Diseño Por Torsion

DISEÑO POR TORSION T U  U . CRITERIO DEDIFERENTES NORMAS.

Se presentan a continuación los criterios de las normas CIRSOC-201-05 que sigue al ACI-318, y el de la l a norma NZS-3101 1995, ref.[17]. En mi interpretación, esta última es más clara cuando se trata de decidir sobre cómo resolver los casos de torsión por compatibilidad. El ACI-318-2005, en su sección 11.6.2 especifica los casos diferentes para evaluar el momento de torsión T u  último o requerido como demanda. El NZS 3101 trata el tema en su capítulo 9. 1 TORSIÓN POR EQUILIBRIO. ACI-318-05 La Fig.7.31, torsión primaria o por equilibrio, y que ratifica los conceptos antes explicados, muestra el caso en que el momento torsor, obtenido por simple equilibrio estático, no se puede reducir, ya que el mismo se necesita indefectiblemente para el cumplir condiciones de equilibrio. En este caso, se debe disponer de armadura de torsión, obtenida con los criterios antes explicados, para soportar la totalidad del momento torsor T  Tu  . Esto es lo que expresa la norma en su sección 11.6.2.1.

Fig. 7.31 Ejemplo de acción de momento torsor que el reglamento no permite reducir.

2 TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD. ACI-318-05 En los casos como muestra la Fig.7.32, estructura estáticamente indeterminada, ver sección C-201-05 11.6.2.2, es posible una reducción de las fuerzas internas, incluidas las debidas a torsión, invocando redistribución de esfuerzos que se producen después de la fisuración. Esto es posible cuando exista torsión por compatibilidad. Esto significa que la norma dice que hay que evaluar el momento torsor a partir de un análisis estructural que contemple la compatibilidad de deformaciones por continuidad estructur al, al, pero permite una “reducción de dicho momento máximo mayorado T u a los siguientes valores: (a) En elementos no pretensados con N= 0 :

2 T   1    f  Acp

u

(7.37)

 p

3

cp

c

(b) En elementos no pretensados con axial de tracción o compresión: 2 T  1    f  Acp 1  3 N u c 3 pcp  A  f u

 g 

(7.38) c

donde N u se toma con valor positiva en caso de compresión y negativa en tracción, y corresponde a la carga axial para el estado último que se analiza (no es necesariamente una carga mayorada). Esto implica, como se ve, que la norma ha tomado el momento que produce fisuración como referencia para la máxima redistribución r edistribución posible (es decir, se puede “redistribuir” todo el exceso por encima de ese valor de referencia), pero afectado por el factor de reducción de resistencia  , ya que T cr  cr  (por “cracking”) vimos está dado

por:

T   1 3 cr 

´

 Acp2

c

 p

(7.16)

cp

Fig. 7.32. Situación en la que el momento torsor último  puede reducirse. reducirse.

En síntesis, hasta aquí la norma C-201-05 nos indicaría que los casos posibles que se pueden presentar luego de obtener el T u, a partir de un anális anális is elástico bas bas ado en propiedade propiedadess de la la sección s ección no fis urada (ver comentario del código en sección C 11.6.2.1 y C 11.6.2.2, último párrafo) son tres: (i) (ii)

Si T u es menor que la “torsión crítica” y que es un valor mínimo de referencia, el cual ya se verá luego cómo se obtiene, la torsión  puede ignorarse y sólo se provee armadura mínima. Si T u es mayor que la “torsión crítica” pero menor que “mínima posible resultante de la redistribución” (y que sólo depende de propiedades geométricas), entonces se diseña con el valor de T u

(esto es obvio pues no hay razones para redistribuir).

(iii)

Si T u es mayor que el momento torsor que resulta de la redistribución r edistribución permitida, entonces es posible aferrarse a la redistribución y diseñar con esos momentos “reducidos”.

