Diseño de elementos mecánicos
Diseño de Ejes
Rodríguez Luna Luis Enrique Ingeniería Mecatrónica Profesor: Amador Vazquez Raul Domingo 8 de Diciembre de 2013
Antes de iniciar debemos definir qué es un eje, su función e importancia en sistemas mecánicos. El eje en mecánica se refiere a un elemento de diseño, empleado para guiar un movimiento de rotación de una ó varias piezas, comúnmente ruedas y engranes. Un eje puede ser un elemento que gire en torno a otras piezas, un eje fijo el cual se encuentre anclado y las piezas giren a su alrededor, ó girar junto con las piezas. Los ejes pueden ser impulsados, y a estos se les denomina eje de propulsión. Aplicados mayormente en automóviles modernos con tracción delantera, combinando la caja de cambios y el eje delantero en una sola unidad llamada transaxle o conjunto motor. Un eje libre es aquel que no forma parte del sistema de transmisión y gira libre. El eje trasero en un automóvil con tracción delantera se puede considerar un eje libre. Los camiones y remolques utilizan tracción trasera debido a sureparto de cargas, a las ventajas del eje rígido para estos vehículos, lo que permite el uso de ruedas libres delanteras. Un eje es un componente de máquina rotatorio que transmite potencia.
Procedimiento para diseñar un eje 1. Determine la velocidad de giro del eje. 2. Determine la potencia o el par torsional que debe transmitir el eje 3. Determine el diseño de los componentes transmisores de potencia, u otras piezas que se montarán sobre el eje, y especificar el lugar requerido para cada uno. 4. Especifíque la ubicación de los cojinetes a soportar en el eje. Por lo común, se supone que se usan sólo dos cojinetes para sostener un eje. Se supone que las reacciones en los ejes que soportan cargas radiales actúan en el punto medio de los cojinetes. Por ejemplo, si se usa un rodamiento de bolas de una sola hilera, se supone que la carga pasa directamente por las bolas. Si en el eje existen cargas de empuje (Axiales), se debe especifícar el cojinete que reaccionará contra el empuje. Entonces, el que no resiste el empuje debe poder moverse un poco en dirección axial, para asegurar que en él se ejerza una fuerza de empuje inesperada y no deseada. 5. Proponga la forma general de los detalles geométricos para el eje, considerando la forma de posición axial en que se mantendrá cada elemento sobre el eje, y la forma en que vaya a efectuarse la transmisión de potencia de cada elemento al eje. 6. Determine la magnitud del par torsional que se desarrolla en cada punto del eje. Se recomienda preparar un diagrama de par torsional. 7. Determine las fuerzas que obran sobre el eje, en dirección radial y axial. 8. Descomponga las fuerzas radiales en direcciones perpendiculares, las cuales serán en general, vertical y horizontal. 9. Calcule las reacciones en cada plano sobre todos los cojinetes de soporte 10. Genere los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos, para determinar la distribuición de momentos flexionantes en el eje. 11.Seleccione el material con el que se fabricará el eje y especifique su condición: estirado en frio y con tratamiento térmico, entre otras. Vea las sugerencias sobre aceros ejes. Lo más común son los aceros al carbón simples o aleados, con contenido medio de carbón. Se recomienda que la ductilidad sea buena, y que el porcentaje de elongación sea mayor que 12%, aproximadamente. Determine la resistencia última, la resistencia de fluencia y el porcentaje de elongación del material seleccionado. 12.Determine un esfuerzo de diseño adecuado, contemplando la forma de aplicar la carga (Uniforme, choque, repetida e invertida u otras más). 13.Analice cada punto crítico del eje, para determinar el diámetro mínimo aceptable del mismo, en ese punto, y para garantizar la seguridad frente a las cargas en ese punto. En general, hay varios puntos críticos, e incluyen aquellos donde se da un cambio de diámetro, donde se presentan los valores mayores de par torsiones y de momento flexionante, y que haya concentración de esfuerzos. 14.Especifique las dimensiones finales para cada punto en el eje. Por lo común, los resultados del paso 13 sirven como guía, y entonces se escogen valores adecuados. También se deben especificar los detalles del diseño, como las tolerancias, los radios del chaflán, la altura de escalones y las dimensiones del cunero. A veces, el tamaño y las tolerancias del diámetro de un eje quedan determinados por ele elemento que se va a montar en él. Por ejemplo, en los catálogos de los fabricantes de
rodamientos de bolas se especifican los límites de los diámetros ene jemes, para que sus rodamientos asienten. PROBLEMAS En la figura se ilustra el eje de entrada para un impulsor de sistema de engranaje de tornillo sin fin. La polea acanalada para banda en forma de V recibe directamente de abajo 7.5 hp. El engranaje de tornillo sin fin gira a 1750 RPM y tiene un diámetro de paso de 2.00”. El engranaje sin fin debe maquinarse en forma integral junto con el eje, y tiene un diámetro de raíz de 1,614”. Suponga que la geometría del área de la raíz presenta un factor de concentración de tensión de 1.5 para flexión.
