MATEMÁTICAS 3
Matemáticas 3. A partir de la solución de problemas es un excelente apoyo para maestros y estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas en tercer grado de Secundaria. Su estructura basada en ejercicios sencillos, reales, interesantes y dinámicos, así como su atractivo diseño, permiten desarrollar habilidades de pensamiento lógico-matemático a partir de la solución de problemas. Presenta de manera clara las competencias que se espera desarrolle el estudiante, con lo cual el docente podrá tener parámetros que faciliten el seguimiento y acompañamiento de cada alumno. El libro está dividido en cinco bloques con treinta y seis unidades, al inicio tienen un ejercicio de exploración para estimular y recuperar los conocimientos previos del estudiante. Los temas se abordan desde la exposición de situaciones que requieren la construcción y aplicación de estrategias para su solución, permitiendo que los estudiantes se apropien de los conocimientos y desarrollen habilidades a partir de actividades individuales, en equipo, en parejas y extraclase.
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Fidel Sánchez Sandoval
Fidel Sánchez Sandoval
Matemáticas A partir de la solución de problemas
3
NOMBRE:
FIDEL SÁNCHEZ SANDOVAL
NACIONALIDAD: Mexicana PROFESIÓN:
Profesor de educación básica secundaria. Licenciado en Matemáticas, Maestro en Ciencias en el área de Matemática Educativa.
DOMICILIO:
Sor Juana Inés de la Cruz 206 Norte. Col. Centro. Toluca, Estado de México. C.P. 50000
TELÉFONO:
01 (722 ) 215 00 92
MATEMÁTICAS 3. A PARTIR DE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR FIDEL SÁNCHEZ SANDOVAL
FERNÁNDEZ editores, s.a. de c.v. Eje 1 Pte. México Coyoacan 321. Col. Xoco Delegación Benito Juárez. C.P. 03330, México, D.F.
Presentación para el alumno El libro Matemáticas 3. A partir de la solución de problemas que tienes en tus manos, se elaboró con el objetivo principal de apoyarte en la continuación de tus estudios de educación secundaria. Aquí encontrarás situaciones a partir de las cuales te iniciarás en el estudio de muchos contenidos matemáticos, todos ellos organizados en cinco bloques, y que correspon‑ den a tres ejes fundamentales: Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En cada página descubrirás retos matemáticos diseñados para que los resuelvas con los conocimientos que adquiriste en ciclos anteriores, tu experiencia cotidiana y con el propio desarrollo de las actividades de este texto. Encontrar las soluciones a esos retos es lo que te permitirá incrementar tu aprendizaje y habilidades matemáticas. Consideramos que la gran variedad de actividades que se proponen despertará tu curiosidad y el interés por formular conjeturas, incrementará tu capacidad para modifi‑ car tus puntos de vista y, sobre todo, fortalecerá tu autonomía intelectual para enfren‑ tarte a situaciones similares o desconocidas. A medida que te involucres en el estudio de las matemáticas, también esperamos que puedas ir más allá de los contenidos que se presentan en el texto y logres el mejoramien‑ to de las siguientes competencias matemáticas: 1. Planteamiento y resolución de problemas.— Que identifiques, plantees y resuelvas di‑ ferentes tipos de situaciones problemáticas y seas capaz de formular otros problemas que se puedan resolver con las mismas estrategias. 2. Argumentación.— Que encuentres por lo menos una manera de resolver cada proble‑ ma que se te plantea y construyas explicaciones que justifiquen el procedimiento y la solución obtenidos. 3. Comunicación.— Que comprendas las posibilidades de expresar y representar infor‑ mación matemática contenida en una situación o fenómeno. 4. Manejo de técnicas.— Que uses eficientemente los procedimientos y formas de representación para efectuar cálculos y desarrolles tu sentido numérico y pensa‑ miento algebraico. Finalmente queremos invitarte a que dediques tiempo y toda tu atención al análisis y búsqueda de las soluciones de los ejercicios, pues estamos seguros que todo lo que hagas se verá recompensado con el éxito en tus estudios.
