8. Diseño de experimentos De Taguchi, Mezclas y Diseño Central Compuesto 1
8A6. Diseño de Experimentos de Taguchi
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8A6. Diseño de Experimentos de Taguchi
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Diseño de experimentos de Taguchi Sugiere tres pasos que son: a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son: a) Identificar qué factores afectan la característica c aracterística de calidad calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad. b) Definir los niveles optimos en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible. c) Identificar factores que no afecten substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.
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DISEÑO DE EXPERIMENTOS Taguchi ha propuesto una alternativa no del tododiferente que se que conoce como Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales. La
herramienta son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar.
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Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes.Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal . Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó: La (b)C Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas. a =
Ejemplo :
L4
No. (a) 1 2 3 4 1 ,
2
A 1 1 2 2 =
F A C T O R E S (c) B C 1 1 2 2 1 1 2 1
Resultado Y1 Y2 Y3 Y4
Niveles de los Factores (b) , Contrastes.
Experimento de 2 niveles y 3 factores por lo que se requieren 4 pruebas . En la matriz se pueden observar los contrastes de cada factor , formando las columnas de los factores ; (1) significa que el factor esta a su nivel bajo (-) y (2) a su nivel alto o de signo (+).
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Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles: La. Número de factores o efectos maximo que se pueden analizar y número de columnas
Número de condiciones experimentales(renglones) lineas o pruebas.
L4 L8 L12 L16 L32 L64
3 7 11 15 31 63
4
8 12 16 32 64
Ejemplo: En un proceso de formación de paneles, una característica no deseada es la emisión de formaldehido en el producto final. Se cree que 5 factores pueden estar afectando la emisión, éstos son : Factor Descripción Nivel I Nivel 2 A Tipo de resina Tipo I Tipo II B oncentración 5% 10% C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 seg D Humedad 3% 5% E Presión 800 psi. 900 psi. Se desea analizar el efecto de cada factor y proponer las mejores condiciones de operación. En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 factores o efectos, a dos niveles cada
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uno. Por lo tanto, se utilizará un arreglo ortogonal L .
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Se ejecutarán por lo tanto 8 pruebas o condiciones experimentales, ¿ A qué columna especificamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna, aunque se recomienda que aquellos factores que en la pr actica sea más dif icil de v ariar de nivel continuamente, sean los que se asigne a las primer as columnas. El arreglo L8 y su descripción para este caso se muestra a continuación:
No. 1 2 3 4 5 6 7 8
A 1 1 1 1 2 2 2 2
B 1 1 2 2 1 1 2 2
C 1 1 2 2 2 2 1 1
D 1 2 1 2 1 2 1 2
E 1 2 1 2 2 1 2 1
e 1 2 2 1 1 2 2 1
e Resina 1 Tipo I 2 Tipo I 2 Tipo I 1 Tipo I 2 Tipo II 1 Tipo II 1 Tipo II 2 Tipo II
Concen. 5% 5% 10% 10% 5% 5% 10% 10%
Tiempo Humedad Presión Yi 10 seg. 3% 800 psi. 0.49 10 seg. 5% 900 psi. 0.42 15 seg. 3% 800 psi. 0.38 15 seg. 5% 900 psi. 0.30 15 seg. 3% 900 psi. 0.21 15 seg. 5% 800 psi. 0.24 10 seg. 3% 900 psi. 0.32 10 seg. 5% 800 psi. 0.28 7
Observe que los factores Resina, concentración, tiempo, humedad y presión fueron asignados en orden a
las columnas A, B, C, D, y E. En las columnas restantes, F y G no se asignó ningún factor y nos servirán para tener una estimación del error aleatorio. Esto se explica porque con ocho observaciones tenemos siete grados de libertad, como estamos interesados únicamente en cinco factores quedan dos grados de libertad para el error aleatorio. El análisis de variancia de los resultados es:
A1 = Total de lectur as con el factor A a su nivel 1 = 0.49 + 0.42 + 0.38 + 0.30 = 1.59 A2 = Total de lectur as con el factor A a su nivel 2 = 0.21 + 0.24 + 0.32 + 0.28 = 1.59
SSA = Suma de cuadr ados debido al factor A
SSA = (A2 - A1)2 /8 = 0.3645 con 1 g.l
Similarmente : SSB = (B2 - B1)sq/8= 0.00080 con 1g.l SSC = (C2 -C1)sq/8 = 0.01805 con 1g.l SSD = (D2 -D1)sq/8= 0.00320 con 1g.l SSE = (E2 - E1)sq/8= 0.00245 con 1g.l Sse1 = (F2 - F1)sq/8= 0.00080 con 1g.l, 1a. Columna de error F Sse2 = (G2 -G1)sq/8= 0.00045 con 1g.l 2a. Columna de error G Las sumas de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor se toman como asignaciones del error, en este caso SSF y SSG se consideran como error y se obtiene: Sse = SSF + SSG = 0.00080 + 0.00045 = 0.00125 con 2g.l.
