UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
TORSION Y DISTORSION EN VIGAS DE PUENTES
TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE INGENIERO CIVIL
ANGEL ALEJANDRO JUNES PEREZ
LIMA – PERU 2009
DEDICATORIA
RESUMEN
INTRODUCCION
CAPITULO I FLEXO-TORSIÓN DE VIGAS DE PARED DELGADA DE SECCIÓN ABIERTA.
En este capítulo se hará un breve repaso sobre las principales teorías desarrolladas en el estudio de la flexión y torsión de vigas. En la primera parte, se revisa los resultados de la teoría de vigas relacionados con la flexión transversal y distribución de esfuerzos cortantes en vigas de pared delgada de sección abierta. En la segunda parte se presentan los resultados de la teoría de torsión de un eje circular y de la teoría de torsión de Saint Venant (1850) para barras cilíndricas incluyendo las de sección abierta de pared delgada sin restricción al alabeo. alabeo. Finalmente en la tercera parte se realiza realiza una descripción descripción detallada de la Teoría de Vlasov (1961) para el caso de la flexo - torsión de una viga de paredes delgadas de sección abierta considerando la existencia de la restricción al alabeo (warping).
1.1 Flexión transversal de vigas de paredes delgadas de sección abierta En esta sección se presentará el caso de vigas de sección transversal abierta de paredes delgadas (vigas I, vigas canal U, etc.) sujetas a flexión transversal. Se presentarán expresiones expresiones para el cálculo de los esfuerzos normales y cortantes. Los siguientes resultados están basados en la Teoría de Bernoulli – Euler para la flexión de vigas, conocida como “Ley de las secciones planas”, considera que las
deformaciones longitudinales en una fibra de la sección son proporcionales a la distancia al eje neutro.
1.1.1 Distribución de esfuerzos cortantes y normales. 1.1.1.1 Distribución de esfuerzos normales. La distribución de esfuerzos normales debido a la flexión utilizando las relaciones de la teoría clásica de vigas, se define como: z
M x y M y x I xx
I yy
(1.1)
Donde: Mx y My son los momentos flectores producidos por las fuerzas F x y Fy; Ixx e Iyy son los momentos de inercia de la sección respecto a los ejes x e e y .1.1 .1.1
(a)
(b)
Figura 1.1 Distribución de los esfuerzos normales en una viga de pared delgada para (a) la flexión flexión respecto al x, x, y (b) flexión respecto respecto al eje y.
1.1.1.2 Distribución de esfuerzos cortantes. Considerando Considerando un elemento de la sección transversal, tal como se muestra en la figura 1.2:
Figura 1.2. Elemento infinitesimal de la pared de una viga Del equilibrio del elemento se obtiene la siguiente ecuación: t
Donde:
es
d dz
t
d dz
0
ó
t
d dq 0 dz dz
(1.2)
el esfuerzo cortante; , es el esfuerzo normal; t , , es el espesor de
la pared y; q, es el flujo de corte en la sección. De esta ecuación se deduce la siguiente expresión:
s
q q0 t s
ds z
(1.3)
0
Para una sección transversal referida a un sistema de coordenadas xy, conociendo además que la variación del esfuerzo normal “s” es lineal, se deduce que: F F y y x x I yy z I xx
(1.4)
Introduciendo (1.4) en la ecuación (1.3), resulta: q q0
F y
s
F x
s
ytds I xtds
I xx s
yy s
0
(1.5)
0
Las integrales representan los momentos estáticos del segmento de área respecto a los ejes “ x” e x” e “y”, “y”, y son denotadas por Sx y Sy; entonces:
q q0
F y I xx
S x
F x I yy
Sy
(1.6)
La ecuación anterior define a la distribución del flujo de corte para el caso de no existencia de restricción al alabeo. Si la sección transversal es abierta, entonces se toma como punto de inicio de integración a un extremo libre, donde el flujo de corte es nulo, en consecuencia: consecuencia: qextremo
q 0 0
(1.7)
El esfuerzo cortante en relación al flujo de corte producido:
q.t
(1.8)
Observando las ecuaciones derivadas para los esfuerzos cortantes, se nota que estos esfuerzos actúan en la dirección paralela al contorno de la sección transversal. En el caso de la flexión, los los esfuerzos esfuerzos cortantes son constantes en el espesor de las paredes. Los esfuerzos cortantes varían de acuerdo al momento estático del segmento de área analizado ; por ejemplo, para una viga
de sección tipo C como la que se muestra en la figura 1.3, los esfuerzos cortantes producidos por una carga vertical variarán de forma lineal en los elementos horizontales y en en forma forma cuadrática en los los elementos elementos verticales. q
q
F y I xx
A f
h 2
F y t h 2 w I xx
8
q
F y I xx
A f
h 2
Figura 1.3. Distribución del flujo de corte en una viga de sección tipo C
Definición: Centro de Corte El centro de Corte se define como el punto en la sección transversal por el cual las cargas externas transversales (reacciones incluidas) deben de atravesar, para que no exista rotación de la misma, es decir, la viga estará en la condición de flexión pura y la resultante de los esfuerzos cortantes pasará a través de dicho punto. Para el cálculo del centro de corte, primero se procede a considerar los efectos de las fuerzas cortantes F x y Fy por separado. La distribución de esfuerzos cortantes producidos por cada una de estas fuerzas cortantes es estáticamente equivalente a una fuerza que actúa en la dirección de la fuerza cortante que lo produce. Evaluando el momento que produce estas fuerzas equivalentes respecto a un punto, permite calcular las líneas de acción de dichas fuerzas. La intersección de las las líneas de acción acción de las dos resultantes resultantes es el Centro de Corte de la sección transversal. En la figura 1.4 se observa observa una sección transversal abierta cargada en el centroide con dos fuerzas transversales F x e F y. Debido a la simetría de la sección transversal respecto al eje x, el centro de corte se ubica sobre dicho eje por lo que la fuerza F x produce únicamente flexión. Por el contrario, la fuerza F y no pasaría por el centro de corte por lo que produciría torsión además de la
flexión, siendo M = F y y.x actuante . El centro de corte se ubica . x s el momento torsor actuante. en las coordenadas x s, ys respecto al centroide de la sección.
Figura 1.4. Sección Transversal Abierta
1.2. Torsión de un eje circular Considerando un cilindro de longitud ( l ), ), con una de sus bases fijada al al plano xy plano xy , mientras que la otra base (en el plano z = z = l ) está bajo la acción de un par cuyo momento está a lo largo del eje z . La viga se torsiona, y en consecuencia las generatrices del cilindro se deforman como curvas helicoidales, tal como se observa en la Figura 1.5. Por simetría, secciones planas normales al eje z permanecen planas después de la deformación y la acción del par se reduce a rotar cada sección en un ángulo
.
Figura 1.5. Barra circular La cantidad de la rotación depende de la distancia de la sección existente entre la sección y la base (z =0) y, =0) y, considerando que las deformaciones son pequeñas, se asume que es proporcional a z . Así:
z
(1.9)
Donde es el giro por unidad de longitud, o desplazamiento angular relativo.
Secciones trasversales permanecen planas, desplazamiento longitudinal a lo largo de z es nulo.
Figura 1.6. Sección Transversal de la barra circular. De la figura 1.6, el campo de desplazamientos, para un ángulo
pequeño,
se
define con las siguientes relaciones: u y
v x
w 0
(1.10)
Los esfuerzos asociados a este campo de desplazamientos, según las ecuaciones constitutivas, constitutivas, se definen como: xx zy
yy
G x
zz
xy
zx
;
0;
G y ;
(1.11)
Las condiciones de borde sobre la superficie lateral, determinan que: ij n j
0
(1.12)
En el extremo, z = l , se de cumplir que: i
Ti
ij n j
Estos esfuerzos cortantes dan como resultado un momento torsor, M z z
x y dxdy G x y dx dxdy G I
M z
zy
zx
2
2
0
(1.13)
Donde:
r I
o
0
2
4
, es el momento polar de inercia de un circulo de radio , r 0.0.
Considerando la expresión (1.9) se puede deducir que el ángulo de giro debido a un momento torsor en el extremo de la viga z = l, es: l, es:
M z l GI 0
(1.14)
z
El vector esfuerzo: T
ˆ
zxi
ˆ
zy j , actuando en cualquier sección “z” = ˆ
constante, y que se encuentra sobre el plano xy, se puede escribir escribir como: como:
z
T
ˆ
G
iy jx jx
ˆ
ˆ
(1.15)
z
Donde:
T es ˆ
normal al radio vector r xi yj en el punto (x,y), ya que el ˆ
ˆ
ˆ
producto escalar siguiente, es nulo: z
T .r ˆ
ˆ
0
z
(1.16) 2
2
2
2
La magnitud del esfuerzo en el punto (x,y): T zx zy G x y G r . ˆ
El máximo esfuerzo actúa en el contorno del cilindro y tiene por valor
G r
0
. Ver
figura 1.7.
Figura 1.7. Distribución de los esfuerzos cortantes en una viga de sección circular
Como se acaba de demostrar, los esfuerzos cortantes actuantes en cualquier punto de la sección transversal en la barra circular son ortogonales al radio vector “r ” y proporcionales a su longitud y al ángulo de giro, tomando su máximo
valor en el contorno del cilindro. La superficie lateral de la barra está libre de esfuerzos cortantes. Esta teoría fue desarrollada por Coulomb (1784).
1.3. Torsión de Barras Cilíndricas Para barras cilíndricas con secciones transversales diferentes al círculo, las secciones transversales ya no permanecen planas, se alabean. Navier (1864) trató de aplicar la teoría de Coulomb para el caso de barras no circulares, llevando a conclusiones erróneas. Esto debido a que, si consideramos los esfuerzos cortantes aún normales al radio vector OA que parte del centro de la sección hacia el contorno (Figura 1.8) y descomponiéndolo en sus dos componentes: normal y tangencial al contorno ( y ); es evidente que debe xz
yz
existir un esfuerzo complementario, , en la superficie lateral de la barra que
yz
equilibre la componente normal del esfuerzo cortante, lo que contradice a la suposición de que en la superficie lateral de la barra no debe existir esfuerzo alguno.
Figura 1.8. Esfuerzo cortante en una barra cilíndrica considerándolo considerándolo perpendicular perpendicular al radio OA Es por esto que se asume un campo de desplazamiento similar al de la barra circular, pero esta vez con desplazamientos longitudinales paralelos al eje de la barra “z”. Estableciéndose las siguientes relaciones:
u zy
v zx zx
w x, y
(1.17)
El campo de esfuerzos estará dado por: zx G y x x y xy yy zz xy 0 zy G
(1.18)
Ecuaciones de equilibrio
xx xy xz F x x y z
yx
x
yy
y
zx
yz
zy
zz
y
F
y
z
x
(1.19)
F
z
z
Las ecuaciones de equilibrio (1.19) estarán satisfechas, si x, y satisface la ecuación:
2
2
x
2
2
y
2
0
(1.20)
La cual se debe de cumplir en toda la sección del cilindro. Si el campo de esfuerzos satisface las condiciones de borde en la superficie xy
lateral del cilindro, T ˆ
0,
entonces se debe de cumplir: zx nx zy ny
0
(1.21)
La fuerza resultante en la dirección x, esta dado por: R x
zx
dxdy 0
(1.22)
dxdy 0
(1.23)
R
Similarmente, Similarmente, se demuestra que: R y
zy
R
De las ecuaciones (1.22) y (1.23) se afirma que en el extremo de la barra no existe fuerza resultante actuante en ambas direcciones. Sólo nos queda decir que los esfuerzos cortantes no nulos son estáticamente equivalentes a un par torsor, M z,z, igual a: M z
zy
x zx y dA
R
G x x y y dA y y R
(1.24)
La expresión anterior se puede reescribir de la siguiente manera: M z G J
(1.25)
Donde: J
x R y x y y y dA
“J” se define como la constante de rigidez a la torsión.
La ecuación (1.25) establece la relación entre el momento torsor aplicado y la cantidad de giro en la barra cilíndrica. A manera de ejemplo, ejemplo, se tiene una una viga de sección sección transversal transversal elíptica tal como se aprecia en la figura 1.9
Figura 1.9 Sección transversal t ransversal elíptica Para satisfacer las ecuaciones de equilibrio (1.19), se define la función de tal manera que cumpla con (1.20):
2
1
a b
2
a b
2
2
2
2
x
2
y
2
a
ab 2
2
b
2
(1.26)
De acuerdo a la ecuación (1.24), el momento torsor es igual a: 3
M z
zy
x zx y dA
R
G a b 2
a b
3
2
(1.27)
Donde la rigidez torsional de la barra es igual a: 3
J
Ga b 2
a b
3
2
(1.28)
Y la distribución de esfuerzos cortantes (figura 1.10) de acuerdo a (1.18) es: zx
2
G a y
2
a
2
b
2
zy
2
G b x
2
a
2
b
2
(1.29)
Siendo máximo en el punto de intersección intersecci ón de la elipse con el eje mayor y mínimo en el punto de intersección con el eje menor. 2
max
2
G a b a
2
b
min
2
G b a a
2
b
2
(1.30)
Figura 1.10. Distribución de los esfuerzos cortantes en una viga de sección elíptica Finalmente la función de alabeo de la sección trasversal elíptica definida por (1.17) es: T b a 2
w
3
G a b
2
3
xy
(1.31)
Usando las ecuaciones desarrolladas anteriormente, se puede hallar una solución aproximada de la distribución de esfuerzos para vigas de paredes
delgadas en torsión pura. Considerando que las paredes son delgadas, es decir , decir , su espesor “t” “t” es es mucho menor en relación a su longitud “b” “ b” , la distribución de los
esfuerzos cortantes a través del espesor de la pared, tal como se muestra en la figura 1.11, tiene una ley de distribución de acuerdo a la ecuación (1.32).
Figura 1.11: Distribución de los esfuerzos cortantes en la pared de una viga debido a la torsión 2 M
T
J
x
(1.32)
La constante torsional J que aparece en la ecuación (1.32) para una viga de sección abierta de paredes delgadas es aproximadamente igual a: J
1 3
3
t ds
(1.33)
S
Los esfuerzos cortantes debido a torsión pura varían linealmente a través del espesor de las paredes. paredes. Como se ha visto anteriormente, anteriormente, estos esfuerzos esfuerzos cortantes depende del espesor de la pared, tomando valores máximos en las fibras externas de las paredes más gruesas. Así mismo, esta distribución de esfuerzos es equivalente a pequeños momentos torsores distribuidos a lo largo de toda la sección de la viga y son los que resisten al momento torsor aplicado El esfuerzo cortante máximo por torsión pura es: max
T J
t max
(1.34)
Donde: J, es J, es la constante torsional; T, es T, es el momento torsor actuante y; t max, es el espesor en la pared más gruesa de la sección transversal. Los esfuerzos cortantes actúan de la forma como se muestra en la Figura 1.12.