La resolución de este problema se efectuará por pasos, a continuación se describen. •Diagrama de cuerpo libre del elemento •Determinar el torque ejercido en el eje •Cálculo de las fuerzas reactivas •Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas cortantes y momentos frexionantes •Diseño del eje, selección del material. •Factor de seguridad •Calcular la resistencia por durabilidad •Factor de concentración del esfuerzo •Cálculo de los diámetros para el diseño del eje. •Estandarización de los diámetros •Selección de los anillos de sujeción estandar ó reten •Cálculo de Ymax y Y teórico •Selección de rodamiento, según catálogo SKF •Selección del lubricante •Selección de cuña para polea acalada
DATOS:
PIDEN DETERMINAR:
Hp = 7.5
Øeje=?
rpm = 1750
Rodamiento = ?
Wrw = 353 lb
Lubricante = ?
Wtw = 270 lb W xw = 962 lb Øpolea = 5 plg
PASO 1 Diagrama de cuerpo libre del elemento (AD) Z
A ´
B
Fa Y
´ RBy
RDZ
C ´
RBZ WTW
D X
Wrw RDY
PASO 2 Se determina el torque ejercido en el eje con un hp de 7.5 y una velocidad de 1750 rpm.
T
6300 u P 6300 u 7,5hp n 1750 rpm
270lb u p lg
Ɍ OEîSOJ PASO 3 Realizado el DCL y ubicadas todas las fuerzas ejercidas sobre el elemento (AD), se procede a calcular el valor de las fuerzas reactivas. DCL (1) Y X
A
B
´
´
RBY
C
´
WTW
D
RDY
WTW = 270 lb (Dato del problema) Para calcular el valor de las fuerza restantes procedemos a conseguirlo a través de momento.
6M O
0
6M RDY
0
WTW u 3 p lg Rby u 6 p lg RBY
0
WTW u 3 p lg 270lb u 3 p lg 6 p lg 6 p lg RBY = 135 lb
Por condición de equilibrio se calcula RDY
n 6 FY
0
RBY WTW RDY RDY
0
WTW RDY 270lb 135lb RDY = 135 lb
DCL (2)
Z X A
FA
´
B
RBZ
´
C
D
´
WTW
RDZ
Wrw = 353 lb (Dato del problema) La fueU]D³)D´ODFRQVHJXLPRVFRQODIRUPXODSDUDSROHDVDFDQDODGDVHQIRUPD GH³9´ F = 1,5!T/(D/2) FA = 1,5 !270lb!plg/(5plg/2)= FA = 162lb
Aplicando sumatoria de momento en el SXQWR ³'´ se calcula el valor de la IXHU]D³5BZ´ 6M O
0
6M D
0
WRW u 3 p lg Rbz u 6 p lg F A u 7,5 p lg
RBZ
0
Wrw u 3 p lg F A u 7,5 p lg 353lb u 3 p lg 162lb u 7,5 p lg 6 p lg 6 p lg
RBZ = 26 lb Por FRQGLFLyQGHHTXLOLEULR VXPDWRULDGHIXHU]DHQ³=´ FDOFXODPRVHOYDORUGH RDZ
n 6 FZ
0
162lb 26lb 353lb RDZ
RDZ
0
162lb 26lb 353lb
RDZ = 217lb PASO 4 Ahora se procede a dibujar los DCL de las fuerzas cortante (V) y los momentos flexionantes (M) en los planos (Y,X) y (Z,X); para ubicar el mayor momento interno resultante.