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La tabla ANOVA es :
Efecto
SS A
G.L.
V
B C D E Error
0.03645 0.0008 0.01805 0.0032 0.00245 0.00125
1 1 1 1 1 2
Total
0.0622
7
Fexp. 0.03645 0.0008 0.01805 0.0032 0.00245 0.000625
% Contrib. 58.32* 57.59 1.28 0.28 28.88** 28.01 5.12 4.14 3.92 2.93 7.03 100
* signif icante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51 ** signif icante al nivel 10% ya que F0.10 (1,2) = 8.16 Nota : No se incluye en esta tabla específicamente la suma de cuadrados del promedio o media. El error total es la suma de cuadrados total corregida por el factor de corrección.
Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio a fin de obtener una mejor estimación del error aleatorio, (con mayor número de grados de libertad). 9
En éste caso, por ejemplo, la estimación de Sse es : Sse = SSB + SSD + SSE + Sse = 0.00080 + 0.00320 + 0.00245 + 0.00125 Con , 1 + 1 + 1 + 2 = 5 grados de libertad.
Y (Ve) = (Sse) /5 = 0.0077
= 0.0077
/ 5 = 0.00154
Al nivel 5%, el valor crítico de tablas es F 0.05 (1,5) = 6.607877 Las estimaciones que se obtienen de esta forma se suelen escribir entre paréntesis. Fc para el factor (A ) = 23.66 y Fc para el factor (C) = 11.72, comparando ambos contra Fcrítico = 6.6, continuan siendo significativos los factores A y C Los promedios de la emisión de Formaldehido para cada nivel son:
Efecto A B C D E
Nivel 1 A1avg. = A1/4 =0.3975 B1avg =0.3400 C1avg =0.3775 D1avg =0.3500 E1avg =0.3475
Nivel 2 A2avg. = A2/4 =0.2625 B2avg =0.3200 C2avg =0.2825 D2avg =0.3100 E2avg =0.3125 10
Diseños de experimentos Taguchi El promedio global es _ Y = (0.3975+ 0.34+ 0.3775+ 0.35 + 0.3475+ 0.2625+ 0.32+ 0.31+0.3125)/ 10 = 0.33
Sí únicamente los factores A y C son significativos, estos factores deberán fijarse al nivel que minimice la emisión de Formaldehido, ésto es A2 y C2; resina tipo II y 15 segundos como tiempo de prensado. El resto de los factores se fijará a su nivel más económico, ya que no afectan la característica de calidad dentro del intervalo analizado ¿Cuál será el nivel esperado de emisión ?, el efecto de cada factor respecto al promedio general es: EF A = A2 - Y = 0.2665 - 0.33 = -0.06435 EF C = C2 - Y= 0.2825 - 0.33 = -0.0475 Y el efecto estimado bajo las condiciones A2 y C2 es
EF A + EF C + Y = -0.0635 - 0.0475 + 0.33 = 0.219
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1
2
3
Diseños de Taguchi Si las lecturas no siguen un orden secuencial, o se toman en otra prueba bajo las mismas condiciones se le conoce como Replica. Taguchi considera dos tipos de error aleatorio con lecturas multiples:
Lecturas
Error Primario. (e1). Error que existe entre las diferentes condiciones de experimentación, aparte del efecto de los factores en si. Es decir lo que hace diferentes a las lecturas bajo diferentes condiciones de experimentación. Error Secundario (e2). Aquel que hace diferentes las lecturas tomadas bajo una misma condición experimental. Cuando se toma una lectura no es posible evaluar el error secundario.