Esto es lo que interpreta también la Ref.[16], capítulo 7, sección 7.5.7, y que aplica en el Ejemplo 7.3. En definitiva, por lo expresado hasta ahora, el ACI-318 no permitiría ignorar la torsión por compatibilidad cuando, como en los casos (ii) y (iii) se supera el valor crítico. Note además que en sus comentarios habla de “ un análisis elás elás ti co co basado en propiedades de la sección no fisurada” . Sin embargo, y ahora

aparecen ciertas incongruencias o ambigüedades en la norma, en la sección 8.6 dedicada a Rigidez y comentario C 8.6 en particular, dice que las rigideces de un elemento EI  y  y GJ  deben  deben tener en cuenta el grado de fisuración y plastificación ocurrida antes de la fluencia. Como esto es complejo, admite, da simplificaciones para pórticos arriostrados para los valores de EI   (recordar que esto es válido sólo para cargas gravitatorias: para combinación con sismo referirse a IC-103-05, parte II). En otro

párrafo siguiente del co mentario manifiesta que es necesario “incorporar la rigidez a torsión” cuando se necesita evaluar la interacción flexión y torsión. Luego dice que en f recuencia puede no ser el caso de “torsión por compatibilidad, la rigidez a torsión con frecuencia tomada en consideración”. La falta de claridad que observo en la aplicación de la

norma se refieren a: (i) (ii) (iii)

habla de sección no fisurada para torsión, cap .11. en el cap. 8, dice que hay que tener en cuenta el grado de fisuración. mismo cap. 8, en torsión por compatibilidad, dice que con frecuencia podría tomar GJ=0 .

3 TORSIÓN POR EQUILIBRIO. NZS-3101-1995. En la Sección 9.3.7.2 da lineamientos similares a los del ACI-318. 4 TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD. NZS-3101-1995. Es en esta parte donde la norma de Nueva Zelanda trata el tema con mayor claridad y consistencia que el ACI-318. En sus comentarios, sección C9.3.7.2 el NZS aclara que las previsiones para torsión siguen los lineamientos del Código de Canadá en vez de los del ACI-318. En su sección 9.3.7.3 el NZS dice claramente que “si la torsión en un miembro

aparece porque éste debe torcerse para mantener compatibilidad, el efecto de torsión  puede ignorarse , siempre que los momentos y cortes en la estructura sean evaluados suponiendo que el elemento en cuestión carece de rigidez a t orsión, y que se adoptan las siguientes previsiones: (i) se debe suministrar una armadura mínima de torsión (ver previsiones 9.3.8 y 9.39) (ii) en aquellos elementos que se unen al miembro en cuestión y en el que ocurrirán momentos debido a la restricción torsional, se debe colocar la armadura mínima de flexión la cual debe ser apropiadamente anclada para desarrollar la máxima r esistencia. (iii) Si la fisuración por torsión bajo el estado de cargas de servicio debe ser tenida en cuenta, se debe suministrar una armadura de torsión

que resista al menos 2/3 del 2/3 del momento torsor que produce la fisuración. Como se ve, la norma NZS no deja dudas sobre cómo tratar el tema, y sugiere ignorar la torsión por compatibilidad salvo casos muy especiales. Cuando se la ignora se debe adoptar GJ=0  para  para que los momentos y cortes resultantes sean coherentes con la hipótesis adoptada. El NZS aclara aún más el tema en sus comentarios de sección C9.3.7.3 donde expresa que cuando aparece la torsión por compatibilidad sería necesario evaluar tanto la rigidez a flexión como la de torsión. Adopta el tubo de pared delgada equivalente para determinar la rigidez a torsión para una sección no fisurada a través de la siguiente expresión: 4( A 4( A )2 t 

G  K  c

co

 gross

 Gc

 p

c

(7.39)

oc

con el significado según Fig. 7.33, donde Gc  puede  puede tomarse como 0.4E c. c.

Fig. 7.33 Concepto de tubo equivalente para secciones de hormigón no fisuradas .

Tener cuidado con la notación (aún en la fuente se ha observado errores: note corrección en Fig.7.33). El resumen sería:  Aco= Área encerrada por el perímetro de la sección  Acp del  ACI p  ACI pc = perímetro correspondiente a dicha área  pcp del ACI  poc = perímetro definido a mitad del espesor de tubo de pared delgada.  Aoc  = área encerrada por el perímetro p perímetro  poc . Puede tomarse A tomarse Aoc = 0.67 A 0.67 Aco Note similitud con ecuación (7.14) del ACI:

O

 2 A 3 cp

(7.14)

t c  c  = espesor del tubo equivalente, supuesto constante, y según la Fig.7.33 note la equivalencia con lo del ACI: t

3 4

cp

 p

(7.15)

cp

Es importante seguir leyendo los comentarios de la norma NZS pues allí aclara, tal cual antes se expresó, que la rigidez a torsión del miembro fisurado es una fracción pequeña del que corresponde a sección no fisurada. Se puede

demostrar (ref.[2], ver cap. 8, ecuación 8.36) que la rigidez a torsión de una sección fisurada es controlada primariamente por las deformaciones de la armadura, y puede evaluarse mediante: G K  c

