DEPART DEPARTAMEN AMENTO TO DE ENERGÍA ENERGÍA Y MECÁNICA CARRERA DE MECÁNICA LABORATO LABORATORIO RIO DE MECÁNICA MECÁNICA DE MATERIALES MATERIALES II NRC: 1766 INFORME DE LABORA LABORATO TORIO RIO No. 01 TEMA: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA PROFESOR: ING. JOSÉ PÉREZ INTEGRANTES:
1. Edua Eduarrdo Ca Caja jass . !a"r !a"r#$ #$#o #o Ca Ca%a %ar r &. Ma'a Ma'a() () C*#$ C*#$a# a#+a +a ,. Cr#s-# Cr#s-#a a D/ D/ (a (a Cru+ Cru+ 0. Ar#aa Ar#aa V#((a("a ((a("a 05/11/2015 - SANGOLQUI TEMA: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
OBJETIVO: Analizar los esfuerzos y deflexiones en una viga simplemente apoyada
•
MARCO TEÓRICO:
DEFLEXIÓN Desplazamiento (δ), de un punto de la viga cuando se aplica una fuerza. Existen fórmulas teóricas que permiten determinarla, en función de la fuerza , la longitud !, el módulo de elasticidad del material E y el momento de inercia de la sección ".
ELÁSTICA DE LA VIGA !a curva que adopta el e#e longitudinal deformado de la viga, cuando se aplica una fuerza. Existen ecuaciones teóricas que permiten determinarla, en función de la a$scisa %, la fuerza , la longitud !, el módulo de elasticidad del material E y el momento de inercia de la sección ".
EQUIPO MM-45: &. . *. +. . .
'ali$rador pie de rey, micrómetro, flexómetro igas de diferentes materiales de sección rectangular (acero, aluminio) esos de diferente valor ortapesas -ensor de desplazamiento (potenciómetro lineal) 'eldas de carga
PROCEDIMIENTO:
&. /edir las dimensiones de la sección transversal (anc0o, altura) y la longitud. . 'olocar la viga en forma tal que la mayor dimensión est1 0orizontal. *. 'olocar el portapesas en la posición ', el potenciómetro lineal en la posición ' y encerar los instrumentos de medición en el ta$lero de control, seleccionando el ensayo correspondiente. +. Aplicar una carga en la mitad de la longitud de la viga. . 2omar las lecturas en la 3/" del desplazamiento 4' y las reacciones en las celdas de carga . 6. 7. 9. &;.
A y 5. 'olocar la viga en forma tal que la mayor dimensión est1 vertical. roceder de id1ntica manera que el caso anterior El valor que muestre la 3/" en el desplazamiento ser8 la deflexión practica 'onsiderar 4A:45:; para el c8lculo teórico. 3acer firmar las 0o#as de registro
PREGUNTAS PARA EL INFORME: 1. C!"#$#$ %& %'()%$* (&%+,$ !/! ,%0$/+ ),/&/*#23 "#$# %& +&+)& 3%& !!%2, (&%+,$ &#' $%#++/2%' %2 &' #"' ,%2/3#' +2 &#' %+)#+/2%' 3% &# %',,/+#67 +2 %& %'()%$* (&%+,$ !/! "$+,/+ ),/&/*#23 "#$# %& +&+)& 3%& !!%2, (&%+,$ &#' $%#++/2%' !%3/3#' %2 &' #"'6