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Ejemplo: Considere que el acabado superficial de un proceso de maquinado, medido en picos/plg. Se puede ver afectado por cinco factores que son: Factor A B C D E
Descripción Tipo de lubricante Tipo de corte Angulo de corte (en grados) Velocidad de corte (r.p.m.) Avance (cm/min)
Nivel I Nivel 2 Tipo I Tipo II Continuo Intermitente 25° 35° 100% 1200% 1 1.5
Dado que se tienen 5 factores, se necesitan por lo menos 5 grados de libertad, se usará por l o tanto un arreglo ortogonal . Los factores se asignarán en orden, a las primeras cinco columnas .
No. A B C D E F G 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2
1 15 16 22 18 25 23 19 17
Resultados 2 17 15 21 20 24 27 17 16
3 18 15 24 18 22 20 16 18 Total
Total Resultados 50 46 67 56 71 70 52 51 463
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La suma de cuadrados del total es:
SST = 7 Yi2 - T2 / n donde 7 Yi2 es la suma de lecturas individuales al cuadrado.
n es el número de lecturas y T es el total de las Yi¶s. Para este caso : 2
2
2
2
2
2
2
SST = 15 + 17 + 18 +««««..17 + 16 + 18 - 463/24 SST
=
278.9584 con 24 - 1 grados de libertad.
El error secundario se calcula individualmente
Sse2 = Y12 + Y22+ Y32 - T2i / ni Por ejemplo para el experimento i = 1 se tiene: Sse2 = 15*15 + 17*17 + 18*18 - (15 + 17 + 18) 2 / 3 = 4.6666 Y así se continua para cada uno de los restantes 7 experimentos obteniéndose la tabla de la página siguiente.
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Condición 1 2 3 4 5 6 7 8
SSe2 4.6667 0.6667 4.6667 2.6667 4.6667 24.6667 4.6667 2.000
Total SSe2 = 48.669 El error primario es localizado en las columnas F y G ¿por que?. SSe1 = SSeF + SSeG
SSe1 = 4.08334 con 2 gr ados de libertad La suma de cuadrados de los factores se calcula de la misma manera que ya se conoce.
SSA = (A2 -A1)2 / n SSA = 26.04167, SSB =
y así sucesivamente para todas las columnas, 5.04167««...
Finalmente recordemos que suma de cuadrados del error primario, secundario, primario y de los efectos es igual a la suma de cuadrados total 278.9586.
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Reglas de Análisis: 1.-Antes de la ANOV A el primer críterio es probar el error 1 e1 v s. el error 2 e2 . Sí no resulta significante se adicionan y se obtiene una estimación del error aleatorio ³e´, contra el que se prueban todos los demás factores. 2.- Sí el error 1 es significativo, entonces todos los factores se prueban contra el. 3.- Realizar la ANOV A.
Prueba de e1 vs e2 Fexp = e1/e2 = 4.08334/2 / 48.666/16 Fexp para e1 = 0.6712 con 2 gL en el numerador y 16 en el denominador.
El F de tablas con (0.05, 2, 16) = 3.63; por lo t anto los errore s se suman = 52.7500
4.08334 + 48.6667
La tabla ANOVA queda como: Efecto
SS A
B C D E Error Total
26.0417 5.0417 176.0417 12.0417 7.0417 52.7500 0 278.9583
G.L.
V 1 1 1 1 1 18
Fexp. 26.0417 5.0417 176.0417 12.0417 7.0417 2.9306
8.8863 1.7204 60.0711 4.1090 2.4028
23.0000
Dado que F tablas con (0.05, 1, 18) = 4.41, sólo los efectos A y C son significantes al nivel del 5%. Sólo lubricante y ángulo de corte
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Nota: Sí las lecturas provienen de ³Replicas´, no se puede diferenciar el error 1 y 2, por lo que se adicionan sin más tramites. Regla del pulgar . Sí la Fc = Fexp. es menor a 2, no es signif icante.