Figura 1.12. Distribución de esfuerzos cortantes en una viga de paredes de sección abierta sometida a torsión pura.
1.4 Teoría de Vlasov para torsión de vigas de pared delgada de sección abierta con restricción al alabeo. 1.4.1 Definiciones
Se define como superficie media de la viga de pared delgada, a la superficie que equidista de las caras mayores de las placas que componen la viga.
Llamaremos generatrices de generatrices de la superficie a las líneas rectas que
encuentran en la superficie media paralela al eje de la viga, sobre la cual se define la coordenada z. La intersección de la superficie media con un plano norma l a las generatrices se llama “ línea de perfil o contorno contorno” sobre la cual se define la coordenada s.
Figura 1.13. Coordenadas z y s
Figura 1.14. Superficie media de una viga de pared delgada de sección abierta
1.4.2 Hipótesis: Las hipótesis de la teoría de vigas de sección abierta, son las siguientes:
Una viga de pared delgada de sección abierta puede ser considerada como una cáscara de sección rígida (es ( es decir indeformable).
Las deformaciones deformacio nes de corte de membrana de la superficie superfic ie media, caracterizado por el cambio del ángulo entre las líneas de las coordenadas z y s, se asumen despreciables. Esto quiere decir que las líneas de las coordenadas z y s permanecen ortogonales entre sí después de la deformación.
1.4.3 Desplazamientos y Deformaciones El desplazamiento de un punto M arbitrario de la superficie media es naturalmente un vector. 1. El desplazamiento desplazamient o longitudinal, u, es positivo en Z +. 2. El desplazamiento desplazamiento transversal transversal tangencial, v, v, a lo largo de la la tangente a la línea de perfil, es positivo cuando se incrementa en s. 3. El desplazamiento desplazamient o normal se denota como: w. Estos 3 desplazamientos son funciones de z y s. De acuerdo a la segunda hipótesis, la deformación de membrana de corte se define como:
Resolviendo, Resolviendo, tenemos:
u v 0 s z
(1.35)
M
u z, s
z M 1
v ds z
(1.36)
Con la ayuda de relacion r elaciones es geométricas la ecuación (1.36) se transforma t ransforma en:
u z, s
( z).1 '( z) x( s) '( z) y( s) '( z) ( s)
(1.37)
Deformación Longitudinal:
u z
(1.38)
z, s ' z " z x s " z y s " z s
(1.39)
1.4.3.1 Área Sectorial: Se llama área sect orial al área encerrada entre el arco M’M del perfil de la sección transversal y las dos línea AM’ y AM, tal como se muestra en la figura
1.15. El área Sectorial es positiva si el radio normal AM se mueve en el sentido de las agujas del reloj visto de Z -.
Figura 1.15. Área Sectorial, Definición s
hds 2.A
sectorial
0
=
es una función que depende de s
A = Polo de las áreas áreas sectoriales sectoriales M1= Origen sectorial
(1.40)
1.4.3.2 Centro de Corte
Figura 1.16: Determinación del centro de corte Usando las expresiones para los momentos estáticos y momentos de inercia: x
y
ax d x
1
B ydA
I B y
I x 1 ay d y B xdA I y A I x I x
A
I x
(1.41)
B
El punto A se le conoce como Polo Sectorial Principal Siendo D el centroide: a x
1
J x
0 ydA
1 a y 0 xdA J y A A
(1.42)
1.4.4 Relaciones Esfuerzo – Deformación. De (1.39), la expresión para los esfuerzos normales es: z, s
E ' z " z x s " z y s " z s
(1.43)
Si las funciones x funciones x (s) e y (s) están referidos a un eje de coordenadas cuyo origen se ubica en el centroide de la sección; y la función s tiene como polo al centro de corte, entonces la ecuación (1.43) se puede reescribir de la siguiente forma:
N
M y
A
I y
x
M x Ix
y
B I w
(1.44)
(1.45)
Donde:
N 1dA EA A
M x ydA EI x A
M y xdA EI y A
B dA EI A
En la ecuación anterior B es el Bimomento y se define como la fuerza interna resultante del alabeo. El Bimomento es un sistema estáticamente equivalente a cero. I es el momento de inercia sectorial y se define como: I
dA 2
(1.46)
A
La ecuación (1.44) describe la ley general para el esfuerzo normal para la sección z= cte. de una sección transversal abierta. Los tres primeros términos de la ecuación (1.44), coinciden con las expresiones conocidas de la Resistencia de Materiales y están basadas en la ley de secciones planas ; el cuarto término determina los esfuerzos normales que aparecen debido a que la sección transversal no permanece plana.
N A
M y I y
x
Deformación Deformación
Flexión
Axial
OXZ
M x Ix
y
Flexión
B
I w
Torsión
OYZ
Ley de Bernoulli – Navier (Secciones planas)
Ley de las Áreas Sectoriales Sectorial es
Alabeo Sectorial
La ley de las secciones planas (Ley de Euler- Bernoulli) es un caso particular de esta ley generalizada (Ley de Vlassov) Se asume que los esfuerzos normales son constantes a lo largo del espesor de la pared de la viga, véase la figura la figura 1.17 (a); y los esfuerzos tangenciales varían de acuerdo a una ley trapezoidal a lo largo del espesor de la viga. Véase la figura 1.17 (b).
(a)
(b)
Figura 1.17: Variación de los (a) esfuerzos esfuerzos normales y (b) esfuerzos tangenciales tangenciales Estos esfuerzos tangenciales son equivalentes a considerar dos sistemas esfuerzos tangenciales: En el primer sistema, los esfuerzos tangencial t angenciales es varían a lo largo del espesor de la pared de acuerdo a un diagrama triangular asimétrico, asimétrico, y producen pares torsores que actúan a lo largo de la pared de la viga, véase la la figura 1.18. Estos esfuerzos cortantes se le conocen como esfuerzos cortantes primarios o de torsión pura.
Figura 1.18: Esfuerzos tangenciales que varían de acuerdo a un diagrama triangular asimétrico. Se reemplaza el momento torsional por unidad de sección (el cual depende de la diferencia de los esfuerzos tangenciales a puntos extremos de la pared) por una distribución de los momentos torsionales H K(z) sobre la sección transversal y equivalente equivalente al momento torsional por torsión pura. H K
GJ D
(1.47)
Donde: J D
1
d 3
(1.48)
3
La expresión para el cálculo del esfuerzo cortante está dado por:
H k J
(1.49)
En el segundo sistema, los esfuerzos tangenciales son constantes e iguales a la semisuma de y 1
2
, los cuales conllevan a que aparezcan flujos de corte que
actúan a lo largo de la tangente al arco del contorno, véase la la figura 1.19. A estos esfuerzos cortantes se les conoce como esfuerzos cortantes secundarios secundarios
Figura 1.19: Esfuerzos tangenciales constantes const antes a lo largo de la pared de una viga de sección abierta El flujo de corte T secundario producido por estos esfuerzos cortantes constantes se calcula por la siguiente ecuación: T
E S
(1.50)
Sw(s), es el momento estático sectorial sectorial y está definida por: s
S dA
(1.51)
0
El momento torsor secundario H originado por estos flujos de corte es igual: H
EI
B
(1.52)
La suma de los momentos torsores primario y secundario debe ser igual al momento torsor externo MT:
H
H
k
M
T
(1.53)
Combinando Combinando las ecuaciones ecuaciones (1.50) y (1.52), (1.52), la expresión expresión para los los esfuerzos tangenciales tangenciales es:
Donde
es
T
1 H
I
S s
(1.54)
el espesor de la pared.
La expresión general para el cálculo de esfuerzos cortantes, considerando no solo cargas torsionantes sino también cargas transversale t ransversaless es:
Q x Qy H S x s S s S y s Ix I I y 1
(1.55)
Donde: Qx y Qy son fuerzas cortantes, es el espesor de la pared Esta ecuación es una generalización para la determinación de los esfuerzos cortantes debido a flexo-torsión de la viga.
1.4.5 Ecuación Diferencial de Equilibrio de una barra. En la Figura 1.20, del equilibrio propuesto propuesto se obtiene las siguientes relaciones: relaciones:
Figura 1.20. Equilibrio en un elemento de viga de longitud dz
Z 0
L z dzds q z TL TK dz 0
X 0
L z cos ds dz q xdz 0
y 0
L z sin ds dz q ydz 0
dx
dy
M
0 sc
L z dz x ax sin y ay cos ds H k dz mdz 0 d
(1.56) Utilizando las expresiones (1.44) y (1.55) para el cálculo de los esfuerzos normales y cortantes y la ecuación (1.47), la ecuación (1.56) se transforma en: EA q z TL T K
p EI x iv q x TLxL TK x K x Z ds z L p iv Z EI y q y TL y L TK y K y ds z L pZ iv EI GJ d m TLL TKK ds z L
(1.57)
Si solo se considera como carga: las fuerzas transversales q x(z) y qy(z) y el momento m(z), entonces la ecuación (1.57) se transforma en:
EA 0
(a )
EI y iv qx
(b)
EI x iv q y
(c )
EI iv GJ d m
(d )
(1.58)
Las 3 primeras ecuaciones diferenciales diferenciales de (1.58) ((a), (b) y (c)), conocidas en la teoría clásica de vigas, son las que gobiernan la extensión longitudinal y la flexión transversal alrededor de los ejes principales de la sección transversal de la viga. La cuarta ecuación diferencial de (1.58) (d) es la que gobierna la torsión
con alabeo restringido para una viga de paredes delgadas de sección abierta. Tal como se observa en dicha ecuación diferencial,
posee
derivada cuarta, es
decir que, a diferencia de la teoría de Saint Venant, la variación del ángulo de torsión no es uniforme a lo largo de la viga, La condiciones de borde que se debe de considerar para resolver la ecuación diferencial (1.58)(d), considerando los diferentes tipos de apoyo se presentan a continuación en la siguiente tabla. Tabla 1.1 Condiciones de Borde a considerar para el caso de torsión con alabeo restringido.
Tipo de Soporte
Condición de Borde
Simple
0, 0
Rígido
0, ' 0
Libre
0, M T
0
CAPITULO II FLEXO - TORSIÓN DE VIGAS DE PARED DELGADA DE SECCIÓN CERRADA.
En este capítulo se presentará el caso de vigas de sección transversal cerrada de paredes delgadas, unicelulares como multicelulares, sujetas a flexión transversal y a torsión. En la primera parte se describirá brevemente las consideraciones que se han de tener para analizar la viga a flexión y para el cálculo de los esfuerzos longitudinales, ya que se realiza de manera similar al caso de vigas de sección abierta. En cambio, se pondrá un mayor énfasis en el cálculo de las fuerzas cortantes donde se discutirá la metodología para su cálculo. En la segunda parte, se estudiará el caso de las vigas sometidas a torsión. Se hará una descripción de la Teoría de Saint Venant para barras cilíndricas con cavidades y su aproximación a vigas cerradas de paredes delgadas. Luego se hará una descripción de la formulación de Braedt para vigas de sección cajón unicelular unicelular y su extensión a vigas de sección multicelular. Finalmente se hará una breve mención al caso de torsión de vigas con restricción al alabeo, que a diferencia de vigas de sección abierta, se puede considerar despreciables los efectos que pueda generar.
2.1 Flexión Transversal Transversal Para el caso caso de flexión flexión de vigas vigas de pared delgada y sección cerrada, se considera que se cumplen las suposiciones de Bernoulli – Euler, es decir, se asume que las secciones permanecen planas después de aplicadas las c argas y que las deformaciones por corte transversal son despreciables.
2.1.1 Esfuerzos Normales La distribución de esfuerzos normales debido a la flexión, utilizando las relaciones de la teoría clásica de vigas, se define como:
z
M x y
M y x
I xx
I yy
(2.1)
Donde: Mx y My son los momentos flectores producidos por las fuerzas F x y Fy; Ixx e Iyy son los momentos de inercia de la sección respecto a los ejes x e e y .
2.1.2 Esfuerzos Cortantes Flujo de Corte Utilizando la ecuación (1.29) derivada en el capítulo 1, la cual define el flujo de corte en la viga: q qi
F y I xx
Sx
F x I yy
Sy
(2.2)
Donde: Fx y Fy son las fuerzas verticales en dirección de los ejes x e y; I xx e Iyy ” y “y ” ”; Sx e Sy son los momentos de inercia de la sección respecto a los ejes “ x x ” ”. son los momentos estáticos respecto a los ejes “ x x ” y “ y ”
A diferencia de lo que ocurre en secciones abiertas, en las secciones cerradas unicelulares el flujo de corte inicial qi es diferente de cero y debe determinarse. En secciones cajón simétricas, q i toma toma el valor de 0 en el punto en que el eje de simetría corta a la sección. En el caso de que no existe un eje de simetría, se debe de introducir un corte, con lo cual el flujo de corte q0 queda queda definido como si se tratara de una viga de sección abierta, haciendo que qi = 0 en el punto de corte.
Sin embargo, embargo, al al hacer hacer esto se genera genera desplazamien desplazamientos tos relativos relativos
longitudinales longitudinales en los extremos del punto de corte. Introduciendo un flujo de corte desconocido X de tal manera que se compatibilicen los desplazamientos longitudinales longitudinales en el punto de corte, se establece la ecuación de continuidad en el punto de corte:
10
Donde:
11 X
0
(2.3)
10 , es el desplazamiento relativo de los extremos en el punto de corte;
debido a q 0, y se puede calcular mediante el principio de trabajo virtual al aplicar un flujo de corte unitario en los extremos de corte, obteniéndose la siguiente expresión: expresión : q0
Gt ds
10
(2.4)
A
desplazamiento relativo relativo de los extremos en el punto de corte; corte; 11 , es el desplazamiento debido a un flujo de corte unitario, se expresa así: 1
11
Gt ds
(2.5)
A
Figura 2.1. Desplazamiento relativo de los extremos en el punto de corte
Calculado Calculado el flujo de corte desconocido X, el flujo de corte total es igual a la siguiente expresión: q
q0
X
(2.6)
Para secciones cajón multicelular el flujo de corte es un sistema hiperestático de grado igual al número de celdas. Para resolver este sistema es necesario agregar tantos cortes como numero de celdas existan, de tal manera que se pueda calcular el flujo de corte q 0 haciendo que q i = 0 en los puntos de corte. Introduciendo en cada celda flujos de cortantes constantes desconocidos X i y
estableciendo las ecuaciones de compatibilidad, los flujos de cortes Xi pueden ser calculados resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: 11 X i 1, 2 X 2
10
i 1,i X i 1 ii X i i ,i 1 X i 1 i 0
(2.7)
n 1.n 1 X n 1 nn X n n 0
Donde: i 0 , es el desplazamiento relativo de los extremos en el punto de corte
debido a q 0 para la celda i 10
q0
Gt ds
(2.8)
i
ii ,
es el desplazamiento desplazamiento relativo relativo de los extremos extremos en el punto de de corte
debido a un flujo de corte unitario. ii
1
Gt ds
(2.9)
i
ij , es el desplazamiento relativo en el corte de la celda j debido a un
flujo de corte unitario en la celda i, y viceversa, y donde la integral solo se realiza en la pared común de las celdas i y j. y j. ij
1
Gt ds
(2.10)
i, j
Finalmente, el flujo de corte total para una viga cajón multicelular es:
qT q0
n
X i 1
i
(2.11)
Definido el flujo de corte para una viga de sección unicelular o multicelular, el valor del esfuerzo cortante en las paredes de la sección se define como:
q
t
(2.12)
Donde q es el flujo de corte y t es el espesor de la pared.