De la ta$la de datos sa$emos que< L#,02 D#,' %2 >$/*2,#& V#&$ P$!%3/ D#,' %2 %$,/+#&
F)%$*# 89(; &
F)%$*# 8N; 9,7&
CC1 8(; +& + +6 4?1
CC1 8N; +,+& +,& +,+7*&6 475<<41
CC< 8(; + +7 +; 4547@@@@
CC<8N; +,+* +,+997 +,+&+ 47451
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V#&$ P$!%3/
D#,' %2 $/*2,#& V#&$ P$!%3/ D#,' %2 %$,/+#&
F)%$*# 89(; &
,
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+,
V#&$ P$!%3/
L#,02 V/# $/*2,#&6: P=1 kg∗9.81 m / s
2
: 9.7& =
L=1200 mm =1.20 m a =600 mm=0.60 m
b =1200 mm=1.20 m
2E>?"'@<
R1=
P∗b 9.81 N ∗0.60 m = = 4.905 N L 1.20 m
R2=
P∗a 9.81 N ∗0.60 m = = 4.905 N L 1.20 m
P ab 9.81∗0.6∗0.6 M = = = 2.943 N ∗m L 1.20 I =
1
3
12
bh
=
1 12
( 19 ) ( 6.24 )3= 384.703 m
My 2.943 ∗0.00312 σ = = =23.868 N / m m2 − 10 I 384.7∗10
?'2"'@< R1=
R2=
4.52241 + 4.56165+ 4.48317 3 4.35564 + 4.46335 + 4.32621 3
= 4.52241 N = 4.3818 N
Sección 0 < x < 0.6 m :
M = R1 x =4.52241 N ∗600 mm =2.713446 N m =2713.446 N mm My 2713.446 ∗3.12 σ = = =22.006 N / m m2 − 10 I 3.84 ∗10
MATERIAL
TEÓRICO 2
σ [ N / m m
!atón (iga 3orizontal)
L#,02 V/# V%$,/+#&6:
*.77
]
PRÁCTICO 2
σ [ N / m m
.;;
ERROR
] 7.+
P=2.5 kg∗9.81 m / s
2
: +. =
L=120 cm =1200 mm =1.2 m a =60 cm= 600 mm = 0.6 m
b =60 cm=600 mm =0.6 m
2E>?"'@< R1=
Pb 24.525 ∗0.6 = =12.2625 N L 1.2
R2=
Pa 24.525 ∗0.6 = =12.2625 N L 1.2
M max=
I =
1 12
Pab 24.25∗0.6∗0.6 = =7.275 N m =7275 N mm L 1.2 3
bh
=
1 12
( 6.24 ) ( 19 )3= 3566.68 m m 4
My 7275∗95 σ = = =19.37726 N / mm 2 I 3566.68
?'2"'@< R1=
R2=
12.21345 + 12.15459 + 12.22326 3 12.02706 + 11.9682 + 11.99763 3
=12.1971 N
= 11.99763 N
Sección 0 < x < 0.6 m :
M = R1 x =12.1971 N ∗0.6 m=7.3182 N m =7318.26 N mm My 7318.26∗9.5 σ = = =19.492 N / mm 2 I 3566.68
MATERIAL
TEÓRICO 2
σ [ N / m m
!atón (iga ertical)
]
PRÁCTICO 2
σ [ N / m m
&9.*66
]
&9.+9
A&)!/2/ V/# $/*2,#&6: P=1 kg∗9.81 m / s
2
: 9.7& =
L=120 cm=1200 mm =1.2 m
a =60 cm=600 mm =0.6 m b =60 cm= 600 mm = 0.6 m
2E>?"'@< R1=
Pb 9.81∗0.6 = = 4.905 N L 1.2
R2=
Pa 9.81∗0.6 = =3,264 N L 1.2
M max=
I =
1 12
Pab 9.81∗0.6∗0.6 = =2.943 N m =29436.3 N mm L 1.2 3
bh
=
1 12
( 19.1 ) ( 6.35 )3=407.5428 m m 4
My 2943∗3.175 σ = = =22.9277 N / mm 2 I 407.5428
?'2"'@< R1=
4.39488 + 4.52241 + 4.37526 3
= 4.43085 N
ERROR ;.799
R2=
4.35564 + 4.46355 + 4.32621 3
= 4.3818 N
Sección 0 < x < 0.6 m : M = R1 x =4.43085 N ∗0.6 m =2.65851 N m =2658.51 N mm My 2658.51∗3.175 σ = = = 20.711 N / mm2 I 407.5428
MATERIAL
TEÓRICO 2
σ [ N / m m
Aluminio (iga 3orizontal)
.96
]
PRÁCTICO 2
σ [ N / m m
]
;.6&&
A&)!/2/ V/# V%$,/+#&6: P=2.5 kg∗9.81 m / s
2