Arreglos con Inter acciones. Al analizar una característica de calidad con n factores se tiene la posibilidad de que interactuen entre si y se afecten positiva o negativamente. En ese caso la interacción pasa a ocupar una columna en los arreglos ortogonales, como si fuera otro factor. Se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan las columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales.
Gráf icas Lineales. Para ayudar en la asignación de factores en las columnas de un arreglo G. Taguchi diseñó las gráficas lineales cuyo objetivo es simplificar el diseño del experimento y evitar patrones indeseables de confusión.
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Gráf icas lineales par a el arreglo ortogonal L8 Columna
A
1 2 3 Col (1) Col (2)
3 2 1 Col (3) Col
4 5 6 7 (4) Col
5 4 7 6* 1 (5) Col
6 7 4 5 2 3 (6) Col
7 6 5 4 3 2 1 (7)
1
B
3
5
2
. 7
6
4
2
3
C
5 1
4
6 7
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A La matriz triangular las columnas están remarcadas, las interacciones forman la parte interior del triangulo. Como ejemplo, sí asignamos el factor A en la columna 3 y el factor B en la columna 5, la interacción AxB aparecerá en la en la intersección de las columnas, el número 6.
B En esta gráfica se observa el arreglo de tres factores ( 1,2 y 4) y la interacción entre ellos líneas 3, 5 y 6.
C En esta gráfica se indican cuatro factores (puntos 1,2,4 y 7) y 1 No. 1 2 3 4 5 6 7 8
A
2 B
1 1 1 1 2 2 2 2
3 AXB
1 1 2 2 1 1 2 2
4 D
1 1 2 2 2 2 1 1
las interacciones en las lineas 3, 5 y 6.
5 AxD
1 2 1 2 1 2 1 2
6 AxC
1 2 1 2 2 1 2 1
7 G
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 2 1 2 1 1 2
El arreglo ortogonal es exactamente el mismo, en este caso un L8.
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Método Taguchi - Pasos
Definir factores y niveles
Factores de control (que se controlarán arreglo interno) Factores de ruido (no se quieren o pueden controlar pero se controlan durante el experimento arreglo externo)
Crear diseño de experimentos ortogonal de Taguchi Analizar el diseño de experimentos de Taguchi
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Método Taguchi Crear Diseño
Usar Stat / DOE / Taguchi / Create Taguchi Design para crear el diseño ortogonal de Taguchi 2 level Design, Number of factors (2 a 7) - 3
Designs
L8
Factors (opcional para cambiar nombres de factores y niveles; Assign columns of the array as specified below) Options Store designs in worksheet
Ingresar al menos dos columnas de respuestas 21
Arreglo Externo
Arregl o Intern o A B
C
Resp1 Resp2
1
1
1
19.0
16.0
1
1
1
18.4
18.0
1
2
2
17.5
17.0
1
2
2
18.6
17.5
2
1
2
19.3
17.0
2
1
2
19.1
18.5
2
2
1
18.4
16.0
2
2
1
17.0
16.5
22
Método Taguchi Analizar Diseño
Usar Stat / DOE / Taguchi / Analize Taguchi Design para analizar los resultados Response Data are in (al menos dos columnas de respuestas) En Graphs seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations, Interaction Plots (pasar con >>) Display Interactions in Matrix o Separate Graph En Tables seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations En Options seleccionar Mayor es mejor, Nominal es mejor o Menor es mejor para las relaciones Señal / Ruido, para que en estas gráficas S/N se seleccionen los niveles que maximicen la respuesta (para minimizar la variabilidad)
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Response Table for Signal to Noise Ratios Larger is better Level
A
B
C
1
24.9490
25.1379
24.7692
2
24.9302
24.7412
25.1099
0.0188
0.3967
0.3408
Delta Rank
3
1
2
Response Table for Means Level
A
B
C
1
17.750
18.1625
17.4125
2
17.725
17.3125
18.0625
0.025
0.8500
0.6500
Delta Rank
3
1
2
Response Table for Standard Deviations Level
A
B
C
1
0.98789
1.17022
1.16700
2
1.03722
0.85489
0.85810
Delta
0.04933
0.31533
0.30890
Rank
3
1
2
24
Main Effects Plot for Means
A