 E  4( A )2   s 2  po o

cr 

 A A t l 

(7.40)

 spo

La norma aclara que para vigas típicas se encuentra que la rigidez a torsión dada por la ecuación anterior es menos del 10 % de % de la que corresponde a sección no fisurada. Dice la norma que al pasar al sección fisurada, la rigidez a flexión se reduce cerca del 50 %, por %, por lo que para obtener esfuerzos, habría que hacer el análisis, por ejemplo, con sección no fisurada para flexión y dividiendo la rigidez a torsión por 5 (cinco). (cinco). Esto es como tomar rigidez a flexión dividida por 2 (dos) (dos) y la de torsión por 10 ). Los elementos diseñados para resistir torsión a partir de las hipótesis anteriores, (diez ). se comportarán en forma satisfactoria. Sin embargo, el análisis puede involucrar un trabajo significativo, dice la norma. Si la torsión en los miembros aparece sólo porque los mismos deben girar en torsión para mantener la compatibilidad de deformaciones, la magnitud de la torsión será casi directamente proporcional a la rigidez de torsión. Esto queda nuevamente demostrado en la Fig.7.34 y donde se expresan además los requerimien tos de la norma NZS. Por lo tanto, disminuyendo la cantidad de armadura de torsión hace decrecer la rigidez (note la dependencia de rigidez con resistencia en el rango no lineal) por lo que se reduce entonces el torsor inducido. Esto es coherente con las hipótesis adoptadas.

Fig. 7.34 Torsión por compatibilidad.

En tales casos, es decir, donde la torsión no es necesaria para mantener el equilibrio, el NZS permite al diseñador suministrar una mínima cantidad de armadura de torsión apropiadamente detallada y suponer que la rigidez a ese esfuerzo es nula. Como en realidad cierta torsión es inevitable, se exige la mínima armadura de flexión en el elemento de apoyo como indica la figura. Ello implicará en cierto grado una reducción en el corte que produce la fluencia de la armadura de alma. Sin embargo, si el elemento ha sido correctamente diseñado al corte (es decir para fallar en forma dúctil por flexión en vez de frágil por co rte), la pequeña torsión no tendrá un efecto significativo en la carga de falla f alla del elemento.

La Fig. 7.35 muestra la “sección efectiva” para resistencia a torsión en vigas de hormigón armado según el NZS, con la siguiente notación: t o = 0.75 Ao /po  po = perímetro supuesto como pasando por los centros de las barras longitudinales.  Ao= boho = área que encierra p encierra  po = 2(ho+bo ) bo = se puede tomar como 0.5(b como 0.5(b´ o+b” o )

Fig. 7.35 Secciones efectivas para resistencia a torsión.

Hasta este punto este trabajo desarrolla los conceptos de la norma NZS, los que simplemente han sido explicados para por un lado ver la diferencia de tratamiento del problema con el ACI-318, y para aclarar sus fundamentos. Se deja al lector la referencia indicada para mayor profundización del tema. 5 PREVISIONES ADICIONALES DEL CIRSOC 201-2005. El código ACI-318 establece que los momentos flectores y esfuerzos de corte obtenidos luego de la redistribución de momentos en los elementos adyacentes, se pueden utilizar para el diseño de dichos elementos; ver Fig. 7.3(d). También aclara la norma que para secciones huecas el valor de  Acp no se debe reemplazar por el de A de Ag , como se hace para obtener el valor de torsión crítica (ver más adelante). Es decir que en secciones hueca s se debe usar  Acp, que dará un valor mayor de torsión, por lo tanto más conservador para torsión. Habría que usar directamente la ecuación 7.13.

La norma aclara, sección 11.6.2.3, que los momentos torsores provenientes de la losa se pueden considerar como uniformemente distribuidos a lo largo de la viga, a menos que se determinen por medio de un aná lisis más preciso. En los elementos no pretensados, las secciones ubicadas a una distancia menor que d  medida  medida desde la cara del apoyo, se deben dimensionar para una torsión mínima T u que se evalúa a la distancia h/2  desde  desde la cara del apoyo. Sin embargo, si existiera un torsor concentrado dentro de dicha distancia, al i gual que ocurría con el esfuerzo de corte, la sección crítica debe ser la que corresponde a la cara del apoyo. TORSIÓN CRÍTICA.