Centro de Corte Tal como se ha definido para el caso de vigas de sección abierta, el centro de corte para vigas de sección cerrada tiene el mismo sentido, es decir, es el punto en la sección transversal por lo cual atraviesa la resultante de esfuerzos cortantes. Esto significa que si la fuerza transversal pasa por este punto, la viga estará sometida a flexión pura, sin rotación por torsión. El flujo de corte q que aparece en las las paredes de la sección transversal transversal produce un sistema de cargas actuantes, las cuales son equivalentes a una fuerza y un momento resultante. Por ejemplo en la figura 2.2 se tiene una sección cajón de dos celdas. Para localizar el Centro de Corte, es necesario primero calcular el flujo de corte como resultado de cargas cortantes F x e Fy, para ello se realiza dos cortes en los centros de las paredes superiores de cada celda y luego introducir los flujos constantes por conocer X 1 y X2. Sin embargo ya que la sección es simétrica con respecto al eje X, el centro de corte se ubica sobre este eje y sería necesario solamente conocer el flujo de corte como resultado de una carga vertical Fy. La distribución de los flujos de corte X 1, X2 y q0 se muestra en la Figura 2.3 (a) y (b).
Figura 2.2. Viga cajón de 2 celdas celdas Utilizando el sistema de ecuaciones de compatibilidad (2.7) se calculan los flujos de corte desconocidos X 1 y X2.
11
2(a h)
11
Gt
2(b h) Gt
q0
Gt ds
10
12
2 bh F y
4G I xx
1
Gt ds 4G
20
I xx
2
21
h
Gt
2 ah F y
q0
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Escribiendo el sistema de ecuaciones (2.7): 2
a h Gt
h Gt
X 2
X 1 2
h
X 2
Gt
b h Gt
2 bh F y
4G
I xx 2
X 2
20
ah F y 4G
(2.16)
I xx
Resolviendo Resolviendo el sistema (2.16) se calcula los flujos de cortes constantes X1 y X2: X 1
X 2
1 4 1 4
h 2b b h ah F y t 2
4 a h b h h I xx h 2a a h bh F y t 2
(2.17)
4 a h b h h I xx
El sistema de fuerzas verticales resultantes del flujo de corte resultante de la combinación de q 0, X1 y X2 debe ser igual a la carga vertical F y. El momento resultante de las fuerzas resultantes respecto al punto medio de la pared intermedia es: 2
M
2ahX1
2bhX 2
h t
3b 12
2
3a
2
h(a
b)
Fye
(2.18)
Donde e es la excentricidad de la fuerza F y. El centro de corte está localizado en eje a una distancia de la pared vertical intermedia e: e
M
F y
(2.19)
Figura 2.3. (a) Distribución de los flujos de corte Xi desconocidos (b) Distribución del flujo de corte q 0
2.2 Torsión. Formulación de Braedt para secciones del tipo cajón 2.2.1 Cajón Unicelular
(a)
(b)
Figura 2.6: (a) Sección Cajón del tipo unicelular (b) Esfuerzos cortantes en un elemento de pared de la sección
Para el caso de un tubo de pared delgada cuyo espesor t puede variar en la sección transversal, a lo largo de s, el equilibrio en el sentido vertical es: .t
Luego: d .t.t
d t dt .t d .t
0 ; entonces:
.t = constante = q = flujo de corte
(2.20)
Figura 2.7. Esfuerzos cortantes para una viga de sección cerrada. Tomando como polo del radio vector r en el centro de torsión, el momento torsor resultante del flujo de corte es igual a:
C
C
M T rt qds q r t ds 1
r ds AC 2 C t M T 2 AC q
q
M T 2 AC
Las deformaciones deformaciones cortantes cortantes en las paredes paredes del tubo siguiente figura:
(2.21)
se muestran en la
Figura 2.8. Deformaciones Deformaciones cortantes de membrana membrana Deduciéndose Deduciéndose que: Deformación Cortante Total
Deformación Cortante debido a la torsión
1
Donde
1
2
dv
t
d x
rt . .dx dx
r t
es el giro por unidad de longitud
Deformación Cortante debido al alabeo
2
dv d x
Donde v es es el desplazamiento longitudinal del alabeo Entonces:
r t
dv d s
(2.22)
dv Gt rt El flujo de corte resulta: q .t G t Gt ds
Integrando a lo largo del contorno del tubo: q Gt
r t
s
q
0
Gt
ds
dv ds
s s dv dv r s r s d d 0 t ds 0 t 0 ds ds
v v0
s
s
q
0
Gt
ds
s
r ds 0
t
(2.23)
Si la integración se realizara a través de todo el contorno de la sección, es decir v – v0 = 0, entonces: q
Gt d s .2 A
0
q
ds
c
Pero: q
M
2 A
t
d s
q
2 AcG
(2.24)
t 2 AcG
; entonces:
c
ó
d dz
M
T
d dz
d s
2
4 Ac G
t 2
M
T
donde
J
GJ
T
T
4 Ac
(2.25)
d s t
Combinando Combinando las ecuaciones (2.23), (2.21) y (2.25) se obtiene: s ds v v0 0 t ds t
(2.26)
Donde: s
r ds
(2.27)
t
0
La expresión entre paréntesis de la ecuación (2.26) se le conoce como la función de alabeo para una sección cajón:
ˆ
ds
s
ds
0
t
(2.28)
t
Para una sección transversal tipo cajón tal como se aprecia en la figura 2.9(a), la distribución de la función del alabeo está definida por sus valores 2 .(figura 2.9 (b)). ˆ
1 ˆ
y
1
et a
ˆ
2
2 1 ˆ
J T 4bt t
ab
ˆ
2
J T
(2.29)
2at v
Figura 2.9. (a) Sección Transversal Transversal tipo Cajón (b) Distribución de la función función del alabeo ˆ
2.2.2 Sección Cajón Multicelular
(a)
(b)
(c)
Figura 2.10. (a) Tubo con un alma intermedia (b) Unión de almas (c) Flujo de corte en las 2 celdas. De acuerdo a la figura 2.10, del equilibrio de flujos de corte en el punto B, se obtiene: q1 q2 q3
o q3
q q
q1 q2 q3
o
q q
1
2
(2.30)
(2.31)
Y en el punto A: q3
1
2
En cada celda se debe de cumplir la siguiente condición de equilibrio:
2 M T
d s
i
i 1, 2
Ai
K
(2.32)
Donde Ai Ai es es el área encerrada por la línea media de cada celda i, K es la rigidez torsional de la viga multicelular y M T es el momento torsor aplicado. Por compatibilidad, la variación del ángulo
a
lo largo de la longitud de la viga es
igual tanto para cada celda i como como para toda la sección. Es decir: d dz celda celda i
d
dz
M T GJ T
(2.33)
Debido a que el flujo f lujo de corte es constante, entonces:
d s
Celda i
q
t Celda i
ds
q s
t ds
(2.34)
Paredes s
Es decir para la celda 1:
d s q1
1
AB
d s q1
1
AB
d s q1
1
1
ds t ds t d s t
q3 BA
ds t
pero: q3 q1 q2 ,
,
ds
q1 q2 BA
q2 BA
t
ds t
Igualmente Igualment e para la celda 2:
2
d s q2
2
d s
t
q1 AB
ds t
Entonces utilizando las condiciones de equilibrio se llega al siguiente sistema de ecuaciones:
q1
d s
t
1
ds
q2
t
BA
ds
q1 AB
2 M
Haciendo un cambio de variable qi
q1
d s
t
1
q1
T
qi
(2.35)
A2
A1
t
BA
AB
K
ds
q2
q2
t
T
, el nuevo sistema sería:
J T
ds
2 M
t
2
A1
K
ds
q2
t
2 M T
ds
t
2
(2.36)
A2
Resolviendo la ecuación (2.36) se determinan los valores para qi . Se debe entonces de cumplir el equilibrio entre las fuerzas internas y actuantes, y utilizando utilizando el cambio de variable qi
2 M T qi
J T
2
2
A q n 1
i
i
se tiene:
M T
2
(2.37)
J T 4 Ai qi n 1
Y el flujo de corte en cada celda queda expresado por la siguiente ecuación: M T
qi qi
2
2
(2.38)
Ai qi n 1
Siguiendo este procedimiento podemos generalizar para una sección multicelular formado por “n” celdas tal como se muestra en la figura 2.9:
Para la celda k se cumple que: B
qk
A
d s
t
C
qk qk 1
qk 1 k 1
B
d s
t
qk k
ds
t
ds
t
D
qk C
qk 1 k
ds
t
ds
t
D
qk qk 1
2GAk
C
ds
t
2GAk
(2.39)
Figura 2.9: Sección Transversal de una viga de “k” celdas El sistema de ecuaciones se cumple para todo k = 1,…, n
El momento Torsor externo es igual a: n
M T 2 Ak qk
(2.40)
k 1
Realizando el cambio de variable: qk
qk
2G
(2.41)
El sistema de ecuaciones (2.39) se rescribe de la siguiente manera:
qk 1
k 1
d s
t
qk k
ds
t
qk 1 k
ds
t
Ak
(2.42)
Resolviendo el sistema (2.42), se puede calcular la constante torsional para la viga cajón multicelular de acuerdo a: n
J T 4 Ak qk
(2.43)
k 1
El momento torsor total es igual a: M T
Y el flujo de corte en cada celda:
GJ T
(2.44)
qk 2G qk
M T J T
qk
(2.45)
2.2.2.1 Ejemplo de Aplicación Se tiene la sección transversal transversal de una viga multicelular, multicelular, tal como se observa en la figura 2.10
Figura 2.10. Sección Transversal de una viga de dos celdas Del sistema de ecuaciones, calculamos qk
k
1
q1
k
2
2
a h t
q1
h
t
q2
2
q2
h t
a h t
ah
bh
Resolviendo el sistema anterior:
q1
ht 2a b h bh aht bh t b h ah 4 a h b h h 4 a h b h h ht 2b a h ah 2 a h bht ah t 4 a h b h h 4 a h b h h 2
2
2
2
2
2
2
q2
La rigidez torsional es igual a: J T 4 A1q1 A2q 2
8h
t ab a b h a b
2
4ab 4
2
a b h 3h
Obteniéndose como resultado resultado los flujos f lujos de corte para cada celda:
2
2
h
q1
b h bh 4h ab a b h a b
q2
a h ah 4h ab a b h a b
2a
2
2
h
h
2b
2
2
M T
M T
2.3 Flexo-torsión de vigas de pared delgada de sección cerrada con restricción al alabeo. Benscoter (1951) desarrollo una teoría general para el análisis de los esfuerzos secundarios producidos debido a la torsión no uniforme de vigas de sección cajón, siendo posteriormente extendida para el análisis de vigas cajón multicelular. Para una sección cajón simple se tienen las siguientes suposiciones. 1. Las sección transversal es constante y indeformable indeformable en su propio plano plano 2. Los esfuerzos son constantes constantes a través del espesor espesor de las paredes. paredes.
3. El desplazamiento de alabeo se asume que tiene una distribución transversal transver sal básica tal como ocurre en la teoría de Saint Venant.
2.3.1 La Ecuación Diferencial del Alabeo Torsional La variación del alabeo es definida por la función
f z
, entonces la función de
alabeo será: w f ˆ
(2.46)
Donde es definida por (2.28). El esfuerzo normal entonces se define de la ˆ
siguiente manera:
E
dw dz
(2.47)
Y el esfuerzo cortante es:
dw dv d s dz
G
(2.48)
Siendo
v
h ,
h es la distancia del centro de corte a la recta tangente al perfil
de la sección transversal. En un elemento infinitesimal de la viga, se debe de cumplir el equilibrio de las fuerza internas, es decir: d
d
dz
0
ds
(2.49)
La ecuación diferencial que gobierna este estado de deformación de alabeo restringido, se escribe a continuación: continuación: 2
Et
w z
2
2
Gt
w s
2
2
Gt
v sz
0
(2.50)
Utilizando las funciones f y θ, la ecuación anterior puede ser escrita de la siguiente manera: 3
EI ˆ
3
d f 3
dz
GI d
df dz
M T
(2.51) 2
E ' I d M T EI 3 GI d . M T GI c dz 2 dz dz d
d
ˆ
(2.52)
ˆ
Donde: Segundo Momento de Alabeo: dA 2
I
ˆ
ˆ
(2.53)
A
Segundo Momento Central de Área: I
c
h
2
dA
(2.54)
A
Y el coeficiente: 1
I T I C
Estas funciones f y θ, se relacionan de la siguiente manera:
(2.55)
d
T
dz
GI GI C
df
dz
(2.56)
2.3.2. Determinación de Esfuerzos: 2.3.2.1. Esfuerzos Normales Combinando las ecuaciones (2.46) y (2.47), el esfuerzo normal queda definido como: E f
(2.57)
ˆ
La fuerza resultante de estos esfuerzos de alabeo, el Bimomento, es igual a:
B A EI f ˆ
ˆ
(2.58)
ˆ
A
Derivando la ecuación (2.51) y combinándola con la ecuación (2.58), se obtiene la ecuación diferencial con B como incógnita. 2
d B 2
dz
2
k B
dT dz
(2.59)
Donde: GI k
d
EI
(2.60)
ˆ
El esfuerzo longitudinal de alabeo es:
B
ˆ
I
(2.61)
ˆ
2.3.2.2 Esfuerzos Cortantes Flujo de Corte El flujo de corte consiste en dos partes. La primera equilibra el torque externo y la segunda esta en equilibrio con los esfuerzos longitudinales resultantes del alabeo. q q1 q2
(2.62)
Flujo de Corte Primario q1
M T 2 A
(2.63)
Donde MT es el momento torsor externo y A es el área encerrada por la línea media de la sección cajón. Flujo de corte secundario dB
S B B q2 dA C dz S C I I 0 I s
ˆ
ˆ
ˆ
Donde
S
(2.64)
ˆ
ˆ
ˆ
es el momento estático para una sección cajón. La constante de
ˆ
integración C se obtiene por la condición de nulidad del torque producido por el flujo de corte secundario, secundario, entonces: C
1
S
2 A A
hds
(2.65)
ˆ
Para una viga cajón de sección rectangular, la constante C esta dado por: C
1 ˆ
4
1 1 At 3 Av 5 4 3 Ab
(2.66)
Donde At, Ab y Av son las áreas de las paredes superior, inferior y vertical respectivamente; respectivamente; y se define como:
La variación de
S
At 3 Av Ab 3 Av
(2.67)
a lo largo de la seccion transversal se presenta en la figura
ˆ
Entonces el flujo de corte total t otal sería: q
T 2 A
S B' *
I
*
(2.68)
Se debe indicar que si bien en viga de sección abierta, los esfuerzos secundarios producidos por la restricción del alabeo son importantes, siendo incluso del mismo orden o superior que los esfuerzos considerados por la teoría de Saint Venant, no sucede lo mismo en vigas de sección cerrada. En efecto, estos esfuerzos secundarios son de un orden de magnitud inferior a los esfuerzos de Saint Venant, por lo que para secciones cerradas, el análisis de la torsión de secciones cerradas rigidas con restricción al alabeo no se ha considerado analizar con mayor detalle.