: +. =
L=120 cm=1200 mm =1.2 m
a =60 cm=600 mm =0.6 m b =60 cm= 600 mm = 0.6 m
2E>?"'@< R1=
Pb 24.525 ∗0.6 = =12.2625 N L 1.2
R2=
Pa 24.525 ∗0.6 = =12.2625 N L 1.2
M max=
ERROR
Pab 24.525∗0.6∗0.6 = =7.3575 N m =7357.5 N mm L 1.2
9.7
I =
1
3
12
bh
=
1 12
( 6.35 ) ( 19.1 )3=3687.1651 mm4
My 7357.5∗9.55 σ = = =19.056 N / mm 2 I 3687.1651
?'2"'@< R1=
R2=
12.05892 + 12.05649 + 12.04668 3 11.91915 + 11.89953 + 11.87991 3
= 12.06303 N =11.89953 N
Sección 0 < x < 0.6 m : M = R1 x =12.06303 N ∗0.6 m =7.238 N m =7237.818 N mm My 7237.818∗9.55 σ = = =18.746 N / m m2 I 3687.1651
MATERIAL
TEÓRICO 2
σ [ N / m m
Aluminio (iga ertical)
&9.;
]
PRÁCTICO 2
σ [ N / m m
ERROR
]
&7.6+
&.6
<. C2')&,#$ &# (0$!)&# 3% &# 3%(&%/02 3% &# /# %2 &# !/,#3 3% &# &2/,)3. •
Bormula de Blexión en la mitad de la longitud de la viga
-e o$tiene mediante los momentos flexionantes para cada parte de la viga<
M =
Pbx L
Pbx M = − P ( x − a) L
ara las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión, se sustituyen las expresiones para el momento flexionante, asC< EI v
EI v
' '
' '
Pbx ( 0 ≤ x ≤ a) L
=
Pbx − P ( x − a)( a ≤ x ≤ L ) L
=
!as primeras integraciones de las ecuaciones diferenciales nos proporcionan las pendientes y deflexiones de la viga< Pb x EI v = 2 L
2
Pb x EI v = 2 L
2
'
'
+ C 1 ( 0 ≤ x≤ a ) −
P ( x − a ) 2
2
+ C 2 (a ≤ x ≤ L )
Al integrarse nuevamente o$tenemos< Pb x EIv = 6 L
3
Pb x EIv = 6 L
3
+ C 1 x +C 3 (0 ≤ x ≤ a ) P ( x − a )
−
6
3
+ C 2 x + C 4 (a≤ x≤ L)
!as cuatro constantes de integración se pueden determinar a partir de las siguientes cuatro condiciones< &. . *. +.
En x : a, las pendientes v para las dos partes de la viga son las mismas. En x : a, las deflexiones v para las dos partes de la viga son las mismas. En x : ;, la deflexión v es cero. En x : !, la deflexión v es cero.
!as primeras condiciones con de discontinuidad $asadas en el 0ec0o de que el e#e de la viga es una curva continua. !as condiciones * y + son condiciones de frontera que se de$en satisfacer en los apoyos. Es decir que la condición & significa que las pendientes determinadas con las ecuaciones de las pendientes es decir< Pb a 2 L
2
P ba + C 1 + 2 L
2
+C 2 o C 1=C 2
!a condición significa que las deflexiones en las ecuaciones de la segunda integración de$e ser iguales cuando x:a por tanto, 2
2
Pb a 6 L
P ba + C 1 a + C 3= 6 L
+ C 2 a + C ? 4 dadoqeC 1=C 2 ! ob"enemos qeC 3 =C 4
Aplicamos la condición * y se o$tiene que De la condición + o$tenemos< Pb L 6
2
3
P b
−
6
+ C 2 L=0
or tanto, L Pb
(¿ ¿ 2−b2 ) 6 L
C 1=C 2=−¿
C 3 =C 4=0 .