La norma ACI-318 considera que cuando los momentos torsores T u no superen un valor crítico o de referencia, T crítico crítico, no provocarán una reducción significativa a la resistencia de flexión y corte, por lo que pueden ser ignorados. El valor crítico se toma, en forma aproximada, como ¼   del momento de torsión que produce la fisuración, T cr  cr . En consecuencia, en la sección 11.6.1 la norma indica que el efecto de torsión puede ser ignorado si resulta: (a) En elementos no pretensados con N= 0 :  T 

T 

critico critico

u



T  cr 



4

1 12

 

 f  ´ ´ c

 Acp2

(7.39)

 p cp

(c) En elementos no pretensados con axial de tracción o compresión: T   1   12 u

´

c

 Acp2 1  3 N u

pcp

 A  g 

(7.40)

 f  ´ ´ c

Para valores superiores a los de torsión crítica, el efecto de torsión no puede ignorarse y hay que tomar los recaudos de diseño necesarios. Cuando se trata de secciones huecas la norma dice que se debe utilizar  Ag  en  en lugar de A de  Acp. A g  el  el área bruta o total de la sección, que en las secciones huecas no incluye los vacíos. Esto se hace para bajar el valor de la torsión crítica o de comparación. Solamente si T u es menor que dicho valor la torsión por equilibrio puede ser ignorada. Se ve además que se incluye el valor de  , factor de reducción de resistencia, 0.75  en  en esta versión, para hacer aún menor el valor de comparación. RIGIDEZ A TORSIÓN.

 Al sólo efecto de completar el tema, se presentan presentan algunos conceptos conceptos adicionales sobre la rigidez a torsión.  A partir de la teoría clásica de elasticidad se pue de de obtener la rigidez a torsión de vigas de material homogéneo con diferentes secciones transversales. Las ecuaciones (7.2) a (7.7) relacionan variables estát icas y cinemáticas con ese

propósito. Experimentos llevados a cabo sobre elementos de hormigón armado indican que existe una buena concordancia con las expresiones teóricas. La Fig. 7.36 presenta una síntesis de tensiones máx imas por torsión en distintos puntos de diferentes secciones transversales y el momento de inercia polar C= J T   que corresponde a cada sección. T que

Fig. 7.36. Máximas tensiones de torsión y momentos de Inercia Polar J  para algunas secciones homogéneas según la teoría de la elasticidad.

Sin embargo, cuando el hormigón armado se fisura, lo cual es lo normal, estos valores dejan de tener relevancia. Los ensayos de torsión efectuados sobre vigas de 250 mm x 381 mm y mm y presentados en la Fig.7.37, muestran que en la relación momento torsor vs. ángulo de giro, al inicio aparece un comportamiento francamente lineal, y luego de la fisuración si bien se pierde rigidez existe un incremento de la resistencia por encima del momento T cr  cr . Una vez fisurada la viga un nuevo mecanismo, como puede ser el explicado antes y referido como reticulado espacial, es el que soporta la torsión. Para este caso, el ángulo de giro por torsión está controlado no por las deformaciones de corte sino por las deformaciones que sufren las diagonales comprimidas de hormigón y las deformaciones de tracción tanto en los estribos como en las barras longitudinales. La Fig.7.35 muestra en forma esquemática deformacio nes de un trozo de viga sometido a torsión. Note que las diagonales comprimidas está simultáneamente sometidas a tracciones transversales por lo que su rigidez y resistencia se ven afectadas.

Fig. 7.37  Típicas Relaciones Torsión-Ángulo Torsión-Ángulo de giro  para vigas según según ensayos presentados en ref.[2].

El núcleo de una sección sólida no contribuye significativamente a la resistencia a torsión, tal cual antes se expresó; por lo tanto, a los efectos de determinación de rigidez la sección sólida fisuradase f isuradase puede reemplazar por una sección hueca. Se ha encontrado además que la relación y/x  no  no es una variable

significativa en la determinación de la pérdida de rigidez por fisuración. La Fig.7.36 muestra una síntesis de experimentos sobre vigas con el m ismo área del núcleo   6 , las cuales muestran casi la misma ( x   x oy o = constante) y con relaciones de 1  y/x   rigidez en todos los estados asociados con la fisuración. f isuración. La rigidez del reticulado espacial depende en gran medida del contenido de acero de torsión. Note que se da un fenómeno similar a la dependencia de la rigidez a flexión en función de la resistencia de la viga (contenido de armadura en tracción) que ha sido manifestado por Paulay y Priestley en sus últimos trabajos, ref .[12].