Presentación para el maestro Querido profesor, el presente libro de matemáticas está elaborado para apoyarte en tu función docente. Los contenidos que aquí se ofrecen te permitirán: 1. Cubrir los temas de matemáticas propios de este ciclo escolar. 2. Lograr que los estudiantes desarrollen su pensamiento matemático, de tal manera que puedan usar expresiones matemáticas para analizar y resolver situaciones en diversos entornos socioculturales. 3. Hacer que los estudiantes utilicen técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resol‑ ver problemas. 4. Conseguir que los estudiantes asuman una actitud positiva hacia el estudio de las mate‑ máticas. 5. Organizar y articular acciones colaterales que impulsen el desarrollo curricular en sus escuelas, así como la mejora continua de las prácticas docentes. Para estos propósitos, Matemáticas 3. A partir de la solución de problemas contiene una serie de actividades individuales y colectivas, ejercicios y aplicaciones, problemas iniciales, problemas formativos, problemas para la evaluación y proyectos de investigación, que te ayudarán a organizar e integrar situaciones didácticas para que tus alumnos alcancen una educación matemática de calidad. Este libro es, en conclusión, una invitación para que organices y apliques procesos educa‑ tivos que permitan a tus alumnos desarrollar conocimientos matemáticos verdaderamente autónomos y flexibles.
Índice BLOQUE 1
Unidad 6. Razón de cambio de un fenómeno............. 55
Propósitos del bloque........................................ 12 Unidad 1. Productos notables................................ 13 Tema 1. Cuadrado de un binomio ............................. Tema 2. Producto de binomios conjugados ................ Tema 3. Producto de dos binomios con un. término común........................................... Tema 4. Aplicaciones de los productos notables.......... Proyecto de investigación.................................. Ejercicios, problemas y aplicaciones...................
14 16 17 18 19 20
Unidad 2. F actorización de expresiones algebraicas .. 21 Tema 1. Extracción de un factor común ................... Tema 2. Factorización de trinomios . cuadrados perfectos .................................. Tema 3. Factorización de diferencias de cuadrados . ... Tema 4. Factorización de trinomios ......................... Proyecto de investigación..................................
22 23 24 25 27
Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 28
Unidad 3. Propiedades de figuras geométricas .......... 29 Tema 1. Congruencia de triángulos.......................... Tema 2. Propiedades de los paralelogramos .............. Tema 3. Propiedades de trapecios y trapezoides .......... Tema 4. Propiedades de polígonos ............................ Proyecto de investigación.................................. Ejercicios, problemas y aplicaciones...................
30 31 33 34 35 36
Unidad 4. Posiciones relativas de una recta y una. circunferencia....................................... Tema 1. Rectas y circunferencias.............................. Tema 2. Rectas secantes a una circunferencia. ........... Tema 3. Rectas tangentes a una circunferencia........... Proyecto de investigación.................................. Ejercicios, problemas y aplicaciones...................
37 38 39 40 45 46
Unidad 5. Ángulos en una circunferencia. ............... 47 Tema 1. Ángulos centrales en una circunferencia....... Tema 2. Ángulos inscritos en una circunferencia ....... Tema 3. Área de sectores circulares y de la corona.... Proyecto de investigación.................................. Ejercicios, problemas y aplicaciones...................
48 49 52 53 54
Tema 1. Razón de cambio........................................ Tema 2. Función lineal .......................................... Tema 3. Pendiente de la recta.................................. Proyecto de investigación.................................. Ejercicios, problemas y aplicaciones ..................
56 58 60 61 62
Unidad 7. Estudios estadísticos ............................. 63 Tema 1. Nociones de población y muestra ................. Tema 2. Encuestas ................................................ Tema 3. Censos..................................................... Proyecto de investigación . ............................... Ejercicios, problemas y aplicaciones ..................
64 66 68 71 73
BLOQUE 2 Propósitos del bloque........................................ 78 Unidad 1. Solución de ecuaciones mediante . operaciones inversas.............................. Tema 1. Operaciones inversas................................... Tema 2. Ecuaciones y operaciones inversas................. Tema 3. Ecuaciones de segundo grado. ..................... Tema 4. Ecuaciones cúbicas..................................... Proyecto de investigación.................................. Ejercicios, problemas y aplicaciones...................
79 80 81 82 83 85 86
Unidad 2. Solución de ecuaciones cuadráticas . mediante factorización........................... Tema 1. Ecuaciones cuadráticas incompletas puras...... Tema 2. Ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas..... Tema 3. Ecuaciones cuadráticas completas................. Tema 4. Método de completar el cuadrado................ Proyecto de investigación.................................. Ejercicios, problemas y aplicaciones...................