DCL (1) Y X
A
´
B
RBY
´
WTW
C
´
D
RDY
135 0
V
135 405
0
M
DCL (2)
Z X
A
FA
´
B
RBZ
´
WTW
C
´
D
RDZ
217 0
V
136 162
0
408 243
M
Calculo de momento interno resultante
M RC
M CYX
M RC
405lb
2
2
M C ZX
2
408lb
2
MRC = 574,5 lb × plg PASO (5) Para el diseño del eje, se selecciona un acero 1141 estirado en frió, de la pagina 597, apéndice A-13 del libro de Diseño de maquina ROBERT MOTTL, porque se estima que cumpla con los requerimientos al cual estará sometido el eje. Material: 1141 estirado en frió SU = 112 ksi / 772 Mpa SY = 95 ksi / 655Mpa %E = 14 PASO (6) El factor de seguridad lo asumido tendrá el valor de 3 para mayor confiabilidad de trabajo. PASO (7) Como se tiene HO YDORU GH ³6U´ REWHQLGR GHO DSpQGLFH $-13, se procede a ubicarlo en la tabla 5-9 GHO OLEUR \D DQWHV PHQFLRQDGR HQ HO SDVR ³´ SDUD obtener el valor de Sn, y calcular la resistencia por durabilidad a través de la siguiente formula: 6¶Q 6Qî&Vî&P
Sn = 42 ksi Cs = 0,9 Cst = 1 6¶Q î3 lb /plg2 !0,9!0,58!1= 6¶Q OESOJ2 PASO (8) (O IDFWRU GH FRQFHUWDFLyQ GH HVIXHU]R ³NW´ OR DVXPLPRV SRU GRV UD]RQHV XQD porque se usa para rodamiento y otra porque el problema lo señala. Kt = 1,5 PASO (9) Cálculos de los diámetros para el diseño del eje. (QHOSXQWR³$´se calcula el diámetro con la formula siguiente; ya que esa parte está sometida a torsión:
Wd
T Zp Zp
Dode Zp
T Wd
S u D3 16
El valor de "Wd " lo calculamos a través de la formula.
Wd
0,5 u Sy 0,5 u 95ksi N 3
ȉd = 15,83×103 lb/plg2
S u D3 16
D3
270lb u p lg S u D3 16 15,83 u 103 lb p lg 2
0,01705 p lg 3 u 16
S
D3
0,01705 p lg 3
0,086848 p lg 3
DA = 0,4428plg Se determinan los diámetros eQ ORV SXQWR ³% \ &´ del eje tomando en consideración la teoría de la distorsión (DET), plasmada en libro de HAN ROCK, en la paginas 425-440. Formula:
D
DB
DB
ª 32 u N § Kt u M · 2 3 § T · 2 º « ¨ ¸ ¨ ¸» S ' n ¹ 4 ¨© Sy ¸¹ » « S © ¬ ¼ ª « 32 u 3 « « S «¬
1
3
2
§ · § · ¨ 1,5 u 243lb u p lg ¸ 3 ¨ 270lb u p lg 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 3 lb lb 4 21924 95 u 10 ¨ ¨ p lg 2 ¸¹ p lg 2 ¸¹ © ©
>30,5577 u
0,0002764 p lg 6,0'5817 u 10 9
DB = 0,8008 plg
6
º » » » »¼
2
@
p lg 9
1
1
3
3
DC
DC
ª « « 32 u 3 « S « ¬
2