-e reemplaza las constantes de integración en las ecuaciones para las deflexiones y o$tenemos las ecuaciones de deflexión para las partes de la viga. v=
− Pbx
( L −b − x ) ( 0 ≤ x≤ a ) 2
2
2
6 LEI
3
− Pbx ( L2 b2 x 2 ) P ( x −a ) a ≤ x ≤ L v= − − − ( ) 6 LEI
6 EI
!a primera de estas ecuaciones da la curva de deflexión para la parte de la viga a la izquierda de la carga y la segunda da la curva de deflexión para la parte de la viga a la derec0a de la carga. -u $uscamos o$tener las pendientes se aplica la primera derivada a las ecuaciones previas, de la siguiente manera< v ' =
− Pb
v ' =
( L −b −3 x ) ( 0 ≤ x ≤ a ) 2
2
2
6 LEI
− Pbx ( 6 LEI
2
L
−b − 3 x )− 2
2
2
P ( x − a )
2 EI
ara o$tener los 8ngulos de rotación
(a≤ x≤ L)
# $ y #% en los extremos de la viga sustituimos x:; y x:!,
asC< Pb ( L −b # $ =−v ' ( 0 )= 6 LEI 2
Pb ( L −b # $ =v ' ( L )= 6 LEI 2
2
2
)
)
=
=
Pab ( L + b ) 6 LEI
Pab ( L+ a ) 6 LEI
@$serve que el 8ngulo # $ es en el sentido de las manecillas del relo# contrario, como se ve en la figura<
#% es en sentido
!os 8ngulos de rotación son funciones de la posición de la carga y alcanza sus valores m8ximos cuando este se u$ica cerca del punto medio de la viga, en caso de A el valor m8ximo se define como< √ 3 ( # $ ) max= P27L EI 2
@. C!"#$#$ &# 3%(&%/02 ,%0$/+# +2 &# "$+,/+# %2 &# !/,#3 3% &# &2/,)3 3% &# /#7 ,%2/%23 ') %$$$ "$+%2,)#&. L#,02 V/# $/*2,#&6: P=1 kg∗9,81 m / s
2
: 9,7& =
L=120 cm =1,20 m a =60 cm= 0,60 m
b =60 cm=0,60 m E= 97 &Pa= 97000 N / mm I =384.703 mm
2
4
2E>?"'@< Pb ( 3 L
C =
2
− 4 b 2)
48 EI
=
9,81∗600 ( 3 ¿ 1200
2
−4 ¿ 600 2)
48∗97000∗384,703
=9,463 mm
?'2"'@< C =
8,64 + 8,73 + 8,57 3
=8,646 mm
MATERIAL ALUMINIOORIHONTAL6
TEÓRICO
PRÁCTICO
C (mm )
C ( mm )
ERROR
9,+*
7,+
7,**
A=!"-"-< El error causado puede ser por el tam$aleo de la viga a la 0ora de u$icar las pesas.
L#,02 V/# V%$,/+#&6:
P=2,5 kg∗9,81 m / s
2
: +, =
L=120 cm=1,20 m
a =60 cm=0,60 m b =60 cm= 0,60 m
E= 97 &Pa= 97000 N / mm I =3566.68 mm
2
4
2E>?"'@< Pb ( 3 L
C =
2
− 4 b 2)
48 EI
=
24,525∗600 ( 3 ¿ 1200
2
−4 ¿ 600 2)
48∗97000∗3566.68
=2,551 mm
?'2"'@< C =
2,62+ 2,63+ 2,60 3
=2,616 mm
MATERIAL
TEÓRIC O
ALUMINIOORIHONT AL6
PRÁCTIC ERROR O
C ( mm )
C (mm )
,&
,&
,+
A=!"-"-< El error causado es considera$le, quiz8s no se u$icó exactamente la pesa en el lugar esta$lecido y por el tam$aleo de la viga.