Fig. 7.38 Deformación por torsión de un elemento de viga.

Fig. 7.38. Rigidez torsional para secciones rectangulares y huecas de hormigón armado diagonalmente fisuradas.

EJEMPLO DE APLICACIÓN N o 1.

Se trata del diseño de una viga prefabricada sometida a combinación de corte y torsión. La misma debe soportar elementos de techos prefabricados, simplemente apoyados sobre el lateral de la viga, como se muestra en la Fig.E1-1, en planta y elevación. Las vigas a diseñar están conectadas a las columnas para transferir la torsión y el corte. No se suministra continuidad entre las vigas soporte. Tomado de Ref. [15]  A) Datos: D= doble TT + aislación + piso= 0.30 ton/m 2  L = 0.15 ton/m 2  f´ c   = 35 MPa = 3500 ton/m 2  w c   = 2.4 ton/m3 c = c =

2  f y  y = 420 MPa= 42000 ton/m

Fig. E1-1. Planta. Ejemplo de aplicación. 1pié=0.305m, 1pulgada=0.0254m: 1pulgada=0.0254m: para el ejemplo se toma luz de vigas a ejes 9.0 m y columnas de 0.40x0.40 m. Luz de vigas de techo TT a ejes de columnas 18 m.

Fig. E1-2. Elevación. Ejemplo de aplicación. 1pié=0 .305m, 1pulgada=0.0254m: 1pulgada=0.0254m: para el ejemplo se toma viga de ancho arriba de 0.40m, altura toral 0.80 m y ancho inferior 0.55m. Saliente de apoyo de vigas TT de 0.15m de ancho por 0.20m de altura. Distancia de eje de apoyo a eje de viga 0.275m. Altura de vigas TT 0.60 m.

B) Resolución. 1) determinar los esfuerzos internos. Suponer Suponer carga carga uniforme uniforme de las vigas vigas TT sobre las vigas a diseñar. Reacción de techo sobre viga: Luz l= 18 m – 2 x 0.2750 m = 17.45 m Reacción a

D ........... R D= 0.30 x 17.45/2 t/m = 2.62 t/m

Reacción a L ...........

R L= 0.15 x 17.45/2 t/m = 1.31 t/m

Peso propio de viga: [(0.40x0.80) + (0.20x0.15)] m2  x 2.4 t/m3 = 0.84 t/m Carga mayorada para M u y V u: U = 1.2 D + 1.6 L = 1.2 (2.62 + 0.84) + 1.6 X 1.31 = 6.25 t/m Momento en el centro del tramo: M u 6.25 t/m x 92  /8 m2  = 63.30 tm Corte en los extremos: V u = 6.25 t/m x 9/2 m = 28.13 t  Carga mayorada para T u: U = 1.2 D + 1.6 L D = 2.62 t/m + (0.15 x 0.20) x 2.4 t/m = 2.70 t/m U = 1.2 x 2.70 + 1.6 x 1.31 = 5.35 t/m Torsión en los extremos: T u = (5.35 t/m x 9 m) x (0.075 + 0.20)m / 2 = 6.65 tm El corte y la torsión crítica están a una distancia d  desde   desde la cara del soporte. Se supone altura útil d = 80cm  – 5 cm = 75 cm . cm . Por lo tanto, la sección crítica está a 75cm + 20cm= 95 cm del cm del centro o eje de la columna, es decir: Sección crítica desde el centro del tramo (4.50m – 0.95m) = 3.55 m Esfuerzos en secciones críticas: V u = 28.13 t x 3.55/4.50 = 22.20 t  T u = 6.65 tm x 3.55/4.50 = 5.25 tm La viga debe ser diseñada para resistir en forma completa el momento torsor T u pues se trata de un caso de torsión por equilibrio. 2) Verificar si es posible ignorar la torsión.

