DISEÑO CUADRADO LATINO: DCL Este diseño se utiliza para conducir experimentos en condiciones heterogéneas donde las propiedades cambian en dos direcciones como ocurre en la toma de muestras para análisis de laboratorio, donde las condiciones cambian entre planta y planta (una dirección) y de hoja a hoja por tamaño o posición en la misma planta (otra dirección). El ag agru rupam pamien iento to de las un unida idades des ex expe perim riment entale ales s en dos dir direcc eccion iones es (fi (filas las y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que qu e en ca cada da fi fila la y en ca cada da co colu lumn mna a se en encu cuen entr tren en to todo dos s lo los s tr trat atam amie ient ntos os constituye un diseño cuadrado latino.
Un cuadrado latino es una matriz de n×n elementos, en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila. Las siguientes matrices son cuadrados latinos:
Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos. Estos tienen su aplicación en el diseño de experimentos. El no nomb mbre re de Cu Cuad adra rados dos Lat Latin inos os se or origi igina na co con n Leonhard Euler quién utilizó caracteres Latinos como símbolos. Un cu cuad adra rado do la lati tino no se di dice ce qu que e es está tá re redu duci cido do (o no norm rmal aliz izad ado o o de fo form rma a estandarizada) si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado está reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3. Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.
Características: 1. Las u.e. se distribuyen en grupos , bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. 2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos. 3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna. 4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos. 5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación estandar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental. El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones.
Formación de cuadrados latinos Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estandar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución).
De cada cuadro se obtienen 144 formas diferente, en total se tienen 576 cuadros diferentes. La siguiente tabla permite relacionar el numero de cuadros en función del tamaño.
Ventajas Controla las fuentes de variación en las dos direcciones: hileras y columnas, es decir< extrae del error experimental la variación debida a tratamientos, hileras y columnas.
Desventajas Se pierden grados de libertad en el error experimental, sacrificando sacrificando la precisión del diseño experimental. Deb ebid ido o a que el nú núme mero ro de hi hile lera ras s y co colu lum mna nas s de debe be ser ig igua uall al de tratamientos, el número de tratamientos es limitado.
Restricciones • •
Un tratamiento cualquiera debe estar solamente una vez en una columna Un tratamiento cualquiera debe estar solamente una vez en una columna
El análisis de varianza El diseño permite partir la variación total en 4 componentes:
Hileras
Error experimental
Columnas
Tratamientos
y las fórmulas de trabajo son como sigue: ANDEVA Fuentes Variación
de
SC
GL
CM
F
Hileras
SYi²/n-FC
n-1
SCH/GL
CMH/CME
Columnas
SYj²/n-FC
n-1
SCC/GL
CMC/CME
Tratamientos
SYk²/n-FC
n-1
SCT/GL
CMT/CME
Error exp.
por diferencia
(n-1)*(n-2)
SCE/GLE
Total Ejemplo:
Sy²ij-FC
n²-1
Hileras
Columnas
Yi
Yi²
Yk
Yk²
D 8.1
28.7
823.7
A 27.8
772.8
C
32.7
1069.3
B 30.3
918.1
1
2
3
4
1
A 6.3
B 6.8
C 7.5
2
D
A
B
8.9
7.5
7.9
8.4
3
C 7.5
D 8.0
A 6.0
B 6.2
27.7
767.3
C 33.3
1108.9
4
B 9.4
C 9.9
D 10.5
A 8.0
37.8
1428.8
D 35.5
1260.3
Yi
32.1
32.2
31.9
30.7
126.9
4089.1
Yj²
1030.4
1036.8
1017.6
942.5
4060.1
4027.3
===> SYi² = 4089.1 SYk² = 4060.1 SYj² = 4027.3 SY²ij = 1031.5 ANDEVA Fuentes de variación
SC
GL
CM
F
Hileras
4089/4-1006 = 15.79
4-1 = 3
5.2658
88.37
Columnas
4027/4-1006 = 0.3575
4-1 = 3
0.1192
2.00
Tratamientos
4060/4-1006 = 8.53
4-1 = 3
2.8458
47.76
Error exp.