ALUMINIO VIGA ORIHONTAL6: P=1 kg∗9,81 m / s
2
: 9,7& =
L=1200 mm =1,20 m
a =600 mm=0,60 m b =600 mm=0,60 m
E=70 &Pa =70000 N / mm
2
I =407.54 mm
4
2E>?"'@< Pb ( 3 L
C =
2
− 4 b 2)
48 EI
=
9,81∗600 ( 3 ¿ 1200
2
−4 ¿ 600 2)
48∗73000 ∗407.54
=11,870 mm
?'2"'@< C =
11,54 + 11,85 + 11,49 3
=11,626 mm
MATERIAL
TEÓRIC PRÁCTI O CO C ( mm )
&&,76;
ALUMINIOORIHON TAL6
ERROR
C ( mm )
&&,
,;
A=!"-"-< El error es $a#o, se puede decir que es por la falta de exactitud al medir las distancias del punto de aplicación de la fuerza a los apoyos, que per#udica al valor de la inercia
ALUMINIO VIGA VERTICAL6: P=2,5 kg∗9,81 m / s
2
: +, =
L=1200 mm =1,20 m
a =600 mm=0,60 m b =600 mm=0,60 m
E=73 &Pa =73000 N / mm I =3687,165 mm
2
4
2E>?"'@< Pb ( 3 L
C =
2
− 4 b 2)
48 EI
2
=
24,525∗600 ( 3 ¿ 1200
−4 ¿ 600 2)
48∗73000∗3687,165
=3,280 mm
?'2"'@< C =
3,54 + 3,52 + 3,54 3
=3,533 mm
MATERIAL
TEÓRIC O
ALUMINIOORIHONT AL6
PRÁCTIC ERROR O
C ( mm )
C ( mm )
*,7;
*,**
6,6&
A=!"-"-< El error causado puede ser por el tam$aleo de la viga a la 0ora de u$icar las pesas.
4. C2')&,#$ &# %+)#+/02 3% &# %&',/+# 3% &# /# 'uando una viga recta est8 su#eta a cargas y el comportamiento es el8stico, el e#e centroidal de la viga es una curva definida como la curva el8stica. !a ecuación diferencial de la curva el8stica puede o$tenerse a partir de la viga flexionada como se muestra a continuación<
R%"$%'%2,#+/02 3% &# +)$# %&',/+# 'onsiderando un punto en el e#e de coordenadas x al aplicar una carga , se o$tiene un desplazamiento conocido como deflexión δ, la curva que forma el e#e despu1s de aplicada la fuerza se conoce como el8stica de la viga< 2
d EI 2 = M d x d
Donde es evidente que
dx
= tan # que es la pendiente de la curva el8stica.
5. C2+&)'/2%' •
•
•
•
•
•
!a deflexión de una viga depende de la rigidez del material y de las dimensiones de la viga, asC como de las cargas aplicadas y de los apoyos. !a viga ofrece mayor resistencia si se encuentra con la mayor longitud en una posición vertical. !a ecuación diferencial de una el8stica de viga sirve para calcular deflexiones muy pequeFas. !ogramos darnos cuenta como gracias a la ecuación de la el8stica nos permite descri$ir y calcular completamente varios aspectos muy importantes dentro del diseFo y escogimiento de materiales. Es de vital importancia conocer el comportamiento de un elemento, dado su forma, propiedades mec8nicas y condiciones en las que tra$a#ara para poder asegurar un correcto tra$a#o del mismo en aplicaciones reales. !os errores que so$repasan el G en la pregunta & puede de$erse al pandeo de la $arra durante la colocación de las pesas, o que el peso no esta$a en la mitad como se esta$leció.
OBSERVACIONES: 2ra$a#ar en unidades =, mm
BIBLIOGRAFA: Here, I. (;;). /ec8nica de /ateriales.