Torsión de fisuración: T   1 cr 

 Acp2

´

(7.16)

 p

3

cp

c

y se puede ignorar si la torsión es menor de 0.25  ese  ese valor, afectado por  , es decir: T   1   u

´

 Acp2

(7.39)

 p

12

cp

c

 Acp = área encerrada por el perímetro exterior de la vi ga incluido el borde de apoyo

 Acp = (0.40 x 0.80 + 0.15 x 0.20) = 0.35 m2 .  pcp = perímetro exterior de la viga = 2 (0.40 + 0.80 + 0.15 ) m = 2.70 m 2 4 T  1 35 0.35 m  0.0895 MNm  8.95tm cr  3 2.7m 2.7m

y la torsión crítica o límite es: T lim lim = 0.75 x 0.25 x 8.95 tm = 1.68 tm que resulta menor que la demanda T u = 5.25 tm, tm, por lo cual NO NO puede  puede ignorarse el efecto de torsión. 3) Verificar si la sección transversal de de la viga es suficiente, es decir verificar la tensión máxima de corte por combinación de efectos. Tiene como objeto cuidar que las diagonales comprimidas no estén sobre cargadas. Por tratarse de sección maciza: V  u

b d  w

Tp

2



u

2

V c

h   

b d  1.7 Aoh

w



2

´ c

(7.29)

3

En la Fig. E1-3 se dan detalles que permiten obtener:  Aoh = área encerrada por el perímetro externo de estri bo cerrado.  Aoh = 0.33 x 0.73 + 0.15 x 0.13 = 0.26 m2   ph = perímetro correspondiente = correspondiente  = 0.33+0.73+0.48+0.13+0.15+0.60 = 2.43 m

Fig. E1-3. Se ha tomado como distancias a ejes de estribos:  Arriba (13”) (13”) 0.33m (es decir 3.5cm 3.5cm de recubrimiento recubrimiento a eje de estribos), izquierda (29”) 0.73m; abajo (19”) 0.48m; borde apoyo (5”) 0.13m; las 6”= 0.15m y las 24”= 0.60m.

la contribución del hormigón a se vez debe ser talque: vc

=

 0.30

V c

bw d 

£ 0.30  f c´

c

+

2

= 0.75 x0.97  x0.97 35 = 4.30 MPa = 430t  430t // m

 f c

3 22.20t  22.20t 

2

0.40 x0.75  x0.75m m2

+

5.25tmx 5.25tmx2.42 2.42m m2

133t // m = 5476 +12222 = 133t 

2

430t // m < 430t 

2

1.7 x 1.7 x0.26 0.26 2 m4

por lo que las dimensiones de la sección transversal son adecuadas. 4) Determinar el área de estribos por torsión. T d  d 

T n ³ T u = T r  5.25tm =  T  r  = 5.25tm T

 yv cot  = 2 Ao At   f  yv

n

 s

 Ao = 0.85 Aoh = 0.85 x 0.26 m 2  = 0.221 m2  = 2210 2  o cm2  f y  y =   = 4.20 t/cm  = 45   cot  = 1.0  separación máxima de estribos por torsión es s  p  ph /8 = 242cm/8= 30 cm y cm y por corte d/2= 75cm/2 = 37.50 cm  Adoptamos s= 30 cm = t 

525tcmx30cm 2

2 x0.75 x2210cm  x4.2t  /  / cm

= 1.13cm

2

por rama cada

30 cm.

2

que podría corresponder a un estribo cerrado con una barra de 12 mm cada 30 cm. Sin embargo hay que sumar requerimientos por corte.

5) Determinar el área de estribos por corte. V d  d 

=  V  V n =  (V c +V  s ) ³ V u = V r  22.20t  r  = 22.20t 

v c   = 0.167 35 = 0.99 MN/m2 = 99 t/m2  c = corte último: v u = 22.20 t / (0.40 x 0.75) m2  = 74 t/m2  necesario a tomar por acero:  v  v s = v u -  v  v c   = c =

74 – 0.75 x 99 = 0 t/m 2 

por lo que no es necesario armadura de corte. 6) Área total de estribos por combinación de corte y torsión. Si se adopta un solo estribo cerrado:  A v

2

 At 

 0 1.13  1.13cm

en cada rama y cada 30 cm. cm.