87 88 90 91 93 94 96
Unidad 3. Figuras geométricas semejantes................ 97 Tema 1. Segmentos proporcionales. .......................... 98 Tema 2. Definición de polígonos semejantes................ 99 Tema 3. Exploraciones con polígonos semejantes......... 100 Proyecto de investigación.................................. 101 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 102
Unidad 4. Semejanza de triángulos......................... 103 Tema 1. Criterios de semejanza de triángulos. ............ 104 Tema 2. Propiedades de los polígonos........................ 108 Tema 3. Cálculo de distancias inaccesibles. ................ 110 Proyecto de investigación.................................. 113 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 114
Unidad 5. Porcentajes e índices. ............................. 115 Tema 1. Porcentajes............................................... 116 Tema 2. Índices...................................................... 117 Proyecto de investigación.................................. 119 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 120
Unidad 6. Probabilidad......................................... 121
Unidad 4. Homotecia............................................ 165 Tema 1. Homotecia o dilatación............................... 166 Tema 2. Figuras homotéticas................................... 168 Tema 3. Propiedades de la homotecia. ....................... 169 Tema 4. Composición de homotecias.......................... 170 Proyecto de investigación.................................. 171 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 172
Tema 1. Probabilidad frecuencial y probabilidad clásica. ................................ 122 Tema 2. Situaciones aleatorias equivalentes................ 123 Proyecto de investigación.................................. 125 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 126
Unidad 5. Gráficas de funciones. ........................... 173 Tema 1. Gráficas de funciones lineales...................... 174 Tema 2. Gráficas de funciones no lineales. ................ 175 Proyecto de investigación.................................. 177 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 178
Unidad 7. Simulación de fenómenos aleatorios. ........ 127
Unidad 6. Análisis y comparación de gráficas
Tema 1. Problemas sencillos que pueden resolverse por simulación . .............................................. 128 Tema 2. Simulación mediante urnas de Bernoulli......... 130 Proyecto de investigación. ................................ 133 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 134
BLOQUE 3 Propósitos del bloque.................................... 138 Unidad 1. Expresiones algebraicas de funciones ........ 139 Tema 1. Funciones lineales . .................................... 140 Tema 2. Funciones cuadráticas. ............................... 142 Tema 3. Otras funciones ........................................ 144 Proyecto de investigación.................................. 146 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 147
Unidad 2. La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas ......................... 149 Tema 1. Ecuaciones cuadráticas en la forma general . 150 Tema 2. Solución de ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general.......................... 151 Tema 3. Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. .................................. 153 Proyecto de investigación.................................. 155 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 156
Unidad 3. Teorema de Tales. ................................. 157
Tema 2. Enunciado y justificación del Teorema de Tales ...................................... 159 Tema 3. Aplicaciones del Teorema de Tales ............... 161 Proyecto de investigación.................................. 163 Ejercicios, problemas y aplicaciones .................. 164
Tema 1. Proporcionalidad en el triángulo.................. 158
de funciones......................................... 179 Tema 1. Análisis de gráficas de funciones.................. 180 Tema 2. Comparación de gráficas de funciones........... 182 Tema 3. Familias de funciones cuadráticas................. 186 Proyecto de investigación.................................. 188 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 189
Unidad 7. Interpretación y elaboración de gráficas. .. 191 Tema 1. Interpretación de gráficas con secciones curvas y rectas.......................................... 192 Tema 2. Elaboración de gráficas con secciones curvas y rectas.......................................... 193 Proyecto de investigación.................................. 195 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 196
BLOQUE 4 Propósitos del bloque.................................... 198 Unidad 1. Sucesiones numéricas. ............................ 199 Tema 1. Patrones numéricos y regla de una sucesión.......................................... 200 Tema 2. Fórmulas geométricas y regla de una sucesión.......................................... 201 Tema 3. Expresiones cuadráticas y regla de una sucesión.......................................... 202 Tema 4. Método de diferencias para obtener la regla de una sucesión. ............................ 204 Proyecto de investigación.................................. 207 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 208