CAPITULO III EL PUENTE DE DOS VIGAS Y LOSA BAJO LA ACCION DE CARGAS DE TORSIÓN.
3.1 Planteamiento del Problema En el diseño de los puentes de vigas y losas, rectos y simétricos, se requiere colocar la sobrecarga de diseño por vía
de trafico en las posiciones
transversales más desfavorables, lo cual origina tener cargas actuando asimétricamente respecto al eje del puente. El reglamento AASHTO LRFD para el diseño de puentes (2007), trata esta situación como un problema de distribución lateral de cargas entre las vigas que conforman la superestructura, y presenta métodos de análisis detallados solamente para el caso de 4 o más vigas. Para secciones transversales de una viga tipo cajón, o puentes de 2 o 3 vigas, vigas, con un ancho “b” “b” de la sección sección transversal en
relación a la luz “L” del puente, b<= 0.25 L, el Reglamento considera que se pueden analizar como una gran viga simple sometidas a flexión y torsión, pero no presenta mayores detalles, y lo cual puede resultar en adoptar procedimientos muy conservadoras o deficientes en determinar los efectos de flexión y de torsión. En el presente capítulo se estudia con detalle el comportamiento de la superestructura de un puente compuesto por una losa y dos vigas de concreto, cuya sección transversal se muestran en la figura 3.1 para una luz de 30m y un ancho de calzada de 8.30m.
Figura 3.1. Sección Transversal de un puente de dos vigas
La práctica más común, basada en el uso del factor de concentración de cargas, es asumir que el tablero está simplemente apoyado apoyado sobre las vigas y bajo la acción de dos camiones de diseño HS20 dispuestos en la posición transversal mas desfavorable a 0.60m del sardinel y manteniendo su posición dentro de cada una de las dos vías de tráfico (Figura 3.2).
Figura 3.2. Distribución de los camiones en la sección transversal La acción de las cargas externas es equivalente a una carga centrada de 16P para los ejes mas pesados y un momento de torsión externo igual a M T = 16P*e, donde e es la excentricidad de la carga. Debido a esta posición transversal de las cargas, las reacciones en cada una de las vigas serian de R1
(4P)
2.618(4 P ) , para la viga mas cargada y de
R2
(4P) 1.382(4 P )
para la viga menos cargada. De acuerdo a este criterio cada viga deberá ser diseñada para soportar, en flexión y en corte transversal, una línea de ruedas multiplicada por el factor R 1, lo cual significa que los momentos de torsión producidos por las cargas de torsión serian equilibrados por los flujos de corte transversal (correspondientes a un factor
)
en las vigas debido a la flexión
diferencial entre ellas. Según este criterio no se producirían esfuerzos cortantes de torsión en las vigas.
Un modelo simple alternativo de análisis es asumir que los momentos de torsión son tomados como torsión pura por el conjunto de dos vigas, y cuyos esfuerzos cortantes cortante s de torsión podrían ser calculados de acuerdo a la Teoria de Saint Venant para secciones abiertas sin restricción al alabeo. Se tiene así dos modelos simples para determinar los esfuerzos que se producen por efecto de las cargas de torsión anteriormente mencionadas: el primero considera que las cargas torsionantes son tomadas por flexión y corte transversal diferencial, diferencial, el cual asume una sección transversal totalmente flexible, produciendo esfuerzos cortantes cortantes máximos (P = 1.82 tn) de 3.0 kg/cm2 y de flexión máxima de 53.70 kg/cm2 , mientras que según el segundo modelo solo se producirían esfuerzos cortantes máximos de torsión de 5.2 kg/cm2, bajo la suposición de una sección transversal rígida y torsión sin restricción al alabeo longitudinal. La solución real será algo intermedio entre estos dos modelos simples, y es lo que se trata de investigar en este capítulo mediante métodos de análisis más completos como son la teoría de Vlasov (1961) para la torsión con alabeo restringido de secciones abiertas rígidas, la teoría de placas plegadas para estudiar los efectos de la distorsión o flexión transversal de la sección transversal, y finalmente el método de Elementos Finitos. En el presente análisis, a fin de facilitar la obtención de los resultados, se considera la aplicación de cargas de torsión de variación sinusoidal sobre cada una de las vigas, asumiendo además la existencia de diafragmas rígidos en los extremos del puente.
3.2. Teoría de Vlasov para una sección abierta rígida de dos vigas y una losa. En el capítulo I se establecieron las bases y ecuaciones diferenciales que gobiernan la Torsión de Vigas de Pared Delgada de sección abierta desarrollada por Vlasov basada en la Ley de las Áreas Sectoriales, y la cual asume que la sección transversal abierta es indeformable en el sentido transversal. Las propiedades geométricas de la sección transversal se presentan en la tabla 3.1. Asimismo, de acuerdo a lo expuesto en el capítulo I, se determina la distribución distribución de la función del alabeo (Tabla 3.2), basado en las aéreas sectoriales tomando como polo el centro de corte y se presenta en la figura 3.3.
Tabla 3.1. Características Geométricas de la Sección Transversal
Tabla 3.2. Distribución de la función de alabeo
Figura 3.3. Distribución de la función de alabeo de acuerdo a la tabla 3.2. La distribución del momento estático
S a
lo largo de toda la sección transversal,
calculada de acuerdo a (1.51), se muestra a continuación en la tabla 3.3 y en la figura 3.4
Tabla 3.3 Distribución del momento estático S
Figura 3.4. Distribución del momento estático
S
La ecuación diferencial que gobierna la torsión con alabeo restringido del puente de sección abierta compuesto por dos vigas y una losa, y sometido a una carga x de torsión sinusoidal igual a m w b sin tal como se observa en la figura L 0
3.5, es mostrada a continuación:
x L
EI iv GJ d w0b sin
(3.1)
Donde: E, G son los módulos de Elasticidad y de Corte respectivamente Jd es el modulo de rigidez a la torsión según Saint Venant I es
el momento de inercia al alabeo (warping)
es el giro de la sección alrededor del centro de giro o de corte
Figura 3.5 Cargas sinusoidales aplicadas al puente de dos vigas y una losa. Las condiciones de borde para la viga simplemente apoyada de acuerdo a la tabla 1.1 son:
z 0 0 z 0 0
z 30 0 z 30 0
El ángulo
tendrá
(3.2)
la siguiente variación: x L
0 sin
(3.3)
Reescribiendo la ecuación (3.1) de la siguiente manera: iv
k "
w0b EI
sin
x L
(3.4)
Donde: k
GJ d EI
(3.5)
Introduciendo la derivada segunda y cuarta de (3.3) en (3.4), se determina el valor de
0 .
Entonces la solución de la ecuación diferencial (3.1) es: 2
w0b L
1
GJ d 2
1 kL
2
sin
x L
(3.6)
De acuerdo a las ecuaciones (1.47) y (1.51), los momentos de torsión Primario (Saint Venant) y Secundario (debido a la restricción del alabeo que origina flujos de corte verticales en las vigas), son: H K
GJ D w0b
H EI
L
1
1 kL
w0b
2
cos
1
k L
1 kL
2
2
x L
cos
x L
(3.7)
(3.8)
Utilizando los siguientes datos: Longitud del puente L = 30 m Ancho entre vigas vigas b = 5.5 m Amplitud de la carga w0 = 10 ton Sección de Análisis x = 0 (Momentos Torsores Máximos) Y reemplazando en las ecuaciones (3.5), (3.7) y (3.8), se obtiene: k 0.114 H K 285.032 Tn.m
(3.9)
H 240.179 Tn.m
De acuerdo a (1.53) la suma de H K
H K
H
H debe
525.211
ser igual al momento torsor M T. Tn.m
(3.10)
Para x = 0, este momento torsor es el resultado de multiplicar las reacciones en los apoyos debido a las cargas sinusoidales por la distancia entre ellas, que para este caso sería la separación entre las vigas longitudinales. Estas reacciones tienen sentidos opuestos y son iguales a: R
Y el momento torsor M T es:
wo L
95.392 Tn
(3.11)
M T
El bimomento de alabeo
B de
w0 Lb
Tn.m
525.211
(3.12)
acuerdo a la ecuación ecuación (1,45) para x = 15, donde
es máximo, es:
B
EI
wb 0
2
k
1
2 1 kL
seno
x L
2293.540
Tn.m
(3.13)
Y a partir del Bimomento se puede obtener los esfuerzos longitudinales de flexión en las vigas y la losa como resultado de la restricción al alabeo longitudinal.
B I
(3.14)
La distribución de los esfuerzos longitudinales en la sección transversal para x = 15 m se presenta en la tabla 3.4 y en la figura 3.6. Tabla 3.4. Distribucion de los esfuerzos longitudinales debido a la restricción del alabeo
Figura 3.6 Distribucion de los esfuerzos longitudinales debido a la restricción del alabeo
Y la distribución de los esfuerzos cortantes debido a la restricción del alabeo en la sección transversal para x = 0: Tabla 3.5. Distribución de los esfuerzos cortantes debido a la restricción del alabeo para x = 0
Figura 3.7. Distribución de los esfuerzos cortantes debido a la restricción del alabeo para x = 0 Los principales resultados numéricos que se pueden conocer de acuerdo a esta teoría son los siguientes:
Giro máximo en el centro de luz = 0.0102 rad
Esfuerzo máximo de corte vertical en las vigas = 56.784 Tn/m2
Esfuerzo máximo de corte de torsión = 581.24 Tn/m2
Esfuerzo longitudinal máximo en el centro de luz= 852.121 Tn/m2
3.3 Análisis de un puente de dos vigas y una losa usando el método de las placas plegadas. En esta sección utilizaremos el método de las placas plegadas para realizar el análisis de un puente cargado con cargas sinusoidales asimétricas tal como se aprecia en la figura 3.5. Para ello se comenzará dividiendo la sección transversal en dos partes iguales mediante un corte longitudinal en su eje. Ver figura 3.6
Figura 3.6. Sección Transversal seccionada por un corte longitudinal en el eje del puente El centroide de la mitad de la sección transversal se encuentra a una distancia u h de la línea media de la pared vertical, y a u z de la línea media de la losa. La carga w y las fuerzas cortantes vertical V y horizontal q tienen la siguiente forma: x L x V V 0 sin L x q q0 cos L w w0 sin
Las flechas verticales producidas en el punto C debido a:
(3.15)
a. La carga w w
w0 L4
sin
4
x
EI v
L
(3.16)
Donde I v es el momento de inercia de la viga longitudinal respecto al eje horizontal b. y el cortante V: V
V0 L4 4 EI v
sin
x
L
(3.17)
c. La rotación de la sección: 2
x bL sin GJ d 2 L V 0
(3.18)
d. El cortante cortant e V en el volado de losa l
V0b
3
sin
x
24 EIlosa
L
(3.19)
e. Al momento momento flector flector producido producido por por el cortante q: q
L3 q0
3 EI v
uz sin
x L
(3.20)
Por compatibilidad, el desplazamiento vertical total del punto C debe de ser igual a cero: C 0
(3.21)
Usando las ecuaciones (3.16), (3.17), (3.18), (3.19) y (3.20) en (3.21), se obtiene L4 P0
4 EI v
L4 V0
4 EI v
L2 a 4 V0
2
4
GJ d
a 3V 0 24EIlosa
L3 q0u z
3 EI v
=0
(3.22)
Asimismo, en el punto C debe existir la compatibilidad de deformaciones deformaciones unitarias en el sentido longitudinal por efecto de las cargas w y las fuerzas cortantes V y q. Las deformaciones unitarias en el punto C en el sentido longitudinal debidas a: a. La carga vertical w
w
L2 uz
E
EI v
2 EI v
V
MV uz
L2 uz
w
M wu z
w0
(3.23)
V 0
(3.24)
(3.25)
b. La fuerza cortante V V
E
EI v
2 EI v
c. La fuerza cortante q q
axial
E
Faxial AE
L q0
AE
d. A la flexión vertical producida por q f .vert .q
q E
M qvert uz L q0u z 2
(3.26)
L q0 b 2 uh EI h
(3.27)
EI v
EI v
e. A la flexión horizontal producida por q 2
q flexion horizontal
Por compatibilidad de deformaciones: C
0
(3.28)
Utilizando las ecuaciones (3.23), (3.24), (3.25), (3.26) y (3.27) en (3.28), se obtiene: 2
L q0 b w0 2 V0 uh 0 2 EI v EI v AE EI v EI h 2
L2 u z
L2 uz
L q0
2 L q0u z
(3.29)
Reformulando las ecuaciones (3.22) y (3.29): w0 V0
L
q0u z
2 EI v b2 L2 GJ d
4
V0
4 I v b3 L4 I losa
24
V0
0
(3.30)
2
b uh I v I v 2 q 0 w0 V0 q0u z q0 0 L
L Au z
L I losa
uz
(3.31)
Combinando las ecuaciones anteriores obtenemos la relación entre las fuerzas cortantes vertical y horizontal. horizontal.