18.2
Main Effects Plot for Standard Deviations
B
C
A
B
C
1.17
18.0 1.09 n a e M
17.8
v e D t
1.01
S
17.6 0.93
17.4 0.85 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Main Effects Plot for S/N Ratios
A
25.15
B
C
25.05 o i t a R N / S
24.95
24.85
24.75 1
2
1
2
1
2
25
Método Taguchi Predicción de respuestas
Usar Stat / DOE / Taguchi / Predict Taguchi Results para predecir las respuestas en base a niveles de factores seleccionados como óptimos Seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations
En Terms pasar todos los términos con >> En Levels seleccionar Uncoded units (valores reales) o Coded units (1 y 2) y Select levels from a list (niveles usados OK , se mostrarán las respuestas estimadas por concepto 26
Diseños de experimentos con Mezclas Las
proporciones de los componentes debe sumar la unidad
27
8A8. Diseños de mezclas
Los
factores independientes son proporciones de diferentes componentes de una mezcla Cuando las proporciones tienen la restricción de sumar la unidad se pueden utilizar modelos de estructura Simplex o Simplex con centroide Cuando además algunos componentes tienen la restricción adicional de tener un valor máximo o mínimo los modelos a utilizar son los de Vértices extremos 28
8A8. Diseños de mezclas
Un diseño de estructura Simplex para q componentes cuya proporción puede tomar los niveles m+1 igualmente espaciados entre 0 y 1
Xi = 0, 1/m, 2 /m, ...., 1 para i = 1, 2, ..., q
Para una mezcla de q = 3 componentes donde el número de niveles igualmente espaciados para cada componente es m + 1 = 4 (X1 = 0, 0.333, 0.666, 1) Las
mezclas posibles con los
3
componentes es: 29
Aumento de puntos Minitab augments (or adds points to) the design using the axial points shown below. Each added point is half way between a vertex and the center of the design.
( (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, , 1/2q ) ( 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, , 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, , 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, , 1/2q ) . . . . . . . . . . . . . . ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, , (q+1)/2q ) By augmenting a design, you can get a better picture of what happens on the interior of the design, instead of just relying on points on the edges. 30
8A8. Diseños de mezclas
X1 0 0 0 0 0.333 0.333 0.333 0.667 0.667 1
X 2 0 0.333 0.667 1 0 0.333 0.667 0 0.333 0 X 2
X 3 1 0.667 0.333 0 0.667 0.333 0 0.333 0 0
Rendimiento
31
8A8. Diseños de mezclas
Las
ecuaciones de la restricción y del modelo lineal son: Puntos !
( q m 1)! m !( q 1)!
X1 X2 X3 ! 1 q
E( Y) !
§ F
i
Xi
i !1
32
8A8. Diseños de mezclas
Ejemplo: Se tienen 3 componentes y m=2 niveles, X1=polietileno, X 2=Poliestireno, X 3=polipropileno mezclados para formar fibras, de las cuales se mide la elongación en dos réplicas X1 X 2 X 3 Rendimiento 0 0 1 16.8, 16 0 0 0.5 10.0, 9.7, 11.8 0 1 0 8.8, 10.0 0.5 0 0.5 17.7, 16.4, 16.6 0.5 0.5 0 15.0, 14.8, 16.1 1 0 0 11.0, 12.4 X 2 33
Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex lattice > Designs Generates settings for the components in an experiment with a simplex lattice design. You can
Corrida con Minitab
· choose the degree of a simplex lattice design
· add a center point or axial points to the interior of the design (added by default) · replicate the design Dialog box items Degree of lattice: Choose a degree for your design from the drop-down list. Augument the design with center points: Check to add a center point to the design. Augument the design with axial points: Check to add axial points to design. See Placement of axial points in augmented designs. Replicate Design Points: Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates. Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design enter the number of replicates 34 for each point type.
Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex centroid > Designs Generates settings for the components in an experiment with a simplex centroid design. You can
· add axial points to the interior of the design (by default, Minitab adds ) · replicate the design
Dialog box items Augment the design with axial points: Check to augment (or adds points to) the base design. See Placement of axial points in augmented designs. Replicate Design Points
Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates. Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design. Then, under Number, enter the number of replicates for each point type. 35
Corrida en Minitab para el ejemplo
Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design Simplex Lattice No of components 3 En Designs:
Degree of Lattice 2 No augment design with center points or axial points No of replicates of the selected type of points
1 Vertex 2 2 Double Blend
3
En Options quitar Randomize runs OK 36
A
B
C
Elongación
0.0 0.0 Corrida en Minitab1.0 para el 0. 0. 0.0 ejemplo 0. 0.0 0. 5
5
5
Introducir las respuestas de la elongación de la fibra en función de la mezcla de los 3 componentes X1, X 2 y X 3
11.0 15.0
5
17.7
0.0
1.0
0.0
8.8
0.0
0.5
0.5
10.0
0.0
0.0
1.0
16.0
1.0
0.0
0.0
12.4
0.0
1.0
0.0
10.0
0.0
0.0
1.0
16.8
0.5
0.5
0.0
14.8
0.5
0.5
0.0
16.1
0.5
0.0
0.5
16.4
0.5
0.0
0.5
16.6
0.0
0.5
0.5
0.0
0.5
0.5
9.7
11.837
Analizar resultados en Minitab
Stat > DOE > Mixture > Simplex Design Plot Simplex Design Plot in Amounts A 1.0
0.0
0.0
1.0
B
0.0
1.0
C
38
Analizar resultados con Minitab
Stat > DOE > Mixture > Analyze mixture design Responses Elongation OK En Graphs Normal Plot ver adecuación del modelo
39
Regression for Mixtures: Elongación versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for Elongación (component proportions) Term
Coef
SE Coef
T
P
VIF
A
11.700
0.6037
*
*
1.750
B
9.400
0.6037
*
*
1.750
C
16.400
0.6037
*
*
1.750
SINERGIA
A*B
19.000
2.6082
7.28
0.000
1.750
ANTAGONICO
A*C
11.400
2.6082
4.37
0.002
1.750
B*C
-9.600
2.6082
-3.68
0.005
1.750
S = 0.85375
PRESS = 18.295
R-Sq = 95.14%
R-Sq(pred) = 86.43%
R-Sq(adj) = 92.43%
Analysis of Variance for Elongación (component proportions) Source
DF
Seq SS
Adj SS
Adj MS
F
P
5
128.296
128.2960
25.6592
35.20
0.000
Linear
2
57.629
50.9200
25.4600
34.93
0.000
Quadratic
3
70.667
70.6669
23.5556
32.32
0.000
9
6.560
6.5600
0.7289
14
134.856
Regression
Residual Error Total
40
8A8. Análisis del diseño Simplex Minitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, C Est. Regression Coefficients for Resp (component proportions) Y=11.7X1+9.4X2+16.4
Term
X3 + 17.4X1X2 + 12X1X3 ±12.2 X2X3
Coef
SE Coef
T
P
VIF
A
11.70
0.4941
*
*
1.500
B
9.40
0.4941
*
*
1.500
C
16.40
0.4941
*
*
1.500
A*B
17.40
2.4207
7.19
0.000
1.500
A*C
12.00
2.4207
4.96
0.003
1.500
B*C
-12.20
2.4207
-5.04
0.002
1.500
S = 0.69881 R-Sq = 97.44%
PRESS = 11.720
R-Sq(pred) = 89.78%
R-Sq(adj)
=
95.31% 41
8A8. Análisis del diseño Simplex
Como b3 > b1 > b2 se concluye que el componente 3 produce la mayor elongación Como b12 y b13 son positivos la mezcla de componentes 1 y 2 así como 2 y 3 aumenta la elongación Como b23 es negativo la mezcla de los componentes 2 y 3 tiene efectos antagónicos en la mezcla
42
Análisis con Minitab Trace Plot Stat > DOE > Mixture > Response Trace Plot A response trace plot (also called a component effects plot) shows the effect of each component on the response. Several response traces, which are a series of predictions from the fitted model, are plotted along a component direction. The trace curves show the effect of changing the corresponding component along an imaginary line (direction) connecting the reference blend to the vertex. Each component in the mixture has a corresponding trace direction. The points along a trace direction of a component are connected thereby producing as many curves as there are components in the mixture.