Unidad 2. El teorema de Pitágoras......................... 209 Tema 1. Enunciado del teorema de Pitágoras............. 210 Tema 2. Justificaciones del teorema de Pitágoras........ 211 Tema 3. Aplicaciones del teorema de Pitágoras........... 213 Proyecto de investigación.................................. 217 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 218
Unidad 3. Razones trigonométricas. ....................... 219 Tema 1. La tangente de un ángulo............................ 220 Tema 2. El seno de un ángulo.................................. 221 Tema 3. El coseno de un ángulo............................... 223 Proyecto de investigación.................................. 224 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 226
Unidad 4. Valores de las razones trigonométricas.... 227 Tema 1. Tablas de valores de las razones trigonométricas......................................... 228 Tema 2. Uso de la calculadora. .............................. 232 Proyecto de investigación.................................. 233 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 234
Unidad 5. Solución de triángulos rectángulos. ........ 235
BLOQUE 5 Propósitos del bloque........................................ 268 Unidad 1. Modelos algebraicos. ............................ 269 Tema 1. Problemas y ecuaciones............................... 270 Tema 2. Problemas y funciones. ............................... 272 Tema 3. Modelos y problemas.................................. 274 Proyecto de investigación.................................. 275 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 276
Unidad 2. Cuerpos geométricos redondos. ............... 277 Tema 1. Generación de cuerpos geométricos redondos mediante giros o traslación de figuras........... 278 Tema 2. Desarrollos planos de cilindros y conos rectos........................................... 279 Tema 3. Secciones de cilindros y conos rectos............ 281 Tema 4. Variación del radio de los círculos que se obtienen con cortes paralelos en conos rectos y esferas. ........................................ 283 Proyecto de investigación.................................. 285 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 286
Unidad 3. Volumen de cuerpos geométricos redondos............................................. 287
Tema 1. Cálculo de elementos de triángulos rectángulos. ............................................. 236 Tema 2. Cálculo de distancias inaccesibles. ................ 238 Tema 3. Cálculo de la longitud de los lados y el apotema de polígonos regulares.............. 241 Proyecto de investigación.................................. 244 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 245
Tema 1. Fórmula para calcular el volumen de cilindros............................................... 288 Tema 2. Fórmula para calcular el volumen de conos................................................... 290 Proyecto de investigación.................................. 292 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 293
Unidad 6. Crecimiento lineal y crecimiento
Unidad 4. Estimar, medir y calcular volúmenes. ....... 295
exponencial.......................................... 247
Tema 1. Crecimiento aritmético contra crecimiento geométrico................................ 248 Tema 2. Estudio de fenómenos que varían a tasa constante........................................... 253 Proyecto de investigación.................................. 258 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 259
Unidad 7. Gráficas y predicción............................. 261 Tema 1. Análisis de gráficas.................................... 262 Tema 2. Predicción sobre el comportamiento de un fenómeno.......................................... 263 Proyecto de investigación.................................. 265 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 266
Tema 1. Estimar y calcular el volumen de cilindros..... 296 Tema 2. Estimar y calcular el volumen de conos. ....... 298 Tema 3. Variación funcional en cilindros y conos....... 300 Proyecto de investigación.................................. 302 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 303
Unidad 5. Medidas de tendencia central y de dispersión...................................... 305
Tema 1. Medidas de tendencia central....................... 306 Tema 2. Medidas de dispersión. ................................ 308 Tema 3. Gráficas de caja y brazos............................ 310 Proyecto de investigación.................................. 312 Ejercicios, problemas y aplicaciones................... 313
Bibliografía........................................................ 315
Estructura general de la obra Inicio de unidad
unidad 5
A ngulos en una circunferencia
En este texto se presentan los conoci‑ mientos y habilidades organizados en cinco bloques. Cada uno de los bloques comienza con una página que presenta el número y nombre de las unidades que lo conforman. Cada unidad inicia con la enumeración de los temas que la inte‑ gran y con la presentación de una situa‑ ción problemática inicial o con ejercicios de exploración que se pueden usar como evaluación diagnóstica.
Tema 1. Ángulos centrales en una circunferencia. Tema 2. Ángulos inscritos en una circunferencia. Tema 3. Área de sectores circulares y de la corona. Proyecto de investigación. Ejercicios, problemas y aplicaciones.