E b 2 3 1 b 3 L GJ 4 L3 I 24 d losa V q0 0 2 b u 1 2 z Au I h uz z
(3.32)
Reemplazando Reemplazando valores en la ecuación (3.32) se obtiene: q0
(3.33)
1.473V 0
Insertando (3.32) en la ecuación (3.30) o (3.31), se calcula V 0 en función de w 0. V0 0.429w0 q0 0.632w0
(3.34)
En consecuencia, las funciones funciones V y q para w 0 = 10 tn son: V q
4.3sin
6.3cos
x L x
(3.35)
L
De acuerdo a la ecuación (3.35), el valor máximo de la cortante q en el punto de corte C se produciría en los extremos, mientras que el valor máximo para la fuerza cortante V se produciría en el centro de luz, siendo estos: qmax 6.3Ton Vmax 4.3Ton
(3.36)
3.3 Análisis de un puente de dos vigas y una losa usando el método de los elementos finitos Finalmente se tiene los métodos computacionales de software comerciales como el SAP2000, tales como el método de los emparrillados planos de vigas y el método de los Elementos Finitos que, mediante el uso de elementos tipo “shell”, permitiría modelar y analizar los diferentes sistemas estructurales
correspondientes a los puentes de vigas y losas para cualquier tipo de solicitación. El método del emparrillado tendría sus limitaciones para modelar y analizar los problemas anteriormente mencionados, mientras que en el método de los Elementos Finitos, que si permite modelarlos y analizarlos, se podría tener
ciertas dificultades en el análisis de los resultados a fin de poder separar e interpretarlos con fines de diseño. Para el análisis del puente de dos vigas longitudinales y losa, se utiliza el software SAP2000 en su versión 12. Con las dimensiones mostradas en la figura 3.1 y utilizando los elementos bidimensionales tipo “Shell”, se modela el puente.
A continuación se presenta en “extrude” la vista del puente modelado.
Figura 3.7. Vista en 3d del modelo del puente de dos vigas longitudinales y losa Los apoyos están restringidos de tal manera que la condición de simplemente apoyado se cumpla, es decir los momentos flectores producidos en los extremos son nulos. En las secciones x = 0 y x = 30 se han utilizado constraints tipo Diaphragm con Diaphragm con la finalidad que la sección no rote. Para poder cargar al puente con dos cargas asimétricas sinusoidales, se utilizó primero el comando joint patterns para asignar a cada nodo de la parte superior de la viga, el valor de carga correspondiente y luego el comando Surface Pressure, introduciendo la carga distribuida por joint patterns. patterns. Se muestra a continuación la distribución de la carga sinusoidal en la viga derecha. Entonces la viga de la derecha es cargada con una carga sinusoidal hacia abajo y la de la izquierda con una carga sinusoidal hacia arriba. La combinación de ambas cargas dará como resultado el estado de cargas t orsionales.
Figura 3.8. Distribución de la carga sinusoidal en la viga derecha Los esfuerzos longitudinales S11 resultantes se muestran a continuación:
(a)
(b) Figura 3.9. Distribución de esfuerzos longitudinales (a) en la losa (b) en las vigas
Como se aprecia en la figura 3.9, los esfuerzos longitudinales S11 son mínimos en los extremos y máximos en el centro de luz de puente, en la parte inferior de la viga, siendo su valor de 848 Tn/m 2. Los esfuerzos cortantes S12 resultantes se muestran a continuación.
(a)
(b) Figura 3.10. Distribucion de los esfuerzos cortantes S12 en (a) la losa superior (b) en la viga. Como se aprecia en la figura 3.10, los esfuerzos cortantes S12 son mínimos en el centro de luz y máximos en los extremos del puente, en la zona intermedia de la viga, siendo su valor de 548.85 Tn/m 2.
Ha de mencionarse que los valores medidos en los elementos Shell corresponden a las caras de estos elementos y no a la línea media de la pared. Es por esto que el valor del esfuerzo cortante medido en el Shell corresponde a la combinación de los cortantes por torsión de Saint Venant y los cortantes producidos como resultado de la restricción al alabeo.
CAPITULO IV TORSIÓN DE VIGAS CAJÓN RECTAS CON SECCIÓN TRANSVERSAL DISTORSIONABLE .
En este capítulo se hará una breve descripción de la teoría desarrollada en Alemania por Dabrowski (1966) para vigas rectas considerando que la sección transversal es deformable, siendo la distorsión resistida por la acción del marco de las paredes de la sección. Cuando una viga cajón es sometida a una carga distribuida, “ q”, con una excentricidad “e” del eje vertical de la sección, la fuerza aplicada puede ser
descompuesta en dos combinaciones de cargas: una simétrica y la otra anti simétrica, tal como se aprecia en la Figura 4.1 (a):
Figura 4.1. (a) Viga Cajón sujeta a una carga vertical “q” con una excentricidad “e” y su descomposición en cargas simétricas y anti simétricas; (b)
Descomposición de las cargas anti simétricas en fuerzas torsionantes y distorsionantes. distorsionantes.
Esto quiere decir que la viga sujeta a una carga excéntrica puede ser analizada por flexión (cargas simétricas) y por torsión (cargas anti simétricas). Para el caso de la torsión, estas fuerzas torsionales producen en la viga cajón un flujo de corte constante “q” equivalente a: q
T
2 A
(4.1)
Donde: T es el momento torsor aplicado; A, es el área encerrada por la línea media de la sección cajón. Este flujo de corte produce un sistema de cargas torsionantes tal como se aprecia en la Figura 4.1 (b). Sin embargo, este sistema de cargas no es equivalente al sistema aplicado (cargas anti simétricas). Para lograr el equilibrio, un sistema de cargas debe de ser introducido, siendo ésta un sistema de cargas distorsionales. El método de Dabrowski (1966) divide el análisis en dos estados. En el primer estado, la sección transversal se asume indeformable y el análisis se puede realizar de acuerdo ha como se ha explicado explicado en el el Capítulo II del presente trabajo, es decir, por flexión y por torsión pura, con una buena aproximación. En el segundo estado la sección transversal es considerada deformable bajo un sistema de cargas externas distorsionales estáticamente equivalentes equivalentes a cero que dará lugar a desplazamientos y esfuerzos longitudinales. Los resultados finales de los desplazamientos y esfuerzos serán obtenidos por superposición de estos dos estados. Las limitaciones y suposiciones para el segundo estado son las siguientes: a) La viga, es una viga cajón de una celda, de sección transversal rectangular constante en toda la longitud de la viga. b) El efecto de las fuerzas de corte distorsionales distorsionales del primer primer estado son considerados despreciables, por tanto sólo se considera las fuerzas externas distorsionales. distorsionales. c) Las deformaciones cortantes de membrana se consideran despreciables d) Las paredes de la sección sección transversal están rígidamente rígidamente conectadas conectadas en las esquinas.
e) Los esfuerzos de de flexión y deflexiones de cada pared individual individual puede ser determinada según la teoría clásica de vigas (variación lineal de los desplazamientos) y los efectos de las deformaciones de corte en las deflexiones puede ser consideradas despreciables.
4.1 Desplazamientos Desplazamientos El desplazamiento longitudinal distorsional puede ser expresado como sigue: u
d dz
(4.2)
Donde: es definido como la función de alabeo debido a la distorsión. Para el caso donde el desplazamiento es restringido, esfuerzos normales y cortantes ocurrirán en la sección cajón. Escribiendo las ecuaciones de compatibilidad:
u z u s
v
(4.3)
z
Por otra parte, usando la suposición c), es decir, la deformación por corte
,
se
considera despreciable para el caso de distorsión.
0
(4.4)
El desplazamiento en el sentido del perfil de la sección v puede ser expresado como el producto de dos funciones las cuales son: el ángulo distorsional
y z
la distancia perpendicular r(s) del centro de distorsión al perfil de la sección transversal. v( z, s)
z .r s
(4.5)
Combinando las ecuaciones (4.3), (4.4) y (4.5) podemos llegar a la siguiente relación:
s u z, s r s d s C z 0
(4.6)
Donde C es una constante de integración Observando la ecuación (4.2) podemos concluir que: s
s r s ds C
(4.7)
0
4.2 Esfuerzo Normal El esfuerzo distorsional de alabeo y el flujo de corte puede ser obtenido 2
ˆ
E
2
z
(4.8)
Dado que la distorsión no produce una fuerza axial adicional, ni momentos flectores respecto a los ejes x, y, se debe cumplir cumplir que:
N x .dA
0
A
M y .xdA
0
(4.9)
A
M x . ydA 0 A
De donde se llega a las siguientes relaciones:
2
1 y
Ab
3A
Au
3 Av
v
(4.10)
Donde: Au
La energía de deformación puede ser calculado como:
b.tu
U
Ab
b.tb
Av
h.t v
debido a los esfuerzos de alabeo distorsional
U
l
1
2 E 0 A
2
dAdz
(4.11)
Usando la ecuación (4.8) se tiene:
z 2
U
2
l
EI
2
2
dz
(4.12)
0
Donde: 2
2
I dA A
b h
2
Ab Av 2 1
48 1
(4.13)
El Bimomento ligado a esta energía de deformación es: 2
M
EI
2
z
(4.14)
Por lo que el esfuerzo normal debido a la distorsión es: M
I
(4.15)
4.3 Esfuerzos Cortantes: De la condición de equilibrio en el sentido longitudinal para un elemento infinitesimal, infinitesimal, de acuerdo a la figura 4.2, puede ser expresado por:
Figura 4.2 Equilibrio de fuerzas internas en un elemento infinitesimal
t z
t s
0
(4.16)
Con la ayuda de la ecuación (4.14), se define el flujo de corte q debido a la
distorsión como: q .t
S I
T
(4.17)
Donde el momento torsional debido a la distorsión T está definido por:
T
Y el momento estático
S
M
3
EI
z
3
z
(4.18)
de la función del alabeo distorsional está dado por: ˆ
ˆ
s
S
dA C
(4.19)
0
Para una sección cajón, el valor de la constante de integración
C
tiene como
valor: C
Debido al flujo de corte
q
5 4
1 4
At Av
3
1 Ab 3
(4.20)
, las paredes de la viga cajón experimentarán fuerzas
ˆ
cortantes verticales, V y horizontales H, cuyos valores son expresados como: h
V
q ds
0
b
H
q
0
ds
T b T
(4.21)
h
Estas fuerzas V y H originarán que la sección transversal de la viga cajón se distorsione tal como se muestra en la figura 4.2. Así, una distorsión angular
ocurriría en cada esquina de la sección. Para determinar esta distorsión angular, rótulas son insertadas en cada esquina de la sección y cajón y momentos unitarios, M 1 , son aplicados en éstos puntos. Luego podemos escribir la siguiente relación:
K .
T
Donde:
K
(4.22)
, es la rigidez a la distorsión de la sección cajón cuyo valor es el
siguiente: K
24 EI
h
1
2b
I
t
h 3 It
Ib I v
Ib Iv
6h b I t I b
2
I v
(4.23)
Siendo: t I
t
12 1
3
t
t
I
2
v
12 1
3
3
t
v
2
I
b
b
12 1
2
Donde: es el cociente de Poisson. Entonces la energía de deformación debido al esfuerzo cortante
, es:
ˆ
U
1 2
l
K
T dz
2
0
l
dz 2
(4.24)
0
4.4 Trabajo debido a una fuerza externa: Las fuerzas distorsionales q v y q h por unidad de longitud se muestra en la Figura 4.2 qv qh
De la figura 4.3, el ángulo
mT 2b
mT
(4.25)
2h
que define la distorsión de la sección transversal
está definido como:
vb vt h
wi w0 b
(4.26)
Figura 4.3. Desplazamiento y distorsión de la sección transversal El trabajo realizado por estas fuerzas esta dado por la siguiente relación: l
U E qv wb wu qh vb vt dz 0
l
0
mT wb wu 2
b
vb vt
h
U E
l
0
mT 2
dz
(4.27)
4.5 La Ecuación Diferencial para el Alabeo Distorsional La energía potencial total de deformación es igual a: U
U U
E
(4.28)
Reemplazando Reemplazando las ecuaciones (4.12), (4.24), (4.27) en la ecuación (4.28)
EI
d dz 2
l
2
2
dz
2
K
0
l
2
l
2
dz
0
m
0
T
2
dz
(4.29)
Minimizando Minimizando la energía total, es decir, haciendo: 0
(4.30)
Obtenemos la ecuación diferencial que rige la distorsión de una viga cajón. d 4
EI
4
dz
K
mT
2
(4.31)
Las condiciones de borde que se deben cumplir se muestran en la tabla siguiente, para los diferentes tipos de apoyo. Tabla 4.1. Condiciones de Borde
Tipo de Soporte
Condición de Borde
Simple
0, M 0
Rígido
0, ' 0
Libre
M
0,
T
0
Observando la estructura de la ecuación (4.31), se nota que que es similar a la ecuación diferencial que describe el comportamiento de la deflexión de la viga sobre una fundación elástica, la cual fue estudiada por Hetenyi (1946). Reformulando la ecuación (4.31), se puede escribir como: 4
d 4
dz
4
4
1 mT
EI 2
(4.32)
Donde:
K
4
4 EI
La solución para este tipo de ecuación diferencial dada por Hetenyi (1946) es: A sin z si s inh z B sin z co c osh
z C cos z si s inh z
D cos z cosh z
1 mT
(4.33)
2
K ˆ
A la cual se insertarán insertarán las condiciones condiciones de borde indicadas en en la Tabla 4.1. Para una viga simplemente apoyada, por ejemplo, se tiene: Condiciones Condiciones de Borde:
x 0
x 0
x l
x l
0 0
(4.34)
Entonces la solución de la ecuación (4.32) bajos estas condiciones de borde será:
mT
1
2 K
cosh z cos z cosh z cos z
cos l cos l
ˆ
Finalmente, calculado el valor del ángulo distorsionante
,
(4.35)
los valores de los
momentos flectores transversales m u y mb en las esquinas de la sección cajón serán:
m
u
m
b
K I I t b 1 h I t I b 4 I I 6 b t b I v K I I b t 1 h I t I b 4 I I 6 b t b I v
(4.36)
CAPITULO V FLEXO-TORSION DE VIGAS CURVAS DE SECCION TRANSVERSAL RIGIDA. EFECTO DEL ESVIAMIENTO
Me falta la introducción .. la l a estoy redactando
5.1 Sistema de Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento de una viga sometida a flexión flexión y a torsión pura son: dQ y ds dM T
ds dM x ds
q M x
r M T r
mT
Q y
(5.1)
0
5.2 Ecuaciones Generales para el Momento Flector y Torsor En la figura 5.1 se muestra una porción de una viga curva de radio r y arco central . En el extremo izquierdo se muestran las fuerzas internas iniciales, Q 0, MX0 y MT0. La viga es cargada por una carga vertical repartida q, un momento torsor distribuido m, una carga puntual P y un momento torsor puntual M T. Las ecuaciones generales para el momento Flector y Torsor en el punto A de de una viga curva están en funci en funció ón de su radio r y y del ángulo , tal como se muestra a muestra a continuación.
