +ar de entero" +o"t'o" n ! d (grado" de lbertad)$ S  e" n, d , CE 1J* e" decr  d, n e"ta e" la +ro+edad rec+roca de  d"trbucone" ! +uede e*+re"ar"e tambn e*actamente como

F ( 1−

∝

); n , d

=

1

F ; n , d ∝

FUNCI1N DE DENSIDAD F DE SNEDECOR na func&n de d"trbuc&n de una 'arable  +uede de"gnar"e como denota

F F ( n , d ) "to defne la "guente func&n de den"dad

F n , d

"e


[ ]

( ) n ( ( ) ) nF ( + ) f ( F )= F ( ) d n d d Ґ ( ) Ґ ( ) Ґ

n+ d 2

2

n

2

n −1 2

−(n + d )/ 2

1

2

?onde 0 K  K ∞ /demá"

n  Grado" de lbertad del numerador d  Grado" de lbertad del denomnador Ґ 5 unc&n Gamma de uler

 (nD d)

LA MEDIA ARITM7TICA5 LE

 ( −2 )

.ara ? M 2, en ca"o contraro e" ndefnda$

VARIAN8A5

 −2

NE

¿ ¿ N ¿ 2 2  ( N +  + 2 ) ¿

.ara ?M4, en ca"o contraro e" ndefnda


FUNCI1N DE DISTRIBUCI1N PROBABIL0STICA' USO DE TABLAS5 n la tabla de la  de ":er-Snedecor "e +re"entan •

%ada n'el de "gnfcanca "endo lo" má" u"ado" 1O, 5O, 10O

•

n cada tabla la fla "eala lo" grado" del numerador (;) ! en la columna lo" del denomnador (?), el cruce de fla ! columna ndcan el +unto cr#tco$

DONDE5 F @$ N$ D P E ;'el de "gnfcanca ;E grado de lbertad del numerador

n −1

¿ ) n −1 ?E grado de lbertad del denomnador ¿ )

E:EMPLO5 F 0.05(8,25) ,$24

2.34

.' Au"car en la tabla de ":er el 0$05 2$ bcar en la fla 8 ! de"+u" en la columna 25$

INVERSI1N DE LA F DE SNEDECOR Se +uede u"ar la "guente relac&n +ara calcular 'alore" ue no a+arecen en la tabla

Universidad Nacional de Tumbes – F.C.E – Escuela de Administración •

S la 'arable aleatora  tene d"trbuc&n  con n grado" de lbertad del numerador ! d grado" de lbertad del denomnador, entonce" 1J tene d"trbuc&n , con d grado" de lbertad del numerador ! n grado" de lbertad del denomnador$

3

Esto es ! ?ro?iedd5 S  e" n,d CE 1J* e" decr d,n e"ta e" la +ro+edad rec+roca de  d"trbucone" ! +uede e*+re"ar"e tambn e*actamente como

F ( 1−

∝

); n , d

=

1

F ; d , n ∝

@em+lo S C e" una 'arable de ":er con 10 grado" de lbertad +ara el numerador ! 15 grado" de lbertad +ara el denomnador ! . ( CQ2$54)E0$05 a) >allar E1JC uego .(Q1J2$54) Soluc&n

! (Y > 2.54 )= ! ( F 10,15> 2.54 ) =0.05 1

1

)=0.05 ! ( > Y 2.54 ! ( X 15,10 "

(

! X 15,10 >

1 2.54

1 2.54

)=0.05

)= −

1 0.05 =0.95

Otr

! ( Y > # )= 0.05 ! (Y " # ) =1− ! ( Y > # ) =1−0.05 ! (Y " # ) =0.95

F ( 0.05,10,15 )=2.54


E:ERCICIOS

1$ %alcula$

a) .( F ( 4,5) K 7$9) .( F ( 4,5) K 7$9)E 0$975 "egRn tabla b) .(

F ( 4,5) Q 11$4) .(

c) .(

F ( 4,5) Q 11$4)E 1- .( F ( 4,5) K 11$4)E1-0$99E 0$01 "egRn tabla

F ( 4,5)  8) .(

F ( 4,5)  8) ⇒ ;o e*"te en la tabla, "e efectRa +or nter+olac&n

.3 

F ( 4,5)