ÁNGULOS CONGRUENTES EN UN PENTÁGONO REGULAR Observa y analiza los elementos de cada pentágono regular. Calcula los valores de los ángulos señalados en cada caso. Justifica tus respuestas. A
A
2
1 B
1
2
C
E
E
B
C
D
D A
A 12 3
UNIDAD
6
A
E
B E
B
Tema 1 nálisis de gráficas de funciones
C C
4 5
3 21 D
D
PARA QUE ESTABLEZCAS LA RELACIÓN ENTRE LA POSICIÓN DE LAS GRÁFICAS Y LOS VALORES DE LAS LITERALES EN LAS EXPRESIONES y � mx, y � x � b, HAGAN LAS ACTIVIDADES SEÑALADAS Y JUSTIFIQUEN CADA RESPUESTA. y 1. SE HAN DIBUJADO GRÁFICAS y� y� DE FUNCIONES DE LA FORMA y � mx. IDENTIFÍCALAS
47
Y
ESCRIBE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA CORRESPONDIENTE.
y � 2x
y
y�
2. AHORA
SE PRESENTAN LAS GRÁFICAS DE DOS FUNCIO-
NES DE LA FORMA
x
y � x � b. ESCRIBE
CADA EXPRE-
SIÓN ALGEBRAICA EN SU LUGAR.
y�x�2 y�x�1
y�
PARA
x
y � �2x
QUE RECUERDEN Y COMPRENDAN LA RELACIÓN ENTRE LOS VALORES DE LAS
LITERALES
m
Y
b
DE LA FUNCIÓN LINEAL
y � mx � b
Y LA INCLINACIÓN Y LA
POSICIÓN DE LA RECTA QUE LA REPRESENTA, HAGAN LAS ACTIVIDADES.
y
1. COMENCÉ CON LA GRÁFICA DE y � 2x, LE SUMÉ 2 PARA OBTENER LA GRÁFICA DE y � 2x � 2, DIVIDÍ EL VALOR DE m ENTRE 1 �4 PARA LLEGAR A y � � x � 2. ME 2 RESULTÓ LA FIGURA.
HAGAN
( 45 , 85 )
(0, 2) (�1, 0)
(4, 0) (0, 0)
x
LA DESCRIPCIÓN DE LA FIGURA, COMENZANDO CON OTRA RECTA.
2. ANALICEN Y EXPLIQUEN EL SIGNIFICADO DE LAS LITERALES m Y b EN LA EXPRESIÓN GENERAL DE LAS FUNCIONES LINEALES y � mx � b. 180
Actividades individuales, en pareja y en equipo Las situaciones, problemas y ejercicios que se presentan en estas secciones (Activida‑ des en pareja y Actividades en equipo) tie‑ nen la intención primordial de promover la participación colaborativa y crítica de los estudiantes, asunto que se puede fortalecer cuando el profesor lo considere pertinente y mediante el trabajo grupal. Aquí se requiere que los estudiantes formulen, argumenten, discutan y muestren la validez de enuncia‑ dos y procedimientos matemáticos; además, que comuniquen los resultados obtenidos mediante diferentes representaciones gráfi‑ cas, simbólicas y matemáticas.
UNIDAD
1 APLICA EL MÉTODO DE DIFERENCIAS PARA OBTENER LA REGLA DE CADA 1. ¿CÓMO SE PUEDE CALCULAR LA SUMA DE LOS PRIMEROS n. 1
Actividades extraclase En este apartado se pretende fortalecer la curiosidad y el desarrollo del interés por resolver otros problemas, así como del interés por investigar acerca de otros conocimientos matemáticos.
1+2
2a �
3a � b �
a�
b�
1+2+3
SUCESIÓN.
1+2+3+4
a�b�c� c� y�
2. ¿CÓMO SE PUEDE CALCULAR EL NÚMERO DE SEGMENTOS, ENTRE LADOS Y DIAGONALES, QUE SE PUEDEN TRAZAR CON LOS VÉRTICES DE UN POLÍGONO DE n LADOS?
y� 3. LAS
SIGUIENTE TABLA MUESTRA UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS.
n
1
2
3
4
an
�1
4
15
32
a) ¿QUÉ EXPRESIÓN ALGEBRAICA PERMITE CALCULAR CUALQUIER b) ¿QUÉ LUGAR OCUPA EL NÚMERO 615 EN LA SUCESIÓN?