En este caso resultaría un estribo con diámetro 12 mm cada 30 cm. El diámetro del estribo cumple además el requerimie nto de norma de ser mayor de 10 mm. mm. 7) Verificar armadura mínima de estribos. El área total de las dos ramas del estribo debe ser :

 Av + 2 At   = (0.0 + 2 x1.13) = 2.26cm2

³ 1 16

 f c´ bw s

= 0.0625 x 35 x40 x30cm2 = 1.05cm2

 yv

420

y

 Av

+

2  At   = 2.26cm 2 ³ 0.33bw s

 f 

 yv

=

0.33 x40  x40 x30  x30cm cm 2

0.94cm 2 = 0.94cm

420

con lo cual se verifican ambos requerimientos. 8) Obtener la armadura longitudinal adicional por torsión.  A

= l 

 f 

 A

 yv

t 

 s

 p h

l 

cot 2  =

1.13cm 2

30cm

 x242  x242cmx cmx1.0 1.0 x1.0  x1.0 = 9.10cm 9.10cm

9) Verificar la cantidad mínima de armadura longitudinal por torsión. =

 A

5  f c´ Acp

12 f  yl   yl 

l ,min

l ,min

-

 f 

 A

 yv

t 

 s

 f  h

 yt 

3500cm2 - 0.028cmx 242cm = 20.54 - 9.10 = 11.44cm 2 = 5 35 3500cm 12 x420

debiéndose cumplir además que:  A t 

 s

=

113mm 2

300mm 300mm

= 3.43

1b 6

w

 f 

 yv

= 0.167

400

mm = 0.15

420

y se ve que controla la condición de cuantía mínima adicional por torsión. El acero longitudinal requerido por torsión debe ser distribuido alrededor del perímetro del estribo cerrado, con separación máxima de 30 cm, cm, y estar dentro del estribo, con una barra en cada esquina del mismo. En las siguientes figuras se indican esquemas de armado. De topas maneras, se verá que se ha apartado de lo calculado para el ejemplo, adoptando armaduras para corte y torsión un poco más conservadoras. Se adoptan 12   barras de diámetro 12 mm  mm  que suministran 13.56 cm2 . El perímetro donde se deben colocar es de 243 cm, cm, lo que da una barra cada 20 cm aproximadamente. La Fig. E1-4 muestra cuál sería la primer tentativa de armadura longitudinal por torsión. La misma puede verse levemente modificada en función de cómo se acomode la armadura de flexión. f lexión.

Fig. E1-4. Armaduras Armaduras parciales de torsión, torsión, corte y flexión.

10) Armadura de flexión en el centro del tramo: 

 M u /  

 f  y (d  d ´) ´)



6330tcm 0.90 x4.2t  /  / cm2 (75  5)

 23.92cm2

mientras que la cuantía mínima por flexión es (1.4/f y  0.3333, por lo que: y )  = 0.3333,  Amin = 0.333 x 40 cm x 75 cm = 10 cm2  por lo que controla el e l momento demanda. En los extremos, donde el momento flector es nulo, se debe suministrar al menos 1/3 de 1/3 de la armadura que cubre el momento máximo, según el ACI-318, sección 12.11, es decir (24 (24 cm2  / 3 = 8 cm2 ). Teniendo ya presente los requerimientos de torsión, para la armadura de flexión se adoptan 4 barras de diámetro 25 mm, 2 de 20 mm y una de 12 mm, mm , lo que da un total de 27 cm2 , dispuestos como lo indica la Fig. E1-4. Con esta disposición, y sin tener en cuenta la armadura de torsión, pues es adicional, un análisis seccional preciso da los siguientes resultados, para el estado último o resistencia nominal: M n= 72.47 tm  smax  smax =1.7 % por lo que   = 0.90, con eje neutro a 11.23 cm M d  t m > 63 tm, O.K. d=   0.90 x 72.47 tm = 65 tm La Fig. E1-5 muestra en definitiva las secciones transversales en tramo y apoyo cuando se combinan los requerimientos de torsión, flexión y corte.

Fig. E1-5. Diseño de la sección transversal en Tramo y Apoyo.

EJEMPLO DE APLICACIÓN N o 2.

Una viga con un extremo empotrado y otro libre en voladizo, de sección con ancho b= 0.30m y 0.30m y altura total h= 0.50 m está m está sometida a un par torsor en su extremo libre igual a T u= 4.0 tm. tm. El hormigón es calidad H21 y H21 y el acero ADN acero ADN 420 . Diseñar la sección a torsión. Solución.