Q
m
Figura 5.1 Dirección de las cargas y reacciones en un viga Curva
M x
0
0
M x cos M T sin
qr
1 cos
M T
0
2
0
r sin Pr sin M T sin
2
Q r Pr cos
Q
(5.2)
mr
Q r M
qr sin M
0
0
Pr cos M T cos
T
0
x
2
qr mr
(5.3)
Las ecuaciones (5.2) y (5.3) son las ecuaciones generales para calcular el Momento Flector Mx y el Momento Torsor M T en cualquier punto de una viga 0
0
0
curva de radio r; en las mismas las fuerzas y momentos iniciales ( Q , M x y M T ) en un extremo de la viga deben de determinarse por las condiciones de borde.
5.3 Calculo de Vigas con apoyos restringidos a la Torsión En puentes puentes curvos, curvos,
los estribos estribos poseen poseen una alta alta rigidez rigidez a momentos
torsionantes en su plano, por lo que debemos considerar en el análisis la restricción de los apoyos a la torsión. Bajo estas condiciones, las vigas son, por lo general, un sistema estáticamente indeterminado.
Sin embargo, para una carga simétrica, la misma simetría ofrece una ecuación de equilibrio adicional por lo que el sistema se vuelve determinada. Como se puede apreciar en la Figura 5.2 5.2,, una viga curva de radio r sometida una carga uniformemente distribuida q, los momentos torsores M T en los apoyos se calculan calculan inmediatamente por la la condición de equilibrio que nos ofrece la simetría de la carga, y son iguales a:
Figura 5.2: Viga Curva con apoyos restringidos a la torsión sometida a una carga uniformemente distribuida q 0
M T
q.r. o .a 2 cos cos
(5.4)
2
Donde: 0 sin 2 cos a r 2 2
La reacción en los apoyos queda definida por la ecuación que sigue 0
Q
1 2
q.r r . 0
(5.5)
Como se observa, para una carga uniformemente distribuida es simple calcular el momento torsor y en la reacción en los apoyos, e introduciendo estos valores en las ecuaciones (5.2) y (5.3), se obtiene el momento flector y torsor en cualquier punto de la viga.
De la misma manera, para una viga curva cargada con un momento torsor uniformemente distribuido, el momento torsor y la reacción en los apoyos son iguales a:
Figura 5.3 Viga Curva con apoyos restringidos a la torsión sometida a un momento uniformemente distribuida m
1 M T cos 0 2
0
M
0 T
0 2
m.r cco os .d
0
m.r .tan
0 2
Q
0
0
(5.6) (5.7)
La consideración de momentos torsores iguales es de importancia ; primero, debido a que la mayoría de cargas muertas de un puente no se ubican en posiciones desfavorables en el eje del mismo y; segundo, en puentes curvos el peso propio produce momentos torsores y reacciones iguales en los apoyos. Para el caso de cargas asimétricas la viga es, como se mencionó anteriormente, estáticamente indeterminada. indeterminada. Para la resolución de este problema utilizaremos el método del trabajo virtual, tomando como redundante al momento torsor del apoyo derecho. Se debe cumplir entonces la siguiente relación: aa . X a
Donde:
a 0
0
(5.8)
: Desplazamiento del apoyo debido a un momento torsor unitario ubicado en aa
la misma posición y sentido que la redundante. a 0 : Desplazamiento del apoyo debido a las cargas externas.
Figura 5.4. Aplicación del trabajo virtual a una viga curva con apoyos restringidos a la torsión t orsión
Derivación de
aa
.
De acuerdo a la figura 5.4 se tiene: 0
M T X a 1 1
0
Q
(5.9)
r
Reemplazando la ecuación (5.9) en las ecuaciones (5.2) y (5.3), se deriva la expresiones para el momento flector y torsor que se cumple a lo largo de toda la viga en función de . 0
M X
M T
M T sin 0
Q .r
0
Q .r . sin 0
cos
0
Q .r
0
M T
1
Entonces: l
0 2
2
EI aa M T .ds M T .rd 0
0
(5.10)
EI
Derivación de
a0
aa
r 0
(5.11)
.
(a)
(b)
Figura 5.5. Derivación del del desplazamiento
a
0
(a) Fuerzas Externas (b)
Momento Torsor unitario Para:
0 0
M T
0
qr
M T Q .r 1 cos
qr
Q .r 1 cos
2
sin mr sin
(5.12)
2
sin mr sin
Para: 0 0 0
M . cos 0
Pr 1 cos
0
(5.13)
Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, anteriores , el valor de será: a0
EI
a0
1
0
M
0
0
X
0
. m .rd M . m x
T
0
0
1
T
rd
M 0
0 T
d M d T
0
EI
a0
02 2 Q .r 0 sin 0 qr 2 sin 0 2 2 M sin 0 Pr 0 sin 0 0
2
2 mr.2 si n 0 2 (5.14)
0
La expresión expresión general de la fuerza cortante Q es: 0
Q qr. tan
Por lo que el valor de EI
a
2
0
0 2
sin
0
m. tan
sin 0
0
M
2
r
.
sin
0
sin 0
(5.15)
termina siendo:
0
2
a 0 qr tan
M 0
P
0 2
Pr 0
0
sin 0
sin
mr 0 tan 0 sin 0 2 (5.16) 0
sin
0
Finalmente, utilizando utilizando las ecuaciones ecuaciones
(5.11) y (5.16) en la ecuación (5.8),
tenemos la expresión general para el momento torsor en el apoyo derecho. 2
0
X a qr
2
tan
0 sin 0 P r 0 sin 0
0 2
sin 0 (5.17) mr tan 0 M 2 sin 0
5.4 Viga curva con apoyos Esviados En este caso en particular, los apoyos ya no son radiales, es decir presentan una inclinación respecto a las líneas radiales que pasan por los apoyos, tal como se puede observar observar en la Figura 5.6. Este sistema es hiperestático con un grado de indeterminación igual a 1. Para conseguir el sistema primario estáticamente determinado, se debe establecer primero la redundante la cual será extraída del sistema indeterminado; para nuestro caso particular, se selecciona el momento torsor ortogonal al apoyo izquierdo como redundante del sistema; consecuentemente la ecuación de compatibilidad que debe cumplirse en el apoyo izquierdo se escribe como sigue:
Figura 5.6. Viga curva con apoyos esviados. aa . X a a 0
0
(5.18)
Donde: aa
: Desplazamiento del apoyo debido a un momento torsor unitario X a = 1, ubicado en ubicado en la misma posición y sentido que la redundante.
a0
: Desplazamiento del apoyo debido a las cargas externas.
5.4.1 Derivación de
aa
Considerando el sistema primario cargada por un momento torsor perpendicular al apoyo izquierdo. Retirando el apoyo y colocando la fuerza equivalente que resta, es decir la reacción vertical, la viga curva quedaría como se aprecia en la figura 5.7.
Figura 5.7. Derivación del desplazamiento del apoyo aa debido a un momento torsor X a = 1
El momento Torsor X a genera en el apoyo derecho un momento torsor y un momento flector. Podemos entonces considerar que se trata de una viga curva en volado sometida a un momento flector, un momento torsor y una carga vertical; la expresión para se escribe como sigue: aa
EI
r M d r I II III 2
aa
2
d
r I II III 2 I II 2 I III 2 II III 2
2
d
(5.19) Desarrollando la ecuación (5.19), se obtiene EI aa
sin
2
11
cos
2 sin .Q ' 13
2
. 22
2
Q ' 33
2 cos . sin .12
2 cos Q ' 23
(5.20)
Donde: ik es el valor del desplazamiento del extremo izquierdo en la dirección i cuando se le aplica una carga en la dirección k.
5.4.1.1 Cálculo de los valores ik : Con la ayuda de las ecuaciones (5.2) y (5.3), se calculan las expresiones EI
ik
para una viga curva. Para ello, se considera a la viga curva como un
volado. Según el método del trabajo virtual, el desplazamiento en un punto i debido a cargas externas es igual a: i
l
M x mx ds
0
EI
l
M T mT ds
0
EJ
(5.21)
Donde: Mx = Momento flector debido a las cargas externas mx = Momento flector debido a un carga unitaria virtual ubicada en el punto i MT = Momento Torsor debido a las cargas externas mT = Momento Torsor debido a un carga unitaria ubicada en el punto i
Por conveniencia para nuestro caso, la expresión (5.21) será modificada ligeramente para ser presentada como: EI
ik
l
0
k
i
X
X
l
M
M m ds
0
k T
i
m ds T
(5.22)
Donde: M
k
X
= Momento flector debido a una carga en la dirección k (k = = 1, 2, 3)
(Ver figura 5.8), ubicada en el punto A m
i
= Momento flector debido a una carga virtual unitaria ubicada en el
X
punto A en la dirección i (i (i = = 1, 2, 3) M
k
T
= Momento torsor debido a una carga en la dirección k (i = 1, 2, 3),
ubicada en el punto A m
i
T
= Momento torsor debido a una carga virtual unitaria ubicada en el
punto A en la dirección k (i (i = = 1, 2, 3)
ik
= Desplazamiento en la dirección k debido a una fuerza unitaria en la
dirección i = Relación entre la rigidez a la flexión y la rigidez torsional
Figura 5.8. Dirección de las fuerzas y momentos en el extremo de una viga curva
Calculando las expresiones EI ik , se tiene:
1 1 s in 2 1 1 si 2 4
EI11 r
EI
3
22
1 1 r 1 si s in 2 1 2 4
1
4
EI 33 r
1 sin 2 EI
EI
EI
(5.23)
1 12
12
2 1 2
1 2
(5.24)
1 2 sin
(5.25)
2
(5.26)
2
(5.27)
r 1 sin
r 1 sin
1 1 2 r 1 sin 2 1 sin 4 23 2
(5.28)
Reemplazando las ecuaciones (5.23), (5.24), (5.25), (5.26), (5.27), (5.28) en (5.20) se tiene finalmente la expresión para EI aa
1
r
, así:
aa
1
sin 2 rQ cos 2 1 sin 0 4
2 1 2 2 2 sin rQ cos 1 r Q 0 2 rQ cos sin 1 sin 0 2 rQ sin 2 rQ sin 1 cos 0 (5.29)
Donde la Fuerza transversal Q’ se obtiene de la Figura 5.9:
Figura 5.9. Calculo de Q’
Q
sin 2r sin
5.4.2 Derivación de a
0 2
0
0 cos 2
(5.30)
0
Figura 5.12 Derivación del desplazamiento desplazamient o del apoyo
aa
debido a un momento
a las cargas externas De igual manera que el caso anterior, la expresión para
EI
a0
M
0
M rd
aa
es:
I II III a b rd
I a I b II a II b III a III b rd
EI a 0
sin 10
cos 20
Q ' 30 30
0
A.Q
(5.31)
Donde: A sin 13
cos 23 Q ' 33
(5.32)
Y representa al desplazamiento en la dirección i del extremo izquierdo de la i0
viga bajo la acción de las cargas externas. La expresión A es independiente del tipo de carga.
5.4.2.1 Determinación de i
0
De acuerdo al método del trabajo virtual: EI
i0
l
0
0
i
X
X
l
M
M m ds
0
0
T
i
m ds T
(5.33)
Donde: M
0
X
m
i
= Momento flector debido a las cargas externas.
= Momento flector debido a una carga virtual unitaria en la dirección i
X
(i = = 1, 2, 3) M
0
T
m
i
T
= Momento torsor debido a las cargas externas.
= Momento torsor debido a una carga virtual unitaria en la dirección i (i = 1, 2, 3).
ik
= Desplazamiento en la dirección k debido a una fuerza unitaria en la dirección i.
= Relación entre la rigidez a la flexión y la rigidez torsional
Figura 5.13: Direcciones 1, 2 ,3 consideradas para el cálculo de
i0
Entonces las expresiones expresiones i para los diferentes tipos de cargas: 0
a) Debido a una carga uniformemente repartida q
1 1 3 EI10 qr 1 sin 1 sin 2 cos (5.34) 2 4 3
1
2
EI 20 qr 1 sin 1 cos 1 sin 2 4
1
2
2
1
2
EI 30 qr 1 sin cos
2
cos 1
(5.35)
(5.36)
b) Debido a una carga puntual P
Figura 5.14 Calculo del desplazamiento EI
EI
10
20
i
0
debido a una carga puntual
1 2 1 Pr 1 sin sin cos cos 1 sin 2 2 (5.37)
2
Pr
1 1 sin 1 cos 2 1 sin cos sin si 2
(5.38) EI
1 1 3 Pr 1 sin cos sin sin sin 1 cos 30 2 2 (5.39)
C) Debido a un momento torsor distribuido m
2
1
1
s in 2 1 sin EI10 mr 1 si 4 2
2
1
2
EI 20 mr 1 sin cos 1 2 3
EI 30 mr
1
1
2
sin
2
(5.40)
(5.41)
cos 1
(5.42)
d) Debido a un momento torsor puntual MT
Figura 5.15. Calculo del desplazamiento i debido a un momento torsor 0
puntual
1
2
(5.43)
1 1 Mr 1 sin cos 1 cos 2 20 2
(5.44)
2
EI
1
1 sin sin 1 sin
EI10 M T r
1
1
EI 30 M T r 1 sin cos 1 cos sin 2 2 2
(5.45)
Con la ayuda de las expresiones para ik y i , podemos escribir A y
0
a0
para
cada tipo de carga.