ELEMENTO DE LA SUCESIÓN?
206
Proyecto de investigación PANTÓGRAFO
En cada unidad se incluye esta sec‑ ción en la que los estudiantes esta‑ blecerán conexiones entre los cono‑ cimientos y habilidades adquiridos y las situaciones que se presentan en otras asignaturas o en otras activi‑ dades de su realidad escolar, social y tecnológica.
Y COMPÁS DE REDUCCIÓN
El pantógrafo es un instrumento que sirve para reproducir figuras, ampliando o reduciendo su tamaño, pero conservando su forma; es decir, para dibujar figuras homotéticas. Se compone de cuatro reglas que integran un paralelogramo, el cual cambia de forma mediante articulaciones en los puntos P, Q, R y S. En el punto O tiene un clavo que sirve para fijar el instrumento. En el punto F se coloca un estilete que sirve para recorrer la figura que se pretende reproducir, en este caso la figura ABCD. En el punto F’ lleva un lápiz con el que se traza la figura A’B’C’D’.
El compás de reducción es un aparato que puede ser usado para dibujar reducciones o ampliaciones de figuras usando una escala dada. Q’
P P’
Reúnete con otros compañeros para adquirir o elaborar un pantógrafo y un compás de reducción. Después de usar estos instrumentos para dibujar varias parejas de figuras homotéticas, expliquen las afirmaciones escritas a continuación. 1. El pantógrafo es una aplicación de homotecia directa. 2. El compás de reducción es una aplicación de la homotecia inversa.
MATEMÁTICAS TERCER GRADO
Q
171
UNIDAD
4
Ejercicios, problemas y aplicaciones Para que conozcas tus avances, realiza las siguientes actividades. 1. Con un microscopio que aumenta 100 veces el tamaño de los objetos, un cabello aparece como una cuerda de 2 mm de diámetro. ¿Cuál es el diámetro real del cabello? ¿Cómo se vería el cabello con un aumento de 100 000 veces? 2. Calcula la altura de la pirámide, sabiendo que al momento de proyectar una sombra de longitud S � 38 m, una estaca de altura h � 1.2 m proyecta una sombra de longitud s � 1.9 m.
H
S � 38 m 3. ¿Son semejantes los triángulos de una escuadra? Justifica tu respuesta.
h � 1.2 m
4. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior en un marco de madera? Justifica tu respuesta.
5. Los lados de un triángulo ABC miden 75 cm, 75 cm y 90 cm, respectivamente. Los lados de un triángulo PQR miden 75 cm, 75 cm y 120 cm. ¿Cuál de los dos triángulos tiene mayor área? 6. Dibuja y recorta un triángulo rectángulo como el de la figura. Recórtalo en cuatro triángulos que sean semejantes. 7. La torre Eiffel pesa 8 000 000 kg y mide 300 m de altura. ¿Qué altura tendrá un modelo del mismo material que pese 1 kg en total?
En este apartado se encuentran los instru‑ mentos necesarios para recabar la informa‑ ción que será de utilidad para evaluar el de‑ sempeño de los alumnos: 1. Registros breves de observaciones. 2. Lista de control. 3. Registro de resultados de algunos ejerci‑ cios. 4. Cuadernos de trabajo de los alumnos. 5. Registros de las dificultades generales del grupo y de las acciones determina‑ das para resolverlos. 6. Comparaciones del avance en el desarro‑ llo de las competencias. 7. Pruebas escritas. 8. Informes sobre los proyectos de investi‑ gación.
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Evaluación Las prácticas de las evaluaciones diagnóstica, continua y formativa, y las que aparecen al final de la unidad o de bloque permitirán reorientar los procesos educativos y formarán en los estudiantes la actitud positiva hacia el estudio de las matemáticas. También, le ayudarán a formarse el hábito de comprobar, justificar y comunicar los resultados obtenidos al enfrentar diferentes situaciones proble‑ máticas. Los instrumentos y las acciones de evaluación pueden usarse de manera alternada, ya que propor‑ cionarán información valiosa para conocer el desempeño y avance de los estudiantes. La regularidad debe ser determinada por el profesor, de acuerdo con el desarrollo de los alumnos y su carga de trabajo.
10