0.3575
(4-1)(4-2) = 6
0.0596
Total
1031-1006 = 25.05
4² - 1 = 15
PASOS PARA OBTENER UN CUADRADO LATINO ALEATORIZADO A LEATORIZADO 1. Partir de un cuadrado latino estándar del tamaño requerido: requerido: Supong Supongamos amos que necesitamos un cuadrado 4*4 y arbitrariamente hemos seleccionado seleccionado el planteado plantea do anteriormente, donde se observa el orden alfabético de las letras en la primera fila y la primera columna; 2. Aleat Aleatori oriza zarr tod todas as las co colum lumna nas s de dell cu cuadr adrado ado ele elegid gido: o: Pa Para ra es este te efe efecto cto existen tablas de permutaciones o simplemente se elige un orden aleatorio (con ayuda de la calculadora o de tablas de números aleatorios) de las “t” columnas; para este caso, con ayuda de la calculadora se encontraron los valores: 1,3,4. • 1: Quiere decir que la primera columna permanece como estaba. • 3: En Enton tonces ces,, la que ant antes es er era a la te terce rcera ra co colum lumna na,, ah ahora ora pasa a ser la segunda.
• 4: La que inicialmente era la cuarta columna, ahora pasa a ser la tercera, por descarte, entonces, la que originalmente era la segunda columna, ahora pasa a ser la cuarta, con lo que el cuadrado quedaría: A
C D B
B
D A C
C
A B D
D
B C A
3. Aleatorizar todas las filas del cuadrado encontrado: encontrado: Nuevamente, con ayuda de la calculadora, el orden aleatorio encontrado fue: 3, 4, 1. • 3: La que en el último cuadrado era la tercera fila, ahora pasa a ser la primera. • 4: La que era la cuarta fila, ahora se convierte en la segunda. • 1: La primera fila debe ser ahora la tercera y por descarte, la segunda fila pasa pa sa a se serr la cu cuar arta ta,, qu qued edan ando do el si sigu guie ient nte e cu cuad adra rado do,, qu que e se serí ría a el definitivo: C
A B D
D
B C A
A
C D B
B
D A C
ANÁLISIS DE VARIANZA Para realizar el análisis de varianza se requieren los siguientes términos: Y... = ΣΣ Yijk = Gran total Yi.. = Total del tratamiento “i” Y.j. = Σ Yijk = Total de la fila “j” Y..k = Σ Yijk = Total de la columna “k”
Tabla de Anova
F de V Tratamientos Filas Columnas Error Total
GL t-1 t-1 t-1 (t-1)(t-2)
Suma de Cuadrados FC cuadrados medios 2 T = ΣY i../t -TC SCT= T/ (t - 1) 2 F = Σ Y .j. /t -TC SCF= F / (t - 1) 2 C = Σ Y ..k /t -TC SCC= C / (t - 1) E =Tot - T - F - C SC E= E / (t-1)(t-2) 2 t -1 Tot =ΣΣ y2ijk -TC
Donde: F de V: Fuente de Variación GL: Grados de libertad t : Número de tratamientos = Número de filas = Número de columnas TC: Término de corrección = Y 2... / t2 Nota 1: Así como en el diseño de bloques al azar, el efecto de los bloques no se evaluaba, en el diseño de cuadrados latinos, los efectos de filas y columnas tampoco se evalúan, pues por diseño se espera que existan diferencias entre ellas. Nota 2: Los grados de libertad del error también se pueden calcular como la diferencia entre los grados de libertad totales y los grados de libertad de las otras fuentes de variación (tratamiento, filas y columnas). EJERCICIO: Aquí deben plantear un experimento que ustedes consideren se debe evaluar bajo un diseño de cuadrados latinos, como siempre, deben indicar, quién es el factor con sus niveles, la unidad experimental, la variable respuesta y quienes son las fuent fue ntes es de va varia riaci ción ón “f “fila ilas” s” y “co “colum lumna nas”. s”. De Debe ben n ha hacer cer la ale aleato atoriz rizaci ación ón de dell cuadrado latino, luego van a suponer los datos de la variable respuesta y los deben analizar con el alfa que deseen.
EJEMPLO: Un investigador quiere evaluar la productiv productividad idad de cuatro variedades de aguacate y decide realizar el ensayo en un terreno que posee un gradiente de pendiente pendiente de oriente a occidente y además, diferencias en la disponibilidad de Nitrógeno de norte no rte a sur sur,, par para a co contr ntrola olarr los efe efect ctos os de la pe pend ndien iente te y la dis dispo ponib nibili ilidad dad de Nitrógeno, utilizó un diseño de cuadrado latino, las variedades son: A, B, C y D, los datos corresponden a la producción en kg/parcela.