A r Qr cos 2
1
1
1 sin 2 1 sin 4 2
0
0
0
1 2 . Qr sin 0 0 sin 1 sin 0 1 cos 0 2
(5.46)
5.4.2.2 Carga Uniformemente Distribuida
1
2
EI a 0 qr Qr cos 2
1 2 Qr 0 2
1 sin
2
0 cos 0 1 0 sin 0
1 1 s i n 4 1 sin 0 (5.47) 0 1 0 1 0 sin 0 0 cos 0 AQ 2 cos
cos co
5.4.2.3 Momento Torsor Uniformemente Distribuido
1
EI a 0 mr Q r cos 2
2
1 sin
2
0
cos 0 1
1 Qr cos 0 1 sin 1 sin 2 0 4 1 0 0 1 sin 0 AQ 2
(5.48)
5.4.2.4 Carga Concentrada
1
2
EI a 0 Pr Qr cos 2
1
1 sin cos 1 cos 0
0
2
0
0
1 sin 0 sin 0 sin 1 sin 0 sin 0 2 1 cos 0 cos 0 1 0 sin 0 Qr sin 0 0 2 AQ
0
(5.49)
5.4.2.5 Momento Concentrado
1
EI a 0 Mr Qr cos
2
1
2
s in 0 cos 0 1 0 cos 0 1 x si
1 1 Qr sin 0 sin 1 sin 0 sin 0 1 0 sin 0 2 2
AQ
0
(5.50)
5.4.2.6 Cálculo de Q 0 En las ecuaciones anteriores, anteriores, Q0 depende únicamente del tipo de carga que está siendo aplicada a la viga. Entonces calculando el valor d e Q’ para cada caso de carga se tiene:
a. Carga Distribuida
Figura 5.16 Cálculo de Q 0 para una carga uniformemente distribuida q. 0 sin 0 Q qr tan 0 2 0 2 si s i n c o s 2 2 0
b. Momento torsor uniformemente distribuido
(5.51)
Figura 5.17. Cálculo de Q 0 para un momento torsor uniformemente distribuido
0
0
Q m tan
2
(5.52)
c. Carga Concentrada
Figura 5.18. Cálculo de Q 0 para una carga puntual P. sin sin 0 0 Q P 0 0 sin cos 2 si 2 2
d. Momento Concentrado
(5.53)
Figura 5.19. Cálculo de Q 0 para un momento torsor concentrado M.
0
Q
M sin 0 2r sin
0 2
0 cos 2
(5.54)
CAPITULO VI TORSIÓN DE VIGAS CURVAS EN EL PLANO CON SECCIÓN TRANSVERSAL DISTORSIONABLE.
Dabrowski (1976) extendió su trabajo descrito en el Capítulo IV para el análisis de vigas cajón curvas en el plano con sección transversal distorsionable (Diafragma Continuo) sugiriendo un método para su análisis. El análisis será realizada en dos etapas de la misma manera como fue descrita para vigas cajón rectas. En la primera etapa, la sección transversal de la viga se considera rígida y la estructura es analizada como se detalló en el capítulo anterior. En la segunda etapa, la sección transversal es considerada deformable bajo el sistema de cargas distorsionales. distorsionale s. La solución final es obtenida de la superposición de ambos etapas.
6.1 Hipótesis y suposiciones Considerando una viga cajón curva en el plano, tal como se muestra en la figura 6.1
Figura 6.1. Viga cajón curva en el plano.
Las suposiciones básicas utilizadas en el análisis de vigas cajón rectas como medio diafragma continuo, con la excepción de considerar c onsiderar fuerzas distorsionales
adicionales debido a la curvatura en las esfuerzos de flexión, son consideradas como válidas para el caso de vigas cajón curvas en el plano. Entonces, de la misma manera que para la distorsión de vigas cajón rectas, el desplazamiento longitudinal se define como:
u z s ,
d dz
s
(6.1)
Y su distribución en la sección transversal de la viga cajón curva se aprecia en la figura 6.2.
u z, s '( z ) s
Figura 6.2. Distribución de la función de desplazamiento desplazamiento en la viga cajón curva
6.2 Derivación de la Ecuación Diferencial La ecuación diferencial que gobierna la distorsión puede ser derivada de la misma manera como se realizó para el caso de vigas cajón rectas de sección transversal distorsionable (ver Capítulo IV). En este caso, la energía potencial ( ) acumulada en la viga cajón curva es estimada por la siguiente ecuación: U
U
U
E
V
M
(6.2)
En la ecuación (6.2), la energía de deformación debido a los esfuerzos esf uerzos normales U
, la debida a los esfuerzos
U
t
y la debida a fuerzas externa
U
E
pueden ser
aproximadas con las ecuaciones (4.22), (4.24), (4.27) derivadas para vigas rectas, omitiendo la influencia de la curvatura de la viga. El termino V M es causado por las fuerzas distorsionales Mx/R producto de la influencia de la
curvatura en los esfuerzos de flexión. El trabajo realizado por estas fuerzas distorsionales puede ser escrita de la siguiente manera: L
1 M
0
2
V M
r
ds
(6.3)
Donde es un parámetro adimensional el cual modifica el sistema de fuerzas distorsionales de manera que se tome en cuenta la flexión de las paredes verticales, y esta dado por: 1
2
0
(6.4)
En el cual: 2b h
0
1
I
7h
1
10 I
b
I
w
h t
w
xx
I
u
u
2h
b
15 I
xx
b
I w
6h b I u
u
I
b I u
u
I
I
b
2
w
1
xx
3h
w
3 I
Ah h
2
b
ht
2
I
3h
u
u
hI 3hI
I
b
2
I
b
I
u
w
3h
b
2h
6h b I
u
u
I
b 2
I
b
w
3h I
u
(6.5)
I b
El valor de los momentos de inercia de las paredes superior, inferior y vertical se definen como: 3
I u
3
tu
12 1
2
Iv
3
tv
12 1
2
I b
t b
12 1
2
(6.6)
Reemplazando Reemplazando las ecuaciones (4.22), (4.24), (4.27) y (6.3) en (6.2) la expresión para la energía potencial resulta:
EI
d K L ds ds 2
L
2
2
2
0
0
M m T x 2 r 2 L
2
ds
0
ds
(6.7)
Minimizando la función de la energía potencial (6.7) resulta la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento distorsional de la viga.
4
EI
d
ds
4
K
mT
2
M x r
(6.8)
Donde: I es la constante de alabeo distorsional y está definido por: 2
2
I dA A
b h
2
Ab Aw 2 1
48 1
(6.9)
En el cual equivale a:
Au 3 Aw
A 3 Aw
(6.10)
b
Y: K
24 EI
0 h
(6.11)
Las condiciones de borde para la solución de la ecuación (6.8) están dadas en la siguiente tabla: Tabla 6.1. Condiciones de borde
Tipo de Soporte
Condición de Borde
Simple
Rígido
Libre
0, M 0 ˆ
M
0, ' 0
0,
ˆ
T
0
ˆ
Para una viga con apoyos simples, cargada con: una carga uniformemente distribuida q, una fuerza vertical (P), un momento torsor uniformemente distribuido m y un momento torsor M. La solución de la ecuación diferencial (6.8) puede obtenerse mediante el uso de series de Fourier. Expresando las cargas externas en términos de series de Fourier, se tiene:
qn sin n z
q z
n 1
mn sin n z
m z
(6.12)
n 1
Donde:
n
n
l
(6.13)
Para cargas P y M, ubicadas a una distancia z = z p, (6.12) es igual a:
qn mn
2 P
sin
l M
2
l
z
n c
(6.14)
sin n z c
Para las cargas uniformemente distribuidas distribuidas q, m: q
4q
n
n
m
n
4m
(6.15)
n
El momento flector M x también puede ser expresado en términos de series Fourier: M x
n
pn
2
n 1
n
mn
sin n z
(6.16)
r
Reemplazando las ecuaciones (6.12) y (6.16) en (6.8) y usando las condiciones de borde para una viga curva simplemente apoyada, se obtiene: z 0 0
M z 0 0
z l 0
M z l 0
(6.17)
la solución también es expresada como series de Fourier:
n sin n z n 1
Donde:
(6.18)
n
n mn m p n 2 n 4 r n n r 2 K b 1 4 1
(6.19)
Los valores de los momentos transversales en las esquinas de la sección cajón está dada por:
m
u
m
b
K I I u b 1 h I u I b 4 I I 6 b u b I v K I I b u 1 h I u I b 4 6 I I b u b I v
(6.20)
La función de alabeo se muestra en la figura 6.3 y tiene la misma distribución que en el caso de vigas cajón rectas.
Figura 6.3. Distribución de la Función de alabeo Y sus valores son: 1
bh
2
bh h
1
4 1 4 1
(6.21)
1
6.3 Esfuerzos Normales y Cortantes El valor de los esfuerzos normales distorsionales y del esfuerzo cortante es igual a:
M I q t
S I
(6.22)
T
Donde: s
S ds
(6.23)
0
El valor del Bimomento distorsional
M
y del momento torsor distorsional
T
:
2
M EI T
d ds
dM ds
2
3
EI
d ds
3
(6.24)
CAPITULO VII INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA GENERALIZADA DE VIGAS.
La Teoría Generalizada de Vigas, tiene como objetivo unificar y extender las diferentes teorías convencionales convencionales para el análisis de vigas de sección prismática. La misma fue derivada por Schardt (1989) como una extensión del trabajo de Vlasov, considera que la sección sección transversal de la la viga es deformable aunque sólo para secciones abiertas sin ramificaciones y secciones cajón unicelular. Camotim et al (2008) extendieron el trabajo de Schardt para el análisis de vigas de sección arbitraria. En este capítulo se realizará una descripción de las etapas involucradas para el análisis de una viga de paredes delgadas. En la primera parte se describirá con detalle, la derivación del sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el estado de deformación de la viga. Luego se describirá el análisis de la sección transversal con la finalidad de obtener las propiedades características y los métodos de solución de la ecuación diferencial. Finalmente se utilizará un ejemplo para comparar los resultados obtenidos por este método con un modelo realizado en el programa basado en elementos finitos SAP2000.
7.1 Derivación de la Ecuación Diferencial 7.1.1 Sistema de Coordenadas El sistema de coordenadas a utilizar esta representado en la figura 7.1 7.1,, donde el eje X está ubicado a lo largo del eje de la viga y el eje s, a lo largo de la línea media de la sección transversal. La viga está compuesto de una serie de paredes delgadas rectangulares (numero de paredes = q), de espesor constante (t). Se denominará denominará nodos de la sección sección transversal a los los puntos de su línea media, localizadas en el borde longitudinal de una pared o en una línea de pliegue. Una sección abierta que posee q paredes entonces tendrá q + 1 nodos.
(a) Figura 7.1.
(b)
Sistema de coordenadas coordenadas asumidas para (a) una viga de sección abierta (b) un elemento infinitesimal de la sección
7.1.2 Hipótesis Asumidas: La formulación de la Teoría Generalizada de Vigas (GBT por sus siglas en ingles: Generalised Generalised Beam Theory) está basado en las siguientes siguientes suposiciones: suposiciones: a) Las hipótesis de Kirchhoff Kirchhoff son validas validas para cada placa placa quienes forman la viga, lo que significa adoptar la teoría de placas delgadas. Por lo tanto, las fibras normales a las línea media se mantienen normales, rectas e inextensibles a la línea media (deformada) durante el proceso de deformación. ( xz sz 0 y
zz
0 ).
b) Las componentes de deformación deformación de membrana membrana que se mantienen son las extensiones longitudinales ( ). Las deformaciones por corte y las M
xx
extensiones ( ss M
ssM
transversales
de
membrana
son
despreciables.
0)
De acuerdo a estas suposiciones, las expresiones que relacionan las deformaciones cinemáticas con los desplazamientos de la línea media son: M xx F xx
F xs
zw, xx
F
ss
u, x
z.w, ss
2 z.w, s
(7.1)
Uno de los métodos usados en el análisis de placas, es la de expresar los componentes del desplazamiento como el producto de dos funciones: una función que dependa de x (coordenada del eje de la viga) y la otra, de s (coordenada de la línea media de la sección transversal). Esto con el fin de obtener una representación de los desplazamientos que sea compatible con las Teorías Clásicas de Vigas. u
v
w
x, s
x, s
u
s
x
x
,
x, s
v
s
w
(7.2)
x
s
x
La clave en la formulación de la Teoría Generalizada de Vigas está relacionada con la alternativa y conveniente forma de escribir las ecuaciones (7.2), lo cual envuelve los siguientes aspectos: a) Expresar los desplazamientos desplazamientos de la línea media, media, v (s) (s) y w (s) (s) en términos del desplazamiento longitudinal u(s), un procedimiento el cual es posible debido a las simplificaciones anteriores (Todas de naturaleza geométrica). b) Asumir que u(s) es una función que varía linealmente en cada placa que conforma la sección transversal. Esta suposición implica que u(s) está completamente definido por sus valores nodales:
u s u s
u s
k
(7.3)
k
Donde uk(s) es una función lineal de s que posee como valor a la unidad en el nodo k y y cero en los demás nodos (Función Elemental de Warping). u(sk) es el valor del warping en el nodo k y y se aplica la convención de suma para el subíndice k . Al ser funciones lineales, podemos representar de forma vectorial, siendo los elementos del vector, los valores que toman estas funciones en los nodos.
u
u ,
u k
1
0,
, ur , ,1,
, un , 0
1
(7.4)
De esta manera, podemos considerar que la función u(s) es una combinación lineal, siendo uk(s) una base de vectores linealmente independien tes.
Este
procedimiento
conlleva
a
“discretizar”
la
configuración de la deformada de la sección transversal en un número de modos igual al número de nodos, con el warping nodal como variables desconocidas o en otras palabras como Grados de Libertad (GDL). Entonces los componentes de los desplazamientos definidos por las ecuaciones (7.2) adoptan la siguiente forma:
v x s w x s
u x s
,
,
,
x v s x w s x uk s
k x ,
k
(7.5)
k
k
k
A las ecuaciones anteriores se aplica la convención de suma para el subíndice k ( 1 k q 1, n es el número de placas que conforman la viga), y k
x .
u sk
7.1.3 Relaciones Desplazamiento – Deformación Combinando las ecuaciones (7.5) y (7.1), se obtiene: xx
u
k
z .wk . k , xx
z .wk , ss . k
ss
xs
(7.6)
2 z .wk , s . k , x
De acuerdo a la teoría de la elasticidad, las relaciones constitutivas para un elemento isotrópico se definen como:
E 1 E 1 0
E 2
xx
ss
xs
1
2
xx
E 2
1
2
0
0 G 0
Combinando las ecuaciones (7.6) y (7.7), se obtiene:
ss
xs
(7.7)
xx ss
E 1
2
uk z.wk k ,xx z
2
uk z.wk k ,xx z
E 1
E 2
Q
12
.wk .ss . k
2
Q
22
.wk .ss . k
1
E 1
(7.8)
xs 2Gz wk ,s . k ,x
7.1.4 Principio del Trabajo Virtual 7.1.4.1 Variación en la Energía de Deformación: La variación de la Energía de Deformación del elemento , es decir el trabajo virtual de las fuerzas internas ( δ U ), envuelve los términos relacionados con el trabajo virtual realizado por: a) Las esfuerzos esfuerzos normales longitudinales longitudinales b) Los esfuerzos normales transversales c) Esfuerzos normales en el plano “ xs xs” Entonces, se tiene: U
xx ss ss xs xs dzdsdx U xx U ss U xs
(7.9)
xx
L b t
Donde las deformaciones virtuales se definen como:
u
xx
ss
xs
k
z .wi . i , xx
z .wi , ss . i
(7.10)
2 z .wi , s . i , x
Introduciendo las ecuaciones ecuaciones (7.8) y (7.10) en (7.9), se tiene lo siguiente:
a. Trabajo Virtual realizado realizado por los esfuerzos normales longitudinales U xx
L
xx xx dzdsdx E Cik1 Cik2 k ,xx G Dik2 k i ,x
L b t
0
L
E Ci1k Ci2k k ,xxx G Di2k k ,x i 0 E Ci1k Ci2k k ,xxxxi G Dik2 k ,xx i dx L
(7.11)
Donde: Bik 1
Cik
1
12 1
2
wi , ss wk ,ss ds
b
tui uk d s b
2
Cik
1
t w w ds 12 1
3
i
2
k
(7.12)
b
1
Dik
1
t w 3 3
i ,s
wk ,s ds
b
2
Dik
E
12G 1
2
ww i
k ,ss
ds
b
Esta última ecuación expresa el trabajo virtual realizado por los esfuerzos normales longitudinales.