(1) Es torsión por equilibrio, por lo que hay que evaluar T u, que es dato para este problema. (2) Torsión crítica:  Acp = 0.15 m2   pcp = 1.6 m

Torsión que produce fisuración: T   1

´

3

c

cr 

 Acp2

(7.16)

 p cp

T cr   = 0.016 MNm = 1.6 tm cr  = Torsión crítica = ¼ T cr  cr = 0.40 tm < 4.0 tm por lo que la torsión no puede ser ignorada. (3) Verificación de dimensiones de hormigón Distancia de bordes a centros de estribos estimada en 2.5 cm, cm, por lo que:  ph = (0.25 m + 0.45m) x 2 =1.40 m  Aoh = (0.25 x 0.45) m 2  = 0.1125 m2  1/2  1/2  T u x ph / 1.7 x Aoh2  = 2.60 MNm <   0.97  0.97 (f´ c  c )  = 0.75 x 0.97 x (21)  = 3.33 MNm

por lo que la condición queda satisfecha. (4) Armadura transversal: De la ecuación de diseño se obtiene t 



T u s 2  Ao f  yv  yv cot 

(7.28)

y para s=17 cm   p  ph / 8 = 17.5 cm  Ao = 0.85 Aoh = 0.85 x 0.1125 m2  = 0.096 m2  400tcmx 400tcmx17 17cm cm

= t 

1.12cm

=

2

2 x0.75  x0.75 x4.2  x4.2t  t  /  / cm 2 960cm 2

por lo que se adopta estribos de 12 mm (At = 1.13cm2  ) cada 17 cm. (5) Armadura longitudinal: Teniendo en cuenta que el tipo de acero para armadura transversal y longitudinal es el mismo: = l 

 A

=

 p

t 

 s

1.13cm 2

h

140cm 140cm = 9.31cm  9.31cm

17cm

para lo cual se pueden disponer de 4 barras de diám etro 12 mm por cara lateral y adicionar 1 barra de diámetro de 8 mm arriba y abaj o, lo cual suma 10cm 2, y la distribución es casi uniforme como es la exigencia. (6) Armaduras mínimas: Transversal: 2 A t 

³ 1 16

'

c

bw s = 0.0625 x4.58 x300mmx170mm / 420 = 35mm 2  f  y

y esta expresión controla sobre:

2 At  ³

0.33bw s

 f 

 yv

pero se necesitan 112 mm 2, tal cual se calculó antes. Longitudinal: 5  f c´

cp

= l ,min

 Al  ,min =

 f 

 A

-

t 

 yv

 p

12 f  12 f  yl   yl 

 s

5 21 x1500

cm

12 x420  x420

 f  h 2

 yt 

9.13cm - 9.13cm

2

= 6.82 - 9.13

la cual en este caso carece de sentido por dar negativa.

(7.32b)

EJEMPLO DE APLICACIÓN N o 3.

La viga de la Fig. E3-1 es continua, está apoyada e n columnas tal que la distancia entre caras de columnas es de 8.50m y 8.50m y soporta una losa construida monolíticamente con un voladizo de luz libre 1.70m. 1.70m. La losa tiene espesor de 15 cm y cm y la viga es de 30 cm de cm de ancho y 60 cm de cm de alto. La altura útil de la viga es d= 55 cm. cm. La losa soporta una 2  carga viva L= 0.25 t/m . El hormigón es H30 y el acero ADN420. La viga además soporta una carga accidental centrada en su eje longitudinal y uniformemente unifor memente distribuida de L=1.50 t/m. Evaluación de Cargas Últimas: Peso propio de losa = 0.15m x 2.40 t/m 3 = 0.36 t/m2  Carga última sobre la losa U= 1.2 x 0.36 + 1.6 x 0.25 = 0.83 t/m2  Peso propio de la viga = 0.30 x 0.60 x 2.4 t/m = 0.43 t/m Carga Última en viga U= 0.83 t/m2  x 1.70m +1.2 x 0.43 t/m + 1.6 x 1.5 t/m = 4.33 t/m

Fig. E3-1. Viga continua sometida a Torsión por los a en vodadizo.

Esfuerzos para estado de diseño por resistencia.  A) losa. Momento flector a cara de viga (ver ACI-318-sección 8.7, luz de cálculo) M u /m = (0.83 t/m2  /m) x 1.70 2  m2  / 2 = 1.20 tm/m Es el momento de empotramiento en losa por unidad de longitud de viga. V u /m = 0.83 t/m2  /m x 1.70m = 1.40 t/m B) Viga. Momento flector: M u = 4.33 t/m x 8,50 2  m2  / x   x = f(del grado de empotramiento) empotramiento) Corte: V u = 4.33 t/m x 8.50 m / 2 = 18.50 t