Aquí el juego de hipótesis a probar sería: Ho = μA = μB = μC = μD Ha = μi ≠ μ j para cualquier “i” diferente de “j”. El análisis de varianza queda: (Tarea: Verificarlo)
A partir de la cuál se rechaza la hipótesis nula y se concluye que existen por lo menos dos variedades de aguacate con diferentes niveles de producción, para eval ev alua uarr en entr tre e qu quie iene nes s es está tá la di dife fere renc ncia ia de debe be re real aliz izar arse se un una a pr prue ueba ba de comparación de medias, esto te queda de tarea.
SUPUESTOS EN UN DISEÑO DE CUADRADOS LATINOS Para que el análisis de varianza en un diseño de cuadrados latinos tenga validez, deben cumplirse los mismos supuestos mencionados para el diseño de bloques al azar:: Nor azar Normal malidad idad,, Hom Homoced ocedasti asticida cidad d e Inde Independ pendenc encia; ia; adic adiciona ionalmen lmente te deb debe e cumplirse el supuesto de aditividad entre filas, columnas y tratamientos, es decir, no debe haber interacción entre los mismos. Respecto a la normalidad y la independencia, el procedimiento es el mismo que en el caso de un diseño completamente al azar y de un diseño en bloques al azar, la normalidad se evaluará con ayuda del programa SAS y la prueba de Shapiro – Wilk Wi lk y la in inde depe pend nden enci cia a se ga gara rant ntiz izar ará á co con n la as asig igna naci ción ón al alea eato tori ria a de lo los s tratamientos a las unidades experimentales.
En el caso del supuesto de homocedasticidad, para el diseño de cuadrados latinos se pr pres esen enta ta el mi mism smo o pr prob oble lema ma de ín índo dole le co comp mput utac acio iona nall qu que e ha habí bíam amos os mencionado para el diseño de bloques al azar, pues los programas estadísticos actuales son incapaces de evaluar el supuesto en cualquier diseño diferente al completamente al azar, razón por la cual se debe asumir que el supuesto se cumple.
DISEÑOS “CROSS-OVER” Un diseño muy parecido al de cuadrados latinos, es el diseño “cross-over” o “chan “ch angege-ov over” er” o de in inter tercam cambio bio,, don donde de po porr po poca ca dis dispo ponib nibili ilidad dad de un unida idades des experim expe rimenta entales, les, cada unid unidad ad expe experim rimenta entall reci recibe be en dife diferent rentes es mom momento entos s de tiempo todos los tratamientos a evaluar; esta situación en el contexto agropecuario rara vez se presenta con material vegetal por lo que prácticamente se limita a ensayos donde las unidades experimentales son animales. Un esquema de un diseño “cross-over” es el siguiente:
Las un Las unida idades des exp exper erime imenta ntales les se pod podría rían n co consi nside derar rar ef efect ectos os “co “colum lumna na”” y los períodos de tiempo se consideran como efectos “fila”, por lo que nuevamente se está en pre presenc sencia ia de un dobl doble e “blo “bloqueo queo”” y cad cada a unid unidad ad expe experim rimental ental recibe recibe en orden aleatorio todos los tratamientos; aquí es importante señalar que debido al uso repetido de la misma unidad experimental con diferentes tratamientos, debe exis ex isti tirr abs bso olu luta ta cer erte teza za de la No Ex Exis iste tenc ncia ia de ef efec ecto tos s re resi sidu dual ales es de lo los s tratamientos, si no es así, entonces debe utilizarse un período de descanso entre cada par de períodos consecutivos. Aquí si Aquí siem empr pre e el nú núme mero ro de pe perí ríod odos os de ti tiem empo po se será rá ig igua uall al nú núme mero ro de trat tr atam amie ient ntos os,, pe pero ro no ex exis iste te re rest stri ricc cció ión n re resp spec ecto to al nú núme mero ro de un unid idad ades es experimentales, se podrían tener más unidades experimentales (una especie de Rectáng Rec tángulo ulo lati latino) no) pero siem siempre pre el núm número ero tota totall de unid unidades ades experimenta experimentales les deberá ser un número múltiplo del número de tratamientos, de tal manera que en cada período de tiempo, cada tratamiento aparezca el mismo número de veces. El modelo a plantear y el análisis de los datos es igual que en el diseño de cuadrado latino.