b. Trabajo Virtual realizado por los esfuerzos normales transversales: U ss
ss dzdsdx
ss
L b t
La
G D 2
ki
k , xx
EBikk idx
(7.13)
L
ecuación (7.13) expresa el trabajo virtual realizado por los esfuerzos
normales transversal t ransversales. es.
c. Trabajo Virtual realizado por los esfuerzos cortantes en el plano xs: U xs
L
xs xs dzdsdx G Dik1 k , x i
0
L b t
G D dx 1
ik
k , xx
i
(7.14)
L
La ecuación expresa el trabajo virtual virtual realizado realizado por los esfuerzos esfuerzos cortantes cortantes en el plano xs. Finalmente, reemplazando reemplazando las las ecuaciones ecuaciones (7.11), (7.13) y (7.14) en la ecuación (7.9), se obtiene la expresión que define l a variación de la Energía de Deformación del elemento ( δ U ) : U
EC EC ik
k , xxxx
GDikk ,xx EBikk i dx
L L
ECikk , xxx G Dik Dik k , x i 0 ECik k , xx GDik k i ,x 0 1
2
L
2
(7.15)
Donde: 1
Cik
Cik
Dik
Dik
1
2
C ik
2
Dik
2
Dki
(7.16)
7.1.4.2 Trabajo Virtual realizado por las cargas externas: Consideremos una carga externa general aplicada por unidad de superficie, q(x,s) = q, tal como se indica en la Figura 7.2.
Figura 7.2 (a) La carga general q, (b) Componentes de la carga q en las direcciones x, s y z. El trabajo virtual realizado por las cargas externas aplicadas ( δ Π ) se obtiene sumando trabajos realizados por las componentes de la carga q (q x, qs y qz) asociado a los desplazamientos virtuales du, y dw respectivamente du, dv y dw respectivamente..
q x u qs v qz w d sdx
(7.17)
L b
Introduciendo (7.5) en (7.17)
L
qi dxi qxui 0
(7.18)
L
Donde: qi
q v q w q s i
L
z
i
ui
x x ,
(7.19)
7.1.5 Ecuaciones de Equilibrio y Condiciones de Borde De acuerdo al principio del trabajo virtual, la variación de la energía de deformación ( δ U ) debe ser igual al trabajo virtual efectuado por las cargas externas. Entonces igualando las ecuaciones (7.15) y (7.19), y dado que la función es arbitraria, se tiene: U
(7.20)
Sistema de Ecuaciones de Equilibrio: Cikk xxxx
,
Dik k xx
,
Bik k
qi
(7.21)
Con condiciones de Borde:
EC
G Di1k Dik2 k ,x q ui i
EC
GD k ,x i ,x 0 0
ik
ik
k , xxx
k , xx
u
L 0
0
L
2 ik
(7.22)
La expresión (7.21) establece el sistema de ecuaciones diferenciales que rigen el estado de deformación, siendo (7.22) las condiciones de borde que deben de cumplirse.
7.2 Análisis de la l a Sección Transversal Un aspecto único en la Teoría Generalizada de Vigas radica en la forma por la cual el campo de desplazamientos de la viga es aproximada (discretización de la sección transversal), es decir, las funciones de forma uk, v k y w k son seleccionadas. seleccionadas. Esta selección involucra involucra los siguientes pasos: i)
Selección sistemática de un juego de “ funciones iniciales de forma ”.
ii)
Determinación
de
un
juego
de
funciones
mecánicamente mecánicamente
significativas conocidas como “funciones finales de forma” .
7.2.1 Funciones Iniciales de forma Consideraciones para la formulación de las funciones: a) Se considera un elemento infinitesimal infinitesima l de la viga de longitud d x d x , limitado por dos secciones transversales localizadas a x = x = x 0 y x y x = x = x 0 + d x .
b) La viga cuya sección transversal está formada
por n paredes
rectangulares, es discretizada discretizada en :
n + 1 nodos naturales
m nodos intermedios, totalizando un total de N = n + m + 1 nodos.
Como se ha enunciado anteriormente, las funciones v k y w k se expresan en función de uk, mediante relaciones netamente geométricas, por lo que es necesario únicamente seleccionar un juego de funciones iniciales uk, quedando las demás automáticamente definidas secuencialmente, es decir, que para obtener las funciones w k sólo será posible si se definen primero las funciones v k.
7.2.1.1 Evaluación de uk Las funciones elementales de warping u k, de acuerdo a las hipótesis consideradas, son funciones lineales. Estas funciones resultan de imponer secuencialmente desplazamientos axiales unitarios en cada nodo natural, mientras que en los demás nodos naturales se considera desplazamiento nulo, es decir: 1 nodo r k k 1... n 1 0 nodo r k
urk
(7.23)
Ya que la sección transversal está dividida en n + 1 nodos naturales, entonces tendremos n + 1 funciones iniciales de desplazamiento axial.
Figura 7.3. Funciones elementales de warping u k
Representando a estas funciones en forma matricial, llamamos
U a
la matriz
que contiene dichas funciones. Para el caso en que la sección transversal contiene solamente nodos naturales, esta matriz
U sería
de orden (n (n+1) x (n (n+1)
de la siguiente forma. u
u
1
1 2 3 U r n 1 n n 1
u
2
u
3
u
r
n 1
u u n
1
1 1 1 1 1 1 1
n 1
1
(7.24)
7.2.1.2 Evaluación de v k En razón a que las deformaciones de membrana por corte se consideran despreciables (Hipótesis de Vlasov), cada función elemental de warping está asociada a una función de desplazamiento transversal v k (s). Vlasov (1962) utilizó ésta hipótesis para expresar el alabeo de la sección transversal en función de los desplazamientos en el plano de la sección transversal. En nuestro caso, será al contrario: expresaremos el desplazamiento en el plano en función del alabeo o warping . Véase la figura 7.4 De acuerdo a Vlasov, para un elemento infinitesimal de longitud dx = 1, se cumple lo siguiente: M
v s u 0 x s
(7.25)
La derivada del warping en la dirección de “s” se expresa en función de los
valores del alabeo de cada nodo, es decir: u s
u
r 1
u
b
r
r
(7.26)
Figura 7.4. ………………………………………………………………………. Combinando Combinando las ecuaciones (7.25) y (7.26) se obtiene: v x
v
r,x
u
u
r 1
s
Para cada función de warping
u
b
r
(7.27)
r
ur (s), (s), la correspondiente función de
desplazamiento en el plano v r r(s) ( s) es una función constante, debido a que
ss
0.
Entonces en cada pared i , el valor de v k(s) está dado por: vkr s
Donde
bi y ui son
ur
br
(7.28)
el ancho y el desplazamiento relativo de warping del nodo
final respecto al inicial de la pared i . (s ) 7.2.1.3 Evaluación de la función w r r (s
Las funciones w k(s), originadas por imposición de funciones elementales de desplazamiento axial o warping , se obtienen luego de asegurar:
La compatibilidad compatibilidad entre los desplazamientos desplazamientos transversales en el plano v k(s) y w k(s)
Continuidad Continuidad en la rotaciones por flexión w k,s k,s en todos los nodos de la sección. Es decir se debe cumplir que las funciones 2
dw ds y
2
d w ds sean continuas.
En la figura 7.5, se muestra la configuración de la deformada de la sección transversal en x = x 0 + dx en relación a la sección transversal en x 0, debido a la compatibilidad compatibilidad de desplazamientos desplazamientos transversales, transversales, para una función ur impuesta.
Figura 7.5 . …………………………………………………………………… En consecuencia, la determinación de cada función w k(s) requiere de la solución de un problema estáticamente indeterminado de placas plegadas donde los momentos transversales están en equilibrio independientemente independientemente de las fuerzas f uerzas y momentos longitudinales. Esto se realiza utilizando el método de los desplazamientos o de las rigideces donde el giro de los nodos son las incógnitas. Es decir que el elemento tridimensional de longitud d d x x es analizado en esta etapa como un pórtico. Obtenido los ángulos de giro de los nodos, la función w k para la pared i queda definido por: w s N1.wi N 2 wi 1 N3i N4 11
(7.29)
Donde: 2
3
x x N 1 3 2 1 b b 2 x x 2 N x 1 b 2 b 2
N
3
N
4
x x 3 2 b b x 2 x x b b
(7.30)
7.2.1.4 Nodos Intermedios Con la finalidad de considerar efectos locales como la flexión de las paredes de la sección transversal, una forma efectiva es la de añadir nodos intermedios, es decir nodos que se encuentran entre los nodos naturales. Esto involucra realizar ciertas modificaciones al análisis de la sección transversal, de tal manera de no ver afectado su efectividad. Por cada nodo intermedio se debe de generar funciones elementales de flexión siendo estas funciones cúbicas. Estas se forman al imponer secuencialmente secuencialmente un desplazamiento unitario
w r
1 en
el nodo intermedio y en cada nodo extremo, y
fijando el desplazamiento w en en los demás nodos, induciendo a un nuevo estado de deformación tal como se aprecia en la Figura 7.6. Utilizando el método de los desplazamientos, se puede calcular el valor de los ángulos en cada nodo como resultado del estado de deformación, por lo que la función w(s) queda definida. Cabe decir que este nuevo juego de funciones elementales de flexión sólo genera desplazamiento en el plano de la sección transversal, mas no desplazamiento longitudinal
Figura 7.6. Función elemental de flexión La matriz U también debe ser modificada cuando existan nodos intermedios añadidos. En el caso en que la sección transversal posea m nodos intermedios, la matriz U seria de orden (n+m+1) x (n+1), y los valores de los desplazamientos axiales um se calcularían mediante interpolación de los desplazamientos axiales de los nodos naturales:
Relacionando los desplazamientos axiales y la magnitud de la sección en la figura 7.7, se obtiene:
Figura 7. 7. ………………………………………………………………… u m ui
b1 b2 hi
u u
·
i
j
(7.31)
Por lo tanto, todas la funciones uk(s), v k(s) y w k(s) pueden ser expresados en términos de funciones elementales de warping y de flexión conocidas, cuyas amplitudes son los grados de libertad iniciales de la sección transversal discretisada. Una vez que las “funciones iniciales de forma” sean conocidas, las matrices de
acuerdo a la ecuación (7.12), son fácilmente calculadas de manera mecánica, consumiendo tanto tiempo como esfuerzo computacional necesario. Sin embargo, todas estas matrices están llenas (es decir todos los elementos que conforman las matrices no son nulas), lo que implica que la ecuación de equilibrio (7.21) sea altamente acoplada, acoplada, por lo que complica la tarea de encontrar la solución. Adicionalmente, los componentes de varios tensores carecen de significado físico, incluso en el caso más trivial como es en la flexión. En tal sentido, con el fin de utilizar todo el potencial del GBT, un sistema alterno de ecuaciones, lo mas desacoplado posible, debe ser considerado. Esto se logra mediante: i.
Diagonalización Diagonalización simultanea de las matrices [C ik] y [Bik].
ii.
La identificación de un juego de n + 1 funciones de warping ortogonales uk
iii.
Definición del sistema de ecuaciones de equilibrio (7.21) y las condiciones de borde (7.22) en el espacio vectorial definido por las funciones uk(s).
7.3 Diagonalización simultanea de las matrices [Cik] y [Bik]. Dado que las matrices elementales [C ik], [Bik] y [Dik] que conforman el sistema de ecuaciones diferenciales diferenciales lineales es altamente acoplado, es necesario realizar el desacoplamiento mediante descomposición modal. Como la diagonalización simultánea de [C ik], [Bik] y [Dik] no es posible, se procede a diagonalizar las matrices [Cik], y [Bik]. En el caso isotrópico, los elementos que no pertenecen a la diagonal son muy pequeños respecto a los elementos que sí pertenecen, por lo que se les considera despreciables. La diagonalización simultanea de las matrices de rigidez de warping (desplazamiento axial) y de flexión, [C ik] y [Bik] respectivamente, implica los siguientes pasos: a. Solución del problema de valores propios:
B
ik
Donde se obtiene
1 4
i)
0y
n 1
Cik uk
5
0,
0
(7.32)
los cuales dan lugar a:
n - 3 diferentes vectores propios uk(s) (k = 5, …, n+1) (Modos de Distorsión)
ii)
Un espacio 4- dimensional definido por 4 vectores propios, propios, asociado a los modos de cuerpo rígido (extensión, flexión alrededor del eje mayor y menor y torsión) y ortogonales a los otros n-3 vectores propios. Los vectores propios que definen este espacio vectorial están asociados a valores propios nulos. Esto origina un infinito número de correctas soluciones. Por lo que en estos vectores, los modos de cuerpo rígido se encuentra mezclados o acoplados; [C ik]4x4 se encuentra totalmente llena.
b. Identificación del vector u4 ( s) , relacionado al modo torsional, teniendo en cuenta que la sub matriz D 4x4 de la matriz de rigidez a la torsión D ik es
diagonal con D
44
0
y
D11
D22
D33
0.
Para ello se realiza una
diagonalización mediante el método de Jacobi involucrando a las matrices [Cik]4x4 y [D ik]4x4. Mediante esto se logra separar el vector
u
( ),
4 s
dejando los vectores u 1 a u3 aun acoplados. c. Identificación de los vectores
u
( ) , usando para ello la submatriz 3x3
13 s
de segundo orden [K jik], el cual es diagonal con
K 22
Finalmente el sistema definido por los vectores propios
0,
y
uk ( s ) da
K 33
0.
a lugar a
las matrices diagonales C ik y Dik totalmente t otalmente definidos. Donde:
K jik
tu j
C v v i
s
j
wi wk ds
jj
De esta manera, se desacopla el sistema (7.21) obteniéndose las matrices [C ik], [Bik] y [Dik] diagonales, en donde sus elementos poseen significado mecánico.
SOLUCION ECUACIONAL
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Application
and
examples , examples,
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