Response trace plots are especially useful when there are more than three components in the mixture and the complete response surface cannot be visualized on a contour or surface plot. You can use the response trace plot to identify the most influential components and then use them for a contour or surface plot.
43
Análisis con Minitab Trace Plot
Stat > DOE > Mixture > Response Trace Plot Response -Elongation
Cox Response Trace Plot 17
A B
16 i c a g n o l E d e t t i F
C
15 14 13 12 11 10 9 -0.5
0.0
0.5
deviation from reference blend in proportion
44
Análisis con Minitab Gráfica de contornos Mixture Contour Plot of Elongaci
Stat > DOE > Mixture > Contour plot Setup OK
A
10.0
1.0
11.2 12.4 13.6 14.8
0.0
0.0
1.0
B
16.0 17.2
0.0
1.0
C
45
Análisis con Minitab Contornos restringidos Contour Plot of Elongación
Stat > DOE > Mixture > Overlaid Contour plot
A
Elongación
Response -Elongation 0.0
Contours
White area: feasible region
1.0
0.0
Lower Bound Upper Bound
Low Limit
12 High Limit 14
OK
1.0
B
0.0
1.0
C
46
12 14
Análisis con Minitab Optimización
Stat > DOE > Mixture > Response optimizer Indicar en Response Elongation En Setup indicar los valores de la respuesta óptima: Lower 10 Target 15 Upper 20
En Options indicar los valores iniciales de las variables A = 0. 3 B = 0.3 C = 0.4 La suma debe dar la Unidad OK
47
Salida del Optimizador Minitab Optimal D 1.0000
Hi Cur Lo
[ ]:A 1.0000 [0.30] 0.0
[ ]:B 1.0 [0.2692] 0.0
[ ]:C 1.0 [0.4308] 0.0
Elongaci Targ: 15.0 y = 15.0 d = 1.0000
48
Ejemplo con Diseño centroide A
C
Ymillas/galón
1.00000 0.00000 0.00000
24.5
Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design Simplex Centroid
0.00000 1.00000 0.00000
24.8
0.00000 0.00000 1.00000
22.7
0.50000 0.50000 0.00000
25.1
0.50000 0.00000 0.50000
24.3
Components Augment Axial Points No Replicates: 1 Vertex 2 2 Double Blend 1 0 Center points 2 -1 Axial point 1
0.00000 0.50000 0.50000
23.5
0.33333 0.33333 0.33333
24 .8
0.66667 0.16667 0.16667
24.2
0.16667 0.66667 0.16667
23.9
0.16667 0.16667 0.66667
23.7
1.00000 0.00000 0.00000
25.1
0.00000 1.00000 0.00000
23.9
0.00000 0.00000 1.00000
23.6
0.33333 0.33333 0.33333
24 .1
B
3
OK OK
49
Simplex Design Plot Simplex Design Plot in Amounts A 1.0
0.0
0.0
1.0
B
0.0
1.0
C
50
Ecuación de regresión Estimated Regression Coefficients for Ymillas/ga (component proportions)
Term
Coef
SE Coef
T
P
VIF
A
24.744
0.3225
*
*
1.548
B
24.311
0.3225
*
*
1.548
C
23.178
0.3225
*
*
1.548
A*B
1.514
1.8168
0.83
0.429
1.718
A*C
1.114
1.8168
0.61
0.557
1.718
B*C
-1.086
1.8168
-0.60
0.566
1.718
S = 0.46528
PRESS = 5.2730
R-Sq = 70.91% 52.74%
R-Sq(pred) = 11.44%
R-Sq(adj) =
51
Response Surface plot Cox Response Trace Plot 25
A B C
/ s a l l i m Y 24 d e t t i F
23 -0.5
0.0
0.5
deviation from reference blend in proportion
52
Gráfica de contornos Mixture Contour Plot of Ymillas/ A
23.40
1.0
23.65 23.90 24.15 24.40 24.65 24.90 0.0
0.0
1.0
B
0.0
1.0
C
53
Salida del optimizador Optimal D 1.0000
Hi Cur Lo
[ ]:A 1.0 [0.30] 0.0
[ ]:B 1.0 [0.1738] 0.0
[ ]:C 1.0 [0.5262] 0.0
Ymillas/ Targ: 24.0 y = 24.0 d = 1.0000
54
8B1. Diseños de superficie de respuesta
55
8B1. Superficie de respuesta
Un modelo de primer orden es el siguiente:
y ! F 0 F 1 x1 F 2 x 2 ...F k x k I
Su gráfica de contornos son líneas rectas que nos permiten seguir experimentando en la trayectoria de ascenso rápido, perpendicular a los contornos
56
9B1.