§ · § · ¨ 1,5 u 574,9lb u p lg ¸ 3 ¨ 270lb u p lg ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ lb 4 ¨ 95 u 103 lb 2 ¸ 21924 2 ¨ ¸ p lg ¹ p lg ¹ © ©
>30,5577 u
0,001547 p lg 6,05817 u 10 9
6
@
p lg 9
1
2
º » » » » ¼
1
3
3
DC = 1,0639plg NOTA: (O GLiPHWUR HQ HO SXQWR ³'´ se asume LJXDO DO GLiPHWUR HQ HO SXQWR ³%´ GH forma tal, que al momento de seleccionar el rodamiento, se utilice el mismo para ambos puntos y así unificar el tipo de rodamiento. PASO (10) Estandarización de los diámetros
DA
0,4428 p lg 6%
25,4mm 1 p lg
0,4693 p lgu
DA = 11,92 mm §15 mm
DB
0,8008 p lg 6%
DB
DC
0,8488 p lgu
25,4mm 1 p lg
PP§25 mm
1,0639 p lg 6% 1,1277 p lgu
25,4mm 1 p lg
DC PP§30 mm El diámetro entre (B y C ) lo asumimos de: DByC = 27,5 mm Estos diámetros fueron estandarizados bajos las normas DIN 114
PASO (11) ³SeOHFFLyQGHDQLOORVGHVXMHFLyQVWDPGDUyUHWHQ´ En este caso se elige un reten para impedir el desplazamiento de los rodamientos en los puntos (B y D) BISELADO 5102 PARA EJES RANGO DE TAMAÑO PPPP PASO (12) Se procede DFDOFXODUHO³<PD[\<teórico´ En este caso el punto más crítico es donde está ubicado el engranaje P
L A
B
´ L
´
C
(QHOSXQWRGH³%´
Ymax
p u l3 48 u E u I
P = 353 lb E = 29!106 lb/plg2 Se calcula el Zp para obtener la inercia:
Zp
S u D3 16
Zp
3,1416 u 1,1277 16
Zp
4,5053 p lg 3 16
Zp
0,2815 p lg 3 0,4692 p lg 3 por tabla
3
Para un Zp = 0,4692plg3 y un diámetURQRPLQDOGH´ODLQHUFLDHVGH I = 0,1947plg4
YMAX
p u l3 48 u E u I 353lb u 6
3
YMAX
§ 4· 48 u ¨ 29 u 106 lb 2 u 0,1947 p lg ¸ p lg © ¹
YMAX
76,248 p lg 3 271022400 p lg 2
YMAX
0,000281334 p lgu
25,4mm 1 p lg
YMAX = -0,0071459 mm
YTEORIC O
L 300
YTORIC O
6" 300
YTERIC O
0,02"
YTEORIC O
0,02 p lgu
25,4mm 1 p lg
YTEORICO = 0,508mm YMAX
DM = 62 Dm = 25 31305
C = 38000 CO = 40000
Fr = 255,56lb valor obtenido del calculo de la resultante GHORVSXQWRV³%\ &´, y se toma como mayor fuerza radial.
Fr
4,448 N 1lb Fr = 1136,730 N 255,56lb u
962lb u
Fa
4,448 N 1lb
Fa = 4279 N Se calcula ³H´ límite entre carga axial y radial) para conseguLU³;\<´\OXHJR proceder a calcular la carga equivalente ³3´
Fa Co
4279 N 40000 N
Obtenido este valor se ubica en el catálogo SKF Pág. 185 el YDORUGH³H´si no es exacto, se interpola.