..'4  9'2; 11.4 −7.39 8 −7.39

=

-';; ( -';96

0.99 −0.975

x −0.975

4.01 0.015 = 0.61 x − 0.975

* T 0$975 (4$01) E 0$00915

Universidad Nacional de Tumbes – F.C.E – Escuela de Administración 4$01 * T $90975 E 0$00915 4$01 * E $9189

 -';99

2$

a meda ! la 'arana de L E m J m T 2D L E 12 J (12 T 2) E .$, N2 E 2m2 (n U m T 2) J n (m T 2)2 V (m T 4)

G, E 2 V 122 (8 U 12 T 2) J 8 (12 T 2)2 V (12 T 4) E -$.

2'

alore" ue lmtan el 90O central de e"ta d"trbuc&n

! ( F 8,12 " F 2 )=0.95 X F ( 0.05,8,12)=2.85 seguntabla uego

! ( F 8,12 " F 1 )=0.05 X F ( 0.95,8,12 )=$ tlando la n'er"a

! ( F 8,12 " F 1 )=0.05 1

1

> )=0.05 ! ( F 8,12 F 1 ! ( F 12,8 >

1

F 1

)=0.05


(

) = − (

! F 12,8>

1

F 1

(

=1− ! F 12,8 "

0.05 1 ! F 12,8 "

( (

! F 12,8 " ! F 12,8 "

1

F 1 1

F 1

1

F 1

1

F 1

)

)

)= − )=

1 0.05= 0.95

0.95

F ( 0.05,12,8 )=3.28 1

F 1

=3.28

F 1=

1 =0.305 3.28

4$ ncontrar la meda ! la 'arana de



F ( 10,15) μ =

 15 = =1.15 ( −2 ) (15 −2)  −2

¿ ¿

NE

b

F ( 20,17)

¿ 2 ( − 4 ) ¿ 15−2 ¿ ¿ ¿ 2 ( 15− 4 ) N ¿ 2 2  ( N +  + 2 ) ¿


μ =

 17 = =1.13 ( −2 ) (17 −2)  −2

¿ ¿

NE

c

¿ 2 ( − 4 ) ¿ 17 − 2 ¿ ¿ ¿ 2 ( 17 − 4 ) N ¿ 2 2  ( N +  + 2 ) ¿

F ( 6,11) μ =

 11 = =1.22 ( −2 ) (11−2)  −2

¿ ¿

NE

d

¿ 2 ( − 4 ) ¿ 1 1−2 ¿ ¿ ¿ 2 (11−4 ) N ¿ 2 2  ( N +  + 2 ) ¿

F ( 24,22) μ =

22  = =1.1 (  −2 ) (22− 2)


 −2

¿ ¿

¿ 2 ( − 4 ) ¿ 22− 2 ¿ ¿ ¿ 2 ( 22−4 ) N ¿ 2 2  ( N +  + 2 ) ¿

NE

5$

ncontrar$ alore" ue lmtan el 90O central de e"ta d"trbuc&n

F 1= 0.171 ! ( F 4,13 " F 2 )= 0.95 X F ( 0.05,4,13 ) =3.18 seguntabla uego

! ( F 4 , 1 3 " F 1 ) =0.05 X F ( 0.95,4,13) =$ tlando la n'er"a

! ( F 4,13 " F 1 )= 0.05 1

1

> )=0.05 ! ( F 4,13 F 1 ! ( F 13,4 >

(

1

F 1 1

)=0.05

)

(

1

=1 − ! F 13,4 " ! F 13,4 > F 1 F 1

)

F ( 4,13)

Universidad Nacional de Tumbes – F.C.E – Escuela de Administración 0.05=1 − !

( (

! F 13,4 " ! F 13,4 "

(

1

F 1 1

F 1

F 13,4 "

)= − )=

F 1

0.95

=5.85

F 1=

F 1

)

1 0.05= 0.95

F ( 0.05,13,4 ) =5.85 1

1

1 =0.171 5 % 85

Distribucion f Snedecor 1

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