Trayectoria de ascenso rápido Orig.+8(
8
3.36
75
173
70.4
Orig.+9(
9
3.78
80
175
77.6
Orig.+10
10
4.20
85
177
11
4.62
90
179
76.2
12
5.04
95
181
75.1
(
Orig.+11
80.3
(
Orig.+12 (
57
8B1. Trayectoria de ascenso rápido Respuesta
Pasos 58
8B2. Superficie de respuesta
Si en la prueba de ANOVA el modelo presenta curvatura significativa entonces el modelo a aplicar es: k
Y ! F 0
k
k 1
§ F i X i § F ii X i2 § i !1
i !1
i !1
k
§ F X X i j
i
j
I
j ! 2
59
8B2. Diseño central compuesto Puntos axiales en 1.414
Réplicas en (0,0) para el error puro 60
8B2. Diseño central compuesto Estimated Regression Coefficients for Y Term Constant A
son signif. B A*A
B*B A*B Source Regression Linear Square
Coef 79.940 0.995
SE Coef 0.11896 0.09405
T 671.997 10.580
P 0.000 0.000 Si P<0.05
0.515 -1.376 -1.001 0.250
0.09405 0.10085 0.10085 0.13300
5.478 -13.646 -9.928 1.880
0.001 0.000 0.000 0.102
DF 5 2
Seq SS 28.2478 10.0430
Adj SS 28.2478 10.0430
Adj MS F P 5.64956 79.85 0.000 5.02148 70.97 0.000
2
17.9548
17.9548
8.97741 126.88
0.000
62
8B2. Diseño central compuesto
Y
La
ecuación de regresión de la superficie de respuesta es: = 79.94 + 0.995ª + 0.515B 1.376 A*A 1.001 B*B + 0.25 AB Con las ecuaciones de la página siguiente el punto máximo óptimo queda en X1 = 0.389 y X 2 = 0.306 Con una respuesta estimada Yest = 80. 21
63
8B2. Diseño central compuesto « x » ¬ x ¼ ¼ x ! ¬ ¬... ¼ ¬ ¼ ¬ - xk ¼ ½ « FÖ » ¬ ¼ ¬ FÖ ¼ « 0.995» b ! ¬ ¼ ! ¬ 0.515¼ ... ½ ¬ ¼ ¬ FÖ ¼ - k ½ « ÖF , ÖF / 2,..., ÖFk / 2 » ¬ ¼ Ö Ö Ö ¬ F / 2, F , .... F k / 2 ¼ « 1.376, 0.1250 » B ! ¬ ¼ ! ¬ 0.1250, 1.001 ¼ ½ ¬ ¼ ¬ matriz.simetrica, FÖ ¼ kk ½ « 0.389» 1 1 « 0.7345, 0.0917 » « 0.995» !¬ x ! B b! ¬ ¼ ¬ ¼ ¼ 2 2 - 0.0917, 1.006 ½ - 0.515 ½ - 0.306½ 1
2
1
2
11
12
12
1
22
2
1
s
Öy s
! FÖ 0
1 2
x b s
64