0,107 o
Y
§ Y2 Y1 · ¨¨ ¸¸ u X X 1 Y1 X X 1¹ © 2
0,31
X2,Y2
0,27
1,6
X1,Y1
0,07
0,107
X2,Y2 X,Y
X
X,Y
X
1,4
0,13
X1,Y1
0,07
0,107
0,13
Y
§ 0,31 0,27 · ¨ ¸ u 0,107 0,07 0,27 © 0,13 0,07 ¹ 0,294
Y Y " e" e
0,294
§ 1,4 1,6 · Y ¨ ¸ u 0,107 0,07 1,6 © 0,13 0,07 ¹ Y 1,47
e = 0,294
Y=Y
X = 0,56
Y = 1,47
Y = 1,47 2EWHQLGR ³H´ \ FDOFXODGR loV FRPSRQHQWHV ³; \ <´ HVWH ~OWLPR REWHQLGR interpolando se procede al cálculo de OD FDUJD HTXLYDOHQWH ³3´ D través de la formula:
P
0,56 u 1136,730 N 1,47 u 4279 N
XFr YFa P
P = 6926,69N 7HQLHQGRODFDUJDHTXLYDOHQWH³3´se calcula la vida útil esperada en millones de ciclos. P
L10
§C· ¨ ¸ P 10 3 ©P¹
Por se rodamiento de rodillo entonces;
10
L10
§ 38000 · ¨ ¸ © 6926,69 N ¹
3
289,55 Millones _ de _ ciclos
Obtenido el valor de L10, se verifica que cumple con los requerimientos de trabajo a los que va a estar sometido, para lo cual se calcula la vida útil necesaria (LO) y se determina si cumple con la condiciones L10 /O, de ser así la selección fue correcta.
Nota: $QWHVGHFDOFXODU³/O´hay que ubicar la vida útil HVSHUDGDHQKRUDV³/h´ a través del catalogo SKF en la página 34, del cual selecciona lo siguiente: Maquinas para 8 horas de trabajo diaria no totalmente utilizadas: transmisión por engranaje para uso general, motores eléctricos para uso industrial, machacadoras giratorias. Lh(horas de servicio) = 10000 a 25000
n u 60 u L H 1750 u 60 u 25000 6 10 106
LO
Lo = 262,5 Millones de ciclo L10 /O ; si cumple Ahora bien, se realiza la transformación de la vida útil en horas para verificar a cuanto equivale en años, de acuerdo a la horas de trabajo diaria (8 horas).
Lh
2500hrs u
Lh = 8,68 años
Lh
1año 1m es u 12m eses 240hrs ó
8,68años u
lo que es igual 12m es 1año
Lh = 104,16 m eses
dias
PASO (15) Selección del lubricante Para la selección del lubricante a utilizar en los rodamientos, necesitamos calcular el diámetro medio del rodamiento, con este valor nos vamos a los diagramas del catalogo S K F en las Pág. 36y37, y la rpm a la cual trabajara la maquina y ubicamos las viscosidades (máxima y mínimas) con los valores arrojados de la viscosidad seleccionamos el tipo de lubricante. dm = (d+D)/2 = (25/62)/2 dm = 43,5 mm rpm = 1750 Con el valor del diámetro medio y las rpm se ubica en el diagrama 1 la viscosidad máxima X1 . 2
X1 19 mm S Con este valor y la temperatura de
40O a partir del diagrama 2 se obtiene la
viscosidad mínima X2 .
X1
2
8 mm
S
Conocido el rango de viscosidad, se utiliza un catalogo de rodamientos que permita seleccionar el lubricante, en este caso se trabajó con un catálogo de rodamiento y lubricante de la empresa FAG, desde las tablas de valores del mismo y se consigue un aproximado de la viscosidad para el rodamiento, ³´GHURGLOORVFyQLFRV Tabla 1. Características del lubricante seleccionado. DENOMINACION
ESPESANTE
ARCANOL L74V
CONSISTENCIA
DENOMINACION DE COLOR
JABON ESPUMOSO 2
6018 (AMARILLO Ó VERDOSO)
VICOSIDAD BASICA 23mm2/S
PASO (16) SELECCIÓN DE CUÑA PARA POLEA ACALADA
W
F As
W
2uT L D uW u L
L
L
T
D 2 WL
2uT D uW u L 2uT D uW uW
2 u 270lb u p lg 0,59 p lgu 0,125 p lgu 15,38 u 103 lb
0,46 p lgu
25,4mm 1 p lg
L=11,68mm D=15mm : ´ PP + ´ PP
W
15,38 u 103 lb
p lg 2
p lg 2
